2011山东德州中考数学试题

山东省德州市二○一一年初中学业考试第Ⅰ卷（选择题 共24分）一、选择题： 1．下列计算正确的是（A ）088=--）（ （B ）1221=⨯）（）（-- （C ）011--=（） （D ）22-|-|= 2．一个几何体的主视图、左视图、俯视图完全相同，它一定是 （Ａ）圆柱（B ）圆锥（C ）球体 （D ）长方体3．温家宝总理强调，“十二五”期间，将新建保障性住房36 000 000套，用于解决中低收入和新参加工作的大学生住房的需求．把36 000 000用科学记数法表示应是 （A ）×107 (B)×106 （C ）36×106 （D ） ×108 4．如图，直线l 1∥l 2， ∠1=40°，∠2=75°，则∠3等于 （A ）55° （B ） 60° （C ）65° （D ） 70°5．某赛季甲、乙两名篮球运动员12场比赛得分情况用图表示如下：5101520253035404550123456789101112甲乙对这两名运动员的成绩进行比较，下列四个结论中，不正确．．．的是 （A ）甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差 （B ）甲运动员得分的的中位数大于乙运动员得分的的中位数 （C ）甲运动员的得分平均数大于乙运动员的得分平均数 （D ）甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定6．已知函数))((b x a x y --=（其中a b >）的图象如图所示，则函数b ax y +=的图象可能正确的是7．一个平面封闭图形内（含边界）任意两点距离的最大值称为该图形的“直径”，封闭图形的周长与直径之比称为图形的“周率”，下面四个平面图形（依次为正三角形、正方形、正六边形、圆）的周率从左到右依次记为1a ，2a ，3a ，4a ，则下列关系中正确的是y x1 1Oy x1-1 O yx-1 -1 O 1-1 xy O（D ）l 1l 2123第6题图（A ）4a >2a >1a （B ）4a >3a >2a （C ）1a >2a >3a （D ）2a >3a >4a8．图1是一个边长为1的等边三角形和一个菱形的组合图形，菱形边长为等边三角形边长的一半，以此为基本单位，可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形（如图2），依此规律继续拼下去（如图3），……，则第n 个图形的周长是（A ）2n（B ）4n（C ）12n + （D ）22n +第Ⅱ卷（非选择题 共96分）二、填空题：本大题共8小题，共32分，．9．点P （1,2）关于原点的对称点P ′的坐标为___________．10．如图，D ，E ，F 分别为△ABC 三边的中点，则图中平行四边形的个数为___________． 11．母线长为2，底面圆的半径为1的圆锥的侧面积为___________．12．当x =2211x x x---=_____________． 13．下列命题中，其逆．命题成立的是_____．（填序号） ①同旁内角互补，两直线平行； ②如果两个角是直角，那么它们相等； ③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；④如果三角形的三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形．14．若1x ，2x 是方程210x x +-=的两个根，则2212x x +=__________．15．在4张卡片上分别写有1~4的整数，随机抽取一张后放回，再随机地抽取一张，那么第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率是_____________． 16．长为1，宽为a 的矩形纸片（121<<a ），如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去．若在第n 此操作后，剩下的矩形为正方形，则操作终止．当n =3时，a 的值为_____________．三、解答题：本大题共7小题，共64分．第一次操作第二次操作 图1图2图3……A BCDE F第10题图17． (本题满分6分) 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来 3(2)412 1.3-x x x x -≤-⎧⎪+⎨>-⎪⎩，18． (本题满分8分)2011年5月9日至14日，德州市共有35000余名学生参加中考体育测试，为了了解九年级男生立定跳远的成绩，从某校随机抽取了50名男生的测试成绩，根据测试评分标准，将他们的得分按优秀、良好、及格、不及格（分别用A 、B 、C 、D 表示）四个等级进行统计，并绘制成下面的扇形图和统计表：请你根据以上图表提供的信息，解答下列问题： (1) m ＝ ，n ＝ ，x ＝ ，y ＝ ； (2)在扇形图中，C 等级所对应的圆心角是 度；(3)如果该校九年级共有500名男生参加了立定跳远测试，那么请你估计这些男生成绩等级达到优秀和良好的共有多少人？19．(本题满分8分)如图 AB =AC ，CD ⊥AB 于D ，BE ⊥AC 于E ，BE 与CD 相交于点O ． （1）求证AD =AE ；(2) 连接OA ，BC ，试判断直线OA ，BC 的关系并说明理由．20． (本题满分10分)某兴趣小组用高为米的仪器测量建筑物CD 的高度．如示意图，由距CD 一定距离的A 处用仪器观察建筑物顶部D 的仰角为β，在A 和C 之间选一点B ，由B 处用仪器观察建筑物顶部D 的仰角为α．测得A ，B 之间的距离为4米，tan 1.6α=，tan 1.2β=，试求建筑物CD 的高度．21． (本题满分10分) 为创建“国家卫生城市”，进一步优化市中心城区的环境，德州市政府拟对部分路段的人行道地砖、花池、排水管道等公用设施全面更新改造，根据市政建设的需要，须在60天内完成工程．现在甲、乙两个工程队有能力承包这个工程．经调查知道：乙队单独完成此项工程的时间比甲队单独完成多用25天，甲、乙两队合作完成工程需要30天，甲队每天的工程费用2500元，乙队每天的工程费用2000元．（1）甲、乙两个工程队单独完成各需多少天？（2）请你设计一种符合要求的施工方案，并求出所需的工程费用．22． (本题满分10分) ●观察计算当5a =，3b =时， 2a b+与ab 的大小关系是__________． 当4a =，4b =时， 2a b+与ab 的大小关系是__________．●探究证明如图所示，ABC ∆为圆O 的内接三角形，AB 为直径，过C 作CD AB ⊥于D ，设AD a =，BD =b ． （1）分别用,a b 表示线段OC ，CD ；（2）探求OC 与CD 表达式之间存在的关系（用含a ，b 的式子表示）． ●归纳结论根据上面的观察计算、探究证明，你能得出2a b+与ab 的大小关系是：____________． ●实践应用要制作面积为1平方米的长方形镜框，直接利用探究得出的结论，求出镜框周长的最小值．23． (本题满分12分) 在直角坐标系xoy 中，已知点P 是反比例函数）＞0(32x xy =图象上一个动点，以P 为圆心的圆始终与y 轴相切，设切点为A ．（1）如图1，⊙P 运动到与x 轴相切，设切点为K ，试判断四边形OKP A 的形状，并说明理由． （2）如图2，⊙P 运动到与x 轴相交，设交点为B ，C ．当四边形ABCP 是菱形时： ①求出点A ，B ，C 的坐标．②在过A ，B ，C 三点的抛物线上是否存在点M ，使△MBP 的面积是菱形ABCP 面积的21．若存在，试求出所有满足条件的M 点的坐标，若不存在，试说明理由．ACDBEF β αG ABCO D数学试题参考解答及评分意见评卷说明：1．选择题和填空题中的每小题，只有满分和零分两个评分档，不给中间分．2．解答题每小题的解答中所对应的分数，是指考生正确解答到该步骤所应得的累计分数．本答案对每小题只给出一种或两种解法，对考生的其他解法，请参照评分意见进行评分．3．如果考生在解答的中间过程出现计算错误，但并没有改变试题的实质和难度，其后续部分酌情给分，但最多不超过正确解答分数的一半；若出现严重的逻辑错误，后续部分就不再给分． 一、题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BCACDDBC9．（－1，－2）； 10．3；11．2π；12．22；13．① ④；14．3； 15．12 ; 16．35或34． 三、解答题：(本大题共7小题, 共64分) 17．(本小题满分7分)解：3(2)412 1.3-x x x x -≤-⎧⎪+⎨>-⎪⎩，解不等式①，得 x ≥1 ----------2分解不等式②，得 x ＜4． 所以，不等式组的解集为：1≤x ＜4 ---------------------------4分在数轴上表示为：--------------------------6分 18．(本题满分8分) 解：（1）20， 8， ， -----------------------------4分（2） ----------------------------6分 （3）由上表可知达到优秀和良好的共有19+20=39人，39500=39050⨯人． -----------------------------8分 19．(本题满分8分)AP23y x=xyK O图1x 0 41 AED ① ②（1）证明：在△ACD 与△ABE 中，∵∠A =∠A ，∠ADC =∠AEB =90°，AB =AC ， ∴ △ACD ≌△ABE ．…………………… 3分 ∴ AD=AE ． ……………………4分 (2) 互相垂直 ……………………5分 在Rt △ADO 与△AEO 中， ∵OA=OA ，AD=AE ，∴ △ADO ≌△AEO ． ……………………………………6分 ∴ ∠DAO =∠EAO ．即OA 是∠BAC 的平分线． ………………………………………7分 又∵AB =AC ，∴ OA ⊥BC ． ………………………………………8分 20．(本题满分10分)解：设建筑物CD 与EF 的延长线交于点G ，DG =x 米． …………1分 在Rt △DGF 中,tan DG GF α=，即tan xGFα=． …………2分 在Rt △DGE 中，tan DG GE β=，即tan xGEβ=． …………3分 ∴tan xGF α=，tan x GE β=．∴tan x EF β=tan xα-． ………5分 ∴4 1.2 1.6x x=-． ………6分 解方程得：x =． ………8分∴ 19.2 1.220.4CD DG GC =+=+=．答：建筑物高为米． ………10分 21．（本题满分10分） 解：（1）设甲工程队单独完成该工程需x 天，则乙工程队单独完成该工程需（x +25）天．………………………………1分 根据题意得：3030125x x +=+． ………………………………3分 方程两边同乘以x （x +25），得 30（x +25）+30x = x （x +25），即 x 2-35x -750=0． 解之，得x 1=50，x 2=－15． ………………………………5分 经检验，x 1=50，x 2=－15都是原方程的解．但x 2=－15不符合题意，应舍去． ………………………………6分 ∴ 当x =50时，x +25=75．答：甲工程队单独完成该工程需50天，则乙工程队单独完成该工程需75天．…7分 （2）此问题只要设计出符合条件的一种方案即可． 方案一：由甲工程队单独完成．………………………………8分 所需费用为：2500×50=125000（元）．………………………………10分 方案二：甲乙两队合作完成．ACDBEF β α G所需费用为：（2500+2000）×30=135000（元）．……………………10分 其它方案略． 22．（本题满分10分）●观察计算:2a b +>ab ， 2a b +=ab . …………………2分●探究证明：（1）2AB AD BD OC =+=Q ， ∴2a bOC +=…………………3分 Q AB 为⊙O 直径, ∴90ACB ∠=︒.90A ACD ∠+∠=︒Q ，90ACD BCD ∠+∠=︒，∴∠A =∠BCD .∴△ACD ∽△CBD . …………………4分∴AD CDCD BD =. 即2CD AD BD ab =⋅=,∴CD ab =. …………………5分（2）当a b =时,OC CD =, 2a b+=ab ；a b ≠时,OC CD >, 2a b+>ab ．…………………6分 ●结论归纳: 2a b+≥ab ． ………………7分●实践应用设长方形一边长为x 米,则另一边长为1x米,设镜框周长为l 米，则 12()l x x=+ ≥144x x ⋅= ． ……………9分当1x x=,即1x =（米）时,镜框周长最小．此时四边形为正方形时,周长最小为4 米.……………10分 23．（本题满分12分） 解：（1）∵⊙P 分别与两坐标轴相切， ∴ P A ⊥OA ，PK ⊥OK ． ∴∠P AO =∠OKP =90°． 又∵∠AOK =90°， ∴ ∠P AO =∠OKP =∠AOK =90°． ∴四边形OKP A 是矩形． 又∵OA =OK ，∴四边形OKP A 是正方形．……………………2分 （2）①连接PB ，设点P 的横坐标为x ，则其纵坐标为x32． 过点P 作PG ⊥BC 于G ． ∵四边形ABCP 为菱形， ∴BC =P A =PB =PC ．∴△PBC 为等边三角形．在Rt △PBG 中，∠PBG =60°，PB =P A =x ，图1A P23y x=xyK O ABCO DO AP 23y x=xyBGMPG =x32． sin ∠PBG =PBPG，即2x x =． 解之得：x =±2（负值舍去）．∴ PG，P A =B C=2．……………………4分易知四边形OGP A 是矩形，P A =OG =2，BG =CG =1， ∴OB =OG －BG =1，OC =OG +GC =3．∴ A （0，B （1，0） C （3，0）．……………………6分 设二次函数解析式为：y =ax 2+bx +c ．据题意得：0930a b c a b c c ⎧++=⎪++=⎨⎪=⎩ 解之得：a， b=， c∴二次函数关系式为：233y x x =-+9分 ②解法一：设直线BP 的解析式为：y =ux +v ，据题意得：2u v u v +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解之得：uv=-∴直线BP的解析式为：y =-．过点A 作直线AM ∥PB ，则可得直线AM的解析式为：y =+解方程组：233y y x x ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩得：110x y =⎧⎪⎨=⎪⎩；227x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ 过点C 作直线CM ∥PB ，则可设直线CM的解析式为：y t =+．∴0=t ．∴t =- ∴直线CM的解析式为：y =-．解方程组：233y y x x ⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩得：1130x y =⎧⎨=⎩ ；224x y =⎧⎪⎨=⎪⎩． 综上可知，满足条件的M 的坐标有四个，分别为：（0，（3，0），（4，（7，．…………………12分 解法二：∵12PAB PBC PABC S S S ∆∆==Y ， ∴A （0，C （3，0）显然满足条件．延长AP 交抛物线于点M ，由抛物线与圆的轴对称性可知，PM =P A ．又∵AM ∥BC ， ∴12PBM PBA PABC S S S ∆∆==Y ． ∴点M又点M 的横坐标为AM =P A +PM =2+2=4． ∴点M （4）符合要求．点（7，综上可知，满足条件的M 的坐标有四个，分别为：（0，（3，0），（4，（7，．…………………12分解法三：延长AP 交抛物线于点M ，由抛物线与圆的轴对称性可知，PM =P A ． 又∵AM ∥BC ，∴12PBM PBA PABC S S S ∆∆==Y ．∴点M ．2x x -+=．解得：10x =（舍），24x =．∴点M 的坐标为（4）．点（7，综上可知，满足条件的M 的坐标有四个：（0），（3，0），（4，（7，．。