辽宁省大连市第二十高级中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 理

2015-2016学年度下学期期中考试
高二数学试卷（理）
考试时间：120分钟 试题分数：150分
参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式1
2
2
1
n
i i
i n
i
i x y nx y
b
x
nx
==-=-∑∑ ， a
y bx =- ．
第Ⅰ卷
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的） 1.复数i z -=1的虚部为
(A)i - (B)i (C)1 (D)1- 2.在复平面内，复数
i
i
211+-对应的点位于第（ ）象限
(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 3.由“半径为R 的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推理出“半径为R 的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是
(A) 类比推理 (B)归纳推理 (C)演绎推理 (D)以上都不是 4.对于线性相关系数r ，以下说法正确的是 (A)r 能为正值，不能为负值 (B)1,r ≤且r 越接近于1，相关程度越强；相反则越弱 (C)1,r ≤且r 越接近于1，相关程度越弱；相反则越强
(D)不能单纯地以r 来确定线性相关程度
5.“因为平行四边形的对角线互相平分，而正方形是平行四边形，所以正方形的对角线互相平分。

”该推理中“正方形是平行四边形”是“三段论”的
(A)大前提 (B)小前提 (C)结论 (D)其它 6．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是 (A) 假设三内角都大于60度 (B) 假设三内角都不大于60度 (C) 假设三内角至多有一个大于60度 (D) 假设三内角至多有两个大于60度
n
i i x y nxy
r -=
∑相关系数：
7．
22
(sin cos )x x dx π
π-+⎰的值为
(A)0 (B)
π
(C) 2 (D) 4 10.观察下列各式：312555
= ，1562556
=，7812557
=，…，则2016
5的末四位数
字为
(A)3125 (B)5625 (C)0625 (D)8125 11.设0,0,1x y x y A x y +>>=
++, 11x y
B x y
=+++，则,A B 的大小关系是
(A)A B = (B)A B > (C)B A ≥ (D)A B < 12．已知函数(2)f x +是偶函数，且当2x >时满足'()2'()()xf x f x f x >+，则 (A)2f (1)<f (4) (B)2f (
32)>f (3) (C)f (0)<4f (5
2
) (D)f (1)<f (3) 第Ⅱ卷
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分． 13.已知复数342i
z i
+=
-，则z = . 14. (0,)()x
x
x f x e ∈+∞=
当时，函数的值域为 ． 15.如图所示，则阴影部分的面积是 .
16．若2
1()l n (2)
2
f x x b x =-++在（﹣1，+∞）上是减函数，则b 的取值范围是 ． 三．解答题：本大题共6题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）
已知复数12z =-，其共轭复数为z ，求 （1）求复数1
z
的模；（2）求()
2z 的值.
18．（本小题满分12分）
已知函数53()ln 442
x f x x x =
+-- （1）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的极值． 19．（本小题满分12分） 已知数列{}n a 满足111
,02n n
a a a +=
=- （1）计算2345,,,a a a a 的值；
（2）根据以上计算结果猜想{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想． 20．（本小题满分12分）
下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生y
（１） 请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程
ˆy
bx a =+ ； （２） 已知该厂技术改造前１００吨甲产品能耗为９０吨标准煤.试根据（２）求出的线性回归方程，预测生产１００吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？
21. （本小题满分12分）
为迎接2013年全运会的到来，组委会在大连市招募了100名志愿者，其中男、女志愿者各50名，调查是否喜欢运动得到如下统计数据. 由于一些原因，丢失了其中四个数据，目前知道这四个数据
（Ⅰ）将联表中数据补充完整，并判断是否有的把握认为性别与运动有关？
（Ⅱ） 调查中显示喜欢运动的男志愿者中有10%懂得医疗救护，而喜欢运动的女志愿者中有40%懂得医疗救护，从中抽取2人组成医疗救护小组，则这个医疗救护小组恰好是一男一女的概率有多大？
附：2
2
()()()()()
n ad bc a b c d a c b d χ-=++++
22．（本小题满分12分）
设函数2()-ln()f x x x a b =++，3()g x x =．
(I)若函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为0x y +=，求实数,a b 的值； (Ⅱ)在(I)的条件下，当(0,x ∈+∞）时，求证：()()f x g x <； (Ⅲ)证明：对于任意的正整数n ，不等式2
418(1)111(3)
12n n n n e e e
-++
+++< 成立．
2015-2016学年度下学期期中考试
高二数学答案（理）一、选择题
1~6 DCABBA 7~12 CBCCDA
二、填空题
13 14、
1
(0,]
e
15、
32
3
16、(,1)
-∞-
17．解：（1）∵复数z=﹣i，
∴==
==﹣，
∴|z|==1；(也可以先求z的模)
（2）由题意可得=﹣，
∴=（﹣）2=﹣+2×i=．
18. 解：（1）由，得f′（1）=﹣2又f（1）=0
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣0=﹣2（x﹣1），
即2 x+y﹣2=0．
（2）函数的定义域为（0，+∞）．
由，
令f'（x）=0，解得x=﹣1或x=5．
因x=﹣1不在f（x）的定义域（0，+∞）内，故舍去．当x∈（0，5）时，f'（x）＜0，故f（x）在（0，5）内为减函数；
当x∈（5，+∞）时，f'（x）＞0，故f（x）在（5，+∞）内为增函数；
由此知函数f （x ）在x=5时取得极小值f （5）=﹣ln5． 19.解：（1）由
和a 1=0，得
，
，
，
．
（2）由以上结果猜测：
用数学归纳法证明如下：
（Ⅰ）当n=1时，左边=a 1=0，右边=，等式成立．
（Ⅱ）假设当n=k （k≥1）时，命题成立，即成立．
那么，当n=k+1时，
这就是说，当n=k+1时等式成立． 由（Ⅰ）和（Ⅱ），可知猜测对于任意正整数n 都成立．
20、（1）0.80.15y x =+ （2）9.85
21解：（Ⅰ）10c =，20a =，30b =，40d =.
76.450
507030)300800(1002
2
≈⨯⨯⨯-=K
由参考数据知有95%的把握认为性别与运动有关。

（Ⅱ）懂得医疗救护的志愿者共有6人，设分别为A 、B 、C 、D 、E 、F ，其中A 、B 、C 、D 为女性，E 、F 为男性，则从这6人中任取2人有AB,AC,AD,AE,AF,BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,DE,DF,EF,共15种取法，其中一男一女的有AE,AF ，BE,BF ，CE,CF,DE,DF ，共8种。

故抽出的志愿者中2人都能胜任医疗救护工作的概率是8
15P =
22.（1）1
()2,f x x x a
'=-
+
依题意1(0)1(0)ln 0
f a
f a b ⎧'
=-=-⎪
⎨⎪=-+=⎩1,0a b ∴== （2）由（1）可知函数2
()ln(1)f x x x =-+.令3
2
()()()ln(1)h x f x g x x x x =-=-+-+
则32
2
13(1)()3211
x x h x x x x x +-'=-+-=-++， 显然，当(0,)x ∈+∞时，()0h x '<，所以函数()h x 在(0,)+∞上单调递减 又(0)0h =，所以，当(0,)x ∈+∞时，恒有()(0)0h x h <=，
即()()0f x g x -<恒成立.故当(0,)x ∈+∞时，有()()f x g x < （3）由（2）知2
3
(0,),ln(1),x x x x ∈+∞-+<2
3
ln(1),(0,)x x x x ∴-<+∈+∞ 即2
(1)ln(1),x x x -<+
2
(1)(0,),1x x x e
x -∴∈+∞<+,2
*(1)1n n n N e n -∴∈<+当时，,
2
14
29
(1)(3)
234(1)2
n n n n e e
e
e n -⨯-⨯-+∴++++<+++⋅⋅⋅++=
所以原不等式得证。