数学建模实例——药物在脑中的分布.

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数学建模之体内药物浓度的分布模型

2
ln 2 k
环境机体
只输出不输入房室
x(t)
x(0) D
dx dt 出
情况2 恒速静脉点滴
药物似恒速点滴方式进入体内，即: dx
则体内药物总量满足：
dx dt
kx
K0
dt
（x(0)=0）
K0
（3.13）
这是一个一阶常系数线性方程，其解为：
易见：lim C(t) K0
t
Vk
（第一次） C(t) K0 (1 ekt )
Vk 0≤t≤T1
C(t) K0 (1 ekT1 )ek (tT1)
Vk
T1≤t≤T1 +T2
环境
dx dt
K0
机体
x(t)
x(0) 0
恒定速率输入房室
dx
dt
出
情况3 口服药或肌注
口服药或肌肉注射时，药物的吸收方式与点滴时不同，药物
D，浓度为D/V，只输出不输入的房室，即系统可看成近似地
满足微分方程：
dx kx 0 dt
（3.12）
其解为：
x(0) D x(t) Dekt
负增长率的Malthus模型
药物的浓度： c(t) D ekt
V
与放射性物质类似，医学上将血浆药物浓度衰减一半所需的
时间称为药物的血浆半衰期：
t1
dx dt
出
kx
假设药物均匀分布
环境
药物的输入规律与给药的方式有关。下面，我们来研究一下在几种常 dx
机体
见的给药方式下体内药体的变化规律。
dt
入
x(t)
dx
பைடு நூலகம்dt
出

历年美国数学建模(AMCM)问题

AMCM85问题-A 动物群体的管理在一个资源有限，即有限的食物、空间、水等等的环境里发现天然存在的动物群体。

试选择一种鱼类或哺乳动物(例如北美矮种马、鹿、免、鲑鱼、带条纹的欧洲鲈鱼)以及一个你能获得适当数据的环境，并形成一个对该动物群体的捕获量的最佳方针。

AMCM85问题-B 战购物资储备的管理钴对许多工业是必不可少的(1979年仅国防需要就占了全世界钴生产量的17％)，但是钴不产生在美国。

大部分钴来自政治上不稳定的构F地区。

见图85B-1，85B-2，85B-3。

1946年制订的战略和稀有作战物资存贮法令要求钴的储存量应保证美国能渡过三年战争时期。

50年代政府按要求存贮了，并在70年代卖掉了大部分贮量，而在70年代后期决定重新贮存，贮存的指标是8540万磅，到1982年获得了贮量的一半。

试建立一个战略金属钴的储存管理数学模型。

你需要考虑诸如以下的问题；贮量应多大?应以多大的比率来获得贮量?买这些金属的合理价格应该是多少?还要求你考虑诸如以下的问题，贮量达到多大时应开始减少贮存量?应以多大的比率来减少？卖出这些金属的合理价格应该是多少?应该怎样分配(附页中有关于钴的资源、价格、需求及再循环等方面的信息)关于钴有用信息：1985年政府计划需要2500万磅钴。

进行周而复始的生产经营，从而每年可生产600万磅钴。

1980年占总消耗量70银的120万磅钴再循环了，得到了重新处理。

AMCM86问题-A 水道测量数据表86A-1给出了在以码为单位的直角坐标为X，Y的水面一点处以英尺计的水Z．水深数据是在低潮时测得的。

船的吃水深度为5英尺。

在矩形区域(75，200)×(-50，150)里的哪些地方船要避免进入。

本题是由加州海军研究生院数学系的Richard Franke提供的，可阅他的论文Scattered Data Interpolation，Math，Comput.，38(1982)，18l-200。

脑部神经功能数学建模

脑部神经功能数学建模从古至今，数学一直被认为是自然科学的基础和核心。

在现代科学中，数学已经成为许多领域的研究工具和基石。

而脑部神经功能的数学建模，则是近年发展起来的一种科学领域，它通过运用各种数学方法和模型，对人类大脑的运行机制和功能进行解析和预测。

本文将探讨脑部神经功能的数学建模在科学研究和应用中的意义和前景。

脑部神经功能的数学建模主要是将脑部神经功能视为一种信息处理系统，通过测量和记录脑电波、磁共振成像等数据，将这些数据处理后，运用数学方法和模型，得出脑部神经系统的结构和功能，并进行预测和调控。

脑部神经功能的数学建模是一项高度跨学科的研究领域，需要结合多个学科的知识和理论，包括数学、物理学、神经科学、计算机科学等。

其中，数学在脑部神经功能的数学建模中起到了至关重要的作用。

数学提供了一种精细、抽象的表达方式，能够将神经科学中的复杂现象和规律去抽象化，从而便于更深入的研究和理解。

一些数学方法和技术，如线性代数、微积分、拟合、最优化等，都被广泛应用到了脑部神经功能的数学建模中，并产生了许多具有广泛应用前景的成果。

首先，脑部神经功能的数学建模在疾病预测和诊断方面具有重要的应用价值。

脑部神经系统在许多神经疾病和精神障碍中发挥着重要作用，通过对神经功能进行数学建模，可以对神经系统的功能和异常进行研究和分析，预测疾病发展趋势以及进行精准诊断。

例如，脑部神经功能的数学建模可以在病变部位定位和分析病变特征，帮助医生更准确地诊断和治疗患者。

其次，脑部神经功能的数学建模可以在脑机接口技术中得到应用。

脑机接口是一种新型的交互方式，它通过记录人脑的神经信号，将人脑和外部设备相连，使得人类可以通过大脑来控制电脑和其他设备。

脑部神经功能的数学建模在脑机接口技术中的应用，可以有效促进人类与机器之间的交互，尤其对于残疾人士，可极大地提高其生活质量。

除此之外，脑部神经功能的数学建模还有其他一些应用，如通过对人脑智力活动的研究，发展智能优化算法；通过模拟神经元的运作，研究神经细胞的信息处理机制，从而促进人工智能的发展等。

药物动力学模型数学建模

药物动力学模型一般说来,一种药物要发挥其治疗疾病得作用,必须进入血液,随着血流到达作用部位。

药物从给药部位进入血液循环得过程称为药物得吸收,而借助于血液循环往体内各脏器组织转运得过程称为药物得分布。

药物进入体内以后,有得以厡型发挥作用,并以厡型经肾脏排出体外;有得则发生化学结构得改变--称为药物得代谢。

代谢产物可能具有药理活性,可能没有药理活性。

不论就是厡型药物或其代谢产物,最终都就是经过一定得途径(如肾脏、胆道、呼吸器官、唾液腺、汗腺等)离开机体,这一过程称为药物得排泄。

有时,把代谢与排泄统称为消除。

药物动力学(Pharmacokinetics)就就是研究药物、毒物及其代谢物在体内得吸收、分布、代谢及排除过程得定量规律得科学。

它就是介于数学与药理学之间得一门新兴得边缘学科。

自从20世纪30年代Teorell为药物动力学奠定基础以来,由于药物分析技术得进步与电子计算机得使用,药物动力学在理论与应用两方面都获得迅速得发展。

至今,药物动力学仍在不断地向深度与广度发展。

药物动力学得研究方法一般有房室分析;矩分析;非线性药物动力学模型;生理药物动力学模型;药物药效学模型。

下面我们仅就房室分析作一简单介绍。

为了揭示药物在体内吸收、分布、代谢及排泄过程得定量规律,通常从给药后得一系列时间(t) 采取血样,测定血(常为血浆,有时为血清或全血)中得药物浓度( C );然后对血药浓度——时间数据数据(C ——t数据)进行分析。

一一室模型最简单得房室模型就是一室模型。

采用一室模型,意味着可以近似地把机体瞧成一个动力学单元,它适用于给药后,药物瞬间分布到血液、其它体液及各器官、组织中,并达成动态平衡得情况。

下面得图(一)表示几种常见得给药途径下得一室模型,其中C代表在给药后时间t 得血药浓度,V代表房室得容积,常称为药物得表观分布容积,K代表药物得一级消除速率常数,故消除速率与体内药量成正比,D代表所给刘剂量。

图(a)表示快速静脉注射一个剂量D,由于就是快速,且药物直接从静脉输入,故吸收过程可略而不计;图(b)表示以恒定得速率K,静脉滴注一个剂量D;若滴注所需时间为丅,则K=D/丅。

美赛历年题目_pdf

马剑整理历年美国大学生数学建模赛题目录MCM85问题-A 动物群体的管理 (3)MCM85问题-B 战购物资储备的管理 (3)MCM86问题-A 水道测量数据 (4)MCM86问题-B 应急设施的位置 (4)MCM87问题-A 盐的存贮 (5)MCM87问题-B 停车场 (5)MCM88问题-A 确定毒品走私船的位置 (5)MCM88问题-B 两辆铁路平板车的装货问题 (6)MCM89问题-A 蠓的分类 (6)MCM89问题-B 飞机排队 (6)MCM90-A 药物在脑内的分布 (6)MCM90问题-B 扫雪问题 (7)MCM91问题-B 通讯网络的极小生成树 (7)MCM 91问题-A 估计水塔的水流量 (7)MCM92问题-A 空中交通控制雷达的功率问题 (7)MCM 92问题-B 应急电力修复系统的修复计划 (7)MCM93问题-A 加速餐厅剩菜堆肥的生成 (8)MCM93问题-B 倒煤台的操作方案 (8)MCM94问题-A 住宅的保温 (9)MCM 94问题-B 计算机网络的最短传输时间 (9)MCM-95问题-A 单一螺旋线 (10)MCM95题-B A1uacha Balaclava学院 (10)MCM96问题-A 噪音场中潜艇的探测 (11)MCM96问题-B 竞赛评判问题 (11)MCM97问题-A Velociraptor(疾走龙属)问题 (11)MCM97问题-B为取得富有成果的讨论怎样搭配与会成员 (12)MCM98问题-A 磁共振成像扫描仪 (12)MCM98问题-B 成绩给分的通胀 (13)MCM99问题-A 大碰撞 (13)MCM99问题-B “非法”聚会 (14)MCM2000问题-A空间交通管制 (14)MCM2000问题-B: 无线电信道分配 (14)MCM2001问题- A: 选择自行车车轮 (15)MCM2001问题-B 逃避飓风怒吼（一场恶风...） .. (15)MCM2001问题-C我们的水系-不确定的前景 (16)MCM2002问题-A风和喷水池 (16)MCM2002问题-B航空公司超员订票 (16)MCM2002问题-C (16)MCM2003问题-A: 特技演员 (18)MCM2003问题-B: Gamma刀治疗方案 (18)MCM2003问题-C航空行李的扫描对策 (19)MCM2004问题-A：指纹是独一无二的吗？ (19)MCM2004问题-B：更快的快通系统 (19)MCM2004问题-C安全与否？ (19)MCM2005问题A.水灾计划 (19)MCM2005B.Tollbooths (19)MCM2005问题C：不可再生的资源 (20)MCM2006问题A: 用于灌溉的自动洒水器的安置和移动调度 (20)MCM2006问题B: 通过机场的轮椅 (20)MCM2006问题C : 抗击艾滋病的协调 (21)MCM2007问题B ：飞机就座问题 (24)MCM2007问题C：器官移植：肾交换问题 (24)MCM2008问题A:给大陆洗个澡 (28)MCM2008问题B：建立数独拼图游戏 (28)MCM85问题-A 动物群体的管理在一个资源有限，即有限的食物、空间、水等等的环境里发现天然存在的动物群体。

数学建模药物疗效问题

药物疗效问题摘要随着临床给药方案的日益多样化，等剂量、等间隔的给药方案已远远不能满足临床需要，因此寻找出合理的剂量及时间间隔的给药方案具有重要的意义。

因此在我们充分理解题意的基础上，提出了合理的假设。

并通过对问题的深入分析与把捏，我们将本题最终归结为非血管给药问题，并建立了单房室模型。

在处理问题（一）时，本文首先将人体服药后的血药浓度和时间的关系利用最小二乘法拟合得到二次多项式，建立了模型一；接着利用药动学中房室模型中的血管外给药单室模型，利用残数法通过matlab 建立了模型二。

对两个模型分别进行相关系数检验，得出其相关系数矩阵，从而比较出模型二较模型一能更好地描述人体服药后的血药浓度与时间的关系。

得到的药理方程为：)(0011.586785.03056.0t t e e y ---=在处理问题（二）时，本文以易懂的静脉注射给药模型为基础再导向复杂的多剂量血管外给药模型，并提出了“稳定血药浓度”这一概念。

利用matlab 软件得出当病人服用剂量为200mg 的药物时，服药时间间隔为4个或5个小时，可使其体内的血药浓度维持在4-8之间；当服药剂量为300mg 时，服药时间间隔为7个小时，可使病人体内的血药浓度维持在4-8之间。

在处理问题（三）时，本文根据问题（二）中提出的多剂量血管外给药模型，考虑到若病人两次服同类药物，第二次服药的浓度只有80%的效应，对多剂量血管外给药模型进行修正，从而得到考虑二次服药药效的多剂量血管外给药模型。

利用matlab 软件得出当病人服用剂量为200mg 的药物时，服药时间间隔为3个或4个小时，可使其体内的血药浓度在一天内维持在4-8之间；当服药剂量为300mg 时，服药时间间隔为5个小时，可使病人体内的血药浓度在一天内维持在4-8之间。

然后，我们通过分析，考虑若服用200mg 剂量的药，服药时间间隔过短，对于病人来说是一种精神负担，经济负担略重，再加上日常生活中往往要缩短病愈的时间，最终我们提出服用间隔为5个小时的300mg 的大剂量药物的结论。

(完整版)扩散问题的偏微分方程模型,数学建模

第七节扩散问题的偏微分方程模型物质的扩散问题，在石油开采、环境污染、疾病流行、化学反应、新闻传播、煤矿瓦斯爆炸、农田墒情、水利工程、生态问题、房屋基建、神经传导、药物在人体内分布以及超导、液晶、燃烧等诸多自然科学与工程技术领域，十分普遍地存在着. 显然，对这些问题的研究是十分必要的，其中的数学含量极大. 事实上，凡与反应扩散有关的现象，大都能由线性或非线性抛物型偏微分方程作为数学模型来定量或定性地加以解决.ＭＣＭ的试题来自实际，是“真问题⊕数学建模⊕计算机处理”的“三合一”准科研性质的一种竞赛，对上述这种有普遍意义和数学含量高，必须用计算机处理才能得到数值解的扩散问题，当然成为试题的重要来源，例如，ＡＭＣＭ-90Ａ，就是这类试题；ＡＭＣＭ-90Ａ要研究治疗帕金森症的多巴胺（dopamine ）在人脑中的分布，此药液注射后在脑子里经历的是扩散衰减过程，可以由线性抛物型方程这一数学模型来刻划. ＡＭＣＭ-90Ａ要研究单层住宅混凝土地板中的温度变化，也属扩散（热传导）问题，其数学模型与ＡＭＣＭ-90Ａ一样，也是线性抛物型方程.本文交代扩散问题建模的思路以及如何推导出相应的抛物型方程，如何利用积分变换求解、如何确定方程与解的表达式中的参数等关键数学过程，且以ＡＭＣＭ-90Ａ题为例，显示一个较细致的分析、建模、求解过程.§1 抛物型方程的导出设(,,,)u x y z t 是t 时刻点(,,)x y z 处一种物质的浓度. 任取一个闭曲面S ，它所围的区域是Ω，由于扩散，从t 到t t +∆时刻这段时间内，通过S 流入Ω的质量为2221(cos cos cos )dSd t ttSu u u M a b c t x y zαβγ+∆∂∂∂=++∂∂∂⎰⎰⎰. 由高斯公式得2222221222()d d d d t ttu u u M a b c x y z t x y z +∆Ω∂∂∂=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰. （1）其中，222,,a b c 分别是沿,,x y z 方向的扩散系数. 由于衰减（例如吸收、代谢等），Ω内的质量减少为22d d d d t ttM k u x y z t +∆Ω=⎰⎰⎰⎰，（2）其中2k 是衰减系数.由物质不灭定律，在Ω内由于扩散与衰减的合作用，积存于Ω内的质量为12M M -.换一种角度看，Ω内由于深度之变化引起的质量增加为3[(,,,)(,,,)]d d d d d d d . (3)t ttM u x y z t t u x y z t x y zux y z t t Ω+∆Ω=+∆-∂=∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰显然312M M M =-，即2222222222d d d d ()d d d d .t ttt ttux y z t t u u u a b c k u x y z t x y z+∆Ω+∆Ω∂∂∂∂∂=++-∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰由,,t t ∆Ω之任意性得2222222222u u u u a b c k u t x y z∂∂∂∂=++-∂∂∂∂ （4）方程（４）是常系数线性抛物型方程，它就是有衰减的扩散过程的数学模型，对于具体问题，尚需与相应的定解条件（初始条件与边界条件等）匹配才能求得确定情况下的解.§2 Ｄirac 函数物理学家Dirac 为了物理模型之需要，硬是引入了一个当时颇遭微词的，使得数学与物理学传统密切关系出现裂痕的“怪”函数：0,0,() ()1.,0,x x x dx x δδ+∞-∞≠⎧==⎨∞=⎩⎰ （5）它的背景是清晰的，以一条无穷长的杆子为例，沿杆建立了一维坐标系，点的坐标为x ，杆的线密度是()x ρ，在(,]x -∞段，杆子质量为()m x ，则有d ()(), ()d ().d x m x x x x m x xρρ-∞==⎰. （6）设此无穷长的杆子总质量为１，质量集中在0x x =点，则应有001,,()0,,x x m x x x >⎧=⎨<⎩ 或写成 0()()m x H x x =-，其中()H x 为1,0,()0,0,x H x x >⎧=⎨<⎩ 如果沿用（6）中的算法，则在质量集中分布的这种情形有00,,(),0.x x x x ρ≠⎧=⎨∞=⎩且0()d ()xx x H x x ρ-∞=-⎰，于是得()d 1.x x ρ+∞-∞=⎰. （7）但是，从传统数学观点看，若一个函数除某点处处为零，则不论哪种意义下的积分，都必定为零，（7）式岂能成立！但是，δ函数对于物理学而言是如此之有用，以致物理学家正当地拒绝放弃它. 尽管当时数学家们大都嘲笑这种函数，但Ｐ.Ａ.Ｍ.Ｄirac 及其追随者们在物理领域却收获颇丰，Dirac 于1933年获诺贝尔物理奖. 当然Dirac 也意识到()x δ不是一个通常的函数，至于找一种什么办法来阐明()x δ这一符号的合法性，那就是数学家的任务了. 1940年，法国数学家许瓦兹（L.Schwartz ）严格证明了应用()x δ的正确性，把δ函数置于坚实的数学基础上；1950年，L. Schwartz 获数学界最高奖Fields 奖.δ函数的重要性质有：1）0()d 1x x x δ+∞-∞-=⎰. （8）2）00()()d ()x x f x x f x δ+∞-∞-=⎰. （9）其中()(,)f x C ∈-∞+∞，即0()x x δ-摘出了()f x 在0x x =的值.3）00()()dH x x x x dxδ-=-. （10）4）()x δ的导数是存在的，不过要到积分号下去理解：00()()(),x x f x dx f x δ+∞-∞''-=-⎰ （11）()()00()()(1)().n n n x x f x dx f x δ+∞-∞-=-⎰（12）事实上，由于0()x x δ-在,+∞-∞处为零，则形式地用分部积分公式000()()()()d ()()d ,x x f x x x f x xx x f x x δδδ+∞+∞-∞-∞+∞-∞'---'=-⎰⎰其中，()(,)nf x C ∈-∞+∞，于是有（11）与（12）公式.5）对于()(,)x C ϕ∈-∞+∞，有000()()()()x x x x x x ϕδϕδ-=-. （13）6）1()() (0)||bx x b b δδ=≠. （14）7）000000(,,)()()()x x y y z z x x y y z z δδδδ---=---. （15）8）付立叶变换00[()].i x y y e λδ--= （16）[()] 1.x δ= （17）11221122[()()][()][()].C x x C x x C x x C x x δδδδ-+-=-+- （18）9）拉普拉斯变换00[(),[() 1.x x x e x δδδ--== （19）11221122[()]()][()[()].C x x C x x C x x C x x δδδδ-+-=-+- （20）从上面的定义与性质看出，Delta 函数()x δ与一般可微函数还是有重大区别的，我们说它是“广义函数. ”§3 Cauchy 问题的解设扩散源在点000(,,)x y z 处，则此扩散问题满足Cauchy 问题2222222222000, (21)(,,,0)()()(). (22)u u u u a b c k u tx y z u x y z M x x y y z z δδδ⎧∂∂∂∂=++-⎪∂∂∂∂⎨⎪=---⎩对（21）（22）进行付立叶变换，且令123ˆ(,,), (,)[(,,,)]ut u x y z t λλλλλ==，由于222222123222ˆˆˆ[], [], [],u u u uu u x y zλλλ∂∂∂=-=-=-∂∂∂ 102030000()[(,,,0)][()][()][()] ,i x y z u x y z M x x y y z z Me λλλδδδ-++=---= 故得常微分方程Cauchy 问题1020302222222123()ˆ()0,ˆ(0,).i x y z du a b c k udtu Meλλλλλλλ-++⎧++++=⎪⎨⎪=⎩ 得唯一解2222222123102030()()ˆ(,)a b c k t i x y z ut Me λλλλλλλ-+++-++=. （23）对（23）求逆变换1-，由于2122214[]a xa eλ---=， 2110221240[]()i x e aa ex x λλ----=-，故得12222000222ˆ(,,,)[]()()()exp 444u x y z t u x x y y z z k t a t b t c t -=⎧⎫---=----⎨⎬⎩⎭2222000222()()().444x x y y z z k t a t b t c t ⎧⎫---=----⎨⎬⎩⎭（24）如果认为经过了相当长时间后，扩散已经终止，物质分布处于平衡状态，则方程（4）中的0ut∂=∂，于是有线性椭圆型方程的边值问题 22222222220, (,,)(,,)(,,).D u u u a b c k u x y z D xy z u x y z x y z ϕ∂⎧∂∂∂++-=∈⎪∂∂∂⎨⎪=⎩也可以用付立叶变换求解. 当然，根据实际情况，还可以考虑第二边条件(,,)Dux y z n ∂∂=ψ∂或第三边条件[](,,)D uu x y z nαβρ∂∂+=∂等，其中D ∂是区域D 的边界，n 是外法线方向，,αβ是实常数.§4 参数估计在Cauchy 问题（21）（22）的解（23）中，有四个未知的参数,,,a b c k ，它们分别是扩散与衰减过程中的扩散系数与衰减系数的算术平方根. 至于点源的质量与位置000,(,,)M x y z 是已知的.设观测取样为：11112222(,,,), (,,,),,(,,,),n n n n x y z m x y z m x y z m取样时刻为1t =（不然设00, t t t τ=是取样时间，则（21）变成2200t xx yy U t a U t b U =++2200zz t c U t k U -，对τ而言，取样时间为１,而方程形状与（21）一致），把在(,,)i i i x y z 点观测到的物质密度i m 与公式（24）都取对数，令1t =，则2222000222()()()ln (,,,1)ln []444x x y y z z u x y z abc k a b c ---=--+++. （25）令222000222()()()111,,,,,,444x x y y z z X Y Z a b c αβγ---====-=-=-2ln ln abc k ε=--，则（25）写成 ln (,,,1)W u x y z X Y Z αβγε==+++，（26）而我们已观测得(,,,)1,2,,i i i i X Y Z W i n =的数据，用三元回归分析方法求出,,,αβγε的估计值如下：ˆˆˆˆ()W X Y Z εαβγ=-++，（27）其中11111111, , , ,n n n nk i i i k k k k W W X X Y Y Z Z n n n n ========∑∑∑∑ˆˆˆ,,αβγ满足方程组 111213102122232031323330ˆˆˆ,,ˆˆˆ,,ˆˆˆ,.l l l l l l l l l l l l αβγαβγαβγ⎧++=⎪⎪++=⎨⎪++=⎪⎩ 其中10201130122211223311112131123211()(), ()(),()(),(), (), (),()(), ()(),()(), n nk k k k k k nk k k nn nk k k k k k nnk k k k k k nk k k l W X W W l Y Y W W l Z Z W W l X X l Y Y l Z Z l X X Y Y l X X Z Z l Y Y Z Z l ==========--=--=--=-=-=-=--=--=--∑∑∑∑∑∑∑∑∑1231133223, , .l l l l l ===由ˆˆˆ,,αβγ可求得222,,a b c 的估计值，即222111ˆˆˆ, , ˆa b cαβγ=-=-=-. 又由于 2ln k abc ε=+- （28）由（27）式可得ˆε，再把ˆˆˆ,,a b c 代入（28）得 2ˆˆˆˆˆln kabc ε=+- （29）至此得到参数2222,,,a b c k 的估计值2222ˆˆˆˆ,,,a b c k ，把它们代入（24）分别替代2222,,,a b c k ，则得不含未知参数的解(,,,)u x y z t 的近似表达式.§5 竞赛试题分析AMCM-90A 不可用本文的思路与方法加以解决；该试题由东华盛顿大学数学系Ｙves Nievergelt 提供，要求研究药物在脑中的分布，题文称：“研究脑功能失调的人员欲测试新的药物的效果，例如治疗帕金森症往脑部注射多巴胺（Dopamine ）的效果，为了精确估计药物影响到的脑部区域，它们必须估计注射后药物在脑内空间分布区域的大小和形状.“研究数据包括50个圆柱体组织样本的每个样本药物含量的测定值（如图6-1），每个圆柱体长0.76mm ，直径0.66mm ，这些互相平行的圆柱体样本的中心位于网格距为1m m ×0.76×m m ×1mm 的格点上，所以圆柱体互相间在底面上接触，侧面互不接触. 注射是在最高计数的那个圆柱体的中心附近进行的. 自然在圆柱体之间以及由圆柱体样本的覆盖的区域外也有药物.“试估计受到药物影响的区域中药物的分布. ”“一个单位表示一个闪烁微粒的计数，或多巴胺的4.753×10-18克分子量，例如表6-1指出位于后排当中那个圆柱体的含药量是28353个单位. ”后方垂直截面164442 1320 414 188 480 7022 14411 5158 352 2091 23027 28353 13138 681 789 21260 20921 11731 727 213 130337651715453前方垂直截面163 324 432 243166 712 1055 6098 1048 232 2137 15531 19742 4785 330 444 11431 14960 3182 301 29420611036 258188图6-1数学模型只是实际问题的近似，要建立数学模型，一般首先要对所研究的实际问题进行必要和允许的简化与假设，而且，不同的简化与假设，又可能导致不同的数学模型，例如[2]是抛物型方程模型，而[3]则是椭圆方程模型.假设：（1）注射前大脑中的多巴胺含量可以忽略不计.（2）大脑中多巴胺注射液经历着扩散与衰减的过程，且沿,,x y z 三个方向的扩散系数分别是常数，衰减使质量之减少与深度成正比.（3）注射点在后排中央那个圆柱中心，即注射点的坐标000(,,)x y z 已知，注射量有医疗记录可查，是已知的.（4）注射瞬间完成，可视为点源delta 函数. （5）取样也是瞬间完成，取样时间已知为1t =.（6）样本区域与整个大脑相比可以忽略，样本组织远离脑之边界，不受大脑边界面的影响.在以上假设之下，显然可以用本文前面讲过的思路来建模，于是得AMCM-90A 的数学模型为Cauchy 问题（21）（22），解的表达式为（24），且用三元回归分析来估出参数,,,a b c k ，于是可以求得任意位置任意时刻药物的深度.如果所给数据认为是在平衡状态测得的，药物注射进脑后，从高深度处向低深度处扩散，与扩散同时，一部分药物进入脑细胞被吸收固定，扩散系数与吸收系数都是常数，但过一段时间，所有药物都被脑细胞所固定，达到了平衡态. 在这种假设下，[3]给出了下述的分析、建模、求解过程.设(,,,)v x y z t 是t 时刻在(,,)x y z 点处游离的药物浓度，(,,,)w x y z t 是t 时刻(,,)x y z 点处吸收固定的药物浓度，(,,)u x y z 是达到平衡态时(,,)x y z 点处吸收固定的药物浓度. 又设游离药物在各方向上有相同的扩散系数k ，吸收系数为h ，于是有vk v hv t∂=∆-∂. （30）又whv t∂=∂，即吸收速度与游离的浓度成正比，代入（30）得 ()v k ww t h t t∂∂∂=∆-∂∂∂. （31）对（31）关于t 从０到+∞积分得000t t t k v w w h+∞+∞+∞====∆-. （32）由于最后无游离药物，故(,,,)0v x y z +∞=，又开始时(0)t =无被吸收的药物，故(,,,0)0, (,,,0)0w x y z w x y z =∆=；平衡状态在t =+∞时达到，这时(,,)u x y z = (,,,)w x y z +∞，于是由（32）得(,,,0)ku u v x y z h-∆+=，（33）其中(,,,0)v x y z 是开始时的浓度分布，近似于注射点的点源脉冲函数. 把此注射点取为坐标原点(0,0,0)，则(,,,0)(,,),v x y z L x y z L δ=是注射量，于是2k h σ⎛⎫= ⎪⎝⎭记2(,,)u u L x y z σδ-∆+=，（34）作付立叶变换得22222222ˆˆ(),ˆ,1()s u u L Lus σξησξη+++==+++ 再作反变换得u σ-=-，（35）其中C 是可计算常数.如果考虑各向不同性，设,,x y z 方向上扩散系数分别为222,,a b c ，注射点在000(,,)x y z ，则222222000222()()()u u u a b c u L x x y y z z x y z δδδ⎛⎫∂∂∂-+++=--- ⎪∂∂∂⎝⎭，于是解为(,,)u x y z =exp 1⎧⎪-⎨⎪⎩，（36）（36）中的D 可计算常数.用前面类似的方法可以进行参数估计.在建模过程中，点源函数的使用显然与实况有差别；尤其是认为扩散系数与吸收系数都是常数，对于人脑这种有复杂结构的区域，这种假设与实际不会完全符合；夜间与白天（睡与醒）对这些系数有无影响？脑中各点这些系数是否有变？除时间位置应考虑外，可能还与药液浓度有关. 如此看来，脑内药液分布的数学模型很可能不是常系数线性偏微分方程，而是函数系数的线性微分方程甚至是非线性偏微分方程. 这时，其解不再能用封闭公式来表达，求解过程会变得极为复杂，所以也可以考虑是否试用其他数学模型来解，例如在平衡态的假设下，用回归分析方法建立药液的模拟分布(,,)u f x y z =.对一个实际问题，其数学模型未必唯一，各模型间孰优孰劣，没有一般的判别法，须经实践来检验.参考文献[1]叶其孝，大学生数学建模竞赛辅导教材，湖南教育出版社，1993.[2]Christopher, R. Malone, Gian Pauletto, James, I. Zoellick, Distribution of Dopamine in the Brain, The Journal of Under graduate Mathematics, and its Applications, vol. 12(1991), Special Issue: The 1991 Mathematical Contest in Modeling, pp. 211-223.[3]孙晓东，荆秦，梁俊，脑中药物分布的数学模型，数学的实践与认识，1991年No. 4，63-69. [4]中国科学院数理统计组，常用数理统计方法，科学出版社，19784.。

数学建模美国赛历年试题.

历年美国大学生数学建模赛题目录MCM85问题-A 动物群体的管理 (3)MCM85问题-B 战购物资储备的管理 (3)MCM86问题-A 水道测量数据 (4)MCM86问题-B 应急设施的位置 (4)MCM87问题-A 盐的存贮 (4)MCM87问题-B 停车场 (5)MCM88问题-A 确定毒品走私船的位置 (5)MCM88问题-B 两辆铁路平板车的装货问题 (5)MCM89问题-A 蠓的分类 (5)MCM89问题-B 飞机排队 (6)MCM90-A 药物在脑内的分布 (6)MCM90问题-B 扫雪问题 (6)MCM91问题-B 通讯网络的极小生成树 (6)MCM 91问题-A 估计水塔的水流量 (7)MCM92问题-A 空中交通控制雷达的功率问题 (7)MCM 92问题-B 应急电力修复系统的修复计划 (7)MCM93问题-A 加速餐厅剩菜堆肥的生成 (7)MCM93问题-B 倒煤台的操作方案 (8)MCM94问题-A 住宅的保温 (8)MCM 94问题-B 计算机网络的最短传输时间 (9)MCM-95问题-A 单一螺旋线 (9)MCM95题-B A1uacha Balaclava学院 (10)MCM96问题-A 噪音场中潜艇的探测 (10)MCM96问题-B 竞赛评判问题 (10)MCM97问题-A Velociraptor(疾走龙属)问题 (11)MCM97问题-B为取得富有成果的讨论怎样搭配与会成员 (11)MCM98问题-A 磁共振成像扫描仪 (12)MCM98问题-B 成绩给分的通胀 (13)MCM99问题-A 大碰撞 (13)MCM99问题-B “非法”聚会 (13)MCM2000问题-A空间交通管制 (13)MCM2000问题-B: 无线电信道分配 (14)MCM2001问题- A: 选择自行车车轮 (14)MCM2001问题-B 逃避飓风怒吼（一场恶风...） .. (15)MCM2001问题-C我们的水系-不确定的前景 (15)MCM2002问题-A风和喷水池 (15)MCM2002问题-B航空公司超员订票 (16)MCM2002问题-C (16)MCM2003问题-A: 特技演员 (17)MCM2003问题-B: Gamma刀治疗方案 (18)MCM2003问题-C航空行李的扫描对策 (18)MCM2004问题-A：指纹是独一无二的吗？ (18)MCM2004问题-B：更快的快通系统 (18)MCM2004问题-C安全与否？ (19)MCM2005问题A.水灾计划 (19)MCM2005B.Tollbooths (19)MCM2005问题C：不可再生的资源 (20)MCM2006问题A: 用于灌溉的自动洒水器的安置和移动调度 (20)MCM2006问题B: 通过机场的轮椅 (20)MCM2006问题C : 抗击艾滋病的协调 (21)MCM2008问题A:给大陆洗个澡 (23)MCM2008问题B：建立数独拼图游戏 (23)MCM85问题-A 动物群体的管理在一个资源有限，即有限的食物、空间、水等等的环境里发现天然存在的动物群体。

数学建模药物疗效问题

因此在我们充分理解题意的基础上，提出了合理的假设。

并通过对问题的深入分析与把捏，我们将本题最终归结为非血管给药问题，并建立了单房室模型。

对两个模型分别进行相关系数检验，得出其相关系数矩阵，从而比较出模型二较模型一能更好地描述人体服药后的血药浓度与时间的关系。

数学建模6.2药物在体内的分布与排除

Logistic 模型
1 1 t 1 i 1 e 0
1
t
t=tm, di/dt 最大
tm~传染病高潮到来时刻
1 t m ln i 1 0 t i 1 ?
病人可以治愈！
(日接触率) tm
模型3
增加假设建模
2 (t ) k12 x1 k21 x2 x
f ~ 给药速率
模型建立 ci (t ) xi (t ) / Vi , i 1, 2
t Ac t b t , c
( k12 k13 ) A V1 k12 V2 V2 k21 f (t ) V1 , b t V 1 0 k21
t i ?
必须区分已感染者(病人) 和未感染者(健康人)
若有效接触的是病人，则不能使病人数增加
模型2
假设
区分已感染者(病人)和未感染者(健康人) 1）总人数N不变，病人和健康人的比例分别为 i(t ), s(t ) 2）每个病人每天有效接触人数为, 且使接触的健康人致病
SI 模型
6.2 药物在体内的分布与排除
• 药物进入机体形成血药浓度(Plasma Concentration)
• 血药浓度需保持在一定范围内——给药方案设计 • 药物在体内吸收(Absorption)、分布(Distribution)、代谢 (Metabolism)和排除(Elimination)(ADME)过程的定量描述 ——药物动力学(Pharmacokinetics)
其它参数估计
t , c1 0
进入中心室的药物全部排除
k13
k12 k21 k13 k21k13

数学建模实例——药物在脑中的分布

试估计受到药物影响的区域中药物的分布。
后方垂直截面 164 442 1320 414 480 7022 14411 5158 2091 23027 28353 13138 789 21260 20921 11731 213 1303 3765 1715 188 352 681 727 453 163 324 712 4055 2137 15531 444 11431 294 2061 前方垂直截面 432 243 6098 1048 19742 4785 14960 3182 1036 258 166 232 330 301 188
数值求积方法
给定数据：圆柱取样上的计数单位表示出模型预测值：多巴胺的浓度值，即因变量C在每个圆柱体上的积分值模型预测值和给定数据进行直接比较，确定各个参数。

模型预测值
我们采用三维矩形积分公式。第 i 个柱体上的多巴胺克分子质量为 m i=
C ( x, y, z )dV Cij j
基于样本网络内的数据点作一个二元二次回归方程 C(x,z)=ax +bz +cxz+dx+ez+f 其中 C 表示在 x，z 处的多巴胺浓度的回归值，而 a，b，c， d，e 和 f 都是常数值。我们求使 C 达到最大值的 x，z 坐标为 xs 和 zs ，即解
2 2
C C 0, 0. x z

后方垂直截面 164 442 1320 414 480 7022 14411 5158 2091 23027 28353 13138 789 21260 20921 11731 213 1303 3765 1715 前方垂直截面 432 243 6098 1048 19742 4785 14960 3182 1036 258

数学建模案例药物在大脑中的分布

模型摘要：本模型用二阶抛物型偏微分方程来描述药物浓度的分布情况，并用FourieFourier r 变化法进行精确求解。

在估计注射源坐标时，我们采用了概率分布模拟法，以及应用matlab 数学软件进行的二维平面回归分析法。

本模型的关键和难点是利用有限的实验数据来进行准确的参数估计。

在这里我们将采用扩散等效法和最小二乘法进行多变量数据拟合来有效规避复杂积分，减少计算误差，从而简化求解各个方向上的扩散系数；采用最优化理论以及maple 数学软件来求解药物注射量和药物衰减系数，从而有效解决了参数估计困难的问题，与实验数据吻合较好。

最后，我们应用正态性检测法对模型作了检验，并根据本模型的不足，提出了改进方案。

问题背景和重述：随着社会的不断发展以及老龄社会的到来，心脑血管疾病已经受到越来越多的关注。

尤其是脑部疾病，由于一般药物无法透过血脑屏障，只能通过在脑部注射，因而给药效的鉴定带来了一定的困难。

例如为了估计治疗帕金森症的多巴胺脑部注射效果，我们必须建立适当的模型来估计药物的影响范围，也即我们需估计出注射药物后药物在空间的分布形状及其尺寸。

已知药物实验中获得的50个圆柱体组织样本中的药物含量（见《数学建模》p290）其中，每个圆柱体高0.76mm ，底面直径0.66mm ，相互平行的圆柱体的中心位于1mm*0.76mm*1mm 的网格点上，即各柱体底面彼此相连，而侧面互不接触。

且注射点位于最高计数值的圆柱体中心附近。

但药物也同时存在于各圆柱体之间以及50个样本之外的地方。

建模目标：1.根据题意，得到描述各个空间位点在不同时刻的药物浓度的方程。

2.根据实验所给数据，求出药物的扩散系数，以及药物的衰减系数。

3.将模型一般化，适用于类似的数学问题。

模型假设：1.忽略样本组织中多巴胺的原始含量（即实验所测得的药物含量均由注射引起）。

2.假设大脑性状稳定，所取样本结构相同，样本组织远离边界，无边界效应。

3.注射与取样均在瞬间完成。

医药数学模型

02
另外，目前也有将随机性引入到房室模型中来，从而建立有随机房室模型的趋势。
03
评注
药物服用模型
问题的背景
医生给病人开处方时，必须注明两点: 服药的剂量服药的时间间隔。超剂量的药品会对身体产生严重不良的后果，甚至死亡。剂量不足，则不能达到治病的目的。为采用适当剂量，就要研究药品在体内分布。
3
C2(t)= Fe-at＋Ge-bt +H·exp(-k01t) 借助待定系数法和初始条件
4
C1(0)=C2(0)=0，可得系数A、B、E、F、G、H的值。
从上可知，中心室的血药浓度C1(t)与转移速率系数k12、k21，排除速率系数k10、房室容积V1、V2以及输入参数D、k0等因素有关
1
C2(t)= [Dk12/V2(b－a)](e-at－e-bt)
l.快速静脉注射模型
2.恒速静脉注射(点滴)模型
某些药物因溶解度低、刺激性过大，不宜快速注射。则采用恒速静脉注射(点滴)。初始条件为: f0(t)=k0, C1(0)=0, C2(0)=0，那么(1)的解为 C1(t)= A1e-at＋B1e-bt + k0/k10V1， C2(t)= A2e-at＋B2e-bt + k12k0/k21k10V2
将一个机体分为几个房室，要看不同药物的吸收、分布、排泄过程的具体情况以及研究对象所要求的精度而定。
为了讨论方便，这里以二房室模型为例。
即将机体分为血液较丰富的中心室 (包括心、肺、肾等器官) 血液较贫乏的周边室 (如肌肉组织等)。
房室说明
01
机体分为中心室和周边室，两室容积(即血液体积或药物分布容积)在过程中保持不变。
模型的应用

药物在体内地分布与排除地一室建模与分析报告

药物在体内的分布与排除的一室建模与分析摘要本文为了解决给药方案设计问题，通过分析药物在体内的动态流程与药理反响的定量关系，运用微分方程的思想，建立了一室模型；运用了归纳法、分类讨论等数学方法，以与MATLAB、几何画板等数学软件，求解了模型。

本文建立的模型可以应用于新药研发和剂量确定，可以推广到二室模型甚至多室模型，藉此设计出更加完善的给药方案。

针对问题1，建立了一室模型〔只有中心室〕，分别分析了在快速静脉注射、恒速静脉滴注〔持续时间为〕和口服或肌肉注射3种给药方式下，模型满足的初始条件。

将该条件代入用符号表示的血药浓度方程中，求解出了三种给药方式下中心室的血药浓度方程，并利用MATLAB画出了血药浓度曲线的图形。

针对问题2，基于问题1中求解出的快速静脉注射血药浓度方程，求出了从0时刻开始每相隔时间T中心室的血药浓度，在初始条件不断变化的情况下，递推求解出了不同时间段的血药浓度方程并用MATLAB进展编程画出了曲线图；在稳态条件下，结合整个给药过程和血药浓度的控制X围，确定了屡次重复给药的时间间隔和固定剂量。

另外，采取加大首次剂量给药的方式,设计出了给药方案。

针对问题3，采用问题2的求解思路，分别递推求解出了恒速静脉滴注和口服(或肌肉注射)的屡次重复给药方式下中心室的血药浓度方程，并运用MATLAB 进展编程画出了曲线图。

解决了稳态条件下给药时间间隔和每次给予固定剂量的问题。

关键词一室模型；血药浓度；给药方式；稳态一、问题重述药物动力学(pharmacokinetics)是一门研究药物在体内的药量随时间变化规律的科学。

作为近20年来才获得迅速开展的药物新领域，它采用数学分析的手段来呈现药物在体内的动态过程。

因此，这门学科有利于研究药物在体内吸收、分布和排除的动态过程与药理反响的定量关系，对于新药研发、剂量确定、给药方案设计等药理学和临床医学的研究和开展都具有重要的指导意义和实用价值。

现在考虑按固定时间间隔，每次给予固定剂量的屡次重复给药方式，来研究上述的动态过程。

药物动力学模型数学建模

药物动力学模型一般说来，一种药物要发挥其治疗疾病的作用，必须进入血液，随着血流到达作用部位。

药物从给药部位进入血液循环的过程称为药物的吸收，而借助于血液循环往体内各脏器组织转运的过程称为药物的分布。

药物进入体内以后，有的以厡型发挥作用，并以厡型经肾脏排出体外；有的则发生化学结构的改变--称为药物的代谢。

代谢产物可能具有药理活性，可能没有药理活性。

不论是厡型药物或其代谢产物，最终都是经过一定的途径(如肾脏、胆道、呼吸器官、唾液腺、汗腺等)离开机体，这一过程称为药物的排泄。

有时，把代谢和排泄统称为消除。

药物动力学(Pharmacokinetics)就是研究药物、毒物及其代谢物在体内的吸收、分布、代谢及排除过程的定量规律的科学。

它是介于数学与药理学之间的一门新兴的边缘学科。

自从20世纪30年代Teorell为药物动力学奠定基础以来，由于药物分析技术的进步和电子计算机的使用，药物动力学在理论和应用两方面都获得迅速的发展。

至今，药物动力学仍在不断地向深度和广度发展。

药物动力学的研究方法一般有房室分析；矩分析；非线性药物动力学模型；生理药物动力学模型；药物药效学模型。

下面我们仅就房室分析作一简单介绍。

为了揭示药物在体内吸收、分布、代谢及排泄过程的定量规律，通常从给药后的一系列时间 (t) 采取血样，测定血(常为血浆，有时为血清或全血)中的药物浓度( C )；然后对血药浓度——时间数据数据(C ——t 数据)进行分析。

一一室模型最简单的房室模型是一室模型。

采用一室模型，意味着可以近似地把机体看成一个动力学单元，它适用于给药后，药物瞬间分布到血液、其它体液及各器官、组织中，并达成动态平衡的情况。

下面的图(一)表示几种常见的给药途径下的一室模型，其中C 代表在给药后时间t 的血药浓度，V 代表房室的容积，常称为药物的表观分布容积，K 代表药物的一级消除速率常数，故消除速率与体内药量成正比，D代表所给刘剂量。

图(a)表示快速静脉注射一个剂量D ，由于是快速，且药物直接从静脉输入，故吸收过程可略而不计；图(b)表示以恒定的速率K ，静脉滴注一个剂量D ；若滴注所需时间为丅，则K=D/丅。

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