电磁感应导轨电路中的电容问题

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电磁感应双杆问题含电容器问题

电磁感应双杆问题+含电容器电路1、“双杆”在等宽导轨上向相反方向做匀速运动当两杆分别向相反方向运动时，相当于两个电池正向串联。

2.“双杆”在等宽导轨上同向运动，但一杆加速另一杆减速当两杆分别沿相同方向运动时，相当于两个电池反向串联。

3. “双杆”中两杆在等宽导轨上做同方向上的加速运动。

“双杆”中的一杆在外力作用下做加速运动，另一杆在安培力作用下做加速运动，最终两杆以同样加速度做匀加速直线运动。

4．“双杆”在不等宽导轨上同向运动。

“双杆”在不等宽导轨上同向运动时，两杆所受的安培力不等大反向，所以不能利用动量守恒定律解题。

典型例题1. 如图所示，间距为l、电阻不计的两根平行金属导轨MN、PQ（足够长）被固定在同一水平面内，质量均为m、电阻均为R的两根相同导体棒a、b垂直于导轨放在导轨上，一根轻绳绕过定滑轮后沿两金属导轨的中线与a棒连接，其下端悬挂一个质量为M的物体C，整个装置放在方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场中。

开始时使a、b、C都处于静止状态，现释放C，经过时间t，C的速度为v1b的速度为v2棒始终与导轨接触良好，重力加速度为g，求：（1）t时刻C的加速度值；（2）t时刻a、b与导轨所组成的闭合回路消耗的总电功率。

模型：导体棒等效为发电机和电动机，发电机相当于闭合回路中的电源，电动机相当于闭合回路中的用电元件2. （2003年全国理综卷）两根平行的金属导轨，固定在同一水平面上，磁感强度B＝0.05T 的匀强磁场与导轨所在平面垂直，导轨的电阻很小，可忽略不计．导轨间的距离l＝0.20 m．两根质量均为m＝0.10 kg的平行金属杆甲、乙可在导轨上无摩擦地滑动，滑动过程中与导轨保持垂直，每根金属杆的电阻为R＝0.50Ω．在t＝0时刻，两杆都处于静止状态．现有一与导轨平行、大小为0.20 N的恒力F作用于金属杆甲上，使金属杆在导轨上滑动．经过t ＝5.0s，金属杆甲的加速度为a＝1.37 m／s2，问此时两金属杆的速度各为多少?3. 两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为L。

含容电磁感应问题典例剖析

含容电磁感应问题典例剖析作者：张红香来源：《中学生数理化·自主招生》2019年第03期导体棒切割磁感线运动问题往往涉及变化的安培力导致的连续变化过程，如果在回路中还含有电容器，那么同学们在分析处理时就容易受思维定式的影响，认为含有电容器的电路是不闭合回路，没有电流。

下面通过例题分析，帮助同学们厘清处理含容电磁感应问题的思路。

例1 如图1所示，足够长的平行金属导轨MN、PQ倾斜放置，其所在平面与水平面间的夹角θ=30度，两导轨间距为L，导轨下端分别连着电容为C的电容器和阻值为R的定值电阻。

一根质量为m的金属棒放在导轨上，金属棒与导轨始终垂直且接触良好，金属棒与导轨间的动摩擦因数μ=√3/2。

一根不可伸长的绝缘轻绳一端拴在金属棒中间，另一端跨过定滑轮与质量为4m的重物相连，金属棒与定滑轮间的轻绳始终在两导轨所在平面内且与两导轨平行，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨所在平面向上。

初始状态用手托住重物使轻绳恰处于伸直状态，重力加速度为g，不计滑轮阻力，以及金属棒和导轨的电阻。

（l）若开关Sl闭合、S2断开，由静止释放重物，求重物的最大速度。

（2）若开关Sl断开、S2闭合，请推导出重物的速度v随时间t变化的关系。

点评：部分同学会因为只知道电容器对电流的作用是“通交流、隔直流”，忽略了电容器可以充电、放电的物理规律而误认为电路中没有电流，从而根据牛顿第二定律4mgmgsinθ-μmgcosθ=5ma和运动学公式w=at，解得a=5.5 m/s2和v=5.5t（ m/s）。

例2 如图2所示，水平面内有两根足够长的平行导轨L1、L2，其间距d=0.5 m，左端接有电容C=2 000 μF的电容器，质量m=20g的导体棒与导轨垂直且接触良好，可在导轨上无摩擦地滑动，导体棒和导轨的电阻不计。

整个空间存在垂直于导轨所在平面的匀强磁场（垂直于纸面向里），磁感应强度B=2T。

现用一沿导轨向右的恒力F1 =0. 44 N作用于导体棒，使导体棒从静止开始运动，经时间t后到达虚线N处，速度v=5 m/s。

专题16 电磁感应中的电路问题(解析版)

专题十六电磁感应中的电路问题基本知识点解决电磁感应电路问题的基本步骤：1．用法拉第电磁感应定律算出E 的大小，用楞次定律或右手定则确定感应电动势的方向：感应电流方向是电源内部电流的方向，从而确定电源正、负极，明确内阻r .2．根据“等效电源”和电路中其他各元件的连接方式画出等效电路图．3．根据E ＝Blv 或E ＝n ΔΦΔt结合闭合电路欧姆定律、串并联电路知识和电功率、焦耳定律等关系式联立求解．例题分析一、电磁感应中的简单电路问题例1 如图所示，足够长的平行光滑金属导轨水平放置，宽度L ＝0.4 m ，一端连接R ＝1 Ω的电阻，导轨所在空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度B ＝1 T 。

导体棒MN 放在导轨上，其长度恰好等于导轨间距，与导轨接触良好。

导轨和导体棒的电阻均可忽略不计。

在平行于导轨的拉力F 作用下，导体棒沿导轨向右匀速运动，速度v ＝5 m/s 。

(1)求感应电动势E 和感应电流I ；(2)若将MN 换为电阻r ＝1 Ω的导体棒，其他条件不变，求导体棒两端的电压U 。

(对应训练)如图所示，MN、PQ为平行光滑金属导轨(金属导轨电阻忽略不计)，MN、PQ 相距L＝50 cm，导体棒AB在两轨道间的电阻为r＝1 Ω，且可以在MN、PQ上滑动，定值电阻R1＝3 Ω，R2＝6 Ω，整个装置放在磁感应强度为B＝1.0 T的匀强磁场中，磁场方向垂直于整个导轨平面，现用外力F拉着AB棒向右以v＝5 m/s的速度做匀速运动。

求：(1)导体棒AB产生的感应电动势E和AB棒上的感应电流方向；(2)导体棒AB两端的电压U AB。

二、电磁感应中的复杂电路问题例2如图所示，ab、cd为足够长、水平放置的光滑固定导轨，导体棒MN的长度为L＝2 m，电阻r＝1 Ω，有垂直abcd平面向下的匀强磁场，磁感强度B＝1.5 T，定值电阻R1＝4 Ω，R2＝20 Ω，当导体棒MN以v＝4 m/s的速度向左做匀速直线运动时，电流表的示数为0.45 A，灯泡L正常发光。

电磁感应中含容电路的分析

电磁感应中含容电路的分析摘要：电磁感应高中物理教学中非常重要的一项内容，其涉及了多个难题，分析研究电磁感应中的具体问题，帮助学生理清知识点，并找出解决问题的具体思路以及相应技巧，这对于问题分析与判断的实际效率和质量提升意义显著。

就现阶段的电磁感应教学分析来看，含容电路分析是一个难点，所以为了让学生掌握该知识点，需要对含容电路问题进行具体的分析与讨论。

文章就电磁感应中的含容电路做具体分析，旨在为教学实践提供指导与帮助。

关键词：电磁感应；含容电路；措施对目前的高中物理教学做分析可知电学是非常重要的一项内容，更是物理考核中的“常客”，因此在教学实践中，老师和学生对这部分内容均比较关注[1]。

在电学这一模块的具体学习中，电磁感应是重中之重，总结考核中遇到的相关题目会发现在电磁感应考察的时候往往会加入电容问题，这实现了电磁感应、电路规律以及电容的认知的综合，所以学生在问题理解的过程中会有明显的无措感。

要解决这类题目，把握电容器本身的特点进行两端电压的寻找，这是问题解决的突破口。

结合实践分析总结电磁感应中含容电路问题的具体解析，这能够为学生的学习提供帮助与指导。

1.电磁感应中电容器的带电问题对电磁感应中的含容电路问题进行总结会发现电容器带电问题在电磁感应类题目中非常的常见[2]。

对此类型的题目解决方法进行具体的分析，让学生明白题目解决的思路和技巧，这对于训练学生解题能力有显著价值。

例1：如图甲所示，呈现水平状态的平行金属导轨和一个平行板电容器C和电阻R成连接状态。

导向MN在导轨上放置，且拥有比较好的接触状态。

将整个装置在垂直于导轨平面的磁场中进行方式，磁感应B的变化强度如图乙所示。

将MN把持静止状态，且忽略电容器C的充电时间，那么在O——t的时间内（）21.电容器C所携带的电荷量不发生变化2.电容器C的a板会呈现先带正电，后带负电的情况3.MN所受的安培力大小不发生变化4.MN所受到的安培力方向会呈现先向右后向左的情况解析：磁感应强度在均匀变化的过程中会产生恒定电动势，所以电容器C所携带的电荷量大小不会发生变化，基于此，A选项是正确的。

专题02 电磁感应中的电路问题——含电容电路-高中物理电磁感应中的电路与图象问题讲与练

例题精讲例1. 在如图甲所示的电路中，电阻R1=R2=2R，圆形金属线圈半径为r1，线圈导线的电阻为R．半径为r2（r2＜r1）的圆形区域内存在垂直于线圈平面向里的匀强磁场，磁感应强度B随时间t变化的关系图线如图乙所示，图线与横、纵轴的交点坐标分别为t0和B0，其余导线的电阻不计．闭合S，至t1时刻，电路中的电流已稳定，下列说法正确的是（）A．电容器上极板带正电B．电容器下极板带正电动势，由欧姆定律求出感应电流的大小，从而求得路端电压，再由楞次定律判断出感应电流的方向．答案：BD．小结：本题是法拉第电磁感应定律、欧姆定律的综合应用，应用法拉第定律时要注意s是有效面积，并不等于线圈的面积。

例2. 如图所示，两个同心金属环水平放置，半径分别为r和2r，两环间有磁感应强度大小为B、方向垂直环面向里的匀强磁场，在两环间连接有一个电容为C的电容器，a、b是电容器的两个极板．长为r的金属棒AB沿半径方向放置在两环间且与两环接触良好，并绕圆心以角速度ω做逆时针方向（从垂直环面向里看）的匀速圆周运动，则下列说法正确的是（）A．金属棒中有从A到B的电流B．电容器a极板带正电分析：根据右手定则，即可判定感应电流方向，从而确定电容器的极性；根据切割感应电动势E=BLv，结合线v=ωR，及Q=CU，即可求解．解析：A、根据右手定则可知，切割磁感线产生感应电动势，但没有闭合，没有感应电流，故A错误；B、内部电流从负极到正极，则电容器a极板带正电，故B正确；答案：BC小结：考查右手定则的内容，掌握法拉第电磁感应定律的应用，理解Q=CU公式的含义，注意右手定则与左手定则的区别．电磁感应中的电路问题——含电容电路解题攻略：产生感应电动势的那部分电路相当于电源。

在电源内部，电流方向从低电势处流向高电势处。

电容器问题的处理与恒定电路中的含电容问题处理方法是一样的。

练习题1. 在竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中，两根足够长的平行光滑金属轨道MN、PQ固定在水平面内，相距为L.一质量为m的导体棒ab垂直于MN、PQ放在轨道上，与轨道接触良好，轨道和导体棒的电阻均不计，(1)如图1，若轨道左端接一电动势为E，内阻为r的电源和一阻值未知的电阻，闭合开关S，导体棒从静止开始运动，经过一段时间后，导体棒达到最大速度v m，求此时电源的输出功率；(2)如图2所示，若轨道左端接一电容器，电容器的电容为C，导体棒在水平拉力的作用下从静止开始向右运动，电容器两极板电势差随时间变化的图像如图3所示，已知t1时刻电容器两极板间的电势差U1，求导体棒运动过程中受到的水平拉力大小.2. 如图所示，水平放置的电容器与滑动变阻器R x并联，然后与阻值为R0的定值电阻以及间距为l的足够长的光滑固定倾斜导轨相连接，导轨处于匀强磁场之中，磁场方向垂直于导轨平面向上，将滑动变阻器R x阻值调到R0，然后将导体棒自导轨上端由静止释放，待速度稳定后，从电容器左端中点以水平速度v0射入的电子恰能从极板边缘离开电场.已知磁场磁感应强度为B，电子电量为e，质量为m，重力忽略不计，电容器板间距为d，板长为L，金属导轨与水平面夹角为θ，导体棒电阻也为R0，重力加速度为g.求:(1)电子从哪个极板离开电场；(2)导体棒的质量M以及导体棒稳定时的速度v1；(3)若仅将滑动变阻器R x调到2R0，当导体棒在导轨上稳定运行时，速度是原来的几倍；若仍要求从电容器左端中点以水平速度v0射入的电子恰能从极板边缘射出，需要把板间距调整为原来的几倍?练习题参考答案1. 解析：(1)导体棒达到最大速度v m时，棒中没有电流.电源的路端电压U=BLvm2. 解析：(1)由题意可知，导体棒a端为等效电源正极，则电容器下极板为正，电子向下偏转从下极板离开电场(2)电子做类平抛运动导体棒切割磁感线产生的电动势又有E=Blv1速度稳定时，导体棒受力平衡则:Mgsinθ=BIl。

2025高考物理总复习电磁感应中的含电容器问题模型

解析 (1)当导体棒运动到B处时,电容器两端电压为U=Bdv=5 V
此时电容器的电荷量q=CU=1×10-2 C。
(2)导体棒在 F1 作用下运动,根据牛顿第二定律可得 F1-mgsin α-BId=ma1
又有
Δ
I=
Δ
=
Δ
Δ
,a=
Δ
Δ
联立解得
1 - sin
a1=
=20
+ 2 2 2
由功能关系 W=E-E0 及 W=qU,结合 Q-U 关系图线,可知电容器所储存的电能
与其极板间的电压及电容间的关系式为
1
1
1
E= QU= CU·
U= CU2。
2
2
2
(2)当导体棒获得向右的初速度v0时,切割磁感线产生动生电动势给电容器
充电,设充电电流为I,则导体棒所受安培力大小为
FA=BIL,方向水平向左
恒力F1=0.54 N作用于导体棒,使导体棒从静止开始运动,经t时间后到达B
处,速度v=5 m/s。此时,突然将拉力方向变为沿导轨向下,大小变为F2,又经
2t时间后导体棒返回到初始位置A处,整个过程电容器未被击穿。求:
(1)导体棒运动到B处时,电容器C上的电荷量;
(2)t的大小;
(3)F的大小。
答案 (1)1×10-2 C (2)0.25 s (3)0.45 N
以恒定的加速度匀加速运动。

,所以杆
安=ma,a=
+ 2 2
典题1 如图所示,间距为L的平行光滑金属导轨水平固定,导轨平面处在竖
直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场中。导轨左端连接有电容为C的
平行板电容器,质量为m、电阻不可忽略的导体棒垂直导轨放置在导轨上,

含电容电路的电磁感应问题探析

轨足够长，不计导轨和连接电容器导线的电阻，导体
行导轨Ｌ、Ｌ，其间距ｄ一０．５ｒｎ，左端接有容量Ｃ一２０００Ｆ的电容．质量一２０ｇ，的导体棒可在导轨上无摩擦滑动，导体棒和导轨的电阻不计．整个空间存在着垂直导轨所在平面的匀强磁场，磁感应强度Ｂ一２Ｔ．现用一沿导轨方向向右的恒力Ｆ一０．４４Ｎ作用于导体棒，使导体棒从静止开始运动，经ｔ时间后到达Ｂ处，速度一５ｉｎ·ｓ＿。．此时，突然将拉力方向变为沿导轨向左，大小变为Ｆ，又经２￡时间后导体棒返回到初始位置Ａ处，整个过程电容器未被击穿．求：
Ａ３种情形下导体棒ｎ６最终均做匀速运动；Ｂ甲、丙中，ａ６棒最终将以不同的速度做匀速
又Ａ＇ｕ—
ｇ
一ｇＡｔ－
，
运动；乙中ａ６棒最终静止；Ｃ甲、丙中，ｎ６棒最终将以相同的速度做匀速
∑ △ 一ｇ∑△￡一１９Ｌ ∑ Ａ，
到速度为零．在丙中，电源为ｎ６棒供电，开始向右运
◇ 江苏樊杰
在含有电容器的导体棒切割磁感应线运动的闭合电路中，若不汁棒的电阻，给棒一个初速度。或施
动，ａ６棒运动产生感应电流方向与原来电流同向，ａ６棒受到安培力作用，做减速运动，减速到速度为零后，受安培力作用，向左加速．当ａ６棒产生的感应电动势与电源电动势相等时，ｎ６棒中无电流，不再受力做匀速运动．故Ｂ选择正确．

电磁感应与含电容器电路的综合分析

01
当前研究主要集中在理想条件下的理论分析和数值模拟，对于实际应用中存在的复杂环境和影响因素考虑不足。
02
需要进一步开展实验研究，验证理论分析的正确性和有效性，并探索实际应用中可能出现的问题和解决方案。
03
随着科技的发展，可以预见未来含电容器电路将在能源转换、信号处理、智能控制等领域发挥更加重要的作用。因此，需要加强基础研究，推动相关技术的创新和应用。
实验设备：电磁铁、线圈、电容器、直流电源、电流表、电压表、导线等。
01
1. 搭建实验电路，将线圈与电容器串联，连接到直流电源上。
03
02
实验步骤
04
2. 调整磁场，观察线圈中产生的感应电动势和电容器两端电压的变化。
3. 调整电场，观察电容器充电和放电过程中电流的变化。
05
06
4. 记录实验数据，分析电磁感应与电容器相互作用的规律。
实验结果与数据分析
实验结果
通过观察和记录实验数据，可以发现线圈中产生的感应电动势与磁场的变化率成正比，电容器两端电压与电场强度成正比。在电磁感应与电容器相互作用的过程中，线圈中产生的感应电动势会改变电容器两端的电压，而电容器两端电压的变化也会影响线圈中感应电动势的大小。
数据分析
根据实验数据，可以进一步分析电磁感应与电容器相互作用的规律。例如，通过比较不同磁场和电场条件下线圈中感应电动势和电容器两端电压的变化，可以得出它们之间的定量关系。这些规律有助于深入理解电磁场理论在电路分析中的应用。
阻尼振荡
电容器可以吸收多余的能量，起到阻尼振荡的作用，稳定电路的工作状态。
滤波作用
电容器可以过滤掉电路中的高频噪声，提高信号的纯度。
电磁感应与电容器的相互作用实例分析

电磁感应中的电容器问题

电磁感应中的电容器与金属棒相结合的问题之南宫帮珍创作创作时间：二零二一年六月三十日黄德利山东省兖州一中 272100摘要：部份导体做变速运动发生变动的电流时, 高中阶段的闭合电路欧姆定律就无法列式计算, 学生感觉无从下手, 从而这一类的问题成为高三复习的难点.通过最近全国各地的一模考试发现, 这类问题在各地一模中均有体现.关键词：电磁感应；电容器；金属棒电容器是一个贮存电荷的容器, 它可以进行无数次的充放电.在充放电的过程中, 可以理解为变动的电流可以通过电容器.因此, 在一些含有电容器的电磁感应电路中, 当一部份导体做变速运动发生变动的电流时, 高中阶段的闭合电路欧姆定律就无法列式计算, 学生感觉无从下手, 从而这一类的问题成为高三复习的难点.通过最近全国各地的一模考试发现, 这类问题在各地一模中均有体现.实际上这类问题, 只要认真分析, 寻找其中的规律, 这类问题其实也很好解决.下面通过几个例题对与电容器相关的问题分类解决.一、金属棒做匀加速直线运动例1、.如图所示, 位于同一水平面的两根平行导轨间的距离是L, 导线的左端连接一个耐压足够年夜的电容器, 电容器的电容为C.放在导轨上的导体杆cd 与导轨接触良好, cd杆在平行导轨平面的水平力作用下从静止开始匀加速运动, 加速度为a, 磁感强度为B的匀强磁场垂直轨道平面竖直向下, 导轨足够长, 不计导轨和连接电容器导线的电阻, 导体杆的摩擦也可忽略.求从导体杆开始运动经过时间t电容器吸收的能量E＝？解析：据题意, 导体杆MN加速切割磁感线, 发生的感应电动势且不竭增年夜, 电容器两极板间电压随着增年夜, 贮存的电能增加, 同时由于电容器处于连续充电状态中, 电路中有继续的充电电流, 故导体杆受到向左的安培力.因电容器在时间t内吸收的电能可以用克服安培力做的功来量度, 所以弄清楚充电电流及安培力的变动规律, 就成为解答本题的关键.设某时刻导体杆切割磁感线的速度为v, 发生的感应电动势为E, 电容器所带的电荷量为q, 两极板间的电压为u, 则有：u=E=BLv,q=Cu=CBLv.设经过一个很短的时间间隔Δt, 速度的变动量为Δv, 则电容器带电量的变动量为：Δq=CBLΔv.在时间Δt内充电电流的平均值可暗示为：i==CBLa式中a暗示Δt内导体杆运动的平均加速度.若把Δt取得足够小, 那么i和a就分别趋近于该时刻的充电电流的瞬时值及加速度的瞬时值.于是, 杆MN所受安培力的瞬时值可暗示为：F安=BiL=CB2L2a.上式标明：安培力的瞬时值与加速度成正比.将安培力瞬时值表达式代入牛顿第二定律, F-CB2L2a=ma.由此解得a=.由上式不难看出：加速度a是恒定的, 杆MN做匀加速直线运动,进而推知：充电电流是恒定电流, 安培力是恒力.因时间t内, 杆MN的位移为：s=at2=故杆MN克服安培力做的功可暗示为：W=F安·s=,电容器在时间t内吸收的电能E=W, 可用上式暗示.二、金属棒在恒定外力下的直线运动例2、如图, 两条平行导轨所在平面与水平空中的夹角为θ, 间距为L.导轨上端接有一平行板电容器, 电容为C.导轨处于匀强磁场中, 磁感应强度年夜小为B, 方向垂直于导轨平面.在导轨上放置一质量为m的金属棒, 棒可沿导轨下滑, 且在下滑过程中坚持与导轨垂直并良好接触.已知金属棒与导轨之间的动摩擦因数为μ, 重力加速度年夜小为g.忽略所有电阻.让金属棒从导轨上端由静止开始下滑, 求:(1)电容器极板上积累的电荷量与金属棒速度年夜小的关系；(2)金属棒的速度年夜小随时间变动的关系.解析：（1）设金属棒下滑的速度年夜小为v, 则感应电动势为①平行板电容器两极板之间的电势差为U=E②设此时电容器极板上积累的电荷量为Q, 按界说有③联立①②③式得④（2）设金属棒的速度年夜小为v时经历的时间为t, 通过金属棒的电流为i.金属棒受到的磁场的作用力方向沿导轨向上, 年夜小为⑤设在时间间隔（t, t+Δt）内流经金属棒的电荷量为ΔQ, 按界说有⑥ΔQ也是平行板电容器极板在时间间隔（t, t+Δt）内增加的电荷量.由4式得⑦式中Δv为金属棒的速度变动量, 按界说有⑧金属棒所受到的摩擦力方向斜向上, 年夜小为⑨式中N是金属棒对导轨的正压力的年夜小, 有⑩金属棒在时刻t的加速度方向沿斜面向下, 设其年夜小为a, 根据牛顿第二定律有联立⑤至11式得由上式及题设可知, 金属棒做初速度为零的匀加速运动, t时刻金属棒的速度年夜小为三、通过上面例题可以看出, 电磁感应与电容器的综合问题, 涉及电磁感应、电容、电流强度、安培力、牛顿定律、匀变速直线运动规律等多方面物理知识 , 综合性较强．此类题的关键是电容器充电电流与运动的关系, 求这两者关系思维跨越较年夜, 考查了综合能力和分析论证能力, 有较高的区分度, 体现了较强的选拔性.。

(九)——电磁感应中的含容电路分析

(九)——电磁感应中的含容电路分析微讲座(九)——电磁感应中的含容电路分析一、电磁感应回路中只有电容器元件这类问题的特点是电容器两端电压等于感应电动势，充电电流等于感应电流．(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)如图，两条平行导轨所在平面与水平地面的夹角为θ，间距为L.导轨上端接有一平行板电容器，电容为C.导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向垂直于导轨平面．在导轨上放置一质量为m 的金属棒，棒可沿导轨下滑，且在下滑过程中保持与导轨垂直并良好接触．已知金属棒与导轨之间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g.忽略所有电阻．让金属棒从导轨上端由静止开始下滑，求：(1)电容器极板上积累的电荷量与金属棒速度大小的关系；(2)金属棒的速度大小随时间变化的关系．[解析](1)设金属棒下滑的速度大小为v，则感应电动势为E＝BL v ①平行板电容器两极板之间的电势差为U＝E ②设此时电容器极板上积累的电荷量为Q，按定义有C＝QU③联立①②③式得Q＝CBL v. ④(2)设金属棒的速度大小为v时经历的时间为t，通过金属棒的电流为i.金属棒受到的磁场的作用力方向沿导轨向上，大小为F安＝BLi ⑤设在时间间隔(t，t＋Δt)内流经金属棒的电荷量为ΔQ，据定义有i＝ΔQΔt⑥ΔQ也是平行板电容器两极板在时间间隔(t，t＋Δt)内增加的电荷量．由④式得：ΔQ＝CBLΔv ⑦式中，Δv为金属棒的速度变化量．据定义有a＝ΔvΔt⑧金属棒所受到的摩擦力方向斜向上，大小为F f＝μF N ⑨式中，F N是金属棒对导轨的正压力的大小，有F N＝mg cos θ⑩金属棒在时刻t的加速度方向沿斜面向下，设其大小为a，根据牛顿第二定律有mg sin θ－F 安－F f＝ma ⑪联立⑤至⑪式得a＝m(sin θ－μcos θ)m＋B2L2Cg⑫由⑫式及题设可知，金属棒做初速度为零的(1)调节R x＝R，释放导体棒，当导体棒沿导轨匀速下滑时，求通过导体棒的电流I及导体棒的速率v.(2)改变R x，待导体棒沿导轨再次匀速下滑后，将质量为m、带电荷量为＋q的微粒水平射入金属板间，若它能匀速通过，求此时的R x.[解析](1)对匀速下滑的导体棒进行受力分析如图所示．导体棒所受安培力F安＝BIl①导体棒匀速下滑，所以F安＝Mg sin θ②联立①②式，解得I＝Mg sin θBl③导体棒切割磁感线产生感应电动势E＝Bl v ④由闭合电路欧姆定律得I＝ER＋R x，且R x＝R，所以I＝E2R ⑤联立③④⑤式，解得v＝2MgR sin θB2l2.(2)由题意知，其等效电路图如图所示．由图知，平行金属板两板间的电压等于R x两端的电压．设两金属板间的电压为U，因为导体棒匀速下滑时的电流仍为I，所以由欧姆定律知U＝IR x⑥要使带电的微粒匀速通过，则mg＝q Ud⑦联立③⑥⑦式，解得R x＝mBldMq sin θ.[答案](1)Mg sin θBl2MgR sin θB2l2(2)mBldMq sin θ[总结提升]在这类问题中，导体棒在恒定外力作用下做变加速运动，最后做匀速运动．1．(单选)如图所示，两光滑平行金属导轨间距为L，直导线MN垂直跨在导轨上，且与导轨接触良好，整个装置处在垂直于纸面向里的匀强磁场中，磁感应强度为B.电容器的电容为C，除电阻R外，导轨和导线的电阻均不计．现给导线MN一初速度，使导线MN向右运动，关于最终状态的判断，正确的是()A．电容器两端的电压为零B．电容器所带电荷量为零C．MN做匀速运动D．MN处于静止状态解析：选C.由分析可知，MN做加速度逐渐减小的减速运动，当感应电动势等于电容器两端电压时，电流为零，加速度为零，MN最终做匀速运动，故C正确．2．(单选)如图所示，水平面内有一平行金属导轨，导轨光滑且电阻不计．匀强磁场与导轨平面垂直．阻值为R的导体棒垂直于导轨静止放置，且与导轨接触良好．t＝0时，将开关S由1掷到2.q、i、v和a分别表示电容器所带的电荷量、棒中的电流、棒的速度和加速度．下列图象正确的是()解析：选D.当开关S由1掷到2时，电容器开始放电，此时电流最大，棒受到的安培力最大，加速度最大，此后棒开始运动，产生感应电动势，棒相当于电源，利用右手定则可判断棒的上端为正极，下端为负极，当棒运动一段时间后，电路中的电流逐渐减小，当电容器电压与棒两端电动势相等时，电容器不再放电，电路电流等于零，棒做匀速运动，加速度减为零，所以B、C 错误，D正确；因为电容器两极板间有电压，电荷量q＝CU不等于零，所以A错误．3．(多选)(2015·重庆杨家坪中学质检)如图，两根足够长且光滑平行的金属导轨PP′、QQ′倾斜放置，匀强磁场垂直于导轨平面，导轨的上端与水平放置的两金属板M、N相连，板间距离足够大，板间有一带电微粒，金属棒ab水平跨放在导轨上，下滑过程中与导轨接触良好．现同时由静止释放带电微粒和金属棒ab，则()A．金属棒ab最终可能匀速下滑B．金属棒ab一直加速下滑C．金属棒ab下滑过程中M板电势高于N 板电势D．带电微粒不可能先向N板运动后向M 板运动解析：选BC.金属棒沿光滑导轨加速下滑，棒中有感应电动势而对电容器充电，充电电流通过金属棒时受安培力作用，只有金属棒速度增大时才有充电电流，因此总有mg sin θ－BIl>0，金属棒将一直加速，A错B对；由右手定则可知，金属棒a端电势高，则M板电势高，C项正确；若微粒带负电，则静电力向上与重力反向，开始时静电力为0，微粒向下加速，当静电力增大到大于重力时，微粒的加速度向上，D项错．4．(多选)(2013·高考四川卷) 如图所示，边长为L、不可形变的正方形导线框内有半径为r 的圆形磁场区域，其磁感应强度B随时间t的变化关系为B＝kt(常量k>0)．回路中滑动变阻器R 的最大阻值为R0，滑动片P位于滑动变阻器中央，定值电阻R1＝R0、R2＝R02.闭合开关S，电压表的示数为U，不考虑虚线MN右侧导体的感应电动势，则()A ．R 2两端的电压为U 7B ．电容器的a 极板带正电C ．滑动变阻器R 的热功率为电阻R 2的5倍D ．正方形导线框中的感应电动势为kL 2 解析：选AC.根据串、并联电路特点，虚线MN 右侧回路的总电阻R ＝74R 0.回路的总电流I ＝U R ＝4U 7R 0，通过R 2的电流I 2＝I 2＝2U 7R 0，所以R 2两端电压U 2＝I 2R 2＝2U 7R 0·R 02＝17U ，选项A 正确；根据楞次定律知回路中的电流为逆时针方向，即流过R 2的电流方向向左，所以电容器b 极板带正电，选项B 错误；根据P ＝I 2R ，滑动变阻器R 的热功率P ＝I 2R 02＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫I 22R 02＝58I 2R 0，电阻R 2的热功率P 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫I 22R 2＝18I 2R 0＝15P ，选项C 正确；根据法拉第电磁感应定律得，线框中产生的感应电动势E ＝ΔΦΔt＝B t S ＝k πr 2，选项D 错误． 5.如图所示，匀强磁场B ＝0.1T ，金属棒AB 长0.4 m ，与框架宽度相同，电阻为13 Ω，框架电阻不计，电阻R 1＝2 Ω，R 2＝1 Ω，当金属棒以5 m/s 的速度匀速向左运动时，求：(1)流过金属棒的感应电流多大？(2)若图中电容器C 的电容为0.3 μF ，则充电量为多少？解析：(1)金属棒匀速运动时，电容器没有充电电流．E ＝BL v ＝0.1×0.4×5 V ＝0.2 VR 1、R 2并联电阻：R ＝R 1R 2R 1＋R 2＝23Ω I ＝E R ＋r ＝0.223＋13A ＝0.2 A. (2)路端电压U ＝I ·R ＝0.2×23 V ＝0.43V Q ＝CU ＝0.3×10－6×0.43C ＝4×10－8 C. 答案：(1)0.2 A (2)4×10－8C6.金属杆MN 和PQ 间距为l ，MP 间接有电阻R ，NQ 间接有电容为C 的电容器，磁场如图所示，磁感应强度为B .金属棒AB 长为2l ，由图示位置以A 为轴，以角速度ω匀速转过90°(顺时针)后静止．求该过程中(其他电阻不计)：(1)R 上的最大电功率；(2)通过R 的电荷量．解析：AB 转动切割磁感线，且切割长度由l 增至2l 以后AB 离开MN ，电路断开．(1)当B 端恰至MN 上时，E 最大E m ＝B ·2l ·0＋ω·2l 2＝2Bωl 2 P R m ＝E 2m R ＝4B 2ω2l 4R .(2)AB 由初位置转至B 端恰在MN 上的过程中回路的磁通量的变化为ΔΦ＝B ·12l ·2l ·sin 60°＝32Bl 2 此时通过R 的电荷量为q 1＝I ·Δt ＝ΔΦR ＝3Bl 22R此时电容器的带电量为q 2＝CE m ＝2CBωl 2. 以后电容器通过R 放电，因此整个过程中通过R 的电荷量为q ＝q 1＋q 2＝3Bl 22R＋2CBωl 2. 答案：(1)4B 2ω2l 4R (2)3Bl 22R＋2CBωl 2 7．如图所示，半径为L 1＝2 m 的金属圆环内上、下半圆各有垂直圆环平面的有界匀强磁场，磁感应强度大小均为B1＝10πT．长度也为L1、电阻为R的金属杆ab，一端处于圆环中心，另一端恰好搭接在金属环上，绕着a端沿逆时针方向匀速转动，角速度为ω＝π10rad/s.通过导线将金属杆的a端和金属环连接到图示的电路中(连接a端的导线与圆环不接触，图中的定值电阻R1＝R，滑片P位于R2的正中央，R2的总阻值为4R)，图中的平行板长度为L2＝2 m，宽度为d＝2 m．图示位置为计时起点，在平行板左边缘中央处刚好有一带电粒子以初速度v0＝0.5 m/s向右运动，并恰好能从平行板的右边缘飞出，之后进入到有界匀强磁场中，其磁感应强度大小为B2，左边界为图中的虚线位置，右侧及上下范围均足够大．(忽略金属杆与圆环的接触电阻、圆环电阻及导线电阻，忽略电容器的充放电时间，忽略带电粒子在磁场中运动时的电磁辐射的影响，不计平行金属板两端的边缘效应及带电粒子的重力和空气阻力)求：(1)在0～4 s内，平行板间的电势差U MN；(2)带电粒子飞出电场时的速度；(3)在上述前提下若粒子离开磁场后不会第二次进入电场，则磁感应强度B 2应满足的条件．解析：(1)金属杆产生的感应电动势恒为E ＝12B 1L 21ω＝2 V 由电路的连接特点知：E ＝I ·4RU 0＝I ·2R ＝E /2＝1 VT 1＝2π/ω＝20 s由右手定则知：在0～4 s 时间内，金属杆ab 中的电流方向为b →a ，则φa >φb则在0～4 s 时间内，φM <φN ，U MN ＝－1 V .(2)粒子在平行板电容器内做类平抛运动，在0～T 1/2时间内水平方向L 2＝v 0·t 1t 1＝L 2/v 0＝4 s<T 1/2竖直方向d 2＝12at 21 a ＝Eq m ，E ＝U d ，v y ＝at 1得q /m ＝0.25 C/kg ，v y ＝0.5 m/s则粒子飞出电场时的速度v ＝v 20＋v 2y ＝22m/stan θ＝v y /v 0＝1，所以该速度与水平方向的夹角θ＝45°.(3)粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由B 2q v ＝m v 2r得r ＝m v B 2q由几何关系及粒子在磁场中运动的对称性可知，2r >d 时离开磁场后不会第二次进入电场，即B 2<2m v dq ＝2 T.答案：(1)－1 V (2)22m/s 与水平方向成45°夹角(3)B 2<2 T。

高考物理一轮复习学案电磁感应现象中的含容电路

电磁感应现象中的含容电路三种情况1. 导体棒有初速度2. 电容器有电量3. 导体棒有恒定外力一．导体棒有初速度1.（导体棒有初速度）光滑U 型金属框架宽为L ，足够长，其上放一质量为m 的金属棒ab ，左端连接有一电容为C 的电容器，现给棒一个初速v 0，使棒始终垂直框架并沿框架运动，如图所示。

求导体棒的最终速度。

2．（电容器有电量）如图所示，足够长的两平行光滑水平直导轨的间距为L ，导轨电阻不计，垂直于导轨平面有磁感应强度大小为B 、方向竖直向上的匀强磁场；导轨左端接有电容为C 的电容器、开关S 和定值电阻R ；质量为m 的金属棒垂直于导轨静止放置，两导轨间金属棒的电阻为r 。

初始时开关S 断开，电容器两极板间的电压为U 。

闭合开关S ，金属棒运动，金属棒与导轨始终垂直且接触良好，下列说法正确的是（）A ．闭合开关S 的瞬间，金属棒立刻开始向左运动B ．闭合开关S 的瞬间，金属棒的加速度大小为BULmRC ．金属棒与导轨接触的两点间的最小电压为零D ．金属棒最终获得的速度大小为22BCULm B L C+3.（导体棒有恒定外力）如图所示,含电容 C 的金属导轨宽为 L,垂直放在磁感应强度为 B 的匀强磁场中,质量为 m 的金属棒跨在导轨上,证明：在恒力 F 的作用下,做匀加速直线运动,且加速度CL B m F22a +=4.（多选）如图所示，宽为L 的水平光滑金属轨道上放置一根质量为m 的导体棒MN ，轨道左端通过一个单刀双掷开关与一个电容器和一个阻值为R 的电阻连接，匀强磁场的方向与轨道平面垂直，磁感应强度大小为B ，电容器的电容为C ，金属轨道和导体棒的电阻不计．现将开关拨向“1”，导体棒MN 在水平向右的恒力F 作用下由静止开始运动，经时间t 0后，将开关S 拨向“2”，再经时间t ，导体棒MN 恰好开始匀速向右运动．下列说法正确的是( ) A ．开关拨向“1”时，金属棒做加速度逐渐减小的加速运动 B ．t 0时刻电容器所带的电荷量为CBLFt 0m ＋CB 2L 2C ．开关拨向“2”后，导体棒匀速运动的速率为FR B 2L 2D ．开关拨向“2”后t 时间内，导体棒通过的位移为FR B 2L 2(t ＋mt 0m ＋CB 2L 2－mR B 2L2) 5（多选）．如图甲所示，水平面上有两根足够长的光滑平行金属导轨MN 和PQ ，两导轨间距为l ，电阻均可忽略不计。

电磁感应定律的各种题型加讲解

C ⑵ 电容器所带的电荷量q 。 R N'
R M'
b
解答（1）设a b上产生的感应电动势为E ，回路中的电流为I ，a b运动距离s所用时间为t ，则有: E=Blv ① E ② I 4R s t ③ v 2 ④ Q I 4R t 4QR v 2 2 由上述方程得 ⑤ B l s （2）设电容器两极板间的电势差为U，则有: U=IR ⑥ 电容器所带电荷量: q =C U ⑦ CQR q 解得: ⑧ Bls
解答（1）棒MN右移时，切割磁感线，产生感应电动势，棒MN相当于电源，内电阻为R。其等效电路如图所示。棒两端的电压为路端电压。金属棒经过环心时，棒中产生的感应电动势为：
E B 2a v 2 Bav
此时，圆环的两部分构成并联连接，且 R左 R右 R ，
故并联部分的电阻为：
(3)运用全电路欧姆定律,串并联电路性质,电功率等公式联立求解.
解题要点：
电磁感应问题往往跟电路问题联系在一起。产生感应电动势的导体相当于电源，将它们接上电阻等用电器，便可对其供电；接上电容器，便可使其充电。解决这类问题，不仅要运用电磁感应中的规律，如右手定则、楞次定律和法拉第电磁感应定律等，还要应用电场、电路中的相关知识，如电容公式、欧姆定律、电功率公式、串、并联电路性质等。关键是把电磁感应的问题等效转换成稳恒电路问题来处理。一般可按以下三个步骤进行。
解答
⑪ CD以最大速度运动时是匀速直线运动,有:
F (R r) BLv m v 25m / s 得： I m 2 2 又: B L Rr ⑫ CD以25m/s的速度匀速运动时，电容器上的电压 R 为UC，则有： UC BLv 2.0V Rr 电容器下极板带正电带电：Q = CUC = 4×10-3C

电磁感应与电容器的综合问题

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电磁感应与电容器的综合问题
作者：梁小海
来源：《中学物理·高中》2014年第05期
电感应与电路规律的综合应用，是复习的重点也是难点，分析近年高考尤其是2013高考，可以得出命题规律：注重基础，突出能力，稳中发展，突显力电的主导地位.但是，含容电路问题学生较为陌生，本文就电磁感应与电容器的综合问题进行分析.
情景引入在图甲、乙、丙三图中，除导体棒ab可动外，其余部分均固定不动，甲图中的电容器C原来不带电.设导体棒、导轨和直流电源的电阻均可忽略，导体棒和导轨间的摩擦也不计.图中装置均在水平面内，且都处于方向垂直水平面（即纸面）向下的匀强磁场中，导轨足够长.今给导体棒ab一个向右的初速度v0，在甲、乙、丙三种情形下导体棒ab的最终运动状态
A.三种情形下导体棒ab最终均做匀速运动
B.甲、丙中，ab棒最终将以不同的速度做匀速运动；乙中，ab棒最终静止
C.甲、丙中，ab棒最终将以相同的速度做匀速运动；乙中，ab棒最终静止
D.三种情形下导体棒ab最终均静止
解析在图甲中，导体棒向右运动切割磁感线产生感应电流而使电容器充电，当电容器C
极板间电压与导体棒产生的感应电动势相等时，电路中没有电流， ab棒向右做匀速运动（图2甲）；
在图乙中，导体棒向右运动切割磁感线产生感应电流，通过电阻R转化为内能，当ab棒的动能全部转化为内能时，ab棒静止（图2乙）；
在图丙中，导体棒先受到向左的安培力作用做减速运动，速度减为零后再在安培力作用下向左做加速运动，当导体棒产 [LL]生的感应电动势与电源的电动势相等时，电路中没有电流，ab棒向左做匀速运动（图2丙）.所以B项正确.。

2014年河南宏力学校《电磁感应中的导轨问题》

(1) v=0时,有最大加速度：
F mg am m
(2) a=0时,有最大速度： F B 2 l 2v F FB mg g 0 a m m( R r ) m
( F mg )( R r ) vm 2 2 Bl
发电式单棒
7．稳定后的能量转化规律
Blv U C I R
v0
I感渐小
t
电容无外力充电式
5．最终速度电容器充电量：
v0
q CU
最终导体棒的感应电动势等于电容两端电压：
U Blv
对杆应用动量定理：
mv0 mv BIl t Blq 2 2 BlC v v0 m
无外力等距双棒
1．电路特点棒2相当于电源;棒1受安培力而加速起动,运动后产生反电动势. 2．电流特点
( BLvm )2 Fvm mgvm Rr 8．起动过程中的三个规律
F
1 2 (1)能量关系： Fs QE mgS mvm 2 F FB mg F B 2 l 2v g 0 (2)瞬时加速度： a m m( R r ) m
电容放电式：
电容无外力充电式
1．电路特点导体棒相当于电源;电容器被充电. 2．电流的特点导体棒相当于电源; F安为阻力，棒减速, E减小有I感电容器被充电。 UC渐大，阻碍电流当Blv=UC时，I=0， F安=0，棒匀速运动。 v 3．运动特点 v0 a渐小的加速运动，最终做匀速运动。 4．最终特征匀速运动 v O 但此时电容器带电量不为零
1．电路特点电容器放电，相当于电源；导体棒受安培力而运动。 2．电流的特点电容器放电时，导体棒在安培力作用下开始运动，同时产生阻碍放电的反电动势，导致电流减小，直至电流为零，此时UC=Blv v 3．运动特点 a渐小的加速运动，最终做匀速运动。 4．最终特征匀速运动但此时电容器带电量不为零 vm

电磁感应中的电路与电荷量问题

第一讲电磁感觉中的电路与电荷量问题电磁感觉常常与电路问题联系在一同，解决电磁感觉中的电路问题只要要三步：第一步：确立电源。

切割磁感线的导体或磁通量发生变化的回路将产生感觉电动势，则该导体或回路就相当于电源，利用求感觉电动势的大小，利用右手定章或楞次定律判断电流方向。

假如在一个电路中切割磁感线的有几个部分但又互相联系，可等效成电源的串、并联。

第二步：剖析电路构造（内、外电路及外电路的串并联关系），画等效电路图。

第三步：利用电路规律求解。

主要应用欧姆定律及串并联电路的基天性质等列方程求解。

感觉电动势大小的计算——法拉第电磁感觉定律的应用。

1、折线或曲线导体在匀强磁场中垂直磁场切割磁感线平动，产生的感觉电动势：E=BLvsin θ；2、直导体在匀强磁场中绕固定轴垂直磁场转动时的感觉电动势：；3、圆盘在匀强磁场中转动时产生的感觉电动势：；4、线圈在磁场中转动时产生的感觉电动势：（θ为S 与 B 之间的夹角）。

2、电磁感觉现象中的力学识题（1）经过导体的感觉电流在磁场中将遇到安培力作用，电磁感觉问题常常和力学识题联系在一同，基本方法是：①用法拉第电磁感觉定律和楞次定律求感觉电动势的大小和方向；②求回路中电流强度；③剖析研究导体受力状况（包括安培力，用左手定章确立其方向）；④列动力学方程或均衡方程求解。

（ 2）电磁感觉力学识题中，要抓好受力状况，运动状况的动向剖析，导体受力运动产生感觉电动势→感觉电流→通电导体受安培力→合外力变化→加快度变化→速度变化→循环往复地循环，循环结束时，加快度等于零，导体达稳固运动状态，抓住a=0 时，速度v 达最大值的特色。

3、电磁感觉中能量转变问题导体切割磁感线或闭合回路中磁通量发生变化，在回路中产生感觉电流，机械能或其余形式能量便转变为电能，拥有感觉电流的导体在磁场中受安培力作用或经过电阻发热，又可使电能转变为机械能或电阻的内能，所以，电磁感觉过程老是陪伴着能量转变，用能量转变看法研究电磁感觉问题常是导体的稳固运动（匀速直线运动或匀速转动），对应的受力特色是合外力为零，能量转变过程经常是机械能转变为内能，解决这种问题的基本方法是：①用法拉第电磁感觉定律和楞次定律确立感觉电动势的大小和方向；②画出等效电路，求出回路中电阻耗费电功率表达式；③剖析导体机械能的变化，用能量守恒关系获得机械功率的改变与回路中电功率的改变所知足的方程。

关于电磁感应中“电容问题”的讨论

关于电磁感应中电容问题的讨论王㊀成(江苏省苏州中学㊀２１５００２)摘㊀要:电容问题一直是一类难题ꎬ电磁感应中的电容更是难上加难ꎬ众所周知电容在直流电路中是断路的ꎬ但是电流大小或者方向一旦发生变化就出现了通路 ꎬ当然这里的通路不是真的通了ꎬ而是电容的不断充电与放电ꎬ本文抓住电容充放电时电容上电压和电流的特点.就电容在电磁感应中问题进行归纳与总结ꎬ希望能够抛转引玉.关键词:电磁感应ꎻ电容电路中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０１９)０７－００６３－０２㊀㊀一㊁电容器充放电的过程的电压㊁电流的特点电容充电与放电都是一个过程.而不是一个瞬间.图１(ａ)电键ｋ打到１时ꎬ电源给电容充电ꎬ当电压与电动势相等时ꎬ充电结束.(ｂ)图像就是充电时的电压－时间图像ꎬ电键ｋ打到２时ꎬ电容放电ꎬ电量完全放完放电结束.(ｃ)图像是放电时的电压－时间图像.因为电流ｉ＝ｑ/ｔꎬｑ＝ｕｃꎬ所以ｉ＝ｕｃ/ｔꎬ所以图像的斜率可出电流的特点ꎬ可以看出充电时电流是越来越小ꎬ放电时电流也是越来越小.㊀㊀图１㊀㊀二㊁电磁感应中的电容１.恒力作用在切割棒上时电容电路的规律匀变速直线运动任何运动受力的分析必须从受力分析开始ꎬ电容在电路中会出现充放电ꎬ充电与放电就产生电流ꎬ由于有了电流就有了安培力ꎬ所以必须从安培力的形式下手ꎬ由于安培力是个变化的力ꎬ所以必须用微元法进行分析ꎬ分析安培力的形式ꎬ注意这里不能用欧姆定律进行解题.例１㊀如图２所示ꎬ竖直放置在绝缘地面上的金属框架ꎬ框架的上端接有一电容为Ｃ的电容器ꎬ有一质量为ｍꎬ长为Ｌ金属棒与框架接触良好无摩擦平行滑动ꎬｈ为离地面的高度ꎬ匀强磁场强度为Ｂ与框架平面保持垂直ꎬ开始时电容器没有电量ꎬ将棒释放自静止滑下ꎬ求棒落到地面的时间ｔ.不计各处电阻.解析㊀假设导体棒做匀加速运动ꎬ导棒在重力作用下下落ꎬ下落的同时由于磁场的存在ꎬ运动的导体棒切割磁场ꎬ产生了感应电动势.由于电容器的存在ꎬ在棒上产生相应的充电电流ꎬ棒垂直磁场时就会受到安培力ꎬ因此ꎬ棒在重力㊁安培力作用下向下加速运动ꎬ由牛顿第二定律Ｆ合＝ｍａꎬ得到ｍｇ－Ｆ安＝ｍａꎬＦ安＝ＢＩＬ.某时刻电容器充的电量大小为Ｑ＝ＣＵꎬ而Ｕ＝ＢＬｖ.在很小的时间әｔ内ꎬ棒上电动势的变化量为әＵꎬ电容器上电量的增加量为әＱꎬ显然әＵ＝ＢＬәｖꎬәＱ＝Ｃ әＵꎬ再根据电流的定义式ｉ＝ΔＱｔΔꎬａ＝ΔｖΔｔꎬ得:ａ＝ｍｇｍ＋Ｂ２Ｌ２Ｃ加速度与时间无关ꎬ说明是匀加速运动ꎬ用匀变速直线运动的公式可以求解.２.无拉力作用时电容电路的规律先变加速ꎬ最后会匀速直线运动电容电路中导体棒如果不受到拉力ꎬ合力就只有安培力的作用了ꎬ安培力大小与电流大小有关ꎬ电流的大小变化与电容充放电的特点有关ꎬ速度的变化引起反电动势的变化ꎬ电容两端的电压与感应电动势大小相等从而打到电压的平衡ꎬ这样电流的消失ꎬ最终会匀速直线运动.例２㊀如图３所示ꎬ金属杆ａｂ贴着水平平行金属导轨在匀强磁场中沿垂直磁场电容为Ｃ的电容器ꎬ先用外力拉着金属棒向右方向运动ꎬ到有一定速度时突然撤销外力.不计摩擦ꎬ则分析棒最终的运动情况可能是(㊀㊀).Ａ.简谐运动㊀Ｂ.匀速直线运动㊀Ｃ.匀加速运动㊀Ｄ.匀减速运动解析㊀这种类型是先有速度ꎬ电容上的电量为０.分析必须从受力开始ꎬ以金属杆为对象ꎬ当外力拉杆ａｂ在匀强磁场中沿垂直磁场方向运动切割磁场时ꎬ杆的两端产生感应电动势ꎬ电容器此刻被充电ꎬ设棒向右为正ꎬ使用右手定则判断方向可知:ａｂ中产生的电流从ｂ流到ａꎬ所以电容器上正下负.当外力突然消失后ꎬ棒将做加速度减小的减速运动ꎬ从而电路产生的电动势也相应的减小ꎬ所以电路中感应电流会对应的变小ꎬ随着时间的推移ꎬ当棒产生的感应电动势与电容器两端的电压相等时ꎬ电流消失ꎬ棒ａｂ受到安培力为０ꎬ所以棒最终将做匀速运动ꎬ故Ｂ正确.故选:Ｂ.要强调的是电容的电量不会无限的增大ꎬ导体棒也不会无限的减少ꎬ只有匀速直线运动才是导体棒最终的状态.例３㊀如图４所示ꎬ光滑的水平面上有一平行金属导轨ꎬ导轨光滑且电阻不计.电源的电动势为Ｅꎬ匀强磁场与导轨垂直.阻值为Ｒ的导体棒垂直于导轨静止放置ꎬ且与导轨接触.Ｔ＝０时ꎬ将电键Ｓ由１掷到２.Ｑ㊁ｉ㊁ｖ和ａ分别表示电容器所带的电荷量㊁棒中的电流㊁棒的速度和加速度.图５中正确的是(㊀㊀).㊀㊀解析㊀这种类型是先有电量ꎬ而导体棒的速度为０.开关Ｓ打在１时电容被充电ꎬ开关打到２时ꎬ电容器开始形成放电电流ꎬ垂直磁场中的导体棒必然受到安培力的作用ꎬ从而产生加速度ꎬ速度增大ꎬ根据公式感应电动势Ｅ＝ＢＬｖ发现速度越大ꎬ反电动势也越大ꎬ而电容的放电特点可以看出电流变小ꎬ从安培力Ｆ＝ＢＩＬ得到安培力减小ꎬ根据ａ＝Ｆ/ｍ很容易得到加速度即减小的结论.所以棒先做加速度减少的变加速运动.这种由于电容器短接放电产生电流使得导体棒在安培力作用下加速运动ꎬ而导体棒运动产生反电动势会越来越大.电容上的电压越来越小ꎬ感应电动势与电容上的电压两者相等时ꎬ电流消失ꎬ所以最终导体棒做匀速直线运动.即电容器的电量从此不再变化ꎬ所以不会减到０.故选:Ｄ.㊀㊀参考文献:[１]郭玉英ꎬ姚建欣ꎬ张玉峰.基于学生核心素养的物理学科能力研究[Ｍ].北京:北京师范大学出版社ꎬ２０１７.[２]王超.微元思想之花绽放物理新课堂[Ｊ].中学物理ꎬ２０１３(１９).[３]殷绍燕.电磁感应中导体棒受安培力作用的教学实践[Ｊ].物理通报ꎬ２０１３(６).[责任编辑:闫久毅]一道物理极值问题引发的思考张书玮(内蒙古包头市第一中学㊀０１４０４０)摘㊀要:本文就浙江大学出版社出版由舒幼生㊁钟小平主编的«新编高中物理竞赛培训教材»第一分册第八讲圆周运动习题６的答案进行分析及补充讨论.关键词:物理ꎻ特值法中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０１９)０７－００６４－０２㊀㊀一㊁题目与参考答案题目㊀如图１所示ꎬ一根长为ｌ的均匀细杆可以绕通过其一端的水平轴Ｏ在竖直平面内转动ꎬ杆最初处在水平位置.杆上距Ｏ为ａ处放有一小物体(可视为质点)ꎬ杆与其上小物体最初均处于静止状态ꎬ若此杆突然以匀角速度ω绕Ｏ轴运动.问:当ω取什么值时小物体与杆可能相碰?㊀㊀参考答案:当ω较小时物体正好撞晨杆的边缘ꎬ转过小半圆周ꎬ１２ｇｔ２＝ｌ２－ａ２ｃｏｓωｔ＝ａｌ{ꎬω＝ｇ２(ｌ２－ａ２)ａｒｃｃｏｓａｌꎬ所以０<ωɤｇ２(ｌ２－ａ２)ａｒｃｃｏｓａｌ.当ω较大时物体也撞晨边缘ꎬ转过大半圆周ꎬ。

高观点下统一解析电磁感应中 3类含电容动力学问题曹鹏,李力,朱远稼

高观点下统一解析电磁感应中3类含电容动力学问题曹鹏(重庆市实验中学重庆 401320)李力朱远稼(重庆市清华中学重庆 400054)(收稿日期:20190421)摘要:含电容的 U 形水平金属框架回路中导体棒切割匀强磁场运动的动力学问题,分无外力充电式有外力充电式放电式 3类情况,通常分别使用不同方法求解,不容易看出它们之间的内在联系从而妨碍对物理意义的认识.本文从更高的观点出发,通过设置最一般化的初始条件参数,建立统一的微分方程,得到一般性结果后,再导出3类情况的特解,能够清楚地看出它们的联系和物理意义.关键词:含电容动力学问题统一解析微分方程特解文献[1~7]研究了含电容的 U 形水平金属框架回路中导体棒做垂直切割匀强磁场运动的动力学问题,文献[6]将这些问题分为无外力充电式有外力充电式放电式 3类情况.虽然相关文献较多,但由于分别使用不同的特殊方法求解,不容易看出这些貌似各异的问题之间存在深刻联系和统一的本质,从而难以准确理解结果的物理意义.本文从更高的观点出发,通过设置最一般化的初始条件参数,建立统一的微分方程,得到一般性结果,再导出3类情况的特解,能够清楚地看出它们的联系和物理意义.1 一般问题的推导一般问题表述如下:如图1所示,水平光滑导轨处在竖直向下㊁大小为B 的匀强磁场中,导轨间距为L ,电容器的电容为C ,初始时刻电荷量为q 0,电阻阻值为R .质量为m ,电阻为r 的导体棒a b 垂直导轨放置,水平向右的恒力F 垂直作用在a b 棒上,初速度v 0水平向右.假设电容器两极板间电压始终小于耐压值,导轨电阻不计,求回路电流㊁导体棒速度分别与时间的关系.图1 含电容器类问题情境图假定初始时刻导体棒的电动势比电容器两极板间的电压大,水平恒力F 比导体棒所受安培力大,取电流逆时针绕向为正方向,在任意t 时刻对全电路有B L v =i (R +r )+qC(1)对电容有i =dq d t (2)对导体棒有F -B i L =md vd t(3)初始条件为v 0u 0=q 0Ci 0=B L v 0-u 0R +r(4)式(1)对时间微商后将式(2)代入得B Ld v d t =(R +r )d i d t +1Ci 化为d v d t =R +r B L d i d t +i C B L把此式代入式(3)得F -B i L =m (R +r )B L d i d t +m C B Li401整理得d i d t +m +C B 2L 2m C (R +r )i =B L Fm (R +r ) d id t+λi =ξ(5)其中 λ=m +C B 2L 2m C (R +r ) ξ=B L F m (R +r )(6)显然一阶线性常系数微分方程式(5)对应的齐次方程的通解为i =C 1e -λt ,检验易得到式(5)的特解为i =ξλ=C B L F m +C B 2L 2(常量)故式(5)的通解为i =ξλ+C 1e -λt =C B L F m +C B 2L2+C 1e -λt (7)因t =0时i =i 0=B L v 0-u 0R +r代入解得C 1=B L v 0-u 0R +r -C B L F m +C B 2L 2=i 0-ξλ故回路电流i =ξλ+i 0-ξæèçöø÷λe -λt =C B L F m +C B 2L 2+B L v 0-u 0R +r-C B L F m +C B 2L æèçöø÷2e -m +C B 2L 2m C (R +r )t (8)将式(8)代入式(3),分离变量后积分ʏv v 0d v =ʏt01m F -B L ξλ+i 0-ξæèçöø÷λe -λéëêêùûúú{}t d t 解得导体棒的速度为v =v 0+F t m -B L m λξt -i 0-ξæèçöø÷λ(e -λt -1éëêùûú)=v 0+F m +C B 2L 2t +C B L m +C B 2L 2[(B L v 0-u 0)- C B L F (R +r )m +C B 2L2]e -m +C B 2L 2m C (R +r )t -()1(9)上述式(8)㊁(9)就是回路电流㊁导体棒速度随时间变化的规律.当然还可以进一步推出导体棒加速度a ㊁电容器电荷量q 随时间变化的规律,此处不再赘述.2 3类特殊情况的解及其物理意义2.1无外力充电式特殊情况之一如图2所示,初始条件中仅有初速度不为零,在式(8)㊁(9)中令F =0和u 0=0,故电流㊁速度规律分别为i =B L v 0R +re-m +C B 2L 2m C (R +r )t (10)v =v 0+C B 2L 2v 0m +C B 2L2[e -m +C B 2L 2m C (R +r )t -1](11)图2 无外力充电式电流i 随t 时间呈指数衰减,t ңɕ时i ң0,v ңmm +C B 2L 2v 0.文献[5]依据能量守恒,用导体棒动能的损失减去电容器末态储能,间接计算出回路产生的焦耳热为Q =m C B 2L 2v 22(m +C B 2L 2)由于此式不含回路电阻(R +r ),不禁让人产生疑问:回路中的能量损失是否为回路电阻上的焦耳热,或是有其他形式的能量损失?为何Q 的表达式与(R +r )无关?如果假设不计回路电阻(R +r ) ,这样的假设是否合理?文献[1~7]虽有提及但未能对上述问题透彻分析,我们不妨根据式(10)作出定量解析.Q =ʏɕ0i 2(R +r )d t =ʏɕ0(B L v 0)2R +re -2m +C B 2L 2m C (R +r )t d t =(B L v 0)2R +r m C (R +r )-2(m +C B 2L 2)e -2m +C B 2L 2m C (R +r )t ɕ0=m C B 2L 2v 22(m +C B 2L 2)(12)所得结果与文献[5]从能量守恒算出的数值完全一致.众所周知,电流i 衰减为初始值的e -1所需时间(即时间常数)为τ=m C (R +r )m +C B 2L 2ɖ(R +r )而初始功率(B L v 0)2R +r ɖ1R +r从式(12)的运算过程可以看出,二者相乘时(R +r )正好约掉,这就是Q 的表达式与(R +r)无关的原因,501这也在一定程度上掩盖了电路能量损失为(R +r )上产生的焦耳热的事实.顺便指出,能量损失大小虽然与(R +r )数值无关,但(R +r )会影响这个暂态过程的趋稳时间.2.2 有外力充电式特殊情况之二如图3所示,根据初始条件令q 0=0,v 0=0,则式(8)㊁(9)退化为 i =C B L F m +C B 2L21-e -m +C B 2L 2m C (R +r )[]t (13) v =Fm +C B 2L 2t - C 2B 2L 2F (R +r )(m +C B 2L2)2e -m +C B 2L 2m C (R +r )t -[]1(14)当t ңɕ时回路电流㊁导体棒速度分别收尾为i ңC B L Fm +C B 2L 2和v =C 2B 2L 2F (R +r )(m +C B 2L 2)2+F m +C B 2L 2t 这意味着稳定时电流恒定而导体棒做匀加速运动.图3 有外力充电式如果假设回路总电阻R +r =0,则回路电流一直恒为i =C B L F m +C B 2L 2导体棒速度为v =F m +C B 2L 2t表明从初始时刻起便一直做匀加速直线运动.这时导体棒产生的电动势正好等于电容器极板电压,如2013年高考全国新课标Ⅰ卷第25题就属于这种情况,学生可用初等方法求解,如果假设总电阻R +r ʂ0,则初等方法不能求解,题目超出了高考考纲要求.2.3 放电式特殊情况之三如图4所示,按照初始条件要求,此处令F =0,v 0=0,式(8)㊁(9)退化为 i =-q 0C (R +r)e -m +C B 2L 2m C (R +r )t (15) v =B L q 0m +C B 2L 2[1-e -m +C B 2L 2m C (R +r )t ](16)式(15)中负号表示电流方向为顺时针,即电容器放电,t ңɕ时i ң0 v ңB L q 0m +C B 2L2图4 放电式根据能量守恒,将电容器储能的损失减去导体棒所获动能,可得电路损失的能量即回路产生的焦耳热Q =m q 22C (m +C B 2L 2)表达式仍然与(R +r )无关.其原因与2.1中所述一样,此处不再赘述.可见这一类问题同上述2.1问题类似,不考虑回路电阻(R +r )也是不合理的.3 结束语综上所述,本文从更高的观点出发,通过设置最一般化的初始条件参数,建立统一的微分方程,针对这3类貌似各异的问题,得到了一般性结果,详细分析了3类特解情况的物理意义.这个统一的解析方法得益于建立并求解尽量一般化的初始条件下的微分方程,可见灵活地借助数学语言,能看清楚不同物理现象背后隐蔽而统一的规律与内在联系.参考文献1 黄健康.有无电阻的导体棒都能做匀加速直线运动吗[J ].物理教师,2016(10):62~632 郑金.对两道电磁感应试题的探讨[J ].物理通报,2017(4):26~283 赵林明.对2013年新课标Ⅰ卷高考压轴试题科学性追问的解答[J ].物理教师,2014(3):67~684 黄尚鹏.为什么必须忽略所有电阻[J ].物理通报,2014(3):96~975 程稼夫.中学奥林匹克竞赛物理教程电磁学篇(第2版)[M ].合肥:中国科学技术大学出版社,2014.417~4186 赵怀彬.电磁感应中电容器问题的三类模型[J ].物理教学,2014(8):49~507 郑金. 电容㊃滑杆类竞赛题的多解[J ].中学物理教学参考,2011(7):30~32601。