高中数学复习学(教)案(第42讲)圆的方程

题目 第七章直线和圆的方程圆的方程高考要求1掌握圆的标准方程和一般方程2了解参数方程的概念 理解圆的参数方程3掌握圆的方程的两种形式并会根据具体情况选择其中的一种解题;4掌握圆系方程并会运用它解决有关问题; 5灵活运用圆的几何性质解决问题知识点归纳 1．圆的定义平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫圆． 2圆的标准方程圆心为（a ，b ），半径为r 的圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-方程中有三个参量a 、b 、r ，因此三个独立条件可以确定一个圆 3圆的一般方程二次方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0（*）配方得（x +2D ）2+（y +2E ）2422FE D-+把方程)04(02222>-+=++++F E D F Ey Dx y x其中，半径是2422FE Dr -+=，圆心坐标是⎪⎭⎫⎝⎛--22E D ，叫做圆的一般方程（1）圆的一般方程体现了圆方程的代数特点：x 2、y 2项系数相等且不为零 没有xy 项（2）当D 2+E 2－4F =0时，方程（*）表示点（－2D ，－2E ）；当D 2+E 2－4F ＜0时，方程（*）不表示任何图形（3）根据条件列出关于D 、E 、F 的三元一次方程组，可确定圆的一般方程4圆的参数方程①圆心在O （0，0），半径为r 的圆的参数方程是：cos ()sin x r y r ααα=⎧⎨=⎩是参数②圆心在点)(b a C ，，半径为r 的圆的参数方程是：⎩⎨⎧+=+=)(sin cos 是参数αααr b y r a x在①中消去θ得x 2+y 2=r 2，在②中消去θ得（x －a ）2+（y －b ）2=r 2，把这两个方程相对于它们各自的参数方程又叫做普通方程5二元二次方程Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0表示圆的充要条件若二元二次方程Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0表示圆，则有A =C ≠0，B =0，这仅是二元二次方程表示圆的必要条件，不充分在A =C ≠0，B =0时，二元二次方程化为x 2+y 2+AD x +AE y +AF =0，仅当D 2+E 2－4AF ＞0时表示圆故Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0表示圆的充要条件是：①A =C ≠0，②B =0，③D 2+E 2－4AF ＞06 线段AB 为直径的圆的方程： 若),(),(2211y x B y x A ，，则以线段AB为直径的圆的方程是0))(())((2121=--+--y y y y x x x x7经过两个圆交点的圆系方程：经过011122=++++F y E x D y x ，022222=++++F y E x D y x 的交点的圆系方程是：0)(2222211122=+++++++++F y E x D y x F y E x D y x λ在过两圆公共点的图象方程中，若λ=－1，可得两圆公共弦所在的直线方程8 经过直线与圆交点的圆系方程： 经过直线0=++C By Ax l ：与圆022=++++F Ey Dx y x 的交点的圆系方程是：0)(22=+++++++C By Ax F Ey Dx y x λ9确定圆需三个独立的条件（1）标准方程： 222)()(r b y a x =-+-， 半径圆心，----r b a ),(（2）一般方程：022=++++F Ey Dx y x ，（)0422>-+F E D,)2,2(圆心----E D 2422FE Dr -+=题型讲解例1 (1)求经过点A(5,2),B(3,2),圆心在直线2x─y─3=0上的圆的方程; (2)求以O(0,0),A(2,0),B(0,4)为顶点的三角形OAB 外接圆的方程解：(1)设圆心P(x 0,y 0),则有⎩⎨⎧-+-=-+-=--2020202000)2()3()2()5(032y x y x y x ,解得 x 0=4, y 0=5, ∴半径r=10,∴所求圆的方程为(x─4)2+(y─5)2=10(2)采用一般式,设圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,将三个已知点的坐标代入列方程组解得：D=─2, E=─4, F=0点评：第(1),(2)两小题根据情况选择了不同形式例2 设A （－c ，0）、B （c ，0）（c >0）为两定点，动点P 到A 点的距离与到B 点的距离的比为定值a （a >0），求P 点的轨迹分析：给曲线建立方程是解析几何的两个主要问题之一，其基本方法就是把几何条件代数化；主要问题之二是根据方程研究曲线的形状、性质，即用代数的方法研究几何问题解：设动点P 的坐标为（x ，y ），由||||PB PA =a （a >0）得2222)()(yc x y c x +-++=a ，化简，得（1－a 2）x 2+2c （1+a 2）x +c 2（1－a 2）+（1－a 2）y 2=0 当a =1时，方程化为x =0当a ≠1时，方程化为22221()1ax c y a +-+- =222()1ac a -所以当a =1时，点P 的轨迹为y 轴； 当a ≠1时，点P 的轨迹是以点（1122-+aa c ，0）为圆心，|122-aac |为半径的圆点评：本题主要考查直线、圆、曲线和方程等基本知识，考查运用解析几何的方法解决问题的能力，对代数式的运算化简能力有较高要求同时也考查了分类讨论这一数学思想例3 一圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y =0上，且直线y =x 截圆所得弦长为27，求此圆的方程分析： 利用圆的性质：半弦、半径和弦心距构成的直角三角形 解：因圆与y 轴相切，且圆心在直线x －3y =0上，故设圆方程为222(3)()9x b y b b -+-=又因为直线y =x 截圆得弦长为27，则有2+2=9b 2，解得b =±1故所求圆方程为22(3)(1)9x y -+-=或22(3)(1)9x y +++=点评：在解决求圆的方程这类问题时，应当注意以下几点：（1）确定圆方程首先明确是标准方程还是一般方程；（2）根据几何关系（如本例的相切、弦长等）建立方程求得a 、b 、r 或D 、E 、F ；（3）待定系数法的应用，解答中要尽量减少未知量的个数例4 已知⊙O 的半径为3，直线l 与⊙O 相切，一动圆与l 相切，并与⊙O 相交的公共弦恰为⊙O 的直径，求动圆圆心的轨迹方程分析：问题中的几何性质十分突出，切线、直径、垂直、圆心，如何利用这些几何性质呢？解：取过O 点且与l 平行的直线为x 轴，过O 点且垂直于l 的直线为y 轴，建立直角坐标系设动圆圆心为M （x ，y ），⊙O 与⊙M 的公共弦为AB ，⊙M 与l 切于点C ，则|MA |=|MC |∵AB 为⊙O 的直径，∴MO 垂直平分AB 于O由勾股定理得|MA |2=|MO |2+|AO |2=x 2+y 2+9， 而|MC |=|y +3|， ∴922++y x =|y +3|化简得x 2=6y ，这就是动圆圆心的轨迹方程点评：求轨迹的步骤是“建系，设点，找关系式，除瑕点”例5 已知y 轴右侧一动圆1C 与一定圆4)2(:222=+-y x C 外切，也与y 轴相切（1）求动圆1C 圆心M 的轨迹C ；（2）过点T （－2，0）作直线l 与轨迹C 交于A 、B 两点，求一点)0,(0x E ，使得AEB ∆ 是以点E 为直角顶点的等腰直角三角形解（1）由题意知动点M 到定点（2,0）与到定直线2-=x 的距离相等，则动点M 的轨迹是以定点（2,0）为焦点，定直线2-=x 为准线的抛物线所以点M 的轨迹方程为.82x y =又点M 在原点时，圆并不存在，所以，动点M 的轨迹C 是以（0，0）为顶点，以（2，0）为焦点的抛物线，除去原点（2）设直线22:2,8,8160l x m y y x y m y =-=-+=代入得 ①).(11,064642*-<>>-=∆m m m 或解之得设112212(,),(,),,A x y B x y y y 则是方程①的两个实数根，由韦达定理得 16,82121==+y y m y y ，所以，线段AB 的中点坐标为),4,24(2m m F -而,1184)(1||22212212-⋅+=-+⋅+=m my y y y mABx 轴上存在一点E ，使△AEB 为以点E 为直角顶点的等腰直角三角形，∴AB EF ⊥，且AB EF =直线EF 的方程为：)24(42+--=-m x m m y令0=y 得E 点坐标为)0,24(2+m ，则14||2+=m EF 所以 .1182114222-⋅+⋅=+mmm解之得2±=m ，则E 点坐标为（10,0）例 6 已知圆C 的圆心在直线x─y─4=0上,并且通过两圆C 1:x 2+y 2─4x─3=0和C 2:x 2+y 2─4y─3=0的交点,(1)求圆C 的方程; (2)求两圆C 1和C 2相交弦的方程解：(1)因为所求的圆过两已知圆的交点,故设此圆的方程为：x 2+y 2─4x─3+λ(x 2+y 2─4y─3)=0,即 (1+λ)(x 2+y 2)─4x─4λy─3λ─3=0, 即 3141422-+-+-+λλλy x y x =0,圆心为 (λ+12,λλ+12),由于圆心在直线x─y─4=0上, ∴λ+12─λλ+12─4=0, 解得 λ=─1/3所求圆的方程为：x 2+y 2─6x+2y─3=0(2)将圆C 1和圆C 2的方程相减得：x+y=0,此即相交弦的方程 点评：学会利用圆系的方程解题例7 求过直线2x+y+4=0和圆x 2+y 2+2x─4y+1=0的交点,且面积最小的圆的方程解法一：因为通过两个交点的动圆中，面积最小的是以此二交点为直径端点的圆，于是解方程组⎩⎨⎧=+-++=++014204222y x y x y x 得交点A(─11/5,2/5), B(─3,2),利用圆的直径式方程得: (x+11/5)(x+3) +(y─2/5)(y─2)=0,化简整理得 (x+13/5)2+(y─6/5)2=4/5解法二: (运用曲线系方程)设过直线与用圆的交点的圆的方程为x 2+y 2+2x─4y+1+λ(2x+y+4)=0,即 (x+λ+1)2+(y+24-λ)2=44452+-λλ要使圆面积最小，必须半径最小， 由于r=44452+-λλ=516)58(52+-λ≥51621=552,当且仅当λ=8/5时，r 最小故所求圆的方程是 (x+13/5)2+(y─6/5)2=4/5例8 求圆22412390x y x y ++-+=关于直线3450x y -+=的对称圆方程解：圆方程可化为()()22261x y ++-=, 圆心O(-2,6),半径为1设对称圆圆心为'(,)O a b ，则O ‘与O 关于直线3450x y --=对称， 因此有2634502263124a b b a -+⎧⋅-⋅-=⎪⎪⎨-⎪⋅=-⎪+⎩解得325265a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴所求圆的方程为223226155x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭点评：圆的对称问题可以转化为点(圆心)的对称问题，由对称性质知对称圆半径相等例9 设方程22242(3)2(14)1690x y m x m y m +-++-++=，若该方程表示一个圆，求m 的取值范围及这时圆心的轨迹方程解：配方得：[]2222(3)(14)167x m y m m m ⎡⎤-++--=+-⎣⎦该方程表示圆，则有21670m m +->，得1(,1)7m ∈-，此时圆心的轨迹方程为2314x m y m=+⎧⎨=-⎩ ，消去m ，得24(3)1y x =--， 由1(,1)7m ∈-得x=m+320,47⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴ 所求的轨迹方程是24(3)1y x =--，20,47x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭点评：方程表示圆的充要条件，求轨迹方程时，一定要讨论变量的取值范围，如题中20,47x ⎛⎫∈⎪⎝⎭例10 已知圆x 2+y 2=16,A （2，0），若P ,Q 是圆上的动点，且AP AQ ⊥，求PQ 中点的轨迹方程解：设PQ 中点M 的坐标为（x,y ），由已知圆的参数方程， 可设()114cos ,4sin P θθ，()224cos ,4sin Q θθ， 12122cos 2cos 2sin 2sin x y θθθθ=+⎧∴⎨=+⎩()221212448cos cos sin sin x y θθθθ∴+=+++---------------（1）又AP AQ ⊥，1P A A Q K K ∴=-，12124sin 4sin 14cos 24cos 2θθθθ∴⋅=---，化简得()()1212124sin sin cos cos 2cos cos 11x θθθθθθ+=+-=- 代入（1）式，得 2282(1)x y x +=+-， 所以所求轨迹方程为22260x y x +--=小结：1不论圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母（a 、b 、r 或D 、E 、F ）的值需要确定，因此需要三个独立的条件利用待定系数法得到关于a 、b 、r （或D 、E 、F ）的三个方程组成的方程组，解之得到待定字母系数的值2求圆的方程的一般步骤：（1）选用圆的方程两种形式中的一种（若知圆上三个点的坐标，通常选用一般方程；若给出圆心的特殊位置或圆心与两坐标间的关系，通常选用标准方程）；（2）根据所给条件，列出关于D 、E 、F 或a 、b 、r 的方程组；（3）解方程组，求出D 、E 、F 或a 、b 、r 的值，并把它们代入所设的方程中，得到所求圆的方程3解析几何中与圆有关的问题，应充分运用圆的几何性质帮助解题学生练习1方程x 2+y 2－2（t +3）x +2（1－4t 2）y +16t 4+9=0（t ∈R ）表示圆方程，则t 的取值范围是A －1<t <71 B －1<t <21 C －71<t <1 D 1<t <2解：由D 2+E 2－4F >0，得7t 2－6t －1<0，即－71<t <1答案：C2点P （5a +1，12a ）在圆（x －1）2+y 2=1的内部，则a 的取值范围是A ｜a ｜＜1B a ＜131 C ｜a ｜＜51 D ｜a ｜＜131解：点P 在圆（x －1）2+y 2=1内部⇔（5a +1－1）2+（12a ）2＜1⇔｜a ｜＜1答案：D3已知圆的方程为（x －a ）2+（y －b ）2=r 2（r >0），下列结论错误的是A 当a 2+b 2=r 2时，圆必过原点B 当a =r 时，圆与y 轴相切C 当b =r 时，圆与x 轴相切D 当b <r 时，圆与x 轴相交解：已知圆的圆心坐标为（a ，b ），半径为r ，当b <r 时，圆心到x 轴的距离为|b |，只有当|b |<r 时，才有圆与x 轴相交，而b <r 不能保证|b |<r ，故D 是错误的故选D答案：D4．圆22420x y x y +-+=的圆心和半径分别是（ ）A (2,-1),B (2,-1), 5C (-2,1),D (-2,1), 5答案: A5．点（1，1）在圆22()()4x a y a -++=的内部，则a 的取值范围是（ ） A 11a -<<, B 01a <<, C 1a <-或1a > D 1a =± 答案: A6．已知直线ax+by+c=0 (0abc ≠)与圆x 2+y 2=1相切,则三条边长分别为,,a b c 的三角形（ ）A 是锐角三角形B 是直角三角形C 是钝角三角形D 不存在 答案: B7．2x 与y 2的系数相同,且不等于零,并且没有xy 这样的项是二元二次方程表示圆的（ ）A 必要条件B 充分条件C 充分且必要条件D 既不充分也不必要条件 答案: A8．方程220x y x y m +-++=表示一个圆，则m 的取值范围是（ ） A 2m ≤ B 2m < C 12m < D 12m ≤答案: C9．已知圆心为点（2，-3），一条直径的两个端点恰好落在两个坐标轴上，则这个圆的方程是（ ）A ．224680x y x y +-++=B 224680x y x y +-+-=C 22460x y x y +--=D 22460x y x y +-+=答案: D10．圆2230x y D x Ey +++-=的圆心在x 轴上，半径r=2， 且D>E ，则D=（ ）A 1±B 2±C 1D 2 答案: D11．M （3，0）是圆2282100x y x y +--+=内一点，过M 点最长的弦所在的直线方程是（ ）A 30x y +-=B 30x y --=C 260x y --=D 260x y +-=答案: B12．过点C(-1，1)和D （1，3），圆心在x 轴上的圆的方程是______答案: （x-2）2+y 2=1013方程1x -=表示的曲线是___________答案：两个半圆14．已知圆C 的圆心在直线1:10l x y --=上，与直线2:43140l x y ++=相切，且截直线3:34100l x y ++=所得弦长为6，则圆C 的方程：_____（答案：()()222125x y -+-=）15．过点A （1，2）和B （1，10）且和直线210x y --=相切的圆方程为_________答案: （x-3）2+（y-6）2=80或（x+7）2+（y-6）2=8016．圆()()22339x y -+-= 上到直线34110x y +-=的距离等于1的点有_____个答案: 217．已知BC 是圆2225x y +=的弦，且6BC =，则BC 的中点的轨迹方程是____________ 答案: x 2+y 2=1618圆2241230x y x y q ++-+=关于点（1，1）的对称圆方程是______答案: （x-4）2+（y+4）2=40-3q19圆220x y px qy ++-=关于y 轴对称的圆的方程是_____答案: 220x y px qy +--=20将圆x 2+y 2=1按向量a 平移得到圆（x +1）2+（y －2）2=1，则a的坐标为____解：由向量平移公式即得a=（－1，2）答案：（－1，2）21已知P （1，2）为圆x 2+y 2=9内一定点，过P 作两条互相垂直的任意弦交圆于点B 、C ，则BC 中点M 的轨迹方程为____________解：Rt △OMC 中，|MP |=21|BC |（直角三角形斜边上的中线是斜边的一半）故所求轨迹方程为x 2+y 2－x －2y －2=0 答案：x 2+y 2－x －2y －2=022．已知直线24y x =+与x 轴和y 轴分别交于A ，B ，求以线段AB 为直径的圆的方程答案: （x+1）2+（y-2）2=523 直线y=k （x-3）+4与曲线1y =+有一个交点，求实数k 的取值范围解：直线y=k （x-3）+4过定点P （3，4），曲线1y =+化为x 2+（y-1）2=4(1)y ≥,因为A （2,1）,B （-2,1） 所以可得33,5PA PB k k ==，又设l PC: y-4=k （x-3）即kx-y+4-3k=0,由2=得5k =或5k =（舍）综上所述，所求实数k 的取值范围是：155k -=或335k <≤24方程224(1)40ax ay a x y +--+=表示圆，求实数a 的取值范围，并求出其中半径最小的圆的方程解：原方程可化为22222(1)24(22)()a a a x y a a a --+⎡⎤-++=⎢⎥⎣⎦2220,a a -+>∴ 当a 0≠时，原方程表示圆又r a===≥当min 2,a r ==()()22112x y -++=课前后备注。