复变函数发展历程
西安交大西工大 考研备考期末复习 工程数学复变函数 复数与复变函数
z rei
三角表达式 指数表达式
说明： z r cos i sin
rei
复变函数
例1.将下列复数写为三角表达式与指数表达式
1)z 12 2i
2)z sin i cos
5
5
3)z 1 cos i sin
0
例2.求证 z1 z2 z1 z2
z2
x22 y22
复变函数
2.复数的运算法则
z1 z2 z2 z1, z1z2 z2 z1
(交换律)
z1 z1
(z2 z3) (z1 (z2 z3 ) (z1z2 )z3
z2
)
z3
(结合律)
z1(z2 z3 ) (z1z2 z1z3 ) (分配律)
复变函数
3.共轭复数
2k
n
其中 k 0,1, , n 1
例2.求 1) 1 i 6
2) 6 1
复变函数
本次课小结 本次课的内容要点
1.复数的概念 2.复数的代数运算 3.复数的几何表示 4.复数的乘幂与方根
作业：习题一 4(4)、8(1,3,6)、11 14(3、4)、16、21(4、6)
复变函数
说明：1) z 0 若z=0，则辐角不定
2） tan y ，即tan Argz y
x
x
3) 多值性 Argz 2k
4) 把满足 的辐角称为辐角主值
记为 arg z
arg z arctan y x
复变函数
arg z arctan y
x
arg z arctan y
x
arg z arctan y x
复变函数
复变函数的理论基础是在十九世纪奠定的，主 要是围绕柯西 、魏尔斯特拉斯和黎曼三人的工作进 行的。
数学分析中的复变函数论
数学分析中的复变函数论复变函数论是数学分析中的重要分支领域，研究复数域上的函数。
它的发展起源于18世纪，由于其在实际应用中的广泛应用，它成为了现代数学的基础之一。
本文将介绍复变函数论的基本概念、性质、以及一些典型的应用。
一、复数与复平面复变函数论的基础是复数与复平面的概念。
复数是由实数部分与虚数部分构成的数，通常用a+bi的形式表示，其中a和b为实数，i为虚数单位。
复平面是由实轴与虚轴构成的平面，通常用平面上的点来表示复数。
二、复变函数的定义与性质复变函数是以复数为自变量和因变量的函数。
对于复变函数f(z)，其中z=x+iy表示复数，可以拆分为实部和虚部。
复变函数的性质包括连续性、可微性、解析性等。
其中解析性是复变函数论的核心概念，表示函数在其定义域内处处可导。
三、复变函数的级数表示复变函数可以通过级数展开进行表示，这是复变函数论中的重要方法之一。
常见的级数表示包括泰勒级数、幂级数和傅里叶级数等。
这些级数展开形式可以用于研究复变函数的性质与特征。
四、复积分与复变函数的积分表示复积分是复变函数论中的重要概念，它是对复变函数在曲线上的积分。
复积分的性质包括路径无关性、柯西定理等，这些性质使得复积分能够方便地计算复变函数的积分表示。
五、复变函数的应用复变函数论在物理学、工程学等领域具有广泛的应用。
例如，在电动力学中，复变函数论被用于解析电场和磁场的分布；在信号处理中，傅里叶级数和傅里叶变换被应用于信号的频谱分析等。
六、复变函数论与实变函数论的比较复变函数论与实变函数论在概念和性质上存在许多相似之处，但也有一些明显的差异。
例如，复变函数论中的解析函数概念在实变函数论中并不存在。
研究复变函数论与实变函数论之间的联系与区别对于深入理解数学分析的基础理论具有重要意义。
总结：复变函数论是数学分析中的重要分支，它研究复数域上的函数。
本文简要介绍了复变函数论的基本概念与性质，包括复数与复平面、复变函数的定义与性质、复变函数的级数表示、复积分与复变函数的积分表示、复变函数的应用以及与实变函数论的比较。
复变函数-复分析历史
一，复数和复变函数1.复数在数学中，最早为人们所研究的一个纯数学问题，就是求解二次方程.四千多年前，古代巴比伦人就掌握了二次方程的解法.那时所发现的技巧，还基本上与今天在中学数学教科书中所用的方法相同.例如，解方程寸- 2x-15 = 0*用。
配方”法，将这个方程写成矛-2为+ 1 -16的形式，也就是（x-1）」16 = 0,即得到（x-1）3 = 16,所以X-l = 4或一牝因此x = 5或x= -3.但是，对有些二次方程，这个《配方”法就失灵了. 例如要解简单的二次方程屮+ 1 = 0,这导致我们要找这样的数礼它的平方等于- It x2= -1.这似乎是不可能的，因为一个数的平方好像不应是负的・想像如果有一个数，它的平方是「1,这将会发生什么情况呢？这个数，今天已习惯上采用亍来表示，并称之为“虚”单位;当有m出现时，就用-1代替之.这样，方程x' + i = o 就变成有解了，其解为x = i和 X=-礼另外，如方程 JC3-10^+ 40 = 0,即（*-5），= -15也变成有解了，其解为为二5+"商和x = 5- 5/场.要验证它,我们只须计算（5±10 （5± v'lBO + 40=（5± V15C（5 +VlSi） - 10（5+ + 40=25 士 5、/'套，± 5^/15® 十 15讣一 50 干 10*1京 + 40=25- 15- 50+ 40 = 0,但是，一个二次方程有一个* = 5 + "15i或X = 5 - 、/応的解,究竟有什么好处呢？归根结底i是一个“虚” 数.文艺复兴时期，意大利数学家卡尔达诺（G. Carda- no,被称为虚数之父）注意到在解三次方程时（例如方程 x B-12x + 16 = 0）,可发生这样的情况，虽然用了虚数来计算，而求出的根却仍是普通的蚌实”数,这个观察说明，对- 1的平方根，不管称它是虚数与否，它不单是一个玩物・直到十九世纪，数学家才解开复数的奥秘.他们将形如a + ib的数称为复数，把它解释为平面上的点.确切地讲，我们在平面上画两条互相垂直的直线，一条是水平的，称为x-轴或实軸；一条是铅直的，称为》-轴或虚轴I 两条直线的交点是O,称为原点.于是，每个复数。
复变函数的产生及发展意义
复变函数产生及意义班级：1434200102学号：143403030801姓名：胡玉秀千百年来，人们日日探索数学的奥妙，从几何到代数。
数学的魅力，梦幻了一代代的人。
从算筹的产生开始，从方程的出现开始，解决方程的答案的方法让众位数学家早早白了头发。
终于，一个名叫复数的东西诞生了，耀眼的光芒照耀着数学这片广袤的土地。
意大利米兰学者卡当也许可以称作复数的始祖了，把负数的平方根应用与三次方程，但不能算作最开始的那位，考虑金字塔的不可能问题的希腊数学家海伦或许是最初。
不管怎样，复数，虚数就这么产生了，一个伟大事物的出现总带着各种不可能，不对，不赞同的反对声。
如同日心说一般，真理慢慢就会被大众所接受，时间和空间的考验下，它有了四则运算，有了著名的各种定理公式，符号，生机勃勃的出现在了世人的眼球之下，旺盛的生命力让人为之倾服。
十八世纪末，复数渐渐被大多数人接受，当时卡斯帕尔·韦塞尔提出复数可看作平面上的一点。
数年后，高斯再提出此观点并大力推广，复数的研究开始高速发展。
诧异的是，早于1685年约翰·沃利斯已经提出此一观点。
卡斯帕尔·韦塞尔的文章发表在1799年，以当今标准来看，也是相当清楚和完备。
他又考虑球体，得出四元数并以此提出完备的球面三角学理论。
1804年，以来表示平面上与实轴垂直的单位线段被提出。
1806年，罗贝尔·阿尔冈亦发表文章，复平面成了标准。
1831年高斯认为复数不够普及，次年他发表了一篇备忘录，奠定复数在数学的地位。
柯西及阿贝尔的努力，扫除了复数使用的最后顾忌，后者更是首位以复数研究著名的。
复数吸引了著名数学家的注意，包括库默尔、克罗内、乔治·皮库克。
莫比乌斯发表了大量有关复数几何的短文，约翰·彼得·狄利克雷将很多实数概念，例如素数，推广至复数。
德国数学家阿甘得公布了复数的图象表示法，即所有实数能用一条数轴表示，同样，复数也能用一个平面上的点来表示。
复变函数科普知识
复变函数科普知识1．简介复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现 了负数开平方的情况。
在复变函数 复变函数很长时间里，人们对这类数不能理解。
但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显现出来。
复数的一般形式是：a+bi，其中i是虚数单位。
2．历史复变函数 复变函数复变函数论产生于十八世纪。
1774年，欧拉在他 的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。
而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。
因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”。
到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”。
复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。
当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。
为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。
后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯。
二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献。
复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。
比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。
比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。
复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。
复变函数的产生及发展意义.doc
复变函数产生及意义班级：1434200102学号：143403030801姓名：胡玉秀千百年来，人们HH探索数学的奥妙，从几何到代数。
数学的魅力，梦幻了一代代的人。
从算筹的产牛开始，从方程的出现开始，解决方程的答案的方法让众位数学家早早白了头发。
终于，一个名叫复数的东西诞牛了，峨眼的光芒照峨着数学这片广袤的土地。
意大利米兰学者卡当也许可以称作复数的始祖了，把负数的平方根应用与三次方程，但不能算作最开始的那位，考虑金字塔的不可能问题的希腊数学家海伦或许是最初。
不管怎样，复数，虚数就这么产牛了，一个伟大事物的出现总带着各种不可能，不对，不赞同的反对声。
如同日心说一般，真理慢慢就会被大众所接受，时间和空问的考验下，它有了四则运算，有了著名的各种定理公式，符号, 牛机勃勃的出现在了世人的眼球之下，旺盛的牛命力让人为之倾服。
十八世纪末，复数渐渐被大多数人接受，当吋卡斯帕尔•韦塞尔提出复数可看作平面上的一点。
数年后，高斯再提出此观点并大力推广，复数的研究开始高速发展。
诧异的是，早于1685年约翰•沃利斯已经提出此一观点。
卡斯帕尔•韦塞尔的文章发表在1799年，以当今标准來看，也是相当清楚和完备。
他又考虑球体，得出四元数并以此提出完备的球面三角学理论。
怡04年，以来表示平面上与实轴垂直的单位线段被提岀。
1806年，罗贝尔•阿尔冈亦发表文章，复平面成了标准。
1831年高斯认为复数不够普及，次年他发表了一•篇备忘录，奠定复数在数学的地位。
柯西及阿贝尔的努力，扫除了复数使用的最后顾忌，后者更是首位以复数研究著名的。
复数吸引了著名数学家的注意，包括库默尔、克罗内、乔治•皮库克。
莫比乌斯发表了大量有关复数几何的短文，约翰•彼得•狄利克雷将很多实数概念，例如素数，推广至复数。
徳国数学家阿II得公布了复数的图象表示法，即所有实数能用一条数轴表示，同样，复数也能用一个平面丄的点来表示。
在直角坐标系屮，横轴上取对应实数"的点A,纵轴上取对应实数b的点B,并过这两点引平行于处标轴的直线，它们的交点C就表示复数。
学习复变心得
学习复变函数心得在这一学期，我学了复变函数这门课程，使我受益良多，也有挺多的学习心得感受。
所以，接下来，我想跟大家一起分享我的一些看法及心得。
我认为，在接触一门新的课程时，不妨先了解其发展历史，这样，对以后的深入学习也有一定的帮助，而且，在学了之后，也不至于连这一学科怎么来的，为何会产生都不清楚。
所以，在老师的讲解下及上网看的一些资料后，我也了解了一点点有关复变这门课程的发展历史。
复变函数，又称为复分析，是分析学的一个分支。
它产生于十八世纪，其中，欧拉、拉普拉斯等几位数学家对这门学科的产生做出了重大的贡献。
而到了十九世纪，这时，可以说是复变函数这门学科的黄金时期，在这段时期，它得到了全面的发展，是当时公认的最丰饶的一个数学分支，也是当时的一个数学享受。
其中，Riemann,Welerstrass及Cauchy这三位数学家为此作做了突出的贡献。
到了二十世纪，复变函数继续发展，其研究领域也更加广泛了。
而我国的老一辈的数学家也是在这一方面做出了一些重大贡献。
知道了复变函数这一学科简单的发展历程后，那么接下来，我给大家说说我在学习这门课程的一些感受吧。
复变函数课程从拓展数域至复数开始，在介绍复数与四则运算后，利用中学生已有知识引入概念，易于上手。
接着探讨复平面、复数模和辐角，并过渡至复变函数及其极限、连续性定义。
特别指出的是，复变函数既能为单值函数，也可能具有多值特性，这一区别对后续深入研究至关重要。
在学习接下来的第二章，主要讲的是解析函数及初等多值函数。
而在学习解析函数时，我觉得，最主要的就是掌握柯西—黎曼方程，它对于解析函数的微分及解析的判定都有着重要作用，就是到了第三章的复变函数的积分也是会用到的，所以掌握它还是挺重要的。
接下来就是初等多值函数，这一部分比较难，但也挺有意思的。
在老师讲解下及自己的研究后，对这一部分还是有点收获的。
学习这一部分的内容，首先要理解为什么要对平面进行切割，接着，就是要学会寻找支点及切割方法，还有就是那些辐角的变化也要搞清楚，只要将这几点掌握了，应该就没有大问题了。
复变函数发展及应用背景
=2
1、1545年，意大利数学家Cardan在解三次方 程时，首先产生了负数开平方的思想。后来， 数学家引进了虚数，这在当时是不可接受的。 这种状况随着17、18世纪微积分的发明和给出 了虚数的几何解析而逐渐好转。
2、1777年，瑞士数学家Euler建立了 系统的复数理论，发现了复指数函数和三 角函数之间的关系，创立了复变函数论的 一些基本定理，并开始把它们应用到水力 学和地图制图学上。用符号i表示虚数单位， 也是Euler首创的。
即寻找方程 ax3 bx2 cx d 0 一般根式解。
很可惜，经过了差不多二千年的时间，依然沒有很大 的进展！
怪杰
卡丹诺 (Girolamo Cardano; 1501 1576)
一个多才多艺的学者,
• 一个放荡不羁的无赖 他精通数学、医学、 语言学、天文学、占星学
一生充满传奇，人们称 他为「怪杰」。
MATLAB基础
MATLAB 是一个为科学和工程计算而专门
从二次方程谈起
解方程 ax2 bx c 0, a 0
x1,2 b被巴比伦人发现和使用。
在中国的古籍《九章算术》中，亦有提及与二次方 程有关的问题。
由二次方程到三次方程 由于实际应用上的需要，亦由于人类求知欲的驱使，很自 然地，人类就开始寻找三次方程的解法。
从而研究机翼的造型问题.
(5) 应用于计算渗流问题. 例如：大坝、钻井的浸润曲线.
(6) 应用于平面热传导问题、电(磁)场强度. 例如：热炉中温度的计算.
(8) 复变函数理论也是积分变换的重要基础.
积分变换在许多领域被广泛地应用，如电力 工程、通信和控制领域以及信号分析、图象处理 和其他许多数学、物理和工程技术领域．
积分变换就是通过积分运算把一个函数 变成另一个函数，同时，将函数的微积分 运算转化为代数运算，把复杂、耗时的运算 简单、快速完成。
复变函数历史沿革
课程发展历史沿革复变函数论是一门古老而富有生命力的学科。
复变函数理论产生于十八世纪，Euler、D’ Alembert、Laplace等都是创建这门学科的先驱。
十九世纪，复变函数理论得到了全面发展，Cauchy、Weierstrass及Riemann等人为这门学科的发展作了大量奠基性的工作。
复变函数论这个新的数学分支统治了十九世纪的数学，当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为是这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。
二十世纪初，复变函数理论又有了很大的进展，瑞典数学家Leffler、法国数学家Poincare、Hadamard等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数理论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了重要贡献。
复变函数论不仅是我们所学实变函数微积分《数学分析》的理论推广，而且作为一种强有力的工具，已经被广泛地应用于自然科学的众多领域，如理论物理、空气动力学、流体力学、弹性力学以及自动控制理论等，目前还被广泛应用于信号处理、电子工程、智能计算等领域。
更重要的是，有很多复杂的计算都是以复变函数为工具来解决的。
比如物理学上有很多不同的稳定平面场，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。
俄国的Жуковский在设计飞机的时候，就采用复变函数理论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。
俄国数学家Ляпунов在研究天体运动问题时就以复变函数为工具，获得了天体运动的稳定性，从此奠定了微分方程稳定性理论基础，直至今日稳定性理论仍然是微分方程领域的一个研究热点。
《复变函数论》课程是综合性大学数学类本科专业的一门重要的基础课。
复变函数论的主要内容是讨论复数之间的相互依赖关系，其主要研究对象是解析函数。
复变函数论又称复分析，是实变函数微积分《数学分析》的推广和发展。
我校自从成立数学系以来，《复变函数论》便被定为数学类各专业的必修基础课。
工程数学 复数与复变函数
工程数学---------复变函数
-2-
内容
复变函数论主要包括单值解析函数理论、 黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、 广义解析函数等方面的内容.
工程数学---------复变函数
-3-
应用 复变函数理论对数学领域的许多分支的发展 都很有影响，它已经深入到微分方程、积分方程、 概率论和数论等多个学科. 特别是在其他学科上，复变函数也得到了广 泛的应用. 比如物理学上有很多不同的稳定平面场， 对它们的计算就是通过复变函数来解决的；另外， 复变在流体力学和航空力学方面的问题上也做出 了贡献.
2 2
iv) z z 2 Re( z ), z z 2i Im(z )
工程数学---------复变函数
-9-
3. 复平面
y
z xi y
数z x i y
( x, y )
点 P ( x, y )
y
P ( x, y ) z xi y
向量 OP
o
x
x
xoy 面
解
直接验证可知方程的根 z 1, 故方程可写成
1 z 令 w , 则 w5 1, w e 1 z
i
1 z 1 1 z
5
2 k i 5
i
, k 0,1, 2,3, 4.
w 1 ei 1 e 2 ( e 2 e 2 ) i tan z i i i i 2 w 1 e 1 2 2 2 e (e e ) 2 4 6 8 其中 0, , , , . 5 5 5 5
wn z n (cos n isin n ) r (cos isin ) (棣莫弗公式) n r
复变函数的起源与发展
复变函数的起源与发展复变函数是数学中的一个重要分支，它的起源和发展可以追溯到18世纪末至19世纪初。
1.复数的引入：复变函数的起点可以追溯到复数的引入。
在18世纪末，数学家们开始思考负数的平方根问题，这引发了对虚数单位i 的研究。
通过引入虚数单位i，可以将负数的平方根问题转化为复数的平方根问题。
2.庞加莱的贡献：法国数学家亨利·庞加莱（Henri Poincaré）在19世纪末对复变函数做出了重要贡献。
他研究了复数平面上的连续变换，并引入了庞加莱球面来描述复平面上的无穷远点。
3.韦尔斯特拉斯的全纯函数理论：19世纪中叶，德国数学家卡尔·韦尔斯特拉斯（Karl Weierstrass）提出了全纯函数的概念和理论。
他定义了全纯函数的导数，并研究了全纯函数的级数展开和收敛性。
韦尔斯特拉斯的工作奠定了复变函数理论的基础。
4.黎曼面和复析函数：德国数学家伯纳德·黎曼（Bernhard Riemann）在19世纪中叶提出了黎曼面的概念，并将复变函数的研究推广到多复变量的情况。
他定义了复析函数，并研究了它们的性质和特征。
黎曼的工作开创了复变函数理论的新领域。
5.应用和发展：复变函数的理论和方法在数学和物理学的许多领域中得到了广泛应用和发展。
它在解析几何、调和分析、偏微分方程、概率论等领域中发挥着重要作用。
复变函数的研究也催生了许多重要的数学定理和概念，如黎曼曲面、黎曼积分、留数定理等。
综上所述，复变函数的起源和发展可以追溯到18世纪末至19世纪初，从复数的引入到全纯函数理论和黎曼面的提出，复变函数的研究为数学和物理学的发展做出了重要贡献，并在各个领域中得到了广泛应用。
复变函数
复数的故事复数的概况复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况。
在很长时间里，人们对这类数不能理解。
但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显现出来。
复数的一般形式是：a+bi，其中i是虚数单位。
以复数作为自变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论。
解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就是研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。
复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。
当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一①。
16世纪意大利米兰学者卡当（Jerome Cardan1501—1576）在1545年发表的《重要的艺术》一书中，公布了三次方程的一般解法，被后人称之为“卡当公式”。
他是第一个把负数的平方根写到公式中的数学家。
德国数学家阿甘得（1777—1855）在1806年公布了虚数的图象表示法，即所有实数能用一条数轴表示，同样，虚数也能用一个平面上的点来表示。
在直角坐标系中，横轴上取对应实数a的点A，纵轴上取对应实数b的点B，并过这两点引平行于坐标轴的直线，它们的交点C就表示复数a+bi。
象这样，由各点都对应复数的平面叫做“复平面”，后来又称“阿甘得平面”。
高斯在1831年，用实数组（a，b）代表复数a+bi，并建立了复数的某些运算，使得复数的某些运算也象实数一样地“代数化”。
他又在1832年第一次提出了“复数”这个名词，还将表示平面上同一点的两种不同方法——直角坐标法和极坐标法加以综合。
统一于表示同一复数的代数式和三角式两种形式中，并把数轴上的点与实数—一对应，扩展为平面上的点与复数—一对应。
高斯不仅把复数看作平面上的点，而且还看作是一种向量，并利用复数与向量之间—一对应的关系，阐述了复数的几何加法与乘法。
复变函数1
复变函数对通信和电子专业的应用
n
复变函数涉及的傅氏变换和拉氏变换是后续专业 基础课——信号与系统的核心内容，在信号与系 统里面还会有Z变换，三种变换构成了信号与系统 的核心，也是通信领域连接时域、频域和变换域 的关键所在，可以使很多用数学方法计算的东西 简化不少 。
复变函数在电气工程及自动化方面的应用
1
，
（2） z
g z2 = ( x1 x2 − y1 y2 ) + i ( x1 y2 + x2 y1 ) ,
z1 x1 x2 + y1 y2 x2 y1 − x1 y2 = +i 2 ( z2 ≠ 0) . (3) 2 2 2 z2 x2 + y2 x2 + y2
n容易验证复数的四则运算满足与实数的四则运算相应的运算
x − iy = x + iy 。
§2． 复数的几何表示 1、复平面 2、复数的向量式 3、复数的三角式 4、复数的指数式 5、复数的乘幂与n次方根 6、无穷远点与复球面 7、曲线的复数方程
1．复平面与复球面
n
n
复平面：称用建立了笛卡尔坐标系的平面来表示 复数的平面为复平面。通常称 x 轴为实轴，称 y 轴为虚轴， 从上述复数的定义中可以看出，一个复数 z = x + iy 实际上是由一对有序实数 ( x, y ) 唯一确定．
n
在电气工程及自动化专业中，对信号处理 时的传递函数理论分析、各类信号处理中 的时-频域理论分析等内容用应用复变函数 中的方法。 《信号与系统》、《数字信号处理》《自 动控制理论 》
n
复变函数的主要内容及教学目的 复变函数是高等院校理工科学生必须具备 的数学知识，它是高等微积分的重要后继 课程。内容包括解析函数、复变函数的几 根、柯西积分公式、洛朗级数等内容。 n 它的理论与方法广泛应用于自然科学与工 程科学的许多领域，如信电工程、信息工 程、控制工程、理论物理与流体力学、热 力学等各领域，是专业理论研究和实际应 用方面不可缺少的数学工具
复变函数课程介绍
复变函数课程介绍课程名称：复变函数课程学分：3学分开设时间：第四学期先修课程：数学分析、高等代数。
背景及意义：复变函数萌发于18世纪。
19世纪是复变函数论全面兴起并创立时期。
柯西、黎曼、魏尔斯特拉斯是它的三个主要奠基人，他们三人分别从分析的角度（微分和积分）、几何的角度（保形变换）、代数角度（幂级数展开）对复变函数进行研究，他们的杰出的工作汇集在一起，使得复变函数论成为一个重要的数学分支。
复变函数是数论、代数、方程等理论研究中的重要方法之一。
在数学学科之外，复变函数已被广泛应用于流体力学、电学、天文学、信息学、控制学等方面的研究。
因此，复变函数论不仅是提高学生数学素质的基础性课程，而且也是解决实际问题的一门应用性课程。
课程内容：复变函数是数学类专业基础性课程，是数学分析中关于实函数的连续、微分、积分和级数等理论在复数情形下的延续和拓广。
复变函数的基本理论和方法通常包括以下四方面的内容：（1）解析函数概念与C-R条件。
包括解析性条件，初等解析函数及其性质。
（2）Cauchy积分理论。
包括Cauchy积分定理，Cauchy积分公式及解析函数的无穷可微性，Liouvill定理，最大模原理，Schwarz引理等。
（3）Wierstrass级数理论。
包括Talor定理，Lanrent定理，唯一性定理，奇点分析等。
（4）Riemann保形变换理论。
包括解析变换的保形性，线性变换及其性质，区域之间保形变换的存在性与唯一性，边界对应原理等。
其中（1）是基础性知识，（2）（3）（4）分别从分析、代数、几何三个不同角度讨论了解析函数性质及其应用，它们各具特色又密切联系，由此构成了复变函数课程的基本框架。
后续课程：复变函数是进一步学习微分方程、积分变换、泛函分析等课程的基础，同时也是研究数论、几何、三角和多项式理论的重要方法之一。
复变函数的应用及发展史
复变函数的应用及发展史
复变函数是一种广泛的应用的函数，它的基本定义是：复变函数是一类可以将实数x映射为复数y的函数。
它的主要特点是：它有一个实数输入和一个复数输出；另外，它是一类连续函数，满足可导性和连续性。
复变函数有很多应用，其中最重要的应用之一是在数学建模中，复变函数是数学模型最重要的建模工具之一。
另外，复变函数也应用于音频处理，例如可以利用复变函数来分析声音的特性，例如频率、波形和音调等；也可以用复变函数来增加或降低声音的音调、强度和频率等。
复变函数的发展可以追溯到17世纪，当时，数学家库拉多克(Carl Friederich Gauss)发现用复变函数来合并不同的数学函数，这样就可以更简单地把原函数表达出来。
之后，复变函数的发展更加迅速。
20世纪70年代，数学家企鹅(Karl Weierstrass)
提出了复变函数在复扩展复可区域中的应用，这一应用开创了复变函数在多元函数中的应用。
另外，20世纪90年代，复变
函数也发挥了突出的作用，其中最重要的就是复变函数的应用在分析函数中，用复变函数可以把一个函数表达为多个函数的线性组合，而这一点对数学建模有着重要的意义。
总之，复变函数在数学上有着深刻的意义，在实践中也有着不可替代的作用。
从17世纪直至今，复变函数的应用没有停止，反而发展得越来越完善，为后来的数学发展奠定了重要的基础。
函数的发展历程简短
函数的发展历程简短
函数的发展历程可以追溯到古代数学的发展阶段。
最早的记录可以追溯到公元前400年的古希腊数学家欧几里得，他在其著作《几何原本》中定义了数学中的“比例”。
此后，古希腊的阿基米德和亚里士多德也对函数进行了研究和定义。
在16世纪，法国数学家勒内·笛卡尔引入了代数符号，进一步
推动了函数的发展。
其后，17世纪的数学家以及牛顿和莱布
尼茨的微积分的发明和发展也为函数理论的进一步发展做出了重要贡献。
到了18世纪，欧拉、拉格朗日以及高斯等数学家进一步完善
了函数的定义和性质。
欧拉对复变函数的研究奠定了复分析的基础。
随着19世纪中叶和20世纪初，函数的研究进一步深入和拓展。
柯西提出了复变函数的级数展开理论，而傅里叶分析则为函数的频谱表示提供了基础。
在20世纪，函数的研究成为数学领域中的一个重要分支。
函
数空间理论、拓扑学、泛函分析等相关的理论和方法不断涌现，并广泛应用于物理学、工程学、计算机科学等领域。
总结起来，在数学的发展历程中，函数的定义和性质得到不断完善和拓展，从古希腊的几何学、代数到微积分、复分析、泛函分析等现代数学分支，函数的研究一直蓬勃发展，为解决各种实际问题提供了有力的工具。
多复变函数论基础史济怀
多复变函数论基础史济怀多复变函数论是数学领域中的一个分支，它通过研究多个复变量的函数，探讨数学中复数的性质和应用。
这门学科从19世纪开始发展壮大，目前已经成为数学界中研究最深奥的分支之一。
一、基础理论多复变函数论的研究领域包括多个复变量的解析函数、全纯函数、调和函数、调和共形映射等等。
其中，解析函数是多复变函数论中最为基础的理论之一，它主要是研究多个变量的导数和微积分。
二、历史背景19世纪中叶，多复变函数领域的先驱者史济怀（Augustin Louis Cauchy）提出了著名的复分析理论。
在他的启发下，熟悉多元微积分和偏微分方程的学者开始涉足多复变函数领域的研究。
其后，明杰布罗斯基（Stanisław Zaremba）、维塔利·沃拉雷（Vitali Volterra）、科塞拉·沃尔夫（Casorati Vincenzo）等人都为多复变函数的研究开创了重要的思路。
三、应用前景多复变函数理论有着广泛的应用前景，如在流体力学、电磁学、量子力学、复杂系统的研究等方面，都有着重要的应用。
此外，多复变函数论也关乎到一些基础的数学概念，如黎曼假设、同伦映射定理、贝尔曼函数及黎曼猜想的解决等，都需要借助多复变函数论的理论。
四、研究趋势目前，多复变函数论的研究领域日益扩大和深化，涵盖了越来越多的学科领域。
例如，复杂系统理论、微分几何、调和分析、数论等都与多复变函数论建立了紧密的联系。
同时，随着计算机技术的进一步发展，多复变函数的计算和模拟也趋于成熟，这为实际应用带来了更多新的可能性。
综上所述，多复变函数理论既是数学发展的重要组成部分，又有着不可替代的应用价值。
我们有理由相信，在多个学科的共同推动下，多复变函数论将以更加全面、深入的姿态不断前行。
复变函数论 第一章 复数与复变函数
引言复数理论的产生、发展经历了漫长而又艰难的岁月．复数是16世纪人们在解代数方程时引入的．1545年，意大利数学物理学家H C ardan （卡丹）在所著《重要的艺术》一书中列出将10分成两部分，使其积为40的问题，即求方程(10)x x -的根，它求出形式的根为5+5-25(15)40--=．但由于这只是单纯从形式上推广而来引进，并且人民原先就已断言负数开平方是没有意义的．因而复数在历史上长期不能为人民所接受．“虚数”这一名词就恰好反映了这一点．直到十八世纪，,D Alembert （达朗贝尔）：L E uler （欧拉）等人逐步阐明了复数的几何意义与物理意义，建立了系统的复数理论，从而使人民终于接受并理解了复数．复变函数的理论基础是在十九世纪奠定的，主要是围绕..A L Cauchy （柯西），K W eierstrass （魏尔斯特拉斯）和B R iem ann （黎曼）三人的工作进行的．到本世纪，复变函数论是数学的重要分支之一，随着它的领域的不断扩大而发展成庞大的一门学科，在自然科学其它（如空气动力学、流体力学、电学、热学、理论物理等）及数学的其它分支（如微分方程、积分方程、概率论、数论等）中，复变函数论都有着重要应用．第一章§1 复数教学目的与要求：了解复数的概念及复数的模与辐角； 掌握复数的代数运算复数的乘积与商﹑幂与根运算.重点：德摩弗()DeMoiVre 公式. 难点：德摩弗()DeMoiVre 公式. 课时：2学时.1． 复数域形如z x iy =+或z z yi =+的数，称为复数，其中x 和y 均是实数，称为复数z 的实部和虚部，记为R e x z =，Im y z = i =两个复数111z x iy =+，与222z x i y=+相等，当且仅当它们的实部和虚部分别对应相等，即12x x =且12y y =虚部为零的复数可看作实数，即0x i x += ，特别地，000i += ，因此，全体实数是全体复数的一部分．实数为零但虚部不为零的复数称为纯虚数，复数x iy +和x iy -称为互为共轭复数，记为()x iy x iy +=- 或 x iy x iy -=+设复数111z x iy =+，222z x iy =+，则复数四则运算规定：121212()()z z x x i y y ±=±±± 1212121221()()z z x x y y i x y x y =-++1121221122222222222(0)z x x y y x y x y iz z x y x y +-=+≠++容易验证复数的四则运算满足与实数的四则运算相应的运算规律．全体复数并引进上述运算后称为复数域，必须特别提出的是，在复数域中，复数是不能比较大小的．２．复平面从上述复数的定义中可以看出，一个复数z x iy =+实际上是由一对有序实数(,)x y 唯一确定．因此，如果我们把平面上的点(,)x y 与复数z x iy =+对应，就建立了平面上全部的点和全体复数间的一一对应关系．由于x 轴上的点和y 轴上非原点的点分别对应着实数和纯虚数，因而通常称x 轴为实轴，称y 轴为虚轴，这样表示复数z 的平面称为复平面或z 平面．引进复平面后，我们在“数”与“点”之间建立了一一对应关系，为了方便起见，今后我们就不再区分“数”和“点”及“数集”和“点集”．3．复数的模与幅角由图1.1中可以知道，复数z x iy =+与从原点到点z 所引的向量oz也构成一一对应关系（复数O 对应零向量）．从而，我们能够借助于点z 的极坐标r 和θ来确定点z x iy =+，向量oz的长度称为复数z 的模，记为图1.10r z ==≥显然，对于任意复数z x iy =+均有x z ≤，y z ≤，z x y ≤+ (1.1)另外，根据向量的运算及几何知识，我们可以得到两个重要的不等式1212z z z z +≤+ (1.2) （三角形两边之和≥第三边，图1.2）图1.21212z z z z -≤- (1.3)（三角形两边之差≤第三边，图1.3）图1.3(1.2)与(1.3)两式中等号成立的几何意义是：复数1z ，2z 分别与12z z +及12z z -所表示的三个向量共线且同向．向量oz 与实轴正向间的夹角θ满足yxθ=tan 称为复数z 的幅角()Argument ，记为Argz θ= 由于任一非零复数z 均有无穷多个幅角，若以Argz 表示其中的一个特定值，并称满足条件 A r g z ππ-<≤ (1.4)的一个值为Argz 的主角或z 的主幅角，则有arg 2Argz z k θπ==+ (1.5)(0,1,2,)k =±±注意：当0z =时，其模为零，幅角无意义．从直角坐标与极坐标的关系，我们还可以用复数的模与幅角来表示非零复数z ，即有(cos sin )z r i θθ=+ (1.6)同时我们引进著名的欧拉()Euler 公式：cos sin i ei θθθ=+ (1.7)则(1.6)可化为i z re θ= (1.8)(1.6)与(1.8)式分别称为非零复数z 的三角形式和指数形式，由(1.8)式几指数性质即可推得复数的乘除有12121122()121212()111222i i i i i i z z r e r r r e z r e r ez r r θθθθθθθθ+-⎫==⎪⎬==⎪⎭(1.9) 因此 1212z z z z =，1122z z z z =2(0)z ≠ (1.10)12121122()Argz z Argz Argz z Arg Argz Argz z =+⎫⎪⎬=-⎪⎭(1.11) 公式(1.10)与(1.11)说明：两个复数1z ，2z 的乘积（或商），其模等于这两个复数模的乘积（或商），其幅角等于这两个复数幅角的和（或差）．特别当21z =时可得 12()12i z z reθθ+=此即说明单位复数()21z =乘任何数，几何上相当于将此数所对应的向量旋转一个角度．另外，也可把公式(1.11)中的Argz 换成argz （某个特定值），若argz 为主值时，则公式两端允许相差2π的整数倍，即有12121122()2()2Arg z z argz argz k z Arg argz argz k z ππ=++⎫⎪⎬=-+⎪⎭(1.12) 公式(1.9)可推广到有限个复数的情况，特别地，当12n z z z === 时，有()(cos sin )ni nnin nz re r er i θθθθ===+当1r =时，就得到熟知的德摩弗()DeMoiVre 公式：(cos sin )cos sin ni n i n θθθθ+=+ (1.13)例1.1求co s 3θ及sin 3θ用cos θ与sin θ表示的式子解：3cos 3sin 3(cos sin )i i θθθθ++ （）=3223cos 3cos sin 3cos sin sin i i θθθθθθ=+--323cos 3cos 3cos sin 4cos 3cos θθθθθθ∴=-=-233sin 33cos sin sin 3sin 4sin θθθθθθ=-=-4.曲线的复数方程例1.2连接1z 及2z 两点的线段的参数方程为121()(01)z z t z z t =+-≤≤ 过1z 及2z 两点的直线（图 ）的参数方程为121()()z z t z z t =+--∞≤≤+∞ 例1.3 z 平面上以原点为心，k 为半径的圆周的方程为z R =z 平面上以0z 为心，R 为半径的圆周的方程为0z z R -=例1.4 z 平面上实轴的方程为Im 0z =，虚轴的方程为R e 0z =. 作业:第42页 2,3,4§2 复平面上的点集教学目的与要求：平面点集的几个基本概念;掌握区域的概念;了解约当定理. 重点：区域的概念,约当定理. 难点：区域的概念. 课时：2学时.1. 几个基本概念定义1.1 满足不等式0z z ρ-<的所有点z 组成的平面点集（以下简称点集）称为点0z 的ρ-邻域，记为0N z ρ（）． 显然，0N z ρ（）即表示以0z 为心，以ρ为半径的圆的内部 定义1.2 设E 为平面上的一个点集，若平面上一点0z 的任意邻域内巨有E 的无穷多个点，则称0z 为E 的内点．定义1.3 若E 的每个聚点都属于E ，则称E 为闭集．若E 的所有点均为内点，则称E 为开集 定义1.4 若0M ∃>，z E ∀∈，均有z M ≤则称E 为有界集，否则称E 为无界集． 2. 区域与约当()Jordan 曲线定义1.5 若非空点集D 满足下列两个条件：(1) D 为开集．(2) D 中任意两点均可用全在D 中的折线连接起来，则称D 为区域.定义1.6 若0z 为区域D 的聚点且0z 不是D 的内点，则称0z 为D 的界点，D 的所有界点组成的点集称为D 的边界，记为D ∂，若0r ∃>，使得0()r N z D ϕ⋂=，则称0z 为D 的外点 定义1.7 区域D 加上它的边界C 称为闭区域，记为D D C =+有关区域的几个例子 例1.5 z 平面上以点0z 为心，R 为半径的圆周内部（即圆形区域）：0z z R -< 例1.6 z 平面上以点0z 为心，R 为半径的圆周及其内部（即圆形闭区域）0z z R -≤ 例1.5与例1.6所表示的区域都以圆周0z z R -=为边界，且均为有界区域 例1.7 上半平面 I m 0z >下半平面 I m 0z <它们都以实轴Im 0z =为边界，且均为无界区域． 左半平面 R e 0z > 右半平面 R e 0z < 它们都以虚轴R e 0z =为边界，且均为无界区域．例1.8 图1.4所示的带形区域表为12Im y z y <<.图1.4x其边界为1y y =与2y y =，亦为无界区域．例1.9 图 所示的圆环区域表为r z R <<其边界为z r =与z R =，为有界区域．定义1.8 设()x t 及()y t 是两个关于实数t 在闭区间[,]αβ上的连续实数，则由方程()()()z z t x t iy t ==+ ()t αβ≤≤ (1.13) 所确定的点集C 称为z 平面上的一条连续曲线，(1.13)称为C 的参数方程，()z α及()z β分别称为C 的起点和终点，对任意满足1t αβ<<及2t αβ<<的1t 与2t ，若12t t ≠时有12()()z t z t =，则点1()z t 称为C 的重点；无重点的连续曲线，称为简单曲线（约当曲线）；()()z z αβ=的简单曲线称为简单闭曲线．若在t αβ≤≤上时，()x t '及()y t '存在节不全为零，则称C 为光滑（闭）曲线．定义1.9 由有限条光滑曲线连接而成的连续曲线称为逐段光滑曲线．定义1.1（约当定理） 任一简单闭曲线C 将z 平面唯一地分为C 、()I C 、()E C 三个点集（图 1.5 ），它们具有如下性质：图1.5(1)彼此不交．(2)()I C 与()E C 一个为有界区域（称为C 的内部），另一个为无界区域（称为C 的外部） (3)若简单折线P 的一个端点属于()I C ，另一个端点属于()E C ，则P 与C 必有交点．对于简单闭曲线的方向，通常我们是这样来规定的：当观察这沿C 绕行一周时，C 的内部（或挖）始终在C 的左方，即“逆时针”（或“顺时针”）方向，称为C 的正方向（或负方向）． 定义1.10设D 为复平面上的区域，若D 内任意一条简单闭曲线的内部全含于D ，则称D 为单连通区域，不是单连通的区域称为多连通区域．例如，例1.5 1.8-所示的区域均为单连通区域，例1.9所示的区域为多连通区域． （请读者针对定义1.10自己作图思考） 作业: 第42页 6.(1) (3) (5) , 7, 8,9§3复变函数教学目的与要求：理解复变函数的概念;了解复变函数的极限与连续的概念. 重点：复变函数的概念. 难点：复变函数的几何表示. 课时：2学时. 1． 复变函数概念定义1.11 设E 为一复数集，若存在一个对应法则f ，使得E 内每一复数z 均有唯一（或两个以上）确定的复数u 与之对应，则称在E 上确定了一个单值（或多值）函数()w f z =()z E ∈，E 称为函数()w f z =的定义域，w 值的全体组成的集合称为函数()w f z =的值域．例如w z =，w z =及11z w z +=- (1)z ≠均为单值函数，w =及w Argz =(0)z ≠均为多值函数．今后如无特别说明，所提到的函数均为单值函数．设()w f z =是定义在点集E 上的函数，若令z x iy =+，w u iv =+则u 、v 均随着x 、y 而确定，即u 、v 均为x 、y 的二元实函数，因此我们常把()w f z =写成()(,)(,f z u x y i v x y =+ (1.14) 若z 为指数形式，i z re θ=，则()w f z =又可表为(,)(,)w p r i r θθθ=+ (1.15) 其中(,)p r θ，(,)Q r θ均为r 、θ的二元实函数．由(1.14)和(1.15)两式说明，我们可以把复变函数理解为复平面z 上的点集和复平面w 上的点集之间的一个对应关系（映射或变换），这是由于在复平面上我们不再区分“点”（点集）和“数”（数集）．故今后我们也不再区分函数、映射和变换． 3. 复变函数的极限和连续性定义1.12 设()w f z =于点集E 上有定义，0z 为E 的聚点，若存在一复数0w ，使得0ε∀>，0δ∃>，当00z z δ<-<时有0()f z w ε-< ()z Z ∈则称()f z 沿E 于0z 有极限0w ，记为lim()0()f z w z z z E =→∈定义1.12的几何意义是：对于0ε∀>，存在相应的0δ>，使得当z 落入0z 的去心δ-邻域时，相应的()f z 就落入0w 的ε-邻域．这就说明lim()0()f z z z z E →∈与0z z →的路径无关．即不管z 在E 上从哪个方向趋于0z ，只要z 落入0z 的去心δ-邻域内，则相应的()f z 就落入0w 的ε-邻域内，而在数学分析中，0lim ()x x f x →中x 只能在x 轴上沿着0x 的左，右两个方向趋于0x ，这正是复分析与数学分析不同的根源．今后为了简便起见，在不致引起混淆的地方，lim()0()f z z z z E →∈均写成lim ()0f z z z→ 可以类似于数学分析中的极限性质，容易验证复变函数的极限具有以下性质：(1)若极限存在，则极限是唯一的． (2)lim ()0f z z z→与lim ()0g z z z→都存在，则有l i m [()()]l i m ()l i m000f zg z f z g z z z z zz z ±=±→→→lim ()()lim ()lim ()0f zg z f z g z z zz zz z=→→→ lim ()()0lim lim ()lim ()000f z z z f zg z g z z zz zz z→=→→→ (()0)g z ≠另外，对于复变函数的极限与其实部和虚部的极限的关系问题，我们有下述定理： 定理1.2 设函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+于点集E 上有定义，000z x iy =+为E 的聚点，则lim ()0f z a ib z zη==+→的充要条件0lim (,)x x u x y a →=及0lim (,)y y v x y b →=证明：因为()[(,)][(,)]f z u x y a i v x y b η-=-+-从而由不等式1.1可得(,)()(,)()u x y a f z v x y b f z ηη-≤-⎫⎪⎬-≤-⎪⎭(1.16) 及 ()(,)(,)f z u x y a v x y b η-≤-+- (1.17)故由(1.16)即可得必要性部分的证明．由(1.17)可得充分性部分的证明．定义1.13设()w f z =于点集E 上有定义，0z 为E 的聚点，且0z z ∈，若l i m ()()fz fz =则称()f z 沿E 于0z 连续．根据定义1.13，()f z 沿E 于0z 连续就意味着：0ε∀>，0δ∃>，当0z z δ-<时，有0()()f z f z ε-<与数分中的连续函数性质相似，复变函数的连续性有如下性质：(1)若()f z ，()g z 沿集E 于点0z 连续，则其和，差，积，商（在商的情形，要求分母0z 不为零）沿点集E 于0z 连续．(2)若函数0()f z η=沿集E 于0z 连续，且()f E G ⊆，函数()w g η=沿集G 于00()f z η=连续，则复合函数0[()]w g f z =沿集E 于0z 连续．其次，我们还有定理1.3 设函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+于点集E 上有定义,0z E ∈,则()f z 在点000z x iy =+连续的充要条件为：(,)u x y ,(,)v x y 沿E 于点00(,)x y 均连续.事实上,类似于定理1.2的证明,只要把其中的a 换成00(,)u x y ,b 换成00(,)v x y 即可得到定理的证明.例1.10 设1()()2z z f z i zz=- (0)z ≠ 试证()f z 在原点无极限,从而在原点不连续. 证明：设(cos sin )z r i θθ=+,则22211()()()sin 222z z z z z z f z iirz zθ-+-===因此000lim ()0z z f z z θπθ→→⎧⎪=⎨→⎪⎩当沿着正实轴=0时1当沿着正实轴=时4故0lim ()z f z →不存在,从而在原点不连续.定义1.14 若函数()f z 在点集E 上每一点都连续,则称()f z 在E 上连续,或称()f z 为E 上的连续函数.特别地,当E 为实轴上的区间[,]αβ时,则连续曲线(1.16)就是[,]αβ上的连续函数()z z t =其次,若E 为闭区域D ,则D 上每一点均为聚点,考虑其边界上的点0z 的连续性时,0z z →只能沿D 的点z 来取.与数学分析相同,在有界闭集E 上连续的伏辩函数具有以下性质：(1)在E 上()f z 有界,即0M ∃>,使得()()f z M z E ≤∈ (2)()f z 在E 上有最大值和最小值.(3)()f z 在E 上一致连续,即0ε∀>,0δ∃>使对E 上任意两点1z ,2z ,只要12z z δ-<就有12()()f z f z ε-<作业: 第43页 10(1) (3), 11(1)(3) 13 14 15 17。
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复变函数发展历程
复变函数论产生于十八世纪。
1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。
而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。
因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”。
到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”。
复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。
当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。
为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。
后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯。
二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献。
复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。
比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。
比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。
复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。
它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。
广义解析函数的应用范围很广泛，不但应用在流体力学的研究方面，而且象薄壳理论这样的固体力学部门也在应用。
因此，近年来这方面的理论发展十分迅速。
从柯西算起，复变函数论已有170多年的历史了。
它以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分。
它曾经推动过一些学科的发展，并且常常作为一个有力的工具被应用在实际问题中，它的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程。
现在，复变函数论中仍然有不少尚待研究的课题，所以它将继续向前发展，并将取得更多应用。
校内发展的历史
《复变函数论》，又称《复分析》，是在《数学分析》的基础上，应用分析与积分方法研究复变量复值解析函数的一门分析数学，它是学习与研究《泛函分析》、《微分方程》等课程的重要基础。
复变函数论是数学专业的一门专业必修课程，是数学分析的后续课程。
它的理论和方法，对于其它数学学科，对于物理、力学及工程技术中某些二维问题，都有广泛的应用。
通过本课程的教学，使学生掌握复变函数论的基本理论和方法，提高分析问题和解决问题的能力，培养学生独立地分析和解决某些有关的理论和实际问题的能力。
随着学校的升本成功，该门课程已在本科层面授课两届。
针对学生普遍基础薄弱的特点，在教学中，着力要求任课教师将基本概念讲解正确清楚，基本理论阐述系统简明，对学生的基本运算能力的训练也严格要求。
教材选用了国内较成熟且讲解较为简单明了的钟玉泉的复变函数论(第2版)，方便学生学习。
实际教学中注意本课程和其它课程的联系，特别是与数学分析的衔接，相应内容在处理方法上的异同。
在基本运算方面，应通过适当的例题和习题，加强习题课和练习，使学
生掌握主要方法。
要求学生对本课程的基本概念和基本理论要加深理解，并通过大量习题的训练，培养学生的运算技能和对数学问题的思维、论证能力。
本课程的教学时数定为60学时，周3学时，15周。
这样教学时数压缩了，教学要求提高了。
所以在内容的选取上应突出基本理论和基本方法，把重点放在单复变函数的微分、积分、级数展开式和保形变换上。
为了突出院校的师范特征，使学生以后教师工作中学以致用。
通过具体实例使学生了解到该课程在代数学、解析数论、微分方程、概率统计、计算数学和拓朴学等数学分支上的广泛应用，为其以后的工作学习提供必要的基础知识。