(新)高中数学第二章数列习题课数列求和学案新人教B版必修5
高中数学新人教B版必修5课件：第二章数列2.3习题课——等比数列习题课
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题型一
题型二
题型三
题型四
1
1
2
1
(2)解:由(1)知 -1= · -1 =
1
即
1
=
2
1
+1,则
设 Tn= +
2
3
=
1
22
2
2
2
2
1
+
2
2
+…+
3
=
2
1
1-
2
1
12
1
=1-
2
−
−
2
1
2
1
2
22
,
+n.
2
+
2 +1
1
,②
−
+…+
2
2 +1
(2)设等比数列{bn}的公比为q.
因为b2=a1+a2+a3=-24,b1=-8,
所以-8q=-24,q=3.
1 (1- )
所以数列{bn}的前 n 项和公式 Sn=
1-
=4(1-3n).
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IANLITOUXI
1
2
3
UITANGLIANXI
4
1等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1的值为
题型四
等比数列的基本运算
【例1】 (1)已知Sn为等比数列{an}的前n项和,Sn=93,an=48,公比
高中数学 第二章 数列 2.2 习题课——等差数列习题课练习(含解析)新人教B版必修5-新人教B版高
习题课——等差数列习题课课时过关·能力提升1在等差数列{a n }中,已知a 1=13,a 1+a 6=4,a n =37,则n 等于() A.50B.49C.56D.51d ,因为a 1+a 6=2a 1+5d=4,a 1=13,所以d=23,所以a n =13+(n-1)×23=37,所以n=56.2在数列{a n }中,已知a 1=15,3a n+1=3a n -2,则该数列中相邻两项的乘积为负值的项是() A.a 21和a 22 B.a 22和a 23 C.a 23和a 24D.a 24和a 25a n+1=a n -23,所以数列{a n }是公差为-23的等差数列.所以a n =15+(n-1)×(-23).因为a 23=13,a 24=-13,所以a 23a 24<0.3已知在等差数列{a n }中,|a 3|=|a 9|,公差d<0,则使数列{a n }的前n 项和S n 取得最大值的自然数n 是()A .4或5B .5或6C .6或7D .不存在d<0,∴a 9<a 3,∵|a 3|=|a 9|,∴a 3=-a 9,∴a 3+a 9=0. 又a 3+a 9=2a 6=0,∴a 5>0.即前5项或前6项的和最大.4若数列{a n }是等差数列,首项a 1>0,a 2 003+a 2 004>0,a 2 003·a 2 004<0,则使前n 项和S n >0成立的最大正整数n 是() A.4 005B.4 006C.4 007D.4 008a 1>0,a 2003+a 2004>0,a 2003·a 2004<0,且数列{a n }为等差数列,所以数列{a n }是首项为正数,公差为负数的递减的等差数列,且a 2003是绝对值最小的正数,a 2004是绝对值最小的负数(第一个负数),且|a 2003|>|a 2004|.因为在等差数列{a n }中,a 2003+a 2004=a 1+a 4006>0,所以S 4006=4006(a 1+a 4006)2>0.所以使S n >0成立的最大正整数n 是4006.5已知数列{a n }的通项a n =11-2n ,则|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a 10|=() A.25 B.50 C.52 D.1006已知f (n+1)=f (n )-14(n ∈N +),且f (2)=2,则f (101)=.a n =f (n ),则a n+1-a n =-14,∴数列{a n }为等差数列,且a 2=2.∴a n =a 2-14(n-2)=10-a 4.∴f (101)=a 101=-914. -9147设f (x )+f (1-x )=6,则f (-5)+f (-4)+…+f (0)+f (1)+…+f (6)=.S=f (-5)+f (-4)+…+f (0)+f (1)+…+f (6),①即S=f (6)+f (5)+…+f (1)+f (0)+…+f (-5).②则①+②得2S=[f (-5)+f (6)]+[f (-4)+f (5)]+…+[f (0)+f (1)]+[f (1)+f (0)]+…+[f (6)+f (-5)]=12×6=72.故S=36.8“等和数列”的定义:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都等于同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.已知数列{a n }是等和数列,且a 1=2,公和为5,那么a 18的值为.,可得a n +a n+1=5,所以a n+1+a n+2=5.所以a n+2-a n =0.因为a 1=2,所以a 2=5-a 1=3.所以当n 为偶数时,a n =3;当n 为奇数时,a n =2.所以a 18=3.9在等差数列{a n }中,其前n 项和为100,其后的2n 项和为500,则紧随其后的3n 项和为.,知S n =100,S 3n -S n =500,又S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n ,…成等差数列,且公差为100.故S 6n -S 3n =(S 6n -S 5n )+(S 5n -S 4n )+(S 4n -S 3n )=600+500+400=1500.10在等差数列{a n }中,a 16+a 17+a 18=a 9=-18,其前n 项和为S n , (1)求S n 的最小值,并求出S n 取最小值时n 的值; (2)求T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |.因为a 16+a 17+a 18=a 9=-18,所以a 17=-6.又a 9=-18, 所以d=a 17-a 917-9=32.首项a 1=a 9-8d=-30.所以a n =32n-632. 若前n 项和S n 最小,则{a a ≤0,a a +1≥0,即{3a2-632≤0,32(a +1)-632≥0,所以n=20或n=21.故当n=20或n=21时,S n 取最小值. 最小值为S 20=S 21=-315. (2)由a n =32n-632≤0,得n ≤21.所以当n ≤21时,T n =-S n =34(41n-n 2), 当n>21时,T n =-a 1-a 2-…-a 21+a 22+…+a n=S n -2S 21=34(n 2-41n )+630.★11设数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,a n=a aa+2(n-1)(n∈N+).(1)求数列{a n}的通项公式a n;(2)是否存在正整数n,使得a11+a22+…+a aa-(n-1)2=2 015?若存在,求出n的值;若不存在,说明理由.S n=na n-2(n-1)n.n≥2时,a n=S n-S n-1=na n-2(n-1)n-(n-1)·a n-1+2(n-2)(n-1).∴a n-a n-1=4.∴数列{a n}为a1=1,d=4的等差数列.∴a n=1+(n-1)4=4n-3.(2)由(1),得S n=n(4n-3)-2(n-1)n=(2n-1)n.∴a aa=2n-1.故a11+a22+…+a aa=n2,∴n2-(n-1)2=2015,解得n=1008.故存在n=1008满足题意.★12设数列{a n}的前n项和为S n,点(a,a aa)(n∈N+)均在函数y=3x-2的图象上, (1)求证:数列{a n}为等差数列;(2)T n是数列{3a a a a+1}的前n项和,求证:37≤T n<12.由题意得,a aa=3n-2,即S n=3n2-2n,当n≥2时,a n=S n-S n-1=(3n2-2n)-[3(n-1)2-2(n-1)]=6n-5;当n=1时,a1=S1=1.所以a n=6n-5(n∈N+).又a n-a n-1=6n-5-[6(n-1)-5]=6,故{a n}是等差数列.(2)由(1)知,设b n=3a a a a+1,则b n=3a a a a+1=3(6a-5)[6(a+1)-5]=1 2(16a-5-16a+1),故T n =12[(1-17)+(17-113)+…+(16a -5-16a +1)]=12(1-16a +1),又n ∈N +,所以0<16a +1≤17,故37≤T n <12.。
人教新课标B版必修5第二章数列数列求和之裂项相消法和错位相减法
解得dq＝ ＝28，或qd＝＝4－3056(舍去)， 故 an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝8n－1. (2)因为 Sn＝3＋5＋…＋(2n＋1)＝n(n＋2)， 所以S1n＝n（n1＋2）＝12n1－n＋1 2，
所
以
1 S1
＋
1 S2
＋
1 S3
＋
…
1 2×4
＋
1 3×5
数列求和之裂项相消法和错位相减法
1．基本求和公式 (1)等差数列前 n 项和 Sn＝n（a12＋an）＝na1＋n（n2－1）d. (2)等比数列前 n 项和 Sn＝a1（11－－qqn）（q≠1）.
na1（q＝1）
2．裂项求和基本等式 AK·B＝B－K AA1 －B1 . 3．错位相减基本等式 {an}是公差为 d 的等差数列，{bn}是公比为 q 的等比数列，则 {anbn}的前 n 项和 Sn＝a1b1＋a2b2＋…＋an－1bn－1＋anbn， qSn＝a1b2＋a2b3＋…＋an－2bn－1＋an－1bn＋anbnq， 则(1－q)Sn＝a1b1＋d(b2＋b3＋…＋bn)－anbnq ＝a1b1＋d·b2（11－－qqn－1）－anbnq(q≠1)．
n a1an＋1.
【对点通关】
1．(必修
5
P47B
组
T4
改编)数列n（n1＋1）
的前
n
项和为19090，
则 n 的值为( )
A．9
B．10
C．99
D．100
解析：选 C.由题意得1×1 2＋2×1 3＋3×1 4＋…＋n×（1n＋1）＝
11－21＋12－13＋13－41＋…＋n1－n＋1 1＝1－n＋1 1＝n＋n 1＝19090.
人教B版数学必修五：第2章《数列》章末检测学案(含答案解析)
第二章 章末检测(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a ＋b ＋cA.1 B ．2．等差数列{a n }满足a 24＋a 27＋2a 4a 7＝9，则其前10项之和为( ) A ．－9 B ．－15 C ．15 D ．±153．等比数列{a n }中，a 2，a 6是方程x 2－34x ＋64＝0的两根，则a 4等于( ) A ．8 B ．－8 C ．±8 D ．以上都不对4．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10∶S 5＝1∶2，则S 15∶S 5等于( ) A ．3∶4 B ．2∶3 C ．1∶2 D ．1∶35．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是( )A ．21B ．20C ．19D ．186．已知数列{a n }为等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1等于( )A ．16(1－4－n )B ．16(1－2n) C.323(1－4－n ) D.323(1－2－n ) 7．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 21＝42，记A ＝2a 211－a 9－a 13，则A 的值为( ) A ．2 B ．1 C ．16 D ．328．若{a n }是等比数列，其公比是q ，且－a 5，a 4，a 6成等差数列，则q 等于( ) A ．1或2 B ．1或－2 C ．－1或2 D ．－1或－29．已知等差数列{a n }的公差d ≠0且a 1，a 3，a 9成等比数列，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10等于( )A.1514B.1213C.1316D.151610．某纯净水厂在净化过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质的20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需过滤的次数为(lg 2≈0.301 0)( )A ．5B ．10C ．14D ．1511．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，则a n 等于( ) A ．2＋ln n B ．2＋(n －1)ln n C ．2＋n ln n D ．1＋n ＋ln n12．已知数列1，12，21，13，22，31，14，23，32，41，…，则56是数列中的( )A ．第48项B ．第49项C ．第50项D ．第51项二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知在等差数列{a n }中，首项为23，公差是整数，从第七项开始为负项，则公差为______．14．在83和272之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为________．15．数列{a n }中，S n 是其前n 项和，若a 1＝1，a n ＋1＝13S n (n ≥1)，则a n ＝____________.16．等差数列{a n }中，a 10<0，且a 11>|a 10|，S n 为数列{a n }的前n 项和，则使S n >0的n 的最小值为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知数列{log 2(a n －1)} (n ∈N *)为等差数列，且a 1＝3，a 3＝9. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n<1.18．(12分)设数列{a n }的前n 项的和为S n ＝43a n －13×2n ＋1＋23(n ＝1,2,3…)(1)求首项a 1与通项a n ；(2)设T n ＝2n S n (n ＝1,2,3，…)，证明：∑i ＝1n T i <32.(∑i ＝1nT i 表示求和)19．(12分)已知正项数列{b n }的前n 项和B n ＝14(b n ＋1)2，求{b n }的通项公式．20.(12分)某市2009年共有1万辆燃油型公交车．有关部门计划于2010年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问：(1)该市在2016年应该投入多少辆电力型公交车？(2)到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的13？21．(12分)设{a n }是等差数列，{b n }是各项都为正数的等比数列，且a 1＝b 1＝1，a 3＋b 5＝21，a 5＋b 3＝13.(1)求{a n }、{b n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 的前n 项和S n .22．(12分)在数列{a n }中，已知a 1＝－1，且a n ＋1＝2a n ＋3n －4 (n ∈N *)． (1)求证：数列{a n ＋1－a n ＋3}是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式；(3)求和：S n ＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n | (n ∈N *)．第二章 章末检测1．A [由题意知，a ＝12，b ＝516，c ＝316，故a ＋b ＋c ＝1.]2．D [a 24＋a 27＋2a 4a 7＝(a 4＋a 7)2＝9. ∴a 4＋a 7＝±3，∴a 1＋a 10＝±3，∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝±15.]3．A [a 2＋a 6＝34，a 2a 6＝64，∴a 24＝64，∵a 2>0，a 6>0，∴a 4＝a 2q 2>0，∴a 4＝8.] 4．A [显然等比数列{a n }的公比q ≠1，则由S 10S 5＝1－q 101－q 5＝1＋q 5＝12⇒q 5＝－12， 故S 15S 5＝1－q151－q 5＝1－(q 5)31－q 5＝1－⎝⎛⎭⎫－1231－⎝⎛⎭⎫－12＝34.] 5．B [∵(a 2－a 1)＋(a 4－a 3)＋(a 6－a 5)＝3d ， ∴99－105＝3d.∴d ＝－2.又∵a 1＋a 3＋a 5＝3a 1＋6d ＝105，∴a 1＝39.∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d2n ＝－n 2＋40n ＝－(n －20)2＋400. ∴当n ＝20时，S n 有最大值．]6．C [设{a n }的公比为q ，则q 3＝a 5a 2＝18.∴q ＝12，a 1＝4，∵{a n a n ＋1}也是等比数列且首项a 1a 2＝8，公比为q 2＝14，∴a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝8⎝⎛⎭⎫1－14n 1－14＝323(1－4－n )．]7．B [由S 21＝21(a 1＋a 21)2＝21a 11＝42，∴a 11＝2.∴a 211－(a 9＋a 13)＝a 211－2a 11＝0.∴A ＝2a 211－a 9－a 13＝20＝1.]8．C [依题意有2a 4＝a 6－a 5，即2a 4＝a 4q 2－a 4q ， 而a 4≠0，∴q 2－q －2＝0，(q －2)(q ＋1)＝0. ∴q ＝－1或q ＝2.]9．C [因为a 23＝a 1·a 9， 所以(a 1＋2d)2＝a 1·(a 1＋8d)．所以a 1＝d.所以a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10＝3a 1＋10d 3a 1＋13d ＝1316.]10．C [设原杂质数为1，各次过滤杂质数成等比数列，且a 1＝1，公比q ＝1－20%，∴a n ＋1＝(1－20%)n ，由题意可知：(1－20%)n <5%，即0.8n <0.05. 两边取对数得n lg 0.8<lg 0.05，∵lg 0.8<0，∴n>lg 0.05lg 0.8，即n>lg 5－2lg 8－1＝1－lg 2－23lg 2－1＝－lg 2－13lg 2－1≈－0.301 0－13×0.301 0－1≈13.41，取n ＝14.] 11．A [∵a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ， ∴a n ＋1－a n ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ＝ln n ＋1n＝ln (n ＋1)－ln n. 又a 1＝2，∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋[ln 2－ln 1＋ln 3－ln 2＋ln 4－ln 3＋…＋ln n －ln (n －1)]＝2＋ln n －ln 1＝2＋ln n ．]12．C [将数列分为第1组一个，第2组二个，…，第n 组n 个，即⎝⎛⎭⎫11，⎝⎛⎭⎫12，21，⎝⎛⎭⎫13，22，31，…，⎝⎛⎭⎫1n ，2n －1，…，n 1，则第n 组中每个数分子分母的和为n ＋1，则56为第10组中的第5个，其项数为(1＋2＋3＋…＋9)＋5＝50.]13．－4解析 由⎩⎪⎨⎪⎧a 6＝23＋5d ≥0a 7＝23＋6d<0，解得－235≤d<－236，∵d ∈Z ，∴d ＝－4. 14．216解析 设插入的三个数为a q ，a ，aq ，则由题意有83，a ，272也为等比数列，所以a 2＝83×272＝36，由于83，a ，272都处在奇数位上，所以同号，故a ＝6，从而aq·a ·aq ＝a 3＝216.15.⎩⎪⎨⎪⎧1， n ＝113·⎝⎛⎭⎫43n －2， n ≥2解析 a n ＋1＝13S n ，a n ＋2＝13S n ＋1，∴a n ＋2－a n ＋1＝13(S n ＋1－S n )＝13a n ＋1∴a n ＋2＝43a n ＋1 (n ≥1)．∵a 2＝13S 1＝13，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， n ＝113·⎝⎛⎭⎫43n －2， n ≥2.16．20解析 ∵S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19a 10<0；S 20＝20(a 1＋a 20)2＝10(a 10＋a 11)>0.∴当n ≤19时，S n <0；当n ≥20时，S n >0. 故使S n >0的n 的最小值是20.17．(1)解 设等差数列{log 2(a n －1)}的公差为d .由a 1＝3，a 3＝9，得log 2(9－1)＝log 2(3－1)＋2d ，则d ＝1.所以log 2(a n －1)＝1＋(n －1)×1＝n ，即a n ＝2n ＋1.(2)证明 因为1a n ＋1－a n ＝12n ＋1－2n ＝12n ，所以1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n ＝121＋122＋123＋…＋12n ＝12－12n ×121－12＝1－12n <1.18．解 (1)∵S n ＝43a n －13×2n ＋1＋23，n ＝1,2,3，…，①令n ＝1，得a 1＝S 1＝43a 1－13×4＋23，解得a 1＝2，n ≥2时，S n －1＝43a n －1－13×2n ＋23.②①－②得：a n ＝S n －S n －1＝43(a n －a n －1)－13×2n .∴a n ＝4a n －1＋2n ，a n ＋2n ＝4a n －1＋4×2n －1.∴{a n ＋2n }是首项为a 1＋2＝4，公比为4的等比数列．即a n ＋2n ＝4×4n －1＝4n ，b ＝1,2,3，…， ∴a n ＝4n －2n ，n ＝1,2,3，….证明 (2)将a n ＝4n －2n 代入①得：S n ＝43(4n －2n )－13×2n ＋1＋23＝13(2n ＋1－1)(2n ＋1－2)＝23(2n ＋1－1)(2n －1)， T n ＝2n S n ＝32×2n (2n ＋1－1)(2n －1)＝32⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1－1(n ＝1,2,3…)， ∴∑i ＝1nT i ＝32∑i ＝1n ⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1－1＝32×⎝⎛⎭⎫121－1－12n ＋1－1<32. 19．解 当n ＝1时，B 1＝b 1，∴b 1＝14(b 1＋1)2，解得b 1＝1.当n ≥2时，b n ＝B n －B n －1＝14(b n ＋1)2－14(b n －1＋1)2＝14(b 2n －b 2n －1＋2b n －2b n －1)， 整理得b 2n －b 2n －1－2b n －2b n －1＝0， ∴(b n ＋b n －1)(b n －b n －1－2)＝0. ∵b n ＋b n －1>0，∴b n －b n －1－2＝0.∴{b n }为首项b 1＝1，公差d ＝2的等差数列．∴b n ＝2(n －1)＋1＝2n －1，即{b n }的通项b n ＝2n －1.20．解 (1)由题意可知，该市逐年投入的电力型公交车数量组成一个等比数列，其中a 1＝128，q ＝1＋50%＝1.5，到2016年应为a 7，则到2016年该市应该投入的电力型公交车为a 7＝a 1·q 6＝128×1.56＝1 458(辆)．(2)设经过n 年电力型公交车数量开始超过该市公交车总量的13，记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，依题意有S n 10 000＋S n >13，即S n >5 000，∴S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝128(1－1.5n )1－1.5＝256(1.5n －1)>5 000，即1.5n >65732，解得n >7.5，故n ≥8.所以到2017年底，电力型公交车数量开始超过该市公交车总量的13.21．解 (1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则依题意有q >0且⎩⎪⎨⎪⎧1＋2d ＋q 4＝21，1＋4d ＋q 2＝13.解得d ＝2，q ＝2. 所以a n ＝1＋(n －1)d ＝2n －1，b n ＝q n －1＝2n －1. (2)a n b n ＝2n －12n －1. S n ＝1＋321＋522＋…＋2n －32n －2＋2n －12n －1，①2S n ＝2＋3＋52＋…＋2n －32n －3＋2n －12n －2.②②－①得S n ＝2＋2＋22＋222＋…＋22n －2－2n －12n －1＝2＋2×⎝⎛⎭⎫1＋12＋122＋…＋12n －2－2n －12n －1＝2＋2×1－12n －11－12－2n －12n －1＝6－2n ＋32n －1.22．(1)证明 令b n ＝a n ＋1－a n ＋3 ⇒b n ＋1＝a n ＋2－a n ＋1＋3＝2a n ＋1＋3(n ＋1)－4－2a n －3n ＋4＋3 ＝2(a n ＋1－a n ＋3)＝2b n .∴数列{b n }为公比为2的等比数列． (2)解 a 2＝2a 1－1＝－3，b 1＝a 2－a 1＋3＝1⇒b n ＝a n ＋1－a n ＋3＝2n －1⇒2a n ＋3n －4－a n ＋3＝2n －1⇒a n ＝2n －1－3n ＋1 (n ∈N ＋)．(3)解 设数列{a n }的前n 项和为T n ，T n ＝2n －1－n (2＋3n －1)2＝2n －1－n (3n ＋1)2，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，∵n ≤4时，a n <0，n >4时，a n >0，∴n ≤4时，S n ＝－T n ＝1＋n (3n ＋1)2－2n；n >4时，S n ＝T n －2T 4＝2n ＋21－n (3n ＋1)2.∴S n＝⎩⎨⎧1＋n (3n ＋1)2－2n (n ≤4)，2n＋21－n (3n ＋1)2(n >4).。
高中数学第二章数列2.2.1等差数列(第1课时)等差数列的概念及通项公式学案(含解析)新人教B版必修5
学习目标 1.理解等差数列的定义.2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.3.掌握等差中项的概念．知识点一 等差数列的概念一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示，可正可负可为零． 知识点二 等差中项的概念如果三个数x ，A ，y 组成等差数列，那么A 叫做x 与y 的等差中项，且A ＝x ＋y2.思考 下列所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列： (1)2,4；(2)－1,5；(3)0,0；(4)a ，b . 答案 插入的数分别为(1)3，(2)2，(3)0，(4)a ＋b2.知识点三 等差数列的通项公式若一个等差数列{a n }，首项是a 1，公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d .此公式可用叠加法证明．1．数列4,4,4，……是等差数列．( √ ) 2．数列3,2,1是等差数列．( √ )3．数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，n ＋1，n ≥2，则{a n }是等差数列．( × )4．等差数列{a n }中，a 1，n ，d ，a n 任给三个，可求其余．( √ )题型一 等差数列的概念例1 判断下列数列是不是等差数列？ (1)9,7,5,3，…，－2n ＋11，…； (2)－1,11,23,35，…，12n －13，…； (3)1,2,1,2，…； (4)1,2,4,6,8,10，…； (5)a ，a ，a ，a ，a ，….解 由等差数列的定义得(1)(2)(5)为等差数列，(3)(4)不是等差数列．反思感悟 判断一个数列是不是等差数列，就是判断从第二项起该数列的每一项减去它的前一项的差是否为同一个常数，但当数列项数较多或是无穷数列时，逐一验证显然不行，这时可以验证a n ＋1－a n (n ≥1，n ∈N ＋)是不是一个与n 无关的常数． 跟踪训练1 数列{a n }的通项公式a n ＝2n ＋5(n ∈N ＋)，则此数列( ) A ．是公差为2的等差数列 B ．是公差为5的等差数列 C ．是首项为5的等差数列 D ．是公差为n 的等差数列 答案 A解析 ∵a n ＋1－a n ＝2(n ＋1)＋5－(2n ＋5)＝2， ∴{a n }是公差为2的等差数列． 题型二 等差中项例2 在－1与7之间顺次插入三个数a ，b ，c ，使这五个数成等差数列，求此数列． 解 ∵－1，a ，b ，c ，7成等差数列， ∴b 是－1与7的等差中项， ∴b ＝－1＋72＝3.又a 是－1与3的等差中项，∴a ＝－1＋32＝1.又c 是3与7的等差中项，∴c ＝3＋72＝5.∴该数列为－1,1,3,5,7.反思感悟 在等差数列{a n }中，由定义有a n ＋1－a n ＝a n －a n －1(n ≥2，n ∈N ＋)，即a n ＝a n ＋1＋a n －12，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项． 跟踪训练2 若m 和2n 的等差中项为4,2m 和n 的等差中项为5，求m 和n 的等差中项． 解 由m 和2n 的等差中项为4，得m ＋2n ＝8. 又由2m 和n 的等差中项为5，得2m ＋n ＝10. 两式相加，得3m ＋3n ＝18，即m ＋n ＝6. 所以m 和n 的等差中项为m ＋n2＝3.题型三 等差数列通项公式的求法及应用 例3 在等差数列{a n }中，(1)若a 5＝15，a 17＝39，试判断91是否为此数列中的项． (2)若a 2＝11，a 8＝5，求a 10.解 (1)因为⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝15.a 1＋16d ＝39，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝7，d ＝2，所以a n ＝7＋2(n －1)＝2n ＋5. 令2n ＋5＝91，得n ＝43.因为43为正整数，所以91是此数列中的项．(2)设{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝11，a 1＋7d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，d ＝－1.∴a n ＝12＋(n －1)×(－1)＝13－n ， 所以a 10＝13－10＝3.反思感悟 根据已知量和未知量之间的关系，列出方程求解的思想方法，称为方程思想．等差数列{a n }中的每一项均可用a 1和d 表示，这里的a 1和d 就像构成物质的基本粒子，我们可以称为基本量．跟踪训练3 (1)求等差数列8,5,2，…的第20项；(2)判断－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项，如果是，是第几项？ 解 (1)由a 1＝8，a 2＝5，得d ＝a 2－a 1＝5－8＝－3， 由n ＝20，得a 20＝8＋(20－1)×(－3)＝－49.(2)由a 1＝－5，d ＝－9－(－5)＝－4，得这个数列的通项公式为a n ＝－5＋(n －1)×(－4)＝－4n －1.由题意，令－401＝－4n －1，得n ＝100， 即－401是这个数列的第100项．等差数列的判定与证明典例1 已知数列{a n }满足a n ＋1＝3a n ＋3n，且a 1＝1. (1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 3n 是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明 由a n ＋1＝3a n ＋3n，两边同时除以3n ＋1，得a n ＋13n ＋1＝a n 3n ＋13，即a n ＋13n ＋1－a n 3n ＝13. 由等差数列的定义知，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 3n 是以a 13＝13为首项，13为公差的等差数列．(2)解 由(1)知a n 3n ＝13＋(n －1)×13＝n3，故a n ＝n ·3n -1，n ∈N ＋.典例2 已知数列{a n }：a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋2(n ≥3)． (1)判断数列{a n }是否为等差数列？说明理由； (2)求{a n }的通项公式．解 (1)当n ≥3时，a n ＝a n －1＋2，即a n －a n －1＝2， 而a 2－a 1＝0不满足a n －a n －1＝2(n ≥3)， ∴{a n }不是等差数列．(2)当n ≥2时，a n 是等差数列，公差为2. 当n ≥2时，a n ＝1＋2(n －2)＝2n －3， 又a 1＝1不适合上式，∴{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －3，n ≥2.[素养评析] (1)证明一个数列是等差数列的基本方法：定义法，即证明a n －a n －1＝d (n ≥2，d 为常数)或a n ＋1－a n ＝d (d 为常数)，若证明一个数列不是等差数列，则只需举出反例即可．(2)证明一个数列是等差数列，主要的推理形式为演绎推理，通过学习，使学生形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质，培养学生的数学核心素养.1．下列数列不是等差数列的是( ) A ．1,1,1,1,1 B ．4,7,10,13,16 C.13，23，1，43，53 D ．－3，－2，－1,1,2答案 D2．已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n (n ∈N ＋)，则它的公差d 为( ) A ．2B ．3C ．－2D ．－3 答案 C解析 由等差数列的定义，得d ＝a 2－a 1＝－1－1＝－2.3．已知在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 成等差数列，则角B 等于( ) A ．30°B．60°C．90°D．120° 答案 B解析 因为A ，B ，C 成等差数列，所以B 是A ，C 的等差中项，则有A ＋C ＝2B ， 又因为A ＋B ＋C ＝180°， 所以3B ＝180°，从而B ＝60°.4．若数列{a n }满足3a n ＋1＝3a n ＋1，则数列{a n }是( ) A ．公差为1的等差数列 B ．公差为13的等差数列C ．公差为－13的等差数列D ．不是等差数列 答案 B解析 由3a n ＋1＝3a n ＋1，得3a n ＋1－3a n ＝1，即a n ＋1－a n ＝13.所以数列{a n }是公差为13的等差数列．5．已知等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，则它的项数是( ) A ．92B ．47C ．46D ．45 答案 C解析 d ＝－1－1＝－2，设－89为第n 项，则－89＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)·(－2)，∴n ＝46.1．判断一个数列是否为等差数列的常用方法 (1)a n ＋1－a n ＝d (d 为常数，n ∈N ＋)⇔{a n }是等差数列； (2)2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N ＋)⇔{a n }是等差数列；(3)a n ＝kn ＋b (k ，b 为常数，n ∈N ＋)⇔{a n }是等差数列． 但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．2．由等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 可以看出，只要知道首项a 1和公差d ，就可以求出通项公式，反过来，在a 1，d ，n ，a n 四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量.一、选择题1．设数列{a n }(n ∈N ＋)是公差为d 的等差数列，若a 2＝4，a 4＝6，则d 等于( ) A ．4B ．3C ．2D ．1 答案 D解析 ∵a 4－a 2＝2d ＝6－4＝2.∴d ＝1.2．已知等差数列－5，－2,1，…，则该数列的第20项为( ) A ．52B ．62C ．－62D ．－52 答案 A解析 公差d ＝－2－(－5)＝3，a 20＝a 1＋(20－1)d ＝－5＋19×3＝52. 3．在数列{a n }中，a 1＝2,2a n ＋1－2a n ＝1，则a 101的值为( ) A ．52B ．51C ．50D ．49 答案 A解析 因为2a n ＋1－2a n ＝1，a 1＝2，所以数列{a n }是首项a 1＝2，公差d ＝12的等差数列，所以a 101＝a 1＋100d ＝2＋100×12＝52.4．若5，x ，y ，z ，21成等差数列，则x ＋y ＋z 的值为( ) A ．26B ．29C ．39D ．52 答案 C解析 ∵5，x ，y ，z ，21成等差数列，∴y 既是5和21的等差中项也是x 和z 的等差中项． ∴5＋21＝2y ，∴y ＝13，x ＋z ＝2y ＝26， ∴x ＋y ＋z ＝39.5．已知在等差数列{a n }中，a 3＋a 8＝22，a 6＝7，则a 5等于( ) A ．15B ．22C ．7D ．29 答案 A解析 设{a n }的首项为a 1，公差为d ， 根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 8＝a 1＋2d ＋a 1＋7d ＝22，a 6＝a 1＋5d ＝7，解得a 1＝47，d ＝－8.所以a 5＝47＋(5－1)×(－8)＝15.6．等差数列20,17,14,11，…中第一个负数项是( ) A ．第7项 B ．第8项 C ．第9项 D ．第10项答案 B解析 ∵a 1＝20，d ＝－3，∴a n ＝20＋(n －1)×(－3)＝23－3n ， ∴a 7＝2＞0，a 8＝－1<0.故数列中第一个负数项是第8项．7．一个等差数列的前4项是a ，x ，b ，2x ，则a b等于( ) A.14B.12C.13D.23 答案 C解析 ∵b 是x,2x 的等差中项，∴b ＝x ＋2x 2＝3x2，又∵x 是a ，b 的等差中项，∴2x ＝a ＋b ，∴a ＝x 2，∴a b ＝13.8．在数列{a n }中，a 2＝2，a 6＝0，且数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1是等差数列，则a 4等于( ) A.12B.13C.14D.16 答案 A 解析 由题意可得2a 4＋1＝1a 2＋1＋1a 6＋1，解得a 4＝12，故选A. 二、填空题9．若一个等差数列的前三项为a,2a －1,3－a ，则这个数列的通项公式为__________________． 答案 a n ＝n4＋1，n ∈N ＋解析 ∵a ＋(3－a )＝2(2a －1)，∴a ＝54.∴这个等差数列的前三项依次为54，32，74，∴d ＝14，a n ＝54＋(n －1)×14＝n4＋1，n ∈N ＋.10．现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升． 答案6766解析 设此等差数列为{a n }，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1322，d ＝766，∴a 5＝a 1＋4d ＝1322＋4×766＝6766.11．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤83，3解析 设a n ＝－24＋(n －1)d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 9＝－24＋8d ≤0，a 10＝－24＋9d >0，解得83<d ≤3.三、解答题12．已知{a n }为等差数列，且a 3＝－6，a 6＝0，求{a n }的通项公式． 解 设数列{a n }的公差为d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝－6，a 1＋5d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－10，d ＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－10＋(n －1)×2＝2n －12. 13．已知数列{a n }满足a n ＋1＝6a n －4a n ＋2，且a 1＝3(n ∈N ＋)． (1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －2是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式． (1)证明 由1a n ＋1－2＝16a n －4a n ＋2－2＝a n ＋26a n －4－2a n ＋2＝a n ＋24a n －8＝a n －2＋44a n －2＝1a n －2＋14， 得1a n ＋1－2－1a n －2＝14，n ∈N ＋，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －2是等差数列． (2)解 由(1)知1a n －2＝1a 1－2＋(n －1)×14＝n ＋34， 所以a n ＝2n ＋10n ＋3，n ∈N ＋.14．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n －1－a n ＝a n a n －1(n ≥2，n ∈N ＋)，则a 10＝________. 答案110解析 易知a n ≠0，∵数列{a n }满足a n －1－a n ＝a n a n －1(n ≥2，n ∈N ＋)，∴1a n －1a n －1＝1(n ≥2，n ∈N ＋)，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，且公差为1，首项为1，∴1a 10＝1＋9＝10，∴a 10＝110.15．已知数列{a n }满足：a 1＝10，a 2＝5，a n －a n ＋2＝2(n ∈N ＋)，求数列{a n }的通项公式． 解 由a n －a n ＋2＝2知，{a n }的奇数项，偶数项 分别构成公差为－2的等差数列．当n ＝2k －1时，2k ＝n ＋1，a 2k －1＝a 1＋(k －1)·(－2)＝12－2k ， ∴a n ＝12－(n ＋1)＝11－n (n 为奇数)．当n ＝2k 时，a 2k ＝a 2＋(k －1)·(－2)＝5－2k ＋2＝7－2k . ∴a n ＝7－n (n 为偶数)．∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧7－n ，n 为偶数，11－n ，n 为奇数.。
「精品」高中数学 第2章 数列 2.3 等比数列 第2课时 等比数列的性质同步课件 新人教B版必修5-精品资料
方程时，可以据后三个成等比用a、q表示四个数，也可以据前
三个成等差，用a、d表示四个数，由于中间两数之积为16，将
中间两个数设为
a q
，aq这样既可使未知量减少，同时解方程也
较为方便．
(2)注意到中间两数的特殊地位，可设第三个数为x，则第
二个数为
16 x
，则第一个数为
32 x
－x，最后一个数为
x3 16
[解析] ∵a7＝a3q4，∴q4＝aa73＝2， ∴a11＝a7·q4＝6×2＝12.
6．(2015·北京文，16)已知等差数列{an}满足a1＋a2＝10， a4－a3＝2.
(1)求{an}的通项公式； (2)设等比数列{bn}满足b2＝a3，b3＝a7.问：b6与数列{an}的 第几项相等？
[解析] 由已知，可设这三个数为a－d，a，a＋d，则a－d ＋a＋a＋d＝6，∴a＝2，
这三个数可表示为2－d,2,2＋d， ①若2－d为等比中项，则有(2－d)2＝2(2＋d)，解之得d＝ 6，或d＝0(舍去)．此时三个数为－4,2,8. ②若2＋d是等比中项，则有(2＋d)2＝2(2－d)，解之得d＝ －6，或d＝0(舍去)．此时三个数为8,2，－4. ③若2为等比中项，则22＝(2＋d)·(2－d)， ∴d＝0(舍去)． 综上可知此三数为－4,2,8.
易错疑难辨析
三个正数能构成等比数列，它们的积是27，平 方和为91，则这三个数为________．
[错解] 1,3,9或－1,3，－9 设三数为aq，a，aq，则
aq·a·aq＝27
①
aq2＋a2＋a2q2＝91
②
由①得a＝3代入②中得q＝±3或q＝±13. ∴当q＝3时，三数为1,3,9；当q＝－3时，三数为－1，3， －9；当q＝13时三数为9,3,1；当q＝－13时，三数为－9,3，－1. 综上可知此三数为1,3,9或－1,3，－9.
最新高中数学第二章数列2.3.1第2课时等比数列的性质同步精选测试新人教B版必修5最新0711318
同步精选测试 等比数列性质(建议用时：45分钟)[基础测试]一、选择题1.等比数列{a n }的公比q ＝－14，a 1＝2，则数列{a n }是( )A.递增数列B.递减数列C.常数数列D.摆动数列【解析】 因为等比数列{a n }的公比为q ＝－14，a 1＝2，故a 2<0，a 3>0，…所以数列{a n }是摆动数列.【答案】 D2.对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( ) A.a 1，a 3，a 9成等比数列 B.a 2，a 3，a 6成等比数列 C.a 2，a 4，a 8成等比数列 D.a 3，a 6，a 9成等比数列【解析】 设等比数列的公比为q ，因为a 6a 3＝a 9a 6＝q 3，即a 26＝a 3a 9，所以a 3，a 6，a 9成等比数列.故选D.【答案】 D3.已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(a ∈N ＋)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A.－5B.－15C.5D.15【解析】 ∵log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1，∴a n ＋1＝3a n ， ∴数列{a n }是以3为公比的等比数列， ∴a 2＋a 4＋a 6＝a 2(1＋q 2＋q 4)＝9，∴a 5＋a 7＋a 9＝a 5(1＋q 2＋q 4)＝a 2q 3(1＋q 2＋q 4)＝35， ∴log 1335＝－5.【答案】 A4.在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，则成等比数列，则此未知数是( )A.3B.27C.3或27D.15或27【解析】 设此三数为3，a ，b ，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝3＋b ，a －62＝3b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝15，b ＝27.所以这个未知数为3或27. 【答案】 C5.已知等比数列{a n }满足a n ＞0，n ＝1,2,3，…，且a 5·a 2n －5＝22n(n ≥3)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝( )【导学号：18082097】A.n (2n －1)B.(n ＋1)2C.n 2D.(n －1)2【解析】 因为{a n }为等比数列，所以a 5·a 2n －5＝a 2n . 由a 5·a 2n －5＝22n(n ≥3)，得a 2n ＝22n.又因为a n ＞0，所以a n ＝2n，所以log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝1＋3＋…＋(2n －1)＝n 2，故选C.【答案】 C 二、填空题6.在等比数列{a n }中，a 3＝16，a 1a 2a 3…a 10＝265，则a 7等于________. 【解析】 ∵a 1a 2a 3…a 10＝(a 3a 8)5＝265， ∴a 3a 8＝213.∵a 3＝16＝24，∴a 8＝29＝512. 又∵a 8＝a 3q 5，∴q ＝2，∴a 7＝a 8q ＝5122＝256.【答案】 2567.在右列表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每纵列成等比数列，则x ＋y ＋z 的值为________.【解析】 ∵x 2＝24，∴x ＝1.∵第一行中的数成等差数列，首项为2，公差为1，故后两格中数字分别为5,6. 同理，第二行后两格中数字分别为2.5,3.∴y ＝5·⎝ ⎛⎭⎪⎫123，z ＝6·⎝ ⎛⎭⎪⎫124. ∴x ＋y ＋z ＝1＋5·⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋6·⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝3216＝2.【答案】 28.某单位某年十二月份的产值是同年一月份产值的m 倍，那么该单位此年的月平均增长率是________.【解析】 由题意可知，这一年中的每一个月的产值成等比数列，求月平均增长率只需利用a 12a 1＝m ，所以月平均增长率为11m －1. 【答案】11m －1三、解答题9.若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p >0，q >0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，求p ＋q 的值.【解】 不妨设a >b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝p >0，ab ＝q >0，∴a >0，b >0，又a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列.∴⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝－22，a －2＝2b ，①或⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝b －2，ab ＝4，②解①得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1，解②得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4，∴p ＝5，q ＝4，∴p ＋q ＝9.10.在等比数列{a n }中，a 4＝23，a 3＋a 5＝209.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的公比大于1，且b n ＝log 3a n2，求证：数列{b n }为等差数列，并求其前n项和S n .【导学号：18082098】【解】 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，则q ≠0，a 4q ＋a 4q ＝209.因为a 4＝23，所以1q ＋q ＝103，解得q ＝13或q ＝3.当q ＝13时，a 1＝18，所以a n ＝18×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n－1＝2×33－n；当q ＝3时，a 1＝281，所以a n ＝281×3n －1＝2×3n －5.(2)证明：由(1)及数列{a n }的公比大于1， 得q ＝3，a n ＝2×3n －5，所以b n ＝log 3a n2＝log 33n －5＝n －5，所以b n －b n －1＝1(常数). 又因为b 1＝log 3a 12＝－4，所以数列{b n }是首项为－4，公差为1的等差数列. 所以S n ＝n b 1＋b n2＝12n 2－92n . [能力提升]1.等比数列{a n }是递减数列，前n 项的积为T n ，若T 13＝4T 9，则a 8a 15＝( ) A.±2 B.±4 C.2 D.4 【解析】 ∵T 13＝4T 9. ∴a 1a 2…a 9a 10a 11a 12a 13＝4a 1a 2…a 9. ∴a 10a 11a 12a 13＝4.又∵a 10·a 13＝a 11·a 12＝a 8·a 15， ∴(a 8·a 15)2＝4.∴a 8a 15＝±2.又∵{a n }为递减数列，∴q >0.∴a 8a 15＝2. 【答案】 C2.公差不为零的等差数列{a n }中，2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝( )A.16B.14C.4D.49【解析】 ∵2a 3－a 27＋2a 11＝2(a 3＋a 11)－a 27＝4a 7－a 27＝0， ∵b 7＝a 7≠0，∴b 7＝a 7＝4. ∴b 6b 8＝b 27＝16. 【答案】 A3.设{a n }是公比为q 的等比数列，|q |>1，令b n ＝a n ＋1(n ＝1,2，…)，若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q ＝________.【解析】 由题意知，数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，说明{a n }有连续四项在集合{－54，－24,18,36,81}中，由于{a n }中连续四项至少有一项为负，∴q <0.又∵|q |>1，∴{a n }的连续四项为－24,36，－54,81. ∴q ＝36－24＝－32，∴6q ＝－9. 【答案】 －94.在等差数列{a n }中，公差 d ≠0，a 2是a 1与a 4的等比中项.已知数列a 1，a 3，ak 1，ak 2，…，ak n ，…成等比数列，求数列{k n }的通项k n .【解】 依题设得a n ＝a 1＋(n －1)d ，a 22＝a 1a 4， ∴(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，整理得d 2＝a 1d ， ∵d ≠0，∴d ＝a 1，得a n ＝nd .∴由已知得d,3d ，k 1d ，k 2d ，…，k n d ，…是等比数列.又d ≠0，∴数列1,3，k 1，k 2，…，k n ，…也是等比数列，首项为1，公比为q ＝31＝3，由此得k 1＝9.等比数列{k n }的首项k 1＝9，公比q ＝3，∴k n ＝9×q n －1＝3n ＋1(n ＝1,2,3，…)，即得到数列{k n }的通项为k n ＝3n ＋1.附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。
2016-2017学年高二数学人教B版必修5学案第2章《习题课数列求和》
习题课 数列求和[学习目标] 1.能由简单的递推公式求出数列的通项公式.2.掌握数列求和的几种基本方法．[预习导引] 1．基本求和公式(1)等差数列的前n 项和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d .(2)等比数列前n 项和公式：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q .2．数列{a n }的a n 与S n 的关系数列{a n }的前n 项和S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.3．拆项成差求和经常用到下列拆项公式 (1)1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1. (2)1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1)． (3)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .要点一 分组分解求和例1 求和：S n ＝(x ＋1x )2＋(x 2＋1x 2)2＋…＋(x n ＋1x n )2.解 当x ≠±1时，S n ＝(x ＋1x )2＋(x 2＋1x 2)2＋…＋(x n ＋1x n )2＝(x 2＋2＋1x 2)＋(x 4＋2＋1x 4)＋…＋(x 2n ＋2＋1x 2n )＝(x 2＋x 4＋…＋x 2n )＋2n ＋(1x 2＋1x 4＋…＋1x 2n )＝x 2(x 2n －1)x 2－1＋x －2(1－x －2n )1－x －2＋2n ＝(x 2n －1)(x 2n ＋2＋1)x 2n (x 2－1)＋2n ；当x ＝±1时，S n ＝4n .综上知，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4n ，x ＝±1，(x 2n－1)(x 2n ＋2＋1)x 2n (x 2－1)＋2n ，x ≠±1.规律方法 某些数列，通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，从而得出原数列的和．跟踪演练1 求数列{a n }：1,1＋a,1＋a ＋a 2，…，1＋a ＋a 2＋…＋a n －1，…的前n 项和S n (其中a ≠0)．解 当a ＝1时，则a n ＝n ，于是S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.当a ≠1时，a n ＝1－a n 1－a ＝11－a(1－a n )．∴S n ＝11－a [n －(a ＋a 2＋…＋a n)]＝11－a [n －a (1－a n )1－a ]＝n 1－a －a (1－a n )(1－a )2.∴S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n ＋1)2，a ＝1，n1－a －a (1－a n )(1－a )2，a ≠1.要点二 错位相减法求和例2 已知等差数列{a n }的前3项和为6，前8项和为－4. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(4－a n )q n －1(q ≠0，n ∈N ＋)，求数列{b n }的前n 项和S n .解 (1)设{a n }的公差为d ，则由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＋a 3＝6，a 1＋a 2＋…＋a 8＝－4，即⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝6，8a 1＋28d ＝－4，解得a 1＝3，d ＝－1，故a n ＝3－(n －1)＝4－n . (2)由(1)知，b n ＝n ·q n －1，于是S n ＝1·q 0＋2·q 1＋3·q 2＋…＋n ·q n －1，若q ≠1，上式两边同乘以q .qS n ＝1·q 1＋2·q 2＋…＋(n －1)·q n －1＋n ·q n ，两式相减得：(1－q )S n ＝1＋q 1＋q 2＋…＋q n －1－n ·q n＝1－q n1－q－n ·q n . ∴S n ＝1－q n (1－q )2－n ·q n 1－q ＝n ·q n ＋1－(n ＋1)q n ＋1(1－q )2.若q ＝1，则S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，∴S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n ＋1)2 (q ＝1)，nq n ＋1－(n ＋1)q n ＋1(1－q )2(q ≠1).规律方法 用错位相减法求和时，应注意：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式．若公比是个参数(字母)，则应先对参数加以讨论，一般情况下分等于1和不等于1两种情况分别求和．跟踪演练2 数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n (n ∈N ＋)． (1)求数列{a n }的通项a n ； (2)求数列{na n }的前n 项和T n .解 (1)∵a n ＋1＝2S n ，∴S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝2S n ， ∴S n ＋1＝3S n .又∵S 1＝a 1＝1，∴数列{S n }是首项为1，公比为3的等比数列．∴S n ＝3n －1(n ∈N ＋)．当n ≥2时，a n ＝2S n －1＝2·3n －2，且a 1＝1，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2·3n －2，n ≥2.(2)T n ＝a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ， 当n ＝1时，T 1＝1；当n ≥2时，T n ＝1＋4·30＋6·31＋…＋2n ·3n －2，① ∴3T n ＝3＋4·31＋6·32＋…＋2n ·3n －1，②①－②得－2T n ＝2＋2(31＋32＋…＋3n －2)－2n ·3n －1 ＝2＋2·3(1－3n －2)1－3－2n ·3n －1＝－1＋(1－2n )·3n －1，∴T n ＝12＋(n －12)3n －1(n ≥2)，又∵T 1＝a 1＝1也满足上式， ∴T n ＝12＋(n －12)3n －1(n ∈N ＋)．要点三 裂项相消求和例3 求和：122－1＋132－1＋142－1＋…＋1n 2－1，n ≥2.解 ∵1n 2－1＝1(n －1)(n ＋1)＝12(1n －1－1n ＋1)， ∴原式＝12[(1－13)＋(12－14)＋(13－15)＋…＋(1n －1－1n ＋1)]＝12(1＋12－1n －1n ＋1)＝34－2n ＋12n (n ＋1). 规律方法 如果数列的通项公式可转化为f (n ＋1)－f (n )的形式，常采用裂项求和法． 跟踪演练3 求和：1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋3＋…＋n .解 ∵a n ＝11＋2＋…＋n ＝2n (n ＋1)＝2(1n －1n ＋1)，∴S n ＝2(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1)＝2nn ＋1.要点四 奇偶并项求和例4 求和：S n ＝－1＋3－5＋7－…＋(－1)n (2n －1)．解 当n 为奇数时，S n ＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋(－9＋11)＋…＋[(－2n ＋5)＋(2n －3)]＋(－2n ＋1)＝2·n －12＋(－2n ＋1)＝－n .当n 为偶数时，S n ＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋[(－2n ＋3)＋(2n －1)]＝2·n2＝n .∴S n ＝(－1)n ·n (n ∈N ＋)．跟踪演练4 已知数列－1,4，－7,10，…，(－1)n ·(3n －2)，…，求其前n 项和S n . 解 n 为偶数时，令n ＝2k (k ∈N ＋)， S n ＝S 2k ＝－1＋4－7＋10＋…＋(－1)2k (6k －2) ＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－6k ＋5)＋(6k －2)] ＝3k ＝32n ；当n 为奇数时，令n ＝2k ＋1(k ∈N ＋)． S n ＝S 2k ＋1＝S 2k ＋a 2k ＋1＝3k －(6k ＋1)＝－3n ＋12.∴S n＝⎩⎨⎧－3n ＋12(n 为奇数)，3n2 (n 为偶数).1．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1n (n ＋1)，则S 5等于( )A ．1 B.56 C.16 D.130答案 B解析 ∵a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴S 5＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(15－16)＝1－16＝56.2．数列112，214，318，4116，…的前n 项和为( )A.12(n 2＋n ＋2)－12n B.12n (n ＋1)＋1－12n －1 C.12(n 2－n ＋2)－12n D.12n (n ＋1)＋2(1－12n ) 答案 A解析 112＋214＋318＋…＋(n ＋12n )＝(1＋2＋…＋n )＋(12＋14＋…＋12n )＝n (n ＋1)2＋12(1－12n )1－12＝12(n 2＋n )＋1－12n ＝12(n 2＋n ＋2)－12n .3．数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项的和为10，则项数为( ) A ．11B ．99C ．120D ．121 答案 C 解析 ∵a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，∴S n ＝n ＋1－1＝10，∴n ＝120.4．若数列{a n }的前n 项和为S n ＝23a n ＋13，则数列{a n }的通项公式是a n ＝________.答案 (－2)n －1解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝23a 1＋13，解得a 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(23a n ＋13)－(23a n －1＋13)＝23a n －23a n －1，整理可得13a n ＝－23a n －1，即a na n －1＝－2，故数列{a n }是以1为首项，－2为公比的等比数列， 故a n ＝(－2)n －1.求数列前n 项和，一般有下列几种方法．1．错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和． 2．分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．3．拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和．4．奇偶并项：当数列通项中出现(－1)n 或(－1)n ＋1时，常常需要对n 取值的奇偶性进行分类讨论．5．倒序相加：例如，等差数列前n 项和公式的推导方法．一、基础达标1．数列12·5，15·8，18·11，…，1(3n －1)·(3n ＋2)，…的前n 项和为( )A.n3n ＋2 B.n6n ＋4 C.3n 6n ＋4 D.n ＋1n ＋2答案 B解析 由数列通项公式，得1(3n －1)·(3n ＋2)＝13(13n －1－13n ＋2)，所以S n ＝13(12－15＋15－18＋18－111＋…＋13n －1－13n ＋2)＝13(12－13n ＋2)＝n6n ＋4.2．已知数列{a n }的通项a n ＝2n ＋1，由b n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a nn 所确定的数列{b n }的前n 项之和是( ) A ．n (n ＋2) B.12n (n ＋4) C.12n (n ＋5) D.12n (n ＋7) 答案 C解析 a 1＋a 2＋…＋a n ＝n2(2n ＋4)＝n 2＋2n .∴b n ＝n ＋2，∴b n 的前n 项和S n ＝n (n ＋5)2.3．在数列{a n }中，已知S n ＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n －1(4n －3)，则S 15＋S 22－S 31的值是( ) A ．13 B ．－76 C ．46 D ．76答案 B解析 S 15＝－4×7＋a 15＝－28＋57＝29，S 22＝－4×11＝－44，S 31＝－4×15＋a 31＝－4×15＋121＝61，S 15＋S 22－S 31＝29－44－61＝－76.故选B.4．已知等比数列{a n }的公比为q ，记b n ＝a m (n －1)＋1＋a m (n －1)＋2＋…＋a m (n －1)＋m ，c n ＝a m (n －1)＋1·a m (n－1)＋2·…·a m (n －1)＋m (m ，n ∈N ＋)，则以下结论一定正确的是( )A ．数列{b n }为等差数列，公差为q mB ．数列{b n }为等比数列，公比为q 2mC ．数列{c n }为等比数列，公比为qm 2D ．数列{c n }为等比数列，公比为qm m 答案 C解析 ∵b n ＝a m (n －1)(q ＋q 2＋…＋q m )，∴b n ＋1b n ＝a nm (q ＋q 2＋…＋q m )a m (n －1)(q ＋q 2＋…＋q m )＝a nm a m (n －1)＝q m (常数)． ∴{b n }是等比数列，公比为q m . 又∵c n ＝(a m (n －1))m q 1＋2＋…＋m＝(a m (n －1))m∴c n ＋1c n ＝(a mn a m (n －1))m＝(q m )m ＝(常数)． ∴{c n }是等比数列，公比为.5．若S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －1·n ，则S 50＝________.答案 －25解析 S 50＝1－2＋3－4＋…＋49－50＝(－1)×25＝－25. 6．数列11,103,1005,10007，…的前n 项和S n ＝________. 答案109(10n－1)＋n 2 解析 数列的通项公式a n ＝10n ＋(2n －1)．所以S n ＝(10＋1)＋(102＋3)＋…＋(10n ＋2n －1)＝(10＋102＋…＋10n )＋[1＋3＋…＋(2n －1)]＝10(1－10n )1－10＋n (1＋2n －1)2＝109(10n－1)＋n 2.7．已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的前n 项和为S n . (1)求a n 及S n ；(2)令b n ＝1a 2n －1(n ∈N ＋)，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)设等差数列{a n }公差为d .因为a 3＝7，a 5＋a 7＝26，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝7，2a 1＋10d ＝26，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝2.所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1， S n ＝3n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋2n .所以，a n ＝2n ＋1，S n ＝n 2＋2n .(2)由(1)知a n ＝2n ＋1，所以b n ＝1a 2n －1＝1(2n ＋1)2－1＝14·1n (n ＋1) ＝14(1n －1n ＋1)，所以T n ＝14(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1)＝14(1－1n ＋1)＝n4(n ＋1)， 即数列{b n }的前n 项和T n ＝n4(n ＋1).8．已知{a n }是首项为19，公差为－2的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和． (1)求通项a n 及S n ；(2)设{b n －a n }是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n }的通项公式及前n 项和T n . 解 (1)∵{a n }是首项为a 1＝19，公差为d ＝－2的等差数列，∴a n ＝19－2(n －1)＝21－2n ， S n ＝19n ＋12n (n －1)×(－2)＝20n －n 2.(2)由题意得b n －a n ＝3n －1，即b n ＝a n ＋3n －1，∴b n ＝3n －1－2n ＋21，T n ＝S n ＋(1＋3＋…＋3n －1)＝－n 2＋20n ＋3n －12.二、能力提升9．设{a n }是公差不为0的等差数列，a 1＝2且a 1，a 3，a 6成等比数列，则{a n }的前n 项和S n 等于( ) A.n 24＋7n 4 B.n 23＋5n 3 C.n 22＋3n 4 D ．n 2＋n答案 A解析 由题意设等差数列公差为d ，则a 1＝2，a 3＝2＋2d ，a 6＝2＋5d .又∵a 1，a 3，a 6成等比数列，∴a 23＝a 1a 6，即(2＋2d )2＝2(2＋5d )，整理得2d 2－d ＝0.∵d ≠0，∴d ＝12，∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n 24＋74n . 10．已知数列2008,2009,1，－2008，－2009，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后相邻两项之和，则这个数列的前2014项之和S 2014等于( ) A ．2008B ．2010C ．1D ． 0答案 B解析 由已知得a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)， ∴a n ＋1＝a n －a n －1.故数列的前8项依次为2008,2009,1，－2008，－2009，－1,2008,2009. 由此可知数列为周期数列，周期为6，且S 6＝0. ∵2014＝6×335＋4，∴S 2014＝S 4 ＝2008＋2009＋1＋(－2008)＝2010.11．在等比数列{a n }中，若a 1＝12，a 4＝－4，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝______.答案 2n －12解析 ∵{a n }为等比数列，且a 1＝12，a 4＝－4，∴q 3＝a 4a 1＝－8，∴q ＝－2，∴a n ＝12(－2)n －1，∴|a n |＝2n －2，∴|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝12(1－2n )1－2＝2n －12.12．设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＝3·22n －1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n .解 (1)由已知，当n ≥1时，a n ＋1＝[(a n ＋1－a n )＋(a n －a n －1)＋…＋(a 2－a 1)]＋a 1＝3(22n －1＋22n－3＋…＋2)＋2＝22(n＋1)－1.而a 1＝2，符合上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝22n －1. (2)由b n ＝na n ＝n ·22n－1知S n ＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n ·22n －1，① 从而22·S n ＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n ·22n ＋1.②①－②得(1－22)S n ＝2＋23＋25＋…＋22n －1－n ·22n ＋1， 即S n ＝19[(3n －1)22n ＋1＋2]．三、探究与创新13．已知数列{a n }的首项a 1＝5，前n 项和为S n ，且S n ＋1＝2S n ＋n ＋5，n ∈N ＋. (1)证明数列{a n ＋1}是等比数列； (2)求{a n }的通项公式以及S n .(1)证明 由已知S n ＋1＝2S n ＋n ＋5，n ∈N ＋，可得n ≥2时，S n ＝2S n －1＋n ＋4， 两式相减得S n ＋1－S n ＝2(S n －S n －1)＋1，即a n ＋1＝2a n ＋1，从而a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)， 当n ＝1时，S 2＝2S 1＋1＋5，所以a 2＋a 1＝2a 1＋6，又a 1＝5，所以a 2＝11，从而a 2＋1＝2(a 1＋1)， 故总有a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，n ∈N ＋，又a 1＝5，a 1＋1＝6≠0，则a n ＋1≠0，从而a n ＋1＋1a n ＋1＝2，所以数列{a n ＋1}是首项为6，公比为2的等比数列． (2)解 由(1)得a n ＋1＝6·2n －1，所以a n ＝6·2n －1－1，于是S n ＝6·(1－2n )1－2－n ＝6·2n －n －6.。
高中数学备课精选 第二章《数列 数列求和》复习教案 新人教B版必修5
高中数学备课精选第二章《数列数列求和》复习教案新人教B版必修5 一、等差数列与等比数列等差数列等比数列文字定义一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的是同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫等差数列的公差。
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的是同一个常数，那么这个数列就叫等比数列，这个常数叫等比数列的符号定义通项公式对应函数图像等差数列{}n a的通项公式是n的一次函数。
等比数列的通项公式类似于n的指数函数，即：nna cq=，其中1acq=分类递增数列：0d>递减数列：常数数列：递增数列：递减数列：摆动数列：常数数列：中项主要性质等和性：等差数列{}n a若m n p q+=+则推论：若2m n p+=则等积性：等比数列{}n a前n 项和nS==中间项求和公式：对应函数图像nS是关于n的一个的二次函数，即：2nS An Bn=+(0≠d)等比数列的前n项和公式是一个平移加振幅的n的指数函数，即：(1)nns cq c q=-≠其 它 性 质1、等差数列中连续m 项的和，组成的新数列是等差数列。
即： 232,,,m m m m m s s s s s --⋅⋅⋅等差，公差为2m d2、从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列。
如：14710,,,,a a a a ⋅⋅⋅（下标成等差的子数列 为 数列）3、{}{},n n a b 等差，则{}2n a ，{}21n a -，{}n ka b +，{}n n pa qb +是 数列。
4、在等差数列中，}S{nn 为等差数列1、等比数列中连续m 项的和，组成的新数列是 数列。
即：232,,,m m m m m s s s s s --⋅⋅⋅等比，公比为 。
2、从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等比数列。
如：14710,,,,a a a a ⋅⋅⋅（下标成等差的子数列 为 数列）3、{}{},n n a b 等比，则{}2n a ，{}21n a -，{}n ka ，}{}{},{nn n n n a b b a a k，是 数列。
高中数学 第二章 数列 数列求和教案2 新人教A版必修5-新人教A版高二必修5数学教案
数列求和一、教学目标：1．熟练掌握等差、等比数列的前n 项和公式． 2．掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法. 二、教学重点：裂项相消法、错位相减法．三、教学难点：确定数列的通项公式选择相应的求和方法，错位相减法. 四、教学过程： （一）考点知识点梳理1、数列求和的常用方法 (1)裂项相消法 形如⎭⎬⎫⎩⎨⎧)()(1n g n f 的数列求和，其中)(),(n g n f 是关于n 的一次函数.方法：裂项相消法，即把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．常见的拆项公式 (1)1nn ＋1＝1n －1n ＋1； (2)12n －12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1；(3)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .(2)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的．(3)倒序相加法如果一个数列{a n }的前n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和公式即是用此法推导的．辨 析 感 悟 (1)当n ≥2时，1n 2－1＝1n －1－1n ＋1.(×) (2)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n时只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得．(×)(3)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝44.5.(√)(4)(2014·某某调研改编)若S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －1·n ，则S 50＝－25.(√)[感悟·提升]两个防X 一是用裂项相消法求和时，注意裂项后的系数以及搞清未消去的项，如(1)． 二是含有字母的数列求和，常伴随着分类讨论，如(2)中a 需要分a ＝0，a ＝1，a ≠1且a ≠0三种情况求和，只有当a ≠1且a ≠0时可用错位相减法求和.（二）典例分析考点一 裂项相消法求和【例1】求和：)23)(13(11181851521+-+⨯+⨯+⨯=n n S n【例2】(2013·新课标全国Ⅰ卷)已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝0，S 5＝－5. (1)求{a n }的通项公式； (2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n －1a 2n ＋1的前n 项和．解 (1)设{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n n －12d .由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝0，5a 1＋10d ＝－5.解得a 1＝1，d ＝－1.故{a n }的通项公式为a n ＝2－n . (2)由(1)知1a 2n －1a 2n ＋1＝13－2n1－2n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3－12n －1，从而数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n －1a 2n ＋1的前n 项和为解：∵数列的通项公式为a n =1(3n-1) (3n+2) =13 (13n-1 -13n+2)∴S n =13 (12 -15 +15 -18 +18 -111 +…+13n-4-13n-1 +13n-1 -13n+2)=13 (12 -13n+2 )=16n+412⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－11＋11－13＋…＋12n －3－12n －1＝n1－2n . 规律方法 使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．注意：对裂项公式的分析，通俗地说，裂项，裂什么？裂通项。
高中数学 第二章 数列 2.1 数列同步导学案 新人教B版必修5
2．1数列课程要求了解数列的概念，体会数列是一种特殊函数，能根据数列的前几项写出简单数列的通项公式.类比函数理解数列的几种表示方法（列表、图象、通项公式等），能根据项数多少、数列的性质对数列分类.了解递推公式是给出数列的一种方法.掌握根据递推公式写出数列的前n 项的技巧.会利用一些简单的递推公式求出数列的通项. 基本概念1． 叫做数列， 叫做这个数列的项. 2． 就叫做这个数列的通项公式.3．数列可用图象来表示，在直角坐标系中，以 来表示一个数列，图象是一些 ，它们位于 .4．根椐数列的项数可以把数列分为 和 .根据数列中项与项的大小关系可以把数列分为 、 、 和 .5． 那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.6．若数列{}n a 的前n 项和记为n S ，即,321n n a a a a S ++++= 则 ⎪⎩⎪⎨⎧≥==).2(),1(n n a n概念深化1．数列的通项公式实际上是一个以正整数集+N 或它的有限子集{}n ,,2,1 为定义域的函数的表达式；2．如果知道了数列的通项公式，那么依次用 ,3,2,1去替代公式中的n 就可以求出这个数列的各项；同时，用数列的通项公式也可以判断某数是否是某数列中的一项，如果是的话，是第几项；3．像所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式. 如2的不足近似值，精确到 ,0001.0,001.0,01.0,1.0,1所构成的数列,4142.1,414.1,41.1,4.1,1就没有通项公式.4．有的数列的通项公式，在形式上不一定是唯一的，例如数列： ,1,1,1,1,1,1---它可以写成,)1(n n a -=也可以写成⎩⎨⎧-=.,1,,1为偶数为奇数n n a n还可以写成2)1(+-=n n a 等.这些通项公式，形式上虽然不同，但都表示同一个数列.5．有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前面几项归纳出的数列通项公式并不唯一.典例精析题型一 根据数列{}n a 的前几项，写出数列的通项公式. 例1 写出下列数列的一个通项公式： (1) ,33,17,9,5,3；（2） ,544,433,322,211；（3） ,777,,7777,777,77,7；（4）.,1337,1126,917,710,1,32 ---命题意图：寻求规律，写出通项公式.方法提升：用观察归纳法写出数列的一个通项公式，体现了由特殊到一般的思维规律，观察、分析问题的特点是最重要的，观察要有目的，要能观察出特点，观察出项与项之间的关系、规律.这类问题就是要观察各项与对应的项数之间的联系，利用我们熟知的一些基本数列（如自然数数列、奇偶数列、自然数列的前n 项和数列、自然数的平方数列、简单的指数数列……），建立合理的联想，转换而达到问题的解决.一题一练 分别写出下列数列的一个通项公式，数列的前4项已给出. （1）;,515,414,313,2122222 ----（2）;,201,121,61,21 --（3）;9999.0,999.0,99.0,9.0 （4）.,4,5,4,5题型二 数列通项公式的简单应用 例2 已知有穷数列 ,2625,1716,109,54（1）指出这个数列的一个通项公式；（2）判定0.98是不是这个数列中的项？若是，是第几项？ 命题意图：考察对通项公式的理解及应用 方法提升(1)本题中极容易错误地认为122+n n 是数列的通项公式，为避免这样的错误，可验证你所写通项公式是否适合数列的前几项.（2）要判断一个数是否为该数列中的项，可由通项等于这数解出n ，根据n 是否为正整数便可确写这个数是否为数列中的项，也就是说，判定某一数是否是数列中的某一项，其实质就是看方程是否有正整数解.一题一练 已知数列{}n a 的通项公式n n q a =，且.7224=-a a（1）求实数q 的值；（2）判断81-是否为此数列的某一项.题型三 已知n S 求n a例3 已知数列{}n a 的前n 项和n S ，求数列{}n a 的通项公式. （1）;12-=n n S （2）.322++=n n S n命题意图 本题为通过n S 求n a ，因为n n a a a S +++= 21，所以n S 与n a 有关系⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n nn 可求得.n a 解 (1)由,12-=n n S 当1=n 时，;112111=-==S a 当2≥n 时， )12(1211---=-=--n n n n n S S a.22211--=-=n n n当1=n 时也适合,12111==-a 所以.21-=n n a（2）由,322++=n n S n 当1=n 时，.611==S a当2≥n 时，[].143)1()1(2)32(221-=+-+--++=-=-n n n n n S S a n n n.)2(14)1(6⎩⎨⎧≥-==∴n n n a n方法提升由n S 求n a 时，当1a 不符合1--=n n n S S a 表达式时，通项公式要分段表示. 即⎩⎨⎧≥==2)(11n n f n a a n 的形式.一题一练（1）已知数列{}n a 的前n 项和n n S n 322-=，求数列通项公式； (2)已知数列⎣⎦n a 的前n 项和35-=n n S ，求数列通项公式题型四 数列的递推公式例4 已知数列{}n a 分别满足下列条件，写出它的前五项，并归纳出各数列的一个通项公式.(1));12(,011-+==+n a a a n n (2).22,111+==+n nn a a a a 命题意图 此数列是用递推公式给出的，已知1a 就可递推出,,2 a 依此类推，可求出它的任一项.再根据前5项归纳猜想n a 的一个通项公式.方法提升由递推公式，求出数列前5项，再归纳出通项公式，猜想不一定正确，还需严格证明(今后学到)，也可以直接求出.巩固练习 一、选择题1.下列说法不正确的是( )A. 数列可以用图像来表示B. 数列的通项公式不唯一C. 数列的项不能相等D. 数列可以用一群狐立的点表示2.已知数列{}n a 的通项公式为n a n 225-=，下列各数中，不是{}n a 的项的是( )A. 1B. -1C. 2D. 3 3.设数列,,11,22,5,2 则52是这个数列的( )A. 第六项B. 第七项C. 第八项D. 第九项4.无穷数列 1,3,6,10,的通项公式为( )A. 12+-=n n a nB. 12-+=n n a nC. 22nn a n +=D. 22nn a n -=5.数列{}n a ，其中,,6,31221n n n a a a a a -===++，那么这个数列的第五项为（ ）A. 6B. -3C. -12D. -6二、填空题6.数列{}n a 中，)2(,211≥+==-n n a a a n n ，则=10a .7.在数列 ,55,34,,13,8,5,3,2,1,1x 中，x 的值 .8.已知数列{}n a 通项公式*)(1242N n n n a n ∈--=，则:(1)这个数列的第四项是 ；(2)65是这个数列的第 项； (3)这个数列从第 项起各项为正数. 三、解答题9.写出下列数列的一个通项公式 (1);,811,271,91,31,1 --(2);,0,3,0,3 (3),1716,109,54,21-- (4);,7777.0,777.0,77.0,7.010.在数列{}n a 中，.66,2171==a a 通项公式n a 是项数n 的一次函数. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)88是否是数列{}n a 中的项.11.已知数列{}n a 的前n 项和)(242*∈+-=N n n n S n .(1)求{}n a 的通项公式； (2)当n 为何值时， n S 达到最大?最大值是多少?12.设数列{}n a 的通项公式为)(2+∈+=N n kn n a n ，若数列{}n a 是单调递增数列，求实数k 的取值范围.锁定高考已知数列{}n a 的前几项和n n S n 92-=，则其通项=n a ；若它的第k 项满足85<<k a ，则k = .。
高中数学新人教B版必修5课件：第二章数列2.2习题课——等差数列习题课
得 Sn-Sn-1+2SnSn-1=0.即
1
1
1
-1
−
1
+2=0,
∴ − =2.
∴数列
-1
1
是公差为 2 的等差数列.
1
1
2
1
又 S1=a1= ,∴ =2.
1
1
∴ =2+(n-1)×2=2n,Sn=2 ,
1
1
-1
∴当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2 − 2(-1) = 2(-1).
+
当 p+q 为偶数时,n=
,Sn 最大;
2
+-1
++1
2
2
当 p+q 为奇数时,n=
或 n=
,Sn 最大.
②若a1<0,且Sp=Sq(p≠q),则
+
当 p+q 为偶数时,n=
,Sn 最小;
当 p+q 为奇数时,n=
或 n=
2
+-1
++1
2
2
,Sn 最小.
目标导航
题型一
4
(+2)
1
2
1
d=3n+
2
1
(-1)
1
1 1
2
1 1
-
2 4
1
1
-
4(+1)(+2)
.
+2
2
,
+…+
2 +1 +2
2+3
2(+1)(+2)
高中数学 第二章 数列 2.3.1 等比数列(二)课件 新人教
由条件得a－d＋a＋a d2＝16， a＋a＋d＝12，
a＝4， a＝9，
解得
或
d＝4
d＝－6.
2.3.1 等比数列(二)
12
预课当所习堂以导讲检，学义测当a＝4，d＝4时，所求栏四目个索数引为0,4,8,16； 挑重当战点堂自难训我点练，点个体点个验落击成实破功 CONTENTS PAGE
2.3.1 等比数列(二)
4
预课当[预习堂习导讲检学义测导引]
栏目索引
CONTENTS PAGE
1.等比数列的第二通项公式
挑重当战点堂自难训我点练，点个体点个验落击成实破功
等比数列的通项公式为：an＝ a1qn－1 ，推广形式为：an＝am·_q_n_－_m_
(n，m∈N＋).
2.等比数列的性质
(1)如果m＋n＝k＋l，则有 am·an＝ak·al .
2.3.1 等比数列(二)
6
预课当习堂导讲检学义测
栏目索引
要点一 等比数列性质的应CON用TENTS PAGE
挑重当战点堂自难训我点练，点个体点个验落击成实破功
例1 已知数列{an}为等比数列. (1)若an>0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，求a3＋a5的值； 解 ∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36， ∴a23＋2a3a5＋a25＝36， ∴(a3＋a5)2＝36，又∵an>0，∴a3＋a5＝6.
1.灵活应用等比数列的定义及通项公式.
2.熟悉等比数列的有关性质.
3.系统了解判断成等比数列的方法.
2.3.1 等比数列(二)
2
预课当习堂导讲检学义测
栏目索引
高中数学 第二章 数列习题课教案 新人教B版必修5-新人教B版高二必修5数学教案
7
板书设 计
数列
学习目标： 例题： 练习：
8
课 后反 思
本节课，重点在于对数列通项公式的理解与应用上，唯一干扰学生思绪的地方在于函数的概念和性质的应用上；所以只有充分的理解了函数，才能真正明确通项公式的意义。
数列
课题
数列
课时
第二课时
课型
习题
教学
重点
1、数列的概念
2、数列通项公式的内容、含义、应用
依据：2018年高考大纲分析；
《优化学案》点播。
教学
难点
1、求数列的通项公式
2、利用通项公式，研究该数列的性质
依据：教材、教参和教辅
自主
学习
目标
一、知识目标：
1.能够用自己是语言描述出数列、数列的项、数列的首项、通项、项数的概念；
1、巡视学生完成情况，让学生更准确的认识计算（化简）的方法。
2、抽查记忆ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ况。
1、独立完成练习册习题。
2、归纳出计算（化简）的方法。
。
通过具体例题，总结出计算（化简）的方法。
10分钟
思考1：数列通项公式的含义和谁密不可分?
思考2：研究数列的项，本质是在研究什么？
思考3：面对一个数列，最在意的应该是什么？
思考4：如何利用通项看其单调性？
1、巡视学生的完成情况。
2、对学生的展示和评价要给予及时的反馈。
3.要对学生不同的解题过程和答案给出准确的评价，总结。
1、学生先独立完成教辅习题，然后以小组为单位统一答案。
2、小组讨论并展示自己组所写的答案。
3、其他组给予评价（主要是找错，纠错）
在具体问题中，探索、挖掘内在规律、发现数学的本质。
高中数学人教B版必修五教案：2.2数列求和习题课
2018—2019学年度第一学期渤海高中高二数学教案主备人：使用人：时间：2018年9月21日课题数列求和课时第二课时课型习题课教学重点1、分组求和法2、错位相减求和法依据：高考大纲分析；参考：《教师教学用书》教学难点错位相减法求和依据：考纲分析自主学习目标一、知识目标1、牢记分组求和法和错位相减求和法的适用范围2、会用以上两种方法求和二、能力目标在错位相减法求和过程中增强学生计算能力理由：本课的重难点教具投影仪、教材、教辅教学环节教学内容教师行为学生行为设计意图时间1.课前3分钟已知{a n}是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，数列{b n}满足b1＝4，b4＝20，且{b n－a n}为等比数列.(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式；(2)求数列{b n}的前n项和.检查，评价互查掌握情况1、检验学生预习情况2、明确本节课学习目标，准备学习。
3分钟差为d，前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为q，已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100.(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(2)当d>1时，记c n＝a n}的前n b n，求数列{c n项和T n.4、设数列{a n}的前n项和为S n.已知2S n＝3n＋3.(1)求{a n}的通项公式；(2)若数列{b n}满足a nb n＝log3a n，求{b n}的前n项和T n.5、设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝1，a2＝3S n－S n＋1＝2，且a n＋2＋3,n∈N*.(1)证明：a n＋2＝3a n；(2)求S n.6、已知{a n}是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，数列{b n}满足b1＝4，b4＝20，且{b n－a n}为等比数列.(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式；(2)求数列{b n}的前n项和.4．总结提升1、知识点2、解题方法及注意事项教师提问，教师点评或引导学生发言，相互补充知识回顾，让学生对本节新课有一个整体的认识。
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修5 本章小结》71
《数列求和》教学设计辽宁省本溪市高级中学施洋一、学情分析：学生在前一阶段的学习中已经基本掌握了等差、等比数列这两类最基本的数列的定义、通项公式、求和公式，同时也掌握了与等差、等比数列相关的综合问题的一般解决方法。
本节课作为一节专题探究课，将会根据已知数列的特点选择适当的方法求出数列的前n项和，从而培养学生观察、分析、归纳、猜想的能力、逻辑思维能力以及演绎推理的能力。
二、教法设计：本节课设计的指导思想是：讲究效率，加强变式训练、合作学习。
采用以问题情景为切入点，引导学生进行探索、讨论，注重分析、启发、反馈。
先引出相应的知识点，然后剖析需要解决的问题，在例题及变式中巩固相应方法，再从讨论、反馈中深化对问题和方法的理解，从而较好地完成知识的建构，更好地锻炼学生探索和解决问题的能力。
在教学过程中采取如下方法：①诱导思维法：使学生对知识进行主动建构，有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性；②分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性；③讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。
三、教学设计：1、教材的地位与作用：对数列求和的考查是近几年高考的热点内容之一，属于高考命题中常考的内容；另一个面，数学思想方法的考查在高考中逐年加大了它的份量。
化归与转化思想是本课时的重点数学思想方法，化归思想就是把不熟悉的问题转化成熟悉问题的数学思想，即把数学中待解决或未解决的问题，通过观察、分析、联想、类比等思维过程，选择恰当的方法进行变换、转化，归结到某个或某些已经解决或比较容易解决的问题上，最终解决原问题的一种数学思想方法；化归思想是解决数学问题的基本思想，解题的过程实际上就是转化的过程。
因此，研究由递推公式求数列通项公式中的数学思想方法是很有必要的。
2、教学重点、难点：教学重点：根据数列通项求数列的前n项，本节课重点学习并项分组求和与裂项法求和。
教学难点：解题过程中方法的正确选择。
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习题课 数列求和[学习目标] 1.能由简单的递推公式求出数列的通项公式.2.掌握数列求和的几种基本方法．[预习导引] 1．基本求和公式(1)等差数列的前n 项和公式：S n ＝n a 1＋a n2＝na 1＋n n －12d .(2)等比数列前n 项和公式：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 11－q n 1－q ＝a 1－a n q1－q.2．数列{a n }的a n 与S n 的关系数列{a n }的前n 项和S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.3．拆项成差求和经常用到下列拆项公式 (1)1nn ＋1＝1n －1n ＋1. (2)12n －12n ＋1＝12(12n －1－12n ＋1)．(3)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .要点一 分组分解求和例1 求和：S n ＝(x ＋1x )2＋(x 2＋1x 2)2＋…＋(x n＋1xn )2.解 当x ≠±1时，S n ＝(x ＋1x )2＋(x 2＋1x 2)2＋…＋(x n＋1xn )2＝(x 2＋2＋1x 2)＋(x 4＋2＋1x 4)＋…＋(x 2n＋2＋1x2n )＝(x 2＋x 4＋…＋x 2n)＋2n ＋(1x 2＋1x 4＋…＋1x2n )＝x 2x 2n －1x 2－1＋x －21－x －2n 1－x－2＋2n＝x 2n －1x 2n ＋2＋1x 2n x 2－1＋2n ；当x ＝±1时，S n ＝4n .综上知，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4n ，x ＝±1，x 2n－1x 2n ＋2＋1x 2n x 2－1＋2n ，x ≠±1.规律方法 某些数列，通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，从而得出原数列的和． 跟踪演练1 求数列{a n }：1,1＋a,1＋a ＋a 2，…，1＋a ＋a 2＋…＋a n －1，…的前n 项和S n (其中a ≠0)．解 当a ＝1时，则a n ＝n ，于是S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12.当a ≠1时，a n ＝1－a n1－a ＝11－a(1－a n)．∴S n ＝11－a [n －(a ＋a 2＋…＋a n)]＝11－a [n －a 1－a n1－a]＝n1－a －a 1－a n1－a2. ∴S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n n ＋12，a ＝1，n 1－a－a1－an 1－a2，a ≠1.要点二 错位相减法求和例2 已知等差数列{a n }的前3项和为6，前8项和为－4. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝(4－a n )qn －1(q ≠0，n ∈N ＋)，求数列{b n }的前n 项和S n .解 (1)设{a n }的公差为d ，则由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝6，a 1＋a 2＋…＋a 8＝－4，即⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝6，8a 1＋28d ＝－4，解得a 1＝3，d ＝－1，故a n ＝3－(n －1)＝4－n . (2)由(1)知，b n ＝n ·qn －1，于是S n ＝1·q 0＋2·q 1＋3·q 2＋…＋n ·q n －1，若q ≠1，上式两边同乘以q .qS n ＝1·q 1＋2·q 2＋…＋(n －1)·q n －1＋n ·q n ，两式相减得：(1－q )S n ＝1＋q 1＋q 2＋…＋q n －1－n ·q n＝1－q n1－q －n ·q n. ∴S n ＝1－qn1－q2－n ·q n 1－q ＝n ·q n ＋1－n ＋1q n ＋11－q2.若q ＝1，则S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12，∴S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n n ＋12 q ＝1，nq n ＋1－n ＋1q n ＋11－q2q ≠1.规律方法 用错位相减法求和时，应注意：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式．若公比是个参数(字母)，则应先对参数加以讨论，一般情况下分等于1和不等于1两种情况分别求和．跟踪演练2 数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n (n ∈N ＋)． (1)求数列{a n }的通项a n ； (2)求数列{na n }的前n 项和T n .解 (1)∵a n ＋1＝2S n ，∴S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝2S n ， ∴S n ＋1＝3S n .又∵S 1＝a 1＝1，∴数列{S n }是首项为1，公比为3的等比数列．∴S n ＝3n －1(n ∈N ＋)．当n ≥2时，a n ＝2S n －1＝2·3n －2，且a 1＝1，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2·3n －2，n ≥2.(2)T n ＝a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ， 当n ＝1时，T 1＝1；当n ≥2时，T n ＝1＋4·30＋6·31＋…＋2n ·3n －2， ① ∴3T n ＝3＋4·31＋6·32＋…＋2n ·3n －1，②①－②得－2T n ＝2＋2(31＋32＋…＋3n －2)－2n ·3n －1＝2＋2·31－3n －21－3－2n ·3n －1＝－1＋(1－2n )·3n －1，∴T n ＝12＋(n －12)3n －1(n ≥2)，又∵T 1＝a 1＝1也满足上式， ∴T n ＝12＋(n －12)3n －1(n ∈N ＋)．要点三 裂项相消求和例3 求和：122－1＋132－1＋142－1＋…＋1n 2－1，n ≥2.解 ∵1n 2－1＝1n －1n ＋1＝12(1n －1－1n ＋1)， ∴原式＝12[(1－13)＋(12－14)＋(13－15)＋…＋(1n －1－1n ＋1)]＝12(1＋12－1n －1n ＋1)＝34－2n ＋12n n ＋1. 规律方法 如果数列的通项公式可转化为f (n ＋1)－f (n )的形式，常采用裂项求和法． 跟踪演练3 求和：1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋3＋…＋n .解 ∵a n ＝11＋2＋…＋n ＝2nn ＋1＝2(1n －1n ＋1)， ∴S n ＝2(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1)＝2nn ＋1.要点四 奇偶并项求和例4 求和：S n ＝－1＋3－5＋7－…＋(－1)n(2n －1)．解 当n 为奇数时，S n ＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋(－9＋11)＋…＋[(－2n ＋5)＋(2n －3)]＋(－2n ＋1) ＝2·n －12＋(－2n ＋1)＝－n .当n 为偶数时，S n ＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋[(－2n ＋3)＋(2n －1)]＝2·n2＝n .∴S n ＝(－1)n·n (n ∈N ＋)．跟踪演练4 已知数列－1,4，－7,10，…，(－1)n·(3n －2)，…，求其前n 项和S n . 解 n 为偶数时，令n ＝2k (k ∈N ＋)，S n ＝S 2k ＝－1＋4－7＋10＋…＋(－1)2k (6k －2)＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－6k ＋5)＋(6k －2)] ＝3k ＝32n ；当n 为奇数时，令n ＝2k ＋1(k ∈N ＋)．S n ＝S 2k ＋1＝S 2k ＋a 2k ＋1＝3k －(6k ＋1)＝－3n ＋12. ∴S n＝⎩⎪⎨⎪⎧－3n ＋12n 为奇数，3n2 n 为偶数.1．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1n n ＋1，则S 5等于( )A ．1 B.56 C.16 D.130答案 B 解析 ∵a n ＝1nn ＋1＝1n －1n ＋1， ∴S 5＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(15－16)＝1－16＝56.2．数列112，214，318，4116，…的前n 项和为( )A.12(n 2＋n ＋2)－12n B.12n (n ＋1)＋1－12n －1 C.12(n 2－n ＋2)－12n D.12n (n ＋1)＋2(1－12n ) 答案 A解析 112＋214＋318＋…＋(n ＋12n )＝(1＋2＋…＋n )＋(12＋14＋…＋12n )＝n n ＋12＋121－12n 1－12＝12(n 2＋n )＋1－12n ＝12(n 2＋n ＋2)－12n . 3．数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项的和为10，则项数为( )A ．11B ．99C ．120D ．121 答案 C 解析 ∵a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，∴S n ＝n ＋1－1＝10，∴n ＝120.4．若数列{a n }的前n 项和为S n ＝23a n ＋13，则数列{a n }的通项公式是a n ＝________.答案 (－2)n －1解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝23a 1＋13，解得a 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(23a n ＋13)－(23a n －1＋13)＝23a n －23a n －1，整理可得13a n ＝－23a n －1，即a na n －1＝－2，故数列{a n}是以1为首项，－2为公比的等比数列，故a n＝(－2)n－1.求数列前n项和，一般有下列几种方法．1．错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．2．分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．3．拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和．4．奇偶并项：当数列通项中出现(－1)n或(－1)n＋1时，常常需要对n取值的奇偶性进行分类讨论．5．倒序相加：例如，等差数列前n项和公式的推导方法．。