专题相似全等

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专题十全等与相似

专题十全等与相似一.选择题1．（2012•湘潭）如图，在▱ABCD 中，点E 在DC 上，若EC ：AB=2：3，EF=4，则BF= 6 ．2.（2012年，鸡西）Rt △ABC 中，AB=AC,点D 为BC 中点.∠MDN=90°，∠MDN 绕点D 旋转，DM 、DN 分别与边AB 、AC 交于E 、F 两点.下列结论①（BE+CF ）=22BC ② S △AEF ≤14 S △ABC ③ S 四边形AEDF =AD ·EF④ AD ≥EF ⑤ AD 与EF 可能互相平分，其中正确结论的个数是（ )A.1个B.2个C.3个D.4个第10题图二.填空题1．（2012年，长春）如图，在△ABC 中，AB=5,AC=4,点D 在边AB 上，∠ACD=∠B ，则AD的长为.12. （2012年，长春）如图，ABCD 的顶点B 在矩形AEFC 的边EF 上，点B 与点E 、F 不重合．若△ACD 的面积为3，则图中的阴影部分两个三角形的面积和为3．（2012年，福州）如图，已知△ABC ，AB ＝AC ＝1，∠A ＝36°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，则AD 的长是______，cos A 的值是______________．(结果保留根号) 考点：黄金分割；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．分析：可以证明△ABC ∽△BDC ，设AD ＝x ，根据相似三角形的对应边的比相等，即可列出方程，求得x 的值；过点D 作DE ⊥AB 于点E ，则E 为AB 中点，由余弦定义可求出cos A 的值．4．（2012年，桂林）(12分)如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝6，D 为BC 的中点．(1)若E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且AE ＝CF ，求证：△AED ≌△CFD ； (2)当点F 、E 分别从C 、A 两点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿CA 、AB 运A B D 第15题图CAD FENMB动，到点A 、B 时停止；设△DEF 的面积为y ，F 点运动的时间为x ，求y 与x 的函数关系式；(3)在(2)的条件下，点F 、E 分别沿CA 、AB 的延长线继续运动，求此时y 与x 的函数关系式．三.解答题1. （2012安徽，22，12分）如图1，在△ABC 中，D 、E 、F 分别为三边的中点，G 点在边AB 上，△BDG 与四边形ACDG 的周长相等，设BC=a 、AC=b 、AB=c. （1）求线段BG 的长；解：（2）求证：DG 平分∠EDF; 证：（3）连接CG ，如图2，若△BDG 与△DFG 相似，求证：BG ⊥CG.证：2．（2012铜仁）如图，E 、F 是四边形ABCD 的对角线BD 上的两点，AE∥CF，AE=CF ，BE=DF ．求证：△ADE≌△CBF．3．（2012年，南通）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10cm ，BC ＝12cm ，点D 是BC 边的中点．点P 从点B 出发，以a cm/s(a ＞0)的速度沿BA 匀速向点A 运动；点Q 同时以1cm/s 的速度从点D 出发，沿DB 匀速向点B 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设它们运动的时间为t s ．(1)若a ＝2，△BPQ ∽△BDA ，求t 的值；(2)设点M 在AC 上，四边形PQCM 为平行四边形．①若a ＝ 52，求PQ 的长；②是否存在实数a ，使得点P 在∠ACB 的平分线上？若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由．A BCD EF GBC4．（2012无锡）如图，在▱ABCD 中，点E 在边BC 上，点F 在BC 的延长线上，且BE=CF ．求证：∠BAE=∠CDF．5．（2012•资阳）（1）如图（1），正方形AEGH 的顶点E 、H 在正方形ABCD 的边上，直接写出HD ：GC ：EB 的结果（不必写计算过程）；（2）将图（1）中的正方形AEGH 绕点A 旋转一定角度，如图（2），求HD ：GC ：EB ；（3）把图（2）中的正方形都换成矩形，如图（3），且已知DA ：AB=HA ：AE=m ：n ，此时HD ：GC ：EB 的值与（2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果（不必写计算过程）．6．（2012年，遵义）（12分）如图，△ABC 是边长为6的等边三角形， P是AC 边上一动点，由A 向C 运动（与A 、C 不重合），Q 是CB 延长线上一动点，与点P 同时．．以相同．．的速度由B 向CB 延长线方向运动（Q 不与B 重合），过P 作PE ⊥AB 于E ，连接PQ 交AB 于D . （1）当∠O BQD 30=时，求AP 的长；（2）在运动过程中线段ED 的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED 的长；如果发生改变，请说明理由．7．（2012年，河北）如图131-，点E 是线段BC 的中点，分别以B C ，为直角顶点的EAB EDC △和△均是等腰直角三角形，且在BC 的同侧．（1）AE ED 和的数量关系为___________，AE ED 和的位置关系为___________；（2）在图131-中，以点E 为位似中心，作EGF △与EAB △位似，点H 是BC 所在直线上的一点，连接GH HD ，，分别得到了图132-和图133-； ①在图132-中，点F 在BE 上，EGF EAB △与△的相似比是1:2，H 是EC 的中点.求证：.GH HD GH HD =⊥，②在图133-中，点F 在BE 的延长线上，EGF EAB △与△的相似比是k :1，若2BC =，请直接写出CH 的长为多少时，恰好使得GH HD GH HD =⊥且（用含k 的代数式表示）．8、（2012年，河南）（10分）类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整.原题：如图1，在ABCD 中，点E 是BC 边上的中点，点F 是线段AE 上一点，BF 的延长线交射线CD 于点G ，若3AF BF =，求CDCG的值。

相似与全等大班教案

相似与全等大班教案相似与全等是数学中一个重要的概念，对于大班学生来说，理解这两个概念的区别和联系非常关键。

本教案将通过多种教学策略和活动帮助学生深入理解相似与全等的定义，并能够在实际问题中应用。

教学目标：1. 理解相似与全等的概念及其区别。

2. 能够根据相似或全等的特性进行几何图形的判断。

3. 能够解决与相似与全等相关的实际问题。

教学准备：1. 图形卡片：包括三角形、四边形等几何图形的卡片，每种图形至少准备两个。

2. 相似与全等的定义和示例的PPT。

教学流程：引入：教师出示相似与全等的定义和示例的PPT，简单介绍相似与全等的概念。

引导学生思考：相似与全等有何区别？在什么情况下两个图形才能称为相似或全等？探究：1. 教师拿出不同的图形卡片，并将其中两个卡片放在一起，让学生观察并判断它们是否相似或全等。

引导学生发现相似或全等图形之间的特点和规律。

2. 学生分组进行合作探究：每个小组随机拿出两个图形卡片，讨论并判断它们是否相似或全等。

每个小组选择一个代表来进行介绍和解释。

概念讲解：教师根据学生的探究结果，对相似与全等的定义和判断条件进行系统的讲解，强调两者的区别和联系，并澄清学生可能存在的疑惑。

巩固练习：1. 教师设计一些简单的练习题，要求学生判断给定的图形是否相似或全等，并说明理由。

2. 学生进行个人练习，教师巡视指导，及时纠正错误。

拓展活动：1. 学生分组进行相似图形的构造活动。

每个小组选择一种图形进行构造，再根据构造出的图形判断是否相似。

2. 学生尝试设计一个实际问题，并通过相似或全等的判断解决该问题。

小组展示并交流解决思路。

总结：教师对本节课的重点内容进行总结，并强调相似与全等的概念及其应用。

鼓励学生通过思考和实践来巩固所学知识。

作业布置：布置相关的练习题作业，要求学生根据相似或全等的特性判断图形的性质，并写出解题步骤和答案。

扩展阅读：学生阅读相关的数学绘本或故事，进一步了解相似与全等的应用场景，拓宽视野。

九年级二轮专题复习材料全等三角形、相似三角形

相似比。 2.相似三角形周长的比等于相似比。 3.相似三角形面积的比等于相似比的平方相似三角形的判定方法有： 1.平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似。
EF AB=a、BC=b，求的值． EG
2．（2012•临沂 T18）在 Rt△ABC 中，∠ACB=90，BC=2cm，CD⊥AB，在 AC 上取一点 E，使 EC=BC，过点 E 作 EF⊥AC 交 CD 的延长线于点 F，若 EF=5cm，则 AE=
九年级二轮专题复习材料
专题四：全等三角形、相似三角形【近 3 年临沂市中考试题】 1. （2011•临沂，T25，11 分）如图 1，将三角板放在正方形 ABCD 上，使三角板的直角顶点 E 与正方形 ABCD 的顶点 A 重合，三角扳的一边交 CD 于点 F．另一边交 CB 的延长线于点 G．
【知识点】全等图形的性质：全等多边形的对应边、对应角分别相等。全等三角形对应边上的高，中线相等，对应角的平分线相等；全等三角形的周长，面积也都相等。 1. 一般三角形全等的判定（1）边边边公理：三边对应相等的两个三角形全等（“边边边”或“SSS”）。（2）边角公理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(“边角边”或“SAS”)。（3）角边角公理：两个角和它们的夹边分别对应相等的两个三角形全等(“角边角”或“ASA”)。（4）角角边定理：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(“角角边”或“AAS”)。 2.直角三角形全等的判定（1）利用一般三角形全等的判定都能证明直角三角形全等．（2）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(“斜边、直角边”或“HL”)．相似三角形的性质 1.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于

初中三角形全等、相似提高及动点——超全

三角形专题(一)【等腰三角形】1.等腰三角形的性质（1）定理：等腰三角形有两边相等；（2）定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。

推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

（“三线合一”）（3）等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；2.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写“等角对等边”。

）推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。

推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

3.等边三角形的性质：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60o.它是轴对称图形，有三条对称轴。

4.等边三角形的判定：（1）有一个角等于60o的等腰三角形是等边三角形（2）三个角都相等的三角形是等边三角形课堂练习：1．等腰三角形的对称轴是（）A．顶角的平分线B．底边上的高C．底边上的中线D．底边上的高所在的直线2．等腰三角形有两条边长为4cm和9cm，则该三角形的周长是（）A．17cm B．22cm C．17cm或22cm D．18cm3．等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是（）A．100°B．100°或40°C．40°D．80°4．正△ABC的两条角平分线BD和CE交于点I，则∠BIC等于（）A．60°B．90°C．120°D．150°5．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；•③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；•④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（）A．①②③B．①②④C．①③D．①②③④6．如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1=∠2，BE=CD，则对△ADE的形状最准备的判断是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．不等边三角形D．不能确定形状7．已知△ABC中AB=AC，AD⊥BC于D，若△ABC、△ABD的周长分别是20cm和16cm，•求AD的长．8．如图，△ABC 中BA=BC ，点D 是AB 延长线上一点，DF ⊥AC 于F 交BC 于E ，• 求证：△DBE 是等腰三角形．ED CABF9. 已知：如图，ABC ∆中，AB CD AC AB ⊥=，于D 。

相似三角形证明技巧-专题

相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析一、相似、全等的关系全等和相似是平面几何中研究直线形性质的两个重要方面，全等形是相似比为1的特殊相似形，相似形则是全等形的推广．因而学习相似形要随时与全等形作比较、明确它们之间的联系与区别；相似形的讨论又是以全等形的有关定理为基础．二、相似三角形(1)三角形相似的条件：① ；② ；③ . 三、两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决.四、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单； 2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例； 3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；找另一角两角对应相等，两三角形相似找夹边对应成比例两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找夹角相等两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找第三边也对应成比例三边对应成比例，两三角形相似找一个直角斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似找另一角两角对应相等，两三角形相似找两边对应成比例判定定理1或判定定理4 找顶角对应相等判定定理1找底角对应相等判定定理1找底和腰对应成比例判定定理3e)相似形的传递性若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3五、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法例1、已知:如图,ΔABC 中,CE ⊥AB,BF ⊥AC. 求证: BAAC AF AE例2、如图，CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高，∠BAC 的平分线分别交BC 、CD 于点E 、F ，AC ·AE=AF ·AB 吗？说明理由。

分析方法：1）先将积式______________2）______________（ “横定”还是“竖定”？）a)已知一角等b)己知两边对应成比c)己知一个直d)有等腰关例1、已知：如图，△ABC 中，∠ACB=900，AB 的垂直平分线交AB 于D ，交BC 延长线于F 。

初中数学总复习专题15 从全等到相似

专题15 从全等到相似阅读与思考相似三角形的知识应用广泛，可以证明角的相等、线段成比例等问题. 通过寻找（或构造）相似三角形获得比例线段或等角，用以论证或计算的方法，我们称为相似三角形法，这是几何学中应用最广泛的方法之一.全等三角形是相似三角形相似比等于1的特殊情况，相等是它的主旋律，从全等到相似的过程，不仅是认识形式上的变化，而且在思维方法上也是一个飞跃，在相似形的问题中出现的线段间的关系比全等形中的等量形式更为复杂，不仅有比例式，还有等积式、平方式，甚至是线段乘积的和差、线段比的和差. 证明这类问题，常常要通过命题的转换或中间量的过渡.熟悉下面这些“A”型、“X”型，子母型等相似三角形.例题与求解【例1】如图，□ABCD中，直线PS分别交AB，CD的延长线于P，S，交BC，AC，AD于Q，E，R，图中相似三角形的对数（不含全等三角形）共有对. （武汉市竞赛试题）解题思路：从寻找最基本的相似三角形入手，注意相似三角形的传递性.PQSRECDBA【例2】如图，在直角梯形ABCD 中，AB =7，AD =2，BC =3. 如果边AB 上的点P 使得以P ，A ，D 为顶点的三角形和以P ，B ，C 为顶点的三角形相似，那么这样的点P 有（）A.1个B.2个C.3个D.4个解题思路：通过代数化，将P 点的个数的讨论转化为方程解的个数的讨论.要使两个三角形相似，并没有具体的对应关系，所以结论具有不确定性，应注意分类讨论.PCB A【例3】如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD 是中线，P 是AD 上一点，过C 作CF ∥AB ，延长BP 交A C 于E ，交CF 于F . 求证：2BP PE PF =⋅. （吉林省中考试题）解题思路：由于BP ，PE ，PF 在一条直线上，所以必须通过等线段的代换促使问题的转化. 证明比例式或等积式是几何问题中的常见题型，解决它的常用方法是：① 找相似：三点定形法；② 作平行：根据要证明的式子，找到一个分点，过此点作平行线，能写出要证式子中的一个比或与其相关的比；③ 变原式：包括等量代换、等积代换和等比代换.FP E CDBA【例4】已知△ABC 中，BC AC >，CH 是AB 边上的高，且满足22AC AHBC BH =. 试探讨∠A 与∠B 的关系，并加以证明. （武汉市竞赛试题）解题思路：由题设易想到直角三角形中的基本图形、基本结论，可猜想出∠A 与∠B 的关系. 解题的关键是综合运用勾股定理、比例线段的性质，推导判定两个三角形相似的条件.CDBA如图，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，由此得出的等积式在计算与证明中应用极为广泛，其特点是：① 一线段是两个三角形的公共边；② 另两条线段在同一直线上.构造逆命题是提出问题的一个常用方法，例4是在直角三角形被斜边上的高分成的相似三角形得出结论基础上提出的一个逆命题. 你能提出新的问题吗？并加以证明.【例5】如图1，P 为△ABC 内一点，连接PA ，PB ，PC . 在△PAB ，△PBC 和△PAC 中，如果存在一个三角形与△ABC 相似，那么就称P 为△ABC 的自相似点.（1）如图2，已知Rt △ABC 中，∠ACB =90°，ABC A ∠>∠，CD 是AB 上的中线，过点B 作BE ⊥CD ，垂足为E ，试说明E 是△ABC 的自相似点；（2）在△ABC 中，A B C ∠<∠<∠.① 如图3，利用尺规作出△ABC 的自相似点P （写出作法并保留作图痕迹）；② 若△ABC 的内心（∠A ，∠B ，∠C 角平分线的交点）P 是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数. （南京市中考试题）解题思路：本例设问形式多样，从概念的判断说理到作图求解，由浅入深，而认识并深刻理解“自相似点”的概念，是解题的关键.ABCABCPECDBA图1 图2 图3【例6】如图，在矩形ABCD 中，AB =12cm ，BC =6cm. 点P 沿AB 边从点A 开始向B 以2cm/s 的速度移动，点Q 沿DA 边从点D 开始向点A 以1cm/s 的速度移动. 如果P ，Q 同时出发，用t （秒）表示移动时间（06t ≤≤），那么：（1）当t 为何值时，△QAP 为等腰三角形？（2）求四边形QAPC 的面积，提出一个与计算结果有关的结论；（3）当t 为何值时，以点Q ，A ，P 为顶点的三角形与△ABC 相似？（河北省中考试题）解题思路：对于（3），借助三角形相似的判定方法，由于未指明对应关系，探求质点运动的时间应注意分类讨论.QCBA能力训练A 级1. 如图，已知12∠=∠，B D ∠=∠，5AB DE ==，4BC =，那么AD = .21FB CAEDC ECD BA（第1题）（第2题）（第3题）2. 如图，在△ABC 中，9AB =，6AC =，点M 在AB 上且3AM =，点N 在AC 上. 如果连接MN ，使得△AMN 与原三角形相似，则AN = .3. 如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，13AD BC =，43CD BC =，E ，F 为两腰上的中点. 下面的四个结论：①2CE BE =；②△ADE ∽△EDC ；③ADE CEF S S =△△；④AE DFAB DC=. 其中结论正确的有 .（填序号即可）（宜昌市中考试题）4. 在四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 上的一点，且AE BF DG BE FC GC ==(0)AHk k HD==>. 阅读下段材料，然后回答后面问题.（黄冈市中考试题）A.3个B.2个C.1个D.0个（山西省中考试题）（第5题）（第6题）（第7题）（第8题）6. 如图，□ABCD 中，E 是BC 上一点，:2:3BE EC =，AE 交BD 于点F ，则:BF FD 等于（）A.2:5B.3:5C.2:3D.5:7（重庆市中考试题）C7. 将三角形纸片（△ABC ）按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，即为点B ′，折痕为EF . 已知3AB AC ==，4BC =，若以点B ′，F ，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，那么BF 的长度为（）A.2B.127 C.2或127D.不确定（山东省中考试题）8. 如图，在△ABC 中，8AB =，7BC =，6CA =，延长BC 至P ，使得△PAB ∽△PCA ，则PC 等于（）A.7B.8C.9D.10B 级1. 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB CD <，一直线交BA 延长线于E ，交DC 延长线于J ，交AD 于F ，BD 于G ，AC 于H ，BC 于I . 已知EF FG GH HI IJ ====，则DCAB=A.3:2B.4:3C.5:4D.6:5（重庆市竞赛试题）B DCAABCDE（第4题）（第5题）5. 如图，在△ABC 中，D 是边AC 上一点，下面四种情况中，△ABD ∽△ACB 不一定成立的情况是（） A.AD BC AB BD ⋅=⋅ B.2AB AD AC =⋅ C.ABD ACB ∠=∠ D.AB BC AC BD ⋅=⋅（全国初中数学联赛试题）6. 已知一个梯形被一条对角线分成两个相似三角形，如果两腰的比为14，那么两底的比为（） A.12 B.14 C.18D.116 （江苏省竞赛试题）7. 如图，O 是四边形ABCD 对角线的交点，已知180BAD BCA ∠+∠=︒，5AB =，4AC =，3AD =，76BO OD =，求BC . （“祖冲之杯”邀请赛试题） O BACDFABCDE（第7题）（第8题）8. 如图，△ABC 中，角::4:2:1A B C =，AD ，BE 分别平分∠BAC ，∠ABC. 求证：2AB AD BE =⋅. （沈阳市竞赛试题）9. 在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别用a ，b ，c 表示.图 2图 1CBAa bccbaABC（1）如图1，在△ABC 中，2A B ∠=∠，且60A ∠=︒，求证：2()a b b c =+；（2）如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”. 本题第1问中的三角形是一个特殊的倍角三角形，那么对于任意的倍角△ABC ，如图2，其中2A B ∠=∠，关系式2()a b b c =+是否仍然成立？并证明你的结论.10. 在△ABC 中，90A ∠=︒，点D 在线段BC 上，12EDB C ∠=∠，BE ⊥DE 于E ，DE 与AB 相交于点F .（1）当AB =AC 时（如图1），①EBF ∠= ；②探究线段BE 与FD 的数量关系，并加以证明；（2）当AB kAC =时（如图2），求BEFD的值（用含k 的式子表示）. （大连市中考试题）ABEFDCF EDCBA图 2图 111. 如图，AB 是等腰直角三角形的斜边，若点M 在边AC 上，点N 在边BC 上，沿直线MN 将△MCN中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心责任奉献翻折，使点C 落在AB 上，设其落点为点P .（1）当点P 是边AB 的中点时，求证：PA CM PB CN=；（2）当点P 不是边AB 的中点时，PA CM PB CN =是否仍然成立？请证明你的结论. （北京市宣武区中考试题）P N MCBA12. 如图，在四边形ABCD 中，E ，F 分别是边AB ，CD 的中点. P 为对角线AC 延长线上的任意一点，PF 交AD 于点M ，PE 交BC 于点N ，EF 交MN 于点K . 求证：K 是线段MN 的中点. （江西省竞赛试题）E A。

专题14 全等与相似模型-一线三等角(K字)模型(学生版)

专题14全等与相似模型-一线三等角（K字）模型全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。

相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。

如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.一线三等角（K型图）模型【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。

【常见模型及证法】同侧型一线三等角：锐角一线三等角直角一线三等角（“K型图”）钝角一线三等角条件：A CED B∠=∠=∠+CE=DE证明思路：,⇒≅∠=∠∠=∠+任一边相等BED ACEA B C BED异侧型一线三等角：锐角一线三等角直角一线三等角钝角一线三等角条件：FAC ABD CED∠=∠=∠+任意一边相等证明思路：,⇒≅∠=∠∠=∠+任一边相等BED ACEA B C BED例1．（2021·山东日照·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，8cm AB =，12cm AD =，点P 从点B 出发，以2cm/s 的速度沿BC 边向点C 运动，到达点C 停止，同时，点Q 从点C 出发，以cm/s v 的速度沿CD 边向点D 运动，到达点D 停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当v 为_____时，ABP △与PCQ △全等．例2．（2022·黑龙江·九年级期末）（1）如图（1），已知：在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB =AC ，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D 、E ．证明∶DE =BD +CE ．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC 中，AB =AC ，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有∠BDA =∠AEC =∠BAC =α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE =BD +CE 是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D 、E 是D 、A 、E 三点所在直线m 上的两动点（D 、A 、E 三点互不重合），点F 为∠BAC 平分线上的一点，且△ACF 均为等边三角形，连接BD 、CE ，若∠BDA =∠AEC =∠BAC ，试判断△DEF 的形状．例3．（2022·广东·汕头市潮阳区一模）（1）模型建立，如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．求证：△BEC≌△CDA；，OB=4，将线段AB绕点B逆（2）模型应用：①已知直线AB与y轴交于A点，与x轴交于B点，sin∠ABO=35时针旋转90度，得到线段BC，过点A，C作直线，求直线AC的解析式；②如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，6），A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，已知点D在第一象限，且是直线y=2x 5上的一点，若△APD是以D为直角顶点的等腰直角三角形，请求出所有符合条件的点D的坐标．例4．（2023·湖南岳阳·统考一模）如图，在ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于点E．（1）当∠BDA=115°时，∠EDC=______°，∠AED=______°；（2）线段DC的长度为何值时，△ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．例5．（2022·浙江杭州·一模）老师在上课时，在黑板上写了一道题：“如图，ABCD 是正方形，点E 在BC 上，DF ⊥AE 于F ，请问图中是否存在一组全等三角形？”小杰同学经过思考发现：△ADF ≌△EAB ．理由如下：因为ABCD 是正方形（已知）所以∠B ＝90°且AD ＝AB 和AD ∥BC又因为DF ⊥AE （已知）即∠DFA ＝90°（垂直的意义）所以∠DFA ＝∠B （等量代换）又AD ∥BC 所以∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）在△ADF 和△EAB 中12DFA B AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以△ADF ≌△EAB （AAS ）小胖却说这题是错误的，这两个三角形根本不全等．你知道小杰的错误原因是什么吗？我们再添加一条线段，就能找到与△ADF 全等的三角形，请能说出此线段的做法吗？并说明理由．例6．（2022·山东·九年级课时练习）（1）课本习题回放：“如图①，90ACB ∠=︒，AC BC =，AD CE ⊥，BE CE ⊥，垂足分别为D ，E ， 2.5cm AD =， 1.7cm DE =．求BE 的长”，请直接写出此题答案：BE 的长为________．（2）探索证明：如图②，点B ，C 在MAN ∠的边AM 、AN 上，AB AC =，点E ，F 在MAN ∠内部的射线AD 上，且BED CFD BAC ∠=∠=∠．求证：ABE CAF ∆∆≌．（3）拓展应用：如图③，在ABC ∆中，AB AC =，AB BC >．点D 在边BC 上，2CD BD =，点E 、F 在线段AD 上，BED CFD BAC ∠=∠=∠．若ABC ∆的面积为15，则ACF ∆与BDE ∆的面积之和为________．（直接填写结果，不需要写解答过程）例7．（2023·贵州遵义·八年级统考期末）过正方形ABCD （四边都相等，四个角都是直角）的顶点A 作一条直线MN ．（1）当MN 不与正方形任何一边相交时，过点B 作BE MN ⊥于点E ，过点D 作DF MN ⊥于点F 如图（1），请写出EF ，BE ，DF 之间的数量关系，并证明你的结论．（2）若改变直线MN 的位置，使MN 与CD 边相交如图（2），其它条件不变，EF ，BE ，DF 的关系会发生变化，请直接写出EF ，BE ，DF 的数量关系，不必证明；（3）若继续改变直线MN 的位置，使MN 与BC 边相交如图（3），其它条件不变，EF ，BE ，DF 的关系又会发生变化，请直接写出EF ，BE ，DF 的数量关系，不必证明．模型2.一线三等角模型（相似模型）【模型解读与图示】“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似．1）一线三等角模型（同侧型）（锐角型）（直角型）（钝角型）条件：如图，∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED.2）一线三等角模型（异侧型）条件：如图，∠1=∠2＝∠3，结论：△ADE∽△BEC.3）一线三等角模型（变异型）图1图2图3①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，结论：△ACE∽△BED∽△ECD.②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM.例1．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，ABC 为等边三角形，点D ，E 分别在边BC ，AB 上，60ADE ∠=︒，若4BD DC =， 2.4DE =，则AD 的长为（）A ．1.8B ．2.4C ．3D ．3.2A ．3B ．5C ．2D ．1例3．（2022·河南新乡·九年级期中）某学习小组在探究三角形相似时，发现了下面这种典型的基本图形．（1）如图1，在ABC中，∠BAC＝90°，ABAC＝k，直线l经过点A，BD⊥直线I，CE上直线l，垂足分别为D、E．求证：BDAE＝k．（2）组员小刘想，如果三个角都不是直角，那么结论是否仍然成立呢？如图2，将（1）中的条件做以下修改：在ABC中，ABAC＝k，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，在ABC中，沿ABC的边AB、AC向外作矩形ABDE和矩形ACFG，ABAE＝ACAG＝12，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I．①求证：I是EG的中点．②直接写出线段BC与AI之间的数量关系：．边的数量关系．问题探究：(1)先将问题特殊化，如图（2），当90α=︒时，直接写出GCF ∠的大小；(2)再探究一般情形，如图（1），求GCF ∠与α的数量关系．问题拓展：(3)将图（1）特殊化，如图（3），当120α=︒时，若12DG CG =，求BECE 的值．B和射线例5．（2022·山西晋中·一模）阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，分别过A 、B 向经过点C 直线作垂线，垂足分别为D 、E ，我们很容易发现结论：ADC CEB △≌△．（1）探究问题：如果AC BC ≠，其他条件不变，如图②，可得到结论；ADC CEB △∽△．请你说明理由．（2）学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线12y x =与直线CD 交于点()2,1M ，且两直线夹角为α，且3tan 2α=，请你求出直线CD 的解析式．（3）拓展应用：如图④，在矩形ABCD 中，3AB =，5BC =，点E 为BC 边上—个动点，连接AE ，将线段AE 绕点E 顺时针旋转90︒，点A 落在点P 处，当点P 在矩形ABCD 外部时，连接PC ，PD ．若DPC △为直角三角形时，请你探究并直接写出BE 的长．校考三模）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探【观察与猜想】(1)如图1，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 上的两点，连接则DE CF的值为___________；(2)如图2，在矩形ABCD 中，7AD =，4CD =，E 是AD 上的一点，连接CE ，BD ，若课后专项训练1．（2022·湖南·长沙市二模）如图，等腰直角三角形ABC 的直角顶点C 与坐标原点重合，分别过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足为D 、E ，点A 的坐标为（-2，5），则线段DE 的长为（）A ．4B ．6C ．6.5D ．72．（2022·贵州·凯里一模）如图，在平面直角坐标系中()0,4A 、()6,0C ，BC x ⊥轴，存在第一象限的一点(),25P a a -使得PAB △是以AB 为斜边的等腰直角三角形，则点P 的坐标（）．A ．()3,1或()3,3B ．()5,5C ．()3,1或()5,5D ．()3,3A ．()9,3B ．()9,23＝5．（2021·浙江台州·中考真题）如图，点E，F，G分别在正方形ABCD的边AB，BC，AD上，AF⊥EG．若AB ＝5，AE＝DG＝1，则BF＝_____．为边的运动过程中，△CEF面积的最小值是．9．（2022·河北保定·模拟预测）如图，桌面上竖直放置着一个等腰直角三角板ABC ，若测得斜边AB 的两端点到桌面的距离分别为AD ，BE ．（1）求证：ADC CEB △≌△；（2）若10DE =，7AD =，求BE 的长．10．（2023·浙江·九年级期末）如图，已知ABC 和CDE 均是直角三角形，Rt ACB CED ∠=∠=∠，AC CE =，AB CD ⊥于点F ．（1）求证：ABC ≌CDE ；（2）若点B 是EC 的中点，10cm DE =，求AE 的长．11．（2022·江苏·九年级专题练习）【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根据以下问题，把你的感知填写出来：①如图1，ABC 是等腰直角三角形，90C ∠=︒，AE =BD ，则AED ≌_______；②如图2，ABC 为正三角形，,60BD CF EDF =∠=︒，则BDE ≌________；③如图3，正方形ABCD 的顶点B 在直线l 上，分别过点A 、C 作AE l ⊥于E ，CF l ⊥于F ．若1AE =，2CF =，则EF 的长为________．【模型应用】（2）如图4，将正方形OABC 放在平面直角坐标系中，点O 为原点，点A 的坐标为(，则点C 的坐标为________．【模型变式】（3）如图5所示，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，BE CE ⊥于E ，AD ⊥CE 于D ，4cm DE =，6cm AD =，求BE 的长．12．（2022·江苏镇江·二模）模型构建：如图1，AM MN ⊥于点M ，BN MN ⊥于点N ，AB 的垂直平分线交MN 于点P ，连接AP 、BP ．若90APB ∠=︒，求证：AM BN MN +=．数学应用：如图2，在ABC 中，D 是BC 上一点，AC AD BD ==，90CAD ∠=︒，8AB =，求ABC 的面积．实际运用：建设“交通强国”是满足人民日益增长的美好生活需要的必然要求．建设“美丽公路”是落实美丽中国建设、回应人民日益增长的美好生活对优美生态环境的需要．如图3是某地一省道与国道相交处的示意图，点Q 处是一座古亭，鹅卵石路QA 、QB 以及AB 两旁栽有常青树，其它区域种植不同的花卉；设计要求QA QB =，QA QB ⊥，AB 是以Q 为圆心、QA 为半径的圆弧（不计路宽，下同）．请在图4中画出符合条件的设计图，要求尺规作图，保留作图痕迹，标注必要的字母，写出详细的作法，不要求说明理由；13．（2022·黑龙江·桦南县九年级期中）如图1，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线MN 经过点C ，且AD MN⊥于D ，BE MN ⊥于E ．(1)由图1，证明：DE AD BE =+；(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，请猜想出DE ，AD ，BE 的等量关系并说明理由；(3)当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE ，AD ，BE 又具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系（不必说明理由）．14．（2022·黑龙江佳木斯·三模）在ABC 中，90ABC ∠=︒，AB BC =，D 为直线AB 上一点，连接CD ，过点B 作BE CD ⊥交CD 于点E ，交AC 于点F ，在直线AB 上截取AM BD =，连接FM ．（1）当点D ，M 都在线段AB 上时，如图①，求证：BF MF CD +=；（2）当点D 在线段AB 点M 在线段BA 的延长线上时，如图②；当点D 在线段BA 的延长线上，点M 在线段AB 的延长线上时，如图③，直接写出线段BF ，MF ，CD 之间的数量关系，不需要证明．15．（2022·安徽·合肥二模）（1）如图1，等腰直角ABC 中，90ACB ∠=︒，CB CA =，线段ED 经过点C ，过A 作AD ED⊥于点D ，过B 作BE ED ⊥于.E 求证：BEC △≌CDA ．（2）如图2，已知在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，点A 的坐标为()0,4，点C 的坐标为()3,0-，点B 是平面直角坐标系中的一点，若ABC 是以AC 为直角边的等腰直角三角形，求点B 的坐标；（3）如图3，已知在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，在等腰直角OAB 中，90OAB ∠=︒，4OA AB ==，点M 在线段OB 上从O 向B 运动(运动到点B 停止)，以点M 为直角顶点向右上方做等腰直角AMN ，求点N 移动的距离．的两个等腰直角三角形，∠N(3)【拓展探究】在整个运动过程中，请直接写出N点运动的路径长，及CN的最小值．(1)若正方形ABCD的边长为2，E是AD的中点．①如图1，当90∠=︒时，求证：AEF DCEFEC△△；∽18．（2023·广东深圳·九年级校考阶段练习）如图，在ABC 中6cm AB AC ==，8cm BC =，点E 是线段BC 边上的一动点（不含B 、C 两端点），连接AE ，作AED B ∠=∠，交线段AB 于点D ．(1)求证：BDE CEA△∽△(2)设BE x =，AD y =，请求y 与x 之间的函数关系式．(3)E 点在运动的过程中，ADE V 能否构成等腰三角形？若能，求出BE 的长；若不能，请说明理由．BC=．点E是线段AD上的动点（点E不20．（2022·湖南郴州·中考真题）如图1，在矩形ABCD中，4AB=，6⊥，交AB于点F．与点A，D重合），连接CE，过点E作EF CE∽；(1)求证：AEF DCE⊥，垂足为G，连接AG．点M是线段BC的中点，连接GM．(2)如图2，连接CF，过点B作BG CF①求AG GM+的最小值；②当AG GM+取最小值时，求线段DE的长．。

三角形全等相似专题

三角形全等相似专题典例具析例1.如图，已知△ABC 中CE ⊥AB 于E,BF ⊥AC 于F, 求证：△AFE ∽△ABC例2 已知△ABC 中，∠ACB =90º，CH ⊥AB ，HE ⊥BC ，HF ⊥AC . 求证：（1）△HEF ≌△EHC ；（2）△HEF ∽△HBC .例3 一块直角三角形木板的一条直角边AB 长为1.5m ，面积为1.5m 2,工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形，请两位同学进行设计加工方案，甲设计方案如图(1),乙设计的方案如图(2) . 你认为那位同学设计的方案较好？试说明理由.（加工损耗忽略，计算结果可保留分数）A B C F E HC A (1) BDEF (2) C BA D E G PA FE例4如图，已知E 是∠AOB 的平分线上一点，EC ⊥OA ，ED ⊥OB ，垂足分别为C 、D ，求证：（1）∠ECD=∠EDC ；（2）OC=OD ；（3）OE 是CD 的垂直平分线例5、如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的△ABC 就是格点三角形。

在建立平面直角坐标系后，点B 的坐标为(11)--，。

（1）把△ABC 向左平移8格后得到△111A B C ，画出△111A B C 的图形并写出点1B 的坐标；（2）把△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转90°后得到△22A B C ，画出△22A B C的图形并写出点2B 的坐标；（3）把△ABC 以点A 为位似中心放大，使放大前后对应边长的比为1：2，画出△33AB CA BD E O例6 两个全等的含30º，60º角的三角板ADE 和ABC 如图所示放置，E ，A ，C 三点在一条直线上，连接BD ，取BD 的中点M ，连结ME ，MC .试判断△EMC 的形状，并说明理由.针对性练习.1、以下条件为依据，能判定△ABC 和△A 1B 2C 3相似的一组是（） (A) ∠A ＝45°,AB ＝12cm,AC ＝15cm, ∠A ´＝45°,A ´B ´＝16cm,A ´C ´＝25cm (B) AB ＝12cm,BC ＝15cm,AC ＝24cm, A ´B ´＝20cm,B ´C ´＝25cm,A ´C ´＝32cm (C)AB ＝2cm,BC ＝15cm, ∠B ＝36°, A ´B ´＝4cm,B ´C ´＝5cm, ∠A ´＝36° (D) ∠A ＝68°,∠B ＝40°∠A ´＝68°,∠B ´＝40° 2.如图，△ABC 中DE,DF,EG 分别平行于BC,AC,AB, 图中与△ADG 相似的三角形共有（）个 (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 3.如图，平行四边形ABCD 对角线AC,BD 交于O ，过O 画直线EF 交AD 于E ，交BC 于F,，则图中全等三角形共有（） (A)7对 (B)6对 (C)5对 (D)4对4.满足下列哪种条件时，能够判定ΔABC ≌ΔDEF （）(A)AB=DE,BC=EF, ∠A=∠E (B)AB=DE,BC=EF ∠A=∠D (C) ∠A=∠E,AB=DF, ∠B=∠D (D) ∠A=∠D,AB=DE, ∠B=∠E5两个相似三角形的面积比为4：25，则它们的周长比为6.如图（8），A C B △和EC D △都是等腰直角三角形，A C D ，，三点在同一直线上，连结B D ，A E ，并延长A E 交B D 于F ．（1）求证：A C E B C D △≌△．（2）直线A E 与B D 互相垂直吗？请证明你的结论．A G D CFE B7、如图，点E 在AB 上，AC=AD ，请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予证明。

专题07 二次函数背景下的三角形相似(全等)(解析版)

备战2019年中考数学压轴题之二次函数专题07 二次函数背景下的三角形相似（全等）【方法综述】三角形全等是三角形相似的特殊情况。

三角形的全等和相似是综合题中的常见要素，解答时注意应用全等三角形和相似的判定方法。

另外，注意题目中“”与全等表述、“”和相似表述的区别。

全等和相似的符号，标志着三角形全等（相似）的对应点的一、一对应关系。

解答时，对于确定的对应边角可以直接利用于解题。

而全等、相似的语言表述，标志着对应点之间的组合关系，解答时，要进行对应边的分类讨论。

【典例示范】类型一例1：（陕西省渭南市大荔县中考数学三模试题）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，其中点A的坐标为，抛物线的顶点为P．求b的值，并求出点P、B的坐标；在x轴下方的抛物线上是否存在点M，使≌？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，试说明理由．【答案】存在，【解析】抛物线经过，，解得：，抛物线的表达式为．，点P的坐标为令得：，解得或，的坐标为．存在，点如图：过点P作轴，垂足为C，连接AP、BP，作的平分线，交PB与点N，交抛物线与点M，连接PM、BM．，，，，，，是等边三角形，，．，，．在和中，，≌．存在这样的点M，使得≌．，，点N是PB的中点，设直线AM的解析式为，将点A和点N的坐标代入得：，解得：，直线AM的解析式为．将代入抛物线的解析式得：，解得：或舍去，当时，，点M的坐标为针对训练1．（2018年九年级数学北师大版下册：第二章检测卷）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx－8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为(－2，0)，(6，－8)．(1)求抛物线的解析式，并分别求出点B和点E的坐标；(2)试探究抛物线上是否存在点F，使△FOE≌△FCE.若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1) y＝12x2－3x－8；（2）点F的坐标为(3＋17，－4)或(3－17，－4)．【解析】（1）∵抛物线y=ax2+bx-8经过点A（-2，0），D（6，-8），∴4280 {36688a ba b--+--＝＝解得1 {23 ab-＝＝∴抛物线的函数表达式为y＝12x2−3x−8；∵y＝12x2−3x−8＝12(x −3)2−252，∴抛物线的对称轴为直线x=3．又抛物线与x轴交于A，B两点，点A 的坐标为（-2，0）．∴点B的坐标为（8，0），设直线L的函数表达式为y=kx．∵点D（6，-8）在直线L上，∴6k=-8，解得k=-43，∴直线L的函数表达式为y=-43x，∵点E为直线L和抛物线对称轴的交点，∴点E的横坐标为3，纵坐标为-43×3=-4，∴点E的坐标为（3，-4）；（2）抛物线上存在点F，使△FOE≌△FCE．∵OE=CE=5，∴FO=FC，∴点F在OC的垂直平分线上，此时点F的纵坐标为-4，∴12x2-3x-8=-4，解得x=3±17，∴点F的坐标为（3-17，-4）或（3+17，-4）．2．（河南省濮阳市2018届九年级中考数学二模试题）如图，一次函数与坐标轴分别交于A，B两点，抛物线经过点A，B，点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线BA运动，点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线AO运动，两点同时出发，运动时间为t秒．求此抛物线的表达式；求当为等腰三角形时，所有满足条件的t的值；点P在线段AB上运动，请直接写出t为何值时，的面积达到最大？此时，在抛物线上是否存在一点T，使得≌？若存在，请直接写出点T的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)；（2）当为等腰三角形时，t的值为、或或4；（3）点T的坐标为．【解析】把代入中，得．把代入中，得．，把，分别代入中，得，，抛物线的表达式为，，由勾股定理，得，．运动t秒后，，．为等腰三角形，有，，三种情况，当时，过点Q作于点D．在中，，，．解得；当时，若点P在x轴上方的直线AB上，，，，解得；若点P在x轴下方的直线AB上，，，解得：；当时，过点P作于点E．则，在中，，．解得：综上所述，当为等腰三角形时，t的值为、或或4．过点P作于点F，延长FP交抛物线与点T．为底边AQ上的高．，，．．当时，的面积最大此时点P为AB的中点，且．连接OP，则，点，点T的横坐标为，将代入抛物线的解析式得：．．在中，由勾股定理可知：，．≌．点T的坐标为．类型二全等三角形的存在性探究例2．（四川省眉山市洪雅县2018届九年级中考适应性考）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点分别为A（﹣6，0）和点B（4，0），与y轴的交点为C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是线段OA上一动点（不与点A重合），过P作平行于y轴的直线与AC交于点Q，点D、M在线段AB上，点N在线段AC上．①是否同时存在点D和点P，使得△APQ和△CDO全等，若存在，求点D的坐标，若不存在，请说明理由；②若∠DCB=∠CDB，CD是MN的垂直平分线，求点M的坐标．【答案】（1）y=﹣x2﹣x+3；（2）①点D坐标为（﹣，0）；②点M（，0）.【解析】（1）将点（-6，0），C（0，3），B（4，0）代入y=ax2+bx+c，得，解得：，∴抛物线解析式为：y=-x2-x+3；（2）①存在点D，使得△APQ和△CDO全等，当D在线段OA上，∠QAP=∠DCO，AP=OC=3时，△APQ和△CDO全等，∴tan∠QAP=tan∠DCO，，∴，∴OD=，∴点D坐标为（-，0）.由对称性，当点D坐标为（，0）时，由点B坐标为（4，0），此时点D（，0）在线段OB上满足条件．②∵OC=3，OB=4，∴BC=5，∵∠DCB=∠CDB，∴BD=BC=5，∴OD=BD-OB=1，则点D坐标为（-1，0）且AD=BD=5，连DN，CM，则DN=DM，∠NDC=∠MDC，∴∠NDC=∠DCB，∴DN∥BC，∴，则点N为AC中点．∴DN时△ABC的中位线，∵DN=DM=BC=，∴OM=DM-OD=∴点M（，0）针对训练1．如图，在平面直角坐标系中，以点M（2，0）为圆心的⊙M与y轴相切于原点O，过点B（﹣2，0）作⊙M的切线，切点为C，抛物线经过点B和点M．（1）求这条抛物线解析式；（2）求点C的坐标，并判断点C是否在（1）中抛物线上；（3）动点P从原点O出发，沿y轴负半轴以每秒1个单位长的速度向下运动，当运动t秒时到达点Q处．此时△BOQ与△MCB 全等，求t的值．【答案】（1）y＝﹣x2+；（2）点C在（1）的抛物线上；（3）t＝2．【解析】（1）将点M（2，0）、B（﹣2，0）代入y x2+bx+c中，得：解得：∴抛物线的解析式：y x2．（2）连接MC，则MC⊥BC；过点C作CD⊥x轴于D，如图，在Rt△BCM中，CD⊥BM，CM＝2，BM＝4，则：DM1，CD，OD＝OM﹣DM＝1，∴C（1，）．当x＝1时，y x2，所以点C在（1）的抛物线上．（3）△BCM和△BOQ中，OB＝CM＝2，∠BOQ＝∠BCM＝90°，若两三角形全等，则：OQ＝BC，∴当t＝2时，△MCB和△BOQ全等．2．（广西田阳县实验中学2019届九年级中考一）如图所示，抛物线（m＞0）的顶点为A，直线与轴的交点为点B.（1）求出抛物线的对称轴及顶点A的坐标（用含的代数式表示）；（2）证明点A在直线上，并求∠OAB的度数；（3）动点Q在抛物线对称轴上，问：抛物线上是否存在点P，使以点P、Q、A为顶点的三角形与△OAB全等？若存在，求出的值，并写出所有符合上述条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）抛物线的对称轴为直线，顶点A的坐标为（，0）；（2）∠OAB=30°；（3）存在，①=时，P（0，-），P（，-）；②=时，P（，-3），P（3+，-3）；③=2时，P（，-3），P（，-3）；④=时，P（，-），P（，-）.【解析】（1）对称轴：x=m；顶点：A（m，0）．（2）将x=m代入函数y=x-m，得y=×m-m=0∴点A（m，0）在直线l上．当x=0时，y=-m，∴B（0，-m）tan∠OAB=，∴∠OAB=30度．（3）以点P、Q、A为顶点的三角形与△OAB全等共有以下四种情况：①当∠AQP=90°，PQ=m，AQ=m时，如图1，此时点P在y轴上，与点B重合，其坐标为（0，-m），代入抛物线y=-（x-m）2得-m=-3m2，∵m＞0，∴m=这时有P1（0，-）其关于对称轴的对称点P2（，- ）也满足条件．②当∠AQP=90°，PQ=m，AQ=m时点P坐标为（m-m，-m），代入抛物线y=-（x-m）2得m=m2，∵m＞0，∴m=这时有P3（3-，-3）还有关于对称轴的对称点P4（3+，-3）．③当∠APQ=90°，AP=m，PQ=m时点P坐标为（m，−m），代入抛物线y=-（x-m）2得m=m2，∵m＞0，∴m=2这时有P5（，-3）还有关于对称轴的对称点P6（3，-3）．④当∠APQ=90°，AP=m，PQ=m时点P坐标为（m，−m），代入抛物线y=-（x-m）2得m=m2，∵m＞0，∴m=这时有P7（，-）还有关于对称轴对称的点P8（，-）．所以当m=时，有点P1（0，-），P2（，-）；当m=时，有点P3（3-，-3），P4（3+，-3）；当m=2时，有点P5（，-3），P6（3，-3）；当m=时，有点P7（，-），P8（，-）．3．如图1，抛物线y1=ax2﹣x+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，），抛物线y1的顶点为G，GM⊥x 轴于点M．将抛物线y1平移后得到顶点为B且对称轴为直线l的抛物线y2．（1）求抛物线y2的解析式；（2）如图2，在直线l上是否存在点T，使△TAC是等腰三角形？若存在，请求出所有点T的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点P为抛物线y1上一动点，过点P作y轴的平行线交抛物线y2于点Q，点Q关于直线l的对称点为R，若以P，Q，R 为顶点的三角形与△AMG全等，求直线PR的解析式．【答案】（1）y2=-x2+x-；（2）存在；（3）y=﹣x+或y=﹣.【解析】（1）由已知，c=，将B（1，0）代入，得：a﹣=0，解得a=﹣，抛物线解析式为y1=x2-x+，∵抛物线y1平移后得到y2，且顶点为B（1，0），∴y2=﹣（x﹣1）2，即y2=-x2+x-；（2）存在，如图1：抛物线y2的对称轴l为x=1，设T（1，t），已知A（﹣3，0），C（0，），过点T作TE⊥y轴于E，则TC2=TE2+CE2=12+（）2=t2﹣t+，TA2=TB2+AB2=（1+3）2+t2=t2+16，AC2=，当TC=AC时，t2﹣t+=，解得：t1=，t2=；当TA=AC时，t2+16=，无解；当TA=TC时，t2﹣t+=t2+16，解得t3=﹣；当点T坐标分别为（1，），（1，），（1，﹣）时，△TAC为等腰三角形；（3）如图2：设P（m，），则Q（m，），∵Q、R关于x=1对称∴R（2﹣m，），①当点P在直线l左侧时，PQ=1﹣m，QR=2﹣2m，∵△PQR与△AMG全等，∴当PQ=GM且QR=AM时，m=0，∴P（0，），即点P、C重合，∴R（2，﹣），由此求直线PR解析式为y=﹣x+，当PQ=AM且QR=GM时，无解；②当点P在直线l右侧时，同理：PQ=m﹣1，QR=2m﹣2，则P（2，﹣），R（0，﹣），PQ解析式为：y=﹣；∴PR解析式为：y=﹣x+或y=﹣.类型三确定的相似三角形条件的判定应用例3：（重庆市九龙坡区西彭三中2019届九年级（上)期末）如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，交直线BD于点M．（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）点P在线段AB上运动的过程中，是否存在点Q，使得△BOD∽△QBM？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．（3）已知点F（0，），点P在x轴上运动，试求当m为何值时以D、M、Q、F为顶点的四边形是平行四边形．【答案】（1）y＝﹣x2+x+2；（2）存在，点Q的坐标为（3，2）；（3）m＝﹣1或m＝3或m＝1+或1﹣时，四边形DMQF是平行四边形．【解析】（1）由抛物线过点A（﹣1，0）、B（4，0）可设解析式为y＝a（x+1）（x﹣4），将点C（0，2）代入，得：﹣4a＝2，解得：a＝﹣，则抛物线解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣4）＝﹣x2+x+2；（2）如图所示：∵当△BOD∽△QBM时，则，∵∠MBQ＝90°，∴∠MBP+∠PBQ＝90°，∵∠MPB＝∠BPQ＝90°，∴∠MBP+∠BMP＝90°，∴∠BMP＝∠PBQ，∴△MBQ∽△BPQ，∴，∴，解得：m1＝3、m2＝4，当m＝4时，点P、Q、M均与点B重合，不能构成三角形，舍去，∴m＝3，点Q的坐标为（3，2）；（3）由题意知点D坐标为（0，﹣2），设直线BD解析式为y＝kx+b，将B（4，0）、D（0，﹣2）代入，得：，解得：，∴直线BD解析式为y＝x﹣2，∵QM⊥x轴，P（m，0），∴Q（m，﹣m2+m+2）、M（m，m﹣2），则QM＝﹣m2+m+2﹣（m﹣2）＝﹣m2+m+4，∵F（0，）、D（0，﹣2），∴DF＝，∵QM∥DF，∴当|﹣m2+m+4|＝时，四边形DMQF是平行四边形，解得：m＝﹣1或m＝3或m＝1+或1﹣即m＝﹣1或m＝3或m＝1+或1﹣时，四边形DMQF是平行四边形．针对训练1．（湖南省长沙一中2018届九年级（下)段考）如图1，一次函数y＝﹣x+3的图象交x轴于点A，交y轴于点D，抛物线y ＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为C，其图象过A、D两点，并与x轴交于另一个点B（B点在A点左侧），若；（1）求此抛物线的解析式；（2）连结AC、BD，问在x轴上是否存在一个动点Q，使A、C、Q三点构成的三角形与△ABD相似．如果存在，求出Q 点坐标；如果不存在，请说明理由．（3）如图2，若点P是抛物线上一动点，且在直线AD下方，（点P不与点A、点D重合），过点P作y轴的平行线l与直线AD交于点M，点N在直线AD上，且满足△MPN∽△ABD，求△MPN面积的最大值．【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）见解析;（3）△MPN的面积的最大值为:．【解析】（1）当x＝0时，y＝﹣x+3＝3，则D（3，0）；当y＝0时，﹣x+3＝0，解得x＝3，则A（3，0），∵OD＝OA，∴△OAD为等腰直角三角形，∴AD＝3，∵，∴AB＝2，∴B（1，0），设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3），把D（0，3）代入得a•（﹣1）•（﹣3）＝3，解得a＝1，∴抛物线解析式为y＝（x﹣1）（x﹣3），即y＝x2﹣4x+3；（2）作CH⊥x轴，如图1，∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴C（2，﹣1）∴AH＝CH＝1，∴△ACH为等腰直角三角形，∴∠CAH＝45°，AC＝，∵△OAD为等腰直角三角形，∴∠DAO＝45°，∵∠CAQ＝∠DAB，∴当时，△AQC∽△ADB，即，解得AQ＝3，此时Q（0，0）；当时，△AQC∽△ABD，即，解得AQ＝，此时Q（，0）；综上所述，Q点的坐标为（0，0）或（，0）；（3）作PE⊥AD于E，如图2，∵△MPN∽△ABD，∴，∴MN＝MP，设P（x，x2﹣4x+3），则M（x，﹣x+3），∴MP＝﹣x+3﹣（x2﹣4x+3）＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣）2+，当x＝时，MP有最大值，∴MN的最大值为＝，∵∠PME＝45°，∴PE＝PM，∴PE的最大值为×＝，∴△MPN的面积的最大值为××＝．2．（浙江省嘉兴市海宁新仓中学2019届九年级上学期数学第一次月考）如图，抛物线y=ax2+bx+c过原点O、点A （2，﹣4）、点B （3，﹣3），与x轴交于点C，直线AB交x轴于点D，交y轴于点E．（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标；（2）直线AF⊥x轴，垂足为点F，AF上取一点G，使△GBA∽△AOD，求此时点G的坐标；（3）过直线AF左侧的抛物线上点M作直线AB的垂线，垂足为点N，若∠BMN=∠OAF，求直线BM的函数表达式．【答案】（1）y=x2-4x；（2，-4）；（2）G（2，）；（3）y=或y=-3x+6．【解析】（1）解：将原点O（0,0）、点A （2，﹣4）、点B （3，﹣3），分别代入y=ax2+bx+c，得，解得，∴y=x2-4x= ，∴顶点为（2，-4）.（2）解：设直线AB为y=kx+b，由点A（2，-4），B（3，-3），得解得，∴直线AB为y=x-6.当y=0时，x=6，∴点D（6，0）.∵点A（2，-4），D（6,0），B（3，-3），∴OA= ，OD=6，AD= ，AF=4，OF=2，DF=4，AB= ，∴DF=AF，又∵AF⊥x轴，∴∠AD0=∠DAF=45°，∵△GBA∽△AOD，∴，∴，解得，∴FG=AF-AG=4- ，∴点G（2，）.（3）解：如图1，∵∠BMN=∠OAF，，∴∠MBN=∠AOF，设直线BM与AF交于点H，∵∠ABH=∠AOD，∠HAB=∠ADO，∴∴，则，解得AH= ，∴H（2，）.设直线BM为y=kx+b，∵将点B、G的坐标代入得，解得．∴直线BM的解析式为y= ；如图2，BD=AD-AB= ．∵∠BMN=∠OAF，∠GDB=∠ODA，∴△HBD∽△AOD．∴，即，解得DH=4．∴点H的坐标为（2，0）．设直线BM的解析式为y=kx+b．∵将点B和点G的坐标代入得：，解得k=-3，b=6．∴直线BM的解析式为y=-3x+6．综上所述，直线MB的解析式为y= 或y=-3x+6．3．（江西省景德镇市2018届九年级第二次质检）如果一条抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”，［a，b，c］称为“抛物线系数”．（1）任意抛物线都有“抛物线三角形”是______（填“真”或“假”）命题；（2）若一条抛物线系数为［1，0，－2］，则其“抛物线三角形”的面积为________；（3）若一条抛物线系数为［－1，2b，0］，其“抛物线三角形”是个直角三角形，求该抛物线的解析式；（4）在（3）的前提下，该抛物线的顶点为A，与x轴交于O，B两点，在抛物线上是否存在一点P，过P作PQ⊥x轴于点Q，使得△BPQ∽△OAB，如果存在，求出P点坐标，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）假；（2）；（3）y＝－x2＋2x 或y＝－x2－2x；（4）P（1，1）或P（－1，－3）或P（1，－3）或（－1，1）．【解析】（1）当△＞0时，抛物线与x轴有两个交点，此时抛物线才有“抛物线三角形”，故此命题为假命题；（2）由题意得：，令y=0，得：x=，∴S==；（3）依题意：y＝－x2＋2bx，它与x轴交于点（0，0）和（2b，0）；当抛物线三角形是直角三角形时，根据对称性可知它一定是等腰直角三角形．∵y＝－x2＋2bx=，∴顶点为（b，b2），由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到：，∴，解得：b＝0（舍去）或b＝±1，∴y＝－x2＋2x 或y＝－x2－2x．（4）①当抛物线为y＝－x2＋2x 时．∵△AOB为等腰直角三角形，且△BPQ∽△OAB，∴△BPQ为等腰直角三角形，设P（a，－a2＋2a），∴Q（（a，0），则｜－a2＋2a｜＝｜2－a｜，即．∵a－2≠0，∴，∴a=±1，∴P（1，1）或（－1，－3）．②当抛物线为y＝－x2－2x 时．∵△AOB为等腰直角三角形，且△BPQ∽△OAB，∴△BPQ为等腰直角三角形，设P（a，－a2－2a），∴Q（（a，0），则｜－a2－2a｜＝｜2+a｜，即．∵a+2≠0，∴，∴a=±1，∴P（1，－3，）或（－1，1）．综上所述：P（1，1）或P（－1，－3）或P（1，－3，）或（－1，1）．类型四相似三角形存在性探究例4. （江苏省苏州市张家港市）如图，直线与轴交于点，与轴交于点,抛物线经过点.(1)求抛物线的解析式，(2)已知点是抛物线上的一个动点，并且点在第二象限内，过动点作轴于点，交线段于点.①如图1，过作轴于点，交抛物线于两点(点位于点的左侧)，连接，当线段的长度最短时，求点的坐标，②如图2，连接，若以为顶点的三角形与相似，求的面积.【答案】(1) ；(2) ①点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为；②【解析】(1)把代入得，由，得，(2) ①由题意可知，四边形是矩形，所以.由(1)可知，当时，最短，即最短，此时点是的中点，所以，，点的坐标为，将代入得，，点的坐标为，将代入得，，解得，，点的坐标为，点的坐标为②当时(如图2)，则、关于抛物线的对称轴对称，的坐标为，点的坐标为，，当时(如图3)，则是等腰直角三角形，，过点作于点，设点的坐标为，，，，解得，.针对训练1．（贵州黔东南州锦屏县敦寨中学2018-2019学年度九年级（上)期末数学试卷）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝-x+2分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B．点P是x轴上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线分别交抛物线和直线AB于点E和点F．设点P的横坐标为m．（1）点A的坐标为．（2）求这条抛物线所对应的函数表达式．（3）点P在线段OA上时，若以B、E、F为顶点的三角形与△FPA相似，求m的值．（4）若E、F、P三个点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），称E、F、P三点为“共谐点”．直接写出E、F、P三点成为“共谐点”时m的值．【答案】（1）（4，0）（2）y＝﹣x2+x+2（3），（4）﹣1或﹣或【解析】（1）在y＝-x+2中，令y＝0，则x＝4，∴A（4，0）；故答案为：（4，0）；（2）∵在y＝-x+2中，令x＝0，则y＝2，∴B（0，2），把A（4，0），B（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c，得b＝，∴这条抛物线所对应的函数表达式为y＝﹣x2+x+2；（3）∵P（m，0），E（m，﹣m2+m+2），F（m，﹣m+2），∵且∠BFE＝∠AEP，∴∠BEP＝∠APF＝90°或∠EBF＝∠APF＝90°，则有BE⊥PE，∴E点的纵坐标为2，∴解得m＝0（舍去）或m＝，如图1，过点E作EC⊥y轴于点C，则∠EBC+∠BEC＝90°，EC＝m，BC＝﹣m2+m+2﹣2＝﹣m2+m，∵∠EBF＝90°，∴∠EBC+∠ABO＝90°，∴∠ABO＝∠BEC，∴Rt△ECB∽Rt△BOA，∴,∴,解得m＝0（舍去）或m＝，解得，m＝，综上所述，以B、E、F为顶点的三角形与△FPA相似，m的值＝，（4）由（1）知，P（m，0），E（m，﹣m2+m+2），F（m，﹣m+2），∵E、F、P三点为“共谐点”，∴有F为线段PE的中点、P为线段FE的中点或E为线段PF的中点，当F为线段PE的中点时，则有2（﹣m+2）＝﹣m2+m+2，解得m＝4（三点重合，舍去）或m＝；当P为线段FE的中点时，则有﹣m+2+（﹣m2+m+2）＝0，解得m＝4（舍去）或m＝﹣1；当E为线段FP的中点时，则有﹣m+2＝2（﹣m2+m+2），解得m＝4（舍去）或m＝﹣；综上可知当E、F、P三点成为“共谐点”时m的值为﹣1或﹣或．2．（广东省汕头市龙湖区2019届九年级上学期期末质量检测）如图，抛物线经过A(4，0)，B(1，0)，C(0，－2)三点．(1)求出抛物线的解析式；(2)P是抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1) y＝－x2＋x－2;(2)点P为(2，1)或(5，－2)或(－3，－14)或(0，－2).【解析】解：(1)∵该抛物线过点C(0，－2)，∴可设该抛物线的解析式为y＝ax2＋bx－2.将A(4，0)，B(1，0)代入，得，解得，∴此抛物线的解析式为.(2)存在，设P点的横坐标为m，则P点的纵坐标为－m2＋m－2，当1＜m＜4时，AM＝4－m，PM＝－m2＋m－2.又∵∠COA＝∠PMA＝90°，∴①当＝＝时，△APM∽△ACO，即4－m＝2(－m2＋m－2)．解得m1＝2，m2＝4(舍去)，∴P(2，1)．②当＝＝时，△APM∽△CAO，即2(4－m)＝－m2＋m－2.解得m1＝4，m2＝5(均不合题意，舍去)，∴当1＜m＜4时，P(2，1)．类似地可求出当m＞4时，P(5，－2)．当m＜1时，P(－3，－14)或P(0，－2)，综上所述，符合条件的点P为(2，1)或(5，－2)或(－3，－14)或(0，－2).3．（2018年四川省绵阳市中考数学试卷）如图，已知抛物线过点A(,-3) 和B(3,0)，过点A作直线AC//x轴，交y轴与点C.（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上取一点P，过点P作直线AC的垂线，垂足为D，连接OA，使得以A，D，P为顶点的三角形与△AOC相似，求出对应点P的坐标；（3）抛物线上是否存在点Q，使得?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）P点坐标为（4,6）或（,- ）；（3）Q点坐标（3，0）或（-2，15）【解析】（1）把，和点，代入抛物线得：，解得：，，则抛物线解析式为；（2）当在直线上方时，设坐标为，则有，，当时，，即，整理得：，即，解得：，即或（舍去），此时，；当时，，即，整理得：，即，解得：，即或（舍去），此时，；当点时，也满足；当在直线下方时，同理可得：的坐标为，，综上，的坐标为，或，或，或；（3）在中，，，根据勾股定理得：，，，，边上的高为，过作，截取，过作，交轴于点，如图所示：在中，，即，过作轴，在中，，，即，，设直线解析式为，把坐标代入得：，即，即，联立得：，解得：或，即，或，，则抛物线上存在点，使得，此时点的坐标为，或，．4．（湖南省衡阳市2019届中考数学试卷）如图，已知直线分别交轴、轴于点A、B，抛物线过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC轴于点C，交抛物线于点D．（1）若抛物线的解析式为，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N．①求点M、N的坐标；②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；（2）当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形与AOB相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．【答案】（1）①②答案见解析（2）存在，或【解析】（1）①如图1，，顶点为的坐标为，，当时，，则点坐标为，；②不存在．理由如下：，设点坐标为，则，，，当时，四边形为平行四边形，即，解得（舍去），，此时点坐标为，，，，平行四边形不为菱形，不存在点，使四边形为菱形；（2）存在．如图2，，，则，当时，，则，，设抛物线的解析式为，把代入得，解得，抛物线的解析式为，当时，，则，，，，当时，，即，解得，此时抛物线解析式为；当时，，即，解得，此时抛物线解析式为；综上所述，满足条件的抛物线的解析式为或．5．（湖北省襄州区2018届九年级上学期）如图，已知抛物线y＝ax2+x+c 与x 轴交于A、B 两点，与y 轴交于C 点，且A（2，0）、C（0，﹣4），直线l：y＝﹣x﹣4 与x 轴交于点D，点P 是抛物线y＝ax2+x+c 上的一动点，过点P 作PE⊥x 轴，垂足为E，交直线l 于点F．（1）试求该抛物线表达式；（2）如图1，若点P 在第三象限，四边形PCOF 是平行四边形，求P 点的坐标；（3）如图2，过点P 作PH⊥y 轴，垂足为H，连接AC．①求证：△ACD 是直角三角形；②试问是否存在这样的点P，使得以点P、C、H 为顶点的三角形与△ACD 相似？若存在，请直接写出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝；（2）P 的坐标为（﹣8，﹣4）或（﹣2.5，﹣）；（3）①详见解析；②点P 的横坐标为2或﹣5.5 或﹣10.5 或﹣18 时，使得以点P、C、H为顶点的三角形与△ACD 相似．【解析】解：（1）把A（2，0）、C（0，﹣4）代入y＝ax2+x+c 中得：，解得：，∴该抛物线表达式为：y＝x2+ x﹣4；（2）如图1，设点P 的坐标为（x，x2+x﹣4），则F（x，﹣x﹣4），∵点P在第三象限，∴PF＝（﹣x﹣4）﹣（x2+ x﹣4）＝﹣﹣x，∵C（0，﹣4），∴OC＝4，∵四边形PCOF 是平行四边形，且PF∥OC，∴PF＝OC＝4，即﹣﹣x＝4，2x2+21x+40＝0，（x+8）（2x+5）＝0，x1＝﹣8，x2＝﹣2.5，当y＝0 时，x2+ x﹣4＝0，解得：x1＝﹣10，x2＝2，∴P 的坐标为（﹣8，﹣4）或（﹣2.5，﹣）；（3）①当y＝0 时，﹣x﹣4＝0，x＝﹣8，∴D（﹣8，0），由勾股定理得：DC2＝82+42＝80，AC2＝22+42＝20，AD2＝102＝100，∴AD2＝AC2+DC2，∴∠ACD＝90°，∴△ACD 是直角三角形；②设点P 的坐标为（x，x2+x﹣4），由①知：∠ACD＝90°，∠PHC＝90°，AC＝＝2 ，CD＝＝4，∴＝如图3，点P 在第一象限，当△ACD∽△PHC 时，则＝＝，∴CH＝2PH，∴x2+ x﹣4﹣（﹣4）＝2x，解得：x1＝0（P 与C 重合，舍去），x2＝2，∴此时点P 的横坐标为2；如图4，点P 在第一象限，当△ACD∽△CHP 时，则＝，∴PH＝2CH，∴﹣x＝2[﹣4﹣（x2+x﹣4）]，解得：x1＝0（舍去），x2＝﹣5.5，∴此时点P 的横坐标为﹣5.5；如图5，点P 在第二象限，当△ACD∽△CHP 时，则＝，∴PH＝2CH，∴﹣x＝2[（x2+ x﹣4）﹣（﹣4）]，解得：x1＝0（舍），x2＝﹣10.5，∴此时点P 的横坐标为﹣10.5（P 在直线l 上）；如图6，点P 在第二象限，当△ACD∽△PHC 时，则＝＝，∴CH＝2PH，∴[（x2+ x﹣4）﹣（﹣4）]＝﹣2x，解得：x1＝0（舍），x2＝﹣18，∴此时点P 的横坐标为﹣18；综上所述，点P 的横坐标为2 或﹣5.5 或﹣10.5 或﹣18 时，使得以点P、C、H为顶点的三角形与△ACD 相似．6．（江西省南昌市2018届九年级中考三模数学）如图，一次函数y＝﹣x﹣2的图象与二次函数y＝ax2+bx﹣4的图象交于x 轴上一点A，与y 轴交于点B，在x轴上有一动点C．已知二次函数y＝ax2+bx﹣4的图象与y轴交于点D，对称轴为直线x ＝n（n＜0），n是方程2x2﹣3x﹣2＝0的一个根，连接AD．（1）求二次函数的解析式．（2）当S△ACB＝3S△ADB时，求点C的坐标．（3）试判断坐标轴上是否存在这样的点C，使得以点A、B、C组成的三角形与△ADB 相似？若存在，试求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝2x2+2x﹣4；（2）点C 的坐标为（4，0）或（﹣8，0）；（3）在x 轴上有一点C（﹣4，0）或（﹣6，0），使得以点A、B、C 组成的三角形与△ADB 相似．【解析】（1）在y=-x-2中，令y=0，则x=-2∴A（-2，0）．由2x2-3x-2=0，得x1=-，x2=2，∴二次函数y=ax2+bx-4的对称轴为直线x=-，∴，解得，∴二次函数的解析式为：y=2x2+2x-4；（2）∵S△ADB=BD•OA=2，∴S△ACB=3S△ADB=6．∵点C在x轴上，∴S△ACB=AC•OB=×2AC=6，∴AC=6．∵点A的坐标为（-2，0），∴当S△ACB=3S△ADB时，点C的坐标为（4，0）或（-8，0）；（3）存在．理由：令x=0，一次函数与y轴的交点为点B（0，-2），∴AB=，∠OAB=∠OBA=45°．∵在△ABD中，∠BAD、∠ADB都不等于45°，∠ABD=180°-45°=135°，∴点C在点A的左边．①AC与BD是对应边时，∵△ADB∽△BCA，∴=1，∴AC=BD=2，∴OC=OA+AC=2+2=4，∴点C的坐标为（-4，0）．②当AC与AB是对应边时，∵△ADB∽△CBA∴=，∴AC=AB=×2=4，∴OC=OA+AC=2+4=6，∴点C的坐标为（-6，0）．综上所述，在x轴上有一点C（-4，0）或（-6，0），使得以点A、B、C组成的三角形与△ADB相似．7．（人教版九年级上学期第二十二章二次函数单元检测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），点P是直线BC下方抛物线上的任意一点．（1）求这个二次函数y=x2+bx+c的解析式．（2）连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形POP′C，如果四边形POP′C为菱形,求点P的坐标．（3）如果点P在运动过程中，能使得以P、C、B为顶点的三角形与△AOC相似，请求出此时点P的坐标．【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3（2）（2）（，-）（3）P、C、B为顶点的三角形与△AOC相似，此时点P的坐标（1，﹣4）【解析】（1）将B、C点代入函数解析式，得：，解得：，这个二次函数y＝x2+bx+c的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）∵四边形POP′C为菱形，∴OC与PP′互相垂直平分，∴y P，即x2﹣2x﹣3，解得：x1，x2（舍），P（）；（3）∵∠PBC＜90°，∴分两种情况讨论：①如图1，当∠PCB＝90°时，过P作PH⊥y轴于点H，BC的解析式为y＝x﹣3，CP的解析式为y＝﹣x﹣3，设点P的坐标为（m，﹣3﹣m），将点P代入代入y═x2﹣2x﹣3中，解得：m1＝0（舍），m2＝1，即P（1，﹣4）；AO＝1，OC＝3，CB，CP，此时3，△AOC∽△PCB；②如图2，当∠BPC＝90°时，作PH⊥y轴于H，作BD⊥PH于D．∵PC⊥PB，∴△PHC∽△BDP，∴．设点P的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），则PH=m，HC=－（m2﹣2m﹣3）－（－3）=－m2+2m，BD=－（m2﹣2m﹣3），PD=3－m，∴，∴，解得：m或（舍去）．当m时，m2﹣2m﹣3=．∵△PHC∽△BDP，∴==3，以P、C、B为顶点的三角形与△AOC不相似．综上所述：P、C、B为顶点的三角形与△AOC相似，此时点P的坐标（1，﹣4）．8．（江苏省东台市第二联盟2019届九年级12月月考）如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y=x﹣2交于B，C两点．⑴求抛物线的解析式及点C的坐标；⑵求证：△ABC是直角三角形；⑶若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=﹣x2+2x；C(-1，-3)；(2)证明过程略；(3)（，0）或（，0）或（﹣1，0）或（5，0）.【解析】解：（1）∵顶点坐标为（1，1），∴设抛物线解析式为y=a（x-1）2+1，又抛物线过原点，∴0=a（0-1）2+1，解得a=-1，∴抛物线解析式为y=-（x-1）2+1，即y=-x2+2x，联立抛物线和直线解析式可得,解得或,∴B（2，0），C（-1，-3）；（2）如图，分别过A、C两点作x轴的垂线，交x轴于点D、E两点，则AD=OD=BD=1，BE=OB+OE=2+1=3，EC=3，∴∠ABO=∠CBO=45°，即∠ABC=90°，∴△ABC是直角三角形；（3）假设存在满足条件的点N，设N（x，0），则M（x，-x2+2x），∴ON=|x|，MN=|-x2+2x|，由（2）在Rt△ABD和Rt△CEB中，可分别求得AB=，BC=3，∵MN⊥x轴于点N∴∠ABC=∠MNO=90°，∴当△ABC和△MNO相似时有或，当时，则有，即|x||-x+2|=|x|，∵当x=0时M、O、N不能构成三角形，∴x≠0，∴|-x+2|=，即-x+2=±，解得x=或x=，此时N点坐标为（，0）或（，0）；②当时，则有，即|x||-x+2|=3|x|，∴|-x+2|=3，即-x+2=±3，解得x=5或x=-1，此时N点坐标为（-1，0）或（5，0），综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（，0）或（，0）或（-1，0）或（5，0）．9．（江苏省东台市第二联盟2019届九年级12月月考）如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y=x﹣2交于B，C两点．⑴求抛物线的解析式及点C的坐标；⑵求证：△ABC是直角三角形；⑶若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=﹣x2+2x；C(-1，-3)；(2)证明过程略；(3)（，0）或（，0）或（﹣1，0）或（5，0）.【解析】解：（1）∵顶点坐标为（1，1），∴设抛物线解析式为y=a（x-1）2+1，又抛物线过原点，∴0=a（0-1）2+1，解得a=-1，∴抛物线解析式为y=-（x-1）2+1，即y=-x2+2x，联立抛物线和直线解析式可得,解得或,∴B（2，0），C（-1，-3）；（2）如图，分别过A、C两点作x轴的垂线，交x轴于点D、E两点，则AD=OD=BD=1，BE=OB+OE=2+1=3，EC=3，∴∠ABO=∠CBO=45°，即∠ABC=90°，∴△ABC是直角三角形；（3）假设存在满足条件的点N，设N（x，0），则M（x，-x2+2x），∴ON=|x|，MN=|-x2+2x|，由（2）在Rt△ABD和Rt△CEB中，可分别求得AB=，BC=3，∵MN⊥x轴于点N∴∠ABC=∠MNO=90°，∴当△ABC和△MNO相似时有或，当时，则有，即|x||-x+2|=|x|，∵当x=0时M、O、N不能构成三角形，∴x≠0，∴|-x+2|=，即-x+2=±，解得x=或x=，此时N点坐标为（，0）或（，0）；②当时，则有，即|x||-x+2|=3|x|，∴|-x+2|=3，即-x+2=±3，解得x=5或x=-1，此时N点坐标为（-1，0）或（5，0），综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（，0）或（，0）或（-1，0）或（5，0）．10．（段考模拟君之2018-2019学年九年级数学上学期期末原创卷A卷）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象过点B（0，1）和C（4，3）两点，与x轴交于点D、点E，过点B和点C的直线与x轴交于点A．(1)求二次函数的解析式；(2)在x轴上有一动点P，随着点P的移动，存在点P使△PBC是直角三角形，请你求出点P的坐标；(3)若动点P从A点出发，在x轴上沿x轴正方向以每秒2个单位的速度运动，同时动点Q也从A点出发，以每秒a个单位的速度沿射线AC运动，是否存在以A、P、Q为顶点的三角形与△ABD相似？若存在，直接写出a的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)抛物线解析式y=x2–x+1；(2)点P坐标为（1，0），（3，0），（，0），（，0）；(3)a=或．【解析】(1)∵二次函数y=0.5x2+bx+c的图象过点B（0，1）和C（4，3）两点，∴，解得，∴抛物线解析式y=x2–x+1．(2)设点P坐标为（x，0）．∵点P（x，0），点B（0，1），点C（4，3），∴PB==，CP==，BC==2，若∠BCP=90°，则BP2=BC2+CP2．∴x2+1=20+x2–8x+25，∴x=．若∠CBP=90°，则CP2=BC2+BP2．∴x2+1+20=x2–8x+25，∴x=．若∠BPC=90°，则BC2=BP2+CP2．∴x2+1+x2–8x+25=20，∴x1=1，x2=3，综上所述：点P坐标为（1，0），（3，0），（，0），（，0）．(3)a=或．∵抛物线解析式y=x2–x+1与x轴交于点D，点E，∴0=x2–x+1，∴x1=1，x2=2，∴点D（1，0）．∵点B（0，1），C（4，3），∴直线BC解析式y=x+1．当y=0时，x=–2，∴点A（–2，0）．∵点A（–2，0），点B（0，1），点D（1，0），∴AD=3，AB=．设经过t秒，∴AP=2t，AQ=at，若△APQ∽△ADB，∴，即，∴a=，若△APQ∽△ABD，∴，即，∴a=．综上所述：a=或．。

三角形全等与相似专题

三角形全等与相似专题1、三角形全等的条件（一）：三边对应相等的两三角形全等（SSS ）已知△ABC ≌△A ′B ′C ′，找出其中相等的边与角．【例】如图，△ABC 是一个钢架，AB=AC ，AD 是连结点A 与BC 中点D 的支架．求证：△ABD ≌△ACD ．．随堂练习：如图，已知AC=FE 、BC=DE ，点A 、D 、B 、F 在一条直线上，AD=FB ．要用“边边边”证明△ABC ≌△FDE ，除了已知中的AC=FE ， BC=DE 以外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？2、三角形全等的条件（二）：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简称“边角边”或“SAS ”)例题与练习1．填空：(1)如图3，已知AD ∥BC ，AD ＝CB ，要用边角边公理证明△ABC ≌△CDA ，需要三个条件，这三个条件中，已具有两个条件，一是AD ＝CB(已知)，二是___________；还需要一个条件_____________(这个条件可以证得吗？)．F DC BE AC 'B 'A 'C B A(2)如图4，已知AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠1＝∠2，要用边角边公理证明△ABD ≌ACE ，需要满足的三个条件中，已具有两个条件：_________________________(这个条件可以证得吗？)．例1 已知： AD ∥BC ，AD ＝ CB(图3)．求证：△ADC ≌△CBA ．问题：如果把图3中的△ADC 沿着CA 方向平移到△ADF 的位置(如图5)，那么要证明△ADF ≌ △CEB ，除了AD ∥BC 、AD ＝CB 的条件外，还需要一个什么条件(AF ＝ CE 或AE ＝CF)？怎样证明呢？例2 已知：AB ＝AC 、AD ＝AE 、∠1＝∠2(图4)．求证：△ABD ≌△ACE ．3、三角形全等的条件（三）：（1）两角及其夹边对应相等的两三角形全等（ASA ）；（2）两角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等（AAS ）[例]如下图，D 在AB 上，E 在AC 上，AB=AC ，∠B=∠C ．求证：AD=AE ．[分析]AD 和AE 分别在△ADC 和△AEB 中，所以要证AD=AE ，只需证明△ADC ≌△AEB 即可．证明：在△ADC 和△AEB 中A A AC ABC B ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩所以△ADC ≌△AEB （ASA ）所以AD=AE ． 4、直角三角形全等的条件（四）：斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形全等DCA B E巩固练习：1．如图，△ABC 中，AB=AC ，AD 是高，则△ADB 与△ADC （填“全等”或“不全等” ）根据（用简写法）2．如图，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，（1）若AC//DB ，且AC=DB ，则△ACE ≌△BDF ，根据（2）若AC//DB ，且AE=BF ，则△ACE ≌△BDF ，根据（3）若AE=BF ，且CE=DF ，则△ACE ≌△BDF ，根据（4）若AC=BD ，AE=BF ，CE=DF 。

专题15 全等与相似模型-手拉手模型(学生版)

专题15全等与相似模型-手拉手模型全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。

相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。

如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。

本专题就手拉手模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.手拉手模型【模型解读】将两个三角形绕着公共顶点（即头）旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等。

1）双等边三角形型条件：如图1，△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。

结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。

图1图22）双等腰直角三角形型条件：如图2，△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。

结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BFD。

3）双等腰三角形型条件：△ABC和△DCE均为等腰三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。

结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ACM=∠BFM；④CF平分∠BFD。

图3图44）双正方形形型条件：△ABCFD和△CEFG都是正方形，C为公共点；连接BG，ED交于点N。

结论：①△△BCG≌△DCE；②BG=DE；③∠BCM=∠DNM=90°；④CN平分∠BNE。

例1．（2022·北京东城·九年级期末）如图，在等边三角形ABC 中，点P 为△ABC 内一点，连接AP ，BP ，CP ，将线段AP 绕点A 顺时针旋转60°得到'AP ，连接PP BP ''，．（1）用等式表示BP '与CP 的数量关系，并证明；（2）当∠BPC ＝120°时.①直接写出P BP '∠的度数为；②若M 为BC 的中点，连接PM ，请用等式表示PM 与AP 的数量关系，并证明．例2．（2022·黑龙江·中考真题）ABC 和ADE 都是等边三角形．(1)将ADE 绕点A 旋转到图①的位置时，连接BD ，CE 并延长相交于点P （点P 与点A 重合），有PA PB PC +=（或PA PC PB +=）成立；请证明．(2)将ADE 绕点A 旋转到图②的位置时，连接BD ，CE 相交于点P ，连接PA ，猜想线段PA 、PB 、PC 之间有怎样的数量关系？并加以证明；(3)将ADE 绕点A 旋转到图③的位置时，连接BD ，CE 相交于点P ，连接PA ，猜想线段PA 、PB 、PC 之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．例3．（2022·湖北·襄阳市九年级阶段练习）如图，已知AOB 和MON 都是等腰直角三角形(22OA <OM =ON )，∠AOB =∠MON =90°．(1)如图①，连接AM ，BN ，求证：AOM ≌BON ；(2)若将MON 绕点O 顺时针旋转，①如图②，当点N 恰好在AB 边上时，求证：22220BN AN N +=；②当点A ，M ，N 在同一条直线上时，若OB =4，ON =3，请直接写出线段BN 的长．例4．（2022·重庆忠县·九年级期末）已知等腰直角ABC 与ADE 有公共顶点,90,4,6A BAC DAE AB AC AD AE ∠=∠=︒====．（1）如图①，当点,,B A E 在同一直线上时，点F 为DE 的中点，求BF 的长；（2）如图②，将ADE 绕点A 旋转()0360αα︒<≤︒，点G H 、分别是AB AD 、的中点，CE 交GH 于M ，交AD 于N ．①猜想GH 与CE 的数量关系和位置关系，并证明你猜想的结论；②参考图③，若K 为AC 的中点，连接KM ，在ADE 旋转过程中，线段KM 的最小值是多少（直接写出结果）．例5．（2022·山西大同·九年级期中）综合与实践：已知ABC 是等腰三角形，AB AC =．（1）特殊情形：如图1，当DE ∥BC 时，DB ______EC ．（填“＞”“＜”或“＝”）；（2）发现结论：若将图1中的ADE 绕点A 顺时针旋转α（0180α︒<<︒）到图2所示的位置，则（1）中的结论还成立吗？请说明理由．（3）拓展运用：某学习小组在解答问题：“如图3，点P 是等腰直角三角形ABC 内一点，90BAC ∠=︒，且1BP =，2AP =，3CP =，求BPA ∠的度数”时，小明发现可以利用旋转的知识，将BAP △绕点A 顺时针旋转90°得到CAE V ，连接PE ，构造新图形解决问题．请你根据小明的发现直接写出BPA ∠的度数．例6．（2022·青海·中考真题）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.(1)问题发现：如图1，若ABC 和ADE 是顶角相等的等腰三角形，BC ，DE 分别是底边.求证：BD CE =；(2)解决问题：如图2，若ACB △和DCE 均为等腰直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=︒，点A ，D ，E 在同一条直线上，CM 为DCE 中DE 边上的高，连接BE ，请判断∠AEB 的度数及线段CM ，AE ，BE 之间的数量关系并说明理由.图1图2例7．（2022·广东广州市·八年级期中）如图，两个正方形ABCD 与DEFG ，连结AG ，CE ，二者相交于点H ．（1）证明：△ADG ≌△CDE ；（2）请说明AG 和CE 的位置和数量关系，并给予证明；（3）连结AE 和CG ，请问△ADE 的面积和△CDG 的面积有怎样的数量关系？并说明理由．例8．（2023·福建福州市·九年级月考）如图，ABD和AEC均为等边三角形，连接BE、CD．（1）请判断：线段BE与CD的大小关系是；（2）观察图，当ABD和AEC分别绕点A旋转时，BE、CD之间的大小关系是否会改变?（3）观察如图和4，若四边形ABCD、DEFG都是正方形,猜想类似的结论是___________,在如图中证明你的猜想.（4）这些结论可否推广到任意正多边形（不必证明）,如图,BB1与EE1的关系是;它们分别在哪两个全等三角形中;请在如图中标出较小的正六边形AB1C1D1E1F1的另五个顶点，连接图中哪两个顶点,能构造出两个全等三角形？模型2.“手拉手”模型(旋转模型)【模型解读与图示】“手拉手”旋转型定义：如果将一个三角形绕着它的项点旋转并放大或缩小(这个顶点不变)，我们称这样的图形变换为旋转相似变换，这个顶点称为旋转相似中心，所得的三角形称为原三角形的旋转相似三角形。

三角形的全等和相似

中考数学20大专题—三角形的全等和相似能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。

（注：全等三角形是相似三角形中的特殊情况）当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。

由此，可以得出：全等三角形的对应边相等，对应角相等。

(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；(3)有公共边的，公共边一定是对应边；(4)有公共角的，角一定是对应角；(5)有对顶角的，对顶角一定是对应角；【例1】如图，OP 平分AOB ∠，PA OA⊥，PB OB ⊥，垂足分别为A ，B ．下列结论中不一定成立的是（）A.PA PB =B.PO 平分APB ∠C.OA OB =D.AB 垂直平分OP1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS 或“边边边”)，这一条也说明了三角形具有稳定性的原因。

2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS 或“边角边”)。

3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA 或“角边角”)。

4、有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS 或“角角边”)5、直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL 或“斜边，直角边”)所以，SSS,SAS,ASA,AAS,HL 均为判定三角形全等的定理。

注意：在全等的判定中，没有AAA 和SSA ，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。

【例2】如图，ΔABC 的两条高AD 、BE 相交于H ，且AD=BD ，试说明下列结论成立的理由。

（1）∠DBH=∠DAC ；（2）ΔBDH ≌ΔADC 。

A B CD E H⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（）找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（）找直角（）找夹角（已知两边AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS【例3】如图：四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=AD+BC ，E 是CD 的中点，求证：AE ⊥BE 。

专题全等与相似的结合问题

专题：全等与相似的结合问题
1、如图，已知在△ABC 中，AC =BC ，90C ∠=︒，点N 、P 分别为AC 、BC 上一点，NP 、AB 的延长线交于点F .
（1）若2BF PC =，求证：PA PF =；
（2）在（1）的条件下，若点P 为BC 的中点，求
PN PF 的值.
2、如图1，梯形ABCD 中，AD //BC ，22ABC BCD α∠=∠=，点E 在AD 上，点F 在DC 上，且BEF A ∠=∠.
（1）BEF ∠= （用含α的代数式表示）；
（2）当AB =AD 时，猜想线段EB 、EF 的数量关系，并证明你的猜想；
（3）当AB AD ≠时，将“点E 在AD 上”改为“点E 在AD 的延长线上，且AE ＞AB ，AB mDE =，AD nDE =”，其它条件不变（如图2），求
EB EF
的值（用含m 、n 的代数式表示）.
3、在面积为24的△ABC 中，矩形DEFG 的边DE 在AB 上运动，点F 、G 分别在边BC 、AC 上.
（1）若AB =8，DE =2EF ，求GF 的长；
（2）若90ACB ∠=︒，如图2，线段DM 、EN 分别为△ADC 和△BEF 的角平分线，求证：MG =NF .。

2024中考数学总复习冲刺专题：手拉手模型(全等与相似)通用版

《“手拉手”模型常用结论的证明及应用》手拉手模型，也叫整体旋转法，是中考最重要的模型之一，全国一年176套中考卷中，有40%的卷子考到此模型。

手拉手模型分为“全等手拉手”和“相似手拉手”，在解决手拉手模型的问题时，需要灵活运用全等三角性和相似三角形的性质与判定方法，以及轴对称的性质和判定方法来进行证明。

同时，还需要掌握基本的手拉手模型形式及其变形情况，才能更好的解决相关问题。

一、教学目标知识与技能：了解手拉手模型的组成条件，探究“全等手拉手”模型和“相似手拉手”模型的常用结论，会利用手拉手模型来解决几何问题;过程与方法：在探究手拉手模型常用结论的过程中，培养分析问题、解决问题的能力，培养模型思想；情感态度与价值观：养成主动探索、获取知识的习惯，感受探索的乐趣和成功的体验，激发学生学好数学的愿望和信心.二、重点难点重点：探索全等手拉手模型、相似手拉手模型的常用结论；难点：利用旋转、全等、相似等知识解决手拉手模型的相关问题.三、教学过程（一）全等手拉手模型精典例题例1：如图，在线段BD上取一点A，在同侧作等边△ABC和等边△ADE，连接BE、CD，求证：(1)△ABE≌△ACD;(2)BE=CD;(3)△AFB≌△AGC;(4)△AFE≌△AGD;(5)△AFG是等边三角形;(6)∠COB=∠CAB;(7)OA平分∠BOD;(8)FG//BD.例2：如图，已知正方形ABCD和正方形DEFG有公共顶点D，连接AG，CE，相交于点H.求证:(1)△ADG≌△CDE;(2)AG⟂CE;(3)HD平分∠AHE;(4)AC2+EG2=AE2+CG2.跟踪练习1．（2022秋•界首市校级月考）如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠BAD＝30°，∠ACE＝25°，则∠ADE的度数为（）A．50°B．55°C．60°D．65°2．（2023秋•江阳区校级月考）已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：①BD＝CE；②∠ACE+∠＝45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC＝180°．其中结论正确的个数是（）A．1B．2C．3D．43．（2020春•富县期末）如图，已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且AB＞CE，连接BG，DE．（1）求证：BG＝DE；（2）连接BD，若CG∥BD，BG＝BD，求∠BDE 的度数．4．（2019秋•新都区期末如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，点D在边AB上，点E在边AC的左侧，连接AE．（1）求证：AE＝BD；（2）试探究线段AD、BD与CD之间的数量关系；（3）过点C作CF⊥DE交AB于点F，若BD：AF＝1：2，CD＝，求线段AB的长．（二）相似手拉手模型精典例题例3：如图，已知△ABC∽△ADE，求证：（1）△ABD∽△ACE;（2）∠BFC=∠BAC.跟踪练习1．如图，四边形ABCD中，AB＝3，BC＝2，AC＝AD，∠ACD＝60°，则对角线BD长的最大值为（）A．5B．2C．2D．12．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝30°，将△DCB绕点C顺时针旋转60°后，点D 的对应点恰好与点A重合，得到△ACE，若AB＝3，BC＝4，则BD＝（）A．5B．5.5C．6D．73．两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并把它们的底角顶点连接起来，形成一组全等的三角形，那么把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．（1）如图1，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，则有△BAD≌．（2）如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点B，D，E在同一条直线上，连接CE，试探究线段BE，CE，DE之间的数量关系，并说明理由．（3）如图3，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，∠AEC＝135°，求证：BE⊥CE．（三）手拉手综合题例5:（2019•玄武区一模）如图，四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形，连接CF，DG，则＝（）A．B．C．D．例6:（2022•深圳中考）已知△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝5，AE ＝2，连接CE，以CE为底作直角三角形CDE，且CD＝DE．F是AE边上的一点，连接BD和BF，且∠FBD＝45°，则AF长为．跟综练习1．（2022•无锡）△ABC是边长为5的等边三角形，△DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F．如图，若点D在△ABC内，∠DBC＝20°，则∠BAF＝°；现将△DCE绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是．2．（2023•成都）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点，且＝（n为正整数），E 是AC边上的动点，过点D作DE的垂线交直线BC于点F．【初步感知】（1）如图1，当n＝1时，兴趣小组探究得出结论：AE+BF＝AB，请写出证明过程．【深入探究】（2）①如图2，当n＝2，且点F在线段BC上时，试探究线段AE，BF，AB之间的数量关系，请写出结论并证明；②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段AE，BF，AB之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明）．【拓展运用】（3）如图3，连接EF，设EF的中点为M，若AB＝2，求点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的路径长（用含n的代数式表示）．四、教学反思本节课从全等手拉手模型、相似手拉手模型、手拉手综合题三个模块进行探索，题目从易到难，每个模块都有两个精典例题，2-4道跟综练习。

中考专题训练相似和全等三角形综合练习

解题
证明：（1）
∵ ∥
∴∠ = ∠
∵ · = ·
∴

=

∴△ ∽△
∴∠ = ∠
（2）
∵ ∥
∴∠ = ∠
∵∠ = ∠
∴∠ = ∠
∵ ∥ ， =
∴∠ = ∠
（ 1 ）求证： △ ∽ △ ；
（ 2 ）求证： = · 。
4-2
思路解析
首先：（1）要证△ ∽△ ，只要证两组对应角相等。由三角形外角的性质
得∠ = ∠，再由对顶角和等腰的条件得到∠ = ∠，从而得证；
其次：（2）要证 = · ，只要证
证明：（1）
∵ = ， ⊥

∴ = =

解题
∵ = ·
∴ = ·

即得 =
又∵ ∠ = ∠
∴ △ ∽△
（2）
∵ =
∴ ∠ = ∠
又∵ ∥
∴ ∠ = ∠
∵ =
∴ ∠ = ∠
又∵ ∠ = ∠
∴ ∠ = ∠
∴ △ ∽△
（2）
∵ △ ∽△
∴ ∠ = ∠
又∵ ∠ = ∠
∴ △ ∽△

∴
=

又∵ =
即 = ·
∴ ∠ = ∠
∴ ∠ = ∠
∴ ∠ + ∠ = ∠ + ∠,即得∠ = ∠
∵ △ ∽△
∴ ∠ = ∠
∴ △ ∽△
△

=
=
△

相似三角形证明技巧_专题

相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析一、相似、全等的关系全等和相似是平面几何中研究直线形性质的两个重要方面，全等形是相似比为1的特殊相似形，相似形则是全等形的推广．因而学习相似形要随时与全等形作比较、明确它们之间的联系与区别；相似形的讨论又是以全等形的有关定理为基础．二、相似三角形(1)三角形相似的条件：① ；② ；③ .三、两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决.四、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1）先找两对角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单；2）再而先找一对角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例；3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；找另一角两角对应相等，两三角形相似找夹边对应成比例两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找夹角相等两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找第三边也对应成比例三边对应成比例，两三角形相似找一个直角斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似找另一角两角对应相等，两三角形相似找两边对应成比例判定定理1或判定定理4 找顶角对应相等判定定理1 找底角对应相等判定定理1找底和腰对应成比例判定定理3e)相似形的传递性若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3五、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。

具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。

有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题b)己知两边对应成比c)己知一个直角d)有等腰关a)已知一对等例1、已知:如图,ΔABC 中,CE ⊥AB,BF ⊥AC.求证: BAAC AF AE （判断“横定”还是“竖定”？）例2、如图，CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高，∠BAC 的平分线分别交BC 、CD 于点E 、F ，AC ·AE=AF ·AB 吗？说明理由。

专题67 反比例函数背景下的全等、相似问题(解析版)

例题精讲考点1反比例函数与全等三角形综合问题【例1】．如图，把一个等腰直角三角形放在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，点C（﹣1，0），点B在反比例函数y＝的图象上，且y轴平分∠BAC，则k的值是________解：如图，过点B作BD⊥x轴于D，在OA上截取OE＝OC，连接CE，∵点C（﹣1，0），∴CO＝1，∴CO＝EO＝1，∴∠CEO＝45°，CE＝，∵△BAC为等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，∴BC＝AC，∠OCA+∠DCB＝90°，∠CAB＝45°，∵∠OCA+∠OAC＝90°，∴∠OAC＝∠BCD，在△OAC和△DCB中，∴△OAC≌△DCB（AAS），∴AO＝CD，OC＝BD＝1，∵y轴平分∠BAC，∴∠CAO＝22.5°，∵∠CEO＝∠CEA+∠OAC＝45°，∴∠ECA＝∠OAC＝22.5°，∴CE＝AE＝，∴AO＝1+＝CD，∴DO＝，∴点B坐标为（，﹣1），∵点B在反比例函数y＝的图象上，∴k＝﹣1×＝﹣，变式训练【变1-1】．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在x轴上，点C在y轴上，∠BAC＝30°，点A的坐标为（﹣3，0），将△ABC沿直线AC翻折，点B的对应点D 恰好落在反比例函数的图象上，则k的值为（）A．B．﹣2C．4D．﹣4解：如图，过点D作DE⊥y轴于点E．由对称可知CD＝BC，易证△DCE≌△BCO（AAS），∴CE＝CO，DE＝OB，∵∠BAC＝30°，OA＝3∴OC＝OA＝，∠OCB＝30°，∴OB＝OC＝1，∴DE＝OB＝1，CE＝OC＝，OE＝2，|k|＝DE•OE＝1×2＝2，∵反比例函数图象在第二象限，∴k＝﹣2，故选：B．【变1-2】．如图，点A是反比例函数y＝图象上的一动点，连接AO并延长交图象的另一支于点B．在点A的运动过程中，若存在点C（m，n），使得AC⊥BC，AC＝BC，则m，n满足_______(填等量关系）解：如图，连接OC，过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，∵由直线AB与反比例函数y＝的对称性可知A、B点关于O点对称，∴AO＝BO．又∵AC⊥BC，AC＝BC，∴CO⊥AB，CO＝AB＝OA，∵∠AOE+∠AOF＝90°，∠AOF+∠COF＝90°，∴∠AOE＝∠COF，又∵∠AEO＝90°，∠CFO＝90°，∴△AOE≌△COF（AAS），∴OE＝OF，AE＝CF，∵点C（m，n），∴CF＝﹣m，cF＝n，∴OE＝﹣m，AE＝n，∴A（﹣m，n），∵点A是反比例函数y＝图象上，∴﹣mn＝4，即mn＝﹣4，考点2反比例函数与相似三角形综合问题【例2】．如图，在平面直角坐标系中，四边形AOBD的边OB与x轴的正半轴重合，AD∥OB，DB⊥x轴，对角线AB，OD交于点M．已知AD：OB＝2：3，△AMD的面积为4．若反比例函数y＝的图象恰好经过点M，则k的值为（）A．B．C．D．12解：过点M作MH⊥OB于H．∵AD∥OB，∴△ADM∽△BOM，∴＝（）2＝，＝4，∵S△ADM＝9，∴S△BOM∵DB⊥OB，MH⊥OB，∴MH∥DB，∴＝＝＝，∴OH＝OB，＝×S△OBM＝，∴S△MOH∵＝，∴k＝，故选：B．变式训练【变2-1】．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y＝上，第二象限的点B在反比例函数y＝上，且OA⊥OB，＝，则k的值为（）A．B．﹣C．﹣D．﹣3解：作AC⊥x轴于点C，作BD⊥x轴于点D．则∠BDO＝∠ACO＝90°，则∠BOD+∠OBD＝90°，∵OA⊥OB，∴∠BOD+∠AOC＝90°，∴∠BOD＝∠AOC，∴△OBD∽△AOC，∴＝（）2＝（）2＝，＝×4＝2，又∵S△AOC＝，∴S△OBD∴k＝﹣．故选：B．【变2-2】．如图，Rt△ABC的直角边BC在x轴正半轴上，斜边AC边上的中线BD反向延＝8，则k等于长线交y轴负半轴于E，双曲线的图象经过点A，若S△BEC （）A．8B．16C．24D．28解：∵BD为Rt△ABC的斜边AC上的中线，∴BD＝DC，∠DBC＝∠ACB，又∠DBC＝∠EBO，∴∠EBO＝∠ACB，又∠BOE＝∠CBA＝90°，∴△BOE∽△CBA，∴＝，即BC×OE＝BO×AB．＝8，即BC×OE＝2×8＝16＝BO×AB＝|k|．又∵S△BEC又由于反比例函数图象在第一象限，k＞0．所以k等于16．故选：B．【变2-3】．如图，在等腰△AOB中，AO＝AB，顶点A为反比例函数y＝（x＞0）图象上一点，点B在x轴的正半轴上，过点B作BC⊥OB，交反比例函数y＝的图象上于点C，连接OC交AB于点D，若△BCD的面积为2，则k的值为（）A．18B．20C．22D．21解：如图，过点A作AF⊥OB交x轴于F，交OC于点E，∵OA＝AB，AF⊥OB，∴OF＝FB＝OB，∵BC⊥OB，∴AF∥BC，∴△ADE∽△BDC，，∴BC＝2EF，设OF＝a，则OB＝2a，∴A（a，），C（2a，），∴AF＝，BC＝，∴AF＝2BC＝4EF，AE＝AF﹣EF＝3EF，∵△ADE∽△BDC，∴，∴＝（）2＝，∵△BCD的面积为2，＝，∴S△ADE∴＝，∵＝，∴EC＝OE，∴＝，∴＝，＝，∴S△AOE∵＝＝，∴＝＝，＝S△AOE＝×＝10，∴S△AOF∴|k|＝10，∵k＞0，∴k＝20．故选：B．1．如图，AB⊥x轴，B为垂足，双曲线y＝（x＞0）与△AOB的两条边OA，AB分别相交于C，D两点，OC＝CA，且△ABC的面积为3，则k等于（）A．4B．2C．3D．1解：连接BC，过点C作CM⊥OB于M，∵OC＝CA，即＝，∴＝＝，又∵△ABC的面积为3，＝，∴S△OBC又∵CM∥AB，∴＝＝，∴＝＝，＝S△OBC＝＝|k|，∴S△OMC∵k＞0，∴k＝1，故选：D．2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点A在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，点B，C在x轴上，OC＝OB，延长AC交y轴于点D，连接BD，若△BCD的面积等于1，则k的值为（）A．3B．2C．D．4解：作AE⊥BC于E，连接OA，∵AB＝AC，∴CE＝BE，∵OC＝OB，∴OC＝BC＝×2CE＝CE，∵AE∥OD，∴△COD∽△CEA，∴＝（）2＝4，∵△BCD的面积等于1，OC＝OB，＝S△BCD＝，∴S△COD＝4×＝1，∴S△CEA∵OC＝CE，＝S△CEA＝，∴S△AOC＝+1＝，∴S△AOE＝k（k＞0），∵S△AOE∴k＝3，故选：A．3．如图所示，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，顶点A，B分别在反比例函数y＝（x＞0）与y＝﹣（x＜0）的图象上，则tan∠BAO的值为（）A．B．C．D．解：作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，如图，∵顶点A，B分别在反比例函数y＝（x＞0）与y＝﹣（x＜0）的图象上，＝×|1|＝，S△BOD＝×|﹣5|＝，∴S△AOC∵∠AOB＝90°，∴∠BOD+∠AOC＝90°，∵∠AOC+∠OAC＝90°，∴∠OAC＝∠BOD，而∠ACO＝∠BDO，∴△AOC∽△OBD，∴＝（）2＝＝，∴＝，在Rt△AOB中，tan∠BAO＝＝，故选：B．4．如图，函数y＝﹣（x＜0）的图象经过Rt△ABO斜边OB的中点D，与直角边AB相交于C，连接AD．若AD＝3，则△ABO的周长为（）A．12B．6+C．6+2D．6+2解：如图，过点D作DE⊥AO于E，∵点D是BO的中点，∴AD＝BD＝DO＝3，∴BO＝6，∵DE⊥AO，AB⊥AO，∴AB∥DE，∴，∴AB＝2DE，AO＝2EO，＝DE×EO＝，∵S△DEO＝AB×AO＝2，∴S△ABO∵AB2+AO2＝OB2＝36，∴（AB+AO）2＝36+8，∴AB+AO＝2，∴△ABO的周长＝AO+BO+AB＝6+2，故选：D．5．如图，长方形ABCD的顶点A、B均在y轴的正半轴上，点C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，对角线DB的延长线交x轴于点E，连接AE，已知S△ABE＝1，则k的值是（）A．1B．C．2D．4解：延长DC与x轴交于点F，∵ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD∥BC∥OE，∴△ABD∽△OBE，∴＝，即：AD•OB＝AB•OE，＝1＝AB•OE，又∵S△ABE∴AD•OB＝AB•OE＝2＝BC•OB，＝BC•OB＝2＝|k|，即：S矩形OBCF∴k＝2或k＝﹣2（舍去），故选：C．6．如图，直线y＝x+2与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点P，若OP＝，则k的值为3．解：设点P（m，m+2），∵OP＝，∴＝，解得m1＝1，m2＝﹣3（不合题意舍去），∴点P（1，3），∴3＝，解得k＝3．故答案为：3．7．已知一次函数y＝2x+4的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，若这个一次函数的图象与一个反比例函数的图象在第一象限交于点C，且AB＝2BC，则这个反比例函数的表达式为y＝．解：∵一次函数y＝2x+4的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，∴A（﹣2，0），B（0，4），过C作CD⊥x轴于D，∴OB∥CD，∴△ABO∽△ACD，∴＝＝，∴CD＝6，AD＝3，∴OD＝1，∴C（1，6），设反比例函数的解析式为y＝，∴k＝6，∴反比例函数的解析式为y＝．故答案为：y＝．8．在平面直角坐标系xOy中，点A，B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，且点A与点B关于直线y＝x对称，C为AB的中点，若AB＝4，则线段OC的长为2．解：设A（t，），∵点A与点B关于直线y＝x对称，∴B（，t），∵AB＝4，∴（t﹣）2+（﹣t）2＝42，即t﹣＝2或t﹣＝﹣2，解方程t﹣＝﹣2，得t＝﹣﹣2（由于点A在第一象限，所以舍去）或t＝﹣+2，经检验，t＝﹣+2，符合题意，∴A（﹣+2，+2），B（+2，﹣+2），∵C为AB的中点，∴C（2，2），∴OC＝＝2．故答案为2．9．如图，△OMN是边长为10的等边三角形，反比例函数y＝（x＞0）的图象与边MN、OM分别交于点A、B（点B不与点M重合）．若AB⊥OM于点B，则k的值为9．解：过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，如图，∵△OMN是边长为10的等边三角形，∴OM＝ON＝MN＝10，∠MON＝∠M＝∠MNO＝60°设OC＝b，则BC＝，OB＝2b，∴BM＝OM﹣OB＝10﹣2b，B（b，b），∵∠M＝60°，AB⊥OM，∴AM＝2BM＝20﹣4b，∴AN＝MN﹣AM＝10﹣（20﹣4b）＝4b﹣10，∵∠AND＝60°，∴DN＝＝2b﹣5，AD＝AN＝2b﹣5，∴OD＝ON﹣DN＝15﹣2b，∴A（15﹣2b，2b﹣5），∵A、B两点都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴k＝（15﹣2b）（2b﹣5）＝b•b，解得b＝3或5，当b＝5时，OB＝2b＝10，此时B与M重合，不符题意，舍去，∴b＝3，∴k＝b•b＝9，故答案为：9．10．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，C（0，﹣3），CD＝3AD，点A在反比例函数y＝图象上，且y轴平分∠ACB，求k＝．解：过A作AE⊥x轴，垂足为E，∵C（0，﹣3），∴OC＝3，∵∠AED＝∠COD＝90°，∠ADE＝∠CDO∴△ADE∽△CDO，∴，∴AE＝1；又∵y轴平分∠ACB，CO⊥BD，∴BO＝OD，∵∠ABC＝90°，∴∠OCD＝∠DAE＝∠ABE，∴△ABE∽△DCO，∴设DE＝n，则BO＝OD＝3n，BE＝7n，∴，∴n＝∴OE＝4n＝∴A（，1）∴k＝．故答案为：．11．如图，矩形OABC的两边落在坐标轴上，反比例函数y＝的图象在第一象限的分支过AB的中点D交OB于点E，连接EC，若△OEC的面积为12，则k＝12．解：如图，过点D、E分别作x轴的垂线，垂足分别为F、G，＝S矩形OADF＝2S△OEG＝k，则S△OBC又∵EG∥BC，∴△OEG∽△OBC，∴＝（）2＝2，∴＝，∴＝，∴＝＝，∴＝，∴k＝12．故答案为12．12．如图，在平面直角坐标系中，∠OAB＝60°，∠AOB＝90°，反比例函数y1＝的图象经过点A，反比例函数y2＝﹣的图象经过点B，则m的值为1．解：作BH⊥x轴，垂足为H，AM⊥y轴，垂足为M，∵∠OAB＝60°，∠AOB＝90°，∴△BHO∽△AMO，∴，令OM＝a，则BH＝，代入反比例函数y2＝﹣得：x＝，∴OH＝，得：AM＝，∴，又∵AM•OM＝m，∴m＝1．故答案为1．13．如图，线段OA与函数y＝（x＞0）的图象交于点B，且AB＝2OB，点C也在函数y ＝（x＞0）图象上，连结AC并延长AC交x轴正半轴于点D，且AC＝3CD，连结BC，若△BCD的面积为3，则k的值为．解：如图，分别过点A，B，C作x轴的垂线，垂足分别为M，E，F．∴BE∥CF∥AM，∴OB：OA＝BE：AM＝OE：OM＝1：3，CD：AD＝DF：DM＝CF：AM＝1：4，设点B的坐标为（a，b），∴OE＝a，BE＝b，∴AM＝3BE＝3b，OM＝3OE＝3a，∴CF＝AM＝b，∴C（a，b），∴OF＝a，∴FM＝OM﹣OF＝a，∴DF＝FM＝a，∴OD＝OM﹣DF﹣FM＝a．∵△BCD的面积为3，∴△ABC的面积＝3×△BCD的面积＝9，∴△ABD的面积＝12．∴△BOD的面积＝×△ABD的面积＝6．∴•OD•BE＝a×b＝6．解得k＝ab＝．故答案为：．14．如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，过点A作x轴的垂线，与函数y＝﹣（x＞0）的图象交于点C，连接BC交x轴于点D．若点A的横坐标为1，BC＝3BD，则点B的横坐标为2．解：作BE⊥x轴于E，∴AC∥BE，∴△CDF∽△BDE，∴＝＝，∵BC＝3BD，∴＝＝，∴CF＝2BE，DF＝2DE，设B（，b），∴C（1，﹣2b），∵函数y＝﹣（x＞0）的图象交于点C，∴﹣k＝1×（﹣2b）＝﹣2b，∴k＝2b，∴B的横坐标为＝＝2，故答案为：2．15．如图，在△ABC中，边AB在x轴上，边AC交y轴于点E．反比例函数y＝（x＞0）＝6，则k＝的图象恰好经过点C，与边BC交于点D．若AE＝CE，CD＝2BD，S△ABC．解：如图，作CM⊥AB于点M，DN⊥AB于点N，设C （m ，），则OM ＝m ，CM ＝，∵OE ∥CM ，AE ＝CE ，∴＝＝1，∴AO ＝m ，∵DN ∥CM ，CD ＝2BD ，∴＝＝＝，∴DN ＝，∴D 的纵坐标为，∴＝，∴x ＝3m ，即ON ＝3m ，∴MN ＝2m ，∴BN ＝m ，∴AB ＝5m ，∵S △ABC ＝6，∴5m •＝6，∴k ＝．故答案为：．16．如图，A 为反比例函数（其中x ＞0）图象上的一点，在x 轴正半轴上有一点B ，OB ＝4．连接OA ，AB ，且OA ＝AB ＝2．过点B 作BC ⊥OB ，交反比例函数（其中x ＞0）的图象于点C ，连接OC 交AB 于点D ，则的值为．解：过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，AH交OC于点M，如图所示．∵OA＝AB，AH⊥OB，∴OH＝BH＝OB＝2，∴AH＝＝＝6，∴点A的坐标为（2，6）．∵A为反比例函数（其中x＞0）图象上的一点，∴k＝2×6＝12．∵BC⊥x轴，OB＝4，点C在反比例函数y＝上，∴BC＝3．∵AH∥BC，OH＝BH，∴MH＝BC＝，∴AM＝AH﹣MH＝．∵AM∥BC，∴△ADM∽△BDC，∴，故答案为．17．如图，已知菱形ABCD的对角线相交于坐标原点O，四个顶点分别在双曲线y＝和y＝（k＜0）上，＝，平行于x轴的直线与两双曲线分别交于点E，F，连接OE，OF，则△OEF的面积为．解：作AM⊥x轴于M，DN⊥x轴于N，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOM+∠DON＝∠ODN+DON＝90°，∴∠AOM＝∠ODN，∵∠AMO＝∠OND＝90°，∴△AOM∽△ODN，∴＝（）2，∵A点在双曲线y＝，＝，＝×4＝2，＝，∴S△AOM∴＝（）2，＝，∴S△ODN∵D点在双曲线y＝（k＜0）上，∴|k|＝，∴k＝﹣9，∵平行于x轴的直线与两双曲线分别交于点E，F，＝+＝，∴S△OEF故答案为．18．如图，已知直线l：y＝﹣x+4分别与x轴、y轴交于点A，B，双曲线（k＞0，x＞0）与直线l不相交，E为双曲线上一动点，过点E作EG⊥x轴于点G，EF⊥y轴于点F，分别与直线l交于点C，D，且∠COD＝45°，则k＝8．解：点A、B的坐标分别为（4，0）、（0，4），即：OA＝OB，∴∠OAB＝45°＝∠COD，∠ODA＝∠ODA，∴△ODA∽△CDO，∴OD2＝CD•DA，设点E（m，n），则点D（4﹣n，n），点C（m，4﹣m），则OD2＝（4﹣n）2+n2＝2n2﹣8n+16，CD＝（m+n﹣4），DA＝n，即2n2﹣8n+16＝（m+n﹣4）×n，解得：mn＝8＝k，故答案为8．19．如图，平行四边形ABCD的顶点C在y轴正半轴上，CD平行于x轴，直线AC交x轴＝2，于点E，BC⊥AC，连接BE，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点D，已知S△BCE 则k的值是4．解：（解法一）过点D作DF⊥x轴于点F，如图所示．∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，BC＝AD．又∵BC⊥AC，∴DA⊥AC．∵CD平行于x轴，∴∠ACD＝∠CEO．∵CO⊥OE，DA⊥AC，∴∠ECO＝∠D．设点D的坐标为（m，）（m＞0），则CD＝m，OC＝DF＝．在Rt△CAD中，CD＝m，∠CAD＝90°，AD＝m•cos∠D．在Rt△COE中，OC＝，∠COE＝90°，CE＝＝．S△BCE＝CE•BC＝•m•cos∠D＝k＝2，解得：k＝4；（解法二）设点D的坐标为（m，n）（m＞0，n＞0），则CD＝m，OC＝n，∵CD∥x轴，∴∠ACD＝∠OEC．∵四边形ABCD为平行四边形，BC⊥AC，∴DA⊥AC，AD＝BC，∴∠DAC＝∠COE＝90°，∴△COE∽△DAC，∴＝，即＝，∴mn＝BC•CE．＝BC•CE＝2，∵S△BCE＝4．∴mn＝2S△BCE∵点D在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴k＝mn＝4．故答案为：4．20．如图，A为反比例函数y＝（其中x＞0）图象上的一点，在x轴正半轴上有一点B，OB＝4．连接OA，AB，且OA＝AB．过点B作BC⊥OB，交反比例函数y＝（其中x＞0）的图象于点C，连接OC交AB于点D，则的值为．解：过点A作AH⊥x轴，垂足为H，AH交OC于点M，如图，∵OA＝AB，AH⊥OB，∴OH＝BH＝OB＝×4＝2，A（2，），C（4，），∵AH∥BC，∴MH＝BC＝，∴AM＝AH﹣MH＝﹣＝，∵AM∥BC，∴△ADM∽△BDC，∴＝＝．21．如图，点A在反比例函数第一象限内图象上，点B在反比例函数第三象限内图象上，AC⊥y轴于点C，BD⊥y轴于点D，交于点E，若BO＝CE，则k的值为．解：过点A作AP⊥x轴于点P，过点B作BQ⊥x轴于点Q，∵AC＝BD＝，∴点A的横坐标为，点B的横坐标为﹣，∵点A在反比例函数第一象限内图象上，点B在反比例函数第三象限内图象上，∴点A的纵坐标为6，点B的纵坐标为﹣3，∵AC⊥y轴，BD⊥y轴，∴CD＝AP+BQ＝9，OD＝3，AC∥BD，∴∠CAE＝∠DBE，∠ACE＝∠BDE，∴△ACE≌△BDE（AAS），∴CE＝DE＝CD＝，∵BO＝CE，∴BO＝，在Rt△BOD中，由勾股定理可得BD2+OD2＝OB2，即，解得k＝或k＝﹣（舍去），故答案为：．22．如图，菱形ABCD的四个顶点均在坐标轴上，对角线AC、BD交于原点O，AE⊥BC于E点，交BD于M点，反比例函数的图象经过线段DC的中点N，若BD＝4，则ME的长为．解：在菱形ABCD中，AB＝BC，BD⊥AC，OB＝OD＝＝2，∠ABC＝2∠OBC，∴点D（0，2），设点C（m，0），∵点N为CD的中点，∴点，∵反比例函数的图像经过点N，∴，解得：，即点，∴，∴，，∴∠OBC＝30°，∴∠ABC＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴，∵AE⊥BC，∴，∴．故答案为：．23．如图，平面坐标系中，AB交矩形ONCM于E、F，若＝（m＞1），且双曲线y＝＝S1，S△OEF＝S2，用含m的代数式表示．也过E、F两点，记S△CEF解：过点F作FG⊥y轴于点G，如图所示：∵CM⊥y轴，FG⊥y轴，∴CM∥FG，MC＝FG，∴△BME∽△BGF，∴＝＝＝，设点C的坐标为（a，b），则E（，b），F（a，），∴S1＝×（a﹣）•（b﹣）＝ab；S2＝a•b﹣•﹣•﹣ab＝ab．∴＝．24．如图，在平面直角坐标系中，点P、Q在函数y＝（x＞0）的图象上，PA、QB分别垂直x轴于点A、B，PC、QD分别垂直y轴于点C、D．设点P的横坐标为m，点Q的纵坐标为n，△PCD的面积为S1，△QAB的面积为S2．（1）当m＝2，n＝3时，求S1、S2的值；（2）当△PCD与△QAB全等时，若m＝3，直接写出n的值．解：（1）∵当m＝2时，y＝＝6，∴P（2，6）．∵PA⊥x轴，PC⊥y轴，∴PC＝OA＝2，PA＝OC＝6．∵当m＝3时，x＝＝4，∴Q（4，3）．∵QB⊥x轴，QD⊥y轴，∴DQ＝OB＝4，QB＝OA＝3，∴CD＝OC﹣OD＝3，AB＝OB﹣OA＝2，∴S1＝CD•CP＝×3×2＝3，S2＝AB•QB＝×2×3＝3．（2）∵m＝3，∴P（3，4），∴PC＝OA＝3，当△PCD≌△QBA时，∵QB＝PC＝3，∴n＝3；当△PCD≌△ABQ时，∵PC＝OA＝3，∴AB＝PC＝3，∴OB＝OA+AB＝3+3＝6．∵点Q在反比例函数y＝的图象上，∴y＝＝2，∴n＝2．综上所述，n＝2或3．25．如图，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（1，2）、B（﹣2，n）两点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）根据图象，直接写出满足k1x+b＞的x的取值范围；：S△BOP＝1：4，求点P的坐标．（3）若点P在线段AB上，且S△AOP解：（1）∵反比例函数y＝经过A（1，2），∴k2＝1×2＝2，∴反比例函数解析式为y＝，∵B（﹣2，n）在反比例函数y＝的图象上，∴n＝＝﹣1，∴B（﹣2，﹣1），∵直线y＝k1x+b经过A（1，2），B（﹣2，﹣1），∴，解得，∴一次函数的解析式为y＝x+1；（2）观察图象，k1x+b＞的x的取值范围是﹣2＜x＜0或x＞1；（3）设P（x，x+1），：S△BOP＝1：4，∵S△AOP∴AP：PB＝1：4，即PB＝4PA，∴（x+2）2+（x+1+1）2＝16[（x﹣1）2+（x+1﹣2）2]，解得x1＝，x2＝2（舍去），∴P点坐标为（，）．26．如图，在矩形OABC中，OA＝3，OC＝5，分别以OA、OC所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，D是边CB上的一个动点（不与C、B重合），反比例函数y＝（k ＞0）的图象经过点D且与边BA交于点E，连接DE．（1）连接OE，若△EOA的面积为2，则k＝4；（2）连接CA、DE与CA是否平行？请说明理由；（3）是否存在点D，使得点B关于DE的对称点在OC上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）连接OE，如图1，∵Rt△AOE的面积为2，∴k＝2×2＝4．（2）连接AC，如图1，设D（x，5），E（3，），则BD＝3﹣x，BE＝5﹣，＝，∴，又∵∠B＝∠B，∴△BDE∽△BCA，∴∠BED＝∠BAC，∴DE∥AC．（3）假设存在点D满足条件．设D（x，5），E（3，），则CD＝x，BD＝3﹣x，BE＝5﹣，AE＝．作EF⊥OC，垂足为F，如图2，易证△B′CD∽△EFB′，∴，即＝，∴B′F＝，∴OB′＝B′F+OF＝B′F+AE＝+＝，∴CB′＝OC﹣OB′＝5﹣，在Rt△B′CD中，CB′＝5﹣，CD＝x，B′D＝BD＝3﹣x，由勾股定理得，CB′2+CD2＝B′D2，（5﹣）2+x2＝（3﹣x）2，解这个方程得，x1＝1.5（舍去），x2＝0.96，∴满足条件的点D存在，D的坐标为D（0.96，5）．27．如图，点A和点E（2，1）是反比例函数y＝（x＞0）图象上的两点，点B在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，分别过点A、B作y较的垂线，垂足分别为点C、D，AC ＝BD，连接AB交y轴于点F．（1）求k；（2）设点A的横坐标为a，点F的纵坐标为m，求证：am＝﹣2．（3）连接CE、DE，当∠CED＝90°时，求A的坐标．（1）解：∵点E（2，1）是反比例函数y＝（x＞0）图象上的点，∴k＝1×2＝2；（2）证明：∵点A的横坐标为a，∴点A的纵坐标为，∵AC＝BD，∴B（﹣a，﹣），∵AC∥BD，∴∠CAF＝∠DBF，∠ACF＝∠BDF，∵AC＝BD，∴△ACF≌△BDF（ASA），∴CF＝DF，∴m＝﹣，∴am＝﹣2；（3）解：∵∠CED＝90°，CF＝DF，∴CD＝2EF，∴＝2，由（2）知，＝﹣m，∴﹣4m＝2，解得m＝1或﹣，当m＝1时，a＝﹣2（舍去），当m＝﹣时，a＝，∴A（，）．28．已知在平面直角坐标系xOy中，点A是反比例函数y＝（x＞0）图象上的一个动点，连结AO，AO的延长线交反比例函数y＝（k＞0，x＜0）的图象于点B，过点A作AE ⊥y轴于点E．（1）如图1，过点B作BF⊥x轴，于点F，连接EF．①若k＝1，求证：四边形AEFO是平行四边形；②连结BE，若k＝4，求△BOE的面积．（2）如图2，过点E作EP∥AB，交反比例函数y＝（k＞0，x＜0）的图象于点P，连结OP．试探究：对于确定的实数k，动点A在运动过程中，△POE的面积是否会发生变化？请说明理由．（1）①证明：设点A的坐标为（a，），则当点k＝1时，点B的坐标为（﹣a，﹣），∴AE＝OF＝a，∵AE⊥y轴，∴AE∥OF，∴四边形AEFO是平行四边形；②解：过点B作BD⊥y轴于点D，如图1，∵AE⊥y轴，∴AE∥BD，∴△AEO∽△BDO，∴，∴当k＝4时，，即，＝2S△AOE＝1；∴S△BOE（2）不改变．理由如下：过点P作PH⊥x轴于点H，PE与x轴交于点G，设点A的坐标为（a，），点P的坐标为（b，），则AE＝a，OE＝，PH＝﹣，∵四边形AEGO是平行四边形，∴∠EAO＝∠EGO，AE＝OG，∵∠EGO＝∠PGH，∴∠EAO＝∠PGH，又∵∠PHG＝∠AEO，∴△AEO∽△GHP，∴，∵GH＝OH﹣OG＝﹣b﹣a，∴，∴﹣k＝0，解得，∵a，b异号，k＞0，∴，＝×OE×（﹣b）＝×（﹣b）＝﹣，∴S△POE∴对于确定的实数k，动点A在运动过程中，△POE的面积不会发生变化．。

专题二次函数与全等、相似存在性问题(学生版)

专题29二次函数与相似、全等存在性问题题型一相似三角形存在性问题在坐标系中确定点，使得由该点及其他点构成的三角形与其他三角形相似，即为“相似三角形存在性问题”．【相似判定】判定1：三边对应成比例的两个三角形是相似三角形；判定2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形是相似三角形；判定3：有两组角对应相等的三角形是相似三角形．以上也是坐标系中相似三角形存在性问题的方法来源，根据题目给的已知条件选择恰当的判定方法，解决问题【题型分析】通常相似的两三角形有一个是已知的，而另一三角形中有1或2个动点，即可分为“单动点”类、“双动点”两类问题．【思路总结】根据相似三角形的做题经验，可以发现，判定1基本是不会用的，这里也一样不怎么用，对比判定2、3可以发现，都有角相等！所以，要证相似的两个三角形必然有相等角，关键点也是先找到一组相等角．然后再找：思路1：两相等角的两边对应成比例；思路2：还存在另一组角相等．事实上，坐标系中在已知点的情况下，线段长度比角的大小更容易表示，因此选择方法可优先考虑思路1．一、如何得到相等角？二、如何构造两边成比例或者得到第二组角？搞定这两个问题就可以了．1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线C：y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（1，1）和（4，1）．（1）求抛物线C的对称轴．（2）当a＝﹣1时，将抛物线C向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线C1．①求抛物线C1的解析式．②设抛物线C1与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，连接BC．点D为第一象限内抛物线C1上一动点，过点D作DE⊥OA于点E．设点D的横坐标为m．是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．2．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，顶点为点D．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是对称轴左侧抛物线上的一个动点，点Q在射线ED上，若以点P、Q、E为顶点的三角形与△BOC 相似，请直接写出点P的坐标．3．如图，直线y＝﹣x+分别交x轴、y轴于点A，B，过点A的抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的另一交点为C，与y轴交于点D（0，3），抛物线的对称轴l交AD于点E，连接OE交AB于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：OE⊥AB；（3）P为抛物线上的一动点，直线PO交AD于点M，是否存在这样的点P，使以A，O，M为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求点P的横坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+x+4与两坐标轴分别相交于A，B，C三点．（1）求证：∠ACB＝90°；（2）点D是第一象限内该抛物线上的动点，过点D作x轴的垂线交BC于点E，交x轴于点F，点G是AC 的中点，若以点C，D，E为顶点的三角形与△AOG相似，求点D的坐标．5．如图，已知二次函数的图象与x轴交于A和B（﹣3，0）两点，与y轴交于C（0，﹣3），对称轴为直线x＝﹣1，直线y＝﹣2x+m经过点A，且与y轴交于点D，与抛物线交于点E，与对称轴交于点F．（1）求抛物线的解析式和m的值；（2）在y轴上是否存在点P，使得以D、E、P为顶点的三角形与△AOD相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由；题型二全等三角形存在性问题6．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点（3，12）和（﹣2，﹣3），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l．（1）求该抛物线的表达式；（2）P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点．要使以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，求满足条件的点P，点E的坐标．7．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点（﹣2，5）和（2，﹣3），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l．（1）求该抛物线的表达式；（2）求出点A，B，C的坐标；（3）P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点．要使以P，D，E为顶点的三角形与△BOC全等，求满足条件的点P，点E的坐标．8．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式．（2）直线BC交对称轴于点E，P是坐标平面内一点，请直接写出△PCE与△ACD全等时点P的坐标．9．如图1，抛物线y1＝ax2﹣x+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，），抛物线y1的顶点为G，GM⊥x轴于点M．将抛物线y1平移后得到顶点为B且对称轴为直线l的抛物线y2．（1）求抛物线y2的解析式；（2）点P为抛物线y1上一动点，过点P作y轴的平行线交抛物线y2于点Q，点Q关于直线l的对称点为R，若以P，Q，R为顶点的三角形与△AMG全等，求直线PR的解析式．10．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（0，﹣2），并与x轴交于点C，点M是抛物线对称轴l 上任意一点（点M，B，C三点不在同一直线上）．（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）在抛物线上找出两点P1，P2，使得△MP1P2与△MCB全等，并求出点P1，P2的坐标；。