第4章面板数据模型

的差异进行分析的方法称为固定效应分析，
个体之间的差异可以通过常数项
参数αi （非随机的）不同来表示，
由式（6-45），面板数据的固定效应模型如下：
yit =αi +βxit +εit
(i =1,2,...,N, t =1,2,...,T)
（6-46）
式中参数αi 表示个体之间的差异 （例如不同公司之间的差异），
第 4 章 面板数据模型（高级计量经济学 p163-） 4.1 面板数据分析 1 面板数据模型的概念
如果有 A 公司的销售额 yt 与广告费 xt 的数据， 用 yt 对 xt 做回归 (t = 1, 2,...,T ) ，可以研究 广告费对销售额的影响，称为时间序列回归分析。 如果考虑 A 公司、B 公司等 N 家公司， 有这 N 家公司在某一时间上的广告费和销售额的数据， 这时的回归分析变成讨论不同公司之间差异的问题， 称为横截面数据的回归分析。
∑ ∑ ∑ yi
=1 T
T t=1
yit
，
xi
=1 T
T t =1
xit
， εi
=1 T
T
εit
t=1
(2) 使用组内均值对式（6-46）做变换，即各变量分别减去个体的组内均 Nhomakorabea，得到：
yit − yi=β(xit −xi)+(εit −εi) （6-47）
式（6-47）剔除了式（6-46）中存在的个体效应αi ， 对变形后的模型式（6-47）直接使用 OLS 法，
得到固定效应估计量 bFE （FE estimators）， 可以证明 bFE 具有无偏性与一致性。 在式（6-46）中，由于不同个体的差异
完全体现在参数αi 的取值上，
可通过不同个体的虚拟变量来刻画个体差异的影响。
考虑如下包含 N 个虚拟变量的方程：
yit =α1D1i+α2D2i+L+αNDNi+βxit +εit
如果同时有 N 家公司在不同时间 t = 1, 2,...,T 上的数据， 在这种情况下如何进行分析才是最佳的呢？ （1） 对每家公司的时间序列数据进行分析； （2） 对不同时间的横截面数据进行分析。 这是一般的分析方法。在这一节，我们要给出对 时间序列数据和横截面数据同时进行分析的方法， 即面板数据分析方法。 假设 N 家公司跨越 T 期的数据 ( yit , xit ) ， i = 1, 2,..., N , t = 1, 2,...,T ， 其中下标i 表示公司， t 表示时间， 观测样本全体的数量为 N ×T 。 如果每家公司的销售额和广告费关系
（pooling of time-series and cross-section data）。
对给出的 N ×T 个观测值，可以使用最小二乘法
对回归模型式（6-45）进行估计，
这时所有公司的销售额通过一个回归模型式进行解释。
2 固定效应（FE ,fixed effects）
基于回归方程式的参数，对个体之间
式中 Dji 表示虚拟变量，其定义为：
（6-48）
1
D1i
=
0
,i =1 , 其他
，
D2i
=
1 0
, ,
i=2 其他
，L,
DNi
=
1 0
,i=N , 其他
对式（6-48）用 OLS 法称为最小二乘虚拟变量模型
（LSDV,least squares dummy variables model）。
例 6-5 利用表 6-3 给出的数据，在本例中， 公司(个体)的数量 N 为 6，观测期 T 为 3， 也就是说对于 6 个不同的公司得到观测期为 3 的样本值。Y 表示销售额(亿元)， L 表示职工人数，K 表示下设分店的个数。 在分析固定效应时，不同公司对应不同的常数项， 为了检验常数项的显著性需要利用虚拟变量， 表 6-3 中没有给出虚拟变量的取值。 用 EViews 软件进行估计时，按照表 6-3 估计的顺序， 依次输入第一个公司、第二个公司、第三个公司的数据， 同时也要输入相应的虚拟变量， 然后只需要利用最小二乘法作估计即可。样本容量为 N ×T 。 不包含个体效应的式（6-45）的估计结果由下式给出：
对立假设下模型包含的全部参数 (N +1) 得到。
对于系数 β 是否发生变化可以同样的检验进行，
考虑如下无约束的回归方程式： yit =α +α2D2i +L+αN DNi +β xit +（D2i × β2）xit +L+（DNi × βN）xit +εit（6-51）
分别计算出 β 受约束与无约束回归方程 的残差平方和，利用 F 检验统计量进行。 注意对式（6-51）进行估计时， 可能存在自由度过小的问题。
可用相同的回归式来表示，有如下的形式：
yit =α + βxit +εit
（6-45）
式中被解释变量 yit 和解释变量 xit
分别表示第i 家公司在时间 t 销售额与广告费的观测值，
模型中的参数α, β 与公司 i 及时间 t 无关。 假设误差项εit 是对所有 i 和 t 相互独立的随机变量， 其均值为 0，方差为σ 2 。方程（6-45）中
式中 N ×T 为样本容量， N 为个体效应参数的个数。
在 F 统计量中，RSS( H0 )表示 H0 下的残差平方和
[式（6-45）的残差平方和]，RSS( Hα )表示
对立假设下的残差平方和[式（6-48）的残差平方和]。
（6-50）
分子部分的自由度，由对立假设下常数项的个数
N 减去 H0 假设下的常数项个数 1 得到， 分母部分的自由度，由样本容量 N ×T 减去
不存在个体效应的 H0 可以表示成：
H0 :α1 =α2 =L=αN
（6-49）
当 H0 成立时，式（6-48）变成式（6-45）。
对于 H0 ，可利用如下的 F 统计量进行检验：
F = [RSS (H0 ) − RSS(Hα )] /(N −1) F (N −1, N ×T − N −1) RSS(Hα ) / (N ×T − N −1)
由于αi 对应不同的个体，αi 随着个体的变化而改变，
又称为个体效应。式中误差项 ε it
i.i.d(0,σ
2 ε
)
，
且εit 与 xit 对所有 i 和 t 相互独立。对式（6-46）的估计
可以利用组内估计量（within estimator），其步骤如下：
（1）求出个体 i 关于 yit 、 xit 与 uit 的组内均值，即：
解释变量只有一个，也可以包含多个解释变量。
在分析面板数据时，通常设定公司的数量 N
远大于观测期数T 。公司脚标i 从 1 开始到 N ，
反映研究对象中公司的变化，给出的是
横截面单位的情况，而时间脚标 t 从 1 开始到T ，
反映的是时间序列方向变化的情况。
面板数据是由横截面和时间序列的两方向构成，
也称为时间序列与横截面的合成数据