循环小数与分数互化

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小学奥数：“循环小数与分数互化”知识总结与例题(含答案)

小学奥数：“循环小数与分数互化”知识总结与例题（含答案）

一、小数的基本知识

小数可以分为有限小数和无限小数两部分；无限小数又分为无限不循环小数和循环小数两部分，而循环小数又可以分为纯循环小数和混循环小数。

1.有限小数的判定：分母的质因式中只有2和5的数。

2.循环节：一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，叫做这个循环小数的循环节。

3.循环小数的定义：一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字，依次不断地重复出现。

4.纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的。

纯循环小数的判定：分母的质因式中不含2和5的，化成小数后为纯循环小数。

5.混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始的。

混循环小数的判定：分母的质因式不全含２和５的，化为小数后为混循环小数。

二、循环小数与分数的转化

1．错位相减法与循环小数转化为分数 ⑴以0.1为例，令a =0.1，①，而=1.110a ②，由②-①可以得到，a =91，则=19a 。 ==1240.129933；==123410.123999333；=12340.12349999

⑵以0.1234为例，推导=

=1234-126110.123499004950。设A =0.1234，将等式两边都乘以100，得：A =10012.34；

再将原等式两边都乘以10000，得：A =100001234.34；

两式相减得：-=-10000100123412A A ，所以A ==1234-1261199004950

。

2．方法归纳

⑴纯循环小数化成分数，分子是一个循环节的数字组成的数，分母是由数字９组成的，９的个数和一个循环节的数字的个数相同。

循环小数和分数的互化-教师版

循环小数和分数的互化

1循环小数的认识

同学们在计算分数的时候一定碰到过除不尽的情况．比如计算1÷3，我们会发现商在0和小数点之后一直出现3，怎么也计算不完；再比如在计算3÷7的时候，我们会发现商在0和小数点之后不停的出现428571．

像这样，从某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现的小数，叫做循环小数．例如0.333…、0.428571428571…和1.2357357357…都是循环小数．

通常我们把0.333…简写成0.3 ，把0.428571428571…简写成0.4 28571 ，把1.2357357357…简写

成1.23 57 ．一个循环小数的小数部分里，依次不断重复出现的一段数字，叫做这个循环小数的循环节．上面三个循环小数的循环节分别为3、428571和357．循环节从小数点后第一位开始的循环小

数，叫做纯循环小数，例如0.3 和0.4 28571 ．不是从第一位开始的循环小数，叫做混循环小数，例如

1.23 57 ．

2分数转化为小数

下面我们来学习一下分数与小数之间的互化．把分数化为小数非常简单，直接用分子除以分母

即可．例如25 =2÷5=0.4，815

=8÷15=0.53 ．1.将下列分数化为小数：38 ，56 ，449 ，27 ，1013

．「分析」要把分数化小数，可以列除法竖式计算．对于除不尽的情况，注意寻找循环节．答案：0.375，0.83 ，4.8 ，0.2 85714 ，0.7 69230 ．

2.将下列分数化为小数：1720 ，1425 ，223 ，57 ，711

循环小数化分数

无限循环小数和分数的互化
2021/7/1
1
小数
有限小数如0.6，6.78，10.168 （小数部分位数有限）
无限小数如0.333……，2.304304304……， 3.1415926535897932384626……，（小数部分位数无限）
2021/7/1
2
无限小数
无限循环小数如0.333……，2.567567567…… 0.5666…… 0.1777……
99
2021/7/1
10
把0.4747……和0.33……化成分数。
解：设0.4747……为x，则100x= 47.4747…… 100x-x= 47 99x= 47 x=47/99
2021/7/1
11
把0.4747……和0.33……化成分数。
（2）分析： 0.33……×10=3.33…… 0.33……×10－0.33……=3.33…－0.33…… (10-1) ×0.33……=3 即：9×0.33……=3 那么：0.33……=3/9=1/3
2021/7/1
12
把0.4747……和0.33……化成分数。
解：（2）设0.3333……为x，则10x= 3.3333…… 10x-x= 3 9x=3 x=3/9
2021/7/1
13
••
例2.怎么样把 0 .1 5 3 化为分数形式

分数与循环小数的互化

涌III 市和徨玄卍反廨荷嘛公司

M06A +017

分数与循环小数的互化

(3) 6.4 78

(4) 6.421

将下列分数化为循环小数，求出小数点后2008位数字. - （2） 13

计算：0.12 0.23 0.34

0.45 0.56 0.67 0.78 0.89

姓名: 日期: Q

严【知识要点】纯循环小数化分数的方法：（1）分数的分子是第一个循环节数字所组成的数。（2）分母是数字9所组成的数，9的个数等于循环节的位数，整数部分不变。（纯循环小数化成分数后，能约分的要约分。）混循环小数化分数的方法：（1）分数的分子是小数点右边第一个数字到第一个循环节末位数字所组成的数，减去不循环数字所组成的数，所得的差。（2）分母是由数字9后面带数字0所组成的数，其中9的个数等于循环节的位数，0的个数等于不循环部分的位数。（混循环小数化成分数后，能约分的要约分。） — U*i il

【典型例题】把下列循环小数化为分数: (1) 0.7

(2) 0.13

(1)

M06A+017鼎【DE和廨百哌公司

-lb*!" B4HB B CVLSUItH ■■■••._____________________________________________

例4

计算0.11 0.21 0.31 0.41 0.51 0.61 0.71 0.81 0.91

例5对于小数0.0123456，要使它成为循环小数且小数部分左起

第100位上数字是4,那么两个循环点应分别加在 _________ 和

这两个数字上

循环小数与分数的互化以及分数的应用

分数的应用

【知识点讲解】

类型一：循环小数与分数的互化

例题1：将下列分数化成循环小数：

338)1( 125)2( 600

832)3( 例题2：将852.0,35.0,5

.0 化成分数。

例题3：将926.0,3051.0,27

7.0 化成分数。

★巩固练习

1、下列各数哪些是循环小数？哪些不是循环小数？

0.333， 0.567567…， 2.0123123…， 4.18576…， 0.2020020002…， 14.141414… 循环小数：____________________________ 非循环小数：_____________ ________

2、循环小数 4.25656…的循环节是________，用简便方法写作____________保留三个小数写作_________________.

3、分数化为循环小数： 15141

________. 4、将0691.0,0619.0,619.0,619.0,12

11 各数按从大到小的顺序排列，排在第一位的是____ ,排在末位的是_____.

5、循环小数4832

.0 与427.0 在小数点后面第_________位时，在该位上的数字都是4.

类型二：应用问题

解答应用题的步骤：

1、审题理解题意：了解应用题的内容，知道应用题的条件和问题。读题时，不丢字不添字边读边思考，弄明白题中每句话的意思。也可以复述条件和问题，帮助理解题意。

2、选择算法和列式计算：这是解答应用题的中心工作。从题目中告诉什么，要从什么着手，逐步根据所给的条件和问题，联系四则运算的含义，分析数量关系，确定算法，进行解答并标明正确的单位名称。

第6课时循环小数与分数的互化(老师)

第6课时循环小数与分数的互化

知识精要

一、循环小数与分数的互化

1、循环小数：一个小数从小数部分的某一位起，一个数字或者几个数字依次不断的重复出现，这个小数叫做循环小数。

2、循环节：一个循环小数的小数部分中，依次不断的重复出现的第一个最少的数字组，叫做这个循环小数的循环节。

3、能化为循环小数的分数：一个最简分数，如果分母中含有2和5以外的素因数，这个分数就不能化为有限小数，而化成循环小数。

4、纯循环小数化分数的方法：分数的分子是一个循环节所表示的数，分母的各个位上的数字全是___9____，9的个数等于循环节里数字的个数。

5、混循环小数化分数的方法：分数的分子是第二个循环节以前的小数部分的数字组成的数与小数部分中不循环部分的数字所组成的数之差；分母的头几位数字是___9____，9后面的数字是___0____，9的个数和一个循环节中的数字个数相等，0的个数等于不循环部分的数字个数。

二、分数与小数的大小比较

比较几个数的大小时，一般应先根据数的特点将数的形式化成统一形式后再作比较，这样比较简单。

精解名题

例题1：将下列分数化成循环小数：

338)1( 12

5)2( 600832)3( 解：（1）42

.0 （2）641.0 （3）3138.2

例题2：将852.0,35.0,5

.0 化成分数。

解：从左到右依次是：333

86,9953,

95 例题3：将926.0,3051.0,27

7.0 化成分数。解：22

17990765990777227

7.0==-= 4995

7519990150299990115033051.0==-= 9906239906629926.0=-=

无限循环小数与分数的互化

2503 2 2501 9990 9990
2.0 3 6

36 0 4 2 2 990 110
三、循环小数的四则运算
循环小数化成分数后，循环小数的四则运算就可以按分数四则运算法则进行。从这种意义上来讲，循环小数的四则运算和有限小数四则运算一样，也是分数的四则运算。
例3 计算下面各题

2 1 3
(3)1.14 0.2 5 0.3 6 0.4 7 0.5 8

13 23 33 43 53 1 90 90 90 90 90
165 5 1 2 90 6
把分数化成循环小数
1 9
1 99
1 999
5 9
17 99
38 999
8 9
34 99
125 999
(3)4.3 2. 4

ห้องสมุดไป่ตู้

3 4 1 4 16 4 2 4 2 10 9 9 3 9 27
24 3 8 1 8 (4)1. 2 4 0. 3 1 1 3 99 9 33 3 11
先把循环小数化成分数后再计算。
2 1 2 1 (1)0. 6 1 2 1 3 3 2 1 0. 6 1 3 2 1 3 23 0. 6 3 2 3 2 0. 6 3

无限循环小数和分数的互化

• 分母不是10，100，1000......的：分子除以分母。一个最简分数，如果分母分解质因数只含有2、5的，可以化成有限小数；如果含有2、5以外的质因数，就不能化成有限小数，但绝对能化成循环小数。附加：如果分母分解质因数不含有2、5，只含有2、
•小数化分数
•有限小数化分数：小数表示的就是十分之一2 5 、
99
百分之一、千分之一......所以，0.6可以化成
十分之六，约分成五分之三。
•纯循环小数化分数：整数部分照抄，小数部分循环节如果是一位分母为9，两位为99，三位为999......如0.2525......可以化成，能约分的要约分。
无限循环小数和分数的互化
分数化循环小数
1 化为小数为0.3333……= 3
•
0.3
11
•
9 化为小数为1.2222……= 1.2
2 11
化为小数为0.1818……=
••
0.18
Fra Baidu bibliotek反过来，循环小数怎样化为分数呢？
分析
• 分数化小数
• 分母是10，100，1000......的：可以直接化成小数，如，十分之七化成0.7，一百分之九化成0.09

循环小数化分

2015-1-4
把1.25858…化为分数
解：设x=1.25858…….则10x= 12.5858…… 1000x=1258.5858……
1000x-10x=1258-12=1246 X=1246/990
X=623/495
2015-1-4
1.6 1 0.6 1 6 / 9 15 1 15 0.16 10 10 10 9 10 90
前者含有循环节，后者没有循环节
2、也就是说无限循环小数化为分数消去了循环节，那我们用什么方法也把循环节消掉呢？我们知道可以利用加减法消去一个数字或式子，那么同样也可以消去循环节
0.3333……=
0.3

0.1717……= 17.17

3.3333……= 3.3 3+(0.3333……)
无限循环小数和分数的互化
有限小数如0.6，6.78，10.168
（小数部分位数有限）
小数
无限小数如0.333……，2.304304304……， 3.1415926535897932384626……，
（小数部分位数无限）
无限循环小数如0.333……，2.567567567……
0.5666…… 0.1777……

1.4 1 0.4 1 4 / 9 13 / 9 13 1 13 0.14 10 10 10 10 9 10 90

循环小数与分数的互化及分数的应用

分数与循环小数的互化及分数的应用

学生情况及其分析：学生是上海六年级的学生，目前分数的加减及乘除大致已经学完，学校里学习的内容已经基本属于奥数的难度了，学生很活跃（上课对于会的题目会踊跃回答，且会提出自己的解题方法，且易于接受），对于分数部分的基础及稍微提高些的计算都已经掌握的都非常好了。

教学目的：本节课的内容主要是将分数与循环小数的互化步骤熟练掌握；分数应用题一方面是在整数应用题基础上的延伸和深化；另一方面，它有其自身的特点和解题规律。在解分数应用题时，分析体中数量之间的关系，准确找出“量”与“率”之间的对应是解题的关键。

教学设计：

1、循环小数与分数的互化

（1）纯循环小数化分数

从小数点后面第一位就循环的小数叫做纯循环小数。怎样把它化为分数呢？看下面例题。

例1把纯循环小数化分数：

从以上例题可以看出，纯循环小数的小数部分可以化成分数，这

个分数的分子是一个循环节表示的数，分母各位上的数都是9。9的个数与循环节的位数相同。能约分的要约分。

练习：

（1）

（2）

（2）混循环小数化分数

不是从小数点后第一位就循环的小数叫混循环小数。怎样把混循环小数化为分数呢？看下面的例题。

例2把混循环小数化分数。

由以上例题可以看出，一个混循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是第二个循环节以前的小数部分组成的数与小数部分中不循环部分组成的数的差。分母的头几位数是9，末几位是0。9的个数与循环节中的位数相同，0的个数与不循环部分的位数相同。

练习：

（3）循环小数的四则运算

循环小数化成分数后，循环小数的四则运算就可以按分数四则运算法则进行。从这种意义上来讲，循环小数的四则运算和有限小数四则运算一样，也是分数的四则运算。

5.12 循环小数与分数的互化

161
120 能化成混循环小数，不循环部分数字个数是3，循环节里最少位数是1。

5
121 440
=
11 40
40=2×2×2×5
121能化成有限小数，小数部分有3位。 440
（二）小数化成分数
把上面的结论2和结论3倒过来思考，我们可以得到下面的结论：
结论1：纯循环小数化分数
一个纯循环小数的小数部分可以化成这样的分数：这个分数的分子是一个循环节所表示的数，分母的各位数字全是9，9的个数等于一个循环节中数字的个数。
5.081 = 5 81- 8 = 5 73
900
900
例5
计算：
0.12 + 0.23 + 0.34 + 0.45 + 0.56 + 0.67+ 0.78 + 0.89
例 5 计算：
0.12 + 0.23 + 0.34 + 0.45 + 0.56 + 0.67+ 0.78 + 0.89
= 11 + 21 + 31 + 41 + 51 + 61 + 71 + 81 90 90 90 90 90 90 90 90
3 11
能化成纯循环小数，循环节里
最少位数是2。

小升初第3讲：循环小数与分数互化、定义新运算(教师版)

1.已知x=0

10000000009999999999

100099910099109+

++，求x 的整数部分.

知识点一（循环小数的认识）【知识梳理】

1. 循环小数可分为有限循环小数，如：1.123123123（不可添加省略号）和无限循环小数，如：1.123123123……（有省略号）。前者是有限小数，后者是无限小数。把循环小数的小数部分化成分数的规则

①纯循环小数小数部分化成分数：将一个循环节的数字组成的数作为分子，分母的各位都是9，9的个数与循环节的位数相同，最后能约分的再约分。

②混循环小数小数部分化成分数：分子是第二个循环节以前的小数部分的数字组成的数与不循环部分的数字

⨯,这个最简分数的分母应小于

337

999

【解析】方法一：0.1+0.125+0.3+0.160.1111+0.1250+0.3333+0.1666=0.7359=0.736≈0.1+0.125+0.3+0.1611315=

+++11=某学生将1.23乘以一个数a 时，把1.23，使乘积比正确结果减少【解析】由题意得：1.23a •，即：0.003•

么按从大到小排列时，第4个数是哪一个数<051<0.51<<<2591352

<0.51<0.51<<<2590.908080

7181216

(1+2+3+4+8+9)

2.127

=+⨯ 2.10.3 2.4

=+=

②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等. 如：2＋3＝5 2×3＝6

小学奥数：“循环小数与分数互化”知识总结与例题（含答案）

小学奥数：“循环小数与分数互化”知识总结与例题（含答

案）

小学奥数：“循环小数与分数互化”知识总结与例题（含答案）

一、小数的基本知识

小数可以分为有限小数和无限小数两部分；无限小数又分为无限不循环小数和循环小数两部分，而循环小数又可以分为纯循环小数和混循环小数。

1.有限小数的判定：分母的质因式中只有2和5的数。

2.循环节：一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，叫做这个循环小数的循环节。

3.循环小数的定义：一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字，依次不断地重复出现。

4.纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的。

纯循环小数的判定：分母的质因式中不含2和5的，化成小数后为纯循环小数。

5.混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始的。

混循环小数的判定：分母的质因式不全含２和５的，化为小数后为混循环小数。

二、循环小数与分数的转化

1．错位相减法与循环小数转化为分数⑴以0.1为例，令a =0.1，①，而=1.110a ②，由②-①可以得到，a =91，则=19a 。==1240.129933；==123410.123999333；=12340.12349999

⑵以0.1234为例，推导=

=1234-126110.123499004950。设A =0.1234，将等式两边都乘以100，得：A =10012.34；

再将原等式两边都乘以10000，得：A =100001234.34；

两式相减得：-=-10000100123412A A ，所以A ==1234-1261199004950

循环小数化分数

无限循环小数和分数的互化
小数
有限小数如0.6，6.78，10.168 （小数部分位数有限）
无限小数如0.333……，2.304304304……， 3.1415926535897932384626……，（小数部分位数无限）
无限小数
无限循环小数如0.333……，2.567567567…… 0.5666…… 0.1777……
循环符号：如果循环节只有一个数字，就在这个数字上加一个圆点，如果循环节有一个以上的数字，就在这个循环节的首位和末位
的数字上各加一个圆点。
例如：0.333333……循环节为 3 0.999999.......循环节为 9 0.001001001…循环节为001 0.010101……循环节为 01 0.272727……循环节为 27 3.345345……循环节为 345
写为
•
0. 3
写为
•
0. 9
写为 • • 0.0 01
写为
••
0.01
写为 • • 3.2 7
写为
••
3.3 4 5
有限小数
小数
无限小数
无限循环小数
无限纯循环无限混循环
无限不循环小数
分数化循环小数
1 化为小数为0.3333…… 3
11 9
化为小数为1.2222……
2 化为小数为0.1818……

循环小数化分数(青松教学)

无限不循环小数如3.14159265358979323846……
C类学堂
3
无限循环小数
无限纯循环如0.333……，2.567567567……
•
••
0.3 2.567
•
无限混循环如0.5666…… 0.56
•
0.1777…… 0.17
C类学堂
4
循环节：小数点后从某一位起向右进行到某一位的一节数字循环出现，首尾衔接，这一节数字称为循环节
无限循环小数和分数的互化
C类学堂
1
小数
有限小数如0.6，6.78，10.168 （小数部分位数有限）
无限小数如0.333……，2.304304304……， 3.1415926535897932384626……，（小数部分位数无限）
C类学堂
2
无限小数
无限循环小数如0.333……，2.567567567…… 0.5666…… 0.1777……
解：设0.153153……为x，则1000x= 153.153153……
1000x-x=3
999x=153 x=153/999
C类学堂
14
怎么样把
••
0. 0 01
化为分数形式
解：0.
•
0
•
01
=0.001001001…，设
•

循环小数化分数

第一讲循环小数化分数

学习目标

1、掌握循环小数化分数的法则，还要掌握该法则的推导方法——错位相减法；

2、会进行分数与循环小数的互化；

3、掌握分数与循环小数的混合计算

4、重点掌握规律，方便做题时直接利用规律

复习知识点

1、小数的分类

2、循环节的概念

3、解方程

概念区分

循环小数和无限小数的区分

课堂引入：

练习引入：小数分数之间的互化，教材练习1，引入循环小数

教学课程：

例题精讲

纯循环小数化分数：

总结规律：（引导学生总结）：纯循环小数小数部分化成分数：将一个循环节的数字组成的数作为分子，分母的各位都是9，9的个数与循环节的位数相同，最后能约分的再约分。练习：教材第一页例1和练习，课堂上采用积分抢答形式，让学生对该规律熟记于心。

混循环小数化分数：

例题精讲：

总结规律：混循环小数小数部分化成分数：分子是第二个循环节以前的小数部分的数字组成的数与不循环部分的数字所组成的数之差，分母的头几位数字是9，9的个数与一个循环节的位数相同，末几位是0，0的个数与不循环部分的位数相同。

练习：课堂上随机出部分混循环小数，进行抢答练习

注意带小数的训练

过关检查习题：

1、基础知识：0.1+0.125+0.3+0.16

2．挑战知识：某学生将1.23乘以一个数a时，把1.23误看成1.23，使乘积比正确结果减少0.3．则正确结果该是多少?

教学反思：1、循环小数是学生五年级上册知识，很多学生对概念已经不清晰了，尤其是循环节，在新课的导入时，用练习引入，直观，但对学生的吸引力不足。

2、利用错位相减法教学，部分学生不会错位相减，

3、让学生总结知识与规律，难点是混循环小数的计算和发现规律