最新222向量减法运算及其几何意义18350

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向量减法运算及其几何意义(数学优秀课件)

ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解析几何中的向量减法运算实例
要点一
总结词
要点二
详细描述
向量的模和向量的角度
在解析几何中，向量减法可以用于计算向量的模和向量的角度。通过向量减法运算，我们可以得到一个新的向量，这个向量的模等于原两个向量的模之差，而这个向量的方向则与原两个向量的夹角有关。此外，向量的内积也可以通过向量减法运算来计算，它等于两个向量的模之积乘以两个向量之间的夹角的余弦值。
详细描述
平行四边形法则是一种直观的向量减法方法，通过构造一个平行四边形，将一个向量作为对角线，另一个向量作为邻边。根据向量加法的平行四边形法则，可以推导出向量减法的平行四边形法则。
向量减法的向量分解法则
总结词
向量分解法则是基于向量的分解和合成，通过将一个向量分解为两个或多个分向量，然后利用向量加法和减法的性质进行计算。
02
几何解释
在平面上，向量减法可以理解为将一个向量平移到另一个向量的起点，
然后连接终点，得到的结果向量就是两向量的差。
03
实例
假设有两个向量$vec{A}$和$vec{B}$，它们的起点重合。通过平移
$vec{A}$，使其起点与$vec{B}$的起点重合，然后连接$vec{A}$的终
点和$vec{B}$的终点，得到的结果向量$vec{C} = vec{A} - vec{B}$。
向量减法在实际问题中的应用
物理问题
在解决物理问题时，如力的合成与分解、速度和加速度的计算等，都需要用到向量减法。通过向量减法可以确定一个物体相对于另一个物体的位置和方向。
导航问题
在地理信息系统（GIS）中，利用向量减法可以计算两点之间的位移或方向。例如，计算两点之间的最短路径、确定物体的移动轨迹等。

向量减法及其几何意义

定义
设有两个向量 $vec{A} = (x_1, y_1, z_1)$ 和 $vec{B} = (x_2, y_2, z_2)$，则向量 $vec{A}$ 减去向量 $vec{B}$ 的结果是一个新的向量 $vec{C} = vec{A} - vec{B} = (x_1 - x_2, y_1 - y_2, z_1 - z_2)$。
几何意义
向量 $vec{C}$ 是由向量 $vec{A}$ 的终点指向向量 $vec{B}$ 的起点的向量。在平面直角坐标系中，这相当于从点 $(x_1, y_1)$ 到点 $(x_2, y_2)$ 画一个有向线段，其方向由 $(x_1, y_1)$ 指向 $(x_2, y_2)$。
空间直角坐标系中向量减法
04 向量减法在物理问题中应用
位移、速度、加速度等物理量计算
01
02
03
位移计算
向量减法可以应用于计算物体在一段时间内的位移，即末位置向量减去初位置向量。
速度计算
通过位移向量与时间向量的商，可以计算物体的平均速度或瞬时速度。
加速度计算
加速度是速度向量的变化率，可以通过相邻两个时刻的速度向量相减并除以时间间隔来计算。
向量减法及其几何意义
目录
• 向量减法基本概念 • 向量减法在坐标系中表示 • 向量减法几何意义探讨 • 向量减法在物理问题中应用 • 向量减法在数学问题中应用 • 总结与拓展
01 向量减法基本概念
定义与性质
定义
性质
结合律
交换律的逆
存在零元
向量减法定义为加上一个向量的相反向量。即对于任意两个向量 A 和 B，向量 A 减去向量 B 的结果是一个新的向量，记作 C = A - B，其中 C 是 A 与 -B（B的相反向量）的向量和。

向量减法法运算及其几何意义

2.2平面向量的线性运算 2.2平面向量的线性运算
2.2.2向量的减法运算向量的减法运算及其几何意义
相反向量：相反向量：
r r 的模相等，方向相反的向量，的相反向量，与向量ra 的模相等，方向相反的向量，叫做 a 的相反向量，记作 − a .
零向量的相反向量仍是零向量；注：1.零向量的相反向量仍是零向量；零向量的相反向量仍是零向量 2.任一向量与其相反向量的和是零向量；任一向量与其相反向量的和是零向量；任一向量与其相反向量的和是零向量
小结：小结：向量减法的法则
向量的减法：向量的减法：
B
r
E
r r r r uuur uuur uuu uuu r r a − b = a + (−b) = AC + AD = AE = BC
uuur uuu uuu r r 即 AC − AB = BC
方
r a
r b
B
r b
O
r a r r a −b
例1.已知向量
a , b, c , d , 求作向量
A
a − b, c − d . B D
C
b a
作法 :
d
c a
b
O•
d c
(1).在平面上任取点 O , 作OA = a , OB = b, OC
= c , OD = d .
(2 ).作 BA, DC , 则 BA = a − b, DC = c − d 为所求 .
如图，当在数轴上表示两个共线向量时，思考：如图，当在数轴上表示两个共线向量时，它们的加法和数的加法有什么关系？数的加法有什么关系？
r a
r a
b b
（2）） C C r

向量减法运算及其几何意义

向量减法与向量加法的结合规则
向量加法满足交换律
对于任意向量$vec{A}$、$vec{B}$，有 $vec{A}+vec{B}=vec{B}+vec{A}$。
向量加法满足结合律
对于任意向量$vec{A}$、$vec{B}$、$vec{C}$，有 $(vec{A}+vec{B})+vec{C}=vec{A}+(vec{B}+vec{C})$。
Байду номын сангаас THANK YOU
感谢聆听
向量减法在实际问题中的应用
物理问题
向量减法可以用于解决物理问题，如速度和加速度的计算、力的合成与分解等。
导航问题
在导航中，通过计算起点和终点之间的向量差，可以确定从一个位置移动到另一个位置的方向和距离。
机器学习
在机器学习中，向量减法可以用于计算两个样本之间的差异，用于分类、聚类和降维等任务。
向量减法运算及其几何意义
目
CONTENCT
录
• 向量减法的定义 • 向量减法的性质 • 向量减法的几何意义 • 向量减法的运算规则 • 向量减法的运算实例
01
向量减法的定义
向量减法的数学定义
向量减法是通过在第二个向量的起点绘制一个箭头，该箭头与第一个向量的箭头在同一直线上，并且具有与第一个向量相反的方向和长度，从而得到的结果。
04
向量减法的运算规则
向量减法与标量乘法的结合规则
标量乘法满足结合律
对于任意向量$vec{A}$、$vec{B}$和标量 $k$，有$(kvec{A})-vec{B}=k(vec{A}vec{B})$。
VS
标量乘法满足分配律

2.2.2向量减法运算及其几何意义

C
b
b
b
b
A
b
B
起点相同连对角
r+ r= r+ r 3、向量加法的交换律：a b b a .
r+ r + r= r+ r+ r (a b ) c a (b c ) 4、向量加法的交换律：
2.2 平面向量线性运算
2.2.2 向量减法运算及其几何意义
探究
向量是否有减法? 如何理解向量的减法? 我们知道,减去一个数等于加上这个数的相反数，如:5-1=5+(-1)
（2） AB AC DB = C ( A) AD ( B) AC (C )CD ( D) DC
例3.已知平行四边形ABCD, AB = a, AD = b, 用 a, b 表示向量 AC , DB
解：有向量加法的平行四边形法则， A 得
D
C
b a
B
AC = a + b;
由向量的减法可得，
a
A
①将两向量平移,使它们有相同的起点. ②连接两向量的终点. ③箭头的方向是指向 “被减数”的终点.
“共起点，连终点，指向被减向量”
a b表示从减向量b的终点指向被减向量a的终点的向量，这就是向量减法的几何意义.
也可理解为： a b表示与b的和等于a的向量.
思考
(1)如图，如果从a的终点到b的终点作向量，那么
变式训练四如图,
你能用
ABCD 中, AO = a,OB = b,
D C
O
a ,b 表示向量AB和AD吗?
a
A
解:AB=a + b; AD=a - b.
b
B
练习2

数学：222《向量减法运算及其几何意义》课件(新人教A版必修

注意事项
在作图时需要保证所画的直线与坐标轴平行或垂直，以避免误差。
向量减法在物理中的应用
定义
向量减法在物理中主要用于描述物体运动的方向和速度。
应用场景
如物体在平面内的直线运动、曲线运动、匀速圆周运动等都需要用到向量减法来描述速度和加速度的方向。
实例
一艘船从点$A$出发，以速度$vec{v_1}$航行一段时间后到达点$B$，然后以速度 $vec{v_2}$继续航行一段时间后到达点$C$，则船从$A$到$C$的速度可以表示为 $vec{v_c} = vec{v_1} - vec{v_2}$。
形成的向量。
性质
向量减法的结果是一个向量，其大小等于被减向量的模与减向量的模之差，方向与被减向量相同。
应用
向量减法在解决三维空间中的物理问题、工程问题等方面有广泛应用，如力、力矩的计算等。
向量减法与向量加法的几何关系
关系
应用
向量加法和向量减法是互为逆运算，即两个向量的和等于它们的相反向量的差。
。
计算步骤
设$vec{A} = (x_1, y_1)$， $vec{B} = (x_2, y_2)$，则 $vec{A} - vec{B} = (x_1 - x_2,
y_1 - y_2)$。
注意事项
向量减法满足交换律和结合律，即$vec{A} - vec{B} = vec{B} vec{A}$，$(vec{A} - vec{B}) vec{C} = vec{A} - (vec{B} +
CHAPTER
04
实例分析
生活中的向量减法实例
帆船运动
在帆船运动中，需要计算风向和风速的向量差，以调整帆船的航向。
航空导航

向量减法运算及其几何意义

力的合成与分解
在力学中，力的合成与分解可以通过向量减法来描述，例如合力与分力之间的关系。
03
向量减法的运算规则
向量减法的代数运算
80%
定义
向量减法是通过将一个向量的起点平移到另一个向量的终点，然后按照向量加法的规则进行计算。
100%
性质
向量减法满足交换律和结合律，即a-b=-(b-a)和(a-b)-c=a(b+c)。
向量减法不满足结合律
$(vec{A} - vec{B}) - vec{C}$不等于$vec{A} (vec{B} - vec{C})$。
向量减法的零向量
若$vec{A} - vec{B} = vec{0}$，则表示$vec{A}$与 $vec{B}$方向相同或相反，且模长相等。
向量减法与加法的关系
向量加法和减法是互为逆运算
$vec{A} + vec{B} = vec{B} + vec{A}$，但$vec{A} - vec{B} neq vec{B} vec{A}$。
向量加法和减法的结合律
$(vec{A} + vec{B}) + vec{C} = vec{A} + (vec{B} + vec{C})$，但$(vec{A} vec{B}) - vec{C} neq vec{A} - (vec{B} - vec{C})$。
数学表示
设$vec{A}$和$vec{B}$是两个向量，则$vec{A} - vec{B}$表示从 $vec{B}$的起点沿着$vec{B}$的方向移动到$vec{A}$的起点，再反向延长到原点所形成的向量。
向量减法的性质
向量减法不满足交换律
$vec{A} - vec{B}$不等于$vec{B} - vec{A}$。

222向量的减法及其几何意义

b
b
（3）
a
（4）
a
b
b
例１：
• 如图，已知向量a,b,c,d,
求作向量a-b,c-d.
bd
a
c
B
ab
A b
a
O
D
d cd
C c
例2：选择题
（ 1 ） A B B C A D D
(A )A D(B )C D(C )D B (D )D C
（ 2 ） A B A C D B C
(A )A D(B )A C (C )C D(D )D C
C
O
D
`
120o
b
B a
A
解：以 AB、AD为邻边作平行四A边B形 CD，
由于| AD|| AB|3，故此四边形为菱形
由向量的加减法知
ACa
b， DBa
b
C
故|
AC||
a
b|，| DB||
a
b|
D
因为 DAB12O0，所以 DAC60O
O
12`0o b
A
B a
所以 AD是 C 正三角|形 AC|， 3则
由于菱形对角线互相垂直平分 , 所以 A O D 是直角三角形，
|O D | |A D |sin 6 0 o 3 3 33 所 |a b | 3 ， |a 以 b | 2 3 3 2
return
あリがとゥ
阿里嘎都
填空：
A B A D _D_B_ _ _ ;
B A B C _C_ A_ _ _ _ ;
B C B A _A_C_ _ _ _ ;
O D O A _A_D_ _ _ _ ; O A O B _B_ A_ _ _ _ .

2.2.2向量减法运算及其几何意义

2.2.2
向量减法运算及其几何意义
班级：高一（1）班制作：韦玉显
向量减法运算及其几何意义
1、相反向量：规定与a长度相等，方向相反的向量，记作－a. a与－a互为相反向量，有－（a）=a
(1)零向量的相反向量仍是零向量
(2)任一向量与其相反向量的和是零向量，即： a+(-a)=(-a)+a=0 如果a和b为相反向量，有a=-b,b=-a,a+b=0. 定义： a-b=a+(-b)
向量减法运算及其几何意义
几何意义
B
AE=a+(-b)=a-b a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量。又 b+BC=a BC=a-b
b a a-b -b C
所以
A
D
E
向量减法运算及其几何意义
a
b b
a a-b
向量减法运算及其几何意义
例3 已知向量a、b、c、d，求向量a-b,c-d.
b a
c d
向量减法运算及其几何意义
例4 如图，平行四边行ABCD中，AB＝a,AD=B,你能用a,b表示向量AC,DB吗？
解：由向量加法的平行四边形法则，有 AC=a+b 又由向量的减法，有 DB=AB-AD=a-b
b D C
ห้องสมุดไป่ตู้
A
a B

向量减法运算的几何意义

向量减法运算的几何意义
向量减法的几何意义是共起点，连终点，方向指着被减量。

向量是将几何问题转化为代数问题的桥梁，向量的加减则是用代数方法进行几何运算，三角形定则解决向量加法的方法：将各个向量依次首尾顺次相接，结果为第一个向量的起点指向最后一个向量的终点。

平行四边形定则解决向量减法的方法，将两个向量平移至公共起点，以向量的两条边作平行四边形，结果由减向量的终点指向被减向量的终点，平行四边形定则只适用于两个非零非共线向量的加减。

向量减法的内容
向量减法法则是三角形法则，同样将两向量的始点，就是没箭头的那个点放在一起，将两个终点连接，就是差，差向量方向指向被减向量，向量加法法则就是平行四边形法则，两个加数作为平行四边形相邻的两边，则和是两向量的公共顶点与对点相连的对角线。

在数学中，向量也称为欧几里得向量，几何向量，矢量，指具有大小和方向的量。

它可以形象化地表示为带箭头的线段，箭头所指，代表向量的方向，线段长度，代表向量的大小，与向量对应的量叫做数量，物理学中称标量，数量或标量只有大小，没有方向。

向量加减运算及几何意义

向量加减运算及几何意义一、向量加法的定义和运算规则向量加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。

设有两个向量A和A，它们的加法可以表示为：A=A+A其中，A表示两个向量相加得到的新向量。

向量加法的运算规则如下：1.交换律：A+A=A+A2.结合律：(A+A)+A=A+(A+A)3.零向量：对于任意向量A，都有A+A=A，其中A表示零向量。

二、向量减法的定义和运算规则向量减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。

设有两个向量A和A，它们的减法可以表示为：A=A-A其中，A表示将向量A从向量A中减去得到的新向量。

向量减法的运算规则如下：1.减法的定义：A-A=A+(-A)，其中-A表示向量A的负向量。

2.减法与加法的关系：A-A=A+(-A)=-(A-A)三、向量加减运算的几何意义1.位移：设有两个向量A和A，A表示物体的起始位置，A表示物体的终止位置。

向量加法A=A+A表示物体从起始位置到终止位置的位移向量。

2.速度：速度是位移随时间的变化率，可以用向量表示。

设有两个位移向量A和A，A表示物体在起始时刻的位置，A表示物体在终止时刻的位置。

则速度向量A=A-A表示物体在起始时刻到终止时刻的平均速度向量。

3.加速度：加速度是速度随时间的变化率，也可以用向量表示。

设有三个速度向量A、A和A，A表示物体在起始时刻的速度，A表示物体在中间时刻的速度，A表示物体在终止时刻的速度。

则加速度向量A=(A-A)/t表示物体在起始时刻到终止时刻的平均加速度向量，其中t表示时间间隔。

4.平行四边形法则：设有两个向量A和A，它们的和向量A=A+A可以用平行四边形法则来表示。

将向量A和A的起点放在一起，将它们的终点连接起来，得到一个平行四边形，那么向量A就是该平行四边形的对角线向量。

总结：向量加减运算的几何意义主要体现在描述物体的位移、速度和加速度等几何特征上。

它们可以帮助我们理解物体在空间中的运动规律，并且可以通过向量的加减运算得到物体的位移、速度和加速度等重要信息。

2.2.2 向量减法运算及其几何意义

2.2.2 向量减法运算及其几何意义一、教学分析向量减法运算是加法的逆运算.学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算.因此,类比数的减法(减去一个数等于加上这个数的相反数),首先引进相反向量的概念,然后引入向量的减法(减去一个向量,等于加上这个向量的相反向量),通过向量减法的三角形法则和平行四边形法则,结合一定数量的例题,深刻理解向量的减法运算.通过阐述向量的减法运算,可以转化为向量加法运算,渗透化归的数学思想,使学生理解事物之间的相互转化、相互联系的辨证思想,同时由于向量的运算能反映出一些物理规律,从而加强了数学学科与物理学科之间的联系,提高学生的应用意识.二、教学目标：1、知识与技能：了解相反向量的概念；掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义。

2、过程与方法：通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量减法运算及其几何意义，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法。

3、情感态度与价值观：通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想。

三、重点难点教学重点:向量的减法运算及其几何意义.教学难点:对向量减法定义的理解.四、学法指导减法运算是加法运算的逆运算，学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算；并利用三角形做出减向量。

五、教学设想（一）导入新课思路1.(问题导入)上节课,我们定义了向量的加法概念,并给出了求作和向量的两种方法.由向量的加法运算自然联想到向量的减法运算:减去一个数等于加上这个数的相反数.向量的减法是否也有类似的法则呢?引导学生进一步探究,由此展开新课.思路2.(直接导入)数的减法运算是加法运算的逆运算.本节课,我们继续学习向量加法的逆运算——减法.引导学生去探究、发现.（二）推进新课、新知探究、提出问题①向量是否有减法？②向量进行减法运算,必须先引进一个什么样的新概念？③如何理解向量的减法？④向量的加法运算有平行四边形法则和三角形法则,那么,向量的减法是否也有类似的法则？活动:数的减法运算是数的加法运算的逆运算,数的减法定义即减去一个数等于加上这个数的相反数,因此定义数的减法运算,必须先引进一个相反数的概念.类似地,向量的减法运算也可定义为向量加法运算的逆运算.可类比数的减法运算,我们定义向量的减法运算,也应引进一个新的概念,这个概念又该如何定义?引导学生思考,相反向量有哪些性质?由于方向反转两次仍回到原来的方向,因此a和-a互为相反向量.于是-(-a)=a.我们规定,零向量的相反向量仍是零向量.任一向量与其相反向量的和是零向量,即a+(-a)=(-a)+a=0.所以,如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.(1)平行四边形法则图1如图1,设向量AB=b,AC=a,则AD=-b,由向量减法的定义,知AE=a+(-b)=a-b.又b+BC=a,所以BC=a-b.由此,我们得到a-b的作图方法.图2(2)三角形法则如图2,已知a、b,在平面内任取一点O,作OA=a,OB=b,则BA=a-b,即a-b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量,这是向量减法的几何意义.讨论结果:①向量也有减法运算.②定义向量减法运算之前,应先引进相反向量.与数x的相反数是-x类似,我们规定,与a长度相等,方向相反的量,叫做a的相反向量,记作-a.③向量减法的定义.我们定义a-b=a+(-b),即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.规定:零向量的相反向量是零向量.④向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则,这也正是向量的运算的几何意义所在,是数形结合思想的重要体现.提出问题①上图中,如果从a的终点到b的终点作向量,那么所得向量是什么?②改变上图中向量a、b的方向使a∥b,怎样作出a-b呢?讨论结果:①AB=b-a.②略.（三）应用示例如图3(1),已知向量a、b、c、d,求作向量a-b,c-d.图3活动:教师让学生亲自动手操作,引导学生注意规范操作,为以后解题打下良好基础;点拨学生根据向量减法的三角形法则,需要选点平移作出两个同起点的向量.作法:如图3(2),在平面内任取一点O,作OA=a,OB=b,OC=c,OD=d.则BA=a-b,DC=c-d.变式训练(2006上海高考) 在ABCD中,下列结论中错误的是( )A.AB=DCB.AD+AB=ACC.AB-AD=BDD.AD+BC=0分析:A显然正确,由平行四边形法则可知B正确,C中,AB-AD=BD错误,D中,AD+BC=AD+DA=0正确.答案:C例2 如图4,ABCD中, AB=a,AD=b,你能用a、b表示向量AC、DB吗?图4活动:本例是用两个向量表示几何图形中的其他向量,这是用向量证明几何问题的基础.要多注意这方面的训练,特别要掌握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关系.解:由向量加法的平行四边形法则,我们知道AC=a+b,同样,由向量的减法,知DB=AB-AD=a-b.变式训练1.(2005高考模拟) 已知一点O到ABCD的3个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c,则向量OD等于( )A.a+b+cB.a-b+cC.a+b-cD.a-b-c图5解析:如图5,点O到平行四边形的三个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c,结合图形有OD=OA+AD=OA+BC=OA+OC-OB=a-b+c.答案:B2.若AC=a+b,DB=a-b.①当a、b满足什么条件时,a+b与a-b垂直？②当a、b满足什么条件时,|a+b|=|a-b|？③当a、b满足什么条件时,a+b平分a与b所夹的角？④a+b与a-b可能是相等向量吗？图6解析:如图6,用向量构建平行四边形,其中向量AC、DB恰为平行四边形的对角线.由平行四边形法则,得AC=a+b,DB=AB-AD=a-b.由此问题就可转换为:①当边AB、AD满足什么条件时,对角线互相垂直？(|a|=|b|)②当边AB、AD满足什么条件时,对角线相等？(a、b互相垂直)③当边AB、AD满足什么条件时,对角线平分内角？(a、b相等)④a+b与a-b可能是相等向量吗？(不可能,因为对角线方向不同点评:灵活的构想,独特巧妙,数形结合思想得到充分体现.由此我们可以想到在解决向量问题时,可以利用向量的几何意义构造几何图形,转化为平面几何问题,这就是数形结合解题的威力与魅力,教师引导学生注意领悟.例3 判断题:(1)若非零向量a与b的方向相同或相反,则a+b的方向必与a、b之一的方向相同.(2)△ABC中,必有AB+BC+CA=0.(3)若AB+BC+CA=0,则A、B、C三点是一个三角形的三顶点.(4)|a+b|≥|a-b|.活动:根据向量的加、减法及其几何意义.解:(1)a与b方向相同,则a+b的方向与a和b方向都相同;若a与b方向相反,则有可能a与b互为相反向量,此时a+b=0的方向不确定,说与a、b之一方向相同不妥.(2)由向量加法法则AB+BC=AC,AC与CA是互为相反向量,所以有上述结论.(3)因为当A、B、C三点共线时也有AB+BC+AC=0,而此时构不成三角形.(4)当a与b不共线时,|a+b|与|a-b|分别表示以a和b为邻边的平行四边形的两条对角线的长,其大小不定.当a、b为非零向量共线时,同向则有|a+b|>|a-b|,异向则有|a+b|<|a-b|;当a、b中有零向量时,|a+b|=|a-b|.综上所述,只有(2)正确.例4 若|AB|=8,|AC|=5,则|BC|的取值范围是( )A.[3,8]B.(3,8)C.[3,13]D.(3,13)解析:BC=AC-AB.(1)当AB、AC同向时,|BC|=8-5=3;(2)当AB、AC反向时,|BC|=8+5=13;(3)当AB、AC不共线时,3<|BC|<13.综上,可知3≤|BC|≤13.答案:C点评:此题可直接应用重要性质||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|求解.变式训练已知a、b、c是三个非零向量,且两两不共线,顺次将它们的终点和始点相连接而成一三角形的充要条件为a+b+c=0.证明:已知a≠0,b≠0,c≠0,且a b,b c,c a,(1)必要性:作AB=a,BC=b,则由假设CA=c,另一方面a+b=AB+BC=AC.由于CA与AC是一对相反向量,∴有AC+CA=0,故有a+b+c=0.(2)充分性:作AB=a,BC=b,则AC=a+b,又由条件a+b+c=0,∴AC+c=0.等式两边同加CA,得CA+AC+c=CA+0.∴c=CA,故顺次将向量a、b、c的终点和始点相连接成一三角形.（四）课堂小结1.先由学生回顾本节学习的数学知识:相反向量,向量减法的定义,向量减法的几何意义,向量差的作图.2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法,类比,数形结合,几何作图,分类讨论. （五）作业。

向量减法运算及其几何意义汇总

向量减法运算及其几何意义汇总向量减法是数学中一种常见的运算方式，用于计算两个向量之间的差值。

它在几何上有重要的意义，可以表示位移、速度、加速度等物理量。

下面将详细介绍向量减法的定义、计算方法以及其几何意义。

1.向量减法的定义向量减法是指通过对两个向量进行相应元素之间的减法运算，得到一个新的向量。

设有两个向量A和A，它们的减法记作A-A，等于将向量A取反后与向量A进行加法运算。

即：A-A=A+(-A)2.向量减法的计算方法向量的减法通过对应分量的相减来完成。

设有两个向量A=(A1,A2,A3)和A=(A1,A2,A3)，则向量减法的计算公式为：A-A=(A1-A1,A2-A2,A3-A3)例如，对于向量A=(3,4,5)和A=(1,2,3)，它们的减法运算结果为：A-A=(3-1,4-2,5-3)=(2,2,2)3.向量减法的几何意义向量减法在几何上有重要的意义，可以表示位移、速度、加速度等物理量。

下面分别介绍它们的几何意义：3.1位移位移可以用向量来表示，通过一个点从起始位置到达终点位置的位移向量。

向量减法可以用来计算两个位置之间的位移向量。

设有两个位置A 和A，它们的坐标表示分别为A(A1,A1,A1)和A(A2,A2,A2)，则A-A即为A到A的位移向量。

例如，若A(1,2,3)为起始位置，A(4,6,8)为终点位置，则位移向量A-A=(4-1,6-2,8-3)=(3,4,5)。

3.2速度速度是定义为单位时间内位移的向量，可以用向量来表示。

当物体从位置A移动到位置A时，所产生的平均速度向量为A-A，即终点位置向量减去起始位置向量。

通过向量减法可以计算得到物体在单位时间内的平均速度向量。

例如，若物体从A(1,2,3)移动到A(4,6,8)，所产生的平均速度向量为A-A=(4-1,6-2,8-3)=(3,4,5)。

3.3加速度加速度是定义为单位时间内速度的改变率，也可以用向量来表示。

当物体从位置A移动到位置A时，速度变化的向量为终点速度向量减去起始速度向量。

222向量减法运算及其几何意义

2．灵活选择方法，优化思维过程，通过恒等变形来证明等价命题是常用的证明恒等式的方法．
在本例中设A→B＝a，C→B＝b，O→C＝c，求证：b＋c－a＝O→A.
【证明】 ∵c－a＝O→C－A→B＝O→C－D→C＝O→D， O→D＝O→A＋A→D＝O→A－b， ∴c－a＝O→A－b，即 b＋c－a＝O→A.
＝O→B－O→A－O→D＋O→C－O→C＋O→A＋O→D－O→B＝0.
注意满足下列两种形式可以化简： (1)首尾相接且为和． (2)起点相同且为差．做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用、统一向量起点方法的应用．
化简下列各式： (1)(A→C＋B→O＋O→A)－(D→C－D→O－O→B)； (2)(A→B＋C→D)＋(B→C＋D→E)－(E→F－E→A)．【解】 (1)(A→C＋B→O＋O→A)－(D→C－D→O－O→B)＝(A→C＋B→A) －(O→C－O→B)＝B→C－B→C＝0. (2)(A→B＋C→D)＋(B→C＋D→E)－(E→F－E→A)＝(A→B＋B→C)＋(C→D ＋D→E)－(E→F－E→A) ＝A→C＋C→E＋E→A－E→F＝A→E＋E→A－E→F＝－E→F.
图1
图2
第二种方法是在相反向量的基础上，通过向量加法定义向量减法，即定义 a－b＝a＋(－b)．在这种定义下，作 a－b 时，可先在平面内任取一点 O，作O→B′＝－b，O→A＝－a(图 2)，则由向量加法的平行四边形法则知O→C＝a＋(－b)．
实际上，这两种定义方法没有本质区别．由 b＋x＝a，可知图中四边形也是平行四边形，因此为了便于学生接受，降低理论要求，教科书先定义了相反向量，然后把 a＋(－b) 定义向 a－b，并探索了在此定义下作两个向量差的方法以及向量减法的几何意义．

2.2.2-向量减法运算及其几何意义

练习1
1.如图，已知a,b,求作a b.
（1）
a
（2）
a
b
b
（3）
a
（4）
a
b
b
bd
a
c
B
ab
A b
a
O
D
d cd
C c
例2：选择题
（1）AB BC AD D
( A) AD (B)CD (C)DB (D)DC
（2）AB AC DB C
( A) AD (B) AC (C)CD (D)DC
例3：如图，平行四边形ABCD，AB=a，
AD=b，用a、b表示向量AC、DB。
(3)如果a, b互为相反的向量，那么
a ____b__,b ___a___, a b ___0___
已知a,b,根据减法的定义，如何作出a b呢？
a
bHale Waihona Puke Bab bb O a
A
C
D
方法：平移向量a, b, 使它们起点相同，那么 b的终点指向a的终点的向量就是a b.
二、向量减法的三角形法则
1在平面内任取一点O A
2作OA a,OB b
3则向量BA a b
.a
O
ab
B
b
注意： 1、两个向量相减，则表示两个向量起点的字母必须相同 2、差向量的终点指向被减向量的终点
向量的减法
•特殊情况
1.共线同向
a
b
ab
AC
B
2.共线反向
a
b
ab
B
AC
例１：
• 如图，已知向量a,b,c,d, 求作向量a-b,c-d.
a
B
(2)以点A为起点以向量a、b为邻边作平行

向量的减法运算及其几何意义

向量的减法运算及其几何意义设有两个向量A和B，分别表示为A=(a1,a2,a3)和B=(b1,b2,b3)。

则A减去B的结果为一个新的向量C，表示为C=(a1-b1,a2-b2,a3-b3)。

例如，考虑向量A=(3,2)和B=(4,1)。

要计算A减去B，我们将A的分量减去B的分量，得到C=(3-4,2-1)=(-1,1)。

几何上，向量的减法运算可以通过向量的几何表示进行解释。

向量可以用箭头来表示，箭头的方向表示向量的方向，箭头的长度则表示向量的大小。

要进行向量的减法，在数学坐标系上，我们先将第一个向量A的起点放置在坐标原点，然后将A的尖端移动到相应的位置。

然后，我们将第二个向量B的起点放置在A的尖端，将B的尖端移动到相应的位置。

最后，连接A的起点和B的尖端，我们得到的向量就是A减去B的结果。

例如，在数学坐标系中，考虑向量A=(3,2)和B=(4,1)。

首先，将A 的起点放在原点，将A的尖端移动到坐标(3,2)的位置。

然后，将B的起点放在A的尖端，将B的尖端移动到坐标(4,1)的位置。

最后，连接A的起点和B的尖端，我们得到的向量就是A减去B的结果，即向量C=(-1,1)。

1.平移：向量的减法就好比是将一个向量平移一段距离再固定终点。

例如，在上述示例中，向量A减去向量B后得到向量C，可以看作是将向量A从原来的位置平移了一段距离再固定终点。

2.相反方向：向量的减法还可以理解为两个向量的相反方向的叠加。

当一个向量与另一个向量做减法时，可以将其中一个向量旋转180度，然后将它与另一个向量相加。

这个运算结果的向量方向与两个向量相反，且长度等于两个向量的差的长度。

3.差向量：向量的减法得到的结果称为差向量，它表示由一个向量指向另一个向量的方向和大小。

差向量的起点与被减去的向量的起点一致，终点与减去的向量的终点一致。

向量的减法在几何学、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。

在几何学中，向量的减法常用于表示点的位移、距离、速度和加速度等概念。

《向量的减法运算及其几何意义》参考教案

《向量的减法运算及其几何意义》参考教案第一章：向量减法运算的概念引入1.1 向量的定义与表示方法介绍向量的基本概念，说明向量是既有大小，又有方向的量。

展示向量的表示方法，如用箭头表示，以及用坐标表示。

1.2 向量的减法定义解释向量减法的概念，即一个向量减去另一个向量的运算。

通过图示和实例说明向量减法的结果是一个向量，其大小和方向与原来两个向量的差有关。

第二章：向量减法的几何意义2.1 向量减法的几何图形表示通过图形（如三角形和平行四边形）展示向量减法的几何意义。

解释向量减法可以看作是从一个向量的起点到另一个向量的终点的位移。

2.2 向量减法与向量加法的联系说明向量减法可以看作是向量加法的逆运算。

通过实例和图示展示向量减法与向量加法之间的关系。

第三章：向量减法的坐标运算3.1 二维和三维空间中的向量减法介绍在二维和三维空间中进行向量减法的坐标运算。

给出二维空间中向量减法的坐标表示公式，并解释其实际应用。

3.2 向量减法的坐标运算规则介绍向量减法的坐标运算规则，如交换减数和被减数的位置，结果不变。

通过实例和练习题让学生熟悉向量减法的坐标运算。

第四章：向量减法的应用4.1 向量减法在几何中的应用介绍向量减法在几何问题中的应用，如计算线段长度、夹角和距离等。

通过图示和实例说明向量减法在几何问题中的重要性。

4.2 向量减法在物理中的应用介绍向量减法在物理学中的应用，如计算物体的速度变化和加速度等。

通过实例和练习题让学生了解向量减法在物理问题中的作用。

第五章：向量减法的练习与巩固5.1 向量减法的练习题提供一些关于向量减法的练习题，包括填空题、选择题和解答题等。

让学生通过练习题巩固对向量减法的理解和掌握。

5.2 向量减法的巩固练习提供一些综合性的练习题，让学生应用向量减法解决实际问题。

通过练习题帮助学生巩固对向量减法的理解和应用能力。

第六章：向量减法的性质与运算规则6.1 向量减法的性质介绍向量减法的几个基本性质，如交换律、结合律和分配律等。

《向量的减法运算及其几何意义》参考教案

《向量的减法运算及其几何意义》参考教案第一章：向量减法运算的概念引入1.1 教学目标让学生了解向量减法的概念。

让学生理解向量减法在几何中的意义。

1.2 教学重点与难点向量减法的定义及其表示方法。

向量减法与向量加法的关系。

1.3 教学方法通过图形演示，让学生直观地理解向量减法。

通过例题，让学生掌握向量减法的运算规则。

1.4 教学内容向量减法的定义：向量减法可以看作是向量加法的逆运算，表示为a b，其中a、b是已知向量。

向量减法的表示方法：在坐标表示中，向量减法可以表示为a b = (a1 b1, a2 b2)。

向量减法与向量加法的关系：a b = -(b a)。

第二章：向量减法的几何意义2.1 教学目标让学生了解向量减法在几何中的意义。

让学生掌握利用向量减法解决几何问题的方法。

2.2 教学重点与难点向量减法在几何中的意义。

利用向量减法解决几何问题的方法。

2.3 教学方法通过图形演示，让学生直观地理解向量减法在几何中的意义。

通过例题，让学生掌握利用向量减法解决几何问题的方法。

2.4 教学内容向量减法在几何中的意义：向量减法可以表示为从点A到点B的位移向量减去从点B到点A的位移向量，即表示为从点A到点A的位移向量，即零向量。

利用向量减法解决几何问题的方法：通过向量减法，可以将复杂的几何问题转化为向量运算问题，从而更方便地求解。

第三章：向量减法的坐标运算3.1 教学目标让学生掌握向量减法的坐标运算规则。

让学生能够利用坐标运算求解向量减法问题。

3.2 教学重点与难点向量减法的坐标运算规则。

利用坐标运算求解向量减法问题。

3.3 教学方法通过例题，让学生掌握向量减法的坐标运算规则。

通过练习题，让学生巩固利用坐标运算求解向量减法问题的能力。

3.4 教学内容向量减法的坐标运算规则：在坐标表示中，向量减法可以表示为a b = (a1 b1, a2b2)。

利用坐标运算求解向量减法问题：通过坐标运算，可以求解两个向量的差，即求解向量a减去向量b的结果。

2.2.2 向量减法运算及其几何意义

例2.对下列各式进行化简 (1) AB AC BD CD
解 :原式 = CB + BD - CD = CD - CD = 0.
(2)OA OC BO CO
探究二：向量减法的几何意义思考1：如果向量 a 与b 同向，如何作出向量 a b?
提示:
a b
ab
思考2：如果向量 a 与 b 反向，如何作出向量 a b?
提示:
b
ab
a
作OA a,OB b,由思考3：设向量 a与 b 不共线，
是什么？提示: -(-a) a, 规定：零向量的相反向量仍是零向量.
提示： 0 ； a.
思考3：在实数的运算中，减去一个数等于加上这个
数的相反数.据此原理，向量 a－b 可以怎样理解？
提示：定义： a－b ＝a＋（－吗？提示：是
思考5：向量 a 加上向量 b 的相反向量，叫做a与 b
的差向量，求两个向量的差的运算叫做向量的减法，对于向量 a， b ， c ，若a c ＝b ，则c等于什么？提示:
ac ＝bc ＝b a.
2.2.2 向量减法运算及其几何意义
向量是否有减法？如何理解向量的减法？我们知道，减去一个数等于加上这个数的相反数，向量的减法是否也有类似的法则？
探究一：向量减法的含义
思考1：两个相反向量的和向量是什么？向量 a 的
相反向量可以怎样表示？
思考2： a 的相反向量是什么？零向量 0 的相反向量
解：由向量加法的平行
b