高考数学数列小题练习集(一)
2023届山东省高考模拟练习(一)数学试题
2023高考模拟练习（一）数学一、单选题：本题共8小题 每小题5分 共40分。
在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}245A y y x x ==-- (){}2lg 1B x y x ==- 则A B ⋂=（ ） A ．()1,1-B ．()1,+∞C ．[)9,+∞D ．[)()9,11,--⋃+∞2．已知命题p ：()00,x ∃∈+∞ 001x a x +< 若p 为假命题 则a 的取值范围为（ ） A ．()1,+∞B ．()2,+∞C ．(],1-∞D ．(],2-∞ 3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S 若954S = 8530S S -= 则11S =（ ）A ．77B ．88C ．99D ．110 4．若函数()()2ln 2023R f x x a x x a =---∈在区间[)1,+∞上单调递增，则a 的取值范围是（ ）A. (),1-∞B. (],1-∞C. 1,8⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ D.1,8⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦5．已知正四棱锥各棱的长度均为2 其顶点都在同一个球面上 则该球的表面积是（ ）A ．83πB ．8πC ．16πD ．32π6．已知0x > 0y > 21x y += 则()()11x y xy ++的最小值为（ ） A ．443+ B ．12 C ．83+ D ．167．已知在△ABC 中 3AB = 4AC = 3BAC π∠= 2AD DB = P 在CD 上12AP AC AD λ=+ 则AP BC ⋅的值为（ ） A ．116- B ．72 C ．4 D ．68．已知2ln2a a -= 3ln 3b b -= 3ln 2c c -= 其中a b ()0,1c ∈ 则（ ） A ．c b a << B ．c a b << C ．a b c <<D ．a c b <<二、多项选择题：本大题共4小题 每小题5分 共20分．在每小题给出的四个选项中 有多项符合要求 全部选对得5分 选对但不全的 得2分 有选错的得0分．9．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分 评定该选手的成绩时 从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分 得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比 可能变化的数字特征是（ ）A ．中位数B ．平均数C ．方差D ．极差10．已知函数()()sin 0,0,2f A x A x πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示 下列说法正确的是（ ）A ．函数()y f x =的图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称B ．函数()y f x =的图象关于直线512x π=-对称 C ．函数()y f x =在2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减 D ．该图象向右平移6π个单位可得2sin 2y x =的图象11．如果双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的一条渐近线上的点(3M -关于另一条渐近线的对称点恰为右焦点F P 为双曲线上的动点 已知()3,1A 则12PA PF +的值可能为（ ）A ．32B ．2C ．52D ．412．在正方体1111ABCD A B C D -中 点P 满足1BP BC BB λμ=+ 其中[]0,1λ∈ []0,1μ∈ 则下列说法正确的是（ ）A ．当λμ=时 1A P ∥平面1ACDB ．当1μ=时 三棱锥1P A BC -的体积为定值C ．当1λ=时 △PBD 的面积为定值D ．当1λμ+=时 直线1A D 与1D P 所成角的取值范围为,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦三、填空题：本大题共4小题 每小题5分 共20分．把答案填在题中横线上．13．若复数z 满足()20222i z i -= 则z = ．14．4211x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是 ． 15.已知函数2(1),0(),(1),0x x x e x f x x x e⎧+<⎪=⎨+≥⎪⎩若关于x 的方程()()20f x a f x -=⎡⎤⎣⎦有3个不相等的实数根 则实数a 的取值范围是_______________ 16.已知双曲线222:1(0)4y x C b b -=>的上顶点、下焦点分别为M F 以M 为圆心 b 为半径的圆与C 的一条渐近线交于A B 两点 若60AMB ∠=︒ AB 的中点为Q （Q 在第一象限） 点P 在双曲线的下支上 则当||||PF PQ +取得最小值时 直线PQ 的斜率为__________．四、解答题：本题共6小题 共70分。
新高考数学数列多选题专项训练专项练习及答案
一、数列多选题1．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．a 8＝34 B ．S 8＝54C ．S 2020＝a 2022－1D ．a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2021＝a 2022答案：BCD 【分析】由题意可得数列满足递推关系，依次判断四个选项，即可得正确答案. 【详解】对于A ，可知数列的前8项为1，1，2，3，5，8，13，21，故A 错误； 对于B ，，故B 正确； 对于C ，可解析：BCD 【分析】由题意可得数列{}n a 满足递推关系()12211,1,+3n n n a a a a a n --===≥，依次判断四个选项，即可得正确答案. 【详解】对于A ，可知数列的前8项为1，1，2，3，5，8，13，21，故A 错误； 对于B ，81+1+2+3+5+8+13+2154S ==，故B 正确； 对于C ，可得()112n n n a a a n +-=-≥， 则()()()()1234131425311++++++++++n n n a a a a a a a a a a a a a a +-=----即212++1n n n n S a a a a ++=-=-，∴202020221S a =-，故C 正确； 对于D ，由()112n n n a a a n +-=-≥可得，()()()135202124264202220202022++++++++a a a a a a a a a a a a =---=，故D 正确.故选：BCD. 【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，解题的关键是得出数列的递推关系，()12211,1,+3n n n a a a a a n --===≥，能根据数列性质利用累加法求解. 2．黄金螺旋线又名等角螺线，是自然界最美的鬼斧神工．在一个黄金矩形（宽长比约等于0.618）里先以宽为边长做正方形，然后在剩下小的矩形里以其宽为边长做正方形，如此循环下去，再在每个正方形里画出一段四分之一圆弧，最后顺次连接，就可得到一条“黄金螺旋线”．达·芬奇的《蒙娜丽莎》，希腊雅典卫城的帕特农神庙等都符合这个曲线．现将每一段黄金螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形半径设为a n (n ∈N *)，数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)．再将扇形面积设为b n (n ∈N *)，则（ ）A ．4(b 2020－b 2019)＝πa 2018·a 2021B ．a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝a 2021－1C ．a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝2a 2019·a 2021D ．a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝0答案：ABD 【分析】对于A ，由题意得bn＝an2，然后化简4(b2020－b2019)可得结果；对于B ，利用累加法求解即可；对于C ，数列{an}满足a1＝a2＝1，an ＝an －1＋an －2 (n≥3解析：ABD 【分析】对于A ，由题意得b n ＝4πa n 2，然后化简4(b 2020－b 2019)可得结果；对于B ，利用累加法求解即可；对于C ，数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，即a n －1＝a n －2－a n ，两边同乘a n －1 ，可得a n －12＝a n －1 a n －2－a n －1 a n ，然后累加求解；对于D ，由题意a n －1＝a n －a n －2，则a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2，化简可得结果 【详解】 由题意得b n ＝4πa n 2，则4(b 2020－b 2019)＝4(4πa 20202－4πa 20192)＝π(a 2020＋a 2019)(a 2020－a 2019)＝πa 2018·a 2021，则选项A 正确； 又数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，所以a n －2＝a n －a n －1(n ≥3)，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋(a 5－a 4)＋…＋(a 2021－a 2020)＝a 2021－a 2＝a 2021－1，则选项B 正确；数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，即a n －1＝a n －2－a n ，两边同乘a n －1 ，可得a n－12＝a n －1 a n －2－a n －1 a n ，则a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝a 12＋(a 2a 1－a 2a 3)＋(a 3a 2－a 3a 4)＋…＋(a 2020a 2019－a 2020a 2021)＝a 12－a 2020a 2021＝1－a 2020a 2021，则选项C 错误；由题意a n －1＝a n －a n －2，则a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝a 2019·(a 2021－a 2019)＋a 2020·(a 2018－a 2020)＝a 2019·a 2020＋a 2020·(－a 2019)＝0，则选项D 正确； 故选：ABD. 【点睛】此题考查数列的递推式的应用，考查累加法的应用，考查计算能力，属于中档题3．已知数列{}n a 中，11a =，1111n n a a n n +⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，*n N ∈.若对于任意的[]1,2t ∈，不等式()22212na t a t a a n<--++-+恒成立，则实数a 可能为（ ） A ．－4B ．－2C ．0D ．2答案：AB 【分析】由题意可得，利用裂项相相消法求和求出，只需对于任意的恒成立，转化为对于任意的恒成立，然后将选项逐一验证即可求解. 【详解】 ，， 则，，，，上述式子累加可得：，， 对于任意的恒成立解析：AB 【分析】 由题意可得11111n n a a n n n n +-=-++，利用裂项相相消法求和求出122n a n n=-<，只需()222122t a t a a --++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立，转化为()()210t a t a --+≤⎡⎤⎣⎦对于任意的[]1,2t ∈恒成立，然后将选项逐一验证即可求解.【详解】111n n n a a n n++-=，11111(1)1n n a a n n n n n n +∴-==-+++，则11111n n a a n n n n --=---，12111221n n a a n n n n ---=-----，，2111122a a -=-， 上述式子累加可得：111n a a n n -=-，122n a n n∴=-<， ()222122t a t a a ∴--++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立，整理得()()210t a t a --+≤⎡⎤⎣⎦对于任意的[]1,2t ∈恒成立， 对A ，当4a =-时，不等式()()2540t t +-≤，解集5,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，包含[]1,2，故A 正确； 对B ，当2a =-时，不等式()()2320t t +-≤，解集3,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，包含[]1,2，故B 正确； 对C ，当0a =时，不等式()210t t +≤，解集1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，不包含[]1,2，故C 错误；对D ，当2a =时，不等式()()2120t t -+≤，解集12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，不包含[]1,2，故D 错误，故选：AB. 【点睛】本题考查了裂项相消法、由递推关系式求通项公式、一元二次不等式在某区间上恒成立，考查了转化与划归的思想，属于中档题.4．(多选题)已知数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且23n n n S a +=，则1n n a a -的值不可能为（ ） A ．2B ．5C ．3D ．4答案：BD 【分析】利用递推关系可得，再利用数列的单调性即可得出答案． 【详解】 解：∵， ∴时，， 化为：，由于数列单调递减， 可得：时，取得最大值2． ∴的最大值为3． 故选：BD ． 【点睛】 本解析：BD 【分析】利用递推关系可得1211n n a a n -=+-，再利用数列的单调性即可得出答案． 【详解】 解：∵23n n n S a +=， ∴2n ≥时，112133n n n n n n n a S S a a --++=-=-， 化为：112111n n a n a n n -+==+--， 由于数列21n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭单调递减，可得：2n =时，21n -取得最大值2． ∴1nn a a -的最大值为3． 故选：BD ． 【点睛】本题考查了数列递推关系、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 5．(多选)在数列{}n a 中，若221(2,,n n a a p n n N p *--=≥∈为常数)，则称{}n a 为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ） A ．若{}n a 是等差数列，则{}n a 是等方差数列 B ．(){}1n- 是等方差数列C ．{}2n是等方差数列.D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列答案：BD 【分析】根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】对于A ，若是等差数列，如，则不是常数，故不是等方差数列，故A 错误； 对于B ，数列中，是常数，是等方差数列，故解析：BD 【分析】根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】对于A ，若{}n a 是等差数列，如n a n =，则12222(1)21n n a a n n n --=--=-不是常数，故{}na 不是等方差数列，故A 错误；对于B ，数列(){}1n-中，222121[(1)][(1)]0n n n n a a ---=---=是常数，{(1)}n ∴-是等方差数列，故B 正确； 对于C ，数列{}2n中，()()22221112234n n n n n aa ----=-=⨯不是常数，{}2n∴不是等方差数列，故C 错误； 对于D ，{}n a 是等差数列，1n n a a d -∴-=，则设n a dn m =+，{}n a 是等方差数列，()()222112(2)n n n n dn m a a a a d a d d n m d d dn d m --∴-=++++=+=++是常数，故220d =，故0d =，所以(2)0m d d +=，2210n n a a --=是常数，故D 正确.故选：BD.【点睛】关键点睛：本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义，解题的关键是正确理解等差数列和等方差数列定义，利用定义进行判断. 6．数列{}n a 满足11,121nn n a a a a +==+，则下列说法正确的是（ ） A ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和2n S n = C ．数列{}n a 的通项公式为21n a n =- D ．数列{}n a 为递减数列答案：ABD 【分析】首项根据得到，从而得到是以首项为，公差为的等差数列，再依次判断选项即可. 【详解】对选项A ，因为，， 所以，即所以是以首项为，公差为的等差数列，故A 正确. 对选项B ，由A 知：解析：ABD 【分析】 首项根据11,121n n n a a a a +==+得到1112n n a a +-=，从而得到1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为1，公差为2的等差数列，再依次判断选项即可.【详解】对选项A ，因为121nn n a a a +=+，11a =， 所以121112n n n n a a a a ++==+，即1112n na a +-= 所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为1，公差为2的等差数列，故A 正确.对选项B ，由A 知：112121nn n a数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和()21212n n n S n +-==，故B 正确.对选项C ，因为121n n a =-，所以121n a n =-，故C 错误.对选项D ，因为121n a n =-，所以数列{}n a 为递减数列，故D 正确. 故选：ABD 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和前n 项和前n 项和，同时考查了递推公式，属于中档题.7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d .已知312a =，120S >，70a <则（ ） A ．60a >B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列C ．0n S <时，n 的最小值为13D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项答案：ACD 【分析】由已知得，又，所以，可判断A ；由已知得出，且，得出时，，时，，又，可得出在上单调递增，在上单调递增，可判断B ；由，可判断C ；判断 ，的符号， 的单调性可判断D ； 【详解】 由已知解析：ACD 【分析】 由已知得()()612112712+12+220a a a a S ==>，又70a <，所以6>0a ，可判断A ；由已知得出2437d -<<-，且()12+3n a n d =-，得出[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，又()1112+3n a n d =-，可得出1na 在1,6n nN上单调递增，1na 在7nnN，上单调递增，可判断B ；由()313117713+12203213a a a S a ⨯==<=，可判断C ；判断 n a ，n S 的符号， n a 的单调性可判断D ； 【详解】由已知得311+212,122d a a a d ===-，()()612112712+12+220a a a a S ==>，又70a <，所以6>0a ，故A 正确；由7161671+612+40+512+3>0+2+1124+7>0a a d d a a d d a a a d d ==<⎧⎪==⎨⎪==⎩，解得2437d -<<-，又()()3+312+3n a n d n d a =-=-，当[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，又()1112+3n a n d=-，所以[]1,6n ∈时，1>0na ，7n ≥时，10n a <，所以1na 在1,6nnN上单调递增，1na 在7nn N，上单调递增，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是递增数列，故B 不正确；由于()313117713+12203213a a a S a ⨯==<=，而120S >，所以0n S <时，n 的最小值为13，故C 选项正确 ；当[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，当[]1,12n ∈时，>0n S ，13n ≥时，0nS <，所以当[]7,12n ∈时，0n a <，>0n S ，0nnS a <，[]712n ∈，时，n a 为递增数列，n S 为正数且为递减数列，所以数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项，故D 正确；【点睛】本题考查等差数列的公差，项的符号，数列的单调性，数列的最值项，属于较难题. 8．已知数列{}n a 满足：13a =，当2n ≥时，)211n a =-，则关于数列{}n a 说法正确的是（ ） A ．28a =B ．数列{}n a 为递增数列C ．数列{}n a 为周期数列D ．22n a n n =+答案：ABD 【分析】由已知递推式可得数列是首项为，公差为1的等差数列，结合选项可得结果. 【详解】 得， ∴，即数列是首项为，公差为1的等差数列， ∴，∴，得，由二次函数的性质得数列为递增数列，解析：ABD 【分析】由已知递推式可得数列2=，公差为1的等差数列，结合选项可得结果. 【详解】)211n a =-得)211n a +=，1=，即数列2=，公差为1的等差数列，2(1)11n n =+-⨯=+，∴22n a n n =+，得28a =，由二次函数的性质得数列{}n a 为递增数列，所以易知ABD 正确， 故选：ABD. 【点睛】本题主要考查了通过递推式得出数列的通项公式，通过通项公式研究数列的函数性质，属于中档题.9．公差为d 的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，110S >，120S <，下列说法正确的有（ ） A ．0d <B ．70a >C ．{}n S 中5S 最大D ．49a a <答案：AD 【分析】先根据题意得，，再结合等差数列的性质得，，，中最大，，即：.进而得答案. 【详解】解：根据等差数列前项和公式得：， 所以，， 由于，， 所以，， 所以，中最大， 由于， 所以，即：解析：AD 【分析】先根据题意得1110a a +>，1120a a +<，再结合等差数列的性质得60a >，70a <，0d <，{}n S 中6S 最大，49a a <-，即：49a a <.进而得答案.【详解】解：根据等差数列前n 项和公式得：()111111102a a S +=>，()112121202a a S +=< 所以1110a a +>，1120a a +<， 由于11162a a a +=，11267a a a a +=+， 所以60a >，760a a <-<， 所以0d <，{}n S 中6S 最大， 由于11267490a a a a a a +=+=+<， 所以49a a <-，即：49a a <. 故AD 正确，BC 错误. 故选：AD. 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式与等差数列的性质，是中档题.10．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若90a <，100a >，则下列结论正确的是（ ） A ．109S S >B ．170S <C ．1819S S >D ．190S >答案：ABD 【分析】先根据题意可知前9项的和最小，判断出正确；根据题意可知数列为递减数列，则，又，进而可知，判断出不正确；利用等差中项的性质和求和公式可知，，故正确. 【详解】根据题意可知数列为递增解析：ABD 【分析】先根据题意可知前9项的和最小，判断出A 正确；根据题意可知数列为递减数列，则190a >，又181919S S a =-，进而可知1516S S >，判断出C 不正确；利用等差中项的性质和求和公式可知()01179179172171722a a a S a <+⨯⨯===，()1191019101921919022a a a S a +⨯⨯===>，故BD 正确. 【详解】根据题意可知数列为递增数列，90a <，100a >，∴前9项的和最小，故A 正确；()11791791721717022a a a S a +⨯⨯===<，故B 正确； ()1191019101921919022a a a S a +⨯⨯===>，故D 正确； 190a >，181919S S a ∴=-，1819S S ∴<，故C 不正确. 故选：ABD .【点睛】本题考查等差数列的综合应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.。
高考数学练习卷(答案) (1)
高考数学试卷（满分120分，考试时间120分钟）一、选择题：（本题共20小题，每小题3分，共60分）1、函数)65(log 221+-=x x y 的单调区间为（）A .⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,25B .()+∞,3C .⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-25,D .()2,∞-2、若8.0log ,6log ,log 273===c b a π，则（）A .cb a >>B .ca b >>C .ba c >>D .ac b >>3、函数44()sin ()sin ()44f x x x ππ=+--是（）A、周期为π的奇函数B、周期为π的偶函数C、周期为2π的奇函数D、周期为2π的偶函数4、点P(-3,-2)到直线4x-3y+1=0的距离等于（B ）A.-1B.1C.3D.-25、过两点A (2,)m -，B(m ，4)的直线倾斜角是45︒，则m 的值是（C ）。
A、-2B、4C 、1D、-36.某商场准备了5份不同礼品全部放入4个不同彩蛋中，每个彩蛋至少有一份礼品的放法有（）A.280种B.240种C.180种D.144种7．空间两直线m l 、在平面βα、上射影分别为1a 、1b 和2a 、2b ，若1a ∥1b ，2a 与2b 交于一点，则l 和m 的位置关系为()（A）一定异面（B）一定平行（C）异面或相交（D）平行或异面8.在正方体ABCD－A1B1C1D1中与AD1成600角的面对角线的条数是()（A）4条（B）6条（C）8条（D）10条9．已知四棱锥P－ABCD 的底面为平行四边形，设x=2PA2+2PC2－AC2，y=2PB2+2PD2－BD2，则x，y 之间的关系为()（A）x＞y（B）x＝y（C）x＜y（D）不能确定10．已知点),(y x P 在由不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤--≤-+010103x y x y x 确定的平面区域内，O 为坐标原点，点A （-1,2），则AOP OP ∠⋅cos ||的最大值是（）A．55-B．553C．０D．511.已知函数是定义在上的奇函数,当时,,则=()A.B.C.D.12.直线的倾斜角为()A. B.C. D.13.若,且为第四象限角,则的值等于()A.B. C.D.14.函数的定义域是()A.B. C.D.15.若,,则的坐标是()A.B. C.D.以上都不对16.在等差数列中,已知,且,则与的值分别为()A.-2,3B.2，-3C.-3,2D.3，-217.设,“”是“”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件18.函数的图象如图所示,则最大、最小值分别为()A. B.C. D.19.设,,,其中为自然对数的底数,则,,的大小关系是()A. B. C. D.20.设,,,都为正数,且不等于,函数,,,在同一坐标系中的图象如图所示,则,,,的大小顺序是()B.C. D.二、填空题（共计30分）1、如图，在矩形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点0，点E，E 是边AD 的中点，点F 在对角线AC 上，且AF=-AC，连接EF.若AC=10，则EF=______.2、圆锥的表面积是底面积的3倍,则该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角的弧度数为_____.3、设5，1-x ，55成等比数列，则=x _______4、在等比数列{}n a 中，已知0>n a ，252645342=⋅+⋅+⋅a a a a a a ，则_______5、在等差数列{}n a 中，已知19,2321=+=a a a ，则456a a a ++=_______6、在等差数列{}n a 中，若2576543=++++a a a a a ，则82a a +=_______7、点),1(b E ,()2,3--F 的中点坐标是()21，-，则=b _______8、已知5),2,1(),,3(=--MN N b M ,则b=_______9、两平行直线0562013=-+=-+y x y x 与的距离是_______10、若直线08)3(1=-++=-my x m y x 与直线平行，则=m _______三、大题：(满分30分)1、已知数列}{n a 是递增的等比数列，且893241==+a a a a ，，求数列}{n a 的通项公式。
高考数学专题知识点系列复习训练题及答案解析(珍藏版)：01数列真题汇编与预赛典型例题
专题01数列真题汇编与预赛典型例题1．【2018年全国联赛】设整数数列满足，且，则这样的数列的个数为.2．【2017年全国联赛】设两个严格递增的正整数数列满足,对任意正整数n,有。
则的所有可能值为___________。
3．【2016年全国联赛】设为1，2，…，100中的四个互不相同的数，满足.则这样的有序数组的个数为________. 4．【2014年全国联赛】已知数列满足.则___________. 5．【2013年全国联赛】已知数列共有九项，其中，，且对每个，均有.则这样的数列的个数为______.6．【2011年全国联赛】已知.则数列中整数项的个数为______. 7．【2010年全国联赛】已知是公差不为0的等差数列，是等比数列，其中，，且存在常数使得对每一个正整数都有.则________.8．【2019年全国联赛】设整数满足.记.求f的最小值.并确定使f=f0成立的数组的个数.9．【2018年全国联赛】已知实数列满足：对任意正整数n，有，其中S n表示数列的前n项和，证明：（1）对任意正整数n，有；（2）对任意正整数n，有.10．【2018年全国联赛】数列定义如下：a1是任意正整数，对整数n≥1，a n+1是与互素，且不等于的最小正整数.证明：每个正整数均在数列中出现.11．【2017年全国联赛】设数列定义为求满足的正整数r的个数。
12．【2016年全国联赛】设p与p + 2均为素数，p > 3.定义数列，其中，表示不小于实数x的最小整数.证明对，均有.13．【2014年全国联赛】已知数列满足.求正整数m使得.14．【2013年全国联赛】给定正数数列满足，，其中，.证明：存在常数，使得.15．【2013年全国联赛】给定正整数.数列定义如下：，对整数，.记.证明：数列中有无穷多项是完全平方数.16．【2012年全国联赛】已知数列的各项均为非零实数，且对于任意的正整数都有.(1)当时，求所有满足条件的三项组成的数列.(2)是否存在满足条件的无穷数列，使得若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由.17．【2011年全国联赛】 已知数列满足：，.（1）求数列的通项公式； （2）若，试比较与的大小. 18．【2011年全国联赛】证明：对任意整数，存在一个次多项式具体如下性质： （1）均为正整数；（2）对任意的正整数及任意个互不相同的正整数，均有.19．【2011年全国联赛】设是给定的正实数，.对任意正实数，满足的三元数组的个数记为.证明：.20．【2010年全国联赛】证明：方程恰有一个实数根，且存在唯一的严格递增正整数数列，使得.21．【2010年全国联赛】给定整数，设正实数满足，记.求证：.22．【2009年全国联赛】已知是实数，方程有两个实根，数列满足）．（1）求数列的通项公式（用表示）；（2）若，求的前项和．{}n a ()123,1a t t R t =-∈≠±()()()112321121n n n n n n t a t t a n N a t +++-+--=∈+-{}n a 0t >1n a +n a23．【2009年全国联赛】在非负数构成的数表中，每行的数互不相同，前六列中每列的三数之和为1，均大于1．如果的前三列构成的数表满足下面的性质：对于数表中的任意一列）均存在某个使得．①求证：（1）最小值）一定去自数表的不同列；（2）存在数表中唯一的一列）使得数表仍然具有性质（）．1．【2018年湖南预赛】如图，将一个边长为1的正三角形分成四个全等的正三角形，第一次挖去中间的一个小三角形，将剩下的三个小正三角形，再分别从中间挖去一个小三角形，保留它们的边，重复操作以上做法，得到的集合为谢尔宾斯基缕垫.设是第n次挖去的小三角形面积之和（如是第1次挖去的中间小三角形面积，是第2次挖去的三个小三角形面积之和），则前n次挖去的所有小三角形面积之和的值为____________________.2．【2016年吉林预赛】在公差不为0的等差数列中，，且成等比数列．则数列的通项公式为________.3．【2016年上海预赛】数列定义如下:，则____ _______。
高考文科数学数列专题复习(附答案及解析)
高考文科数学数列专题复习数列常用公式数列的通项公式与前n 项的和的关系a n s , n 11s s ,n 2n n 1( 数列{a n} 的前n 项的和为s n a1 a2 a n ).等差数列的通项公式*a a1 (n 1)d dn a1 d(n N ) ；n等差数列其前n 项和公式为n(a a ) n(n 1)1 ns na1 d n2 2 d 12n (a d)n .12 2等比数列的通项公式an 1 1 n *a a1q q (n N )nq；等比数列前n 项的和公式为na (1 q )1s 1 qn , q 1或sna a q1 n1 q,q 1na ,q 1 1 na ,q 1 1一、选择题1.( 广东卷) 已知等比数列{a n} 的公比为正数，且a3 ·a9 =2 2a ，a2 =1，则a1 =5A. 12B.22C. 2D.22.（安徽卷）已知为等差数列，，则等于A. -1B. 1C. 3D.7 3（. 江西卷）公差不为零的等差数列{a n} 的前n项和为S n .若a4 是a3与a7 的等比中项, S8 32, 则S等于10A. 18B. 24C. 60D. 904（湖南卷）设S n 是等差数列a n 的前n 项和，已知a2 3，a6 11，则S7 等于【】第1页/ 共8页A ．13 B．35 C．49 D．633.（辽宁卷）已知a为等差数列，且a7 －2 a4 ＝－1, a3 ＝0, 则公差d＝n（A）－2 （B）－12 （C）12（D）24.（四川卷）等差数列｛a n ｝的公差不为零，首项a1 ＝1，a2 是a1 和a5 的等比中项，则数列的前10 项之和是A. 90B. 100C. 145D. 1905.（湖北卷）设x R, 记不超过x 的最大整数为[ x ], 令{x }= x -[ x ]，则{ 52 1} ，[ 521],521A.是等差数列但不是等比数列B.是等比数列但不是等差数列C.既是等差数列又是等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列6.（湖北卷）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如：他们研究过图1 中的1，3，6，10，⋯，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16⋯这样的数成为正方形数。
数列小题大做-备战高考数学冲刺横向强化精练精讲(解析版)
数列小题大做一、单选题1．（2021·吉林省实验模拟预测（理））设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若73a =，4516a a +=，则10S =（ ）A ．60B ．80C ．90D ．100【答案】A 【分析】由题意，利用等差数列通项公式将两式化为基本量1,a d 的关系式，计算1,a d ，然后代入等差数列前n 项和公式计算. 【详解】由题意，数列{}n a 为等差数列，所以7163a a d =+=，4512716+=+=a a a d ，联立得,1a 15d 2==-，所以101091015(2)602⨯=⨯+⨯-=S . 故选：A2．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若24S =，46S =，则6S =（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】A 【分析】根据题目条件可得2S ，42S S -，64S S -成等比数列，从而求出641S S -=，进一步求出答案. 【详解】∵n S 为等比数列{}n a 的前n 项和， ∴2S ，42S S -，64S S -成等比数列 ∴24S =，42642S S -=-= ∴641S S -=， ∴641167S S =+=+=. 故选：A.3．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，设甲：0q >，乙：{}n S 是递增数列，则（ ） A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B 【分析】当0q >时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当{}n S 是递增数列时，必有0n a >成立即可说明0q >成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案． 【详解】由题，当数列为2,4,8,---时，满足0q >，但是{}n S 不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．若{}n S 是递增数列，则必有0n a >成立，若0q >不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则0q >成立，所以甲是乙的必要条件． 故选：B ． 【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程．4．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A ．25n a n =- B ． 310n a n =- C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =-【答案】A 【分析】等差数列通项公式与前n 项和公式．本题还可用排除，对B ，55a =，44(72)1002S -+==-≠，排除B ，对C ，245540,25850105S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除C ．对D ，24554150,5250522S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除D ，故选A ．【详解】由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，故选A ．【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n 项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断．5．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5–a 3=12，a 6–a 4=24，则nnS a =（ ） A ．2n –1 B ．2–21–n C ．2–2n –1 D ．21–n –1【答案】B 【分析】根据等比数列的通项公式，可以得到方程组，解方程组求出首项和公比，最后利用等比数列的通项公式和前n 项和公式进行求解即可. 【详解】设等比数列的公比为q ，由536412,24a a a a -=-=可得：421153111122124a q a q q a a q a q ⎧-==⎧⎪⇒⎨⎨=-=⎪⎩⎩， 所以1111(1)122,21112n nn n n n n a q a a qS q ----=====---，因此1121222n nn n n S a ---==-.故选：B. 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的基本量计算，考查了等比数列前n 项和公式的应用，考查了数学运算能力.6．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）A ．3699块B ．3474块C ．3402块D ．3339块【答案】C 【分析】第n 环天石心块数为n a ，第一层共有n 环，则{}n a 是以9为首项，9为公差的等差数列， 设n S 为{}n a 的前n 项和，由题意可得322729n n n n S S S S -=-+，解方程即可得到n ，进一步得到3n S . 【详解】设第n 环天石心块数为n a ，第一层共有n 环，则{}n a 是以9为首项，9为公差的等差数列，9(1)99n a n n =+-⨯=， 设n S 为{}n a 的前n 项和，则第一层、第二层、第三层的块数分 别为232,,n n n n n S S S S S --，因为下层比中层多729块， 所以322729n n n n S S S S -=-+， 即3(927)2(918)2(918)(99)7292222n n n n n n n n ++++-=-+ 即29729n =，解得9n =， 所以32727(9927)34022n S S +⨯===.故选：C 【点晴】本题主要考查等差数列前n 项和有关的计算问题，考查学生数学运算能力，是一道容易题.7．（2021年浙江省高考数学试题）已知数列{}n a 满足)111,N 1nn na a n a *+=∈+.记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ） A ．100332S << B ．10034S << C ．100942S <<D ．100952S << 【答案】A 【分析】 显然可知，10032S >，利用倒数法得到21111124n n n n a a a a +⎛⎫==-⎪⎪⎭，再放缩可得112n n a a +<，由累加法可得24(1)n a n ≥+，进而由11n n na a +=+113n n a n a n ++≤+，然后利用累乘法求得6(1)(2)n a n n ≤++，最后根据裂项相消法即可得到1003S <，从而得解．【详解】 因为)111,N 1nn n a a n a *+==∈+，所以0n a >，10032S >． 由2111111241n n n n n n n a a a a a a ++⎛⎫⇒==-⎪⎪+⎭ 21111122n n n n a a a a ++⎛⎫∴<⎪⎪⎭112n n a a +<11122nn n a -+≤+=，当且仅当1n =时取等号，12412(1)3111n n n n n n a n a a a n n a n ++∴≥∴=≤=+++++ 113n n a n a n ++∴≤+， 由累乘法可得6(1)(2)n a n n ≤++，当且仅当1n =时取等号，由裂项求和法得：所以10011111111116632334451011022102S ⎛⎫⎛⎫≤-+-+-++-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即100332S <<． 故选：A ． 【点睛】1,n n a a +24(1)n a n ≥+，由题目条件可知要证100S 小于某数，从而通过局部放缩得到1,n n a a +的不等关系，改变不等式的方向得到6(1)(2)n a n n ≤++，最后由裂项相消法求得1003S <．8．（2021年北京市高考数学试题）已知{}n a 是各项均为整数的递增数列，且13a ≥，若12100n a a a ++⋅⋅⋅+=，则n 的最大值为（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12【答案】C 【分析】使数列首项、递增幅度均最小，结合等差数列的通项及求和公式求得n 可能的最大值，然后构造数列满足条件，即得到n 的最大值． 【详解】若要使n 尽可能的大，则，递增幅度要尽可能小， 不妨设数列是首项为3，公差为1的等差数列，其前n 项和为，则，，所以11n ≤. 对于，，取数列各项为(1,2,10)n =⋯，1125a =,则1211100a a a ++⋅⋅⋅+=， 所以n 的最大值为11． 故选：C ．9．（2020年北京市高考数学试卷）在等差数列{}n a 中，19a =-，51a =-．记12(1,2,)n n T a a a n ==……，则数列{}n T （ ）．A ．有最大项，有最小项B ．有最大项，无最小项C ．无最大项，有最小项D ．无最大项，无最小项【答案】B 【分析】首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大项和最小项. 【详解】由题意可知，等差数列的公差511925151a a d --+===--，则其通项公式为：()()11912211n a a n d n n =+-=-+-⨯=-， 注意到123456701a a a a a a a <<<<<<=<<，且由50T <可知()06,i T i i N <≥∈，由()117,ii i T a i i N T -=>≥∈可知数列{}n T 不存在最小项， 由于1234569,7,5,3,1,1a a a a a a =-=-=-=-=-=，故数列{}n T 中的正项只有有限项：263T =，46315945T =⨯=. 故数列{}n T 中存在最大项，且最大项为4T . 故选：B. 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列中项的符号问题，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题.10．（2021·四川·内江市教育科学研究所一模（文））已知函数()f x 是R 上单调递减的奇函数，数列{}n a 为等差数列．若20a >，则()1f a +()()23f a f a +的值（ ） A ．恒为0 B ．恒为正数C ．恒为负数D ．可正可负【答案】C 【分析】根据函数()f x 是R 上单调递减的奇函数，得到()00f =，0x >时，()0f x <，0x <时，()0f x >求解.【详解】因为函数()f x 是R 上单调递减的奇函数，所以()00f =，当0x >时，()0f x <，当0x <时，()0f x >， 因为数列{}n a 为等差数列，且20a >， 所以()20f a <，13220a a a +=>， 则13a a >-，所以()()13f a f a <-，即()()130f a f a +<， 所以()1f a +()()230f a f a +<， 故选：C11．（2019年浙江省高考数学试卷）设,a b ∈R ，数列{}n a 中，211,n n a a a a b +==+，N n *∈ ,则A ．当101,102b a =>B ．当101,104b a =>C ．当102,10b a =->D ．当104,10b a =->【答案】A 【分析】若数列{}n a 为常数列，101a a a ==，则只需使10a ≤，选项的结论就会不成立.将每个选项的b 的取值代入方程20x x b -+=，看其是否有小于等于10的解.选项B 、C 、D 均有小于10的解，故选项B 、C 、D 错误.而选项A 对应的方程没有解，又根据不等式性质，以及基本不等式，可证得A 选项正确. 【详解】若数列{}n a 为常数列，则1n a a a ==，由21n n a a b +=+，可设方程20x x b -+= 选项A ：12b =时，2112n n a a +=+，2102x x -+=， 1210∆=-=-<，故此时{}n a 不为常数列，222112n n n n a a a +=+=+≥， 且2211122a a =+≥，792a a ∴≥≥21091610a a >≥>，故选项A 正确； 选项B ：14b =时，2114n n a a +=+，2104x x -+=，则该方程的解为12x =， 即当12a =时，数列{}n a 为常数列，12n a =， 则101102a =<，故选项B 错误； 选项C ：2b =-时，212n n a a +=-，220x x --=该方程的解为1x =-或2，即当1a =-或2时，数列{}n a 为常数列，1n a =-或2，同样不满足1010a >，则选项C 也错误；选项D ：4b =-时，214n n a a +=-，240x x --=该方程的解为117x ±=同理可知，此时的常数列{}n a 也不能使1010a >， 则选项D 错误. 故选：A. 【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论a 的可能取值，利用“排除法”求解.12．（2021·河南·南阳中学高三阶段练习（文））数列{}n a 的通项cos sin 33n n n a n n ππ22⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其前n 项和为n S ，则S 18为（ ）A ．173B ．174C ．175D ．176【答案】B 【分析】化简n a 可得22cos3n n a n π=，讨论n 取不同值时n a 的通项公式，并项求和. 【详解】22222cos sin cos sin cos33333n n n n n n a n n n n πππππ22⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当3n k =()k N *∈ 时，()233k a k =；31n k =-()k N *∈时，()231312k k a --=-；32n k =-()k N *∈时，()232322k k a --=-()()()223212333231592223k k kk k a a a k k ----++-=-+=-所以()()18166530912669174222S +⨯=+++-⨯=⨯-= 故选：B二、填空题13．（2020年浙江省高考数学试卷）我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列(1)2n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭就是二阶等差数列，数列(1)2n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭(N )n *∈ 的前3项和是________． 【答案】10 【分析】根据通项公式可求出数列{}n a 的前三项，即可求出． 【详解】 因为()12n n n a +=，所以1231,3,6a a a ===． 即312313610S a a a =++=++=． 故答案为：10. 【点睛】本题主要考查利用数列的通项公式写出数列中的项并求和，属于容易题．14．（2020年江苏省高考数学试卷）设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n +b n }的前n 项和221()n n S n n n +=-+-∈N ，则d +q 的值是_______． 【答案】4 【分析】结合等差数列和等比数列前n 项和公式的特点，分别求得{}{},n n a b 的公差和公比，由此求得d q +. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，根据题意1q ≠. 等差数列{}n a 的前n 项和公式为()2111222n n n d d P na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭， 等比数列{}n b 的前n 项和公式为()1111111n n n b q b bQ q qq q-==-+---， 依题意n n n S P Q =+，即22111212211nn b b d d n n n a n q q q ⎛⎫-+-=+--+ ⎪--⎝⎭， 通过对比系数可知111212211dd a q b q⎧=⎪⎪⎪-=-⎪⎨⎪=⎪⎪=-⎪-⎩⇒112021d a q b =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，故4d q +=.故答案为：4 【点睛】11本小题主要考查等差数列和等比数列的前n 项和公式，属于中档题.15．（2021·陕西商洛·模拟预测（理））已知等比数列{}n a 的公比0q >，其前n 项和为n S ，且236,14S S ==，则数列2211log log nn a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前2021项和为___________. 【答案】20212022【分析】根据等比数列的通项公式及前n 项和公式得到方程组，求出1a 和q ，即可得到n a ，从而得到2211log log n n a a +⋅，再利用裂项相消法求和即可； 【详解】解：因233212118,6a S S a q S a a q =-===+=，所以211143a q a a q =+，所以23440q q --=，得2q 或23-（舍去），所以12a =，故2n n a =. 因为2211111log log (1)1n n a a n n n n +==-⋅++， 所以20211111112021112232021202220222022T =-+-++-=-=. 故答案为：2021202216．（2021·上海嘉定·一模）已知集合{}*21,A x x n n ==-∈N ，{}*2,n B x x n ==∈N ，将A B 中的所有元素按从小到大的顺序排列构成一个数列{}n a ，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则使得1000n S >成立的最小的n 的值为_____________.【答案】36【分析】由题可得2n 为数列{}n a 的12n n -+项，且利用分组求和可得1112422n n n n S --++=+-，通过计算即得.【详解】由题意，对于数列{}n a 的项2n ，其前面的项1，3，5，…，21n A -∈，共有12n -项，232,2,2,,2n B ⋅⋅⋅∈，共有n 项，所以2n 为数列{}n a 的12n n -+项，且()()()()112112211221221222422n n n n n n S ---++⎡⎤=⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+⨯-++++=+-⎣⎦.可算得612638-+=（项），3864a =，381150S =，试卷第12页，共12页因为3763a =，3661a =，3559a =，所以371086S =，361023S =，35962S =， 因此所求n 的最小值为36.故答案为：36.13。
等比数列精选高考题
高二数学《等比数列》专题练习题 注意事项：1.考察内容：等比数列 2.题目难度：中等题型3.题型方面：10道选择，4道填空，4道解答。
4.参考答案：有详细答案5.资源类型：试题/课后练习/单元测试 一、选择题1.等比数列{}n a 的各项均为正数，且5647a a a a +＝18，则3132310log log log a a a +++L ＝A ．12B ．10C ．8D ．2＋3log 52.在等比数列{}n a 中，5,6144117=+=⋅a a a a ，则=1020a a （ ）A.32 B.23 C. 32或23 D. －32或－233.等比数列{}n a 中，已知121264a a a =，则46a a 的值为（ ）A ．16B ．24C ．48D ．1284.实数12345,,,,a a a a a 依次成等比数列，其中a 1=2，a 5=8，则a 3的值为（ ） A. －4 B.4 C . ±4 D. 55.设等比数列{ n a }的前n 项和为n S ，若 63S S =3 ，则 69S S =A ． 2 B.73C. 83D.36.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若242S S =，则公比为（ ） A.1 B.1或－1 C.21或21- D.2或－27.已知等比数列{a n }的公比为2，前4项的和是1，则前8项的和为 A ．15 B ．17 C ．19 D ．218.已知等比数列{}na 的首项为8，nS 是其前n 项的和，某同学经计算得S 2=20，S 3=36，S 4=65，后来该同学发现了其中一个数算错了，则该数为 （ ） A 、 S 1 B 、S 2 C 、 S 3 D 、 S 49.已知数列{}n a 的前n 项和n n S aq =(0a ≠,1q ≠,q 为非零常数),则数列{}n a 为( )A.等差数列B.等比数列C.既不是等比数列也不是等差数列D.既是等差数列又是等比数列10.某人为了观看2008年奥运会，从2001年起每年5月10日到银行存入a 元定期储蓄，若年利率为p 且保持不变，并且每年到期的存款及利息均自动转为新一年定期，到2008年将所有的存款和利息全部取回，则可取回的钱的总数（元）为（ ）．A a(1+p)7B a(1+p)8C )]1()1[(7p p pa +-+ D )1()1[(8p p pa +-+]二、填空题11.若各项均为正数的等比数列{}n a 满足23123a a a =-，则公比q = ． 12.已知1, a 1, a 2, 4成等差数列，1, b 1, b 2, b 3, 4成等比数列，则=+221b a a ______．13.等比数列{n a }的公比0q >, 已知2a =1，216n n n a a a +++=，则{n a }的前4项和4S = _____14.等比数列{}n a 的前n 项和n S =22-+⋅a a n ，则n a =_______. 三、解答题15.设二次方程2110()n n a x a x n N *+-+=∈有两个实根α和β，且满足6263ααββ-+=． （1）试用n a 表示1n a +； （2）求证：2{}3na -是等比数列； （3）当176a=时，求数列{}n a 的通项公式．16.已知数列{}n a 满足：111,1,22,n n n a n n a a a n n +⎧+⎪==⎨⎪-⎩为奇数为偶数，且*22,n n b a n N =-∈（Ⅰ）求234,,a a a ；（Ⅱ）求证数列{}n b 为等比数列并求其通项公式； （Ⅲ）求和2462n nT a a a a =+++L17.在等比数列{}n a 中，,11>a 公比0>q ，设n n a b 2log =，且.0,6531531==++b b b b b b（1）求证：数列{}n b 是等差数列；（2）求数列{}n b 的前n 项和n S 及数列{}n a 的通项公式； （3）试比较n a 与n S 的大小.18.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知231,,S S S 成等差数列. （1）求{}n a 的公比q ； （2）若331=-a a ，求n S .答案一、选择题 1.B 2.C 3.A 4.B 5.B 6.B 7.A 8.D 9.C 10.D二、填空题11.3212.25；解析：∵1, a 1, a 2, 4成等差数列，∴12145a a +=+=；∵1, b 1, b 2, b 3, 4成等比数列，∴22144b =⨯=，又2210b q =⨯>，∴22b =；∴=+221b a a 25；13.15214.12-n三、解答题15.（1）解析：11,n nna a a αβαβ++==，而6263ααββ-+=，得1623n n na a a +-=， 即1623n n a a +-=，得11123n n aa +=+； （2）证明：由（1）11123n n a a +=+，得1212()323n n a a +-=-，所以2{}3na -是等比数列；（3）解析：当176a =时，2{}3na -是以721632-=为首项，以12为公比的等比数列，1211()322n n a --=⨯，得21()()32n na n N *=+∈．16.解析：（Ⅰ）2335,,22aa ==-474a = （Ⅱ）当2(21)12112,22(21)22n n n n n ba a a n -+-≥=-=-=+--时 222(1)1111[2(22)](21)2[2]222n n n a n n a b ---=--+--=-= ∴12122b a =-=-又 ∴1111()()222n n nb -=-⋅=-（Ⅲ）∵22n n a b =+ ∴242n n T a a a =++L=12(2)n b b b n ++++L 11[1()]1222()2 1.1212n n n n -=-+=+-- 17.解析：（1）由已知q a a b b nn n n log log 121==-++为常数.故数列{}n b 为等差数列，且公差为.log 2q d = （先求q 也可） 4分 （2）因0log ,11211>=⇒>a b a ，又263531=⇒=++b b b b ，所以.05=b由.291,404,22211513⎩⎨⎧-=⇒-==⇒=+==+=n n S d b d b b d b b n 由*511212,221,164log 1log N n a q a a b q d n n ∈=⇒==⇒⎩⎨⎧==-==-. 8分（3）因,0>na 当9≥n 时，0≤n S ，所以9≥n 时，n n S a >；又可验证2,1=n 是时，n nS a >；8,7,6,5,4,3=n 时，n n S a <. 12分18.解析：（1）由题意有)(2)(2111111q a q a a q a a a ++=++ ，又0,01≠≠q a ，故.21-=q（2）由已知得.43)21(1211=⇒=--a a a从而].)21(1[38)21(1])21(1[4n n n S --=----=高二数学必修5《等比数列》练习卷知识点：1、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比．2、在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，则G 称为a 与b 的等比中项．若2G ab =，则称G 为a 与b 的等比中项．3、若等比数列{}n a 的首项是1a ，公比是q ，则11n n a a q -=．4、通项公式的变形：1n m n m a a q -=；2()11n n a a q --=；311n n a q a -=；4n m n ma q a -=．5、若{}n a 是等比数列，且m n p q +=+（m 、n 、p 、*q ∈N ），则m n p q a a a a ⋅=⋅；若{}n a 是等比数列，且2n p q =+（n 、p 、*q ∈N ），则2n p q a a a =⋅． 同步练习：1、在等比数列{}n a 中，如果66a =，99a =，那么3a 为（ ）A ．4B ．32C ．169D ．22、若公比为23的等比数列的首项为98，末项为13，则这个数列的项数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．63、若a 、b 、c 成等比数列，则函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交点的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．不确定4、已知一个等比数列的各项为正数，且从第三项起的任意一项均等于前两项之和，则此等比数列的公比为（ ） AB．(112±C．(112+D．(1125、设1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列，其公比为2，则123422a a a a ++的值为（ ） A ．14B ．12C ．18D ．16、如果1-，a ，b ，c ，9-成等比数列，那么（ ）A ．3b =，9ac =B ．3b =-，9ac =C ．3b =，9ac =-D ．3b =-，9ac =-7、在等比数列{}n a 中，11a =，103a =，则23456789a a a a a a a a 等于（ ） A ．81B．CD ．2438、在等比数列{}n a 中，()9100a a a a +=≠，1920a a b +=，则99100a a +等于（ ） A ．98b a B ．9b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．109b aD ．10b a ⎛⎫⎪⎝⎭9、在等比数列{}n a 中，3a 和5a 是二次方程250x kx ++=的两个根，则246a a a 的值为（ ） A ．25B．C．-D．±10，则它的第四项是（ ） A ．1 BCD．11、随着市场的变化与生产成本的降低，每隔5年计算机的价格降低13，2000年价格为8100元的计算机到2015年时的价格应为（ ） A ．900元B ．2200元C ．2400元D ．3600元12、若数列{}n a 为等比数列，则下列数列中一定是等比数列的个数为（ ）1{}2n a ；21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭；3{}n a ；4{}2log n a ；5{}1n n a a +⋅；6{}1n n a a ++A ．3B ．4C ．5D ．613、在等比数列{}n a 中，若39a =-，71a =-，则5a 的值为（ ） A ．3 B ．3- C ．3或3-D ．不存在14、等比数列{}n a 中，236a a +=，238a a =，则q =（ ） A ．2B ．12C ．2或12D ．12-或2-15、在等比数列{}n a 中，首项10a <，若{}n a 是递增数列，则公比q 满足（ ） A ．1q > B ．1q < C ．01q << D ．0q <16、若{}n a 是等比数列，其公比是q ，且5a -，4a ，6a 成等差数列，则q 等于（ ） A ．1或2 B ．1或2- C ．1-或2- D ．1-或217、已知等差数列{}n a 的公差为3，若2a ，4a ，8a 成等比数列，则4a 等于（ ） A ．8 B ．10 C ．12 D ．1418、生物学中指出：生态系统中，在输入一个营养级的能量中，大约有10％～20％的能量能够流动到下一个营养级（称为能量传递率），在123456H →H →H →H →H →H 这条生物链中，若使6H 获得10kJ 的能量，则需要1H 最多提供的能量是（ ）A ．410kJB ．510kJC ．610kJD ．710kJ19、已知等差数列{}n a 的公差为2，若1a ，3a ，4a 成等比数列，则2a =（ ） A ．4- B ．6- C ．8-D ．10-20、数列{}n a 满足()1123n n a a n -=-≥，143a =，则4a =_________．21、若{}n a 是等比数列，且0n a >，若243546225a a a a a a ++=，那么35a a +的值等于________．22、若{}n a 为等比数列，且4652a a a =-，则公比q =________．23、首项为3的等比数列的第n 项是48，第23n -项是192，则n =________． 24、在数列{}n a 中，若11a =，()1231n n a a n +=+≥，则该数列的通项n a =______________．25、已知等比数列{}n a 中，33a =，10384a =，则该数列的通项n a =_________________．26、已知数列{}n a 为等比数列． 1若54a =，76a =，求12a ；2若4224a a -=，236a a +=，125n a =，求n ．27、已知数列{}n a 为等比数列，32a =，24203a a +=，求{}n a 的通项公式．28、若数列{}n a 满足关系12a =，132n n a a +=+，求数列的通项公式．29、有四个实数，前3个数成等比数列，它们的积为216，后3个数成等差数列，它们的和为12，求这四个数．高一数学同步测试（12）—等比数列一、选择题：1．{a n }是等比数列，下面四个命题中真命题的个数为 （ ） ①{a n 2}也是等比数列 ②{ca n }(c ≠0)也是等比数列 ③{na 1}也是等比数列 ④{ln a n }也是等比数列A ．4B ．3C ．2D ．12．等比数列{a n }中，已知a 9 =－2，则此数列前17项之积为 （ ） A ．216 B ．－216 C ．217 D ．－217 3．等比数列｛a n ｝中，a 3=7，前3项之和S 3=21， 则公比q 的值为 （ ） A ．1 B ．－21 C ．1或－1 D ．－1或214．在等比数列{a n }中，如果a 6=6，a 9=9，那么a 3等于 （ ）A ．4B ．23 C ．916 D ．25．若两数的等差中项为6，等比中项为5，则以这两数为两根的一元二次方程为 （ ）A ．x 2－6x ＋25=0B ．x 2＋12x ＋25=0C ．x 2＋6x －25=0D ．x 2－12x ＋25=06．某工厂去年总产a ，计划今后5年内每一年比上一年增长10%，这5年的最后一年该厂的总产值是 （ ） A ．1.1 4 a B ．1.1 5 a C ．1.1 6 a D ． (1＋1.1 5)a7．等比数列{a n }中，a 9＋a 10=a (a ≠0)，a 19＋a 20=b ，则a 99＋a 100等于 （ ）A ．89abB ．(ab )9C ．910abD ．(ab )108．已知各项为正的等比数列的前5项之和为3，前15项之和为39，则该数列的前10项之和为 （ ） A ．32 B ．313 C ．12 D ．159．某厂2001年12月份产值计划为当年1月份产值的n 倍，则该厂2001年度产值的月平均增长率为 （ ） A ．11n B ．11n C ．112-n D ．111-n10．已知等比数列{}n a 中，公比2q =，且30123302a a a a ⋅⋅⋅⋅=L ，那么36930a a a a ⋅⋅⋅⋅L 等于 （ ） A ．102 B ．202 C ．162 D ．15211．等比数列的前n 项和S n =k ·3n ＋1，则k 的值为 （ ） A ．全体实数 B ．－1 C ．1 D ．312．某地每年消耗木材约20万3m ，每3m 价240元，为了减少木材消耗，决定按%t 征收木材税，这样每年的木材消耗量减少t 25万3m ，为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于90万元，则t 的范围是 （ ）A ．[1，3]B ．[2，4]C ．[3，5]D ．[4，6] 二、填空题：13．在等比数列{a n }中，已知a 1=23，a 4=12，则q =_____ ____，a n =________．14．在等比数列{a n }中，a n ＞0，且a n ＋2=a n ＋a n ＋1，则该数列的公比q =___ ___．15．在等比数列｛a n ｝中，已知a 4a 7＝－512，a 3＋a 8＝124，且公比为整数，求a 10＝ ．16．数列｛n a ｝中，31=a 且n a a n n (21=+是正整数)，则数列的通项公式=n a ． 三、解答题：17．已知数列满足a 1=1，a n ＋1=2a n ＋1(n ∈N*) (1) 求证数列{a n ＋1}是等比数列； (2) 求{a n }的通项公式．18．在等比数列｛a n ｝中，已知对n ∈N*，a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，求a 12＋a 22＋…＋a n 2．19．在等比数列｛a n ｝中，已知S n ＝48，S 2n ＝60，求S 3n ．20．求和：S n＝1＋3x＋5x2＋7x3＋…＋(2n－1)x n－1(x≠0)．21．在等比数列｛a n｝中，a1＋a n=66，a2·a n－1=128，且前n项和S n=126，求n及公比q．22．某城市1990年底人口为50万，人均住房面积为16 m 2，如果该市每年人口平均增长率为1%，每年平均新增住房面积为30万 m 2，求2000年底该市人均住房的面积数．(已知1.015≈1.05，精确到0.01 m 2)参考答案一、选择题： BDCAD BACDB BC 二、填空题：13.2， 3·2n －2．14.251+．15.512 ．16.123-n ．三、解答题：17.(1)证明： 由a n ＋1=2a n ＋1得a n ＋1＋1=2(a n ＋1) 又a n ＋1≠0 ∴111+++n n a a =2即{a n ＋1}为等比数列．(2)解析： 由(1)知a n ＋1=(a 1＋1)q n －1即a n =(a 1＋1)q n －1－1=2·2n －1－1=2n －118.解析： 由a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1 ①n ∈N*知a 1＝1且a 1＋a 2＋…＋a n －1＝2n －1－1 ②由①－②得a n ＝2n －1，n ≥2又a 1＝1，∴a n ＝2n －1，n ∈N*212221)2()2(-+=n n nn a a ＝4即｛a n 2｝为公比为4的等比数列∴a 12＋a 22＋…＋a n 2＝)14(3141)41(21-=--nn a 19.解析一： ∵S 2n ≠2S n ，∴q ②÷①得：1＋q n ＝45即q n ＝41③③代入①得qa -11＝64④∴S 3n ＝qa -11(1－q 3n )＝64(1－341)＝63解析二： ∵｛a n ｝为等比数列 ∴(S 2n －S n )2＝S n (S 3n －S 2n )∴S 3n ＝48)4860()(22222-=+-n n n n S S S S ＋60＝6320.解析：当x =1时，S n =1＋3＋5＋…＋(2n －1)=n 2当x ≠1时，∵S n =1＋3x ＋5x 2＋7x 3＋…＋(2n －1)x n －1， ① 等式两边同乘以x 得：xS n =x ＋3x 2＋5x 3＋7x 4＋…＋(2n －1)x n ． ②①－②得：(1－x )S n =1＋2x (1＋x ＋x 2＋…＋x n －2)－(2n －1)x n =1－(2n －1)x n ＋根据已知条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=--q q a q q a n n 160)1(481)1(211① ②1)1(21---x x x n ， ∴S n =21)1()1()12()12(-+++--+x x x n x n n n ． 21.解析：∵a 1a n =a 2a n －1=128，又a 1＋a n =66，∴a 1、a n 是方程x 2－66x ＋128=0的两根，解方程得x 1=2，x 2=64， ∴a 1=2，a n =64或a 1=64，a n =2，显然q ≠1． 若a 1=2，a n =64，由qqa a n --11=126得2－64q =126－126q ，∴q =2，由a n =a 1q n －1得2n －1=32， ∴n =6． 若a 1=64，a n =2，同理可求得q =21，n =6．综上所述，n 的值为6，公比q =2或21．22.解析：依题意，每年年底的人口数组成一个等比数列{a n }：a 1=50，q =1＋1%=1．01，n =11 则a 11=50×1．0110=50×(1．015)2≈55.125(万)，又每年年底的住房面积数组成一个等差数列{b n }：b 1=16×50=800，d =30，n =11∴b 11=800＋10×30=1100(万米2)因此2000年底人均住房面积为：1100÷55.125≈19．95(m 2)1.3.1等比数列一、选择题1．如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么( )A ．b ＝3，ac ＝9B ．b ＝－3，ac ＝9C ．b ＝3，ac ＝－9D ．b ＝－3，ac ＝－92．在等比数列{a n }中，a n >0，且a 2＝1－a 1，a 4＝9－a 3，则a 4＋a 5的值为( )A ．16B ．27C ．36D ．813．在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 4a 5a 6＝3，log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 8＋log 3a 9的值为( )A. B. C ．2 D ．34．一个数分别加上20,50,100后得到的三数成等比数列，其公比为( )A. B. C. D.5．若正项等比数列{a n}的公比q≠1，且a3，a5，a6成等差数列，则等于( )A. B. C. D．不确定二、填空题6．在等比数列{a n}中，a1＝1，a5＝16，则a3＝________.7．首项为3的等比数列的第n项是48，第2n－3项是192，则n＝________.8．一个直角三角形的三边成等比数列，则较小锐角的正弦值是________．三、解答题9．等比数列的前三项和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项．1.答案 B解析∵b2＝(－1)×(－9)＝9且b与首项－1同号，∴b＝－3，且a，c 必同号．2.答案 B解析由已知a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，∴q2＝9.∴q＝3(q＝－3舍)，∴a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27.3.答案 A解析∵a4a6＝a，∴a4a5a6＝a＝3，得a5＝3.∵a1a9＝a2a8＝a，∴log3a1＋log3a2＋log3a8＋log3a9＝log3(a1a2a8a9)＝log3a＝log33＝.4.答案 A解析设这个数为x，则(50＋x)2＝(20＋x)·(100＋x)，解得x＝25，∴这三个数为45,75,125，公比q为＝.5.答案 A解析a3＋a6＝2a5，∴a1q2＋a1q5＝2a1q4，∴q3－2q2＋1＝0，∴(q－1)(q2－q －1)＝0 (q≠1)，∴q2－q－1＝0，∴q＝ (q＝<0舍去)，∴＝＝.6.答案 4解析q4＝＝16，∴q2＝4，a3＝a1q2＝4.7.答案 5解析设公比为q，则⇒⇒q2＝4，得q＝±2.由(±2)n－1＝16，得n＝5.9.解由题意可列关系式：②÷①得：q (1－q )＝＝，∴q ＝，∴a 1＝＝＝96.又∵a 6＝a 1q 5＝96×＝3，∴a 5，a 7的等比中项为3.10．设{a n }、{b n }是公比不相等的两个等比数列，C n ＝a n ＋b n ， 证明数列{C n }不是等比数列．证明 设{a n }、{b n }的公比分别为p 、q ，p ≠0，q ≠0，p ≠q ，C n ＝a n ＋b n . 要证{C n }不是等比数列，只需证C ≠C 1·C 3.8.答案解析 设三边为a ，aq ，aq 2 (q >1)，则(aq 2)2＝(aq )2＋a 2，∴q 2＝. 较小锐角记为θ，则sin θ＝＝.高二数学必修5《等比数列的前n 项和》练习卷知识点：1、等比数列{}n a 的前n 项和的公式：()()()11111111n n n na q S a q a a q q q q =⎧⎪=-⎨-=≠⎪--⎩．2、等比数列的前n 项和的性质：1若项数为()*2n n ∈N ，则Sq S =偶奇．2n n m n m S S q S +=+⋅．3n S ，2n n S S -，32n n S S -成等比数列．同步练习：1、数列1，a ，2a ，…，1n a -，…的前n 项和是（ ）A ．11na a--B ．111n a a+--C ．211n a a+-- D ．以上均不正确2、若数列的前n 项和为()10n n S a a =-≠，则这个数列是（ ）A ．等比数列B ．等差数列C ．等比或等差数列D ．非等差数列3、等比数列{}n a 的首项为1，公比为q ，前n 项和为S ，由原数列各项的倒数组成一个新数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，则1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项之和是（ ）A ．1SB ．1n q SC ．1n Sq -D ．nq S4、已知数列{}n a 的前n 项的和是n S ，若12n n n S S a +-=，则{}n a 是（ ）A ．递增的等比数列B ．递减的等比数列C ．摆动的等比数列D ．常数列5、某工厂去年产值为a ，计划5年内每年比上一年产值增长10％，从今年起五年内这个工厂的总产值是（ ） A ．41.1a B ．51.1a C ．()5101.11a - D ．()2111.11a -6、等比数列前n 项和为54，前2n 项和为60，则前3n 项和为（ ） A ．54B ．64C ．2663D ．26037、在等比数列中，301013S S =，1030140S S +=，则20S =（ ） A ．90B ．70C ．40D ．308、等比数列{}n a 中，29a =，5243a =，则{}n a 的前4项和为（ ）A ．81B ．120C ．168D ．192 9、一个等比数列的前7项和为48，前14项和为60，则前21项和为（ ） A ．180B ．108C ．75D ．6310、在14与78之间插入n 个数组成等比数列，若各项总和为778，则此数列的项数是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．711、数列1，12+，2122++，…，（2122+++…12n -+），…的前n 项和等于（ ） A ．12n n +- B ．122n n +--C ．2n n -D ．2n12、首项为a 的数列{}n a 既是等差数列，又是等比数列，则这个数列前n 项和为（ ） A ．1n a -B ．naC ．n aD ．()1n a -13、设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项的倒数之和为n T ，则n nS T 的值为（ ）A ．1n a aB ．1na a C ．1n n n a aD ．1nn a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭14、某林厂年初有森林木材存量S 3m ，木材以每年25％的增长率生长，而每年末要砍伐固定的木材量x 3m ，为实现经过两年砍伐后的木材的存量增加50％，则x 的值是（ ） A ．32S B ．34S C ．36S D ．38S 15、已知数列{}n a 的前n 项和为()20,0n n S b a a b =⨯+≠≠．若数列{}n a 是等比数列，则a 、b 应满足的条件为（）A ．0a b -=B ．0a b -≠C ．0a b +=D ．0a b +≠16、在正项等差比数列{}n a 中，若27S =，691S =，则4S 的值为（ ） A ．28 B ．32 C ．35 D ．4917、等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132log log a a ++…310log a +=（ ） A ．12B ．10C ．8D ．32log 5+18、等比数列的前n 项，前2n 项，前3n 项的和分别为A ，B ，C ，则（ ） A ．C A+B = B ．2C B =AC ．2C A +B -=BD ．()22C A +B =A B+19、一个等比数列{}n a 共有21n +项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则1n a +为（ ）A ．65B ．56C ．20D ．11020、已知等比数列{}n a 的公比为13q =，且135a a a +++…9960a +=，则1234a a a a ++++…100a +=（ ）A ．100B ．80C ．60D ．40 21、若等比数列{}n a 的前n 项之和3n n S a =+，则a =（ ）A ．3B ．1C ．0D ．1-22、数列12，14，18，…的前10项和等于____________________．23、在等比数列{}n a 中，1220a a +=，3440a a +=，则6S =________．24、在等比数列{}n a 中，设11a =-，前n项和为nS ，若1053132S S =，则n S =_____________．25、若数列{}n a 满足：11a =，12n na a +=，1n =，2，3…，则12a a ++…n a +=________．26、在等比数列{}n a 中，332a =，392S =，则1a =___________．27、等比数列{}n a 中，若166n a a +=，21128n a a -⋅=，126n S =，则q =________． 28、一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数．29、等比数列{}n a 中前n 项和为n S ，42S =，86S =，求17181920a a a a +++的值． 30、等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若510S =，1050S =，求15S ．31、等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知41S =，817S =，求{}n a 的通项公式． 高二数学必修5《等比数列》练习卷 知识点：1、如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比．2、在 与 中间插入一个数 ，使 ， ， 成等比数列，则 称为 与 的等比中项．若 ，则称 为 与 的等比中项．3、若等比数列 的首项是 ，公比是 ，则 ．4、通项公式的变形：① ；② ；③ ；④ ．5、若 是等比数列，且 （ 、 、 、 ），则 ；若 是等比数列，且 （ 、 、 ），则 ． 同步练习：1、在等比数列 中，如果 ， ，那么 为（ ）A ．B ．C ．D ． 2、若公比为 的等比数列的首项为 ，末项为 ，则这个数列的项数是（ ） A ． B ． C ． D ．3、若 、 、 成等比数列，则函数 的图象与 轴交点的个数为（ ） A ． B ． C ． D ．不确定4、已知一个等比数列的各项为正数，且从第三项起的任意一项均等于前两项之和，则此等比数列的公比为（）A．B．C．D．5、设，，，成等比数列，其公比为，则的值为（）A．B．C．D．6、如果，，，，成等比数列，那么（）A．， B．，C．，D．，7、在等比数列中，，，则等于（）A．B．C．D．8、在等比数列中，，，则等于（）A．B．C．D．9、在等比数列中，和是二次方程的两个根，则的值为（）A．B．C．D．10、设等比数列的前三项依次为，，，则它的第四项是（）A．B．C．D．11、随着市场的变化与生产成本的降低，每隔年计算机的价格降低，年价格为元的计算机到年时的价格应为（）A．元B．元C．元D．元12、若数列为等比数列，则下列数列中一定是等比数列的个数为（）⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹A．B．C．D．13、在等比数列中，若，，则的值为（）A．B．C．或D．不存在14、等比数列中，，，则（）A．B．C．或D．或15、在等比数列中，首项，若是递增数列，则公比满足（）A．B．C．D．16、若是等比数列，其公比是，且，，成等差数列，则等于（）A．或B．或C．或D．或17、已知等差数列的公差为，若，，成等比数列，则等于（）A．B．C．D．18、生物学中指出：生态系统中，在输入一个营养级的能量中，大约有％～％的能量能够流动到下一个营养级（称为能量传递率），在这条生物链中，若使获得的能量，则需要最多提供的能量是（）A．B．C．D．19、已知等差数列的公差为，若，，成等比数列，则（）A．B．C．D．20、数列满足，，则_________．21、若是等比数列，且，若，那么的值等于________．22、若为等比数列，且，则公比________．23、首项为的等比数列的第项是，第项是，则________．24、在数列中，若，，则该数列的通项______________．25、已知等比数列中，，，则该数列的通项_________________．26、已知数列为等比数列．⑴若，，求；⑵若，，，求．27、已知数列为等比数列，，，求的通项公式．28、若数列满足关系，，求数列的通项公式．29、有四个实数，前个数成等比数列，它们的积为，后个数成等差数列，它们的和为，求这四个数．高二数学必修5《等差数列》练习卷知识点：1、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．2、由三个数，，组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则称为与的等差中项．若，则称为与的等差中项．3、若等差数列的首项是，公差是，则．4、通项公式的变形：①；②；③；④；⑤．5、若是等差数列，且（、、、），则；若是等差数列，且（、、），则．同步练习：1、等差数列，，，，…的一个通项公式是（）A．B．C．D．2、下列四个命题：①数列，，，是公差为的等差数列；②数列，，，是公差为的等差数列；③等差数列的通项公式一定能写成的形式（、为常数）；④数列是等差数列．其中正确命题的序号是（）A．①②B．①③C．②③④D．③④3、中，三内角、、成等差数列，则（）A．B．C． D．4、已知，，则、的等差中项是（）A．B．C．D．5、已知等差数列，，，…，的公差为，则，，，…，（为常数，且）是（）A．公差为的等差数列 B．公差为的等差数列C．非等差数列D．以上都不对6、在数列中，，，则的值为（）A．B．C．D．7、是等差数列，，，…的（）A．第项B．第项C．第项D．第项8、在等差数列中，已知，，则等于（）A．B．C．D．9、在等差数列，，，…中第一个负数项是（）A．第项B．第项C．第项D．第项10、在等差数列中，已知，，则等于（）A．B．C．D．11、在和（）两个数之间插入个数，使它们与、组成等差数列，则该数列的公差为（）A．B．C．D．12、设是公差为正数的等差数列，若，，则（）A．B．C．D．13、与的等差中项是（）A．B．C．D．14、若，两个等差数列，，，与，，，，的公差分别为，，则（）A．B．C．D．15、一个首项为，公差为整数的等差数列，如果前项均为正数，第7项起为负数，则它的公差是（）A．B．C．D．16、在等差数列中，若，则的值等于（）A ．B ．C ．D ．17、等差数列 中， ， ，则 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．18、设数列 是递增等差数列，前三项的和为 ，前三项的积为 ，则它的首项是（ ）A ．B ．C ．D ．19、高山上的温度从山脚起，每升高 米降低 ℃，已知山顶的温度是 ℃，山脚的温度是 ℃，则山脚到山顶的高度为（ ）A ． 米B ． 米C ． 米D ． 米20、等差数列 的公差是 ， … ，则 … _________．21、定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．若数列 是等和数列，且 ，公和为 ，那么 的值为________，这个数列的通项公式 ____________________．22、在 和 之间插入 个数，使它们与 、 组成等差数列，则该数列的公差为________．23、已知数列 的公差 ， ，则 ________．24、等差数列 中， ， ，且从第 项开始每项都大于 ，则此等差数列公差 的取值范围是___________．25、等差数列 ， ， ，…的第 项的值为________．26、一个等差数列 ， ，则 ___________．27、在数列 中，若 ， ，则 __________________．28、 ， ， ， ， 是等差数列中的连续五项，则 __________， _________， ___________．29、在等差数列 中，已知 ， ，求 ， ， ， ．30、在等差数列 中，若 … ， … ，求 … ．31、已知 个数成等差数列，它们的和为 ，平方和为 ，求这 个数．高二数学必修5《不等关系与不等式》练习卷知识点：1、0a b a b ->⇔>；0a b a b -=⇔=；0a b a b -<⇔<．2、不等式的性质： 1a b b a >⇔<；2,a b b c a c >>⇒>；3a b a c b c >⇒+>+； 4,0a b c ac bc >>⇒>，,0a b c ac bc ><⇒<；5,a b c d a c b d >>⇒+>+；60,0a b c d ac bd >>>>⇒>；7()0,1n n a b a b n n >>⇒>∈N >；8)0,1a b n n >>>∈N >．同步练习：1、已知a b >，c d >，且c 、d 不为0，那么下列不等式成立的是（ ）A ．ad bc >B ．ac bc >C ．a c b d ->-D ．a c b d +>+2、下列命题中正确的是（ ）A ．若a b >，则22ac bc >B ．若a b >，c d >，则a c b d ->-C ．若0ab >，a b >，则11a b <D ．若a b >，c d <，则a b c d> 3、下列命题中正确命题的个数是（ ）1若x y z >>，则xy yz >；2a b >，c d >，0abcd ≠，则a b c d >； 3若110a b <<，则2ab b <；4若a b >，则11b b a a ->-．A ．1B ．2C ．3D ．44、如果0a <，0b >，则下列不等式中正确的是（ ）A ．11a b < B ．< C ．22a b < D ．a b >5、下列各式中，对任何实数x 都成立的一个式子是（ ） A ．()2lg 1lg 2x x +≥ B ．212x x +> C ．2111x ≤+ D ．12x x +≥ 6、若a 、b 是任意实数，且a b >，则（ ）A ．22a b >B ．1b a <C ．()lg 0a b ->D ．1122a b ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7、如果a R ∈，且20a a +<，那么a ，2a ，a -，2a -的大小关系是（ ）A ．22a a a a >>->-B ．22a a a a ->>->C ．22a a a a ->>>-D ．22a a a a >->>- 8、若231x x M =-+，22x x N =+，则（ ） A ．M >N B ．M <N C ．M ≤ND ．M ≥N9、若2x ≠或1y ≠-，2242x y x y M =+-+，5N =-，则M 与N 的大小关系是（ ）A ．M >NB ．M <NC ．M =ND ．M ≥N10、不等式1222a a +>，2()2221a b a b +≥--，322a b ab +>恒成立的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 11、已知0a b +>，0b <，那么a ，b ，a -，b -的大小关系是（ ） A ．a b b a >>->-B ．a b a b >->->C ．a b b a >->>-D ．a b a b >>->-12、给出下列命题：122a b ac bc >⇒>；222a b a b >⇒>；333a b a b >⇒>；422a b a b >⇒>．其中正确的命题是（ ） A ．12 B ．23 C ．34 D ．1413、已知实数a 和b 均为非负数，下面表达正确的是（ ）A ．0a >且0b >B ．0a >或0b >C ．0a ≥或0b ≥D ．0a ≥且0b ≥14、已知a ，b ，c ，d 均为实数，且0ab >，c d a b-<-，则下列不等式中成立的是（ ）A ．bc ad <B ．bc ad >C ．a b c d >D ．a b c d < 15、若()231f x x x =-+，()221g x x x =+-，则()f x ，()g x 的大小关系是（ ） A ．()()f x g x <B ．()()f x g x =C ．()()f x g x >D ．随x 值的变化而变化16、某一天24小时内两艘船均须在某一码头停靠一次，为了卸货的方便，两艘船到达该码头的时间至少要相差两小时，设甲、乙两船到达码头的时间分别x ，y 小时，且两船互不影响，则x ，y 应满足的关系是（ ）A ．20y x x y -≥⎧⎪≥⎨⎪≥⎩ B ．200x y x y -≥⎧⎪≥⎨⎪≥⎩ C ．200y x x y ->⎧⎪≥⎨⎪≥⎩ D ．2024024y x x y ⎧-≥⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩17、某商场对顾客实行优惠活动，规定一次购物付款总额：1200元以内（包括200元）不予优惠；2超过200元不超过500元，按标价9折优惠；3超过500元其中500元按2优惠，超过部分按7折优惠，某人两次购物分别付款168元和423元，若他一次购物，应付款_______________元．18、某高校录取新生对语、数、英三科的高考分数的要求是：语文不低于70分；数学应高于80分；语、数、英三科的成绩之和不少于230分．若张三被录取到该校，设该生的语、数、英的成绩分别为x ，y ，z ，则x ，y ，z 应满足的条件是____________________________．19、用“>”“<”号填空：如果0a b c >>>，那么c a ________c b． 20、某品牌酸奶的质量规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于2.5％，蛋白质的含量p 应不少于2.3％，写成不等式组就是____________________．21、某中学对高一美术生划定录取控制分数线，专业成绩x 不低于95分，文化课总分y 不低于380分，体育成绩z 不低于45分，写成不等式组就是____________________．22、若0a b <<，且12a b +=，则12，a ，2ab ，22a b +中最大的是_______________．23、a 克糖水中有b 克糖（0a b >>），若再添进m 克糖（0m >），则糖水就变甜了，试根据事实提炼一个不等式______________________．24、已知a 、b R +∈，且a b ≠，比较55a b +与3223a b a b +的大小．25、比较下列各组中两个数或代数式的大小： 12 ()()4422a b a b ++与()233a b +． 26、已知0a b >>，0c d <<，0e <，求证：e e a c b d >--．新课标数学必修5第2章数列单元试题（2）说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答．共100分，考试时间90分钟．第Ⅰ卷（选择题 共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．已知两数的等差中项为10，等比中项为8，则以两数为根的一元二次方程是（ ）A ．x 2+10x +8=0B ．x 2－10x +64=0C ．x 2+20x +64=0D ．x 2－20x +64=0考查等差中项，等比中项概念及方程思想．【解析】设两数为a 、b ，则有a +b =20，ab =64．由韦达定理，∴a 、b 为x 2－20x +64=0的两根．【答案】D2．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个），经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成（ ）A ．511个B ．512个C ．1023个D ．1024个考查等比数列的简单运用．【解析】a 1=1，公比q =2．经过3小时分裂9次，∴末项为a 10，则a 10=a 1·29=512．【答案】B3．等比数列{a n }，a n >0，q ≠1，且a 2、21a 3、a 1成等差数列，则5443a a a a ++等于（ ）A ．215+B ．215-C ．251-D ．215± 考查等比数列性质及方程思想．【解析】依题意：a 3=a 1+a 2，则有a 1q 2=a 1+a 1q ，∵a 1>0，∴q 2=1+q ⇒q =251±．又∵a n >0．∴q >0，∴q =215+，5443a a a a ++=q 1=215-． 【答案】B4．已知数列2、6、10、14、32……那么72是这个数列的第（ ）项（ ）A ．23B ．24C ．19D ．25考查数列方法的灵活运用．【解析】由题意，根号里面是首项为2、公差为4的等差数列，得a n =2+（n －1）4=4n －2，而72=98，令98=4n －2⇒n =25．【答案】D5．等差数列{a n }中，S 9=－36，S 13=－104，等比数列{b n }中，b 5=a 5，b 7=a 7，则b 6等于（ ）A ．42B ．－42C ．±42D ．无法确定考查等比、等差的综合运用．【解析】S 9=－36⇒a 5=－4，S 13=－104⇒a 7=－8⇒b 6=±75a a =±42．【答案】C6．数列{a n }前n 项和是S n ，如果S n =3+2a n （n ∈N *），则这个数列是（ ）A ．等比数列B ．等差数列C ．除去第一项是等比D ．除去最后一项为等差考查数列求和及通项．【解析】S n +1－S n =（3+2a n +1）－（3+2a n ）⇒a n +1=2a n （n ≥1）．【答案】A7．设{a n }是由正数组成的等比数列，公比q =2，且a 1·a 2·a 3·…·a 30=230，则a 3·a 6·a 9·…·a 30等于（ ）A ．210B ．220C ．26D ．215考查等比数列性质的运用及转化能力．【解析】由a 1·a 30=a 2a 29=…=a 15a 16已知转化为（a 1a 30）15=230⇒a 1a 30=22又a 3·a 6·…·a 30=（a 3a 30）5=（a 1q 2·a 30）5=（a 1a 30）5·210=220．【答案】B8．若S n 是{a n }前n 项和且S n =n 2，则{a n }是（ ）A ．等比但不是等差B ．等差但不是等比C ．等差也是等比D ．既非等差也非等比考查数列概念．【解析】∵S n =n 2，S n －1=（n －1）2，S n +1=（n +1）2∴a n =S n －S n －1=2n －1，a n +1=S n +1－S n =2n +1∴a n +1－a n =2，但12121-+=+n n a a n n 不是常数． 【答案】B9．a 、b 、c 成等比数列，则f （x ）=ax 2+bx +c 的图象与x 轴的交点个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．不确定考查等比数列与二次函数知识的综合运用．【解析】由已知b 2=ac ，∴Δ=b 2－4ac =－3ac ．又∵a 、b 、c 成等比，∴a 、c 同号，∴Δ<0．【答案】A10．一房地产开发商将他新建的20层商品房的房价按下列方法定价，先定一个基价a 元/m 2，再据楼层的不同上下浮动，一层价格为（a －d ）元/m 2，二层价格a 元/m 2，三层价格为（a +d ）元/m 2，第i 层（i ≥4）价格为［a +d （32）i－3］元/m 2．其中a >0，d >0，则该商品房的各层房价的平均值为（ ）A ．a 元/m 2B ．a +101［（1－（32）17）d 元/m 2 C ．a +［1－（32）17］d 元/m 2D ．a +101［1－（32）18］d 元/m 2 考查等比数列的应用．【解析】a 4+a 5+…+a 20=17a +d321)32(13217-⎥⎦⎤⎢⎣⎡- =17a +2d ·［1－（32）17］ ∴a 1+a 2+…+a 20=20a +2d ［1－（32）17］∴平均楼价为a +101d ［1－（32）17］． 【答案】B第Ⅱ卷（非选择题 共70分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）11．一条信息，若一人得知后，一小时内将信息传给两人，这两人又在一小时内各传给未知信息的另外两人．如此下去，要传遍55人的班级所需时间大约为_______小时．考查等比数列求和的运用，化归迁移能力．【解析】由题意，n 小时后有2n 人得知，此时得知信息总人数为1+2+22+…+2n =2n +1－1≥55．即2n +1≥56⇒n +1≥6⇒n ≥5．【答案】512．已知a n =nn n 10)1(9+（n ∈N *），则数列{a n }的最大项为_______． 考查数列及不等式的运用． 【解析】设{a n }中第n 项最大，则有⎩⎨⎧≥≥-+11n n n n a a a a即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+≥+⋅≥+++--111110)1(910)1(910910)1(9n n nn n n n n n n nn ，∴8≤n ≤9 即a 8、a 9最大． 【答案】a 8和a 913．一个五边形的五个内角成等差数列，且最小角为46°，则最大角为_______．考查关于多边形内角和和等差数列的运用． 【解析】由S 5=5×46°+245⨯d =540°得d =31°∴a 5=46°+4×31°=170°． 【答案】170°14．在数列{a n }中，已知a 1=1，a n =a n －1+a n －2+…+a 2+a 1．（n ∈N *，n ≥2），这个数列的通项公式是_______． 考查数列的解题技巧．【解析】由a n =a n －1+a n －2+…+a 2+a 1=S n －1（n ≥2） 又a n =S n －S n －1=a n －1－a n∴nn a a 1+=2（n ≥2），由a 2=a 1=1∴a n =2n －2（n ≥2），∴a n =⎩⎨⎧≥=-)2( 2)1( 12n n n【答案】a n =⎩⎨⎧≥=-)2( 2)1( 12n n n三、解答题（本大题共5小题，共54分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题满分10分）数列3、9、…、2187，能否成等差数列或等比数列？若能．试求出前7项和．考查等差、等比数列概念、求和公式和运用知识的能力．【解】（1）若3，9，…，2187，能成等差数列，则a 1=3，a 2=9，即d =6．则a n =3+6（n －1），令3+6（n －1）=2187，解得n =365．可知该数列可构成等差数列，S 7=7×3+267⨯×6=147．（2）若3，9，…，2187能成等比数列，则a 1=3，q =3，则a n =3·3n －1=3n ，令3n=2187，得n =7∈N ，可知该数列可构成等比数列，S 7=31)31(37--=3279．16．（本小题满分10分）已知三个实数成等比数列，在这三个数中，如果最小的数除以2，最大的数减7，所得三个数依次成等差数列，且它们的积为103，求等差数列的公差．考查等差、等比数列的基本概念、方程思想及分类讨论的思想． 【解】设成等比数列的三个数为qa ，a ，aq ，由qa ·a ·aq =103，解得a =10，即等比数列q10，10，10q ．（1）当q >1时，依题意，q5+（10q －7）=20．解得q 1=51（舍去），q 2=25．此时2，10，18成等差数列，公差d =8．（2）当0<q <1，由题设知（q10－7）+5q =20，求得成等差数列的三个数为18、10、2，公差为－8． 综上所述，d =±8．17．（本小题满分10分）已知y =f （x ）为一次函数，且f （2）、f （5）、f （4）成等比数列，f （8）=15，求S n =f （1）+f （2）+…+f （n ）的表达式． 考查用函数的观点认识数列的能力及等比数列的求和．【解】设y =f （x ）=kx +b ，则f （2）=2k +b ，f （5）=5k +b ，f （4）=4k +b ，依题意：［f （5）］2=f （2）·f （4）．即（5k +b ）2=（2k +b ）（4k +b ）化简得k （17k +4b ）=0． ∵k ≠0，∴b =－417k ①又∵f （8）=8k +b =15 ② 将①代入②得k =4，b =－17．∴S n =f （1）+f （2）+…+f （n ）=（4×1－17）+（4×2－17）+…+（4n －17）=4（1+2+…+n ）－17n =2n 2－15n ．18．（本小题满分12分）设a n 是正数组成的数列，其前n 项和为S n ，且对所有自然数n ，a n 与2的等差中项等于S n 与2的等比中项，求数列{a n }的通项公式．考查已知前n 项和S n 求通项a n 方法及运用等差、等比数列知识解决问题的能力．【解】∵a n 与2的等差中项等于S n 与2的等比中项，∴21（a n +2）=nS 2，即S n =81（a n +2）2当n =1时，a 1=81（a 1+2）2 a 1=2．当n ≥2时，a n =S n －S n －1=81［（a n +2）2－（a n －1+2）2］即（a n +a n －1）（a n －a n －1－4）=0又∵a n +a n －1>0，∴a n =a n －1+4，即d =4． 故a n =2+（n －1）×4=4n －2．19．（本小题满分12分）是否存在互不相等的三个数，使它们同时满足三个条件①a +b +c =6，②a 、b 、c 成等差数列，③将a 、b 、c 适当排列后，能构成一个等比数列．考查等差、等比数列性质及分类讨论思想． 【解】假设存在这样的三个数 ∵a 、b 、c 成等差数列，∴2b =a +c 又a +b +c =6，∴b =2．设a =2－d ，b =2，c =2+d ．①若2为等比中项，则22=（2+d ）（2－d ） ∴d =0，则a =b =c ，不符合题意．②若2+d 为等比中项，则（2+d ）2=2（2－d ），解得d =0（舍去）或d =－6．∴a =8，b =2，c =－4．③若2－d 为等比中项，则（2－d ）2=2（2+d ），解得d =0（舍去）或d =6 ∴a =－4，b =2，c =8综上所述，存在这样的三个不相等数，同时满足3个条件，它们是8，2，－4或－4，2，8．新课标数学必修5第2章数列单元试题（3）说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答．共100分，考试时间90分钟．第Ⅰ卷（选择题 共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．设数列{a n }、{b n }都是等差数列，且a 1=25，b 1=75，a 2+b 2=100，那么由a n +b n 所组成的数列的第37项值为（ ）。
高考数学---数列的概念与简单表示法课后作业练习(含答案解析)
高考数学---数列的概念与简单表示法课后作业练习（含答案解析）建议用时：45分钟一、选择题1．数列0，1，0，－1，0，1，0，－1，…的一个通项公式a n等于()A.（－1）n＋12B．cosnπ2C．cos n＋12πD．cosn＋22πD[令n＝1，2，3，…，逐一验证四个选项，易得D正确．]2．若S n为数列{a n}的前n项和，且S n＝nn＋1，则1a5等于()A.56 B.65C.130D．30D[当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝nn＋1－n－1n＝1n（n＋1），所以1a5＝5×6＝30.]3．记S n为数列{a n}的前n项和．“任意正整数n，均有a n>0”是“{S n}是递增数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[∵“a n>0”⇒“数列{S n}是递增数列”，∴“a n>0”是“数列{S n}是递增数列”的充分条件．如数列{a n}为－1，1，3，5，7，9，…，显然数列{S n}是递增数列，但是a n 不一定大于零，还有可能小于零，∴“数列{S n}是递增数列”不能推出“a n>0”，∴“a n>0”是“数列{S n}是递增数列”的不必要条件．∴“a n>0”是“数列{S n}是递增数列”的充分不必要条件．] 4．(2019·武汉5月模拟)数列{a n}中，a n＋1＝2a n＋1，a1＝1，则a6＝() A．32 B．62C．63 D．64C[数列{a n}中，a n＋1＝2a n＋1，故a n＋1＋1＝2(a n＋1)，因为a1＝1，故a1＋1＝2≠0，故a n＋1≠0，所以a n＋1＋1a n＋1＝2，所以{a n＋1}为等比数列，首项为2，公比为2.所以a n＋1＝2n即a n＝2n－1，故a6＝63，故选C.]5．若数列{a n}的前n项和S n＝n2－10n(n∈N*)，则数列{na n}中数值最小的项是()A．第2项B．第3项C．第4项D．第5项B[∵S n＝n2－10n，∴当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝2n－11；当n＝1时，a1＝S1＝－9也适合上式．∴a n＝2n－11(n∈N＋)．记f(n)＝na n＝n(2n－11)＝2n2－11n，此函数图像的对称轴为直线n＝114，但n∈N＋，∴当n＝3时，f(n)取最小值．∴数列{na n}中数值最小的项是第3项．]二、填空题6．已知数列5，11，17，23，29，…，则55是它的第________项．21[数列5，11，17，23，29，…中的各项可变形为5，5＋6，5＋2×6，5＋3×6，5＋4×6，…，所以通项公式为a n＝5＋6（n－1）＝6n－1，令6n－1＝55，得n＝21.]7．若数列{a n}满足a1＝1，a2＝3，a n＋1＝(2n－λ)a n(n＝1，2，…)，则a3等于________．15[令n＝1，则3＝2－λ，即λ＝－1，由a n＋1＝(2n＋1)a n，得a3＝5a2＝5×3＝15.]8．在一个数列中，如果∀n∈N*，都有a n a n＋1a n＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积．已知数列{a n}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________．28[∵a1a2a3＝8，且a1＝1，a2＝2.∴a3＝4，同理可求a4＝1，a5＝2.a6＝4，∴{a n}是以3为周期的数列，∴a1＋a2＋a3＋…＋a12＝(1＋2＋4)×4＝28.]三、解答题9．(2019·洛阳模拟)已知数列{a n}满足a1＝50，a n＋1＝a n＋2n(n∈N*)，(1)求{a n}的通项公式；(2)已知数列{b n}的前n项和为a n，若b m＝50，求正整数m的值．[解](1)当n≥2时，a n＝(a n－a n－1)＋(a n－1－a n－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1＝2(n－1)＋2(n－2)＋…＋2×2＋2×1＋50＝2×（n－1）n2＋50＝n 2－n ＋50.又a 1＝50＝12－1＋50，∴{a n }的通项公式为a n ＝n 2－n ＋50，n ∈N *. (2)b 1＝a 1＝50， 当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1＝n 2－n ＋50－[(n －1)2－(n －1)＋50]＝2n －2， 即b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧50，n ＝12n －2，n ≥2.当m ≥2时，令b m ＝50，得2m －2＝50，解得m ＝26. 又b 1＝50，∴正整数m 的值为1或26.10．设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝a (a ≠3)，a n ＋1＝S n ＋3n ，n ∈N *，设b n ＝S n －3n ，(1)求数列{b n }的通项公式；(2)若a n ＋1≥a n ，n ∈N *，求a 的取值范围． [解] (1)依题意，S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝S n ＋3n ， 即S n ＋1＝2S n ＋3n ，由此得S n ＋1－3n ＋1＝2(S n －3n )， 即b n ＋1＝2b n ， 又b 1＝S 1－3＝a －3，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝(a －3)2n －1，n ∈N *. (2)由(1)知S n ＝3n ＋(a －3)2n －1，n ∈N *，于是，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋(a －3)2n －1－3n －1－(a －3)2n －2＝2×3n－1＋(a －3)2n －2，a n ＋1－a n ＝4×3n －1＋(a －3)2n －2 ＝2n －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2＋a －3，当n ≥2时，a n ＋1≥a n ⇒12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2＋a －3≥0⇒a ≥－9，又a 2＝a 1＋3＞a 1(a ≠3)．综上，a 的取值范围是[－9，3)∪(3，＋∞)．1．已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *)，若b n ＋1＝(n －λ)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋1，b 1＝－λ，且数列{b n }是递增数列，则实数λ的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(3，＋∞)C ．(－∞，2)D ．(－∞，3)C [由a n ＋1＝a n a n ＋2，知1a n ＋1＝2a n ＋1，即1a n ＋1＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1是首项为1a 1＋1＝2，公比为2的等比数列，所以1a n ＋1＝2n ，所以b n ＋1＝(n －λ)·2n ，因为数列{b n }是递增数列，所以b n ＋1－b n ＝(n －λ)2n －(n －1－λ)2n －1＝(n ＋1－λ)2n－1＞0对一切正整数n 恒成立，所以λ＜n ＋1，因为n ∈N *，所以λ＜2，故选C.]2．(2019·临沂三模)意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”： 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…即F (1)＝F (2)＝1，F (n )＝F (n －1)＋F (n －2)(n ≥3，n ∈N *)，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等都有着广泛的应用．若此数列被2整除后的余数构成一个新数列{a n }，则数列{a n }的前2 019项的和为( )A ．672B ．673C ．1 346D ．2 019C [由数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…各项除以2的余数，可得{a n }为1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，1，0，…，所以{a n }是周期为3的周期数列，一个周期中三项和为1＋1＋0＝2， 因为2 019＝673×3，所以数列{a n }的前2 019项的和为673×2＝1 346，故选C.]3．(2019·晋城三模)记数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝3a n ＋2n －3，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________．a n ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫32n[当n ＝1时，S 1＝a 1＝3a 1－1，解得a 1＝12；当n ≥2时，S n ＝3a n ＋2n －3，S n －1＝3a n －1＋2n －5，两式相减可得，a n ＝3a n －3a n －1＋2，故a n ＝32a n －1－1，设a n ＋λ＝32(a n －1＋λ)，故λ＝－2，即a n －2＝32(a n －1－2)，故a n －2a n －1－2＝32.故数列{a n －2}是以－32为首项，32为公比的等比数列，故a n －2＝－32·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1，故a n ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫32n .] 4．已知数列{a n }中，a 1＝1，其前n 项和为S n ，且满足2S n ＝(n ＋1)a n (n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝3n －λa 2n ，若数列{b n }为递增数列，求λ的取值范围． [解] (1)∵2S n ＝(n ＋1)a n ， ∴2S n ＋1＝(n ＋2)a n ＋1，∴2a n ＋1＝(n ＋2)a n ＋1－(n ＋1)a n ， 即na n ＋1＝(n ＋1)a n ，∴a n ＋1n ＋1＝a nn ，∴a n n ＝a n －1n －1＝…＝a 11＝1，∴a n ＝n (n ∈N ＋)． (2)由(1)知b n ＝3n －λn 2.b n ＋1－b n ＝3n ＋1－λ(n ＋1)2－(3n －λn 2) ＝2·3n －λ(2n ＋1)． ∵数列{b n }为递增数列， ∴2·3n －λ(2n ＋1)>0， 即λ<2·3n2n ＋1.令c n ＝2·3n2n ＋1，即c n ＋1c n ＝2·3n ＋12n ＋3·2n ＋12·3n ＝6n ＋32n ＋3>1. ∴{c n }为递增数列， ∴λ<c 1＝2，即λ的取值范围为(－∞，2)．1．(2019·烟台、菏泽高考适应性练习一)已知数列：1k ，2k －1，…，k 1(k ∈N *)，按照k 从小到大的顺序排列在一起，构成一个新的数列{a n }：1，12，21，13，22，31，…，则89首次出现时为数列{a n }的( )A ．第44项B ．第76项C ．第128项D ．第144项C [观察分子分母的和出现的规律：2，3，4，5，…，把数列重新分组：⎝ ⎛⎭⎪⎫11，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，21，⎝ ⎛⎭⎪⎫13，22，31，…，⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ，2k －1，…，k 1，可看出89第一次出现在第16组，因为1＋2＋3＋…＋15＝120，所以前15组一共有120项；第16组的项为⎝ ⎛⎭⎪⎫116，215，…，710，89…，所以89是这一组中的第8项，故89第一次出现在数列的第128项，故选C.]2．已知二次函数f (x )＝x 2－ax ＋a (a ＞0，x ∈R )有且只有一个零点，数列{a n }的前n 项和S n ＝f (n )(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设c n ＝1－4a n(n ∈N *)，定义所有满足c m ·c m ＋1＜0的正整数m 的个数，称为这个数列{c n }的变号数，求数列{c n }的变号数．[解] (1)依题意，Δ＝a 2－4a ＝0， 所以a ＝0或a ＝4. 又由a ＞0得a ＝4， 所以f (x )＝x 2－4x ＋4. 所以S n ＝n 2－4n ＋4.当n ＝1时，a 1＝S 1＝1－4＋4＝1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －5. 所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －5，n ≥2.(2)由题意得c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，n ＝1，1－42n －5，n ≥2. 由c n ＝1－42n －5可知，当n ≥5时，恒有c n ＞0.又c 1＝－3，c 2＝5，c 3＝－3，c 4＝－13，c 5＝15，c 6＝37， 即c 1·c 2＜0，c 2·c 3＜0，c 4·c 5＜0，所以数列{c n}的变号数为3.。
2023届高考数学-等差数列及其前n项和精选练习含答案
等差数列及其前n 项和（时间：45分钟 满分：100分）一、选择题(每小题7分，共35分)1．设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于( )A ．31B ．32C ．33D ．342．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( )A ．13B ．35C ．49D ．633．若S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 2＋a 10＝4，则S 11的值为( )A ．12B ．18C ．22D ．444．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 8＋a 11＝30，那么S 13的值是( )A ．130B ．65C ．70D ．以上都不对5．已知数列{a n }中，a 3＝2，a 5＝1，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫11＋a n 是等差数列，则a 11等于( ) A ．0 B.16 C.13 D.12 二、填空题(每小题6分，共24分)6．(2020·辽宁)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，则a 9＝________.7．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且6S 5－5S 3＝5，则a 4＝________.8．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9＝72，则a 2＋a 4＋a 9＝________.9．等差数列{a n }的通项公式是a n ＝2n ＋1，其前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项和为________．三、解答题(共41分)10．(13分)(1)在等差数列{a n }中，若a 3＝50，a 5＝30，求a 7；(2)在等差数列{a n }中，已知a 15＝33，a 61＝217，判断153是不是这个数列的项．如果是，是第几项？11．(14分)已知数列{a n }的通项公式a n ＝pn 2＋qn (p 、q ∈R，且p 、q 为常数)．(1)当p 和q 满足什么条件时，数列{a n }是等差数列；(2)求证：对任意实数p 和q ，数列{a n ＋1－a n }是等差数列．12．(14分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＝na n －n (n －1) (n ＝1,2,3，…)．(1)求证：数列{a n }为等差数列，并写出a n 关于n 的表达式；(2)若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和为T n ，求满足T n >100209的最小正整数n .答案 1.B 2.C 3.C 4.A 5.A6.157.138.249.7510. 解 (1)∵d ＝a 5－a 35－3＝30－502＝－10， ∴a 7＝a 3＋(7－3)d ＝50＋4×(－10)＝10，∴a 7＝10.(2)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .∵a 15＝33，a 61＝217，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 33＝a 1＋(15－1)d ，217＝a 1＋(61－1)d ，解得a 1＝－23，d ＝4.∴a n ＝－23＋(n －1)×4＝4n －27.令a n ＝153，即4n －27＝153，得n ＝45∈N *，∴153是所给数列的第45项． 11. (1)解 a n ＋1－a n ＝[p (n ＋1)2＋q (n ＋1)]－(pn 2＋qn )＝2pn ＋p ＋q ，要使{a n }是等差数列，则2pn ＋p ＋q 应是一个与n 无关的常数，所以只有2p ＝0，即p ＝0.故当p ＝0，q ∈R 时，数列{a n }是等差数列．(2)证明 ∵a n ＋1－a n ＝2pn ＋p ＋q ，∴a n ＋2－a n ＋1＝2p (n ＋1)＋p ＋q ，∴(a n ＋2－a n ＋1)－(a n ＋1－a n )＝2p 为一个常数．∴{a n ＋1－a n }是等差数列．12. (1)证明 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝na n －(n －1)a n －1－2(n －1)，得a n －a n －1＝2 (n ＝2,3,4，…)．所以数列{a n }是以a 1＝1为首项，2为公差的等差数列．所以a n ＝2n －1.(2)解 T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n －1a n ＋1a n a n ＋1＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋1(2n －1)(2n ＋1)＝12[⎝ ⎛⎭⎪⎫11－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1]＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1， 由T n ＝n 2n ＋1>100209，得n >1009， 所以满足T n >100209的最小正整数n 为12.。
高考数学一轮复习《数列的综合运用》练习题(含答案)
高考数学一轮复习《数列的综合运用》练习题（含答案）一、单选题1．某银行设立了教育助学低息贷款，其中规定一年期以上贷款月均等额还本付息(利息按月以复利计算)．如果小新同学贷款10000元，一年还清，假设月利率为0.25%，那么小新同学每月应还的钱约为（ ）（1.002512≈1.03） A ．833B ．858C ．883D ．9022．某企业在今年年初贷款a 万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，则每年应偿还（ ） A ．()()5111a γγ++-万元 B ．()()55111a γγγ++-万元C ．()()54111a γγγ++-万元 D ．()51a γγ+万元3．一种预防新冠病毒的疫苗计划投产两月后，使成本降64%，那么平均每月应降低成本（ ） A ．20%B ．32%C ．40%D ．50%4．今年元旦，市民小王向朋友小李借款100万元用于购房，双方约定年利率为5%，按复利计算（即本年利息计入次年本金生息），借款分三次等额归还，从明年的元旦开始，连续三年都是在元旦还款，则每次的还款额约是（ ）万元.（四舍五入，精确到整数） （参考数据：()21.05 1.1025=，()31.05 1.1576=，()41.05 1.2155=） A ．36B ．37C ．38D ．395．随着新一轮科技革命和产业变革持续推进，以数字化、网络化、智能化以及融合化为主要特征的新型基础设施建设越来越受到关注.5G 基站建设就是“新基建”的众多工程之一，截至2020年底，我国已累计开通5G 基站超70万个，未来将进一步完善基础网络体系，稳步推进5G 网络建设，实现主要城区及部分重点乡镇5G 网络覆盖.2021年1月计划新建设5万个5G 基站，以后每个月比上一个月多建设1万个，预计我国累计开通500万个5G 基站时要到（ ） A ．2022年12月B ．2023年2月C ．2023年4月D ．2023年6月6．我们知道，偿还银行贷款时，“等额本金还款法”是一种很常见的还款方式，其本质是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期的还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率．自主创业的大学生张华向银行贷款的本金为48万元，张华跟银行约定，按照等额本金还款法，每个月还一次款，20年还清，贷款月利率为0.4%，设张华第n 个月的还款金额为n a 元，则n a =（ ）A ．2192B ．39128n -C ．39208n -D ．39288n -7．高阶等差数列是数列逐项差数之差或高次差相等的数列，中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智.如南宋数学家杨辉在《详解九章算法.商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关.如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，则第30层小球的个数为（ ）A ．464B ．465C ．466D ．4958．某单位用分期付款方式为职工购买40套住房，总房价1150万元.约定：2021年7月1日先付款150万元，以后每月1日都交付50万元，并加付此前欠款利息，月利率1%，当付清全部房款时，各次付款的总和为（ ） A ．1205万元B ．1255万元C ．1305万元D ．1360万元9．小李在2022年1月1日采用分期付款的方式贷款购买一台价值a 元的家电，在购买1个月后的2月1日第一次还款，且以后每月的1日等额还款一次，一年内还清全部贷款（2022年12月1日最后一次还款），月利率为r ．按复利计算，则小李每个月应还（ ） A ．()()1111111ar r r ++-元 B ．()()1212111ar r r ++-元C ．()11111a r +元D ．()12111a r +元10．在流行病学中，基本传染数0R 是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．0R 一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于0R 1>，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数0R 3=，平均感染周期为7天（初始感染者传染0R 个人为第一轮传染，经过一个周期后这0R 个人每人再传染0R 个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为（参考数据：63729=，541024=）（ ） A ．35B ．42C ．49D ．5611．为了更好地解决就业问题，国家在2020年提出了“地摊经济”为响应国家号召，有不少地区出台了相关政策去鼓励“地摊经济”．老王2020年6月1日向银行借了免息贷款10000元，用于进货.因质优价廉，供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底扣除生活费1000元，余款作为资金全部用于下月再进货，如此继续，预计到2021年5月底该摊主的年所得收入为（ ）（取()111.27.5=，()121.29=） A ．32500元B ．40000元C ．42500元D ．50000元12．某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒，计划改建十个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费，每个实验室的装修费都一样，设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列，已知第五实验室比第二实验室的改建费用高28万元，第七实验室比第四实验室的改建费用高112万元，并要求每个实验室改建费用不能超过1100万元.则该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要（ ） A ．2806万元B ．2906万元C ．3106万元D ．3206万元二、填空题13．小李向银行贷款14760元，并与银行约定：每年还一次款，分4次还清所有的欠款，且每年还款的钱数都相等，贷款的年利率为0.25，则小李每年所要还款的钱数是___________元.14．从2017年到2020年期间，某人每年6月1日都到银行存入1万元的一年定期储蓄．若年利率为20%保持不变，且每年到期的存款本息均自动转为新的一年定期储蓄，到2020年6月1日，该人去银行不再存款，而是将所有存款的本息全部取回，则取回的金额为_______万元．15．银行一年定期储蓄存款年息为r ，三年定期储蓄存款年息为q ，银行为吸收长期资金，鼓励储户存三年定期的存款，那么q 的值应略大于______．16．今年“五一”期间，北京十家重点公园举行免费游园活动，北海公园免费开放一天，早晨6时30分有2人进入公园，接下来的第一个30分钟内有4人进去1人出来，第二个30分钟内有8人进去2人出来，第三个30分钟内有16人进去3人出来，第四个30分钟内有32人进去4人出来…，按照这种规律进行下去，到上午11时30分公园内的人数是____.三、解答题17．一杯100℃的开水放在室温25℃的房间里，1分钟后水温降到85℃，假设每分钟水温变化量和水温与室温之差成正比． (1)求()*n n N ∈分钟后的水温n t ；(2)当水温在40℃到55℃之间时（包括40℃和55℃），为最适合饮用的温度，则在水烧开后哪个时间段饮用最佳．（参考数据：lg 20.3≈）18．某优秀大学生毕业团队响应国家号召，毕业后自主创业，通过银行贷款等方式筹措资金，投资72万元生产并经营共享单车，第一年维护费用为12万元，以后每年都增加4万元，每年收入租金50万元.(1)若扣除投资和维护费用，则从第几年开始获取纯利润？(2)若年平均获利最大时，该团队计划投资其它项目，问应在第几年转投其它项目？19．去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.记从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列{}n a ，每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列{}n b . (1)求数列{}n a 和数列{}n b 的通项公式；(2)为了确定处理生活垃圾的预算，请求出从今年起n 年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）.（参考数据41.05 1.215≈，51.05 1.276≈，61.05 1.340≈）20．2020年是充满挑战的一年，但同时也是充满机遇､蓄势待发的一年．突如其来的疫情给世界带来了巨大的冲击与改变，也在客观上使得人们更加重视科技的力量和潜能．某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．假设该企业第一年年初有资金5000万元，并将其全部投入生产，到当年年底资金增长了50%，预计以后每年资金年增长率与第一年相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金(2500)t t ≤万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为n a 万元． （1）写出1n a +与n a 的关系式，并判断{}2n a t -是否为等比数列；（2）若企业每年年底上缴资金1500t =，第*()m m N ∈年年底企业的剩余资金超过21000万元，求m 的最小值．21．流行性感冒是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病.某市去年11月份曾发生流感，据统计，11月1日该市的新感染者有30人，以后每天的新感染者比前一天的新感染者增加50人.由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从11月()*1929,k k k +≤≤∈N 日起每天的新感染者比前一天的新感染者减少20人. （1）若9k =，求11月1日至11月10日新感染者总人数；（2）若到11月30日止，该市在这30天内的新感染者总人数为11940人，问11月几日，该市新感染者人数最多？并求这一天的新感染者人数.22．教育储蓄是指个人按国家有关规定在指定银行开户、存入规定数额资金、用于教育目的的专项储蓄，是一种专门为学生支付非义务教育所需教育金的专项储蓄，储蓄存款享受免征利息税的政策.若你的父母在你12岁生日当天向你的银行教育储蓄账户存入1000元，并且每年在你生日当天存入1000元，连续存6年，在你十八岁生日当天一次性取出，假设教育储蓄存款的年利率为10%.(1)在你十八岁生日当天时，一次性取出的金额总数为多少？（参考数据：71.1 1.95≈） (2)当你取出存款后，你就有了第一笔启动资金，你可以用你的这笔资金做理财投资.如果现在有三种投资理财的方案： ①方案一：每天回报40元；②方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； ③方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番. 你会选择哪种方案？请说明你的理由.23．已知数集{}()1212,,1,2n n A a a a a a a n =≤<<≥具有性质P ；对任意的(),1i j i j n ≤≤≤，i j a a 与j ia a 两数中至少有一个属于A ．（Ⅰ）分别判断数集{}1,3,4与{}1,2,3,6是否具有性质P ，并说明理由； （Ⅱ）证明：11a =，且1211112nn na a a a a a a ---+++=+++； （Ⅲ）证明：当5n =时，成等比数列。
高考数学一轮复习等差数列专项练习(含解析)
高考数学一轮复习等差数列专项练习（含解析）假如一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那个数列就叫做等差数列。
查字典数学网为考生整理了等差数列专题训练，请考生认真做题。
一、填空题1.(2021重庆高考)若2，a，b，c,9成等差数列，则c-a=________.[解析] 由题意得该等差数列的公差d==，因此c-a=2d=.[答案]2.在等差数列{an}中，d=2，a15=-10，则S15=________.[解析] 由a15=a1+142=-10得a1=-38，因此S15===-360.[答案] -3603.等差数列{an}前9项的和等于前4项的和，若a1=1，ak+a4=0，则k =________.[解析] 由S9-S4=0，即a5+a6+a7+a8+a9=0，即a7=0.又ak+a4=0=2a7，故k=10.[答案] 104.(2021福建高考改编)等差数列{an}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{an}的公差为________.[解析] 法一：设等差数列{an}的公差为d，由题意得解得d=2.法二：在等差数列{an}中，a1+a5=2a3=10，a3=5.又a4=7，公差d=7-5=2.[答案] 25.假如等差数列{an}中，a5+a6+a7=15，那么a3+a4++a9=________.[解析] 等差数列{an}中，a5+a6+a7=15，由等差数列的性质可得3a6=1 5，解得a6=5.那么a3+a4++a9=7a6=35.[答案] 356.《九章算术》竹九节问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升.[解析] 设自上第一节竹子容量为a1，则第9节容量为a9，且数列{an}为等差数列.则解之得a1=，d=，故a5=a1+4d=.[答案]7.(2021辽宁高考改编)在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=________.[解析] S11===88.[答案] 888.(2021重庆高考)已知{an}是等差数列，a1=1，公差d0，Sn为其前n 项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8=________.[解析] a1，a2，a5成等比数列，a=a1a5，(1+d)2=1(4d+1)，d2-2d=0.d0，d=2.S8=81+2=64.[答案] 64二、解答题9.(2021湖北高考)已知等差数列{an}满足：a1=2，且a1，a2，a5成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)记Sn为数列{an}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn60n+800?若存在，求n的最小值;若不存在，说明理由.[解] (1)设等差数列{an}的公差为d，依题意，2,2+d,2+4d成等比数列，故有(2+d)2=2(2+4d)，化简得d2-4d=0，解得d=0或d=4.当d=0时，an=2;当d=4时，an=2+(n-1)4=4n-2，从而得数列{an}的通项公式为an=2或an=4n-2.(2)当an=2时，Sn=2n.明显2n60n+800，现在不存在正整数n，使得Sn60n+800成立.当an=4n-2时，Sn==2n2.令2n260n+800，即n2-30n-4000，解得n40或n-10(舍去)，现在存在正整数n，使得Sn60n+800成立，n的最小值为41.综上，当an=2时，不存在满足题意的n;当an=4n-2时，存在满足题意的n，其最小值为41.10.(2021福建高考)已知等差数列{an}的公差d=1，前n项和为Sn.(1)若1，a1，a3成等比数列，求a1;(2)若S5a1a9，求a1的取值范畴.[解] (1)因为数列{an}的公差d=1，且1，a1，a3成等比数列，因此a= 1(a1+2)，即a-a1-2=0，解得a1=-1或a1=2.(2)因为数列{an}的公差d=1，且S5a1a9，家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，小孩一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。
高考数学(理)一轮复习模拟题汇练：考点21数列的概念与简单表示法 (1)
2020高考复习模拟试题荟萃 考点21数列的概念与简单表示法一、选择题1．(2019·西宁模拟)数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝a 2n (a n ＞0)，则a n ＝( ) A ．10n －2B ．10n －1C ．102n －4D ．22n －12．(2019·武昌区调研考试)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－1，则a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＝( )A ．40B ．44C ．45D ．493．(2019·翼州中学联考)若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10等于( )A ．15B ．12C ．－12D ．－154．(2019·山西师大附中月考)定义：称n P 1＋P 2＋…＋P n为n 个正数P 1，P 2，…，P n 的“均倒数”．若数列{a n }的前n 项的“均倒数”为12n －1，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝2n －1B ．a n ＝4n －1C ．a n ＝4n －3D ．a n ＝4n －55．(2018·湖南六校联考)已知数列{a n }满足：∀m ，n ∈N *，都有a n ·a m ＝a n ＋m ，且a 1＝12，那么a 5＝( )A ．132B ．116C ．14D ．126．(2018·南昌模拟)在数列{a n }中，a 1＝1，a n a n －1＝a n －1＋(－1)n (n ≥2，n ∈N *)，则a 3a 5的值是( )A ．1516B ．158C ．34D ．387．(2019·黄冈质检)已知数列{x n }满足x n ＋2＝|x n ＋1－x n |(n ∈N *)，若x 1＝1，x 2＝a (a ≤1，a ≠0)，且x n ＋3＝x n 对于任意的正整数n 均成立，则数列{x n }的前2020项和S 2020＝( )A ．673B ．674C ．1345D ．1347 8．(2018·河南郑州一中考前冲刺)数列{a n }满足：a 1＝1，且对任意的m ，n ∈N *，都有a m ＋n ＝a m ＋a n ＋mn ，则1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 2018＝( )A ．20172018B ．20182019C ．40342018D ．40362019二、填空题9．(2019·山东重点中学联考)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3,6,10，…记为数列{a n }，则数列{a n }的通项公式为________．10．(2018·福建晋江季延中学月考)已知数列{a n }满足a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为________．11．(2018·北京海淀区模拟)数列{a n }的通项为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －1，n ≤4，－n 2＋(a －1)n ，n ≥5(n ∈N *)，若a 5是{a n }中的最大值，则a 的取值范围是________．12．(2018·佛山模拟)若数列{a n }满足12a 1＋122a 2＋123a 3＋…＋12n a n ＝2n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.13．(2019·湖南永州模拟)已知数列{a n }中，a 1＝a ，a 2＝2－a ，a n ＋2－a n ＝2，若数列{a n }单调递增，则实数a 的取值范围为________．14．(2019·长春模拟)已知数列{a n }满足a n ≠0，2a n (1－a n ＋1)－2a n ＋1(1－a n )＝a n －a n ＋1＋a n ·a n ＋1，且a 1＝13，则数列{a n }的通项公式a n ＝________．三、解答题15．(2019·云南昆明一模)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，数列{b n }满足b n ＝2a n ＋1，且前n 项和为T n .设c n ＝T 2n ＋1－T n .(1)求数列{b n }的通项公式； (2)判断数列{c n }的增减性．16．(2019·开封模拟)已知数列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋2(n －1)(n ∈N *，a ∈R 且a ≠0)．(1)若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值；(2)若对任意的n∈N*，都有a n≤a6成立，求a的取值范围．17．(2018·湖南联考)已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a n≠0，a n a n＋1＝4S n－1(n∈N*)．(1)证明：a n＋2－a n＝4；(2)求数列{a n}的通项公式．参考答案1. 答案：D解析：因为数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝a 2n (a n ＞0)，所以log 2a n ＋1＝2log 2a n ⇒log 2a n ＋1log 2a n＝2，所以{log 2a n }是公比为2的等比数列，所以log 2a n ＝log 2a 1·2n －1⇒a n ＝22n －1.2. 答案：B解析：法一：因为S n ＝n 2－1，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－1－(n －1)2＋1＝2n －1，又a 1＝S 1＝0，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，n ＝12n －1，n ≥2，所以a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＝0＋5＋9＋13＋17＝44.故选B.法二：因为S n ＝n 2－1，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－1－(n －1)2＋1＝2n －1，又a 1＝S 1＝0，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，n ＝12n －1，n ≥2，所以{a n }从第二项起是等差数列，a 2＝3，公差d ＝2，所以a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＝0＋4a 6＝4×(2×6－1)＝44，故选B.3. 答案：A解析： 由题意知a 1＋a 2＋…＋a 10＝－1＋4－7＋10－…＋(－1)10×(3×10－2)＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－1)9×(3×9－2)＋(－1)10×(3×10－2)]＝3×5＝15.4. 答案：C解析： 因为n a 1＋a 2＋…＋a n ＝12n －1，所以a 1＋a 2＋…＋a n n ＝2n －1，所以a 1＋a 2＋a 3…＋a n ＝(2n －1)n ，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝(2n －3)·(n －1)(n ≥2)，当n ≥2时，a n ＝(2n －1)n －(2n －3)(n －1)＝4n －3；a 1＝1也适合此等式，所以a n ＝4n －3.5. 答案： A解析： ∵数列{a n }满足：∀m ，n ∈N *，都有a n ·a m ＝a n ＋m ，且a 1＝12，∴a 2＝a 1a 1＝14，a 3＝a 1·a 2＝18．那么a 5＝a 3·a 2＝132．故选A ．6. 答案： C解析： 由已知得a 2＝1＋(－1)2＝2，∴2a 3＝2＋(－1)3，a 3＝12，∴12a 4＝12＋(－1)4，a 4＝3， ∴3a 5＝3＋(－1)5，∴a 5＝23，∴a 3a 5＝12×32＝34．故选C ．7. 答案： D解析： ∵x 1＝1，x 2＝a (a ≤1，a ≠0)，∴x 3＝|x 2－x 1|＝|a －1|＝1－a ，∴x 1＋x 2＋x 3＝1＋a ＋(1－a )＝2，又x n ＋3＝x n 对于任意的正整数n 均成立，∴数列{x n }的周期为3，∴数列{x n }的前2020项和S 2020＝S 673×3＋1＝673×2＋1＝1347．故选D ．8. 答案： D解析： ∵a 1＝1，且对任意的m ，n ∈N *都有a m ＋n ＝a m ＋a n ＋mn ，∴a n ＋1＝a n ＋n ＋1，即a n ＋1－a n ＝n ＋1，用累加法可得a n ＝a 1＋(n －1)(n ＋2)2＝n (n ＋1)2，∴1a n ＝2n (n ＋1)＝21n －1n ＋1，∴1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 2018＝21－12＋12－13＋…＋12018－12019＝40362019，故选D ． 9. 答案： a n ＝n (n ＋1)2解析： 由图可知a n ＋1－a n ＝n ＋1，a 1＝1，由累加法可得a n ＝n (n ＋1)2.10. 答案： a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，1n ，n ≥2解析： 已知a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋1，将n ＝1代入，得a 1＝2；当n ≥2时，将n －1代入得a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝n ，两式相减得na n ＝(n ＋1)－n ＝1，∴a n ＝1n，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，1n ，n ≥2.11. 答案： [9，12]解析： 当n ≤4时，a n ＝2n －1单调递增，因此n ＝4时取最大值，a 4＝24－1＝15．当n ≥5时，a n ＝－n 2＋(a －1)n ＝－(n －a －12)2＋(a －1)24．∵a 5是{a n }中的最大值，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －12≤5.5，－25＋5(a －1)≥15，解得9≤a ≤12．∴a 的取值范围是[9，12]． 12. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，2n ＋1，n ≥2解析：因为12a 1＋122a 2＋123a 3＋…＋12n a n ＝2n ＋1，所以12a 1＋122a 2＋123a 3＋…＋12n a n ＋12n ＋1a n ＋1＝2(n ＋1)＋1，两式相减得12n ＋1a n ＋1＝2，即a n ＝2n ＋1，n ≥2.又12a 1＝3，所以a 1＝6，因此a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，2n ＋1，n ≥2.13. 答案：(0,1)解析：由a n ＋2－a n ＝2可知数列{a n }的奇数项、偶数项分别递增，若数列{a n }单调递增，则必有a 2－a 1＝(2－a )－a ＞0且a 2－a 1＝(2－a )－a ＜a n ＋2－a n ＝2，可得0＜a ＜1，故实数a 的取值范围为(0,1)．14. 解析：因为a n ≠0，2a n (1－a n ＋1)－2a n ＋1(1－a n )＝a n －a n ＋1＋a n ·a n ＋1， 所以两边同除以a n ·a n ＋1，得2（1－a n ＋1）a n ＋1－2（1－a n ）a n ＝1a n ＋1－1a n＋1，整理，得1a n ＋1－1a n ＝1，即{1a n }是以3为首项，1为公差的等差数列，所以1a n ＝3＋(n －1)×1＝n ＋2，即a n ＝1n ＋2.答案：1n ＋215. 解析： (1)a 1＝S 1＝2，a n ＝S n －S n －1＝2n －1(n ≥2)，所以b n＝⎩⎨⎧23，n ＝1，1n ，n ≥2.(2)因为c n ＝b n ＋1＋b n ＋2＋…＋b 2n ＋1＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＋1，所以c n ＋1－c n ＝12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋1＝－1(2n ＋2)(2n ＋3)<0，即c n ＋1<c n ，所以数列{c n }是递减数列．16. 解析： (1)因为a n ＝1＋1a ＋2(n －1)(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)，又a ＝－7，所以a n ＝1＋12n －9(n ∈N *)．结合函数f (x )＝1＋12x －9的单调性，可知1＞a 1＞a 2＞a 3＞a 4，a 5＞a 6＞a 7＞…＞a n ＞1(n ∈N *)．所以数列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0.(2)a n ＝1＋1a ＋2(n －1)＝1＋12n －2－a2，已知对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6 成立，结合函数f (x )＝1＋12x －2－a2的单调性，可知5＜2－a2＜6，即－10＜a ＜－8.17. 解析： (1)证明：∵a n a n ＋1＝4S n －1， ∴a n ＋1a n ＋2＝4S n ＋1－1， ∴a n ＋1(a n ＋2－a n )＝4a n ＋1． 又a n ≠0，∴a n ＋2－a n ＝4．(2)由a n a n ＋1＝4S n －1，a 1＝1，得a 2＝3．由a n＋2－a n＝4知数列{a2n}和{a2n－1}都是公差为4的等差数列，∴a2n＝3＋4(n－1)＝2(2n)－1，a2n－1＝1＋4(n－1)＝2(2n－1)－1，∴a n＝2n－1．。
高考数学复习各地数列模拟测试题及解析
高考数学复习各地数列模拟测试题及解析一、有关通项问题1、利用11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求通项．（北师大版第23页习题5）数列{}n a 的前n 项和21n S n =+．（1）试写出数列的前5项；（2）数列{}n a 是等差数列吗？（3）你能写出数列{}n a 的通项公式吗？变式题1、（2005湖北卷）设数列}{n a 的前n 项和为S n =2n 2，求数列}{n a 的通项公式； 解：（1）：当;2,111===S a n 时,24)1(22,2221-=--=-=≥-n n n S S a n n n n 时当故{a n }的通项公式为4,2}{,241==-=d a a n a n n 公差是即的等差数列. 变式题2、（2005北京卷）数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，113n n a S +=，n =1，2，3，……，求a 2，a 3，a 4的值及数列{a n }的通项公式．解：（I ）由a 1=1，113n n a S +=，n=1，2，3，……，得 211111333a S a ===，3212114()339a S a a ==+=，431231116()3327a S a a a ==++=， 由1111()33n n n n n a a S S a +--=-=（n ≥2），得143n n a a +=（n ≥2），又a 2=31，所以a n =214()33n -(n ≥2),∴ 数列{a n }的通项公式为21114()233n n n a n -=⎧⎪=⎨⎪⎩≥变式题3、（2005山东卷）已知数列{}n a 的首项15,a =前n 项和为n S ，且*15()n n S S n n N +=++∈，证明数列{}1n a +是等比数列．解：由已知*15()n n S S n n N +=++∈可得12,24n n n S S n -≥=++两式相减得()1121n n n n S S S S +--=-+即121n n a a +=+从而()1121n n a a ++=+当1n =时21215S S =++所以21126a a a +=+又15a =所以211a =从而()21121a a +=+ 故总有112(1)n n a a ++=+，*n N ∈又115,10a a =+≠从而1121n n a a ++=+即数列{}1n a +是等比数列；2、解方程求通项：（北师大版第19页习题3）在等差数列{}n a 中，（1）已知812148,168,S S a d ==求和；（2）已知658810,5,a S a S ==求和；(3)已知3151740,a a S +=求.变式题1、{}n a 是首项11a =，公差3d =的等差数列，如果2005n a =，则序号n 等于（A ）667 （B ）668 （C ）669 （D ）670 分析：本题考查等差数列的通项公式，运用公式直接求出. 解：1(1)13(1)2005n a a n d n =+-=+-=，解得669n =，选C点评：等差等比数列的通项公式和前n 项和的公式是数列中的基础知识，必须牢固掌握.而这些公式也可视作方程，利用方程思想解决问题.3、待定系数求通项：（人教版第38页习题4）写出下列数列{}n a 的前5项：（1）111,41(1).2n n a a a n -==+>变式题1、（2006年福建卷）已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈ 求数列{}n a 的通项公式； 解：*121(),n n a a n N +=+∈112(1),n n a a +∴+=+{}1n a ∴+是以112a +=为首项，2为公比的等比数列．12.n n a ∴+=即 *21().n n a n N =-∈4、由前几项猜想通项：（北师大版第10页习题1）根据下面的图形及相应的点数，在空格及括号中分别填上适当的图形和数，写出点数的通项公式.（1） （4）（7）（ ） （ ）变式题1、（深圳理科一模）．如下图，第（1）个多边形是由正三角形“扩展“而来，第（2）个多边形是由正方形“扩展”而来，……，如此类推.设由正n 边形“扩展”而来的多边形的边数为n a ，则6a = ；345991111a a a a +++⋅⋅⋅+＝ .解：由图可得：22(1)n a n n n n n =+-=+，所以642a =；又211111(1)1n a n n n n n n ===-+++ 所以345991111a a a a +++⋅⋅⋅+=1111111197()()()3445991003100300-+-++-=-=变式题2、（北师大版第11页习题2）观察下列各图，并阅读下面的文字，像这样，10条直线相交，交点的个数最多是（ ），其通项公式为 . A ．40个 B ．45个 C ．50个 D ．55个解：由题意可得：设{}n a 为n 条直线的交点个数，则21a =，1(1),(3)n n a a n n -=+-≥，因为11n n a a n --=-，由累加法可求得：(1)12(1)2n n n a n -=+++-=，所以10109452a ⨯==，选B.2条直线相交，最多有1个交点3条直线相交，最多有3个交点4条直线相交，最多有6个交点二、有关等差、等比数列性质问题1、（北师大版第35页习题3）一个等比数列前n 项的和为48，前2n 项的和为60，则前3n 项的和为（ ）A ．83B ．108C ．75D ．63变式题1、一个等差数列前n 项的和为48，前2n 项的和为60，则前3n 项的和为 。
2023-2024学年高考数学数列专项练习题(含答案)
2023-2024学年高考数学数列小专题一、单选题1．已知等比数列的前项和为，且，则数列的前项和为（ ）{}n a n n S 11n n a S +=+{}2n a n A ．B ．413n -213n -C ．D ．41n-21n-2．已知函数在上的最小值为，最大值为，且在等差数列中，2log y x =[]16,256m M {}n a ，则（ ）24,a m a M ==10a =A ．17B ．18C ．20D ．243．数列满足，（），，若数列是递减数{}n a 18a =11nn n a a na +=+*n ∈N 112nn n b a λ⎛⎫⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭{}n b 列，则实数的取值范围是（ ）λA ．B ．C ．D ．8,7⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭7,8⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭8,7⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭7,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭4．等差数列中的，是函数的极值点，则{}n a 2a 2024a ()32642024=-+-f x x x x （ ）81013log =a A ．B ．C ．3D ．133-13-5．已知数列的前项和为，且等比数列满足，若，则{}n c n n S {}n a 2log n n c a =2364a a =（ ）9S =A ．3B ．4C ．5D ．66．已知数列是公比为q （）的正项等比数列，且，若，则{}n b 1q ≠10122ln 0b =()241f x x =+（ ）()()()122023f b f b f b +++=A ．4069B ．2023C ．2024D ．40467．已知等比数列的前项和为，若，则（ ）{}n a n n S 132n n S λ+=⨯+λ=A ．B ．C ．D ．33-66-8．已知数列的前4项分别为，，，，则该数列的一个通项公式可以为132-354+578-7916+（ ）n a =A ．2121(1)2nn n n -++-B ．12121(1)2n n n n +-++-C ．12121(1)2n n n n--++-D ．2121(1)2nnn n -++-二、多选题9．已知是等比数列的前项和，且，则下列说法正确的是（ ）n S {}n a n 11(2)n n S a -=+-A ．2a =-B ．中任意奇数项的值始终大于任意偶数项的值{}n S C ．的最大项为，最小项为{}n S 13S =232S =D ．12231011201612a a a a a a ⎛⎫+++=- ⎪⎝⎭ 10．数列中，，则（ ）{}n a 1112,1,n na a n a ++=+=∈N A ．202412a =B ．12320221011a a a a +++⋅⋅⋅+=C ．12320242a a a a ⋅⋅⋅=-D ．122334202220231011a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+=-11．已知数列满足，，为的前项和，则（ ）{}n a 126a =132n n a a +=-n S {}n a n A ．为等比数列{}1n a +B ．的通项公式为{}n a 4131n n a -=-C ．为递减数列{}n aD ．当或时，取得最大值4n =5n =n S 12．等差数列的前n 项和为，若，，则（ ）{}n a n S 79a =443S a =A ．的公差为1B ．的公差为2{}n a {}n a C ．D ．418S =20232025a =三、填空题13．在等比数列中，，则．{}n a 12563,6a a a a +=+=910a a +=14．某网店统计了商品近30天的日销售量，日销售量依次构成数列，已知，且A {}n a 120a=，则商品近30天的总销量为 .()()111nn n a a n ++-=+-∈N A 15．在数列与中，已知，则{}n a {}n b ()1111112,2,2n n n n n n n n a b a b a b a b a b ++++==+=+=．2023202311a b +=16．已知数列满足．且，若，则{}n a 1265n n a a n ++=+13a =()1nn n b a =-．1232024b b b b ++++=答案：1．A【分析】根据关系得出等比数列求出，最后再根据等比数列前项和计算求解,n n a S 12n n a -=n 即可.【详解】因为，所以当时，，两式相减，得，11n n a S +=+2n ≥11n n a S -=+12n n a a +=所以数列从第2项起是公比为2的等比数列．又数列是等比数列，所以．{}n a {}n a 212a a =由，解得，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以21111a S a =+=+11a ={}n a ，12n n a -=所以，所以数列是首项为1，公比为4的等比数列，()212124n n n a --=={}2na 所以数列的前项和为．{}2n a n 1441143n n --=-故选:A ．2．C【分析】利用对数函数单调性先求出函数最小值为，最大值为，再由等差数列通项公式m M 求解.【详解】因为函数在上单调递增，2log y x =[]16,256所以，，2log 164m ==2log 2568M ==所以，所以等差数列的公差，244,8a a =={}n a 42842422a a d --===-所以．()10210248220a a d =+-=+⨯=故选：C ．3．D【分析】将取倒数结合累加法求得，再利用数列单调递减列不等式11nn n a a na +=+()22118n n a -=并分离参数，求出新数列的最大值即可求得答案【详解】由题意，，两边取倒数可化为，所以，11nn n a a na +=+1111n n n n na n a a a ++==+21111a a -=，，由累加法可得，，因为32112a a -=1111--=-n n n a a ()()11111212n n n n a a --=++⋅⋅⋅+-=，所以，18a =()()212111288n n n n a --=+=所以，因为数列是递减数列，故，即()221111282nn n n n b a λλ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦{}n b 1n n b b -<，整理可得，()()2212123118282n n n n λλ-⎡⎤⎡⎤--⎛⎫⎛⎫+<+⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，因为，，所以2254842017288n n n λ⎛⎫--+ ⎪-+-⎝⎭>=2n ≥*n ∈N ，故.22max 5548428722888n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+-⨯-+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪==⎪ ⎪⎝⎭7,8λ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭故选:D.4．A【分析】利用导数求出函数的两个极值点，再利用等差数列性质求出即可计算得解.()f x 1013a 【详解】由求导得：，()32642024=-+-f x x x x 2()3124f x x x '=-+有，即有两个不等实根，2124340∆=-⨯⨯>()0f x '=12,x x 显然是的变号零点，即函数的两个极值点，12,x x ()f x '()f x 依题意，，在等差数列中，，24122024a x a x ++=={}n a 22024101322a a a +==所以.38101321log log 23a ==故选：A 5．D【分析】设等比数列的公比为，根据题意，求得，结合对数运算性质有{}n a q 354a =，即可求解．9925log S a =【详解】设等比数列的公比为，{}n a q因为，()2235365524a a a a q a q ===所以9128212228299log log log log S c c a c c a a a =++++++=++ ．()9321289252log log log 46a a a a a ==== 故选：D.6．D【分析】由等比数列的性质可得，由，可得1202322022202311b b b b b b ⋅=⋅==⋅= ()241f x x =+，故有，即可计()14f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()()()()()()1202322022202314f b f b f b f b f b f b +=+==+= 算.()()()122023f b f b f b +++ 【详解】由数列是公比为q （）的正项等比数列，故，{}n b 1q ≠0n b >，故，()210121012120232ln ln ln 0b b b b ==⋅=120231b b ⋅=即有，1202322022202311b b b b b b ⋅=⋅==⋅= 由，则当时，()241f x x =+0x >有，()2222214444411111x f x f x x x x x ⎛⎫+=+=+= ⎪+++⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭故，()()()()()()1202322022202314f b f b f b f b f b f b +=+==+= 故()()()()()()()12202312023220222f b f b f b f b f b f b f b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++=++++⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ，()()()()202312023120238092f b f b f b f b ⎡⎤⎡⎤++=+=⎣⎦⎣⎦故.()()()1220234046f b f b f b +++= 故选：D.7．D【分析】根据题意，求得，结合等比数列的定义，得到，即可求解.12,2n na n a +=≥212a a =【详解】由，132n n S λ+=⨯+当时，，可得，2n ≥1132(32)32n n nn n n a S S λλ+--==⨯+-⨯+=⋅12,2n na n a +=≥当时，，1n =21132a S λ==⨯+因为数列为等比数列，可得，解得.{}n a 222132232a a λ⨯==⨯+6λ=-故选：D.8．D【分析】观察数列的项的特点，找到各项之间的规律，即可写出一个通项公式，结合选项，即得答案.【详解】观察可知，该数列的前面整数部分为奇数，后面分数部分正负相间，首项的分21n +数部分为负，分母为，分子为，2n 21n-故该数列的一个通项公式可以为，2121(1)2nn n n a n -=++-故选：D 9．BCD【分析】由等比数列的前项和公式可得，可判断选项A ；根据的解析式判断奇数项n 2a =n S 与偶数项的公式，从而判断BC ；由得到的通项公式，从而表示出的通项公式n S n a 1n n n b a a +=即可判断D.【详解】由题可知，此时等比数列的公比，所以设前项和公式应为：1q ≠n ，n n S A q A =-⋅+，A 错误；12,22nn S a a ⎛⎫=-⋅-+∴= ⎪⎝⎭因此，1112,1222122,2nn n n n S n --⎧+⎪⎪⎛⎫=-⋅-+=⎨⎪⎝⎭⎪-+⎪⎩为奇数为偶数可得中，奇数项递减，且始终大于2，最大值为，{}n S 13S =偶数项递增，且始终小于2，最小值为，因此BC 正确；232S =由可得，令，n S 23122n n a -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭23121919422n n n n n b a a -+-⎛⎫==-=-⎪⎝⎭所以，故D 正确1012231011121020911124611214a a a a a a b b b ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭+++=+++==- ⎪⎝⎭- 故选：BCD 10．ABD【分析】根据递推公式可得数列是以3为周期的周期数列，再逐个选项判断即可.{}n a 【详解】由题意得：，234512341111111,11,12,1,22a a a a a a a a =-==-=-=-==-=⋅⋅⋅数列是以3为周期的周期数列．∴{}n a 对于A ，，A 正确；202467432212a a a ⨯+===对于B ，，B 正确；()1232022123367467410112a a a a a a a +++⋅⋅⋅+=++=⨯=对于C ，，C 错误；()6741232024123202320241a a a a a a a a a ⋅⋅⋅==对于D ，由递推关系式知：，11n n n a a a +=-()()()12233420222023122022111a a a a a a a a a a a ∴+++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-，D 正确．12320222022101120221011a a a a =+++⋅⋅⋅+-=-=-故选：ABD ．11．AC【分析】利用构造法得，判断出为首项为，公比为的等比数列，()1311n n a a ++=+{}11n a ++2713判断A 选项；利用等比数列通项公式求出通项公式，判断B 选项；根据函数是减函数，1n a +判断C 选项；令，解得，判断D 选项.n a =4n =【详解】因为，所以，即，，132n n a a +=-1331n n a a ++=+()1311n n a a ++=+11113n na a ++=+又因为，所以，所以为首项为，公比为的等比数列，A 正确；126a =1127a +={}11n a ++2713B 错误；C 正确；D 错误.故选：AC 12．ACD【分析】列出方程组，求出等差数列的公差和首项，判断A ，B ；根据等差数列通项公式以及前n 项和公式即可判断C ，D.【详解】设的公差为d ，由，，得，{}n a 79a =443S a =111694639a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩解得，故A 正确，B 错误；131a d =⎧⎨=⎩，，C ，D 正确.414618S a d =+=2023120222025a a d =+=故选：ACD 13．12【分析】根据等比数列的通项公式可得结果.【详解】设等比数列的公比为，，所以，{}n a q ()44561236a a q a a q +=+==42q =所以，()4910562612a a q a a +=+=⨯=故12.14．1020【分析】根据题目所给递推关系找到数列的规律，进而求和.【详解】当时，，当时，，21n k =-221k k a a -=2n k =2122k k a a +=+，∴21212k k a a +-=+中奇数项是公差为2，首项为20的等差数列，{}n a ∴∴1232930a a a a a +++++ ()135292a a a a =++++ .151421520210202⨯⎛⎫=⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭商品近30天的总销量为.∴A 1020故答案为.102015．1【分析】由已知计算可得为常数列，进而可得结果.1111n n a b +++11{}n n a b +【详解】由题意知，，()111111211112n n n n n n n n n n n n a b a b a b a b a b a b +++++++++===+所以为常数列，即，11{}n n a b +11111111122n n a b a b +=+=+=所以．20232023111a b +=故1.16．2024【分析】利用构造法与迭代法求得，从而利用并项求和法即可得解.21n a n =+【详解】因为，所以，1265n n a a n ++=+()12(1)1221n n a n a n +-+-=---又，则，13a =12113210a -⨯-=--=所以()[]12112(1)1(2)21(2)2(1)1n n n a n a n a n +--+-=---=----=，()1(2)2110n a =--⨯-=故，则，210n a n --=21n a n =+所以，()()11(21)nnn n b a n =-=-+则的各项分别为，{}n b 3,5,7,9,11,13,--- 所以()()()()12320243579111340474049b b b b ++++=-++-++-+++-+ .210122024=⨯=故2024关键点点睛：本题解决的关键在于将推递关系式化得，从而()12(1)1221n n a n a n +-+-=---求得，由此得解.n a。
全国统一高考数学练习卷及含答案 (1)
普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）1、已知,2||,1||==b a 且)(b a -与a 垂直，则a 与b 的夹角是（）A60B30C135D452、若直线l 上的一个点在平面α内，另一个点在平面α外，则直线l 与平面α的位置关系（）A．l ⊂αB．l ⊄αC．l ∥αD．以上都不正确3、两个平面若有三个公共点，则这两个平面()A．相交B．重合C．相交或重合D．以上都不对4、等差数列}{n a 的前n 项和n n S n +=22，那么它的通项公式是（）A、12-=n a n B、12+=n a n C、14-=n a n D、14+=n a n 5、曲线||x y =与1+=kx y 的交点情况是（）A、最多有两个交点B、有两个交点C、仅有一个交点D、没有交点6、已知集合},2|||{},23|{>=<<-=x x P x x M 则=⋂P M （）A、}2223|{<<-<<-x x x 或B、RC、}23|{-<-x x D、}22|{<<x x 7、甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率是90%，则甲、乙两人下成和棋的概率为（）（A）60%（B）30%（C）10%（D）50%8.如图，在正方形ABCD 中，E、F、G、H 是各边中点，O 是正方形中心，在A、E、B、F、C、G、D、H、O 这九个点中，以其中三个点为顶点作三角形，在这些三角形中，互不全等的三角形共有（）A．6个B．7个C．8个D．9个9.如图，正四面体ABCD 中，E 为AB 中点，F 为CD 的中点，则异面直线EF 与SA 所成的角为（）A．90°B．60°C．45°D．30°10.如图，正三棱柱111C B A ABC -中，AB＝1AA ，则1AC 与平面C C BB 11所成的角的正弦值为（）A．22B．515C．46D．3611.抛物线)2(2)2(2+-=-m y x 的焦点在x 轴上，则实数m 的值为（）A．0B．23C．2D．312.已知椭圆22221a y x =+（a＞0）与A（2，1），B（4，3）为端点的线段没有公共点，则a 的取值范围是（）A．2230<<a B．2230<<a 或282>aC．223<a 或282>a D．282223<<a 二、填空题（共4小题，每小题5分；共计20分）1.方程log2|x|=x2－2的实根的个数为______.2.1996年的诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的三位科学家.C60是由60个C 原子组成的分子，它结构为简单多面体形状.这个多面体有60个顶点，从每个顶点都引出3条棱，各面的形状分为五边形或六边形两种,则C60分子中形状为五边形的面有______个，形状为六边形的面有______个.3.在底面半径为6的圆柱内，有两个半径也为6的球面，两球的球心距为13，若作一个平面与两个球都相切，且与圆柱面相交成一椭圆，则椭圆的长轴长为______.4.定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x+1)=－f(x)，且在［－1，0］上是增函数，给出下列关于f(x)的判断：①f(x)是周期函数；②f(x)关于直线x=1对称；③f(x)在［0，1］上是增函数；④f(x)在［1，2］上是减函数；⑤f(2)=f(0),其中正确判断的序号为______(写出所有正确判断的序号).三、大题：(满分70分)1.如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，)4B π，4C 3π，(2,)D π，弧 AB ， BC ， CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,2π，(1,)π，曲线1M 是弧 AB ，曲线2M 是弧 BC ，曲线3M 是弧CD .（1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||OP =P 的极坐标.2.设,,x y z ∈R ，且1x y z ++=.（1）求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；（2）若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥成立，证明：3a ≤-或1a ≥-.3.在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =.（Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）求sin 26B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.4.设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为23.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.（Ⅰ）用X 表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X 的分布列和数学期望；（Ⅱ）设M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M 发生的概率.5、如图，在三棱锥P ABC -中，⊿PAB 是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90º（Ⅰ）证明：AB⊥PC（Ⅱ）若4PC =，且平面PAC ⊥平面PBC ，求三棱锥P ABC -体积。
新高考——数学数列多选题专项训练专项练习附答案
一、数列多选题1．意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1,1,2,3,5,8,13,….即从第三项开始，每一项都是它前两项的和.后人为了纪念他，就把这列数称为斐波那契数列.下面关于斐波那契数列{}n a 说法正确的是（ ） A ．1055a = B ．2020a 是偶数C ．2020201820223a a a =+D ．123a a a +++…20202022a a +=答案：AC 【分析】由该数列的性质，逐项判断即可得解. 【详解】对于A ，，，，故A 正确；对于B ，由该数列的性质可得只有3的倍数项是偶数，故B 错误； 对于C ，，故C 正确； 对于D ，，，， ， 各式相加解析：AC 【分析】由该数列的性质，逐项判断即可得解. 【详解】对于A ，821a =，9211334a =+=，10213455a =+=，故A 正确； 对于B ，由该数列的性质可得只有3的倍数项是偶数，故B 错误；对于C ，20182022201820212020201820192020202020203a a a a a a a a a a +=++=+++=，故C 正确； 对于D ，202220212020a a a =+，202120202019a a a =+，202020192018a a a =+，32121,a a a a a ⋅⋅⋅=+=，各式相加得()2022202120202021202020192012182a a a a a a a a a ++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅++， 所以202220202019201811a a a a a a =++⋅⋅⋅+++，故D 错误. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是合理利用该数列的性质去证明选项. 2．已知数列{}n a 满足()*111n na n N a +=-∈，且12a =，则（ ） A ．31a =-B ．201912a =C ．332S =D ． 2 01920192S =答案：ACD 【分析】先计算出数列的前几项，判断AC ，然后再寻找规律判断BD ． 【详解】由题意，，A 正确，，C 正确； ，∴数列是周期数列，周期为3． ，B 错； ，D 正确． 故选：ACD ． 【点睛】 本解析：ACD 【分析】先计算出数列的前几项，判断AC ，然后再寻找规律判断BD ． 【详解】由题意211122a =-=，311112a =-=-，A 正确，3132122S =+-=，C 正确；41121a =-=-，∴数列{}n a 是周期数列，周期为3． 2019367331a a a ⨯===-，B 错；20193201967322S =⨯=，D 正确．故选：ACD ． 【点睛】本题考查由数列的递推式求数列的项与和，解题关键是求出数列的前几项后归纳出数列的性质：周期性，然后利用周期函数的定义求解．3．已知数列{}n a 满足112a =-，111n na a +=-，则下列各数是{}n a 的项的有（ ）A ．2-B ．23C ．32D ．3答案：BD 【分析】根据递推关系式找出规律，可得数列是周期为3的周期数列，从而可求解结论．【详解】 因为数列满足，， ； ； ；数列是周期为3的数列，且前3项为，，3； 故选：． 【点睛】 本题主要解析：BD 【分析】根据递推关系式找出规律，可得数列是周期为3的周期数列，从而可求解结论． 【详解】因为数列{}n a 满足112a =-，111n na a +=-，212131()2a ∴==--；32131a a ==-； 4131112a a a ==-=-； ∴数列{}n a 是周期为3的数列，且前3项为12-，23，3； 故选：BD ． 【点睛】本题主要考查数列递推关系式的应用，考查数列的周期性，解题的关键在于求出数列的规律，属于基础题．4．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，….，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68a =B ．733S =C ．135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=D ．22212201920202019a a a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+= 答案：ABCD 【分析】由题意可得数列满足递推关系，对照四个选项可得正确答案. 【详解】对A ，写出数列的前6项为，故A 正确； 对B ，，故B 正确； 对C ，由，，，……，，可得：.故是斐波那契数列中的第解析：ABCD 【分析】由题意可得数列{}n a 满足递推关系12211,1,(3)n n n a a a a a n --===+≥，对照四个选项可得正确答案. 【详解】对A ，写出数列的前6项为1,1,2,3,5,8，故A 正确； 对B ，71123581333S =++++++=，故B 正确；对C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，……，201920202018a a a =-， 可得：135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=.故1352019a a a a +++⋅⋅⋅+是斐波那契数列中的第2020项.对D ，斐波那契数列总有21n n n a a a ++=+，则2121a a a =，()222312321a a a a a a a a =-=-，()233423423a a a a a a a a =-=-，……，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-，220192019202020192018a a a a a =-2222123201920192020a a a a a a +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=，故D 正确；故选：ABCD. 【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，考查方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的灵活转换.5．(多选)在数列{}n a 中，若221(2,,n n a a p n n N p *--=≥∈为常数)，则称{}n a 为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ） A ．若{}n a 是等差数列，则{}n a 是等方差数列 B ．(){}1n- 是等方差数列C ．{}2n是等方差数列.D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列答案：BD 【分析】根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可.【详解】对于A ，若是等差数列，如，则不是常数，故不是等方差数列，故A 错误； 对于B ，数列中，是常数，是等方差数列，故解析：BD 【分析】根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】对于A ，若{}n a 是等差数列，如n a n =，则12222(1)21n n a a n n n --=--=-不是常数，故{}na 不是等方差数列，故A 错误；对于B ，数列(){}1n-中，222121[(1)][(1)]0n n n n a a ---=---=是常数，{(1)}n ∴-是等方差数列，故B 正确； 对于C ，数列{}2n中，()()22221112234n n n n n aa ----=-=⨯不是常数，{}2n∴不是等方差数列，故C 错误； 对于D ，{}n a 是等差数列，1n n a a d -∴-=，则设n a dn m =+，{}n a 是等方差数列，()()222112(2)n n n n dn m a a a a d a d d n m d d dn d m --∴-=++++=+=++是常数，故220d =，故0d =，所以(2)0m d d +=，2210n n a a --=是常数，故D 正确.故选：BD. 【点睛】关键点睛：本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义，解题的关键是正确理解等差数列和等方差数列定义，利用定义进行判断.6．等差数列{}n a 是递增数列，公差为d ，前n 项和为n S ，满足753a a =，下列选项正确的是（ ） A ．0d <B ．10a <C ．当5n =时n S 最小D ．0n S >时n 的最小值为8答案：BD 【分析】由题意可知，由已知条件可得出，可判断出AB 选项的正误，求出关于的表达式，利用二次函数的基本性质以及二次不等式可判断出CD 选项的正误. 【详解】由于等差数列是递增数列，则，A 选项错误解析：BD 【分析】由题意可知0d >，由已知条件753a a =可得出13a d =-，可判断出AB 选项的正误，求出n S 关于d 的表达式，利用二次函数的基本性质以及二次不等式可判断出CD 选项的正误. 【详解】由于等差数列{}n a 是递增数列，则0d >，A 选项错误；753a a =，则()11634a d a d +=+，可得130a d =-<，B 选项正确；()()()22171117493222224n n n d n n d n n d S na nd n d -⎡⎤--⎛⎫=+=-+==--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当3n =或4时，n S 最小，C 选项错误； 令0n S >，可得270n n ->，解得0n <或7n >.n N *∈，所以，满足0n S >时n 的最小值为8，D 选项正确.故选：BD.7．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知450,5S a ==，则（ ） A ．25n a n =-B ．310na nC ．228n S n n =- D ．24n S n n =-答案：AD 【分析】设等差数列的公差为，根据已知得，进而得，故，. 【详解】解：设等差数列的公差为，因为所以根据等差数列前项和公式和通项公式得：， 解方程组得：， 所以，. 故选：AD.解析：AD 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据已知得1145460a d a d +=⎧⎨+=⎩，进而得13,2a d =-=，故25n a n =-，24n S n n =-.【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，因为450,5S a == 所以根据等差数列前n 项和公式和通项公式得：1145460a d a d +=⎧⎨+=⎩，解方程组得：13,2a d =-=，所以()31225n a n n =-+-⨯=-，24n S n n =-.故选：AD.8．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，现有下列4个命题中正确的有（ ）A ．若100S =，则280S S +=；B ．若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15C ．若150S >，160S <，则{}n S 中8S 最大D ．若78S S <，则89S S <答案：BC 【分析】根据等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，逐项判断，即可得答案. 【详解】 A 选项，若，则， 那么.故A 不正确； B 选项，若，则，又因为，所以前8项为正，从第9项开始为负， 因为解析：BC 【分析】根据等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，逐项判断，即可得答案. 【详解】A 选项，若1011091002S a d ⨯=+=，则1290a d +=， 那么()()2811128281029160S S a d a d a d d +=+++=+=-≠.故A 不正确； B 选项，若412S S =，则()5611128940a a a a a a ++++=+=，又因为10a >，所以前8项为正，从第9项开始为负， 因为()()116168916802a a S a a +==+=， 所以使0n S >的最大的n 为15.故B 正确； C 选项，若()115158151502a a S a +==>，()()116168916802a a S a a +==+<， 则80a >，90a <，则{}n S 中8S 最大.故C 正确；D 选项，若78S S <，则80a >，而989S S a -=，不能判断9a 正负情况.故D 不正确. 故选：BC . 【点睛】本题考查等差数列性质的应用，涉及等差数列的求和公式，属于常考题型.9．设公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1718S S =，则下列各式的值为0的是（ ） A ．17aB ．35SC ．1719a a -D ．1916S S -答案：BD 【分析】由得，利用可知不正确；；根据可知 正确；根据可知不正确；根据可知正确. 【详解】因为，所以，所以， 因为公差，所以，故不正确； ，故正确； ，故不正确； ，故正确. 故选：BD.解析：BD 【分析】 由1718S S =得180a =，利用17180a a d d =-=-≠可知A 不正确；；根据351835S a =可知 B 正确；根据171920a a d -=-≠可知C 不正确；根据19161830S S a -==可知D 正确. 【详解】因为1718S S =，所以18170S S -=，所以180a =，因为公差0d ≠，所以17180a a d d =-=-≠，故A 不正确；13518351835()35235022a a a S a +⨯====，故B 正确； 171920a a d -=-≠，故C 不正确；19161718191830S S a a a a -=++==，故D 正确.故选：BD. 【点睛】本题考查了等差数列的求和公式，考查了等差数列的下标性质，属于基础题.10．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若90a <，100a >，则下列结论正确的是（ ） A ．109S S >B ．170S <C ．1819S S >D ．190S >答案：ABD 【分析】先根据题意可知前9项的和最小，判断出正确；根据题意可知数列为递减数列，则，又，进而可知，判断出不正确；利用等差中项的性质和求和公式可知，，故正确.【详解】根据题意可知数列为递增解析：ABD 【分析】先根据题意可知前9项的和最小，判断出A 正确；根据题意可知数列为递减数列，则190a >，又181919S S a =-，进而可知1516S S >，判断出C 不正确；利用等差中项的性质和求和公式可知()01179179172171722a a a S a <+⨯⨯===，()1191019101921919022a a a S a +⨯⨯===>，故BD 正确. 【详解】根据题意可知数列为递增数列，90a <，100a >，∴前9项的和最小，故A 正确；()11791791721717022a a a S a +⨯⨯===<，故B 正确； ()1191019101921919022a a a S a +⨯⨯===>，故D 正确； 190a >， 181919S S a ∴=-， 1819S S ∴<，故C 不正确.故选：ABD . 【点睛】本题考查等差数列的综合应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.。
2023届高考数学复习：历年经典好题专项(等差数列)练习(附答案)
6 -1
=-1,a3=5,a4=4,∴a3a4=20.故选
6-1
当 a1=7,a6=2 时,d=
D.
6.C 把每段重量依次用 ai(i=1,2,…,20)表示,数列{an}是等差数列,由题意得
7.A 由已知
4,
2
1
1
1
3
3
两式相加得 a1+a20= (4+2)= ,所以 a10+a11=a1+a20= .故选 C.
.
围是
13.(历年浙江,11)我国古代数学家杨辉、朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题,如数列
是二阶等差数列.数列
( 1)
2
(n∈N*)的前 3 项和是
( 1)
2
.
14.在等差数列{an}中,a1=-8,a2=3a4.
(1)求数列{an}的通项公式;
4
(n∈N*),Tn 为数列{bn}的前
(14 )
(n∈N*),则该数列的通项公式为(
2
)
2
1
3
8.(多选)设{an}是等差数列,Sn 为其前 n 项和,且 S7<S8,S8=S9>S10,则下列结论正确的是(
)
A.d<0
B.a9=0
C.S11>S7
D.S8,S9 均为 Sn 的最大值
9.(2018 北京,理 9)设{an}是等差数列,且 a1=3,a2+a5=36,则{an}的通项公式为
问各得几何?”其意思是:“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱,甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊三
人所得之和相等,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱?”这个问题中,戊所
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A ． 2014
B． 2015
C． 4028
D． 4030
29.已知数列 { an} 满足 a1
1
1 an 1 1
2，
an （ n∈ N* ）， 则使 a1 a2 L
ak 100 成立
的最大正整数 k 的值为（ ）
A ． 198
B ． 199
C.200
D ． 201
n 30.定义 p1 p2 p3 L
2603 C． 140
5171 D． 280
33.设 Sn 为数列 { an} 的前 n 项和， a1=1， Sn=2 Sn﹣1+n﹣ 2（ n≥２）， 则 a2017 等于（
）
A ． 22016﹣1
B． 22016+1
C． 22017﹣ 1
D． 22017+1
34.若一个数列的第 m 项等于这个数列的前 m 项的乘积， 则称该数列为 “m 积数列 ”．若各
有良马和驽马同时从长安出发到齐去，
已知长安和齐的距离是 3000 里， 良马第一天行
193 里， 之后每天比前一天多行 13 里， 驽马第一天行 97 里， 之后每天比前一天少行
0.5 里．良马到齐后， 立刻返回去迎驽马， 多少天后两马相遇．”现有三种说法：①驽
马第九日走了 93 里路；②良马四日共走了 930 里路；③行驶 5 天后， 良马和驽马相距
列
C．若 an 为等比数列， “m n
p
q
”是
a
“
m
an
ap
a q ”的充要条件
D．满足 an 1 qan （ n N * ， q 为常数的数列 an 为等比数列
27.已知定义在 [0,+ ∞上）的函数 f(x)满足 f(x)=2 f(x+2) ， 当 x∈[0,2] 时， f( x)=－2x2+4x， 设 f(x)在 [2 n－ 2,2n)上的最大值为 an ( n∈ N* ),且 { an} 的前 n 项和为 Sn， 则 Sn=
B．
2017
4035
C.
2018
4033
D．
2017
21. 已知数列
an
的前
n 项和
Sn ，
a1
若
1,Sn
1
3
an
1
，
则
a7
A ． 47
B． 3 45
C. 3 46
（）
D． 46 1
22.已知等差数列 { a n} 的公差 d 0 ， 前 n 项和为 Sn ， 若对所有的 n(n N ) ， 都有
Sn S10 ， 则（ ）．
B． S12 24, a5 a8 D． S12 24, a5 a8
19.己知数列 an 中， a1 1 ， 且对任意的 m, n N ， 都有 am n am an mn ， 则 2018 1 i 1 ai
2017 A ． 2018
2017 B． 1009
2018 C． 2019
4036 D． 2019
pn 为 n 个正数 p1 , p2 , p3 ,L , pn 的“均倒数”．
若已知数列
an 的前 n 项的“均倒数”为
1 bn
2n 1 ， 又
an 1 4 ，则
111
1
L
b1b2 b2b3 b3b4
b10b11 (
)
1 A． 11
9 B． 10
10 C． 11
11 D． 12
31.已知等差数列 { an} 的公差 d 0 ， 前 n 项和为 Sn ， 则对正整数 m ， 下列四个结论中 :
B．等比数列 D ．既不等差又不等比数列
38.已知等差数列 { an} 的公差 d 不为 0， 等比数列 { bn} 的公比 q 是正有理数．若
31a A ． 64
61a B． 64
31a C． 32
61a D． 128
11 12.数列 { an} 满足 a1=1 ， 且对于任意 n∈ N+的都有 an+1 = an + a1 +n， 则 a1 a2
1 a2017
等于 （ ）
2016 A. 2017
4032 B. 2017
2017 C. 2018
20.已知 1 i n b0 2 i 0 b1 2 i b2 2 i 2
bn 2 i n（ n 2,i 为虚数
单位）， 又数列 an 满足：当 n 1 时， a1
2 ；当 n
2 ， an 为 b2
2
i
2
的虚部，
若数列
2 的前 n 项和为 Sn ， 则 S2018 ( )
an
2017
A．
2018
2018
(1) Sm、 S2 m Sm、 S3m S2m 成等差数列， 也可能成等比数列；
(2) Sm、 S2 m Sm、 S3m S2m 成等差数列， 但不可能成等比数列；
(3) Sm、 S2m、 S3m 可能成等比数列， 但不可能成等差数列；
(4) Sm、 S2m、 S3m 不可能成等比数列， 也不叫能成等差数列 .
5.设函数 f ( x)
f ( a1 ) f (a2 )
2x cos x ， { an} 是公差为 8 的等差数列， f (a5) 5 ， 则 [ f ( a3 )] 2 a1a5
A． 0
12
B．
16
12
C．
8
13 2
D．
16
6.已知数列 { an} 的前 n项和为 Sn， 且满足 a1 a2 1,Sn an 2 1， 则下列命．4－ 2n 2
1 C． 2－ 2n
1 D． 4－ 2n 1
28.已知数列 { an}{ n=1， 2， 3… ， 2015} 为等差数列， 圆 C1： x2+y2﹣ 4x ﹣4y=0， 圆 C2： x2+y2﹣ 2anx﹣ 2a2016﹣n y=0， 若圆 C2 平分圆 C1 的周长， 则{ an} 的所有项的和为（ ）
9 D. ( － ∞，－ 3) ∪ (－ 3, 4 )
24.已知数列 bn 满足 b1 1,b2 4, bn 2
项的和为（ ）
A ． 4194
B ． 4195
1
sin 2 n 2
bn
cos2 n 2 ， 则该数列的前 23
C． 2046
D ．2047
25.等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ， 若 S7 为一个确定的常数， 下列各式中也为确定常数的是（ ）
615 里．
那么， 这 3 个说法里正确的个数为（
）
A． 0
B． 1
C． 2
D．3
16.设数列 { an } 的前 n 项和为 Sn， an 1 an 2n 1 ， 且 Sn 1350 .若 a2 2 ， 则 n 的最大值 为（ ）
A ． 51
B ． 52
C． 53
D ． 54
17.已知 a1， a2， a3， a4成等比数列， 且 a1+a2+a3+a4=ln( a1+a2+a3)， 若a1>1， 则 ( )
高考数学数列小题练习集（一）
1
1.已知数列 { an} 的前 n 项和为 Sn(Sn≠ 0，) 且满足 an
4Sn 1 Sn
0 (n
2), a1
， 则下列说
4
法正确的是（ ）
A. 数列 { an} 的前 n 项和为 Sn=4n
1 B. 数列 { an} 的通项公式为 an
4n(n 1)
C.数列 { an} 为递增数列
π 1 ， 前 n 项和 Sn ， 则 S2017 （ ）
2
A．1232
B． 3019
C． 3025
D． 4321
15. 《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，
书中有如下问题：“今有良马与驽马
发长安， 至齐．齐去长安三千里， 良马初日行一百九十三里， 日增一十三里， 驾马初
日行九十七里， 日减半里．良马先至齐， 复还迎驽马．何日相逢， ”其大意为：“现在
满足
4
， 其中实数列
an 中， an 0 ，
a1 1， 则 an 的通项公式为（ ）
A ． 3 2n 1 1
B ． 2n 1
C． 3n 2
D． 2 3n 1 1
37.已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ， 若 Sn = an 对任意的 n N * 都成立， 则数列 an
为（ ）
A ．等差数列 C. 既等差又等比数列
A. a1<a3， a2<a4 C. a1<a3， a2>a4
B. a1>a3， a2<a4 D . a1>a3 ， a2>a4
3
3
18.设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ， 已知 (a5 1) 3a5 4,( a8 1) 3a8 2 ，
则下列选项正确的是
A ． S12 12, a5 a8 C． S12 12, a5 a8
取最小值时 , a3 等于（ ）
A ． 32
B． 16
C．8
D ．4
uuur uuur 36.如图， 已知点 D 为 ABC 的边 BC 上一点， BD 3DC ， En （ n N * ）为 AC 边
上的一列点，
uuuur 1 uuuur
uuuur
En A an 1En B (3an 2)E nD
D. 数列 { 1 } 为递增数列 Sn
2.已知数列
an 满足 : a1
1 an 1
,
an an 2 (n
N * ) .若 bn 1