精品2019年高二数学上学期周练7

和诚中学2018-2019学年高二数学周练试题
时间：60分钟，满分：100分
一、选择题：本题共6小题，每小题9分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1．如图是一正方体被过棱的中点M、N和顶点A、D、C1的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的主视图为( )
2．如图所示，O为正方体ABCD­A1B1C1D1的底面ABCD的中点，则下列直线中与B1O垂直的是( )
A．A1D B．AA1
C．A1D1D．A1C1
3．在如图所示的四个正方体中，能得出AB⊥CD的是( )
4．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则( )
A．α∥β且l∥α
B．α⊥β且l⊥β
C．α与β相交，且交线垂直于l
D．α与β相交，且交线平行于l
5．将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到空间四面体ABCD(如图2)，则在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是( )
A．相交且垂直B．相交但不垂直
C．异面且垂直D．异面但不垂直
6．已知三棱锥S­ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为( )
A.
2
6
B.
3
6
二、填空题：本题共2小题，每小题9分．
7．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，则三棱锥P­ABC的正视图与侧视图的面积的比值为________．
8．如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6，O′C′＝2，则原图形OABC 的面积为________．
三、解答题：
9．(本小题满分14分) 10．如图，四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是平行四边形，
若Q是PC的中点，求证：PA∥平面BDQ；
10．(本小题14分) 在如图所示的正方体中，分别棱是的中点，求异面直线与
所成角的余弦值
和诚中学2018-2019学年高二数学周练试题
(时间：60分钟，满分：100分命题人：)
一、选择题：本题共6小题，每小题9分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1．如图是一正方体被过棱的中点M、N和顶点A、D、C1的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的主视图为( )
解析：选B.还原正方体，如图所示，由题意可知，该几何体的主视图是选项B.
2．如图所示，O为正方体ABCD­A1B1C1D1的底面ABCD的中点，则下列直线中与B1O垂直的是( )
A．A1D B．AA1
C．A1D1D．A1C1
解析：选D.由题意知，A1C1⊥平面DD1B1B，又OB1⊂面DD1B1B，所以A1C1⊥OB1.
3．在如图所示的四个正方体中，能得出AB⊥CD的是( )
解析：选A.A选项中，∵CD⊥平面AMB，∴CD⊥AB，B选项中，AB与CD成60°角；C选项中，AB与CD成45°角；D选项中，AB与CD夹角的正切值为 2.
4．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则( )
A．α∥β且l∥α
B．α⊥β且l⊥β
C．α与β相交，且交线垂直于l
D．α与β相交，且交线平行于l
解析：选D.根据所给的已知条件作图，如图所示．
由图可知α与β相交，且交线平行于l.
5．将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到空间四面体ABCD(如图2)，则在空间四面体ABCD中，
AD与BC的位置关系是( )
A．相交且垂直B．相交但不垂直
C．异面且垂直D．异面但不垂直
解析：选C.在题图1中的等腰直角三角形ABC中，斜边上的中线AD就是斜边上的高，则AD⊥BC，翻折后如题图2，
AD 与BC 变成异面直线，而原线段BC 变成两条线段BD 、CD ，这两条线段与AD 垂直，即AD ⊥BD ，AD ⊥CD ，且BD ∩CD
＝D ，故AD ⊥平面BCD ，所以AD ⊥BC .
6．已知三棱锥S ­ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积为( ) A.26 B.36 C.23
D.22
解析：选A.在直角三角形ASC 中，AC ＝1，∠SAC ＝90°，SC ＝2，所以SA ＝4－1＝3；同理SB ＝ 3.过A 点作
SC 的垂线交SC 于D 点，连接DB ，因为△SAC ≌△SBC ，所以BD ⊥SC ，故SC ⊥平面ABD ，且平面ABD 为等腰三角形，
因为∠ASC ＝30°，所以AD ＝12SA ＝32，则△ABD 的面积为1
2×1×
AD 2－⎝ ⎛⎭
⎪⎫12
2＝
24，则三棱锥的体积为13×24
×2＝2
6
. 二、填空题：本题共2小题，每小题9分．
7．如图，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，点P 是上底面A 1B 1C 1D 1内一动点，则三棱锥P ­ABC 的正视图与侧视图的面积的比值为________．
解析：如题图所示，设正方体的棱长为a ，则三棱锥P ­ABC 的正(主)视图与侧(左)视图都是三角形，且面积都是12a 2
，
所以所求面积的比值为1. 答案：1
8． 如图，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O ′A ′＝6，O ′C ′＝2，则原图形OABC 的面积为________．
解析：由题意知原图形OABC 是平行四边形，且OA ＝BC ＝6，设平行四边形OABC 的高为
OE ，则OE ×12×
2
2
＝O ′C ′， ∵O ′C ′＝2，∴OE ＝42，∴S ▱OABC ＝6×42＝24 2. 答案：24 2 三、解答题：
9．(本小题满分14分) 10．如图，四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是平行四边形，
若Q是PC的中点，求证：PA∥平面BDQ；
解：证明：连接AC，交BD于点O，连接OQ.(图略)，
因为O是AC的中点，
Q是PC的中点，所以OQ∥PA，
又PA⊄平面BDQ，OQ⊂平面BDQ，所以PA∥平面BDQ.
10．(本小题14分) 在如图所示的正方体中，分别棱是的中点，求异面直线与所成角的余弦值
【答案】
【解析】如下图，过E点作EM//AB,过M点作MN//AD,取MN中点G,所以面EMN//面ABCD，EG//BF, 异面直线与所成角,转化为，不妨设正方形边长为2，GE=,,在中，由余弦定理。