整式的除法
整式的乘除知识点归纳
整式的乘除知识点归纳整式是数学中常见的一类代数表达式，包含了整数、变量和基本运算符（加、减、乘、除）。
一、整式的定义整式由单项式或多项式组成。
单项式是一个数字或变量的乘积，也可以包含指数。
例如，3x^2是一个单项式，其中3和x表示系数和变量，2表示指数。
多项式是多个单项式的和。
例如，2x^2 + 3xy + 5是一个多项式，其中2x^2，3xy和5分别是单项式，+表示求和运算符。
二、整式的乘法整式的乘法遵循以下几个重要的法则：1.乘积的交换法则：a×b=b×a，即乘法运算符满足交换定律。
2.乘积的结合法则：(a×b)×c=a×(b×c)，即乘法运算符满足结合定律。
3.乘积与和的分配法则：a×(b+c)=(a×b)+(a×c)，即乘法运算符对加法运算符满足分配律。
在进行整式的乘法运算时，要注意变量之间的乘积也需要按照乘法法则进行处理。
例如，(2x^2)×(3y)=6x^2y。
三、整式的除法整式的除法是乘法的逆过程。
除法运算中，被除数除以除数得到商。
以下是几个重要的除法规则：1.除法的整除法则：若a能被b整除，则a/b为整数。
例如，6除以3得到22.除法的商式法则：若x为任意非零数，则x/x=1、例如，2x^2/2x^2=13.除法的零律：任何数除以0都是没有意义的，即不可除以0。
例如，5/0没有意义。
在进行整式的除法运算时，要注意约分和消去的原则。
例如，(4x^2+ 2xy)/(2x) 可以约分为2x + y。
四、整式的运算顺序在解决整式的复杂运算问题时，需要遵循一定的运算顺序。
常见的运算顺序规则如下：1.先解决括号内的运算。
2.然后进行乘法和除法的运算。
3.最后进行加法和减法的运算。
五、整式的因式分解因式分解是将一个整式拆解为多个因式的乘积的过程。
对于给定的整式，可以通过以下步骤进行因式分解：1.先提取其中的公因式。
(完整版)整式的除法练习题(含答案)
《整式的除法》习题一、选择题1．下列计算正确的是( )A.a 6÷a 2=a 3B.a +a 4=a 5C.（ab 3）2=a 2b 6D.a -（3b -a ）=-3b2．计算：(-3b 3)2÷b 2的结果是( )A.-9b 4B.6b 4C.9b 3D.9b 43．“小马虎”在下面的计算中只做对一道题，你认为他做对的题目是( )A.（ab ）2=ab 2B.（a 3）2=a 6C.a 6÷a 3=a 2D.a 3•a 4=a 124．下列计算结果为x 3y 4的式子是( )A.（x 3y 4）÷（xy ）B.（x 2y 3）•（xy ）C.（x 3y 2）•（xy 2）D.（-x 3y 3）÷（x 3y 2）5．已知(a 3b 6)÷(a 2b 2)=3，则a 2b 8的值等于( )A.6B.9C.12D.816．下列等式成立的是( )A.（3a 2+a ）÷a =3aB.（2ax 2+a 2x ）÷4ax =2x +4aC.（15a 2-10a ）÷（-5）=3a +2D.（a 3+a 2）÷a =a 2+a7．下列各式是完全平方式的是（） A 、412+-x x B 、241x + C 、22b ab a ++ D 、122-+x x 8．下列计算正确的是（ ） A 、222)2)(2(y x y x y x -=+- B 、229)3)(3(y x y x y x -=+-C 、1625)54)(54(2+=---n n nD 、22))((m n n m n m -=+--- 二、填空题9．计算：(a 2b 3-a 2b 2)÷(ab )2=_____．10．七年级二班教室后墙上的“学习园地”是一个长方形，它的面积为6a 2-9ab +3a ，其中一边长为3a ，则这个“学习园地”的另一边长为_____．11．已知被除式为x 3+3x 2-1，商式是x ，余式是-1，则除式是_____．12．计算：(6x 5y -3x 2)÷(-3x 2)=_____．13．若35,185==yx ， 则y x 25-= 14．()()()()32223282y x x y x -⋅-⋅--＝ ； 15．若1004x y +=，2x y -=，则代数式22x y -的值是 。
整式的除法教案
整式的除法教案教案：教学目标：1. 理解整式的概念和性质。
2. 学会用多项式的除法求解问题。
3. 能够将整式除法的步骤清晰地表达出来。
教学准备：1. 教材：包含整式除法知识点的教科书。
2. 教具：黑板、白板、彩色粉笔/白板笔。
教学过程：引入新知识：1. 引导学生回顾一元多项式的定义，并让他们思考为什么要学习整式的除法。
2. 解释整式除法的意义：整式除法是将一个多项式作为被除数除以另一个多项式作为除数，得到商和余数的过程。
它有助于我们化简复杂的多项式，解决方程以及找到多项式的因式。
整式除法步骤的讲解：1. 将被除数与除数按次数高低排列，并对齐相同次数的项。
2. 判断最高次项的系数是否可以整除最高次项的系数。
a. 如果可以整除，将最高次项的系数相除，得到商的最高次项。
b. 如果不能整除，说明该项无法整除，商的最高次项为0。
3. 用商的最高次项乘以除数，并与被除数的最高次项相减，得到一个新的多项式。
4. 重复步骤2和步骤3，直到被除数的次数小于除数的次数为止。
5. 将每一步得到的商分别与前面的商相加得到最终商，将最后得到的多项式作为余数。
例题演练：1. 教师出示一个例子，对学生进行详细的分析解答。
2. 让学生在纸上尝试解答其他几个例题。
3. 随机选取几名学生上台演示解题过程，其他同学进行讨论和纠错。
巩固练习：让学生独立完成一些整式除法的练习题，然后互相交换答案进行互评。
拓展延伸：如果学生已经掌握了整式的除法，可以引导他们进行一些应用题，如解方程、找因式等。
同时，可以引入多项式的最大公因式和最小公倍式的概念和求解方法。
课堂总结：1. 复习整式的定义和性质。
2. 归纳整式除法的步骤。
3. 总结整式除法的应用。
作业布置：1. 让学生完成课后习题中与整式除法相关的题目。
2. 鼓励学生找到其他应用整式除法的例子，并进行解答。
教学反思：整式除法是一个相对复杂的概念，需要学生对多项式的基本操作有一定的掌握。
在教学过程中，要结合具体例子进行讲解，并给予足够的练习机会，帮助学生理解和掌握整式除法的步骤和方法。
七年级下册整式除法知识点
七年级下册整式除法知识点整式除法是七年级下册数学中重要的知识点之一，它在数学中具有极其重要的位置。
整式除法是指将一个整式（多项式）除以另一个整式的运算，下面就来详细了解一下整式除法的知识点。
1. 什么是整式？整式是一类特殊的多项式，多项式是由常数和变量的积以及常数相加减的代数式组成的。
一个多项式中，如果每一项的次数都是一样的，那么这个多项式就是整式。
例如，2x^3-5x^2+3x-7就是一个整式，而3x+2xy-4不是整式。
整式有常数项、一次项、二次项等。
2. 整式的除法整式的除法就是将一个多项式除以另外一个多项式的运算。
除数和被除数一般都是整式，这是整式除法的基础。
整式除法的答案也是一个整式，即商式。
3. 整式的性质（1）整式除法满足唯一性，即对于任意的多项式f和g，存在唯一的商式q和余式r，使得f=gq+r，并且r的次数小于g的次数。
（2）整式除法满足可减性，即如果f=q1g+r1，g=q2h+r2，则f=(q1q2)h+(q2r1+r2)。
在整式的计算过程中，可用可减性使整个过程更加简单。
（3）整式的系数也可以是复数，例如，x^2+(2+3i)x-1除以x+1就是(x+1)+(2+2i)。
4. 整式的除法步骤（1）先将除数与被除数按照次数从高到低排列，确保计算的准确性。
（2）将被除数的最高次项除以除数的最高次项，得到商。
（3）将商乘以除数，然后减去被除数，得到余数。
（4）将余数再次除以除数，得到新的商。
（5）重复上述步骤，直到余数的次数小于等于除数的次数。
（6）最后的商即为整式的商式，而最后的余数即为整式的余式。
5. 一个简单的例子例如，将多项式f(x)=x^3+2x^2+3x+1除以g(x)=x+1。
（1）首先将f(x)和g(x)按照次数排列，得到f(x)=x^3+2x^2+3x+1，g(x)=x+1。
（2）将f(x)的最高次项x^3除以g(x)的最高次项x，得到商x^2。
（3）将x^2乘以g(x)得到x^3+x^2，然后减去f(x)得到x^2+x+1。
第08讲 整式的除法
第8讲 整式的除法 在大多数科学中，后一代人往往撕毁了前一代人所建立的成就，但在数学中，每一代人都是在老的结构上建立新的成果。
——赫尔曼·汉克而 知识方法扫描整式的除法，包括单项式除以单项式，多项式除以单项式以及多项式除以多项式.像整数除法一样，一元多项式的除法，也有整除、商式、余式的概念．一般地，一个一元多项式f(x)除以另一个一元多项式g(x)时，总存在一个商式q(x)与一个余式r(x)，使得f(x)=g(x)q(x)+r(x)成立，其中r(x)的次数小于g(x)的次数．特别地，当r(x)=0时，称f(x)能被g(x)整除或g(x)整除f(x)．当除式是一次式时，有如下的结论：余数定理：多项式f(x)除以x-a 所得的余数等于f(a),因式定理：若多项式f(x)除以x-a 所得的余数f(a)=0， 则f(x)含有因式x-a. 经典例题解析例1．已知,63,43==y x 求y x y x --+2792的值解 y x y x --+2792=)(3)2(233y x y x --+=y x y x 33243333÷+÷=3324)3()3()3()(3y x y x ÷+÷=44÷62+43÷33=27200。
例2．已知,2)(,523)(223+=+-=x x g x x x f 求)(x f 除以)(x g 的商式)(x Q 和余式).(x R解 用竖式除法，有：所以有：.23)(-=x x Q .96)(+-=x x R例3．已知,0132=+-a a 求1825222345+-+-a a a a a 的值． 解法1 先做多项式除法)13()8252(22345+-÷-+-a a a a a a ：a a a a a a a a a a 3)32)(13(82522322345-+++-=-+-∴.31,01322a a a a =+∴=+-原式=13)32)(13(2232+-+++-a a a a a a a a a 33-=.1-= 解法2 因,0132=+-a a 所以a a a a a a a a a a a a a a 3)393()3()262(8252232343452345-+-++-++-=-+- =a a a a a a a a a a 3)13(3)13()13(222223-+-++-++-=a 3-又 a a 312=+，于是原式=-1。
整式的除法教案
整式的除法教案教案主题：整式的除法教学目标：1. 理解整式的概念及特点；2. 掌握整式的除法方法；3. 能够用整式的除法解决实际问题。
教学重点：1. 整式的除法方法；2. 整式除法运算的实际应用。
教学难点：整式除法运算的实际应用。
教学准备：1. 整式除法运算的示例题目和解答；2. 合适的教学素材和多媒体设备。
教学过程：Step 1：导入新知识引导学生回顾代数式的概念和运算法则，并向学生引入整式的概念。
解释整式是由单项式相加或相减构成的代数式，并且每一项的指数和系数都可以是整数。
Step 2：整式的除法方法1. 回顾多项式的除法方法，强调重要概念：被除式、除式、商和余数。
2. 分步讲解整式的除法方法：a. 将除式和被除式按照降幂排列。
b. 用除数的最高次项除以被除式的最高次项，得到商式的最高次项。
c. 用得到的商式最高次项乘以除式，得到一个临时的结果。
d. 将临时结果与被除式相减，得到新的被除式。
e. 重复上述步骤，得到整个商式和余式。
Step 3：例题讲解在黑板上给出几个整式的除法示例题目，并一步一步解答。
Step 4：学生练习让学生在课堂上完成几个整式的除法练习题，以加深对整式的除法方法的理解。
Step 5：拓展应用引导学生通过实例，将整式的除法方法应用到实际问题中，如代数方程的解法等。
Step 6：课堂小结回顾整节课的内容，简要总结整式的概念和除法方法，强调实际应用。
Step 7：作业布置布置相关的作业，提醒学生巩固和加深对整式的除法方法的理解。
教学反思：本节课通过讲解整式的概念和除法方法，以及结合示例和实际问题的应用，帮助学生理解和掌握整式的除法运算。
在教学中要注重学生的参与和思考，通过互动和练习巩固知识的掌握，使学生能够运用所学知识解决实际问题。
同时，还可以通过多媒体设备和教学素材的使用，提高学生的学习兴趣和理解效果。
整式的除法练习题(含答案)
《【2 】整式的除法》习题一.选择题1．下列盘算准确的是()A.a6÷a2=a3B.a+a4=a5C.（ab3）2=a2b6D.a-（3b-a）=-3b2．盘算：(-3b3)2÷b2的成果是()A.-9b4B.6b4C.9b3D.9b43．“小纰漏”鄙人面的盘算中只做对一道题,你以为他做对的标题是() A.（ab）2=ab2B.（a3）2=a6C.a6÷a3=a2D.a3•a4=a124．下列盘算成果为x3y4的式子是()A.（x3y4）÷（xy）B.（x2y3）•（xy）C.（x3y2）•（xy2）D.（-x3y3）÷（x3y2）5．已知(a3b6)÷(a2b2)=3,则a2b8的值等于()A.6B.9C.12D.816．下列等式成立的是()A.（3a2+a）÷a=3aB.（2ax2+a2x）÷4ax=2x+4aC.（15a2-10a）÷（-5）=3a+2D.（a3+a2）÷a=a2+a二.填空题7．盘算：(a2b3-a2b2)÷(ab)2=_____．8．七年级二班教室后墙上的“进修场地”是一个长方形,它的面积为6a2-9ab+3a,个中一边长为3a,则这个“进修场地”的另一边长为_____．9．已知被除式为x3+3x2-1,商式是x,余式是-1,则除式是_____．10．盘算：(6x5y-3x2)÷(-3x2)=_____．三.解答题11．三峡一期工程停止后的当年发电量为5.5×109度,某市有10万户居平易近,若平均每户用电2.75×103度．那么三峡工程该年所发的电能供该市居平易近应用若干年？(成果用科学记数法表示)12．盘算．(1)(30x4-20x3+10x)÷10x(2)(32x3y3z+16x2y3z-8xyz)÷8xyz(3)(6a n+1-9a n+1+3a n-1)÷3a n-1．13．若(x m÷x2n)3÷x2m-n与2x3是同类项,且m+5n=13,求m2-25n的值．14．若n为正整数,且a2n=3,盘算(3a3n)2÷(27a4n)的值．15．一颗人造地球卫星的速度是2.6×107m/h,一架飞机的速度是1.3×106m/h,人造地球卫星的速度飞机速度的几倍？参考答案一.选择题1．答案：C解析：【解答】 A.a6÷a2=a4,故本选项错误;B.a+a4=a5,不是同类项不能归并,故本选项错误;C.（ab3）2=a2b6,故本选项准确;D.a-（3b-a）=a-3b+a=2a-3b,故本选项错误．故选C．【剖析】依据同底数幂的除法,底数不变指数相减;归并同类项,系数相加字母和字母的指数不变;积的乘方,把每一个因式分离乘方,再把所得的幂相乘,对各选项盘算后应用消除法求解．2．答案：D解析：【解答】（-3b3）2÷b2=9b6÷b2=9b4．故选D．【剖析】依据积的乘方,等于把积中的每一个因式分离乘方,再把所得的幂相乘;单项式相除,把系数与同底数幂分离相除作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式,盘算即可．3．答案：B解析：【解答】A.应为（ab）2=a2b2,故本选项错误;B.（a3）2=a6,准确;C.应为a6÷a3=a3,故本选项错误;D.应为a3•a4=a7,故本选项错误．故选B．【剖析】依据积的乘方,等于把积的每一个因式分离乘方,再把所得的幂相乘;幂的乘方,底数不变指数相乘;同底数幂相除,底数不变指数相减;同底数幂相乘,底数不变指数相加;对各选项剖析断定后应用消除法求解．4．答案：B解析：【解答】A.（x3y4）÷（xy）=x2y3,本选项不合题意;B.（x2y3）•（xy）=x3y4,本选项相符题意;C.（x3y2）•（xy2）=x4y4,本选项不合题意;D.（-x3y3）÷（x3y2）=-y,本选项不合题意, 故选B【剖析】应用单项式除单项式轨则,以及单项式乘单项式轨则盘算得到成果,即可做出断定．5．答案：B解析：【解答】∵（a3b6）÷（a2b2）=3, 即ab4=3, ∴a2b8=ab4•ab4=32=9．故选B．【剖析】单项式相除,把系数和同底数幂分离相除,作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数一路作为商的一个因式,应用这个轨则先算出ab4的值,再平方．6．答案：D解析：【解答】 A.（3a2+a）÷a=3a+1,本选项错误;B.（2ax2+a2x）÷4ax=x+a,本选项错误;C.（15a2-10a）÷（-5）=-3a2+2a,本选项错误;D.（a3+a2）÷a=a2+a,本选项准确, 故选D【剖析】A.应用多项式除以单项式轨则盘算得到成果,即可做出断定;B.应用多项式除以单项式轨则盘算得到成果,即可做出断定;C.应用多项式除以单项式轨则盘算得到成果,即可做出断定;D.应用多项式除以单项式轨则盘算得到成果,即可做出断定．二.填空题7．答案：b-1解析：【解答】（a2b3-a2b2）÷（ab）2=a2b3÷a2b2-a2b2÷a2b2=b-1．【剖析】本题是整式的除法,相除时可以依据系数与系数相除,雷同的字母相除的原则进行,对于多项式除以单项式可所以将多项式中的每一个项分离除以单项式．8．答案：2a-3b+1解析：【解答】∵长方形面积是6a2-9ab+3a,一边长为3a, ∴它的另一边长是：（6a2-9ab+3a）÷3a=2a-3b+1．故答案为：2a-3b+1．【剖析】由长方形的面积求法可知由一边乘以另一边而得,则本题由面积除以边长可求得另一边．9．答案：x2+3x解析：【解答】[x3+3x2-1-（-1）]÷x=（x3+3x2）÷x=x2+3x．【剖析】有被除式,商及余数,被除式减去余数再除以商即可得到除式．10．答案：-2x3y+1解析：【解答】（6x5y-3x2）÷（-3x2）=6x5y÷（-3x2）+（-3x2）÷（-3x2）=-2x3y+1．【剖析】应用多项式除以单项式的轨则,先用多项式的每一项除以单项式,再把所得的商相加盘算即可．三.解答题11．答案：2×10年解析：【解答】该市用电量为2.75×103×105=2.75×108（5.5×109）÷（2.75×108）=（5.5÷2.75）×109-8=2×10年．答：三峡工程该年所发的电能供该市居平易近应用2×10年．【剖析】先求出该市总用电量,再用当年总发电量除以用电量;然后依据同底数幂相乘,底数不变指数相加和同底数幂相除,底数不变指数相减盘算．12．答案：（1）3x3-2x2+1;（2）4x2y2+16xy2-1;（3）（-3a n+1+3a n-1）÷3a n-1=-3a2+1．解析：【解答】（1）（30x4-20x3+10x）÷10x=3x3-2x2+1; （2）（32x3y3z+16x2y3z-8xyz）÷8xyz=4x2y2+16xy2-1; （3）（6a n+1-9a n+1+3a n-1）÷3a n-1=（-3a n+1+3a n-1）÷3a n-1=-3a2+1．【剖析】（1）依据多项式除以单项式的轨则盘算即可; （2）依据多项式除以单项式的轨则盘算即可; （3）先归并括号内的同类项,再依据多项式除以单项式的轨则盘算即可．13．答案：39．解析：【解答】（x m÷x2n）3÷x2m-n=（x m-2n）3÷x2m-n=x3m-6n÷x2m-n=x m-5n 因它与2x3为同类项, 所以m-5n=3,又m+5n=13, ∴m=8,n=1, 所以m2-25n=82-25×12=39．【剖析】依据同底数幂相除,底数不变指数相减,对（x m÷x2n）3÷x2m-n化简,由同类项的界说可得m-5n=2,联合m+5n=13,可得答案．14．答案：1解析：【解答】原式=9a6n÷（27a4n）=a2n, ∵a2n=3,∴原式=×3=1．【剖析】先辈行幂的乘方运算,然落后行单项式的除法,最后将a2n=3整体代入即可得出答案．15．答案：20．解析：【解答】依据题意得：（ 2.6×107）÷（ 1.3×106）=2×10=20,则人造地球卫星的速度飞机速度的20倍．【剖析】依据题意列出算式,盘算即可得到成果．。
整式的除法练习题(含答案)
整式的除法练习题(含答案)B、a+a4=a5，故本选项错误；C、(ab3)2=a2b6，正确；D、a-(3b-a)=-2b，故本选项错误。
选C。
2．答案：D解析：【解答】(-3b3)2=9b6，9b6÷b2=9b4，选D。
3．答案：A解析：【解答】(ab)2=a2b2，选A。
4．答案：C解析：【解答】(x3y2)•(xy2)=x4y4，选C。
5．答案：B解析：【解答】(a3b6)÷(a2b2)=ab4，ab4=3，a2b8=a2b2•ab6=ab7=9，选B。
6．答案：A解析：【解答】(3a2+a)÷a=3a，选A。
二、填空题7．答案：b．解析：【解答】(a2b3-a2b2)÷(ab)2=ab-a，选b。
8．答案：2b-a．解析：【解答】设该长方形的另一边长为b，则ab=6a2-9ab+3a，化简得ab=3a-3ab，即ab=3a-3(2b-a)，解得b=2b-a，选2b-a。
9．答案：x2+x-1．解析：【解答】x3+3x2-1=(x2+x-1)•x+(-1)，除式为x2+x-1，选x2+x-1.10．答案：-2y．解析：【解答】(6x5y-3x2)÷(-3x2)=-2y，选-2y。
三、解答题11．答案：200年．解析：【解答】三峡工程当年发电量为5.5×109度，该市居民平均每户用电2.75×103度，因此该市居民当年用电量为2.75×103×10万=2.75×108度。
三峡工程该年所发的电能供该市居民使用的年数为5.5×109÷2.75×108=20年，即三峡工程该年所发的电能供该市居民使用20年。
12．答案：1) 答案：3x3-2x2+1．解析：【解答】(30x4-20x3+10x)÷10x=3x3-2x2+1，选3x3-2x2+1.2) 答案：4yz+2y-1/2．解析：【解答】(32x3y3z+)÷=4yz+2y-1/2，选4yz+2y-1/2.3) 答案：-1/3．解析：【解答】(6an+1-9an+1+3an-1)÷3an-1=-1/3，选-1/3.13．答案：-16．解析：【解答】(xm÷x2n)3÷x2m-n=(x-m+2n)3÷x2m-n=x3-3(m-2n)x+m-6n，与2x3是同类项，即m-6n=3，又m+5n=13，解得m=2，n=1，代入m2-25n得-16，选-16.14．答案：1/4．解析：【解答】(3a3n)2÷(27a4n)=(a3n)2÷(9a4n)=a6n÷9a4n=1/9a2n，又a2n=3，代入得1/4，选1/4.15．答案：20．解析：【解答】人造地球卫星的速度是2.6×107m/h，一架飞机的速度是1.3×106m/h，人造地球卫星的速度飞机速度的倍数为2.6×107÷1.3×106=20，选20.2.解析：根据同底数幂的除法，底数不变指数相减；合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；积的乘方，把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，对于各选项进行计算后，利用排除法得出答案为D。