高考数学复习资料-9.1 直线的倾斜角、斜率与直线的方程
2021届高考数学总复习：直线的倾斜角与斜率、直线方程
2021届高考数学总复习：直线的倾斜角与斜率、直线方程一、知识点1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角。
当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°。
(2)范围：直线l倾斜角的范围是[0°，180°)。
2．直线的斜率(1)定义：若直线的倾斜角θ不是90°，则斜率k＝tanθ；若直线的倾斜角θ＝90°，则斜率不存在。
(2)计算公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)确定的直线不垂直于x轴，则k＝y2－y1x2－x1。
(x1≠x2)3．直线方程的五种形式1．直线倾斜角和斜率的关系(1)直线都有倾斜角，但不一定都有斜率。
(2)不是倾斜角越大，斜率k 就越大，因为k ＝tan α，当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2时，α越大，斜率k 就越大，同样α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时也是如此，但当α∈[0，π)且α≠π2时就不是了。
2．截距和距离的不同之处“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数。
应注意过原点的特殊情况是否满足题意。
一、走进教材1．(必修2P 86练习T 3)若过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( )A ．1B ．4C ．1或3D ．1或4解析 由题意得m －4－2－m＝1，解得m ＝1。
答案 A2．(必修2P 100A 组T 9改编)过点P (2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________。
解析 当截距为0时，直线方程为3x －2y ＝0；当截距不为0时，设直线方程为x a ＋y a ＝1，则2a ＋3a ＝1，解得a ＝5，所以直线方程为x ＋y －5＝0。
答案 3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0 二、走近高考3．(2017·浙江高考)如图，已知抛物线x 2＝y ，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，94，抛物线上的点P (x ，y )⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<x <32，过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q ，则直线AP 斜率的取值范围是________。
中学数学中考高考数学复习总结第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
(2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线 l 的方程.
❸
[思维路径] ①由于 A，B 两点分别在 x 轴，y 轴的正半轴上，因此可考虑 设截距式方程xa＋by＝1，且 a＞0，b＞0，可得4a＋1b＝1； ②S△AOB 最小，即12ab 最小，考虑到4a＋1b＝1，可采用“1”的代 换及基本不等式求解； ③|OA|＋|OB|最小，即 a＋b 最小，思路同第(1)问．
2．避免 2 类失误 (1)考虑直线的斜率不存在的情况．(如第 2 题) (2)由直线的斜率 k 求倾斜角 α 的范围时，要对应正切函数 的图象来确定，要注意图象的不连续性．(如第 1 题) 3．记牢倾斜角 α 与斜率 k 的关系 当 α∈0，π2且由 0 增大到π2α≠π2时，k 的值由 0 增大到 ＋∞. 当 α∈π2，π时，k 也是关于 α 的单调函数，当 α 在此区 间内由π2α≠π2增大到 π(α≠π)时，k 的值由－∞趋近于 0(k≠0)．
解：设直线 l：xa＋by＝1(a＞0，b＞0)，
因为直线 l 经过点 P(4,1)，所以4a＋1b＝1.
(1)4a＋1b＝1≥2
4a·1b＝
4 ，所以 ab
ab≥16，
当且仅当 a＝8，b＝2 时等号成立，
所以当 a＝8，b＝2 时，△AOB 的面积最小，
此时直线 l 的方程为x8＋2y＝1，即 x＋4y－8＝0.
[冲关演练]
1．直线 l 过点(2,2)，且点(5,1)到直线 l 的距离为 10，则直线 l
的方程是
()
A．3x＋y＋4＝0
B．3x－y＋4＝0
C．3x－y－4＝0
D．x－3y－4＝0
解析：由题设知，直线 l 的斜率存在，故可设直线 l 的方程为
直线的倾斜角、斜率与直线的方程
直线的倾斜角、斜率与直线的方程一、基础知识1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角.(2)规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(3)范围：直线l 倾斜角的取值范围是[0，π)．2．斜率公式(1)定义式：直线l 的倾斜角为α)2(πα≠，则斜率k ＝tan α.(2)坐标式：P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上，且x 1≠x 2，则l 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1.3．直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式y －y 0＝k (x －x 0)不含垂直于x 轴的直线斜截式y ＝kx ＋b 不含垂直于x 轴的直线两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1不含直线x ＝x 1(x 1≠x 2)和直线y ＝y 1(y 1≠y 2)截距式x a ＋y b＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax ＋By ＋C ＝0，A 2＋B 2≠0平面内所有直线都适用二、常用结论特殊直线的方程(1)直线过点P 1(x 1，y 1)，垂直于x 轴的方程为x ＝x 1；(2)直线过点P 1(x 1，y 1)，垂直于y 轴的方程为y ＝y 1；(3)y 轴的方程为x ＝0；(4)x 轴的方程为y ＝0.考点一直线的倾斜角与斜率[典例](1)直线2x cos α－y －3＝0])3,6[(ππα∈的倾斜角的取值范围是()A.3,6[ππ B.3,4[ππ C.]2,4[ππ D.]32,4[ππ(2)直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________．[解析](1)直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α，因为α∈]3,6[ππ，所以12≤cos α≤32，因此k ＝2·cos α∈[1，3]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，3]．又θ∈[0，π)，所以θ∈]3,4[ππ，即倾斜角的取值范围是3,4[ππ.(2)设PA 与PB 的倾斜角分别为α，β，直线PA 的斜率是k AP ＝1，直线PB 的斜率是k BP ＝－3，当直线l 由PA 变化到与y 轴平行的位置PC 时，它的倾斜角由α增至90°，斜率的取值范围为[1，＋∞)．当直线l 由PC 变化到PB 的位置时，它的倾斜角由90°增至β，斜率的变化范围是(－∞，－3]．故直线l 斜率的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞)．[答案](1)B(2)(－∞，－3]∪[1，＋∞)[变透练清]1.(变条件)若将本例(1)中的条件变为：平面上有相异两点A (cos θ，sin 2θ)，B (0,1)，则直线AB 的倾斜角α的取值范围是________．解析：由题意知cos θ≠0，则斜率k ＝tan α＝sin 2θ－1cos θ－0＝－cos θ∈[－1,0)∪(0,1]，所以直线AB 的倾斜角的取值范围是]4,0(π∪),43[ππ.答案：4,0(π∪),43[ππ.2.(变条件)若将本例(2)中P (1,0)改为P (－1,0)，其他条件不变，则直线l 斜率的取值范围为________．解析：设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＝0.∵A ，B 两点在直线l 的两侧或其中一点在直线l 上，∴(2k －1＋k )(－3＋k )≤0，即(3k －1)(k －3)≤0，解得13≤k ≤ 3.即直线l 的斜率的取值范围是]3,31[.答案：]3,31[3．若点A (4,3)，B (5，a )，C (6,5)三点共线，则a 的值为________．解析：因为k AC ＝5－36－4＝1，k AB ＝a －35－4＝a －3.由于A ，B ，C 三点共线，所以a －3＝1，即a ＝4.答案：4考点二直线的方程[典例](1)若直线经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍，则该直线的方程为_____．(2)若直线经过点A (－3，3)，且倾斜角为直线3x ＋y ＋1＝0的倾斜角的一半，则该直线的方程为_______．(3)在△ABC 中，已知A (5，－2)，B (7,3)，且AC 的中点M 在y 轴上，BC 的中点N 在x 轴上，则直线MN 的方程为_______．[解析](1)①当横截距、纵截距均为零时，设所求的直线方程为y ＝kx ，将(－5,2)代入y ＝kx 中，得k ＝－25，此时，直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0.②当横截距、纵截距都不为零时，设所求直线方程为x 2a ＋ya＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a ＝－12，此时，直线方程为x ＋2y ＋1＝0.综上所述，所求直线方程为x ＋2y ＋1＝0或2x ＋5y ＝0.(2)由3x ＋y ＋1＝0得此直线的斜率为－3，所以倾斜角为120°，从而所求直线的倾斜角为60°，故所求直线的斜率为 3.又直线过点A (－3，3)，所以所求直线方程为y －3＝3(x ＋3)，即3x －y ＋6＝0.(3)设C (x 0，y 0)，则M )22,25(00-+y x ，N )23,27(00++y x .因为点M 在y 轴上，所以5＋x 02＝0，所以x 0＝－5.因为点N 在x 轴上，所以y 0＋32＝0，所以y 0＝－3，即C (－5，－3)，所以M 25,0(-，N (1,0)，所以直线MN 的方程为x1＋y －52＝1，即5x －2y －5＝0.[答案](1)x ＋2y ＋1＝0或2x ＋5y ＝0(2)3x －y ＋6＝0(3)5x －2y －5＝0[题组训练]1．过点(1,2)，倾斜角的正弦值是22的直线方程是________________．解析：由题知，倾斜角为π4或3π4，所以斜率为1或－1，直线方程为y －2＝x －1或y －2＝－(x －1)，即x －y＋1＝0或x ＋y －3＝0.答案：x －y ＋1＝0或x ＋y －3＝02．过点P (6，－2)，且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1的直线方程为________________．解析：设直线方程的截距式为x a ＋1＋y a ＝1，则6a ＋1＋－2a ＝1，解得a ＝2或a ＝1，则直线的方程是x 2＋1＋y2＝1或x 1＋1＋y1＝1，即2x ＋3y －6＝0或x ＋2y －2＝0.答案：2x ＋3y －6＝0或x ＋2y －2＝0考点三直线方程的综合应用[典例]已知直线l 过点M (2,1)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求当|MA ―→|·|MB ―→|取得最小值时直线l 的方程．[解]设A (a,0)，B (0，b )，则a ＞0，b ＞0，直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，所以2a ＋1b＝1.|MA ―→|·|MB ―→|＝－MA ―→·MB ―→＝－(a －2，－1)·(－2，b －1)＝2(a －2)＋b －1＝2a ＋b －5＝(2a ＋b ))12(ba +－5＝2b a ＋2ab ≥4，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0.[解题技法]与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题．先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．(2)求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程．(3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的性质或基本不等式求解．[题组训练]1．若直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)，则该直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为()A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选C∵直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)，∴a ＋b ＝ab ，即1a ＋1b ＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b ))12(ba +＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ·ab＝4，当且仅当a ＝b ＝2时上式等号成立．∴直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为4.2．已知直线l ：x －my ＋3m ＝0上存在点M 满足与A (－1,0)，B (1,0)两点连线的斜率k MA 与k MB 之积为3，则实数m 的取值范围是()A ．[－6，6] B.)66,(--∞∪),66[+∞C.]66,(--∞∪),66[+∞ D.]22,22[-解析：选C设M (x ，y )，由k MA ·k MB ＝3，得y x ＋1·y x －1＝3，即y 2＝3x 2－3.－my ＋3m ＝0，2＝3x 2－3，得)31(2-mx 2＋23m x ＋6＝0(m ≠0)，则Δ＝2)32(m －24)31(2-m≥0，即m 2≥16，解得m ≤－66或m ≥66.∴实数m 的取值范围是66,(--∞∪),66[+∞.[课时跟踪检测]1．(2019·合肥模拟)直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是()A.33B.3C ．－3D ．－33解析：选A设直线l 的斜率为k ，则k ＝－sin 30°cos 150°＝33.2．倾斜角为120°，在x 轴上的截距为－1的直线方程是()A.3x －y ＋1＝0B.3x －y －3＝0C.3x ＋y －3＝0D.3x ＋y ＋3＝0解析：选D由于倾斜角为120°，故斜率k ＝－ 3.又直线过点(－1,0)，所以直线方程为y ＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋3＝0.3．已知△ABC 的三个顶点坐标为A (1,2)，B (3,6)，C (5,2)，M 为AB 的中点，N 为AC 的中点，则中位线MN 所在直线的方程为()A ．2x ＋y －12＝0B ．2x －y －12＝0C ．2x ＋y －8＝0D ．2x －y ＋8＝0解析：选C由题知M (2,4)，N (3,2)，则中位线MN 所在直线的方程为y －42－4＝x －23－2，整理得2x ＋y －8＝0.4．方程y ＝ax －1a表示的直线可能是()解析：选C当a ＞0时，直线的斜率k ＝a ＞0，在y 轴上的截距b ＝－1a＜0，各选项都不符合此条件；当a ＜0时，直线的斜率k ＝a ＜0，在y 轴上的截距b ＝－1a ＞0，只有选项C 符合此条件．故选C.5．在等腰三角形MON 中，MO ＝MN ，点O (0,0)，M (－1,3)，点N 在x 轴的负半轴上，则直线MN 的方程为()A ．3x －y －6＝0B ．3x ＋y ＋6＝0C ．3x －y ＋6＝0D ．3x ＋y －6＝0解析：选C 因为MO ＝MN ，所以直线MN 的斜率与直线MO 的斜率互为相反数，所以k MN ＝－k MO ＝3，所以直线MN 的方程为y －3＝3(x ＋1)，即3x －y ＋6＝0，选C.6．若直线mx ＋ny ＋3＝0在y 轴上的截距为－3，且它的倾斜角是直线3x －y ＝33的倾斜角的2倍，则()A ．m ＝－3，n ＝1B ．m ＝－3，n ＝－3C ．m ＝3，n ＝－3D ．m ＝3，n ＝1解析：选D对于直线mx ＋ny ＋3＝0，令x ＝0得y ＝－3n ，即－3n＝－3，n ＝1.因为3x －y ＝33的斜率为60°，直线mx ＋ny ＋3＝0的倾斜角是直线3x －y ＝33的2倍，所以直线mx ＋ny ＋3＝0的倾斜角为120°，即－mn＝－3，m ＝ 3.7．当0<k <12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B－y ＝k －1，－x ＝2k＝k k －1，＝2k －1k －1.又∵0<k <12，∴x ＝k k －1<0，y ＝2k －1k －1>0，故直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在第二象限．8．若直线l ：kx －y ＋2＋4k ＝0(k ∈R)交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，则当△AOB 的面积取最小值时直线l 的方程为()A ．x －2y ＋4＝0B ．x －2y ＋8＝0C ．2x －y ＋4＝0D ．2x －y ＋8＝0解析：选B由l 的方程，得A )0,42(k k +-，B (0,2＋4k )－2＋4kk ＜0，＋4k ＞0，解得k ＞0.因为S ＝12|OA |·|OB |＝12|2＋4kk |·|2＋4k |＝12·(2＋4k )2k ＝12)16416(++kk ≥12(2×8＋16)＝16，当且仅当16k ＝4k ，即k ＝12时等号成立．此时l 的方程为x －2y ＋8＝0.9．以A (1,1)，B (3,2)，C (5,4)为顶点的△ABC ，其边AB 上的高所在的直线方程是________________．解析：由A ，B 两点得k AB ＝12，则边AB 上的高所在直线的斜率为－2，故所求直线方程是y －4＝－2(x －5)，即2x ＋y －14＝0.答案：2x ＋y －14＝010．已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为____________．解析：由题意可设直线l 0，l 的倾斜角分别为α，2α，因为直线l 0：x －2y －2＝0的斜率为12，则tan α＝12，所以直线l 的斜率k ＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121＝43，所以由点斜式可得直线l 的方程为y －0＝43(x －1)，即4x －3y －4＝0.答案：4x －3y －4＝011．直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是______________．解析：由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y －2＝k (x －1)，直线l 在x 轴上的截距为1－2k ，令－3<1－2k <3，解不等式得k >12或k <－1.答案：(－∞，－1)∪),21(+∞12．设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________．解析：b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1,0)和点B (1,0)时，b 分别取得最小值和最大值．∴b 的取值范围是[－2,2]．答案：[－2,2]13．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)；(2)斜率为16.解：(1)设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k －3,3k ＋4，由已知，得(3k ＋4))34(+k＝±6，解得k 1＝－23或k 2＝－83.故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0.(2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程为y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.。
高考数学复习9-1直线的倾斜角、斜率及方程
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[解] 依题意»，第设五所级求直线方程为：ax＋by＝1(a>0，b>0)， 则|OA|＝a；|OB|＝b.于是：S△AOB＝12|OA|·|OB|＝12ab，又点 P 在直线 l 上，
∴3a＋2b＝1⇒1＝3a＋2b≥2 a6b⇒ab≥24， ∴S△AOB≥12×24＝12，当且仅当a3＝b2＝21即：a＝6， b＝4 时(S△AOB)min＝12，此时直线方程为：6x＋4y＝1. 即直线 l 的方程为：2x＋3y－12＝0.
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[解] 依题意，l 的斜率存在，且斜率为负． 设 l：y－4＝k(x－1) (k＜0)．令 y＝0，可得 A(1－4k， 0)；令 x＝0，可得 B(0,4－k)．
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[解] (1)当在两轴上的截距不为 0 时，设方程为ax＋by＝1 且|a|＝|b|，将(3,2)代入，得 a＝5 或 a＝1.直线方程为 x＋y－5 ＝0 或 x－y－1＝0.
过 A(3，－1)作直线 l 交 x 轴于 B 点，交直线 l：y＝2x 于 C 点，且B→C＝2 A→B，求直线 l 的方程．
[解] 解法一：(1)k 不存在时，B(3,0)，C(3,6)，|BC|＝6， |AB|＝1，不合题意．
设 l：y＋1＝k(x－3)，显然 k≠0 且 k≠2 ∴B(3＋1k，0)
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第二级
9.1 直线的倾斜角、斜率和方程
【点评与感悟】斜率与倾斜角的范围之间不能 想当然,要 根据具体情况而定
高考总复习· 数学 各种形式的直线方程的恰当选择
已知△ABC的三个顶点是A(3,-4)、B(0,3)、C(-6,0),
求它的三条边所在的直线方程.
高考总复习· 数学 思路分析：一条直线的方程可写成点斜式、斜截式、两点式、 截距式和一般式等多种形式.使用时,应根据题目所给的条件恰 当选择某种形式,使得解法简便.由顶点B与C的坐标可知点B 在y轴上,点C在x轴上,于是BC边所在的直线方程用截距式表 示,AB所在的直线方程用斜截式的形式表示,AC所在的直线方 程利用两点式或点斜式表示均可,最后为统一形式,均化为直线 方程的一般2 k x1 x2
；
（3）直线的方向向量：
a (1, k )
，
高考总复习· 数学 （4）求直线斜率的方法： ①定义法：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则斜率 k=tanα.
②公式法：已知直线过两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）， y 2 y1 且x1≠x2，则斜率k=. x2 x1 ③方向向量法：若a=（m，n）为直线的方向向量，则直线 n 的斜率k=.
高考总复习· 数学 【思考】本例中若求 PA PB 值时的直线方程，又该怎么解？ 及 OA OB 分别取得最小
解：显然直线斜率存在。
设直线方程为y-2=k(x-3) (k<0)
得点A(
2 3 ,0 k
) , B(0,2-3k)，
高考总复习· 数学
︱PA︱· ︱PB︱=
2 1 72 36 k 2 12 k
解得
2a （a>3) b a 3
高考总复习· 数学
则
S AOB
高考数学科学复习创新方案：直线的倾斜角与斜率、直线的方程
直线的倾斜角与斜率、直线的方程[课程标准]1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式.2.掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式)．1．直线的方向向量设A ，B 是直线上的两点，则AB →就是这条直线的方向向量．2．直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角①定义：当直线l 与x 轴相交时，以x 轴为基准，x 轴01正向与直线l 02向上的方向之间所成的角α叫做这条直线的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为030°．②倾斜角的范围为040°≤α<180°．(2)直线的斜率条件公式直线的倾斜角为α，且α≠90°k ＝05tan α直线过点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1≠x 2k ＝06y 2－y 1x 2－x 13.直线的方向向量同斜率的关系若直线l 的斜率为k ，它的一个方向向量的坐标为(x ，y )，则k ＝07yx．4．直线方程的五种形式名称条件方程适用范围点斜式斜率k 与点(x 0，y 0)08y －y 0＝k (x －x 0)不含直线x ＝x 0斜截式斜率k 与直线在y 轴上的截距b09y ＝kx ＋b不含垂直于x 轴的直线两点式两点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)10y －y1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1不含直线x ＝x 1(x 1＝x 2)和直线y ＝y 1(y 1＝y 2)截距式直线在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b11x a ＋y b ＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式—12Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)平面直角坐标系内的直线都适用1．直线的斜率k 与倾斜角α之间的关系．α0°0°<α<90°90°90°<α<180°k 0k >0不存在k <0牢记口诀：“斜率变化分两段，90°是分界线；遇到斜率要谨记，存在与否要讨论．”2．“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意．3．直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)的一个法向量v ＝(A ，B )，一个方向向量a ＝(－B ，A )．1．(人教A 选择性必修第一册2.1.1练习T 5改编)过A (2，4)，B (1，m )两点的直线的一个方向向量为(－1，1)，则m ＝()A ．－1B ．1C．5D．3答案C解析解法一：由题意可知m－41－2＝－1，∴m＝5.故选C.解法二：∵AB→＝(－1，m－4)，∴m－4＝1，即m＝5.故选C. 2．直线x＋3y＋1＝0的倾斜角是()A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案D解析由直线的方程得直线的斜率k＝－33，设该直线的倾斜角为α，则tanα＝－33，又α∈[0，π)，所以α＝5π63．(人教A选择性必修第一册练习T3改编)倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是()A．x－y＋1＝0B．x－y－1＝0C．x＋y－1＝0D．x＋y＋1＝0答案D解析直线的斜率为k＝tan135°＝－1，所以直线方程为y＝－x－1，即x＋y ＋1＝0.4．(人教A选择性必修第一册习题2.2T10改编)如果AC＜0且BC＜0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案C解析∵AC＜0，BC＜0，∴A，B同号．又直线Ax＋By＋C＝0可化为y＝－A B x－CB，－AB＜0，－CB＞0，∴直线Ax＋By＋C＝0不经过第三象限．5．(人教A 选择性必修第一册习题2.2T 7改编)过点(5，2)且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍的直线方程是________．答案2x ＋y －12＝0或2x －5y ＝0解析设所求直线在x 轴上的截距为a ，则在y 轴上的截距为2a .①当a ＝0时，所求直线经过点(5，2)和(0，0)，所以直线方程为y ＝25x ，即2x －5y ＝0；②当a ≠0时，设所求直线方程为x a ＋y 2a ＝1，又直线过点(5，2)，所以5a ＋22a ＝1，解得a ＝6，所以所求直线方程为x 6＋y12＝1，即2x ＋y －12＝0.综上，所求直线方程为2x －5y ＝0或2x ＋y －12＝0.例1(1)直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是()A ．[0，π) B.0，π4∪3π4，C.0，π4D.0，π4∪答案B解析设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α.因为sin α∈[－1，1]，所以－1≤tan θ≤1，又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤π4或3π4≤θ＜π.故选B.(2)(2023·湖北名校联考模拟)已知点A (2，3)，B (－3，－2)与直线l ：kx －y －k ＋1＝0，且直线l 与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围为________．答案∞，34∪[2，＋∞)解析已知点A (2，3)，B (－3，－2)与直线l ：kx －y －k ＋1＝0，且直线l 与线段AB 相交，直线l ：kx －y －k ＋1＝0，即直线l ：k (x －1)－y ＋1＝0，它经过定点M (1，1)，MA 的斜率为3－12－1＝2，MB 的斜率为－2－1－3－1＝34，则直线l 的斜率k∞，34∪[2，＋∞)．直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分1.(2023·重庆南开中学模拟)已知直线l 的一个方向向量为p ＝sin π3，l 的倾斜角为()A.π6B.π3C.2π3D.4π3答案A解析由题意得，直线l 的斜率k ＝cosπ3sin π3＝33＝tan π6，即直线l 的倾斜角为π6.故选A.2．若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为________，________．答案13－3解析如图，在正方形OABC 中，对角线OB 所在直线的斜率为2，建立如图所示的平面直角坐标系．设对角线OB 所在直线的倾斜角为θ，则tan θ＝2，由正方形的性质可知，直线OA 的倾斜角为θ－45°，直线OC 的倾斜角为θ＋45°，故k OA ＝tan(θ－45°)＝tan θ－tan45°1＋tan θtan45°＝2－11＋2＝13，k OC ＝tan(θ＋45°)＝tan θ＋tan45°1－tan θtan45°＝2＋11－2＝－3.例2求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P(1，2)，倾斜角α的正弦值为45；(2)经过点P(2，3)，并且在两坐标轴上的截距相等；(3)经过两条直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点，且直线的一个方向向量为v＝(－3，2)．解(1)由题可知sinα＝45，则tanα＝±43，∵直线经过点P(1，2)，∴直线的方程为y－2＝±43(x－1)，即y＝±43(x－1)＋2，整理得4x－3y＋2＝0或4x＋3y－10＝0.(2)解法一：①当截距为0时，直线过点(0，0)，(2，3)，则直线的斜率为k＝3－02－0＝3 2，因此直线的方程为y＝32x，即3x－2y＝0.②当截距不为0时，可设直线的方程为xa＋ya＝1.∵直线过点P(2，3)，∴2a＋3a＝1，∴a＝5.∴直线的方程为x＋y－5＝0.综上可知，直线的方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0.解法二：由题意可知所求直线的斜率存在，则可设直线方程为y－3＝k(x－2)，且k≠0.令x＝0，得y＝－2k＋3.令y＝0，得x＝－3k＋2.于是－2k＋3＝－3k ＋2，解得k＝32或k＝－1.则直线的方程为y－3＝32(x－2)或y－3＝－(x－2)，即3x－2y＝0或x＋y－5＝0.(3)＋y ＝2，x －y ＝1，＝1，＝1，∴直线过点(1，1)，∵直线的一个方向向量为v ＝(－3，2)，∴直线的斜率k ＝－23.则直线的方程为y －1＝－23(x －1)，即2x ＋3y －5＝0.求直线方程的两种方法注意：使用点斜式、截距式求直线方程时，应注意分类讨论．1.(2024·福建龙岩质检)过点A (－1，1)的直线l 的倾斜角是直线l 1：3x －y ＋1＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程是()A.3x －y ＋3＋1＝0B.3x ＋y ＋3－1＝0C.3x －3y ＋3＋3＝0D.3x ＋3y ＋3－3＝0答案B解析由k 1＝tan α＝3，得α＝60°，所以k ＝tan120°＝－3，所以直线l 的方程是y －1＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋3－1＝0.2．经过A (0，2)，B (－1，0)两点的直线方程为________，若直线的一个方向向量为(1，k )，则k ＝________．答案2x －y ＋2＝02解析经过A (0，2)，B (－1，0)两点的直线方程为x －1＋y2＝1，即2x －y ＋2＝0，所以直线的一个方向向量为(1，2)，故k ＝2.3．过点P (6，－2)，且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1的直线方程为________．答案2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0解析设直线方程的截距式为xa＋1＋ya＝1，则6a＋1＋－2a＝1，解得a＝2或a＝1，则直线的方程是x3＋y2＝1或x2＋y1＝1，即2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0.多角度探究突破考向三直线方程的应用角度直线方程与不等式的结合例3过点P(4，1)作直线l，分别交x轴、y轴的正半轴于点A，B.(1)当△AOB的面积最小时，求直线l的方程；(2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程．解设直线l：xa ＋yb＝1(a>0，b>0)，因为直线l经过点P(4，1)，所以4a＋1b＝1.(1)因为4a ＋1b＝1≥24a·1b＝4ab，所以ab≥16，S△AOB＝12ab≥8，当且仅当a＝8，b＝2时等号成立．所以当a＝8，b＝2时，△AOB的面积最小，此时直线l的方程为x8＋y2＝1，即x＋4y－8＝0.(2)因为4a ＋1b＝1，a>0，b>0，所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)4a＋1b＝5＋ab＋4ba≥9，当且仅当a＝6，b＝3时等号成立．所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为x6＋y3＝1，即x＋2y－6＝0.角度直线方程与函数的结合例4为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD 内建一个矩形草坪(如图)，另外△EFA 内部有一文物保护区不能占用，经测量|AB |＝100m ，|BC |＝80m ，|AE |＝30m ，|AF |＝20m ，应如何设计才能使草坪面积最大？解如图所示，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，则E (30，0)，F (0，20)，∴直线EF 的方程为x 30＋y20＝1(0≤x ≤30)．易知当矩形草坪的一个顶点在线段EF 上时，草坪面积可取最大值，在线段EF 上取点P (m ，n )，作PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥CD 于点R ，设矩形PQCR 的面积为S ，则S ＝|PQ |·|PR |＝(100－m )(80－n )．又m 30＋n 20＝1(0≤m ≤30)，∴n ＝20－23m .∴S ＝(100－m －20＋23m ＝－23(m －5)2＋180503(0≤m ≤30)．∴当m ＝5时，S 有最大值，这时|EP |∶|PF |＝5∶1.∴当矩形草坪的两边在BC ，CD 上，一个顶点在线段EF 上，且这个顶点分有向线段EF 成5∶1时，草坪面积最大．直线方程综合问题的两大类型及解法(1)与函数相结合的问题：解决这类问题，一般是利用直线方程中x ，y 的关系，将问题转化为关于x (或y )的函数，借助函数的性质解决．(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识(如方程解的个数、根的存在问题、不等式的性质、基本不等式等)来解决．1.已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0＜a＜2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a ＝________．答案12解析由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2，2)，直线l 1在y 轴上的截距为2－a ，直线l 2在x 轴上的截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(2－a )＋12×2×(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＋154，所以当a ＝12时，四边形的面积最小．2．如图，在两条互相垂直的道路l 1，l 2的一角有一个电线杆，电线杆底部到道路l 1的垂直距离为4米，到道路l 2的垂直距离为3米，现在要过电线杆的底部靠近道路的一侧修建一条人行直道，使得人行直道与两条垂直的道路围成的直角三角形的面积最小，则人行直道的长度为多少米？解如图，建立平面直角坐标系，则P (3，4)．设人行道所在直线方程为y －4＝k (x －3)(k <0)，所以－4k，B (0，4－3k )，所以△ABO 的面积S ＝12(4－3k －9k因为k <0，所以－9k －16k ≥24，当且仅当－9k ＝－16k ，即k ＝－43时取等号．此时，A (6，0)，B (0，8)，所以人行直道的长度为62＋82＝10米．课时作业一、单项选择题1．(2023·上海松江区二模)经过点(1，1)，且方向向量为(1，2)的直线方程是()A ．2x －y －1＝0B ．2x ＋y －3＝0C ．x －2y ＋1＝0D ．x ＋2y －3＝0答案A解析由于直线的方向向量为(1，2)，故直线的斜率为21＝2，故直线的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.故选A.2．(2024·山东滨州模拟)已知A (m ，0)，B (0，1)，C (3，－1)，且A ，B ，C 三点共线，则m ＝()A.32B.23C ．－32D ．－23答案A解析因为A ，B ，C 三点共线，且A (m ，0)，B (0，1)，C (3，－1)，所以直线的斜率存在，且k AB ＝k BC ，即1－m ＝－23，解得m ＝32.故选A.3．(2023·杭州学军中学期中)已知直线l 1：3x ＋y ＝0与直线l 2：kx －y ＋1＝0，若直线l 1与直线l 2的夹角为60°，则实数k 的值为()A.3B ．－3C.3或0D ．－2或－3答案C解析因为直线l1：3x ＋y ＝0的斜率为k ＝－3，所以其倾斜角为120°.直线l 2：kx －y ＋1＝0恒过点(0，1)，如图，若直线l 1与直线l 2的夹角为60°，则l 2的倾斜角为60°或0°，所以k ＝3或k ＝0.故选C.4．函数f (x )＝13x 3－x 2的图象上有一动点，则在此动点处切线的倾斜角的取值范围为()A.0，3π4B.0∪3π4，C.3π4，D.π2，3π4答案B解析设切线的倾斜角为α，则α∈[0，π)，∵f ′(x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，∴切线的斜率k ＝tan α≥－1，则α的取值范围为03π4，5．已知△ABC 的顶点C 的坐标为(1，1)，AC 所在直线的方向向量为(1，2)，AC 边上的中线所在的直线方程为x ＋y －1＝0，则点A 的坐标为()答案A解析设A (x 0，y 0)，AC 所在直线的方向向量为(1，2)，则AC 所在直线的斜率k ＝1－y 01－x 0＝21，∴1×(1－y 0)－2(1－x 0)＝0，得y 0＝2x 0－1，∴A (x 0，2x 0－1)，又C (1，1)，则AC x ∵AC 边上的中线所在的直线方程为x＋y －1＝0，则AC x x ＋y －1＝0上，∴1＋x 02＋x 0－1＝0，解得x 0＝13，∴点A 故选A.6．现有下列四个命题：甲：直线l 经过点(0，－1)；乙：直线l 经过点(1，0)；丙：直线l 经过点(－1，1)；丁：直线l 的倾斜角为锐角．如果只有一个假命题，则假命题是()A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁答案C解析设A (0，－1)，B (1，0)，C (－1，1)，则k AB ＝－1－00－1＝1，k BC ＝1－0－1－1＝－12，因为k AB ≠k BC ，所以A ，B ，C 三点不共线，所以假命题必是甲、乙、丙中的一个，丁是真命题，即直线l 的斜率大于0，而k AB >0，k BC <0，k AC <0，故丙是假命题．故选C.7．(2024·四川宜宾模拟)若直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1，1)，则该直线在x 轴与y 轴上的截距之和的最小值为()A ．1B ．2C ．3D ．4答案D解析因为直线ax ＋by ＝ab 过点(1，1)，所以a ＋b ＝ab ，又因为a >0，b >0，所以1b ＋1a ＝1，所以直线x b ＋ya ＝1在x 轴与y 轴上的截距之和为b ＋a ＝(b ＋a ＝2＋a b ＋ba≥2＋2a b ·b a ＝4，当且仅当a b ＝ba，即a ＝b ＝2时取等号，所以直线在x 轴与y 轴上的截距之和的最小值为4.故选D.8.(2023·安徽江南十校模拟)1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点．有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近．为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立平面直角坐标系，OO 1，OO 2，OO 3，OO 4分别是大星中心点与四颗小星中心点的连接线，α≈16°，则第三颗小星的一条边AB 所在直线的倾斜角约为()A ．0°B ．1°C ．2°D ．3°答案C解析∵O ，O 3都为五角星的中心点，∴OO 3平分第三颗小星的一个角，由五角星的内角为36°，知∠BAO 3＝18°，过O 3作x 轴的平行线O 3E ，如图，则∠OO 3E ＝α≈16°，∴直线AB 的倾斜角约为18°－16°＝2°.故选C.二、多项选择题9．已知直线l过点P(3，2)，且与直线l1：x＋3y－9＝0及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形，则()A．直线l的方程为x－3y＋3＝0B．直线l与直线l1的倾斜角互补C．直线l在y轴上的截距为1D．这样的直线l有两条答案ABC解析因为直线l与l1及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形，所以直线l与直线l1的倾斜角互补，故B正确；由直线l1的斜率为－13，知直线l的斜率为1 3，可得直线l的方程为y－2＝13(x－3)，即直线l的方程为x－3y＋3＝0，故A正确；令x＝0，得y＝1，所以直线l在y轴上的截距为1，故C正确；过点P(3，2)且斜率为13的直线只有一条，故D错误．故选ABC.10．已知直线x sinα＋y cosα＋1＝0(α∈R)，则下列命题正确的是()A．直线的倾斜角是π－αB．无论α如何变化，直线不过原点C．直线的斜率一定存在D．当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1答案BD解析直线倾斜角的范围为[0，π)，而π－α∈R，A不正确；当x＝y＝0时，x sinα＋y cosα＋1＝1≠0，所以直线必不过原点，B正确；当α＝π2时，直线的斜率不存在，C不正确；当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积为S＝12|1－sinα|·|1－cosα|＝1|sin2α|≥1，D正确．故选BD.11．(2023·广东珠海二模)在平面直角坐标系中，已知正方形ABCD四边所在直线与x轴的交点分别为(0，0)，(1，0)，(2，0)，(4，0)，则正方形ABCD四边所在直线中过点(0，0)的直线的斜率可以是()A ．2 B.32C.34D.14答案ABD解析因为选项斜率均为正值，不妨假设AB 所在的直线过点(0，0)，设直线AB 的倾斜角为αk ，①若CD 所在的直线过点(1，0)，如图1，可得|BC |＝sin α，|CD |＝2cos α，因为|BC |＝|CD |，即sin α＝2cos α，所以k ＝tan α＝2；②若CD 所在的直线过点(2，0)，如图2，可得|BC |＝2sin α，|CD |＝3cos α，因为|BC |＝|CD |，即2sin α＝3cos α，所以k ＝tan α＝32；③若CD 所在的直线过点(4，0)，如图3，可得|BC |＝4sin α，|CD |＝cos α，因为|BC |＝|CD |，即4sin α＝cos α，所以k ＝tan α＝14.综上所述，k 的值可能为2，32，14.故选ABD.三、填空题12．若直线l 的一个方向向量为a sin π7，l 的倾斜角θ＝________．答案5π14解析∵直线l 的一个方向向量为a sin π7，∴直线l 的斜率k ＝cos π7sin π7＝sin5π14cos5π14＝tan 5π14，∴直线l 的倾斜角θ＝5π14.13．在△ABC 中，已知A (1，1)，AC 边上的高线所在的直线方程为x －2y ＝0，AB 边上的高线所在的直线方程为3x ＋2y －3＝0.则BC 边所在的直线方程为________．答案2x ＋5y ＋9＝0解析由题意，得k AC ＝－2，k AB ＝23，∴l AC ：y －1＝－2(x －1)，即2x ＋y －3＝0，l AB ：y －1＝23(x －1)，即2x －3y ＋1＝0.x ＋y －3＝0，x ＋2y －3＝0，得C (3，－3)．由x －3y ＋1＝0，－2y ＝0，得B (－2，－1)，∴l BC ：2x ＋5y ＋9＝0.14．(2023·重庆育才中学期末)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点．设△ABC 的顶点分别为A (0，a )，B (b ，0)，C (c ，0)，点P (0，p )在线段AO 上(异于端点)，设a ，b ，c ，p 均为非零实数，直线BP ，CP 分别交AC ，AB 于点E ，F ，一同学已正确算得OE ＝0，则OF 的方程为________________．答案＝0解析由题意，C (c ，0)，P (0，p )，则CP 的方程为x c ＋yp＝1，同理，AB 的方程为x b ＋ya＝1，两直线方程相减，得OF 的方程为＝0.四、解答题15．已知△ABC 的三个顶点分别为A (－3，0)，B (2，1)，C (－2，3)，求：(1)BC 边所在直线的方程；(2)BC 边的垂直平分线DE 的方程．解(1)因为直线BC 经过B (2，1)和C (－2，3)两点，所以直线BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2，即x ＋2y －4＝0.(2)由(1)知，直线BC 的斜率k 1＝－12，则直线BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2.因为BC边的垂直平分线DE经过BC的中点(0，2)，所以所求直线方程为y－2＝2(x－0)，即2x－y＋2＝0.16．过点Pl与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点．(1)求△OAB面积的最小值以及此时直线l的方程；(2)是否存在直线l，使△OAB的周长为12？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．解(1)设A(a，0)，B(0，b)(a>0，b>0)，则直线l的方程为xa ＋yb＝1.因为直线l过点，所以43a＋2b＝1，故1＝43a ＋2b≥283ab⇒ab≥323，故S△OAB＝12ab≥163，＝2b，＋2b＝1，＝83，＝4时取等号，此时直线l的方程为3x8＋y4＝1，故(S△OAB)min＝163，此时直线l的方程为3x＋2y－8＝0.(2)假设存在满足条件的直线l：xa ＋yb＝1(a>0，b>0)，＋2b＝1，b＋a2＋b2＝12，＝4，＝3＝12 5，＝92，故存在满足条件的直线l：3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0.。
数学一轮复习：直线的倾斜角与斜率及直线方程
直线的倾斜角与斜率及直线方程知识梳理1、直线的倾斜角与斜率: 对于一条与x 轴相交的直线，把x 轴所在直线绕着它与直线的交点按照逆时针方向旋转到和直线重合时，所转过的最小正角叫倾斜角；倾斜角的取值范围是[00，1800)直线的倾斜角α与斜率k 的关系:当α090≠时， k 与α的关系是αtan =k ；α090=时，直线斜率不存在；经过两点P 1(x 1,y 1)P 2(x 2,y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式是1212x x y y k --=；三点C B A ,,共线的充要条件是AC AB k k = 2.直线方程的五种形式:不能表示的直线为垂直于x 轴的直线 斜截式方程为b kx y +=；不能表示的直线为垂直于x 轴的直线 两点式方程为121121x x x x y y y y --=--；不能表示的直线为垂直于坐标轴的直线 截距式方程为1=+bya x ；不能表示的直线为垂直于坐标轴的直线和过原点的直线. 一般式方程为0=++c by ax . 3.几种特殊直线的方程:①过点),(b a P 垂直于x 轴的直线方程为x=a;过),(b a P 垂直于y 轴的直线方程为y=b ②已知直线的纵截距为b ,可设其方程为b kx y +=; ③已知直线的横截距为a ,可设其方程为a my x +=;④过原点的直线且斜率是k 的直线方程为y=kx重难点突破重点: 理解倾斜角与斜率的对应关系,熟练利用五种形式求直线方程 难点:在求直线方程时,条件的转化和设而不求的运用重难点:结合图形,把已知条件转化为确定直线位置的要素,从而顺利求出直线方程 （1）倾斜角与斜率的对应关系涉及这类问题的题型一般有：（1）已知倾斜角(或范围)求斜率(范围)（2）已知斜率(或范围)求倾斜角(或范围)，如：问题1：直线023tan =++y x π的倾斜角α是A.3π B. 6π C. 32π D. 3π-点拨:转化为: 已知),0[,3tan tan παπα∈-=,求α ,答案: C问题2: 求直线023cos =++y x θ的倾斜角的取值范围点拨: 要从αtan =k 和正切函数的单调性来理解倾斜角与斜率的对应关系， ①当)2,0[πα∈时,),0[+∞∈k ,k 随α的增大而增大;②当),2(+∞∈πα时,)0,(-∞∈k ,k 随α的增大而增大.本题可先求出斜率的取值范围,再利用倾斜角与斜率的对应关系,求出倾斜角的取值范围.3k θ=-，故：k ≤≤当0k ≤≤α满足：06πα≤≤当0k <时，直线的倾斜角α满足56παπ≤< 所以，直线的倾斜角的范围：06πα≤≤和56παπ≤< (2）利用直线方程的几何特征确定直线的位置问题3：已知函数)10(,)(≠>=a a a x f x且，当1)(0><x f x 时，，方程 aax y 1+=表示的直线是点拨:这是直线方程中的参数的几何意义问题，可先确定直线的斜率和截距的范围,再确定直线的位置,由已知可得)1,0(∈a ,从而斜率)1,0(∈k ,截距1>b ,故选C （3）选择恰当的形式求直线方程问题4:过点)2,1(--P 的直线分别交x 轴、y 轴的负半轴于B A ,两点，当||||PB PA ⋅最小时，求直线l 的方程。
直线的倾斜角、斜率及方程知识点总结
直线的倾斜角、斜率及方程知识点总结
直线的倾斜角、斜率及方程知识点总结
一、倾斜角：
重点：取值范围：0≤a＜180°
二、斜率k：
1、当a≠90°时，斜率k=tana；
2、当a=90°时，斜率k不存在；（联系正切函数的定义域去理解）
3、两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的斜率公式：
理解：
①两点间斜率要求x1≠x2，因为当x1=x2时，直线垂直于x轴，倾斜角为90°，斜率k不存在；
②当x1≠x2且y1=y2时，直线垂直于y轴，倾斜角为0°，斜率k=0
四、斜率k与截距b对直线位置的影响：
1、k对直线位置的影响：
①当k＞0时，直线向右上方倾斜；
②当k＜0时，直线向右下方倾斜；
③当k=0时，此时倾斜角为0，直线平行与x轴；
④当k不存在时，此时倾斜角为90°，直线与y轴平行。
2、b对直线位置的影响：
①当b＞0时，直线与y轴正半轴相交；
②当b＜0时，直线与y轴负半轴相交；
③当b=0时，直线过原点。
直线的倾斜角斜率与直线的方程
如图所示,结合图形:为使 l 与线段 AB 总有公共点,则 kPA≤k≤kPB,而 kPB>0,kPA<0,故当
k<0 时,倾斜角 α 为钝角,当 k=0 l时,α=0,当
时,α 为锐角.
的线段总有公共点,则直线
的斜率 kk>0
和倾斜角
α 的取值范围分别
为
,
.
-2-(-1)
-1-1
=-1,kPB=
8-8-
知识梳理
1 2 3 4 5 6
双击自测
4.若直线 ax+by+c=0 经过第二、三、四象限,则有(
A.ab>0,bc>0
B.ab>0,bc<0
C.ab<0,bc>0
D.ab<0,bc<0
)
关闭
由题意,直线可化为 y=- x- .再由直线过第二、三、四象限,
则- <0,- <0,
2 -1
2 -1
.
第九章
9.1
直线的倾斜角、斜率与直线的方程
4-4-
知识梳理
双击自测
2.直线方程的五种形式
名称
点斜
式
斜截
式
方程
适用范围
y-y0=k(x-x0)
不含直线 x=x0
两点式
截距式
一般
式
x
a
y=kx+b
不含垂直于 x 轴的直线
y-y1
x-x1
=
y2 -y1 x2 -x1
不含垂直于 x 轴和平行于 x 轴的直线
2.当已知直线过两点求其方程时,优先考虑运用点斜式.
(复习指导)9.1 直线的倾斜角、斜率与直线的方程含解析
第九章 解析几何9.1 直线的倾斜角、斜率与直线的方程必备知识预案自诊知识梳理1.直线的倾斜角(1)定义:当直线l 与x 轴相交时,我们以x 轴为基准,x 轴 与直线l 的方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.当直线l 与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为 .(2)直线的倾斜角α的取值范围为 . 2.直线的斜率(1)定义:一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k 表示,即k=tan α,倾斜角是90°的直线没有斜率.(2)过两点的直线的斜率公式经过两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k=y 2-y1x 2-x 1.3.直线方程的五种形式1.特殊直线的方程:(1)过点P 1(x 1,y 1),垂直于x 轴的直线方程为x=x 1; (2)过点P 1(x 1,y 1),垂直于y 轴的直线方程为y=y 1; (3)y 轴的方程为x=0; (4)x 轴的方程为y=0.2.直线的倾斜角α和斜率k 之间的对应关系: α 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180° kk>0不存在k<0考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”. (1)直线的倾斜角越大,其斜率越大. ( ) (2)过点M (a ,b ),N (b ,a )(a ≠b )的直线的倾斜角是45°. ( ) (3)若直线的斜率为tan α,则其倾斜角为α. ( ) (4)经过任意两个不同的点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)的直线都可以用方程(y-y 1)(x 2-x 1)=(x-x 1)(y 2-y 1)表示. ( )(5)直线的截距即是直线与坐标轴的交点到原点的距离. ( ) 2.直线2x ·sin 210°-y-2=0的倾斜角是( ) A.45° B.135° C.30 D.150°3.如图所示,在同一直角坐标系中能正确表示直线y=ax 与y=x+a 的是( )4.(2020山东德州高三诊测)过直线l :y=x 上的点P (2,2)作直线m ,若直线l ,m 与x 轴围成的三角形的面积为2,则直线m 的方程为 .5.(2020云南丽江高三月考)经过点(4,1),且在两坐标轴上截距相等的直线l 的方程为 .关键能力学案突破考点直线的倾斜角与斜率【例1】(1)直线x-√3y+1=0的斜率为( ) A.√3B.-√3C.√33D.-√33(2)已知点A (2,3),B (-3,-2),若直线l 过点P (1,1),且与线段AB 始终没有交点,则直线l 的斜率k 的取值范围是( )A.34,2 B.-∞,34∪(2,+∞)C.34,+∞D.(-∞,2)(3)若直线l 的斜率为k ,倾斜角为α,且α∈π6,π4∪2π3,π,则k 的取值范围是 .思考直线的倾斜角和直线的斜率有怎样的关系? 解题心得直线的斜率与倾斜角的区别与联系 2①k=tan α,α∈[0,π2)∪(π2,π).②当α∈0,π2时,α越大,l 的斜率越大;当α∈π2,π时,α越大,l 的斜率越大.③所有直线都有倾斜角,但不是所有直线都存在斜率对点训练1(1)直线x cos α+√3y+2=0的倾斜角θ的取值范围是( ) A.[0,5π6]B.[π6,5π6]C.[π6,π2)∪(π2,5π6]D.[0,π6]∪[5π6,π)(2)已知点A (2,-3),B (-3,-2),直线l 的方程为-kx+y+k-1=0,且与线段AB 相交,则直线l 的斜率k 的取值范围为( )A.(-∞,-4]∪34,+∞B.-∞,-14∪34,+∞C.-4,34D.34,4考点求直线的方程【例2】(1)过点P(3,-1),且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有条,方程为.(2)已知一条直线经过点A(2,-√3),并且它的倾斜角等于直线x-√3y=0倾斜角的2倍,则这条直线的方程是.(3)在△ABC中,已知A(5,-2),B(7,3),且AC的中点M在y轴上,BC的中点N在x轴上,则直线MN的方程为.?求直线方程时应注意什么?解题心得1.求直线方程的方法:(1)直接法:根据已知条件,选择恰当的直线方程形式,求出方程中的系数,写出直线方程;(2)待定系数法:先根据已知条件设出恰当的直线方程,再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组),解得系数,最后代入设出的直线方程.2.求直线方程应注意:(1)求直线方程时,应结合所给条件选择适当的直线方程形式,并注意各种形式的适用条件.(2)选择直线方程时,应注意分类讨论思想的应用,选用点斜式或斜截式时,先分类讨论直线的斜率是否存在;选用截距式时,先分类讨论在两坐标轴上的截距是否存在或是否为0.(3)求直线方程时,如果没有特别要求,求出的直线方程应化为一般式Ax+By+C=0,且A≥0.对点训练2(1)已知直线l经过两条直线l1:x+y=2,l2:2x-y=1的交点,且直线l的一个方向向量v=(-3,2),则直线l的方程是()A.-3x+2y+1=0B.3x-2y+1=0C.2x+3y-5=0D.2x-3y+1=0(2)过点(-2,-3)且在x轴、y轴上的截距互为相反数的直线方程是.(3)已知2x1-3y1=4,2x2-3y2=4,则过点A(x1,y1),B(x2,y2)的直线l的方程是.考点直线方程的应用(多考向探究)考向1与基本不等式及函数性质相结合的最值问题【例3】(1)已知直线l1:ax-2y=2a-4,l2:2x+a2y=2a2+4,若0<a<2时,直线l1,l2与两坐标轴围成一个四边形,当四边形的面积最小时,实数a=.(2)已知直线l过点P(3,2),且与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,如图所示,求△AOB 的面积的最小值及此时直线l的方程.解题心得求解与直线方程有关的最值问题.先设出直线方程,建立目标函数,再利用函数的单调性或基本不等式求解.考向2与函数的导数的几何意义相结合的问题【例4】设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处的切线倾斜角的范围为0,π4 ,则点P的横坐标的取值范围为()A.-1,-12B.[-1,0]C.[0,1]D.12,1思考直线方程与函数的导数的几何意义相结合的问题常见解法是什么?解题心得解决与函数的导数的几何意义相结合的问题,一般是利用导数在切点处的值等于切线的斜率来求解相关问题.对点训练3(1)若直线ax+by=ab(a>0,b>0)过点(1,1),则该直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为()A.1B.4C.2D.8(2)曲线xy-x+2y-5=0在点A(1,2)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为()A.9B.496C.9 2D.1131.涉及直线的倾斜角与斜率的转化问题,要想到k=tanα,必要时可结合正切函数的图象求解.2.求直线方程常用的方法是直接法和待定系数法,但在特定条件下,应考虑下面的设法:(1)已知直线在y轴上的截距,常设方程的斜截式;(2)已知直线在x轴上的截距和在y轴上的截距,常设方程的截距式(截距均不为0);(3)已知直线的斜率和所过的定点,常设方程的点斜式,但如果只给出一个定点,一定不要遗漏斜率不存在的情况;(4)仅知道直线在x轴上的截距,常设方程形式为x=my+a(其中a是直线在x轴上的截距,m是参数),注意此种设法不包含斜率为0的情况,且在圆锥曲线章节中经常使用.1.斜率公式k=y2-y1x2-x1(x1≠x2)与两点的顺序无关,且两点的横坐标不相等,若题目中未明确说明两点的横坐标不相等,则要分类讨论.2.设直线方程时,一定要弄清题目中的信息,不要凭空想,涉及特殊情况最好单独处理,然后处理常规情况.第九章 解析几何9.1 直线的倾斜角、 斜率与直线的方程必备知识·预案自诊知识梳理1.(1)正向 向上 0° (2)0°≤α<180° 3.y-y 0=k (x-x 0) y=kx+by -y 1y 2-y 1=x -x 1x 2-x 1 x a +yb=1 考点自诊1.(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)×2.B 由题意得斜率k=2sin210°=-2sin30°=-1,故倾斜角为135°.故选B.3.C 当a>0时,由y=ax 可知C,D 错误,由y=x+a 可知A,B 也错误;当a<0时,由y=ax 可知A,B 错误,由y=x+a 可知D 错误,C 正确.故选C.4.x-2y+2=0或x=2 ①若直线m 的斜率不存在,则直线m 的方程为x=2,此时直线m ,直线l 和x 轴围成的三角形的面积为2,符合题意;②若直线m 的斜率存在,则由题意可知其斜率k ≠0,设直线m 的方程为y-2=k (x-2)(k ≠0),令y=0,得x=2-2k ,依题意有12×|2-2k |×2=2,即|1-1k |=1,解得k=12,故直线m 的方程为y-2=12(x-2),即x-2y+2=0.综上可知,直线m 的方程为x-2y+2=0或x=2.5.x-4y=0或x+y-5=0 设直线l 在两坐标轴上的截距均为a.若a=0,则直线l 过点(0,0)和(4,1),所以直线l 的方程为y=14x ,即x-4y=0. 若a ≠0,则直线l 的方程为x a+y a=1, 因为直线l 过点(4,1),所以4a+1a =1,解得a=5,所以直线l 的方程为x 5+y 5=1,即x+y-5=0. 综上可知,直线l 的方程为x-4y=0或x+y-5=0.关键能力·学案突破例1(1)C (2)A (3)[-√3,0)∪[√33,1)(1)x-√3y+1=0可化为y=√33x+√33,则斜率k=√33,故选C.(2)由已知得k AP =3-12-1=2,k BP =-2-1-3-1=34.如图,因为直线l 与线段AB 始终没有交点,所以斜率k 的取值范围是(34,2).故选A.(3)当π6≤α<π4时,√33≤tan α<1,故√33≤k<1.当2π3≤α<π时,-√3≤tan α<0,故-√3≤k<0. 综上可知,k ∈[-√3,0)∪[√33,1).对点训练1(1)D (2)A (1)由已知得tan θ=-√33cos α.∵cos α∈[-1,1],∴-√33≤-√33cos α≤√33,即-√33≤tan θ≤√33,解得θ∈[0,π6]∪[5π6,π).故选D . (2)由-kx+y+k-1=0,即y-1=k (x-1),可知直线l 恒过定点P (1,1),则k AP =-4,k BP =34. 作出直线AP ,BP (图略),可知当直线l 与线段AB 相交时,直线l 的斜率k 的取值范围为(-∞,-4]∪[34,+∞).故选A .例2(1)3 x+3y=0,x+y-2=0,x-y-4=0 (2)√3x-y-3√3=0 (3)5x-2y-5=0(1)①当截距不为0,且截距相等时,设直线方程为x a +ya =1(a ≠0),将点P 的坐标代入直线方程,解得a=2,所以直线方程为x+y-2=0;②当截距不为0,且截距互为相反数时,设直线方程为x b +y-b =1(b ≠0),将点P 的坐标代入直线方程,解得b=4,所以直线方程为x-y-4=0;③当截距为0时,设直线方程为y=kx ,将点P 的坐标代入直线方程,解得k=-13,所以直线方程为x+3y=0.综上可知,直线有3条,方程为x+3y=0,x+y-2=0,x-y-4=0.(2)由已知得直线x-√3y=0的斜率为√33,则其倾斜角为30°,故所求直线的倾斜角为60°,斜率为√3,故所求直线的方程为y-(-√3)=√3(x-2),即√3x-y-3√3=0.(3)设C (x 0,y 0),则M (x 0+52,y 0-22),N (x 0+72,y 0+32). 因为点M 在y 轴上,所以x 0+52=0,解得x 0=-5.因为点N 在x 轴上,所以y 0+32=0,解得y 0=-3.所以M (0,-52),N (1,0),所以直线MN 的方程为x1+y-52=1,即5x-2y-5=0.对点训练2(1)C (2)3x-2y=0或x-y-1=0 (3)2x-3y-4=0 (1)解方程组{x +y =2,2x -y =1,得{x =1,y =1,所以两直线的交点为(1,1). 因为直线l 的一个方向向量v =(-3,2),所以k=-23.所以直线l 的方程为y-1=-23(x-1),即2x+3y-5=0.故选C .(2)根据题意,分两种情况讨论:①若直线过原点,又由直线过点(-2,-3),则其方程为y=32x ,即3x-2y=0.②若直线不过原点,由该直线在x 轴、y 轴上的截距互为相反数,设此时直线的方程为x a −ya=1, 又由直线过点(-2,-3),则有-2a −-3a =1,解得a=1,故此时直线的方程为x-y-1=0. 综上可得,所求直线的方程为3x-2y=0或x-y-1=0.(3)因为(x 1,y 1)满足方程2x 1-3y 1=4,所以(x 1,y 1)在直线2x-3y=4上.同理(x 2,y 2)也在直线2x-3y=4上.由两点确定一条直线,可知过点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)的直线l 的方程是2x-3y-4=0. 例3(1)12 直线l 1可写成a (x-2)=2(y-2),直线l 2可写成2(x-2)=a 2(2-y ),所以直线l 1,l 2恒过定点P (2,2),直线l 1在y 轴上的截距为2-a ,直线l 2在x 轴上的截距为a 2+2,又0<a<2,所以四边形的面积S=12×2×(2-a )+12×2×(a 2+2)=a 2-a+4=a-122+154,故当a=12时,四边形的面积最小.(2)解(方法1)依题意,设直线l 的方程为xa +yb =1(a>0,b>0),将点P (3,2)的坐标代入方程得3a +2b =1≥2√6ab,即ab ≥24,当且仅当3a =2b 时,等号成立,从而S △AOB =12ab ≥12,故△AOB 的面积的最小值为12,此时直线l 的斜率k=-ba=-23,从而所求直线l 的方程为2x+3y-12=0.所以△AOB 的面积的最小值为12,此时直线l 的方程为2x+3y-12=0.(方法2)依题意,直线l 的斜率k 存在,且k<0,可设直线l 的方程为y-2=k (x-3)(k<0),则A (3-2k ,0),B (0,2-3k ), 所以S △AOB =12(2-3k )(3-2k) =12[12+(-9k )+4(-k )] ≥12[12+2√(-9k )·4(-k )] =12×(12+12)=12,当且仅当-9k=4-k ,即k=-23时,等号成立.此时直线l 的方程为2x+3y-12=0.所以△AOB 的面积的最小值为12,此时直线l 的方程为2x+3y-12=0. 例4A 由题意知y'=2x+2.设P (x 0,y 0),则在点P 处的切线斜率k=2x 0+2.因为曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为[0,π4],所以0≤k ≤1,即0≤2x 0+2≤1,解得-1≤x 0≤-12.对点训练3(1)B (2)B (1)因为直线ax+by=ab 过点(1,1),所以a+b=ab ,即1a +1b =1.因为直线在x 轴上的截距为b ,在y 轴上的截距为a ,所以直线在x 轴、y 轴上的截距之和为a+b.a+b=(a+b )(1a +1b )=2+ba +ab ≥2+2√b a ·ab =4,当且仅当a=b=2时取等号,故最小值为4.故选B.(2)由xy-x+2y-5=0,得y=x+5x+2,∴y'=-3(x+2)2,∴曲线在点A (1,2)处的切线斜率k=-3(1+2)2=-13,∴曲线在点A (1,2)处的切线方程为y-2=-13(x-1).令x=0,得y=73;令y=0,得x=7.∴所求三角形的面积S=12×73×7=496.故选B .。
2022年高考数学总复习考点突破——直线的倾斜角、斜率与直线的方程
巩固训练3：已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4， 当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面 积最小时，求实数a的值．
解析：由题意知直线l1，l2恒过定点P(2，2)，直线l1在y轴上的截距为2－a，直 线l2在x轴上的截距为a2＋2，所以四边形的面积S＝12×2×(2－a)＋12×2×(a2＋2) ＝a2－a＋4＝(a－12)2＋145，当a＝12时，四边形的面积最小．
2
巩固训练1：(1)若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，
பைடு நூலகம்
则a＝( )
A．1± 2或0 C．2±2 5
B．2−2 5或0 D．2+2 5或0
答案：A
解析：若A，B，C三点共线，则有kAB＝kAC，即a22−−−1a ＝a33−−−1a 整理得a(a2－2a－1)＝0.
解得a＝0或a＝1± 2.故选A.
类题通法
1.求解直线方程的2种方法 (1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直 线方程． (2)待定系数法：①设所求直线方程的某种形式； ②由条件建立所求参数的方程(组)； ③解这个方程(组)求出参数； ④把参数的值代入所设直线方程． 2．谨防3种失误 (1)应用“点斜式”和“斜截式”方程时，要注意讨论斜率是否存 在． (2)应用“截距式”方程时要注意讨论直线是否过原点，截距是否为0. (3)应用一般式Ax＋By＋C＝0确定直线的斜率时注意讨论B是否为0.
[预测2] 新题型——多选题 下列叙述正确的是( ) A．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应 B．每一条直线都对应唯一一个倾斜角 C．与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0°或90° D．若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α
高考数学一轮总复习：直线的倾斜角与斜率、直线的方程
直线的倾斜角与斜率、直线的方程[基础梳理]1．直线的倾斜角(1)定义：(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围是：[0，π)．2．直线的斜率3.两直线的平行、垂直与其斜率的关系4.直线方程的五种形式续表名称 已知条件 方程 适用范围两点式 两点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1(x 1≠x 2，y 1≠y 2) 不含直线x ＝x 1(x 1＝x 2)和直线y ＝y 1(y 1＝y 2)截距式 直线在x 轴、y 轴上的截距分别为a，bx a ＋yb ＝1(a ≠0，b ≠0)不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)平面直角坐标系内的直线都适用5.线段的中点坐标公式若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段P 1，P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22，此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式．1．斜率与倾斜角的两个关注点(1)倾斜角α的范围是[0，π)，斜率与倾斜角的函数关系为k ＝tan α，图象为：(2)当倾斜角为90时，直线垂直于x 轴，斜率不存在．2．直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件为A 1A 2＋B 1B 2＝0. [四基自测]1．直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是( ) A.33 B.3 C ．－3 D ．－33 答案：A2．已知直线l 经过点P (－2,5)，且斜率为－34，则直线l 的方程为( )A ．3x ＋4y －14＝0B ．3x －4y ＋14＝0C ．4x ＋3y －14＝0D ．4x －3y ＋14＝0答案：A3．已知直线斜率的绝对值为1，其倾斜角为________． 答案：π4或34π4．过点(5,0)，且在两轴上的截距之差为2的直线方程为________． 答案：3x ＋5y －15＝0或7x ＋5y －35＝0考点一 直线的倾斜角与斜率◄考基础——练透[例1] (1)(2019·常州模拟)若ab <0，则过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1b 与Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，0的直线PQ 的倾斜角的取值范围是________．(2)直线l ：ax ＋(a ＋1)y ＋2＝0的倾斜角大于45°，求a 的取值范围．解析：(1)k PQ ＝－1b －00－1a＝a b <0，又倾斜角的取值范围为[0，π)，故直线PQ 的倾斜角的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.(2)当a ＝－1时，直线l 的倾斜角为90°，符合要求；当a ≠－1时，直线l 的斜率为－aa ＋1.则有－a a ＋1>1或－a a ＋1<0，解得－1<a <－12或a <－1或a >0.综上可知，实数a的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(0，＋∞)．答案：(1)(π2，π) (2)见解析1．三个不同的点A(2,3)，B(－1,5)，C(x，x2＋2x＋6)共线，则实数x的值为________．解析：因为三个不同的点A(2,3)，B(－1,5)，C(x，x2＋2x＋6)共线，所以由斜率公式得5－3－1－2＝x2＋2x＋6－3x－2，解得x＝－1或－53，当x＝－1时，点C，B重合，舍去．所以x＝－5 3.答案：－5 32．(2019·太原模拟)已知点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l过点P(1,1)且与线段AB有交点，则直线l的斜率k的取值范围为________．解析：如图所示，k P A＝1＋31－2＝－4，k PB＝1＋21＋3＝34.要使直线l与线段AB有交点，则有k≥34或k≤－4.答案：(－∞，－4]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞考点二 求直线方程◄考能力——知法 [例2] 求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P (3,2)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)求过点(2,1)且在x 轴上的截距与在y 轴上的截距之和为6的直线方程． (3)求经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程． 解析：(1)设直线l 在x ，y 轴上的截距均为a ，若a ＝0，即l 过点(0,0)和P (3,2)， ∴l 的方程为y ＝23x ，即2x －3y ＝0.若a ≠0，则设l 的方程为x a ＋ya ＝1，∵l 过点(3,2)，∴3a ＋2a ＝1， ∴a ＝5，即l 的方程为x ＋y －5＝0，综上可知，直线l 的方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0. (2)法一：由题意可设直线方程为x a ＋yb ＝1. 则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝6，2a ＋1b＝1，解得a ＝b ＝3，或a ＝4，b ＝2.故所求直线方程为x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝0.法二：设直线方程为y ＝kx ＋b ，则在x 轴上的截距为－b k ，所以b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b k ＝6，①又直线过点(2,1)，则2k ＋b ＝1.②由①②得⎩⎨⎧k ＝－1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－12，b ＝2.故所求直线方程为x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝0. (3)当直线不过原点时， 设所求直线方程为x 2a ＋ya ＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a ＝－12， 此时，直线方程为x ＋2y ＋1＝0. 当直线过原点时，斜率k ＝－25， 直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0， 综上可知，所求直线方程为 x ＋2y ＋1＝0或2x ＋5y ＝0.1．求直线方程的方法2.考虑问题的特殊情况，如斜率不存在的情况，截距等于零的情况．1．在本例(1)中，过点(3,2)，且在两轴上截距互为相反数的直线方程是什么？ 解析：(1)若直线过原点，适合题意，其方程为y ＝23x ， 即2x －3y ＝0.(2)若直线不过原点，设直线方程为x a ＋y－a＝1，∴3a －2a ＝1，∴a ＝1，方程为x －y －1＝0.综上，直线方程为2x －3y ＝0或x －y －1＝0.2．在本例(3)中，改为“过点A (－5,2)，且与两坐标轴形成的三角形面积为92”，求直线方程．解析：设所求直线在x 轴的截距为a ，在y 轴上的截距为b ， 则⎩⎪⎨⎪⎧－5a ＋2b ＝112|ab |＝92，∴⎩⎨⎧a ＝－3b ＝－3，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝152b ＝65.∴方程为x ＋y ＋3＝0或4x ＋25y －30＝0. 考点三 两条直线的位置关系◄考基础——练透[例3] (1)“a ＝0”是“直线l 1：(a ＋1)x ＋a 2y －3＝0与直线l 2：2x ＋ay －2a －1＝0平行”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：(1)当a ＝0时，l 1：x －3＝0，l 2：2x －1＝0，故l 1∥l 2. 当l 1∥l 2时，若l 1与l 2斜率不存在，则a ＝0；若l 1与l 2斜率都存在，则a ≠0，有－a ＋1a 2＝－2a 且3a 2≠2a ＋1a ，解得a ∈，故当l 1∥l 2时，有a ＝0.故选C. 答案：C(2)已知直线l 1：(a ＋2)x ＋(1－a )y －3＝0与直线l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0，则“a ＝1”是“l 1⊥l 2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：l 1⊥l 2的充要条件是(a ＋2)(a －1)＋(1－a )·(2a ＋3)＝0，即a 2－1＝0，故有(a －1)(a ＋1)＝0，解得a ＝±1.显然“a ＝1”是“a ＝±1”的充分不必要条件，故选A. 答案：A两直线位置关系的判断方法1．如果直线ax ＋(1－b )y ＋5＝0和(1＋a )x －y －b ＝0同时平行于直线x －2y ＋3＝0，求ab .解析：法一：由题意， 得⎩⎨⎧a ·(－2)－(1－b )·1＝0，(1＋a )·(－2)－(－1)×1＝0.解得a ＝－12，b ＝0.易知此时它们的截距也不相等，所以ab ＝0.法二：直线x －2y ＋3＝0的斜率为12，则另两条直线的斜率一定存在且等于12，所以12＝－a 1－b ＝－1＋a －1，解得a ＝－12，b ＝0，易知此时它们的截距也不相等，所以ab ＝0.2．若过点A (－2，m )，B (m,4)的直线与直线2x ＋y ＋2＝0平行，则m 的值为________． 解析：∵过点A ，B 的直线平行于直线2x ＋y ＋2＝0， ∴k AB ＝4－m m ＋2＝－2，解得m ＝－8.答案：－8逻辑推理、直观想象_求直线方程的易错问题(一)直线方程是解析几何的入门内容，基本概念、公式较多，由于学生对直线的构成要素理解不清或方程形式认识欠缺，而导致错误. 1.对倾斜的概念与范围理解有误[例1] 已知直线l 过点(2,1)，且与x 轴的夹角为45，求直线l 的方程． 解析：由直线l 与x 轴的夹角为45知，直线l 的倾斜角为45或135． 当直线l 的倾斜角为45时，其斜率为k ＝tan 45＝1，而直线l 过点(2,1)，故其方程为y －1＝x －2，即y ＝x －1；当直线l 的倾斜角为135时，其斜率为k ＝tan 135＝－1，而直线l 过点(2,1)，故其方程为y －1＝－(x －2)，即y ＝－x ＋3.综上所述，所求直线方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋3.2.忽略两直线平行与重合的区别例2 已知直线l 1：x ＋m 2y ＋6＝0与l 2：(m －2)x ＋3my ＋2m ＝0平行，则实数m ＝________.解析：(1)若两直线的斜率都存在，设斜率分别为k 1，k 2，截距分别为b 1，b 2，则k 1＝－1m 2，k 2＝－m －23m ，b 1＝－6m 2，b 2＝－23.因为l1∥l2，故k1＝k2且b1≠b2，即－1m2＝－m－23m且－6m2≠－23，解得m＝－1.(2)若两直线的斜率都不存在，则m＝0.综上所述，m＝－1或0.答案：－1或0课时规范练 A 组 基础对点练1．设直线ax ＋by ＋c ＝0的倾斜角为α，且sin α＋cos α＝0，则a ，b 满足( ) A ．a ＋b ＝1 B ．a －b ＝1 C ．a ＋b ＝0D ．a －b ＝0解析：因为sin α＋cos α＝0， 所以tan α＝－1.又因为α为倾斜角，所以斜率k ＝－1. 而直线ax ＋by ＋c ＝0的斜率k ＝－ab ， 所以－ab ＝－1，即a －b ＝0. 答案：D2．直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围是( ) A ．[－3，1]B ．(－∞，－3]∪[1，＋∞) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，1 D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－33∪[1，＋∞)解析：因为k AP ＝1－02－1＝1，k BP ＝3－00－1＝－3，所以k ∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)． 答案：B3．(2019·开封模拟)过点A (－1，－3)，斜率是直线y ＝3x 的斜率的－14的直线方程为( ) A ．3x ＋4y ＋15＝0 B ．3x ＋4y ＋6＝0 C ．3x ＋y ＋6＝0 D ．3x －4y ＋10＝0解析：设所求直线的斜率为k，依题意k＝－34，又直线经过点A(－1，－3)，因此所求直线方程为y＋3＝－34(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0.答案：A4．直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是()A．－1＜k＜1 5B．k＞1或k＜1 2C．k＞1或k＜1 5D．k＞12或k＜－1解析：设直线的斜率为k，则直线方程为y－2＝k(x－1)，令y＝0，得直线l在x轴上的截距为1－2 k，则－3＜1－2k＜3，解得k＞12或k＜－1.答案：D5．(2019·张家口模拟)若直线mx＋ny＋3＝0在y轴上的截距为－3，且它的倾斜角是直线3x－y＝33的倾斜角的2倍，则()A．m＝－3，n＝1B．m＝－3，n＝－3C．m＝3，n＝－3D．m＝3，n＝1解析：对于直线mx＋ny＋3＝0，令x＝0得y＝－3n，即－3n＝－3，n＝1.因为3x－y＝33的倾斜角为60°，直线mx＋ny＋3＝0的倾斜角是直线3x－y＝33的2倍，所以直线mx＋ny＋3＝0的倾斜角为120°，即－mn＝－3，m＝ 3.答案：D6．经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程为( )A ．5x ＋2y ＝0或x ＋2y ＋1＝0B ．x ＋2y ＋1＝0C ．2x ＋5y ＝0或x ＋2y ＋1＝0D ．2x ＋5y ＝0解析：当截距为零时，直线方程为y ＝－25x ；当截距不为零时，设直线方程为x 2b ＋y b ＝1，因为直线过点A (－5,2)，所以－52b ＋2b ＝1，计算得b ＝－12，所以直线方程为x －1＋y－12＝1，即x ＋2y ＋1＝0，所以所求直线方程为2x ＋5y ＝0或x＋2y ＋1＝0. 答案：C7．若直线y ＝kx ＋1与以A (3,2)，B (2,3)为端点的线段有公共点，则k 的取值范围是________．解析：由题可知直线y ＝kx ＋1过定点P (0,1)，且k PB ＝3－12－0＝1，k P A ＝2－13－0＝13，结合图象可知，当直线y ＝kx ＋1与以A (3,2)，B (2,3)为端点的线段有公共点时，k 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，18．将直线y ＝x ＋3－1绕它上面一点(1，3)沿逆时针方向旋转15°，所得到的直线方程是________．解析：由y ＝x ＋3－1得直线的斜率为1，倾斜角为45°.因为沿逆时针方向旋转15°，角变为60°，所以所求直线的斜率为 3.又因为直线过点(1，3)，所以直线方程为y －3＝3(x －1)，即y ＝3x . 答案：y ＝3x9．已知点A (－1，t )，B (t,4)，若直线AB 的斜率为2，则实数t 的值为________．解析：由题意知，k AB ＝2，即4－t t ＋1＝2，解得t ＝23. 答案：2310．已知直线l 1：mx ＋y ＋4＝0和直线l 2：(m ＋2)x －ny ＋1＝0(m ，n ＞0)互相垂直，则mn 的取值范围为________．解析：因为l 1⊥l 2，所以m (m ＋2)＋1×(－n )＝0，得n ＝m 2＋2m ，因为m ＞0，所以m n ＝m m 2＋2m ＝1m ＋2，则0＜1m ＋2＜12，故m n 的取值范围为(0，12)． 答案：(0，12)B 组 能力提升练11．若直线l ：kx －y ＋2＋4k ＝0(k ∈R )交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，则当△AOB 的面积取最小值时直线l 的方程为( ) A ．x －2y ＋4＝0 B ．x －2y ＋8＝0 C ．2x －y ＋4＝0D ．2x －y ＋8＝0解析：由l 的方程，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋4k k ，0，B (0,2＋4k )．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－2＋4k k ＜0，2＋4k ＞0，解得k ＞0.因为S ＝12|OA |·|OB |＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋4k k ·|2＋4k |＝12(2＋4k )2k ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫16k ＋4k ＋16≥12×(2×8＋16)＝16.当且仅当16k ＝4k ，即k ＝12时，等号成立．此时l 的方程为x －2y ＋8＝0. 答案：B12．设直线l 的方程为x ＋y cos θ＋3＝0(θ∈R )，则直线l 的倾斜角α的取值范围是( ) A ．[0，π) .⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4 .⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4 解析：当cos θ＝0时，方程变为x ＋3＝0，其倾斜角为π2； 当cos θ≠0时，由直线l 的方程，可得斜率k ＝－1cos θ.因为cos θ∈[－1,1]且cos θ≠0， 所以k ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)， 即tan α∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，又α∈[0，π)，所以α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4，综上知，直线l 的倾斜角α的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4.答案：C13．(2019·西安临潼区模拟)已知直线x ＋a 2y －a ＝0(a 是正常数)，当此直线在x轴，y 轴上的截距和最小时，正数a 的值是( ) A ．0 B ．2 C. 2D ．1解析：直线x ＋a 2y －a ＝0(a 是正常数)在x 轴，y 轴上的截距分别为a 和1a ，此直线在x 轴，y 轴上的截距和为a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝1时，等号成立．故当直线x ＋a 2y －a ＝0在x 轴，y 轴上的截距和最小时，正数a 的值是1，故选D. 答案：D14．(2019·北京二十四中模拟)已知点M (0，－1)，点N 在直线x －y ＋1＝0上，若直线MN 垂直于直线x ＋2y －3＝0, 则点N 的坐标是( ) A ．(－2，－1) B ．(2,3) C ．(2,1)D ．(－2,1)解析：∵点N 在直线x －y ＋1＝0上， ∴可设点N 坐标为(x 0，x 0＋1)．根据经过两点的直线的斜率公式，得k MN ＝(x 0＋1)＋1x＝x 0＋2x 0.∵直线MN 垂直于直线x ＋2y －3＝0，直线x ＋2y －3＝0的斜率k ＝－12， ∴k MN ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，即x 0＋2x 0＝2，解得x 0＝2.因此点N 的坐标是(2,3)，故选B. 答案：B15．设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|P A |·|PB |的最大值是________．解析：动直线x ＋my ＝0(m ≠0)过定点A (0,0)，动直线mx －y －m ＋3＝0过定点B (1,3)．由题意易得直线x ＋my ＝0与直线mx －y －m ＋3＝0垂直，即P A ⊥PB .所以|P A |·|PB |≤|P A |2＋|PB |22＝|AB |22＝12＋322＝5，即|P A |·|PB |的最大值为5. 答案：516．已知直线x ＝π4是函数f (x )＝a sin x －b cos x (ab ≠0)图象的一条对称轴，则直线ax ＋by ＋c ＝0的倾斜角为________．解析：f (x )＝a 2＋b 2sin(x －φ)，其中tan φ＝b a ，将x ＝π4代入，得sin(π4－φ)＝±1，即π4－φ＝k π＋π2，k ∈Z ，解得φ＝－k π－π4，k ∈Z .所以tan φ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－k π－π4＝－1＝b a ，所以直线ax ＋by ＋c ＝0的斜率为－a b ＝1，故倾斜角为π4.答案：π4。
直线的倾斜角、斜率与直线的方程考点和题型归纳
直线的倾斜角、斜率与直线的方程考点和题型归纳一、基础知识1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准， x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线 l 的倾斜角.(2)规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0. (3)范围：直线l 倾斜角的取值范围是[0，π)． 2．斜率公式(1)定义式：直线l 的倾斜角为α⎝⎛⎭⎫α≠π2，则斜率k ＝tan α. (2)坐标式：P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上， 且x 1≠x 2，则l 的斜率 k ＝y 2－y 1x 2－x 1.3．直线方程的五种形式名称 方程 适用范围 点斜式 y －y 0＝k (x －x 0) 不含垂直于x 轴的直线 斜截式 y ＝kx ＋b 不含垂直于x 轴的直线 两点式 y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1不含直线x ＝x 1(x 1≠x 2)和直线y ＝y 1(y 1≠y 2)截距式 x a ＋y b＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式 Ax ＋By ＋C ＝0，A 2＋B 2≠0平面内所有直线都适用二、常用结论特殊直线的方程(1)直线过点P 1(x 1，y 1)，垂直于x 轴的方程为x ＝x 1； (2)直线过点P 1(x 1，y 1)，垂直于y 轴的方程为y ＝y 1； (3)y 轴的方程为x ＝0； (4)x 轴的方程为y ＝0. 考点一 直线的倾斜角与斜率[典例] (1)直线2x cos α－y －3＝0⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤π6，π3 B.⎣⎡⎦⎤π4，π3 C.⎣⎡⎦⎤π4，π2D.⎣⎡⎦⎤π4，2π3(2)直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________．[解析] (1)直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α， 因为α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32， 因此k ＝2·cos α∈[1， 3 ]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1， 3 ]． 又θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3， 即倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤π4，π3.(2) 设P A 与PB 的倾斜角分别为α，β，直线P A 的斜率是k AP ＝1，直线PB 的斜率是k BP＝－3，当直线l 由P A 变化到与y 轴平行的位置PC 时，它的倾斜角由α增至90°，斜率的取值范围为[1，＋∞)．当直线l 由PC 变化到PB 的位置时，它的倾斜角由90°增至β，斜率的变化范围是(－∞，－ 3 ]．故直线l 斜率的取值范围是(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)． [答案] (1)B (2)(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)[变透练清]1.(变条件)若将本例(1)中的条件变为：平面上有相异两点A (cos θ，sin 2 θ)，B (0,1)，则直线AB 的倾斜角α的取值范围是________．解析：由题意知cos θ≠0，则斜率k ＝tan α＝sin 2θ－1cos θ－0＝－cos θ∈[－1,0)∪(0,1]，所以直线AB 的倾斜角的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 答案：⎝⎛⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π 2.(变条件)若将本例(2)中P (1,0)改为P (－1,0)，其他条件不变，则直线l 斜率的取值范围为________．解析：设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＝0. ∵A ，B 两点在直线l 的两侧或其中一点在直线l 上， ∴(2k －1＋k )(－3＋k )≤0，即(3k －1)(k －3)≤0，解得13≤k ≤ 3.即直线l 的斜率的取值范围是⎣⎡⎦⎤13，3. 答案：⎣⎡⎦⎤13，33．若点A (4,3)，B (5，a )，C (6,5)三点共线，则a 的值为________．解析：因为k AC ＝5－36－4＝1，k AB ＝a －35－4＝a －3.由于A ，B ，C 三点共线，所以a －3＝1，即a ＝4.答案：4考点二 直线的方程[典例] (1)若直线经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍，则该直线的方程为________________．(2)若直线经过点A (－3，3)，且倾斜角为直线3x ＋y ＋1＝0的倾斜角的一半，则该直线的方程为________________．(3)在△ABC 中，已知A (5，－2)，B (7,3)，且AC 的中点M 在y 轴上，BC 的中点N 在x 轴上，则直线MN 的方程为________________．[解析] (1)①当横截距、纵截距均为零时，设所求的直线方程为y ＝kx ，将(－5,2)代入y ＝kx 中，得k ＝－25，此时，直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0.②当横截距、纵截距都不为零时， 设所求直线方程为x 2a ＋ya＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a ＝－12，此时，直线方程为x ＋2y ＋1＝0.综上所述，所求直线方程为x ＋2y ＋1＝0或2x ＋5y ＝0.(2)由3x ＋y ＋1＝0得此直线的斜率为－3，所以倾斜角为120°，从而所求直线的倾斜角为60°，故所求直线的斜率为 3.又直线过点A (－3，3)，所以所求直线方程为y －3＝3(x ＋3)，即3x －y ＋6＝0. (3)设C (x 0，y 0)，则M ⎝⎛⎭⎪⎫5＋x 02，y 0－22，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋x 02，y 0＋32.因为点M 在y 轴上，所以5＋x 02＝0，所以x 0＝－5.因为点N 在x 轴上，所以y 0＋32＝0，所以y 0＝－3，即C (－5，－3)， 所以M ⎝⎛⎭⎫0，－52，N (1,0)， 所以直线MN 的方程为x 1＋y－52＝1，即5x －2y －5＝0.[答案] (1)x ＋2y ＋1＝0或2x ＋5y ＝0 (2)3x －y ＋6＝0 (3)5x －2y －5＝0[题组训练]1．过点(1,2)，倾斜角的正弦值是22的直线方程是________________． 解析：由题知，倾斜角为π4或3π4，所以斜率为1或－1，直线方程为y －2＝x －1或y －2＝－(x －1)，即x －y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.答案：x －y ＋1＝0或x ＋y －3＝02．过点P (6，－2)，且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1的直线方程为________________．解析：设直线方程的截距式为x a ＋1＋y a ＝1，则6a ＋1＋－2a ＝1，解得a ＝2或a ＝1，则直线的方程是x 2＋1＋y 2＝1或x 1＋1＋y1＝1，即2x ＋3y －6＝0或x ＋2y －2＝0.答案：2x ＋3y －6＝0或x ＋2y －2＝0考点三 直线方程的综合应用[典例] 已知直线l 过点M (2,1)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求当|MA ―→|·|MB ―→|取得最小值时直线l 的方程．[解] 设A (a,0)，B (0，b )，则a ＞0，b ＞0，直线l 的方程为x a ＋yb ＝1，所以2a ＋1b＝1.|MA ―→|·| MB ―→|＝－MA ―→·MB ―→＝－(a －2，－1)·(－2，b －1) ＝2(a －2)＋b －1＝2a ＋b －5 ＝(2a ＋b )⎝⎛⎭⎫2a ＋1b －5 ＝2b a ＋2ab≥4， 当且仅当a ＝b ＝3时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0.[解题技法]与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题．先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．(2)求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程． (3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的性质或基本不等式求解．[题组训练]1．若直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)，则该直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选C ∵直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)， ∴a ＋b ＝ab ，即1a ＋1b ＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋ab≥2＋2b a ·ab＝4， 当且仅当a ＝b ＝2时上式等号成立．∴直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为4.2．已知直线l ：x －my ＋3m ＝0上存在点M 满足与A (－1,0)，B (1,0)两点连线的斜率k MA 与k MB 之积为3，则实数m 的取值范围是( )A ．[－6， 6 ] B.⎝⎛⎭⎫－∞，－66∪⎝⎛⎭⎫66，＋∞ C.⎝⎛⎦⎤－∞，－66∪⎣⎡⎭⎫66，＋∞ D.⎣⎡⎦⎤－22，22 解析：选C 设M (x ，y )，由k MA ·k MB ＝3，得y x ＋1·y x －1＝3，即y 2＝3x 2－3.联立⎩⎪⎨⎪⎧x －my ＋3m ＝0，y 2＝3x 2－3，得⎝⎛⎭⎫1m 2－3x 2＋23m x ＋6＝0(m ≠0)， 则Δ＝⎝⎛⎭⎫23m 2－24⎝⎛⎭⎫1m 2－3≥0，即m 2≥16，解得m ≤－66或m ≥66. ∴实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－66∪⎣⎡⎭⎫66，＋∞.[课时跟踪检测]1．(2019·合肥模拟)直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是( ) A.33B.3 C ．－ 3D ．－33解析：选A 设直线l 的斜率为k ，则k ＝－sin 30°cos 150°＝33.2．倾斜角为120°，在x 轴上的截距为－1的直线方程是( ) A.3x －y ＋1＝0 B.3x －y －3＝0 C.3x ＋y －3＝0D.3x ＋y ＋3＝0解析：选D 由于倾斜角为120°，故斜率k ＝－ 3.又直线过点(－1,0)，所以直线方程为y ＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋3＝0.3．已知△ABC 的三个顶点坐标为A (1,2)，B (3,6)，C (5,2)，M 为AB 的中点，N 为AC 的中点，则中位线MN 所在直线的方程为( )A ．2x ＋y －12＝0B ．2x －y －12＝0C ．2x ＋y －8＝0D ．2x －y ＋8＝0解析：选C 由题知M (2,4)，N (3,2)，则中位线MN 所在直线的方程为y －42－4＝x －23－2，整理得2x ＋y －8＝0.4．方程y ＝ax －1a表示的直线可能是( )解析：选C 当a ＞0时，直线的斜率k ＝a ＞0，在y 轴上的截距b ＝－1a ＜0，各选项都不符合此条件；当a ＜0时，直线的斜率k ＝a ＜0，在y 轴上的截距b ＝－1a ＞0，只有选项C符合此条件．故选C.5．在等腰三角形MON 中，MO ＝MN ，点O (0,0)，M (－1,3)，点N 在x 轴的负半轴上，则直线MN 的方程为( )A ．3x －y －6＝0B ．3x ＋y ＋6＝0C ．3x －y ＋6＝0D ．3x ＋y －6＝0解析：选C 因为MO ＝MN ，所以直线MN 的斜率与直线MO 的斜率互为相反数，所以k MN ＝－k MO ＝3，所以直线MN 的方程为y －3＝3(x ＋1)，即3x －y ＋6＝0，选C.6．若直线mx ＋ny ＋3＝0在y 轴上的截距为－3，且它的倾斜角是直线3x －y ＝33的倾斜角的2倍，则( )A ．m ＝－3，n ＝1B ．m ＝－3，n ＝－3C ．m ＝3，n ＝－3D ．m ＝3，n ＝1解析：选D 对于直线mx ＋ny ＋3＝0，令x ＝0得y ＝－3n ，即－3n ＝－3，n ＝1.因为3x －y ＝33的斜率为60°，直线mx ＋ny ＋3＝0的倾斜角是直线3x －y ＝33的2倍，所以直线mx ＋ny ＋3＝0的倾斜角为120°，即－mn＝－3，m ＝ 3.7．当0<k <12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧ kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝kk －1，y ＝2k －1k －1.又∵0<k <12，∴x ＝kk －1<0，y ＝2k －1k －1>0，故直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在第二象限．8．若直线l ：kx －y ＋2＋4k ＝0(k ∈R)交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，则当△AOB 的面积取最小值时直线l 的方程为( )A ．x －2y ＋4＝0B ．x －2y ＋8＝0C ．2x －y ＋4＝0D ．2x －y ＋8＝0解析：选B由l 的方程，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋4k k ，0，B (0,2＋4k )．依题意得⎩⎨⎧－2＋4k k ＜0，2＋4k ＞0，解得k ＞0.因为S ＝12|OA |·|OB |＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋4k k ·|2＋4k |＝12·(2＋4k )2k ＝12⎝⎛⎭⎫16k ＋4k ＋16≥12(2×8＋16)＝16，当且仅当16k ＝4k ，即k ＝12时等号成立．此时l 的方程为x －2y ＋8＝0.9．以A (1,1)，B (3,2)，C (5,4)为顶点的△ABC ，其边AB 上的高所在的直线方程是________________．解析：由A ，B 两点得k AB ＝12，则边AB 上的高所在直线的斜率为－2，故所求直线方程是y －4＝－2(x －5)，即2x ＋y －14＝0.答案：2x ＋y －14＝010．已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为________________．解析：由题意可设直线l 0，l 的倾斜角分别为α，2α， 因为直线l 0：x －2y －2＝0的斜率为12，则tan α＝12，所以直线l 的斜率k ＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43， 所以由点斜式可得直线l 的方程为y －0＝43(x －1)，即4x －3y －4＝0. 答案：4x －3y －4＝011．直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是________________．解析：由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y －2＝k (x －1)，直线l 在x 轴上的截距为1－2k ，令－3<1－2k <3，解不等式得k >12或k <－1.答案：(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞12．设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________．解析：b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1,0)和点B (1,0)时，b 分别取得最小值和最大值．∴b 的取值范围是[－2,2]．答案：[－2,2]13．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)； (2)斜率为16.解：(1)设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k －3,3k ＋4，由已知，得(3k ＋4)⎝⎛⎭⎫4k ＋3＝±6， 解得k 1＝－23或k 2＝－83.故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0. (2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程为y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.。
高考一轮复习直线的倾斜角与斜率、直线的方程
直线的倾斜角与斜率、直线的方程知识清单一、直线的倾斜角与斜率1．直线的倾斜角(1)定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)倾斜角的范围为[0，π)_．2．直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α，倾斜角是90°的直线没有斜率．(2)过两点的直线的斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝y2－y1 x2－x1＝y1－y2x1－x2.考点练习考点一直线的倾斜角与斜率1 直线x＋3y＋m＝0(m∈k)的倾斜角为()A．30°B．60°C．150°D．120°2．过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为() A．1 B．4 C．1或3 D．1或43．若点A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则a的值为________．4.经过两点A(4,2y＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为3π4，则y＝()A．－1B．－3 C．0 D．2 5 直线xcos θ＋3y＋2＝0的倾斜角的范围是________．6．函数y＝asin x－bcos x的一条对称轴为x＝π4，则直线l：ax－by＋c＝0的倾斜角为()A．45°B．60°C．120°D．135°7．已知点A(1,3)，B(－2，－1)．若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，则k的取值范围是()A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ B ．(－∞，－2] C ．(－∞，－2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，12 考点二 直 线 方 程8 已知直线l 过点P(－2,5)，且斜率为－34，则直线l 的方程为( )A ．3x ＋4y －14＝0B ．3x －4y ＋14＝0C ．4x ＋3y －14＝0D ．4x －3y ＋14＝0 9．若直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则直线l 的方程为________． 10过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是________________．11若点P(1,1)为圆(x －3)2＋y 2＝9的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为___．12．已知△ABC 中，A(1，－4)，B(6,6)，C(－2,0)．求：(1)△ABC 中平行于BC 边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程； (2)BC 边的中线所在直线的一般式方程，并化为截距式方程．由题悟法求直线方程的方法主要有以下两种：(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程； (2)待定系数法：先设出直线方程，再根据已知条件求出待定系数，最后代入求出直线方程．直线方程的综合应用 13 (2012·开封模拟)过点P(3,0)作一直线，使它夹在两直线l 1：2x －y －2＝0与l 2：x ＋y ＋3＝0之间的线段AB 恰被点P 平分，求此直线的方程．14．已知直线l 过点M(2,1)，且分别与x 轴，y 轴的正半轴交于A ，B 两点，O 为原点．(1)当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程； (2)当|MA|·|MB|取得最小值时，求直线l 的方程．课后练习1．若k ，－1，b 三个数成等差数列，则直线y ＝kx ＋b 必经过定点( )A ．(1，－2)B ．(1,2)C ．(－1,2)D ．(－1，－2) 2．直线l 1的斜率为2，l 1∥l 2，直线l 2过点(－1,1)且与y 轴交于点P ，则P 点坐标为( )A ．(3,0)B ．(－3,0)C ．(0，－3)D ．(0,3)3．直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a ，b ，c 应满足( ）A ．ab ＞0，bc ＜0B ．ab ＞0，bc ＞0C ．ab ＜0，bc ＞0D ．ab ＜0，bc ＜0 4．已知直线l 1的方向向量为a ＝(1,3)，直线l 2的方向向量为b ＝(－1，k)．若直线l 2经过点(0,5)且l 1⊥l 2，则直线l 2的方程为( )A ．x ＋3y －5＝0B ．x ＋3y －15＝0C ．x －3y ＋5＝0D ．x －3y ＋15＝05．将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为( )A ．y ＝－13x ＋13B ．y ＝－13x ＋1 C ．y ＝3x －3 D ．y ＝13x ＋16．已知点A(1，－2)，B(m,2)，且线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值是( )A ．－2B ．－7C ．3D ．17．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2 8．(2013·贵阳模拟)直线l 经过点A(1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是________．9若过点P(1－a,1＋a)与Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是_______．10．不论m 取何值，直线(m －1)x －y ＋2m ＋1＝0恒过定点________．11当过点P(1,2)的直线l 被圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝5截得的弦最短时，直线l 的方程为___．12．求经过点(－2,2)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l 的方程．13．已知两点A(－1,2)，B(m,3)．(1)求直线AB 的方程；(2)已知实数m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33－1，3－1，求直线AB 的倾斜角α的取值范围．14．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R)．(1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．15 .已知直线l 过点P(3,2)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点如图，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程．考点答案1解析：选C 由k ＝tan α＝－33，α∈[0，π)得α＝150 2解析：选A 由1＝4－mm ＋2，得m ＋2＝4－m ，m ＝1.3解析：k AC ＝5－36－4＝1，k AB ＝a －35－4＝a －3.由于A ，B ，C 三点共线，所以a －3＝1，a ＝4.4 解析 tan 3π4＝2y ＋1－(－3)4－2＝2y ＋42＝y ＋2，因此y ＋2＝－1.y ＝－3.5解析由题知k ＝－33cos θ，故k ∈⎣⎡⎦⎤－33，33，结合正切函数的图象，当k ∈⎣⎡⎦⎤0，33时，直线倾斜角α∈⎣⎡⎦⎤0，π6，当k ∈⎣⎡⎭⎫－33，0时，直线倾斜角α∈⎣⎡⎭⎫5π6，π，故直线的倾斜角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎭⎫5π6，π. 6解析：选D 由函数y ＝f(x)＝asin x －bcos x 的一条对称轴为x ＝π4知，f(0)＝f ⎝⎛⎭⎫π2，即－b ＝a ，则直线l 的斜率为－1，故倾斜角为135°.7解析：选D 由题意知直线l 恒过定点P(2,1)，如右图．若l 与线段AB 相交，则k PA ≤k ≤k PB .∵k PA ＝－2，k PB ＝12，∴－2≤k ≤12.8解析：选A 由y －5＝－34(x ＋2)，得3x ＋4y －14＝0.9解析：由已知得直线l 的斜率为k ＝－32.所以l 的方程为y －2＝－32(x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0.答案：3x ＋2y －1＝010 设所求直线方程为x －2y ＋m ＝0，由直线经过点(1, 0)，得1＋m ＝0，m ＝－1.则所求直线方程为x －2y －1＝0.11由题意得，1－01－3×k MN＝－1，所以k MN ＝2，故弦MN 所在直线的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.12解：(1)平行于BC 边的中位线就是AB ，AC 中点的连线．因为线段AB ，AC 中点坐标分别为⎝⎛⎭⎫72，1，⎝⎛⎭⎫－12，－2， 所以这条直线的方程为y ＋21＋2＝x ＋1272＋12，整理一般式方程为得6x －8y －13＝0，截距式方程为x 136－y138＝1.(2)因为BC 边上的中点为(2,3)，所以BC 边上的中线所在直线的方程为y ＋43＋4＝x －12－1，即一般式方程为7x －y －11＝0，截距式方程为x 117－y11＝1.13[自主解答] 法一：设点A(x ，y)在l 1上，点B(x B ，y B )在l 2上．由题意知⎩⎨⎧x ＋xB 2＝3，y ＋yB2＝0，则点B(6－x ，－y)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0，(6－x )＋(－y )＋3＝0，得⎩⎨⎧x ＝113，y ＝163，则k ＝163－0113－3＝8.故所求的直线方程为y ＝8(x －3)，即8x －y －24＝0. 法二：设所求的直线方程为y ＝k(x －3)， 点A ，B 的坐标分别为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －3)，2x －y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x A＝3k －2k －2，y A＝4kk －2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －3)，x ＋y ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x B ＝3k －3k ＋1，y B＝－6kk ＋1.∵P(3,0)是线段AB 的中点，∴y A ＋y B ＝0，即4k k －2＋－6kk ＋1＝0，∴k 2－8k ＝0，解得k ＝0或k ＝8. 若k ＝0，则x A ＝1，x B ＝－3，此时x A ＋x B 2＝1－32≠3，∴k ＝0舍去，故所求的直线方程为y ＝8(x －3)，即8x －y －24＝0.14解：(1)设直线l 的方程为y －1＝k(x －2)(k<0)，A ⎝⎛⎭⎫2－1k ，0，B(0，1－2k)， △AOB 的面积S ＝12(1－2k)⎝⎛⎭⎫2－1k ＝12⎣⎡⎦⎤4＋(－4k )＋⎝⎛⎭⎫－1k ≥12(4＋4)＝4. 当且仅当－4k ＝－1k ，即k ＝－12时，等号成立．故直线l 的方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.(2)∵|MA|＝ 1k2＋1，|MB|＝4＋4k 2， ∴|MA|·|MB|＝ 1k 2＋1·4＋4k 2＝2 k 2＋1k2＋2≥2×2＝4， 当且仅当k 2＝1k2，即k ＝－1时取等号，故直线方程为x ＋y －3＝0.课后练习题答案1解析：选A 因为k ，－1，b 三个数成等差数列，所以k ＋b ＝－2，即b ＝－2－k ，于是直线方程化为y ＝kx －k －2，即y ＋2＝k(x －1)，故直线必过定点(1，－2)． 2解析：选D ∵l 1∥l 2，且l 1斜率为2，∴l 2的斜率为2.又l 2过(－1,1)，∴l 2的方程为y －1＝2(x ＋1)， 整理即得y ＝2x ＋3.令x ＝0，得P(0,3)．3解析：选A 由于直线ax ＋by ＋c ＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y ＝－a b x －c b ，易知－a b ＜0且－cb＞0，故ab ＞0，bc ＜0.4解析：选B ∵kl 1＝3，kl 2＝－k ，l 1⊥l 2，∴k ＝13，l 2的方程为y ＝－13x ＋5，即x ＋3y －15＝0.5解析：选A 将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°得到直线y ＝－13x ，再向右平移1个单位，所得直线的方程为y ＝－13(x －1)，即y ＝－13x ＋13.6解析：选C 线段AB 的中点⎝⎛⎭⎫1＋m 2，0代入直线x ＋2y －2＝0中，得m ＝3.7解析：选B由⎩⎨⎧y ＝kx －3，2x ＋3y －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3(2＋3)2＋3k ，y ＝6k －232＋3k .∵两直线交点在第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，y ＞0，解得k ＞33.∴直线l 的倾斜角的范围是⎝⎛⎭⎫π6，π2.8解析：设直线l 的斜率为k ，则方程为y －2＝k(x －1)，在x 轴上的截距为1－2k，令－3＜1－2k ＜3，解得k ＜－1或k ＞12.答案：(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 9解析：k ＝tan α＝2a －(1＋a )3－(1－a )＝a －1a ＋2.∵α为钝角，∴a －1a ＋2＜0，即(a －1)(a ＋2)＜0，故－2＜a ＜1.答案：(－2,1)10解析：把直线方程(m －1)x －y ＋2m ＋1＝0整理得(x ＋2)m －(x ＋y －1)＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3.答案：(－2,3) 11解析：易知圆心C 的坐标为(2,1)，由圆的几何性质可知，当圆心C 与点P 的连线与直线l 垂直时，直线l 被圆C 截得的弦最短．由C(2,1)，P(1,2)可知直线PC 的斜率为2－11－2＝－1，设直线l 的斜率为k ，则k ×(－1)＝－1，得k ＝1，又直线l 过点P ， 所以直线l 的方程为x －y ＋1＝0.答案：x －y ＋1＝012解：设所求直线方程为x a ＋yb ＝1，由已知可得⎩⎨⎧－2a ＋2b ＝1，12|a||b|＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.故直线l 的方程为2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0.13解：(1)当m ＝－1时，直线AB 的方程为x ＝－1；当m ≠－1时，直线AB 的方程为y －2＝1m ＋1(x ＋1)．(2)①当m ＝－1时，α＝π2；②当m ≠－1时，m ＋1∈⎣⎡⎭⎫－33，0∪(0， 3 ]，∴k ＝1m ＋1∈(－∞，－ 3 ]∪⎣⎡⎭⎫33，＋∞，∴α∈⎣⎡⎭⎫π6，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，2π3. 综合①②知，直线AB 的倾斜角α∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3.14解：(1)证明：法一：直线l 的方程可化为y ＝k(x ＋2)＋1，故无论k 取何值，直线l 总过定点(－2,1)．法二：设直线过定点(x 0，y 0)，则kx 0－y 0＋1＋2k ＝0对任意k ∈R 恒成立，即(x 0＋2)k －y 0＋1＝0恒成立，∴x 0＋2＝0，－y 0＋1＝0，解得x 0＝－2，y 0＝1，故直线l 总过定点(－2,1)．(2)直线l 的方程为y ＝kx ＋2k ＋1，则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1，要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，1＋2k ≥0，解得k 的取值范围是[0，＋∞)．(3)依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2kk，在y 轴上的截距为1＋2k ，∴A ⎝⎛⎭⎫－1＋2k k ，0，B(0,1＋2k)．又－1＋2k k <0且1＋2k>0，∴k>0.故S ＝12|OA||OB|＝12×1＋2k k (1＋2k)＝12⎝⎛⎭⎫4k ＋1k ＋4≥12(4＋4)＝4，当且仅当4k ＝1k，即k ＝12时，取等号．故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0. 15解：设A(a,0)，B(0，b)，(a ＞0，b ＞0)，则直线l 的方程为x a ＋yb＝1，∵l 过点P(3,2)，∴3a ＋2b ＝1.∴1＝3a ＋2b ≥2 6ab，即ab ≥24.∴S △ABO ＝12ab ≥12.当且仅当3a ＝2b，即a ＝6，b ＝4时，△ABO 的面积最小，最小值为12.此时直线l 的方程为x 6＋y4＝1.即2x ＋3y －12＝0.。
高三数学一轮复习( 知识点归纳与总结)：直线的倾斜角与斜率直线的方程
第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程[备考方向要明了]考什么怎么考1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．2.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直．3.掌握确定直线位置的几何要素；掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式等)，了解斜截式与一次函数的关系.1.对直线的倾斜角和斜率概念的考查，很少单独命题，但作为解析几何的基础，复习时要加深理解．2.对两条直线平行或垂直的考查，多与其他知识结合考查，如2012年浙江T3等．3.直线方程一直是高考考查的重点，且具有以下特点：(1)一般不单独命题，考查形式多与其他知识结合，以选择题为主．(2)主要是涉及直线方程和斜率.[归纳·知识整合]1．直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角①一个前提：直线l与x轴相交；一个基准：取x轴作为基准；两个方向：x轴正方向与直线l向上方向．②当直线l与x轴平行或重合时，规定：它的倾斜角为0°.③倾斜角的取值范围为[0，π)．(2)直线的斜率①定义：若直线的倾斜角θ不是90°，则斜率k ＝tan_α.②计算公式：若由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)确定的直线不垂直于x 轴，则k ＝y 2－y 1x 2－x 1.[探究] 1.直线的倾角θ越大，斜率k 就越大，这种说法正确吗？提示：这种说法不正确．由k ＝tan θ⎝⎛⎭⎫θ≠π2知，当 θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，θ越大，斜率越大且为正；当θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，θ越大，斜率也越大且为负．但综合起来说是错误的．2．两条直线的斜率与它们平行、垂直的关系[探究] 2.两条直线l 1，l 2垂直的充要条件是斜率之积为－1，这句话正确吗？ 提示：不正确，当一条直线与x 轴平行，另一条与y 轴平行时，两直线垂直，但一条直线斜率不存在．3．直线方程的几种形式 名称 条件方程 适用范围 点斜式 斜率k 与点(x 0，y 0) y －y 0＝ k (x －x 0) 不含直线x ＝x 0 斜截式斜率k 与截距by ＝kx ＋b 不含垂直于x 轴的直线 两点式两点(x 1，y 1)， (x 2，y 2)y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1 不含直线x ＝x 1(x 1＝x 2)和直线y ＝y 1(y 1＝y 2) 截距式截距a 与bx a ＋y b＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)平面直角坐标系内的直线都适用[探究] 3.过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线是否一定可用两点式方程表示？ 提示：当x 1＝x 2，或y 1＝y 2时，由两点式方程知分母此时为零，所以不能用两点式方程表示．[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)若直线x ＝2的倾斜角为α，则α( ) A ．等于0B ．等于π4C ．等于π2D ．不存在解析：选C 因为直线x ＝2垂直于x 轴，故其倾斜角为π2.2．(教材习题改编)过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( ) A ．1 B ．4 C ．1或3D ．1或4解析：选A 由题意知，4－mm ＋2＝1，解得m ＝1.3．过两点(0,3)，(2,1)的直线方程为( ) A ．x －y －3＝0 B ．x ＋y －3＝0 C ．x ＋y ＋3＝0D ．x －y ＋3＝0解析：选B 直线斜率为3－10－2＝－1，其方程为y ＝－x ＋3，即x ＋y －3＝0.4．直线l 的倾斜角为30°，若直线l 1∥l ，则直线l 1的斜率k 1＝________；若直线l 2⊥l ，则直线l 2的斜率k 2＝__________.解析：∵l 1∥l 2，∴k l 1＝tan 30°＝33. ∵l 2⊥l ，∴k l 2＝－1k l ＝－ 3.答案：33－ 3 5．已知A (3,5)，B (4,7)，C (－1，x )三点共线，则x 等于________． 解析：因为k AB ＝7－54－3＝2，k AC ＝x －5－1－3＝－x －54.A ，B ，C 三点共线，所以k AB ＝k AC ，即－x －54＝2， 解得x ＝－3. 答案：－3直线的倾斜角和斜率[例1] (1)直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( )A ．[0，π) B.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎣⎡⎦⎤0，π4 D.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫π2，π (2)已知两点A (m ，n )，B (n ，m )(m ≠n )，则直线AB 的倾斜角为________；(3)直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为________．[自主解答] (1)设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α，其中sin α∈[－1,1]．又θ∈[0，π)，所以0≤θ ≤π4或3π4≤ θ<π.(2)设直线AB 的倾斜角为θ，斜率为k ，则 k ＝tan θ＝m －nn －m ＝－1.又θ∈[0，π)， 所以θ＝3π4.(3)如右图，∵k AP ＝1－02－1＝1， k BP ＝3－00－1＝－3， ∴k ∈(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)．[答案] (1)B (2)3π4(3)(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)若将P (1,0)改为P (－1,0)，其他条件不变，求直线l 的斜率的取值范围． 解：∵P (－1，0)，A (2，1)，B (0，3)， ∴k P A ＝1－02－(－1)＝13，k PB ＝3－00－(－1)＝ 3.借助图形可知，直线l 的斜率的取值范围为133⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.———————————————————斜率的求法(1)定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k ＝tan α求斜率； (2)公式法：若已知直线上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，一般根据斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)求斜率．1．直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是( ) A.33B. 3 C ．－ 3D ．－33解析：选A 设直线l 的斜率为k ， 则k ＝－sin 30°cos 150°＝33.2．若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A.13 B ．－13C ．－32D.23解析：选B 设P (x,1)，Q (7，y )，则x ＋7＝2,1＋y ＝－2， 解得x ＝－5，y ＝－3，从而k l ＝1－(－3)－5－7＝－13.直线的平行与垂直的判断及应用[例2] 若直线ax ＋2y －6＝0与x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0平行，则a ＝________. [自主解答] 因为两直线平行， 所以有a (a －1)＝2，即a 2－a －2＝0，解得a ＝2或a ＝－1. [答案] 2或－1 ———————————————————用一般式确定两直线位置关系的方法直线方程 l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0(A 21＋B 21≠0) l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 22＋B 22≠0)l 1与l 2垂直 的充要条件 A 1A 2＋B 1B 2＝0 l 1与l 2平行 的充分条件 A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2(A 2B 2C 2≠0) l 1与l 2相交 的充分条件A 1A 2≠B 1B 2(A 2B 2≠0)l 1与l 2重合 的充分条件A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2(A 2B 2C 2≠0)3．已知l 1的倾斜角为45°，l 2经过点P (－2，－1)，Q (3，m )，若l 1⊥l 2，则实数m ＝________. 解析：k 1＝tan 45°＝1，k 2＝m ＋13＋2， ∵l 1⊥l 2，∴k 2＝m ＋13＋2＝－1，解得m ＝－6.答案：－64．已知过点A (－2，m )，B (m,4)的直线与直线2x ＋y －1＝0平行，则m 的值为________． 解析：由题意知，k AB ＝4－mm ＋2＝－2， 解得m ＝－8. 答案：－8直 线 方 程[例3] (1)在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O (0,0)，A (1,3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( )A ．y －1＝3(x －3)B ．y －1＝－3(x －3)C ．y －3＝3(x －1)D ．y －3＝－3(x －1)(2)直线l 经过点P (3,2)且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点．△OAB 的面积为12，则直线l 的方程是________________________________________________．[自主解答] (1)因为AO ＝AB ，所以直线AB 的斜率与直线AO 的斜率互为相反数，所以k AB ＝－k OA ＝－3，所以直线AB 的点斜式方程为：y －3＝－3(x －1)．(2)法一：设直线l 的方程为x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)．则有3a ＋2b ＝1，且12ab ＝12.解得a ＝6，b ＝4.所以所求直线l 的方程为x 6＋y4＝1，即2x ＋3y －12＝0.法二：设直线l 的方程为y －2＝k (x －3)(k <0)， 令x ＝0，得y ＝2－3k >0；令y ＝0，得x ＝3－2k>0.所以S △OAB ＝12(2－3k )⎝⎛⎭⎫3－2k ＝12，解得k ＝－23， 故所求直线方程为y －2＝－23(x －3)，即2x ＋3y －12＝0.[答案] (1)D (2)2x ＋3y －12＝0 ———————————————————求直线方程的常用方法(1)直接法：根据已知条件，选择恰当形式的直线方程，直接求出方程中系数，写出直线方程．(2)待定系数法：先根据已知条件设出直线方程．再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数，最后代入求出直线方程．5．△ABC 的三个顶点为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)，求： (1)BC 所在直线的方程；(2)BC 边上中线AD 所在直线的方程； (3)BC 边的垂直平分线DE 的方程．解：(1)因为直线BC 经过B (2,1)和C (－2,3)两点，由两点式得BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2，即x ＋2y －4＝0.(2)设BC 中点D 的坐标(x ，y )，则 x ＝2－22＝0，y ＝1＋32＝2.BC 边的中线AD 过点A (－3,0)，D (0,2)两点，由截距式得AD 所在直线方程为x －3＋y 2＝1，即2x －3y ＋6＝0.(3)BC 的斜率k 1＝－12，则BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2，由点斜式得直线DE 的方程为y －2＝2(x －0)，即2x －y ＋2＝0.1个关系——直线的倾斜角和斜率的关系(1)任何的直线都存在倾斜角，但并不是任意的直线都存在斜率． (2)直线的倾斜角α和斜率k 之间的对应关系：α 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180°kk >0不存在k <03个注意点(1)明确直线方程各种形式的适用条件点斜式斜截式方程适用于不垂直于x 轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x 、y 轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线．在应用时要结合题意选择合适的形式，在无特殊要求下一般化为一般式．(2)截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零．(3)求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率存在与否加以讨论.易误警示——有关直线方程中“极端”情况的易误点[典例] (2013·常州模拟)过点P (－2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程为_______________________________．[解析] 当截距不为0时，设所求直线方程为 x a ＋ya＝1，即x ＋y －a ＝0. ∵点P (－2,3)在直线l 上，∴－2＋3－a ＝0， ∴a ＝1，所求直线l 的方程为x ＋y －1＝0. 当截距为0时，设所求直线方程为y ＝kx ，则有 3＝－2k ，即k ＝－32，此时直线l 的方程为y ＝－32x ，即3x ＋2y ＝0.综上，直线l 的方程为x ＋y －1＝0或3x ＋2y ＝0. [答案] x ＋y －1＝0或3x ＋2y ＝0 [易误辨析]1．因忽略截距为“0”的情况，导致求解时漏掉直线方程3x ＋2y ＝0而致错，所以可以借助几何法先判断，再求解，避免漏解．2．在选用直线方程时，常易忽视的情况还有： (1)选用点斜式与斜截式时忽视斜率不存在的情况；(2)选用两点式方程时忽视与x 轴垂直的情况及与y 轴垂直的情况． [变式训练]已知直线l 过(2,1)，(m,3)两点，则直线l 的方程为________________． 解析：当m ＝2时，直线l 的方程为x ＝2；当m ≠2时，直线l 的方程为y －13－1＝x －2m －2，即2x －(m －2)y ＋m －6＝0.因为m ＝2时，方程2x －(m －2)y ＋m －6＝0， 即为x ＝2，所以直线l 的方程为2x －(m －2)y ＋m －6＝0. 答案：2x －(m －2)y ＋m －6＝0一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．(2013·秦皇岛模拟)直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是( ) A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6解析：选D 由直线的方程得直线的斜率为k ＝－33，设倾斜角为α，则tan α＝－33，所以α＝5π6.2．已知点A (1，－2)，B (m,2)，且线段AB 垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值是( )A ．－2B ．－7C ．3D ．1解析：选C 由已知k AB ＝2，即4m －1＝2，解得m ＝3.3．若直线经过点(1,1)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则这样的直线共有( ) A ．4条 B ．3条 C ．2条D ．1条解析：选B 作图易得在第一、二、四象限各能围成一个．4．(2013·银川模拟)已知直线l 1：x ＋ay ＋6＝0和l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0，则l 1∥l 2的充要条件是a 等于( )A ．3B ．1C ．－1D ．3或－1解析：选C 由题意知，l 1∥l 2⇔1a －2＝a 3≠62a ，即a ＝－1.5．直线2x －my ＋1－3m ＝0，当m 变化时，所有直线都过定点( ) A.⎝⎛⎭⎫－12，3 B.⎝⎛⎭⎫12，3 C.⎝⎛⎭⎫12，－3 D.⎝⎛⎭⎫－12，－3 解析：选D 原方程可化为(2x ＋1)－m (y ＋3)＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝0，y ＋3＝0，解得x ＝－12，y ＝－3，故所有直线都过定点⎝⎛⎭⎫－12，－3. 6．设a ，b ，c 分别是△ABC 中角A ，B ，C 所对边的边长，则直线x sin A ＋ay ＋c ＝0与直线bx －y sin B ＋sin C ＝0的位置关系是( )A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直解析：选C 由已知得a ≠0，sin B ≠0，所以两条直线的斜率分别为k 1＝－sin Aa ，k 2＝b sin B ，由正弦定理得k 1·k 2＝－sin A a ·b sin B＝－1，所以两条直线垂直． 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，而α∈⎣⎡⎭⎫π6，π4∪⎣⎡⎭⎫2π3，π，则k 的取值范围是________________．解析：当α∈⎣⎡⎭⎫π6，π4时，k ＝tan α∈⎣⎡⎭⎫33，1； 当α∈⎣⎡⎭⎫2π3，π时，k ＝tan α∈[－3，0)． 综上k ∈[－3，0)∪⎣⎡⎭⎫33，1.答案：[－3，0)∪⎣⎡⎭⎫33，18．已知直线x －ky ＋1＝0与直线y ＝kx －1平行，则k 的值为________． 解析：若两直线平行，则k ＝1k ，解得k ＝±1.答案：±19．(2013·皖南八校联考)已知直线a 2x ＋y ＋2＝0与直线bx －(a 2＋1)y －1＝0互相垂直，则|ab |的最小值为________．解析：∵两直线互相垂直，∴a 2b －(a 2＋1)＝0且a ≠0， ∴a 2b ＝a 2＋1， ∴ab ＝a 2＋1a ＝a ＋1a，∴|ab |＝⎪⎪⎪⎪a ＋1a ＝|a |＋1|a |≥2(当且仅当a ＝±1时取等号)． 答案：2三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．设直线l 的方程为x ＋my －2m ＋6＝0，根据下列条件分别确定m 的值：(1)直线l 的斜率为1；(2)直线l 在x 轴上的截距为－3.解：(1)因为直线l 的斜率存在，所以m ≠0，于是直线l 的方程可化为y ＝－1m x ＋2m －6m.由题意得－1m＝1，解得m ＝－1. (2)法一：令y ＝0，得x ＝2m －6.由题意得2m －6＝－3，解得m ＝32. 法二：直线l 的方程可化为x ＝－my ＋2m －6.由题意得2m －6＝－3，解得m ＝32. 11．已知两点A (－1,2)，B (m,3)．(1)求直线AB 的方程；(2)已知实数m ∈⎣⎡⎦⎤－33－1，3－1，求直线AB 的倾斜角α的取值范围． 解：(1)当m ＝－1时，直线AB 的方程为x ＝－1，当m ≠－1时，直线AB 的方程为y －2＝1m ＋1(x ＋1)． (2)①当m ＝－1时，α＝π2. ②当m ≠－1时，m ＋1∈⎣⎡⎭⎫－33，0∪(]0，3， 即k ＝1m ＋1∈(－∞，－ 3 ]∪⎣⎡⎭⎫33，＋∞， 所以α∈⎣⎡⎭⎫π6，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，2π3.综合①②知，直线AB 的倾斜角α的取值范围为⎣⎡⎦⎤π6，2π3.12．如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1,0)作直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程． 解：由题意可得k OA ＝tan 45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－33，所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )，所以AB 的中点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2， 由点C 在y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得 ⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3， 3)．又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32. 所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)， 即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.1．直线l 过点(－1,2)且与直线3y ＝2x ＋1垂直，则l 的方程是( )A ．3x ＋2y －1＝0B ．3x ＋2y ＋7＝0C ．2x －3y ＋5＝0D ．2x －3y ＋8＝0解析：选A 法一：设所求直线l 的方程为3x ＋2y ＋C ＝0，则3×(－1)＋2×2＋C ＝0，得C ＝－1，即l 的方程为3x ＋2y －1＝0.法二：由题意知，l 的斜率是k ＝－32，则直线l 的方程为y －2＝－32(x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0.2．直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是( )A ．－1<k <15B ．k >1或k <12C ．k >15或k <1D ．k >12或k <－1 解析：选D 设直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)，令y ＝0，得直线l 在x轴上的截距为1－2k， 则－3<1－2k <3，解得k >12或k <－1.3．已知A (3,0)，B (0,4)，动点P (x ，y )在线段AB 上移动，则xy 的最大值等于________．解析：∵线段AB 的方程为x 3＋y 4＝1(0≤x ≤3)， ∴y ＝4－43x ，代入xy 得xy ＝－43x 2＋4x ＝－43·⎝⎛⎭⎫x －322＋3，∴由二次函数性质知，当x ＝32时，xy 的最大值等于3.答案：34．已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B两点，如右图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程．解：法一：设A (a,0)，B (0，b )(a >0，b >0)，则直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，∵l 过点P (3,2)，∴3a ＋2b ＝1，b ＝2aa －3.从而S △ABO ＝12a ·b ＝12a ·2a a －3＝a 2a －3.故有S △ABO ＝(a －3)2＋6(a －3)＋9a －3＝(a －3)＋9a －3＋6≥2 (a －3)·9a －3＋6＝12，当且仅当a －3＝9a －3，即a ＝6时，(S △ABO )min ＝12，此时b ＝2×66－3＝4.故所求直线l 的方程为x 6＋y4＝1，即2x ＋3y －12＝0.法二：设直线方程为xa ＋yb ＝1(a >0，b >0)， 代入P (3,2)，得3a ＋2b ＝1≥2 6ab ，得ab ≥24，从而S △AOB ＝12ab ≥12，当且仅当3a ＝2b 时，等号成立，此时k ＝－b a ＝－23，故所求直线l 的方程为2x ＋3y －12＝0.法三：依题意知，直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为y －2＝k (x －3)(k <0)，则有A ⎝⎛⎭⎫3－2k ，0，B (0,2－3k )， 则S △AOB ＝12(2－3k )⎝⎛⎭⎫3－2k ＝12⎣⎡⎦⎤12＋(－9k )＋4(－k ) ≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋2 (－9k )·4(－k ) ＝12(12＋12)＝12， 当且仅当－9k ＝4－k ，即k ＝－23时，等号成立． 故所求直线l 的方程为2x ＋3y －12＝0.法四：如右图所示，过P 分别作x 轴，y 轴的垂线PM ，PN ，垂足分别为M ，N . 设θ＝∠P AM ＝∠BPN ，则S △AOB ＝S △PBN ＋S 四边形NPMO ＋S △PMA＝12×3×3×tan θ＋6＋12×2×2×1tan θ＝6＋92tan θ＋2tan θ≥6＋2 92tan θ·2tan θ＝12， 当且仅当92tan θ＝2tan θ， 即tan θ＝23时，S △AOB ＝12，此时直线l 的斜率为－23，其方程为2x ＋3y －12＝0.。
9.1直线的倾斜角与斜率、直线的方程课件-2025届高三数学一轮复习
3
,所以α=30°.
3
(2)若A(1,-3),B(1,3),则直线AB的倾斜角为90°.(
√
)
提示:(2)因为A(1,-3),B(1,3),所以直线AB与x轴垂直,则其斜率不存在,故其倾斜角为
90°.
(3)若直线过点(1,2),且它的倾斜角为45°,则这条直线必过点(3,4).(
√
)
提示:(3)因为直线过定点(1,2),且斜率为tan 45°=1,所以直线的方程为y-2=x-1,
不含直线x=x1(x1=x2)和直线y=y1(y1=y2)
截距式
x y
+ =1
a b
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
Ax+By+C=0,(A2+B2≠0)
平面内所有直线
微点拨
1.用直线的点斜式求方程时,在斜率k不明确的情况下,注意分k存在与不存在两种情
况讨论,否则会造成失误.
2.“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值,它可正,可负,也可以是零,而“距离”是一个
= ,解得k=12.
4−2
5−4
2.直线l经过A(2,1),B(1,m2)(m∈R)两点,那么直线l的斜率的取值范围为(
A.(0,1]
B.(-∞,1]
C.(-2,1]
D.[1,+∞)
2 −1
【解析】选B.kl=
=1-m2≤1,故直线l的斜率的取值范围为(-∞,1].
1−2
)
3.直线2xcos α-y-3=0(α∈
ππ
ππ
由于θ∈[0,π),所以θ∈[ , ],即倾斜角的变化范围是[ , ].
4 3
4 3
)
考点二 求直线的方程
【原创】高考数学复习第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
1．过点 P(2,1)作直线 l，与 x 轴和 y 轴的正半轴分别交于 A， B 两点，求：
(1)△AOB 面积的最小值及此时直线 l 的方程；
解：设直线 l 的方程为 y－1＝k(x－2)，
则可得 A2－1k，0，B(0,1－2k)． ∵直线 l 与 x 轴，y 轴正半轴分别交于 A，B 两点，
(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线 l 上，且 x1≠x2，则 l 的斜率
k＝
y2－y1 x2－x1
.
返回
3．直线方程的五种形式
名称 几何条件
方程
适用范围
斜截式 纵截距、斜率
y＝kx＋b
与 x 轴不垂直
点斜式 过一点、斜率 y－y0＝k(x－x0) 的直线
两点式 过两点
yy2－－yy11＝xx2－－xx11
(1)定义：当直线 l 与 x 轴相交时，取 x 轴作为基准，x 轴正向 与直线 l 向上方向之间所成的角叫做直线 l 的倾斜角．当直
线 l 与 x 轴 平行或重合 时，规定它的倾斜角为 0. (2)范围：直线 l 倾斜角的取值范围是 [0，π) ．
2．斜率公式
(1)直线 l 的倾斜角为 α(α≠π2)，则斜率 k＝ tan α .
此时直线 l 的方程为 y－1＝－12(x－2)，即 x＋2y－4＝0.
返回
(2)直线 l 在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线 l 的方程；
解：∵A2－1k，0，B(0,1－2k)(k＜0)，
∴截距之和为
2
－
1 k
＋
1
－
2k
＝
3
－
2k
－
1 k
≥3
＋
2
解析几何：直线的倾斜角与斜率、直线的方程
Ax ＋By＋C＝0 适用与平面直角坐 ____________ 2＋B2≠0) (A ____________ 标系内的所有直线
第43讲
直线的倾斜角与斜率、直线的方程
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链接教材
1．[教材改编] 若过点 M（－2，m） ，N（m，4）的直 线的斜率等于 1，则 m 的值为 .
[答案] 1
4－m [解析] 由题意知， ＝1，解得 m＝1. m＋2
[答案] y＝－2x或x＋y－1＝0
[解析] 当直线经过原点时，设直线方程为 y＝kx，∴2＝－k， x y ∴k＝－2；当直线不经过原点时，设直线方程为a＋a＝1，∴ －1 2 a ＋a＝1，∴a＝1.故所求直线方程为 y＝－2x 或 x＋y－1＝ 0.
第43讲
直线的倾斜角与斜率、直线的方程
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通性通法
斜截式 斜率 k 与截距 b 两点(x1，y1)， (x2，y2) 在 x 轴和 y 轴的 截距分别为 a，b
不含垂直于 x 轴的 y ＝ kx ＋ b ______________
y－y1 x－x1 ＝ y － y x2－x1 ______________ 2 1
两点式
截距式 一般式
x y ＋ ＝1 ______________ a b
直线的倾斜角与斜率、直线 的方程
第43讲
直线的倾斜角与斜率、直线的方程
—— 知识聚焦 —— 1．直线的倾斜角 (1)定义：在平面直角坐标系中，当直线 l 与 x 轴相交时， 我们取 x 轴作为基准，x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的 角 α 叫作直线 l 的倾斜角．当直线 l 和 x 轴平行或重合时，直 0° 线 l 的倾斜角为________ ． 0°≤α<180 (2)范围：倾斜角 α 的取值范围是________ ．° 2．直线的斜率 正切值 叫作这 (1)定义：一条直线的倾斜角 α(α ≠90° )的________ tan α ；当直线的倾斜角 条直线的斜率，该直线的斜率 k＝________ 不存在 ． α＝90° 时，直线的斜率________ (2)过两点的直线的斜率公式：过两点 y2－y1 P1(x1，y1)，P2(x2， y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为 k＝________ x2－x1 ；若 x1＝x2，则直 不存在 ，此时直线的倾斜角为 90° 线的斜率________ .