平面内一个点的坐标的表示方法
平面直角坐标系中的点与坐标关系
平面直角坐标系中的点与坐标关系在平面直角坐标系中，我们可以用一对有序数对来表示一个点的位置。
这对有序数对就是坐标。
平面直角坐标系由横坐标轴（x轴）和纵坐标轴（y轴）组成，它们相互垂直于彼此，并在原点O交汇。
1. 坐标表示坐标表示是指用一对有序数对来表示一个点的位置。
例如，点A位于x轴上，它的坐标为(A, 0)，其中A是点的横坐标。
点B位于y轴上，它的坐标为(0,B)，其中B是点的纵坐标。
而对于其他点C，它的坐标为(Cx, Cy)，其中Cx表示点C的横坐标，Cy表示点C的纵坐标。
2. 坐标系的象限平面直角坐标系被分为四个象限，分别为第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。
第一象限是位于x轴和y轴的右上方，第二象限是位于x轴的左上方，第三象限是位于x轴和y轴的左下方，而第四象限是位于x轴的右下方。
根据象限划分，点的坐标可以判别出它们所在的象限。
3. 点与线的位置关系对于一个平面直角坐标系中的点P(x, y)，我们可以通过比较其坐标与坐标轴上的值来确定它与坐标轴、坐标系中的线的位置关系。
- P点在x轴上当且仅当y=0；- P点在y轴上当且仅当x=0；- P点在x轴的上方当且仅当y>0；- P点在y轴的右侧当且仅当x>0；- P点在第一象限当且仅当x>0且y>0；- P点在第二象限当且仅当x<0且y>0；- P点在第三象限当且仅当x<0且y<0；- P点在第四象限当且仅当x>0且y<0。
4. 点到原点的距离在平面直角坐标系中，点P(x, y)到原点O的距离可以通过勾股定理来计算。
距离的公式为：d=√(x²+y²)。
5. 点的对称性在平面直角坐标系中，点P(x, y)的关于x轴的对称点为P'(x, -y)，关于y轴的对称点为P'(-x, y)，关于原点O的对称点为P'(-x, -y)。
利用对称性可以简化一些计算和问题的解决。
平面直角坐标系的认识与应用
平面直角坐标系的认识与应用平面直角坐标系是数学中常用的一种工具，用于描述平面上的点的位置。
通过平面直角坐标系，我们可以准确地表示和计算点的坐标和距离，从而实现对平面上各种几何问题的分析和解决。
本文将介绍平面直角坐标系的基本概念、表示方法以及在数学与几何问题中的应用。
一、平面直角坐标系的基本概念平面直角坐标系由两个相互垂直的坐标轴组成，通常称为x轴和y 轴。
在平面上选择一个点作为原点O，并确定x轴与y轴的正方向，可以得到一个完整的平面直角坐标系。
在这个坐标系中，任意一点P可以用一个有序数对(x, y)来表示，其中x表示点P在x轴上的坐标，y表示点P在y轴上的坐标。
二、平面直角坐标系的表示方法为了清晰地表示平面直角坐标系，我们通常使用网格线来表示x轴和y轴，并在网格线上标注坐标值。
在x轴和y轴上，我们可以选择一个单位长度，通常用1表示，从而得到其他点的坐标。
例如，点A坐标为(2, 3)，表示点A在x轴上的坐标为2，y轴上的坐标为3。
三、平面直角坐标系的应用平面直角坐标系在数学与几何问题中有着广泛的应用，具体如下所示：1. 点的位置关系：通过比较点的坐标值，我们可以准确地确定点的相对位置。
例如，若点A的坐标为(2, 3)，而点B的坐标为(4, 5)，我们可以判断出点A在点B的左下方。
2. 距离的计算：在平面直角坐标系中，我们可以根据两点的坐标值计算它们之间的距离。
例如，若点A的坐标为(2, 3)，而点B的坐标为(4, 5)，则点A和点B之间的距离为√[(4-2)² + (5-3)²] = √5。
3. 图形的绘制：通过使用平面直角坐标系，我们可以准确地绘制各种图形，如直线、曲线和多边形等。
利用坐标轴上的点和线段，我们可以将抽象的数学概念具象化，并进行图形的分析和推理。
4. 函数的表示：在数学中，函数可以用平面直角坐标系表示。
将函数的自变量作为x轴坐标，函数的值作为y轴坐标，我们可以绘制函数的图像，并通过分析图像来研究函数的性质。
平面直角坐标系内中点坐标公式
平面直角坐标系内中点坐标公式在咱们的数学世界里，平面直角坐标系就像是一个神秘的地图，而中点坐标公式则是我们在这个地图上的重要导航工具。
咱先来说说什么是平面直角坐标系。
想象一下，在一张大白纸上，画两条互相垂直的线，一条水平的，一条竖直的，就像一个大大的“十”字。
水平的这条线我们叫它 x 轴，竖直的这条叫 y 轴。
这两条线相交的地方，就是坐标原点，它的坐标是(0, 0)。
然后呢，任何一个点在这个坐标系里都有自己唯一的坐标，就像每个人都有自己独特的身份证号码一样。
那中点坐标公式是啥呢？其实很简单，假如有两个点 A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，那它们连线的中点 M 的坐标就是((x₁ + x₂)/2, (y₁ +y₂)/2)。
我给您举个例子啊，比如说有两个点 A(1, 3)和 B(5, 7)，那它们连线的中点坐标咋算呢？咱就按照公式来，x 坐标就是(1 + 5)/2 = 3，y 坐标就是(3 + 7)/2 = 5，所以中点坐标就是(3, 5)。
有一次，我在课堂上讲这个中点坐标公式。
有个同学就一脸迷茫地问我：“老师，这有啥用啊？”我笑了笑说：“嘿，这用处可大了！”我跟他们说，假如咱们要在城市里找两个地方的中间位置，就可以用这个公式。
比如说，你们周末要和小伙伴约着一起出去玩，一个小伙伴在公园的东边，坐标是(2, 4)，另一个在公园的西边，坐标是(6, 8)，那你们约在中间见面，不就可以用这个公式算出中点坐标，找到最合适的集合地点嘛。
同学们一听，眼睛都亮了，好像突然发现了这个公式的神奇之处。
而且啊，在建筑设计里，要是设计师要确定两根柱子的中间位置来搭建一个横梁，也得用到这个公式。
还有，在地图上规划路线，找两个地点的中点来设置休息站，也能靠它帮忙。
再想想，要是没有这个公式，咱们得多费劲才能找到中点啊。
所以说，这个中点坐标公式虽然看起来简单，但是在生活和学习中，那可是大有用处的。
咱们学习数学，不能只知道死记硬背公式，还得明白它背后的道理和用途。
直角坐标的表示方法
直角坐标的表示方法直角坐标是一种常用的表示空间中点位置的方法。
它是通过两条互相垂直的坐标轴来确定点的位置的。
一般情况下，我们使用 x 轴和 y 轴来表示平面上的点的位置，而在三维空间中，我们使用 x 轴、y 轴和 z 轴来表示点的位置。
下面将详细介绍直角坐标的表示方法。
平面上的直角坐标表示方法在平面上，我们通常使用 x 轴和 y 轴来表示点的位置。
其中，x 轴是水平方向的轴，y 轴是垂直方向的轴。
点的位置是通过它在 x 轴和 y 轴上的坐标来确定的。
以原点 O 为起点，画出 x 轴和 y 轴，将其分成若干等长的小段，这些小段就是刻度。
我们通过一个点在 x 轴和 y 轴上的刻度值来表示这个点的位置。
例如，假设有一个点 P，它在 x 轴上的刻度值为 3，在 y 轴上的刻度值为 4。
那么点 P 在平面上的位置就可以表示为 (3, 4)。
其中，括号中的第一个数表示在 x 轴上的刻度值，第二个数表示在 y 轴上的刻度值。
这种表示方法被称为点的坐标。
三维空间中的直角坐标表示方法在三维空间中，我们需要使用 x 轴、y 轴和 z 轴来表示点的位置。
其中，x 轴是水平方向的轴，y 轴是与 x 轴垂直且位于水平面上的轴，z 轴是与 x 轴和 y 轴都垂直的轴。
点的位置是通过它在 x 轴、y 轴和 z 轴上的坐标来确定的。
和平面上直角坐标的表示方法类似，我们以原点 O 为起点，在三个轴上画出刻度线。
假设有一个点 Q，它在 x 轴上的刻度值为 2，在 y 轴上的刻度值为 3，在 z轴上的刻度值为 4。
那么点 Q 在三维空间中的位置就可以表示为 (2, 3, 4)。
其中，括号中的第一个数表示在 x 轴上的刻度值，第二个数表示在 y 轴上的刻度值，第三个数表示在 z 轴上的刻度值。
直角坐标系的性质直角坐标系有以下几个重要的性质：1.在直角坐标系中，两个坐标轴之间的夹角是 90 度，即垂直于彼此。
这就使得直角坐标系能够准确地表示空间中的点的位置。
平面直角坐标系中点的坐标
平面直角坐标系中点的坐标平面直角坐标系指的是一个平面内具有直角坐标系的坐标系，可以用来描述平面上的点的位置。
在平面直角坐标系中，每个点都可以表示成一个有序数对(x,y)，其中x和y分别表示这个点在x轴和y轴上的坐标值。
而对于两个点，它们的中点可以通过它们在坐标系中的坐标计算得出。
最基础的情况是，两个点在x轴上的坐标相同。
此时它们的中点的x坐标也等于它们在x轴上的坐标的平均值，而y坐标等于它们在y轴上的坐标的平均值。
比如，对于两个点A(3,2)和B(3,6)，它们在x轴上的坐标都是3，那它们的中点C就是(3,(2+6)/2)=(3,4)。
同理，如果两个点在y轴上的坐标相同，它们的中点的y坐标也等于它们在y轴上的坐标的平均值，而x坐标等于它们在x轴上的坐标的平均值。
接下来，我们考虑两个点在不同坐标轴上的情况。
比如，对于点D(2,3)和E(5,3)，它们在x轴和y轴上的坐标分别为2和3，5和3。
它们的中点F可以通过对x坐标和y坐标分别求平均值得到：F=((2+5)/2,(3+3)/2)=(3.5, 3)。
最后，我们考虑两点坐标都不在坐标轴上的情况。
设这两个点分别为G(x1,y1)和H(x2,y2)，那么它们的中点I的坐标可以通过如下公式计算：I=((x1+x2)/2, (y1+y2)/2)比如，对于点J(2,5)和K(6,3)，它们的中点L=((2+6)/2,(5+3)/2)=(4,4)。
总之，在平面直角坐标系中，对于任意两个点而言，求解它们的中点只需对它们的坐标进行一些简单的计算即可。
当然，如果你觉得这些计算过程过于繁琐，也可以通过使用一些辅助工具来简化计算，比如使用计算机程序或各种数学应用软件。
笔者相信，通过对平面直角坐标系中的点和中点的坐标的介绍，大家已经可以清楚地了解中点概念的计算方法，掌握如何用坐标表示平面上的点，进而能够更加熟练地应用这些知识解决实际问题了。
11.1平面内点的坐标
X
确定点的位置
点的坐标的确定方法
有了平面直角坐标 系，平面内的点就 可以用一对实数来 表示。例如：
P
y 点的纵坐标 N b （y坐标）
P (a，b)
横坐标写在前，
M
a
点的横坐标 （x坐标）
O
x
纵坐标写在后，
中间用逗号隔开
在方格图中建立平面直角坐标系 y
2 1
-3
-2
-1 O -1
1
2
3
x
注意事项:在画平面直角坐标系时， -2 一定要画x轴、y轴的正方向，即箭 头，标出原点O,单位长度要统一（ -3 长度不统一的情况目前不要求）
x
D(-4，-2.5)
y
2
在平面直角坐标 系中找到表示 A(3,-2)的点.
1
-3
-2
-1 O -1 -2
-3
1
2
3
x
A
由坐标找点的方法： 先找到表示横坐标与纵坐标的点， 然后过这两点分别作x轴与y轴的垂线， 垂线的交点就是该坐标对应的点。
练习2:在直角坐标系中，画出下列各点： A（4，3）， B（-2，y 3）， C（-4，-1）， 6 D（2，-2），E（3， 0 ）， F （ 0 ， -4 ） 5 B·
D D(2 ， 0） (2 ， -3）
y 5 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 O -1 -2 1
●C ● A
两点间的距离=
F F(2 ， -4) (5 ， -3)
x1 x2
2、平行于y轴的直线上 的点，其横坐标相同， 两点间的距离= y1 y2
2D3 4
●B
●
●
5 x
E
考点01 平面直角坐标系内点的坐标特征(解析版)
考点一平面直角坐标系内点的坐标特征知识点整合1．有序数对（1）有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对．平面直角坐标系中的点和有序实数对是一一对应的．（2）经一点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点P的横坐标和纵坐标．有序实数对（a，b）叫做点P的坐标．2．点的坐标特征点的位置横坐标符号纵坐标符号第一象限﹢+第二象限-+第三象限--第四象限+-x轴上正半轴上+0负半轴上-0y轴上正半轴上0+负半轴上0-原点003．轴对称（1）点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，-y）；（2）点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（-x，y）．4．中心对称两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P'（-x，-y）．5．图形在坐标系中的旋转图形（点）的旋转与坐标变化：（1）点P（x，y）绕坐标原点顺时针旋转90°，其坐标变为P′（y，-x）；（2）点P（x，y）绕坐标原点顺时针旋转180°，其坐标变为P′（-x，-y）；（3）点P（x，y）绕坐标原点逆时针旋转90°，其坐标变为P′（-y，x）；（4）点P（x，y）绕坐标原点逆时针旋转180°，其坐标变为P′（-x，-y）．6．图形在坐标系中的平移图形（点）的平移与坐标变化（1）点P（x，y）向右平移a个单位，其坐标变为P′（x+a，y）；（2）点P（x，y）向左平移a个单位，其坐标变为P′（x-a，y）；（3）点P（x，y）向上平移b个单位，其坐标变为P′（x，y+b）；（4）点P（x，y）向下平移b个单位，其坐标变为P′（x，y-b）．考向一有序数对有序数对的作用：利用有序数对可以在平面内准确表示一个位置．有序数对一般用来表示位置，如用“排”“列”表示教师内座位的位置，用经纬度表示地球上的地点等．典例引领1．根据下列表述，能确定具体位置的是（）A．电影城1号厅6排B．北京市海淀区C．北纬31︒，东经103︒D．南偏西40︒【答案】C【分析】本题考查了平面内的点与有序实数对一一对应，根据平面内的点与有序实数对一一对应分别对每个选项判断．【详解】A、电影城1号厅6排不能确定具体位置．故本选项不合题意；B、北京市海淀区不能确定具体位置．故本选项不合题意；C、北纬31︒，东经103︒能确定具体位置．故本选项符合题意；D、南偏西40︒不能确定具体位置．故本选项不合题意．故选：C2．下列表述，能确定准确位置的是（）A．威高广场东面B．环翠楼北偏西10︒C．U度影城2号厅一排D．北纬37︒，东经122︒【答案】D【分析】本题考查了有序数对，利用有序数对可以准确的表示出一个位置．确定位置需要两个数据，对各选项分析判断利用排除法即可求解．【详解】解：A、威高广场东面，不能确定具体位置，故本选项不符合题意；B、环翠楼北偏西10︒，不能确定具体位置，故本选项不符合题意；C 、U 度影城2号厅一排，不能确定具体位置，故本选项不符合题意；D 、北纬37︒，东经122︒，能确定具体位置，故本选项符合题意．故选：D ．3．2023年山西省大学生篮球锦标赛于12月中旬开赛，图1是某大学篮球场座位图，图2是该篮球场部分座位的示意图．小刚、小芳、小美的座位如图所示．若小刚的座位用()1,1-表示，小芳的座位用()3,2表示，则小美的座位可以表示为（）A ．()1,2-B ．()2,0C ．()2,1-D ．()1,0【答案】C【分析】本题考查点的坐标，根据点的位置先确定平面直角坐标系的位置，然后写出点的坐标是解题的关键．【详解】解：根据小刚、小芳的位置确定坐标系位置如图所示，∴小美的座位可以表示为()2,1-，故选C ．4．如图，雷达探测器测得六个目标A ，B ，C ，D ，E ，F ，目标E ，F 的位置分别表示为()()3,330,2,30E F ︒︒．按照此方法，目标A ，B ，C ，D 的位置表示不正确的是（）A ．()5,60A ︒B ．()3,120B ︒C ．()3,210C ︒D ．()5,270D ︒【答案】C【分析】本题考查利用有序实数对表示位置，解题的关键是根据理解题意．根据()3,330E ︒，()2,30F ︒得到第一个数为由里向外的圈数，第二个数为角度，直接逐个判断即可得到答案【详解】解：∵()3,330E ︒，()2,30F ︒，∴()5,60A ︒，()3,120B ︒，()4,210C ︒，()5,270D ︒，故选：C5．如果剧院里“5排2号”记作()5,2，那么()7,9表示（）A ．“7排9号”B ．“9排7号”C ．“7排7号”D ．“9排9号”【答案】A【分析】本题考查了坐标确定位置，解题关键是清楚有序数对与排号之间的关系，根据题意可前一个数表示排数，后一个数表示号数即可求解．【详解】解：由“5排2号”记作()5,2可知，有序数对与排号对应，所以()7,9表示第7排9号．故选：A ．6．一幢东西走向的5层教学楼，每层共8个教室．若把一楼从东侧数起第3个教室记为()1,3，二楼最东侧教室记为()2,1，则五楼最西侧教室记为（）A ．()5,1B ．()5,8C ．()8,5D ．()1,5【答案】B【解析】略7．某班级第3组第4排的位置可以用数对()3,4表示，则数对()1,2表示的位置是（）A．第2组第1排B．第1组第1排C．第1组第2排D．第2组第2排【答案】C【解析】略变式拓展00，【答案】()【分析】本题考查有序数对位置的确定，进而得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键．【详解】解：根据棋子“马”和“车”00，．故答案为()【答案】23【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，的数为()1n n+，据此算出第三、解答题13．如图是某校区域示意图．规定列号写在前面，行号写在后面．(1)用数对的方法表示校门的位置．9,7在图中表示什么地方？(2)数对()2,3；【答案】(1)()(2)教学楼．【分析】（1）根据校门所在的列及所在的行，即可表示出校门的位置；（2）根据数对的表示方法找到对应的位置，即可得到数对表示的地点；本题考查了用有序数对表示点的位置，理解序数对表示的含义是解题的关键．【详解】（1）解：由图可知，校门位于第2列，第3行，2,3；∴校门的位置为数对()9,7表示的位置为第9列，第7行，（2）解：数对()由图可知，表示的地方为教学楼．14．在计算机软件Excel中，若将第A列第1行空格记作A1，如图．(1)试在图中找出空格B53，并填上“B53”字样；(2)图中的蜜蜂所在位置记作什么？(3)一只电子“蜜蜂”的行进路线为A52→A51→B52→C51→D52→C53．试在图中描出它的行进路线．【答案】(1)见解析(2)D52(3)见解析【详解】（1）如图所示（2）图中的蜜蜂所在位置记作D52．（3）行进路线如图所示．考向二点的坐标特征1．象限角平分线上的点的坐标特征（1）第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等；第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数；（2）平行于x轴（或垂直于y轴）的直线上的点的纵坐标相等，平行于y轴（或垂直于x轴）的直线上的点的横坐标相等．2．点P（x，y）到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|．典例引领∴点()3,1Q a a -+所在象限是第二象限，故选：B ．变式拓展二、填空题所以23a a +=±，解得3a =-（舍去）或1-．故答案为：1-．三、解答题考向三点的坐标规律探索这类问题通常以平面直角坐标系为载体探索点的坐标的变化规律．解答时，应先写出前几次的变化过程，并将相邻两次的变化过程进行比对，明确哪些地方发生了变化，哪些地方没有发生变化，逐步发现规律，从而使问题得以解决．典例引领1．如图，将边长为1的正方形ABOC 沿x 轴正方向连续翻转2014次，点A 依次落在点12A A 、、32014A A 、、的位置，则点2014A 的横坐标为（）A ．1343B ．1510C ．1610D ．2014【答案】D【分析】本题考查了探究规律，利用规律即可解决问题，涉及坐标与图形变化-对称、规律型：点的坐标，先根据题意写出已知点的坐标，再找到规律为次数是2的奇数倍的偶数，位于x 轴上，横坐标为这个翻转次数；次数是2的偶数倍的偶数，位于x 轴的上方，横坐标为这个翻转次数加上1；据此作答即可．A ．()3032,1-B ．()3034,4C ．()3036,4D ．()3031,1【答案】B【分析】本题考查坐标的规律问题，先找到点的规律，然后计算解题即可，解题的关键是找到点的坐标规律．【详解】由题可知，每四个点纵坐标重复一次，横坐标向左平移6个单位长度，∴202345053÷= ，则2023A 的横坐标为：505643034⨯+=，纵坐标为4，故选：B ．4．对一组数(),x y 的一次操作变换记为()111,P x y ，定义其变换法则如下：()111,(,)P x y x y x y =+-，()()()()22211111111,,,,n n n n n n n P x y x y x y P x y x y x y ----=+-=+- （n 为大于1的整数），如这组数为(1,2)，则1(3,1)P =-，2(2,4)P =，3(6,2)P =-…当这组数为(1,1)-时，2024P =（）A ．()101210122,2-B ．()10120,2-C ．()10110,2D ．()101110112,2-【答案】A【分析】本题考查了新定义点的坐标，根据操作方法依次求出前几次变换的结果，然后根据规律解答，读懂题目信息，理解操作方法并观察出点的纵坐标的指数的变化规律是解题的关键．【详解】解：当这组数为()1,1-时，()()11,10,2P -=，()()21,12,2P -=-，()()()231,10,40,2P -==，()()()2241,14,42,2P -=-=-，()()()351,10,80,2P -==，∴()()1012101220241,12,2P -=-，故选：A ．二、填空题【答案】()20212，【分析】本题考查了点坐标规律探索，旨在考查学生的抽象概括能力．标为对应的运动次数减3，纵坐标依次为：4,2,1,1,2-，每5次一个循环，据此即可求解．【详解】解：由题意得：动点0()34P -，在平面直角坐标系中的运动为：1()22P -，，()21,1P -，31(0)P -，，42(1)P ，，54(2)P ，，62(3)P ，，．．．∴横坐标为对应的运动次数减3，则第2024次运动到点2024P 的横坐标为：202432021-=；∵()202415405+÷=，∴第2024次运动到点2024P 的纵坐标为：2；故答案为：()20212，变式拓展【答案】()20242024,0P 【分析】本题考查了坐标系中点的坐标规律探索，仔细观察点的坐标发现第()22,0P ，第4次坐标为()44,0P ，第6次坐标为()66,0P ，故第2024次的坐标为【详解】第2次坐标为()22,0P ，第4次坐标为()44,0P ，第6次坐标为故第2024次的坐标为()20242024,0P ．故答案为：()20242024,0P ．7．在平面直角坐标系xOy 中，对于点(),P x y ，我们把(11,P y x --知点1A 的友好点为2A ，点2A 的友好点为3A ，点3A 的友好点为4A ，这样依次得到各点的坐标为()1,2，设()1,A x y ，则x y +的值是．【答案】5-【分析】本题主要考查了规律型：点的坐标，解答本题的关键是准确理解题意，发现变换规【答案】()2023,1-【分析】本题主要考查的是坐标系中的规律探究问题，计算P 的时间，根据规律即可求得第2023秒P 点位置，找出运动规律是解题的关键．【详解】由题意可知，点P 运动一个半圆所用的时间为：π÷三、解答题10．如图，在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O 出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位．其行走路线如下图所示．(1)填写下列各点的坐标：4A （_________，_________），8A （_________，_________），12A （_________，_________）；(2)写出点4n A 的坐标（n 是正整数）；(3)指出蚂蚁从点2021A 到点2022A 的移动方向．【答案】(1)2，0；4，0；6，0；(2)()2,0n (3)向右．【分析】（1）本题考查了在平面坐标系中点的坐标特点，根据题意知道按向上、向右、向下、向右的方向每次移动1个单位，即可解题．（2）本题考查了在平面坐标系中坐标的特点和坐标的规律，观察点4A 的位置，由图可知，蚂蚁每走4步为一个周期，得出4n OA 的值，再根据点4n A 在x 轴的正半轴上，即可解题．（3）本题考查了在平面坐标系中坐标的特点和坐标的规律，根据点4n A 的坐标，分析可得点2020A 的坐标，再结合题意知道按方向每次移动1个单位，得到点2021A 和点2021A 的坐标，即可解题．【详解】（1）解：由图可知，点4A ，点8A ，点12A 都在x 轴的正半轴上，小蚂蚁每次移动1个单位，42OA ∴=，84OA =，126OA =，()42,0A ∴，()84,0A ，()126,0A ，故答案为：2，0；4，0；6，0．（2）解：由图可知，蚂蚁每走4步为一个周期，44422n OA n n ∴=÷⨯=，点4n A 在x 轴的正半轴上，()42,0n A n ∴．（3）解： 当2020n =时，4505n ∴=⨯，∴点2020A 的坐标为()1010,0，∴点2021A 的坐标为()1010,1，点2022A 的坐标为()1011,1，∴蚂蚁从点2021A 到点2022A 的移动方向为向右．。
空间直角坐标系及点的坐标表示完整版本
同单位长度的数轴，这 样就建立了空间直角坐
o
y
标系０－xyz． x
点Ｏ叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做
坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标
平面，分别称为xoy平面、 yoz平面、和 Zox
平面．
在空间直角坐标系中,让 右手拇指指向x轴的正方向， 食指指向y轴的正方向，若中 指指向z轴的正方向，则称这 个坐标系为右手直角坐标系．
z D'
C&A
B
Cy
z D'
A' O
xA
C' B'
Cy B
1.坐标平面内的点
xoy平面上的点表示为（x,y,0) yoz平面上的点表示为（0,y,z) xoz平面上的点表示为（x,0,z)
2.坐标轴上的点
x轴上的点表示为（x，0，0） y轴上的点表示为（0，y，0）
z轴上的点表示为（0,0,z)
求下列各点的坐标
1 、 A ( 6 ,2 ,4 ) ,B ( 0 ,2 ,1 ) 的 中 点 坐 标 为 _ （_ _ 3_ ,2_ ,2.5）
2 、 A ( 3 ,1 ,4 ) ,B ( 1 ,2 ,8 ) 的 中 点 坐 标 为 _ （_ 2_ ,_ 1_ .5_ ,6）
3 、 A B 的 中 点 坐 标 为 (3 ,1 ,4 )， 其 中 B 点 坐 标 为 （ 0 ， 0 ， 0 ） ， 那 么 A 点 的 坐 标 为 _ （_ _ 6_ ,2_ ,_ 8_ ）
四、空间中点坐标公式
空 间 两 点 A(x1,y1,z1)B(x2,y2,z2)的 中 点 坐 标 为 (x1+x2,y1+y2,z1+z2)
222
例 2 ： A ( 1 ,2 ,4 ) ,B ( 0 ,2 ,5 ) 的 中 点 坐 标 为 （ 1 ， 2 ， 9 ） 22
坐标点的正确表示方法
坐标点的正确表示方法
你要是在一个平面上找一个点的位置，就像在一张超级大的纸上找一个小蚂蚁待的地方。
那坐标点呢，一般是用一对数字来表示的。
比如说在咱们最常见的直角坐标系里，一个坐标点就像一个小秘密地址。
它是用（x，y）这样的形式来表示的。
x就像是在水平方向上的小标签，告诉你这个点在左右方向的位置；y呢，就像是在垂直方向的小标签，告诉你这个点在上下方向的位置。
要是这个点在三维空间里呢，那就更酷啦。
这时候坐标点就变成了（x，y，z）。
这个z呀，就像是在空间里多了一个高度的衡量，就像小飞机在天空里的高度一样。
那坐标点的数字可正可负哦。
正的呢，就像是在坐标轴的正方向，负的就像是在坐标轴的反方向。
比如说x为正数的时候，这个点就在原点的右边；x是负数的时候，这个点就在原点的左边啦。
在地图上也有坐标点的概念呢。
经度和纬度就像是一种特殊的坐标点表示方法。
经度就像是x轴，不过它是绕着地球转圈圈的那种；纬度就像是y轴，也是绕着地球的。
这样一组合，地球上的每个小角落都有自己独特的坐标点啦。
咱们在生活里也经常会用到坐标点的概念哦。
像玩寻宝游戏的时候，给你一个坐标点，你就得根据这个坐标点去找宝藏。
或者你在一个大商场里，每层楼的平面图上也可能有坐标点，这样你就能轻松找到你想去的店铺啦。
宝子们，坐标点的表示方法是不是还挺有趣的呀？只要掌握了这个小技能，就像在这个充满数字和空间的世界里有了一个小导航，不管是在数学题里，还是在实际生活中，都能轻松搞定位置的问题呢。
八年级数学上第四章《图形与坐标》
第 12 讲 《图形与坐标》（叶胤均）一、知识要点： 1.平面内表示点的位置有两种方法：一是有序实数对，二是距离加方向，这两种方法都需要两个量. 2.平面直角坐标系由两条有公共原点、且互相垂直的数轴构成.点的坐标表示为（x，y） 3.各个象限的符号：（+，+）；（－，+）；（－，－）；（+，－）.坐标轴上的点不在象限内. 4.点（x，y）到 x 轴的距离：∣y∣，到 y 轴的距离：∣x∣点 M（x，y）到原点的距离：OM＝ x2 y2x 轴上 M（x1，0），N（x2，0）之间的距离：MN＝∣x1－x2∣平面内任意两点 A（x1，y1）、B（x2，y2）之间的距离：AB＝ x1 x2 2 y1 y2 25.如果 M（x1，a），N（x2，a），则 MN∥x 轴；反之成立.6.点 M（x，y）①关于 x 轴的对称点的坐标为（x，－y）；②关于 y 轴的对称点的坐标为（－x，y）；③关于原点的对称点的坐标为（－x，－y）；7、①一、三象限的角平分线上的点的坐标为（a，a）；②二、四象限的角平分线上的点的坐标为（a，－a）8、坐标平面内点的平移：方向加距离.9、坐标平面内的点与有序实数对一一对应.10、关于一、三象限的角平分线，二、四象限的角平分线对称的点的坐标.二、例题精选：例 1、在如图所示的正方形网格（小正方形的边长为 1） A 中，△ABC 的顶点 A，C 的坐标分别为（－4，5），（－1，3）.（1）画出相应的直角坐标系；C（2）作出△ABC 关于 y 轴对称的△A′B′C′；（3）写出点 B′的坐标. B例 2、根据给出的已知点的坐标求四边形 ABCO 的面积.yA(-2,8) B(-11,6)1/7C(-14,0) 例 2Ox例 3、平面直角坐标系中有两点 M（a，b），N（c，d），规定（a，b）⊕（c，d）＝（a+c，b+d）, 则称点 Q（a+c，b+d）为 M，N 的“和点”，若以坐标原点 O 与任意两点及它们的和点为顶点能组 成四边形，则称这个四边形为和点四边形.现在点 A（2，5），B（－1，3），若以 O,A,B,C 四点为 顶点的四边形是“和点四边形”，求点 C 的坐标.例 4.（1）已知 A（2，4），B（－3，－8），求 A，B 两点间的距离. （2）已知△ABC 各顶点坐标为 A（0，6），B（－3，2），C（3，2），你能判定此三角形的形状吗？ 说明理由.例 5、平面直角坐标系中，点 A 的坐标是（3a－5，a+1） （1）若点 A 在 y 轴上，求点 A 的坐标； （2）若点 A 到 x 轴的距离与到 y 轴的距离相等，求点 A 的坐标.例 6、平面直角坐标系中，等腰△ABC 的两个顶点的坐标 分别为 A（1，0），B（4，4），如果第三个顶点在坐标轴 上，那么点 C 可能的不同位置有多少个（画图说明）？2/7例 7、已知点 A（2a－b，5+a），B（2b－1，－a+b）. （1）若点 A，B 关于 x 轴对称，求 a，b 的值； （2）若点 A，B 关于 y 轴对称，求(4a+b)2017 的值例 8、如图，平面直角坐标系中，一颗棋子从点 P 处开始 依次关于点 A,B,C 作循环对称跳动，即第一次跳到点 P 关于点 A 的对称点 M 处，接着跳到点 M 关于点 B 的对 称点 N 处，第三次再跳到点 N 关于点 C 的对称点处...... 如此下去. （1）在图中画出点 M,N，并写出点 M，N 的坐标； （2）求经过第 2017 次跳动后，棋子的落点与点 P 的距离.yB• C•OxA••P例 9.平面直角坐标系中，点 M 的坐标是（a，－2a）.将点 M 向左平移 2 个单位，再向上平移 1 个 单位后得到点 N.若点 N 在第三象限，求 a 的取值范围.例 10、如图①，将射线 Ox 按逆时针方向旋转β，得到射线 Oy，如果 P为射线 Oy 上一点，且 OP＝a，那么我们规定用（a，β）表示点 P 在平面内的位置，并记为（a，β）.例如，图②中，如果 OM＝8，∠xOM＝110°，那么点 M 在平面内的位置记为 M（8，110°），根据图形，解答下列问题：（1）如图，如果点 N 在平面内的位置记为（6，30°），那么 ON＝，∠xON＝.（2）如果点 A，B 在平面内的位置分别记为 A（5，30°），B（12，120°），求 A，B 两点之间的距离.yaPβ O 图① xM(8,110°) •110° O 图② xN(6•,30°)3/7O 图③x三、学生练习：（一）选择题（每小题 3 分，共 30 分）1. 若点 P（a，－b）在第三象限，则 M（ab，－a）应在（ ）.A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 在 x 轴上到点 A（3，0）的距离为 4 的点是（ ）.A. （7，0） B. （－1，0） C. （7，0）或（－1，0） D. 以上都不对3. 点 M 到 x 轴的距离为 3，到 y 的距离为 4，则点 A 的坐标为（ ）.A. （3，4）B. （4，3）C. （4，3），（－4，3）D. （4，3），（－4，3）（－4，－3），（4，－3）4. 如果点 P（m+3，2m+4）在 y 轴上，那么点 P 的坐标为（ ）.A. （－2，0） B. （0，－2） C. （1，0）D. （0，1）5. 点 M 在 x 轴的上方，距离 x 轴 5 个单位长度，距离 y 轴 3 个单位长度，则 M 点的坐标为（ ）.A. （5,3） B. （－5,3）或（5,3） C. （3,5） D. （－3,5）或（3,5）6. 平面直角坐标系中，一个四边形各顶点坐标分别为 A(1， 2) ，B((4， 2) ，C(4，3) ，D((1，3) ，则四边形 ABCD 的形状是（ ）.A. 梯形B. 平行四边形C. 正方形D. 无法确定7. 设点 A（m，n）在 x 轴上，位于原点的左侧，则下列结论正确的是（ ）.A. m=0，n 为一切数B. m=O，n＜0C. m 为一切数，n=0D. m＜0，n=08. 在坐标轴上与点 M（3，－4）距离等于 5 的点共有（ ）.A. 4 个B. 3 个C. 2 个D. 1 个9. 直角坐标系中，一个图案上各个点的横坐标和纵坐标分别乘以正数 a（a＞1），那么所得的图案与原来图案相比（ ）.A. 形状不变，大小扩大到原来的 a2 倍B. 图案向右平移了 a 个单位C. 图案向上平移了 a 个单位D. 图案沿纵向拉长为 a 倍10. 若 y 0 ，则点 P（x,y）的位置是（ ）. xA. 在横轴上B. 在去掉原点的横轴上C. 在纵轴上D. 在去掉原点的纵轴上（二）填空题（每小题 3 分，共 30 分）11. 如果将电影票上“6 排 3 号”简记为（6，3）,（7，1）表示的含义是.12. 点（－4，0）在轴上，距坐标原点个单位长度.13. 点 P 在 y 轴上且距原点 1 个单位长度，则点 P 的坐标是.14. 已知点 M（a，3－a）是第二象限的点，则 a 的取值范围是.15. 点 A、点 B 同在平行于 x 轴的一条直线上，则点 A 与点 B 的坐标相等.16. 点 M（－3，4）与点 N（－3，－4）关于对称.17. 点 A（3，b）与点 B（a，－2）关于原点对称则 a=，b=.18. 若点 P（x，y）在第二象限角平分线上，则 x 与 y 的关系是.4/719. 已知点 P（－3，2），则点 P 到 x 轴的距离为，到 y 轴的距离为20. 已知点 A（x，4）到原点的距离为 5，则点 A 的坐标为.（三）解答题（计 60 分）21.等腰梯形 ABCD 的上底 AD=2,下底 BC=4，底角 B=45°，A建立适当的直角坐标系，求各顶点的坐标.B.D C22.正方形的边长为 2，建立适当的直角坐标系，使它的一个顶点的坐标为（ 2 ，0），并写出另外三个顶点的坐标.23. 四边形 ABCD 在直角坐标中的位置如图 1 所示，按下列步骤操作并画出变化后的图形：（1）将四边形 ABCD 各点的横纵坐标都乘以12 ，把得到的四边形 A1B1C1D1 画在图 2 的坐标系中； （2）将四边形 A1B1C1D1 各点的横坐标都乘以-1，纵坐标都乘以-1 后再加上 1，把得到的四边形 A2B2C2D2 画在图 3 的坐标系中.（图中每个方格的边长均为 1）yADyyoxoBCxox（图 1）（图 2）24.如图所示，OA=8，OB=6，∠XOA=45°，∠XOB=120°， 求 A、B 的坐标.（图 3）5/725. 根据指令［S，A］（S≥0，0°＜A＜180°，机器人在平面上能完成下列动作：先原地逆时针旋转角度 A，再朝其面对的方向沿直线行走距离 S，现机器人在直角坐标系坐标原点，且面对 x 轴正方向.（1）若给机器人下了一个指令［4，60］，则机器人应移动到点；（2）请你给机器人下一个指令，使其移到点（－5，5）.26. 观察图形由（1）→（2）→（3）→（4）的变化过程，写出每一步图形是如何变化的，图形中各顶点的坐标是如何变化的.y A（1,2）y A（2,2）yOxO B（2,0） OB（4,0）x（1）(2)B（4,0） xA(2,- 2) (3)yO （0,－1）x B（4,－1）（4） A（2,－5）4）27、如图，在平面直角坐标系中，长方形 OABC 的顶点 A， C 的坐标分别为（10，0），（0，4），D 为 OA 的中点，P 为 BC 边上一点.若△POD 为等腰三角形，求所有满足条件的 点 P 的坐标.yC •P•ODB Ax6/7八年级上四章《图形与坐标》第 12 讲答案例 1、（1）（2）略；（3）坐标是（2，1）例 2、作 BD⊥x 轴，AE⊥x 轴，面积为 80例 3、（1，8）或（－3，－2）或（3，2）例 4、（1）AB＝13；（2）AB＝AC＝5，BC＝6 等腰三角形例 5、（1）（0， 8 ）；（2）a＝3，（4，4）或 a＝1，（－2，2） 3例 6、如图，9 个点 例 7、（1）a＝－8，b＝－5；（2）－1•• • • C1 • OAB C•2 C• 5 C7例 8、（1）M（－2，0），N（4，4） （2）PM＝2 2例 9、 1 a 2 2例 10.（2）画出图形，得∠AOB＝90°，∴AB＝13 学生练习：•例6BCDB DCDB AB 11、7 排 1 号； 12、x 的负半轴， 4； 13、（0，1），（0，－1）； 14、a<0； 15 纵； 16、y 轴； 17、a＝－3，b＝2； 18、x+y＝0； 19、2，3； 20、（3，4）或（－3，4）21、略； 22、（0， 2 ），（－ 2 ，0），（0，－ 2 ）；23、（1，2），（1，0），（2，0），（3，2）（2）（－2，－4），（－2，0），（－4，0），（－6，－4）24、A（4 2 ，4 2 ），B（－3，3 3 ）； 25、（1）（2，2 3 ）；（2）[5 2 ，135]横×2纵×（－1）纵－126、（1）（2）（3）（4）27（1）当 PO＝PD 时，P（2.5，4）； y （2）当 OP＝OD＝5 时，P（3，4）； C（3）当 DP＝OD＝5 时，分两种情况：如图 P（2，4）或 P（8，4）O•P•D图（1）B AxyC •P•OD图（2）B AxyC •P45•OD图（3）①B AxyCP• B54•ODAx图（3）②7/7。
位置坐标知识点总结
位置坐标知识点总结一、位置坐标的概念和基本表示方法位置坐标是描述事物在空间中位置的具体数值，通常使用平面直角坐标系和空间直角坐标系来表示。
在平面直角坐标系中，以两个相互垂直的坐标轴为基准，分别称为x轴和y轴，任意一点在这个坐标系中的位置可以用一个有序数对(x,y)来表示。
在空间直角坐标系中，以三个相互垂直的坐标轴为基准，分别称为x轴、y轴和z轴，任意一个点在这个坐标系中的位置可以用一个有序数组(x,y,z)来表示。
二、平面直角坐标系中的位置坐标计算1. 点到坐标轴的距离：对于点P(x,y)，到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|。
2. 点的中点坐标：对于点P(x1,y1)和点Q(x2,y2)，它们的中点坐标为((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)。
3. 点的距离公式：两点之间的距离公式为√((x2-x1)²+(y2-y1)²)。
4. 二点式方程：当两点确定一条直线时，可用二点式方程y-y1=(y2-y1)/(x2-x1)*(x-x1)来表示。
三、空间直角坐标系中的位置坐标计算1. 点到坐标轴的距离：对于点P(x,y,z)，到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|y|，到z轴的距离为|z|。
2. 点的中点坐标：对于点P(x1,y1,z1)和点Q(x2,y2,z2)，它们的中点坐标为((x1+x2)/2,(y1+y2)/2,(z1+z2)/2)。
3. 点的距离公式：两点之间的距离公式为√((x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²)。
4. 三点确定一个平面：当三点确定一个平面时，可以用行列式的形式表示平面方程。
四、位置坐标在实际问题中的应用1. 地图导航：地图上的位置可以用平面直角坐标系来表示，利用位置坐标计算可以确定两个地点之间的距离和方向，帮助人们进行导航。
2. 建筑设计：在建筑设计中，需要确定建筑物的各个部分的位置坐标，以便进行施工和装饰。
点线面的坐标表示
点线面的坐标表示任何一个点、线、面在数学中都可以通过坐标来进行表示。
坐标系统是一个用来描述几何对象在平面或空间中位置的方法。
在二维平面中, 坐标一般由两个数值表示，分别表示其在横轴和纵轴上的位置。
而在三维空间中，坐标则由三个数值表示，分别表示其在横轴、纵轴和高度方向上的位置。
对于一个点而言，其坐标表示了其在平面或空间中的具体位置。
在二维平面中，一个点的坐标通常使用有顺序的两个数值(x, y)来表示，其中x代表横坐标，y代表纵坐标。
例如，点A的坐标是(2, 3)，表示它的横坐标为2，纵坐标为3。
同样地，在三维空间中，一个点的坐标常常由三个有序数值(x, y, z)来表示，分别代表横坐标、纵坐标和高度坐标。
例如，点B的坐标是(1, 2, 3)，表示它的横坐标为1，纵坐标为2，高度坐标为3。
而对于一个线而言，它是由无数个点按照一定的顺序连接组成的。
因此，为了表示一条线，我们需要确认其中至少两个点的坐标。
以线段AB为例，如果点A的坐标是(2, 3)，点B的坐标是(6, 9)，那么我们可以说线段AB的坐标是[(2, 3), (6, 9)]。
这个表示方式告诉我们线段的起点是A，终点是B，并且它经过这两个点。
与线相比，一个平面则需要更多的坐标信息来描述。
一个平面由多条线和无数个点组成，它的坐标方式可以根据需要而有所不同。
对于简单的平面，可以由三个点的坐标来确定。
例如，如果我们知道平面P 上的A点、B点和C点的坐标分别是(1, 2, 3)、(4, 5, 6)和(7, 8, 9)，那么我们可以说平面P的坐标是[(1, 2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9)]。
这个表示方式告诉我们平面P是由这三个点所确定的。
除了点、线和面外，坐标还可以用来表示其他几何体，例如球体、立方体等。
但无论几何体的形状如何，坐标系统都是一个方便、准确描述其位置和形态的工具。
总结起来，点、线、面的坐标表示是通过有序的数值来描述其在平面或空间中的位置。
平面直角坐标系中描点的方法
平面直角坐标系中描点的方法首先，我们需要了解坐标系的基本概念和规则。
在平面直角坐标系中，原点被定义为(0,0)，它是x轴和y轴的交点。
x轴是水平方向的直线，它的正方向是向右；y轴是垂直方向的直线，它的正方向是向上。
要描绘一个点，我们需要知道它在x轴和y轴上的坐标。
描点的过程可以分为以下几个步骤：1.确定点的位置：首先，需要确定点在x轴上的位置。
我们可以使用正数表示点位于原点的右侧，负数表示点位于原点的左侧。
然后，需要确定点在y轴上的位置。
同样，我们可以使用正数表示点位于原点的上方，负数表示点位于原点的下方。
2.标记点的坐标：在确定点的位置后，可以将它的坐标标记在坐标系中。
将x轴和y轴上与点对应的数值标记在坐标轴上。
3.描绘点：使用设备，例如尺子或者直尺，根据已知的坐标，在坐标轴上找到对应的位置，并标记一个点。
需要注意的是，一个点的坐标表示其在坐标系中的位置。
具体地说，横坐标标识点在x轴上的位置，纵坐标标识点在y轴上的位置。
当我们描绘一个点时，可以使用一个有序对(x,y)来表示它的坐标，其中x是横坐标，y是纵坐标。
例如，要在坐标系上描绘点A，设它的坐标为(2,3)。
首先，我们在x轴上找到2这个数值，然后向上找到y轴，再沿着y轴找到3这个数值。
最后，在这两个坐标的交点处标记一个点，表示点A的位置。
同样地，要在坐标系上描绘一个点B，设它的坐标为(-1,-2)。
首先，在x轴上找到数值-1，然后向下找到y轴，再沿着y轴找到数值-2、最后，在这两个坐标的交点处标记一个点，表示点B的位置。
通过这种方法，我们可以描绘任意的点，并将它们的位置准确地表示在平面直角坐标系中。
描点的方法还可以通过图形界面上的绘图工具来实现，例如绘图软件或者在线画图工具。
这些工具通常提供了直线绘制、点的标记、坐标轴的添加等功能，使得在平面直角坐标系上描点更加便捷和准确。
总结起来，描点的方法是确定点的位置，标记点的坐标，然后在坐标系中描绘点。
平面直角坐标系与函数及图像
第三模块函数3.1平面直角坐标系与函数及图像考点一、平面直角坐标系内点的坐标1．有序数对(1)平面内的点可以用一对有序实数来表示．例如点A在平面内可表示为A(a，b)，其中a表示点A的横坐标，b表示点A的纵坐标．(2)平面内的点和有序实数对是一一对应的关系，即平面内的任何一个点可以用一对有序实数来表示；反过来每一对有序实数都表示平面内的一个点．(3)有序实数对表示这一对实数是有顺序的，即(1,2)和(2,1)表示两个不同的点．2．平面内点的坐标规律(1)各象限内点的坐标的特征点P(x，y)在第一象限⇔x＞0，y＞0；点P(x，y)在第二象限⇔x＜0，y＞0；点P(x，y)在第三象限⇔x＜0，y＜0；点P(x，y)在第四象限⇔x＞0，y＜0.(2)坐标轴上的点的坐标的特征点P(x，y)在x轴上⇔y＝0，x为任意实数；点P(x，y)在y轴上⇔x＝0，y为任意实数；点P(x，y)在坐标原点⇔x＝0，y＝0.【例1】在平面直角坐标系中，点P(m，m－2)在第一象限，则m的取值范围是________．解析：由第一象限内点的坐标的特点可得：m>0，m－2>0，解得m＞2.方法点拨：此类问题的一般方法是根据点在坐标系中的符号特征，建立不等式组或者方程(组)，把点的问题转化为不等式组或方程(组)来解决．考点二、平面直角坐标系内特殊点的坐标特征1．平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征(1)平行于x 轴(或垂直于y 轴)的直线上点的纵坐标相同，横坐标为不相等的实数．(2)平行于y 轴(或垂直于x 轴)的直线上点的横坐标相同，纵坐标为不相等的实数．2．平面直角坐标系各象限角平分线上的点的坐标特征(1)第一、三象限角平分线上的点，横、纵坐标相等.(2)第二、四象限角平分线上的点，横、纵坐标互为相反数.3．平面直角坐标系对称点的坐标特征点P (x ，y )关于x 轴的对称点P 1的坐标为(x ，－y )；关于y 轴的对称点P 2的坐标为(－x ，y )；关于原点的对称点P 3的坐标为(－x ，－y )． 以上特征可归纳为：(1)关于x 轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数.(2)关于y 轴对称的两点，横坐标互为相反数，纵坐标相同．(3)关于原点对称的两点，横、纵坐标均互为相反数.【例2】已知点M(1－2m ，m －1)关于x 轴的对称点在第一象限，则m 的取值范围在数轴上表示正确的是 ( )解析：由题意得，点M 关于x 轴对称的点的坐标为(1－2m ，1－m )．∵M (1－2m ，m －1)关于x 轴的对称点在第一象限， ∴⎩⎨⎧1－2m >0，1－m ＞0，解得⎩⎨⎧m ＜12，m ＜1.考点三、确定物体位置的方位1．平面内点的位置用一对有序实数来确定．2．方法 (1)平面直角坐标法(2)方向角和距离定位法用方向角和距离确定物体位置，方向角是表示方向的角，距离是物体与观测点的距离．用方向角和距离定位法确定平面内点的位置时，要注意中心点的位置，中心点变化了，则方向角与距离也随之变化.考点四、点到坐标轴的距离考点五、平面直角坐标系中的平移与对称点的坐标－4，－1)，C(2，0)，将△ABC 平移至△A1B1C1的位置，点A、B、C的对应点分别是A1、B1、C1，若点A1的坐标为(3，1)，则点C1的坐标为________．解析：由A(－2，3)平移后点A1的坐标为(3，1)，可知A点横坐标加5，纵坐标减2，则点C的坐标变化与A点的坐标变化相同，故C1(2＋5，0－2)，即(7，－2)．方法点拨：求一个图形旋转、平移后的图形上对应点的坐标，一般要把握三点：一是根据图形变换的性质；二是利用图形的全等关系；三是确定变换前后点所在的象限．考点六、函数及其图象1．函数的概念(1)在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，有些数值是始终不变的，称它们为常量．(2)函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x在其取值范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就说，x是自变量，y是x的函数．函数值：对于一个函数，如果当自变量x ＝a 时，因变量y ＝b ，那么b 叫做自变量的值为a 时的函数值注：函数不是数，它是指某一变化过程中的两个变量之间的关系(3)用来表示函数关系的数学式子，叫做函数解析式或函数关系式．2．函数的表示法及自变量的取值范围(1)函数有三种表示方法：解析法，列表法，图象法，这三种方法有时可以互相转化．（表示函数时，要根据具体情况选择适当的方法，有时为了全面认识问题，可同时使用几种方法）(2)当函数解析式表示实际问题或几何问题时，其自变量的取值范围必须符合实际意义或几何意义．3．函数的图象：对于一个函数，把自变量x 和函数y 的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标在平面内描出相应的点，组成这些点的图形叫这个函数的图象．(1)画函数图象，一般按下列步骤进行：列表、描点、连线．(2)图象上任一点的坐标是解析式方程的一个解；反之以解析式方程的任意一个解为坐标的点一定在函数图象上.温馨提示：画图象时要注意自变量的取值范围，当图象有端点时，要注意端点是否有等号，有等号时画实心点，无等号时画空心圆圈.【例4】函数y ＝1x ＋x 的图象在( ) A ．第一象限 B ．第一、三象限C ．第二象限D ．第二、四象限解析：先求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出其公共解集，最后求a的取值范围即可．⎩⎨⎧2x<3（x －3）＋1，①3x ＋24>x ＋a.② 由①得x ＞8，由②得x ＜2－4a ，其解集为8＜x ＜2－4a.因不等式组有四个整数解，为9，10，11，12，则⎩⎨⎧2－4a>12，2－4a≤13，解得－114≤a<－52. 故选B.【例5】[2013·苏州] 在物理实验课上，小明用弹簧秤将铁块悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起(不考虑水的阻力)，直到铁块完全露出水面一定高度．下图能反映弹簧秤的度数y(单位：N)与铁块被提起的高度x(单位：cm)之间的函数关系的大致图象是 ( )解析：因为小明用弹簧秤将铁块A 悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度．露出水面前读数y 不变，出水面后y 逐渐增大，离开水面后y 不变．故选C.方法点拨：观察图象时，首先弄清横轴和纵轴所表示的意义，弄清哪个是自变量，哪个是因变量；然后分析图象的变化趋势，结合实际问题的意义进行判断．考点七、自变量取值范围的确定方法求函数自变量的取值范围时，首先要考虑自变量的取值必须使解析式有意义．1．自变量以整式形式出现，它的取值范围是全体实数．2．自变量以分式形式出现，它的取值范围是使分母不为零的实数．3．当自变量以偶次方根形式出现，它的取值范围是使被开方数为非负数；以奇次方根出现时，它的取值范围为全体实数．4．当自变量出现在零次幂或负整数幂的底数中，它的取值范围是使底数不为零的数5．在一个函数关系式中，同时有几种代数式，函数自变量的取值范围应是各种代数式中自变量取值范围的公共部分．【例6】(1)(2010·遵义)函数y ＝1x －2的自变量x 的取值范围是________． (2)(2010·济宁)在函数y ＝x ＋4中，自变量x 的取值范围是________．(3)(2010·黄冈)函数y ＝x －3x ＋1的自变量x 的取值范围是________． (4)(2010·玉溪)函数y ＝x x ＋1中自变量x 的取值范围是________． 【解答】(1)由x －2≠0得x≠2.(2)由x ＋4≥0，得x≥－4.(3)由⎩⎨⎧ x －3≥0，x ＋1≠0，得x≥3. (4)由x ＋1＞0，得x ＞－1.。
位置与坐标知识点总结与经典题型归纳
位置与坐标知识点一确定位置1.平面内确定一个物体的位置需要2个数据。
2.平面内确定位置的几种方法：(1)行列定位法：在这种方法中常把平面分成若干行、歹U,然后利用行号和列号表示平面上点的位置，在此方法中，要牢记某点的位置需要两个互相独立的数据，两者缺一不可。
(2)方位角距离定位法：方位角和距离。
(3)经纬定位法：它也需要两个数据：经度和纬度。
(4)区域定位法：只描述某点所在的大致位置。
如“解放路22 号”。
知识点二平面直角坐标系L定义在平面内，两条互相且具有公共的数轴组成平面直角坐标系.其中水平方向的数轴叫或，向为正方向；竖直方向的数轴叫或，向为正方向；两条数轴交点叫平面直角坐标系的.3.平面内点的坐标对于平面内任意一点P,过P分别向X轴、y轴作垂线轴上的垂足对应的数a叫P的—坐标轴上的垂足对应的数b叫P的坐标。
有序数对()，叫点P的坐标。
若P的坐标为()，则P到X轴距离为，到y轴距离为.注意：平面内点的坐标是有序实数对，(a, b)和(b, a)是两个不同点的坐标.4.平面直角坐标系内点的坐标特征：⑴坐标轴把平面分隔成四个象限。
根据点所在位置填表⑵坐标轴上的点不属于任何象限，它们的坐标特征1①在X轴上的点坐标为0;②在y轴上的点坐标为0 .(3)P()关于X轴、y轴、原点的对称点坐标特征①点Po关于X轴对称点R;②点PO关于y轴对称点P2；③点PO关于原点对称点P：,.5.平行于X轴的直线上的点坐标相同；平行于y轴的直线上的点坐标相同.知识点三轴对称与坐标变化⑴若两个图形关于X轴对称,则对应各点横坐标，纵坐标互为.⑵若两个图形关于y轴对称，则对应各点纵坐标，横坐标互为.⑶将一个图形向上(或向下)平移n(n>0)个单位,则图形上各点横坐标，纵坐标加上(或减去)n个单位.(4)将一个图形向右(或向左)平移n (n>0)个单位,则图形上各点纵坐标，横坐标加上(或减去)n个单位.(5)纵坐标不变，横坐标分别变为原来的a倍，则图形为原来横向伸长的a倍(a>l)或图形横向缩短为原来的a倍(0<a<l)o (6)横坐标不变，纵坐标分别变为原来的a倍，则图形为原来纵向伸长的a倍(a>l)或图形纵向缩短为原来的a倍(0<a<l)o (7)横坐标与纵坐标同时变为原来的a倍，则图形被放大，形状不变(a>l)o题型一坐标系的理解1.平面内点的坐标是()A 一个点B 一个图形C 一个数D 一个有序数对2.在平面内要确定一个点的位置，一般需要个数据；在空间内要确定一个点的位置，一般需要个数据.3.在平面直角坐标系内，下列说法错误的是OA 原点。
写点坐标的方法
写点坐标的方法在数学、物理、工程等领域，坐标表示法被广泛应用。
坐标表示法是一种将空间中的点用有序数对（或有序三元组）表示的方法。
写点坐标时，通常遵循以下步骤：1. 确定坐标系：首先，明确所使用的坐标系。
坐标系可以是二维的（平面坐标系），也可以是三维的（空间坐标系）。
在二维坐标系中，一个点由两个坐标值（x，y）表示；在三维坐标系中，一个点由三个坐标值（x，y，z）表示。
2. 确定坐标轴：在二维坐标系中，坐标轴通常为横轴（x轴）和纵轴（y轴）。
在三维坐标系中，还需要添加一个垂直于xy平面的第三轴（z轴）。
坐标轴的正向和负向需要统一规定。
3. 确定点的位置：在坐标系中，一个点的位置由其对应的坐标值确定。
对于二维坐标系，横轴和纵轴的坐标值可以是正数、负数或零；对于三维坐标系，三个坐标值可以是正数、负数或零。
需要注意的是，坐标值的正负表示点的位置关系，而不表示大小关系。
4. 书写格式：在书写坐标时，通常将坐标值用括号括起，并用逗号分隔。
例如，一个二维点的坐标可以写作（3，-2），一个三维点的坐标可以写作（2，3，-1）。
5. 举例：以下是一些常见坐标的示例：- 二维坐标：- （3，-2）：表示横坐标为3，纵坐标为-2的点。
- （-1，5）：表示横坐标为-1，纵坐标为5的点。
- 三维坐标：- （2，3，-1）：表示横坐标为2，纵坐标为3，竖坐标为-1的点。
- （-1，2，5）：表示横坐标为-1，纵坐标为2，竖坐标为5的点。
坐标表示法是一种简便的方式来描述空间中的点。
掌握好坐标表示法，有助于解决诸如距离、角度、速度等问题。
平面直角坐标系的知识点归纳总结
1.平面直角坐标系的定义
平面内画两条的数轴组成平面直角坐
标系。水平的数轴为，习惯上取向 为正方向；竖直的数轴为
注意：同一平面、互相垂直、公共原点、数轴。
2•点的坐标：坐标平面内的点可以用一对
坐标。表示方法为(a ,b)。a是点对应
坐标；b是点对应轴上的数值，表示点的
点(a ,b)与点(b, a)表示同一个点时，a b
A第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限
则「上的点横坐标一定相同（）
（5）若—丄，则点P（…「）在第二或第三象限（
tt,->0、竹一
（6）若二，则点P（山r）在「轴或第一、三象限（
练3、已知坐标平面内点M（a,b）在第二象限，那么点N（b,-a）在（）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
练4、在平面直角坐标系中，点（-1,m2+1）一定在（）
与点(b，a)表示不同的点。
3.坐标系内点的坐标特点
坐标轴上
点P(X，y)
连线平行于
坐标轴的点
点P(x,y)在各象限
的坐标特点
象限角平分线 上
的点
X轴
Y轴
原
占 八、、
平行X轴
平行Y轴
V►பைடு நூலகம்
第一
象限
第二
象限
第三
象限
第四
象限
第一、
三象限
第二、
四象
限
小结：(1)点P(x,y)所在的象限
横、纵坐标x、y的取值的正负性;
（2）点P（x, y）所在的数横、纵坐标x、y中必有一数为零； 练1、下列说法正确的是（）
A平面内，两条互相垂直的直线构成数轴B、坐标原点不属于任何象
坐标的表示方法
坐标的表⽰⽅法
平⾯坐标分三类：绝对坐标：A(X，Y)；相对坐标：A(@△X，△Y)；相对极坐标：:A(@d<α)。
1平⾯坐标系分类
绝对坐标：是以点O为原点，作为参考点，来定位平⾯内某⼀点的具体位置，表⽰⽅法为：A(X，Y)；
相对坐标：是以该点的上⼀点为参考点，来定位平⾯内某⼀点的具体位置，其表⽰⽅法为：A(@△X，△Y)；
相对极坐标：是指出平⾯内某⼀点相对于上⼀点的位移距离、⽅向及⾓度，具体表⽰⽅法为：A(@d<α)。
2相对坐标与绝对坐标的区分
相对坐标
相对坐标是指相对于前⼀坐标点的坐标。
相对坐标也有直接坐标、极坐标、球坐标和柱坐标四种形式，其输⼊格式与绝对坐标相同，但要在输⼊的坐标前加前缀“@”。
与绝对坐标的区分
绝对坐标是不管⽬前你处于什么位置，从坐标原点到你的位置，X，Y，Z的值就是绝对坐标值，相对坐标的含义是相对上⼀点⽽⾔的，可以是你这⼀点的绝对坐标减去上⼀点的绝对坐标。
假如说上⼀点绝对坐标是4，3，⽬前这⼀点绝对坐标是5，6，则⽬前这⼀点的相对坐标是5-4=1，6-3=3，就是1，3。
另外，如果减完后的值是负的，结果就是负的。
平面直角坐标系平面上点的坐标表示
平面直角坐标系平面上点的坐标表示平面直角坐标系是二维几何中的一个基本概念，它由两条相互垂直的轴组成，通常分别称为 x 轴和 y 轴。
在这个坐标系中，每个点都可以用一组数字（坐标）来表示。
本文将介绍平面直角坐标系中点的坐标表示方法。
一、点的坐标表示方法在平面直角坐标系中，每个点都有一个对应的坐标表示。
这个表示方法使用一对有序实数来描述一个点的位置，第一个数是横坐标（x 值），表示点到 y 轴的垂直距离；第二个数是纵坐标（y 值），表示点到 x 轴的垂直距离。
二、坐标系的构建为了方便表示点的位置，我们可以在纸上绘制一个平面直角坐标系。
通常，我们将x 轴绘制在纸的水平方向，将y 轴绘制在纸的垂直方向，并使它们相互垂直。
坐标系的原点通常位于纸的左下角。
三、点的坐标表示举例假设我们需要表示平面直角坐标系上的一个点 P，我们可用一对实数 (x, y) 来表示它的坐标。
下面是几个常见的示例：1. 坐标为 (0, 0) 的点是坐标系的原点，即 x 轴和 y 轴的交点。
2. 坐标为 (3, 4) 的点 P1 的横坐标为 3，纵坐标为 4。
它可以通过从原点沿 x 轴的正方向走 3 个单位，再沿 y 轴的正方向走 4 个单位得到。
3. 坐标为 (-2, -5) 的点 P2 的横坐标为 -2，纵坐标为 -5。
它可以通过从原点沿 x 轴的负方向走 2 个单位，再沿 y 轴的负方向走 5 个单位得到。
四、坐标轴的划分和刻度为了更好地表示点的位置，我们通常在坐标轴上标出一些刻度，以便更准确地确定点的坐标。
划分和刻度的密度可以根据需要进行调整。
在横坐标轴上，我们可以标出从 0 开始的正整数刻度（如 1、2、3…），以及从 0 开始的负整数刻度（如 -1、-2、-3…）。
在纵坐标轴上，同样可以标出从0 开始的正整数刻度和负整数刻度。
五、轴的正向和负向在平面直角坐标系中，轴的正向表现为从原点向右延伸（x 轴）或向上延伸（y 轴），而轴的负向则相反。
平面几何的解析几何方法
平面几何的解析几何方法解析几何是数学中的一个分支，通过运用代数和解析的方法来研究几何问题。
在平面几何中，解析几何方法被广泛应用于解决各种几何问题。
本文将介绍平面几何的解析几何方法，并探讨其在几何问题中的应用。
一、点的坐标表示在解析几何中，点的位置通常可以用坐标表示。
我们可以选取一个平面上的直角坐标系，将平面上的每个点都表示为一个有序数对(x, y)，其中x表示点在x轴上的位置，y表示点在y轴上的位置。
例如，点A的坐标为(2, 3)，表示该点在x轴上的位置为2，在y轴上的位置为3。
通过使用坐标表示，我们可以方便地研究点在平面上的位置关系、距离计算等问题。
二、直线的表示及性质1. 斜率在解析几何中，直线的斜率是一个重要的性质。
斜率通常用字母m表示，它表示直线的倾斜程度。
在坐标系中，设直线上两点的坐标分别为(x₁, y₁)和(x₂, y₂)，则直线的斜率m可以通过以下公式计算： m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)2. 直线的方程直线在解析几何中通常可以用方程表示。
常见的直线方程有一般式、截距式和点斜式。
- 一般式：Ax + By + C = 0，其中A、B和C是常数。
通过一般式方程，我们可以得到直线的斜率和截距。
- 截距式：y = mx + b，其中m是直线的斜率，b是直线与y轴的交点的y坐标。
通过截距式方程，我们可以得到直线的斜率和截距。
- 点斜式：y - y₁ = m(x - x₁)，其中m是直线的斜率，(x₁, y₁)是直线上的一点。
通过点斜式方程，我们可以得到直线的斜率和通过给定点的方程。
3. 直线的性质在解析几何中，直线还有一些重要的性质。
例如，两条直线平行的条件是它们的斜率相等；两条直线垂直的条件是它们的斜率的乘积为-1。
三、曲线的表示及性质在解析几何中，曲线的表示方法有很多种，其中常见的有二次曲线和圆。
1. 二次曲线二次曲线是解析几何中的重要曲线之一，它可以用一般的二次方程表示：Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0。