五下十三讲余数问题
有余数的除法教案
有余数的除法教案一、教学目标：1. 让学生掌握有余数的除法概念，理解除法中的余数。
2. 学会用除法算式表示有余数的除法。
3. 能够口算和笔算简单的有余数的除法。
4. 培养学生的观察、思考和动手能力。
二、教学重点：1. 理解有余数的除法概念。
2. 掌握有余数的除法算式。
三、教学难点：1. 理解余数的概念。
2. 口算和笔算有余数的除法。
四、教学准备：1. 教学课件或黑板。
2. 实物例证，如图片、小棒等。
3. 练习题。
五、教学过程：1. 导入新课：通过复习除法的基本概念，引入有余数的除法。
2. 讲解概念：讲解有余数的除法概念，解释余数的概念。
3. 示例教学：用实物例证或课件展示有余数的除法过程，让学生观察和理解。
4. 练习口算：引导学生进行口算练习，巩固有余数的除法概念。
5. 笔算练习：给出简单的有余数的除法算式，让学生进行笔算练习。
6. 互动提问：引导学生思考和回答有关有余数的除法问题，巩固所学知识。
7. 总结课堂：对本节课的内容进行总结，强调有余数的除法概念和算式。
8. 布置作业：布置相关练习题，巩固所学知识。
六、教学评价：1. 通过课堂表现、练习完成情况和课堂互动，评价学生对有余数的除法的理解和应用能力。
2. 关注学生在口算和笔算练习中的准确性，以及能否正确表示有余数的除法算式。
3. 鼓励学生提出问题、分享思路，评价其主动参与课堂的程度。
七、教学拓展：1. 引导学生探索有余数的除法与无余数的除法的联系和区别。
2. 邀请学生举例说明在日常生活中遇到的有余数的除法问题，并进行讨论。
3. 介绍有余数的除法在数学历史上的应用，如古代的分数制度和商业计算。
八、教学反思：1. 反思教学过程中学生对有余数的除法的理解和掌握情况，思考是否需要调整教学方法和节奏。
2. 分析学生的练习错误，找出普遍性和个别性问题，准备针对性的辅导措施。
3. 考虑如何在后续教学中继续巩固有余数的除法知识，并与乘法、加法等相关知识进行整合。
5年级-19-余数问题-难版
第19讲余数问题知识梳理一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r（也就是a=b×q+r）, 0≤r＜b；当r=0时，我们称a能被b整除；当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的商两个整数a，b，如果它们除以同一自然数m所得的余数相同，则称a，b对于模m同余。
记作：a≡b（mod ｍ）。
读做：ａ同余于ｂ模ｍ。
同余的性质比较多，主要有以下一些：性质（1）：对于同一个出书，两个数之和（或差）与它们的余数之和（或差）同余。
比如：32除以5余数是2，19除以5余数是4，两个余数的和是2+4=6。
“32+19”除以5的余数就恰好等于它们的余数和6除以5的余数。
性质（2）：对于同意个除数，两个数的乘积与它们余数的乘积同余。
性质（3）：对于同意个除数，如果有两个整数同余，那么它们的差就一定能被这个除数整除。
性质（4）：对于同意个除数，如果两个整数同余，那么它们的乘方仍然同余。
应用同余性质几萼体的关键是要在正确理解的基础上灵活运用同余性质。
把求一个较大的数除以某数的余数问题转化为求一个较小的数除以这个数的余数，使复杂的题变简单，使困难的题变容易。
典型例题【例1】★求1992×59除以7的余数。
【解析】可将1992×59转化为求1992除以7和59除以7的余数的乘积，使计算简化。
1992除以7余4，59除以7余3。
根据同余性质，“4×3”除以7的余数与“1992×59”除以7的余数应该是相同的，通过求“4×3”除以7的余数就可知道1992×59除以7的余数了。
因为1992×59≡4×3≡5（mod 7），以1992×59除以7的余数是5。
【小试牛刀】求4217×364除以6的余数。
【解析】2【例2】★（清华附中小升初分班考试）甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。
5年级-19-余数问题-难版
知识梳理一般地，如果a是整数,b是整数（0）,若有a * b=q ..................... r （也就是a=b x q+r）, 0< r < b;当r=0时，我们称a能被b整除；当r丰0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的商两个整数a, b,如果它们除以同一自然数m所得的余数相同，则称a, b对于模m同余。
记作：a= b （mod m）。
读做：a同余于b模m。
同余的性质比较多，主要有以下一些：性质（1）:对于同一个出书，两个数之和（或差）与它们的余数之和（或差）同余。
比如：32除以5余数是2,19除以5余数是4,两个余数的和是2+4=6。
“32+19”除以5的余数就恰好等于它们的余数和6除以5的余数。
性质（2）：对于同意个除数，两个数的乘积与它们余数的乘积同余。
性质（3）：对于同意个除数，如果有两个整数同余，那么它们的差就一定能被这个除数整除。
性质（4）：对于同意个除数，如果两个整数同余，那么它们的乘方仍然同余。
应用同余性质几萼体的关键是要在正确理解的基础上灵活运用同余性质。
把求一个较大的数除以某数的余数问题转化为求一个较小的数除以这个数的余数，使复杂的题变简单，使困难的题变容易。
*如典型例题【例1】★求1992 X 59除以7的余数。
【解析】可将1992 X 59转化为求1992除以7和59除以7的余数的乘积，使计算简化。
1992除以7余4，59除以7余3。
根据同余性质，“4 X 3”除以7的余数与“ 1992X 59”除以7的余数应该是相同的，通过求“4 X 3”除以7的余数就可知道1992 X 59除以7的余数了。
因为1992X 59三4X 3三5 ( mod 7),以1992 X 59除以7的余数是5。
【小试牛刀】求4217 X 364除以6的余数。
【解析】2【例2】★(清华附中小升初分班考试) 甲、乙两数的和是1088 ,甲数除以乙数商11余32,求甲、乙两数。
五年级数学余数的性质
余数的性质知识结构一、 三大余数定理：（1） 余数的加法定理a 与b 的和除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为2（2） 余数的减法定理a 与b 的差除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之差。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝2. 当余数的差不够减时时，补上除数再减。
例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝4（3） 余数的乘法定理a 与b 的乘积除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数的积，或者这个积除以c 所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c 的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 乘方：如果a 与b 除以m 的余数相同，那么n a 与n b 除以m 的余数也相同．例题精讲【例 1】 在1995，1998，2000，2001，2003中，若其中几个数的和被9除余7，则将这几个数归为一组．这样的数组共有______组．【考点】余数的加减法定理 【难度】2星 【题型】填空【关键词】2004年，少年数学智力冬令营【解析】 1995，1998，2000，2001，2003除以9的余数依次是6，0，2，3，5．因为252507+=++=，25360253679+++=++++=+，所以这样的数组共有下面4个：()2000,2003，()1998,2000,2003 ，()2000,2003,2001,1995 ，()1998,2000,2003,2001,1995．【答案】4【巩固】 号码分别为101,126,173,193的4个运动员进行乒乓球比赛,规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被3除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘?【考点】余数的加减法定理【难度】2星【题型】解答【解析】本题可以体现出加法余数定理的巧用。
五年级奥数余数问题
五年级奥数余数问题一、题目。
1. 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数最小是多少？解析：我们先列出除以3余2的数：2、5、8、11、14、17、20、23、26…再列出除以5余3的数：3、8、13、18、23、28…然后列出除以7余2的数：2、9、16、23、30…可以发现23同时满足这三个条件，所以这个数最小是23。
2. 有一个数，除以4余1，除以5余2，除以6余3，这个数最小是多少？解析：这个数加上3就能被4、5、6整除。
4、5、6的最小公倍数是4 = 2×2，5 = 5，6=2×3，最小公倍数LCM = 2×2×3×5 = 60。
所以这个数最小是60 3=57。
3. 一个数除以5余4，除以8余3，求这个数最小是多少？解析：设这个数为x。
根据除以5余4，可设x = 5a+4（a为整数）。
又因为除以8余3，所以5a + 4=8b+3（b为整数），即5a=8b 1。
通过试值法，当b = 2时，a = 3。
此时x=5×3 + 4=19，19除以8余3，所以这个数最小是19。
4. 一个数除以9余7，除以11余9，这个数最小是多少？解析：这个数加上2就能被9和11整除。
9和11互质，它们的最小公倍数是9×11 = 99。
所以这个数最小是99 2 = 97。
5. 某数除以7余1，除以8余2，除以9余3，求这个数最小是多少？解析：这个数加上6就能被7、8、9整除。
7、8、9的最小公倍数为7×8×9=504。
所以这个数最小是504 6 = 498。
6. 一个数除以3余1，除以5余2，除以7余3，这个数最小是多少？解析：中国剩余定理：先求5×7 = 35，35除以3余2，2×2 = 7，7除以3余1。
再求3×7=21，21除以5余1，1×2 = 2，2除以5余2。
然后求3×5 = 15，15除以7余1，1×3=3，3除以7余3。
五年级下第八单元 余数和同余
61 — 5 = 56 （49, 56，70）= 7 75 — 5 = 70
4. 张老师把58个红色气球、97个蓝色气球、136个黄色气球平均分给正 在一起做游戏的小朋友们，最后剩下1个红色气球、2个蓝色气球、3 个黄色气球，正在一起做游戏的小朋友共有多少人？
58— 1 = 57
两个数的余数相同，如果我们做减法，余数还在么？
如果 A ÷ B = C ...... D A - E = B × ( C - F ) E ÷ B = F ...... D 余数不在了，减法之后出现 那么A-E=？（A＞E）的差又有怎么的规律呢？
136 — 91 = 45 136 — 61 = 75 91 — 61 = 30
题组一
1．填空 （1）一个自然数除以14，商5，余数是7，这个自然数是（ 77 ）。 （2）123除以一个自然数，商是8，余数是3，这个自然数是（15 ），如果把
123至少增加（ 12 ），便可以被这个自然数整除。（这个自然数是15） （3）如果今天是星期日，那么再过365天是星期（一 ）。
（4）a÷12 =20……b，当余数b是（11 ）时，被除数a最大，a最大是（251 ）。
三种都剩下6支，怎么能没有剩余呢？变成我们学过的知识呢？
商 × 除数 = 被除数 — 余数 红×人数 = 69 — 6 = 63 黄×人数 = 90 — 6 = 84 蓝×人数 = 125 — 6 = 119
（63, 84，119）= 7
答：美术小组共有7名同学。
题组二
3. 用一个自然数分别去除54、61、75时，结果余数都是5，这个自然 数是多少？
两位数为79
有红、黄、蓝三种颜色的水彩笔69支、90支、125支，王老师将这些水 彩笔平均分给美术小组的学生们，每人分到的水彩笔完全相同，分到最 后三种水彩笔都剩下6支，美术小组共有多少名学生？
余数问题(二)
第十三讲余数问题余数问题我们已经学过了两讲，但那两讲主要都是应用余数性质去解决除法中的除数问题，今天我们要解决的是除法中的被除数问题—“中国剩余定理”。
本类形题的出题特点：已知两种或三种除数和余数的情况，求同时满足这些情况的被除数是多少。
例如：一个自然数除以4余3，除以9余4，除以6余1，求满足条件的最小三位数？本类形题的解题方法：根据余数的基本含义有：公倍加余法和公倍减余法。
根据同余的性质有：逐级满足法。
一、公倍加余法例：求满足除以3余1，除以4余1的最小两位数？分析：根据余数的定义我们知道，余数表示被除数除以除数时没有除尽，还多出来的一些数，所以满足除以3余1的数，应该都是3的倍数再加上1即可；同理，满足除以4余1的数，应该都是4的倍数再加上1即可。
那么如想两个都满足，我们只需要找到3,4的最小公倍数再加上这个都有的余数1就可以了，所以最小的两位数即为[3,4]+1=12+1=13二、公倍减余法例：求满足除以3余2，除以4余3的最小两位数？分析：根据余数的定义我们知道，这个数除以3余2，说明还差1个数就又是3的倍数了，则这样的数应该都是3的倍数再减1即可；同理，满足除以4余3的数，也是还差1个就又是4的倍数了，则这样的数应该都是4的倍数再减1即可。
那么如想两个都满足，我们只需要找到3,4的最小公倍数再减去1就可以了。
所以最小的两位数即为[3,4]-1=12-1=11三、逐级满足法例：求满足除以7余2，除以4余1，除以11余4的最小自然数？分析：此题没有余数相同的，也没有差相同的，则上述两种方法均不可用。
那么我们可以根据同余的性质逐级满足，最后求出同时满足三种情况的最小自然数。
过程如下：（1）满足除以7余2的数应该是7a+2这样的数，但这样的数又要除以4余1。
说明：7a+2除以4是余1的，即：7a+2≡1（mod4）7a+2≡5（mod4）7a≡5-2≡3（mod4）3a≡3（mod4）a=1则满足前两种情况（除以7余2，除以4余1）的最小数为：7×1+2=9则满足前两种情况（除以7余2，除以4余1）的所有数为：[7,4]×b+9（2）那么满足除以7余2，除以4余1应该是28b+9这样的数，但这样的数又要除以11余4。
第十三讲 简单的同余
第十三讲简单的同余【例1】两个数被13除分别余7和10，这两个数的和被13除余几？【例2】一个大于1的整数，除300，262，205得到相同的余数，这个整数是多少？【例3】用1~9这9个数码连续不断地排列成一个100位数123456789123456789...，这个100位数除以9余几？【例4】求437×309×1993被7除的余数。
2123 的余数。
【例5】求算式6【例6】用弃九法检验4278×39682=16975896的计算是否正确。
第十三讲 习题检测1.自然数A 除以5余2，自然数B 除以5余3，那么A+B 的和除以5余几？2.两个数除以11分别余9和10，这两个数的和除以11余几？3.有一个大于1的整数，它除381，210，286的余数相同，这个整数是多少？4.495，278和371这三个数，都能用同一个数去除得到相同的余数，这个数是多少？5.把自然数从小到大依次无间隔地写成一个数。
问：从第1个数码到第300个数码所构成的数除以9余几？6.求下列各数除以11的余数。
(1)464646...4646个(2)737373...7373个7.求2003×59除以7的余数。
8.计算下列算式的余数。
2461×135×6047÷119.求下列算式的余数。
710100÷10.用弃九法检验下面运算是否正确。
845×372=31534011.用弃九法检验下面运算是否正确。
12345×67891=83811438512.98765432987654321++++++++除以3的余数是几？。
小学五年级奥数 余数定理
余数问题（二）本讲主线【课前小练习】(★)1. 余数的三大性质2. 三性的实际应用⑴21除以5的余数是____; 32除以5的余数是____;⑵21＋32除以5的余数是_____;⑶32－21除以5的余数是_____;⑷32×21除以5的余数是.知识要点屋版块一：余数的三大性质1. 余数的三大性质：【例1】(★★)⑴和的余数等于余数的和⑵差的余数等于余数的差⑶积的余数等于余数的积⑴123＋456＋789除以11的余数是多少？⑵123×456×789的结果除以23的余数是多少？知识要点屋1. 特征求余法：⑴尾数系，(2、5) ，(4、25) ，(8、125)⑵和系，3，9⑶11：奇数位数字之和－偶数位数字之和的差.⑷7、11、13：截断法. 【例3】(★★☆)一年有365天，轮船制造厂每天都可以生产零件1234个. 年终将这些零件按19个一包的规格打包，最后一包不够19个. 请问：最后一包有多少个零件？【例2】(★★★)188＋288＋388＋…＋2088除以9、11的余数各是多少？【拓展】(★★★)自然数3100 1的个位数字是多少？1版块二：三大性质的实际应用【例4】(★★★★)(全国小学数学奥林匹克试题) 【例6】(★★★)六张卡片上分别标上2357、2367、4143、1419、2485、8465六个数，甲取4张，乙取1张，丙取1张，结果发现甲、乙各自手中卡片上的数之和一个人是另一个人的8倍，则丙手中卡片上的数是_____.有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是_______.【例5】(★★★)(南京市少年数学智力冬令营试题)在1995，1998，2000，2001，2003中，若其中几个数的和被9除余7，则将这几个数归为一组. 这样的数组共有组. 【例7】(★★★★)从1～20中最多可以选取多少个数，使得取出的数中任意三个数的和能被3整除？知识大总结【今日讲题】1. 余数的三大性质⑴和的余数等于余数的和⑵差的余数等于余数的差⑶积的余数等于余数的积2. 替换求余法3. 整除判定法则—特征求余法例2，例3，例4，例6【讲题心得】___________________.【家长评价】__________________________________________________________________.2。
五年级数奥--余数问题详细分析讲解
五年级数奥－－余数问题(详细分析讲解）各种与余数有关的整数问题,其中包括求方幂的末位数字,计算具有规律的多位数除以小整数的余数，以及用逐步试算法找出满足多个余数条件的最小数等．1.分别为101,126,173,193的4个运动员进行乒乓球比赛,规定每两人比赛的盘数是他们的和被3除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘?【分析与解】因为两个数和的余数同余与余数的和．有101,126,173,193除以3的余数依次为2,0,2,1．则101号运动员与126,173,193号运动员依次进行了2,1,0盘比赛,共3盘比赛；126号运动员与101,173,193号运动员依次进行了2,2,l盘比赛,共5盘比赛；173号运动员与101,126,193号运动员依次进行了1,2,0盘比赛,共3盘比赛；193号运动员与101,126,173号运动员依次进行了0,1,0盘比赛,共1盘比赛．所以,打球盘数最多的运动是126号,打了5盘．评注:两个数和的余数,同余与余数的和；两个数差的余数,同余与余数的差；两个数积的余数,同余与余数的积.2.自然数的个位数字是多少?【分析与解】我们先计算的个数数字,再减去1即为所求.(特别的如果是O,那么减去1后的个位数字因为借位为9)将一个数除以10,所得的余数即是这个数的个位数字.而积的余数,同余余数的积．有2除以10的余数为2,2×2除以10的余数为4,2×2×2除以10的余数为8,2×2×2×2除以i0的余数为6；2×2×2×2×2除以i0的余数为除以10的余数为4, 除以10的余数为8, 除以10的余数为6；…………也就是说,n个2相乘所得的积除以10的余数每4个数一循环．因为67÷4=16……3，所以除以10的余数同余与2×2×2,即余数为8,所以除以10的余数为7．即的个位数字为7．评注：n个相同的任意整数相乘所得积除以10的余数每4个数一循环．3.算式7+7×7+…+ 计算结果的末两位数字是多少?【分析与解】我们只用算出7+7×7+…+7 的和除以100的余数,即为其末两位数字．7除以100的余数为7,7×7除以100的余数为49,7×7×7除以100的余数为43,7 ×7 ×7×7除以100的余数等于43×7除以100的余数为1；而除以100的余数等于的余数,即为7,……这样我们就得到一个规律除以100所得的余数,4个数一循环,依次为7,49,43,1．1990÷4=497……2,所以7+7×7+…+7×7×…的和除以100的余数同余．497×(7+49+43+1)+7+49=49756,除以100余56．所以算式7+7×7+…+ 计算结果的末两位数字是56．4.1990…1990除以9的余数是多少?【分析与解】能被9整除的数的特征是其数字和能被9整除,如果这个数的数字和除以9余a,那么再减去a而得到的新数一定能被9整除,因而这个新数加上a后再除以9,所得的余数一定为a,即一个数除以9的余数等于其数字和除以9的余数．的数字和为20×(1+9+9+0)＝380，380的数字和又是3+8=11,11除以9的余数为2,所以除以9的余数是2．5.将1,2,3，…,30从左往右依次排列成一个51位数,这个数被11除的余数是多少?【分析与解】1,2,3,...,30这30个数从左往右依次排列成一个51位数为：123456...910 (15)...19202l...25 (2930)记个位为第l位,十位为第2位,那么：它的奇数位数字和为:0+9+8+7+6+…+l+9+8+7+6+…+1+9+7+5+3+l=115：它的偶数位数字和为:3+ + +8+6+4+2=53；它的奇数位数字和与偶数位数字和的差为115—53：62．而62除以1l的余数为7．所以将原来的那个51位数增大4所得到的数123456…910…15…192021…25…2934就是1l倍数,则将123456…910…15…192021…25…2934减去4所得到数除以11的余数为7．即这个51位数除以11的余数是7．评注:如果记个位为第1位,十位为第2位,那么一个数除以11的余数为其奇数位数字和A减去偶数位数字和B的差A-B=C,再用C除以1l所得的余数即是原来那个数的余数.(如果减不开可将偶数位数字和B减去奇数位数字和A,求得B-A=C,再求出C除以1l的余数D,然后将11-D即为原来那个数除以11的余数)．如:123456的奇数位数字和为6+4+2=12,偶数位数字和为5+3+1=9,奇数位数字和与偶数位数字和的差为12-9=3,所以123456除以11的余数为3．又如:654321的奇数位数字和为1+3+5=9,偶数位数字和为2+4+6=12,奇数位数字和减不开偶数位数字和,那么先将12-9=3,显然3除以11的余数为3,然后再用11-3=8,这个8即为654321除以11的余数．6.一个1994位的整数,各个数位上的数字都是3.它除以13,商的第200位（从左往右数)数字是多少?商的个位数字是多少?余数是多少?【分析与解】这个数即为，而整除13的数的特征是将其后三位与前面的数隔开而得到两个新数，将这两个新数做差，这个差为13的倍数．显然有能够被13整除,而1994÷6=332……2，即而是13的倍数，所以除以13的余数即为33除以13的余数为7．有,而,所以除以13所得的商每6个数一循环,从左往右依次为2、5、6、4、1、0．200÷6=33……2,所以除以所得商的第200位为5．除以13的个位即为33除以13的个位，为2．即商的第200位(从左往右数)数字是5,商的个位数字是2,余数是7．7.己知：a= .问:a除以13的余数是几?【分析与解】因为1能被13整除,而1991÷3=663……2．有a= =1×1 +1×1 +1×+1×1 +…+1×1 +19911991所以a除以13的余数等于19911991除以13的余数8．8.有一个数,除以3余数是2,除以4余数是1.问这个数除以12余数是几?【分析与解】我们将这个数加上7,则这个数能被3整除,同时也能被4整除,显然能被12整除,所以原来这个数除以12的余数为12-7=5．9.某个自然数被247除余63,被248除也余63.那么这个自然数被26除余数是多少?【分析与解】我们将这个数减去63,则得到的新数能被247整除,也能被248整除,而相邻的两个整数互质,所以得到的新数能被247×248整除,显然能被26整除．于是将新数加上63除以26的余数等于63除以26的余数为11．所以这个自然数被26除余数是11．10.一个自然数除以19余9,除以23余7.那么这个自然数最小是多少?【分析与解】这个自然数可以表达为19m+9,也可以表达为23n+7,则有19m+9=23n+7，即23n-19m=2，将未知数系数与常数对19取模,有4n≡2(mod 19)．n最小取10时,才有4n≡2(mod 19).所以原来的那个自然数最小为23×lO+7=237．评注：有时往往需要利用不定方程来清晰的表示余数关系,反过来不定方程往往需要利用余数的性质来求解．11.如图15-l,在一个圆圈上有几十个孔(少于100个).小明像玩跳棋那样从A 孔出发沿着逆时针方向，每隔几个孔跳一步,希望一圈以后能跳回到A孔.他先试着每隔2孔跳一步,结果只能跳到B孔.他又试着每隔4孔跳一步，也只能跳到B孔.最后他每隔6孔跳一步,正好回到4孔.问这个圆圈上共有多少个孔?【分析与解】设这个圆圈有n个孔,那么有n除以3余1,n除以5余1.n 能被7整除．则将n-1是3、5的倍数,即是15的倍数,所以n=15t+1,又因为凡是7的倍数,即15t+1=7A,将系数与常数对7取模,有t+1≡0(mod7),所以t取6或6与7的倍数和.对应孔数为15×6+l=91或91与105的倍数和，满足题意的孔数只有91．即这个圆圈上共有91个孔．12.某住宅区有12家住户，他们的门牌号分别是1,2,3，…,12.他们的依次是12个连续的六位自然数,并且每家的都能被这家的门牌整除.已知这些的首位数字都小于6,并且门牌是9的这一家的也能被13整除,问这一家的是什么数?【分析与解】设这12个连续的自然数为n+1,n+2,n+3,…,n+12,那么有它们依次能被1,2,3,…,12整除,显然有凡能同时被1,2,3,…,12整除.即n为1,2,3,…,12的公倍数．[1,2,3,…,12]=23×32×5×7×11=27720,所以n是27720的倍数,设为27720k.则有第9家的门牌为27720k+9为13的倍数,即27720k+9=13A.将系数与常数对13取模有:4k+9≡0(mod 13),所以后可以取l或1与13的倍的和.有要求n+1,n+2,n+3,…,n+12,为六位数,且首位数字都小于6,所以k只能取14,有7n=27720×14=388080．那么门牌是9的这一家的是388080+9=388089．13.有5000多根牙签,可按6种规格分成小包.如果10根一包,那么最后还剩9根.如果9根一包,那么最后还剩8根.第三、四、五、六种的规格是,分别以8,7,6,5根为一包,那么最后也分别剩7,6,5,4根.原来一共有牙签多少根?【分析与解】设这包牙签有n根,那么加上1根后为n+1根此时有n+1根牙签即可以分成10根一包，又可以分成9根一包,还可以分成8、7、6、5根一包.所以,n+1是10、9、8、7、6、5的倍数,即它们的公倍数．[10,9,8,7,6,51=23×32×5×7=2520,即n+1是2520的倍数,在满足题下只能是2520×2=5040,所以n=5039．即原来一共有牙签5039根．14.有一个自然数,用它分别去除63,90,130都有余数,3个余数的和是25.这3个余数中最大的一个是多少?【分析与解】设这个除数为M,设它除63,90,130所得的余数依次为a,b,c,商依次为A,B,C．63÷M=A……a90÷M=B……b130÷M=C……ca+b+c=25,则(63+90+130)-(a+b+c)=(A+B+C)×M,即283-25=258=(A+B+C)×M．所以M是258的约数.258=2×3×43,显然当除数M为2、3、6时,3个余数的和最大为3×(2-1)=3，3×(3-1)=6,3×(6-1)=15,所以均不满足．而当除数M为43×2,43×3,43×2×3时,它除63的余数均是63,所以也不满足．那么除数M只能是43,它除63,90,130的余数依次为20,4,1,余数的和为25,满足．显然这3个余数中最大的为20．15.一个数去除551,745,1133,1327这4个数,余数都相同.问这个数最大可能是多少?【分析与解】这个数A除55l,745,1133,1327,所得的余数相同,所以有551,745,1133,1327两两做差而得到的数一定是除数A的倍数．1327-1133=194,1133-745=388,745-551=194,1327-745=582,1327-551=77 6,1133-551=582．这些数都是A的倍数,所以A是它们的公约数,而它们的最大公约数(194，388，194，582，776，582)=194．所以,这个数最大可能为194．。
《有余数的除法》教学设计_1
《有余数的除法》教学设计《有余数的除法》教学设计1素质教育目标一、知识教学点1．联系有余数除法的含义，使学生学会解答有余数的除法应用题．2．在掌握平均分两种分法的基础上，加深对除法两种应用题的认识．二、能力训练点1．通过操作，培养学生动脑、动手、动口等能力．2．引导学生通过类推，培养学生的知识迁移能力．三、德育渗透点1．挖掘新旧知识的内在联系，发展学生的思维．2．设疑、解难，激发学生的学习兴趣．教学重点：有余数除法应用题的结构特征及解答方法．教学难点：有余数除法两种应用题余数的处理方法．教具、学具准备：投影仪，做一做第3题的投影图片，7支铅笔，8根小棒，练习的算式卡及图片．教学步骤一、铺垫孕伏1．操作并解答．(1)把8根小棒平均分成4份，每份有几根？你是怎么分的？(2)拿出8根小棒，每4根放一堆，可以放几堆？这是怎样想的？2．列式、计算，指明口述解题思路．30个羽毛球，每6个放一盒，可以放几盒？二、探究新知1．教学例3：(1)出示例3∶7支铅笔，平均分给3个同学，每人分几支，还剩几支？(先分分看)(2)读题后引导学生操作，用小棒代替铅笔，大家共同操作后，请一名同学到前面演示．边演示边口述分的过程．教师提问：把7支铅笔，平均分给3个同学，是什么意思？(就是把7支铅笔平均分成3份．)分的结果怎样？全分完了吗？(每人分2支，还剩1支．) 教师引导：联系平均分的含义及以前我们学的知识，想想这题应怎样解答？(指名学生列式“7÷3=”，并用竖式计算)教师启发：竖式中，除得的商“2”，表示什么？(每人分得2支．)余数“1”表示什么？(还剩1支．)做应用题写横式等号后面的得数时，要写单位名称，请同学们讨论一下，这题商和余数后面的单位名称是什么？应怎样写？学生讨论后，指名回答写出横式等号后面的得数．7÷3=2(支)…1(支)教师提问：答话应怎样写？(每人分2支，还剩1支)为什么这样写？(因为平均分后，没有分完，还有剩余．)(3)对比、分析：今天我们解答的这道应用题与以前学过的除法应用题有什么相同的地方？(都是平均分，用除法计算．)有什么不同？(有余数，商和余数都写单位名称，答话因有余数需答完整．)(4)教师小结：今天我们学习的是有余数的除法应用题．(板书课题：有余数的除法应用题)在解答时要注意横式等号后面的余数及单位名称不能丢掉，写答话时要按题意回答完整．(5)反馈练习：独立完成课本120页做一做第1题．教师巡视指导．订正时，指名让学生说解题过程，重点强调计算的结果及答话应该怎样写．2．教学例4：(1)出示例4：43个乒乓球，每袋装5个，可以装几袋，还剩几个？(2)读题后，启发学生联系铺垫孕伏中第2题(羽毛球分放人盒中)列出算式：“43÷5=”，并用竖式计算(3)讨论：除得的商“8”表示什么？余数“3”表示什么？(4)根据讨论的结果，联系例3有余数除法计算结果及答话的写法，独立解答课本119页例4．(5)订正时，着重让学生说清商“8”的单位名称为什么是“袋”，余数“3”的单位名称为什么是“个”．(6)反馈练习：独立完成120页做一做的第2题．教师巡视指导．订正时，重点强调平均分的第二种的有余数的应用题计算结果的名称商与余数的单位名称为什么不同．三、巩固发展1．课本120页做一做第3题．(投影出示)看图说题意，再写算式．9÷□=□(个)……□(个)9÷□=□(盘)……□(个)(1)先引导学生看图，分析数量关系，理解题意．提问：图中一共有多少个苹果，根据这个图和算式(1)，你能说说题意吗？(根据计算结果的单位名称，“(个)……(个)”，可以推断是平均分的第一种分法．) 类推：把图和算式(2)联系起来，你能理解题意吗？(可讨论，根据计算结果的单位名称，“(盘)…(个)”，可以推断是平均分的第二种方法．) 比较、归纳：根据图及两个不完整的算式，指名请学生说出两个算式表示的意思．第一个算式表示，把9个苹果平均放在2个盘子里，每盘放4个，还剩1个．第二个算式表示，有9个苹果，每盘放4个，可以放2盘，还剩1个．(2)让学生在理解题意的基础上，独立完成写好算式．(3)订正，指名口述思维过程．2．填空：(投影出示)(1)14÷4=3 (2)14÷3=4 (2)(2)21÷6=3 (3)21÷3 =6 (3)3．做练习三十六第2题．指导学生要把2角化成20分后再列式计算．订正时，重点让学生说出为什么要先把2角化成20分．四、全课小结1．让学生观察板书，总结出今天学了什么新知识．2．教师纠正，补充性地进行小结．重点强调根据题意正确书写商和余数的单位名称．完整写出答话．五、布置作业：121页练习三十六第1、3题．《有余数的除法》教学设计2教学内容人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》三年级上册“有余数除法”，教学例4，练习十三的第2、6题。
余数问题(二)
第十三讲余数问题余数问题我们已经学过了两讲，但那两讲主要都是应用余数性质去解决除法中的除数问题，今天我们要解决的是除法中的被除数问题—“中国剩余定理”。
本类形题的出题特点：已知两种或三种除数和余数的情况，求同时满足这些情况的被除数是多少。
例如：一个自然数除以4余3，除以9余4，除以6余1，求满足条件的最小三位数？本类形题的解题方法：根据余数的基本含义有：公倍加余法和公倍减余法。
根据同余的性质有：逐级满足法。
一、公倍加余法例：求满足除以3余1，除以4余1的最小两位数？分析：根据余数的定义我们知道，余数表示被除数除以除数时没有除尽，还多出来的一些数，所以满足除以3余1的数，应该都是3的倍数再加上1即可；同理，满足除以4余1的数，应该都是4的倍数再加上1即可。
那么如想两个都满足，我们只需要找到3,4的最小公倍数再加上这个都有的余数1就可以了，所以最小的两位数即为[3,4]+1=12+1=13二、公倍减余法例：求满足除以3余2，除以4余3的最小两位数？分析：根据余数的定义我们知道，这个数除以3余2，说明还差1个数就又是3的倍数了，则这样的数应该都是3的倍数再减1即可；同理，满足除以4余3的数，也是还差1个就又是4的倍数了，则这样的数应该都是4的倍数再减1即可。
那么如想两个都满足，我们只需要找到3,4的最小公倍数再减去1就可以了。
所以最小的两位数即为[3,4]-1=12-1=11三、逐级满足法例：求满足除以7余2，除以4余1，除以11余4的最小自然数？分析：此题没有余数相同的，也没有差相同的，则上述两种方法均不可用。
那么我们可以根据同余的性质逐级满足，最后求出同时满足三种情况的最小自然数。
过程如下：（1）满足除以7余2的数应该是7a+2这样的数，但这样的数又要除以4余1。
说明：7a+2除以4是余1的，即：7a+2≡1（mod4）7a+2≡5（mod4）7a≡5-2≡3（mod4）3a≡3（mod4）a=1则满足前两种情况（除以7余2，除以4余1）的最小数为：7×1+2=9则满足前两种情况（除以7余2，除以4余1）的所有数为：[7,4]×b+9（2）那么满足除以7余2，除以4余1应该是28b+9这样的数，但这样的数又要除以11余4。
五年级数论_余数
余数知识点精讲一、 利用数的整除特征求余数2,5；4,25； 8,125；3,9；注意利用11的整除特征求余数时何时余数是a ，何时是（11—a ）；利用7,13的整除特征时，将六位数截开得到两个三位数的问题。
二、 替换求余法：（1） 和的余数等于余数的和，再除以除数的余数：两个数的和除以某个数的余数，等于这两个数分别除以这两个数后得到的余数相加后，再除以除数的余数；17532÷=， 28553÷=两个余数的和为：235+= ，5510÷=两个数的和为：172845+=，45590÷=（2） 差的余数等于余数的差，再除以除数的余数：两个数的差除以某个数的余数，等于这两个数分别除以这两个数后得到的余数相减后，再除以除数的余数；28553÷=，17532÷=两个余数的差为：321-=，1501÷=；两个数的差为：281711-=，11521÷=。
（3）积的余数等于余数的积，再除以除数的余数：两个数的乘积除以某个数的余数，等于这两个数分别除以这两个数后得到的余数相乘后，再除以除数的余数。
28553÷=，17532÷=两个余数的积为：326⨯=，6511÷=；两个数的积为：2817476⨯=，4765951÷=。
三、 余数的周期性变化：连续自然数除以3的余数按照0,1,2的周期变化，换成其他的除数也有类似规律。
四、 中国剩余定理。
A 、一个数分别除以两个数余数相同，将原数减去这个余数之后可以整除那两个数（余同）例题：有一盒乒乓球，每次8个8个地数，10个10个地数，12个12个地数，最后总是剩下3个.这盒乒乓球至少有多少个?B 、上述情况下的余数虽有不同，但与各自对应的除数的差相同，将原数加上这个差之后便可以整除（缺同）例题：求被6除余4,被8除余6,被10除余8的最小整数.C、其他情况下，凑出相同余数之后，运用第一种情况的方法。
五年级数学知识点带余数的除法讲解
五年级数学知识点带余数的除法讲解如何把小学各门基础学科学好大概是很多学生都发愁的问题，查字典数学网为大家提供了带余数的除法讲解，希望同学们多多积累，不断进步!前面我们讲到除法中被除数和除数的整除问题.除此之外，例如：163=51，即16=53+1.此时，被除数除以除数出现了余数，我们称之为带余数的除法。
一般地，如果a是整数，b是整数(b0)，那么一定有另外两个整数q和r，0r当r=0时，我们称a能被b整除。
当r0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商(亦简称为商).用带余除式又可以表示为ab=qr，0r例1 一个两位数去除251，得到的余数是41.求这个两位数。
分析这是一道带余除法题，且要求的数是大于41的两位数.解题可从带余除式入手分析。
解：∵被除数除数=商余数，即被除数=除数商+余数，251=除数商+41，251-41=除数商，210=除数商。
∵210=2357，210的两位数的约数有10、14、15、21、30、35、42、70，其中42和70大于余数41.所以除数是42或70.即要求的两位数是42或70。
例2 用一个自然数去除另一个整数，商40，余数是16.被除数、除数、商数与余数的和是933，求被除数和除数各是多少?解：∵被除数=除数商+余数，即被除数=除数40+16。
由题意可知：被除数+除数=933-40-16=877，(除数40+16)+除数=877，除数41=877-16，除数=86141，除数=21，被除数=2140+16=856。
答：被除数是856，除数是21。
例3 某年的十月里有5个星期六，4个星期日，问这年的10月1日是星期几?解：十月份共有31天，每周共有7天，∵31=74+3，根据题意可知：有5天的星期数必然是星期四、星期五和星期六。
这年的10月1日是星期四。
例4 3月18日是星期日，从3月17日作为第一天开始往回数(即3月16日(第二天)，15日(第三天)，)的第1993天是星期几?解：每周有7天，19937=284(周)5(天)，从星期日往回数5天是星期二，所以第1993天必是星期二. 例5 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求适合此条件的最小数。
五年级余数问题
余数问题一、余数的性质1、关于和的余数：（A+B）÷M的余数=（A÷M的余数+B÷M的余数）÷M的余数例如：求（635+493）÷7的余数：635÷7的余数是5，493÷7的余数是3，（5+3）÷7的余数是1，所以（635+493）÷7的余数就是1。
2、关于积的余数：（A×B）÷M的余数=（A÷M的余数）×（B÷M的余数）÷M 的余数例如：求（84×907）÷9的余数：84÷9余数是3，907÷9余数是7，3×7÷9的余数是3，所以（84×907）÷9的余数就是3。
3、两个数除以一个数，如果余数相同（我们叫这两个数同余），那么这两个数的差（大减小）能被这个数整除。
例如：94÷6=15……4；64÷6=10……4，则（94-64）能被6整除（30÷6=5）二、怎样求余数当被除数较大时，可以用“弃整法”来求余数。
例如：求63037360除以7的余数。
先弃63000000得到37360，再弃35350得到2010，除以7的余数是1。
三、除数是一些特殊数的余数的规律1、一个数除以2的余数：这个数是奇数余数为1，这个数是偶数余数为0。
2、一个数除以3或9的余数，等于这个数的各位数字之和除以3或9的余数。
例如：52547896÷3的余数=（5+2+5+4+7+8+9+6）÷3的余数，就是1。
3、一个数除以4的余数等于末两位数除以4的余数。
例如：664631646÷4的余数=46÷4的余数，就是2。
4、一个数除以5的余数，等于这个数的末位数除以5的余数。
例如：127除以5的余数等于7除以5的余数，就是2。
5、一个数除以8的余数等于这个数的末三位数除以8的余数。
有余数的除法解决问题教案
有余数的除法解决问题教案一、教学目标：1. 让学生掌握有余数的除法运算规则。
2. 培养学生运用有余数的除法解决实际问题的能力。
3. 培养学生合作交流、归纳总结的能力。
二、教学重点与难点：1. 教学重点：让学生掌握有余数的除法运算方法，能正确进行计算。
2. 教学难点：理解有余数的除法中的余数总是比除数小的规律。
三、教学准备：1. 教师准备PPT，包含有余数的除法运算示例及实际问题。
2. 学生准备练习本、笔等学习用品。
四、教学过程：1. 导入新课：通过复习整数除法的运算方法，引出有余数的除法。
2. 探究新知：（1）展示PPT中的有余数的除法运算示例，引导学生独立计算。
（2）组织学生分享计算过程，讨论有余数的除法运算规则。
（3）引导学生发现余数总是比除数小的规律。
3. 巩固练习：（1）设计一些有余数的除法运算题目，让学生独立完成。
（2）挑选几位学生上台演示解题过程，并讲解思路。
4. 应用拓展：（1）出示一些实际问题，让学生运用有余数的除法进行解决。
（2）组织学生讨论、交流解题方法，总结经验。
五、课后反思：教师在课后要对课堂教学进行反思，了解学生对有余数的除法的掌握程度，针对学生的薄弱环节进行针对性的辅导。
鼓励学生积极参加课后练习，巩固所学知识。
六、教学评价：1. 通过课堂练习和课后作业，评价学生对有余数的除法运算的掌握程度。
2. 观察学生在解决实际问题时的运用能力，评价其对知识的灵活运用程度。
3. 结合学生的课堂表现和作业完成情况，评价其合作交流、归纳总结的能力。
七、教学拓展：1. 引导学生探索有余数的除法与无余数的除法之间的关系。
2. 鼓励学生研究除法在其他数学领域的应用，如几何、概率等。
3. 推荐一些有关有余数的除法的数学读物，让学生课后自学。
八、教学资源：1. PPT课件：包含有余数的除法运算示例、实际问题及课后练习。
2. 练习题册：含有各种难度的有余数的除法题目。
3. 数学读物：有关有余数的除法的科普书籍。
余数题目[精华]
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民间传说着一则故事——“韩信点兵”。
秦朝末年，楚汉相争。
一次，韩信将1500名将士与楚王大将李锋交战。
苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死伤四五百人，于是韩信整顿兵马也返回大本营。
当行至一山坡，忽有后军来报，说有楚军骑兵追来。
只见远方尘土飞扬，杀声震天。
汉军本来已十分疲惫，这时队伍大哗。
韩信兵马到坡顶，见来敌不足五百骑，便急速点兵迎敌。
他命令士兵3人一排，结果多出2名；接着命令士兵5人一排，结果多出3名；他又命令士兵7人一排，结果又多出2名。
韩信马上向将士们宣布：我军有1073名勇士，敌人不足五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人。
汉军本来就信服自己的统帅，这一来更相信韩信是“神仙下凡”、“神机妙算”。
于是士气大振。
一时间旌旗摇动，鼓声喧天，汉军步步进逼，楚军乱作一团。
交战不久，楚军大败而逃。
解：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求适合此条件的最小数解答: 23。
70×2＋21×3+15×2-105×2＝23那么韩信点的兵在1000-1500之间，应该是70×2＋21×3+15×2+105×9=1073在我国古代算书《孙子算经》中有这样一个问题："今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？"意思是，"一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2.求适合这个条件的最小数."这个问题称为"孙子问题".关于孙子问题的一般解法，国际上称为"中国剩余定理".如何求符合上述条件的正整数N呢？《孙子算经》给出了一个非常有效的巧妙解法。
术曰：“三、三数之剩二，置一百四十；五、五数之剩三，置六十三；七、七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三。
以二百一十减之，即得。
凡三、三数之剩一，则置七十；五、五数之剩一，则置二十一；七、七数之剩一，则置十五。
余数练习题讲解
一、整数除法1. 15 ÷ 4 = ?2. 28 ÷ 7 = ?3. 36 ÷ 9 = ?4. 45 ÷ 5 = ?5. 52 ÷ 13 = ?二、带余数除法1. 17 ÷ 5 = ?2. 23 ÷ 7 = ?3. 29 ÷ 4 = ?4. 35 ÷ 8 = ?5. 41 ÷ 9 = ?三、带余数除法应用题1. 小明有25个苹果，平均分给4个小朋友，每人能得到几个苹果，还剩几个？2. 一桶水有36升，每次可以倒出8升，需要倒几次才能倒完？3. 小红有18个气球，平均分给3个小朋友，每人能得到几个气球，还剩几个？4. 一本书有72页，每次可以翻看12页，需要翻看几次才能看完？5. 小刚有27个巧克力，平均分给6个同学，每人能得到几个巧克力，还剩几个？四、余数性质1. 下列哪个选项不是余数的性质？A. 余数总是小于除数B. 余数可以是0C. 余数可以是负数D. 余数可以是除数的一半2. 如果一个数除以5的余数是2，那么这个数除以10的余数可能是多少？3. 一个数除以7的余数是3，那么这个数除以14的余数可能是多少？4. 如果一个数除以3的余数是1，那么这个数除以6的余数可能是多少？5. 一个数除以4的余数是2，那么这个数除以8的余数可能是多少？五、余数应用题1. 小华有45个糖果，平均分给3个小朋友，每人能得到几个糖果，还剩几个？2. 一桶水有60升，每次可以倒出12升，需要倒几次才能倒完？3. 小明有36个气球，平均分给4个小朋友，每人能得到几个气球，还剩几个？4. 一本书有48页，每次可以翻看8页，需要翻看几次才能看完？5. 小红有54个巧克力，平均分给6个同学，每人能得到几个巧克力，还剩几个？六、余数与倍数1. 下列哪个数除以6余1？A. 13B. 18C. 24D. 302. 一个数除以8余3，这个数除以16余多少？3. 一个数除以9余4，这个数除以27余多少？4. 一个数除以5余2，这个数除以10余多少？5. 一个数除以7余6，这个数除以49余多少？七、余数与分数1. 如果一个数除以7余3，那么这个数除以49的分数形式是什么？2. 一个数除以5余2，那么这个数除以25的分数形式是什么？3. 如果一个数除以8余4，那么这个数除以64的分数形式是什么？4. 一个数除以9余5，那么这个数除以81的分数形式是什么？5. 如果一个数除以6余1，那么这个数除以36的分数形式是什么？八、余数与方程1. 解方程：x ÷ 4 = 7 余 32. 解方程：y ÷ 5 = 9 余 23. 解方程：z ÷ 6 = 4 余 14. 解方程：w ÷ 7 = 5 余 35. 解方程：v ÷ 8 = 6 余 4九、余数与几何1. 一个正方形的边长是12厘米，如果用边长为5厘米的小正方形拼成，最多可以拼成几个？2. 一个长方形的长是20厘米，宽是15厘米，如果用边长为7厘米的正方形剪裁，最多可以剪成几个？3. 一个圆的半径是10厘米，如果用直径为5厘米的小圆切割，最多可以切割成几个？4. 一个正六边形的边长是8厘米，如果用边长为3厘米的小正六边形拼成，最多可以拼成几个？5. 一个长方体的长是18厘米，宽是12厘米，高是6厘米，如果用边长为2厘米的小正方体填充，最多可以填充成几个？十、余数与生活1. 一箱苹果有48个，每次可以卖掉6个，最多可以卖几次，还剩几个？2. 一袋糖果有60颗，每次可以分给3个小朋友，最多可以分给几个小朋友，还剩几颗？3. 一桶油有80升，每次可以倒出4升，最多可以倒几次，还剩多少？4. 一堆石头有120块，每次可以搬走8块，最多可以搬几次，还剩多少？5. 一箱书有36本，每次可以借给4个同学，最多可以借给几个同学，还剩几本？十一、余数与组合1. 有5个苹果，每次取2个，最多可以取几次，还剩几个？2. 有7个橙子，每次取3个，最多可以取几次，还剩几个？3. 有9个香蕉，每次取4个，最多可以取几次，还剩几个？4. 有6个梨，每次取5个，最多可以取几次，还剩几个？5. 有8个葡萄，每次取2个，最多可以取几次，还剩几个？十二、余数与数列1. 数列1, 4, 7, 10, ，第20项除以5的余数是多少？2. 数列2, 5, 8, 11, ，第15项除以3的余数是多少？3. 数列3, 6, 9, 12, ，第25项除以4的余数是多少？4. 数列4, 8, 12, 16, ，第18项除以5的余数是多少？5. 数列5, 10, 15, 20, ，第22项除以6的余数是多少？十三、余数与密码1. 一个密码由4位数字组成，第一位数字除以3余1，第二位数字除以4余2，第三位数字除以5余3，第四位数字除以6余4，可能的密码有哪些？2. 一个密码由3位数字组成，第一位数字除以7余2，第二位数字除以8余3，第三位数字除以9余4，可能的密码有哪些？3. 一个密码由5位数字组成，第一位数字除以11余5，第二位数字除以12余6，第三位数字除以13余7，第四位数字除以14余8，第五位数字除以15余9，可能的密码有哪些？4. 一个密码由6位数字组成，第一位数字除以16余10，第二位数字除以17余11，第三位数字除以18余12，第四位数字除以19余13，第五位数字除以20余14，第六位数字除以21余15，可能的密码有哪些？5. 一个密码由7位数字组成，第一位数字除以22余16，第二位数字除以23余17，第三位数字除以24余18，第四位数字除以25余19，第五位数字除以26余20，第六位数字除以27余21，第七位数字除以28余22，可能的密码有哪些？十四、余数与音乐1. 一个音乐节有48个座位，每次可以容纳6个观众，最多可以容纳多少个观众，还剩多少个座位？2. 一个音乐会需要80个椅子，每次可以摆放4排，每排10个，最多可以摆放多少排，还剩多少个椅子？3. 一个音乐会需要60个麦克风，每次可以放置3个在每排，每排20个，最多可以放置多少排，还剩多少个麦克风？4. 一个音乐节有72个舞台灯光，每次可以点亮8个，最多可以点亮多少次，还剩多少个灯光？5. 一个音乐会需要90个音响设备，每次可以放置9个，最多可以放置多少次，还剩多少个设备？十五、余数与数学游戏1. 在一个数字游戏中，玩家每次可以抽取一个1到6的数字，如果抽取到3的倍数，则加3分，否则减2分。
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第十三讲 余数问题
例1：甲、乙两数的和是141，甲数除以乙数商14余6，求甲、乙两数。
例2：有一个整数，除37，65所得的余数都是2，求这个数。
一显身手（一）
1．甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。
2. 有一个整数，除39，51，147所得的余数都是3，求这个数。
例3：有一个整数，除300、262、205，得到的余数相同，问这个整数是多少？
【五年级】
例4：有一个整数，用它去除70，110，160得到的三个余数之和是50。
求这个数。
例5：某个自然数被2007除余99，被2008除余99，求这个自然数被18除的余数。
例6：一个自然数N被8除余7，被7除余6，被6除余5，被5除余4，被4除余3，被3除余2，被2除余1，求N的最小值。
一显身手（二）
1.有一个整数，用它去除63,、91、129得到的三个余数之和是25。
求这个数。
2.有三个数：472,、410、565，它们分别被同一个数除所得的余数相同，且余数不为零，求这个除数。
四、自我感觉。