第二章 X射线衍射方向

上一圆括号，即为晶面指数。
一般表示形式：（hkl) 。
晶面指数的确定
（二）晶面指数的确定
1．AGE面： 截距1，1，1； 倒数1，1，1 ， 晶面指数（111）
2．PBEQ面： 截距是1/2，1，∞； 截距倒数是2，1，0； 化为最小整数后的晶 面指数（210）
晶面指数的确定
（二）晶面指数的确定
晶体结构与空间点阵的区别：
晶体结构：晶体中原子或分子的排列情况。 由空间点阵＋结构基元而构成 晶体结构的形式是无限多的
空间点阵：把晶体结构中原子或分子等结构 基元抽象为周围环境相同的阵点之后，描述 晶体结构的周期性和对称性的图像。 空间点阵只有14种
14种布喇菲点阵
一、 基本概念
单位晶胞（Unit Cell）：在三个方向上的重复周期矢量a、 b、c称为基本矢量。由基本矢量构成的平行六面体称为单 位晶胞。其在三个方向上重复即可建立整个空间点阵。
Your text in here
hu+kv+lw=0，
Your text in here
通常把这个关系式称为晶带定律。 晶带定律给出了晶面与晶向之间的关系，有了这个关系，我 们就可以根据已知的晶面或晶带来求得另外一些晶面或晶带。
三、晶带定律
晶带定律：hu+kv+lw=0 (1)已知某晶带中任意两个晶面(h1k1l1)和 Your text in here (h2k2l2)，则可通过下式求出该晶带的晶带轴 方向[uvw]： h1u+k1v+l1w=0 h2u+k2v+l2w=0
u=k1l2—k2l1 v= l1h2—l2h1 w=h1k2—h2k1
三、晶带定律
晶带定律：hu+kv+lw=0 (2)已知某晶面同属于两个晶带[u1v1w1]和[u2v2w2]， Your text in here 则可通过下式求出该晶面的晶面指数(hkl)： hu1+kv1+lw1=0 hu2+kv2+lw2=0 h=v1w2—v2w1 k=w1u2—w2u1 l =u1v2—u2v1
布拉格方程的导出
这两束X射线到达NN2处的波程差为： δ=PM2+QM2 =dsinθ+dsinθ =2dsinθ 如果散射（入射）X射线的波长为λ，则在这个方向上散射线互相 加强的条件是： 2dsinθ=n λ
第二节 布拉格方程 干涉加强条件（布拉格方程）为：
2d sin n
式中：n —整数，“反射”级数（衍射级数） θ—布拉格角或掠射角（入射线与晶面） 半衍射角 2θ—衍射角（入射线与衍射线）
2．晶向指数
设晶向指数在三轴坐标系中为[UVW]，四轴坐标系中为[uvtw] 在平 面上表示一个点只用两个坐标，则u+v+t=0，所以 t=-(u+v) (1)
三、晶带定理
1、晶带 在空间点阵中，所有平行于某一直线的一组晶面的组合称为 一个晶带。或者说交线相互平行的一组晶面的组合称为一个 Your text in here 晶带。 这一直线就称为晶带轴，它用晶向指数来表示。 已知一个晶面 (hkl) 和它所属的晶带轴指数[uvw]，则由矢 量代数可以证明晶带轴[uvw]与该晶带的任一晶面(hkl)之间 均具有下列关系：
若各指数同乘以异于0的数n，则晶面位向不变，晶 向则或是同向（n＞0）或是反向（n＜0）。
（二）晶面指数的确定
在立方晶系中等同晶向和等同晶面的比较：
例1：写出立方晶系的<100>的等同晶向和{100}的 等同晶面。
<100>=[100]+[010]+[001]+[T00]+[0T0]+[00T]
{100}=（100）+（010）+（001）
例2：写出立方晶系的<111>的等同晶向和{111}的等 同晶面。
<111>=[111]+[T11]+[1T1]+[11T]+[TT1]+[1TT]+[T1 T]+[TTT] {111}=(111)+(T11)+(1T1)+(11T)
等价：数字相同，符号和排列次序不同。
（二）晶面指数的确定
晶面指数具有如下规律：
晶面指数，并非仅指一晶格中的某一个晶面，而 是泛指该晶格中所有那些与其相平行的位向相同 的晶面。 在一种晶格中，如果某些晶面，虽然 它们的位向 不同，但原子排列相同。如（100）、（010）及 （001）等，这时若不必要予以区别时，可把这些 晶面统用{100}表示。 即：（hkl)这类符号系指某一确定位向的晶面指 数；而{hkl}则可指所有那些位向不同而原子排列 相同的晶面指数。表示由等同晶面构成的晶面系 或晶面族。
（三）六方晶系的指数
1．晶面指数 从晶面指数上不能明确表示等同晶面，为了克服这一缺点， 采用a1、a2、a3及C四个晶轴，a1、a2、a3之间的夹角均为 120o，晶面指数以（hkil）表示。六个柱面的指数可确定为：
这六个晶 面可归并 为{ 11 00 } 晶面族。 根据立体 几何，在 三维空间 中独立的 坐标轴不 会超过三 个，可证 明 i=-(h+k) 或 h+k+i=0
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第二章
X射线衍射方向

第一节 晶体几何学基础
目录
第二节 布拉格方程
第三节 X射线衍射方法
第一节 晶体几何学基础
一、14 种布喇菲点阵
(一） 基本概念
晶体(crystal)：由原子在三维 空间中规则排列而成。 空间点阵（Lattice）：在研究 晶体结构时，一般只抽象出其重复 规律，这种抽象的图形。 空间点阵上的阵点不只限于原子， 也可以是离子、分子或原子集团。
晶向指数具有如下规律：
晶向指数表示着所有相互平行、方向一致的晶向。
若晶体中两晶向相互平行但方向相反，则晶向指数 中的数字相同，符号相反，例如[111]与[TTT]。
由于晶体的对称性，有些晶向上原子排列情况相同 ，因而性质也相同。晶体中原子排列情况相同的一组 晶向称为晶向族（family of lattice directions） ，用<uvw>表示。
正方晶系
立方晶系
d hkl
1 4 2 (h hk k 2 ) / a 2 l 2 / c 2 3
六方晶系
3、晶面夹角的计算
同理可以得到晶面夹角的计算公式。 立方晶系的晶面夹角的计算公式：
第二节 布拉格方程
（一）布拉格方程的推导
L
N1 N
L1
A
B
θ M1
θ
M θθ M2
N2 θ
A d B
3．DBEG面： 截距1，1，∞； 倒数 1，1，0， 晶面指数（110）
4．DCFG面： 截距1，∞，∞； 倒数1，0，0； 晶面指数（100）
晶面指数的确定
二、晶体学指数
（二）晶面指数的确定 注意：
当晶面交于晶轴的负端时，对应的指数就是负的， 并将负号标在数字的上面。
晶面指数中第一、二、三位分别代表与a、b、c轴 的关系，它们之间不能随意变换。 一个晶面指数实际上是代表某个方向上的一组晶 面，而不是一个面。 当晶面指数中某个位置上的指数为0时，表示该晶 面与对应的晶轴平行。如（100）（ ）（001）。
◆简单点阵的阵点坐标为[[000]]
（2）点阵类型 ◆底心点阵C 除八个顶点上有阵点外， 两个相对的面心上有阵点， 面心上的阵点为两个相邻 的平行六面体所共有。因 此，每个阵胞占有两个阵 点。阵点坐标为[[000]]， [[1/2 1/2 0]]
（2）点阵类型 ◆体心点阵I
除8个顶点外，体心上 还有一个阵点，因此， 每个阵胞含有两个阵 点，[[000]]，[[1/2 1/2 1/2]]
若晶体的三个基本矢量互相垂直，则有关系：
cos2α+cos2β+cos2γ=1
d2 d2 d2 1 (a / h) 2 (b / k ) 2 (c / l ) 2 1 则 :d hkl h2 / a 2 k 2 / b2 l 2 / c2
正交晶系的晶面间距公式。
2、晶面间距的计算 斜方(正交)晶系
（二比较：
晶向指数表示着所有相互平行、方向一致的晶向。 晶向族：晶体中原子排列情况相同的一组晶向（等 价晶向），用<uvw>表示。 晶面指数，指该晶格中所有那些与其相平行的位向 相同的晶面。 晶面系或晶面族：所有那些位向不同而原子排列相 同的一组晶面（等价晶面），用{hkl}表示。
2、晶面间距的计算 晶面间距：指相邻两个平行晶面之间的距离。
cosα=ON/OA=d/ma cosβ=ON/OB=d/nb cosγ=ON/OC=d/pc Z C （hkl） N O B A X Y
由于m、n、p与h、k、l具有倒数关系，故有：
cosα=d/(a/h) cosβ=d/(b/k) cosγ=d/(c/l)
例如立方晶系中[111]，[T11]，[1T1]，[11T]，[TT1]， [1TT]，[T1T]，[TTT]八个晶向是立方体中四个体对角线的 方向，它们的原子排列完全相同，属于同一晶向族，用 <111>表示。
二、晶体学指数
（二）晶面指数的确定
⑴ 如图设晶格中，某一原子为原点，通过该点平行于晶胞的三棱边作 OX、OY、OZ三坐标轴，以晶格常数a、b、c分别作为相应的三个坐 标轴上的度量单位，求出所需确定的晶面在三坐标轴上的截距； ⑵ 将所得三截距之值变为倒数； ⑶ 再将这三个倒数按比例化为最小整数并加
选择依据： （1）晶胞应最能反映出点阵的对 称性； （2）基本失量长度a、b、c相等 的数目最多；三个方向的夹角应 尽可能是直角； （3）单胞体积最小。 根据这些条件选择出来的晶胞，其几何关 系、计算公式均最简单，称为布喇菲晶胞。