刚体习题课

1 2 J 木 = mR木 ∵ R铁 < R木 2 由角动量定理得： M = ΔL = JΔω Δt Δt M相同， Δω也相同, 所以：
J铁
1 2 = mR铁 2
∴ J铁 < J木
J木 J铁 = Δt 铁 Δt 木
J木 Δt木 = Δt铁 > Δt铁 J铁
5
因此，铁圆板先停
例2. 如图，转轮A、B可分别独立地绕o轴转动。
解：(1) v 0 = Rω
2 0
ω
Ro
v0
v Rω H = = 2g 2g
2
v=0
2
(2)
1 2 Jω − MgR = 0 O 2
R
A
υA = 2Rω = 2 gR
A′
18
例10、两个均质圆盘转动惯量分别为 J1 和 J2 , 开始时第一 个圆盘以ω10的角速度旋转，第二个圆盘静止，然后使 两盘水平轴接近，求：当接触点处无相对滑动时，两圆 盘的角速度. N2 N1 解：受力分析：无竖直方向上的运动
E p = mghc
A = ∫ Mdθ
θ1
θ2
6.机械能守恒定律
1 E k = Jω 2 2
当只有保守力矩作功 ⇒ E k + E p = 恒量
2
说明： （1）粘接在一起的两个圆盘（或圆柱）形状的刚体，要把它们看 成一个刚体，不要分开考虑。
它们的ω和 α 均相同，但不同半径处的 υ 和 a不同。
如图，在 r处：
t
由以上四式解出：
2m(v1 + v 2 ) t= μMg
0
11
例6、质量为M，长为 l 的均匀棒，如图，若用水平力F 打击在离轴下 y 处，求：轴对棒的作用力。 R y 解：设轴的作用力为: Rx Ry Rx dω yF = J 由转动定律: dt Δt 为作用时间 y yF 得到： Δω = ω − ω0 = ω = Δt 由质心运动定理： l dω 切向：F + Rx = m 法向：
⋅
13 ⇒ L = mRv − mRu 8
7
R o
m
4
dL 根据角动量定理： M = dt
1 M = Rmg 2
13 L = mRv − mRu 8
v
m
d ⎛ 13 1 ⎞ ⇒ mgR = ⎜ mRv − mRu⎟ dt ⎝ 8 2 ⎠
m 2
du ∵ =0 dt
dv 4 ∴a = = g dt 13
FRA = Jα
1 = ML2α 3
质心运动定理 F = Macτ 联立可得： R = 2 L A
L acτ = rcα = α 2
3
13
（2）如果用质量为m=M，速度为v1的弹性球沿 水平方向击中A点，碰撞后轴o对细杆的作用力 将如何？
Fy o RA R c
v1
球打在A点，轴间仍没有x方向轴力 球和棒系统，水平方向动量守恒
v
2v
0 2v
v
ω0
15
v 2v
o⋅ 2v
解：选四人和转台为系统，对O轴 合外力矩 M=0,角动量守恒。
R
v
ω0
= Jω ′ + J 1ω 1 + J 2ω 2 + J 3ω 3 + J 4ω 4
1 J = MR 2 2
(J + J 1 + J 2 + J 3 + J 4 )ω 0 =
其中：
⎛ 1 ⎞⎛ R ⎞ J 2 = J 3 = mr = ⎜ M ⎟⎜ ⎟ = 1 MR 2 ⎝ 4 ⎠⎝ 2 ⎠ 16
(自己作 )
17
例9、半径为R的均匀细圆环，可绕通过环上O点且垂直于环面的 水平光滑轴在竖直平面内转动，若环最初静止时直径OA沿水平 方向(如图所示)。环由此位置下摆，求A到达最低位置时的速度
解：以环、地球为系统，系统机械能守恒 设O点为势能零点
2
g ∴ω = R
J = J c + MR 2 2 2 = MR + MR = 2MR
3
9
dM = 2rf × (2πrdr ) = −4πkvr dr
2
o
例5. 质量为M长为L的均质细棒静止平放在滑动摩 擦系数为 μ 的水平桌面上。它可绕O点垂直于桌面 的固定光滑轴转动。另有一水平运动的质量为m的小 滑块，从侧面垂直于棒方向与棒发生碰撞，设碰撞 时间极短。已知碰撞前后小滑块速度分别为 v1和 v 2 。求细棒碰撞后直到静止所需的时间是多少？
A 、 B 轮的质量分别为 m A = 10 kg 和 m B = 20 kg ,
半径分别为 rA 和 rB。现用力 f A 和 f B 分别拉系在轮上 的细绳且使绳与轮间无 滑动。为使 A 、 B 两轮边缘处
切向加速度相同，相应 的拉力 f A、 f B 之比为多少？
rB
o
解：A、B滑轮视为两个刚体 它们的 ω和 α将不再相同。 由转动定律： A f A = J Aα A r
mv 1 = mv 2 + MVc
系统角动量守恒
c A
1 2 Vc RA ⋅ mv1 = RA ⋅ mv2 + Jω = RAmv2 + ML ⋅ 3 L2 2 m= M RA = L 6 3 Vc = v 弹性球碰撞，机械能守恒 7 2 Fy 1 1 1 2 1 2 ⎛ Vc ⎞ 2 mv 1 = mv 2 + ⋅ ML ⋅ ⎜ ⎜ L 2 ⎟ = Mg + MV 2 / R ⎟ 2 2 3 2 ⎝ ⎠ c c 14
刚体定轴转动习题课
1
1.刚体定轴转动定律： 2.刚体的转动惯量： J =
M = Jα
J = ∫ r dm 2 平行轴定理： J = J c + md
2
∑m r
2
i i
3.刚体定轴转动的角动量定理：
4.角动量守恒定律： z=0 M 5.刚体转动的功和能：
dLz ( L = Jω ) Mz = z dt Lz1 = Lz 2 = 恒量
or R
υ = rω at = rα an = ω / r
2
在 R处 :
υ = Rω at = Rα
an = ω / R
2
（2）用一根绳连接两个或多个刚体时，要把刚体分开考 虑。
3
B
C
M2 o2
A
(1)
同一根绳上各点的切向
R2
o1R 1 M1
D
加速度和线速度相同；
at ( A) =at ( B) =at ( C) =at ( D)
v1
x
任意质点所受阻力： df = μdN = 任意质点所受阻力矩： dM
f
μgdm = μgλdx
= − xdf
（3） （4）
M f = − ∫ xdf = − ∫
L
0
由角动量定理
L
1 x ⋅ μ (λdx ) ⋅ g = − μ MgL 2
0 ω
Mdt = Jdω
有： ∫ M f dt = J ∫ dω
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例4、质量为m，半径为R的圆盘，可绕过盘中心且垂直 于盘面的轴转动，在转动过程中单位面积所受空气的阻 力为 f = − kv ， = 0 时，圆盘的角速度为 ω 0 ，求盘在任 t 意时刻的速度 ω = ω (t ) 。 解:先求阻力力矩, 取半径为r宽为dr的圆带
= −4πkωr dr r R 4 3 dr M = − ∫ 4πkωr dr = −πkR ω 0 dω 1 2 dω 4 由转动定理：J = M ⇒ mR = −πkR ω dt 2πkR2 2 dt − t 2 2 ω dω t dω 2πkR 2πkR ω = ω0e m =− dt ⇒ ∫ =− ∫0 dt ω0 ω m m ω
J
F
l 2 Ry − mg= m ω 2 2 2 2 3y 9F y (Δt) 于是得到： x = −(1− )F Ry = mg + R 3 2l 2l m
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2 dt
例7、如图所示，以水平力F打击悬 Fy 挂着的质量为M、长度为L的均匀细杆。 如果打击点A选择得合适，在打击的过 o 程中，支撑轴o对细杆的水平切向力Fx 为零，称该点为打击中心。试求： Fx （1）打击中心A与支撑轴o之间的距离RA。 RA R c c （2）如果用质量为m=M，速度为v的弹 性球沿水平方向击中A点，碰撞后轴o对 A 细杆的作用力将如何？ F 解(1)由转动定律fr ⇒ dω = − fr1 dt J1 1 1 dt J1
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例11. 一半径为 R 的圆盘，可绕一垂直于圆盘面的转 轴作定轴转动。如果由于某种原因转轴偏离了盘心O 而在 C 处，如图所示。A B 是通过CO的圆盘直径 上的两个端点，则 A B 两点的速率将有所不同。现 v 在假定圆盘转动的角速度 ω 是已知的，而 v A 、 B 可以通过仪器测出，试通过这些可观测量求出偏心 距 。 解： A r
N1
r1
o1
m1 g
J r ω10 J1r1r2 ω10 可解得： ω1 = ω2 = 2 2 2 J r + J 2 r1 J1r2 + J 2 r1
2 1 2 2 1 2
r1 t ⇒ ω10 − ω1 = ∫ fdt J1 0 r2 dω 2 fr2 o2 盘2：J 2 = fr2 ⇒ dω2 = dt dt J2 r2 t ⇒ ω2 = ∫0 fdt J2 f J1 J2 于是有： (ω10 − ω1 ) = ω 2 r1 r2 m2 g 不打滑条件： r1ω1 = r2ω 2
解： m与M碰撞过程， 系统（m,M）对O轴角动量守恒
o
mv 1 L = − mv 2 L + Jω
1 2 J = ML 3
（1） （2）