6.3实数专题 第三讲-
6.3 实数 课件3(数学人教版七年级下册)
2．运用新知 把下列各数填入相应的集合内：
2 3 15 ， 4 ， 16 ， ， 27 ， 0.15 ， 7.5 ， π， 0， 2.3 ． 3
①有理数集合：｛
…｝；
②无理数集合：｛
③正实数集合：｛
…｝；
…｝；
④负实数集合：｛
…｝．
把下列各数填入相应的集合内：
9 3 4
3
5
3
64
随堂练习
二、填空 １、正实数的绝对值是 它本身 ，０的绝对值是
0 ，
负实数的绝对值是 它的相反数 .
２、 3 的相反数是 ３、绝对值等于 5 的数是
3
，绝对值是
3
．
5，
4 3
7 的平方 是
7
．
４、比较大小：－７
5、一个数的绝对值是
p 2
，则这个数是
p 2
.
图形坐标 已知如图，等边三角形 ABC 的边长为 2 ，求 各顶点的坐标。
3．运用新知 例1 （1）分别写出 6 ，π 3.14 的相反数；
6
5
3
3.14 π
3 （2）指出 5 ， 1 3 是什么数的相反数；
（3）求
3
3 1 64 的绝对值；4
（4）已知一个数的绝对值是 3 ,求这个数．
3或
3
3．运用新知 例2 计算下列各式的值： （1） ( 3 2 ) 2
2 ＝
0＝
，－π ＝ ．
，
2．探究新知 结合有理数相反数和绝对值的意义， 你能说说实数关于相反数和绝对值的意义吗? 数 a 的相反数是 a ，
一个正实数的绝对值是它本身； 一个负实数的绝对值是它的相反数； 0的绝对值是0． a , 当a 0时; a 0,当a 0时; - a , 当a 0时.
人教版七年级下册 第六章 实数 6.3 实数 课件(共16张PPT)
3 1.7320
3 5 1.710
5 2.2360 3 7 1.913
3.14159265
无限不循环小数
无限不循环小数叫无理数
我们把这类无限不循环的小数叫做无理数。
☆无理数的特征:
１．圆周率及一些含有 的数 2 1
２．开方开不尽数 2、3 5
注意:带根号 的数不一定 是无理数
3
2
0.5050050005 (每两个5之间依次增加一个 0）
正有理数： 9 , ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
正无理数：＿0＿.5＿0＿5＿0＿0＿5＿0＿0＿0＿5＿＿＿,＿3＿3＿＿, ；
3
1
负有理数： 8 , ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿3＿＿＿＿＿＿；
,
正无理数： 5 2 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
2 ___2___ ______ 0 _0___
a是一个实数，它的相反数为 -a
一个正实数的绝对值是它本身； 一个负实数的绝对值是它的相反数； 0的绝对值是0
１、正实数的绝对值是 它本身 ，０的绝对值是 0 ， 负实数的绝对值是它的相反数 .
２、 3 的相反数是 3 ，绝对值是
3、一个数的绝对值是 p ，则这个数是 2
４、比较大小：－７ 大于 50
3．
p 2
.
5、绝对值等于 5 的数是 5 。
(1)( 3 2) 2; (2)3 3 2 3
解：(1)( 3 2) 2 3 2 2 3
(2)3 3 2 3 （3 2） 3 5 3
解：由题知，a010 a
2 实数： ＿＿5＿, ＿9＿,＿3＿＿8,＿＿13＿,＿0.＿•＿,＿0＿,＿2＿＿,0＿.5＿0＿5＿0＿050005 , 3 3
人教版数学七年级下册6.3《实数》优秀教学案例
3.采用小组合作学习法，让学生在讨论和交流中，共同完成实数性质的探究，培养学生的合作意识和团队精神。
4.设计丰富的教学活动，让学生在实践中感受实数的性质，提高学生的动手操作能力和实践能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学的兴趣，使学生树立自信心，相信自己能够掌握实数的知识。
4.引导学生总结实数的性质，培养学生的归纳总结能力，例如“实数的性质有哪些？如何描述有理数和无理数？”
（三）小组合作
1.让学生分组讨论实数的性质，鼓励学生发表自己的观点，培养学生的合作意识和团队精神。
2.设计小组活动，让学生共同探究实数的运算规则，例如“以小组为单位，总结实数的加法、减法、乘法、除法规则。”
在教学设计上，我遵循了由浅入深、循序渐进的原则，将知识点进行合理划分，使得学生能够逐步理解和掌握实数的概念和性质。在教学方法上，我采用了启发式教学法和小组合作学习法，鼓励学生主动发现问题、解决问题，培养学生的合作意识和团队精神。
在教学评价上，我注重过程性评价与终结性评价相结合，全面了解学生的学习情况，及时调整教学策略，提高教学效果。通过本节课的教学，希望学生能够熟练掌握实数的相关知识，提高他们的数学素养。
三、教学策略
（一）情景创设
1.利用生活实例引入实数的概念，例如身高、体重、温度等，让学生感受到实数与生活的紧密联系。
2.通过设计有趣的数学问题，激发学生的学习兴趣，例如“小明身高1.6米，小红身高1.5米，请问小明比小红高多少？”
3.利用多媒体课件展示实数的应用场景，例如在平面直角坐标系中，展示实数表示的点的位置。
4.创设问题情境，引导学生思考实数的性质，例如“为什么实数可以分为有理数和无理数？”
6.3-实数(教案)
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了实数的基本概念、分类、性质和运算规则。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对实数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在本次教学过程中，我发现实数这一章节对于学生来说确实存在一些难度。首先，实数的概念及其分类，尤其是无理数的理解，对学生来说是一个挑战。在授课过程中，我尽量用生动的例子和实际操作来帮助学生理解这些抽象的概念。例如，通过测量圆的周长和直径来感受π这个无理数，让学生认识到无理数在生活中的实际应用。
在讲授新课的过程中，我注重理论与实际相结合，让学生了解实数的性质和运算规则。我发现，运用案例分析和小组讨论的方式，能够激发学生的学习兴趣，帮助他们更好地理解实数的运算。但同时，我也注意到在实数运算这一部分，部分学生仍然存在困难，尤其是在处理含有无理数的运算时。因此，我打算在接下来的教学中，增加一些有针对性的练习，帮助学生巩固实数运算的知识。
-举例：有理数如分数、整数，无理数如π、√2，强调无理数不能表示为两个整数的比。
b.实数的性质及运算规则：掌握实数的性质，如封闭性、可交换性、结合律等，以及实数的四则运算规则，特别是无理数参与的运算。
-举例：讲解实数运算中，如何处理含有无理数的情况，如√2与√3的和、差、积、商的运算。
c.二次根式与实数的关系：理解二次根式是实数的一种特殊表达形式，掌握二次根式的化简方法，并将其与实数性质相结合。
a.理解实数与数轴的对应关系，Fra bibliotek立数学模型b.运用实数知识解决实际问题，培养数学建模素养
6.3实数 (3)
6.3实数教学目标1、了解无理数及实数的概念,并会对实数进行分类.2、知道实数与数轴上的点具有一一对应关系.3、学会使用计算器探求将有理数化为小数形式的规律.4、学会使用计算器估算无理数的近似值.5、学会使用计算器计算实数的值.1、通过计算器探求将有理数化为小数形式的规律,使学生经历观察、猜想、实验等数学活动过程,培养学生数学探究能力和归纳表达能力.2、在使用计算器估算和探究的过程中,使学生学会用计算器探究数学问题的方法.3、经历从有理数逐步扩充到实数,了解到人类对数的认识是不断发展的.4、经历对实数进行分类,发展学生的分类意识.解决问题1、通过无理数的引入,使学生对数的认识由有理数扩充到实数.2、通过计算器对无理数近似值的估算和对实数计算,使学生发展实践能力.3、在交流中学会与人合作,并能与他人交流自己思维的过程和结果.情感态度1、通过计算器探求将有理数化为小数形式的规律,激发学生的求知欲,使学生感受数学活动充满了探索性与创造性,体验发现的快乐,获取成功的体验.2、通过了解数系扩充体会数系扩充对人类发展的作用.3、敢于面对数学活动中的困难,并能有意识地运用已有知识解决新问题.重点了解无理数和实数的概念,以及实数的分类;会用计算器计算实数.难点对无理数的认识.教学流程安排活动流程图活动内容和目的活动1 通过对有理数探究,激发进一步学习的欲望.通过用计算器计算有理数和研究有理数的规律,得出对数的进一步研究的重要性,引出本节课要研究的课题.活动2 通过对数的归纳辨析,引出无理数和实数的概念,并对实数进行分类. 使学生了解无理数和实数的概念,学会对实数的分类,活动3 通过教师演示和学生活动,建立实数与数轴上的点的一一对应. 通过在数轴上找到表示的点,认识无理数可以用数轴上的点表示,理解实数与数轴上的点建立一一对应的关系.教学过程设计问题与情境师生行为设计意图[活动[活动1]通过对有理数探究,激发进一步学习的欲望.问题:(1)利用计算器,把下列有理数3,- , , , , 转换成小数的形式,你有什么发现?(2)我们所学过的数是否都具有问题(1)中数的特征,即是否都是有限小数和无限循环小数? 教师提出问题(1).教师引导学生观察计算结果,得出任何一个整数或整数比即有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式.教师提出问题(2).学生回顾思考,通过学生对有理数的再认识,师生共同归纳无理数是无限不循环小数,从而得出无理数既不是整数也不是分数的结论.活动1中,教师应关注:(1)学生通过实际计算实现有理数到小数的转化,激发进一步学习无理数的欲望;(2)学生了解无理数的主要特征. 计算器是将有理数转化为小数的主要计算工具,通过组织学生的计算活动,发现规律,并与学过的无限不循环小数作对比,为学习无理数概念作准备.通过让学生参与无理数的概念的建立和发现数系扩充必要性的过程,促进学生对数学学习的兴趣,培养学生初步的发现能力.注重新旧知识的连贯性,使学生体会到学习的内容是融会贯通的。
人教版数学七年级下册6.3《实数》教学设计3
人教版数学七年级下册6.3《实数》教学设计3一. 教材分析人教版数学七年级下册 6.3《实数》是学生在学习了有理数和无理数的基础上，进一步对实数进行系统地认识和理解。
本节课的主要内容是实数的分类，实数与数轴的关系，以及实数的运算性质。
教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生掌握实数的概念，提高学生的数学思维能力。
二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的数学基础，对有理数和无理数有了初步的认识。
但是，对于实数的系统理解和运用，还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要从学生的实际出发，循序渐进地引导学生理解和掌握实数的概念和性质。
三. 教学目标1.了解实数的概念，掌握实数的分类和实数与数轴的关系。
2.掌握实数的运算性质，能够熟练地进行实数的运算。
3.培养学生的数学思维能力，提高学生解决问题的能力。
四. 教学重难点1.实数的分类和实数与数轴的关系。
2.实数的运算性质。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究实数的概念和性质。
2.利用数轴辅助教学，帮助学生直观地理解实数与数轴的关系。
3.运用例题和练习题，巩固学生对实数的理解和运用。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，包括实数的分类、实数与数轴的关系、实数的运算性质等内容。
2.练习题：准备一些有关实数的练习题，用于巩固学生的学习成果。
3.数轴：准备数轴教具，用于辅助教学。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用数轴教具，引导学生回顾有理数和无理数的概念，引出实数的概念。
2.呈现（15分钟）呈现实数的分类，讲解实数与数轴的关系，以及实数的运算性质。
通过例题和练习题，让学生直观地理解实数的概念和性质。
3.操练（15分钟）让学生在课堂上进行实数的运算练习，巩固学生对实数的理解和运用。
4.巩固（10分钟）通过练习题，巩固学生对实数的理解和运用。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
5.拓展（10分钟）引导学生运用实数的概念和性质解决实际问题，提高学生解决问题的能力。
【新】人教版七年级数学下册第六章《6.3 实数》公开课课件4.ppt
无理数的特征：
１．圆周率 及一些含有 的数
２．开不尽方的数 ３．有一定的规律，但
不循环的无限小数
注意：带根号 的数不一定是 无理数
有理数和无理数统称实数.
整数 实 有理数
数
分数
有限小数或无 限循环小数
无理数 无限不循环小数
正有理数
正实数
实
正无理数
数0
负有理数
负实数 负无理数
每个有理数都可以用数轴上的点 表示，那么无理数是否也可以用数轴 上的点来表示呢？
9、春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，日子像桃子一样甜蜜。 2020/12/152020/12/15Tuesday, December 15, 2020
10、人的志向通常和他们的能力成正比例。2020/12/152020/12/152020/12/1512/15/2020 12:57:02 PM 11、夫学须志也，才须学也，非学无以广才，非志无以成学。2020/12/152020/12/152020/12/15Dec-2015-Dec-20 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。2020/12/152020/12/152020/12/15Tuesday, December 15, 2020 13、志不立，天下无可成之事。2020/12/152020/12/152020/12/152020/12/1512/15/2020
THE END 17、一个人如果不到最高峰，他就没有片刻的安宁，他也就不会感到生命的恬静和光荣。2020/12/152020/12/152020/12/152020/12/15
谢谢观看
你能在数轴上找到表示和2及 2
七年级数学下册 第6章 实数 6.3 实数 6.3.3 实数的运算课件下册数学课件
(1) 5 π (精确到0.01);
(2) 3 2 (结果保留3个有效数字).
解：(1) 5 π 2 .2 3 6 3 .1 4 2 5 .3 8 ；
(2) 32 1 .7 3 2 1 .4 1 4 2 .4 5 .
12/9/2021
第九页，共二十一页。
二、合作(hézuò)交流,解读 探究
12/9/2021
3 2 （3 乘法分配律）
5 3.
第七页，共二十一页。
二、合作交流,解读(jiě 探 dú) 究 总结 : (zǒngjié)
实数范围内的运算法则及运算顺序(shùnxù)与有 理数范围内是一样的.
12/9/2021
第八页，共二十一页。
二、合作(hézuò)交流,解读探 究
(3) 1111-2121=2 333 ;
(4) 11111-21212=123333 …
仔细观察上面几道题及其计算结果,你能发现什么
规律吗?根据这个规律先写出下面的结果,并说明理由.
33 3
11 1122 2 n 个 3 .
12/9/2021 2n个谢 大家！ (xiè xie)
(3) 1 2 3 1 2 3 ；
解:(1) 原 式 =(3)2-(2)2=1；
(2) 原 式 = (2 ) 2 - 2 2 1 + 1 = 3 - 22 ；
(3) 原 式 = ( 1 -3 ) 2 - (2 ) 2 = 2 - 23 .
12在/9/202实1 数范围内,乘法公式仍然(réngrán)适用.
12/9/2021
第三页，共二十一页。
一、复习(fùxí)旧知,导入新课
4.有理数的混合(hùnhé)运算顺序.
人教版七年级下数学6.3实数(3实数的运算)课件
6.3 实数
实数的运算
1
学习目标：
会求实数的相反数与绝对值，会对实数 进行简单的运算. 学习重点：
求一个实数的相反数，绝对值. 学习难点： 知道有理数的运算律和运算性质同样适 合于实数的运算，并会进行简单的运算.
2
一、复习引入
1、实数是怎么分类的？
2、有理数可以用数轴来表示吗？无理数呢？ 实数呢？
a,当a 0时; a 0, 当a 0时;
- a,当a 0时. 5
二、运用新知
例1 （1）分别写出 6 ，π 3.14 的相反数； （2）指出 5 ，1 3 3是什么数的相反数； （3）求 3 64 的绝对值； （4）已知一个数的绝对值是 3 ,求这个数．
6
三、运用新知
解：（1） 6 的相反数是 6 ； π 3.14的相反数是 3.14 π ．
（2） 5 的相反数是 5 ； 1 3 3 的相反数是 3 3 1．
（3）3 64 的绝对值是4． （4） 绝对值是 3 的数是 3 或 3 ．
7
探究新知
通过预习，你知道实数之间的运算是怎么进 行的吗? 实数之间不仅……而且……在进行实数的运 算时……
我们如何知道运算律在实数范围内是否适用？
8
三、运用新知
例2 计算下列各式的值.
（1）( 3 2 ) 2
（2）3 3 2 3
9
三．运用新知
解：（1）( 3 2) 2
3 2 2（加法结合律）
3 0 3;
（2） 3 3 2 3 3 2 （ 3 分配律）
5 3.
10
三．运用新知
例3 计算（结果保留小数点后两位）： （1） 5 π ； （2） 3 2 ．
七年级数学上册-6.3 实数 解析版
6.3实数【考点梳理】考点一：实数的概念与分类考点二：实数和数轴问题考点三：实数的大小比较考点四：无理数的估算考点五：无理数的整数和小数部分考点六：实数的运算考点七：实数的程序框图或新定义运算考点八：与实数有关的规律问题知识点一：无理数无限不循环小数称为无理数。
（开方开不尽的数；含有π的数；有规律但不循环的数。
）如2，3等知识点二：实数：有理数和无理数统称实数。
知识点三：实数与数轴每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一点都表示一个实数。
即实数和数轴上的点是一一对应的。
技巧归纳：1、a是一个实数，它的相反数为-a2、一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。
（在实数范围内，相反数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、绝对值的意义完全一样。
）题型一：实数的概念与分类1．（22-23七年级下·福建福州·期末）下列说法正确的是()A．实数分为正实数和负实数B．无限小数都是无理数C．带根号的数都是无理数D．无理数都是无限不循环小数【答案】D【分析】根据实数的分类以及有关概念逐一分析即可解决.【详解】A.实数分为正实数、负实数和零，故此选项错误；B.无限不循环小数是无理数，无限循环小数是有理数，故此选项错误；C.带根号的数不一定是无理数，如4，9等，故此选项错误；D.无理数都是无限不循环小数，故此选项正确；故选：D【点睛】此题考查了实数的分类以及有关概念，掌握实数的分类和相关概念是解答此题的关键. 2．（22-23七年级下·上海杨浦·期末）下列说法中，错误的是（）A．实数可分为有理数和无理数B．无理数可分为正无理数和负无理数；C．无理数都是无限小数D．无限小数都是无理数．【答案】D【分析】有理数与无理数统称实数，无限不循环小数是无理数，根据概念逐一分析即可．【详解】解：实数可分为有理数和无理数，原说法正确，故A不符合题意；无理数可分为正无理数和负无理数，原说法正确，故B不符合题意；无理数都是无限小数，原说法正确，故C不符合题意；无限不循环小数都是无理数，原说法错误，故D符合题意；故选：D【点睛】本题考查的是实数的分类，无理数的含义，熟记概念是解本题的关键．3．（21-22七年级下·河北石家庄·阶段练习）下列说法正确的有（）①无理数都是实数；②实数都是无理数；③无限小数都是有理数；④带根号的数都是无理数；⑤不带根号的数都是有理数．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A【分析】本题主要考查实数，熟练掌握无理数的定义是解题的关键．根据无理数的定义，即无理数是无限不循环小数，结合各选项说法进行判断即可．【详解】解：①无理数都是实数，原说法正确；②实数包括无理数和有理数，原说法错误；③无限循环小数是有理数，原说法错误；④带根号的数不一定是无理数，如9，原说法错误；⑤不带根号的数不一定是有理数，如π等无限不循环小数，原说法错误；故正确的只有1个，故选：A ．题型二：实数和数轴问题4．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，已知正方形ABCD 的面积为5，顶点A 在数轴上，且表示的数为1．现以A 为圆心，AB 为半径画圆，与数轴交于点E （E 在A 的右侧），则点E 表示的数为（）A ． 3.2-B ．5-C ．51--D ．51+【答案】D 【分析】本题主要考查实数与数轴及两点间距离，根据正方形的边长是面积的算术平方根得5AB AE ==，结合A 点所表示的数及AE 间距离可得点E 所表示的数，根据两点间距离及点的位置判断出点所表示的数是关键．【详解】解：∵正方形ABCD 的面积为5，且AB AE =，∴5AB AE ==，∵点A 表示的数是1，且点E 在点A 的右侧，∴点E 表示的数为51+．故选：D ．5．（23-24七年级上·浙江金华·期末）如图，数轴上A ，B 两点表示的数分别是1和3，点A 到点B 的距离等于点C 到点B 的距离，则点C 表示的数是（）A ．31-B ．231-C ．232-D ．31+【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴，以及数轴上两点之间的距离，根据题意得出AB ，再根据点A 到点B 的距离等于点C 到点B 的距离，推出BC ，利用数轴上两点之间的距离即可解题．【详解】解： 数轴上A ，B 两点表示的数分别是1和3，31AB ∴=-，点A 到点B 的距离等于点C 到点B 的距离，∴31BC =-，∴点C 表示的数是331231+-=-．故选：B ．6．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）实数a 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论中正确的是（）A ．11a a -<<-<B ．11a a -<-<<C ．11a a <-<-<D ．11a a<-<<-【答案】D 【分析】本题考查了实数与数轴，实数的大小比较，掌握“数轴上，右边的数总是大于左边的数”是解决问题的关键．根据相反数的概念作图，然后利用数轴比大小．【详解】解：如图，由数轴可得11a a <-<<-，故选：D ．题型三：实数的大小比较7．（23-24七年级上·山东烟台·期末）已知a 是()22-的负的平方根，22=-b ，364=-c ，则a b c ，，中最大的实数与最小的实数的差是（）A ．6B ．2-C ．8-D ．12-【答案】A 【分析】本题主要考查平方根、立方根、绝对值以及有理数的加减运算，根据题意分别求得a b c ，，，再找到最大值和最小值作差即可．【详解】解：∵a 是()22-的负的平方根，22=-b ，364=-c ，∴2a =-，2b =，4c =-，∴a b c ，，中最大的实数为2与最小的实数4-的差()246--=；故选：A ．8．（23-24八年级上·河南平顶山·期中）比较实数10-，327-，0，5-的大小，其中最小的实数为（）．A ．10-B ．327-C ．0D ．5-【答案】A【分析】本题主要考查有理数的比较大小，解答本题的关键在于熟练掌握负数与负数，以及负数与0的大小比较的方法．【详解】解：根据“正数0>>负数”，以及两个负数比较大小，绝对值大的反而小可得：∵3270105->-->>，3027105∴-<-<-<．故选：A ．9．（23-24七年级上·黑龙江绥化·期中）下列各式成立的是（）A ．55<B ．333->-C ．3223-<-D ．3027<-【答案】C【分析】根据实数的大小比较的方法逐一分析判断即可．【详解】解：∵255>，∴55>，故A 不符合题意；∵33-=，3333-=，333>，∴333-<-，故B 不符合题意；∵320-<，230->，∴3223-<-，故C 符合题意；∵30327>-=-，故D 不符合题意；故选C【点睛】本题考查的是实数的大小比较，掌握实数的大小比较的方法是解本题的关键．题型四：无理数的估算10．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）若整数a ，b 满足26a <<，610b <<，则a b -=（）A ．5-B ．1-C ．1D ．5【答案】B【分析】本题考查了无理数的估算，求代数式的值，可估算122<<，263<<，由整数a ，b ，可求出a ，b ，代值计算，即可求解；掌握估算的方法是解题的关键．【详解】解：122<< ，263<<，又 整数a ，b 满足26a <<，610b <<，2a ∴=，3b =，a b∴-23=-1=-；故选：B ．11．（23-24九年级上·福建泉州·期末）已知2023n =，则n 的值可以为（）A ．4045n <<B ．3540n <<C ．3035n <<D ．2530n <<【答案】A【分析】本题考查无理数估算，涉及无理数性质，根据160020232025<<，即可得到答案，熟练掌握无理数的估算方法是解决问题的关键．【详解】解： 160020232025<<，40202345∴<<，故选：A ．12．（22-23七年级下·贵州遵义·期中）若将2-，5，7，11这四个无理数表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹（阴影）覆盖的数是（）A ．2-B ．5C ．7D ．11【答案】D 【分析】本题考查无理数的估算，涉及数轴定义，由题中数轴图示可知数的取值范围是3到5之间，对2-，5，7，11这四个无理数的范围进行估算即可得到答案，熟练掌握无理数的估算方法是解决问题的关键．【详解】解：20-<；由459<<得253<<；由479<<得273<<；由91116<<得3114<<；∴能被阴影覆盖的数是11，故选：D ．题型五：无理数的整数和小数部分13．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）实数231-的整数部分为a ，小数部分为b ，则23a b +=（）A ．3237-B ．2231+C ．3236-D ．32312-【答案】C【分析】本题主要考查了实数的估算，熟练掌握其整数及小数部分的求法是解题的关键．利用算术平方根的估算可知4235<<，32314<-<，即3a =，234b =-，由此即可求得结果．【详解】解：∵4235<<，∴32314<-<，∴3a =，∴32314<-<，∴231234b a =--=-，∴()232332346323123236a b +=⨯+-=+-=-．故选：C ．14．（22-23七年级下·湖北咸宁·期末）大家知道，2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此2的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用21-来表示2的小数部分．因为2的整数部分是1．将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：273<<，故7的整数部分为2，小数部分为72-．已知511+的小数部分为a ，511-的小数部分为b ，则a b +的值为（）A ．1B ．0C ．211D ．2116-【答案】A【分析】根据无理数的估算方法分别表示出a 和b ，再代入a b +计算即可．【详解】∵3114<<，11-4<-<-3，∴85119<+<，111<5-<2，∴511+的整数部分为8，511-的整数部分为1，∵511+的小数部分为a ，511-的小数部分为b ，∴5118113a =+-=-，5111411b =--=-，∴1134111a b +=-+-=．故选A ．【点睛】此题考查了估算无理数的大小，先估算被开方数在哪两个相邻的平方数之间，再估算该无理数在哪两个相邻的整数之间．现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．15．（22-23八年级上·河南驻马店·期末）已知610+的小数部分为a ，610-的小数部分为b ，则()2023a b +的值是（）A ．1B ．1-C ．10D ．36【答案】A【分析】根据题意得出103,410a b =-=-，进而即可求解．【详解】解：∵3104<<，∴961010<+<，26103<-<∴610+的小数部分为6109103+-=-，610-的小数部分为()6102410--=-，∴103,410a b =-=-∴()()20232023103410=1a b +=-+-，故选：A ．【点睛】本题考查了无理数的估算，根据题意得出103,410a b =-=-是解题的关键．题型六：实数的运算16．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）若实数a ，b 满足13a b +=-，则（）A ．a ，b 都是有理数B ．a b -的结果必定为无理数C ．a ，b 都是无理数D ．a b -的结果可能为有理数【答案】D【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握实数的运算法则是解答本题的关键．根据实数的运算法则，逐项进行判断分析即可．【详解】解：A 、当2a =时，13213b =--=--，a 是有理数，b 是无理数，故A 错误；B 、当1322a b ==-，那么0a b -=，所以B 错误；C 、当2a =时，13,b a =--是有理数，故选项C 错误；D 、当1322a b ==-，那么0a b -=，所以选项正确，D 正确．故选：D ．17．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）计算：(1)()()223283---+；(2)3162327+--．【答案】(1)7；(2)33-．【分析】本题考查了算术平方根与立方根、化简绝对值，熟练掌握算术平方根与立方根和运算法则是解题关键．（1）先计算算术平方根与立方根及乘方，再计算实数的加减法即可得；（2）先计算算术平方根与立方根、化简绝对值，再计算实数的加减法即可得．【详解】（1）解：()()223283---+()223=--+7=；（2）解：3162327+--4233=+--33=-．18．（23-24七年级上·福建福州·期末）在数轴上，点A 表示的数5，点A ，点B 关于原点对称，把点A 向右移动2个单位得到点C ，设点B 表示的数为m ，点C 所表示的数为n ．(1)数m 的值是__________；数n 的值是__________；(2)求()222m n ++-的值．【答案】(1)5-，52+(2)35+【分析】本题主要考查了实数和数轴．（1）根据关于原点对称的两个数的特征和数轴上两点间的距离公式，进行解答即可；（2）把（1）中所求m ，n 的值代入所求代数式，进行计算即可．【详解】（1）解：∵点A 表示的数5，点A ，点B 关于原点对称，∴点B 表示的数是5-，∴5m =-，∵把点A 向右移动2个单位得到点C ，∴点C 表示的数52n =+，故答案为：5-，52+；（2）解：∵由（1）可知5m =-，52n =+，∴()222m n ++-()2|25|522=-++-()2525=-+525=-+35=+．题型七：实数的程序框图或新定义运算19．（23-24七年级上·山东淄博·期末）设[]x 表示最接近x 的整数（0.5x n ≠+，n 为整数），则[1][2][3]...[21]++++=（）A ．32B ．46C ．64D ．65【答案】D【分析】本题考查对题干的理解和对二次根式的估算，根据21.5、22.5、23.5、 的取值，判断[]x 最接近x 的整数为多少，最后将这些数相加即可．【详解】解：21.5 2.25=，即有2个1；22.5 6.25=，即有4个2；23.512.25=，即有6个3；24.520.25=，即有8个4；则剩余1个数为5．故[1][2][3]...[21]++++=21426384565=⨯+⨯+⨯+⨯+=．故选：D ．20．（23-24七年级上·浙江·期末）有一个数值转换器，运算流程如下：(1)在1-，2，4，16中选择3个合适的数分别输入x ，求对应输出y 的值．(2)若输出y 的值为3-，求输入x 的值．【答案】(1)当2x =时，2y =-；当4x =时，2y =-；当16x =时，=2y -(2)3或9【分析】（1）将2x =，4，16分别代入，计算求解即可；（2）由题意知，分当3-是无理数的相反数时，当3-是有理数的负平方根时，两种情况求解作答即可．【详解】（1）解：当2x =时，其算术平方根为2，是无理数，故2y =-；当4x =时，其算术平方根为2，是有理数，故2y =-；当16x =时，其算术平方根为4，是有理数，故42y =-=-；（2）解：当3-是无理数的相反数时，则x 的算术平方根是3，∴3x =，当3-是有理数的负平方根时，则x 的算术平方根的负平方根是3-，∴9x =，综上所述，x 的值为3或9．【点睛】本题考查了相反数，算术平方根，平方根．熟练掌握相反数，算术平方根，平方根的概念是解题的关键．21．（23-24七年级上·湖北·期末）对于有理数a ，b 满足1a b ab -=+，我们称使等式成立的一对有理数a ，b 为“相伴有理数对”，记为(),a b ．如()3,2-满足：32321--=-⨯+；12,3⎛⎫ ⎪⎝⎭满足：1122133-=⨯+；所以数对()3,2-，12,3⎛⎫ ⎪⎝⎭都是“相伴有理数对”．(1)数对()1,1-，()1,0中，是“相伴有理数对”的是______；(2)若()21,3x -是“相伴有理数对”，求x 的值；(3)若(),m n 是“相伴有理数对”，则()1372n mn mn m n -+-+⎡⎤⎣⎦的值为______．【答案】(1)()1,0(2)12x =(3)12【分析】本题考查了新定义，解一元一次方程，整式的混合运算，解题的关键是正确理解题目所给“相伴有理数对”的定义．（1）根据题目所给的“相伴有理数对”的定义，进行判断即可；（2）根据题目所给的“相伴有理数对”的定义，列出方程求解即可；（3）根据题目所给的“相伴有理数对”的定义，得出1mn m n =--，将()1372n mn mn m n ⎡⎤-+-+⎣⎦化简，再将1mn m n =--代入，即可解答．【详解】（1）解：∵11111--≠-⨯+，∴()1,1-不是“相伴有理数对”，∵10101-=⨯+，∴()1,0是“相伴有理数对”，故答案为：()1,0；（2）解：∵()21,3x -是“相伴有理数对”∴()2133211x x --=-+，解得：12x =；（3）解：∵(),m n 是“相伴有理数对”，∴1m n mn -=+，∴1mn m n =--()1372n mn mn m n ⎡⎤-+-+⎣⎦()1372n mn mn m n =-+--7113222n mn mn m n=-+--111222n m mn =-+把1mn m n =--代入得：原式()1111222n m m n =-+--1111122222n m m n =-+--12=．故答案为：12．题型八：与实数有关的规律问题22．（22-23七年级下·广东江门·期中）已知按照一定规律排成的一列实数：1-，2，33，2-，5，36，7-，8，39，10-，…则按此规律可推得这一列数中的第2023个数应是()A ．2023B ．2023-C ．32023D ．2023【答案】B【分析】根据题目中的数字，可以发现数字的变化特点，从而可以得到这一列数中的第2023个数．【详解】解：∵一列实数：1-，2，33，2-，5，36，7-，8，39，10-，…，∴每三个数为一组，每组出现的特点一样，依次是这个数的算术平方根的相反数、算术平方根、立方根，∵202336741÷=⋯，∴这一列数中的第2023个数应是2023-，故选：B ．【点睛】此题主要考查实数的规律探索，解题的关键是根据已知的式子发现规律求解．23．（22-23七年级下·安徽马鞍山·期中）有一列数按如下规律排列：231567,,,,,,244163264----⋅⋅⋅则第2017个数是（）A ．201620172-B ．201620172C ．201720182-D ．201720182【答案】C【分析】由1448=，则可得分子、分母的规律及符号的规律，从而可得结果．【详解】解：23567,,,,,,2416648324----⋅⋅⋅，符号两项负一项正循环，而20173672÷=…1，则第2017项的符号为负；分子是从2开始的连续自然数的算术平方根，即()11n n +≥，则第2017项的分子为2018；分母是以2为底数的乘方，且指数从1开始，且分子的被开方数比分母指数大1，即()21nn ≥，则第2017项的分母为20172，综合得第2017个数是201720182-；故选：C ．【点睛】本题考查了无理数规律的探索，找到规律是解题的关键．24．（22-23七年级上·贵州铜仁·期中）观察下列等式122=，224=，328=，4216=，5232=，6264=，72128=，82256=，．．．，则234202322222+⋅⋅⋅++++的末位数字是（）A ．8B ．4C ．6D ．0【答案】B【分析】根据算式得到2的乘方的结果中末位数字依次为：2，4，8，6，2，4，8，6，L ，由此得到末位数字的规律是每四个为一个循环，由此得到答案．【详解】解：由题意得到：2的乘方的结果中末尾数字依次为：2，4，8，6，2，4，8，6，L ，∵248620+++=，∴每4个算式相加的结果的末位数字为0，∵20234505÷=余3，∴24814++=∴234202322222++++⋅⋅⋅+的末位数字是4，故选：B ．一、单选题25．（23-24七年级上·浙江温州·期末）在13-，6，1.23，0这四个数中，属于无理数的是（）A ．13-B ．6C ．1.23D ．0【答案】B【分析】此题主要考查了无理数的定义，无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数．据此解答即可．【详解】解：在13-，6，1.23，0这四个数中，13-，1.23，0是有理数，6是无理数，故选：B ．26．（23-24七年级下·四川绵阳·阶段练习）如图，数轴上表示2、5的对应点分别为C 、B ，点C 是AB 的中点，则点A 表示的数是（）A ．5-B ．25-C ．45-D ．52-【答案】C【分析】本题考查了数轴和实数的关系的应用，注意：在数轴上AB 之间的距离是A B AB x x =-．设点A 表示的数是a ，求出BC 之间的距离，求出AC ，即可得出关于a 的方程，求出即可．【详解】解：设点A 表示的数是a ，在数轴上数表示2，5的对应点分别是C 、B ，B ∴、C 之间的距离是52BC =-，点C 是AB 的中点，52AC BC ∴==-，C 点表示的数是2，A 点表示的数是a ，252a ∴-=-，解得：45a =-．故选：C ．27．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）若22a =-，则（）A ．322a -<<-B ．312a -<<-C ．112a -<<-D ．102a -<<【答案】C【分析】本题主要考查了无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键．先估算无理数22的大小，进而得出22-的大小即可．【详解】解：122<< ，12122\<<，21221<-<-\-，故选：C ．28．（2024七年级下·全国·专题练习）对于整数n ，定义[]n 为不大于n 的最大整数，例如：[]22 4.55[]=-=-，，则5⎡⎤⎣⎦和[]-π的距离为（）A ．2B ．5C ．6D ．7【答案】C【分析】此题考查了无理数的估算和新定义，先估算出5⎡⎤⎣⎦的范围，再根据新定义得到52⎡⎤⎣⎦=，[]4π-=-，即可得到答案．【详解】解：∵459<<，∴253<<，∴52⎡⎤⎣⎦=，[]4π-=-，则()24246--=+=，则5⎡⎤⎣⎦和[]-π的距离为6，故选：C ．29．（23-24七年级下·上海松江·阶段练习）在数π3，37，0，0.34，16，1.010010001中，无理数有【答案】π3【分析】此题主要考查了无理数的定义，解题的关键是熟练掌握初中范围内学习的无理数有：含π的数字算式；开方开不尽的数；以及特殊构造的数，像0.1010010001…．无理数就是无限不循环小数．有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数．据此逐一判断．【详解】在实数π3，37，0，0.34，164=，1.010010001中，37，0，0.34，1.010010001是有理数，164=是有理数，π3是无理数．故答案为：π3．30．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）数轴上点A 表示的数为1，点B ，C 分别位于点A 的两侧，且到点A 的距离相等．已知点B 到原点的距离为2，则点C 表示的数是．【答案】22-或22+【分析】本题主要考查了有关实数和数轴的简单应用，先根据点B 到原点的距离，求出点B 表示的数，然后分两种情况：当点B 在点A 右侧时和当点B 在点A 左侧时，利用两点间的距离公式，求出AB 和AC ，进行解答即可．【详解】解：∵点B 到原点的距离为2，∴点B 表示的数是2±，当点B 在点A 右侧时，∵点A 表示的数为1，点B 表示的数为2，∴21AB =-，∵点B ，C 到点A 的距离相等，∴21AC AB ==-，∴当点B 表示的数是2时，点C 表示的数是：211(21)122---+-==；当点B 在点A 左侧时，∵点A 表示的数为1，点B 表示的数是2-，∴()1212AB =--=+，∴21AB AC ==+，点C 表示的数是211(12)221+++++==，综上可知：点C 表示的数为：22-或22+，故答案为：22-或22+．31．（23-24七年级下·湖北·周测）计算：(1)22018318(2)(1)4+--+-(2)2(5)|25|5-+--【答案】(1)92(2)3【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及立方根，算术平方根，绝对值化简，乘方等知识；（1）根据立方根，算术平方根，绝对值化简，乘方，计算即可．（2）根据算术平方根，绝对值化简，计算即可．【详解】（1）22018318(2)(1)4+--+-12212=+-+92=．（2）2(5)|25|5-+--55253=+--=．32．（23-24七年级上·山东威海·期末）对于如下运算程序：(1)若27m =，则n =；(2)若输入m 的值后，无法得到n 的值，则输入m 的值是．【答案】(1)33(2)1或1-或0【分析】本题主要考查了立方根，无理数，解题的关键是掌握立方根，无理数的定义．（1）根据题目中的运算程序代入计算即可；（2）综合立方根和无理数的定义即可求解．【详解】（1）解：输入27m =，得到3273=，3不是无理数不能输出，返回可得：33，33是无理数可以输出，∴33n =，故答案为：33；（2） 311=，311-=-，300=，∴输入m 的值为1或1-或0时，无法得到n 的值，故答案为：1或1-或0．一、单选题33．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）估计133+的值在（）A ．8和9之间B ．7和8之间C ．6和7之间D ．5和6之间【答案】C【分析】本题考查估算无理数的大小，理解算术平方根的定义是正确解答的前提．根据算术平方根的定义，估算无理数133+的大小即可．【详解】解：∵239=，2416=，而91316<<，∴3134<<，∴61337<+<，故选：C ．34．（23-24七年级上·贵州遵义·期末）已知a 、b 为有理数，现规定一种新运算“※”，满足3a b b ab =-※，若22x =※，则x 的值为（）A ．4-B ．2-C ．2D ．12【答案】C【分析】本题考查实数定义下的新运算问题，解一元一次方程．根据题意将22x =※变形为一元一次方程计算即可．【详解】解：∵3a b b ab =-※，∴22x =※可整理成：3222x ⨯-=，即：622x -=，解得：2x =，故选：C ．35．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）如图，在数轴上有三个点，其中两个点分别表示52,43--，则点A 表示的数可能为（）A ．5-B ．6-C ．7-D ．8-【答案】C【分析】本题考查无理数的估算，先根据数轴得到5048a -<<-，然后确定数值是解题的关键．【详解】解：设点A 表示的数为a根据数轴上点的位置可得5243a -<<-，即5048a -<<-，符合要求的为7-，故选：C ．36．（2024八年级·全国·竞赛）已知220172017s =+，则s 的整数部分是（）A ．2016B ．2017C ．2018D ．2019【答案】B【分析】本题考查对无理数整数部分的估算，利用先平方再开方的方法对式子进行变形，即可判断s 的整数部分．【详解】解：由题知，2220172017s =+，又222201720172017201720182018=⨯<<+，22017201720172018∴<+<则s 的整数部分是2017，故选：B ．37．（23-24七年级上·山东枣庄·期末）现定义运算“*”，对于任意有理数a 与b ，满足()()3,*3,a b a b a b a b a b ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩，譬如5*335312=⨯-=，118*131333=-⨯=-，若有理数x 满足*312x =，则x 的值为（）A ．21或4B ．5或21C ．4D ．5【答案】D【分析】本题考查了定义新运算，解题的关键是熟练掌握新定义，有理数的混合运算，解一元一次方程根据“*”的定义，分为两种情况，①当3x ≥时，3312x -=，②当时3x <，3312x -⨯=，解一元一次方程，符合题意的值即为所求．【详解】∵*312x =，∴当3x ≥时，*333x x =-，∴3312x -=，解得，5x =，当3x <时，*333x x =-⨯，∴3312x -⨯=，解得，21x =，不合，舍去．∴5x =．故选：D ．38．（23-24七年级上·浙江金华·期末）如图，将半径为1的圆形纸片上的点A 与数轴的原点重合，将纸片沿着数轴向左滚动一周，点A 到达了点B 的位置，则线段AB 的中点表示的数是（）A ．2π-B ．3π2-C ．π-D ．π2-【答案】C 【分析】此题考查数轴上数的表示方法，正确理解题意是此题的关键，AB =圆滚动一周的周长，先求得AB 的长度，从而求得线段AB 的中点表示的数AB =．圆滚动一周的周长，代入计算即可得到答案．【详解】212AB ππ=⋅=，∴此时点B 表示的数是2π-，∴线段AB 的中点表示的数为π-．故选C ．39．（2024七年级·全国·竞赛）若7的整数部分为a ，小数部分为()(),7b a a b -+的值为（）A ．3B ．727-C ．27+D ．273-【答案】B【分析】本题考查了整式的乘法、无理数的估算等知识，先对无理数就行估算，再对式子进行化简即可，熟练整式的乘积和无理数的估算是解题的关键．【详解】解：由题意可得7+=a b ，24793=<<= ，2a ∴=，()()7(72)7727a a b ∴-+=-⋅=-，故选：B ．二、填空题40．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）若一个数等于某个整数的平方，则称这个数为完全平方数．对任意正整数n ，记#n 表示不大于n 的最大完全平方数，记#n n n =-△．例如：##784==，7743=-=△．则2024△的值为，计算####12320241232024++++= △△△△．【答案】882024【分析】本题考查了数的新定义的运用．理解新定义的意义是解决此类问题的关键；多个分式相加，要注意找到计算规律和技巧．（1）##202420242024,2024=-V 表示不大于2024的最大完全平方数，22441936,45=2025,193620242025=<<，那么#20241936 ,=代入求解即可；（2）分别求得###1,1;2,22024,2024⋯V V V 的值，得到所给代数式的分母和分子的规律，计算即可．【详解】解：（1）∵#2024表示不大于2024的最大完全平方数，193620242025<<，#20241936.∴=#2024202420242024193688.∴=-=-=V （2）由题意得：#11=，##111110,11;∴=-=-==V #21,=Q ##222211,21;∴=-=-==V #31,=Q ##333312,31;∴=-=-==V #44,=Q ##444440,42;∴=-=-==V #54,=Q ##555541,52;∴=-=-==V #64,=Q ##666642,62;∴=-=-==V #74,=Q ##777743,72;∴=-=-==V#84,=Q ##888844,82;∴=-=-==V ...#20241936,=Q #2024202420242024193688,∴=-=-=V #202444.=分母的规律是从1开始到44；分子的规律从0开始，到分数的值为2结束．####12320241232024∴+++⋯+VV V V 01201234012881112222244444444⎛⎫=++++++++⋯++++⋯+ ⎪⎝⎭012012340123456123++++++++++++=++01238844++++⋯++⋯+3579(2441)=++++⋯+⨯+357989=++++⋯+(389)442024.2+⨯==故答案为：88，2024．41．（2024八年级·全国·竞赛）计算：2326351112111127242253⎛⎫--+--++-= ⎪⎝⎭．【答案】2720/7120【分析】本题考查了实数的混合运算，先逐项化简再算加减即可．【详解】解：原式13931273245320=--+++=．42．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）如图，五条线段AC 、BD 、CE 、DA 、EB 分别交于点F 、G 、H 、I 、J ，图中的10个点分别表示一个有理数，且五条线段上4个点表示的数的和都相等，已知F 、G 、H 、I 、J 、A 表示的数分别是1、2、3、4、5、6，则点C 表示的数为．【答案】1-【分析】本题主要考查了实数的运算问题，熟练掌握相关运算法则是解决本题的关键．设C 、D 、E 表示的数分别为：c 、d 、e ，根据五条线段上4个点表示的数的和都相等列等式计算即可．【详解】解：设C 、D 、E 表示的数分别为：c 、d 、e ，根据题意得：62345e ++=++，解得：2e =，∵2134e d ++=++，∴2d =-，∵6236152c +++=++-，∴1c =-．故答案为：1-．三、解答题43．（23-24八年级上·江西抚州·期末）已知52a +的立方根是3，31a b +-的算术平方根是4，c 是13的整数部分．(1)求a ，b ，c 的值；(2)求2a b c -+的平方根．【答案】(1)5,2,3a b c ===；(2)2±.【分析】（1）利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出a ，b ，c 的值；（2）将a ，b ，c 的值代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可．【详解】（1）解：52a + 的立方根是3，3523a ∴+=，解得5a =，31a b +- 的算术平方根是4，2314a b ∴+-=．把5a =代入可得2b =，c 是13的整数部分，3c ∴=；5,2,3a b c ∴===．（2）解：把5,2,3a b c ∴===代入2a b c -+得：24a b c -+=，2a b c ∴-+的平方根是2±．【点睛】此题考查立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、平方根的意义、代数式求值等知识点，读懂题意，掌握解答顺序，正确计算是解答本题的关键．44．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）对于整数m ，n ，定义一种新的运算“⊙”：当m n +为偶数时，规定()2m n m n m n =++- ；当m n +为奇数时，规定()2m n m n m n =+-- ，(1)当2m =，4n =时，m n = ；(2)已知a 、b 为正整数，()()145a a b b b +--=+ ，求12-+a b 的值．(3)已知a 为正整数，且满足()603a a a a =+ ，求a 的值．【答案】(1)10(2)3-(3)6或15【分析】()1根据m 和n 判断其和为偶数，利用新的运算法则计算即可；()2首先判断a b -和1a b +-的和为奇数，利用新的运算法则化简，结合题意可得21a -为正去绝对值得到24a b -=，整体代入即可求得代数式的值；()3首先得到2a a a +=，必为偶数，则4a a a = ；当a 为偶数时，45a a a +=也为偶数，()413603a a a a a a a ===+ ；当a 为奇数时，45a a a +=也为奇数，()47603a a a a a a a ===+ ，分别解得a 即可．【详解】（1）解：∵2m =，4n =，∴6m n +=，∴()()22242412210m n m n m n =++-=++-=-= ，故答案为：10；（2）∵()121a b a b a -++-=-为奇数，∴()()()1211a b a b a b a b a b a b ⎡⎤-+-=-++----+-⎣⎦ 22121a b =-+-，∵a 、b 为正整数，∴()()12212142345a b a b a b a b b -+-=-+-=+-=+ ，解得24a b -=，则()1212143a b a b -+=--=-=-．（3）∵2a a a +=，必为偶数，∴()24a a a a a a a =++-= ；当a 为偶数时，45a a a +=，也为偶数，()425313603a a a a a a a a a ==⨯+==+ ，解得：6a =；当a 为奇数时，45a a a +=，也为奇数，()42537603a a a a a a a a a ==⨯-==+ ，解得：15a =．综上所述，6a =或15a =．【点睛】本题主要考查新定义下的整式混合运算、有理数混合运算、绝对值的性质、求解代数式的值和解一元一次方程，解题的关键是熟练合并同类项和绝对值的性质，以及应用分类讨论思想．45．（23-24七年级上·山东烟台·期末）如图，一个直径为2的圆从原点处沿数轴向左滚动一周，无滑动，圆上与原点重合的点O 到达点A ，设点A 表示的数为a ，(1)求a 的值；(2)求32712a π⎛⎫-+--- ⎪⎝⎭的算术平方根．(3)利用计算器计算时，按键：，显示结果是________．【答案】(1)2=-a π(2)4(3)0【分析】本题考查了实数与数轴，实数的混合运算，熟练掌握实数的运算法则是解答本题的关键．（1）求出圆的周长即可求出a 的值；（2）把a 的值代入化简即可；（3）根据按键顺序列出算式计算即可．【详解】（1）∵圆的周长为2π，点A 在原点左边，∴2=-a π；（2）∵2=-a π，∴32712⎛⎫-+--- ⎪⎝⎭a π2312ππ-⎛⎫=---- ⎪⎝⎭。
初中数学实数第三课教案
初中数学实数第三课教案课程名称：初中数学实数第三课课程内容：1. 实数的分类；2. 实数的性质；3. 实数的运算。
教学目标：1. 了解实数的分类，能够正确区分有理数和无理数；2. 掌握实数的性质，能够运用实数的性质解决实际问题；3. 掌握实数的运算方法，能够熟练进行实数的四则运算。
教学重点：1. 实数的分类；2. 实数的性质；3. 实数的运算。
教学难点：1. 实数的分类；2. 实数的性质；3. 实数的运算。
教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究实数的性质；2. 通过实例讲解，让学生理解实数的运算方法；3. 运用小组讨论法，培养学生的合作意识和团队精神。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 复习实数的概念，引导学生回顾实数的基本知识；2. 提问：实数可以分为哪两类？引出实数的分类。
二、新课讲解（20分钟）1. 讲解实数的分类，区分有理数和无理数；2. 通过实例，讲解实数的性质，如：实数的加法、减法、乘法、除法运算规则；3. 讲解实数的运算方法，如有理数的加法、减法、乘法、除法运算方法；4. 通过练习，让学生巩固实数的运算方法。
三、课堂练习（15分钟）1. 布置练习题，让学生独立完成；2. 引导学生通过小组讨论，共同解决问题；3. 选取部分学生的作业，进行讲解和评价。
四、总结与反思（5分钟）1. 让学生回顾本节课所学内容，总结实数的分类、性质和运算方法；2. 引导学生思考：如何运用实数的性质和运算方法解决实际问题？教学评价：1. 课堂讲解：观察学生对实数的分类、性质和运算方法的理解程度；2. 课堂练习：检查学生运用实数的性质和运算方法解决问题的能力；3. 学生反馈：了解学生对实数课程的满意度和建议。
教学反思：本节课通过问题驱动法、实例讲解和小组讨论法，让学生掌握了实数的分类、性质和运算方法。
在教学过程中，要注意引导学生主动探究实数的性质，培养学生的合作意识和团队精神。
同时，通过实际问题的解决，让学生感受实数知识在生活中的应用，提高学生的学习兴趣和积极性。
七年级数学下册课件：6.3实数
实数
杭桂镇第一中学 古丽胡玛
3, 3 , 47 , 9 , 11 , 5 5 8 11 90 9
3 3.0, 3 0.6, 47 5.875,
5
8
9
0.81,
11
0.12,
5
0. 5
11
90
9
(1) 你能举出一些无理数吗？
(2)每个有理数都可以用数轴上的点表示，那么无理数 是否也可以用数轴上的点来表示呢？
(3) 你能在数轴上找到表示 、 2 这样的无理数的
点吗？
3 2,
1, 4
7,
,
5, 2
2,
20 , 3
4, 9
0,
5, 3 8,
0.3737737773 （相邻两个3之间的7的个数逐次加1）
1 , 5, 42
4, 9
0,
3 8,
3 2,
7, ,
2 , 20 ,
3
5 , 0.3737737773
（4）负数集合：
3 4
3 9
（5）分数集合：
0.6
3 4
0.13
（6）实数集合： 9 3 5
64
0.6
3 4
3 9
3
0.13
一、判断：
1.实数不是有理数就是无理数。（ ）
2.无理数都是无限不循环小数。（ ）
3.无理数都是无限小数。（ ）
4.带根号的数都是无理数。（ ）
5.无理数一定都带根号。（ ）
整数
有理数
实
数
分数
无理数 无限不循环小数
正实数
正有理数
实
正无理数
数
0
负实数
第六章6.3实数
直径为1个单位长度的圆从原 点沿数轴向右滚动一周.
圆上的一点由原点到达点O'， 点O' 对应的数是多少？
直径为 1 的圆: 公式：圆的周长=π×直径
-2 -1 0 1 2 3π 4
能否用两个面积为1的小正方 形拼成一个面积为2的大正方形？
小正方形对角线用
表示。
问题：已知大正方形的面积是2，
那么大正方形的边长是多少呢？
也可以这样来分类：按大小分类
一、判断：
1.实数不是有理数就是无理数。（ ） 分 析：
一、判断：
2.无理数都是无限不循环小数。（ ）
分析：由定义
无限不循环的小数---叫做无理数。
肯定正确，反过来也是正确的。
一、判断：
3.无理数都是无限小数。（ ）
分析：
无限循环小数 有理数
无限小数
无限不循环小数 无理数
解：原式
1 x (1 x) 1 x x 1
解：原式 x 1 ( x 1) x 1 1 x
化简求值：
32 2 2 3 2 3
分析：
是负数
是正数
是负数
等于它的相反数 等于本身 等于它的相反数
32 2
2 3 2 3
2
问题: 边长为 1 的正方形,对角线长为 2
2 2 2
-2 -1 0 1 2 3 4
也就是说:每一个无理数都可以用数 轴上的一个点来表示.
数轴上的点:有些表示有理数,有些 表示无理数.
判断：
①一个实数不是有理数就是无理数；√ ②最小的实数是0；×
③任何一个无理数都可以
用数轴上的点表示； √ ④两个无理数之和一定是无理数．× ⑤数轴上的点都表示的是无理数。×
人教版七年级数学下册 课件 6.3实数
随堂练习
1、请将数轴上的各点与下列实数对应起来：
－１.５，
π， ３．
－1.5
３π
-2 -1 0 1 2 3 4
2、判断：
（1）所有的有理数都可以用数轴上的点表示，
反过来，数轴上所有的点都表示有理数. (× )
（2）所有的实数都可以用数轴上的点表示，
(1)分别写出－ 6 , 3.14 的相反数;
(2)指出－ ，１－ 各是什么数的相反数；
(3)求 3 64的绝对值; (4)已知一个数的绝对值是 3，求这个数.
解：(1)－ 6 的相反数是 6；
因为－（π－ 3.14 ）=3.14－π，
所以 π－ 3.14 的相反数是 3.14－π.
(2) － 是 的相反数； 因为－（ －1）=1－ ， 所以，1－ 是 － 1 的相反数.
4、一个实数的相反数与绝 对值的求法.
谢 再见
谢
实数
6.3
小数的分类
有限小数
小数
无限循环小数
无限小数 无限不循环小数
使用计算器计算，把下列有理数写成小数的形式，你 有什么发现？
解：
3 3.0,
9
•• 0.81,
11
3 0.6, 5
11
• 0.12,
90
47 5.875, 8
5
•
0.5
9
事实上，任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数.
(3)因为 所以,
=－
= －4，
= －4 = 4.
(4)因为 = , － = ,
所以绝对值为 的数是
或－ .
练习
求下列各数的相反数与绝对值:
人教版七年级下册数学6.3实数课件
4.无理数都是无限小数。（ ）
5.无理数一定都带根号。（ ×）
把下列各数填入相应的集合内： 0.13
9 35
64
•
0.6
3 4
0 3 9
3
（1）有理数集合：{ 9
64
•
0.6
3
3 0.13 ｝
（2）无理数集合：{ 3 5
4 3 9
｝
（3）整数集合：{ 9 64
你知道怎样区分有理数和无理数吗？
了解无理数和实数的概念。
合作探究
你认识下列各数吗？
3
3 5
9 11
5 0.875 0
有理数是分类：
正整数
整数 零
有 理
负整数
数 分数 正分数
负分数
正整数
正数
有
正分数
理零
数 负数 负整数
负分数
使用计算器，把下列有理数化成小数的形式：
3= 3.0
-
3 5
=
-0.6
47= 5.875 8
实数不是你有理数知就是无道理数。怎样区分有理数和无理数吗？
掌握实数的相关概念，增强学生应1）
例1 在以下数中，
0 .5 ,,3 ,9 ,3 .1 4 ,0 .3 ,5 1 ,3 8 , 7 ,0 .7 0 7 0 0 7 0 0 0 ... 3
•
整数有： {
5 , 0.3737737773
无理数集合
提升检测
把下列各数分别填在相应的集合中；
3.1415926 √—7 0.6 √—36 0 ～ 22
7
-8
√3 —3
0.191191119…
每相邻两个9之间依次多一个1
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遍自己写的笔记，既可以起到复习的作用，又可以检查笔记中的遗漏和错误。遗漏之处要补全，错别字要纠正，过于潦草的字要写清楚。同时，将自己 对讲课内容的理解、自己的收获和感想，用自己的话写在笔记本的空白处。这样，可以使笔记变的更加完整、充实。 • 三、课后“静思2分钟”大有学问 • 我们还要注意课后的及时思考。利用课间休息时间，在心中快速把刚才上课时刚讲过的一些关键思路理一遍，把老师讲解的题目从题意到解答整个过 程详细审视一遍，这样，不仅可以加深知识的理解和记忆，还可以轻而易举地掌握一些关键的解题技巧。所以，2分钟的课后静思等于同一学科知识的 课后复习30分钟。
1 (D)
3
【解析】选B.数a的相反数为－a，有－（－ ）= .
3
3 2. 在 -3，- ，-1，0这四个实数中，最大的是（ ）
(A)-3
(B)-
(C)-1(D)0 Nhomakorabea3 【解析】选D.前三个为负数，0大于任何负数.
3.正实数的绝对值是
它，本０身的绝对值是
0 ，负实数的绝对值是
它的相. 反数
4. 的3 相反数是
(2)2 2 3(1 3 2)
(3)(-2)2 (3)2 ( 3 2) 11 32 3 4
【解析】(1) 2 (2)
(3) -3
1. 若 x y 1 (y 3)2 0， 则x-y的值为（ ）
(A)1 (B)-1
(C)7
(D)-7
【解析】选Ｃ.由二次根式的意义与平方的意义可得， x＋y—1＝０，y＋3＝０，解得x＝4，y＝-3， 所以x-y的值为7.
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第三讲 实数专题
专题一 绝对值、平方根、立方根的综合
典型例1．(分类讨论)若|a|=6,162=b ,求a+b 的平方根。
考点速练：
1.|x-1|=5,求x 的值。
2.若225a =，3b =，则a b += 。
3.已知|a|=2,|b|=2,且a+b 0，求ab 的值
4.已知064)27|(|2
2=+--b a ，求33b a +的值。
5.已知|x|=5,32
=y ，|y-x|=x-y,求x+y 的值。
6.有一个正数x 的两个平方根分别是2a －3与5－a ，求a 的值，这个正数是多少？
7.已知：x ﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，求x 2+y 2的算术平方根．
8. 已知实数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的绝对值是4，求2a
22m b -+的值.
的平方根。
求满足、若)1(5|,13|)2(.922--+--=+a b a b a b a
专题二 数形结合与数轴
典型例2．如图，数轴上表示1，2的对应点分别为A ，B ，点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 表示的数是 ．
考点速练：
1.点A 在数轴上表示的数为53，点B 在数轴上表示的数为5-，则A ，B 两点的距离为______。
2.若将三个数11,7,3-表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是__________．
3．某老师在讲实数这一节时，画了如图2所示的图形，即以数轴单位长，作为边作一个正方形，再以O 为圆心，以正方形的对角线长为半径作弧与数轴交于两点A 、B ．
（1）A 、B 表示数 ；
（2）作这样图说明： ．
（第2题）
图3
4. 在数轴上1
A 、
B ， A 是线段B
C 的中点，则点C 所表示的数是 ( )
A
．2
2 C
1 D
．15.已知实数、、在数轴上的位置如图所示： 化简：
6．如图5，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为4、2，求阴影部分的面积．
7.实数a,b,c 在数轴上的对应点如图，其中O 是原点，且|a|=|c| （1）判定a+b,a+c,c-b 的符号 （2）化简|a|-|a+b|+|a+c|+|c-b|
图
5
x
专题三 实数的运算
典题3.
考点速练：
（3）
)32
3
32(321--； （4）；
（5）2
)23(-； （6
（7）14503
1
10.+-+π（保留0.001）；（8）|32-|+|23-|+|2-5|
|)41
(|495.0).9(33-+-
（10
2、已知5+11的小数部分是a,5-11的小数部分是b,（1）求a （a+3）的值；（2）求a+b 的值。