11.用参数法求轨迹方程(尹建堂_郭学刚)
《轨迹方程的求法》课件
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总结与展望
轨迹方程的重要性和意义
轨迹方程是描述物体运动规律的 重要工具，对于物理学、工程学 、航天科学等领域具有重要意义
。
通过轨迹方程，我们可以精确地 预测物体未来的位置和运动状态 ，为实际应用提供重要的参考依
据。
掌握轨迹方程的求法，有助于提 高我们对物体运动规律的认识和 理解，为相关领域的研究和发展
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1. 根据已知条件，确定动点坐标之间的关 系。
2. 运用代数方法，将坐标关系转化为轨迹 方程。
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3. 化简轨迹方程，得到最终结果。
参数法
定义：参数法是指引入参数来
适用范：适用于已知条件较
步骤
表示动点的坐标，从而得到轨
迹方程的方法。
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为复杂，需要引入参数来表示
动点坐标的情况。
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1. 引入参数，表示动点的坐标 。
3. 根据轨迹上点的坐标，推导出轨迹 方程。
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常见轨迹方程的求解示例
圆轨迹方程的求解
总结词
通过已知条件，利用圆上三点确定一个圆的定理，求解圆心 和半径。
详细描述
首先确定圆上的三个点，然后利用圆上三点确定一个圆的定 理，即圆心在三个点的中垂线交点上，半径等于三个点到圆 心距离的和的一半，求解出圆心和半径，即可得到圆的轨迹 方程。
轨迹方程可以用来描述行星、卫星等 天体的运动轨迹，帮助我们理解宇宙 中的运动规律。
在物理中，有时需要研究两物体碰撞 后的运动轨迹，通过建立轨迹方程并 求解，可以了解碰撞后的运动状态。
求轨迹方程的六种方法
中学数学解题方法讨论-------求轨迹方程的方法道县五中 周昌雪内容提要：求轨迹方程是每年高考的必考内容且分值较高、难度较大，所以能否正确求轨迹方程对高考的成败至关重要。
本篇论文归纳了六种常用的求轨迹方程的方法。
曲线形状明确且便于使用标准形式的圆锥曲线轨迹问题，一般用待定系数法求方程；直接将动点满足的几何等量关系“翻译”成动点x ,y ，得方程，即为所求动点的轨迹方程，用直译法求解；若动点运动的几何条件恰好与圆锥曲线的定义吻合，可直接根据定义建立动点的轨迹方程，用定义法求解可先确定曲线的类型与方程的具体结构式，再用待定系数法求之；当所求轨迹上的动点P 随着曲线f(x,y)=0而变动时，且Q 的坐标可且动点P 的坐标(x 0，y 0)代入动点Q 的曲线方程即得曲线P 的轨迹方程，这就是所谓的轨迹代入法，即相关点法；若动点坐标满足的等量关系不易直接找到，可选取与动点坐标有密切关系的量（如角、斜率k 、比值等）作参数t ，根据已知条件求出动点的参数式方程，然后消去参数t 即得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方程的方法叫参数法；如果动点是某两条动曲线的交点，则可联立两动曲线方程，消去方程中的有关参数，即为所求动点的轨迹方程，“交轨法”实际上也属于参数法，但它不拘于求出动点的坐标后再消参。
曲线与方程包括求曲线的方程和由方程研究曲线的性质两个方面的内容，每年必考。
求曲线方程的一般思路是：在平面直角分会坐标系中找出动点P （x,y ）的纵坐标y 和横坐标x 之间的关系式(),0f x y =，即为曲线方程，其核心步骤是建系、设点、列式、代入、化简、检验。
检验即为由曲线上的点所具备的条件确定x,y 的范围。
、交轨法等求之。
求曲线方程有两类基本题型:其一是曲线形状明确且便于使用标准形式，此时用待定系数法求方程；另一类是曲线形状不明确，或不便用标准形式表示，这时常用直译法、定义法、思恋法、参数法由方程研究曲线，特别是圆锥曲线的几何性质问题常化为等式求解，这时要加强等价转化思想的训练。
高中数学解题方法-----求轨迹方程的常用方法
练习
1.一动圆与圆
外切，同时与圆 x2 + y2 − 6x − 91 = 0内切，求动圆圆心
M 的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。
2. 动圆 M 过定点 P（－4，0），且与圆 ：C x2+ －y2 8x = 0 相切，求动圆圆心 M 的轨迹方程。 1.在∆ABC 中，B，C 坐标分别为（-3，0），（3，0），且三角形周长为 16，则点 A 的轨迹方 程是_______________________________.
高中数学解题方法
---求轨迹方程的常用方法
（一）求轨迹方程的一般方法： 物1线.）定的义定法义：，如则果可动先点设P出的轨运迹动方规程律，合再乎根我据们已已知知条的件某，种待曲定线方（程如中圆的、常椭数圆，即、可双得曲到线轨、迹抛 方程。 P 满2.足直的译等法量：关如系果易动于点建立P 的，运则动可规以律先是表否示合出乎点我P们所熟满知足的的某几些何曲上线的的等定量义关难系以，判再用断点，但P 点的 坐标（x，y）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。 3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点 P 运动的某个几何 量y＝tg，（以t）此，量进作而为通参过变消数参，化分为别轨建迹立的普P 点通坐方标程xF，（yx与，该y）参＝数0。t 的函数关系 x＝f（t）， 4. 代入法（相关点法）：如果动点 P 的运动是由另外某一点 P'的运动引发的，而该点的 运出动相规关律点已P'知的，坐（标该，点然坐后标把满P足'的某坐已标知代曲入线已方知程曲），线则方可程以，设即出可得P（到x动，点y），P 的用轨（迹x，方y程）。表示
题目 6：已知点 P 是圆(x +1)2 + y2 =16 上的动点，圆心为 B ，A(1,0) 是圆内的定点；PA 的中垂线交 BP 于点Q ．（1）求点Q 的轨迹C 的方程；
高中数学求轨迹方程的六种常用技法
求轨迹方程的六种常用技法轨迹方程的探求是解析几何中的基本问题之一，也是近几年来高考中的常见题型之一。
学生解这类问题时，不善于揭示问题的内部规律及知识之间的相互联系，动辄就是罗列一大堆的坐标关系，进行无目的大运动量运算，致使不少学生丧失信心，半途而废，因此，在平时教学中，总结和归纳探求轨迹方程的常用技法，对提高学生的解题能力、优化学生的解题思路很有帮助。
本文通过典型例子阐述探求轨迹方程的常用技法。
1．直接法根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公式等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。
例1．已知线段6=AB ，直线BM AM ,相交于M ，且它们的斜率之积是49，求点M 的轨迹方程。
解：以AB 所在直线为x 轴，AB 垂直平分线为y 轴建立坐标系，则(3,0),(3,0)A B -，设点M 的坐标为(,)x y ，则直线AM 的斜率(3)3AM yk x x =≠-+，直线BM 的斜率(3)3AM yk x x =≠- 由已知有4(3)339y y x x x ∙=≠±+-化简，整理得点M 的轨迹方程为221(3)94x y x -=≠± 练习：1．平面内动点P 到点(10,0)F 的距离与到直线4x =的距离之比为2，则点P 的轨迹方程是 。
2．设动直线l 垂直于x 轴，且与椭圆2224x y +=交于A 、B 两点，P 是l 上满足1PA PB ⋅=的点，求点P 的轨迹方程。
3. 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是 （ ） A ．直线 B ．椭圆 C ．抛物线 D ．双曲线 2．定义法通过图形的几何性质判断动点的轨迹是何种图形，再求其轨迹方程，这种方法叫做定义法，运用定义法，求其轨迹，一要熟练掌握常用轨迹的定义，如线段的垂直平分线，圆、椭圆、双曲线、抛物线等，二是熟练掌握平面几何的一些性质定理。
求轨迹方程的思路,方法和对应的题型
求轨迹方程的思路,方法和对应的题型全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：求轨迹方程是高中数学中一个重要的话题，不仅是对数学知识综合运用的考验，也是培养学生逻辑思维和解决问题能力的一个重要环节。
在学习求轨迹方程的过程中，学生需要掌握一定的方法和技巧，同时要注意对不同类型的题目进行分类和分析，以便能够正确地找到轨迹方程。
一、思路和方法求轨迹方程的基本思路是根据给定的条件，建立方程，然后通过逻辑推理和代数计算，最终得到表达轨迹的方程。
在具体进行求解的过程中，我们可以采用以下几种方法：1. 笛卡尔坐标系法在求轨迹方程的过程中，我们常常需要用到二维平面坐标系。
通过设定坐标轴，建立直角坐标系，将问题中的各个点的坐标表示成(x,y)，然后根据给定条件进行分析，建立方程，最终得到轨迹方程。
2. 参数法有时候通过引入参数，可以简化问题的解决过程。
我们可以设一个参数t，用其作为辅助变量，来表达轨迹上各点的位置关系。
通过对参数的变化范围和步骤进行分析，最终得到轨迹方程。
3. 抽象化方法对于一些复杂的问题，我们可以通过抽象化的方法来求解轨迹方程。
将问题转化成一个更加简单的形式，然后进行分析和计算，最终得到轨迹方程。
二、对应的题型在求轨迹方程的过程中，我们会遇到各种各样的题目，不同的题目需要采用不同的方法和技巧进行求解。
下面列举一些常见的求轨迹方程的题型：1. 直线的轨迹方程有时候给定直线上的一个点和直线的方向向量，我们需要求直线的轨迹方程。
这时可以通过点斜式或者两点式求解。
给定圆心和半径，求圆的轨迹方程。
可以通过圆的标准方程(x-a)²+(y-b)²=r²来求解。
有时候会给定一组参数方程，我们需要求这些参数方程表示的轨迹方程。
可以通过把参数方程组合起来，得到关于自变量的函数表达式，最终得到轨迹方程。
第二篇示例：求轨迹方程是一种常见的数学问题，涉及到解析几何和函数方程的知识。
在数学学习中，经常会遇到求轨迹方程的题目，需要运用相关的方法和思路来解决。
轨迹方程的探究方法,,定义法,参数法
轨迹方程的探究方法,,定义法,参数法篇一：参数法求轨迹方程参数法求轨迹方程一、教学目标(一)知识教学点深入理解曲线的参数方程与普通方程的区别与联系，进一步掌握参数方程与普通方程的互化方法．(二)能力训练点掌握运用参数求轨迹方程的方法，了解设参的基本原则和选参的一般依据，能顺利消参并讨论轨迹的纯粹性和完备性，培养多向思维的流畅性．(三)学科渗透点通过学习选参方法，学会透过现象挖掘本质的哲学思想方法．二、教材分析1．重点：运用参数求轨迹方程的方法．2．难点：选择参数应遵循的一般依据，消参的技术与轨迹的纯粹性完备性讨论．3．疑点：设参的基本原则．三、活动设计1．活动：问答、思考．2．教具：投影仪．四、教学过程(一)回忆、点题和明确任务求动点的轨迹方程，如果动点坐标x、y之间的关系比较明显，那么可以用直接法，也就是建系、列式、化简．如果动点坐标x、y之间的关系比较隐蔽，但动点在运动过程中符合某种二次曲线的定义，那么可以用定义法，也就是定型(曲线类型)、定位(曲线位置)、定量(曲线几何量)，然后直接运用二次曲线的方程写出动点的轨迹方程．如果动点坐标x、y之间的关系很隐蔽并且很难判断动点符合某种二次曲线的定义，那么就可以引进一些参数，用这些参数把x、y之间的那种隐蔽关系间接地连起来，然后消掉参数，这就是所谓的参数法求轨迹方程．同学们常用的交轨法、换标法，实际上也是消去一些元，留下动点坐标x、y的方法，都可以叫参数法．在实践中大家已经知道，参数法求轨迹方程的步骤是：首先根据运动系统的运动规律设参，然后运用这些参数列式，再从这些式子中消参，最后讨论轨迹的纯粹性和完备性，我们称之为议参．其中，最关键的一步是设参，参设得不同，整个思维和运算过程不同，参设得不好，运算量增大，甚至根本就算不出来；最畏难一步是消参，经常遇到参消不了而越消越复杂的情况；最易错的一步就是轨迹的纯粹性完备性讨论．如何做到设参合理、列式简易、消参顺利、议参严密，大家可以从下面的例子中来思考和总结．(二)讲例1，设参基本原则请看屏幕(投影，读题)．例1矩形AbcD中，Ab=2a，bc=b，a＞b，e、F分别是Ab、cD的中点，平行于ec的直线l分别交线段eF、Fc于m、n两点，求直线Am 与bn交点p的轨迹(图3-9)．首先需要建立坐标系，请考虑，建立直角坐标系一般应选择什么位置？学生1答：选择边界、中心等特殊位置．那么，这一题如何建立坐标系？解：以e为原点，eb为x轴建立直角坐标系．各点坐标如图(投影换片，加上坐标系与相关点坐标)．运动系统中，l主动，m、n从动，p随之运动，请思考，在这一运动系统中有几种设参方法？学生2答：(1)l的纵截距c，(2)|om|=t，(3)|Fm|=t．…为什么可以这样设参？一参对一点p，一p对一参，参变化p运动，参固定p静止，一句话：一切可以控制运动系统的量都可以设参．这就是设参的基本原则．设|Fm|=t，t∈[0，b]，p(x，y)．学生3答：不必要，只要找x、y、t间的最简单式子，从中能消参即可，这是列式的基本要求．上面的消参方法，可以视x、y为常数代入消参，也可以是两式作用消参．参数t∈[0，b]范围明显，但由于没有显参数方程，所以不便通过议参来确定x、y的范围，此时可根据运动系统的运动全过程，由几何直观讨论轨迹的纯粹性和完备性．l过F时，p合于F，l→oc时，p→b故x≥0，y＞0．影片，显示轨迹)．(三)讲例2，选参的一般依据上面例1，设一个参数就可以了，并且消参也容易，下面的例2就不是这种情况，请看屏幕(投影，读题)．例2点A(1，1)、b、c是抛物线y2=x上的动点，满足Ab⊥Ac，作矩形Abpc，求p点的轨迹方程(图3-10)．运动系统中，表面上看有b、c两个动点，实际上由于Ab⊥Ac，所以若b主动，则c从动，p随之运动，故实际上只有一个自由变量就可以控制整个运动系统．请思考，这题有几种设参方法？各种设参通过什么途径把参数与动点坐标连系起来？学生4答：(2)设点b坐标(t2，t)→kAb→kAc→c→p．上述两种设参方法中，参数与动点p的关连都比较远，课后大家可以计算一下，实现这一关连，计算很是复杂．那么再考虑，能否再找一种设参方法，这种设参方法不局限于一个参数，但确使参数与动点p 间的关连比较近？学生5答：解：设b(t12，t1)，c(t22，t2)→p(x，y)．参数与p的关连很近，但参数多了一个，大家向来怕参数多，实际上，t1、t2之间本身有一个关系，F(t1，t2)=0，而这一关系在消参的运用上或许无需显解成t1=f(t2)，只需要将F(t1，t2)=0用一下就可以达到消参目的．而前面的两种设参方法在消参过程中，实际上就是把t1、t2的关系F(t1，t2)=0显解成t1=f(t2)，然后消参时又恢复成F(t1，t2)=0的重复计算过程．这种重复计算就是一开始所说的有时很复杂，有时根本就算不出来．是否真的如此，算算看：∵(t1+t2)2=t12+t22+2t1t2，∴(y+1)2=x+1+2[-(y+1)-2]．即：(y+2)2=x-2．想一想看，如果显解出t1=f(t2)再两式消t2，将会出现两个关于t2的二次方程，这就是消参计算复杂性的原因，因此在根据设参基本原则确定的所有可设的参数中，选择与动点坐标关连密切的为参数．这就是选参的一般依据，并且选参不要求唯一，多个参之间不一定独立．例1中一个参数需二个式，例2中二个参数需三个式，所以一般来说，n个参数需列n+1个式，而消参时更要充分运用恒等式进行整体消参．最后来讨论纯粹性和完备性．同例1不一样，显然x、y是参数的显示数，但是两个参数的函数，且两个参数有关连，并非独立，所以x、y范围难求．而用几何直观也比较困难，把两者结合起来：篇二：求轨迹方程例题方法解析求轨迹方程的常用方法知识梳理：（一）求轨迹方程的一般方法：1.待定系数法：如果动点p的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程，也有人将此方法称为定义法。
求轨迹方程的方法
求轨迹方程的方法（一）求轨迹方程的一般方法：1. 待定系数法：如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程，也有人将此方法称为定义法．2. 直译法：如果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x，y）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程．3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P运动的某个几何量t，以此量作为参变数，分别建立P点坐标x，y与该参数t的函数关系x＝f（t），y＝g （t），进而通过消参化为轨迹的普通方程F（x，y）＝0．4. 代入法（相关点法）：如果动点P的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P（x，y），用（x，y）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程．5.几何法：若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等），可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较简单．6：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这灯问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用．（二）求轨迹方程的注意事项：1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P的运动规律，即P点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变．2. 求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解，（即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上），又要检验是否丢解．（即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示），出现增解则要舍去，出现丢解，则需补充．检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形．3．求轨迹方程还有整体法等其他方法．。
第61讲求轨迹方程的基本方法
第61讲求轨迹方程的基本方法第61讲讲的是求轨迹方程的基本方法。
轨迹方程是描述物体运动的方程，它可以通过确定物体运动的关键点来确定。
在物理学和数学中，求解轨迹方程是非常重要的，它能够帮助我们理解物体运动的规律和性质。
求解轨迹方程的基本方法主要有两种：参数方程法和隐式方程法。
首先，我们来介绍参数方程法。
参数方程法是一种利用参数来描述物体运动的方法。
它的基本思想是，通过引入一个参数t，将物体的运动分解为x=f(t)和y=g(t)两个分量，其中x和y分别表示物体在水平和竖直方向上的位置。
这样，我们就可以得到物体运动的参数方程为：x=f(t)y=g(t)其中f(t)和g(t)是t的函数，表示了物体在不同时刻t的位置坐标。
通过改变参数t的取值范围，我们就可以获得物体的整个运动轨迹。
为了求解参数方程，我们可以通过已知的物体运动信息，如初始位置、速度、加速度等，来确定f(t)和g(t)的具体表达式。
例如，当物体做匀速直线运动时，我们可以假设物体的初始位置为(x0,y0)，速度为v，那么物体在时间t时的位置可以表示为：x=x0+vty=y0这样，我们就可以得到匀速直线运动的参数方程为：x=x0+vty=y0类似地，如果物体做抛体运动，我们可以根据抛体运动的方程，求解出参数方程。
因此，参数方程法适用于各种物体运动的情况。
另一种求解轨迹方程的方法是隐式方程法。
隐式方程法是通过将物体运动的关键信息和限制条件直接写成方程形式，来求解物体的轨迹方程。
它的基本思想是，通过使方程成立的条件来确定物体的位置。
例如，当物体做圆周运动时，我们可以得到方程：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2其中(a,b)表示圆心的坐标，r表示半径。
这个方程就是圆的隐式方程，通过满足这个方程的点，我们可以确定物体的位置。
隐式方程法的优点是能够直接给出物体运动的位置关系，不需要引入参数。
但是对于复杂的运动情况，方程的求解可能相对较为困难。
除了参数方程法和隐式方程法，还有一些特殊的方法可以帮助我们求解轨迹方程。
轨迹方程的求解常用方法
轨迹方程的求解常用方法轨迹方程快速学习技巧，30分钟吃透轨迹方程重难点知识，郑州捷登教育1对1个性化辅导中心名师在线免费传授轨迹方程的求解常用方法！一、求轨迹方程的一般方法：1、待定系数法：如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数,即可得到轨迹方程，也有人将此方法称为定义法。
2、直译法：如果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点P的坐标（x，y）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
3、参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P运动的某个几何量t，以此量作为参变数，分别建立P点坐标x，y与该参数t的函数关系x＝f（t），y＝g（t），进而通过消参化为轨迹的普通方程F（x，y）＝0。
4、代入法（相关点法）：如果动点P的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x，y），用（x，y）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程。
5、几何法：若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等），可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较简单。
6、交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。
二、求轨迹方程的注意事项：1、求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P的运动规律，即P点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。
来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通方程。
数学轨迹方程的求法
数学轨迹方程的求法在数学中，轨迹可以看做是一个物体在运动过程中留下的路径。
而轨迹方程则是描述这个路径的方程。
求解轨迹方程是数学中常见的问题之一，本文将介绍一些常用的求解轨迹方程的方法。
一、直接解轨迹方程如果轨迹已知，那么可以直接解轨迹方程。
比如，一个运动物体在平面直角坐标系中的轨迹为一个圆形。
我们可以通过圆的标准方程x²+y²=r²求得轨迹方程。
二、利用参数方程求解轨迹方程如果轨迹无法用一般函数形式表示，那么我们可以用参数方程来描述它的轨迹。
参数方程表示成x=f(t)，y=g(t)，t为参数。
例如，一个点沿着单位圆按逆时针方向绕圈运动，可用参数方程 x=cos(t)，y=sin(t)，(0≤t≤2π)来描述它运动的轨迹，则轨迹方程为 x²+y²=1。
三、使用极坐标系求解轨迹方程在一些问题中，极坐标系比直角坐标系更加有用。
例如，极坐标系对于表示圆形更加简单。
若有圆心在原点处，半径为 R 的圆，圆上点的极坐标为(R,θ)，则其方程为 r=R。
四、使用微积分求解轨迹方程微积分是解决轨迹方程问题的重要工具。
通过微积分的方法，我们可以求出运动物体的速度、加速度和位移，从而得出轨迹方程。
例如，若已知一个点做匀加速直线运动的位移和速度随时间的关系为s=at²/2+vt+s₀，则通过微积分可求出物体的轨迹方程s=a*t²/2+v*t+s₀。
总之，轨迹方程的求解方法多种多样，要根据不同的问题选择合适的方法。
熟练掌握这些方法，能够让我们更好地应对解决实际问题。
轨迹方程知识点总结
轨迹方程知识点总结一、轨迹方程的概念轨迹方程是指在平面直角坐标系中，描述某一特定几何对象的运动过程中所有可能位置点的集合的方程。
它是描述物体或点在运动中所遵循的规律和路径的数学工具。
轨迹方程是一种抽象的数学概念，通过它可以描述所有可能的位置点的集合，从而揭示几何对象的运动轨迹规律。
二、轨迹方程的表示1. 参数方程表示法轨迹方程可以使用参数方程来表示。
参数方程的形式通常为x=f(t)，y=g(t)，其中t为参数，x和y是时间t的函数。
通过变化参数t的取值范围，就可以得到轨迹上的所有点的坐标。
2. 极坐标方程表示法轨迹方程也可以使用极坐标来表示。
极坐标方程的形式通常为r=f(θ)，其中r是极坐标系下到原点的距离，θ是到x轴正向的角度。
通过变化θ的取值范围，就可以得到轨迹上的所有点的极坐标表示。
3. 一般方程表示法轨迹方程还可以用一般方程来表示。
一般方程的形式通常为F(x,y)=0，其中F是一个关于x和y的函数。
通过解一般方程，就可以得到轨迹上的所有点的坐标。
三、轨迹方程的应用1. 描述物体的运动轨迹轨迹方程可以被用来描述物体在运动中所遵循的路径规律。
通过物体的运动速度和加速度等信息，可以推导出物体的轨迹方程，从而预测物体的位置和运动状态。
2. 分析几何对象的性质轨迹方程可以被用来分析几何对象的性质。
通过对轨迹方程的分析，可以得到几何对象的面积、周长、对称性等性质，从而深入理解几何对象的结构和特点。
3. 解决实际问题轨迹方程也可以被用来解决实际问题。
例如，通过轨迹方程可以计算物体的轨迹长度、运动时间、最大速度、最大加速度等参数，从而为实际问题的分析和解决提供数学工具和方法。
四、轨迹方程的求解方法1. 参数方程的求解对于参数方程表示的轨迹方程，可以通过分离变量、积分等方法求解。
例如，对于一条直线的参数方程x=at，y=bt，可以求解出轨迹方程为y=ax/b。
2. 极坐标方程的求解对于极坐标方程表示的轨迹方程，可以通过代入坐标变换、积分等方法求解。
求轨迹方程的常用方法
求轨迹方程的常用方法轨迹方程是描述物体运动轨迹的数学表达式。
常用的方法包括几何法、解析法和向量法。
一、几何法通过几何分析，可以利用直观的图形来确定轨迹方程。
1.1圆轨迹对于物体在平面上以一些固定点为中心做等速圆周运动的情况，其轨迹是一个圆。
圆轨迹可以通过半径和圆心坐标来表示。
1.2椭圆轨迹对于物体在空间中以一些固定点为焦点的椭圆轨迹，可以利用焦点坐标和半径长度来确定椭圆方程。
1.3抛物线轨迹物体在重力作用下自由落体的运动可以近似为一个抛物线运动。
其轨迹方程可以通过焦点坐标和准线方程来确定。
1.4双曲线轨迹一些情况下，物体运动的轨迹是一个双曲线。
双曲线轨迹可以通过焦点坐标和半轴长度来描述。
二、解析法解析法是通过分析物体在坐标系下的运动方程来确定轨迹方程。
2.1直角坐标系下的解析法在直角坐标系下，物体的运动可以由水平方向和垂直方向上的运动方程确定。
利用运动方程，可以消除时间因素，得到轨迹方程。
2.2极坐标系下的解析法在极坐标系下，物体的运动可以由径向运动方程和角度方程确定。
通过解析极坐标下的方程，可以得到轨迹方程。
2.3参数方程下的解析法在参数方程下，物体的运动可以由参数方程表示。
通过参数方程分别给出$x$和$y$坐标与参数$t$之间的关系，可以得到轨迹方程。
三、向量法向量法是通过运用向量的概念和运算来分析物体的运动轨迹。
3.1数量积表示轨迹方程通过设定一个合适的道路向量，可以用向量内积的形式表示运动方程，从而得到轨迹方程。
3.2向量积表示轨迹方程通过设定一个合适的平面向量，可以用向量叉积的形式表示运动方程，进而得到轨迹方程。
综上所述，求轨迹方程的常用方法包括几何法、解析法和向量法。
在实际应用中，根据具体问题的特点和要求选择合适的方法来求解轨迹方程。
参数法求轨迹方程
参数法求轨迹方程一、教学目标（一）知识教学点深入理解曲线的参数方程与普通方程的区别与联系，进一步掌握参数方程与普通方程的互化方法．（二）能力训练点掌握运用参数求轨迹方程的方法，了解设参的基本原则和选参的一般依据，能顺利消参并讨论轨迹的纯粹性和完备性，培养多向思维的流畅性．（三）学科渗透点通过学习选参方法，学会透过现象挖掘本质的哲学思想方法．二、教材分析1．重点：运用参数求轨迹方程的方法．2．难点：选择参数应遵循的一般依据，消参的技术与轨迹的纯粹性完备性讨论．3．疑点：设参的基本原则．三、活动设计1．活动：问答、思考．2．教具：投影仪．四、教学过程（一）回忆、点题和明确任务求动点的轨迹方程，如果动点坐标x、y 之间的关系比较明显，那么可以用直接法，也就是建系、列式、化简．如果动点坐标x、y 之间的关系比较隐蔽，但动点在运动过程中符合某种二次曲线的定义，那么可以用定义法，也就是定型（曲线类型）、定位（曲线位置）、定量（曲线几何量），然后直接运用二次曲线的方程写出动点的轨迹方程．如果动点坐标x、y 之间的关系很隐蔽并且很难判断动点符合某种二次曲线的定义，那么就可以引进一些参数，用这些参数把x、y 之间的那种隐蔽关系间接地连起来，然后消掉参数，这就是所谓的参数法求轨迹方程．同学们常用的交轨法、换标法，实际上也是消去一些元，留下动点坐标x、y 的方法，都可以叫参数法．在实践家已经知道，参数法求轨迹方程的步骤是：首先根据运动系统的运动规律设参，然后运用这些参数列式，再从这些式子中消参，最后讨论轨迹的纯粹性和完备性，我们称之为议参．其中，最关键的一步是设参，参设得不同，整个思维和运算过程不同，参设得不好，运算量增大，甚至根本就算不出来；最畏难一步是消参，经常遇到参消不了而越消越复杂的情况；最易错的一步就是轨迹的纯粹性完备性讨论．如何做到设参合理、列式简易、消参顺利、议参严密，大家可以从下面的例子中来思考和总结．（二）讲例1，设参基本原则请看屏幕（投影，读题）．例1 矩形ABC冲，AB=2a BC=b a>b, E、F分别是AB CD的中点，平行于EC 的直线I分别交线段EF、FC于M N两点，求直线AM与BN交点P的轨迹（图3-9）．首先需要建立坐标系，请考虑，建立直角坐标系一般应选择什么位置？学生1 答：选择边界、中心等特殊位置．那么，这一题如何建立坐标系？解：以E为原点，EB为x轴建立直角坐标系•各点坐标如图（投影换片，加坐标系与相关点坐标）．运动系统中，I主动，M N从动，P随之运动，请思考，在这一运动系统中有几种设参方法？学生2 答：（1） I 的纵截距c，（2） |OM|=t ，(3)|FM|=t ．为什么可以这样设参？一参对一点P ,— P 对一参，参变化P 运动，参固定P 静止，一句话：一切可 以控制运动系统的量都可以设参.这就是设参的基本原则.设|FM|=t ，t € [0 , b] , P （x , y ） •下面解答,请考虑,需要建竝 T 的是参数輝｛;爲 吗？不必要，只要找x 、y 、t 间的最简单式子，从中能消参即可，这是列式的基本 要求.上面的消参方法，可以视x 、y 为常数代入消参，也可以是两式作用消参.参数 t €[0 , b]围明显，但由于没有显参数方程，所以不便通过议参来确定x 、y 的围， 此时可根据运动系统的运动全过程，由几何直观讨论轨迹的纯粹性和完备性.I 过 F 时，P 合于 F , I — 0C 时，P — B 故 x >0，y >0.轨迹为椭圆｛ + £二1在第一象限（含左端点）的一段弧（换投 a D影片，显示轨迹）.（三）讲例2,选参的一般依据上面例1,设一个参数就可以了，并且消参也容易，下面的例2就不是这种 情况，请看屏幕（投影，读题）.例2 点A （1 , 1）、BC 是抛物线y 2=x 上的动点，满足AB 丄AQ 作矩形ABPC求P 点的轨迹方程（图3-10）.运动系统中，表面上看有 B C 两个动点，实际上由于 AB 丄AC ,所以若B 主动， 则C 从动，P 随之运动，故实际上只有一个自由变量就可以控制整个运动系统. 请 思考，这题有几种设参方法？各种设参通过什么途径把参数与动点坐标连系起 来？ 学生 3 答:k-Bp =氐 EN *⑴*⑵箒学生4 答：⑵设点B坐标（t 2，t）T k AB—k A尸C^P.上述两种设参方法中，参数与动点P的关连都比较远，课后大家可以计算一下，实现这一关连，计算很是复杂.那么再考虑，能否再找一种设参方法，这种设参方法不局限于一个参数，但确使参数与动点P 间的关连比较近？学生5 答：解：设B（t 12，t1），C（t22，t2）T P（x，y）.参数与P 的关连很近，但参数多了一个，大家向来怕参数多，实际上，t 1、t 2之间本身有一个关系，F（t 1, t 2）=0，而这一关系在消参的运用上或许无需显解成t1=f（t 2），只需要将F（t 1，t2）=0 用一下就可以达到消参目的.而前面的两种设参方法在消参过程中，实际上就是把t1、t2的关系F（t i, t2）=o显解成t1=f（t 2），然后消参时又恢复成F（t 1，t2）=0 的重复计算过程.这种重复计算就是一开始所说的有时很复杂，有时根本就算不出来.是否真的如此，算算看：(t 1+t 2)2=t12+t 22+2t1t 2,(y+1) 2=x+1+2[-(y+1)-2] 即：(y+2) 2=x-2 .想一想看，如果显解出t仁f（t 2）再两式消t 2,将会出现两个关于t2的二次方程，这就是消参计算复杂性的原因，因此在根据设参基本原则确定的所有可设的参数中，选择与动点坐标关连密切的为参数.这就是选参的一般依据，并且选参不要求唯一，多个参之间不一定独立•例1中一个参数需二个式，例2中二个参数需三个式，所以一般来说，n个参数需列n+1个式，而消参时更要充分运用恒等式进行整体消参.最后来讨论纯粹性和完备性.同例1不一样，显然x、y是参数的显示数，但是两个参数的函数，且两个参数有关连，并非独立，所以x、y围难求.而用几何直观也比较困难，把两者结合起来：3八L亍3/.匕学-“即，=筈与盘+卽十-2的交点除掉（换投勒片，显示轨迹）.由此可知，讨论轨迹的纯粹性和完备性，可以把几何直观与参数函数相结合.（四）小结（已在教学过程中逐条总结并板书）参数法求轨迹方程的步骤：设参：一切可以控制运动系统的量都可以设参（基本原则），从中选择与动点关连密切的为参数（一般依据）.设参数不要求唯一，多个参数之间不一定独立.用参：列式要弃繁就简，n个参数需列n+1个式.消参：视x、y为常数，代人消参，两式作用消参，整体元消参.假含参式（即虽有x、y，但并非动点坐标）不能参与消参.议参：几何直观与参数函数相结合.五、布置作业1. E、F是边长为2的正方形ABCD勺边AD BC中点，长为血的线段在直线AC上运动在N下方），求直线E啦与F血点F的轨迹（图3-11）.解：以EF为x轴，EF中点为原点建立直角坐标系，则E（-1 , 0）,F〔1, 0）,设Mj（t], t』，, t a）,则V2|t a^/2,坊〉如t a -t x =1.EMIfx-1即x 2-y 2=1.据M点从A到OA中点及角到O的运动过程，画图可知，轨迹为双曲线左上和右下两个部分，即L -y J=l2. 点A（1，1），B、C是圆x2+y2=4上的动点，且AB丄AC,求BC中点P的轨迹方程（图3-12）.解：设B(2cos a，2si n a )、C(cos B，2si n B )、P(x，y).x 2+y2=2+2(cos a cos B +sin a sin B ).k AC • k AB F-1 4(cos a cos B +sin a sin B )=2(cos a +cos B )+2(sin a +sin B )+2 .x 2+y2-2=2x+2y+2.即(x-1) 2+(y-1) 2=2.3. 教材第121页第7、8题.六、板书设计。
参数法求轨迹方程
参数法求轨迹方程参数法求轨迹方程，是解决一些几何问题中常用的方法之一。
通过引入参数，并通过参数的变化来描述图形的变化，从而得到图形的轨迹方程。
参数法求轨迹方程的方法简洁高效，能够帮助我们更好地理解和描述图形的特点。
本文将详细介绍参数法求轨迹方程的原理和应用。
首先，我们来介绍一下参数法的基本思想。
在几何图形中，我们经常会遇到随着某个量的变化而产生的变化，比如一条直线在平面上的移动，或者一个点在曲线上的运动。
为了描述这种变化，我们引入一个参数，用来表示这个量的变化程度。
通过改变参数的数值，我们可以获得图形的不同位置或状态，从而得到图形的轨迹。
在求解轨迹方程时，我们首先需要确定合适的参数。
参数的选择应根据问题的特性和要求来确定。
常见的参数有时间、长度、角度等。
选择参数后，我们根据图形的性质建立参数与图形位置之间的联系，从而得到图形的轨迹方程。
接下来，我们通过一些具体的例子来说明参数法求轨迹方程的应用。
例1：求动点绕二次曲线运动的轨迹方程已知动点P的横坐标与纵坐标的平方之和为常数1，即x^2 + y^2 = 1。
令动点的横坐标为参数t，则纵坐标可以表示为y = √(1 -t^2)。
根据参数与图形位置的联系，我们可以得到动点P绕二次曲线运动的轨迹方程为x^2 + (√(1 - t^2))^2 = 1，化简后即得到x^2 + 1 - t^2 = 1，即x^2 = t^2。
通过这个方程，我们可以得到动点P绕二次曲线运动的轨迹为两条相互对称的直线。
例2：求直线在平面上的移动轨迹方程已知过点A(2,3)的直线L，斜率为k。
令直线的截距为参数b，则直线的方程为y = kx + b。
根据参数与图形位置的联系，我们可以得到直线在平面上的移动轨迹方程为y = kx + 3。
通过这个方程，我们可以得到直线在平面上的移动轨迹为平行于原直线L，且与原直线的距离为3的一族平行直线。
通过上述例子，我们可以看到参数法求轨迹方程的方法简单易行，能够有效地描述图形的变化规律。
求轨迹方程的五种方法
求轨迹方程的五种方法1.直线轨迹方程的求解方法：直线的轨迹方程可以通过以下五种方法求解。
1.1斜率截距法：当直线已知斜率m和截距b时，可以使用斜率截距法求解。
直线的轨迹方程为：y = mx + b。
1.2点斜式方法：当直线已知斜率m和通过的一点（x1，y1）时，可以使用点斜式方法求解。
直线的轨迹方程为：(y-y1)=m(x-x1)。
1.3两点式方法：当直线已知通过的两点（x1，y1）和（x2，y2）时，可以使用两点式方法求解。
直线的轨迹方程为：(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)。
1.4截距式方法：当直线已知x轴和y轴上的截距时，可以使用截距式方法求解。
直线的轨迹方程为：x/a+y/b=1，其中a和b分别为x轴和y轴上的截距。
1.5法向量法：当直线已知法向量n和通过的一点（x1，y1）时，可以使用法向量法求解。
直线的轨迹方程为：n·(r-r1)=0，其中n为法向量，r为直线上的任意一点的位置矢量，r1为通过的一点的位置矢量。
2.圆轨迹方程的求解方法：圆的轨迹方程可以通过以下五种方法求解。
2.1一般式方法：当圆的圆心为（h，k）且半径为r时，可以使用一般式方法求解。
圆的轨迹方程为：(x-h)²+(y-k)²=r²。
2.2标准式方法：当圆的圆心为（h，k）且半径为r时，可以使用标准式方法求解。
圆的轨迹方程为：(x-h)²+(y-k)²=r²。
2.3参数方程方法：当圆的圆心为（h，k）且半径为r时，可以使用参数方程方法求解。
圆的轨迹方程为：x = h + rcosθ，y = k + rsinθ，其中θ为参数。
2.4三点定圆方法：当圆已知经过三点（x1，y1），（x2，y2）和（x3，y3）时，可以使用三点定圆方法求解。
圆的轨迹方程为：(x-x1)(x-x2)(x-x3)+(y-y1)(y-y2)(y-y3)-r²(x+y+h)=0，其中h为x平方项和y平方项的系数之和。
参数法求轨迹方程
参数法求轨迹方程之五兆芳芳创作一、教学目标(一)知识教学点深入理解曲线的参数方程与普通方程的区别与联系，进一步掌握参数方程与普通方程的互化办法．(二)能力训练点掌握运用参数求轨迹方程的办法，了解设参的基来源根底则和选参的一般依据，能顺利消参并讨论轨迹的纯粹性和完备性，培养多向思维的流畅性．(三)学科渗透点通过学习选参办法，学会透过现象挖掘实质的哲学思想办法．二、教材阐发1．重点：运用参数求轨迹方程的办法．2．难点：选择参数应遵循的一般依据，消参的技巧与轨迹的纯粹性完备性讨论．3．疑点：设参的基来源根底则．三、勾当设计1．勾当：问答、思考．2．教具：投影仪．四、教学进程(一)回想、点题和明确任务求动点的轨迹方程，如果动点坐标x、y之间的关系比较明显，那么可以用直接法，也就是建系、列式、化简．如果动点坐标x、y之间的关系比较隐蔽，但动点在运动进程中合适某种二次曲线的定义，那么可以用定义法，也就是定型(曲线类型)、定位(曲线位置)、定量(曲线几何量)，然后直接运用二次曲线的方程写出动点的轨迹方程．如果动点坐标x、y之间的关系很隐蔽并且很难判断动点合适某种二次曲线的定义，那么就可以引进一些参数，用这些参数把x、y之间的那种隐蔽关系直接地连起来，然后消掉参数，这就是所谓的参数法求轨迹方程．同学们经常使用的交轨法、换标法，实际上也是消去一些元，留下动点坐标x、y的办法，都可以叫参数法．在实践中大家已经知道，参数法求轨迹方程的步调是：首先按照运动系统的运动纪律设参，然后运用这些参数列式，再从这些式子中消参，最后讨论轨迹的纯粹性和完备性，我们称之为议参．其中，最关头的一步是设参，参设得不合，整个思维和运算进程不合，参设得欠好，运算量增大，甚至底子就算不出来；最畏难一步是消参，经常遇到参消不了而越消越庞杂的情况；最易错的一步就是轨迹的纯粹性完备性讨论．如何做到设参公道、列式简略单纯、消参顺利、议参严密，大家可以从下面的例子中来思考和总结．(二)讲例1，设参基来源根底则请看屏幕(投影，读题)．例1矩形ABCD中，AB=2a，BC=b，a＞b，E、F辨别是AB、CD的中点，平行于EC的直线l辨别交线段EF、FC于M、N两点，求直线AM与BN交点P的轨迹(图3-9)．首先需要成立坐标系，请考虑，成立直角坐标系一般应选择什么位置？学生1答：选择鸿沟、中心等特殊位置．那么，这一题如何成立坐标系？解：以E为原点，EB为x轴成立直角坐标系．各点坐标如图(投影换片，加上坐标系与相关点坐标)．运动系统中，l主动，M、N从动，P随之运动，请思考，在这一运动系统中有几种设参办法？学生2答：(1)l的纵截距c，(2)|OM|=t，(3)|FM|=t．…为什么可以这样设参？一参对一点P，一P对一参，参变更P运动，参固定P 静止，一句话：一切可以控制运动系统的量都可以设参．这就是设参的基来源根底则．设|FM|=t，t∈[0，b]，P(x，y)．学生3答：不需要，只要找x、y、t间的最复杂式子，从中能消参便可，这是列式的根本要求．上面的消参办法，可以视x、y为常数代入消参，也可以是两式作用消参．参数t∈[0，b]规模明显，但由于没有显参数方程，所以便利通过议参来确定x、y的规模，此时可按照运动系统的运动全进程，由几何直不雅讨论轨迹的纯粹性和完备性．l过F时，P合于F，l→OC时，P→B故x≥0，y＞0．影片，显示轨迹)．(三)讲例2，选参的一般依据上面例1，设一个参数就可以了，并且消参也容易，下面的例2就不是这种情况，请看屏幕(投影，读题)．例2点A(1，1)、B、C是抛物线y2=x上的动点，满足AB⊥AC，作矩形ABPC，求P点的轨迹方程(图3-10)．运动系统中，概略上看有B、C两个动点，实际上由于AB⊥AC，所以若B主动，则C从动，P随之运动，故实际上只有一个自由变量就可以控制整个运动系统．请思考，这题有几种设参办法？各类设参通过什么途径把参数与动点坐标连系起来？学生4答：(2)设点B坐标(t2，t)→kAB→kAC→C→P．上述两种设参办法中，参数与动点P的干系都比较远，课后大家可以计较一下，实现这一干系，计较很是庞杂．那么再考虑，能否再找一种设参办法，这种设参办法不局限于一个参数，但确使参数与动点P间的干系比较近？学生5答：解：设B(t12，t1)，C(t22，t2)→P(x，y)．参数与P的干系很近，但参数多了一个，大家向来怕参数多，实际上，t1、t2之间自己有一个关系，F(t1，t2)=0，而这一关系在消参的运用上也许无需显解成t1=f(t2)，只需要将F(t1，t2)=0用一下就可以达到消参目的．而前面的两种设参办法在消参进程中，实际上就是把t1、t2的关系F(t1，t2)=0显解成t1=f(t2)，然后消参时又恢复成F(t1，t2)=0的重复计较进程．这种重复计较就是一开始所说的有时很庞杂，有时底子就算不出来．是否真的如此，算算看：∵ (t1+t2)2=t12+t22+2t1t2，∴ (y+1)2=x+1+2[-(y+1)-2]．即：(y+2)2=x-2．想一想看，如果显解出t1=f(t2)再两式消t2，将会出现两个关于t2的二次方程，这就是消参计较庞杂性的原因，因此在按照设参基来源根底则确定的所有可设的参数中，选择与动点坐标干系密切的为参数．这就是选参的一般依据，并且选参不要求唯一，多个参之间不一定独立．例1中一个参数需二个式，例2中二个参数需三个式，所以一般来说，n个参数需列n+1个式，而消参时更要充分运用恒等式进行整体消参．最后来讨论纯粹性和完备性．同例1不一样，显然x、y 是参数的显示数，但是两个参数的函数，且两个参数有干系，并不是独立，所以x、y规模难求．而用几何直不雅也比较困难，把两者结合起来：示轨迹)．由此可知，讨论轨迹的纯粹性和完备性，可以把几何直不雅与参数函数相结合．(四)小结(已在教学进程中逐条总结并板书)参数法求轨迹方程的步调：设参：一切可以控制运动系统的量都可以设参(基来源根底则)，从中选择与动点干系密切的为参数(一般依据)．设参数不要求唯一，多个参数之间不一定独立．用参：列式要弃繁就简，n个参数需列n+1个式．消参：视x、y为常数，代人消参，两式作用消参，整体元消参．假含参式(即虽有x、y，但并不是动点坐标)不克不及介入消参．议参：几何直不雅与参数函数相结合．五、安插作业1．E、F是边长为2的正方形ABCD的边AD、BC中点，长为的轨迹(图3-11)．解：以EF为x轴，EF中点为原点成立直角坐标系，则E(-1，0)，即 x2-y2=1．据M点从A到OA中点及角到O的运动进程，绘图可知，轨迹为双2．点A(1，1)，B、C是圆x2+y2=4上的动点，且AB⊥AC，求BC中点P的轨迹方程(图3-12)．解：设B(2cosα，2sinα)、C(cosβ，2sinβ)、P(x，y)．∴ x2+y2=2+2(cosαcosβ+sinαsinβ)．kAC·kAB=-1Þ4(cosαcosβ+sinαsinβ)=2(cosα+cos β)+2(sinα+sinβ)+2．∴ x2+y2-2=2x+2y+2．即(x-1)2+(y-1)2=2．3．教材第121页第7、8题．六、板书设计。
求轨迹方程的常用技巧
求轨迹方程的常用方法（一）求轨迹方程的一般方法：1. 定义法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。
2. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f （t ）， y ＝g （t ），进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x ，y ）＝0。
4. 代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。
5：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。
一：用定义法求轨迹方程例1：已知ABC ∆的顶点A ，B 的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满足,sin 45sin sin C A B =+求点C 的轨迹。
【变式】：已知圆的圆心为M 1，圆的圆心为M 2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P 的轨迹方程。
二：用直译法求轨迹方程此类问题重在寻找数量关系。
例2：一条线段两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，且BM=a ，AM=b ，求AB 中点M 的轨迹方程？【变式】: 动点P （x,y ）到两定点A （－3，0）和B （3，0）的距离的比等于2（即2||||=PB PA ），求动点P 的轨迹方程？三：用参数法求轨迹方程此类方法主要在于设置合适的参数，求出参数方程，最后消参，化为普通方程。
轨迹方程的求解总结-精选文档
轨迹方程的求解总结轨迹方程的求解是高中数学中一个重难点，下面查字典高中数学网为大家总结了轨迹方程的求解知识点，希望对大家所有帮助。
符合一定条件的动点所形成的图形，或者说，符合一定条件的点的全体所组成的集合，叫做满足该条件的点的轨迹.轨迹，包含两个方面的问题：凡在轨迹上的点都符合给定的条件，这叫做轨迹的纯粹性(也叫做必要性);凡不在轨迹上的点都不符合给定的条件，也就是符合给定条件的点必在轨迹上，这叫做轨迹的完备性(也叫做充分性).【轨迹方程】就是与几何轨迹对应的代数描述。
一、求动点的轨迹方程的基本步骤⒈建立适当的坐标系，设出动点M的坐标;⒉写出点M的集合;⒊列出方程=0;⒋化简方程为最简形式;⒌检验。
二、求动点的轨迹方程的常用方法：求轨迹方程的方法有多种，常用的有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等。
⒈直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。
⒉定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。
⒊相关点法：用动点Q的坐标x，y表示相关点P的坐标x0、y0，然后代入点P的坐标(x0，y0)所满足的曲线方程，整理化简便得到动点Q轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。
⒋参数法：当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、y与某一变数t的关系，得再消去参变数t，得到方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法。
⒌交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。
*直译法：求动点轨迹方程的一般步骤①建系——建立适当的坐标系;②设点——设轨迹上的任一点P(x，y);③列式——列出动点p所满足的关系式;④代换——依条件的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于X，Y的方程式，并化简;⑤证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程。