212椭圆的简单几何性质第2课时椭圆方程及性质的应用

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椭圆的简单性质(第2课时)课件(北师大选修1-1)

(1)若 M 与 A 重合，求曲线 C 的焦点坐标； (2)若 m＝3，求|PA|的最大值与最小值； (3)若|PA|的最小值为|MA|，求实数 m 的取值范围．
工具
第二章圆锥曲线与方程
解析： (1)由题意知 m＝2，椭圆方程为x42＋y2＝1，c＝
4－1＝ 3，
∴左、右焦点坐标分别为(－ 3，0)，( 3，0)．
工具
第二章圆锥曲线与方程
1.求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)长轴长是短轴长的 2 倍，且过点(2，－6)； (2)短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为 3； (3)与椭圆x42＋y32＝1 有相同离心率且经过点(2，－ 3)．
工具
第二章圆锥曲线与方程
解析： (1)∵2a＝2×2b， ∴a＝2b，当焦点在 x 轴时，方程为4xb22＋by22＝1，
b2＝a2－c2＝(a＋c)(a－c)＝44 163 691.
第2课时椭圆方程及性质的应用
工具
第二章圆锥曲线与方程
1.会应用椭圆的简单几何性质解决与椭圆相关的问题． 2.会应用椭圆的简单几何性质解决相关的实际问题． 3.会判断直线与椭圆的位置关系.
工具
第二章圆锥曲线与方程
1.椭圆中与焦点相关的三角形问题．(重点) 2.与航天器运行轨道相关的应用问题．(难点) 3.直线与椭圆的交点问题．(易混点)
工具
第二章圆锥曲线与方程
(1)求飞船飞行的椭圆轨道的方程； (2)飞船绕地球飞行了十四圈后，于16日5时59分返回舱与推进舱分离，结束巡天飞行，飞船共巡天飞行了约6×105 km，问飞船巡天飞行的平均速度是多少？(结果精确到1 km/s)
本题主要考查椭圆的基础知识及应用，明确近地点、远地点是解题的关键．

3.1.2 椭圆的简单几何性质(第2课时)备课笔记

3.1.2椭圆的简单几何性质第2课时本小节内容选自《普通高中数学选择性必修第一册》人教A 版（2019）第二章《圆锥曲线的方程》的第一节《椭圆》。

以下是本节的课时安排：第三章圆锥曲线的方程课时内容 3.1.1椭圆及其标准方程 3.1.2椭圆的简单几何性质所在位置教材第105页教材第109页新教材内容分析椭圆是生产生活中的常见曲线，教材在用细绳画椭圆的过程中，体会椭圆的定义，感知椭圆的形状，为选择适当的坐标系，建立椭圆的标准方程、研究椭圆的几何性质做好铺垫。

通过对椭圆标准方程的讨论，使学生掌握标准方程中的a,b,c,e 的几何意义及相互关系，体会坐标法研究曲线性质的基本思路与方法，感受通过代数运算研究曲线性质所具有的程序化、普适性特点。

核心素养培养通过椭圆的标准方程的推导，培养数学运算的核心素养；通过对椭圆的定义理解，培养数学抽象的核心素养。

通过椭圆的几何性质的研究，培养数学运算的核心素养；通过直线与椭圆的位置关系的判定，培养逻辑推理的核心素养。

教学主线椭圆的标准方程、几何性质学生已经学习了直线与圆的方程，已经具备了坐标法研究解析几何问题的能力。

本章学习圆锥曲线方程及几何性质，进一步提升用代数方法研究解析几何问题的方法。

1.进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，培养数学抽象的核心素养．2.会判断直线与椭圆的位置关系，培养数学运算的核心素养．3.能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题，培养数学运算的核心素养.重点：直线与椭圆的位置关系难点：直线与椭圆的位置关系的应用（一）新知导入一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分。

过对称轴的截口ABC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点1上，片门位另一个焦点2上，由椭圆一个焦点1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个椭圆焦点2。

（二）椭圆的简单几何性质知识点一点与椭圆的位置关系【探究1】根据点与圆的位置关系，你能得出点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的位置关系有哪些？怎样判断？◆点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的位置关系：(1)点P 在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1；(2)点P 在椭圆内部⇔x 20a 2＋y 20b 2＜1；(3)点P 在椭圆外部⇔x 20a 2＋y 20b2＞1.【做一做1】点(1,1)与椭圆22132x y +=的位置关系为（）A．在椭圆上B．在椭圆内C．在椭圆外D．不能确定【做一做2】若点A (a,1)在椭圆x 24＋y 22＝1的内部，则a 的取值范围是________.知识点二直线与椭圆的位置关系【探究2】类比直线与圆的位置关系，思考直线与椭圆有几种位置关系？怎样判断其位置关系？◆直线与椭圆的位置关系(直线斜率存在时)直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)的位置关系判断方法：kx ＋m＋y 2b 2＝1，消y 得一个关于x的一元二次方程.位置关系公共点个数组成的方程组的解判定方法(利用判别式Δ)相交2个2解Δ＞0相切1个1解Δ＝0相离0个0解Δ＜0斜率不存在时，观察可得．【做一做1】直线y ＝x ＋1与椭圆x 2＋y 22＝1的位置关系是()A．相离B．相切C．相交D．无法确定【做一做2】(教材P114练习2改编)椭圆x 23＋y 2＝1被直线x －y ＋1＝0所截得的弦长|AB |＝________.1.直线与椭圆的位置关系例1.已知直线y ＝x ＋m 与椭圆x 216＋y 29＝1，当直线和椭圆相离、相切、相交时，分别求m 的取值范围．[分析]将直线方程与椭圆方程联立，利用判别式Δ判断．【类题通法】代数法判断直线与椭圆的位置关系判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则Δ>0⇔直线与椭圆相交；Δ＝0⇔直线与椭圆相切；Δ<0⇔直线与椭圆相离．【巩固练习1】(1)若直线y ＝kx ＋2与椭圆x 23＋y 22＝1相切，则斜率k 的值是()A.63B．－63C．±63D．±33(2)直线y ＝kx －k ＋1(k ∈R )与焦点在x 轴上的椭圆x 25＋y 2m＝1总有公共点，则m 的取值范围是________．2.弦长问题例2.已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．[分析](1)将直线方程与椭圆方程联立，根据判别式Δ的符号，建立关于m 的不等式求解；(2)利用弦长公式建立关于m 的函数关系式，通过函数的最值求得m 的值，从而得到直线方程．【类题通法】1.求直线被椭圆截得弦长的方法：法一是求出两交点坐标，用两点间距离公式；法二是用弦长公式|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k2|y 1－y 2|，其中k 为直线AB 的斜率，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．2．有关直线与椭圆相交弦长最值问题，要特别注意判别式的限制．【巩固练习2】已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，其长轴长为焦距的2倍，且过点F 为其左焦点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过左焦点F 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，当|AB |＝185时，求直线l 的方程．3.中点弦问题例3.过椭圆x 216＋y 24＝1内一点P (2,1)作一条直线交椭圆于A ，B 两点，使线段AB 被P 点平分，求此直线的方程．[分析]由于弦所在直线过定点P (2,1)，所以可设出弦所在直线的方程为y －1＝k (x －2)，与椭圆方程联立，通过中点为P ，得出k 的值，也可以通过设而不求的思想求直线的斜率．【类题通法】关于中点弦问题，一般采用两种方法解决(1)联立方程组，消元，利用根与系数的关系进行设而不求，从而简化运算．(2)利用“点差法”即若椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1，直线与椭圆交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且弦AB 的中点为M (x ，y ＋y 21b2＝1，①＋y 22b2＝1，②①－②：a 2(y 21－y 22)＋b 2(x 21－x 22)＝0，∴y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－b 2a 2·xy.这样就建立了中点坐标与直线的斜率之间的关系，从而使问题得以解决．【巩固练习3】已知椭圆方程是x 29＋y 24＝1，求以A (1,1)为中点的弦MN 所在的直线方程．1.若点P (a,1)在椭圆x 22＋y 23＝1的外部，则a 的取值范围为()－233，2.直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．不确定3.直线y ＝x ＋1被椭圆x24＋y 22＝1所截得的弦的中点坐标是()－23，－132，4.椭圆mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0且m ≠n )与直线y ＝1－x 交于M ，N 两点，过原点与线段MN 中点所在直线的斜率为22，则mn 的值是()A.22B.233C.922D.2327（五）课堂小结，反思感悟1.知识总结：2.学生反思：（1）通过这节课，你学到了什么知识？（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？3.1.2椭圆的简单几何性质（2）-A 基础练一、选择题1．（2020·河北桃城衡水中学期末）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，若长轴长为8，离心率为12，则此椭圆的标准方程为()A．2216448x y +=B．2216416x y +=C．221164x y +=D．2211612x y +=2.（2020全国高二课时练）椭圆有一条光学性质：从椭圆一个焦点出发的光线，经过椭圆反射后，一定经过另一个焦点.假设光线沿直线传播且在传播过程中不会衰减，椭圆的方程为22143x y +=，则光线从椭圆一个焦点出发，到首次回到该焦点所经过的路程不可能为（）A．2B．4C．6D．83．（2020·金华市曙光学校月考）无论k 为何值，直线2y kx =+和曲线22194x y +=交点情况满足（）A．没有公共点B．一个公共点C．两个公共点D．有公共点4.（2019·安徽安庆月考）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，若F 关于直线0x y +=的对称点A 是椭圆C 上的点，则椭圆的离心率为（）A．22B．2115．（多选题）（2020广东濠江高二月考）椭圆22116x y m+=的焦距为，则m 的值为（）A．9B．23C．16-D．16+6．（多选题）（2020全国高二课时练）嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里，已知月球的直径约为3476公里，对该椭圆下述四个结论正确的是（）A．焦距长约为300公里B．长轴长约为3988公里C．两焦点坐标约为()1500±，D．离心率约为75994二、填空题7.（2020·全国课时练习）若直线2y kx =+与椭圆22132x y +=有且只有一个交点，则斜率k 的值是_______.8．光线从椭圆的一个焦点发出,被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点;光线从双曲线的一个焦点发出,被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出.如图,一个光学装置由有公共焦点1F ,2F 的椭圆Γ与双曲线'Γ构成,现一光线从左焦点1F 发出,依次经'Γ与Γ反射,又回到了点1F ,历时1t 秒;若将装置中的'Γ去掉,此光线从点1F 发出,经Γ两次反射后又回到了点1F ,历时2t 秒;若214t t =,则Γ与'Γ的离心率之比为______.9.（2020·福建漳州高二月考）已知1F ，2F 是椭圆222:1(04)16x y C b b+=<<的左、右焦点，点P 在C 上，线段1PF 与y 轴交于点M ，O 为坐标原点，若OM 为12PF F △的中位线，且||1OM =，则1PF =________.10．（2020上海华师大二附中月考）已知点F 为椭圆22:143x y Γ+=的左焦点，点P 为椭圆Γ上任意一点，点O 为坐标原点，则OP FP ⋅的最大值为________三、解答题11．我国计划发射火星探测器，该探测器的运行轨道是以火星（其半径3400km =R ）的中心F 为一个焦点的椭圆．如图，已知探测器的近火星点（轨道上离火星表面最近的点）A 到火星表面的距离为800km ，远火星点（轨道上离火星表面最远的点）B 到火星表面的距离为80000km ．假定探测器由近火星点A 第一次逆时针运行到与轨道中心O 时进行变轨，其中,a b 分别为椭圆的长半轴、短半轴的长，求此时探测器与火星表面的距离（精确到100km ）．12.（2020全国高二课时练习）已知椭圆C:()222210x y a b a b +=>>经过点3(1,)2M ,12,F F 是椭圆C 的两个焦点，12||F F =P 是椭圆C 上的一个动点.(1)求椭圆的标准方程；(2)若点在第一象限，且1214PF PF ⋅≤ ,求点的横坐标的取值范围；3.1.2椭圆的简单几何性质（2）-B 提高练一、选择题1.（2020·江苏省镇江中学开学考试）设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ,上顶点为B ,若2122BF F F ==则该椭圆的方程为（）A．22143x y +=B．2213x y +=C．2212x y +=D．2214x y +=2.（2020·安徽省太和中学开学考试）“1a =”是“直线y x a =+与椭圆22:12516xy C +=有公共点”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件3.（2020·辽宁大连月考）2020年3月9日，我国在西昌卫星发射中心用长征三号运载火箭，成功发射北斗系统第54颗导航卫星.第54颗导航卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆.设地球半径为R ，若其近地点､远地点离地面的距离大约分别是115R ，13R ，则第54颗导航卫星运行轨道(椭圆)的离心率是（）A．25B．15C．23D．194.（2020山东泰安一中高二月考）1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开启了人造卫星的新篇章，人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距分别为2a ，2c ，下列结论不正确的是()A．卫星向径的最小值为a c -B．卫星向径的最大值为a c+C．卫星向径的最小值与最大值的比值越小，椭圆轨道越扁D．卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大5．（多选题）设椭圆22193x y +=的右焦点为F ，直线(0y m m =<<与椭圆交于A ，B 两点，则（）A．AF BF +为定值B．ABF 的周长的取值范围是[]6,12C．当2m =时，ABF 为直角三角形D．当1m =时，ABF 6.（多选题）（2020江苏扬州中学月考）已知椭圆()22:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F 且122F F =，点()1,1P 在椭圆内部，点Q 在椭圆上，则以下说法正确的是（）A．1QF QP +的最小值为21a -B．椭圆C 的短轴长可能为2C．椭圆C 的离心率的取值范围为510,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D．若11PF FQ =，则椭圆C +二、填空题7.（2020·广西南宁高二月考）已知O 为坐标原点，点1F ，2F 分别为椭圆22:143x y C +=的左、右焦点，A 为椭圆C 上的一点，且212AF F F ⊥，1AF 与y 轴交于点B ，则OB =________.8．（2020南昌县莲塘第一中学月考）已知1F ､2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点，点P 为C 上一点，O 为坐标原点，2POF ∆为正三角形，则C 的离心率为__________.9.（2020·山东泰安实验中学期末）直线2y x =+交椭圆2214x y m +=于,A B 两点，若AB =，则m的值为__________．10.（2020·河南南阳中学高二月考）过椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>右焦点的直线0x y +=交于,A B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12，则椭圆M 的方程为__________．三、解答题11.（2020·贵港市高级中学期中）已知平面内两定点(1,0),(1,0)M N -，动点P 满足||||PM PN +=.（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）若直线1y x =+与曲线C 交于不同的两点A 、B ，求||AB ．12.（2020天津实验中学高二月考）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B 2OB =(O 为原点)（1）求椭圆的离心率；（2）设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C 在直线4x =上，且//OC AP ，求椭圆的方程.。

椭圆的简单几何性质(第二课时)

2.2.2 椭圆的简单几何性质(2)
知识回顾上节课我们研究椭圆的几个基本量 a，b，c，e及顶点、焦点、对称中心及其相互之间的关系，
需要注意的是：
1.掌握数与形的联系； 2.求解椭圆方程的基本方法；
3.函数与方程思想和分类讨论思想.
课前热身
▲▲
你知道吗？
y
1. 长度为a的线段有 6 条.
C OC,OD . 2. 长度为b的线段有 3. OF1=OF2= c . A F1 O 4. AF1=BF2= a-c .
l
H
x
2. 哪些方法能求解未知曲线类型的方程？ 3. 计算离心率e的值，有何发现吗？
F
范例分析
简单回顾求△F1AB的周长的方法.
y
A
x
F1 F2
B
范例分析 2 2 x y 1上的一点，例题2.点P是椭圆 4 3 F1，F2是焦点，若△PF1F2的内切圆半径为1/2，求点P的纵坐标.
2. 作业本P19 1--11.
P
6. |OP|的最小值是 b ;最大值是 a .
5. AF2=BF1=
7. |PF1|的最小值是 a-c ;最大值是 a+c .
范例分析例题1.点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和它到直线l:x=25/4的距离之比是常数4/5，求点M的轨迹.
y M
1. 你知道曲线类型吗？
y
P
x
F1
F2
温故知新
回顾判断直线与圆的位置关系的方法.
d-r法 d=r 相切 d<r 相交 d>r 相离
△法 △=0 相切 △<0 相离 △>0 相交 .
今非昔比
探究判断直线与椭圆的位置关系的方法.

3.1.2 椭圆的简单几何性质(第2课时)(PPT)-

(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．
解：将直线 l 的方程与椭圆 C 的方程联立， y＝2x＋m，①
得方程组x42＋y22＝1.② 将①代入②，整理得 9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③ 方程③根的判别式 Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
类型三：弦长及中点弦问题典例示范
【例 3】 (1)已知椭圆 4x2＋5y2＝20 的一个焦点为 F，过点 F 且倾斜角为 45°的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，则弦长|AB|＝________.
(2)已知(4，2)是直线 l 被椭圆3x62＋y92＝1 所截得的线段的中点，则 l 的方程是________．
是 AB 的中点．若 AB＝2 2，OC 的斜率为 22，求椭圆的方程．解：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程并作差得 a(x1＋
x2)(x1
－
x2)
＋
b(y1
＋
y2)(y1
－
y2)
＝
0.
而
y1－y2 x1－x2
＝
－
1
，
y1＋y2 x1＋x2
＝
kOC
＝
22，代入上式可得 b＝ 2a.
2· －1902－4×－53＝ 2×8 910＝169 5.
(2)x＋2y－8＝0 解析：设直线 l 与椭圆相交于点 A(x1，y1)，B(x2， y2)，
则3x621＋y921＝1，且3x622 ＋y922＝1，两式相减得xy11－－yx22＝－4（xy11＋＋xy22）. 又 x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，所以xy11－－yx22＝－12，故直线 l 的方程为 y－2 ＝－12(x－4)，即 x＋2y－8＝0.

椭圆的简单几何性质(第二课时)

学科：数学教学内容：椭圆的简单几何性质（第二课时）【自学导引】动点M与定点F(c，0)的距离和它到定直线l：x ＝的距离的比是常数(a>c>0)，则动点M的轨迹是椭圆，定直线l叫做椭圆的准线．准线与长轴所在的直线所夹的角为90°．【思考导学】已知动点P的坐标(x，y)满足，则动点P的轨迹是椭圆．【典例剖析】［例1］已知椭圆＝1(a＞b＞0)的焦点坐标是F1(－c，0)和F2(c，0)，P(x0，y0)是椭圆上的任一点，求证：｜PF1｜＝a＋ex0，｜PF2｜＝a－ex0，其中e是椭圆的离心率．证明：椭圆＝1(a＞b＞0)的两焦点F1(－c，0)、F2(c，0)，相应的准线方程分别是x ＝－和x ＝．∵椭圆上任一点到焦点的距离与它到相应准线的距离的比等于这个椭圆的离心率．∴＝e ，＝e．化简得：｜PF1｜＝a＋ex0，｜PF2｜＝a－ex0．点评：｜PF1｜、｜PF2｜都是椭圆上的点到焦点的距离，习惯称作焦点半径．｜PF1｜＝a＋ex0，｜PF2｜＝a－ex0称作焦半径公式，结合这两个公式，显然到焦点距离最远(近)点为长轴端点．［例2］已知点A(1，2)在椭圆＝1内，F的坐标为(2，0)，在椭圆上求一点P使|PA|＋2|PF|最小．解：∵a2＝16，b2＝12，∴c2＝4，c＝2．∴F为椭圆的右焦点，并且离心率为．设P到右准线的距离为d，则|PF|＝d，d＝2|PF|．∴|PA|＋2|PF|＝|PA|＋d．由几何性质可知，当P点的纵坐标(横坐标大于零)与A点的纵坐标相同时，|P A|＋d最小．把y＝2代入＝1得x＝(负舍之)，即P(，2)为所求．点评：由＝得d＝2|PF|是求P点的关键．［例3］在椭圆＝1上求一点P，使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍．解：设P点的坐标为(x，y)，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点．∵椭圆的准线方程为x＝±，∴，∵｜PF1｜＝2｜PF2｜，∴，∴x＝．把x＝代入方程＝1得y＝±．因此，P点的坐标为(，±)．点评：解决椭圆上的点到两焦点的距离(焦半径)问题，常利用椭圆的第二定义或焦半径公式．如果利用焦半径公式，应先利用第二定义证明焦半径公式．【随堂训练】1．椭圆＝1(a＞b＞0)的准线方程是( )A．y＝±Ｂ．y＝±Ｃ．y＝±Ｄ．x＝±解析：∵椭圆焦点在y轴上，且c＝∴椭圆的准线方程为y＝±．答案：Ｂ2．椭圆＝1的焦点到准线的距离是( )A．和B．和C．和D．解析：∵a2＝9，b2＝4，∴c＝，∴椭圆的焦点坐标为(±，0)，椭圆的准线方程为x＝±．∴椭圆的焦点到准线的距离为＝和＝答案：C3．已知椭圆＝1(a>b>0)的两准线间的距离为，离心率为，则椭圆方程为( )A．＝1B．＝1C．＝1D．＝1解析：由＝，＝，得a2＝16，＝4．答案：D4．两对称轴都与坐标轴重合，离心率e＝0．8，焦点与相应准线的距离等于的椭圆的方程是( )A．＝1或＝1B．＝1或＝1C．＋＝1D．＝1解：设所求椭圆的方程为＝1(a＞b＞0)或＝1(a＞b＞0)．由题意，得解这个方程组，得．∴所求椭圆的方程为：＝1或＝1．答案：A5．已知椭圆＝1(a>b>0)的左焦点到右准线的距离为，中心到准线的距离为，则椭圆的方程为( )A．＋y2＝1B．＋y2＝1C．＋＝1D．＋＝1解析：由－(－c)＝，＝得a2＝4，b2＝1．答案：A6．椭圆＝的离心率为( )A．B．C．D．无法确定解析：由＝知e＝．答案：B【强化训练】1．椭圆＝1和＝k(k＞0)具有( )A．相同的离心率B．相同的焦点C．相同的顶点D．相同的长、短轴解析：把方程＝k写成标准形式＝1．且当a＞b＞0时，两椭圆的离心率分别为和，两椭圆的离心率相等．当b＞a＞0时，两椭圆的离心率分别为，两椭圆的离心率相等．答案：A2．椭圆＝1上点P到右焦点的最值为( )A．最大值为5，最小值为4B．最大值为10，最小值为8C．最大值为10，最小值为6D．最大值为9，最小值为1解析：e＝，设两焦点分别为、由焦半径公式得|PF2|＝5－x0，∵－5≤x0≤5，∴当x0＝5时|PF2|min＝1，当x0＝－5时，|PF2|max＝9．答案：D3．椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是( )A．B．C．D．解析：∵椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形．∴a＝2c，＝．答案：D4．若椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则这个椭圆的离心率为( )A．B．C．D．解析：椭圆的两准线之间的距离为－(－)＝．∴由题意，得＝4³2c，∴＝．答案：D5．椭圆＝1的准线平行于x轴，则m的取值范围是( )A．m＞0B．0＜m＜1C．m＞1D．m＞0且m≠1解析：∵椭圆的准线平行于x轴，∴，即．∴答案：C6．椭圆＝1上的点P到左准线的距离是2．5，则P到右焦点的距离是________．解析：∵P到左准线的距离为2．5，∴＝e，而e＝，∴｜PF1｜＝2．5³＝2，∴｜PF2｜＝2³5－2＝8．即P到右焦点的距离为8．答案：87．椭圆的长轴长是______．解析：把椭圆的方程可写成，（4x－3y－33≠0）∴①一个焦点是(－1，1)，相对应的准线方程是4x－3y－33＝0，∴②由①、②得a＝，∴2a＝．答案：8．AB是过椭圆＝1的一个焦点F的弦，若AB的倾斜角为，求弦AB的长．解法一：不妨取F(1，0)，∴直线AB的方程为y＝(x－1)代入椭圆方程并整理得：19x2－30x－5＝0设A(x1，y1)，Ｂ(x2，y2)，则∴｜AＢ｜＝｜x1－x2｜＝解法二：设A、B的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，F为右焦点．∵∠AFx＝，∴x1－c＝｜FA｜cos，x2－c＝｜FB｜cos(＋π)，∴｜FA｜＝a－x1＝．｜FB｜＝a－x2＝∴弦AB的长为：｜FA｜＋｜FＢ｜＝9．已知椭圆的一个焦点是F(1，1)，与它相对应的准线是x＋y－4＝0，离心率为，求椭圆的方程．解：设P(x，y)为椭圆上任意一点，∵椭圆的一个焦点是F(1，1)与它相对应的准线是x ＋y－4＝0，离心率为，∴，∴4(x－1)2＋4(y－1)2＝(x＋y－4)2．即3x2＋3y2－2xy－8＝0为所求．10．已知点P在椭圆＝1上(a＞b＞0)，F1、F2为椭圆的两个焦点，求|PF1|²|PF2|的取值范围．解：设P(x0，y0)，椭圆的准线方程为y＝±，不妨设F1、F2分别为下焦点、上焦点，则∴|PF1|＝y0＋a，|PF2|＝a－y0，∴|PF1|²|PF2|＝(a＋y0)(a－y0)＝a2－y02∵－a≤y0≤a∴当y0＝0时，|PF1|²|PF2|最大，最大值为a2．当y0＝±a时，|PF1|²|PF2|最小，最小值为a2－c2＝b2．因此，|PF1|²|PF2|的取值范围是［b2，a2］．【学后反思】椭圆的离心率是焦距与长轴的比，椭圆上任意一点到焦点的距离与这点到相应准线的距离的比也是离心率，这也是离心率的一个几何性质．椭圆的离心率反映了椭圆的扁平程度，它也沟通了椭圆上点的焦半径｜PF｜与到相应准线距离d之间的关系．左焦半径公式是|PF1|＝a＋ex0，右焦半径公式是|PF2|＝a－ex0．焦半径公式除计算有关距离问题外还证明了椭圆上离焦点距离最远(近)点实为长轴端点．椭圆的准线方程为x＝±，但必须注意这是椭圆的中心在原点，焦点在x轴上时的结论．。

(公开课)2.1.2椭圆的简单几何性质

应用
利用椭圆的对称性，可以方便地找到椭圆上的点或线段。
椭圆的顶点与端点
定义
椭圆的顶点是椭圆与坐标轴的交点，而端点是椭圆上离原点最近的两个点。
性质
椭圆的顶点与端点是关于原点对称的，且它们的坐标分别为(±a,0)和(0,±b)。
应用
利用椭圆的顶点和端点，可以方便地计算椭圆上其他点的坐标。
当离心率接近1时，椭圆变得扁平；当离心率接近0时，椭圆接近于圆。
离心率是用于描述椭圆扁平程度的量，记作$e$，定义为$e = frac{c}{a}$。
03 椭圆的几何性质
椭圆的对称性
01
02
03
定义
椭圆关于坐标轴和原点对称。
性质
椭圆的长轴和短轴分别在 x轴和y轴上，且长轴和短轴的长度分别为a和b，其中a>b。
05 椭圆的实际应用
天文观测中的椭圆
太阳系行星轨道
哈勃太空望远镜的观测
行星绕太阳的轨道是椭圆形，椭圆的离心率描述了行星轨道的偏心率，决定了行星的轨道形状。
哈勃太空望远镜观测到的星系和星团中，很多天体的运动轨迹呈现椭圆形。
天体距离的测量
通过观察天体在椭圆轨道上的运动，可以测量出天体之间的距离和相对位置。
+ frac{y^2}{b^2} = 1$，其中$a$和$b$分别是椭圆的长半轴和短半轴。
03
椭圆的几何性质
包括椭圆的对称性、范围、顶点、焦点等。
下节课预告与预习建议
下节课内容
椭圆的焦点性质和准线方程。
预习建议
提前了解椭圆的焦点和准线的概念，以及它们在几何性质中的作用。同时，可以尝试自己推导椭圆的焦点和准线方程，以便更好地理解其几何意义。

高中数学课件____2.2.2椭圆的简单几何性质2-第二定义

这是椭圆的标准方程，所以点M的轨迹是长轴、短轴长
分别为2a、 2b的椭圆.
椭圆的第二定义：
椭圆是平面内与一个定点的距离和它到一条 c 定直线的距离的比是常数e (0 e 1) a 的点的轨迹。
注：我们一般把这个定义称为椭圆的第二定义，
定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线。
解：设d是点M直线l的距离，根据题意，所求轨迹就是集合 MF c P M , d a 由此可得：
( x - c )2 y 2 a2 -x c
c . a
将上式两边平方，并化简，得
（a 2 - c 2 ) x 2 a 2 y 2 a 2 (a 2 - c 2 ). 设a 2 - c 2 b 2 , 则方程可化成 x2 y2 2 1(a b 0). 2 a b
a2=b2+c2
巩固练习
1、若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则其离心率
为
2 2
。
2、若椭圆的的两个焦点把长轴分成三等分，则其
离心率为
1 3
。
3、若某个椭圆的长轴、短轴、焦距依次成等差数
3 列，则其离心率e=__________ 5
25 例 2:点M (x, y )与定点F (4, 0)的距离和它到直线l : x 4 4 的距离的比是常数 ,求点M 的轨迹. 25 5
（3）若点M ( x, y )与定点F (-c， 0)的距离和它到定直线 a2 c l : x - 的距离的比是常数 (a c 0)，此时点M的 c a 轨迹还是同一个椭圆吗？ a2 （4）当定点改为 F (0， - c )，定直线改为 l : y - 时，对应 c 的轨迹方程又是怎样呢？

人教课标版高中数学选修2-1《椭圆的简单几何性质(第2课时)》教学设计

2.2.2 椭圆的简单几何性质（第二课时）一、教学目标（一）学习目标1.理解直线与椭圆的位置关系；2.会进行位置关系的判断，计算弦长.（二）学习重点理解直线与椭圆的位置关系，会判定及应用（三）学习难点应用代数方法进行判定，相关计算的准确性，理解用方程思想解决直线与圆锥曲线的位置关系.二.教学设计（一）预习任务设计1.预习任务写一写：直线与椭圆的位置关系设直线:l y kx m =+，椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>，联立 2222222222222()201y kx m a k b x a kmx a m a b x y ab =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩2222224()a b a k b m ⇒∆=+- 若0∆=，则直线和椭圆有唯一公共点，直线和椭圆相切；若0∆>，则直线和椭圆有两个公共点，直线和椭圆相交；若0∆<，则，直线和椭圆没有公共点，直线和椭圆相离 .2.预习自测（1）直线1y kx k =-+与椭圆22123x y +=的位置关系是（） A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定【知识点】直线与椭圆位置关系.【解题过程】直线(1)1y k x =-+恒过定点(1,1).由11123+<可知：点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交.【思路点拨】注意利用点在椭圆内判断直线与椭圆相交.【答案】A（2）判断（正确的打“√”，错误的打“×”） ①已知椭圆22221x y a b+=(0)a b >>与点(,0)P b ，过点P 可作出该椭圆的一条切线.（）②直线()y k x a =-与椭圆22221x y a b+=的位置关系是相交.（）【知识点】直线与椭圆位置关系.【解题过程】点(,0)P b 在椭圆22221x y a b+=内部，故过P 不能作出椭圆的切线；直线()y k x a =-恒过点(,0)a ，而(,0)a 为椭圆22221x y a b+=的有顶点，过直线()y k x a =-一定与椭圆相交.【思路点拨】注意利用点在椭圆内判断直线与椭圆相交.【答案】①×；②√.（3）直线1y mx =+与椭圆2241x y +=有且只有一个交点，则2m =（） A.21 B.32 C.43 D.54 【知识点】直线与椭圆的位置关系.【解题过程】联立方程22141y mx x y =+⎧⎨+=⎩得：22(14)830m x mx +++=. 由条件知：226412(14)0m m ∆=-+=，解得：234m =. 【思路点拨】利用∆判断直线与椭圆的位置关系.【答案】C（4）椭圆13422=+y x 长轴端点为M 、N ，不同于M 、N 的点P 在此椭圆上，那么PM 、PN 的斜率之积为（）A.34-B.43-C.43D.34 【知识点】直线与椭圆.【解题过程】设00(,)P x y ，则，则2200334x y =-，故00003224PM PN y y k k x x ⋅=⋅=-+- 【思路点拨】按照题意直接代入求解即可.【答案】A（二）课堂设计1. 知识回顾（1）椭圆的简单几何性质；（2）直线与圆的位置关系.2. 新知讲解探究一：探究直线与椭圆的位置关系●活动① 复习回顾，类比学习我们学习过直线与圆的位置关系及判定，请你回忆相关知识.（1）直线与圆有三种位置关系分别是相离（没有公共点）、相切（一个公共点）、相交（两个公共点）.（2）判定方法有两种：代数法、几何法.那么直线与椭圆又有什么样的位置关系呢？又该如何来判定直线与椭圆的位置关系呢？【设计意图】由已有的知识类比迁移到新知识.●活动② 思考交流，结论形成通过画图我们看到，直线与椭圆的位置关系也可以归纳为相离，相切和相交，请你类比直线和圆的相离、相切、相交的定义来对直线和椭圆相离，相切和相交进行定义.学生交流，自由发言，教师适时引导，得出结论.直线与椭圆没有公共点⇔直线与椭圆相离；直线与椭圆有一个公共点⇔直线和椭圆相切；直线与椭圆有两个公共点⇔直线与椭圆相交.通过公共点的个数可以判断直线和椭圆的位置关系，如何确定公共点的个数呢？你有什么办法呢？例 1.判断直线123:1;:3;:3l y x l y x l y =+=-+=+与椭圆2214x y +=的位置关系.【知识点】直线与椭圆的位置关系.课堂活动：学生完成练习，根据学生的解题情况引入代数方法.在巡视过程中，大部分学生采用的是代数的方法，及个别的学生画出了图像，但第三条直线与椭圆的位置关系学生画图的很少，但利用代数方法研究的同学也没有得到结论.【解题过程】将直线与椭圆方程联立，根据判别式∆判断，123,,l l l 分别与椭圆的关系为：相交、相离和相切.【思路点拨】利用∆判断直线与椭圆的位置关系.【答案】123,,l l l 分别与椭圆的关系为：相交、相离和相切请你说说如何利用代数方法来进行直线和椭圆的位置关系的判断？直线与椭圆的位置关系的研究方法可通过代数方法即解方程组的办法来研究.因为方程组解的个数与交点的个数是一样的.直线与椭圆的位置关系的判定方法：直线与椭圆的位置关系设直线:l y kx m =+，椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>，联立 2222222222222()201y kx m a k b x a kmx a m a b x y ab =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩2222224()a b a k b m ⇒∆=+- （1）0∆>，方程有两个不等的实数根⇔有两个公共点⇔相交；（2）0∆=，方程有两个相等的实数根⇔有一个公共点⇔相切；（3）0∆<，方程没有实数根⇔没有公共点⇔相离.【设计意图】以旧带新，学生易于理解.同类训练已知椭圆2241x y +=及直线y x m =+，当m 为何值时，直线与椭圆相切？【知识点】直线与椭圆的位置关系【解题过程】解方程组2241x y y x m⎧+=⎨=+⎩，消去y ，整理得225210x mx m ++-=， 222420(1)2016m m m ∆=--=-，由0∆=得220160m -=，解得m =【思路点拨】用方程实根个数刻画直线和圆锥曲线的位置关系，是研究直线和圆锥曲线位置关系的通法.探究二：计算椭圆的弦长●活动① 互动交流，形成结论例2. 已知斜率为2的直线经过椭圆22154x y +=的右焦点2F ，与椭圆交于,A B 两点，求AB 的长.【提出问题】本题的解决需要什么条件？如何由题目所给的条件去求得？前面的学习中遇到过类似的问题吗？当时是怎么解决的，方法能不能拿来一用？【知识点】直线与椭圆相交【解题过程】由条件知2(1,0)F ，故直线AB 方程为：22y x =-.设1122(,),(,)A x y B x y . 联立方程组2222154y x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 可得：2350x x -=. 法一：由2350x x -=得：1250,3x x ==，从而54(0,2),(,)33A B -. ||AB ∴== 法二：由2350x x -=得：12125,03x x x x +==. 2||=AB x ∴==-. 【思路点拨】初学者常想到求直线和椭圆的交点，然后利用两点间距离公式求弦长，此种方法仅当直线方程和椭圆方程简单时，易得交点坐标，一般情况不采用此法.弦长公式：2||AB x =-，其中k 为直线AB 的斜率，1122(,),(,)A x y B x y .【设计意图】由特殊到一般，让学生体会韦达定理的应用及解析几何中“设而不求，整体代入”的解题思路.同类训练已知椭圆2241x y +=及直线y x m =+，求直线被椭圆截得最长弦所在直线方程.【知识点】直线与椭圆相交弦长公式.【解题过程】由题意2241x y y x m⎧+=⎨=+⎩得225210x mx m ++-=，由韦达定理得122122515m x x m x x ⎧+=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩， ∴弦长l === 当0m =时，l，此时直线方程为y x =. 【思维点拨】当直线与椭圆相交时，求弦长时，联立直线方程和椭圆方程，利用韦达定理，就可以直接利用弦长公式求得弦长.●活动② 强化提升，灵活应用例3. 已知椭圆2212x y += （1）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（2）过(2,1)A 的直线l 与椭圆相交，求l 被截得的弦的中点轨迹方程；【知识点】直线与椭圆相交，曲线的方程.【解题过程】解：（1）设斜率为2的直线方程为2y x b =+.由22212y x b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2298220x bx b ++-=，由22(8)36(22)0b b ∆=-->，得33b -<<.设该弦的端点坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，则12429x x b +=-，444393b -<-<. 设弦的中点坐标为(,)M x y ，则1249,294x x b x b x +==-=-，代入2y x b =+，得4440()33x y x +=-<<为所求轨迹方程. （2）设l 与椭圆的交点为1122(,),(,)x y x y ，弦的中点为(,)x y ，则221122221212x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减并整理得12121212()()2()()0x x x x y y y y -++-+=.又12122,2x x x y y y +=+=121212122()4()=0,()20()x x x y y y y y x y x x ∴-+--+⋅=-① 由题意知1212()1()2y y y x x x --=--，代入①得1202y x y x -+⋅=-. 化简得222220x y x y +--=.∴所求轨迹方程为222220x y x y +--=（夹在椭圆内的部分）.【思路点拨】例3（2）解题方法叫做“点差法”，点差法充分体现了“设而不求”的数学思想.【答案】222220x y x y +--=.同类训练已知定点)01(，-C 及椭圆5322=+y x ，过点C 的动直线与椭圆相交于A B ，两点，若线段AB 中点的横坐标是12-，求直线AB 的方程. 【知识点】直线与椭圆的位置关系.【解题过程】依题意，直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为(1)y k x =+，将(1)y k x =+代入5322=+y x ，消去y 整理得2222(31)6350.k x k x k +++-=设1122() () A x y B x y ，，，，则4222122364(31)(35)0 (1) 6. (2)31k k k k x x k ⎧∆=-+->⎪⎨+=-⎪+⎩，由线段AB 中点的横坐标是12-，得2122312312x x k k +=-=-+，解得k =，适合(1). 所以直线AB 的方程为10x +=，或10x ++=.【思维点拨】解决直线和圆锥曲线的相关问题时，韦达定理得应用十分广泛，此题干中涉及中点问题，自然联想到12x x +韦达定理结构.【答案】10x -+=，或10x +=.3.课堂总结知识梳理（1）直线与椭圆的位置关系0∆>，方程有两个不等的实数根⇔有两个公共点⇔相交；0∆=，方程有两个相等的实数根⇔有一个公共点⇔相切；0∆<，方程没有实数根⇔没有公共点⇔相离.（2）弦长公式：2||AB x =-，其中k 为直线AB 的斜率，1122(,),(,)A x y B x y .重难点归纳（1）用方程实根个数刻画直线和圆锥曲线的位置关系，是研究直线和圆锥曲线位置关系的通法；（2）涉及弦中点的问题，常用点差法处理.（三）课后作业基础型自主突破1.若点P (a,1)在椭圆x 22＋y 23＝1的外部，则a 的取值范围为（）A.(－233，233)B.(233，＋∞)∪(－∞，－233)C.(43，＋∞)D.(－∞，－43)【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】因为点P 在椭圆x 22＋y 23＝1的外部，所以a 22＋123>1，解得a >233或a <－233，故选B.【思路点拨】根据点与椭圆的位置关系建立不等式求解.【答案】B 2.点P 为椭圆x 25＋y 24＝1上一点，以点P 及焦点F 1、F 2为顶点的三角形的面积为1，则P 点的坐标为（）A.(±152，1)B.(152，±1)C.(152，1)D.(±152，±1)【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】设P (x 0，y 0)，∵a 2＝5，b 2＝4，∴c ＝1，∴12PF F S ∆=12|F 1F 2|·|y 0|＝|y 0|＝1，∴y 0＝±1，∵x 205＋y 204＝1，∴x 0＝±152.故选D.【思路点拨】焦点三角形面积计算以12||F F 为底边.【答案】D3.过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为（）A.22B.33C.12D.13【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】把x ＝－c 代入椭圆方程可得y c ＝±b 2a ， ∴|PF 1|＝b 2a ，∴|PF 2|＝2b 2a ，故|PF 1|＋|PF 2|＝3b 2a ＝2a ，即3b 2＝2a 2. 又∵a 2＝b 2＋c 2，∴3(a 2－c 2)＝2a 2，∴(c a )2＝13，即e ＝33.【思路点拨】利用椭圆定义和几何关系解题.【答案】B4.如图F 1、F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以|OF 1|为半径的圆与该左半椭圆的两个交点，且△F 2AB 是等边三角形，则椭圆的离心率为（）A.32B.12C.22D.3－1【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】连接AF 1，由圆的性质知，∠F 1AF 2＝90°，又∵△F 2AB 是等边三角形，∴∠AF 2F 1＝30°，∴AF 1＝c ，AF 2＝3c ，∴e ＝c a ＝2c 2a ＝2c c ＋3c＝3－1.故选D.【思路点拨】利用圆的几何性质和椭圆离心率的定义. 【答案】D5.若过椭圆x 216＋y 24＝1内一点(2,1)的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是_____________.【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】设弦两端点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 2116＋y 214＝1，x 2216＋y 224＝1，两式相减并把x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2代入得，y 1－y 2x 1－x 2＝－12， ∴所求直线方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0. 【思路点拨】中点弦问题灵活利用点差法. 【答案】x ＋2y －4＝0.6.设F 1、F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右两个焦点，若椭圆C 上的点A (1，32)到F 1、F 2两点的距离之和为4，则椭圆C 的方程是________，焦点坐标是________.【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】由|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝4得a ＝2. ∴原方程化为：x 24＋y 2b 2＝1，将A (1，32)代入方程得b 2＝3.∴椭圆方程为：x 24＋y 23＝1，焦点坐标为(±1,0). 【思路点拨】把握椭圆的定义解题. 【答案】x 24＋y 23＝1；(±1,0). 能力型师生共研7.设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax 2＋bx －c＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)（） A.必在圆x 2＋y 2＝2上 B.必在圆x 2＋y 2＝2外 C.必在圆x 2＋y 2＝2内 D.以上三种情形都有可能【知识点】椭圆的几何性质. 【解题过程】e ＝12⇒c a ＝12⇒c ＝a2， a 2－b 2a 2＝14⇒b 2a 2＝34 ⇒b a ＝32⇒b ＝32a .∴ax 2＋bx －c ＝0⇒ax 2＋32ax －a2＝0⇒x 2＋32x －12＝0，x 1＋x 2＝－32，x 1x 2＝－12， ∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝34＋1＝74<2. ∴在圆x 2＋y 2＝2内，故选C.【思路点拨】简化,,a b c 关系将方程具体化. 【答案】C8.如图，在椭圆中，若AB ⊥BF ，其中F 为焦点，A 、B 分别为长轴与短轴的一个端点，则椭圆的离心率e ＝________.【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，则有A (－a,0)，B (0，b )，F (c,0)，由AB ⊥BF ，得k AB ·k BF ＝－1，而k AB ＝b a ，k BF ＝－b c 代入上式得()1b b a c -=-，利用b 2＝a 2－c 2消去b 2，得a c －c a ＝1，即1e －e ＝1，解得e ＝－1±52，∵e>0，∴e ＝5－12.【思路点拨】利用椭圆几何性质解题. 【答案】e ＝5－12.探究型多维突破9.已知过点A (－1,1)的直线l 与椭圆x 28＋y 24＝1交于点B ，C ，当直线l 绕点A (－1,1)旋转时，求弦BC 中点M 的轨迹方程. 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】设直线l 与椭圆的交点B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，弦BC 的中点M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 218＋y 214＝1，①x 228＋y 224＝1，②①－②，得(x 218－x 228)＋(y 214－y 224)＝0，∴(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.③当x 1≠x 2时，③式可化为(x 1＋x 2)＋2(y 1＋y 2)·y 2－y 1x 2－x 1＝0.∵x 1＋x 22＝x ，y 1＋y 22＝y ，y 2－y 1x 2－x 1＝y －1x ＋1，∴2x ＋2·2y ·y －1x ＋1＝0，化简得x 2＋2y 2＋x －2y ＝0.当x 1＝x 2时，∵点M (x ，y )是线段BC 中点， ∴x ＝－1，y ＝0，显然适合上式.综上所述，所求弦中点M 的轨迹方程是x 2＋2y 2＋x －2y ＝0. 【思路点拨】弦中点问题灵活利用点差法解题. 【答案】x 2＋2y 2＋x －2y ＝0.10.已知椭圆方程22123x y +=，试确定m 的范围，使椭圆上存在两个不同点关于直线4y x m =+对称.【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】设点1122(,),(,)A x y B x y 为椭圆上点，且关于直线4y x m =+对称,另设AB 中点坐标为00(,)M x y则22112222123123x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩作差得1212121211023y y y y x x x x -++⋅=-+ 01212121203322AB y y y y y k x x x x x -+⇒⋅=-⇒⋅=--+ ① 1122(,),(,)A x y B x y 关于直线4y x m =+对称，14AB k ∴=-，代入①式得006y x = ②易知点00(,)M x y 必在直线4y x m =+上，004y x m ∴=+ ③ 联立②③解得(,3)2mM m AB 为椭圆的弦，∴中点M 必在椭圆内， 22()(3)2123m m ∴+<，m <<【思路点拨】注意利用弦的中点在椭圆内部建立不等关系解题.【答案】m <<自助餐1.已知m 、n 、m ＋n 成等差数列，m 、n 、mn 成等比数列，则椭圆x 2m ＋y 2n ＝1的离心率为（）A.12B.33C.22D.32【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】由已知得⎩⎨⎧2n ＝m ＋m ＋n ，n 2＝m 2n .解得⎩⎨⎧m ＝2，n ＝4.∴e ＝n －m n ＝22，故选C.【思路点拨】利用离心率的定义. 【答案】C2.AB 为过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1中心的弦，F (c,0)为椭圆的左焦点，则△AFB 的面积最大值是（）A.b 2B.bcC.abD.ac 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】S △ABF ＝S △AOF ＋S △BOF ＝12|OF |·|y A －y B |，当A 、B 为短轴两个端点时，|y A －y B |最大，最大值为2b . ∴△ABF 面积的最大值为bc .【思路点拨】椭圆几何性质把握图形中的几何关系. 【答案】B3.在△ABC 中，AB ＝BC ，cos B ＝－718.若以A ，B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e ＝（）A.34B.37C.38D.318 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】设|AB |＝x >0，则|BC |＝x ， AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B＝x 2＋x 2－2x 2·(－718)＝259x 2，∴|AC |＝53x ，由条件知，|CA |＋|CB |＝2a ，AB ＝2c ， ∴53x ＋x ＝2a ，x ＝2c ，∴e ＝c a ＝2c 2a ＝x 83x ＝38.【思路点拨】注意转化为椭圆的定义. 【答案】C4.若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为（）A.2B.3C.6D.8 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】由题意可知O (0,0)，F (－1,0)，设点P 为(x ，y )，则OP →＝(x ，y )， FP →＝(x ＋1，y )，∴OP →·FP→＝x (x ＋1)＋y 2＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3－34x 2 ＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2. ∵x ∈[－2,2]，∴当x ＝2时，OP →·FP →取最大值.(OP →·FP →)max＝14(2＋2)2＋2＝6，故选C. 【思路点拨】数量积问题坐标化处理. 【答案】C5.设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(0,4)，离心率为35. （1）求椭圆C 的方程；（2）求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标. 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】（1）将点(0,4)代入椭圆C 的方程，得16b 2＝1，∴b ＝4，又e ＝c a ＝35，则a 2－b 2a 2＝925，∴1－16a 2＝925，∴a ＝5， ∴椭圆C 的方程为x 225＋y 216＝1.（2）过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)，设直线与椭圆C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入椭圆方程得22(3)12525x x -+=，即x 2－3x －8＝0，由韦达定理得x 1＋x 2＝3，所以线段AB 中点的横坐标为x 1＋x 22＝32，纵坐标为45(32－3)＝－65，即所截线段的中点坐标为(32，－65).【思路点拨】直线与椭圆相交注意利用韦达定理解题. 【答案】见上6.设12F F 、是椭圆:E 2221(01)y x b b+=<<的左、右焦点，过1F 的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且22||,||,||AF AB BF 成等差数列. （1）求||AB ；（2）若直线l 的斜率为1，求b 得值. 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】（1）由椭圆定义知：22||||||4AF AB BF ++=，又222||||||AB AF BF =+，得4||3AB =. （2）l 的方程为y x c =+，其中c =设1122(,),(,)A x y B x y ，则2221y x c y x b =+⎧⎪⎨+=⎪⎩化简得222(1)2120b x cx b +++-=，则2121222212,11c b x x x x b b--+==++ 因为直线AB 的斜率为1，所以21|||AB x x =-，即214||3x x -.则224212122222284(1)4(12)8()49(1)(1)(1)b b b x x x x b b b --=+-=-=+++，解得b =【思路点拨】将弦长||AB 从两个不同角度考虑，建立等式解题. 【答案】见上。

3.1.2椭圆的简单几何性质第二课时(直线与椭圆的位置关系和点差法解决中点弦长)课件-高二上学期数学

又m 0且m 5. m的范围是 [4,5) (5,).
椭圆定线不定
变式.无论k取何值, 直线y
kx 1与曲线 x2 9
y2 4
1的交点个数是 __1_或__2.
析 : 直线所过定点(0,1)在椭圆上或联立消y得(4 9k 2 )x2 36kx 0
362 k 2 0
变式.直线y kx 1与椭圆 x2 y2 1总有公共点,则m的范围是 __ . 5m
l
(2) 它到直线l的距离最大？最大距离是多少？
解2: 设椭圆上任一点的坐标为P(5cos , 3sin ).
•P
∴点P到直线l的距离为
F• 1 O
d | 20cos 15sin 40 | | 25cos( ) 40 | (其中tan 3)
42 52
41
4
•
F2
x
当cos( ) 1时，dmin
此时 cos cos
6 , sin sin
3.
∴P( 2
3 ,
3 ).
3
3
33
椭圆上存在点P( 2 3 , 3 )到直线l的距离最小, 且最小距离为 2 2 6 .
33
2
总结：判断直线与椭圆的位置关系的方法 [注意] 方程组解的个数与直线与椭圆的公共点的个数之间是等价关系．
椭圆的弦长
回忆：直线与圆的位置关系问题1：直线与圆的位置关系有哪几种？
问题2：怎么判断它们之间的位置关系？
几何法： d>r
d=r
d<r
代数法： ∆<0
∆=0
∆>0
类比思考
1.直线与椭圆的位置关系有哪几种?
相交
相切
相离

高中数学 2.1.2 第2课时椭圆的简单几何性质教案选修1-1

第2课时椭圆方程及性质的应用(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能掌握利用根的判别式判断直线与椭圆位置关系的方法，初步探寻弦长公式有关知识．2．过程与方法通过问题的提出与解决，培养学生探索问题、解决问题的能力．领悟数形结合和化归等思想．3．情感、态度与价值观培养学生自主参与意识，激发学生探索数学的兴趣．●重点、难点重点：掌握直线与椭圆位置关系的判断方法，注意数形结合思想的渗透．难点：应用直线与椭圆位置关系的知识解决一些简单几何问题和实际问题．教学内容是在熟练椭圆方程与性质的基础上的习题课，涉及直线与椭圆的位置关系、椭圆的实际应用问题，掌握好椭圆方程与性质，类比直线与圆的位置关系的研究方法是突破重点与难点的关键．(教师用书独具)●教学建议由于学生已经学习了直线与圆位置关系及相关知识的推导及运用过程，但大部分还停留在经验基础上，主动迁移能力、整合能力较弱，所以本节课宜采用启发引导式教学；同时借助多媒体，充分发挥其形象、生动的作用．●教学流程创设问题情境，引出命题：能否用几何法判断直线与椭圆的位置关系？⇒引导学生结合以前学习过的直线与圆的位置关系，通过比较、分析，得出判断方法——代数法.⇒引导学生分析代数法判断直线与椭圆位置关系的步骤，引出解题关键与注意事项.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握直线与椭圆相交、相切、相离的条件及应用.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握直线与椭圆相交问题，学会求直线方程和弦长的方法.⇒错误!⇒错误!⇒错误!(对应学生用书第25页)课标解读1.掌握椭圆的方程及其性质的应用．(重点)2．掌握直线与椭圆位置关系的判断方法，初步探寻弦长公式．(难点)点与椭圆的位置关系【问题导思】点与椭圆有几种位置关系？【提示】三种位置关系：点在椭圆上，点在椭圆内，点在椭圆外．设点P (x 0，y 0)，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．(1)点P 在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1；(2)点P 在椭圆内⇔x 20a 2＋y 20b 2＜1；(3)点P 在椭圆外⇔x 20a 2＋y 20b2＞1.直线与椭圆的位置关系【问题导思】1．直线与椭圆有几种位置关系？【提示】三种位置关系：相离、相切、相交．2．我们知道，可以用圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的大小关系判断直线与圆的位置关系，这种方法称为几何法，能否用几何法判断直线与椭圆的位置关系？【提示】不能．3．用什么方法判断直线与椭圆的位置关系？【提示】代数法．直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的位置关系联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y2b 2＝1，消y 得一个一元二次方程．位置关系解的个数 Δ的取值相交两解 Δ＞0 相切一解 Δ＝0 相离无解Δ＜0(对应学生用书第26页)直线与椭圆的位置关系的判定当m 为何值时，直线y ＝x ＋m 与椭圆x 24＋y 2＝1相交、相切、相离？【思路探究】错误!→错误!→错误!→错误! 【自主解答】联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ， ①x 24＋y 2＝1， ②将①代入②得x 24＋(x ＋m )2＝1，整理得5x 2＋8mx ＋4m 2－4＝0③Δ＝(8m )2－4×5(4m 2－4)＝16(5－m 2)．当Δ＞0，即－5＜m ＜5时，方程③有两个不同的实数根，代入①可得到两个不同的公共点坐标，此时直线与椭圆相交；当Δ＝0，即m ＝－5或m ＝5时，方程③有两个相等的实数根，代入①可得到一个公共点坐标，此时直线与椭圆相切；当Δ＜0，即m ＜－5或m ＞5时，方程③没有实数根，直线与椭圆相离．判断直线与椭圆位置关系的步骤：试判断直线y ＝x －12与椭圆x 2＋4y 2＝2的位置关系．【解】联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －12，x 2＋4y 2＝2，消去y ，整理得5x 2－4x －1＝0，(*)Δ＝(－4)2－4×5×(－1)＝36＞0，即方程(*)有两个实数根，所以方程组有两组解，即直线和椭圆相交．直线与椭圆相交问题已知椭圆x 236＋y 29＝1和点P (4,2)，直线l 经过点P 且与椭圆交于A ，B 两点．(1)当直线l 的斜率为12时，求线段AB 的长度；(2)当P 点恰好为线段AB 的中点时，求l 的方程．【思路探究】 (1)你能写出直线方程吗？怎样求此直线在椭圆上截得的弦长的长度？ (2)点P 与A 、B 的坐标之间有怎样的关系？能否用根与系数的关系求得直线的斜率？【自主解答】 (1)由已知可得直线l 的方程为y －2＝12(x －4)，即y ＝12x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ，x 236＋y 29＝1，可得x 2－18＝0，若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－18. 于是|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝x 1－x 22＋14x 1－x 22＝52x 1＋x 22－4x 1x 2＝52×62＝310. 所以线段AB 的长度为310.(2)法一：设l 的斜率为k ，则其方程为y －2＝k (x －4)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 29＝1，y －2＝k x －4，消去y 得(1＋4k 2)x 2－(32k 2－16k )x ＋(64k 2－64k －20)＝0. 若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝32k 2－16k 1＋4k 2，由于AB 的中点恰好为P (4,2)，所以x 1＋x 22＝16k 2－8k 1＋4k 2＝4，解得k ＝－12.这时直线l 的方程为y －2＝－12(x －4)，即y ＝－12x ＋4.法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 2136＋y 219＝1，x 2236＋y229＝1，两式相减得x 22－x 2136＋y 22－y 219＝0.由于P (4,2)是AB 的中点，∴x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，从而(x 2－x 1)＋2(y 2－y 1)＝0，k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－12，于是直线AB ，即为l 的方程为y －2＝－12(x －4)，即y ＝－12x ＋4. 1．求直线与椭圆相交所得弦长问题，通常解法是将直线方程与椭圆方程联立，然后消去y (或x )得到关于x (或y )的一元二次方程，根据两点间的距离公式以及根与系数的关系求解．也可以直接代入弦长公式：|P 1P 2|＝1＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋1k 2y 1＋y 22－4y 1y 2求解．2．解决直线与椭圆相交弦的中点有关的问题时，通常有两种方法：法一：由直线的方程与椭圆的方程组成的方程组消去y 后转化为关于x 的一元二次方程，再利用根与系数的关系，运用中点坐标公式建立方程组求解．法二：通过弦AB 的端点的坐标是椭圆的方程的解，得到两个“对称方程”，然后将两个方程相减，再变形运算转化为直线的斜率公式，这种方法通常称为“点差法”．过点P (－1,1)的直线与椭圆x 24＋y 22＝1交于A ，B 两点，若线段AB 的中点恰为点P ，求AB 所在的直线方程及弦长|AB |.【解】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由于A ，B 两点在椭圆上， ∴x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4. 两式相减，得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋2(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0 ①显然x 1≠x 2，故由①得：k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 22y 1＋y 2. ②又点P (－1,1)是弦AB 的中点， ∴x 1＋x 2＝－2，y 1＋y 2＝2. ③把③代入②得：k AB ＝12，∴直线AB 的方程为y －1＝12(x ＋1)，即x －2y ＋3＝0由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3＝0，x 24＋y22＝1，消去y 得3x 2＋6x ＋1＝0，∴x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝13，|AB |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋14·243＝303.与椭圆相关的实际应用问题图2－1－3如图2－1－3，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状．若最大拱高h 为6米，则隧道设计的拱宽l 是多少？【思路探究】恰当建系→设椭圆方程→错误!→错误!→错误!【自主解答】如图建立直角坐标系，则点P (11,4.5)，椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1.∵P (11,4.5)在椭圆上， ∴112a 2＋4.52b2＝1，又b ＝h ＝6代入①式，得a ＝4477.此时l ＝2a ＝8877≈33.3(米)．因此隧道的拱宽约为33.3米．1．解答与椭圆相关的应用问题，事物的实际含义向椭圆的几何性质的转化是关键，其次要充分利用椭圆的方程对变量进行讨论，以解决实际问题．2．实际问题中，最后的结论不可少，一定要结合实际问题中变量的含义做出结论．有一椭圆形溜冰场，长轴长100 m ，短轴长60 m ，现要在这个溜冰场上划定一个各顶点都在溜冰场边界上的矩形区域，且使这个区域的面积最大，应把这个矩形的顶点定位在何处？这时矩形的周长是多少？【解】分别以椭圆的长轴、短轴各自所在的直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，设矩形ABCD 的各顶点都在椭圆上．因为矩形的各顶点都在椭圆上，而矩形是中心对称图形，又是以过对称中心且垂直其一边的直线为对称轴的轴对称图形，所以矩形ABCD 关于原点O 及x 轴，y 轴都对称．已知椭圆的长轴长2a ＝100 m ，短轴长2b ＝60 m ，则椭圆的方程为x 2502＋y 2302＝1.考虑第一象限内的情况，设A (x 0，y 0)，则有1＝x 20502＋y 20302≥2x 20502·y 20302＝2x 0y 01 500，当且仅当x 20502＝y 20302＝12，即x 0＝252，y 0＝152时，等号成立，此时矩形ABCD 的面积S ＝4x 0y 0取最大值3 000 m 2.这时矩形的周长为4(x 0＋y 0)＝4(252＋152)＝160 2 (m).(对应学生用书第27页) 运用“设而不求”法研究直线和椭圆位置关系问题(12分)(2013·本溪高二检测)已知椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，过点A (－a,0)，B (0，b )的直线倾斜角为π6，原点到该直线的距离为32.(1)求椭圆的方程；(2)斜率大于零的直线过D (－1,0)与椭圆分别交于点E ，F ，若ED →＝2DF →，求直线EF 的方程；(3)对于D (－1,0)，是否存在实数k ，使得直线y ＝kx ＋2分别交椭圆于点P ，Q ，且|DP |＝|DQ |，若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由．【思路点拨】【规范解答】 (1)由b a ＝33，12ab ＝12×32×a 2＋b 2，得a ＝3，b ＝1，所以椭圆的方程是x 23＋y 2＝1.2分(2)设EF ：x ＝my －1(m ＞0)代入x 23＋y 2＝1，得(m 2＋3)y 2－2my －2＝0.设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)．由ED →＝2DF →，得y 1＝－2y 2，4分由y 1＋y 2＝－y 2＝2m m 2＋3，y 1y 2＝－2y 22＝－2m 2＋3得 (－2m m 2＋3)2＝1m 2＋3，∴m ＝1，m ＝－1(舍去)，直线EF 的方程为x ＝y －1，即x －y ＋1＝0. 7分(3)记P (x ′1，y ′1)，Q (x ′2，y ′2)．将y ＝kx ＋2代入x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋12kx＋9＝0(*)，x ′1，x ′2是此方程的两个相异实根．设PQ 的中点为M ，则x M ＝x ′1＋x ′22＝－6k 3k 2＋1，y M ＝kx M ＋2＝23k 2＋1.由|DP |＝|DQ |，得DM ⊥PQ ，∴k DM ＝y M x M ＋1＝23k 2＋1－6k 3k 2＋1＋1＝－1k，∴3k 2－4k ＋1＝0，得k ＝1或k ＝13.10分但k ＝1，k ＝13均不能使方程(*)有两相异实根，∴满足条件的k 不存在.1．直线和椭圆位置关系问题中设而不求、整体代换是常用的运算技巧，在解题中要注意运用．2．直线和椭圆相交时要切记Δ＞0是求参数范围的前提条件，不要因忘记造成不必要的失分．1．直线与椭圆的位置关系，可通过讨论椭圆方程与直线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常用消元后的关于x (或y )的一元二次方程的判别式Δ来判定．直线与椭圆相交的弦长公式： |P 1P 2|＝[x 1＋x 22－4x 1x 2]1＋k2或|P 1P 2|＝[y 1＋y 22－4y 1y 2]1＋1k 2.2．直线和椭圆相交时的弦的中点坐标或弦中点的轨迹方程常由韦达定理来解决，设点而不求点是解析几何中重要的解题方法．3．解决与椭圆有关的实际问题时首先要仔细审题，弄懂题意，再把实际问题中的量化归为椭圆的性质，从而得以解决.(对应学生用书第28页)1．下列在椭圆x 24＋y 22＝1内部的点为( )A ．(2，1)B ．(－2，1)C ．(2,1)D ．(1,1)【解析】点(2，1)，(－2，1)满足椭圆方程，故在椭圆上；把点(1,1)代入x 24＋y 22得：14＋12＝34＜1，故点(1,1)在椭圆内．【答案】 D2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1有两个顶点在直线x ＋2y ＝2上，则此椭圆的焦点坐标是( )A ．(±3，0)B ．(0，±3)C ．(±5，0)D ．(0，±5)【解析】 ∵直线x ＋2y ＝2过(2,0)和(0,1)点， ∴a ＝2，b ＝1，∴c ＝3，椭圆焦点坐标为(±3，0)．【答案】 A3．直线y ＝x ＋1被椭圆x 24＋y 22＝1所截得线段的中点的坐标是( )A ．(23，53)B ．(43，73)C ．(－23，13)D ．(－132，－172)【解析】联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 24＋y22＝1，消去y 得3x 2＋4x －2＝0.设交点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，中点M (x 0，y 0)．∴x 1＋x 2＝－43，x 0＝x 1＋x 22＝－23，y 0＝x 0＋1＝13，∴中点坐标为(－23，13)．【答案】 C4．直线2x －y －2＝0与椭圆x 25＋y 24＝1交于A 、B 两点，求弦长|AB |.【解】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0，x 25＋y24＝1，消去y 得3x 2－5x ＝0，则x 1＋x 2＝53，x 1·x 2＝0，∴|AB |＝1＋k 2AB ·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋22·532－4×0＝553.一、选择题1．点A (a,1)在椭圆x 24＋y 22＝1的内部，则a 的取值范围是( )A ．－2＜a ＜ 2B ．a ＜－2或a ＞ 2C ．－2＜a ＜2D ．－1＜a ＜1【解析】 ∵点A (a,1)在椭圆x 24＋y 22＝1内部，∴a 24＋12＜1.∴a 24＜12. 则a 2＜2，∴－2＜a ＜ 2. 【答案】 A2．已知直线y ＝kx ＋1和椭圆x 2＋2y 2＝1有公共点，则k 的取值范围是( ) A ．k ＜－22或k ＞22 B ．－22＜k ＜22 C ．k ≤－22或k ≥22D ．－22≤k ≤22【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＋2y 2＝1，得(2k 2＋1)x 2＋4kx ＋1＝0.∵直线与椭圆有公共点． ∴Δ＝16k 2－4(2k 2＋1)≥0，则k ≥22或k ≤－22. 【答案】 C3．直线l 交椭圆x 216＋y 212＝1于A ，B 两点，AB 的中点为M (2,1)，则l 的方程为( ) A ．2x －3y －1＝0 B ．3x －2y －4＝0 C ．2x ＋3y －7＝0D ．3x ＋2y －8＝0【解析】根据点差法求出k AB ＝－32，∴l 的方程为：y －1＝－32(x －2)．化简得3x ＋2y －8＝0. 【答案】 D4．若直线mx ＋ny ＝4和⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．2个B ．至多一个C ．1个D ．0个【解析】若直线与圆没有交点，则d ＝4m 2＋n 2＞2，∴m 2＋n 2＜4，即m 2＋n 24＜1.∴m 29＋n 24＜1，∴点(m ，n )在椭圆的内部，故直线与椭圆有2个交点．【答案】 A5．椭圆有如下的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后必过椭圆的另一个焦点．今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A ，B 是它的两个焦点，其长轴长为2a ，焦距为2c (a ＞c ＞0)，静放在点A 的小球(小球的半径不计)，从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是( )A ．2(a －c )B ．2(a ＋c )C ．4aD ．以上答案均有可能【解析】如图，本题应分三种情况讨论：当小球沿着x 轴负方向从点A 出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是2(a －c )；当小球沿着x 轴正方向从点A 出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是2(a ＋c )；当是其他情况时，从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是4a .【答案】 D 二、填空题6．(2013·济宁高二检测)已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为________．【解析】设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与直线方程联立消去x 得(a 2＋3b 2)y 2＋83b 2y ＋16b 2－a 2b 2＝0，由Δ＝0及c ＝2得a 2＝7，∴2a ＝27.【答案】 277．(2013·合肥高二检测)以等腰直角三角形ABC 的两个顶点为焦点，并且经过另一顶点的椭圆的离心率为________．【解析】当以两锐角顶点为焦点时，因为三角形为等腰直角三角形，故有b ＝c ，此时可求得离心率e ＝c a＝cb 2＋c2＝c2c＝22；同理，当以一直角顶点和一锐角顶点为焦点时，设直角边长为m ，故有2c ＝m,2a ＝(1＋2)m ，所以离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝m1＋2m＝2－1.【答案】2－1或228．(2013·石家庄高二检测)过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A 、B 两点，O 为原点，则△OAB 的面积为________．【解析】直线方程为y ＝2x －2，与椭圆方程x 25＋y 24＝1联立，可以解得A (0，－2)，B (53，43)，∴S △＝12|OF |·|y A －y B |＝53(也可以用设而不求的方法求弦长|AB |，再求出点O 到AB 的距离，进而求出△AOB 的面积)．【答案】 53三、解答题9．已知椭圆的短轴长为23，焦点坐标分别是(－1,0)和(1,0)． (1)求这个椭圆的标准方程；(2)如果直线y ＝x ＋m 与这个椭圆交于不同的两点，求m 的取值范围．【解】 (1)∵2b ＝23，c ＝1，∴b ＝3，a 2＝b 2＋c 2＝4. 故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 24＋y23＝1，消去y 并整理得7x 2＋8mx ＋4m 2－12＝0.若直线y ＝x ＋m 与椭圆x 24＋y 23＝1有两个不同的交点，则有Δ＝(8m )2－28(4m 2－12)＞0，即m 2＜7，解得－7＜m ＜7. 即m 的取值范围是(－7，7)．10．椭圆ax 2＋by 2＝1与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，C 是AB 的中点，若|AB |＝22，OC 的斜率为22，求椭圆的方程．【解】由⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋by 2＝1，x ＋y ＝1，得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则|AB |＝k 2＋1x 1－x 22＝2·4b 2－4a ＋bb －1a ＋b 2.∵|AB |＝22，∴a ＋b －aba ＋b ＝1.①设C (x ，y )，则x ＝x 1＋x 22＝ba ＋b，y ＝1－x ＝aa ＋b，∵OC 的斜率为22，∴a b ＝22. 代入①，得a ＝13，b ＝23.∴椭圆方程为x 23＋23y 2＝1.图2－1－411．(2013·亳州高二检测)如图2－1－4所示，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)过点(1，22)，离心率为22，左、右焦点分别为F 1、F 2.点P 为直线l ：x ＋y ＝2上且不在x 轴上的任意一点，直线PF 1和PF 2与椭圆的交点分别为A 、B 和C 、D ，O 为坐标原点． (1)求椭圆的标准方程；(2)设直线PF 1、PF 2的斜率分别为k 1、k 2. 证明：1k 1－3k 2＝2.【解】因为椭圆过点(1，22)，e ＝22，所以1a 2＋12b 2＝1，c a ＝22，又a 2＝b 2＋c 2，所以a ＝2，b ＝1，c ＝1，故所求椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明：设点P (x 0，y 0)，则k 1＝y 0x 0＋1，k 2＝y 0x 0－1，因为点P 不在x 轴上，所以y 0≠0，又x 0＋y 0＝2，所以1k 1－3k 2＝x 0＋1y 0－3x 0－1y 0＝4－2x 0y 0＝2y 0y 0＝2. (教师用书独具)(2012·北京高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为22.直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N .(1)求椭圆C 的方程； (2)当△AMN 的面积为103时，求k 的值．【解】 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝ 2.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，x 24＋y22＝1得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2.所以|MN |＝x 2－x 12＋y 2－y 12＝1＋k2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝21＋k 24＋6k21＋2k2.又因为点A (2,0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|k |1＋k2，所以△AMN 的面积为 S ＝12|MN |·d ＝|k |4＋6k 21＋2k 2. 由|k |4＋6k 21＋2k 2＝103，解得k ＝±1.(2013·济南高二检测)设F 1、F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过F 2的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，F 1到直线l 的距离为2 3.(1)求椭圆C 的焦距；(2)如果AF 2→＝2F 2B →，求椭圆C 的方程．【解】 (1)设焦距为2c ，由已知可得F 1到直线l 的距离3c ＝23，故c ＝2.所以椭圆C 的焦距为4.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知y 1＜0，y 2＞0. 直线l 的方程为y ＝3(x －2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －2，x 2a 2＋y 2b2＝1，得(3a 2＋b 2)y 2＋43b 2y －3b 4＝0.解得y 1＝－3b 22＋2a 3a 2＋b 2，y 2＝－3b 22－2a 3a 2＋b2. 因为AF 2→＝2F 2B →，所以－y 1＝2y 2.则3b 22＋2a 3a 2＋b 2＝2·－3b 22－2a3a 2＋b 2. 解得a ＝3.又b 2＝a 2－c 2＝9－4＝5. ∴b ＝ 5.故椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1.。

2.2.2椭圆的简单几何性质及其应用

2
2
2
2
标准方程图象
范围对称性顶点坐标焦点坐标半轴长焦距 a,b,c关系离心率
x2 y 2 2 1(a b 0) 2 a b
y 2 x2 2 1(a b 0) 2 a b
|x|≤ a,|y|≤ b
关于x轴，y轴，原点对称
|x|≤ b,|y|≤ a
四、椭圆的离心率
c 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比 e = ,叫做 a 椭圆的离心率．
[1]离心率的取值范围：因为 a > c > 0，所以0<e<1 [2]离心率对椭圆形状的影响：
观察思考：随着c的变化，b是如何变化的？椭圆的形状有何变化
1) c 越接近 a，e就越接近 1，b就越小，椭圆就越扁 2)c 越接近 0，e就越接近 0，b就越大，椭圆就越圆 3)c=0(即两个焦点重合）e =0，则 b= a，方程变为x2+ y2=a2（圆）
2 2
。
2、若椭圆的两个焦点及一个短轴端点构成正三角形，则 1 其离心率为。 2 3、若椭圆的的两个焦点把长轴分成三等分，则其离心率 1 为。 3
练习求经过点P (4, 1)，且长轴长是短轴长的2倍的椭圆的标准方程.
解：若焦点在x轴上，设椭圆方程为 :
x2 y2 + 2 = 1(a > b > 0)， 2 a b a 2b a 2 5 依题意有：得： 16 1 b 5 2 2 1 a b
（
（
a ,0
(
）;(0,b)
c, 0)
b ,0 ）; (0, a) (0, c)
长半轴长为a,短半轴长为b.

椭圆的简单几何性质(第2课时)高中数学获奖教案

3.1.2椭圆的简单几何性质（第二课时）(人教A版选择性必修数学第一册第三章圆锥曲线的方程)一、教学目标1.掌握椭圆的第二定义；2.能够自主探究椭圆的简单几何性质.二、教学重难点1.推导椭圆的第二定义和焦半径公式；2.研究椭圆几何性质的思路与方法.三、教学过程1.复习巩固活动：完成下表【活动预设】由学生完成上表【设计意图】带领学生复习上节课学习的椭圆的简单几何性质. 2.课堂探究 2.1 探究1活动：已知椭圆E:x 216+y 212=1，F 1、F 2分别为椭圆E 的左、右焦点. P 为椭圆E 上一动点，O 为坐标原点.探究：当P 在何位置时，|OP|最小？P 又在何位置时，|OP|最大？【活动预设】由学生自主完成问题1：如果椭圆方程变为一般方程：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，结论又会如何呢？【预设的答案】当P 在短轴顶点时，|OP|min =b ；当P 在长轴顶点时，|OP|max =a . 【设计意图】渗透从特殊到一般的思想 2.2 探究2活动：已知椭圆E:x 216+y 212=1，F 1、F 2分别为椭圆E 的左、右焦点. P 为椭圆E 上一动点. 探究：当P 在何位置时，|PF 1|最小？P 又在何位置时，|PF 1|最大？【活动预设】由学生自主完成问题2：上述|PF 1|=12|x 0+8|，|x 0+8|有什么几何意义？【预设的答案】代表P(x 0,y 0)到直线x =−8的距离【设计意图】渗透数形结合的思想问题3：也就是说|PF 1|=12|PM|，椭圆上任意一点P(x 0,y 0)，它到左焦点的距离和它到直线x =−8的距离之比为常数12，那么对于一般的椭圆是否有类似的性质呢？我们考虑下面的一般情况：已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，F 1、F 2分别为椭圆E 的左、右焦点. P 为椭圆E 上一动点. 探究：当P 在何位置时，|PF 1|最小？P 又在何位置时，|PF 1|最大？【预设的答案】设P(x 0,y 0)，则PF 12=(x 0+c)2+y 02 因为y 02=b 2(1−x 02a 2) 所以PF 12=(x 0+c)2+b 2(1−x 02a 2)=(a 2−b 2)x 02a2+2cx 0+b 2+c 2=c 2a 2 x 02+2cx 0+a 2=c 2a 2(x 0+a 2c )2即|PF 1|=ca |x 0+a 2c |设直线l 1:x =−a 2c ，P 到直线l 1的距离为PM ，则|PF 1|=ca |PM|，|PF 1||PM|=ca =e 【设计意图】渗透从特殊到一般的思想. 2.3 概念形成椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，F 1、F 2分别为椭圆E 的左、右焦点，P(x 0,y 0)为椭圆E 上一动点.左准线l 1:x =−a 2c ，右准线l 2:x =a 2c 椭圆第二定义：P 到左焦点的距离|PF 1|与它到左准线l 1:x =−a 2c 的距离|PM 1|的比为离心率e ，即|PF 1||PM 1|=e =ca ； P 到右焦点的距离|PF 2|与它到右准线l 2:x =a 2c 的距离|PM 2|的比为离心率e ，即|PF 2||PM 2|=e =ca .焦半径公式：|PF 1|=c a (a 2c +x 0)= a +ex 0，|PF 2|=c a (a 2c −x 0)= a−ex 0|PF 1|min =a−c ， |PF 1|max =a +c .3.课堂巩固例：动点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和M 到定直线l:x =254的距离的比是常数45，求动点M 的轨迹.(x−4)2+y 2|x−254|=45所以25[(x−4)2+y 2]=16(x−254)2化简得：9x 2+25y 2=225 所以x 225+y 29=1【设计意图】引出椭圆第二定义拓展：动点M 到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比是一个常数，动点M 的轨迹是否也是椭圆呢？【设计意图】留给学生课后自主研究 4.课后探究探究1：已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，F 1、F 2分别为椭圆E 的左、右焦点. P 为椭圆E 上一动点. 探究：当P 在何位置时，∠F 1PF 2最大？P 又在何位置时，∠F 1PF 2最小？探究2：已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，A 1、A 2分别为椭圆E 的左、右顶点. P 为椭圆E 上一动点. 探究：当P 在何位置时，∠A 1PA 2最大？P 又在何位置时，∠A 1PA 2最小？【设计意图】鼓励学生利用课余时间自主探究 5.课堂小结思考：这节课我们主要学习了什么内容？体现了哪些数学思想方法？【设计意图】梳理本节课所学内容，总结数学思想方法.。

高一数学+人教A版2019选择性必修第一册+3-1-2椭圆的简单几何性质(第2课时)

对称性
关于x, y轴对称，关于原点对称
顶点离心率
A1(a, 0), A2(a, 0), B1(0, b), B2(0, b) A1(b, 0), A2(b, 0), B1(0, a), B2(0, a)
e c (0 e 1) a
1.和椭圆有关的实际问题
例5 如图3.1 11, 一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分, 过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分, 灯丝位于椭圆的一个焦点F1上, 片门位于另一个焦点F2上.由椭圆一个焦点F1发出的光线, 经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2 .已知BC F1F2 , F1B 2.8 cm, F1F2 4.5 cm. 试建立适当的平面直角坐标系, 求截口BAC所在椭圆的方程(精确到0.1 cm)
c
c l: x a2 c
定直线 l : x a2 叫做椭圆的准线；
Md H
常数
c
(a
c
c 0)
是椭圆的离心率.
•
FO
F•
x
a
′
对于椭圆
x2 a2
y2 b2
1 , 相应于焦点F (c，0)的准线方程是
x
a2 c
.
相应于焦点F (c，0)的准线方程是 x a2 . c
3.判断直线与椭圆的位置关系
复习：椭圆的简单几何性质：
焦点位置方程
图形范围
x轴
x2 a2
y2 b2
1 (a
b
0)
A1 F•1
y B1 M
O
F•
A2 x
2
B2
a x a, b y b
y轴
y2 x2 a2 b2 1 (a b 0)

椭圆的简单几何性质椭圆方程及性质的应用精编版

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则 x1＋x2＝0，x1x2＝－18. 于是|AB|＝ x1－x22＋y1－y22
＝ x1－x22＋14x1－x22
＝
5 2
x1＋x22－4x1x2＝ 25×6
2＝3
10.
所以线段 AB 的长度为 3 10.
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(2)法一：设 l 的斜率为 k，则其方程为 y－2＝k(x－4).
(2)解决椭圆ax22＋by22＝1(a＞b＞0)中的范围问题常用的关系有 ①－a≤x≤a，－b≤y≤b； ②离心率 0＜e＜1； ③一元二次方程有解，则判别式 Δ≥0.
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已知椭圆 C：x2＋2y2＝4. (1)求椭圆 C 的离心率； (2)设 O 为原点，若点 A 在直线 y＝2 上，点 B 在椭圆 C 上，且 OA⊥OB，求线段 AB 长度的最小值. 【精彩点拨】 (2)中，设 A，B 坐标→O→A·O→B＝0→|AB|化为关于 x0 的函数 →求最值.
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已知点(2,3)在椭圆mx22＋ny22＝1 上，则下列说法正确的是________
①点(－2,3)在椭圆外
②点(3,2)在椭圆上
③点(－2，－3)在椭圆内
④点(2，－3)在椭圆上
【解析】由椭圆的对称性知点(2，－3)也在椭圆上. 【答案】 ④
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教材整理 2 直线与椭圆的位置关系
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1.求解直线与椭圆相交所得的弦长问题，一般思路是将直线方程与椭圆方程联立，得到关于 x(或 y)的一元二次方程，然后结合根与系数的关系及两点间的距离公式求弦长.一定要熟记公式的形式并能准确运算.

课件2：3.1.2　第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用

公共点．
归纳总结
代数法判断直线与椭圆的位置关系
判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的
方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次
方程，则
Δ>0⇔直线与椭圆相交；
Δ＝0⇔直线与椭圆相切；
Δ<0⇔直线与椭圆相离．
提醒：注意方程组的解与交点个数之间的等价关系．
当堂达标
x2 y2
【解析】由题意得，椭圆 2＋ 2＝1 的焦点在 x 轴上，
a b
且 a2＝25，b2＝9.
【答案】D
x2 y2
2．若点 P(a,1)在椭圆 2 ＋ 3 ＝1 的外部，则 a 的取值范围为(

2 3 2 3

A．－
3 ， 3

2 3

2 3

B．
，＋∞∪－∞，－ 3
例1 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转
椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）
的一部分。过对称轴的截口 ABC是椭圆的一部分，
灯丝位于椭圆的一个焦点1 上，片门位另一个焦点2 上，由椭圆
一个焦点1 发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个
椭圆焦点2 ，已知 ⊥ 1 2 ， 1 =2.8cm, 1 2 =4.5cm,试建立
可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线 l 与椭圆 C 有两个公共点．
(2)当 Δ＝0，即 m＝±3 2时，方程①有两个相同的实数解，
可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线 l 与椭圆 C
有且只有一个公共点．
(3)当 Δ＜0，即 m＜－3 2或 m＞3 2时，方程①没有实数
解，可知原方程组没有实数解．这时直线 l 与椭圆 C 没有

椭圆的简单几何性质(第2课时)(教学课件)-高二数学选择性必修第一册同步高效课堂(人教A版2019)

2
2
2
2
由方程组 x
消去
y
,
得
25
x

8
mx

m
225 0 ①
第四步将所求的量，“翻译”成实际问题的解答
应用新知
跟踪练习
如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆
绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．灯丝位于
椭圆的一个焦点 F1 上，卡门位于另一个焦点 F2 上．由椭
圆一个焦点 F1 发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中
5
9
到另一个焦点 F2 ．已知此椭圆的离心率为，且 F1F2 5cm
2
y2
4 x
x2 y2
2
2
3 x 4 y 12 ，即
1.
4
3
1 ，化简得

2
所以点 M 的轨迹是长轴长为 4，短轴长为
2 3 ，焦点在 x 轴上的椭圆，如图:
探究新知
椭圆的第二定义
平面上到定点 F 的距离与到定直线的距离之比为常数e ( 即椭圆的
c
离心率, e ) 的点的集合(定点F 不在定直线上, 该常数为小于1 的
焦点
短轴长＝ 2b
，长轴长＝ 2a
( c ， 0 )
( 0 ，c )
焦距
2c
对称性
对称轴：坐标轴，对称中心：原点
c
e＝ a
离心率
3.1.2椭圆的简单几何性质(第2课时)
应用新知
例5
如图, 一种电影放映灯的反射镜面是旋转
椭圆面 (椭圆绕其对称轴旋转一周形成的
曲面)的一部分, 过对称轴的截口BAC 是
(1) 有两个公共点 ? (2) 有且只有一个公共点 ? (3) 没有公共点 ?

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