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(word完整版)中考数学压轴题破解策略专题9《费马点》

专题9《费马点》

破解策略

费马点是指平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，这个最小的距离叫做费马距离．

若三角形的内角均小于120°,那么三角形的费马点与各顶点的连线三等分费马点所在的周角；若三角形内有一个内角大于等于120°，则此钝角的顶点就是到三个顶点距离之和最小的点．

1.若三角形有一个内角大于等于120°,则此钝角的顶点即为该三角形的费马点

如图在△ABC中,∠BAC≥120°，求证：点A为△ABC的费马点

证明：

如图，在△ABC内有一点P延长BA至C，使得AC＝AC，作∠CAP＝∠CAP，并且使得AP＝AP，连结PP 则△APC≌△APC,PC＝PC

因为∠BAC≥120°

所以∠PAP＝∠CAC≤60

所以在等腰△PAP中,AP≥PP

所以PA＋PB＋PC≥PP＋PB＋PC＞BC＝AB＋AC

所以点A为△ABC的费马点

2.若三角形的内角均小于120°，则以三角形的任意两边向外作等边三角形，两个等边三角形外接圆在三角形内的交点即为该三角形的费马点．

如图，在△ABC中三个内角均小于120°，分别以AB、AC为边向外作等边三角形,两个等边三角形的外接圆在△ABC内的交点为O，求证：点O为△ABC的费马点

证明：在△ABC内部任意取一点O，；连接OA、OB、OC

将△AOC绕着点A逆时针旋转60°,得到△AO′D连接OO′则O′D＝OC

所以△AOO′为等边三角形，OO′＝AO

所以OA＋OC＋OB＝OO′＋OB＋O′D

则当点B、O、O′、D四点共线时，OA＋OB＋OC最小

此时ABAC为边向外作等边三角形，两个等边三角形的外接圆在△ABC内的交点即为点O

费马点_精品文档

费马点

简介

费马点（Fermat Point）是一个在三角形内部的特殊点，以法国数学家皮埃尔·德·费马（Pierre de Fermat）的名字命名。费马点有很多有趣的性质和应用，被

广泛研究和探索。

费马点是指在三角形内，到三个顶点的距离之和最小的点。具体地说，对于一

个给定的三角形ABC，它的费马点F满足以下两个条件：- 从F到三个顶点A、B、C的距离之和最小； - 在角A、B、C所代表的扇形内，F所在的扇形的角度之和最小。

费马点在三角形内的位置可能会有三种不同的情况：内部费马点、外部费马点

和退化费马点。

内部费马点

内部费马点是指在三角形内部的费马点。在一个普通的三角形中，内部费马点

F的位置是唯一确定的。内部费马点是一个各边角度之和最小的点，也就是在给定的三角形内，到三个顶点的距离之和最小的点。

寻找内部费马点的方法有多种，其中较为常用的是通过构造费马三角形来找到

内部费马点。费马三角形是一个与给定三角形的三边共线的三角形，该三角形的顶点就是内部费马点。

外部费马点

外部费马点是指在三角形外部的费马点。在一个锐角三角形中，外部费马点的

位置是唯一确定的。外部费马点和内部费马点的性质类似，也是一个各边角度之和最小的点，但是它位于三角形外部。

与内部费马点不同的是，寻找外部费马点的方法需要通过构造两个辅助三角形，即外费马三角形和反费马三角形。利用这两个辅助三角形，可以找到外部费马点。

退化费马点

退化费马点是指在一个直角三角形中的费马点。在直角三角形中，由于某个角

度为90度，从而导致费马点出现在角的对边上，所以退化费马点存在于直角三角

[荐]初中数学几何：费马点(附例题及解析)

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初中数学几何：费马点（附例题及解析）

【费马点解析】

“费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点。【换言之：若给定一个△ABC，从这个三角形的费马点P到三角形的三个顶点A、B、C的距离之和比从其它点的距离之和都要小。这个特殊点对于每一个给定的三角形有且只有一个。】

那么，如何找寻费马点呢？

【费马点的找法】

一、以△ABC的三边向外分别作等边三角形，然后把外面的三个顶点与原三角形的相对顶点相连，交于点P，点P就是原三角形的费马点；

(完整word版)费马点及其在中考中的应用

费马点及其在中考中的应用

一、费马点的由来

费马(Pierre de Fermat，1601—1665）是法国数学家、物理学家．费马一生从未受过专门的数学教育，数学研究也不过是业余爱好．然而,在17世纪的法国还找不到哪位数学家可以与之匹敌．他是解析几何的发明者之一；概率论的主要创始人；以及独承17世纪数论天地的人．一代数学大师费马堪称是17世纪法国最伟大的数学家．尤其他提出的费马大定理更是困惑了世间智者358年．费马曾提出关于三角形的一个有趣问题：在△ABC内求一点P，使 PA+PB+PC之值为最小，人们称这个点为“费马点”．

二、探索费马点

1．当三角形有一个内角大于或等于120°的时候，则费马点就是这个内角的顶点．

下面来验证这个结论：如图1，对三角形内任意一点P，延长BA至点C′，使得AC′=AC，作∠C′AP′=∠CAP，并且使得AP′=AP．即把△APC以A为中心做旋转变换．则△APC≌△AP′C′，

∵∠BAC≥120°,∴∠PAP′≤60°．

∴在等腰三角形PAP′中,AP≥PP′，

∴PA+PB+PC≥PP′+PB+ P′C′>BC′=AB+AC．

所以A是费马点．

图

1 图2

2．如果三个内角都在120°以内,那么，费马点就是三角形内与三角形三顶点的连线两两夹角为

120°的点．

如图2,以B点为中心,将△APB旋转60°到△A′BP′．因为旋转60°，且PB=P′B,所以△P′PB为正三角形．

因此,PA+PB+PC=P′A′+P′P+PC．

由此可知当A′，P′，P,C四点共线时，PA+PB+PC=P′A′+P′P+PC为最小．

费马点

一.费马点的发现者

费马(Fermat，Pierre de Fermat) (1601～1665）法国数学家，被誉为“业余数学家之王。”

二.费马点的定义

在一个三角形中，到3个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点。

(1)若三角形ABC的3个内角均小于120°，那么3条距离连线正好平分费马点所在的周角。所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。

(2)若三角形有一内角不小于120度，则此钝角的顶点就是距离和最小的点。

三.费马点的判定

（1）对于任意三角形△ABC，若三角形内或三角形上某一点E,若EA+EB+EC有最小值,则E为费马点。

（2）如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。

四.费马点的证明

我们要如何证明费马点呢：

费马点证明图形

(1)费马点对边的张角为120度。

△CC1B和△AA1B中,BC=BA1,BA=BC1,∠CBC1=∠B+60度=∠ABA1,

△CC1B和△AA1B是全等三角形,得到∠PCB=∠PA1B

同理可得∠CBP=∠CA1P

由∠PA1B+∠CA1P=60度，得∠PCB+∠CBP=60度,所以∠CPB=120度

同理,∠APB=120度，∠APC=120度

(2)PA+PB+PC=AA1

将△BPC以点B为旋转中心旋转60度与△BDA1重合，连结PD，则△PDB为等边三角形，所以∠BPD=60度

又∠BPA=120度，因此A、P、D三点在同一直线上，

又∠CPB=∠A1DB=120度，∠PDB=60度，∠PDA1=180度，所以A、P、D、A1四点在同一直线上，故PA+PB+PC=AA1。

费马点与加权费马点讲义

费马点与加权费马点

【例题1】．（1）知识储备

①如图1，已知点P为等边△ABC外接圆的BC上任意一点．求证：PB+PC＝P A．

②定义：在△ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称

点P为△ABC的费马点，此时P A+PB+PC的值为△ABC的费马距离．

（2）知识迁移

①我们有如下探寻△ABC（其中∠A，∠B，∠C均小于120°）的费马点和费马距离的

方法：

如图2，在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆，根据（1）的结论，易知线段的长度即为△ABC的费马距离．

②在图3中，用不同于图2的方法作出△ABC的费马点P（要求尺规作图）．

（3）知识应用

①判断题（正确的打√，错误的打×）：

ⅰ．任意三角形的费马点有且只有一个；

ⅱ．任意三角形的费马点一定在三角形的内部．

②已知正方形ABCD，P是正方形内部一点，且P A+PB+PC的最小值为，求正方

形ABCD的

边长．

【练习1】．（1）阅读证明

①如图1，在△ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则

称点P为△ABC的费马点，此时P A+PB+PC的值为△ABC的费马距离．

②如图2，已知点P为等边△ABC外接圆的上任意一点．求证：PB+PC＝P A．

（2）知识迁移

根据（1）的结论，我们有如下探寻△ABC（其中∠A，∠B，∠C均小于120°）的费马点和费马距离的方法：

第一步：如图3，在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆；

第二步：在上取一点P0，连接P0A，P0B，P0C，P0D．易知P0A+P0B+P0C＝P0A+（P0B+P0C）＝P0A+；

初中几何模型：费马点问题的全面分析、处理和归纳，收藏！

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【问题处理】下⾯简单说明如何找点，使它到三个顶点的距离之和最⼩？这就是所谓的费马点问题.

因此，当的每⼀个内⾓都⼩于时，所求的点对三⾓形每边的张⾓都是，可按照如上的办法找到点；当有⼀内⾓⼤于或等于时，所求的点就是钝⾓的顶点.

费马问题告诉我们，存在这么⼀个点到三个定点的距离之和最⼩，解决问题的⽅法是运⽤旋转变换.

【问题归纳】符合条件的点P,我们把它叫做费马点。所谓的“费马点”就是法国著名业余数学家费马在给数学朋友的⼀封信中提出关于三⾓形的⼀个有趣问题：“在三⾓形所在平⾯上，求⼀点，使该点到三⾓形三个顶点距离之和最⼩．”让朋友思考,并⾃称已经证明了。这是费马通信的⼀贯作风。⼈们称这个点为“费马点”。

还有像著名的费马⼤定理（当整数n >2时，关于x, y, z的⽅程 x^n + y^n = z^n 没有正整数解。）也是这样，给欧拉的信中提出的，⾃称已经“有了⾮常巧妙的证明”。直到离开也没告诉⼈家这个所谓证明，结果困扰世界数学界三百多年。费马点就是到三⾓形的三个顶点的距离之和最⼩的点．费马点结论：对于⼀个各⾓不超过120°的三⾓形，费马点是对各边的张⾓都是120°的点；对于有⼀个⾓超过120°的三⾓形，费马点就是这个内⾓的顶点．

【综合应⽤】

中考真题1：

【答案解析】

中考真题2：【答案解析】

费马点问题知识点

费马点问题是一个深奥而有趣的数学难题，涉及到费马大定理的相关内容。费

马大定理是说：对于任何大于2的整数n，不存在任何整数a、b、c，使得a^n +

b^n = c^n成立。这个问题最初由法国数学家费马在17世纪提出，并直到1994年才被英国数学家安德鲁·怀尔斯证明。费马点问题是针对这个定理的一个特殊情况

展开的。

费马点问题是指在三维空间中，给定一系列点，找出其中距离其他点最近的点。换句话说，对于给定的点集合，找出其中的一个点，使得该点到其他点的距离最小。这个问题在计算几何学中被广泛讨论和应用。

解决费马点问题的方法可以通过一步一步的思考来完成。下面将介绍一种常见

的解决方法：

第一步：确定问题首先，我们需要明确问题的描述和要求。费马点问题要求找到一个点，使得该点到其他点的距离最小。

第二步：理解问题在解决问题之前，我们需要理解问题的背景和相关知识。费马点问题涉及到距离的计算和最小值的确定。

第三步：分析问题接下来，我们需要对问题进行分析。费马点问题可以通过计算每个点到其他点的距离，并找到最小距离对应的点来解决。这个过程可以使用数学公式和计算方法来完成。

第四步：解决问题在分析完问题之后，我们可以开始解决费马点问题。首先，我们需要计算每个点到其他点的距离，可以使用欧几里得距离公式来计算。然后，找到最小距离对应的点，并将其作为费马点。

第五步：验证解决方案解决问题之后，我们需要验证解决方案的准确性。可以通过重新计算费马点到其他点的距离，并验证其是否是最小距离。

第六步：总结最后，我们需要总结问题的解决过程和结果。费马点问题是一个有趣且复杂的数学难题，通过分析和计算，我们可以找到最佳解决方案。

(word版)最值问题(费马点)

最值问题2〔费马点〕

1、：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA+PB+PC的最小值．

2、：P是边长为1的等边三角形ABC内的一点，求PA+PB+PC的最小值．

3、〔延庆〕〔此题总分值4分〕阅读下面材料：

阅读下面材料：

小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC〔其中∠BAC是一个可以变化的角〕

中，AB=2，AC=4，以BC为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值。

A A'A

B C B C

图2

图1

小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点

B为旋转中心将△ABP逆时针旋转

’''

C上时,此60°得到△ABC,连接A A,当点A落在A

题可解〔如图2〕．

请你答复：AP的最大值是．

参考小伟同学思考问题的方法，解决以下问题：

如图3，等腰Rt△ABC．边AB=4,P为△ABC内部一点，

那么AP+BP+CP的最小值是.〔结果可以不化简〕

B图3C

4、(朝阳二模)阅读以下材料：

小华遇到这样一个问题，如图1,△ABC中，∠ACB=30o，BC=6，AC=5，在△ABC 内部有一点P，连接PA、PB、PC，求PA+PB+PC的最小值．

E D A

A A

P P

B C B CB C

图1图2图3

小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想方法将这三条端点重合于一点的线段分

离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线

段最短〞，就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，

发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是，如图2，将△APC绕点C顺时针旋转60o，

费马点数学模型笔记

以下是费马点数学模型的笔记：

费马点是指一个平面上的点，它到平面内三个顶点的距离之和最小。费马点定理表明，在三角形ABC中，如果P是费马点，则PA + PB + PC是所有顶点与P的连线中最短的。

为了找到费马点，我们可以使用以下步骤：

找到三角形ABC的重心G，连接AG并延长至点D，使得GD = AG。连接CD，延长BG与CD交于点P。由于CD是三角形ABC的外接圆直径，因此∠CAP = 90°。

在AB上取一点H，使得AH = PC。连接CH和PH。由于AH = PC，且∠CAP = 90°，所以∠APC = ∠PHA。又因为∠CAP = 90°，所以∠CPA + ∠PHA = 90°。因此，∠CPA = ∠PCH。

在△CPH中，由于∠CPH < ∠CPA = ∠PCH，因此PH < CH。又因为PH + PH = PC + PB > CH + CH，所以PH < CH < PA + PB - PC。

综上所述，费马点是三角形ABC中到三个顶点距离之和

最小的点，可以通过上述步骤找到。这个数学模型可以帮助我们解决许多实际问题，例如在建筑、航海和航天等领域都有应用。

费马点整理文档

图1

图2

探究费马点

1．来历：

费马在阅读“将军饮马”问题时，联想到“如何确定平面内到三个已知点距离和最小的点？” 写信给托里拆利，托里拆利解决了这个难题，后来斯坦纳进行了完善和推广。 2．结论：三角形的费马点：

平面上，到一个已知三角形三个顶点的距离和最小的点叫做这个三角形的费马点．（1）当已知三角形最大内角小于120°时，费马点在该三角形内，且与任两个顶点的连线的夹角均为120°；

（2）当已知三角形最大内角大于或等于120°时，费马点就是这个最大内角的顶点．

3．证明．求三条发散的线段和的最小值，一般通过图形变换，形成确定两端点的折线，运用“两点之间线段最短”解决．

1）当三角形的最大内角小于120°的情形．

已知：如图1，P 为△ABC 内一点，∠APB=∠BPC=∠CPA=120°．设平面内有一点'

P ．

求证：PA+PB+PC ≤C P B P A P '

''++．

证明：如图2，分别以AP 、AC 为边作正三角形，连结E B '

'，得△APC ≌△

'AEB ，易知',,,B E P B 在同一直线上，PA+PB+PC='EB PE BP ++≤C P B P A P '''++．

2）当三角形的最大内角不小于120°的情形．

4．如何确定费马点的位置（最大内角小于120°的情形）．

分别以BC 、AC 为边向外作正三角形，连结'',AA BB ，交点即为所求费马点P 。

（连结PC ，先证明△'ACA ≌△CB B '，得∠PAC=∠C PB '，所以',,,B C P A 四点共圆，得∠APC=120°，同理∠BPC=120°）

(完整版)“费马点”说明及例举

费马点

费马（Pierre de Fermat,1601--1665）法国业余数学家，拥有业余数学之王的称号,生于博蒙德罗曼。其父曾任法国图卢兹地方法院的法律顾问。本人身为律师，曾任图卢兹议会的顾问30多年。他的一系列重要科学研究成果，都是利用业余时间完成的。

他是解析几何的发明者之一．在数学方面作出了卓越的贡献，早年主要研究概率论，对于数论和解析几何都有深入研究。他对微分思想的运用比牛顿和莱布尼兹还要早，在他所著《求最大值和最小值的方法》一书中，已对微分理论进行了比较系统的探讨。他把直线平面坐标应用于几何学也早于笛卡儿，在其所著〈平面及空间位置理论的导言〉中，最早提出了一次方程代表直线，二次方程代表截线，对一次与二次方程的一般形式，也进行了研究。费

马还研究了对方程

21y

ax=

+整数解的问题。得出了求导数所有约数的系统方法。

所谓的“费马点”就是法国著名数学家费马在给数学朋友的一封信中提出关于三角形的一个有趣问题：“在三角形所在平面上，求一点，使该点到三角形三个顶点距离之和最小．”让人家想,并自称已经证明了。这是费马通信的一贯作风。当时欧洲所有数学家对他都十分头疼的。人们称这个点为“费马点”。还有象著名的费马大定理也是这样，给欧拉的信中提出的，自称已经“有了非常巧妙的证明”。可到死也没告诉人家这个所谓证明。结果困扰世界数学界一百多年。直到去年才解决。

著名的费马大定理是费马提出的至今尚未解决的问题。1637年费马提出：“不可能把一个整数的立方表示成两个立方的和，把一个四次方幂表示成两个四次方幂的和，一般地，不

费马点(Fermat

費馬點(Fermat Point)

一、前言

費馬(Pierre de Fermat,1601-1665)是一位律師和法國政府的公務員，他利用閒暇的時間研究數學，他從未發表他的研究發現，但是他幾乎與同時代的所有歐洲的大數學家保持通信。曾經，費馬是歐洲所有數學研究進展之交換中心。有一天，他要回答一個收到的問題，『要找出三角形裡最小點的位置，這個最小點是指這點到三個頂點的距離總和為最短』。

「在平面上找一個點，使此點到已知三角形三個頂點的距離和為最小」，這個點就是所謂的費馬點(Fermat Point)，這個問題可以應用在，例如有三個城市，然後要蓋一個交通中心到這三個城市的距離最短這一類的問題。

二、找費馬點

在平面上一三角形ABC，試找出內部一點P，使得PC

+為最小。首先，

PA+

讓我們先找到P點的性質，再來研究怎麼做出P點。

P點有什麼性質呢？它的位置是否有什麼特殊意義呢？在中學裡，我們學過三角形的內心、外心、重心以及垂心，P點和這些心之間有關聯嗎？還是和有些線段長、角度大小有關係呢？

∠很接近，這三個角度有何關聯？

∠和CPA

APB

∠、BPC

【解法1】

○

1如右圖，以B 點為中心，將APB ∆旋轉︒60到'B C'P ∆ 因為旋轉︒60，且B P'PB =，所以PB P'∆為一個正三角形P P PB '=⇒ 因此，PC P P P PC PB PA ++=++''C '

由此可知當'C 、'P 、P 、C 四點共線時，PC P P P PC PB PA ++=++''C '為最小

○

2若P P --''C 共線時，則 ︒=∠60'P BP ︒=∠=∠⇒120''C APB B P

费马点与加权费马点详细总结(原卷版)

费马点与加权费马点详细总结

知识点梳理

【常规费马点】

【加权费马点】

题型一普通费马点最值问题

题型二加权费马点·单系数型

题型三加权费马点·多系数型

知识点梳理

【常规费马点】

【问题提出】如图△ABC所有的内角都小于120度，在△ABC内部有一点P，连接PA、PB、PC，＋＋的值最小时，求此时∠APB与∠APC的度数.

当PA PB PC

【问题处理】如图1，将△ACP 绕着点C 顺时针旋转60度得到△A ’CP ’，则△ACP ≌△A ’CP ’，CP ＝CP ’，AP ＝A ’P ’，又∵∠PCP ’ ＝60°，∴△PCP ’是等边三角形，∴PP ’＝PC ， ∴PA ＋PB ＋PC ＝ P ’A ’＋PB ＋PP ’，

如图2，当且仅当点B 、P 、P ’、A ’共线时，PA ＋PB ＋PC 最小，最小值为A ’B ，此时∠BPC ＝∠APC ＝∠APB ＝120°

【问题归纳】如费马点就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点．费马点结论：

① 对于一个各角不超过120°的三角形，费马点是对各边的张角都是120°的点，所以三角形的费马点也叫三角形的等角中心；

② 对于有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点．

【如何作费马点】如图3，连接AA ’，我们发现△ACA ’为等边三角形，点P 在A ’B 上，同理，我们可以得到等边△BAB ’，点P 也在CB ’上，因此，我们可以以△ABC 三角形任意两边为边向外构造等边三角形，相应连线的交点即为费马点。（最大角小于120°时）

图1

图2

费马点 Microsoft Word 文档 (2)

费马点

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费马点发现者

费马点定义

费马点的判定

证明

费马点性质：

[编辑本段]

费马点发现者

费马(Fermat，Pierre de Fermat)(1601～1665）法国数学家，被誉为“业余数学家之王。”

[编辑本段]

费马点定义

在一个多边形中，到每个顶点距离之和最小的点叫做这个多边形的费马点。

在平面三角形中:

(1).三内角皆小于120°的三角形，分别以AB,BC,CA，为边，向三角形外侧做正三角形ABC1,ACB1,BCA1,然后连接AA1,BB1,CC1,则三线交于一点P,则点P就是所求的费马点.

(2).若三角形有一内角大于或等于120度,则此钝角的顶点就是所求.

(3)当△ABC为等边三角形时,此时外心（内心、垂心、重心）与费马点重合

（1）等边三角形ABC中费马点P满足PA=PB=PC，PA、PB、PC分别为三角形三边上的高和中线、三角上的角分线。P是内切圆和外切圆的中心。△BPC≌△CPA≌△PBA。

（2）当BC=BA但CA≠AB时，BP为三角形CA上的高和中线、三角上的角分线。（等腰三角形）

[编辑本段]

费马点的判定

对于任意三角形△ABC，若三角形内或三角形上某一点P,若PA+PB+PC有最小值,则P为费马点。

如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；如果3

个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。

[编辑本段]

证明

我们要如何证明费马点呢：(1)费马点对边的张角为120度。

△CC1B和△AA1B中,BC=BA1,BA=BC1,∠CBC1=∠B+60度=∠ABA1,

费马点问题

1．费马点

在三角形内部，到三角形三个顶点的距离之和最小的点叫做费马点．

2．基本模型

如图，在锐角△ABC 内有一点O ，分别连接OA 、OB 、OC ，求证：当∠AOB ＝∠AOC ＝∠BOC ＝120°时，OA ＋OB ＋OC 最小．

证明：将△APC 绕点C 旋转60°至△A ′P ′C ，则△PP ′C 是等边三角形，∴OA ＋OB ＋OC ＝BP ＋PP ′＋P ′A ≥BA ′，此时∠BPC ＝180°－∠CPP ′＝120°，∠A ′P ′C ＝180°－∠CP ′P ＝120°，∴∠APC ＝∠A ′P ′C ＝120°，∴∠AOB ＝∠AOC ＝∠BOC ＝120°．

3．基本结论

（1）对于一个各角都不超过120°的三角形，费马点是对各边的张角都是120°的点．

（2）对于有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点．（不作研究）

4．基本题型

（1）两点之间线段最短

（2）垂线段最短

（3）加权问题

加权费马点，旋转加缩放，系数先化一，必为勾股数．

A B

P P

P′

P′A′

类型1：经典费马点问题：两点之间线段最短

【例题1】如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝60°，BC

P 是△ABC 内一动点，将△ACP 绕点A 逆时针旋转60°得到△ADE ，连接PE 、BD ，则PA ＋PB ＋PC 的最小值为___________．

【例题2】如图，等边△ABC 中，AB ＝2，若点P 是△ABC 内部一个动点，则P A ＋PB ＋PC 的最小值为__________．