东吴大学教学杰出教师教学示范说明表

東吳大學教學傑出教師教學示範說明表
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附件：貝氏賽局教材
本節先用兩個例子來說明貝氏賽局的架構及分析方式。

例一：不連續行動的雙矩陣賽局—有義氣的大哥
試想一名黑道大哥帶著車手小弟半夜去偷竊，大哥竊盜、車手把風。

正當大哥帶著一麻袋贓物預備上車逃離時，不幸被警察逮捕。

警察將大哥與小弟分別至於兩間偵訊室盤問。

如果大哥是一個自私的人，賽局的報酬如下表一。

賽局一
自私大哥
不招招認
不招
車手
招認
由上表可知，自私大哥的壓倒性策略是招認。

而當大哥招認時，車手小弟應該也選擇招認，此賽局的奈許均衡是(招認、招認)。

但是也有可能大哥是一個很講義氣的人。

對於講義氣的大哥，出賣同夥向警察招認會造成嚴重的心理痛苦。

假設招認對義氣大哥所造成的心理痛苦相當於被關5年的徒刑，則可得出車手小弟與義氣大哥的賽局如下表二。

賽局二
義氣大哥
不招招認
不招
車手
招認
由表二可知，義氣大哥的壓倒性策略是不招。

而當義氣大哥選擇不招認時，車手小弟應該也選擇不招認，此賽局的奈許均衡是(不招認、不招認)。

由以上敘述可知，自私大哥一定會招認、義氣大哥一定不會招認。

但問題是車手小弟並不確定大哥到底是自私型或是義氣型，那麼車手小弟應該如何決定他的最適行動呢？
假設車手小弟只知道有μ的機率大哥是自私型，也有μ-1的機率大哥是義氣型，則車手小弟可以依照下列方式計算行動的預期報酬。

當車手小弟招認時，有μ的機率遇見一定招認的自私大哥（此時小弟得－5），也有μ-1的機率遇見一定不招認的義氣大哥（此時小弟得－1），因此車手選擇招認的預期報酬是()115-⨯-+-⨯μμ。

同理，車手小弟選擇不招認的預期報酬是()018⨯-+-⨯μμ。

車手小弟應該會比較兩個預期報酬的大小而決定其行動。

因此，車手小弟會招認的條件是250.>μ。

而如果250.<μ車手小弟就會選擇不招認。

請注意在此處的分析中，車手小弟的最適行動與其信念有關，如果車手小弟認為大哥是自私型的可能性夠高（更精確的說，如果250.>μ），他就應該招認。

但如果車手小弟認為大哥很可能是義氣型的（也就是如果250.<μ），則車手小弟的最是行動就是不招認。

例二：雙佔市場
某市場上有兩家廠商F1與F2各自決定其產量1q 與2q ，假設產品同質，市場需求曲是簡單的線性函數)(21q q a P +-=，而21q q Q +=是市場上的總產量。

假設F1廠有固定的單位生產成本c ，故可將其成本函數寫成111)(cq q c =。

F2廠正在進行一項降低成本的研發，如果研發成功，F2的生產成本會是2L 22q c q c =)(，但若研發失敗，F2的單位生產成本會是222)(q c q c H =，其中L H c c >。

只有F2會在研發工作結束後知道自己是成功或失敗，我們稱研發結果是F2的私有資訊 (private information)，對手廠商F1只知道有()θ-1的機率F2研發成功將成本降低為L c ，而有θ的機率F2研發失敗，成本則是較高的H c 。

在此架構下，廠商利潤受到本廠產量、對手產量和本廠成本的影
響，利潤函數的一般形式是
j i i i i i i j i i q q q c aq q c q q --+-=)(),,(2π，2,1,=j i (1)
廠商成本高低之不同會影響利潤的大小，所以我們可用F2H ，F2L 的符號分別代表高成本和低成本的F2廠。

並且依據成本之不同，高低成本的第二廠也可能會選擇不同的產量，故以H 2q 、L 2q 表示F2H 與F2L 的產量，而利潤函數是：
H H H H H H q q q c aq q 2122222 --+-=π (2)
L L L L L L q q q c aq q 2122222 --+-=π (3)
F2H 與F2L 都想找出利潤極大產量，而其方法則是對利潤函數做微分。

由022=∂∂q H π得到2
12H H c q a q --= (4) 由022=∂∂q L π得到2
12L L c q a q --= (5) 但是沒有私有資訊的F1廠所面對的情況則比較複雜，對手的產量（經由影響價格）會影響F1的利潤，可是F1並無法確定對手到底是研發成功的F2L 廠生產L 2q 的產量，或是研發失敗的F2H 廠生產H 2q 的產量。

F1只知道前者發生的機率是()θ-1，後者發生的機率是θ。

因此F1廠只能計算自己的預期利潤如下：
()[]()()[]
1211211 1 q c q q a q c q q a E L H ----+---=θθπ (6) F1廠也會對(6)式做微分， 由
011=∂∂q E π得到()()()
21221c q a c q a q L H ---+--=θθ (7) 對(4)、(5)、(7)三條方程式聯立求解，可以得到：
()3
121L H C C c a q θθ-++-= (8) ()()L H H H C C c c a q --++-=6
1322θ (9) ()L H L L C C c c a q -++-=6
322θ (10)
請注意(8)到(10)式說明了F1的最適產量1q 以及高低成本F2的最適產量(H 2q ，L 2q )。

下一節中我們會正式定義貝氏賽局(Bayesian Game)與貝氏奈許均衡Bayesian Nash equilibrium 。

貝氏賽局的正式定義
第一章所定義的策略式賽局是{}{}[]I i i I i i N u S I 11 ; ;===Γ ，其中i S 表示參賽者i P 的策略集合，在本章中我們要更精確的區分出「行動」與「策略」之不同。

為強調此二者的區別，故從本章起策略式賽局將寫成{}{}[]
I i i I i i N u A I 11 ; ;===Γ，其意義和第一章完全相同，只是現在以i A 代表參賽者i P 所有可選擇的行動action 所組成的集合，而i P 的策略另將定義如後。

在前面三章中，很重要的假設是所有參賽者都知道{}{}[]
I 1i i I 1i i N u A I ===Γ ; ;的
完整內容，包括所有對手的報酬函數。

但是在實際的互動情況中，很可能參賽者i P 擁有私有資訊（private information ），只有i P 自己知道這些資訊的內容，而對手j P 卻不知道。

例如在例一中大哥知道自己到底是自私型或是義氣型，但是小弟卻不知道。

在例二中F2廠知道自己的研發是否成功，但對手只知道θ的機率。

在這種情況下，要如何分析參賽者之間的互動？
Harsanyi 建立分析不完全資訊賽局的架構，我們可以將i P 所有的私有資訊整合成為只有單一面向的類型集合set of types i i T t ∈，其中i t 表示i P 的任何一個可能類型。

如果i P 是廠商，成本可能是i P 的私有資訊，只有廠商自己才知道確切的生產成本，其類型集合可能是},{L H i c c T =，表示生產成本是可能是高或低。

靜態不完全資訊賽局又稱貝氏賽局，其完整定義包含以下各項目：
一． 參賽者集合，{}I I ,...,2,1=。

例一中{}21I ,=其中1P 是車手小弟、2P 是黑道大哥，
例二的參賽者則是兩家廠商F1與F2。

二． 參賽者i P 的行動集合action set 是i A ，
其中i i A a ∈表示任一行動。

()N a a a ,...,1=表示所有參賽者的行動組態action profile 。

三． 我們將參賽者i P 的私有資訊private information 稱為其類型type ，只有i P 知道自
己的真實類型，其他參賽者不知道。

以i T 表示是參賽者i P 的類型集合type set ，其中i i T t ∈代表任一類型。

例一中車手沒有私有資訊而大哥的類型集合是{} 2自私型，義氣型=T 。

例二中廠商F2的類型集合是{} 2 ,2L F H F ，分別代表高成本及低成本的F2廠。

每一個參賽者都可能有私有資訊，類型組態type profile ()I t t t t ,...,,21=則列出所有參賽者的類型。

也可以將類型組態寫成()i i t t t -=,，其中i t -表示所有其他人的類型。

四． F 表示類型組態()I t t t t ,...,,21=的機率分配函數，也就是參賽者對某一類型組態
的判斷。

例一中在類型組態集合{})(),(車手，義氣大哥車手，自私大哥上的機率是() ,μμ-1，例二中在類型組態集合{}),( ),,(L 2F 1F H 2F 1F 上的機率是()θθ-1,。

請注意我們是用單一的機率分配函數F ，這表示所有的參賽者對類型組態出現的可能性的判斷是相同的。

在雙佔廠商的例子中，F1認為對手研發失敗的機率是θ，而F2廠商在事前也是認定研發失敗的機率是θ，這也正是真實的研發失敗的機率。

五． 參賽者i P 的報酬是由所有參賽者的行動以及i P 的類型i t 所決定，也就是
()i I i t a a u ,,...1。

故貝氏賽局的完整定義可寫成{}{}{}[]
I i i I i i I i i B u F T A I 111 ; ; ; ;====Γ。