高考数学大一轮复习 第七章 立体几何 7.2 空间几何体的表面积与体积课件 文
高考数学一轮复习第7章立体几何7.2空间几何体的表面积与体积课件文
A.π2＋1 B.π2＋3 C.32π＋1 D.32π＋3
还原几何体，分清组合体构成部分．
解析 由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面 半径为 1，高为 3 的圆锥的一半与一个底面为直角边长是 2 的等腰直角三角形，高为 3 的三棱锥的组合体，
∴该几何体的体积 V＝13×π2×12×3＋13×12× 2× 2×3＝π2＋1. 故选 A.
角度 2 根据几何体的直观图计算体积
典例 中国古代数学名著《九章算术》中记载：“今 有羡除”．刘徽注：“羡除，隧道也．其所穿地，上平下邪．” 现有一个羡除如图所示，四边形 ABCD、ABFE、CDEF 均 为等腰梯形，AB∥CD∥EF，AB＝6，CD＝8，EF＝10, EF 到平面 ABCD 的距离为 3，CD 与 AB 间的距离为 10，则这 个羡除的体积是( )
A．18＋36 5 C．90
B．54＋18 5 D．81
解析 由三视图可知，该几何体的底面是边长为 3 的 正方形，高为 6，侧棱长为 3 5的平行六面体，则该几何体 的表面积 S＝2×32＋2×3×3 5＋2×3×6＝54＋18 5.故 选 B.
题型 2 空间几何体的体积 角度 1 根据几何体的三视图计算体积 典例 (2017·浙江高考)某几何体的三视图如图所示 (单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是( )
解析 由几何体的三视图可得该几何体的直观图如图 所示．该几何体由两个完全相同的长方体组合而成，其中 AB＝BC＝2 cm，BD＝4 cm，所以该几何体的体积 V＝ 2×2×4×2＝32 cm3，表面积 S＝(2×2×3＋2×4×3)×2 ＝36×2＝72 cm2.
经典题型冲关
题型 1 空间几何体的侧面积与表面积 典例 (2016·全国卷Ⅱ)下图是由圆柱与圆锥组合而 成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )
(人教A版)高考数学复习：7.2《空间几何体的表面积与体积》ppt课件
＝99＋39＝138(cm2)．
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第七章 立体几何
(2)由几何体的三视图可知，该几何体是一个沿旋转轴作截 面，截取的半个圆锥，底面半径是 1，高是 2，所以母线长 为 5，所以其表面积为底面半圆面积和圆锥的侧面积的一 半以及截面三角形的面积的和，即12π＋12π× 5＋12×2×2 ＝2＋1＋2 5π，故选 A.
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第七章 立体几何
3．几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为 a，球的半径为 R， ①正方体的外接球，则 2R＝ 3a； ②正方体的内切球，则 2R＝a； ③球与正方体的各棱相切，则 2R＝ 2a. (2)长方体的同一顶点的三条棱长分别为 a，b，c，外接球 的半径为 R，则 2R＝ a2＋b2＋c2. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为 3∶1.
B．129 cm2 D．138 cm2
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第七章 立体几何
(2)(2015·长春市调研)某几何体的三视图如图所示，则它的表 面积为( A )
A．2＋1＋2 5π C．2＋(1＋ 5)π
B．2＋1＋22 5π D．2＋2＋2 5π
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第七章 立体几何
[解析] (1)该几何体如图所示，长方体的长、宽、高分别 为 6 cm，4 cm，3 cm，直三棱柱的底面是直角三角形，边 长分别为 3 cm，4 cm，5 cm，所以表面积 S＝[2×(4×6＋
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第七章 立体几何
1.(1)(2014·高考安徽卷)一个多面体的三视图如 图所示，则该多面体的表面积为( A )
A．21＋ 3 C．21
B．18＋ 3 D．18
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高三数学一轮总复习第七章立体几何7.2空间几何体的表面积和体积课件
课前学案 基础诊断
课堂学案 考点通关
高考模拟 备考套餐
1
考 纲 了解球体、柱体、锥体、台体的表面积和体积的计算公式(不要求 导 学 记忆公式)。
2
课前学案 基础诊断
夯基固本 基础自测
3
1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
□ □ □ S圆柱侧＝ 1 _2_π_r_l__ S圆锥侧＝ 2 _π_r_l _ S圆台侧＝ 3 _π_(r_＋__r_′__)l
3 17 A. 2
B．2 10
13 C. 2
D．3 10
(2)若一个正四面体的表面积为S1，其内切球的表面积为S2，则SS12＝__________。
解析：(1)如图，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M。又AM＝
1 2
BC
＝52，OM＝12AA1＝6，所以球O的半径R＝OA＝
522＋62＝123。
1 2
＋4×2×2＝8π＋
16，故选A。
答案：(1)A (2)A
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►名师点拨 空间几何体体积问题的常见类型及解题策略 (1)求简单几何体的体积。若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用 公式求解。 (2)求组合体的体积。若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，则 常用转换法、分割法、补形法等进行求解。 (3)求以三视图为背景的几何体的体积。应先根据三视图得到几何体的点拨 以三视图为载体的几何体的表面积问题的求法 (1)恰当分析给出的三视图。 (2)找准几何体中各元素间的位置关系及数量关系。 (3)注意组合体的表面积问题中重合部分的处理。
17
通关特训1 一个空间几何体的三视图及其相关数据如图所示，则这个空间几 何体的表面积是( )
高考数学一轮总复习第七章立体几何7.2空间几何体的表面积与体积课件理
所以 S＝πr2＝π×61＝π6. 【答案】 C
第三十三页，共42页。
角度二 直三棱柱的外接球
已知直三棱柱 ABC－A1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上，若 AB＝
3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球 O 的半径为( )
3 17 A. 2
B．2 10
13 C. 2
D．3 10
第三十四页，共42页。
积为 S2，则SS12＝________. 【解析】 设正四面体棱长为 a，则正四面体表面积为 S1＝4× 43×a2＝ 3a2，
其内切球半径为正四面体高的14，即 r＝14× 36a＝126a，因此内切球表面积为 S2＝4πr2
＝π6a2，则SS12＝
π63aa22＝6
π
3 .
【答案】
63 π
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a2＋b2＋c2.
第九页，共42页。
「基础小题练一练」 1．圆柱的侧面展开图是边长为 6π 和 4π 的矩形，则圆柱的表面积为( ) A．6π(4π＋3) B．8π(3π＋1) C．6π(4π＋3)或 8π(3π＋1) D．6π(4π＋1)或 8π(3π＋2)
第十页，共42页。
解析：分两种情况： ①以长为 6π 的边为高时，4π 为圆柱底面周长， 则 2πr＝4π，r＝2， 所以 S 底＝4π，S 侧＝6π×4π＝24π2，S 表＝2S 底＋S 侧＝8π＋24π2＝8π(3π＋1)； ②以长为 4π 的边为高时，6π 为圆柱底面周长， 则 2πr＝6π，r＝3.所以 S 底＝9π，S 表＝2S 底＋S 侧＝18π＋24π2＝6π(4π＋3)．故选 C. 答案：C
“切”“接”问题处理的注意事项 (1)“切”的处理 解决与球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点， 通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角 面来作． (2)“接”的处理 把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题．解决这类问题的关键是 抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．
高考一轮复习第7章立体几何第2讲空间几何体的表面积与体积
第二讲 空间几何体的表面积与体积知识梳理·双基自测 知识梳理知识点一 柱、锥、台和球的侧面积和体积侧面积 体积圆柱 S 侧＝2πrh V ＝_S 底·h__＝πr 2h圆锥 S 侧＝_πrl __ V ＝13S 底·h＝13πr 2h ＝13πr 2l 2－r 2 圆台 S 侧＝π(r 1＋r 2)l V ＝13(S 上＋S 下＋S 上·S 下)·h＝13π(r 21＋r 22＋r 1r 2)h 直棱柱 S 侧＝_ch__ V ＝_S 底h__ 正棱锥 S 侧＝12ch′V ＝13S 底h 正棱台 S 侧＝12(c ＋c′)h′V ＝13(S 上＋S 下＋S 上·S 下)h 球S 球面＝_4πR 2V ＝43πR 3 (1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是_各面面积之和__.(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是_矩形__、_扇形__、_扇环形__；它们的表面积等于_侧面积__与底面面积之和．重要结论1．长方体的外接球：球心：体对角线的交点；半径：r ＝_a 2＋b 2＋c22__(a ，b ，c 为长方体的长、宽、高)．2．正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球： (1)外接球：球心是正方体中心；半径r ＝_32a__(a 为正方体的棱长)； (2)内切球：球心是正方体中心；半径r ＝_a2__(a 为正方体的棱长)；(3)与各条棱都相切的球：球心是正方体中心；半径r ＝_22a__(a 为正方体的棱长)． 3．正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体的一部分)：(1)外接球：球心是正四面体的中心；半径r ＝_64a__(a 为正四面体的棱长)； (2)内切球：球心是正四面体的中心；半径r ＝_612a__(a 为正四面体的棱长)． 双基自测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)多面体的表面积等于各个面的面积之和．( √ ) (2)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．( √ ) (3)锥体的体积等于底面积与高之积．( × )(4)已知球O 的半径为R ，其内接正方体的棱长为a ，则R ＝32a.( √ ) (5)圆柱的一个底面积为S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.( × ) 题组二 走进教材2．(必修2P 27T1)已知圆锥的表面积等于12π cm 2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( B ) A ．1 cm B ．2 cm C ．3 cmD ．32cm [解析] 由条件得：⎩⎪⎨⎪⎧πrl＋πr 2＝12π2πrl ＝π，∴3r 2＝12，∴r ＝2.题组三 走向高考3．(2020·天津卷)若棱长为23的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( C ) A ．12π B ．24π C ．36πD ．144π[解析] 这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线长的一半， 即R ＝232＋232＋2322＝3，所以，这个球的表面积为S ＝4πR 2＝4π×32＝36π.故选：C ．4．(2018·课标全国Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1，O 2，过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( B )A ．122πB ．12πC ．82πD ．10π[解析] 设圆柱底面半径为r ，则4r 2＝8，即r 2＝2.∴S 圆柱表面积＝2πr 2＋4πr 2＝12π.5．(2020·浙江卷)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( A )A ．73 B ．143C ．3D ．6[解析] 由三视图可知，该几何体是上半部分是三棱锥，下半部分是三棱柱，且三棱锥的一个侧面垂直于底面．棱锥的高为1，棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高为2，所以几何体的体积为：13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1×1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1×2＝13＋2＝73.故选：A ．考点突破·互动探究考点一 几何体的表面积——自主练透例1 (1)(2021·北京模拟)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是( C )A ．2＋ 5B ．4＋ 5C ．2＋2 5D ．5(2)(2021·安徽江南十校联考)已知某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为( B )A ．78－9π2B ．78－9π4C ．78－πD ．45－9π2(3)(多选题)(2021·山东潍坊期末)等腰直角三角形直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为( AB )A ．2πB ．(1＋2)πC ．22πD ．(2＋2)π[解析] (1)由三视图知，该几何体是底面为等腰三角形，其中一条侧棱与底面垂直的三棱锥(SA ⊥平面ABC)，如图所示，由三视图中的数据可计算得S △ABC ＝12×2×2＝2，S △SAC ＝12×5×1＝52，S △SAB ＝12×5×1＝52，S △SBC ＝12×2×5＝5，所以S 表面积＝2＋2 5.故选C ．(2)由三视图可知该几何体是一个长方体中挖去一个18球，如图所示．∴S ＝3×3×2＋3×5×4－27π4＋9π2＝78－94π.故选B ．(3)若绕直角边旋转一周形成的几何体是圆锥，其表面积为π＋2π；若绕斜边旋转一周形成的几何体是两同底圆锥构成的组合体，其表面积为2π，故选A 、B ．名师点拨空间几何体表面积的求法(1)旋转体的表面积问题注意其轴截面及侧面展开图的应用．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．(3)已知几何体的三视图求其表面积，一般是先根据三视图判断空间几何体的形状，再根据题目所给数据与几何体的表面积公式，求其表面积．〔变式训练1〕(2020·河南开封二模)已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的数据，可得出这个几何体的表面积是( C )A ．6B ．8＋4 6C ．4＋2 6D ．4＋ 6[解析] 由三视图得几何体如图所示，该几何体是一个三棱锥，底面是一个底和高均为2的等腰三角形，一个侧面是一个底和高均为2的等腰三角形，另外两个侧面是腰长为AC ＝AB ＝22＋12＝5， 底边AD 长为22的等腰三角形， 其高为52－22＝3，故其表面积为S ＝2×12×22＋2×12×22×3＝4＋2 6.故选C ．考点二 几何体的体积——师生共研例2 (1)(2021·浙江金色联盟百校联考)一个空间几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积为( )cm 3.( A )A ．π6＋13B ．π3＋16C ．π6＋16D ．π3＋13(2)(2021·云南师大附中月考)如图，某几何体的三视图均为边长为2的正方形，则该几何体的体积是( D )A ．56 B ．83 C ．1D ．163(3)(2021·湖北武汉部分学校质检)某圆锥母线长为4，其侧面展开图为半圆面，则该圆锥体积为_83π3__.(4)(2020·江苏省南通市通州区)如图，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是侧棱CC 1上一点，且C 1P ＝2PC ．设三棱锥P － D 1DB 的体积为V 1，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为V ，则V 1V 的值为_16__.[解析] (1)由三视图可知该几何体是由底面半径为1 cm ，高为1 cm 的半个圆锥和三棱锥S －ABC 组成的，如图，三棱锥的高为SO ＝1 cm ，底面△ABC 中，AB ＝2 cm ，AC ＝1 cm ，AB ⊥AC ．故其体积V ＝13×12×π×12×1＋13×12×2×1×1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋13cm 3.故选A ．(2)由题意三视图对应的几何体如图所示，所以几何体的体积为正方体的体积减去2个三棱锥的体积，即V ＝23－2×13×12×2×2×2＝163，故选D ．(3)该圆锥母线为4，底面半径为2，高为23， V ＝13×π×22×23＝83π3. (4)设正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面边长AB ＝BC ＝a ，高AA 1＝b ， 则VABCD －A 1B 1C 1D 1＝S 四边形ABCD ×AA 1＝a 2b ，VP －D 1DB ＝VB －D 1DP ＝13S △D 1DP·BC＝13×12ab·a＝16a 2b ，∴VP －D 1DB VABCD －A 1B 1C 1D 1＝16，即V 1V ＝16.[引申]若将本例(2)中的俯视图改为，则该几何体的体积为_83__，表面积为_83__.[解析] 几何体为如图所示的正三棱锥(棱长都为22)． ∴V ＝8－4×43＝83，S ＝4×34×(22)2＝8 3.名师点拨求体积的常用方法直接法对于规则的几何体，利用相关公式直接计算割补法首先把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算等体 积法选择合适的底面来求几何体体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换注：若以三视图的形式给出的几何体问题，应先得到直观图，再求解． 〔变式训练2〕(1)(2020·海南)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 、N 分别为BB 1、AB 的中点，则三棱锥A －NMD 1的体积为_13__.(2)(2021·开封模拟)如图所示，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为3，D 为BC 的中点，则三棱锥A －B 1DC 1的体积为( C )A ．3B ．32 C ．1D ．32(3)(2017·浙江)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( A )A ．16 B ．13 C ．12D ．1(4)(2021·浙北四校模拟)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( B )A ．8B ．8πC ．16D ．16π[解析] (1)如图，∵正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 、N 分别为BB 1、AB 的中点，∴S △ANM ＝12×1×1＝12，∴VA －NMD 1＝VD 1－AMN ＝13×12×2＝13，故答案为：13.(2)如题图，在正△ABC 中，D 为BC 的中点，则有AD ＝32AB ＝3，又因为平面BB 1C 1C ⊥平面ABC ，AD ⊥BC ，AD ⊂平面ABC ，由面面垂直的性质定理可得AD ⊥平面BB 1C 1C ，即AD 为三棱锥A －B 1DC 1的底面B 1DC 1上的高，所以V 三棱锥A －B 1DC 1＝13·S△B 1DC 1·AD＝13×12×2×3×3＝1，故选C ．(3)由三视图可画出三棱锥的直观图如图所示．其底面是等腰直角三角形ACB ，直角边长为1，三棱锥的高为1，故体积V ＝13×12×1×1×1＝16.故选A ．(4)由三视图的图形可知，几何体是等边圆柱斜切一半，所求几何体的体积为：12×22π×4＝8π.故选B ．考点三 球与几何体的切、接问题——多维探究角度1 几何体的外接球例3 (1)(2021·河南中原名校质量测评)已知正三棱锥P －ABC 的底面边长为3，若外接球的表面积为16π，则PA ＝_23或2__.(2)(2020·新课标Ⅰ)已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个点，⊙O 1为△ABC 的外接圆．若⊙O 1的面积为4π，AB ＝BC ＝AC ＝OO 1，则球O 的表面积为( A )A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π(3)(2019·全国)已知三棱锥P －ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA ＝PB ＝PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E 、F 分别是PA ，PB 的中点，∠CEF ＝90°，则球O 的体积为( D )A ．86πB ．46πC ．26πD ．6π[解析] (1)由外接球的表面积为16π，可得其半径为2，设△ABC 的中心为O 1，则外接球的球心一定在PO 1上，由正三棱锥P －ABC 的底面边长为3，得AO 1＝3，在Rt △AOO 1中，由勾股定理可得(PO 1－2)2＋(3)2＝22，解得PO 1＝3或PO 1＝1，又PA 2＝PO 21＋AO 21，故PA ＝9＋3＝23或PA ＝1＋3＝2，故答案为：23或2.(2)由题意可知图形如图：⊙O 1的面积为4π， 可得O 1A ＝2， 则ABsin60°＝2O 1A ＝4，∴AB ＝4sin60°＝23，∴AB＝BC＝AC＝OO1＝23，外接球的半径为：R＝AO21＋OO21＝4，球O的表面积为：4×π×42＝64π，故选A．(3)∵PA＝PB＝PC，△ABC为边长为2的等边三角形，∴P－ABC为正三棱锥，∴PB⊥AC，又E，F分别为PA、AB中点，∴EF∥PB，∴EF⊥AC，又EF⊥CE，CE∩AC＝C，∴EF⊥平面PAC，∴PB⊥平面PAC，∴∠APB＝90°，∴PA＝PB＝PC＝2，∴P－ABC为正方体一部分，2R＝2＋2＋2＝6，即R＝62，∴V＝43πR3＝43π×668＝6π.名师点拨几何体外接球问题的处理(1)解题关键是确定球心和半径，其解题思维流程是：(R—球半径，r—截面圆的半径，h—球心到截面圆心的距离)．注：若截面为非特殊三角形可用正弦定理求其外接圆半径r.(2)三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球．注意：不共面的四点确定一个球面．角度2 几何体的内切球例4 (1)(2020·新课标Ⅲ)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_23π__. (2)(2021·安徽蚌埠质检)如图，E ，F 分别是正方形ABCD 的边AB ，AD 的中点，把△AEF ，△CBE ，△CFD 折起构成一个三棱锥P －CEF(A ，B ，D 重合于P 点)，则三棱锥P －CEF 的外接球与内切球的半径之比是_26__.[解析] (1)因为圆锥内半径最大的球应该为该圆锥的内切球， 如图，圆锥母线BS ＝3，底面半径BC ＝1， 则其高SC ＝BS 2－BC 2＝22， 不妨设该内切球与母线BS 切于点D ， 令OD ＝OC ＝r ，由△SOD ∽△SBC ，则OD OS ＝BCBS ，即r22－r ＝13，解得r ＝22，V ＝43πr 3＝23π，故答案为：23π.(2)不妨设正方形的边长为2a ，由题意知三棱锥P －CEF 中PC 、PF 、PE 两两垂直，∴其外接球半径R ＝PC 2＋PF 2＋PE 22＝62a ，下面求内切球的半径r ，解法一(直接法)：由几何体的对称性知，内切球的球心在平面PCH(H 为EF 的中点)内，M 、N 、R 、S 为球与各面的切点，又22＝tan ∠CHP ＝tan2∠OHN ， ∴tan ∠OHN ＝22＝rNH，∴NH ＝2r ， 又PN ＝2r ，∴22r ＝PH ＝22a ，∴r ＝a 4. 解法二(体积法)：V C －PEF ＝13r·(S △PEF ＋S △PCE ＋S △PCF ＋S △CEF )，∴a 3＝r·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋a 2＋a 2＋2a 2×32a 2，∴r ＝a 4，故R r ＝6a 2·4a＝2 6.名师点拨几何体内切球问题的处理(1)解题时常用以下结论确定球心和半径：①球心在过切点且与切面垂直的直线上；②球心到各面距离相等．(2)利用体积法求多面体内切球半径． 〔变式训练3〕(1)(角度1)(2020·南宁摸底)三棱锥P －ABC 中，△ABC 为等边三角形，PA ＝ PB ＝ PC ＝3，PA ⊥PB ，三棱锥P －ABC 的外接球的体积为( B )A ．27π2B ．273π2C ．273πD ．27π(2)(角度1)(2021·山西运城调研)在四面体ABCD 中，AB ＝AC ＝23，BC ＝6，AD ⊥平面ABC ，四面体ABCD 的体积为 3.若四面体ABCD 的顶点均在球O 的表面上，则球O 的表面积是( B )A ．49π4B ．49πC ．49π2D ．4π(3)(角度2)棱长为a 的正四面体的体积与其内切球体积之比为_63π__.[解析] (1)因为三棱锥P －ABC 中，△ABC 为等边三角形，PA ＝PB ＝PC ＝3，所以△PAB ≌△PBC ≌△PAC ．因为PA ⊥PB ，所以PA ⊥PC ，PC ⊥PB ．以PA ，PB ，PC 为过同一顶点的三条棱作正方体(如图所示)，则正方体的外接球同时也是三棱锥P －ABC 的外接球．因为正方体的体对角线长为32＋32＋32＝33，所以其外接球半径R ＝332.因此三棱锥P －ABC 的外接球的体积V ＝4π3×⎝ ⎛⎭⎪⎫3323＝273π2.故选B ．(2)如图，H 为BC 的中点，由题意易知AH ＝3，设△ABC 外接圆圆心为O 1，则|O 1C|2＝32＋(3－|O 1C|)2，∴|O 1C|＝23，又12×6×3×|AD|3＝3，∴|AD|＝1，则|OA|2＝|O 1C|2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝494，∴S 球O ＝4πR 2＝49π，故选B ．(3)如图，将正四面体纳入正方体中，显然正四面体内切球的球心O(也是外接球的球心)、△BCD 的中心O 1都在正方体的对角线上，设正四面体的棱长为a ，则|AO|＝64a ，又|O 1A|＝a 2－⎝⎛⎭⎪⎫33a 2＝63a ，∴内切球半径|OO 1|＝612a ，∴V 正四面体V 内切球＝13×34a 2×63a4π3⎝ ⎛⎭⎪⎫612a 3＝63π.名师讲坛·素养提升 最值问题、开放性问题例5 (1)(最值问题)(2018·课标全国Ⅲ)设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D －ABC 体积的最大值为( B )A ．12 3B ．18 3C ．24 3D ．54 3(2)(2021·四川凉山州模拟)已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积V ＝12，AB ＝2，若四面体A －B 1CD 1的外接球的表面积为S ，则S 的最小值为( C )A ．8πB ．9πC ．16πD ．32π[解析] (1)设等边△ABC 的边长为a ，则有S △ABC ＝12a·a·sin 60°＝93，解得a ＝6.设△ABC 外接圆的半径为r ，则2r ＝6sin 60°，解得r ＝23，则球心到平面ABC 的距离为42－232＝2，所以点D 到平面ABC 的最大距离为2＋4＝6，所以三棱锥D －ABC 体积的最大值为13×93×6＝183，故选B ．(2)设BC ＝x ，BB 1＝y ，由于V ＝12，所以xy ＝6.根据长方体的对称性可知四面体A －B 1CD 1的外接球即为长方体的外接球， 所以r ＝4＋x 2＋y22，所以S ＝4πr 2＝π(4＋x 2＋y 2)≥π(4＋2xy)＝16π， (当且仅当x ＝y ＝6，等号成立)． 故选C ．名师点拨立体几何中最值问题的解法(1)观察图形特征，确定取得最值的条件，计算最值．(2)设出未知量建立函数关系，利用基本不等式或导数计算最值．例6 (开放性问题)若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积的值为_116⎝ ⎛⎭⎪⎫或1412等__(只需写一个可能值)． [解析] 如图，若AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝AD ＝2，BC ＝1，取AD 的中点H ，则CH ＝BH ＝3，且AH ⊥平面BCH ，又S △BCH ＝114，∴V A －BCD ＝13S △BCH ×2＝116. 如图，若AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝2，AD ＝BC ＝1，同理可求得V A －BCD ＝1412.〔变式训练4〕(2021·河南阶段测试)四面体ABCD 中，AC ⊥AD ，AB ＝2AC ＝4，BC ＝25，AD ＝22，当四面体的体积最大时，其外接球的表面积是_28π__.[解析] 由已知可得BC 2＝AC 2＋AB 2，所以AC ⊥AB ，又因为AC ⊥AD ，所以AC ⊥平面ABD ，四面体ABCD 的体积V ＝13AC·12AB·ADsin∠BAD ，当∠BAD ＝90°时V 最大，把四面体ABCD 补全为长方体，则它的外接球的直径2R 即长方体的体对角线，(2R)2＝AD 2＋AC 2＋AB 2＝28，所以外接球的表面积为4πR 2＝28π.。
高考数学总复习 第七章 立体几何 7.2 空间几何体的表面积与体积课件 文
A．4＋4 2＋2 3 B．14＋4 2 C．10＋4 2＋2 3 D．4
2021/12/13
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解析：如图，该几何体是一个底面为直角梯形，有一条侧棱
垂直于底面的四棱锥 S- ABCD．
连接 AC，因为 AC＝ 22＋42＝2 5，SC＝ 2 52＋22＝2 6， SD＝SB＝ 22＋22＝2 2，CD＝ 22＋22＝2 2，SB2＋BC2＝(2 2)2 ＋42＝24＝SC2，故△SCD 为等腰三角形，△SCB 为直角三角形．
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(1)已知直三棱柱 ABC- A1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上，若
AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球 O 的半径为( C )
A．3
17 2
B．2 10
C．123
D．3 10
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解析：如图，由球心作平面 ABC 的垂线， 则垂足为 BC 的中点 M. 又 AM＝12BC＝12 32＋42＝52，OM＝12AA1＝6，
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设 AC 的中点为 O，连接 SO，BO， 则 SO⊥AC，∴SO⊥平面 ABC，∴SO⊥BO. 又 OS＝OB＝1，∴SB＝ 2， 故△SAB 与△SBC 均是边长为 2的正三角形，故该四面体的 表面积为 2×12× 2× 2＋2× 43×( 2)2＝2＋ 3.
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角度 2 求简单几何体的体积
如图，在多面体 ABCDEF 中，已知 ABCD 是边长为 1 的 正方形，且△ADE，△BCF 均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多
高考数学一轮复习 第七章 立体几何 7.2 空间几何体的表面积与体积课件
12/11/2021
(4)旋转一周所得几何体为以254 cm 为半径的两个同底面的 圆锥，其表面积为
S＝π×254×6＋π×254×8＝3356π(cm2)． (5)由△SAB 的面积为 8，可得12SA2＝8，解得 SA＝4.取圆锥 底面圆的圆心为 O′，连接 SO′，AO′，由 SA 与圆锥底面所 成的角为 30°，可得圆锥的底面半径 AO′＝2 3，圆锥的高 SO′ ＝2.设圆锥的外接球的半径为 R，球心为 O，则 O 在 SO′的延 长线上，连接 AO，则 AO2＝AO′2＋OO′2，即 R2＝(2 3)2＋(R －2)2，解得 R＝4，所以该圆锥的外接球的表面积是 4πR2＝64π.
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考点二 空间几何体的体积
命题方向 1
直接利用公式求体积
【例 2】 (2019·全国卷Ⅲ)学生到工厂劳动实践，利用 3D 打印 技术制作模型．如图，该模型为长方体 ABCD-A1B1C1D1 挖去四 棱锥 O-EFGH 后所得的几何体，其中 O 为 长方体的中心，E，F，G，H 分别为所在棱 的中点，AB＝BC＝6 cm，AA1＝4 cm.3D 打 印所用原料密度为 0.9 g/cm3.不考虑打印损 耗，制作该模型所需原料的质量为 ___1_1_8_.8__g.
第七章
立体几何
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第二节 空间几何体的表面积与体积
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课标要求
考情分析
1.本节内容是高考中的重点内容，涉及空间几
了解球、棱 何体的表面积与体积的计算等内容．
柱、棱锥、 2．命题形式主要以选择题、填空题为主，主 台的表面积 要考查空间几何体表面积与体积的计算，同时 和体积的计 算公式． 着重考查空间几何体的结构特征等内容，解题
推荐-高考数学一轮总复习第7章立体几何7.2空间几何体的表面积和体积课件理
＝
2 2 a(a
为正方体的棱长)．
3．正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正
方体的一部分)
(1)外接球：球心是正四面体的中心；半径
r＝
6 4 a(a
为
正四面体的棱长)；
(2)内切球：球心是正四面体的中心；半径
r＝
6 12 a(a
为
正四面体的棱长)．
2.求几何体体积时，要选择适当的底面和高．
满分策略
1.利用三视图求表面积和体积时，要正确地把它们还原 成直观图，从三视图中得到几何体的相关量，再计算．
2.求不规则的几何体的表面积和体积时，把它们分成基 本的简单几何体再求．
3．台体：V＝_13_h_(_S_＋___S_S_′ __＋ __S_′ __)_ (S，S′分别为上、
下底面面积，h 为高)， 特别地，V 圆台＝_13_π_h_(_r2_＋ __r_r_′__＋__r′ __2_)_； 4．球：V＝___43_π_R_3_____ (R 为半径)．
[必会结论]
该不规则几何体的体积为(
)
A．4－π2 C．8－π
B．8－43π D．8－2π
[解析] 由祖暅原理可知，该不规则几何体的体积与已 知三视图的几何体体积相等．根据题设所给的三视图，可知 图中的几何体是从一个正方体中挖去一个半圆柱，正方体的
体积为 23＝8，半圆柱的体积为12×(π×12)×2＝π，因此该不 规则几何体的体积为 8－π，故选 C.
1．长方体的外接球 (1)球心：体对角线的交点； (2)半径：r＝ a2＋2b2＋c2(a，b，c 为长方体的长、宽、 高)．
2．正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球
2019版高考数学总复习 第七章 立体几何 7.2 空间几何体的表面积和体积课件 文
[知识重温]
一、必记4●个知识点
1．柱、锥、台和球的侧面积和体积
面积
体积
圆柱
S侧＝2πrh
V＝Sh＝πr2h
圆锥
S侧＝πrl
V＝13Sh＝13πr2h ＝13πr2 l2－r2
圆台
直棱柱 正棱锥 正棱台
球
S侧＝π(r1＋r2)l
S侧＝Ch S侧＝12Ch′ S侧＝12(C＋C′)h′ S球面＝4πR2
4π×3
2
32＝27π.故选
B.
答案：B
2．(2018·河南中原名校联考)如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1 是棱长为1的正方体，四棱锥S－ABCD是高为1的正四棱锥，若点
S，A1，B1，C1，D1在同一个球面上，则该球的表面积为( )
9
25
A.16π B.16π
C.4196π D.8116π
A．1 B．2 C．3 D．6
解析：依题意，题中的几何体是一个直三棱柱(其底面左、右相 对)，其中底面是直角边长分别为 1、2 的直角三角形，侧棱长为 3， 因此其体积为12×1×2×3＝3，选 C.
答案：C
4．(2018·四川省成都市高中毕业班第一次诊断)如图，网格纸 上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该 四棱锥的外接球的表面积为( )
故选B.
答案：B
2．(2017·北京卷)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的 体积为( )
A．60 B．30 C．20 D．10
解析：根据三视图将三棱锥P－ABC还原到长方体中，如图所 示，
∴VP－ABC＝13×12×3×5×4＝10. 答案：D
的三3视．图(2如01下7·图山，东则卷该)由几一何个体长的方体体积和为两_个__2_＋14__π2圆__柱．体构成的几何体
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突破考点01 突破考点02 突破考点03
突破考点04 高考真题演练
课时作业
突破考点 01
空间几何体的表面积与体积
（基础送分型——自主练透）
1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱
圆锥
圆台
侧面展开图
S圆柱侧＝ 侧面积公式
______
S圆锥侧＝ ______
S圆台侧＝π(r＋r′)l
2.多面体的侧面积和表面积 因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就 是侧面展开图的面积，表面积是侧面积与底面积的和．
【答案】 B
(2)(2015·北京卷)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥 的表面积是( )
A．2＋ 5 B．4＋ 5 C．2＋2 5 D．5
【解析】 由三视图可得该三棱锥的直观图如图所示，其 中 PA＝1，BC＝2，
取 BC 的中点 M， 连接 AM，MP， 则 AM＝2，AM⊥BC，
故 AC＝AB＝ BM2＋AM2＝ 1＋4＝ 5，
由正视图和侧视图可知 PA⊥平面 ABC，
因此可得 PC＝PB＝ PA2＋AB2＝ 1＋5＝ 6，
PM＝ PA2＋AM2＝ 1＋4＝ 5，
所以三棱锥的表面积为
S△ABC＋
S△PAB
＋S△PAC
＋S△PBC＝
1 2
×2×2＋12× 5×1＋12× 5×1＋12×2× 5＝2＋2 5，
故选 C.
【答案】 C
2．求不规则几何体的表面积时，通常将该几何体分割成 基本的柱、锥、台体，先求出这些基本的柱、锥、台体的表面 积，再通过求和或作差，从而获得几何体的表面积．
3．已知三视图求几何体表面积时，首先根据三视图还原 出几何体，此时需要利用线与线、线与面的关系分析表面相对 位置关系，并根据三视图中数据确定对应线段的长度，再利用 1 与 2 中的方法求表面积．
(3)(2014·安徽卷)一个多面体的三视图如图所示，则该多面 体的表面积为( )
A．21＋ 3 B．18＋ 3 C．21 D．18
【解析】 根据题意作出直观图如图，该多面体是由正方 体切去两个角而得到的，根据三视图可知其表面积为 622－12×1×1＋2× 43×( 2)2＝6×72＋ 3＝21＋ 3.故选 A.
【答案】 A
几何体表面积的求解方法 1．规则几何体的表面积可利用“核心知识与方法”中有 关公式求解．求解多面体的表面积时，只需将其表面通过 “裁”“剪”分解为(若干个)平面图形，可利用求平面图形的 面积的方法求多面体的表面积．求旋转体的表面积时，可从旋 转体的形成过程及其几何特征入手，正确确定它们的底面半 径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系等求表面积．
△A1C1E 的面积等于12×3×5＝125，直角梯形 BCC1E 的面积等 于12×(2＋5)×5＝325，因此题中的几何体的表面积为 6＋14＋ 15＋125＋325＝60，选 B.
【答案】 B
求解多面体的表面积及体积问题，关键是找 到其中的特征图形，如棱柱中的矩形，棱锥中的直角三角形， 棱台中的直角梯形等，通过这些图形，找到几何元素间的关系， 建立未知量与已知量间的关系，进行求解．
A．8 cm3
B．12 cm3
32 C. 3
cm3
40 D. 3
cm3
【解析】 该几何体是由棱长为 2 的正方体和底面边长为 2， 高为 2 的正四棱锥组合而成的几何体．故其体积为 V＝2×2×2 ＋13×2×2×2＝332 cm3.
【答案】 C
(2)(2015·山东卷)在梯形 ABCD 中，∠ABC＝π2，AD∥BC，
1.2πrl πrl
【调研1】 (1)(2015·新课标全国卷Ⅰ)圆柱被一个平面截 去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图 中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋ 20π，则r＝( )
A．1 B．2
C．4 D．8
【解析】 由已知可知，该几何体的直观图如图所示，其 表面积为2πr2＋πr2＋4r2＋2πr2＝5πr2＋4r2.由5πr2＋4r2＝16＋ 20π，得r＝2.故选B.
BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形 ABCD 绕 AD 所在的直线旋转一周
而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )
2π
4π
A. 3
B. 3
5π C. 3
D．2π
【解析】 如图，此几何体是底面半径为 1，高为 2 的圆 柱挖去一个底面半径为 1，高为 1 的圆锥，故所求体积 V＝2π －π3＝53π.
突破考点 02
空间几何体的体积
（基础送分型——自主练透）
1．柱体：V＝________； 2．棱锥：V＝________； 3．棱台：V＝13(S 上＋S 下＋ S上S下)； 4．球：V＝43πR3.
1 1.Sh 2.3Sh
【调研 2】 (1)(2015·浙江卷)某几何体的三视图如图所示 (单位：cm)，则该几何体的体积是( )
突破考点 03
割补法求体积
（重点得分型——师生共研）
【 调 研 3 】 (1)(2014·新 课 标 全 国 卷 Ⅱ) 正 三 棱 柱
ABC—A1B1C1 的底面边长为 2，侧棱长为 3，D 为 BC 的中点，
【答案】 C
(3)(2014·重庆卷)若某几何体的三视图如图所示，则该几何 体的表面积为( )
A．54 B．60 C．66 D．72
【解析】 题中的几何体可看作是从直三棱柱 ABC—A1B1C1 中截去三棱锥 E—A1B1C1 后所剩余的部分(如图 所示)，
其中在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中，AB⊥AC，AB＝4.AC ＝3，则 BC＝5，△ABC 的面积等于12×3×4＝6.AA1⊥平面 ABC，则直角梯形 ABEA1 的面积等于12×(2＋5)×4＝14，矩形 ACC1A1 的面积等于 3×5＝15.过点 E 作 EF⊥AA1 于点 F，则 EF＝AB＝4，A1F＝B1E＝BB1－BE＝3，则 A1E＝5，所以
第七章
立体几何
第二节 空间几何体的表面积与体积
考纲下载
了解球体、柱体、锥体、台体的表面积和体积的计算 公式不要求记忆公式.
请注意
1.空间几何体的表面积、体积是高考的热点，多与三视图 相结合命题．
2．主要考查由三视图还原几何体并求表面积或体积，同 时考查空间想象能力及运算能力．题型多为选择、填空题．