2015-2016年北京市西城区高一上学期数学期末试卷和解析

2015-2016学年北京市西城区高一（上）期末数学试卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.

1．（4分）如果cosθ＜0，且tanθ＞0，则θ是（）

A．第一象限的角B．第二象限的角C．第三象限的角D．第四象限的角2．（4分）化简+﹣等于（）

A．B．C．D．

3．（4分）若向量=（，1），=（2，x）共线，则实数x的值是（）A．﹣B．C．0 D．±

4．（4分）函数f（x）=cosx的一个单调递增区间是（）

A．（0，）B．（﹣，）C．（﹣π，0）D．（0，π）

5．（4分）函数y=sinxcosx是（）

A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数

C．最小正周期为2π的奇函数D．最小正周期为2π的偶函数

6．（4分）函数y=sin（2x﹣）的图象可由函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位长度而得到

B．向右平移个单位长度而得到

C．向左平移个单位长度而得到

D．向右平移个单位长度而得到

7．（4分）若直线x=a是函数y=sin（x+）图象的一条对称轴，则a的值可以是（）

A．B．C．﹣D．﹣

8．（4分）已知非零向量，夹角为45°，且||=2，|﹣|=2．则||等于（）

A．2 B．2 C．D．

9．（4分）函数y=2sin（2πx）的图象与直线y=x的交点个数为（）

A．3 B．4 C．7 D．8

10．（4分）关于函数f（x）=|sinx|+|cosx|，给出下列三个结论：

①函数f（x）的最小值是1；

②函数f（x）的最大值是；

③函数f（x）在区间（0，）上单调递增．

其中全部正确结论的序号是（）

A．②B．②③C．①③D．①②③

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上. 11．（4分）sin=．

12．（4分）如图所示，D为△ABC中BC边的中点，设=，=，则

=．（用，表示）

13．（4分）角α终边上一点的坐标为（1，2），则tan2α=．

14．（4分）设向量=（0，2），=（，1），则，的夹角等于．15．（4分）已知α∈（0，π），且cosα=﹣sin，则α=．

16．（4分）已知函数f（x）=sinωx（其中ω＞0）图象过（π，﹣1）点，且在区间（0，）上单调递增，则ω的值为．

三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（12分）已知α∈（，π），且sinα=．

（Ⅰ）求tan（α﹣）的值；

（Ⅱ）求的值．

18．（12分）如图所示，B，C两点是函数f（x）=Asin（2x+）（A＞0）图象上相邻的两个最高点，D点为函数f（x）图象与x轴的一个交点．

（Ⅰ）若A=2，求f（x）在区间[0，]上的值域；

（Ⅱ）若BD⊥CD，求A的值．

19．（12分）如图，在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=120°．

（Ⅰ）求•的值；

（Ⅱ）设点P在以A为圆心，AB为半径的圆弧BC上运动，且=x+y，其中x，y∈R．求xy的最大值．

B卷[学期综合]本卷满分：50分填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上.

20．（4分）设U=R，A={x|x＞0}，B={x|x＞1}，则A∩∁U B=．

21．（4分）log2=，3=．

22．（4分）已知函数f（x）=，且f（a）+f（2）=0，则实数a=．

23．（4分）已知函数f（x）是定义在R上的减函数，如果f（a）＞f（x+1）在x ∈[1，2]上恒成立，那么实数a的取值范围是．

24．（4分）通过实验数据可知，某液体的蒸发速度y（单位：升/小时）与液体所处环境的温度x（单位：℃）近似地满足函数关系y=e kx+b（e为自然对数的底数，k，b为常数）．若该液体在0℃的蒸发速度是0.1升/小时，在30℃的蒸发速度为0.8升/小时，则该液体在20℃的蒸发速度为升/小时．

二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

25．（10分）已知函数f（x）=．

（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；

（Ⅱ）求满足不等式f（2x）＞2x的实数x的取值范围．

26．（10分）设a为实数，函数f（x）=x2﹣2ax．

（Ⅰ）当a=1时，求f（x）在区间[0，2]上的值域；

（Ⅱ）设函数g（x）=|f（x）|，t（a）为g（x）在区间[0，2]上的最大值，求t（a）的最小值．

27．（10分）设函数f（x）定义域为[0，1]，若f（x）在[0，x*]上单调递增，在[x*，1]上单调递减，则称x*为函数f（x）的峰点，f（x）为含峰函数．（特别地，若f（x）在[0，1]上单调递增或递减，则峰点为1或0）

对于不易直接求出峰点x*的含峰函数，可通过做试验的方法给出x*的近似值．试验原理为：“对任意的x1，x2∈（0，1），x1＜x2，若f（x1）≥f（x2），则（0，x2）为含峰区间，此时称x1为近似峰点；若f（x1）＜f（x2），则（x1，1）为含峰区间，此时称x2为近似峰点”．

我们把近似峰点与x*之间可能出现的最大距离称为试验的“预计误差”，记为d，其值为d=max{max{x1，x2﹣x1}，max{x2﹣x1，1﹣x2}}（其中max{x，y}表示x，y中较大的数）．

（Ⅰ）若x1=，x2=．求此试验的预计误差d．

（Ⅱ）如何选取x1、x2，才能使这个试验方案的预计误差达到最小？并证明你的结论（只证明x1的取值即可）