2020中考数学几何探究专项训练(倒数第二大题)

1.如图，△ABC 与△CDE 是等边三角形，连接AD ，取AD 的中点P ，连接BP 并延长至点M ，使PM=BP ，连接AM ，EM ，AE ，将△CDE 绕点C 顺时针旋转.
（1）如图1，当点D 在BC 上，点E 在AC 上时，则△AEM 的形状为 ；
（2）将△CDE 绕点C 顺时针旋转至图2的位置，请判断△AEM 的形状，并说明理由；
（3）若CD=
2
1BC ，将△CDE 由图1位置绕点C 顺时针旋转α（0°≤α＜360°），当ME=3CD 时，请直接写出α的值.
图1 图2 备用图
2.在△ABC 和△ADE 中，BA=BC ，DA=DE ，且∠ABC=∠ADE=α，点E 在△ABC 的内部，连接EC ，EB 和BD ，并且∠ACE+∠ABE=90°.
（1）如图1，当α=60°时，线段BD 与CE 的数量关系为 ，线段EA ，EB ，EC 的数量关系
为 ；
（2）如图2当α=90°时，请写出线段EA ，EB ，EC 的数量关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，当点E 在线段CD 上时，若BC=52，请直接写出△BDE 的面积.
3.如图，△ABC 中，AB=BC，BD ⊥AC 于点D，∠FAC=∠ABC ，且∠FAC 在AC 下方．点P，Q 分别是射线BD ，射线AF 上的动点，且点P 不与点B 重合，点Q 不与点A 重合，连接CQ ，过点P 作PE ⊥CQ 于点E ，连接DE，
，1）若∠ABC=60°，BP=AQ，
①如图1，当点P 在线段BD 上运动时，请直接写出线段DE 和线段AQ 的数量关系和位置
关系；
②如图2，当点P运动到线段BD的延长线上时，试判断①中的结论是否成立，并说明理由；，2）若∠ABC=2α≠60°，请直接写出当线段BP和线段AQ满足什么数量关系时，能使（1）中①的结论仍然成立（用含α的三角函数表示）．
4.已知正方形ABCD与正方形CEFG，M是AF的中点，连接DM，EM．
（1）如图1，点E在CD上，点G在BC的延长线上，请判断DM，EM的数量关系与位置关系，并直接写出结论；
（2）如图2，点E在DC的延长线上，点G在BC上，（1）中结论是否仍然成立？请证明你的结论；
（3）将图1中的正方形CEFG绕点C旋转，使D，E，F三点在一条直线上，若AB=13，CE=5，请画出图形，并直接写出MF的长．
5.定义：
我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．
理解：
（1）如图1，已知Rt△ABC在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点D，使四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形（保留画图痕迹，找出3个即可）；
（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC=80°，∠ADC=140°，对角线BD平分∠ABC．
求证：BD是四边形ABCD的“相似对角线”；
（3）如图3，已知FH是四边形EFCH的“相似对角线”，∠EFH=∠HFG=30°，连接EG，若△EFG的面积为2，求FH的长．
6.问题：如图①，在Rt△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为；
探索：如图②，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB=AC，AD=AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论；
应用：如图③，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°．若BD=9，CD=3，求AD的长．
7.如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F，
，1）证明与推断：
①求证：四边形CEGF是正方形；
②推断：的值为，
，2）探究与证明：
将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°，α，45°），如图（2）所示，试探究线段AG 与BE之间的数量关系，并说明理由：
，3）拓展与运用：
正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG 交AD于点H．若AG=6，GH=2，则BC=，
8.在△ABC 中，∠ABC=90°，
，1）如图1，分别过A，C 两点作经过点B 的直线的垂线，垂足分别为M，N ，求证：△ABM ∽△BCN，
，2）如图2，P 是边BC 上一点，∠BAP=∠C，tan ∠PAC=，求tanC 的值；
，3）如图3，D 是边CA 延长线上一点，AE=AB，∠DEB=90°，sin ∠BAC=，
，直接写出tan ∠CEB 的值．
9.在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，以CA 为边在∠ACB 的另一侧作∠ACM ＝∠ACB ，点D 为射线BC 上任意一点，在射线CM 上截取CE ＝BD ，连接AD 、DE 、AE ．
（1）如图1，当点D 落在线段BC 的延长线上时，直接写出∠ADE 的度数；
（2）如图2，当点D 落在线段BC （不含边界）上时，AC 与DE 交于点F ，请问（1）中的结论是否仍成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若AB ＝6，求CF 的最大值．
10.
问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果
一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：如图1，在Rt△ABC中，∠
ACB=90°，∠ABC=30°，则：AC=AB．
探究结论：小明同学对以上结论作了进一步研究．
（1）如图1，连接AB边上中线CE，由于CE=AB，易得结论：①△ACE为等边三角形；②
BE与CE之间的数量关系为BE=CE．
（2）如图2，点D是边CB上任意一点，连接AD，作等边△ADE，且点E在∠ACB的内部，连接BE．试探究线段BE与DE之间的数量关系，写出你的猜想并加以证明．
（3）当点D为边CB延长线上任意一点时，在（2）条件的基础上，线段BE与DE之间存在怎样的数量关系？请直接写出你的结论BE=DE．
拓展应用：如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等边△ABC，当C点在第一象限内，且B（2，0）时，求C 点的坐标．
11.. ，1）操作发现：如图①，小明画了一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，在△ABC的外侧分别以AB，AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD，ACE，分别取BD，CE，BC的中点M，N，G，连接GM，GN．小明发现了：线段GM与GN的数量关系是__________；位置关系是__________，
，2）类比思考：
如图②，小明在此基础上进行了深入思考．把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形，其中AB，AC，其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由．
，3）深入研究：
如图③，小明在（2）的基础上，又作了进一步的探究．向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD，ACE，其它条件不变，试判断△GMN的形状，并给与证明．
已知，在△
ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合），以AD为边在AD的上边作正方形ADEF，连接CF．
（1）观察猜想：如图1，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为：；
②BC、CD、CF之间的数量关系为：．
（2）数学思考：如图2，当点D在线段CB的延长线上时，以上①②关系是否成立，请在后面的横线上写出正确的结论．①BC与CF的位置关系为：；②BC、CD、CF之间的数量关系为：．
（3）如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GD，若已知AB=2，CD=BC，请求出DG的长（写出求解过程）．。