平面上的直线和点

直线和平面垂直
直线和平面垂直的判定规则是：
直线若和平面内的任意两条相交直线垂直，则
这条直线就和这个平面互相垂直。 A
一条直线若垂
直于一个平面，
则这条直线垂直
于该平面内的任
P
B
意直线（包括该
平面内的水平线
和正平线）。
H
直线和平面垂直
若一直线垂直于一平面，则直线的水平投影必垂 直于该平面内的水平线的水平投影；直线的正面投影 必垂直于该平面内的正平线的正面投影。反之亦然。
a
nc
c
有有无多少数解解？。
例5、判断点K是否在平面△ABC内。
c'
d' k'
b'
K点不在平面内的 直线AD上，故K
a'
点不在平面内。
c d
k
b
a
例6、已知点D在 ABC上，试求点D的水平投影 。
b
e d
c x
c
d e
b
a
o a
例7、已知点E在 ABC上，试求点E的正面投影 。
e'
e
例8、已知△ABC内一点的正面投影m'，试
特殊位置直线和一般位置平面相交
V
EB
A
K
a
F
b
(k) e (f )
a'
C
a
cH
e' b'
k' c'
f' b
e (f ) (k)
c
可见性的判断
V
EB
A
K
a
F
b
(k) e (f )
e' b'
k'
a'
2'(1')
c'
f'
C
a
cH
b 1 e(k,f) 2
c
利用积聚性直接求出交线。
一般位置平面与特殊位置平面相交
①
b
k●
c
②
b d
●k
c
a
a
a
k● b c
利用平面的积聚性求解
b
d
a
●k
c 通过在面内作辅助线求解
平面内的点
例4、判定点K是否在平面△ABC上。
c'
k'
a'
b'
c a
k
点K从属于△ABC 上的直线AB，故 点K在平面内。
b
[例题]判定点K是否在平面ΔABC上？
b'
e'
k'
a'
e a
b k
K点不在ΔABC上
a′
1′
k′
2′
25
b′
c′
b
c
25
1
k
2
a
§4.5 直线和平面平行、两平面平行
直线和平面平行 两平面平行
直线和平面平行
直线和平面平行的判定规则是：
一直线若和平面内的一条直线平行，则该直线 必平行于该平面。
B
A
AB平行于CD，故 AB平行于平面P
D
C
P
直线和平面平行
例6、试判别直线AB是否平行于△LMN。
补出其水平投影m。
b'
1'
2'
a'
m'
c'
b 1
a
m2
c
例9、完成平面四边形ABCD上缺口EFGH的水平投影 （a′b′//g′h′,b′c′//g′f ′）。
共面二直线， 一组同面投影 平行，则空间 平行。
b′ 1′ a′
g′ h′
2′ c′ f′
e′ d′
X
b 1a
2
g
h
cf
e
d
[例题]试在平面ΔABC上确定一点K，使点K到 V、H投影 面的距离均为25mm。
e
1
k
2
f' l'
f l
PV
QV b' e'
1'
a'
3' m'
利
n'
用
d'
两
个
2' f'
4'
c'
正
垂 面
e
c
解
1
题
3 m
a d
n
2
f
4
b
PV
QV b' e'
a' 5'(6') m'
8' n'
可
d'
见
性
的
判
断
7' f'
c'
e
c
6
7(8)
m
n
f
a5
d
b
§4.7 直线和平面垂直、两平面垂直
直线和平面垂直 平面和平面垂直
b'
m' d'
c'd'平行于a'b'
a'
c'
n'
l' m
cd不平行于ab
c
d
a
l
b
n
结论：AB不平行于△LMN
两平面平行
两平面平行的判定规则是：
若一平面内相交两直线对应地平行于另一平面内 相交两直线，则两平面互相平行。
C A
C1 A1
B DP
B1 D1 P1
AB平行于A1B1， CD平行于C1D1， 则平面P平行于P1
解法二 b
a
k
c a
c
d
d
d
d
a
k
ca
c
b
b
[例题]试在平面ΔABC上确定一点K，使点K到 V、H投影 面的距离均为25mm。
a′
1′
k′
2′
25
b′
c′
b
c
25
1
k
2
a
[例题]五边形ABCDE为平面图形，BC∥H 面， AE∥BC，试完成其正面投影。
b′
c′
d′
e′ a′ f ′ c
e
b
d
f
a
特殊位置线面相交 一般位置平面和特殊位置平面相交
直线和一般位置平面相交 两个一般位置平面相交
特殊位置线面相交
特殊位置线面相交包括两种情况： 一般位置直线与特殊位置平面相交 特殊位置直线与一般位置平面相交
交点的一个投影是平面积聚性投影与直线的同面投影的 交点，另一个投影可在直线的另一个投影上找到。
一般位置直线和特殊位置平面相交
V P B
A
k
E
a e bk
b'
F k'
a'
e'
C f
c
PH
H
a
b k
e
f' c'
f c
可见性的判断
利用积聚性直接 判断出可见性。
V P B
A
k
E
a e bk
b'
F k'
a' e'
C f
c
PH
H
a
b k
e
f' c'
f c
交点的一个投影与直线的积聚性投影重合，另一个投影 可用在平面内找点的方法在平面的另一个投影中得到。
求作两个一般位置平面的交线时，须 采用两个辅助平面，求出所给平面的两个 公共点，再用直线连接这两个公共点，即 为所求的交线。辅助平面仍然以特殊位置 平面最佳。
利用两个水平面解题 示意图
A
B ⅠE
F
T1
CBiblioteka Baidu
D
ⅡK
L
T2
利用两个水平面解题 投影图
T1V
a'
T2V c'
1'
e'
b'
2' k'
d'
a
c
b
d
三、平面上的直线和点
§4.3 平面内的点和直线
1、属一般位置平面的直线和点 点在平面内的判定规则是： 一点若在平面内的一条直线上，则此点 必位于该平面内。
2、平面上取点
首先面上取线
面上取点的方法：
先找出过此点而又在平面内的一条直线作
为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。
[例21]已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。
直线和平面平行
例6、试判别直线AB是否平行于△LMN。
b'
m' d'
c'd'平行于a'b'
a'
c'
n'
l' m
cd不平行于ab
c
d
a
l
b
n
结论：AB不平行于△LMN
[例]已知平面由直线AB、AC所确定，试 在平面内任作一条直线。
解法一
根据定理一
根据定理二
解法二
d
b
b
m a
n c
c a
mb a
b d
以正垂面为辅助平面求线面交点
QV
b'
e' 1'
k'
a'
2'
c'
f'
e
2
c
a k
1
b
f
步骤： 1．过EF作正 垂平面Q。
2．求Q平面与 ΔABC的交线
ⅠⅡ。
3．求交线
ⅠⅡ与EF的交
点K。
示意图
以正垂面为辅助平面求线面交点
EB QV
A
K
C F
以铅垂面为辅助平面求线面交点
e' a'
PH e a
b' k' 2'
c' c
[例题]判定点EF是否在平面AB∥CD上？
b′
l′
d′
不在
a′
k′
e′
c′
f′
b
d
l k
a
e c
f
[例题] 设在四棱台前侧面BCED上有一点A。已知它 的水平投影a，求正面投影a‘。
b' a'
f'
a'
f'
a f
f a
[例]已知AC为正平线，补全平行四边形 ABCD 的水平投影。
解法一
b
r
d f
e k
s
§4.6 直线和平面相交、两平面相交
直线和平面、平面和平面不平行则必相交。直线 和平面相交为一点，交点即在直线上又在平面上，因 而交点是直线与平面的共有点；平面和平面相交为一 直线，交线是两个平面的共有线。求线面相交、面面 相交实质上是求共有点、共有线。
直线和平面相交、两平面相交
V
A
P
B
H
直线和平面垂直
例9、求A点至平面△BCD的距离。
a' c'
l
1'
n'
k'
m'
b'
2'
d'
所求距离
1c
b
n k
2
l
a
m d
平面和平面垂直
平面和平面垂直的判定规则是：
若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两 个平面互相垂直。
平面和平面垂直
例10、过已
e' b'
知点K作平
面△ABC的
m'
两平面平行
例7、试判别平面ABC是否平行于平面LMN。
c' k'
m' a'k'平行于l'm'
b' a'
n' l'
l
b
a
k
c
m
平面ABC不平行于平面LMN
n ak不平行于lm
两平面平行
例8、已知平面由平行两直线AB和CD给定，试过点 K作一平面平行于已知平面 。
b
d
s
m
n
f
k
e
a c
r
c
a n
m b
1'
c'
f'
1
c
k
2
b
f
步骤： 1．过EF作铅 垂平面P。
2．求P平面与 ΔABC的交线
ⅠⅡ。
3．求交线
ⅠⅡ与EF的交
点K。
示意图
以铅垂面为辅助平面求线面交点
E B PH
A
K
C F
可见性的判断
b'
e' 1' (2') 3'
k'
a'
4'
c'
f'
e2
a k
1 b
c 3 (4)
f
两个一般位置平面相交
VA
P L
K NC
F
MB
n
k l
f
PH
m
H
可见性的判断
VA
P L
K C
F
MB
n
lk
f
PH
m
H
利用积聚性直接 判断出可见性。
直线和一般位置平面相交
一般位置线面相交由于直线和平面的投影都没 有积聚性，交点无法用积聚性投影求出，因此通常 采用辅助平面法求交点。步骤如下： 1、过已知直线作一特殊位置的辅助平面； 2、求特殊位置的辅助平面与已知平面的交线； 3、求交线与已知直线的交点，交点即为所求。 以正垂面为辅助平面求线面交点 以铅垂面为辅助平面求线面交点 判别可见性
[例题]已知平面四边形ABCD，其中DC为正平 线，试完成平面四边形的水平投影投 影。
b′
e′ a′
c′
d′
d
c
a
e
b
1、平面上取任意直线
判断直线在平面 内的方法
定 理一 若一直线过平面 上的两点，则此 直线必在该平面 内。
定 理二 若一直线过平面上的 一点，且平行于该平 面上的另一直线，则 此直线在该平面内。
n'
f'
垂面。
c'
k'
a'
b k
m
n
a
f
c e