北师大版2015-2016学年九年级上册期中考试数学试卷及答案.doc
北师大版九年级上册数学第二章同步测试试卷及答案
第二章学情评估一、选择题(每题3分，共30分)1．下列方程中，是一元二次方程的是()A．x2＋3x＋y＝0 B．x2＋1x＋5＝0C.2x2＋13＝x＋12D．x＋y＋1＝02．一元二次方程x2－2x－3＝0配方后可变形为()A．(x－1)2＝2 B．(x－1)2＝4C．(x－1)2＝1 D．(x－1)2＝73．已知关于x的方程x2－kx－6＝0的一个根为x＝3，则实数k的值为() A．1 B．－1 C．2 D．－2 4．根据下面表格中的对应值：判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的一个解x的范围是() A．1.32＜x＜1.33 B．1.33＜x＜1.34C．1.34＜x＜1.35 D．1.35＜x＜1.365．下列一元二次方程中，没有．．实数根的是()A．x2＋2x－3＝0 B．x2＋x＋14＝0C．x2＋2x＋1＝0 D．－x2＋3＝06．某校办工厂生产的某种产品，今年产量为200件，计划通过技术改革，使今后两年的产量都比前一年增长一个相同的百分数，使得三年的总产量达到1 400件．若设这个百分数为x，则可列方程为()A．200＋200(1＋x)2＝1 400B．200＋200(1＋x)＋200(1＋x)2＝1 400C．200(1＋x)2＝1 400D．200(1＋x)＋200(1＋x)2＝1 4007．关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根分别为x 1＝－b ＋b 2＋42，x 2＝－b －b 2＋42，下列判断一定正确的是( ) A ．a ＝－1B ．c ＝1C ．ac ＝－1D.c a ＝1 8．已知x 1，x 2是一元二次方程3x 2＝6－2x 的两根，则x 1－x 1x 2＋x 2的值是( )A ．－43B.83C ．－83D.439．若关于x 的一元二次方程kx 2＋2(k －1)x ＋k －1＝0有实数根，则k 的取值范围是( )A ．k ＜1B ．k ≤1C ．k ＜1且k ≠0D ．k ≤1且k ≠010．已知关于x 的一元二次方程(a ＋1)x 2＋2bx ＋(a ＋1)＝0有两个相等的实数根，下列判断正确的是( )A ．1一定不是关于x 的方程x 2＋bx ＋a ＝0的根B ．0一定不是关于x 的方程x 2＋bx ＋a ＝0的根C ．1和－1都是关于x 的方程x 2＋bx ＋a ＝0的根D ．1和－1不都是关于x 的方程x 2＋bx ＋a ＝0的根 二、填空题(每题3分，共18分)11．把一元二次方程(x －3)2＝4化为一般形式是________，其中二次项为________，一次项系数为________．12．如果关于x 的方程(a －2)xa 2－2＋2x ＝0是一元二次方程，那么a ＝________．13．一元二次方程x 2－2x ＝0的解是____________．14．设m 、n 是一元二次方程x 2＋5x －8＝0的两个根，则m 2＋7m ＋2n ＝________． 15．已知一个直角三角形的两条直角边的长是方程2x 2－10x ＋9＝0的两个实数根，那么这个直角三角形的斜边长是________．16．如图，在一条矩形床单的四周绣上宽度相等的花边，剩下部分的面积为1.6 m 2.已知床单的长是2 m ，宽是1.4 m ，则花边的宽度为________．三、解答题(21题～22题每题10分，其余每题8分，共52分) 17．用适当的方法解下列方程：(1)(6x－1)2＝25；(2)x2－2x＝2x－1；(3)x2－2x＝2；(4)x(x－7)＝8(7－x)．18．已知关于x的一元二次方程(k－1)x2－(k－1)x＋14＝0有两个相等的实数根．(1)求k的值；(2)求此时该方程的根．19．若等腰三角形的一条边长为5，另外两条边的长为一元二次方程x2－7x＋k＝0的两个根，求k的值．20．有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上a2，同时B区就会自动减去3a，且均显示化简后的结果．已知A，B两区初始显示的分别是25，－16，第一次按键后，A，B两区分别显示25＋a2，－16－3a.(1)从初始状态按键2次后，分别求A，B两区显示的结果；(2)从初始状态按键4次后，得A，B两区显示的代数式的和为1，求a的值．21．如图，依靠一面长18米的墙，用34米长的篱笆围成一个矩形花圃ABCD，AB边上留有2米宽的小门EF(用其他材料做，不用篱笆围)．(1)设花圃的一边AD的长为x米，用含x的代数式表示另一边CD的长为____________米；(2)当矩形花圃面积为160平方米时，求AD的长．22．某小商品市场以每副60元的价格购进800副羽毛球拍．九月份以单价100元销售，售出了200副．十月份如果销售单价不变，预计仍可售出200副．该小商品市场为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，销售单价每降低5元，可多售出10副，但最低销售单价应高于购进的价格．十月份结束后，该小商品市场将对剩余的羽毛球拍进行一次性清仓，清仓时销售单价为50元．设十月份销售单价降低x元．(1)填表：时间九月十月清仓时销售单价/元10050销售量/副200(2)如果该小商品市场希望通过销售这批羽毛球拍获利9 200元，那么十月份的销售单价应是多少元？答案一、1. C 2. B 3. A 4. C 5. C 6. B 7. C 8. D 9. D 10. D二、11. x 2－6x ＋5＝0；x 2；－6 12. －2 13. x 1＝0，x 2＝2 14. －2 15. 4 16. 0.2 m三、17. 解：(1)两边开平方，得6x －1＝±5，即6x －1＝5或6x －1＝－5.∴x 1＝1，x 2＝－23. (2)移项，得x 2－4x ＝－1.配方，得x 2－4x ＋4＝－1＋4，即(x －2)2＝3. 两边开平方，得x －2＝±3， 即x －2＝3或x －2＝－ 3. ∴x 1＝2＋3，x 2＝2－ 3.(3)将原方程化为一般形式，得x 2－2x －2＝0. ∵b 2－4ac ＝(－2)2－4×1×(－2)＝10， ∴x ＝2±102×1.∴x 1＝2＋102，x 2＝2－102.(4)移项，得x (x －7)＋8(x －7)＝0. 变形，得(x －7)(x ＋8)＝0. ∴x －7＝0或x ＋8＝0. ∴x 1＝7，x 2＝－8.18. 解：(1)∵关于x 的一元二次方程(k －1)x 2－(k －1)x ＋14＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b 2－4ac ＝[－(k －1)]2－4·(k －1)·14＝0， 即(k －1)2－(k －1)＝0， 解得k ＝2或k ＝1.易知k －1≠0，即k ≠1，∴k ＝2.(2)当k ＝2时，原方程为x 2－x ＋14＝0，解得x 1＝x 2＝12. 19. 解：当5为腰长时，将x ＝5代入原方程得25－7×5＋k ＝0，解得k ＝10，∴原方程为x 2－7x ＋10＝0，∴x 1＝2，x 2＝5， 长度为2，5，5的三条边能围成三角形， ∴k ＝10符合题意．当5为底边长时，Δ＝(－7)2－4k ＝0，解得k ＝494， ∴原方程为x 2－7x ＋494＝0，∴x 1＝x 2＝72， 长度为72，72，5的三条边能围成三角形，∴k ＝494符合题意．综上，k 的值为10或494. 20. 解：(1)25＋a 2＋a 2＝25＋2a 2，－16－3a －3a ＝－16－6a .答：A 区显示的结果为25＋2a 2，B 区显示的结果为－16－6a . (2)依题意，得25＋4a 2＋(－16－12a )＝1， 化简，得a 2－3a ＋2＝0，解得a 1＝2，a 2＝1. 答：a 的值为2或1. 21. 解：(1)(36－2x )(2)依题意得x (36－2x )＝160， 化简得x 2－18x ＋80＝0， 解得x 1＝8，x 2＝10.当x ＝8时，36－2x ＝36－2×8＝20＞18，不合题意，舍去； 当x ＝10时，36－2x ＝36－2×10＝16＜18，符合题意． 答：AD 的长为10米．22. 解：(1)100－x ；200＋2x ；400－2x(2)根据题意，得100×200＋(100－x )(200＋2x )＋50(400－2x )－60×800＝9 200. 解得x 1＝20，x 2＝－70(舍去)．当x＝20时，100－x＝80＞60，符合题意．答：十月份的销售单价应是80元．。
北师大版九年级数学上2.6 应用一元二次方程
解：设2015年12月31日至2017年12月31日我
国计算机上网总台数的年平均增长率为x，由题
意得 892（1+x)2=2083
(1+x)2= 2083
892
x 2083 1
892
解这个方程,得:x1=1, x2=2 经检验，x1=1,x2=2都是方程的解，且符合题意. 答:要使每盆的盈利达到10元,每盆应植入4株或5株.
练一练:
已知两个连续正奇数的积是63,利用一 元二次方程求这两个数.
鲜花为你盛开，你一定行！
谈谈你这节课的收获
列方程解应用题的基本步骤怎样？
（1）读题： 1、审题； 2、找出题中的量，分清有哪些已知量、未知量，哪 些是要求的未知量；
设基数为a，平均增长率为x，则一次增长后的值为 二次增长后的值为
依次类推n次增长后的值为
a (1 x) a (1 x)2 a (1 x)n
（2）降低率问题
设基数为a，平均降低率为x，则一次降低后的值为 二次降低后的值为
依次类推n次降低后的值为
a (1 x) a (1 x)2 a (1 x)n
问题:截止到2014年12月31日，我国的上网计算机总数为 892万台；截止到2016年12月31日，我国的上网计算机总 数以达2083万台. （1）求2014年12月31日至2016年12月31日我国的上网计 算机台数的年平均增长率（精确到0.1%）.
思考:(1)若设年平均增
长率为x,你能用x的代 上网计算
3、找出所涉及的基本数量关系.例如，速度×时间=路程； 销售数量×销售单价=销售收入
北师大版九年级(上)期末数学试卷及答案
北师大版九年级（上）期末数学试卷及答案一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）1．（3分）如图，该几何体的主视图是（）A．B．C．D．2．（3分）下列函数不是反比例函数的是（）A．y＝B．y＝C．y＝5x﹣1D．xy＝103．（3分）一元二次方程2x2+3x＝1化为一般式后的a、b、c依次为（）A．2，﹣3，1B．2，3，﹣1C．﹣2，﹣3，﹣1D．﹣2，3，14．（3分）某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元．设平均每次降价的百分率为x，根据题意列出的方程是（）A．125（1﹣x）2＝80B．80（1﹣x）2＝125C．125（1+x）2＝80D．125（1﹣x2）＝805．（3分）已知点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝2，AC＜BC，则AC长是（）A．B．﹣1C．3﹣D．6．（3分）如图，△ABC的中线BE、CF交于点O，连接EF，则的值为（）A．B．C．D．7．（3分）如图，反比例函数的图象经过A（﹣1，﹣2），则以下说法错误的是（）A．k＝2B．x＞0，y随x的增大而减小C．图象也经过点B（2，1）D．当x＜﹣1时，y＜﹣28．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E为AD上一点，且AB＝8，AE＝3，BC＝4，点P为AB边上一动点，连接PC、PE，若△P AE与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）9．（3分）如图，在菱形ABCD中，AC与BD交于点O，若AC＝8，BD＝6，则菱形ABCD的面积为．10．（3分）已知＝，且a+b＝22，则a的值为．11．（3分）把一元二次方程x2+6x﹣1＝0通过配方化成（x+m）2＝n的形式为．12．（3分）若sin A＝，则锐角∠A的度数为．13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8．若E、F是BC边上的两个动点，以EF为边的等边△EFP的顶点P在△ABC内部或边上，则等边△EFP的周长的最大值为．三、解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程）14．（5分）计算：4cos230°+|2﹣4|+6×．15．（5分）解方程：x（x+1）﹣x＝1．16．（5分）已知：△ABC．求作：菱形DBEC，使菱形的顶点D落在AC边上．结论：．17．（6分）现有A、B两个不透明的袋子，各装有三个小球，A袋中的三个小球上分别标记数字2，3，4；B袋中的三个小球上分别标记数字3，4，5．这六个小球除标记的数字外，其余完全相同．（1）将A袋中的小球摇匀，从中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标记的数字是偶数的概率为；（2）分别将A、B两个袋子中的小球摇匀，然后从A、B袋中各随机摸出一个小球，请利用画树状图或列表的方法，求摸出的这两个小球标记的数字之和为7的概率．18．（6分）点P在反比例函数（k≠0）的图象上，点Q（2，4）与点P关于y轴对称，求反比例函数的表达式．19．（5分）如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．求证：四边形ABCD是菱形．20．（5分）如图，有一轮船在A处测得南偏东30°方向上有一小岛F，轮船沿正南方向航行至B处，测得小岛F 在南偏东45°方向上，接原方向再航行10海里至C处，测得小岛F在正东方向上，求A，B之间的距离．（结果保留根号）21．（8分）如图，路灯OP在BC左侧，路灯P距地面8米，当身高1.6米的小明在点A时影长为AM，距离灯的底部O点20米，小明沿AB所在的直线从点A行走14米到点B处时，影长为BN，（1）请你画出灯杆OP位置；（保留作图痕迹）（2）求此时人影的长度BN．22．（5分）关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣3）x﹣2k+2＝0．请说明方程实数根的情况并加以证明．23．（7分）为改善生态环境，建设美丽乡村，某村规划将一块长18米，宽10米的矩形场地建设成绿化广场，如图，内部修建三条宽相等的小路，其中一条路与广场的长平行，另两条路与广场的宽平行，其余区域种植绿化，使绿化区域的面积为广场总面积的80%．（1）求该广场绿化区域的面积；（2）求广场中间小路的宽．24．（7分）已知A（﹣3，4），B（n，﹣2）是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数y＝的图象的两个交点，直线AB与x轴交于点C．（1）求反比例函数和一次函数的关系式；（2）连接OB，求△AOB的面积．25．（5分）如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC三个顶点分别为A（﹣2，1）、B （1，2），C（﹣4，4）．（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）以原点O为位似中心，在x轴的下方画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2，并写出A2，B2，C2的坐标．26．（12分）问题提出：如图，在锐角△ABC中，如何作一个正方形DEFG，使D，E落在BC边上，F，G分别落在AC，AB边上？勤奋小组同学给出了如下作法：①画一个有三个顶点落在△ABC两边上的正方形HIJK；②连接BJ，并延长交AC于点F；③过点F作EF⊥BC于点E；④过F作FG∥BC，交AB于点G；⑤过点G作GD⊥BC于点D，则四边形DEFG即为所求作的正方形．受勤奋小组同学的启发，创新小组同学认为可以在锐角△ABC中，作出长与宽的比为2：1的矩形DEFG，使D，E位于边BC上，F，G分别位于边AC，AB上．（1）你认为勤奋小组同学的作法正确吗？请说明理由；（2）请你帮助创新小组同学在在锐角△ABC中，作出所有满足长与宽的比为2：1的矩形DEFG，使D，E位于边BC上，F，G分别位于边AC，AB上．（在备用图中完成，不写作法，保留作图痕迹）解决问题：（3）在（2）的条件下，已知△ABC的面积为36，BC＝12，求出矩形DEFG的面积．参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）1．（3分）如图，该几何体的主视图是（）A．B．C．D．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【解答】解：从正面看，可得如下图形：故选：C．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．2．（3分）下列函数不是反比例函数的是（）A．y＝B．y＝C．y＝5x﹣1D．xy＝10【分析】根据反比例函数的定义，知道反比例函数的形式有：y＝（k为常数，k≠0）或y＝kx﹣1（k为常数，k ≠0）或xy＝k（k为常数，k≠0）．【解答】解：A，C，D选项都是反比例函数的形式，故A，C，D选项都不符合题意；B选项不是反比例函数的形式，它是正比例函数，故该选项符合题意；故选：B．【点评】本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数的三种形式是解题的关键．3．（3分）一元二次方程2x2+3x＝1化为一般式后的a、b、c依次为（）A．2，﹣3，1B．2，3，﹣1C．﹣2，﹣3，﹣1D．﹣2，3，1【分析】先把方程化为一元二次方程的一般形式，再确定a、b、c．【解答】解：∵方程2x2+3x＝1化为一般形式为：2x2+3x﹣1＝0，∴a＝2，b＝3，c＝﹣1．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c＝0（a≠0）．其中a、b分别是二次项和一次项系数，c为常数项．4．（3分）某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元．设平均每次降价的百分率为x，根据题意列出的方程是（）A．125（1﹣x）2＝80B．80（1﹣x）2＝125C．125（1+x）2＝80D．125（1﹣x2）＝80【分析】设平均每次降价的百分率为x，则原价×（1﹣x）2＝现价，据此列方程．【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，由题意得，125（1﹣x）2＝80．故选：A．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．5．（3分）已知点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝2，AC＜BC，则AC长是（）A．B．﹣1C．3﹣D．【分析】根据黄金分割的定义：点C把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＜BC），且使BC是AB和AC的比例中项（即AB•BC＝BC•AC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中BC＝AB ≈0.618AB．【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝2，AC＜BC，BC2＝AC•AB（2﹣AC）2＝2ACAC2﹣6AC+4＝0解得AC＝3+（舍去）或3﹣则AC长是3﹣．故选：C．【点评】本题考查了黄金分割，解决本题的关键是掌握黄金分割定义．6．（3分）如图，△ABC的中线BE、CF交于点O，连接EF，则的值为（）A．B．C．D．【分析】先根据三角形中位线的性质得到EF∥BC，EF＝BC，则可判断△OEF∽△OBC，利用相似比得到＝，然后根据比例的性质得到的值．【解答】解：∵中线BE、CF交于点O，∴EF为△ABC的中位线，∴EF∥BC，EF＝BC，∴△OEF∽△OBC，∴＝＝，∴＝．故选：B．【点评】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了相似三角形的判定与性质．7．（3分）如图，反比例函数的图象经过A（﹣1，﹣2），则以下说法错误的是（）A．k＝2B．x＞0，y随x的增大而减小C．图象也经过点B（2，1）D．当x＜﹣1时，y＜﹣2【分析】把A（﹣1，﹣2）代入反比例函数的解析式能求出k，把A的坐标代入一次函数的解析式得出关于k的方程，求出方程的解即可．【解答】解：把A（﹣1，﹣2）代入反比例函数的解析式得：k＝xy＝2，故A正确；∵k＝2＞0，∴y随x的增大而减小，∴x＞0，y随x的增大而减小，故B正确；∵反比例函数的解析式为y＝，把x＝2代入求得y＝1，∴图象也经过点B（2，1），故C正确；由图象可知x＜﹣1时，则y＞﹣2，故D错误；故选：D．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，主要考查反比例函数的性质，题目较好，难度适中．8．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E为AD上一点，且AB＝8，AE＝3，BC＝4，点P为AB边上一动点，连接PC、PE，若△P AE与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】设AP＝x，则BP＝8﹣x，分△P AE∽△PBC和△P AE∽△CBP两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．【解答】解：设AP＝x，则BP＝8﹣x，当△P AE∽△PBC时，＝，即＝，解得，x＝，当△P AE∽△CBP时，＝，即＝，解得，x＝2或6，可得：满足条件的点P的个数有3个．故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的性质，解答时，注意分情况讨论思想的灵活运用．二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）9．（3分）如图，在菱形ABCD中，AC与BD交于点O，若AC＝8，BD＝6，则菱形ABCD的面积为24．【分析】由菱形面积公式即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵AC＝8，BD＝6，∴菱形ABCD的面积为AC×BD＝×8×6＝24；故答案为：24．【点评】本题考查了菱形的性质；熟记菱形面积公式是解题的关键．10．（3分）已知＝，且a+b＝22，则a的值为12．【分析】根据题意设＝＝k（k≠0），得出a＝6k，b＝5k，求出k的值，然后求出a的值即可．【解答】解：设＝＝k（k≠0），则a＝6k，b＝5k，∵a+b＝22，∴6k+5k＝22，∴k＝2，∴a＝6k＝6×2＝12．故答案为：12．【点评】此题考查了比例的性质，根据题意设出a＝6k，b＝5k是解题的关键．11．（3分）把一元二次方程x2+6x﹣1＝0通过配方化成（x+m）2＝n的形式为（x+3）2＝10．【分析】根据配方法即可求出答案．【解答】解：∵x2+6x﹣1＝0，∴x2+6x＝1，∴（x+3）2＝10，故答案为：（x+3）2＝10【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．12．（3分）若sin A＝，则锐角∠A的度数为30°．【分析】根据锐角三角函数值即可确定锐角的度数．【解答】解：∵sin A＝，∴锐角∠A的度数为30°．故答案为：30°．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，一些特殊角的三角函数值是需要我们熟练记忆的内容．13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8．若E、F是BC边上的两个动点，以EF为边的等边△EFP的顶点P在△ABC内部或边上，则等边△EFP的周长的最大值为6．【分析】当点F与C重合时，△EFP的边长最长，周长也最长，根据30°角所对的直角边是斜边的一半可得AC ＝4，AP＝2，再由勾股定理可得答案．【解答】解：如图，当点F与C重合时，△EFP的边长最长，周长也最长，∵∠ACB＝90°，∠PFE＝60°，∴∠PCA＝30°，∵∠A＝60°，∴∠APC＝90°，△ABC中，AC＝AB＝4，△ACP中，AP＝AC＝2，∴PC＝＝＝2，∴周长为2×3＝6．故答案为：6．【点评】本题考查含30°角的直角三角形的性质，运用勾股定理是解题关键．三、解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程）14．（5分）计算：4cos230°+|2﹣4|+6×．【分析】首先代入特殊角的三角函数值，再利用绝对值的性质和二次根式的乘法法则进行计算，最后计算加减即可．【解答】解：原式＝4×+4﹣2+2＝4+3＝7．【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，关键是掌握特殊角的三角函数值和绝对值的性质，注意计算顺序．15．（5分）解方程：x（x+1）﹣x＝1．【分析】先移项，再将左边利用提公因式法因式分解，继而可得两个关于x的一元一次方程，分别求解即可得出答案．【解答】解：∵x（x+1）﹣x＝1，∴x（x+1）﹣（x+1）＝0，则（x+1）（x﹣1）＝0，∴x+1＝0或x﹣1＝0，解得x1＝1，x2＝﹣1．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．16．（5分）已知：△ABC．求作：菱形DBEC，使菱形的顶点D落在AC边上．结论：菱形DBEC即为所求．【分析】作BC的垂直平分线交AC于点D，连接DB，再分别以点B，C为圆心，BD长为半径画弧交于点E，进而可得菱形DBEC．【解答】解：如图，菱形DBEC即为所求．故答案为：菱形DBEC即为所求．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握菱形的判定和性质，属于中考常考题型．17．（6分）现有A、B两个不透明的袋子，各装有三个小球，A袋中的三个小球上分别标记数字2，3，4；B袋中的三个小球上分别标记数字3，4，5．这六个小球除标记的数字外，其余完全相同．（1）将A袋中的小球摇匀，从中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标记的数字是偶数的概率为；（2）分别将A、B两个袋子中的小球摇匀，然后从A、B袋中各随机摸出一个小球，请利用画树状图或列表的方法，求摸出的这两个小球标记的数字之和为7的概率．【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）画树状图，共有9种等可能的结果，摸出的这两个小球标记的数字之和为7的结果有3种，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）将A袋中的小球摇匀，从中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标记的数字是偶数的概率为，故答案为：；（2）画树状图如下：共有9种等可能的结果，摸出的这两个小球标记的数字之和为7的结果有3种，∴摸出的这两个小球标记的数字之和为7的概率为＝．【点评】本题考查了树状图法求概率，正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．18．（6分）点P在反比例函数（k≠0）的图象上，点Q（2，4）与点P关于y轴对称，求反比例函数的表达式．【分析】先求出P点坐标，再把P点坐标代入反比例函数的解析式即可求出k的值，进而得出结论．【解答】解：∵点Q（2，4）和点P关于y轴对称，∴P点坐标为（﹣2，4），将（﹣2，4）代入解析式得，k＝xy＝﹣2×4＝﹣8，∴反比例函数解析式为．【点评】本题考查的是待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．19．（5分）如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．求证：四边形ABCD是菱形．【分析】根据菱形的判定方法可得出答案．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，∵△ACE是等边三角形，∴EA＝EC，∴BE⊥AC，∴平行四边形ABCD是菱形．【点评】本题考查了菱形的判定，等边三角形的性质，平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．20．（5分）如图，有一轮船在A处测得南偏东30°方向上有一小岛F，轮船沿正南方向航行至B处，测得小岛F 在南偏东45°方向上，接原方向再航行10海里至C处，测得小岛F在正东方向上，求A，B之间的距离．（结果保留根号）【分析】根据等腰直角三角形的性质求出CF，根据正切的定义求出AC，结合图形计算，得到答案．【解答】解：在Rt△BCF中，∠BFC＝45°，∴CF＝BC＝10，在Rt△ACF中，tan∠CAF＝，即＝，解得，AC＝10，∴AB＝AC﹣BC＝10（﹣1），答：A，B之间的距离为10（﹣1）海里．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，掌握方向角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．21．（8分）如图，路灯OP在BC左侧，路灯P距地面8米，当身高1.6米的小明在点A时影长为AM，距离灯的底部O点20米，小明沿AB所在的直线从点A行走14米到点B处时，影长为BN，（1）请你画出灯杆OP位置；（保留作图痕迹）（2）求此时人影的长度BN．【分析】（1）小明在不同的位置时，均可构成两个相似三角形，可利用相似比求人影长度的变化；（2）证明△BCN∽△OPN，推出，由此可得结论．【解答】解：（1）如图即为所求．（2）解：∵OA＝20米，AB＝14米，∴OB＝20﹣14＝6（米）．∵BC∥OP，∴△BCN∽△OPN，∴，即，解得BN＝1.5（米）答：人影的长度为1.5米．【点评】本题考查的是相似三角形的应用，测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．22．（5分）关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣3）x﹣2k+2＝0．请说明方程实数根的情况并加以证明．【分析】方程总有两个实数根．计算方程根的判别式，利用根的判别式的符号进行证明即可．【解答】解：方程总有两个实数根．理由如下：∵Δ＝b2﹣4ac＝（k﹣3）2﹣4（﹣2k+2）＝k2﹣6k+9+8k﹣8＝k2+2k+1＝（k+1）2≥0．所以方程总有两个实数根．【点评】此题考查了根的判别式，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．23．（7分）为改善生态环境，建设美丽乡村，某村规划将一块长18米，宽10米的矩形场地建设成绿化广场，如图，内部修建三条宽相等的小路，其中一条路与广场的长平行，另两条路与广场的宽平行，其余区域种植绿化，使绿化区域的面积为广场总面积的80%．（1）求该广场绿化区域的面积；（2）求广场中间小路的宽．【分析】（1）根据该广场绿化区域的面积＝广场的长×广场的宽×80%，即可求出结论；（2）设广场中间小路的宽为x米，根据矩形的面积公式（将绿化区域合成矩形），即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【解答】解：（1）18×10×80%＝144（平方米）．答：该广场绿化区域的面积为144平方米．（2）设广场中间小路的宽为x米，依题意，得：（18﹣2x）（10﹣x）＝144，整理，得：x2﹣19x+18＝0，解得：x1＝1，x2＝18（不合题意，舍去）．答：广场中间小路的宽为1米．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．24．（7分）已知A（﹣3，4），B（n，﹣2）是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数y＝的图象的两个交点，直线AB与x轴交于点C．（1）求反比例函数和一次函数的关系式；（2）连接OB，求△AOB的面积．【分析】（1）把A点坐标代入反比例函数解析式可求得反比例函数解析式，则可求得B点坐标，再由A、B两点坐标可求得一次函数解析式；（2）根据一次函数解析式可求得C点的坐标，则可求得OC的长度，且根据S△AOB＝S△AOC+S△BOC可求得△AOB 的面积．【解答】解：（1）∵A（﹣3，4）在反比例函数y＝的图象上，∴m＝﹣3×4＝﹣12，∴反比例函数的关系式为y＝﹣，又∵B（n，﹣2）在反比例函数y＝的图象上，∴n＝6，又∵B（6，﹣2），A（﹣3，4）是一次函数y＝kx+b的上的点，∴，解得，∴一次函数的关系式为y＝﹣x+2；（2）在y＝﹣x+2中，令y＝0，则x＝3，∴C（3，0），∴CO＝3，∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×3×4+＝9．【点评】本题主要考查待定系数法求函数解析式，三角形的面积，掌握待定系数法求函数解析式的关键是求得点的坐标．25．（5分）如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC三个顶点分别为A（﹣2，1）、B （1，2），C（﹣4，4）．（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）以原点O为位似中心，在x轴的下方画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2，并写出A2，B2，C2的坐标．【分析】（1）分别作出三个顶点关于x轴的对称点，再首尾顺次连接即可；（2）根据位似变换的定义分别作出三个顶点的对应点，再首尾顺次连接即可．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，A2（4，﹣2），B2（﹣2，﹣4），C2（8，﹣8）．【点评】本题主要考查作图—位似变换、轴对称变换，解题的关键是掌握位似变换与旋转变换的定义及性质．26．（12分）问题提出：如图，在锐角△ABC中，如何作一个正方形DEFG，使D，E落在BC边上，F，G分别落在AC，AB边上？勤奋小组同学给出了如下作法：①画一个有三个顶点落在△ABC两边上的正方形HIJK；②连接BJ，并延长交AC于点F；③过点F作EF⊥BC于点E；④过F作FG∥BC，交AB于点G；⑤过点G作GD⊥BC于点D，则四边形DEFG即为所求作的正方形．受勤奋小组同学的启发，创新小组同学认为可以在锐角△ABC中，作出长与宽的比为2：1的矩形DEFG，使D，E位于边BC上，F，G分别位于边AC，AB上．（1）你认为勤奋小组同学的作法正确吗？请说明理由；（2）请你帮助创新小组同学在在锐角△ABC中，作出所有满足长与宽的比为2：1的矩形DEFG，使D，E位于边BC上，F，G分别位于边AC，AB上．（在备用图中完成，不写作法，保留作图痕迹）解决问题：（3）在（2）的条件下，已知△ABC的面积为36，BC＝12，求出矩形DEFG的面积．【分析】（1）由正方形的性质得出IJ＝KJ，KJ∥BC，由平行线分线段成比例定理得出，则GF＝EF，可得出结论；（2）按题意画出图形即可；（3）若DE＝2DG，设AN＝x，则MN＝6﹣x，证明△AGF∽△ABC，由相似三角形的性质得出，则，求出x＝3，若DG＝2DE，可求出x＝，则可得出答案．【解答】解：（1）正确．理由：∵EF⊥BC，BC⊥GD，∴∠FED＝∠EDG＝90°，∵FG∥BC，∴∠EFG＝180°﹣∠FED＝90°，∴四边形DEFG是矩形，∵四边形HIJK是正方形，∴IJ＝KJ，KJ∥BC，∴，∴GF＝EF，∴四边形DEFG为正方形；（2）如图1和图2，矩形DEFG为所作．（3）如图3，作△ABC的高AM，交GF于点N，∵△ABC的面积＝BC•AM＝×12×AM＝36，∴AM＝6，∵DE＝2DG，设AN＝x，则MN＝6﹣x，DG＝MN＝6﹣x，DE＝GF＝2（6﹣x）＝12﹣2x，∵GF∥BC，∴△AGF∽△ABC，∴，∴，解得x＝3，∴DG＝6﹣x＝3，∴DE＝2DG＝6，∴矩形DEFG的面积＝6×3＝18，同理，在矩形DEFG中，若DG＝2DE，可求出x＝，∴DG＝6﹣x＝，DE＝，∴矩形DEFG的面积＝＝，故矩形DEFG的面积为18或．【点评】此题是四边形综合题，考查了相似三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、矩形的性质等知识．解题时注意数形结合思想与方程思想的应用，注意准确作出辅助线是解此题的关键．。
北师大版九年级上册数学期中考试试卷及答案
北师大版九年级上册数学期中考试试题一、选择题。
（每小题只有一个正确答案）1．下列方程是一元二次方程的是（ ）A ．2（x ﹣1）＝4B ．212+=x xC ．22310x x ++=D ．x+y ＝0 2．若13a c b d ==（b+d≠0），则a c b d ++的值为（ ） A ．13 B ．23 C ．1 D ．433．下列方程有两个不相等的实数根的是（ ）A ．2650x x +-=B ．23650x x ++=C ．2440x x ++=D ．2210x x ++= 4．下列可以判断是菱形的是（ ）A ．一组对边平行且相等的四边形B ．对角线相等的平行四边形C ．对角线垂直的四边形D ．对角线互相垂直且平分的四边形 5．王师傅的蘑菇培育基地2017年产量是60吨，由于科学管理，产量逐年增加，2019年产量达到80吨如果每年的增长率相同，设增长率为x ，那么可列方程（ ） A ．260(1)80x +=B ．280(1)60x -=C ．260(12)80x +=D ．260(1)60(1)140x x +++= 6．如图，在△ABC 中，点D 是AB 边上一点（不与A ，B 两点重合），下列条件：①∠ACD ＝∠B ； ②∠ADC ＝∠ACB ；③AC 2＝AD•AB ；④AC AD BC CD=，能使△ABC ∽△ACD 的条件的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的10个红球和若中个黄球每次从盒子里摸出一个球，记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到黄球的频率稳定在0.8．请估计盒子里黄球约有（ ）A ．20个B ．40个C ．60个D ．80个8．顶角为36°的等腰三角形我们把这种三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为12．如图，在△ABC 中，∠A ＝36°，AB ＝AC ，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，若CD ＝1，则AC 的长为（ ）A B C D 9．如图，菱形ABCD 沿对角线AC 的方向平移到菱形A'B′C′D′的位置，点A′恰好是AC 的中点．若菱形ABCD 的边长为2，∠BCD ＝60°，则阴影部分的面积为（ ）A ．12BC ．1 D10．如图，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使顶点C 恰好落在AB 边的中点C ′上．若AB ＝6，BC ＝9，则BF 的长为（ ）A ．4B ．C ．4.5D ．5二、填空题 11．为了检验某批足球的质量，随机抽取了100个足球，发现合格的有90个．如果从这批足球中随机取出一个，那么这个足球合格的概率约为_____．12．若关于x的方程kx2+（2k﹣1）x+k﹣2＝0有两个相等的实数根，则k的值为______．13．如图，E、F分别为矩形ABCD的边AD，BC的中点．若矩形ABCD与矩形EABF相似，AB＝6，则AD的长为_____．14．中国古代三国时期的数学家赵爽，创作了一幅“勾股弦方图”，通过数形结合，给出了勾股定理的详细证明如图，在“勾股弦方图”中，以弦为边长得到的正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成，这一图形被称作“赵爽弦图”张天同学要用细塑料棒制作“赵爽弦图”，若正方形ABCD与正方形EFCH的面积分别为169和49，则所用细塑料棒的长度为______．15．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E是AD边上一动点，将△ABE沿BE 折叠，使点A的对应点A′恰好落在矩形ABCD的对角线上，则AE的长为______．16．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠AOB＝120°，AD＝3，则AC的长是_____．三、解答题17．解下列方程（1）x2+x＝0 （2）2x2+4x﹣1＝018．如图，在△ABC中，点D是AB的中点，DE∥BC交AC于点E，DF∥BE交AC于点F，若EF＝3，求AC的长．19．如图，在正方形ABCD的上方作等边三角形ADE，连接BE，CE．（1）求证：△ABE≌△DCE；（2）连接AC，设AC与BE交于点F，求∠BFC的度数．20．课堂上，蒋老师拿出了4张分别与有数字1，2，3，4的卡片（除数字外其他都相同），让同学们随机抽取两张，并计算这两张卡片上数字的和．（1）请用列表或画树状图的方法列举出所有等可能的结果；（2）求两张卡片上数字的和大于5的概率．21．某商场新上市一款毛衣，进价是40元，当售价为80元，一天可以销售20件．若售价每降价1元，则每天可以多卖2件．设售价为x元，当天的销售量为y件．（1）销售量y与售价x之间的函数表达式为______；（2）在尽可能增大销售量的前提下，问这款毛衣降价后的售价为多少元时，商场当天可获利1200元？22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，点E是斜边AB上的一个动点，连接CE，过点B，C分别作BD∥CE，CD∥BE，BD与CD相交于点D．（1）当CE⊥AB时，求证：四边形BECD是矩形；（2）填空：①当BE的长为______时，四边形BECD是菱形；②在①的结论下，若点P是BC上一动点，连接AP，EP，则AP+EP的最小值为______．23．正方形ABCD与正方形DEFG按如图1放置，点A，D，G在同一条直线上，点E在CD边上，AD＝3，DE，连接AE，CG（1）线段AE与CC的关系为______；（2）将正方形DEFG绕点D顺时针旋转一个锐角后，如图2，请问（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由（3）在正方形DEFG绕点D顺时针旋转一周的过程中，当∠AEC＝90°时，请直接写出AE 的长．24．如图在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣34x+6与x轴、y轴分别交于B、A两点，点P从点A开沿y轴以每秒1个单位长度的速度向点O运动，点Q从点A开始沿AB向点B运动（当P，Q两点其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动）如果点P，Q从点A 同时出发，设运动时间为t秒．（1）如果点Q的速度为每秒35个单位长度，那么当t＝5时，求证：△APQ∽△ABO；（2）如果点Q的速度为每秒2个单位长度，那么多少秒时，△APQ的面积为16？（3）若点H为平面内任意一点，当t＝4时，以点A，P，H，Q四点为顶点的四边形是矩形，请直接写出此时点H的坐标．参考答案1．C【解析】根据一元二次方程的定义进行判断，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．【详解】A、是一元一次方程，故本选项不合题意；B、不是一元二次方程，是分式方程，故本选项不合题意；C、是一元二次方程，故本选项符合题意；D、是二元一次方程，故本选项不合题意；故选：C．【点睛】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的定义. 2．A【分析】根据等比的性质进行解答即可．【详解】∵若13a cb d==（b+d≠0），∴a cb d++＝13．故选：A．【点睛】本题考查等比的性质，解题的关键是掌握等比的性质.3．A【分析】利用根的判别式△＝b2﹣4ac逐一求出四个方程的△的值，取其为正值的选项即可得出结论．【详解】A、∵△＝62﹣4×1×（﹣5）＝56＞0，∴一元二次方程x2+6x﹣5＝0有两个不相等的实数根，A符合题意；B、∵△＝62﹣4×3×5＝﹣24＜0，∴一元二次方程3x2+6x+5＝0没有实数根，B不符合题意；C、∵△＝42﹣4×1×4＝0，∴一元二次方程x2+4x+4＝0有两个相等的实数根，C不符合题意；D、∵△＝22﹣4×1×1＝0，∴一元二次方程x2+2x+1＝0有两个相等的实数根，D不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查根的判别式，解题的关键是掌握根的判别式的运用.4．D【分析】由菱形的判定依次判断可求解．【详解】A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，不一定是菱形，故A选项不符合题意；B、对角线相等的平行四边形是矩形，故B选项不符合题意；C、对角线垂直的四边形不一定是菱形，故C选项不符合题意；D、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故D选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查菱形的判定，解题的关键是掌握菱形的判定方法.5．A【分析】设增长率为x，根据王师傅的蘑菇培育基地2017年及2019年的产量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【详解】设增长率为x，依题意，得：60（1+x）2＝80．故选：A．【点睛】本题考查增长率和列一元二次方程，解题的关键是读懂题意，得到等式关系.6．C【分析】由∠A是公共角，根据有两组角对应相等的两个三角形相似与两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，判定△ABC与△ACD相似，即可得出结果．【详解】∵∠A是公共角，∴当∠ACD＝∠B时，△ADC∽△ACB（有两组角对应相等的两个三角形相似）；当∠ADC＝∠ACB时，△ADC∽△ACB（有两组角对应相等的两个三角形相似）；当AC2＝AD•AB时，即AC ADAB AC=，△ADC∽△ACB（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似）．当AC ADBC CD=时，∠A不是夹角，则不能判定△ADC与△ACB相似；∴能够判定△ABC与△ACD相似的条件是：①②③．故选：C．【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定.7．B【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【详解】设盒子里黄球约有x个，根据题意得：10xx+＝0.8，解得：x＝40，答：盒子里黄球约有40个；故选：B．【点睛】本题考查概率，解题的关键是掌握求概率的方法. 8．D【分析】根据黄金三角形的腰与底的比值即可求解．【详解】∵在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABD＝36°，∴AD ＝BD ，∴∠BDC ＝72°，∴BD ＝BC ，∴△ABC 和△BDC 都是顶角为36°的等腰三角形．∵顶角为36°的等腰三角形为“黄金三角形”，，∴DC BC ＝BC AC即1BC ＝BC AC∴BC ，AC ． 故选：D ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质和黄金分割，解题的关键是读懂题意，掌握等腰三角形的性质和黄金分割.9．B【分析】先求出菱形ABCD 的面积，由平移的性质可得四边形A'ECF 的面积是▱ABCD 面积的14，即可求解．【详解】∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AD ＝2＝CD ，∠DCA ＝12∠BCD ＝30°，∴A'D ＝1，A'C∴菱形ABCD 的面积＝4×12×A'D×A'C ＝ 如图，由平移的性质得，▱ABCD∽▱A'ECF，且A'C＝12 AC，∴四边形A'ECF的面积是▱ABCD面积的14，∴阴影部分的面积＝4故选：B．【点睛】本题考查菱形的性质、平移的性质，解题的关键是掌握菱形的性质、平移的性质.10．A【分析】先求出BC′，再由图形折叠特性知，C′F＝CF＝BC﹣BF＝9﹣BF，在Rt△C′BF中，运用勾股定理BF2+BC′2＝C′F2求解．【详解】解：∵点C′是AB边的中点，AB＝6，∴BC′＝3，由图形折叠特性知，C′F＝CF＝BC﹣BF＝9﹣BF，在Rt△C′BF中，BF2+BC′2＝C′F2，∴BF2+9＝（9﹣BF）2，解得，BF＝4，故选：A．【点睛】本题考查了折叠问题及勾股定理的应用，综合能力要求较高．同时也考查了列方程求解的能力．解题的关键是找出线段的关系．11．90%【分析】用概率公式进行计算解决问题即可．【详解】由题意，随机抽取了100个足球，发现合格的有90个， 所以这个足球合格的概率约90100%100⨯＝90%， 故答案为90%．【点睛】本题考查概率，解题的关键是掌握概率公式.12．﹣14【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式△＝0，即可得出关于k 的一元一次不等式及一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】∵关于x 的方程kx 2+（2k ﹣1）x+k ﹣2＝0有两个相等的实数根，∴2k 0(2k 1)4k (k 2)0≠⎧⎨∆=--⨯⨯-=⎩， 解得：k ＝﹣14． 故答案为：﹣14． 【点睛】本题考查一元二次方程的定义及根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的定义及根的判别式.13．【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．【详解】∵矩形ABCD 与矩形EABF 相似， ∴AE AB ＝AB AD ，即1AD 626AD=，解得，AD ＝，故答案为：．【点睛】本题考查相似多边形的性质，解题的关键是掌握相似多边形的性质.14．100【分析】根据正方形的面积可得两个正方形的边长分别为13和7，再根据勾股定理可求得直角三角形的两条直角边长，进而求解．【详解】∵正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成，∴AE＝BF，∠AEB＝90°，∵正方形ABCD与正方形EFCH的面积分别为169和49，∴AB＝13，EF＝7，在Rt△ABE中，BE＝BF﹣EF＝AE﹣7根据勾股定理，得AE2+BE2＝AB2，即AE2+（AE﹣7）2＝132解得，AE＝12，所以BE＝12﹣7＝5，所以所用细塑料棒的长度为：4（AB+AE）＝4（13+12）＝100．故答案为100．【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理的应用.15．3 2【分析】由勾股定理可求BD长，由折叠的性质可得AB＝A'B＝3，∠A＝∠BA'E＝90°，AE＝A'E，由勾股定理列出方程，可求AE的长．【详解】如图，∵AB＝3，AD＝4，∠A＝90°，∴BD5，∵将△ABE沿BE折叠，∴AB＝A'B＝3，∠A＝∠BA'E＝90°，AE＝A'E，∴A'D＝BD﹣A'B＝2，∵DE2＝A'E2+A'D2，∴（4﹣AE）2＝AE2+4，∴AE＝32，故答案为：3 2【点睛】本题考查勾股定理和折叠的性质，解题的关键是掌握勾股定理和折叠的性质.16．6【分析】根据矩形的性质，因为矩形的对角线相等且互相平分，则△BOC是等腰三角形；已知∠AOB ＝120°，即可求出∠DBA＝30°，由AD＝3，可求出AC=BD=6．【详解】∵四边形ABCD是矩形，矩形的对角线相等且互相平分∴OA=OB，∴△AOB是等腰三角形又∵∠AOB＝120°∴∠DBA＝∠CAB=30°在Rt△DAB中，AD＝3，∠DBA=30°∴BD=2AD=6∵四边形ABCD是矩形∴AC=BD=6故答案为：6【点睛】本题考查了矩形的性质，对角线相等且互相平分，在直角三角形中，利用特殊三角形的相关性质求解是解题的关键．17．（1）x＝0或x＝﹣1；（2）x＝﹣1±2【分析】（1）根据因式分解法即可求出答案；（2）根据配方法即可求出答案.【详解】（1）∵x2+x＝0，∴x（x+1）＝0，∴x＝0或x＝﹣1；（2）∵2x2+4x﹣1＝0，∴x2+2x＝12，∴（x+1）2＝32，∴x＝﹣1±2【点睛】本题考查因式分解法、配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法、配方法解一元二次方程.18．AC=12．【分析】通过证明△ADE∽△ABC，可得AE ADAC AB=＝12，可得AC＝2AE，通过证明△ADF∽△ABE，可得AD AFAB AE=＝12，可求AF＝EF＝3，即可求解．【详解】∵点D是AB的中点，∴AB＝2AD＝2DB，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴AE ADAC AB=＝12，∴AC＝2AE，∵DF∥BE，∴△ADF∽△ABE，∴AD AFAB AE=＝12，∴AE＝2AF，且AE＝AF+EF，∴EF＝AF＝3，∴AE＝6，∴AC＝2AE＝12．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质. 19．（1）证明见解析；（2）∠BFC＝60°．【分析】（1）利用等边三角形的性质和正方形的性质可得∠BAE＝∠CDE＝150°，由“SAS”可证△ABE≌△DCE；（2）首先得出∠ABE＝∠AEB＝15°，由外角性质可求解．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠ADC＝90°，∠BAC＝45°，∵三角形ADE为正三角形，∴AE＝AD＝DE，∠EAD＝∠EDA＝60°，∴∠BAE＝∠CDE＝150°，在△BAE和△CDE中AB CDBAE CDE AE DE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE≌△DCE（SAS）；（2）∵AB＝AD，AD＝AE，∴AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，又∵∠BAE＝150°，∴∠ABE＝∠AEB＝15°，∴∠BFC＝∠ABE+∠BAC＝60°．【点睛】本题考查等边三角形的性质、正方形的性质、三角形外角性质和全等三角形的判定（SAS），解题的关键是掌握等边三角形的性质、正方形的性质、三角形外角性质和全等三角形的判定（SAS）.20．（1）共有12种等情况数；（2）13．【分析】（1）根据题意画出树状图得出所有等情况数，分别列举出来即可；（2）先找出两张卡片上数字的和大于5的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【详解】（1）画树状图如下共有12种等情况数，这两张卡片上数字的和分别是3，4，5，3，5，6，4，5，7，5，6，7；（2）∵共有12种等情况数，其中两张卡片上数字的和大于5的有4种，∴两张卡片上数字的和大于5的概率是412＝13．【点睛】本题考查画树状图法求概率，解题的关键是掌握画树状图法求概率.21．（1）y＝﹣2x+180；（2）毛衣降价后的售价为60元时，商场当天可获利1200元．【分析】（1）设售价为x元，根据售价每降低1元，平均每月多售出2件．可得平均每月的销售量y（件）与x满足的函数关系式；（2）根据销售利润＝一件毛衣的利润×销售童装的数量可得方程，利用方程求解．【详解】（1）设售价为x元，则平均每月的销售量y（件）与x满足的函数关系式为：y＝20+2（80﹣x），化简整理，得y＝﹣2x+180；故答案是：y＝﹣2x+180；（2）根据题意，得（x﹣40）（﹣2x+180）＝1200，解得x1＝70，x2＝60．因为是尽可能增大销售量，所以x＝60符合题意．答：这款毛衣降价后的售价为60元时，商场当天可获利1200元．【点睛】本题考查列二元一次方程和一元二次方程的应用，解题的关键是掌握列二元一次方程和一元二次方程的应用.22．（1）证明见解析；（2）②【分析】（1）根据矩形的判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明；（2）①根据菱形的判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可求解；②根据对称性：连接ED交BC于点P，此时AP+EP＝AD，最小，再过点D作DF垂直AC 的延长线于点F，根据勾股定理即可求解．【详解】如图所示：（1）∵BD∥CE，CD∥BE，∴四边形BDCE是平行四边形，∵CE⊥AB，∴∠BEC＝90°，∴四边形BECD是矩形；（2）①当BE BECD是菱形．理由如下：连接ED，与BC交于点O，∵四边形BDCE是平行四边形，当BC和DE互相垂直平分时，四边形BDCE是菱形，BO＝12BC＝3，OE＝12AC＝2，∴根据勾股定理，得BE②连接AD，与BC交于点P，连接PE，此时PD＝PE，AP+EP最小，∴AP+PE＝AP+PD＝AD，过点D作DF垂直于AC的延长线于点F，得矩形ODFC，∴CF＝OD＝2，DF＝OC＝3，∴AF＝AC+CF＝6，∴在Rt△ADF中，根据勾股定理，得AD∴AP+EP的最小值为故答案为【点睛】本题考查矩形的判定、菱形的判定定理、勾股定理，解题的关键是掌握矩形的判定、菱形的判定定理、勾股定理.23．（1）AE＝CG，AE⊥CG；（2）仍然成立；理由见解析；（3）AE的长为+1或﹣1．【分析】（1）延长AE交CG于点H，证△ADE≌△CDG，可得到AE＝CG，∠EAD＝∠GCD，再证∠CHE＝90°，即可得出结论；（2）设AE与CG交于点H，证∴△ADE≌△CDG，可得到AE＝CG，∠EAD＝∠GCD，再证，∠CHP＝90°，即可得出结论；（3）分两种情况讨论，当点E旋转到线段CG上时，过点D作DM⊥AE于点M，构造等腰直角三角形DME和直角三角形ADM，可通过勾股定理分别求出ME，AM的长即可；当点E旋转到线段CG的延长线上时，过点D作DN⊥CE于点N，构造等腰直角三角形DNE 和直角三角形CND，可通过勾股定理分别求出NE，CN的长，再求出CE的长，在Rt△AEC 中通过勾股定理可求出AE的长．【详解】（1）线段AE与CG的关系为：AE＝CG，AE⊥CG，理由如下：如图1，延长AE交CG于点H，∵四边形ABCD和四边形DGFE是正方形，∴AD＝CD，ED＝GD，∠ADE＝∠CDG＝90°，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∠EAD＝∠GCD，∵∠EAD+∠AED＝90°，∠AED＝∠CEH，∴∠GCD+∠CEH＝90°，∴∠CHE＝90°，即AE⊥CG，故答案为：AE＝CG，AE⊥CG；（2）结论仍然成立，理由如下：如图2，设AE与CG交于点H，∵四边形ABCD和四边形DGFE是正方形，∴AD＝CD，ED＝GD，∠ADC＝∠EDG＝90°，∴∠ADC+∠CDE＝∠EDG+∠CDE，即∠ADE＝∠CDG，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∠EAD＝∠GCD，∵∠EAD+∠APD＝90°，∠APD＝∠CPH，∴∠GCD+∠CPH＝90°，∴∠CHP＝90°，即AE⊥CG，∴AE＝CG，AE⊥CG，∴①中的结论仍然成立；（3）如图3﹣1，当点E旋转到线段CG上时，过点D作DM⊥AE于点M，∵∠AEC＝90°，∠DEG＝45°，∴∠AED＝45°，∴Rt△DME是等腰直角三角形，DE＝1，∴ME＝MD＝2在Rt⊈△AMD中，ME＝1，AD＝3，∴AM，∴AE＝AM+ME＝+1；如图3﹣2，当点E旋转到线段CG的延长线上时，过点D作DN⊥CE于点N，则∠END＝90°，∵∠DEN＝45°，∴∠EDN＝45°，∴Rt△DNE是等腰直角三角形，DE＝1，∴NE＝ND＝2在Rt△CND中，ND＝1，CD＝3，∴CN，∴CE＝NE+CN＝+1，∵AC AD＝，∴在Rt△AEC中，AE﹣1，综上所述，AE的长为+1或﹣1．【点睛】本题考查全等三角形的判定（SAS）与性质，正方形的性质，旋转的性质以及勾股定理，解题关键是在第（3）问中能够根据题意分情况讨论并画出图形，才能保证解答的完整性．24．（1）证明见解析；（2）△APQ的面积为16；（3）点H的坐标为：（163，6），（﹣83，4）．【分析】（1）根据已知得：直线与x、y轴的交点B（8，0）、A（0，6），AP＝5，AQ＝3，对应边成比例且夹角相等即可证明；（2）作QE⊥y轴于点E，用含t的式子表示AP和QE，利用三角形的面积即可求解；（3）根据题意画出矩形即可写出点H的坐标．【详解】（1）根据题意，得当t＝5时，AP＝5，AQ＝3，∴B（8，0），A（0，6），∴OB＝8，OA＝6，∴AB＝10，∴APAB ＝AQAO ＝12，∠PAQ ＝∠BAO ，∴△APQ ∽△ABO ；（2）如图：过点Q 作QE ⊥OA 于点E ，在Rt △AOB 和Rt △AQE 中，sin ∠BAO ＝OBAB ＝45，sin ∠QAE ＝QEAQ ＝2QEt ，∴2QEt ＝45，∴QE ＝85t ，∴S △APQ ＝12AP•QE ＝16， 即12×t×85t ＝16∴t ＝答：那么△APQ 的面积为16．（3）如图：设点Q 的速度为每秒x 个单位长度，当t ＝4时，AP ＝4，AQ ＝4x ，∵以点A ，P ，H ，Q 四点为顶点的四边形是矩形，∴PQ ∥OB ，∴PQ OB ＝AP AO ，即8PQ ＝46， ∴PQ ＝163， ∴H （163，6）．设点Q 的速度为每秒x 个单位长度，当t ＝4时，AP ＝4，AQ ＝4x ，∵以点A ，P ，H ，Q 四点为顶点的四边形是矩形，当AP 为矩形对角线时，410x ＝26解得x ＝56∴Q′C 2AC +＝83． ∴H （﹣83，4）． 所以点H 的坐标为：（163，6）．（﹣83，4）． 【点睛】 本题考查一次函数综合、三角形面积、相似三角形的判定、矩形的性质，解决本题的关键是掌握一次函数综合，综合运用三角形面积、相似三角形的判定、矩形的性质．。
北师大版九年级上册数学第二章单元测试卷含答案
第二章单元测试卷[时间：120分钟分值：150分]一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分．每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求)1．方程(x＋1)(x－2)＝0的根是( )A．x＝－1 B．x＝2C．x1＝1，x2＝－2 D．x1＝－1，x2＝22．用配方法解一元二次方程x2＋8x＋7＝0，则方程可变形为( )A．(x－4)2＝9 B．(x＋4)2＝9C．(x－8)2＝16 D．(x＋8)2＝573．已知α是一元二次方程x2－x－1＝0较大的根，则下面对α的估计正确的是( )A．0＜α＜1 B．1＜α＜1.5C．1.5＜α＜2 D．2＜α＜34．已知关于x的一元二次方程3x2＋4x－5＝0，下列说法正确的是( B )A．方程有两个相等的实数根B．方程有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定5．若x＝－2 是关于x的一元二次方程x2－52ax＋a2＝0的一个根，则A的值为( )A．1或4 B．－1或－4C．－1或4 D．1或－46．某县为了大力推进义务教育均衡发展，加强学校标准化建设，计划用三年时间对全县学校的设施和设备进行全面改造和更新.2016年县政府已投资5亿元人民币，若每年投资的增长率相同，预计2018年投资7.2亿元人民币，那么每年投资的增长率为( )A．20%或－220% B．40%C．120% D．20%7．三角形两边长分别为3和6，第三边是方程x2－13x＋36＝0的根，则三角形的周长为( )A．13 B．15C．18 D．13或188．从正方形的铁片上截去2 c m宽的长方形，余下的面积是48 c m2，则原来的正方形铁片的面积是( )A．8 c m2 B．32 c m2C．64 c m2 D．96 c m29．若关于x的方程x2＋2x＋A＝0不存在实数根，则A的取值范围是( ) A．A＜1 B．A＞1C．A≤1 D．A≥110．x1，x2是关于x的一元二次方程x2－mx＋m－2＝0的两个实数根，是否存在实数m使1x1＋1x2＝0成立？则正确的结论是( )A．m＝0 时成立 B．m＝2 时成立C．m＝0 或2时成立 D．不存在二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)11．已知x1＝3是关于x的一元二次方程x2－4x＋C＝0的一个根，则方程的另一个根x2＝__ ____．12．一小球以15 m/s的速度竖直向上抛出，它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系式：h＝15t－5t2，当t＝_________时，小球高度为10 m．小球所能达到的最大高度为________m.13．若关于x的一元二次方程x2－x＋m＝0有两个不相等的实数根，则m的值可能是_____________(写出一个即可)．14．菱形的两条对角线长分别是方程x2－14x＋48＝0的两实根，则菱形的面积为________．15．已知关于x的一元二次方程x2＋(2k＋1)x＋k2－2＝0的两根为x1，x2，且(x1－2)(x1－x2)＝0，则k的值是___________．16．如果关于x的方程Ax2＋2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数A的取值范围是________________．三、解答题(本大题共9个小题，共96分)17．(16分)解方程：(1)(x＋8)2＝36；(2)x(5x＋4)－(4＋5x)＝0；(3)x2＋3＝3(x＋1)；(4)2x2－x－1＝0(用配方法)．18．(8分)已知关于x的方程x2＋x＋n＝0有两个实数根－2，m，求m，n的值．19．(10分)先化简，再求值：m－33m2－6m ÷⎝⎛⎭⎪⎫m＋2－5m－2，其中m是方程x2＋2x－3＝0的根．20．(10分)有一个两位数等于其各位数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这个两位数．21．(10分)利用一面墙(墙的长度不限)，另三边用58 m长的篱笆围成一个面积为200 m2的矩形场地，求矩形的长和宽．22．(10分)为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度.2015年市政府共投资3亿元人民币建设了廉租房12万平方米，2017年投资6.75亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．(1)求每年市政府投资的增长率；(2)若这两年内的建设成本不变，2017年建设了多少万平方米廉租房？23．(10分)当m为何值时，一元二次方程(m2－1)x2＋2(m－1)x＋1＝0?(1)有两个不相等的实数根？(2)有两个相等的实数根？(3)没有实数根？24．(10分)某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6 080元的利润，应将销售单价定为多少元？25．(12分)在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝12 cm，点P从点A沿边AB向点B以1 cm/s的速度移动；同时点Q从点B沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动，设运动时间为t s．问：(1)几秒后△PBQ的面积等于8 cm2?(2)是否存在t，使△PDQ的面积等于26 cm2?参考答案一、1．D 2．B 3．C【解析】 解方程x 2－x －1＝0，得x ＝1±52，∵α是方程x 2－x －1＝0较大的根，∴α＝1＋52.∵2＜5＜3，∴3＜1＋5＜4，∴32＜1＋52＜2.4．B 5．B 6．D 7． A 8．C 9．B【解析】 ∵方程不存在实数根，∴Δ＝4－4A ＜0，解得A ＞1. 10．A【解析】 ∵x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2－mx ＋m －2＝0的两个实数根，∴x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m －2.假设存在实数m 使1x 1＋1x 2＝0成立，则x 1＋x 2x 1x 2＝0，∴m m －2＝0，∴m ＝0. 当m ＝0时，方程为x 2－2＝0，此时Δ＝8＞0，∴m ＝0符合题意．二、11．1 【解析】 ∵x 1＋x 2＝4，x 1＝3，∴x 2＝1. 12． 1或2 454【解析】 当小球高度为10 m 时，有10＝15t －5t 2，解得t 1＝1，t 2＝2.小球达到的高度h ＝15t －5t 2＝－5(t 2－3t )＝－5⎝⎛⎭⎪⎫t －322＋454，故当t ＝32时，小球达到的最大高度为454m.13． 0(答案不唯一) 14． 24 15．－2或－94【解析】 先由(x 1－2)(x 1－x 2)＝0， 得出x 1－2＝0或x 1－x 2＝0， 再分两种情况进行讨论： ①如果x 1－2＝0，将x ＝2代入x 2＋(2k ＋1)x ＋k 2－2＝0， 得4＋2(2k ＋1)＋k 2－2＝0，解得k ＝－2； ②如果x 1－x 2＝0，由Δ＝(2k ＋1)2－4(k 2－2)＝0，解得k ＝－94.综上所述，k 的值是－2或－94.16． A ＜1且A ≠0【解析】 由题意，得Δ＝4－4A ＞0且A ≠0， 解得A ＜1且A ≠0.三、17．(1) 解：直接开平方，得x ＋8＝±6， ∴x 1＝－2，x 2＝－14. 4分(2) 解：提公因式，得(4＋5x )(x －1)＝0， 则4＋5x ＝0或x －1＝0. ∴x 1＝－45，x 2＝1. 8分(3)解：整理，得x 2－3x ＝0， 分解因式，得x (x －3)＝0， 则x ＝0或x －3＝0， ∴x 1＝0，x 2＝3. 12分(4)解：方程两边同除以2，得x 2－12x －12＝0，移项，得x 2－12x ＝12，配方，得⎝⎛⎭⎪⎫x －142＝916，开平方，得x －14＝±34，∴x 1＝1，x 2＝－12.16分18．解：将x ＝－2代入原方程，得(－2)2－2＋n ＝0， 1分 解得n ＝－2， 3分因此原方程为x 2＋x －2＝0， 5分 解得x 1＝－2，x 2＝1， 7分 ∴m ＝1. 8分19． 解：原式＝m －33m （m －2）÷⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2－4m －2－5m －2 ＝m －33m （m －2）·m －2（m ＋3）（m －3）＝13m （m ＋3）， 4分 ∵m 是方程x 2＋2x －3＝0的根，∴m ＝－3或m ＝1. 6分当m ＝－3时，原式无意义； 8分当m ＝1时，原式＝13m （m ＋3）＝13×1×（1＋3）＝112. 10分 20．解：设个位数字为x ，则十位数字为(x －2)，这个两位数是[10(x －2)＋x ].2分根据题意，得10(x －2)＋x ＝3x (x －2)，整理，得3x 2－17x ＋20＝0，5分解得x 1＝4，x 2＝53(不合题意，舍去).8分 当x ＝4时，x －2＝2，∴这个两位数是24. 10分21． 解：设垂直于墙的一边为x 米， 1分依题意得x (58－2x )＝200. 3分解得x 1＝25，x 2＝4. 6分∴另一边为8米或50米. 9分故矩形长为25米，宽为8米或长为50米，宽为4米. 10分22． 解：(1)设每年市政府投资的增长率为x ， 1分根据题意，得3(1＋x )2＝6.75， 3分解得x 1＝0.5＝50%，x 2＝－2.5(不合题，舍去). 5分则每年市政府投资的增长率为50%. 6分(2)6.753×12＝27(万平方米)．则2017年建设了27万平方米廉租房. 10分23． 解：Δ＝[2(m －1)]2－4(m 2－1)＝－8m ＋8. 1分(1)根据题意，得－8m ＋8＞0，且m 2－1≠0， 2分解得m ＜1且m ≠－1. 4分(2)根据题意，得－8m ＋8＝0，且m 2－1≠0，可知无解， 6分则方程不可能有两个相等的实数根. 7分(3)根据题意，得－8m ＋8＜0，且m 2－1≠0， 8分解得m ＞1. 10分24．解：设应降价x 元，则售价为(60－x )元，销售量为(300＋20x )件，1分根据题意，得(60－x －40)(300＋20x )＝6 080， 5分解得x 1＝1，x 2＝4， 8分又需使顾客得实惠，故取x ＝4，即定价为56元，故应将销售单价定为56元. 10分25．解：(1)设x 秒后△PBQ 的面积等于8 cm 2.∵AP ＝x ，QB ＝2x .∴PB ＝6－x . ∴12(6－x )·2x ＝8， 2分解得x 1＝2，x 2＝4， 4分故2秒或4秒后△PBQ 的面积等于8 cm 2. 5分(2)假设存在t 使得△PDQ 的面积为26 cm 2， 6分则72－6t－t(6－t)－3(12－2t)＝26， 8分整理得，t2－6t＋10＝0，∵Δ＝36－4×1×10＝－4＜0，∴原方程无解， 11分∴不存在t，使△PDQ的面积等于26 cm2. 12分高效教学的诀窍高效教学,具体应该怎么说呢?我们很难精确地给它下一个定义,但大家都能清晰地感受到它。
北师大版九年级上册数学第二章测试题(附答案)
北师大版九年级上册数学第二章测试题(附答案)北师大版九年级上册数学第二章测试题（附答案）1.下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（）A。
x^2-2=(x+3)^2 B。
ax^2+bx+c=0 C。
x^2+3x+1=0 D。
2x+1=02.方程-5x^2=1的一次项系数是（）A。
3 B。
1 C。
-1 D。
03.若关于x的一元二次方程x^2+5x+m^2-1=0的常数项为1，则m等于（）A。
1 B。
2 C。
1或-1 D。
04.一元二次方程(x-5)^2=x-5的解是（）A。
x=5 B。
x=6 C。
x=0 D。
没有解5.一种药品经两次降价，由每盒50元调至40.5元，平均每次降价的百分率是（）A。
5% B。
10% C。
15% D。
20%6.某商品两次价格上调后，单位价格从4元变为4.84元，则平均每次调价的百分率是（）A。
9% B。
10% C。
11% D。
12%7.一元二次方程x^2-2x=0的根是（）A。
2 B。
0 C。
0和2 D。
1和-18.已知α、β是方程x^2-2x-1=0的两个根，则α^2-β^2的值为（）A。
-5 B。
2 C。
0 D。
-29.方程2x^2-6x-5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A。
6、2、5 B。
2、-6、5 C。
2、-6、-5 D。
-2、6、510.用配方法解方程x^2-2x-3=0时，配方后所得的方程为（）A。
(x-1)^2=4 B。
(x-1)^2=5 C。
(x-2)^2=4 D。
(x-2)^2=511.某农户种植花生，原来种植的花生亩产量为200千克，出油率为50%（即每100千克花生可加工成花生油50千克）．现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油132千克，其中花生出油率的增长率是亩产量的增长率的p%，则新品种花生亩产量的增长率为（）泥，经销店可以获得50元的利润。
现在厂家降低了售价，经销店可以选择维持售价不变，或者降低售价以吸引更多客户。
北师大版九年级上册数学期中考试试卷及答案
北师大版九年级上册数学期中考试试题一、单选题1．用配方法将x 2﹣8x ＋5＝0化成（x ＋a ）2＝b 的形式，则变形正确的是（）A ．（x ﹣4）2＝11B ．（x ﹣4）2＝21C ．（x ﹣8）2＝11D ．（x ＋4）2＝112．如图，直线123l l l ，直线AC 分别交1l ，2l ，3l 于点A ，B ，C ，直线DF 分别交1l ，2l ，3l 于点D ，E ，F ，若23=AB BC ，则DE DF 的值为（）A ．23B ．35C ．25D ．523．一个不透明的盒子中放入四张卡片，每张卡片上都写有一个数字，分别是-2，-1，0，1．卡片除数字不同外其他均相同，从中随机抽取一张卡片，不放回，再另外抽取一张，抽取的两张卡片上数字之积为0的概率是（）A ．14B ．716C ．12D ．344．已知关于x 的一元二次方程ax 2﹣4x ﹣2＝0有实数根，则a 的取值范围是（）A ．a≥﹣2B ．a ＞﹣2C ．a≥﹣2且a≠0D ．a ＞﹣2且a≠05．已知平行四边形ABCD 中，添加下列条件，其中能说明平行四边形ABCD 是矩形的是（）A ．AB BC=B ．AC BD⊥C ．AC BD=D ．AC 平分BAD∠6．九年级（5）班文学小组在举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，全组共互赠了132本图书，如果设全组共有x 名同学，依题意，可列出的方程是（）A ．(1)132x x +=B ．(1)132x x -=C ．2(1)132x x +=D ．1(1)1322x x +=7．如图，四边形ABCD 为菱形，对角线AC ＝6，BD ＝8，且AE 垂直于CD ，垂足为点E ，则AE 的长度为（）A ．485B ．245C ．185D ．1258．如图，在矩形ABCD 中,,E F 分别是,BC AE 的中点，若 23,4CD AD ==，则DF 的长是（）A ．23B ．3C ．22D 69．若1x ，2x 是一元二次方程210x x +-=的两根，则211220202021x x x --的值为（）A ．2023B ．2022C ．2021D ．202010．如图，在矩形ABCD 中，O 为AC 中点，EF AC ⊥交AB 于E ，点G 是AE 中点且∠AOG ＝30°，下列结论：（1）DC ＝3OG ；（2）OG ＝12BC ；（3） OGE 等边三角形；（4）S △AOE ＝16S 矩形ABCD ，正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题11．在一个不透明的口袋中有若干个白球和3个黑球，小颖进行如下试验：随机摸出1个球，记录下颜色后放回，多次重复这个试验．通过大量重复试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.25，则原来口袋中有白球___个．12．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AE ∥BD ，DE ∥AC ．若5AC =，则四边形AODE 的周长为_______．13．AOB 的三个顶点坐标()5,0A ，()0,0O ，()3,6B ，以原点O 为位似中心，将AOB 缩小为'''AO B △，相似比为23，则点B 的对应点'B 的坐标是_______．14．如图，平面直角坐标系中，矩形AOCB 中，AB =A 的坐标为()1,2-，则点C 的坐标为________．15．如图，将直角三角形ABC 沿着AB 方向平移得到三角形DEF ，若6cm AB =，4cm BC =，1cm CH =，图中阴影部分的面积为221cm 4，则三角形ABC 沿着AB 方向平移的距离为__________cm ．16．如图，AD 是ABC 的中线，点E 是线段AD 上的一点，且13AE AD =，CE 交AB 于点F ．若6AF =cm ，则AB =_____cm ．17．方程26x x =的根是________．三、解答题18．解方程：()2362x x -=-．19．如图，在ABC 中，AB AC =，120BAC ∠=︒，D 为BC 边上一点，E 为AC 边上一点，且30ADE ∠=︒，求证：ABD DCE ∽△△．20．如图，某测量人员的眼睛A 与标杆顶端F 、电视塔顶端E 在同一条直线上，已知此人的眼睛到地面的距离AB=1.6m ，标杆FC=2.2m ，且BC=1m ，CD=5m ，标杆FC 、ED 垂直于地面．求电视塔的高ED ．21．有四张正面分别标有数字-1，0，1，2的不透明卡片，它们除了数字之外其余全部相同，将它们背面朝上，洗匀后从四张卡片中随机抽取一张不放回，将卡片上的数字记为m ，再随机地抽取一张，将卡片上的数字记为n ．（1）请用画树状图或列表法写出(),m n 所有的可能情况；（2）求所选的(),m n 能在一次函数y x =-的图像上的概率．22．苏州某工厂生产一批小家电，2019年的出厂价是144元，2020年、2021年连续两年改进技术降低成本，2021年出厂价调整为100元．（1）这两年出厂价下降的百分比相同，求平均下降的百分率（精确到0.01%）．（2）某商场今年销售这批小家电的售价为140元时，平均每天可销售20台，为了减少库存，商场决定降价销售，经调查发现小家电单价每降低5元，每天可多售出10台，如果每天盈利1250元，销售单价应为多少元？23．如图，矩形ABCD 中，16AB =，12BC =，P 为AD 上一点，将ABP △沿BP 翻折至EBP △，PE 与CD 相交于点O ，且OE OD =，BE 与CD 交于点G ．（1）求证：AP DG =；（2）求线段AP 的长．24．如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，BE ∥AC ，AE ∥BD ，EO 与AB 交于点F ．(1)求证：四边形AEBO 是矩形；(2)若CD ＝3，求EO 的长．25．如图，平面直角坐标系中，四边形OABC 为矩形，点A ，B 的坐标分别为()8,0，()8,6，动点M ，N 分别从O ，B 同时出发，以每秒1个单位的速度运动．其中，点M 沿OA 向终点A 运动，点N 沿BC 向终点C 运动．过点M 作MP ⊥OA ，交AC 于P ，连接NP ，设M 、N 运动的时间为t 秒()04t <<．（1）P 点的坐标为（），PC =（用含t 的代数式表示）；（2）求当t 为何值时，以C 、P 、N 为顶点的三角形与△ABC 相似；（3）在平面内是否存在一个点E ，使以C 、P 、N 、E 为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出t 的值；若不存在，说明理由．参考答案1．A 【详解】x 2﹣8x ＋5＝02816516x x -+=-+即()2411x -=故选A 2．C【分析】利用平行线分线段成比例可得答案．【详解】解：因为：123l l l ，所以：23AB DE BC EF ==，所以：25DE DF =．故选C ．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，掌握定理的实际含义是解题的关键．3．C 【解析】【分析】画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解可得．【详解】解：画树状图如下：由图知，共有12种等可能结果，其中抽取的两张卡片上数字之积为0的有6种结果，∴抽取的两张卡片上数字之积为0的概率为61122=，故选：C ．【点睛】本题考查了列表法与树状图法，解题的关键是利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率．4．C【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到0a ≠且()()24420a ∆=--⨯-≥，然后求出两不等式的公共部分即可．【详解】解：根据题意得0a ≠且()()24420a ∆=--⨯-≥，解得2a ≥-且0a ≠．故答案为：C ．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程()200++=≠ax bx c a 的根与24b ac ∆=-有如下关系：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当0∆=时，方程有两个相等的实数根；当∆<0时，方程无实数根．5．C 【解析】【分析】根据矩形的判定定理和菱形的判定定理分别对各个选项进行判断即可．【详解】解：A 、∵四边形ABCD 是平行四边形，AB=BC ，∴平行四边形ABCD 是菱形，故本选项不符合题意；B 、∵四边形ABCD 是平行四边形，AC ⊥BD ，∴平行四边形ABCD 是菱形，故本选项不符合题意；C 、∵四边形ABCD 是平行四边形，AC=BD ，∴四边形ABCD 是矩形，故本选项符合题意；D 、∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠DAC=∠ACB ，∵AC 平分∠BAD ，∴∠BAC=∠DAC ，∴∠ACB=∠BAC ，∴平行四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了矩形的判定定理、菱形的判定定理、平行四边形的性质、等腰三角形的判定等知识，掌握矩形的判定和菱形的判定是解题的关键．6．B【解析】【分析】如果设全组共有x名同学，那么每名同学要赠送（x﹣1）本，有x名学生，那么总互共送x （x﹣1）本，根据全组共互赠了132本图书即可得出方程．【详解】x-本；解：设全组共有x名同学，那么每名同学送出的图书是(1)x x-；则总共送出的图书为(1)又知实际互赠了132本图书，x-=．则x(1)132故选：B．【点睛】考查的是列一元二次方程，本题要读清题意，弄清每名同学送出的图书是（x﹣1）本是解决本题的关键．7．B【解析】【分析】根据菱形的性质得出CO、DO的长，在Rt△COD中求出CD，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于CD×AE，可得出AE的长度．【详解】解：如图，∵四边形ABCD 是菱形，114,3,,22DO BD CO AC AC BD ∴====⊥5CD ∴==116824.22ABCD S AC BD ∴=⋅=⨯⨯=ABCD S CD AE=⨯ ∴CD×AE=24，∴AE=245．故选：B ．【点睛】此题考查了菱形的性质，也涉及了勾股定理，要求我们掌握菱形的面积的两种表示方法，及菱形的对角线互相垂直且平分．8．A 【解析】【分析】结合矩形的性质，勾股定理，利用SAS 证明DAF AEB ∆≅∆，进而可求解．【详解】解： 四边形ABCD 为矩形，CD =，4=AD ，//AD BC ，90B ∴∠=︒，4BC AD ==，AB CD ==，DAF AEB ∠=∠，E 为BC 的中点，2BE ∴=，4AE ∴=，AD AE ∴=，F 点为AE 的中点，2AF ∴=，AF BE ∴=，()DAF AEB SAS ∴∆≅∆，DF AB ∴==．故选：A ．【点睛】本题主要考查勾股定理，矩形的性质，全等三角形的性质与判定，证明DAF AEB ∆≅∆是解题的关键．9．B【解析】【分析】利用一元二次方程根的定义以及根与系数的关系计算即可求出值．【详解】解：∵x 1，x 2是一元二次方程x 2+x-1=0的两根，∴x 1+x 2=-1，且x 12+x 1-1=0，即x 12+x 1=1，则原式=x 12+x 1-2021（x 1+x 2）=1+2021=2022．故选：B ．【点睛】本题考查了根与系数的关系，以及方程的根，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．10．C【解析】【分析】根据矩形的性质、等边三角形的判定、勾股定理逐一判断即可；【详解】∵点G 是AE 中点，EF AC ⊥，∴12OG AG GE AE ===，∵∠AOG ＝30°，∴30OAG AOG ∠=∠=︒，90903060GOE AOG ∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴ OGE 等边三角形，故（3）正确；设2AE a =，则OE OG a ==，由勾股定理得，AO ===，∵O 为AC 中点，∴2AC AO ==，在Rt ABC 中，30CAB ∠=︒，∴12BC AC ==，由勾股定理得，3AB a =，∵四边形ABCD 是矩形，∴3CD AB a ==，∴DC ＝3OG ，故（1）正确；∵OG a =，12BC =，∴12OG BC ≠，故（2）错误；∵2122AOE S a a ==△，2=3ABCD S a =矩形，∴16AOE ABCD S S = 矩形，故（4）正确；综上所述，正确的结论有（1）（3）（4）；故答案选C ．【点睛】本题主要考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，准确计算是解题的关键．11．9．【解析】【分析】设口袋中白球的个数为x ，根据摸到黑球的频率稳定在0.25及摸到黑球的概率为0.25，据此列出关于x 的方程，解之可得答案．【详解】解：设口袋中白球的个数为x ，根据题意，得：33x+＝0.25，解得x＝9，检验：当x＝9时，3+x＝12≠0，∴x＝9是分式方程的解，且符合题意，∴原来口袋中有白球9个，故答案为：9．12．10【分析】根据AE∥BD，DE∥AC，可得到四边形AODE是平行四边形，再由四边形ABCD是矩形，可证得四边形AODE是菱形，即可求解．【详解】解：∵AE∥BD，DE∥AC，∴四边形AODE是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，AO=CO，BO=DO，∴AO=DO，∴四边形AODE是菱形，∴AO=DO=DE=AE，∵5AC=，∴52 AO=，∴四边形AODE的周长为54102⨯=．故答案为：1013．（2，4）或（-2，-4）【解析】【分析】根据位似变换的性质解答即可．【详解】解：∵△AOB顶点B的坐标为（3，6），以原点O为位似中心，相似比为23，将△AOB缩小，∴点B 的对应点B′的坐标为22(3,6)33⨯⨯或22(3(),6())33⨯-⨯-，即（2，4）或（-2，-4），故答案为：（2，4）或（-2，-4）．14．(4,2)【分析】过点A 作AD x ⊥轴于D ，过点C 作CE x ⊥轴于E ，这样易得AOD OCE ∽△△，再根据已知条件求得线段OE ，CE 的长，即可求得点C 坐标．【详解】解：过点A 作AD x ⊥轴于D ，过点C 作CE x ⊥轴于E ，在矩形AOCB 中，OC AB ==90AOC ∠=︒，∵点A 的坐标为()1,2-，∴1OD =，2AD =，∴在Rt AOD 中，AO ===易知DAO AOD AOD COE ∠+∠=∠+∠,∴DAO COE ∠=∠，又∵90ADO OEC ∠=∠=︒，∴AOD OCE ∽△△，∴AD OD AO OE CE OC ==，∵12AO OC =，∴12AD OD OE CE ==，∴24OE AD ==，22CE OD ==，∴点C 的坐标为(4,2)，故答案为：(4,2)．15．32【分析】根据题意，计算得HB ；再根据阴影部分的面积ABC DBH S S =-△△，通过求解一元一次方程得DB ，从而得AD ，即可得到答案．【详解】解：根据题意，得413HB BC CH cm =-=-=，∵90ABC ∠=︒，∴三角形DBH 为直角三角形，∴21122ABC S AB BC cm =⨯= ，1322DBH S DB HB DB =⨯=△，根据题意得：阴影部分的面积ABC DBH S S =-△△，且阴影部分的面积为221cm 4，∴3211224DB -=，∴92DB cm =，∴93622AD AB DB cm =-=-=，即三角形ABC 沿着AB 方向平移的距离为32cm ，故答案为：32．16．30【解析】过A 作AG ∥BC ，交CF 的延长线于G ，依据相似三角形的对应边成比例，即可得到12AG AE DC DE ==，进而得出BF=4AF=24cm ，可得AB 的长度．【详解】解：如图所示，过A 作AG ∥BC ，交CF 的延长线于G ，∵AE=13AD ，AG ∥BC ，∴△AEG ∽△DEC ，∴12AG AE DC DE ==，又∵AD 是△ABC 的中线，∴BC=2CD ，∴14AGBC =，∵AG ∥BC ，∴△AFG ∽△BFC ，∴14AFAGBF BC ==，∴BF=4AF=24(cm)，∴AB=AF+BF=30(cm)，故答案为：30．17．0x =或6x =【解析】用因式分解法解方程即可.【详解】移项，得260,x x -=提公因式，得x(x−6)=0，∴x=0或x−6=0，解得x=0或x=6.故答案为0x =或6x =.18．x1=3，x2=1．【解析】先移项整理，再根据因式分解法即可求解．【详解】解：移项，得(x−3)2+2(x−3)=0，因式分解得(x−3)(x−3+2)=0，∴x-3=0或x-1=0，∴x1=3，x2=1．19．见解析【分析】利用三角形的外角性质证明∠EDC=∠DAB，即可证明△ABD∽△DCE．【详解】证明：∵AB=AC，且∠BAC=120°，∴∠ABD=∠ACB=30°，∵∠ADE=30°，∴∠ABD=∠ADE=30°，∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠ABD+∠DAB，∴∠EDC=∠DAB，∴△ABD∽△DCE．20．5.2米【详解】试题分析：作AH⊥ED交FC于点G，根据题意得出AH=BD，AG=BC，然后根据平行线截线段成比例得出答案.试题解析：作AH⊥ED交FC于点G；如图所示：∵FC⊥BD，ED⊥BD，AH⊥ED交FC于点G，∴FG∥EH，∵AH⊥ED，BD⊥ED，AB⊥BC，ED⊥BC，∴AH=BD，AG=BC，∵AB=1.6，FC=2.2，BC=1，CD=5，∴FG=2.2﹣1.6=0.6，BD=6，∵FG∥EH，∴，解得：EH=3.6，∴ED=3.6+1.6=5.2（m）答：电视塔的高ED 是5.2米．考点：平行线截线段成比例21．（1）（-1，0），（-1，1），（-1，2），（0，-1），（0，1）（0，2），（1，-1），（1，0），（1，2），（2，-1），（2，0），（2，1）；（2）16【解析】（1）根据题意画出树状图，即可求出（m ，n ）所有的可能情况；（2）求出所选的m ，n 能在一次函数y x =-的图像上的情况数，再根据概率公式列式计算即可．【详解】解：（1）画树状图如下：则（m ，n ）所有的可能情况是（-1，0），（-1，1），（-1，2），（0，-1），（0，1）（0，2），（1，-1），（1，0），（1，2），（2，-1），（2，0），（2，1）．（2）所选的（m ，n ）能在一次函数y x =-的图像上的情况有：（-1，1），（1，-1）共2种所以，所选的(),m n 能在一次函数y x =-的图像上的概率：21126=22．（1）16.67%；（2）125元【分析】（1）设平均下降的百分率为x ，根据2021年的出厂价=2019年的出厂价×（1-下降率）2，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其合适的值即可得出结论；（2）设销售单价应为y 元，则每台的销售利润为（y-100）元，每天的销售量为（300-2y ）台，根据每天盈利=每台的利润×每天的销售量，即可得出关于y 的一元二次方程，解之即可得出结论．【详解】解：（1）设平均下降的百分率为x ，依题意得：144（1-x ）2=100，解得：x 1=16≈16.67%，x 2=116（不合题意，舍去）．答：平均下降的百分率约为16.67%．（2）设销售单价应为y 元，则每台的销售利润为（y-100）元，每天的销售量为20+()101405y -=（300-2y ）台，依题意得：（y-100）（300-2y ）=1250，整理得：y 2-250y+15625=0，解得：y 1=y 2=125．答：销售单价应为125元．23．（1）见解析；（2）9.6【分析】（1）由折叠的性质得出EP AP =，90E A ∠=∠=︒，16BE AB ==，由ASA 证明ODP OEG ∆≅∆，得出OP OG =，PD GE =，即可得出结论；（2）由折叠的性质得出EP AP =，90E A ∠=∠=︒，16BE AB ==，由（1）得出AP EP DG ==，设AP EP x ==，则12PD GE x ==-，DG x =，求出CG 、BG ，根据勾股定理得出方程，解方程即可．【详解】证明：（1） 四边形ABCD 是矩形，90D A C ∴∠=∠=∠=︒，12AD BC ==，16CD AB ==，根据题意得：ABP EBP ∆≅∆，EP AP ∴=，90E A ∠=∠=︒，16BE AB ==，在ODP ∆和OEG ∆中，D E OD OE DOP EOG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ODP OEG ASA ∴∆≅∆，OP OG ∴=，PD GE =，DG EP ∴=，AP DG ∴=；（2）如图所示， 四边形ABCD 是矩形，90D A C ∴∠=∠=∠=︒，12AD BC ==，16CD AB ==，根据题意得：ABP EBP ∆≅∆，EP AP ∴=，90E A ∠=∠=︒，16BE AB ==，由（1）知AP DG =，又AP EP = ，AP EP DG ∴==，设AP EP x ==，则12PD GE x ==-，DG x =，16CG x ∴=-，16(12)4BG x x =--=+，根据勾股定理得：222BC CG BG +=，即222(16)(412)x x +-=+，解得：9.6x =，9.6AP ∴=．24．(1)见解析；(2)3【分析】（1）先根据平行四边形的判定证明四边形AEBO 是平行四边形，再利用菱形的对角线互相垂直和矩形的判定证明即可；（2）利用矩形的性质求解即可．(1)证明：∵BE ∥AC ，AE ∥BD ，∴四边形AEBO 是平行四边形．∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，即∠AOB ＝90°．∴四边形AEBO 是矩形．(2)解：∵四边形AEBO 是矩形，∴EO ＝AB ，在菱形ABCD 中，AB ＝CD ，∴EO ＝CD ＝3．25．（1）3,64t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭；54t ；（2）t=12841；（3）329t =或83．【解析】（1）根据题意表示出OM 的长度，即求出P 点的横坐标，然后根据△APM ∽△ACO 即可表示出PM 和AP 的长度，即求出点P 的纵坐标和PC 的长度；（2）当CNP CBA △∽△时，PN BA ∥，可得点P 和点N 的横坐标相等，然后列方程求解即可，当CPN CBA △∽△时，分别表示出CN ，CP 的长度，根据相似三角形对应边成比例列方程求解即可；（3）当四边形CPEN 是菱形时，可得CP=CN ，分别表示出CP 和CN 的长度列方程求解即可；当四边形CPNE 是菱形时，根据菱形的性质可得N 点的横坐标是P 点横坐标的两倍，列方程求解即可；当四边形CEPN 是菱形时，根据菱形的性质得到CN=PN ，列方程求解即可．【详解】解：（1）∵点A ，B 的坐标分别为()8,0，()8,6，∴CO=6，AO=8，∴10AC ===，∵点M 以每秒1个单位的速度运动，运动的时间为t 秒，∴OM=t ，AM=AO-OM=8-t ，∴P 点的横坐标为t ，∵MP ⊥OA ，∴CO PM ∥，∴COA PMA ∠=∠，又∵CAO PAM ∠=∠，∴APM ACO △∽△，∴=PM AM AP CO AO AC =，即86810PM t AP -==，解得：364tPM =-，5104tAP =-，∴点P 的坐标为364t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，∴55101044t tPC AC AP ⎛⎫=-=--= ⎪⎝⎭；（2）由（1）可知点P 的坐标为364t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，由题意可知，BN=t ，∴CN=8-t ，∴点N 的坐标为()86t -，，当CNP CBA △∽△时，由题意可得PN BA ∥，∴点P 和点N 的横坐标相等，∴8t t -=，解得：t=4，∵04t <<，∴应舍去．当CPN CBA △∽△时，∴CP CNBC AC =，即584810tt-=，解得：12841t =．（3）如图所示，当四边形CPEN是菱形时，∴CP=CN ，∵CP=54t，CN=8-t ，∴584t t =-，解得：329t =；如图所示，当四边形CPNE 是菱形时，根据菱形的性质可得，PE 垂直平分CN ，∴N 点的横坐标是P 点横坐标的两倍，∴8-t=2t ，解得：83t =；如图所示，当四边形CEPN 是菱形时，根据菱形的性质可得CN=PN ，∴8t -=，整理得：2572560t t -=，解得：10t =(舍去)，2256457t =>，应舍去；综上所述，329t =或83．【点睛】此题考查了矩形的性质和动点问题，相似三角形的判定和性质，解题的关键是根据题意表示出点P和点N的坐标．。
北师大版九年级上册数学期中考试试卷及答案
北师大版九年级上册数学期中考试试题一、单选题1．方程x（x+2）＝0的根是（）A．x＝2B．x＝0C．x1＝0，x2＝﹣2D．x1＝0，x2＝2 2．随机掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则这个骰子向上的一面点数是奇数的概率为（）A．12B．13C．14D．153．如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠ABD=30°，则菱形ABCD的面积是（）A．18B．C．36D．4．如图，DE∥FG∥BC，若DB=4FB，则EG与GC的关系是（）A．EG=4GC B．EG=3GC C．EG=52GC D．EG=2GC5．一元二次方程x（x﹣3）=0的根是（）A．0B．3C．0和3D．1和36．如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（）A．1B C．2D17．如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．给出以下结论：①DG＝DF；②四边形EFDG是菱形；③EG2＝12GF×AF；④当AG＝6，EG＝BE）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④8．某校文学小组在举行的图书共享仪式上互赠图书，每位同学都把自己的图书向本组其他成员增送一本，全组共互赠了1260本书，设全组共有x名同学，依题意，可列出方程为A．x(x﹣1)＝1260B．x(x+1)＝1260C．2x(x﹣1)＝1260D．12x(x﹣1)＝12609．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，若∠DHO＝20°，则∠ADC的度数是（）A．120°B．130°C．140°D．150°10．下列四个选项中的三角形，与图中的三角形相似的是（）A．B．C．D．二、填空题11．方程23530x x-=-的一次项系数是__________.12．已知23a cb d==，若b+d≠0，则a cb d++＝_____．13．同时抛掷两枚质地均匀的骰子，则事件“两枚骰子的点数和小于7”的概率是_____. 14．已知长方形ABCD，AB=3cm，AD=4cm，过对角线BD的中点O做BD垂直平分线EF，分别交AD 、BC 于点E 、F ，则AE 的长为__________cm ．15．如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边DCE ，则AEC 的度数是__________．16．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，以斜边AB 为边向外作正方形ABDE ，且正方形对角线交于点O ，连接OC ，已知AC ＝3，OC ＝，则另一直角边BC 的长为_____．三、解答题17．解下列方程（1）2x 2﹣4x ﹣3＝0（2）（x ﹣1）2＝（1﹣x ）18．已知关于x 的一元二次方程(a ＋c)x 2＋2bx ＋(a －c)＝0，其中a ，b ，c 分别为△ABC 三边的长．(1)如果x ＝－1是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由．19．袋中装有除数字不同其它都相同的六个小球，球上分别标有数字1，2，3，4，5，6．（1）从袋中摸出一个小球，求小球上数字小于3的概率；（2）将标有1，2，3数字的小球取出放入另外一个袋中，分别从两袋中各摸出一个小球，求数字之和为偶数的概率．（要求用列表法或画树状图求解）20．在矩形ABCD 中,点E 在BC 上,AE AD =,DF ⊥AE ，垂足为F .（1）求证.DF AB=（2）若30FDC ∠=︒,且4AB =,求AD .21．某商店从厂家以每件18元购进一批商品出售，若每件售价为a 元，则可售出（320﹣10a ）件，但物价部门限定每件商品加价不能超过进价的25%，若商店要想获得400元利润，则售价应定为每件多少元？需售出这种商品多少件？22．在 ABCD ，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，点F 在边CD 上，DF ＝BE ，连接AF ，BF.（1）求证：四边形BFDE 是矩形；（2）若CF ＝3，BF ＝4，DF ＝5，求证：AF 平分∠DAB.23．如图，在△ABC 中，AB=AC ，点P 、D 分别是BC 、AC 边上的点，且∠APD=∠B ．（1）求证：AC•CD=CP•BP ；（2）若AB=10，BC=12，当PD ∥AB 时，求BP 的长．24．如图，△ABC 在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为A （0，3）、B （3、4）、C （2，2）（网格中每个正方形的边长是1个单位长度）．（1）以点B为位似中心，在网格内画出△A′BC′，使△A′BC′与△ABC位似，且位似比为2：1，则点C′的坐标是______；（2）△A′BC′的面积是_______平方单位；（3）在x轴上找出点P，使得点P到B与点A距离之和最小，请直接写出P点的坐标．25．如图，AC是矩形ABCD的对角线，过AC的中点O作EF⊥AC，交BC于点E，交AD 于点F，连接AE，CF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若3DCF=30°，求四边形AECF的面积．（结果保留根号）参考答案1．C【解析】【分析】本题可根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题．【详解】解：x（x+2）＝0，∴x＝0或x+2＝0，解得x1＝0，x2＝﹣2．故选：C．【点睛】此题考查解一元二次方程，正确掌握解方程的方法及能依据每个方程的特点选择恰当的解法是解题的关键．2．A【解析】【详解】试题解析：∵骰子六个面中奇数为1，3，5，∴P(向上一面为奇数)31. 62 ==故选A.3．B【解析】【详解】过点A作AE⊥BC于E，如图，∵在菱形ABCD中，AB=6，∠ABD=30°，∴∠BAE=30°，∵AE⊥BC，∴AE=∴菱形ABCD的面积是6⨯=，故选B．4．B【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得到答案．【详解】∵DE∥FG∥BC，DB=4FB，∴31EG DFGC FB＝＝=3．故选B．【点睛】此题主要考查平行线分线段成比例定理的理解及运用．根据平行线分线段成比例定理解答是解题的关键．5．C【解析】【详解】试题分析：x=0或x﹣3=0，所以x1=0，x2=3．故选C．考点：因式分解法解一元二次方程6．B【解析】【分析】先根据四边形ABCD是菱形可知，AD∥BC，由∠A=120°可知∠B=60°，作点P关于直线BD的对称点P′，连接P′Q，PC，则P′Q的长即为PK+QK的最小值，由图可知，当点Q与点C重合，CP′⊥AB时PK+QK的值最小，再在Rt△BCP′中利用锐角三角函数的定义求出P′C的长即可．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∵∠A=120°，∴∠B=180°-∠A=180°-120°=60°，作点P 关于直线BD 的对称点P′，连接P′Q ，P′C ，则P′Q 的长即为PK+QK 的最小值，由图可知，当点Q 与点C 重合，CP′⊥AB 时PK+QK 的值最小，在Rt △BCP′中，∵BC=AB=2，∠B=60°，∴sin 2P Q CP BC B ''==⋅=⨯故选B ．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题及菱形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．7．D【解析】【分析】先依据翻折的性质和平行线的性质证明∠DGF=∠DFG ，从而得到GD=DF ，接下来依据翻折的性质可证明DG=GE=DF=EF ，连接DE ，交AF 于点O ．由菱形的性质可知GF ⊥DE ，OG=OF=12GF ，接下来，证明△DOF ∽△ADF ，由相似三角形的性质可证明DF 2=FO•AF ，于是可得到GE 、AF 、FG 的数量关系，过点G 作GH ⊥DC ，垂足为H ．利用（2）的结论可求得FG=4，然后再△ADF 中依据勾股定理可求得AD 的长，然后再证明△FGH ∽△FAD ，利用相似三角形的性质可求得GH 的长，最后依据BE=AD-GH 求解即可．【详解】解：∵GE ∥DF ，∴∠EGF ＝∠DFG ．∵由翻折的性质可知：GD ＝GE ，DF ＝EF ，∠DGF ＝∠EGF ，∴∠DGF ＝∠DFG ．∴GD ＝DF ．故①正确；∴DG ＝GE ＝DF ＝EF ．∴四边形EFDG 为菱形，故②正确；如图1所示：连接DE ，交AF 于点O ．∵四边形EFDG 为菱形，∴GF ⊥DE ，OG ＝OF ＝12GF ．∵∠DOF ＝∠ADF ＝90°，∠OFD ＝∠DFA ，∴△DOF ∽△ADF ．∴DFAF ＝OFDF ，即DF 2＝FO•AF ．∵FO ＝12GF ，DF ＝EG ，∴EG 2＝12GF•AF ．故③正确；如图2所示：过点G 作GH ⊥DC ，垂足为H ．∵EG 2＝12GF•AF ，AG ＝6，EG ＝∴20＝12FG （FG+6），整理得：FG 2+6FG ﹣40＝0．解得：FG ＝4，FG ＝﹣10（舍去）．∵DF ＝GE ＝AF ＝10，∴AD ＝∵GH ⊥DC ，AD ⊥DC ，∴GH ∥AD ．∴△FGH ∽△FAD ．∴GHAD＝FGAF410，∴GH，∴BE＝AD﹣GH＝故选：D．【点睛】本题考查了四边形与三角形的综合应用，掌握矩形的性质、菱形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用，利用相似三角形的性质得到DF2=FO•AF是解题答问题②的关键，依据相似三角形的性质求得GH的长是解答问题④的关键．8．A【解析】【分析】设全组共有x名同学，那么每名同学要赠送(x﹣1)本，那么总共送x(x﹣1)本，据此可得出方程.【详解】设全组共有x名同学，那么每名同学送出的图书是（x﹣1）本；则总共送出的图书为x(x﹣1)；又知实际互赠了1260本图书，∴x(x﹣1)＝1260；故选：A.【点睛】此题考查列一元二次方程，本题弄清每名同学送出的图书是（x-1）本是解题的关键．9．C【解析】【分析】由四边形ABCD是菱形，可得OB＝OD，AC⊥BD，又由DH⊥AB，∠DHO＝20°，可求得∠OHB的度数，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，证得△OBH是等腰三角形，继而求得∠ABD的度数，然后求得∠ADC的度数．【详解】∵四边形ABCD是菱形，∴OB＝OD，AC⊥BD，∠ADC＝∠ABC，∵DH⊥AB，∴OH＝OB＝12 BD，∵∠DHO＝20°，∴∠OHB＝90°﹣∠DHO＝70°，∴∠ABD＝∠OHB＝70°，∴∠ADC＝∠ABC＝2∠ABD＝140°，故选C．【点睛】本题考查了菱形的性质、直角三角形的性质以及等腰三角形的判定与性质，证得△OBH是等腰三角形是关键．10．B【解析】【分析】由于已知三角形和选择项的三角形都放在小正方形的网格中，设正方形的边长为1，所以每一个三角形的边长都是可以表示出，然后根据三角形的对应边成比例即可判定选择项．【详解】解：设小正方形的边长为1，那么已知三角形的三边长分别为，所以三边之比为1：2A、三角形的三边分别为2，，三边之比为3，故本选项错误；B、三角形的三边分别为2，4，1：2C、三角形的三边分别为2，32：3D44，故本选项错误．故选：B．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，属于基础题，掌握三边对应成比例的两个三角形相似是解答本题的关键，难度一般．11．-5【解析】【分析】根据任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a≠0)．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；b叫做一次项系数，c叫做常数项可得答案．【详解】方程3x2﹣5x﹣3=0的一次项系数是﹣5．故答案为：﹣5．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．12．23【解析】【分析】分别设a=2m，c=2n，根据23a cb d==可用m、n表示出b、d，代入所给代数式即可得答案.【详解】设a=2m，c=2n，∵23a cb d==，∴b=3m，d=3n，∴a cb d++=2m2n3m3n++=23，故答案为：2 3【点睛】本题考查等比性质的应用，若a c kb d==，则a cb d++=k，熟练掌握等比性质是解题关键.13．15 36【解析】【分析】画树状图展示所有36种等可能的结果数，再找出“两枚骰子的点数和小于7”的结果数，然后根据概率公式求解.【详解】画树状图为：共有36种等可能的结果数，其中“两枚骰子的点数和小于7”的结果数为15，所以“两枚骰子的点数和小于7”的概率15 36；故答案为：15 36 .【点睛】此题考查列表法与画树状图法，解题关键在于根据题意画出树状图.14．7 8【解析】【详解】连接EB，∵BD垂直平分EF，∴ED=EB，设AE=xcm，则DE=EB=（4﹣x）cm，在Rt△AEB中，AE2+AB2=BE2，即：x2+32=（4﹣x）2，解得：x=78故答案为78cm ．15．45︒【解析】【分析】先求出AED ∠的度数，即可求出AEC ∠.【详解】解：由题意可得，,90,60AD DC DE ADC EDC DEC ︒︒==∠=∠=∠=，,150AD DE ADE ADC EDC ︒=∠=∠+∠= 180150152AED DAE ︒︒︒-∴∠=∠==45AEC CED AED ︒∴∠=∠-∠=故答案为45︒【点睛】本题考查了等腰与等边三角形的性质，等腰三角形的两底角相等，等边三角行的三条边都相等，三个角都相等，灵活应用等腰及等边三角形的性质是解题的关键.16．9【解析】【分析】过O 作OF ⊥BC ，过A 作AM ⊥OF ，根据正方形的性质得出∠AOB=90°，OA=OB ，求出∠BOF=∠OAM ，根据AAS 证△AOM ≌△BOF ，推出AM=OF ，OM=FB ，求出四边形ACFM 为矩形，推出AM=CF ，AC=MF=3，得出等腰三角形三角形OCF ，根据勾股定理求出CF=OF=6，求出BF ，即可求出答案．【详解】解：过O 作OF ⊥BC 于F ，过A 作AM ⊥OF 于M ，∵∠ACB ＝90°，∴∠AMO ＝∠OFB ＝90°，∠ACB ＝∠CFM ＝∠AMF ＝90°，∴四边形ACFM 是矩形，∴AM ＝CF ，AC ＝MF ＝3，∵四边形ABDE为正方形，∴∠AOB＝90°，OA＝OB，∴∠AOM+∠BOF＝90°，又∵∠AMO＝90°，∴∠AOM+∠OAM＝90°，∴∠BOF＝∠OAM，在△AOM和△OBF中0AM BOF AMO OFB OA0B∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOM≌△OBF（AAS），∴AM＝OF，OM＝FB，∴OF＝CF，∵∠CFO＝90°，∴△CFO是等腰直角三角形，∵OC＝，由勾股定理得：CF＝OF＝6，∴BF＝OM＝OF﹣FM＝6﹣3＝3，∴BC＝6+3＝9．故答案为：9．【点睛】本题考查了等腰直角三角形，勾股定理，正方形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力.17．（1）x1x2（2）x1＝1，x2＝0．【解析】【分析】（1）利用公式法解方程即可；（2）先移项，利用因式分解法解方程即可.【详解】（1）∵a ＝2，b ＝﹣4，c ＝﹣3，∴△＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣3）＝40＞0，则x 22，即x 1＝22+，x 2＝22；（2）（x ﹣1）2＝（1-x ），（x ﹣1）2+（x ﹣1）＝0，（x ﹣1）•x ＝0，解得：x 1＝1，x 2＝0．【点睛】本题考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法、公式法、因式分解法、配方法等，熟练掌握并灵活运用适当的方法是解题关键.18．（1）△ABC 是等腰三角形，理由见解析；（2）△ABC 是直角三角形.理由见解析.【解析】【详解】试题分析：（1）由方程解的定义把x=﹣1代入方程得到a ﹣b=0，即a=b ，于是由等腰三角形的判定即可得到△ABC 是等腰三角形；（2）由判别式的意义得到△=0，整理得222a b c =+，然后由勾股定理的逆定理得到△ABC 是直角三角形．试题解析：解：（1）△ABC 是等腰三角形．理由如下：∵x=﹣1是方程的根，∴（a+c ）×1﹣2b+（a ﹣c ）=0，∴a+c ﹣2b+a ﹣c=0，∴a ﹣b=0，∴a=b ，∴△ABC 是等腰三角形；（2）△ABC 是直角三角形．理由如下：∵方程有两个相等的实数根，∴△=2(2)4()()0b a c a c -+-=，∴2224440b a c -+=，∴222a b c =+，∴△ABC 是直角三角形．考点：1．根的判别式；2．等腰三角形的判定；3．勾股定理的逆定理．19．（1）13；（2）49．【解析】【分析】（1）先列出摸出一个小球的所有可能的结果，再找出小球上数字小于3的结果，然后利用概率公式求解即可；（2）先用表格列出从两袋中摸出小球的所有可能的结果，再计算两个小球数字之和，从而得出数字之和为偶数的结果，然后利用概率公式计算即可．【详解】（1）依题意，从袋中摸出一个小球的结果有6种，即1,2,3,4,5,6，它们每一种出现的可能性相等其中，小球上数字小于3的结果有2种，即1,2故小球上数字小于3的概率为2163 P==；（2）依题意，用列表法列出从两袋中摸出小球的所有可能的结果如下：4561（1,4）（1,5）（1,6）2（2,4）（2,5）（2,6）3（3,4）（3,5）（3,6）其中，数字之和为偶数的结果有4种，即(1,5),(2,4),(2,6),(3,5)故两个小球上数字之和为偶数的概率为49 P=．【点睛】本题考查了简单事件的概率计算、利用列举法求概率，依据题意，正确列出事件的所有可能的结果是解题关键．20．（1）证明见解析；（2）8【解析】【分析】（1）利用“AAS”证△ADF≌△EAB即可得；（2）由∠ADF+∠FDC=90°、∠DAF+∠ADF=90°得∠FDC=∠DAF=30°，据此知AD=2DF，根据DF=AB可得答案．【详解】（1）证明：在矩形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠DAF，又∵DF⊥AE，∴∠DFA=90°，∴∠DFA=∠B，又∵AD=EA，∴△ADF≌△EAB，∴DF=AB．（2）∵∠ADF+∠FDC=90°，∠DAF+∠ADF=90°，∴∠FDC=∠DAF=30°，∴AD=2DF，∵DF=AB，∴AD=2AB=8．【点睛】本题主要考查矩形的性质，解题的关键是掌握矩形的性质和全等三角形的判定与性质及直角三角形的性质．21．每件商品的售价应定为22元，需要卖出这种商品100件．【解析】【分析】可根据关键语“若每件售价x元，则每件盈利（x-18）元，则可卖出（320-10x）件”，根据每件的盈利×销售的件数=获利，即可列出方程求解．【详解】解：设每件商品的售价定为x元，则（x﹣18）（320﹣10x）＝400，整理得x2﹣50x+616＝0，∴x1＝22，x2＝28∵18（1+25%）＝22.5，而28＞22.5∴x＝22．卖出商品的件数为320﹣10×22＝100．答：每件商品的售价应定为22元，需要卖出这种商品100件．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题时可根据题意列出方程，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．22．（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得AB与CD的关系，根据平行四边形的判定，可得BFDE 是平行四边形，再根据矩形的判定，即可证明；（2）根据平行线的性质，可得∠DFA=∠FAB，根据等腰三角形的判定与性质，可得∠DAF=∠DFA，根据角平分线的判定，即可证明．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．∵BE∥DF，BE=DF，∴四边形BFDE是平行四边形．∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴四边形BFDE是矩形；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠DFA=∠FAB．在Rt△BCF中，由勾股定理，得，∴AD=BC=DF=5，∴∠DAF=∠DFA，∴∠DAF=∠FAB，即AF平分∠DAB．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质得出∠DAF=∠DFA是解题关键．23．（1）证明见解析；（2）253.【解析】【分析】（1）易证∠APD=∠B=∠C，从而可证到△ABP∽△PCD，即可得到BP ABCD CP=，即AB•CD=CP•BP，由AB=AC即可得到AC•CD=CP•BP；（2）由PD∥AB可得∠APD=∠BAP，即可得到∠BAP=∠C，从而可证到△BAP∽△BCA，然后运用相似三角形的性质即可求出BP的长．【详解】解：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵∠APD=∠B，∴∠APD=∠B=∠C．∵∠APC=∠BAP+∠B，∠APC=∠APD+∠DPC，∴∠BAP=∠DPC，∴△ABP∽△PCD，∴BP AB CD CP=，∴AB•CD=CP•BP．∵AB=AC，∴AC•CD=CP•BP；（2）∵PD∥AB，∴∠APD=∠BAP．∵∠APD=∠C，∴∠BAP=∠C．∵∠B=∠B，∴△BAP∽△BCA，∴BA BP BC BA=．∵AB=10，BC=12，∴101210BP =，∴BP=253．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形外角的性质等知识，把证明AC•CD=CP•BP 转化为证明AB•CD=CP•BP 是解决第（1）小题的关键，证到∠BAP=∠C 进而得到△BAP ∽△BCA 是解决第（2）小题的关键．24．（1）（1，0）；（2）10；（3）（97，0）．【解析】【分析】（1）利用位似图形的性质得出对应点位置，即可得出答案；（2）利用勾股定理逆定理可得△A′BC′是直角三角形，利用三角形面积公式求出△A′BC′面积即可；（3）作A 关于y 轴的对称点A″，连接A″B ，交x 轴于点P ，根据对称性质可得A″B 即为PA+PB 的最小值，根据A″和B 点坐标可得直线A″B 的解析式，令y=0即可得P 点坐标.【详解】（1）如图所示：C′（1，0）；故答案为：（1，0）；（2）∵A′B 2=62+22=40，A′C′2=42+22=20，C′B 2=42+22=20，∴A′B 2=A′C′2+C′B 2，∴△A′BC′是直角三角形，∴△A′BC′的面积是：1210平方单位；故答案为：10（3）作A 关于y 轴的对称点A″，连接A″B ，交x 轴于点P ，∴PA=PA″，∴PA″+PB=PA+PB=BA″，即为PA+PB 的最小值，设A″B 直线解析式为：y ＝kx+b ，把（3，4），（0，﹣3），代入得：343k bb+=⎧⎨=-⎩，解得：733 kb⎧=⎪⎨⎪=-⎩，故A″B直线解析式为：y＝73x﹣3，当y＝0时，x＝9 7，故P（97，0）．【点睛】本题考查位似变换以及坐标与图形的性质、待定系数法求一次函数解析式及轴对称的性质，正确得出对应点的坐标是解题关键.25．（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由过AC的中点O作EF⊥AC，根据线段垂直平分线的性质，可得AF=CF，AE=CE，OA=OC，然后由四边形ABCD是矩形，易证得△AOF≌△COE，则可得AF=CE，继而证得结论；（2）由四边形ABCD是矩形，易求得CD的长，然后利用三角函数求得CF的长，继而求得答案．【详解】（1）∵O是AC的中点，且EF⊥AC，∴AF=CF ，AE=CE ，OA=OC ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠AFO=∠CEO ，在△AOF 和△COE 中，{AFO CEOAOF COEOA OC∠=∠∠=∠=∴△AOF ≌△COE （AAS ），∴AF=CE ，∴AF=CF=CE=AE ，∴四边形AECF 是菱形；（2）∵四边形ABCD 是矩形，∴在Rt △CDF 中，cos ∠DCF=CDCF ，∠DCF=30°，∴CF=cos 30CD︒=2，∵四边形AECF 是菱形，∴CE=CF=2，∴四边形AECF 是的面积为：。
北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形单元综合测试题及答案
第一章：特殊的平行四边形单元测试卷（典型题汇总）一、选择题(本大题共6小题，共24分)1．下列关于▱ABCD的叙述中，正确的是( )A．若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形B．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形C．若AC＝BD，则▱ABCD是矩形D．若AB＝AD，则▱ABCD是正方形2．如图1，在△ABC中，D是边BC上的点(与B，C两点不重合)，过点D作DE∥AC，DF ∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是( )A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形C．若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形123．如图2，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，作OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC ＝130°，则∠AOE的度数为( )A．75° B．65° C．55° D．50°4．如图3，P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，矩形的两条边AB，BC的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是( )A.125B.65C.245 D．不确定345．如图4，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是( )A．2.5 B.5 C.322 D．26．如图5，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A的坐标是(4，0)，P为边AB上一点，∠CPB＝60°，沿CP折叠正方形OABC，折叠后，点B落在平面内的点B′处，则点B′的坐标为( )图5A．(2，2 3) B．(32，2－3)C．(2，4－2 3) D．(32，4－2 3)二、填空题(本大题共6小题，共30分)7．已知菱形的边长为6，一个内角为60°，则菱形的较短对角线的长是________．8．如图6所示，在矩形纸片ABCD中，AB＝2 cm，点E在BC上，且AE＝EC.若将纸片沿AE折叠，点B恰好与AC上的点B′重合，则AC＝________ cm.679．如图7所示，若菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝45°，则点D的坐标为________．10．如图8，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，则∠BED的度数是________．8911．如图9所示，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，E，F，G，H分别为AD，AB，BC，CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为________．图1012．如图10，在矩形ABCD中，已知AB＝6，BC＝8，BD的垂直平分线交AD于点E，交BC于点F，则△BOF的面积为________．三、解答题(共46分)13．(10分)如图11，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，且AE＝CF.(1)求证：四边形BEDF是菱形；(2)若正方形ABCD的边长为4，AE＝2，求菱形BEDF的面积．图1114．(10分)如图12，已知平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝20 cm，BD＝12 cm，两动点E，F同时以2 cm/s的速度分别从点A，C出发在线段AC上相对运动，点E到点C，点F到点A时停止运动．(1)求证：当点E，F在运动过程中不与点O重合时，以点B，E，D，F为顶点的四边形为平行四边形；(2)当点E，F的运动时间t为何值时，四边形BEDF为矩形？图1215．(12分)如图13，△ABC是以BC为底的等腰三角形，AD是边BC上的高，E，F分别是AB，AC的中点．(1)求证：四边形AEDF是菱形；(2)如果四边形AEDF的周长为12，两条对角线的和等于7，求四边形AEDF的面积S.图1316．(14分)如图14，四边形ABCD是正方形，E是直线CD上的点，将△ADE沿AE对折得到△AFE，直线EF交边BC于点G，连接AG.(1)求证：△ABG≌△AFG；(2)当DE是线段CD的一半时，请你在备用图中利用尺规作图画出符合题意的图形(保留作图痕迹，不写作法)；(3)在(2)的条件下，求∠EAG的度数．图141．C 2.D 3.B 4.A5．B ．6．C7．6 .8．49．(2＋2，2)10．45°.11．12 12.75813．解：(1)证明：连接BD交AC于点O，∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC，OD＝OB＝OA＝OC.∵AE＝CF，∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF，∴四边形BEDF为平行四边形，且BD⊥EF，∴四边形BEDF为菱形．(2)∵正方形ABCD的边长为4，∴BD＝AC＝4 2.∵AE＝CF＝2，∴EF＝AC－2 2＝2 2，∴S菱形BEDF＝12BD·EF＝12×4 2×2 2＝8.14．解：(1)证明：连接DE，EB，BF，FD.∵两动点E，F同时以2 cm/s的速度分别从点A，C出发在线段AC上相对运动，∴AE＝CF.∵平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∴OD＝OB，OA＝OC(平行四边形的对角线互相平分)，∴OA－AE＝OC－CF或AE－OA＝CF－OC，即OE＝OF，∴四边形BEDF为平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)，即以点B，E，D，F为顶点的四边形是平行四边形．(2)当点E在OA上，点F在OC上，EF＝BD＝12 cm时，四边形BEDF为矩形．∵运动时间为t，∴AE＝CF＝2t，∴EF＝20－4t＝12，∴t＝2；当点E在OC上，点F在OA上时，EF＝BD＝12 cm，EF＝4t－20＝12，∴t＝8.因此，当点E，F的运动时间t为2 s或8 s时，四边形BEDF为矩形．15．解：(1)证明：∵AD⊥BC，E，F分别是AB，AC的中点，∴在Rt△ABD中，DE＝12AB＝AE，在Rt△ACD中，DF＝12AC＝AF.又∵AB＝AC，∴AE＝AF＝DE＝DF，∴四边形AEDF是菱形．(2)如图，∵菱形AEDF的周长为12，∴AE＝3.设EF＝x，AD＝y，则x＋y＝7，∴x2＋2xy＋y2＝49.①由四边形AEDF是菱形得AD⊥EF，∴在Rt△AOE中，AO2＋EO2＝AE2，∴(12y)2＋(12x)2＝32，即x2＋y2＝36.②把②代入①，可得2xy＝13，∴xy＝132，∴菱形AEDF的面积S＝12xy＝134.16．解：(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°.∵将△ADE沿AE对折得到△AFE，∴AF＝AD＝AB，∠AFE＝∠D＝90°.在Rt△ABG和Rt△AFG中，AB＝AF，AG＝AG，)∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL)．(2)如图所示：(3)∵△AFE≌△ADE，△ABG≌△AFG，∴∠EAF＝∠EAD，∠GAF＝∠GAB.∵在正方形ABCD中，∠BAD＝90°，∴∠EAG＝∠EAF＋∠GAF＝12×90°＝45°.第一章：特殊的平行四边形单元测试卷（典型题汇总）（100分钟，120分）一、选择题1．下列给出的条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB∥CD，AD=BC B．∠A=∠C，∠B=∠D C．AB∥CD，AD∥BC D．AB=CD，AD=BC 2．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若BD、AC的和为18cm，CD：DA=2：3，△AOB的周长为13cm，那么BC的长是（）A．6cm B．9cm C．3cm D．12cm3．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置，若∠EFB=65°，则∠AED′等于（）A．50° B．55° C．60° D．65°4．给出以下三个命题：①对角线相等的四边形是矩形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③对角线互相垂直的矩形是正方形；④菱形对角线的平方和等于边长平方的4倍．其中真命题的是（）A．③B．①② C．②③D．③④5．如图，矩形ABCD中，E在AD上，且EF⊥EC，EF=EC，DE=2，矩形的周长为16，则AE的长是（）A．3B．4 C．5 D．76．已知一矩形的两边长分别为10cm和15cm，其中一个内角的平分线分长边为两部分，这两部分的长为（）A．6 cm和9 cm B．5 cm和10 cm C．4 cm和11 cm D．7 cm和8 cm7．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是（）A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD8．如图为菱形ABCD与△ABE的重叠情形，其中D在BE上．若AB=17，BD=16，AE=25，则DE的长度为何？（）A．8 B．9 C．11 D．129．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45度后得到正方形AB′C′D′，边B′C′与DC交于点O，则四边形AB′OD的周长是（）A．2B．3 C．D．1+10．如图，正方形ABCD的面积为4，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A．2B．3 C．D．二、填空题11．等边三角形、平行四边形、矩形、正方形四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是矩形、正方形．12．已知菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，则它的面积是3cm2．【解答】解：∵菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，∴它的面积是：×2×3=3（cm2）．13．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是45°．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°．∵等边三角形ADE，∴AD=AE，∠DAE=∠AED=60°．∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°+60°=150°，AB=AE，∠AEB=∠ABE=（180°﹣∠BAE）÷2=15°，∠BED=∠DAE﹣∠AEB=60°﹣15°=45°，故答案为：45°．14．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于 3.5 ．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD，∴∠AOD=90°，∵AB+BC+CD+DA=28，∴AD=7，∵H为AD边中点，∴OH=AD=3.5；15．如图，点E在正方形ABCD的边CD上．若△ABE的面积为8，CE=3，则线段BE的长为5．【解答】解：过E作EM⊥AB于M，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC=CD=AB，∴EM=AD，BM=CE，∵△ABE的面积为8，∴×AB×EM=8，解得：EM=4，即AD=DC=BC=AB=4，∵CE=3，由勾股定理得：BE===5，三、解答题（15题12分，16题12分，17题16分）16．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，求△AEF的周长。
北师大版九年级上册数学期中考试试卷及答案
北师大版九年级上册数学期中考试试题一、单选题1．下列说法错误的是（）A ．对角线互相垂直的平行四边形是矩形B ．矩形的对角线相等C ．对角线相等的菱形是正方形D ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形2．一个菱形的两条对角线分别为4和5，则这个菱形的面积是（）A ．8B ．10C ．15D ．203．在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，34ADB ∠=︒，则BAO ∠的度数是A ．46°B ．54°C ．56°D ．60°4．如图，公路AC 、BC 互相垂直，公路AB 的中点M 与点C 被湖隔开，若测得AB 的长为3.2km ，则M ，C 之间的距离是（）A ．0.8kmB ．1.6kmC ．2.0kmD ．3.2km 5．用配方法解方程2640x x ++=时，原方程变形为（）A ．2(3)9x +=B ．2(3)13x +=C ．2(3)5x +=D ．2(3)4x +=6．一个不透明的盒子中放入四张卡片，每张卡片上都写有一个数字，分别是﹣2，﹣1，0，1．卡片除数字不同外其它均相同，从中随机抽取两张卡片，抽取的两张卡片上数字之积为负数的概率是（）A ．14B ．13C ．12D ．347．已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程2680x x -+=的两根，则该等腰三角形的底边长为（）A ．2B ．4C ．8D ．2或48．某地一家餐厅新开张，开业第一天收入约为5000元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第3天收入约为6050元，若设每天的增长率为x ，则x 满足的方程是（）A ．5000（1+x ）＝6050B ．5000（1+2x ）＝6050C ．5000（1﹣x ）2＝6050D ．5000（1+x ）2＝60509．如图矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，CE 垂直平分DO ，AB 1=，则BE 等于（）A ．32B ．43C ．23D ．210．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点Q 为BC 边的中点，点P 为对角线AC 上一动点，连接PB 、PQ ，则PBQ 周长的最小值为（）AB ．3C 1D ．二、填空题11．一元二次方程()211x x +=+的根是_____．12．若关于x 的方程21(1)7a a x +--＝0是一元二次方程，则a ＝____．13．x 2﹣4x+1＝（x ﹣2）2﹣______．14．如图所示，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，试添加一个条件：___，使得平行四边形ABCD 为菱形．15．若关于x 的一元二次方程2(1)10k x x -++=有实数根，则k 的最大整数值是_________．16．一个袋子中6个红球，若干白球，它们除颜色外完全相同，现在经过大量重复的摸球试验发现，摸出一个球是白球的频率稳定在0.4附近，则袋子中白球有_____个．17．如图，正方形ABCD 的对角线BD 是菱形BEFD 的一边，菱形BEFD 的对角线BF 交CD 于点P ，则∠FPC 的度数是______．18．如图，在Rt ABC 中，90A ∠= ，AB=6，BC=10，P 是BC 边上的一点，作PE 垂直AB ，PF 垂直AC ，垂足分别为E 、F ，求EF 的最小值是_____．三、解答题19．用适当的方法解方程：(1)x 2+2x ﹣1＝0；（用配方法）(2)3x 2﹣5x+1＝0；（用公式法）(3)3（2x+1）2＝4x+2；（用因式分解法）(4)3x 2+5x ＝3x+3．（选择适当的方法）20．“一方有难，八方支援”．四川汶川大地震牵动着全国人民的心，我市某医院准备从甲、乙、丙三位医生和A 、B 两名护士中选取一位医生和一名护士支援汶川．（1）若随机选一位医生和一名护士，用树状图（或列表法）表示所有可能出现的结果；（2）求恰好选中医生甲和护士A 的概率．21．如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，∠ABC ∶∠BAD ＝1∶2，AC ∥BE ，CE ∥BD ．(1)求∠DBC 的度数；(2)求证：四边形OBEC 是矩形．22．如图，在正方形ABCD 中，点P 是对角线BD 上的一点，点E 在AD 的延长线上，且PA＝PE，PE交CD于点F．（1）证明：PC＝PE；（2）求∠CPE的度数．23．某公园内有一块长30m，宽20m的矩形空地，准备将其建成一个矩形花坛，要求在花坛中修建三条长方形的矩形小道（如图），剩余的地方种植花草，要使种植花草的面积为532m2，那么小道的宽度应为多少米？（注：所有小道宽度相等）24．某服装专卖店在销售中发现，一款衬衫每件进价为70元，销售价为100元时，每天可售出20件，今年受“疫情”影响，为尽快减少库存，商店决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件衬衫降价1元，那么平均可多售出2件．试问：每件衬衫降价多少元时，平均每天赢利750元？25．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：△AFE≌△DBE；（2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF是不是菱形？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由．参考答案1．A【解析】根据特殊平行四边形的性质判断即可；【详解】经过判断，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故A错误；B、C、D均正确；故答案选A．【点睛】本题主要考查了特殊平行四边形的判定，准确判断是解题的关键．2．B【解析】【分析】根据菱形的面积计算公式计算即可；【详解】∵菱形的两条对角线分别为4和5，∴菱形的面积14510 2=⨯⨯=；故答案选B．【点睛】本题主要考查了菱形的面积计算，准确计算是解题的关键．3．C【解析】【分析】由矩形的性质得∠BAD＝90°，OA＝OC＝12AC，OB＝OD＝12BD，AC＝BD，则OA＝OD，由等腰三角形的性质得∠OAD＝∠ADB＝34°，进而得出答案．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，OA＝OC＝12AC，OB＝OD＝12BD，AC＝BD，∴OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADB＝34°，∴∠BAO＝90°−∠OAD＝90°−34°＝56°；故选：C．【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．4．B【解析】【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质得出CM=12AB，代入求出即可．【详解】∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，∵M为AB的中点，∴CM=12 AB，∵AB=3.2km，∴CM=1.6km，故选：B．【点睛】此题考查直角三角形斜边上的中线性质，能根据直角三角形斜边上的中线性质得出CM=12AB是解题的关键．5．C【解析】【分析】方程整理后，配方得到结果，即可做出判断．【详解】解：方程配方得：x2+6x+5+4-5=0，即（x+3）2=5．故选：C．【点睛】此题考查解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．6．B【解析】【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出抽取的两张卡片上数字之积为负数的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】解：画树状图如下：由树状图可知共有12种等可能结果，其中抽取的两张卡片上数字之积为负数的结果有4种，所以抽取的两张卡片上数字之积为负数的概率为412=13，故选B．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．7．A【解析】【分析】解一元二次方程求出方程的解，得出三角形的边长，用三角形存在的条件分类讨论边长，即可得出答案．【详解】解：x2－6x+8=0（x－4）（x－2）=0解得：x=4或x=2，当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，所以三角形的底边长为2，故选：A．本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解一元二次方程，能求出方程的解并能够判断三角形三边存在的条件是解此题的关键．8．D【解析】【分析】根据开业第一天收入约为5000元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第3天收入约为6050元列方程即可得到结论．【详解】解：设每天的增长率为x ，依题意，得：5000（1+x ）2＝6050．故选：D ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．9．A【解析】【分析】根据矩形的性质可证明ODC ，OAB 都是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求出OE 的长，即可的答案；【详解】四边形ABCD 是矩形，OA OB OD OC ∴===，CE 垂直平分相等OD ，CO CD ∴=，OC OD CD ∴==，OCD ，AOB 都是等边三角形，OB AB OD 1∴===，OE DE ==12OD=12，13BE 122∴=+=，【点睛】本题考查矩形的性质、等边三角形的判断和性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．10．C【解析】【分析】由于点B 与点D 关于AC 对称，所以如果连接DQ ，交AC 于点P ，那么PBQ 的周长最小，此时PBQ 的周长BP PQ BQ DQ BQ.=++=+在Rt CDQ 中，由勾股定理先计算出DQ 的长度，再得出结果即可．【详解】连接DQ ，交AC 于点P ，连接PB 、BD ，BD 交AC 于O ．四边形ABCD 是正方形，AC BD ∴⊥，BO OD =，CD 2cm =，∴点B 与点D 关于AC 对称，BP DP ∴=，BP PQ DP PQ DQ ∴+=+=．在Rt CDQ 中，DQ ===，PBQ ∴的周长的最小值为：BP PQ BQ DQ BQ 1++=+=+．故选C ．【点睛】此题考查轴对称问题，根据两点之间线段最短，确定点P 的位置是解题关键．11．10x =，21x =-【分析】利用因式分解法求解可得．【详解】解：2(1)1x x +=+ ，2(1)(1)0x x ∴+-+=，则(1)0x x +=，0x ∴=或10x +=，解得10x =，21x =-，故答案为：10x =，21x =-．12．﹣1．【解析】根据一元二次方程的定义得到由此可以求得a 的值．【详解】解：∵关于x 的方程（a ﹣1）xa2+1﹣7＝0是一元二次方程，∴a 2+1＝2，且a ﹣1≠0，解得，a ＝﹣1．故答案为﹣1．13．3【解析】利用配方法的步骤整理即可．【详解】解：x 2﹣4x+1＝x 2﹣4x+4﹣3＝（x ﹣2）2﹣3，故答案为3，14．AD=DC （答案不唯一）【详解】由四边形ABCD 是平行四边形，添加AD=DC ，根据邻边相等的平行四边形是菱形的判定，可使得平行四边形ABCD 为菱形；添加AC ⊥BD ，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形的判定，可使得平行四边形ABCD 为菱形．故答案为：AD=DC （答案不唯一）．15．0【解析】关于x 的一元二次方程2(1)10k x x -++=有实数根，则△=240b a -≥，且k-1≠0，求出k 的取值范围即可解决本题.【详解】解：关于x 的一元二次方程2(1)10k x x -++=有实数根，则()=1410k 10△--≥⎧⎪⎨-≠⎪⎩k ，解得：54k ≤且k≠1，则k 的最大整数值为；0，故答案为：0.16．4【解析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【详解】设袋子中白球有x 个，由题意得，6x x+＝0.4，解得：x ＝4，经检验x=4是原方程的解故袋子中白球有4个，故答案为：4．17．112.5°【解析】利用正方形的性质得到90BCD ∠︒＝，45CBD ∠︒＝，再根据菱形的性质得BF 平分,EBD ∠，所以22.5CBP ∠︒＝，然后根据三角形外角性质计算∠FPC 的度数．【详解】解：∵四边形ABCD 为正方形，90BCD ∴∠︒＝，45CBD ∠︒＝，∵四边形BEFD 为菱形，∴BF 平分∠EBD ，22.5CBP ∴∠︒＝，22.590112.5FPC PBC BCP ∴∠∠∠︒︒︒＝＋＝＋＝．故答案为：112.5︒．18．4.8【解析】根据已知得出四边形AEPF 是矩形，得出EF=AP ，要使EF 最小，只要AP 最小即可，根据垂线段最短得出即可．【详解】解：连接AP ，∵∠BAC=90°，PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，∴∠BAC=∠AEP=∠AFP=90°，∴四边形AFPE 是矩形，∴EF=AP ，要使EF 最小，只要AP 最小即可，过A 作AP ⊥BC 于P ，此时AP 最小，在Rt △BAC 中，∠BAC=90°，BC=10，AB=6，由勾股定理得：AC=8，由三角形面积公式得：116810AP 22⨯⨯=⨯⋅，∴AP=4.8，即EF=4.8，故答案为：4.8．【点睛】本题利用了矩形的性质和判定、勾股定理以及垂线段最短的应用．19．(1)x1＝﹣x 2＝﹣1(2)x 1x 2(3)x 1＝﹣12，x 2＝﹣16(4)1211,33x x --==【解析】【分析】（1）根据配方法求解即可；（2）根据公式法求解即可；（3）根据因式分解法求解即可；（4）根据公式法求解即可；(1)解：x 2+2x ﹣1＝0，x 2+2x ＝1，x 2+2x+1＝1+1，即（x+1）2＝2，∴x+1＝，∴x 1＝﹣x 2＝﹣1(2)解：3x 2﹣5x+1＝0，∵a ＝3，b ＝﹣5，c ＝1，∴Δ＝（﹣5）2﹣4×3×1＝13＞0，则x即x 1＝56，x 2＝56-；(3)解：3（2x+1）2＝4x+2，3（2x+1）2﹣2（2x+1）＝0，（2x+1）[3（2x+1）﹣2]＝0，2x+1＝0或6x+1＝0，x 1＝﹣12，x 2＝﹣16．(4)解：3x 2+5x ＝3x+3，3x 2+2x-3=0∵a ＝3，b ＝2，c ＝-3，∴Δ＝22﹣4×3×（﹣3）＝40＞0，∴x ＝223-±⨯＝13-，∴x 1＝13-+，x 2【点睛】本题考查解一元二次方程的解法，熟练掌握解法解一元二次方程的方法：配方法、公式法、因式分三种方法是解题的关键．20．（1）详见解析；（2）16【解析】（1）利用用树状图（或列表法）列举出所有情况；（2）让恰好选中医生甲和护士A 的情况数除以总情况数即为所求的概率．【详解】解：（1）用列表法或树状图表示所有可能结果如下：护士医生A B 甲（甲，)A （甲，)B 乙（乙，)A （乙，)B丙（丙，)A（丙，)B（2）因为共有6种等可能的结果，其中恰好选中医生甲和护士A的有1种，所以P（恰好选中医生甲和护士1)6A=．（3分）【点睛】本题考查的是用列表法或者用树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题的关键是还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．21．（1）30°（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由四边形ABCD是菱形，得到对边平行，且BD为角平分线，利用两直线平行得到一对同旁内角互补，根据已知角之比求出相应度数，进而求出∠BDC度数；（2）由四边形ABCD是菱形，得到对角线互相垂直，利用两组对边平行的四边形是平行四边形，再利用有一个角为直角的平行四边形是矩形即可得证．【详解】（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∠DBC=12∠ABC，∴∠ABC+∠BAD=180°，∵∠ABC：∠BAD=1：2，∴∠ABC=60°，∴∠BDC=12∠ABC=30°;（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC ⊥BD ，即∠BOC=90°，∵BE ∥AC ，CE ∥BD ，∴BE ∥OC ，CE ∥OB ，∴四边形OBEC 是平行四边形，则四边形OBEC 是矩形．【点睛】此题考查了矩形的判定，菱形的性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．22．（1）见解析；（2）90°【解析】【分析】（1）由四边形ABCD 是正方形，BD 是正方形ABCD 的对角线，得AB ＝BC ，∠ABP ＝∠CBP ＝45°，利用SAS 可证得△ABP ≌△CBP 即可证明PC ＝PE ．（2）由△ABP ≌△CBP ，得∠BAP ＝∠BCP ，从而得∠DAP ＝∠DCP ，再由PA ＝PE 即可证出∠DCP ＝∠E ，进而可证出∠CPE ＝∠EDF ＝90°．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，BD 是正方形ABCD 的对角线，∴AB ＝BC ，∠ABP ＝∠CBP ＝45°，在△ABP 和△CBP 中，=AB BC ABP CBP PB PB =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩，∴△ABP ≌△CBP （SAS ），∴PA ＝PC ，∵PA ＝PE ，∴PC ＝PE ，（2）解：由（1）知，△ABP ≌△CBP ，∴∠BAP ＝∠BCP ，∴∠DAP ＝∠DCP ，∵PA ＝PE ，∴∠DAP ＝∠E ，∴∠DCP＝∠E，∵∠CFP＝∠EFD，∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF＝180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPE＝∠EDF＝90°．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．23．小道进出口的宽度应为1米．【解析】【分析】观察图形可知，种植花草的地方拼凑起来可以得到一个新矩形，设小道进出口的宽度为x 米，则新矩形的长是（30﹣2x）m，宽是（20﹣x）m，根据面积公式列方程，求解即可．【详解】设小道进出口的宽度为x米，依题意得（30﹣2x）（20﹣x）＝532，整理，得x2﹣35x+34＝0，解得，x1＝1，x2＝34．∵34＞20（不合题意，舍去），∴x＝1．答：小道进出口的宽度应为1米．【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，解题关键是根据题中的等量关系列方程，注意根据实际意义对求得的根进行取舍．24．每件衬衫降价15元时，平均每天赢利750元【解析】【分析】设每件衬衫降价x元，则平均每天可售出（20+2x）件，再写出单件利润的表达式（100﹣70﹣x），两者乘积为总利润，解方程，根据题意对根进行取舍，即可求出答案．【详解】设每件衬衫降价x元，则平均每天可售出（20+2x）件，依题意，得：（100﹣70﹣x）（20+2x）＝750，整理，得：x 2﹣20x+75＝0，解得：x 1＝5，x 2＝15．∵尽快减少库存，∴x ＝15．答：每件衬衫降价15元时，平均每天赢利750元．【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，解题关键是根据题中的等量关系列方程，注意根据题意对求得的根进行取舍．25．（1）证明见解析；（2）四边形ADCF 是菱形，证明见解析【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得∠AFE=∠DBE ，然后利用AAS 判定△AFE ≌△DBE 即可；（2）首先证明四边形ADCF 是平行四边形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AD=CD ，进而可得四边形ADCF 是菱形．【详解】(1）证明：∵AF ∥BC ，∴∠AFE=∠DBE ，∵E 是AD 的中点，∴AE=DE ，在△AFE 和△DBE 中，AFE DBE FEA BED AE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AFE ≌△DBE （AAS ）；（2）解：四边形ADCF 是菱形，理由如下：∵△AFE ≌△DBE ，∴AF=BD ，∵AD 是斜边BC 的中线，∴BD=DC∴AF=DC ．∵AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形，∵AC⊥AB，AD是斜边BC的中线，∴AD=12BC=DC，∴平行四边形ADCF是菱形．。
北师大版九年级上册数学期中考试试卷及答案
北师大版九年级上册数学期中考试试题一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．若△ABC∽△DEF，相似比为3：2，则对应高的比为（）A．3：2 B．3：5 C．9：4 D．4：92．一个布袋里装有3个红球、2个白球，每个球除颜色外均相同，从中任意摸出一个球，则摸出的球是白球的概率是（）A．B．C．D．3．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A．当AB=BC时，它是菱形B．当AC⊥BD时，它是菱形C．当∠ABC=90°时，它是矩形 D．当AC=BD时，它是正方形4．对一元二次方程x2﹣ax=3进行配方时，两边同时加上（）A．）2B．C．D．a25．已知x：y=3：2，则下列各式中不正确的是（）A． B． C． D．6．在一个不透明的袋中，有若干个白色乒乓球和4个黄色乒乓球，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回袋中，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在40%，那么，估计袋中白色乒乓球的个数为（）A．6 B．8 C．10 D．127．如图，△ABC中，DE∥BC，AD=5，BD=10，DE=4，则BC的值为（）A．24 B．12 C．8 D．68．若方程3（x﹣7）（x﹣2）=k的根是7和2，则k的值为（）A．0 B．2 C．7 D．2或79．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，点E为垂足，连接DF，则∠CDF为（）A．80°B．70°C．65°D．60°10．关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=﹣3，x2=2，则方程m（x+h﹣3）2+k=0的解是（）A．x1=﹣6，x2=﹣1 B．x1=0，x2=5 C．x1=﹣3，x2=5 D．x1=﹣6，x2=2二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共211．一元二次方程x2+2x+a=0有实根，则a的取值范围是．12．已知菱形两条对角线的长分别为5cm和8cm，则这个菱形的面积是cm2．13．如图，身高为1.8米的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在B处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AB=2米，BC=18米，则旗杆CD的高度是米．14．某公司4月份的利润为160万元，要使6月份的利润达到250万元，则平均每月增长的百分率是．15．在正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O作OE⊥OF，分别交AB、BC于E、F，若AE=4，CF=3，则EF的长为．16．如图，矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置，则矩形ABCD的面积为．三、解答题（本大题共9小题，共86分）17．8分）解方程：（1）x2﹣3x=0（2）3x2+2x﹣5=0．18．8分）如图，在已知的平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，若A，B两点的坐标分别是A（﹣1，0），B（0，3）．（1）以点O为位似中心，与△ABC位似的△A1B1C1满足A1B1：AB=2：1，请在网格内画出△A1B1C1；（2）A1的坐标是，C1的坐标是．19．8分）如图△ABC与△CDE都是等边三角形，点E、F分别在AC、BC上，且EF∥AB．（1）求证：四边形EFCD是菱形；（2）设CD=4，求D、F两点间的距离．20．（8分）如图，某校在开展积极培育和践行社会主义核心价值观的活动中，小光同学将自己需要加强的“文明”、“友善”、“法治”、“诚信”的价值取向文字分别贴在4张质地、大小完全一样的硬纸板上，制成卡片，随时提醒自己要做个遵纪守法的好学生．小光同学还把卡片编成一道数学题考同桌小亮：将这4张卡片洗匀后背面朝上放在桌子上，从中随机抽取一张卡片，不放回，再随机抽取另一张卡片，让小亮同学用列表法或画树状图法，求出两次抽到卡片上的文字含有“文明”、“诚信”价值取向的概率（卡片名称可用字母表示）．21．8分）已知关于x的一元二次方程（x﹣2）2=3m﹣1有两个不相等的实数根，求m 的取值范围．22．10分）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB 的中点，连接CE，连接DE交AC于F．（1）求证：△ADC∽△ACB；（2）若AD=4，AB=6，求的值．23．（10分）某超市在销售中发现：“宝宝乐”牌童装进价为60元，当定价为100元时，平均每天可售出20件，为了迎接“十一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现：如果每件童装降价5元，那么平均每天就可多售出10件，要想平均每天盈利1200元，那么每件童装应该降价多少元？24．（12分）邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又剩下一个四边形，称为第二次操作；…依此类推，若第n次操作后，余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形，例如：如图1，▱ABCD中，若AB=1，BC=2，则▱ABCD为1阶准菱形．（1）理解与判断：邻边长分别为1和3的平行四边形是阶准菱形；邻边长分别为3和4的平行四边形是阶准菱形；（2）操作、探究与计算：①已知▱ABCD的邻边长分别为2，a（a＞2），且是3阶准菱形，请画出▱ABCD及裁剪线的示意图，并在图形下方写出a的值；②已知▱ABCD的邻边长分别为a，b（a＞b），满足a=7b+r，b=4r，请写出▱ABCD是几阶准菱形．25．1如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，E、F分别是AB、BD的中点，连接EF，点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时，点Q从点D 出发，沿DB方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜4）s，解答下列问题：（1）求证：△BEF∽△DCB；（2）当点Q在线段DF上运动时，若△PQF的面积为0.6cm2，求t的值；（3）如图2过点Q作QG⊥AB，垂足为G，当t为何值时，四边形EPQG为矩形，请说明理由；（4）当t为何值时，△PQF为等腰三角形？试说明理由．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．A；2．C；3．D；4．A；5．D；6．A；7．B；8．A；9．D；10．B；二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共211．a≤1；12．20；13．18；14．25%；15．5；16．；三、解答题（本大题共9小题，共86分）17．18．19．20．21．22．23．24．25．。
北师大版九年级上册第二章一元二次方程单元测试题(基础)含答案
北师大版九年级上册第二章一元二次方程单元测试题（基础）一、选择题1.已知1是关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+x+1=0的一个根，则m 的值是（ ）A.1B.﹣1C.0D.无法确定2．（2016•新疆）一元二次方程x 2﹣6x ﹣5=0配方组可变形为（ ）A ．（x ﹣3）2=14B ．（x ﹣3）2=4C ．（x +3）2=14D ．（x +3）2=43．（2015•濠江区一模）某机械厂一月份生产零件50万个，三月份生产零件72万个，则该机械厂二、三月份生产零件数量的月平均增长率为（ ）A ．2%B ． 5%C ． 10%D ． 20% 4．将代数式x 2+4x-1化成（x+p ）2+q 的形式（ ）A.（x-2）2+3B.（x+2）2-4C.（x+2）2-5D.（x+2）2+45．若关于x 的一元二次方程有实数根，则k 的取值范围是（ ）．A ．k ＜0B ．k ≤0C ．k ≠1且k ≠0D ．k ≤1且k ≠06．从一块正方形的铁片上剪掉2 cm 宽的长方形铁片，剩下的面积是48 cm 2，则原来铁片的面积是( )A.64 cm 2B.100 cm 2C.121 cm 2D.144 cm 27．若t 是一元二次方程的根，则判别式和完全平方 式 的关系是( ) A.△=M B. △＞M C. △＜M D. 大小关系不能确定8．如果关于x 的方程ax 2+x-1=0有实数根，则a 的取值范围是( )A ．B ．C ．且D ．且二、填空题9．（2016•连云港）已知关于x 的方程x 2+x +2a ﹣1=0的一个根是0，则a= ．10．（2014秋•青海校级期末）有一间长20m ，宽15m 的矩形会议室，在它的中间铺一块地毯，地毯的面积是会议室面积的一半，四周未铺地毯的留空宽度相同，则地毯的长、宽分别为 和 ．11．关于的一元二次方程有一个根为0，则 . 12．阅读材料：设一元二次方程似(a ≠0)的两根为x 1，x 2，则两根与方程系数之间有如下关系：，，根据该材料填空：已知x 1，x 2是方程的两实数根，则的值为________． 13．已知两个连续奇数的积是15，则这两个数是___________________.14．设x 1，x 2是一元二次方程x 2-3x-2＝0的两个实数根，则的值为________． 15．问题1：设a 、b 是方程x 2＋x －2012＝0的两个实数根，则a 2＋2a ＋b 的值为 ；2210kx x ++=x 22(1)10a x x a -++-=a =20ax bx c ++=12b x x a +=-12c x x a=2630x x ++=2112x x x x +2211223x x x x ++问题2：方程x2－2x－1＝0的两个实数根分别为x1，x2，则（x1―1）（x2―1）＝；问题3：已知一元二次方程x2－mx＋m－2＝0的两个实数根为x1、x2且x1x2（x1＋x2）＝3，则m的值是；问题4：已知一元二次方程x2-2x+m=0,若方程的两个实数根为X1,X2，且X1+3X2=3,则m的值是 . 16．某校2010年捐款1万元给希望工程，以后每年都捐款，计划到2012年共捐款4.75万元，则该校捐款的平均年增长率是 .三、解答题17．某两位数的十位数字与个位上的数字之和是5，把这个数的个位上的数字与十位上的数字对调后，所得的新两位数与原两位数的乘积为736，求原来的两位数.18. 恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率．19．（2015•十堰）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2=0．（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程两实数根分别为x1、x2，且满足x12+x22=31+|x1x2|，求实数m的值．20．某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．（1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？（2）设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元．①若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？②求出y与x之间的函数关系式，并通过画该函数图像的草图，观察其图像的变化趋势，结合题意写出当x取何值时，商场获利润不少于2160元？北师大版九年级上册第二章一元二次方程单元测试题（基础）【答案与解析】一、选择题1.【答案】B；【解析】解：根据题意得：（m﹣1）+1+1=0，解得：m=﹣1．故选B．2.【答案】A【解析】x2﹣6x﹣5=0，x2﹣6x=5，x2﹣6x+9=5+9，（x﹣3）2=14，故选：A．3.【答案】D；【解析】设平均每月增长的百分率为x，根据题意，得50（1+x）2=72，解得x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）故选D．4.【答案】C；【解析】根据配方法，若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再计算．x2+4x-1=x2+4x+4-4-1=（x+2）2-5，故选C．5.【答案】D；【解析】因为方程是一元二次方程，所以k≠0，又因为一元二次方程有实数根，所以△≥0，即△＝4-4k≥0，于是有k≤1，从而k的取值范围是k≤1且k≠0．6．【答案】A；【解析】本题用间接设元法较简便，设原铁片的边长为xcm.由题意，得x(x－2)=48，解得x1=－6(舍去)，x2=8.∴x2=64，即正方形面积为64 cm2.7.【答案】A；【解析】由t是方程的根得at2+bt+c=0,M=4a2t2+4abt+b2=4a(at2+bt)+b2= b2-4ac=△.8．【答案】B；【解析】注意原方程可能是一元二次方程，也可能是一元一次方程.二、填空题9.【答案】．【解析】根据题意得：0+0+2a﹣1=0，解得a=．10．【答案】15m，10m；【解析】设留空宽度为xm，则（20﹣2x）（15﹣2x）=20×15×，整理得：2x2﹣35x+75=0，即（2x﹣5）（x﹣15）=0，解得x1=15，x2=2.5，∵20﹣2x＞0，∴x＜10，∴x=2.5，∴20﹣2x=15，15﹣2x=10．∴地毯的长、宽分别为15m 和10m ．11．【答案】-1；【解析】把x=0代入方程得,因为，所以.12．【答案】10；【解析】此例首先根据阅读部分，明确一元二次方程根与系数的关系，然后由待求式变形为，再整体代换． 具体过程如下：由阅读材料知 x 1+x 2＝-6，x 1x 2＝3．而． 13．【答案】3和5或-3和-5；【解析】注意不要丢解.14．【答案】7；【解析】∵ x 1，x 2是一元二次方程的两实数根，∴ x 1+x 2＝3，x 1x 2＝-2∴15．【答案】2011；-2；m=-1或3；m=. 【解析】由于a ，b 是方程x 2+x-2012=0的两个实数根，根据根与系数的关系可以得到a+b=-1，并且a 2+a-2012=0，然后把a 2+2a+b 可以变为a 2+a+a+b ，把前面的值代入即可求出结果．16．【答案】50%；【解析】设该校捐款的平均年增长率是x ，则， 整理，得， 解得，答：该校捐款的平均年增长率是50%.三、解答题17.【答案与解析】设原两位数的十位数字为x ，则个位数字为（5－x ），由题意,得［10x+(5－x)］［10(5－x)+x ］=736.整理,得x 2－5x+6=0,解得x 1=2,x 2=3.当x=2时5－x=3,符合题意，原两位数是23.当x=3时5－x=2符合题意，原两位数是32.1a =±10a -≠1a =-2112x x x x +2221212121212()2x x x x x x x x x x ++-=222221121212121212()2(6)23103x x x x x x x x x x x x x x ++---⨯+====2320x x --=222222112211221212123(2)()3(2)7x x x x x x x x x x x x x x ++=+++=++=+-=3418.【答案与解析】设这两个月的平均增长率是x ．，则根据题意，得200(1－20%)(1+x )2＝193.6， 即(1+x )2＝1.21，解这个方程，得x 1＝0.1，x 2＝－2.1（舍去）．答：这两个月的平均增长率是10%．19.【答案与解析】解：（1）∵关于x 的一元二次方程x 2﹣（2m+3）x+m 2+2=0有实数根，∴△≥0，即（2m+3）2﹣4（m 2+2）≥0，∴m≥﹣；（2）根据题意得x 1+x 2=2m+3，x 1x 2=m 2+2，∵x 12+x 22=31+|x 1x 2|，∴（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=31+|x 1x 2|，即（2m+3）2﹣2（m 2+2）=31+m 2+2，解得m=2，m=﹣14（舍去），∴m=2．20.【答案与解析】⑴若商店经营该商品不降价，则一天可获利润100×（100－80）＝2000（元） ⑵ ①依题意得：（100－80－x ）（100+10x ）＝2160即x －10x+16=0解得：x =2,x =8经检验：x =2,x =8都是方程的解，且符合题意.答：商店经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价2元或8元. ②依题意得：y=（100－80－x ）（100+10x ）∴y= －10x +100x+2000=－10(x －5)+2250画草图（略）观察图像可得：当2≤x≤8时，y≥2160∴当2≤x≤8时，商店所获利润不少于2160元．2121222。
九年级数学上学期第7周周测试题(含解析) 北师大版-北师大版初中九年级全册数学试题
某某省某某市锦华实验中学2015-2016学年九年级数学上学期第7周周测试题一、选择题1．在平面中，下列命题为真命题的是（）A．四边相等的四边形是正方形B．对角线相等的四边形是菱形C．四个角相等的四边形是矩形D．对角线互相垂直的四边形是平行四边形2．如图，在菱形ABCD中，AC=6cm，BD=8cm，则菱形AB边上的高CE的长是（）A． cm B． cm C．5cm D．10cm3．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB=3，则BC的长为（）A．1 B．2 C．D．4．如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK 的最小值为（）A．2 B．2 C．4 D．2+25．若x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值X围是（）A．k≤﹣1且k≠0B．k＜﹣1且k≠0C．k≥﹣1且k≠0D．k＞﹣1且k≠06．用配方法解方程x2﹣4x+1=0时，配方后所得的方程是（）A．（x﹣2）2=3 B．（x+2）2=3 C．（x﹣2）2=1 D．（x﹣2）2=﹣17．某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（）A．560（1+x）2=315 B．560（1﹣x）2=315 C．560（1﹣2x）2=315 D．560（1﹣x2）=3158．已知x2﹣2x﹣3=0，则2x2﹣4x的值为（）A．﹣6 B．6 C．﹣2或6 D．﹣2或309．如图，为测量学校旗杆的高度，小东用长为3.2m的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿顶端与旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距8m，与旗杆相距22m，则旗杆的高为（）m．A．8.8 B．10 C．12 D．1410．如图所示，给出下列条件：①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③；④AC2=AD•AB．其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．411．如图，已知直线l1∥l2∥l3∥l4∥l5，相邻两条平行直线间的距离相等且为1，如果四边形ABCD的四个顶点在平行直线上，∠BAD=90°且AB=3AD，DC⊥l4，则四边形ABCD的面积是（）A．9 B．14 C．D．12．（2015•某某）一个布袋内只装有1个黑球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球后放回并搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是黑球的概率是（）A．B．C．D．二、填空题13．某产品出现次品的概率为0.05，任意抽取这种产品600件，那么大约有件是次品．14．已知x=﹣2是关于x的方程x2﹣x+c=0的一个根，则c的值是．15．如图是小明设计用手电来测量都匀南沙州古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经过平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米，那么该古城墙的高度是米（平面镜的厚度忽略不计）．16．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=2，CE=6，H是AF的中点，那么CH的长是．三、解答题17．解方程（1）x2﹣2x=1（2）3x（x﹣2）=2（2﹣x）18．物美商场于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件．设二、三这两个月月平均增长率不变．（1）求二、三这两个月的月平均增长率；（2）从四月份起，商场巨鼎采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？19．如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BC相交于点N，连接BM，DN．（1）求证：四边形BMDN是菱形；（2）若AB=4，AD=8，求MD的长．20．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．（1）求证：△ABM∽△EFA；（2）若AB=12，BM=5，求DE的长．2015-2016学年某某省某某市锦华实验中学九年级（上）第7周周测数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．在平面中，下列命题为真命题的是（）A．四边相等的四边形是正方形B．对角线相等的四边形是菱形C．四个角相等的四边形是矩形D．对角线互相垂直的四边形是平行四边形【考点】正方形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；命题与定理．【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案，不是真命题的可以举出反例．【解答】解：A、四边相等的四边形不一定是正方形，例如菱形，故此选项错误；B、对角线相等的四边形不是菱形，例如矩形，等腰梯形，故此选项错误；C、四个角相等的四边形是矩形，故此选项正确；D、对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形，如右图所示，故此选项错误．故选：C．【点评】此题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．2．如图，在菱形ABCD中，AC=6cm，BD=8cm，则菱形AB边上的高CE的长是（）A． cm B． cm C．5cm D．10cm【考点】菱形的性质．【专题】计算题．【分析】对角线AC，BD交于点O，则△ABO为直角三角形，在Rt△ABO中，已知AO，BO根据勾股定理即可求得AB的长，根据菱形面积不同的计算方法可以求得CE的长度，即可解题．【解答】解：对角线AC，BD交于点O，则△ABO为直角三角形则AO=OC=3．BO=DO=4，∴AB==5cm，∴菱形的面积根据边长和高可以计算，根据对角线长也可以计算，即S=×6cm×8cm=5cm×CE，CE=cm，故选 A．【点评】本题考查了菱形面积的计算方法，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中根据勾股定理计算AB的值是解题的关键．3．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB=3，则BC的长为（）A．1 B．2 C．D．【考点】菱形的性质；勾股定理．【专题】计算题．【分析】根据题意可知，AC=2BC，∠B=90°，所以根据勾股定理可知AC2=AB2+BC2，即（2BC）2=32+BC2，从而可求得BC的长．【解答】解：∵AC=2BC，∠B=90°，∴AC2=AB2+BC2，∴（2BC）2=32+BC2，∴BC=．故选：D．【点评】此题主要考查学生对菱形的性质及勾股定理的理解及运用．4．如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK 的最小值为（）A．2 B．2 C．4 D．2+2【考点】轴对称-最短路线问题；菱形的性质．【分析】根据轴对称确定最短路线问题，作点P关于BD的对称点P′，连接P′Q与BD的交点即为所求的点K，然后根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质可知P′Q⊥CD时，PK+QK的最小值，然后求解即可．【解答】解：作点P关于BD的对称点P′，作P′Q⊥CD交BD于K，交CD于Q，∵A B=4，∠A=120°，∴点P′到CD的距离为4×=2，∴PK+QK的最小值为2，故选：B．【点评】本题考查了菱形的性质，轴对称确定最短路线问题，熟记菱形的轴对称性和利用轴对称确定最短路线的方法是解题的关键．5．若x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值X围是（）A．k≤﹣1且k≠0B．k＜﹣1且k≠0C．k≥﹣1且k≠0D．k＞﹣1且k≠0【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程的定义和△的意义得到k≠0且△＞0，即（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＞0，然后解不等式即可得到k的取值X围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，∴k≠0且△＞0，即（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＞0，解得k＞﹣1且k≠0．∴k的取值X围为k＞﹣1且k≠0．故选D．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．6．用配方法解方程x2﹣4x+1=0时，配方后所得的方程是（）A．（x﹣2）2=3 B．（x+2）2=3 C．（x﹣2）2=1 D．（x﹣2）2=﹣1【考点】解一元二次方程-配方法．【专题】计算题．【分析】方程变形后，配方得到结果，即可做出判断．【解答】解：方程x2﹣4x+1=0，变形得：x2﹣4x=﹣1，配方得：x2﹣4x+4=﹣1+4，即（x﹣2）2=3，故选A．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．7．某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（）A．560（1+x）2=315 B．560（1﹣x）2=315 C．560（1﹣2x）2=315 D．560（1﹣x2）=315【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】增长率问题．【分析】设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是560（1﹣x），第二次后的价格是560（1﹣x）2，据此即可列方程求解．【解答】解：设每次降价的百分率为x，由题意得：560（1﹣x）2=315，故选：B．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程即可．8．已知x2﹣2x﹣3=0，则2x2﹣4x的值为（）A．﹣6 B．6 C．﹣2或6 D．﹣2或30【考点】代数式求值．【专题】整体思想．【分析】方程两边同时乘以2，再化出2x2﹣4x求值．【解答】解：x2﹣2x﹣3=02×（x2﹣2x﹣3）=02×（x2﹣2x）﹣6=02x2﹣4x=6故选：B．【点评】本题考查代数式求值，解题的关键是化出要求的2x2﹣4x．9．如图，为测量学校旗杆的高度，小东用长为3.2m的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿顶端与旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距8m，与旗杆相距22m，则旗杆的高为（）m．A．8.8 B．10 C．12 D．14【考点】相似三角形的应用．【分析】利用相似三角形对应边成比例解题．【解答】解：因为竹竿和旗杆均垂直于地面，所以构成两个相似三角形，若设旗杆高x米，则，∴x=12．故选C．【点评】本题考查的是相似形的实际应用，关键是利用相似三角形对应边成比例解题．10．如图所示，给出下列条件：①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③；④AC2=AD•AB．其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】相似三角形的判定．【分析】由图可知△ABC与△ACD中∠A为公共角，所以只要再找一组角相等，或一组对应边成比例即可解答．【解答】解：有三个．①∠B=∠ACD，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；②∠ADC=∠ACB，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；③中∠A不是已知的比例线段的夹角，不正确④可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定；故选：C．【点评】此题主要考查学生对相似三角形的判定方法的掌握情况．11．如图，已知直线l1∥l2∥l3∥l4∥l5，相邻两条平行直线间的距离相等且为1，如果四边形ABCD的四个顶点在平行直线上，∠BAD=90°且AB=3AD，DC⊥l4，则四边形ABCD的面积是（）A．9 B．14 C．D．【考点】相似三角形的判定与性质；平行线之间的距离；勾股定理．【分析】首先延长DC交l5于点F，延长CD交l1于点E，作点B作BH⊥l1于点H，连接BD，易证得△BAH∽△ADE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得AH，AE的长，由勾股定理求得AD与AB的长，然后由S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD，即可求得答案．【解答】解：延长DC交l5于点F，延长CD交l1于点E，作点B作BH⊥l1于点H，连接BD，∵DC⊥l4，l1∥l2∥l3∥l4∥l5，∴DC⊥l1，DC⊥l5，∴∠BHA=∠DEA=90°，∴∠ABH+∠BAH=90°，∵∠BAD=90°，∴∠BAH+∠DAE=90°，∴∠ABH=∠DAE，∴△BAH∽△ADE，∴==，∵AB=3AD，BH=4，DE=1，∴AE=，AH=3，∴BF=HE=AH+AE=3+=，在Rt△ADE中，AD===，∴AB=3AD=5，∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=AB•AD+CD•BF=×5×+×2×=．故选D．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质、勾股定理以及四边形的面积问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．12．（2015•某某）一个布袋内只装有1个黑球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球后放回并搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是黑球的概率是（）A．B．C．D．【考点】列表法与树状图法．【分析】列表将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可．【解答】解：列表得：黑白白黑（黑，黑）（黑，白）（黑，白）白（黑，白）（白，白）（白，白）白（黑，白）（白，白）（白，白）∵共9种等可能的结果，两次都是黑色的情况有1种，∴两次摸出的球都是黑球的概率为，故选D．【点评】本题考查了列表法与树状图法的知识，解决本题时采用了两个独立事件同时发生的概率等于两个独立事件单独发生的概率的积，难度不大．二、填空题13．某产品出现次品的概率为0.05，任意抽取这种产品600件，那么大约有30 件是次品．【考点】概率的意义．【分析】利用总数×出现次品的概率=次品的数量，进而得出答案．【解答】解：由题意可得：次品数量=600×0.05=30．故答案为：30．【点评】此题主要考查了概率的意义，正确把握概率的定义是解题关键．14．已知x=﹣2是关于x的方程x2﹣x+c=0的一个根，则c的值是﹣6 ．【考点】一元二次方程的解．【分析】将x=﹣2代入已知方程，列出关于c的新方程，通过解新方程即可求得c的值．【解答】解：根据题意，得（﹣2）2﹣（﹣2）+c=0，解得c=﹣6．故答案是：﹣6．【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．15．如图是小明设计用手电来测量都匀南沙州古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经过平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米，那么该古城墙的高度是8 米（平面镜的厚度忽略不计）．【考点】相似三角形的应用．【分析】由已知得△ABP∽△CDP，根据相似三角形的性质可得，解答即可．【解答】解：由题意知：光线AP与光线PC，∠APB=∠CPD，∴Rt△ABP∽Rt△CDP，∴，∴CD==8（米）．故答案为：8．【点评】本题综合考查了平面镜反射和相似形的知识，关键是根据相似三角形在测量中的应用分析．16．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=2，CE=6，H是AF的中点，那么CH的长是2．【考点】直角三角形斜边上的中线；勾股定理；正方形的性质．【分析】连接AC、CF，根据正方形的性质求出AC、CF，并判断出△ACF是直角三角形，再利用勾股定理列式求出AF，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．【解答】解：如图，连接AC、CF，在正方形ABCD和正方形CEFG中，AC=BC=2，CF=CE=6，∠ACD=∠GCF=45°，所以，∠ACF=45°+45°=90°，所以，△ACF是直角三角形，由勾股定理得，AF===4，∵H是AF的中点，∴CH=AF=×4=2．故答案为：2．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，正方形的性质，勾股定理，难点在于作辅助线构造出直角三角形．三、解答题17．解方程（1）x2﹣2x=1（2）3x（x﹣2）=2（2﹣x）【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法．【专题】计算题．【分析】（1）利用配方法解方程；（2）先变形得到3x（x﹣2）+2（x﹣2）=0，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：（1）x2﹣2x+1=2，（x﹣1）2=2，x﹣1=±，所以x1=1+，x2=1﹣；（2）3x（x﹣2）+2（x﹣2）=0，（x﹣2）（3x+2）=0，x﹣2=0或3x+2=0，所以x1=2，x2=﹣．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了配方法解一元二次方程．18．物美商场于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件．设二、三这两个月月平均增长率不变．（1）求二、三这两个月的月平均增长率；（2）从四月份起，商场巨鼎采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？【考点】一元二次方程的应用．【专题】增长率问题；销售问题．【分析】（1）由题意可得，1月份的销售量为：256件；设2月份到3月份销售额的月平均增长率，则二月份的销售量为：256（1+x）；三月份的销售量为：256（1+x）（1+x），又知三月份的销售量为：400元，由此等量关系列出方程求出x的值，即求出了平均增长率；（2）利用销量×每件商品的利润=4250求出即可．【解答】解：（1）设二、三这两个月的月平均增长率为x，根据题意可得：256（1+x）2=400，解得：x1=，x2=﹣（不合题意舍去）．答：二、三这两个月的月平均增长率为25%；（2）设当商品降价m元时，商品获利4250元，根据题意可得：（40﹣25﹣m）（400+5m）=4250，解得：m1=5，m2=﹣70（不合题意舍去）．答：当商品降价5元时，商品获利4250元．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，本题的关键在于理解题意，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．19．如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BC相交于点N，连接BM，DN．（1）求证：四边形BMDN是菱形；（2）若AB=4，AD=8，求MD的长．【考点】矩形的性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的判定；菱形的性质；菱形的判定．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）根据矩形性质求出AD∥BC，推出∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，证△DMO≌△BNO，推出OM=ON，得出平行四边形BMDN，推出菱形BMDN；（2）根据菱形性质求出DM=BM，在Rt△AMB中，根据勾股定理得出BM2=AM2+AB2，推出x2=x2﹣16x+64+16，求出即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠A=90°，∴∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，∵在△DMO和△BNO中，，∴△DMO≌△BNO（AAS），∴OM=ON，∵OB=OD，∴四边形BMDN是平行四边形，∵MN⊥BD，∴平行四边形BMDN是菱形．（2）解：∵四边形BMDN是菱形，∴MB=MD，设MD长为x，则MB=DM=x，在Rt△AMB中，BM2=AM2+AB2即x2=（8﹣x）2+42，解得：x=5，所以MD长为5．【点评】本题考查了矩形性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，勾股定理等知识点的应用，对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．20．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．（1）求证：△ABM∽△EFA；（2）若AB=12，BM=5，求DE的长．【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．【分析】（1）由正方形的性质得出AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，得出∠AMB=∠EAF，再由∠B=∠AFE，即可得出结论；（2）由勾股定理求出AM，得出AF，由△ABM∽△EFA得出比例式，求出AE，即可得出DE的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，∴∠AMB=∠EAF，又∵EF⊥AM，∴∠AFE=90°，∴∠B=∠AFE，∴△ABM∽△EFA；（2）解：∵∠B=90°，AB=12，BM=5，∴AM==13，AD=12，∵F是AM的中点，∴AF=AM=6.5，∵△ABM∽△EFA，∴，即，∴AE=16.9，∴DE=AE﹣AD=4.9．【点评】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．。
北师大版九年级(上)期末数学试卷(含答案)
北师大版九年级（上）期末数学试卷及答案一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1．（3分）下列既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A ．菱形B ．平行四边形C ．等边三角形D ．等腰梯形2．（3分）若一元二次方程220x x --=的两根为1x ，2x ，则121(1)(1)x x x ++-的值是( ) A ．4B ．2C ．1D ．2-3．（3分）在如图所示的电路中，随机闭合开关1S ，2S ，3S 中的两个，能让灯泡1L 发光的概率是( )A ．12B ．13C ．14D ．254．（3分）如图，小李打网球时，球恰好打过网，且落在离网4m 的位置上，则球拍击球的高度h 为( )A ．0.6mB ．1.2mC ．1.3mD ．1.4m5．（3分）如图，把抛物线2y x =沿直线y x =平移2个单位后，其顶点在直线上的A 处，则平移后的抛物线解析式是( )A ．2(1)1y x =+-B ．2(1)1y x =++C ．2(1)1y x =-+D ．2(1)1y x =--6．（3分）如图，等边三角形ABC 的边长为4，点O 是ABC ∆的中心，120FOG ∠=︒，绕点O 旋转FOG ∠，分别交线段AB 、BC 于D 、E 两点，连接DE ，给出下列四个结论：①OD OE =；②ODE BDE S S ∆∆=；③四边形ODBE 的面积始终等于433；④BDE ∆周长的最小值为6．上述结论中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．（3分）已知α，β均为锐角，且满足21|sin |(tan 1)02αβ-+-=，则αβ+= ．8．（3分）已知一个正比例函数的图象与一个反比例函数的图象的一个交点为(1,3)，则另一个交点坐标是 ． 9．（3分）某校九（1）班的学生互赠新年贺卡，共用去1560张贺卡，则九（1）班有 名学生．10．（3分）如图，菱形ABCD 中，60DAB ∠=︒，DF AB ⊥于点E ，且DF DC =，连接FC ，则ACF ∠的度数为 度．11．（3分）如图是由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图，若组成这个几何体的小正方体的块数为n ，则n 的所有可能的值之和为 ．12．（3分）如图，矩形ABCD 中，6AB =，43AD =，点E 是BC 的中点，点F 在AB 上，2FB =，P 是矩形上一动点．若点P 从点F 出发，沿F A D C →→→的路线运动，当30FPE ∠=︒时，FP 的长为 ．三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．（6分）解方程： （1）2(21)9x +=； （2）2(4)3(4)x x +=+．14．（6分）如图，在ABCD 中，AE BC ⊥，CF AD ⊥，E ，F 分别为垂足． （1）求证：BE DF =；（2）求证：四边形AECF 是矩形．15．（6分）如图，反比例函数(0)k y k x=≠的图象与正比例函数2y x =的图象相交于点(1,)A a ，B 两点，点C 在第四象限，//CA y 轴，90ABC ∠=︒． （1）求k 的值及B 点坐标； （2）求ABC ∆的面积．16．（6分）如图，在矩形ABCD 中，点E 为AD 的中点，请只用无刻度的直尺作图 （1）如图1，在BC 上找点F ，使点F 是BC 的中点；（2）如图2，在AC 上取两点P ，Q ，使P ，Q 是AC 的三等分点．17．（6分）我国于2019年6月5日首次完成运载火箭海上发射，这标志着我国火箭发射技术达到了一个崭新的高度．如图，运载火箭从海面发射站点M 处垂直海面发射，当火箭到达点A 处时，海岸边N 处的雷达站测得点N 到点A 的距离为8千米，仰角为30︒．火箭继续直线上升到达点B 处，此时海岸边N 处的雷达测得B 处的仰角增加15︒，求此时火箭所在点B 处与发射站点M 处的距离．（结果精确到0.1千米）（参考数据：2 1.41≈，3 1.73)≈四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．（8分）已知如图，在ABC ∆中，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，点E 在AB 上，且2BD BE BC =； （1）求证：BDE C ∠=∠； （2）求证：2AD AE AB =．19．（8分）如图，//AB CD ，点E ，F 分别在AB ，CD 上，连接EF ，AEF ∠、CFE ∠的平分线交于点G ，BEF ∠、DFE ∠的平分线交于点H ．（1）求证：四边形EGFH 是矩形；（2）小明在完成（1）的证明后继续进行了探索，过G 作//MN EF ，分别交AB ，CD 于点M ，N ，过H 作//PQ EF ，分别交AB ，CD 于点P ，Q ，得到四边形MNQP ，此时，他猜想四边形MNQP 是菱形，他的猜想是否正确，请予以说明．20．（8分）小聪同学周六到某欢乐谷玩迷宫游戏，从迷宫口A到达迷宫口D有多个路口，如图所示（迷宫的一部分），规定从迷宫口A到达D处不能重复走同一路线，且小聪走每一条路线的可能性相同．（1）请用画树状图的方法，求小聪同学从迷宫口A到达D处所走的所有可能路线；（2）求小聪同学从迷宫口A到达D处经过路口B的概率．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．（9分）某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件)与销售单价x（元)之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式；（2）若商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润w（元)最大？最大利润是多少？（3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，则每天的销售量最少应为多少件？22．（9分）对于两个不相等的有理数a，b，我们规定符号{max a，}b表示a，b中的较大值，如{2max，3}2-=，{1max-，0}0=．请解答下列问题：（1）2{1,1}5max--=；（2）如果{max x，2}x x-=，求x的取值范围；（3）如果{max x ，2}2|1|5x x -=--，求x 的值． 六、（本大题共12分）23．（12分）如图，抛物线2(0)y ax bx a =+≠经过点(2,0)A ，点(3,3)B ，BC x ⊥轴于点C ，连接OB ，等腰直角三角形DEF 的斜边EF 在x 轴上，点E 的坐标为(4,0)-，点F 与原点重合 （1）求抛物线的解析式并直接写出它的对称轴；（2）DEF ∆以每秒1个单位长度的速度沿x 轴正方向移动，运动时间为t 秒，当点D 落在BC 边上时停止运动，设DEF ∆与OBC ∆的重叠部分的面积为S ，求出S 关于t 的函数关系式；（3）点P 是抛物线对称轴上一点，当ABP ∆是直角三角形时，请直接写出所有符合条件的点P 坐标．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1．（3分）下列既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A ．菱形B ．平行四边形C ．等边三角形D ．等腰梯形【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180︒，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．【解答】解：A ．菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；B ．平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；C ．等边三角形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；D ．等腰梯形是轴对称图形不是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：A ．【点评】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键． 2．（3分）若一元二次方程220x x --=的两根为1x ，2x ，则121(1)(1)x x x ++-的值是( ) A ．4B ．2C ．1D ．2-【分析】根据根与系数的关系得到121x x +=，122x x =-，然后利用整体代入的方法计算121(1)(1)x x x ++-的值． 【解答】解：根据题意得121x x +=，122x x =-， 所以1211212(1)(1)111(2)4x x x x x x x ++-=++-=+--=． 故选：A ．【点评】本题考查了根与系数的关系：若1x ，2x 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根时，12b x x a+=-，12cx x a=． 3．（3分）在如图所示的电路中，随机闭合开关1S ，2S ，3S 中的两个，能让灯泡1L 发光的概率是( )A ．12 B ．13C ．14D ．25【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能让灯泡1L 发光的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【解答】解：画树状图得：共有6种等可能的结果，能让灯泡1L 发光的有2种情况，∴能让灯泡1L 发光的概率为2163=， 故选：B ．【点评】本题考查了列表法、树状图法求概率，画出树状图得出所有可能出现的结果情况是正确解答的关键． 4．（3分）如图，小李打网球时，球恰好打过网，且落在离网4m 的位置上，则球拍击球的高度h 为( )A ．0.6mB ．1.2mC ．1.3mD ．1.4m【分析】利用平行得出三角形相似，运用相似比即可解答． 【解答】解：//AB DE ，∴AB CBDE CD =， ∴40.87h=， 1.4h m ∴=，经检验： 1.4h =是原方程的根． 故选：D ．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，根据已知得出AB CBDE CE=是解决问题的关键． 5．（3分）如图，把抛物线2y x =沿直线y x =平移2个单位后，其顶点在直线上的A 处，则平移后的抛物线解析式是( )A ．2(1)1y x =+-B ．2(1)1y x =++C ．2(1)1y x =-+D ．2(1)1y x =--【分析】首先根据A 点所在位置设出A 点坐标为(,)m m 再根据2AO =，利用勾股定理求出m 的值，然后根据抛物线平移的性质：左加右减，上加下减可得解析式． 【解答】解：A 在直线y x =上，∴设(,)A m m ，2OA =222(2)m m ∴+=，解得：1(1m m =±=-舍去）， 1m ∴=，(1,1)A ∴，∴平移后的抛物线解析式为：2(1)1y x =-+，故选：C ．【点评】此题主要考查了二次函数图象的几何变换，关键是求出A 点坐标，掌握抛物线平移的性质：左加右减，上加下减．6．（3分）如图，等边三角形ABC 的边长为4，点O 是ABC ∆的中心，120FOG ∠=︒，绕点O 旋转FOG ∠，分别交线段AB 、BC 于D 、E 两点，连接DE ，给出下列四个结论：①OD OE =；②ODE BDE S S ∆∆=；③四边形ODBE 的433④BDE ∆周长的最小值为6．上述结论中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】连接OB 、OC ，如图，利用等边三角形的性质得30ABO OBC OCB ∠=∠=∠=︒，再证明BOD COE ∠=∠，于是可判断BOD COE ∆≅∆，所以BD CE =，OD OE =，则可对①进行判断；利用BOD COE S S ∆∆=得到四边形ODBE 的面积14333ABC S ∆==则可对③进行判断；作OH DE ⊥，如图，则DH EH =，计算出23ODE S ∆=，利用ODE S ∆随OE 的变化而变化和四边形ODBE 的面积为定值可对②进行判断；由于BDE ∆的周长443BC DE DE OE =+=+=，根据垂线段最短，当OE BC ⊥时，OE 最小，BDE ∆的周长最小，计算出此时OE的长则可对④进行判断．【解答】解：连接OB 、OC ，如图， ABC ∆为等边三角形， 60ABC ACB ∴∠=∠=︒，点O 是ABC ∆的中心，OB OC ∴=，OB 、OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠，30ABO OBC OCB ∴∠=∠=∠=︒120BOC ∴∠=︒，即120BOE COE ∠+∠=︒，而120DOE ∠=︒，即120BOE BOD ∠+∠=︒， BOD COE ∴∠=∠，在BOD ∆和COE ∆中 BOD COEBO COOBD OCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， BOD COE ∴∆≅∆，BD CE ∴=，OD OE =，所以①正确； BOD COE S S ∆∆∴=，∴四边形ODBE 的面积21134433343OBC ABC S S ∆∆===⨯⨯=，所以③正确； 作OH DE ⊥，如图，则DH EH =，120DOE ∠=︒，30ODE OEH ∴∠=∠=︒，12OH OE ∴=，332HE OH OE ==， 3DE OE ∴=，21133224ODE S OE OE OE ∆∴=⋅⋅=， 即ODE S ∆随OE 的变化而变化，而四边形ODBE 的面积为定值，ODE BDE S S ∆∆∴≠；所以②错误；BD CE =，BDE ∴∆的周长443BD BE DE CE BE DE BC DE DE OE =++=++=+=+=+，当OE BC ⊥时，OE 最小，BDE ∆的周长最小，此时233OE =， BDE ∴∆周长的最小值426=+=，所以④正确．故选：C ．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．（3分）已知α，β均为锐角，且满足21|sin |(tan 1)02αβ-+-=，则αβ+= 75︒ ． 【分析】直接利用绝对值的非负性和偶次方的非负性得出1sin 02α-=，tan 10β-=，再结合特殊角的三角函数值得出答案．【解答】解：21|sin |(tan 1)02αβ-+-=， 1sin 02α∴-=，tan 10β-=， 1sin 2α∴=，tan 1β=， 30α∴=︒，45β=︒，则304575αβ+=︒+︒=︒．故答案为：75︒．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值以及非负数的性质，正确记忆特殊角的三角函数值是解题关键．8．（3分）已知一个正比例函数的图象与一个反比例函数的图象的一个交点为(1,3)，则另一个交点坐标是(1,3)-- ．【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．【解答】解：反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，∴另一个交点的坐标与点(1,3)关于原点对称，∴该点的坐标为(1,3)--．故答案为：(1,3)--．【点评】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，要求同学们要熟练掌握关于原点对称的两个点的坐标的横、纵坐标都互为相反数．9．（3分）某校九（1）班的学生互赠新年贺卡，共用去1560张贺卡，则九（1）班有 40 名学生．【分析】设九（1）班有x 名学生，则每名学生需送出(1)x -张新年贺卡，利用九（1）班共用去贺卡的数量=人数⨯每人送出新年贺卡的数量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设九（1）班有x 名学生，则每名学生需送出(1)x -张新年贺卡，依题意得：(1)1560x x -=，整理得：215600x x --=，解得：140x =，239x =-（不合题意，舍去），∴九（1）班有40名学生．故答案为：40．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．10．（3分）如图，菱形ABCD 中，60DAB ∠=︒，DF AB ⊥于点E ，且DF DC =，连接FC ，则ACF ∠的度数为 15度．【分析】利用菱形的性质得出DCB∠的度数，进而得出答案．∠的度数，再利用等腰三角形的性质得出DCF【解答】解：菱形ABCD中，60∠=︒，DF DC=，DAB∠=∠，AB CD，DFC DCF∴∠=︒，//60BCD⊥于点E，DF AB90∴∠=︒，FDCDFC DCF∴∠=∠=︒，45菱形ABCD中，DCA ACB∠=∠，∴∠=∠=︒，30DCA ACB︒-︒=︒．ACF∴∠的度数为：453015故答案为：15︒．【点评】此题主要考查了菱形的性质以及等腰三角形的性质等知识，得出45∠=∠=︒是解题关键．DFC DCF11．（3分）如图是由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图，若组成这个几何体的小正方体的块数为n，则n的所有可能的值之和为38．【分析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数．【解答】解：主视图最右边可能有4或5或6个小正方体；由主视图最左边看到只有一列，俯视图也只有一列，则左边有一个小正方体；主视图中间有两列，俯视图亦有两列，则中间可以有3或4个小正方形．n∴的值可能为：1438++=，16411++=，++=，15410++=，1539++=，16310++=，1449则n的所有可能的值之和89101138=+++=．故本题答案为：38．【点评】本题考查对三视图的理解应用及空间想象能力．可从主视图上分清物体的上下和左右的层数，从俯视图上分清物体的左右和前后位置，综合上述分析数出小立方块的个数．12．（3分）如图，矩形ABCD 中，6AB =，43AD =，点E 是BC 的中点，点F 在AB 上，2FB =，P 是矩形上一动点．若点P 从点F 出发，沿F A D C →→→的路线运动，当30FPE ∠=︒时，FP 的长为 4或8或43 ．【分析】如图，连接DF ，AE ，DE ，取DF 的中点O ，连接OA 、OE ．以O 为圆心画O 交CD 于3P ．只要证明12330EPF FP F FP E ∠=∠=∠=︒，即可推出14FP =，28FP =，343FP=解决问题． 【解答】解：如图，连接DF ，AE ，DE ，取DF 的中点O ，连接OA 、OE ．以O 为圆心OE 的长度为半径，画O 交CD 于3P ．四边形ABCD 是矩形，90BAD B ∴∠=∠=︒，2BF =，23BE =4AF =，43AD =3tan tan FEB ADF ∴∠=∠=， 30ADF FEB ∴∠=∠=︒， 易知4EF OF OD ===，OEF ∴∆是等边三角形，12330EPF FP F FP E ∴∠=∠=∠=︒， 14FP ∴=，28FP=，343FP =， 故答案为4或8或3【点评】本题考查矩形的性质、锐角三角函数、圆的有关知识、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．（6分）解方程：（1）2(21)9x +=；（2）2(4)3(4)x x +=+．【分析】（1）两边直接开平方，继而得到两个关于x 的一元一次方程，解之即可；（2）先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x 的一元一次方程，再进一步求解即可．【解答】解：（1）2(21)9x +=，213x ∴+=或213x +=-，解得11x =，22x =-；（2）2(4)3(4)x x +=+，2(4)3(4)0x x ∴+-+=，则(4)(1)0x x ++=，40x ∴+=或10x +=，解得14x =-，21x =-．【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．14．（6分）如图，在ABCD 中，AE BC ⊥，CF AD ⊥，E ，F 分别为垂足．（1）求证：BE DF =；（2）求证：四边形AECF 是矩形．【分析】（1）由平行四边形的性质得出B D ∠=∠，AB CD =，//AD BC ，由已知得出90AEB AEC CFD AFC ∠=∠=∠=∠=︒，由AAS 证明ABE CDF ∆≅∆即可；（2）证出90EAF AEC AFC ∠=∠=∠=︒，即可得出结论．【解答】（1）证明：四边形ABCD 是平行四边形，B D ∴∠=∠，AB CD =，//AD BC ，AE BC ⊥，CF AD ⊥，90AEB AEC CFD AFC ∴∠=∠=∠=∠=︒，在ABE ∆和CDF ∆中，B D AEB CFD AB CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABE CDF AAS ∴∆≅∆，BE DF ∴=；（2）证明：//AD BC ，90EAF AEB ∴∠=∠=︒，90EAF AEC AFC ∴∠=∠=∠=︒，∴四边形AECF 是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质和矩形的判定是解题的关键．15．（6分）如图，反比例函数(0)k y k x=≠的图象与正比例函数2y x =的图象相交于点(1,)A a ，B 两点，点C 在第四象限，//CA y 轴，90ABC ∠=︒．（1）求k 的值及B 点坐标；（2）求ABC ∆的面积．【分析】（1）先把(1,)A a 代入2y x =中求出a 得到(1,2)A ；再把A 点坐标代入k y x=中可确定k 的值，然后利用反比例函数和正比例函数图象的性质确定B 点坐标；（2）设(1,)C t ，根据两点间的距离公式和勾股定理得到22222(11)(2)(11)(22)(2)t t +++++++=-，求出t 得到(1,3)C -，从而得到AC 的长，然后关键三角形面积公式求得即可．【解答】解：（1）把(1,)A a 代入2y x =得2a =，则(1,2)A ；把(1,2)A 代入k y x =得122k =⨯=， 点A 与点B 关于原点对称，(1,2)B ∴--；（2）//CA y 轴，C ∴点的横坐标为1，设(1,)C t ，90ABC ∠=︒．222BC AC AB ∴+=，即22222(11)(2)(11)(22)(2)t t +++++++=-，解得3t =-，(1,3)C ∴-，5AC ∴=，11()5(11)522ABC A B S AC x x ∆∴=-=⨯⨯+=． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式．16．（6分）如图，在矩形ABCD 中，点E 为AD 的中点，请只用无刻度的直尺作图（1）如图1，在BC 上找点F ，使点F 是BC 的中点；（2）如图2，在AC 上取两点P ，Q ，使P ，Q 是AC 的三等分点．【分析】（1）根据矩形的对角线相等且互相平分作出图形即可；（2）根据矩形的性质和三角形中位线定理作出图形即可．【解答】解：（1）如图1，连接AC 、BD 交于点O ，延长EO 交BC 于F ，则点F 即为所求；（2）如图2，BD 交AC 于O ，延长EO 交BC 于F ，连接EB 交AC 于P ，连接DF 交AC 于Q ，则P 、Q 即为所求．【点评】本题考查的是作图的应用，掌握矩形的性质和三角形中位线定理、正确作出图形是解题的关键．17．（6分）我国于2019年6月5日首次完成运载火箭海上发射，这标志着我国火箭发射技术达到了一个崭新的高度．如图，运载火箭从海面发射站点M 处垂直海面发射，当火箭到达点A 处时，海岸边N 处的雷达站测得点N 到点A 的距离为8千米，仰角为30︒．火箭继续直线上升到达点B 处，此时海岸边N 处的雷达测得B 处的仰角增加15︒，求此时火箭所在点B 处与发射站点M 处的距离．（结果精确到0.1千米）（参考数据：2 1.41≈，3 1.73)≈【分析】利用已知结合锐角三角函数关系得出BM 的长．【解答】解：如图所示：连接MN ，由题意可得：90AMN ∠=︒，30ANM ∠=︒，45BNM ∠=︒，8AN km =， 在直角AMN ∆中，3cos30843()MN AN km =︒==． 在直角BMN ∆中，tan 4543 6.9BM MN km km =︒=≈．答：此时火箭所在点B 处与发射站点M 处的距离约为6.9km ．【点评】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．（8分）已知如图，在ABC ∆中，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，点E 在AB 上，且2BD BE BC =；（1）求证：BDE C ∠=∠；（2）求证：2AD AE AB =．【分析】（1）根据角平分线的定义得到ABD CBD ∠=∠，由2BD BE BC =，得到BD BC BE BD=，推出EBD DBC ∆∆∽，根据相似三角形的性质即可得到结论；（2）由BDE C ∠=∠，推出DBC ADE ∠=∠，等量代换得到ABD ADE ∠=∠，证得ADE ABD ∆∆∽，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】证明：（1）BD 平分ABC ∠，ABD CBD ∴∠=∠， 2BD BE BC =， ∴BD BC BE BD=， EBD DBC ∴∆∆∽，BDE C ∴∠=∠；（2）BDE C ∠=∠，DBC C BDE ADE ∠+∠=∠+∠，DBC ADE ∴∠=∠，ABD CBD ∠=∠，ABD ADE ∴∠=∠，ADE ABD ∴∆∆∽， ∴AD AE AB AD=， 即2AD AE AB =．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握相似三角形的性质即可得到结论．19．（8分）如图，//AB CD ，点E ，F 分别在AB ，CD 上，连接EF ，AEF ∠、CFE ∠的平分线交于点G ，BEF ∠、DFE ∠的平分线交于点H ．（1）求证：四边形EGFH 是矩形；（2）小明在完成（1）的证明后继续进行了探索，过G 作//MN EF ，分别交AB ，CD 于点M ，N ，过H 作//PQ EF ，分别交AB ，CD 于点P ，Q ，得到四边形MNQP ，此时，他猜想四边形MNQP 是菱形，他的猜想是否正确，请予以说明．【分析】（1）根据角平分线的性质进行导角，可求得四边形EGFH 的四个内角均为90︒，进而可说明其为矩形．（2）根据题目条件可得四边形MNQP 为平行四边形，要证菱形只需邻边相等，连接GH ，由于MN EF GH ==，要证MN MP =，只需证GH MP =，只需证四边形MFHP 为平行四边形，可证G 、H 点分别为MN 、PQ 中点，即可得出结果．【解答】（1）证明：EH 平分BEF ∠，FH 平分DFE ∠，12FEH BEF ∴∠=∠，12EFH DFE ∠=∠， //AB CD ，180BEF DFE ∴∠+∠=︒，11()1809022FEH EFH BEF DFE ∴∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒， 180FEH EFH EHF ∠+∠+∠=︒，180()1809090EHF FEH EFH ∴∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒，同理可得：90EGF ∠=︒，EG 平分AEF ∠，EH 平分BEF ∠，12GEF AEF ∴∠=∠，12FEH BEF ∠=∠， 点A 、E 、B 在同一条直线上，180AEB ∴∠=︒，即180AEF BEF ∠+∠=︒，11()1809022FEG FEH AEF BEF ∴∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒， 即90GEH ∠=︒，∴四边形EGFH 是矩形（2）解：他的猜想正确，理由是：////MN EF PQ ，//MP NQ ，∴四边形MNQP 为平行四边形．如图，延长EH 交CD 于点O ，PEO FEO ∠=∠，PEO FOE ∠=∠，FOE FEO ∴∠=∠，EF FD ∴=，FH EO ⊥，HE HO ∴=，EHP OHQ ∠=∠，EPH OQH ∠=∠，EHP OHQ ∴∆≅∆，HP HQ ∴=，同理可得GM GN =，MN PQ =，MG HP ∴=，∴四边形MGHP 为平行四边形，GH MP ∴=，//MN EF ，//ME NF ，∴四边形MEFN 为平行四边形，MN EF ∴=，四边形EGFH 是矩形，GH EF ∴=，MN MP∴=，∴平行四边形MNQP为菱形．【点评】本题考查矩形、菱形的性质与判定，属于综合题，熟练掌握菱形和矩形的性质及判定方法是解题关键．20．（8分）小聪同学周六到某欢乐谷玩迷宫游戏，从迷宫口A到达迷宫口D有多个路口，如图所示（迷宫的一部分），规定从迷宫口A到达D处不能重复走同一路线，且小聪走每一条路线的可能性相同．（1）请用画树状图的方法，求小聪同学从迷宫口A到达D处所走的所有可能路线；（2）求小聪同学从迷宫口A到达D处经过路口B的概率．【分析】（1）根据题意得出小聪同学从迷宫口A到达D处所走的所有可能路线共有4种；（2）根据概率公式进行求解即可．【解答】解：（1）根据题意画图如下：小聪同学从迷宫口A到达D处所走的所有可能路线共有4种；（2）一共有4种情况，而过B的有3种，故小聪同学从迷宫口A到达D处经过路口B的概率为34．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．（9分）某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y （件)与销售单价x （元)之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）求该商品每天的销售量y 与销售单价x 之间的函数关系式；（2）若商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润w （元)最大？最大利润是多少？（3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，则每天的销售量最少应为多少件？【分析】（1）将点(30,100)、(45,70)代入一次函数表达式，即可求解；（2）由题意得2(30)(2160)2(55)1250w x x x =--+=--+，即可求解；（3）由题意得(30)(2160)800x x --+，解不等式即可得到结论．【解答】解：（1）设y 与销售单价x 之间的函数关系式为：y kx b =+，将点(30,100)、(45,70)代入一次函数表达式得：100307045k b k b =+⎧⎨=+⎩， 解得：2160k b =-⎧⎨=⎩， 故函数的表达式为：2160y x =-+；（2）由题意得：2(30)(2160)2(55)1250w x x x =--+=--+，20-<，故当55x <时，w 随x 的增大而增大，而3050x ，∴当50x =时，w 有最大值，此时，1200w =，故销售单价定为50元时，该商店每天的利润最大，最大利润1200元；（3）由题意得：(30)(2160)800x x --+，解得：4070x ，又216020y x =-+，则y 的最小值为27016020-⨯+=，每天的销售量最少应为20件．【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次不等式的应用、待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用销量⨯每件的利润w =得出函数关系式是解题关键．22．（9分）对于两个不相等的有理数a ，b ，我们规定符号{max a ，}b 表示a ，b 中的较大值，如{2max ，3}2-=，{1max -，0}0=．请解答下列问题：（1）2{1,1}5max --= 1- ； （2）如果{max x ，2}x x -=，求x 的取值范围；（3）如果{max x ，2}2|1|5x x -=--，求x 的值．【分析】（1）根据定义即可得；（2）由已知等式知2x x >-，解之可得；（3）分2x x >-和2x x <-两种情况分别求解可得．【解答】解：（1）2115->-， ∴2{1,1}15max --=-． 故答案为：1-；（2）{max x ，2}x x -=，2x x ∴>-．1x ∴>．x ∴的取值范围是1x >．（3）由题意，得：2x x ≠-．①若2x x >-，即1x >时，{max x ，2}x x -=，|1|1x x -=-．{max x ，2}2|1|5x x -=--，2(1)5x x ∴=--．解得7x =符合题意；)②若2x x <-，即1x <时，{max x ，2}2x x -=-，|1|(1)1x x x -=--=-．{max x ，2}2|1|5x x -=--，22(1)5x x ∴-=--．解得5x =-符合题意．综上所述，7x =或5x =-．【点评】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是理解新定义，并根据新定义列出关于x 的不等式及分类讨论思想的运用．六、（本大题共12分）23．（12分）如图，抛物线2(0)y ax bx a =+≠经过点(2,0)A ，点(3,3)B ，BC x ⊥轴于点C ，连接OB ，等腰直角三角形DEF 的斜边EF 在x 轴上，点E 的坐标为(4,0)-，点F 与原点重合（1）求抛物线的解析式并直接写出它的对称轴；（2）DEF ∆以每秒1个单位长度的速度沿x 轴正方向移动，运动时间为t 秒，当点D 落在BC 边上时停止运动，设DEF ∆与OBC ∆的重叠部分的面积为S ，求出S 关于t 的函数关系式；（3）点P 是抛物线对称轴上一点，当ABP ∆是直角三角形时，请直接写出所有符合条件的点P 坐标．【分析】（1）根据待定系数法解出解析式和对称轴即可；（2）从三种情况分析①当03t 时，DEF ∆与OBC ∆重叠部分为等腰直角三角形；②当34t <时，DEF ∆与OBC ∆重叠部分是四边形；③当45t <时，DEF ∆与OBC ∆重叠部分是四边形得出S 关于t 的函数关系式即可；（3）直接写出当ABP ∆是直角三角形时符合条件的点P 坐标．【解答】解：（1）根据题意得042393a b a b=+⎧⎨=+⎩， 解得1a =，2b =-，∴抛物线解析式是22y x x =-，对称轴是直线1x =；（2）有3种情况：①当03t 时，DEF ∆与OBC ∆重叠部分为等腰直角三角形，如图1:214S t =； ②当34t <时，DEF ∆与OBC ∆重叠部分是四边形，如图2:219342S t t =-+-； ③当45t <时，DEF ∆与OBC ∆重叠部分是四边形，如图3:211322S t t =-+-； （3）当ABP ∆是直角三角形时，可得符合条件的点P 坐标为(1,1)或(1,2)或1(1,)3或11(1,)3． 【点评】此题考查了难度较大的函数与几何的综合题，关键是根据03t ，34t <，45t <三种情况进行分析．。
北师大版九年级上册数学第一章同步测试试卷及答案
第一章学情评估一、选择题(每题3分，共30分)1．如图，已知菱形ABCD的边长等于2，∠DAB＝60°，则对角线BD的长为() A．1 B. 3 C．2 D．2 3(第1题)(第3题)(第4题)2．已知正方形的面积为36，则其对角线的长为()A．6 B．6 2 C．9 D．9 23．如图，矩形ABCD的对角线AC＝8 cm，∠AOD＝120°，则AB的长为()A. 3 cm B．2 cm C．2 3 cm D．4 cm4．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6 cm，8 cm，则这个菱形的周长为() A．5 cm B．10 cm C．14 cm D．20 cm5．四边形ABCD是平行四边形，下列结论中正确的是()A．当AC⊥BD时，它是矩形B．当AC⊥BD时，它是菱形C．当AC＝BD时，它是正方形D．当AC⊥BD时，它是正方形6．顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是菱形，则原四边形一定是() A．平行四边形B．对角线相等的四边形C．矩形D．对角线互相垂直的四边形7．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，分别交AB，CD于点E，F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的()A.15 B.14C.13 D.3108．如图，在△ABC中，AB＝AC，四边形ADEF为菱形，S△ABC＝8 3，则S菱形ADEF等于() A．4 B．4 6C．4 3 D．2 3(第8题)(第9题)(第10题)9．如图，把矩形OABC放入平面直角坐标系中，点B的坐标为(10，8)，点D是OC上一点，将△BCD沿BD折叠，点C恰好落在OA上的点E处，则点D的坐标是()A．(0，4) B．(0，5)C．(0，3) D．(0，2)10．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠C＝90°，AB＝AD，AE⊥BC于点E，若线段AE＝6，则四边形ABCD的面积是()A．3 B．4C．2 6 D．6二、填空题(每题3分，共18分)11．在Rt△ABC中，如果斜边上的中线CD＝4 cm，那么斜边AB＝________．12．在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，添加一个条件________，即可判定该四边形是菱形．13．如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，连接BE则∠BED＝________.(第13题)(第14题)14．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，DH⊥AB于点H，则线段BH的长为________．15．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，CE⊥BD，垂足为点E，CE＝5，EO＝2DE，则DE的长为________．(第15题)(第16题)16．如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD 于点F，连接AP，EF.给出下列结论：①PD＝2EC；②四边形PECF的周长为8；③AP ＝EF；④EF的最小值为2 2.其中正确结论的序号为__________．三、解答题(21题～22题每题10分，其余每题8分，共52分)17．如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且BE＝DF.求证：∠BAE＝∠DAF.18.如图，E是正方形ABCD对角线BD上一点．连接AE，CE，并延长CE交AD于点F.若∠AEC＝140°，求∠DFE的度数．19．如图，在▱ABCD 中，以点A 为圆心，AB 长为半径画弧交AD 于点F ，再分别以点B 、F 为圆心，大于12BF 的相同长为半径画弧，两弧交于点P .连接AP 并延长交BC 于点E ，连接EF ，则所得四边形ABEF 是菱形．根据以上尺规作图的过程，求证：四边形ABEF 是菱形．20．如图，已知矩形ABCD 和正方形ECGF ，其中E ，H 分别为AD ，BC 的中点，连接AF ，HG ，AH .求证：(1)AF ＝HG ；(2)∠F AE ＝∠GHC .21．如图，已知菱形ABCD 的对角线相交于点O ，延长AB 至点E ，使BE ＝AB ，连接CE .(1)求证：BD＝EC；(2)若∠E＝50°，求∠BAO的大小．22．已知：如图①，四边形ABCD是正方形，点E在CD边上，点F在AD边上，且AF＝DE，连接AE、BF，记交点为P.(1)求证：AE⊥BF；(2)如图②，对角线AC与BD交于点O，BD、AC分别与AE、BF交于点G、H，求证：OG＝OH；(3)在(2)的条件下，连接OP，若AP＝4，OP＝2，求AB的长．答案一、1. C 2. B 3. D 4. D 5. B 6. B 7. B 8. C9. C 10. D二、 11. 8 cm 12. AB ＝AD (答案不唯一) 13. 45°14. 5013 15. 5 16. ①②③④三、17. 证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴∠B ＝∠D ，AB ＝AD ，在△ABE 和△ADF 中，⎩⎨⎧AB ＝AD ，∠B ＝∠D ，BE ＝DF ，∴△ABE ≌△ADF ，∴∠BAE ＝∠DAF .18. 解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝CB ，∠ABE ＝∠CBE ＝∠ADB ＝45°.在△ABE 和△CBE 中，⎩⎨⎧AB ＝CB ，∠ABE ＝∠CBE ，BE ＝BE ，∴△ABE ≌△CBE ，∴∠AEB ＝∠CEB .又∵∠AEC ＝140°，∴∠CEB ＝70°.∵∠DEC ＋∠CEB ＝180°，∴∠DEC ＝180°－∠CEB ＝110°.∵∠DFE ＋∠ADB ＝∠DEC ，∴∠DFE ＝∠DEC －∠ADB ＝110°－45°＝65°.19. 证明：由作图知AB ＝AF ，∠EAB ＝∠EAF .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠EAF ＝∠AEB ，∴∠AEB ＝∠EAB ，∴BE ＝AB .∴BE ＝AF .∵AF ∥BE ，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AB＝BE，∴平行四边形ABEF是菱形．20. 证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，且E，H分别为AD，BC的中点，∴AE＝HC，AE∥HC，∴四边形AHCE是平行四边形，∴AH＝EC，AH∥EC.∵四边形ECGF是正方形，∴EC＝FG，EC∥FG，∴AH＝FG，AH∥FG，∴四边形AHGF是平行四边形，∴AF＝HG.(2)∵四边形AHGF是平行四边形，∴∠F AH＋∠AHG＝180°.又∵∠AHB＋∠AHG＋∠GHC＝180°，∴∠F AH＝∠AHB＋∠GHC.∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DAH＝∠AHB.又∵∠F AH＝∠F AE＋∠DAH，∴∠F AE＝∠GHC.21. (1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AB＝CD.又∵E在AB的延长线上，且BE＝AB，∴BE∥CD，BE＝CD.∴四边形BECD是平行四边形．∴BD＝EC.(2)解：∵四边形BECD是平行四边形，∴BD∥CE，∴∠ABO＝∠E＝50°.又∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.∴∠BAO＝90°－∠ABO＝40°.22. (1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠D＝90°.在△ABF和△DAE中，⎩⎨⎧AB ＝AD ，∠BAD ＝∠D AF ＝DE ，， ∴△ABF ≌△DAE ，∴∠DAE ＝∠ABF .∵∠DAE ＋∠P AB ＝∠BAD ＝90°，∴∠ABF ＋∠P AB ＝90°，∴∠APB ＝180°－(∠ABF ＋∠P AB )＝180°－90°＝90°，∴AE ⊥BF .(2)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴OA ＝OB ，∠ABO ＝∠DAO ＝45°，AC ⊥BD ，∴∠AOB ＝∠AOG ＝90°.由(1)知∠DAE ＝∠ABF ，∴∠ABO －∠ABF ＝∠DAO －∠DAE ，即∠OBH ＝∠OAG .在△OAG 和△OBH 中，⎩⎨⎧∠OAG ＝∠OBH ，OA ＝OB ，∠AOG ＝∠AOB ，∴△OAG ≌△OBH ，∴OG ＝OH .(3)解：过点O 作OM ⊥AE 于M ，作ON ⊥BF 于N ，如图所示，则∠OMP ＝∠ONP ＝90°， 又∵∠APB ＝90°，∴∠MPN ＝90°，∴四边行OMPN 是矩形．∵△OAG ≌△OBH ，∴∠OGA ＝∠OHB .在△OGM 和△OHN 中，⎩⎨⎧∠OMG ＝∠ONH ，∠OGA ＝∠OHB ，OG ＝OH ，∴△OGM ≌△OHN ，∴OM ＝ON ，∴四边形OMPN 是正方形．∵OP ＝2，∴PM ＝OM ＝ 2× 22＝1，∵AP ＝4，∴AM ＝AP ＋PM ＝4＋1＝5.在Rt △AOM 中，OA ＝AM 2＋OM 2＝52＋12＝26， ∴正方形ABCD 的边长AB ＝2OA ＝2×26＝213.。
北师大版九年级上册数学期中考试试卷及答案
北师大版九年级上册数学期中考试试题一、选择题。
（每小题只有一个正确答案）1．菱形具有而矩形不一定具有的性质是 ( )A ．对角线互相垂直B ．对角线相等C ．对角线互相平分D ．对角互补 2．符合下列条件之一的四边形不一定是菱形的是（ ）A ．四条边相等B ．两组邻边分别相等C ．对角线相互垂直平分D ．两条对角线分别平分一组对角3．一元二次方程22310x x ++=的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定460，则它们重叠部分的面积为（ ）A B ．1 C D ．5．方程2210x x --=的两个解为1x 和2x ，则12x x +的值为（ ）A ．2B ．2-C ．1D ．1-6．矩形ABCD 中，4AB =，8BC =，矩形CEFG 上的点G 在CD 边，EF a =，2CE a =，连接BD 、BF 、DF ，则BDF 的面积是（ ）A ．32B ．16C ．8D ．16+2a 7．方程2(1)4x +=的解是（ ）A ．13x =-，23x =B ．13x =-，21x =C ．11x =-，21x =D ．11x =，23x =8．菱形的两条对角线的长分别是6和8，则这个菱形的面积是（ ）A ．20B ．24C ．48D ．509．已知下列命题：①两条对角线相等的四边形是矩形；②圆的切线垂直于半径；③圆周角等于圆心角的一半；④若半径分别为3，1的两圆相切，则两圆的圆心距为2或4．其中正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．如图，四边形ABCD 是菱形，AC ＝8，DB ＝6，DH ⊥AB 于H ，则DH 等于（ ）A ．245B ．125C ．5D ．4二、填空题11．某种药品原价为60元/盒，经过连续两次降价后售价为48.6元/盒．设平均每次降价的百分率为x ，则根据题意，可列方程为______．12．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，E 是BC 边上的动点，BF AE ⊥交CD 于点F ，垂足为G ，连结CG ．则CG 的最小值为________．13．如图，在ABC 中，点D 是边BC 上一动点，//DE AC ，//DF AB ，对ABC 及线段AD 添加条件________使得四边形AEFD 是正方形．14．方程()2x + ()3x + ()()2693x x x ++=的解的个数为________．15．若一元二次方程20x x k --=有两个不相等的实数根，则k ________．16．在ABC 中，已知45ABC ∠=，BD AC ⊥于D ，2CD =，3AD =，则BD 的长为________．17．已知一元二次方程220x mx --=的两根互为相反数，则m =________．三、解答题18．解方程：()()()11332x x +-= ()222310x x +-=（用配方法）19．如图，ABC 中，90C ∠=，AD 平分BAC ∠，ED BC ⊥，//DF AB ，求证：AD 与EF 互相垂直平分．20．如图，在ABC 中，AB AC =，D 为BC 的中点，//AE BC ，//DE AB ．试说明： ()1AE DC =；()2四边形ADCE 为矩形．21．百货大楼服装柜在销售中发现：某品牌童装每件成本60元，现以每件100元销售，平均每天可售出20件．为了迎接“五•一”劳动节，商场决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多销售2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，请你帮商场算一算，每件童装应定价多少元？22．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D 为边CB 上的一个动点（点D 不与点B 重合），过D 作DO ⊥AB ，垂足为O ，点B′在边AB 上，且与点B 关于直线DO 对称，连接DB′，AD ．（1）求证：△DOB ∽△ACB ；（2）若AD 平分∠CAB ，求线段BD 的长；（3）当△AB′D 为等腰三角形时，求线段BD 的长．23．在梯形ABCD 中，//AD BC ，//EF BC ，且AE ：EB=3：2，AD=16，BC=21，求EF 的长．24．在一个不透明的口袋里装有颜色不同的黑、白两种颜色的球共4个，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：（1）请估计：当n 很大时，摸到白球的频率将会接近 ；（精确到0.1）（2）试估算口袋中白球有多少个？（3）若从中先摸出一球，放回后再摸出一球，请用列表或树状图的方法（只选其中一种），求两次摸到的球颜色相同的概率．25．如图，在Rt ABC △中，90ACB ︒∠=，D 为AB 的中点，//AE CD ，//CE AB ，连接DE 交AC 于点O ．（1）证明：四边形ADCE 为菱形；（2）若60B ︒∠=，6BC =，求菱形ADCE 的高．参考答案1．A【详解】菱形的对角线互相垂直平分，矩形的对角线相等互相平分.则菱形具有而矩形不一定具有的性质是：对角线互相垂直故选A2．B【分析】根据菱形的判定定理即可判断A;举出反例图形即可判断B;根据线段垂直平分线定理推出AB=AD,BC=CD,AB=BC,推出AB=BC=CD=AD,根据菱形的判定推出即可判断C;求出四边形ABCD是平行四边形,推出即可判断D.【详解】A、∵AB=BC=CD=AD,∴四边形ABCD是菱形,正确,故本选项错误;B、根据AB=AD,BC=CD,不能推出四边形ABCD是菱形,如图2,错误,故本选项正确;C、如图1, ∵AC⊥BD,OD=OB,∴AB=AD,BC=CD,∵BD⊥AC,AO=CO,∴AB=BC,∴AB=BC=CD=AD,∴四边形ABCD是菱形,正确,故本选项错误;D、如图1, ∵AC平分∠BAD和∠BCD,∴∠1=∠2, ∠3=∠4,∵∠1+∠3+∠ABC=180°, ∠2+∠4+∠ADC=1880°,∴∠ABC=∠ADC,同理可证∠BAD=∠BCD,∴四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∵∠1=∠2,∴∠1=∠3,∴AB=BC,∴平行四边形ABCD是菱形,正确,故本选项错误.故选B.【点睛】本题考查了菱形的判定,平行四边形的性质和判定,线段垂直平分线性质,平行线的性质,角平分线定义,等腰三角形的性质和判定等知识点的综合运用,题目比较好.3．A【详解】试题分析：∵△=2342110-⨯⨯=>，∴方程有两个不相等的实数根．故选A．考点：根的判别式．4．D【分析】过A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，则AE=AF∠AEB=∠AFD=90°，求出四边形ABCD是平行四边形，证出△AEB≌△AFD，推出AB=AD，求出四边形ABCD是菱形，根据菱形的性质得出AB=BC，解直角三角形求出AB，根据菱形的面积公式求出即可．【详解】过A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，则AE=AF∠AEB=∠AFD=90°．∵AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABE=∠ADF=60°．在△AEB和△AFD中，∵ABE ADFAEB AFDAE AF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEB≌△AFD，∴AB=AD，∴四边形ABCD是菱形，∴AB=BC．在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AE∠ABE=60°，∴BE=tan60AE︒=1，AB=sin60AE︒=2，∴BC=AB=2，∴重叠部分的面积是BC×AE故选D．【点睛】本题考查了平行四边形的判定，菱形的性质和判定，解直角三角形，全等三角形的性质和判定的应用，能求出四边形ABCD 是菱形是解答此题的关键，难度适中．5．A【解析】【分析】根据根与系数的关系直接回答问题．【详解】∵方程2210x x --=的两个解为1x 和2x ，∴()122 2.x x +=--=故选A.【点睛】考查一元二次方程()200++=≠ax bx c a 根与系数的关系, 熟记公式1212,,b c x x x x a a+=-=是解决本题的关键. 6．B【解析】【分析】根据两个矩形面积之和加上三角形DGF 面积，减去△ABD 面积与△BEF 面积，求出△BDF 面积即可．【详解】根据题意得：△BDF 的面积2221118422(4)84(28)322416416222a a a a a a a a a a a ，=⨯+⋅+⨯--⨯⨯-+=++----=故选B.【点睛】考查矩形的性质，掌握矩形以及三角形的面积公式是解题的关键.7．B【解析】【分析】用直接开方法解方程即可.【详解】2(1)4x +=12x +=±，所以13x =-，21x =；故选：B.【点睛】考查一元二次方程的解法，掌握直接开方法是解题的关键.8．B【分析】由菱形的两条对角线的长分别是6和8，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，即可求得答案．【详解】∵菱形的两条对角线的长分别是6和8，∴这个菱形的面积是：12×6×8=24． 故选B ．【点睛】本题考查了菱形的性质．此题比较简单，注意熟记定理是解答此题的关键．9．A【解析】【分析】根据矩形的判定，圆的切线的性质，圆周角定理，两圆相切的位置关系即可作出判断．【详解】①中，必须在平行四边形的基础上，错误；②中，应是垂直于过切点的半径，错误；③中，必须是同弧或等弧所对，错误；④中，两圆相切，可能内切，也可能外切，正确.故选：A.【点睛】考查圆与圆的位置关系，矩形的判定，圆周角定理，切线的性质，比较基础，难度不大. 10．A【分析】根据菱形性质求出AO＝4，OB＝3，∠AOB＝90°，根据勾股定理求出AB，再根据菱形的面积公式求出即可．【详解】∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝OC，BO＝OD，AC⊥BD，∵AC＝8，DB＝6，∴AO＝4，OB＝3，∠AOB＝90°，由勾股定理得：AB5，∵S菱形ABCD ＝12AC BD AB DE⨯⨯=⨯，∴18652DH⨯⨯=⨯，∴DH＝245，故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理和菱形的性质的应用，能根据菱形的性质得出S 菱形ABCD ＝ 12×AC×BD ＝AB×DH 是解此题的关键．11．2601x 48.6-=（） 【详解】试题分析：平均每次降价的百分率为x ，第一次降价后售价为60(1－x)，第二次降价后售价为60(1－x) (1－x)＝601－x)2.据此列出方程：260(1x)48.6-=.考点：一元二次方程的应用（增长率问题）.121【详解】解：由于OC 和OG 的长度是一定的，因此当O 、G 、C 在同一条直线上时，CG 取最小值，CG 的最小值为．1．【点睛】本题考查正方形的性质．13．ABC 是等腰直角三角形，AD 是角平分线【分析】正方形是特殊的菱形.【详解】首先，四边形AEDF 是平行四边形，当∠BAC=90°时，四边形AEDF 为矩形，只需令边相等即可.当AB=AC 时成立，所以增加的条件是ABC 是等腰直角三角形，AD 是角平分线.【点睛】掌握四边形的性质是解题的关键.14．2【分析】用图象法求解，分别画出y =（x +2 ）（x +3 ）（x +6）（x +9）与y =3x 2的图象，根据两图象的交点个数即可判断方程解的个数．【详解】y =（x +2 ）（x +3 ）（x +6）（x +9）与y =3x 2的图象如图：由图象可知有两个交点，故解的个数为2．故答案为2．【点睛】本题考查了高次方程，难度较大，关键是先画出两个函数的大致图象进行求解．15．.14>-【分析】根据0>，得出关于k 的不等式求出k 的值；【详解】∵()()214141,k k =--⨯⨯-=+而方程有两个不相等的实数根，∴0>，即410k +> ， 解得：1.4k >-故答案为:1.4>-【点睛】考查一元二次方程()200++=≠ax bx c a 根的判别式24b ac ∆=-，当240b ac ∆=->时，方程有两个不相等的实数根.当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根.当240b ac ∆=-<时，方程没有实数根.16．6【解析】【分析】由题意可得出△ABD ≌△ABE ，△CBD ≌△CBF ，推出∠DBA=∠EBA ，∠DBC=∠FBC ，求出四边形BEGF 是正方形，设BD=x ，则BE=EG=GF=x ，AG=x-3，CG=x-2，在Rt △，AGC 中根据勾股定理求出（x-3）2+（x-2）2=（2+3）2，求出即可．【详解】分别以BA 和BC 为对称轴在△ABC 的外部作△BDA 和△BDC 的对称图形△BEA 和△BFC ，如图，由题意可得：△ABD ≌△ABE ,△CBD ≌△CBF∴∠DBA =∠EBA ，∠DBC =∠FBC ，又∵45ABC ∠=∴90EBF ∠=，又∵AD ⊥BC ，∴90,90E ADB F BDC ∠=∠=∠=∠=，又∵BE =BD ，BF =BD ，∴BE =BF ，∴四边形BEGF 是正方形，设BD =x ，则BE =EG =GF =x ，∵CD =2，AD =3，∴BE =2，CF =3∴AG =x −3，CG =x −2，在Rt △,AGC 中,222AG CG AC ，+= ()()()2223223x x -+-=+， 126,1x x ==-(舍去)，即BD =6，故答案为6.【点睛】考查正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质，掌握正方形的判定与性质是解题的关键.17．0【解析】【分析】根据题意可得x 1+x 2=0，然后根据根与系数的关系可得x 1+x 2=m ，据此求出m 的值．【详解】∵方程的两根互为相反数，∴120x x +=，∵12x x m +=，∴m =0.故答案为：0.【点睛】考查一元二次方程()200++=≠ax bx c a 根与系数的关系, 熟记公式1212,,b c x x x x a a+=-=是解决本题的关键.18．()117x =，25x =-； ()12332,44x x =-=-． 【解析】【分析】 ()1 用因式分解法解方程即可.()2用配方法解方程即可.【详解】()()()11332x x +-=去括号，得22332x x --=,移项及合并同类项，得22350x x --=,∴()()750x x -+=∴70x -=或50x +=，解得，17x =，25x =-；()222310x x +-=（用配方法）23212x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭, 23122x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭, 2391()4162x +-=, 2317()416x +=,∴344x +=±,∴34x =-，∴1233,44x x =-=． 【点睛】考查一元二次方程的解法，熟练掌握直接开方法，配方法，公式法，因式分解法是解题的关键.19．见解析【解析】【分析】欲证明AD 与EF 互相垂直平分，只需推知四边形AEDF 为菱形即可．【详解】∵如图，ABC 中，90C ∠=，ED BC ⊥，∴//ED AC ，则//ED AF ．又∵//DF AB ，∴四边形AEDF 为平行四边形．又AD 平分BAC ∠，∴平行四边形AEDF 为菱形，∴AD 与EF 互相垂直平分．【点睛】考查菱形的判定与性质，掌握菱形的判定方法是解题的关键.20．见解析【解析】【分析】（1）根据已知条件可以判定四边形ABDE 是平行四边形，则其对边相等：AE=BD ．结合中点的性质得到AE=CD ；（2）依据“对边平行且相等”的四边形是平行四边形判定四边形ADCE 是平行四边形，又由“有一内角为直角的平行四边形是矩形”证得结论．【详解】()1如图，∵//AE BC ，∴//AE BD ．又∵//DE AB ，∴四边形ABDE 是平行四边形，∴AE BD =．∵D 为BC 的中点，∴BD DC =，∴AE DC=；()2∵//AE CD，AE BD DC==，即AE DC=，∴四边形ADCE是平行四边形．又∵AB AC=，D为BC的中点，∴AD CD⊥，∴平行四边形ADCE为矩形．【点睛】考查平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，掌握平行四边形和矩形的判定方法是解题的关键.21．每件童装应定价80．【分析】根据题意可以列出相应的一元二次方程，从而可以求得每件童装应定价多少元，注意商场决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存，也就意味着在获得相同利润的前提下，要降价多的那种情况．【详解】设每件童装应降价x元，由题意得：（100﹣60﹣x）（20+2x）=1200，解得：x1=10，x2=20，因要减少库存，故取x=20，100-20=80答：每件童装应定价80元．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解答此类问题的关键是明确题意，列出相应的方程，注意要联系实际情况．22．（1）证明见试题解析；（2）5；（3）50 13．【详解】试题分析：（1）公共角和直角两个角相等，所以相似.(2)由（1）可得三角形相似比，设BD ＝x ，CD ，BD ，BO 用x 表示出来，所以可得BD 长.(3)同（2）原理，BD ＝B′D ＝x , AB′，B′O ，BO 用x 表示,利用等腰三角形求BD 长.试题解析：（1）证明:∵DO ⊥AB ，∴∠DOB ＝90°，∴∠ACB ＝∠DOB ＝90°,又∵∠B ＝∠B ．∴△DOB ∽△ACB ．（2）∵AD 平分∠CAB ，DC ⊥AC,DO ⊥AB,∴DO ＝DC ,在 Rt △ABC 中，AC ＝6，BC ＝,8，∴AB ＝10,∵△DOB ∽△ACB,∴DO ∶BO ∶BD ＝AC ∶BC ∶AB ＝3∶4∶5,设BD ＝x ，则DO ＝DC ＝35x ，BO ＝45x , ∵CD ＋BD ＝8，∴35x ＋x ＝8，解得x ＝,5，即：BD ＝5． （3）∵点B 与点B′关于直线DO 对称，∴∠B ＝∠OB′D ，BO ＝B′O ＝45x ，BD ＝B′D ＝x , ∵∠B 为锐角，∴∠OB′D 也为锐角，∴∠AB′D 为钝角,∴当△AB′D 是等腰三角形时，AB′＝DB′,∵AB′＋B′O ＋BO ＝10，∴x ＋45x ＋45x ＝10，解得x ＝5013，即BD ＝5013， ∴当△AB′D 为等腰三角形时，BD ＝5013. 点睛：角平分线问题的辅助线添加及其解题模型.①垂两边：如图（1），已知BP 平分ABC ∠，过点P 作PA AB ⊥，PC BC ⊥，则PA PC =. ②截两边：如图（2），已知BP 平分MBN ∠，点A BM 上，在BN 上截取BC BA =，则ABP ∆≌CBP ∆.③角平分线+平行线→等腰三角形：如图（3），已知BP 平分ABC ∠，//PA AC ，则AB AP =；如图（4），已知BP 平分ABC ∠，//EF PB ，则BE BF =.(1) (2) (3) (4) ④三线合一（利用角平分线+垂线→等腰三角形）：如图（5），已知AD 平分BAC ∠，且AD BC ⊥，则AB AC =，BD CD =.(5)23．EF 的长为19．【分析】如图（见解析），先根据平行四边形的判定与性质可得16CH AD ==，16FG =，再根据平行线分线段成比例定理推论可得3EG =，然后根据线段的和差即可得．【详解】如图，过点A 作//AH DC ，分别交EF 于点G ，BC 于点H ，∵//AD BC ，//AH DC ，∴四边形AHCD 是平行四边形，∴16CH AD ==，同理可得：16FG =，∵21BC =，∴21165BH BC CH =-=-=，∵//EF BC ，∴::AE AB EG BH =，:3:2AE EB =，∴:3:5AE AB =，∴:53:5EG =，解得3EG =，∴31619EF EG FG =+=+=．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线分线段成比例定理推论等知识点，通过作辅助线，构造平行四边形是解题关键．24．（1）0.5；（2）2个；（3）12． 【分析】（1）由表的第三行从左往右看，摸到白球的频率越来越接近0.5，所以答案是0.5；（2）由（1）得到的频率可以估算出概率，再用概率乘以球的总个数可以得到白球的个数；（3）用列表法把所有结果列举出来，再用两个球颜色相同的结果数目除以总的结果数目即可得到答案．【详解】解：（1）由题可得：当n 很大时，摸到白球的频率接近0.5．故答案为：0.5；（2）由（1）摸到白球的概率为0.5，所以可估计口袋中白种颜色的球的个数=4×0.5=2（个）；（3）列表得：由列表可得：共有16种等可能结果，其中两个球颜色相同的有8种可能，∴P（颜色相同）=816=12．【点睛】本题考查概率的综合应用，熟练掌握用频率估计概率的方法、用列表法计算概率的方法及概率的应用是解题关键．25．（1）见解析；（2）【分析】（1）先证明四边形ADCE是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得出CD=1 2AB=AD，即可得出四边形ADCE为菱形；（2）过点D作DF⊥CE，垂足为点F；先证明△BCD是等边三角形，得出∠BDC=∠BCD=60°，CD=BC=6，再由平行线的性质得出∠DCE=∠BDC=60°，在Rt△CDF中，求出DF即可．【详解】解：（1）证明：∵AE∥CD，CE∥AB，∴四边形ADCE是平行四边形，∵∠ACB=90°，D为AB的中点，∴CD=12AB=AD，∴四边形ADCE为菱形；（2）过点D作DF⊥CE，垂足为点F，如图所示：DF即为菱形ADCE的高，∵∠B=60°，CD=BD，∴△BCD是等边三角形，∴∠BDC=∠BCD=60°，CD=BC=6，∵CE∥AB，∴∠DCE=∠BDC=60°，∴∠CDF=30°，又∵CD=BC=6，∴CF=3，∴在Rt△CDF中，DF==【点睛】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定、等边三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握直角三角形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．。
北师大版九年级上册数学同步测试：2.6(第2课时)有答案
第2课时建立一元二次方程解决利润问题【基础巩固】知识点一：建立一元二次方程解决利润问题1. 某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（）A．（3+x）（4﹣0.5x）=15B．（x+3）（4+0.5x）=15C．（x+4）（3﹣0.5x）=15D．（x+1）（4﹣0.5x）=151.A2. 将进货单价为40元的商品按50元售出时，能卖500个，已知该商品每涨价1元时，其销售量就减少10个，为了赚8000元利润，售价应定为多少？2. 解：设定价为每件x元，则每件涨价（x-50)元.根据题意得（x-40)[500-10(x-50)]=8000，解得x1=60，x2=80.答：定价为每件60元或80元.3. (2017•孝感)某商店从厂家以21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价，若每件商品售价为a元，则可卖(350－10a)件，但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%.商店计划要赚400元，需要卖出多少件商品？每件商品的售价为多少元？3. 解：由题意，得(a－21)(350－10a)＝400，解得a1＝25，a2＝31.∵31＞21×(1＋20%)，∴a＝31舍去，∴a＝25.∴400÷(25－21)＝100.因此需卖出100件商品，每件的售价为25元．知识点二：建立一元二次方程解决增长率问题4. 随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查显示，截止2017年底某市汽车拥有量为16.9万辆．已知2015年底该市汽车拥有量为10万辆，设2015年底至2017年底该市汽车拥有量的平均增长率为x，根据题意列方程得( )A．10(1＋x)2＝16.9 B．10(1＋2x)＝16.9C．10(1－x)2＝16.9 D．(1－2x)＝16.94.A5.(2016•邯郸25中模拟)某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为48万元，设每月的平均增长率为x，则可列方程为( )A．48(1－x)2＝36 B．48(1＋x)2＝36C．36(1－x)2＝48 D．36(1＋x)2＝485.D6.某商品原售价289元，经过连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程中正确的是( )A. 289(1-2x) 2=256B. 256(1-x) 2=289C.289(1-2x)=256D.256(1-2x)=2896.A7. (2017•烟台)广州市政府决定改善城市面貌，绿化环境，计划经过两年时间，绿化面积增加44%，这两年平均每年绿化面积的增长率为_ __.7.20％8. (2016•石家庄十八县重点中学一模)为落实“两免一补”政策，某市2014年投入教育经费2 500万元，预计2016年要投入教育经费3 600万元．已知2014年至2016年的教育经费投入以相同的百分率逐年增长，则2015年该市要投入的教育经费为____万元．8.3000知识点三：建立一元二次方程解决其他实际问题9. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有256人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染( )A．17人 B．16人C．15人 D．10人9. A【能力提升】10.某特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？10.解：设每千克核桃应降价x元．根据题意，得（60﹣x﹣40）（100+×20）=2240．化简，得 x2﹣10x+24=0 解得x1=4，x2=6．答：每千克核桃应降价4元或6元．（2）解：由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价6元．此时，售价为：60﹣6=54（元），．答：该店应按原售价的九折出售．11. 某汽车销售公司6月份销售某厂家汽车，在一定范围内，每辆汽车的进价与销售量有如下关系，若当月仅售出1辆汽车，则该汽车的近价为27万元；每多售出1辆，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/辆，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10辆以内（含10辆），每辆返利0.5万元，销售量在10辆以上，每辆返利1万.（1）若该公司当月售出3辆汽车，则每辆汽车的进价为万元；（2）如果汽车的售价为28万元/辆，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少辆汽车？（盈利=销售利润+返利）11. 解：(1）27-（3-1）×0.1=26.8.[来源:Z&（2）设销售汽车x辆，则汽车的进价为27-（x-1）×0.1=27.1-0.1x万元，若x≤10，则（28-27.1+0.1x）x+0.5x=12，解得x1=6，x2=-20(不合题意，舍去)若x>10，则（28-27.1+0.1x）x+x=12，解得x3=5(与x>10舍去，舍去)，x4=-24(不合题意，舍去).所以，公司计划当月盈利12万元，需要售出6辆汽车.12. (2017•达州)某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均每年增长的百分率为x.(1)用含x的代数式表示第3年的可变成本为________万元；(2)如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率．12.解： (1)2.6(1＋x)2；(2)由题意，得4＋2.6(1＋x)2＝7.146.解得x1＝0.1，x2＝－2.1(不合题意，舍去)．答：可变成本平均每年增长的百分率为10%.【综合探究】13. 某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同．(1)求该种商品每次降价的百分率；(2)若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3 210元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？13.解：(1)设该种商品每次降价的百分率为x%，依题意，得400×(1－x%)2＝324，解得x＝10或x＝190(舍去)．答：该种商品每次降价的百分率为10%；(2)设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品(100－m)件，第一次降价后的单件利润为：400×(1－10%)－300＝60(元/件)；第二次降价后的单件利润为：324－300＝24(元/件)．依题意得：60m＋24×(100－m)＝36m＋2 400≥3 210，解得m≥22.5.∴m≥23.答：为使两次降价销售的总利润不少于3 210元，第一次降价后至少要售出该种商品23件．14. 商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元．据此规律，正常销售情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2 100元？14.解：设每件商品降价x元，则商场日销售量增加2x件，每件商品盈利(50－x)元．由题意，得(50－x)(30＋2x)＝2 100.整理，得x2－35x＋300＝0.解得x1＝15，x2＝20.∵要尽快减少库存，∴x＝15不合题意，舍去，只取x＝20.答：每件商品降价20元时，商场日盈利可达到2 100元．。
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【北师大版】2015-2016学年九年级上册期中考试数学试卷及答案.doc九 年 级 数 学 试 卷本试卷满分150分，考试时间120分钟一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将此选项的字母填填在括号中)．1、下列命题中正确的是（ ）A ． 有一组邻边相等的四边形是菱形B ． 有一个角是直角的平行四边形是矩形C ． 对角线垂直的平行四边形是正方形D ． 一组对边平行的四边形是平行四边形2、下面关于的方程中：①；②；③；④（）；⑤=-1.一元二次方程的个数是（ ）A.1B.2C.3D.43、如图，菱形ABCD 中，AB=4，∠B=60°，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，垂足分别为E ，F ，连接EF ，则的△AEF 的面积第3题图 第5题图 第6题图4、在一个口袋中有4个完全相同的小球，它们的标号分别为1，2，3，4，从中随机摸出一个小球记下标号后放回，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号之和大于4的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．5、如图，在矩形ABCD 中，R ，P 分别是DC ，BC 上的点，E ，F 分别是AP ，RP 的中点，当点P 在BC 上从B 向C 移动而R 不动时，那么下列结论成立的是（ ）（A ）线段EF 的长逐渐增大 （B ）线段EF 的长逐渐减少（C ）线段EF 的长不变 （D ）线段EF 的长不能确定 6、如图，AB ∥CD ∥EF ，则在图中下列关系式一定成立的是（ ）A ．B ．C ．D ．7、 根据下列表格对应值：判断关于的方程的一个解的范围是（ ）A. ＜3.24B. 3.24＜＜3.25C. 3.25＜＜3.26D. 3.25＜＜3.288、若关于x 的一元二次方程有解，那么m 的取值范围是（ ）A. B. C. 且 D. 且9、某市2013年投入教育经费2亿元，为了发展教育事业，该市每年教育经费的年增长率均为x ，从2013年到2015年共投入教育经费9.5亿元,则下列方程正确的是（ ） A.B ．C ．D ．10、如图，四边形ABCD 中，对角线AC ⊥BD ，且AC=8，BD=4，各边中点分别为A 1、B 1、C 1、D 1，顺次连接得到四边形A 1B 1C 1D 1，再取各边中点A 2、B 2、C 2、D 2，顺次连接得到四边形A 2B 2C 2D 2，……，依此类推，这样得到四边形A n B n C n D n ,则四边形A n B n C n D n 的面积为（ ）A -BC -D 不确定第 10题图二、填空题 （本大题共8小题，每小题4分，共32分．把答案写在题中的横线上.）11、顺次连接四边形ABCD 各边中点E 、F 、G 、H ，得到四边形EFGH ，只要添加 条件，就能保证四边形EFGH 是矩形.12、 如图，在矩形ABCD中，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 、F 分别是AO 、AD 的中点，若AB=6cm ，BC=8cm ，则△AEF 的周长= cm ．第12题图 第16题图 第18题图13、若，则的值为14、已知x 1，x 2是方程x 2＋6x ＋3＝0的两实数根，则＋的值为________．15、现有一块长80cm 、宽60cm 的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为xcm 的小正方形，做成一个底面积为1500cm 2的无盖的长方体盒子，根据题意列方程，化简可得 ． 16、如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD ＋PE 的和最小，则这个最小值为 ．17、在比例尺为1：5 000 000的地图上，量得甲、乙两地的距离约为25厘米，则甲、乙两地的实际距离约为 千米；18、如图，在菱形ABCD 中，AB=4cm ，∠ADC=120°，点E 、F 同时由A 、C 两点出发，分别沿AB 、CB 方向向点B 匀速移动（到点B 为止），点E 的速度为1cm/s ，点F 的速度为2cm/s ，经过t 秒△DEF 为等边三角形，则t 的值为 ．三、解答题（一）：本大题共5小题，共38分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.19、解下列方程（每小题3分，共12分）（1）（公式法） （2） 7x 2-23x +6 = 0. （配方法）(3)（分解因式法） （4）解方程：（适当的方法）20、设x、y均为实数，且，求的值．（5分）21、设a是方程的一个根，求代数式的值．（5分）22、（6分）如图所示，四边形ABCD∽四边形，求未知边的长度和的度数。
23、（共10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE ⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD，BE（1）求证：CE=AD（2）当点D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明理由（3）若D为AB的中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？说明理由。
四、解答题（二）：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.24、（共8分）已知：平行四边形ABCD的两边AB、BC的长是关于的方程的两个实数根．（1）试说明：无论取何值方程总有两个实数根（2）当为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；（3）若AB的长为2，那么平行四边形ABCD的周长是多少？25、(共10分）已知关于x的方程x2－2(k－1)x＋k2＝0有两个实数根x1，x2.(1)求k的取值范围；(2)若|x1＋x2|＝x1x2－1，求k的值．26、（共10分）小莉的爸爸买了某演唱会的一张门票，她和哥哥两人都很想去观看，可门票只有一张，读九年级的哥哥想了一个办法，拿了八张扑克牌，将数字为1，2，3，5的四张牌给小莉，将数字为4，6，7，8的四张牌留给自己，并按如下游戏规则进行：小莉和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张牌数字相加，如果和为偶数，则小莉去；如果和为奇数，则哥哥去．（1）请用树状图或列表的方法表示出两张牌数字相加和的所有可能出现的结果；（2）哥哥设计的游戏规则公平吗？为什么？若不公平，请设计一种公平的游戏规则．27、（共10分）西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元．该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元?28、（共12分）如图，正方形ABCO 的边OA 、OC 在坐标轴上，点B 坐标为（3，3）．将正方形ABCO 绕点A 顺时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形ADEF ，ED 交线段OC 于点G ，ED 的延长线交线段BC 于点P ，连AP 、AG ．（1）求证：△AOG ≌△ADG ；（2）求∠PAG 的度数；并判断线段OG 、PG 、BP 之间的数量关系，说明理由； （3）当∠1=∠2时，求直线PE 的解析式；【注： 3333318339318273183622-=+-=+-=-】（4）在（3）的条件下，直线PE 上是否存在点M ，使以M 、A 、G 为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出M 点坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题1、B ．2、B3、B4、C5、C6、C7、B8、D9、D 10、B 二、填空题： 11、12、9 13、2/3 14、10 15、x 2﹣70x+825=0 16、17、1250 18、三、计算题（一）19（1）、（2）、3，（3）、（4）、，20、21、-1．22、由题意得：，∴＝18，∵∠＝360°－（63°＋129°＋78°）＝90°，∵四边形ABCD∽四边形，∴∠C＝∠＝90°，即＝90°．23、（1）证明：∵DE⊥BC,∠ACB=90°∴AC∥DE,又∵MN∥AB,∴四边形CADE是平行四边形，∴CE=AD.（2）四边形BECD是菱形，理由：D是AB边的中点，所以AD=DB,又AD=CE,所以DB=CE,而DB∥CE,四边形DBEC是平行四边形，因为ΔACB是直角三角形，D是斜边AB的中点，所以CD=DB,所以四边形BECD是菱形。
（3）∠A=45°时，四边形BECD是正方形，理由：∵∠ACB=90°又∠A=45°∴CA=CB,点D是AB的中点，∴CD ⊥AB,即∠CDB=90°，而四边形BECD是菱形，∴四边形BECD是正方形。
四、计算题（二）24、（1）∵无论m取何值∴无论取何值方程总有两个实数根（2）∵四边形ABCD是菱形∴AB=BC即∴m=1代入方程得∴∴即菱形的边长为（3）将AB=2代入方程解得m=将带入方程解得（或用根与系数的关系求得）即BC=∴周长为525、解：(1)由方程有两个实数根，可得Δ＝b2－4ac＝4(k－1)2－4k2＝4k2－8k＋4－4k2＝－8k＋4≥0.解得k≤.(2)依据题意，可得x1＋x2＝2(k－1)．由(1)可知k≤，∴2(k－1)＜0，x1＋x2＜0.∴|x1＋x2|＝－x1－x2＝x1·x2－1.∴－2(k－1)＝k2－1.解得k1＝1(舍去)，k2＝－3.∴k的值是－3.26、解：（1）由上表可知，两张牌数字相加和的所有可能出现的结果共有16种．（2）不公平．因为上述16种结果出现的可能性相同，而和为偶数的结果有6种，和为奇数的结果有10种，即小莉去的概率为，哥哥去的概率为，，小莉去的概率低于哥哥去的概率．可把小莉的数字5的牌与哥哥数字4的牌对调，使两人去的概率相同，即游戏公平．27、解：设应将每千克小型西瓜的售价降低元，根据题意得：解这个方程得：答：应将每千克小型西瓜的售价降低0.2或0.3元28、（1）证明：由题意得，AO=AD，∠AOG=∠ADG=90°，∴在Rt△AOG和Rt△ADG中，AO=AD，AG=AG，∴△AOG≌△ADG（HL）.（2）∠PAG =45°,PG=OG+BP.理由如下：由（1）同理可证△ADP≌△ABP，则∠DAP=∠BAP，DP=BP，∵由（1）△AOG≌△ADG，∴∠1=∠DAG，DG=OG，又∵∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°，∴2∠DAG+2∠DAP=90°，即∠DAG+∠DAP=45°，∴∠PAG=∠DAG+∠DAP=45°.∴PG=DG+DP=OG+BP.（3）解：∵△AOG≌△ADG，∴∠AGO=∠AGD，又∵∠1+∠AGO=90°，∠2+∠PGC=90°，∠1=∠2，∴∠AGO=∠AGD=∠PGC，又∵∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°，∴∠AGO=∠AGD=∠PGC=60°，∴∠1=∠2=30°，在Rt△AOG中，AO=3，AG=2OG，AG2=AO2+OG2，∴OG=，则G点坐标为：（，0），CG=3﹣，在Rt△PCG中，PG=2CG=2（3﹣），PC==3﹣3，则P点坐标为：（3，3﹣3），设直线PE的解析式为y=kx+b，则，解得，所以，直线PE的解析式为y=x﹣3．（4）、.。