高考必备-2020年高考理科数学大一轮提分课后限时集训35 等比数列及其前n项和

等比数列及其前n 项和建议用时：45分钟一、选择题1．等比数列x ，3x ＋3，6x ＋6，…的第四项等于( ) A ．－24 B ．0 C ．12 D ．24A [由x ，3x ＋3，6x ＋6成等比数列，知(3x ＋3)2＝x ·(6x ＋6)，解得x ＝－3或x ＝－1(舍去)．所以此等比数列的前三项为－3，－6，－12.故第四项为－24，选A.]2．(2019·日照一模)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＋a 3＝52，且a 2＋a 4＝54，则S na n＝( )A ．4n －1B ．4n －1C ．2n －1D ．2n －1D[设等比数列{a n }的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1＋q 2）＝52a 1q （1＋q 2）＝54，解得⎩⎨⎧a 1＝2q ＝12，∴S na n＝a 1（1－q n ）1－q a 1q n －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－122×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝2n －1.故选D.]3．(2019·湖南湘东五校联考)已知在等比数列{a n }中，a 3＝7，前三项之和S 3＝21，则公比q 的值是( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或12C[当q ＝1时，a 3＝7，S 3＝21，符合题意；当q ≠1时，⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝7，a 1（1－q 3）1－q ＝21，得q ＝－12.综上，q 的值是1或－12，故选C.]4．等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝32n －1＋r ，则r 的值为( ) A.13 B ．－13 C.19 D ．－19 B [当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋r ， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝32n －1－32n －3 ＝32n －3(32－1)＝8·32n －3＝8·32n －2·3－1＝83·9n －1，所以3＋r ＝83，即r ＝－13，故选B.]5．(2019·鄂尔多斯模拟)中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”．其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”．则该人第五天走的路程为( )A ．6里B ．12里C ．24里D ．48里B [记每天走的路程里数为{a n }，由题意知{a n }是公比为12的等比数列，由S 6＝378，得S 6＝a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1261－12＝378，解得a 1＝192，∴a 5＝192×124＝12(里)．故选B.]二、填空题6．已知1，a 1，a 2，4成等差数列，1，b 1，b 2，b 3，4成等比数列，则a 1＋a 2b2的值________．52 [由题意得a 1＋a 2＝5，b 22＝4，又b 2与第一项的符号相同，所以b 2＝2.所以a 1＋a 2b 2＝52.]7．在14与78之间插入n 个数组成等比数列，若各项之和为778，则此数列的项数为________．5 [设此等比数列为{a m }，公比为q ，则该数列共有n ＋2项．∵14≠78，∴q ≠1.由等比数列的前n 项和公式，得778＝14－78q 1－q，解得q ＝－12，∴a n ＋2＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＋2－1＝78，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＋1＝116，解得n ＝3，∴该数列共有5项．]8．各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2，S 3n ＝14，则S 4n ＝________．30 [由题意知公比大于0，由等比数列性质知S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n ，…仍为等比数列．设S 2n ＝x ，则2，x －2，14－x 成等比数列． 由(x －2)2＝2×(14－x )， 解得x ＝6或x ＝－4(舍去)．∴S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n ，…是首项为2，公比为2的等比数列． 又∵S 3n ＝14，∴S 4n ＝14＋2×23＝30.] 三、解答题9．(2019·全国卷Ⅱ)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，a 1＝2，a 3＝2a 2＋16.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和．[解] (1)设{a n }的公比为q ，由题设得2q 2＝4q ＋16，即q 2－2q －8＝0. 解得q ＝－2(舍去)或q ＝4.因此{a n }的通项公式为a n ＝2×4n －1＝22n －1.(2)由(1)得b n ＝(2n －1)log 22＝2n －1，因此数列{b n }的前n 项和为1＋3＋…＋2n －1＝n 2.10．(2018·全国卷Ⅰ)已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n .设b n ＝a nn . (1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由； (3)求{a n }的通项公式．[解] (1)由条件可得a n ＋1＝2（n ＋1）n a n .将n ＝1代入得，a 2＝4a 1，而a 1＝1，所以a 2＝4. 将n ＝2代入得，a 3＝3a 2，所以a 3＝12. 从而b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4.(2){b n }是首项为1，公比为2的等比数列． 由条件可得a n ＋1n ＋1＝2a nn ，即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列．(3)由(2)可得a n n ＝2n －1，所以a n ＝n ·2n －1.1．已知{a n }为等比数列，数列{b n }满足b 1＝2，b 2＝5，且a n (b n ＋1－b n )＝a n ＋1，则数列{b n }的前n 项和为( )A ．3n ＋1B ．3n －1 C.3n 2＋n 2D.3n 2－n2C [∵b 1＝2，b 2＝5，且a n (b n ＋1－b n )＝a n ＋1， ∴a 1(b 2－b 1)＝a 2，即a 2＝3a 1， 又数列{a n }为等比数列， ∴数列{a n }的公比为q ＝3， ∴b n ＋1－b n ＝a n ＋1a n＝3，∴数列{b n }是首项为2，公差为3的等差数列，∴数列{b n }的前n 项和为S n ＝2n ＋n （n －1）2×3＝3n 2＋n2.故选C.]2．设{a n }是公比为q 的等比数列，|q |＞1，令b n ＝a n ＋1(n ＝1，2，…)，若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23，19，37，82}中，则q 等于( )A ．－12 B.12 C ．－32D.32C [{b n }有连续四项在{－53，－23，19，37，82}中且b n ＝a n ＋1，即a n ＝b n －1，则{a n }有连续四项在{－54，－24，18，36，81}中．∵{a n }是等比数列，等比数列中有负数项，∴q ＜0，且负数项为相隔两项，又∵|q |＞1，∴等比数列各项的绝对值递增．按绝对值由小到大的顺序排列上述数值18，－24，36，－54，81，相邻两项相除－2418＝－43，36－24＝－32，－5436＝－32，81－54＝－32，则可得－24，36，－54，81是{a n }中连续的四项．∴q ＝－32.]3．(2016·全国卷Ⅰ)设等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________．64 [设等比数列{a n }的公比为q ，则由a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝q (a 1＋a 3)＝5，知q ＝12.又a 1＋a 1q 2＝10，∴a 1＝8.故a 1a 2…a n ＝a n 1q 1＋2＋…＋(n －1)＝23n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12（n －1）n2＝23n －n 22＋n 2＝2－n 22＋72n . 记t ＝－n 22＋7n 2＝－12(n 2－7n )，结合n ∈N *可知n ＝3或4时，t 有最大值6.又y ＝2t 为增函数，从而a 1a 2…a n 的最大值为26＝64.] 4．已知数列{a n }满足a 1＝5，a 2＝5，a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)． (1)求证：{a n ＋1＋2a n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．[解] (1)证明：∵a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)， ∴a n ＋1＋2a n ＝3a n ＋6a n －1＝3(a n ＋2a n －1)(n ≥2)． ∵a 1＝5，a 2＝5， ∴a 2＋2a 1＝15， ∴a n ＋2a n －1≠0(n ≥2)， ∴a n ＋1＋2a na n ＋2a n －1＝3(n ≥2)， ∴数列{a n ＋1＋2a n }是以15为首项，3为公比的等比数列． (2)由(1)得a n ＋1＋2a n ＝15×3n －1＝5×3n ， 则a n ＋1＝－2a n ＋5×3n ， ∴a n ＋1－3n ＋1＝－2(a n －3n )． 又∵a 1－3＝2， ∴a n －3n ≠0，∴{a n －3n }是以2为首项，－2为公比的等比数列．∴a n －3n ＝2×(－2)n －1， 即a n ＝2×(－2)n －1＋3n .1.如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有1 023个正方形，且其最大的正方形的边长为22，则其最小正方形的边长为________．132 [由题意，得正方形的边长构成以22为首项，以22为公比的等比数列，现已知共得到1 023个正方形，则有1＋2＋…＋2n －1＝1 023，∴n ＝10，∴最小正方形的边长为22×⎝ ⎛⎭⎪⎫229＝132.]2．在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”．将数列1，2进行“扩展”，第一次得到数列1，2，2；第二次得到数列1，2，2，4，2；….设第n 次“扩展”后得到的数列为1，x 1，x 2，…，x t ，2，并记a n ＝log 2(1·x 1·x 2·…·x t ·2)，其中t ＝2n －1，n ∈N *，求数列{a n }的通项公式．[解] a n ＝log 2(1·x 1·x 2·…·x t ·2)，所以a n ＋1＝log 2[1·(1·x 1)·x 1·(x 1·x 2)·…·x t ·(x t ·2)·2]＝log 2(12·x 31·x 32·x 33·…·x 3t ·22)＝3a n －1，所以a n ＋1－12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －12，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －12是一个以32为首项，以3为公比的等比数列，所以a n －12＝32×3n －1，所以a n ＝3n ＋12.。