创新设计(江苏专用)高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数I 2.4 幂函数与二次函数课时作业 理

第4讲 幂函数与二次函数基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．(2017·苏州期末)已知α∈{－1,1,2,3}，则使函数y ＝x α的值域为R ，且为奇函数的所有α的值为________．解析 因为函数y ＝x α为奇函数，故α的可能值为－1,1,3.又y ＝x－1的值域为{y |y ≠0}，函数y ＝x ，y ＝x 3的值域都为R .所以符合要求的α的值为1,3. 答案 1,3 2．已知P ＝，Q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫253，R ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123，则P ，Q ，R 的大小关系是________．解析 P ＝＝⎝⎛⎭⎪⎫223，根据函数y ＝x 3是R 上的增函数，且22>12>25，得⎝ ⎛⎭⎪⎫223>⎝ ⎛⎭⎪⎫123>⎝ ⎛⎭⎪⎫253，即P >R >Q .答案 P >R >Q3．已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)>f (1)，则下列结论：①a >0,4a ＋b ＝0；②a <0,4a ＋b ＝0；③a >0,2a ＋b ＝0； ④a <0,2a ＋b ＝0其中正确的是________(填序号)．解析 因为f (0)＝f (4)>f (1)，所以函数图象应开口向上，即a >0，且其对称轴为x ＝2，即－b2a ＝2，所以4a ＋b ＝0.答案 ①4．在同一坐标系内，函数y ＝x a(a ≠0)和y ＝ax ＋1a的图象可能是________(填序号)．解析 若a <0，由y ＝x a的图象知排除③，④，由y ＝ax ＋1a的图象知应为②；若a >0，由y ＝x a的图象知排除①，②，但y ＝ax ＋1a的图象均不适合，综上应为②.答案 ②5．若函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a ＝________.解析 ∵函数f (x )＝x 2－ax －a 的图象为开口向上的抛物线， ∴函数的最大值在区间的端点取得， ∵f (0)＝－a ，f (2)＝4－3a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a ≥4－3a ，－a ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧－a ≤4－3a ，4－3a ＝1，解得a ＝1.答案 16．若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是________．解析 不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解等价于a <(x 2－4x －2)max ， 令f (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1,4)， 所以f (x )<f (4)＝－2，所以a <－2. 答案 (－∞，－2)7．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝a x ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是________．解析 由f (x )＝－x 2＋2ax 在[1,2]上是减函数可得[1,2]⊆[a ，＋∞)，∴a ≤1. ∵y ＝1x ＋1在(－1，＋∞)上为减函数， ∴由g (x )＝ax ＋1在[1,2]上是减函数可得a >0，故0<a ≤1. 答案 (0,1]8．已知函数y ＝f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝(x －1)2，若当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值为________．解析 当x <0时，－x >0，f (x )＝f (－x )＝(x ＋1)2， ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12，∴f (x )min ＝f (－1)＝0，f (x )max ＝f (－2)＝1， ∴m ≥1，n ≤0，m －n ≥1.∴m －n 的最小值是1. 答案 1 二、解答题9．已知幂函数f (x )＝x(m 2＋m )－1(m ∈N *)的图象经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围．解 幂函数f (x )的图象经过点(2，2)， ∴2＝2(m 2＋m )－1，即2＝2(m 2＋m )－1.∴m 2＋m ＝2.解得m ＝1或m ＝－2. 又∵m ∈N *，∴m ＝1.∴f (x )＝x ，则函数的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数． 由f (2－a )>f (a －1)得⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥0，a －1≥0，2－a >a －1，解得1≤a <32.∴a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32.10．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3.(1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域； (2)若函数f (x )在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值． 解 (1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈[－2,3]， 对称轴x ＝－32∈[－2,3]，∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝94－92－3＝－214，f (x )max ＝f (3)＝15，∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－214，15.(2)对称轴为x ＝－2a －12.①当－2a －12≤1，即a ≥－12时，f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，∴6a ＋3＝1，即a ＝－13满足题意；②当－2a －12>1，即a <－12时，f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1，∴－2a －1＝1，即a ＝－1满足题意． 综上可知，a ＝－13或－1.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11．(2016·浙江卷改编)已知函数f (x )＝x 2＋bx ，则“b <0”是“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”的________条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选填一个)．解析 ∵f (x )＝x 2＋bx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 22－b24，当x ＝－b 2时，f (x )min ＝－b 24.又f (f (x ))＝(f (x ))2＋bf (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫f x ＋b 22－b 24，当f (x )＝－b 2时，f (f (x ))min ＝－b 24，当－b 2≥－b 24时，f (f (x ))可以取到最小值－b 24，即b 2－2b ≥0，解得b ≤0或b ≥2，故“b <0”是“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”的充分不必要条件． 答案 充分不必要12．(2017·常州期末测试)函数f (x )＝(m 2－m －1)x4m 9－m 5－1是幂函数，对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，满足f x 1－f x 2x 1－x 2>0，若a ，b ∈R ，且a ＋b >0，则f (a )＋f (b )的值：①恒大于0；②恒小于0；③等于0；④无法判断． 上述结论正确的是________(填序号)．解析 依题意，幂函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －1＝1，4m 9－m 5－1>0，解得m ＝2，则f (x )＝x2 015.∴函数f (x )＝x2 015在R 上是奇函数，且为增函数．由a ＋b >0，得a >－b ，∴f (a )>f (－b )，则f (a )＋f (b )>0. 答案 ①13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥2，x －13，x <2，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是______． 解析作出函数y ＝f (x )的图象如图．则当0<k <1时，关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根． 答案 (0,1)14．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0，b ∈R ，c ∈R )．(1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x，x >0，－f x ，x <0，求F (2)＋F (－2)的值；(2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b 的取值范围． 解 (1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且－b2a ＝－1，解得a ＝1，b ＝2， ∴f (x )＝(x ＋1)2.∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12，x >0，－x ＋12，x <0.∴F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8. (2)由a ＝1，c ＝0，得f (x )＝x 2＋bx ，从而|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立等价于－1≤x 2＋bx ≤1在区间(0,1]上恒成立， 即b ≤1x －x 且b ≥－1x－x 在(0,1]上恒成立．又1x －x 的最小值为0，－1x－x 的最大值为－2.∴－2≤b≤0.故b的取值范围是[－2,0].。