1-4复平面上的点集

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复变函数2章

| z | x 2 y 2
为实数绝对值、长度概念的推广。单位复数：模为1的复数。 0复数的等价条件：模为0。即： z=0|z|=0 两复数z1=x1 + iy1 、 z2=x2 + iy2的距离：
y
( x, y )
x
0
y
d z1 , z 2 z1 z2
z2 z z 1 2
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例 (P9例1.2) 求Arg(2-2i) 、 Arg(-3+4i) 解: 2-2i在第四象限 arg(2-2i)=arctan(-2/2)= -π /4 Arg(2-2i)=arg(2-2i)+2kπ (k=0, 1, 2, ...) = -π /4+2kπ -3+4i在第二象限 arg(-3+4i)=arctan(4/(-3))+π = - arctan(4/3)+π Arg(-3+4i)=arg(-3+4i)+2kπ = - arctan(4/3) +π+2kπ =- arctan(4/3)+(2k+1)π (k=0, 1, 2, ...)
1 2 1 2
模：
z1 z2 z1 z2
z1 / z2 z1 / z2
幅角：Arg(z1·2)= Arg z1+Arg z2 z Arg(z1/z2)= Arg z1-Arg z2 或 arg(z1·2)= Arg z1+Arg z2 + 2kπ z arg(z1/z2)= Arg z1-Arg z2 + 2kπ 乘(除)——模乘(除)、幅角加(减)
特别当z2 为单位复数时，z1·2 为z1 绕原点正向旋转 θ2 ，z2 为 z 旋转乘数。如z2=i，θ2=π/2， z1·2为z1绕原点正向旋转π/2； z z2=-1，θ2=π， z1·2为z1绕原点正向旋转π。 z 与向量乘积不同！

复变函数论第1章第2节

−
1 3
1 3
( 4) z − 1 + z + 1 < 4 z −1 + z +1 = 4
表示到1, 的距离之表示到 –1的距离之和为定值4的点的轨迹的点的轨迹, 和为定值的点的轨迹是椭圆, 是椭圆
z − 1 + z + 1 < 4表示该椭圆内部 ,
有界的单连通域. 有界的单连通域作业：作业： P42 6 (2)(3)(4)(5)(8)
(1) D 为开集；为开集；
( 2) D 中任意两点可用全在 D 中的折线连接 .
定义1.6 定义1.6 区域 D 连同它的边界 C 一起构成闭区域，闭区域，
记作 D = D + C .
练习判断下列点集是否有界?是否为区域？判断下列点集是否有界是否为区域？是否为区域
y
r2
(1) 圆环域 r1 < z − z0 < r2 ; 圆环域: (2) 上半平面 Im z > 0; 上半平面: (3) 角形域 φ1 < arg z < φ 2 ; 角形域: (4) 带形域 a < Im z < b. 带形域: 答案 (1)有界有界; 有界 (2) (3) (4)无界无界. 无界
称点集 0 <| z − z0 |< ρ 为点 z0 的去心 ρ
邻域，邻域，记作 N ρ ( z0 ) − { z0 }.
若平面上一点 z0 的任意邻定义1.2 对于点集 E ，定义1.2
的无穷多个点，域都有 E 的无穷多个点，则称 z0 为 E的聚点或
极限点 .
若 z0 属于 E，但非 E 的聚点，则称 z0 为 E 的的聚点，

第一章-平面点集概念(1)

先介绍几个有关平面曲线的概念。链接曲线概念.ppt
8
(8) 单连通域与多连通域的定义
复平面上的一个区域G, 如果在其中任作一条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于G, 就称为单连通区域. 一个区域如果不是单连通域, 就称为多连通区域.
单连通域
多连通域
9
例设
，
由定义得知，是单连通区域
D 是多连通区域．
12
(4) z 1 z 1 4 因 z1 z1 4 表示到1, –1的距离之和为定值 4 的点的轨迹, 是椭圆, z 1 z 1 4表示该椭圆内部, 有界的单连通域.
13
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(5) z 1 z 1 1
令 z r cos ir sin ,
z1 z1 1
[(r cos 1)2 r2 sin2 ][(r cos 1)2 r2 sin2 ] 1 (r2 2r cos 1)(r2 2r cos 1) 1 (r2 1)2 4(r cos )2 1 r 2 2cos 2 ,
办公室：主楼1001
1
§1-2 复平面上曲线和区域
一、平面点集与区域二、复平面上曲线方程的各种表示
2
一、平面点集的相关概念
邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，区域
(1) 邻域平面上以 z0 为中心, (任意的正数)为半径
的圆内部点的集合
(2) 去心邻域
z
z0
称为 z0 的
邻域 .
15
(3) 0 z 1 i 2, 以 (1 i) 为圆心, 2为半径的去心圆盘, 是多连通域.
(4) arg( z i) ,
4 以 i 为端点, 斜率为 1 的半射线 (不包括端点i ),

1.2 复平面上的点集解析

1 z 2 z |z|
例 2 设 z1 及 z2 是两个复数，试证
2 2 2
z1 z2 z1 z2 2 Re z1 z2
.
证
z1 z2
2
z1 z2 z1 z2 z1 z1 z2 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 2 Re z1 z2
课堂练习判断下列区域是否有界? (1) 圆环域: r1 z z0 r2 ; (2) 上半平面: Im z 0;
r1 r2
z 0
y
(3) 角形域: 0 arg z ;
(4) 带形域: a Im z b.
o x
答案
(1)有界;
(2) (3) (4)无界.
2. 简单曲线（Jardan曲线)
2 2 2 2

2.复数的运算
复数的四则运算定义为：
(a1 ib1 )(a2 ib2 ) (a1a2 b1b2 ) i(a1b2 a2b1 )
(a1 ib1 ) a1a2 b1b2 a2b1 a1b2 i 2 2 2 2 (a2 ib2 ) a2 b2 a2 b2
1. 平面点集的几个基本概念
邻域：由不等式 z z0 所确定的平面点集，就是以 z0 为心，以为半径的圆，称为点 z0 的邻域，常记为 N z0 ；并称 0 z z0 为点 z0 的去心邻域，常记为 N z0 z0 以下几类点是在点集 E 和平面上一点 z0 之间的关系进行考虑的:
y
复数加、减法的
z2
0
z1 z2
z1 z2

1.3 平面点集的一般概念解析

§1.3 平面点集的一般概念第二、区域一 1. 区域与闭区域章区域平面点集 D 称为一个区域，如果它满足下列两个条件: 复 (1) D 是一个开集；数与 (2) D是连通的，即 D 中任何两点都可以用完全属于 D 复的一条折线连接起来。变函不数连连通
通
闭区域区域 D 与它的边界一起构成闭区域或闭域, 记作 D。 6
简单、闭
简单、不闭
不简单、闭
不简单、不闭
12
§1.3 平面点集的一般概念第一章复数与复变函数 4. 内区域与外区域若尔当曲线定理任一简单闭曲线将平面分成两个区域，它们
都以该曲线为边界，其中一个为有界区域，称为该闭曲线的
内部（内区域）；另一个为无界区域，称为外部（外区域）。 5. 单连通域与多（复）连通域定义设 D 为区域，如果 D 内的任何一条简单闭曲线的内部仍属于 D，则 D 称为单连通域，否则称为多连通域。
z xiy
~ f ( x , y ) 0 . (理解方程)
9
§1.3 平面点集的一般概念第一章复数与复变函数
2i
2
x 2 ( y 1)2 4 .
(1)
i i i
y 0.
y x.
x2 y2 2 1. 2 2 ( 3)
(2)

z0
z0
3
§1.3 平面点集的一般概念第一、平面点集一章 2. 内点、外点、边界点、孤立点考虑某平面点集 G 以及某一点 z 0 ，复数内点 (1) z0 G ; (2) 0 , z : | z z | , 有 z G . 0 与复外点 (1) z G ; (2) 0 , z : | z z | , 有 z G . 0 0 变函外点数边界点 (1) z0 不一定属于 G ； (2) 0 , 在 | z z0 | 中，内点

课程简介：《复变函数》课程是高等师范院校和综合性大学数学类专业本.doc

课程编码（）课程总学时：54学分：3数学与应用数学专业《复变函数》教学大纲一、课程说明1.课程性质《复变函数》是数学与应用数学专业的一门专业主干课程，是数学分析的后续课程。

本课程的主要内容是讨论单复变量的复值可微函数的性质，其主要研究对象是全纯函数，即复解析函数。

复变函数论又称复分析，是数学分析的推广和发展。

因此它不仅在内容上与数学分析有许多类似Z 处，而只在逻辑结构方面也非常类似。

复变函数论是一门古老而富有生命力的学科。

早在19世纪,Cauchy> Weierstrass及Riem ann等数学巨匠就已经给这门学科奠定了坚实的基础。

复变函数论作为一种强有力的工具，已经被广泛应用于自然科学的众多领域，如理论物理、空气动力学、流体力学、弹性力学以及口动控制学等，冃前也被广泛应用于信号处理、电子工程等领域。

复变函数论作为一门学科，冇其自身的特点，有其特冇的研究方法。

在学习过程中，应注意将所学的知识融汇贯通，并通过与微积分理论的比较加深理解，掌握它H身所固有的理论和方法。

2.课程教学目标与要求（1）通过本课程的教学，使学生学握复变函数论的基本理论和方法，获得独立地分析和解决某些相关理论和实际问题的能力。

为进一步学习其他课程，并为将來从事教学，科研及其他实际工作打好基础。

（2）通过基本概念的止确讲解，基本理论的系统阐述，基本运算能力的严格训练，逐步提髙学生的数学修养。

同时注意扩展学牛的学习思路，使他们了解更多的和现代牛活息息相关的数学应用知识。

（3）作为师范专业，在冇关内容方面注重高等数学对初等数学的提高和指导意义，使学生在今后的工作中有较高的起点。

3.选用教材与参考书目选用教材：《复变函数论》（第三版），钟玉泉，高等教育出版社，2003年。

参考书目：《复变函数》（第二版），余家荣，高等教育出版社，1992年。

《多复变函数》［美］那托西姆汉著，科学出版社。

《解析函数边值问题》路见可著，上海科技出版社。

《复变函数》第一章复数与复变函数

( z ≠ 0)
的定义域, w 值的全体组成的集合称为函数 w = f ( z ) 的值域. 及 w = z +1
z 1
( z ≠ 1)
均为单值函数,w = n z
均为多值函数.
今后如无特别说明,所提到的函数均为单值函数.
设 w = f ( z ) 是定义在点集则
容易验证复数的四则运算满足与实数的四则运算相应的运算规律. 全体复数并引进上述运算后称为复数域,必须特别提出的是,在复数域中,复数是不能比较大小的.
2.复平面
从上述复数的定义中可以看出,一个复数 z = x + iy 实际上是由一对有序实数 ( x, y ) 唯一确定.因此,如果我们把平面上的点 ( x, y )与复数 z = x + iy 对应,就建立了平面上全部的点和全体复数间的一一对应关系. 由于 x 轴上的点和 y 轴上非原点的点分别对应着实数和纯虚数,因而通常称
对应相等,即 x1 = x2 且 y1 = y2 虚部为零的复数可看作实数,即x + ii0 = x ,
0 特别地, + ii0 = 0 ,因此,全体实数是全体复数的一部分.
实数为零但虚部不为零的复数称为纯虚数,复数 x + iy 为互为共轭复数,记为
( x + iy ) = x iy
和 x iy
2.区域与约当(Jordan)曲线
定义1.5 若非空点集 D 满足下列两个条件: (1) D 为开集. (2) D 中任意两点均可用全在 D 中的折线连接起来,则称 D 为区域 (图) 定义1.6 若 z0 为区域 D 的聚点且 z0 不是 D 的内点,则称 z0 为 D 的界点, D 的所有界点组成的点集称为 D 的边界,记为 D , 若 r > 0 ,使得 N r ( z0 ) ∩ D = ,则称 z 0 为 D 的外点定义1.7 区域 D 加上它的边界 C 称为闭区域,记为 D = D + C

平面点集和区域

(cos 5 i sin 5 )2 (2) (cos 3 i sin 3 )3
2。证明： | z1 z2 |2 | z1 z2 |2 2(| z1 |2 | z2 |2 )
并说明其几何意义。
3。求方程 z t i (t 0) 所表示的曲线（其中t为实参数）。 t
而北极N可以看
x3
作复平面上一个
P(x1,x2,x3)
模为无穷大的点在球面上的对应
点，称该点为无
穷远点，记作∞ 。
x2
y
o
x z(x,y)
•扩充复平面---包括无穷远点 ∞在内的复平面.
•对于∞来说，实部，虚部和辐角的概念均无意义。
•复平面上的直线，圆周
复球面上的圆周
约定:
a (a 0), 0
例如：序列 i , 2 i,..., n 1i,
23
n
的聚点是 i.
一个序列可以不止一个聚点，例如序列：
1, 2, 3, 4, 2 34 5
5, 6

6 7
,...
就有两个聚点：
1.
（4）孤立点：若 z0 属于集合 I，但非 I 的聚
点，则称 z0 为 I 的孤立点.
例如：集合
{
i
,
2
i,...,
表示到两定点 i, i 的张角之差等于定数 π 的点 z 的集合.由 4
平面几何的定理知，这是缺了点 i 和 i 的两个圆弧.见图 1.10 所示，图中两个圆弧实际上只有实线圆弧才是 arg z i π 所确定
zi 4 的点集；虚线圆弧是 arg z i π 所确定的点集.
zi 4
如果一个区域如果一个区域d可以被可以被包含在一个以原点为中心的圆内部即包含在一个以原点为中心的圆内部即存在正数存在正数mm使得区域使得区域d的每一点的每一点zz都满足都满足那么那么d称为有界区域称为有界区域

复变函数-教学大纲

《复变函数》课程教学大纲一、课程基本信息课程代码：16183703课程名称：复变函数英文名称：Complex Variables课程类别：专业课学时：48学分：3适用对象: 数学与应用数学考核方式：考查先修课程：《数学分析》、《解析几何》、《高等代数》二、课程简介本课程是数学与应用数学专业的一门专业选修课. 课程主要讲授单复变函数的一些基本知识，分别从导数、积分、级数、留数、映射五个方面来刻画解析函数的性质及其应用。

首先从复数域开始，引入复变函数，再给出解析函数的概念，再以它为研究对象，介绍解析函数的导数、积分、解析函数的幂级数表示法，解析函数的罗朗展式与孤立奇点，留数理论及其应用。

《复变函数论》主要讲单复变中的解析函数理论：内容包括解析函数的概念、性质、柯西一黎曼条件。

柯西积分定理及柯西积分公式。

解析函数的泰勒展式和罗朗展式。

利用留数理论求积分，保形映射等内容。

This course is a specialized elective course in mathematics an applied mathematics. The course mainly introduces some basic knowledge of single complex functions describing the properties and applications of analytical functions from five aspects: derivative, integral, series, residue and mapping, respectively. First of all, from the complex domain, the complex variable function is introduced, and then the concept of analytic function is given. Taking it as the research object, we introduce the derivative, integral, power series representation, Laurent expansions, isolated singularity, residue theory of analytic function and its application. The theory of complex variable mainly focuses on the analytic function theory of simple complex variables: the content includes the concept and property of analytic function, Cauchy-Riemann condition. Cauchy integral theorem and Cauchy integral formula.Taylor Expansion and Roland Expansion of Analytic Functions. Using the theory of residue for integration, conformal mapping and other contents.三、课程性质与教学目的复变函数论是数学系各专业的一门重要课程，同时又是数学分析的后继课。

1.4复平面上的点集

平面点集D称为一个区域, 如果它满足下列两个条件: 1) D是一个开集; 2) D是连通的。就是说D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连接起来.
设D为复平面内的一个区域, 如果点P不属于D, 但在 P的任意小的邻域内总包含有D中的点, 这样的点P称为D的边界点. D的所有边界点组成D的边界. 区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的.
x=x(t), y=y(t), (atb) 代表一条平面曲线, 称为连续曲线. 如果令
z(t)=x(t)+iy(t) 则此曲线可用一个方程
z=z(t) (atb) 来代表. 这就是平面曲线的复数表示式.
对曲线z(t)=x(t)+iy(t), 如果在区间[a,b]上x'(t)和
y'(t)都是连续的,且对atb有
内部 C
外部
定义. 复平面上的一个区域 B, 如果在其中任意作一条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于B, 就称为单连通域, 一个区域如果不是单连通域, 就称为多连通域.
单连通域
多连通域
没有重点的连续曲线 C, 称为简单曲线或若尔当(Jardan) 曲线.
如果简单曲线 C的起点与终点闭合, 即 z(a)=z(b) , 则曲线 C 称为简单闭曲线.
z(b)
z(a)
z(b) z(a)
z(a)=z(b)
简单,闭
z(a)=z(b)
简单,不闭
不简单,不闭
不简单,闭
任意一条简单闭曲线 C 把整个复平面唯一地分成三个互不相交的点集, 其中除去 C 外, 一个是有界区域, 称为 C 的内部, 另一个是无界区域, 称为 C 的外部, C 为它们的公共边界. 简单闭曲线的这一性质, 其几何直观意义是很清楚的.

复数及其运算(完整版本)

.
25
(2) zsinicos
55 显r然 z1,
sin5cos25
cos3
10
,
co5ssin25
sin
3
10
,
故
zco3sisin 3
3 i
e10 .
10 10
26
乘幂与方根
设复z1数和z2的三角形式分别为
z 1 r 1 (c1 o issi1 ） n , z 2 r 2 (c2 o issi2 ） ,n
其中 x,y为实数，z分的别实称部,为和虚
记 x 作 R z )e ,y (Im z ). ( 当 x0, y0时 ,ziy 称为;纯虚数
当y0时 , zx0i,我们把它x看 . 作复数相等
两个复数相等当且仅当它们的实部和虚部
分别相等（求解复方程的基础）
z1 x1 y1i，z2x2y2i
24
例3 将下列复数化为三角表示式与指数表示式:
( 1 )z 1 2 2 i; ( 2 )z si n ico ; s 55
解 (1) rz1 244, 因z在第三象, 限
arcta2 1 n2 πarcta3n3
5 6
,
故
z4 co s 6 5 isi n6 5
5i
4e 6
所 z 1 z 以 2 c o 3 s6 is i n 3 6 i,
z1c o s isi n 3 1 i.
z2 36 36 2 2
32
z1z2 z1 z2
a rg (z 1 z 2 ) a rg (z 1 ) a rg (z2 )
使用复数的语言，任何平面几何问题都能以清晰的面貌重新呈现。
z 1 z 2 r 1 (1 c i s o 1 ) i r 2 ( n s 2 c i s o 2 ) in s r1r2[(c 1c oo s 2 ssi1 n si2 n ) i(s1 icno 2 sco 1ssi2 n )]

1.3平面点集的一般概念

例3 判断下列点集是否为区域?
(1){z : z z 0};
( 2){z :| z 2 i | 1};
3
( 3){z : 0 arg z

3
}.
注意：
区域是开集，闭区域是闭集。
除了全平面既是区域又是闭区域外，区域和闭区域是两个不同的概念。
闭区域不是区域.
三、平面曲线
2. 基本概念设Ｇ为一个平面点集： (1) 内点与开集
z0为G中任意一点, 称z0为G的内点, 若N ( z0 ), 使得N ( z0 ) G.
若Ｇ内的每个点都是它的内点，则称Ｇ为开集．
(2) 余集与闭集
平面上不属于Ｇ的点的全体称为Ｇ的余集，记为
G
C
，开集的余集称为闭集．
(3) 边界点与边界
闭曲线，其内部仍全含于Ｄ，则称Ｄ为单连通区域；否则称为多连通区域．
单连通区域的特征：属于D的任何一条简单闭曲线，在D内可以经过连续的变形而缩成一点,而多连通区域就不具有这个特征.
x 2 y 2 a 2表示以原点为中心， a为半径的圆，其参数方程为
x a cost , 0 t 2 . y a sin t ,
z a(cost i sint )， 0 t 2
则圆的复数形式方程可表示为
平面上连接z1和z2两点的直线方程为 z z1 ( z2 z1 )t (0 t 1)
1、基本概念：
给定曲线C：z z(t ) x(t ) iy(t )(a t b).
(1)若x(t ), y(t ) C[a, b],则称C为连续曲线.
(2)如果在区间a t b上x ' (t )和y ' (t )都是连续的，并且对于的每一个t值有

复变函数第一章

z1 z2 z1 z2 z1 z2
z1 等号成立的充要条件是 , z2位于同一直线上．
y
几何意义如图：
z1 z2
z2
z1 z2
z1
o x
二、复数的三角形式和指数形式
x r cos , 利用直角坐标与极坐标的关系 y r sin ,
复数可以表示成 z r (cos i sin ) 复数的三角表示式再利用欧拉公式 e i cos i sin , 复数可以表示成 z re i 复数的指数表示式
z z z z2 .
2
2. 复数的辐角(argument)
在 z 0 的情况下, 以正实轴为始边以表示z 的 , 向量OP 为终边的角称为 z 的辐角, 记作 Arg z .
y
说明任何一个复数z 0有
y
Pz x iy
无穷多个辐角 .
o

x
x
如果 1 是其中一个辐角 ,
对虚数单位的规定:
(1) i 2 1;
(2) i 可以与实数在一起按同样的法则进行四则运算 .
i:虚数单位
2. 复数的代数形式的定义:
对于 x, y R, 称 z x yi或 z x iy 为复数 .
实部（Real）记做：Rez=x
虚部(Imaginary) 记做：Imz=y
r1 r2 rne i (1 2 n ) .
2．除法
设z1 r1 (cos1 i sin1 ), z2 r2 (cos 2 i sin 2 ),
z1 r1 则 [cos(1 2 ) i sin(1 2 )] z2 r2

复变函数1-4复平面上曲线和区域

复平面上的一个区域D, 如果在其中任作一条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于D, 就
称为单连通区域. 一个区域如果不是单连通域, 就称为多连通区域.
单连通域
多连通域
设C : z z(t ) (a t b) 为一条连续曲线, z(a) 与 z(b) 分别称为C 的起点和终点.
当t1 t2 而有 z(t1 ) z(t2 )时, 点 z(t1) 称为曲线 C 的重点.
没有重点的连续曲线C称为简单曲线或 Jordan(若尔当)曲线.
起点与终点重合的简单曲线C 称为简单闭曲线.
Jordan曲线的性质
任意一条简单闭曲线C 将复平面唯一地分成三个互不相交的点集.
边界
y 内部
外部
o
x
课堂练习判断下列曲线是否为简单曲线?
z(a)
z(a) z(b)
简单闭
z(b) z(a) z(b)
z(a)
简
不
不
单
简
简
不
单
单
闭
闭
不
闭
z(b)
(8) 单连通域与多连通域的定义
(6) 区域的边界点、边界
边界点：设 E 为一平面点集, z1 为一定点，如果
z1 的任一邻域内既含有属于E的点，又含有不属于E的点, 那末 z1 称为 E 的边界点.
例如果在z0的任意一个邻域内,既有属于D
的点,也有不属于D 的点（点本身可以属于，也
可以不属于D ）,则称z0为D的边界点。 D的所有边界点组成D的边界.
2单连通区域与多连通区域
（1）连续曲线
如果 x(t ) 和 y(t ) 是两个连续的实函数, 那末方程组 x x(t) , y y(t), (a t b) 代表一条平面曲线, 称为连续曲线.