新人教版初中数学九年级上册《第二十一章一元二次方程：21.2解一元二次方程》优课教案_1

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九年级数学上第21章一元二次方程21.2解一元二次方程目标一一元二次方程根的判别式新新人教38

A．1，3，1
B．1，3，－1
C．－1，－3，－1 D．－1，3，1
9．【教材P17习题T4变式】不解方程，判断下列方程根的情况： (1)16y2＋9＝24y；解：方程化为16y2－24y＋9＝0， Δ＝b2－4ac＝(－24)2－4×16×9＝0， ∴此方程有两个相等的实数根．
(2)5(x2＋1)－7x＝0；
5．【2020·安徽】下列方程中，有两个相等实数根的是( A ) A．x2＋1＝2x B．x2＋1＝0 C．x2－2x＝3 D．x2－2x＝0
6．【2020·潍坊】关于x的一元二次方程x2＋(k－3)x＋1－ k＝0的根的情况，下列说法正确的是( A ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定【点拨】计算根的判别式得Δ＝(k－1)2＋4>0.∴方程有两个不相等的实数根．故选A.
解：若 a 为等腰三角形 ABC 的底边长，则 b，c 为等腰三角形 ABC 的两腰长，所以方程有两个相等
的实数根，所以 Δ＝0，即 k＝32.所以方程为 x2－4x ＋4＝0，解得 x1＝x2＝2.
即 b＝c＝2，不符合三角形三边关系，故舍去．若 a 为等腰三角形 ABC 的一腰长，由题意知 4 是方程的一个根，所以 42－(2k＋1)×4＋4k－12＝0，解得 k＝52.所以方程为 x2－6x＋8＝0，解得 x1＝2，x2＝4，符合题意．所以△ ABC 的周长为 2＋4＋4＝10.
谢谢观赏
You made my day!
证明：因为 Δ＝[－(2k＋1)]2－4×1×4k－12＝4k2－ 12k＋9＝(2k－3)2≥0，所以无论 k 取何值，这个方程总有实数根．
(2) 若等腰三角形 ABC 的一边长 a ＝ 4 ，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求 △ABC的周长．

人教版初中数学课标版九年级上册第二十一章 21.2 解一元二次方程因式分解法(共17张PPT)

还
10x - 4.9x 2 = 0
有
其
降配方法
它
更
次公式法
简便
？
的方
x1=
0
，x2 =
100 49
2.04
法吗？
探究新知
观察方程 10x - 4.9x2 = 0，它有什么特点？你能根据它的特点找到更简便的方法吗？
10x - 4.9x2 = 0
左边因式分解
x（10 - 4.9x）= 0
用降次法中的因式分解法解一元二次方程．
复习引入
1、解一元二次方程的基本思路是什么？把二次方程转化为一次方程即降次
2、我们学过了用降次法中的哪几种方法来解一元二次方程？
配方法和公式法
复习引入
3、什么叫因式分解？因式分解有哪几种方法？
把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解或分解因式；
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。21.8.2421.8.2422:38:5422:38:54August 24, 2021
•
14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年8月24日星期二下午10时38分54秒22:38:5421.8.24
应用新知
1、用因式分解法解下列方程
（1）3x2+6x=0
（2）y(y-1)=2y-2
解（1）3x(x+2)=0
：
∴3x=0或x+2=0
∴x1=0,x2=-2
(2)y(y-1)-2(y-1)=0 (y-1)(y-2)=0
∴y-1=0或y-2=0

九年级数学上册 21.2.2 公式法课件 (新版)新人教版

合作探究
2．用公式法解下列方程： (1)x2＋x－12＝0 ; (2)x2－x－＝0； (3)x2＋4x＋8＝2x＋11; (4)x(x－4)＝2－8x； (5)x2＋2x＝0 ; (6)x2＋2x＋10＝0.
解：(1)x 1＝3，x 2＝－4；
2＋ 3
2－ 3
(2)x 1＝ 2 ，x 2＝ 2 ；
第二十一章：一元二次方程
21.2 解一元二次方程 21.2.2 公式法
学习目标
1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念．
2. 会熟练应用公式法解一元二次方程．
重点难点
重点：求根公式的推导和公式法的应用．难点：一元二次方程求根公式的推导．
学前准备
用配方法解方程： (1)x2＋3x＋2＝0；解：x1＝－2，x2＝－1； (2)2x2－3x＋5＝0. 解：无解．
(3)没有实数根？
解：(1)m＜
1 4
Hale Waihona Puke ；(2)m＝；14
(3)m＞ .
1 4
合作探究
3. 已知x2＋2x＝m－1没有实数根，求证：x2＋ mx＝1－2m必有两个不相等的实数根.
证明：∵x2＋2x－m＋1＝0没有实数根， ∴4－4(1－m)＜0，∴m＜0. 对于方程x2＋mx＝1－2m，即x2＋mx＋2m－1 ＝0， Δ＝m2－8m＋4，∵m＜0，∴Δ＞0， ∴x2＋mx＝1－2m必有两个不相等的实数根．
(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法．根((，45))也由一可求般能根地有，公式式可子个知b12实，－根一4a或元c叫者二做次方方实程程没根a最x有．2多＋有bx＋c2个＝实数 0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字母Δ表示，即Δ＝b2 －4ac.

九年级数学人教版第二十一章一元二次方程21.2.3公式法解方程(同步课本图文结合详解)

x-6.8
九年级数学上册第21章一元二次方程
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.由配方法解一般形式的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)，若 b2-4ac≥0得求根公式：
x b b2 4ac 2a
2.会熟练应用公式法解一元二次方程．
x b b2 4ac (a≠0, b2-4ac≥0) 2a
否则原方程无解. 4、写出方程的解： x1=?, x2=?
九年级数学上册第21章一元二次方程
1.（无锡·中考）关于x的方程(a －5)x2－4x－1＝0有实数根，则a满足（） A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5 【解析】选A.当a-5=0时，有实数解x= 1 ，此时a=5;当
x2 2 3x 3 0
这里 a=1, b= 2 3 , c= 3.
∵b2 - 4ac=( 2 3 )2 - 4×1×3=0,x 2来自3 210
23 2

3,
即：x1= x2= 3
九年级数学上册第21章一元二次方程
2、解方程：（x-2)(1-3x)=6．【解析】去括号：x-2-3x2+6x=6
4
a 5 0 时，应满足 b2 4ac 16 4(a 5) 0 ，解得a≥1，综上所
述a≥1.
九年级数学上册第21章一元二次方程
2.（烟台·中考）方程x2-2x-1=0的两个实数根分别为x1，x2，则 (x1-1)(x2-1)=______. 【解析】由求根公式可得方程x2-2x-1=0的两个实数根为 x1 1 2 ，x2 1 2 ，所以
2
2
（4）配方、用直接开平方法解方程.
(x+ p )2= p2 -q 24

人教版初中数学第二十一章一元二次方程知识点

人教版初中数学第二十一章一元二次方程知识点-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN第二十一章一元二次方程21.1一元二次方程1、一元二次方程：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程。

形如：()200ax bx c a ++=≠ 例1．关于x 的方程(m －4)x2+(m+4)x+2m+3=0，当m__________时，是一元二次方程，当m__________时，是一元一次方程.【答案】≠4，=4【解析】试题分析：根据一元二次方程、一元一次方程的定义即可求得结果.由题意得当m≠4时，是一元二次方程，当m=4时，是一元一次方程.考点：一元二次方程，一元一次方程点评：熟练掌握各种方程的基本特征是学好数学的基础，很重要，但此类问题往往知识点比较独立，故在中考中不太常见，常以填空题、选择题形式出现，属于基础题，难度一般.例2．关于x 的方程(m2-m-2)x2+mx+n=0是一元二次方程的条件为___________.【答案】m ≠-1且m ≠2【解析】试题分析：一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0），由a≠0即可得到m2-m-2≠0，从而得到结果。

由题意得m2-m-2≠0，解得m ≠-1且m ≠2.考点：本题考查的是一元二次方程成立的条件点评：解答本题的关键是掌握一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0），尤其注意a≠0.2、a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项3、使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根。

例1．一元二次方程3x2-6x+1=0中，二次项系数、一次项系数及常数项分别是（）A ．3，-6，1B ．3，6，1C ．3x2,6x ，1D ．3x2,-6x ，1【答案】A【解析】试题解析：3x2-6x+1=0的二次项系数是3，一次项系数是-6，常数项是1．故选A ．考点：一元二次方程的一般形式．例2．若关于x 的方程0142=--x ax 是一元二次方程，则a 满足的条件是（）A ．a ＞0B ．0≠aC ．0<aD ．4≠a【答案】B【解析】试题分析：本题考查了一元二次方程的定义，注意：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a b c 都是常数，且a ≠0）．根据一元二次方程的定义得出a ≠0即可．考点：一元二次方程的定义．例3．请你写出一个有一根为1的一元二次方程____________________．【答案】（x+1）（x －1）=0（不唯一）【解析】试题分析：本题利用因式分解法，保证其中有一个解为x=1就可以．考点：一元二次方程的解．例4．关于x 的方程053)2(2=-+-x x m 是一元二次方程，则m 的取值范围是．【答案】m ≠2．【解析】试题解析：由一元二次方程的定义可得m-2≠0，解得m ≠2．考点：一元二次方程的定义．例5．关于x 的方程221(1)50a a a xx --++-=是一元二次方程，则a=_________．【答案】3．【解析】试题分析：221(1)a a a x --+是方程二次项，即221210a a a ⎧--=⎨+≠⎩，解得：a=3．故答案为：3．考点：一元二次方程的定义．21.2解一元二次方程21.2.1 配方法配方法：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法。

人教版九年级初中数学上册第二十一章一元二次方程-解一元二次方程(配方法)PPT课件

2
B.x 2 6 x 8 0，x 2 6 x 9 8 9， x 3 1
2
2
2
2
7
7 7
7 7 97
C.2 x 7 x 6 0，x x 3， x 2 x 3 ， x
第二十一章一元二次方程
21.2.1 解一元二次方程
——配方法
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
前言
学习目标
1.理解配方法的概念，并运用配方法解一元二次方程。
2.掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤。
重点难点
重点：用配方法解一元二次方程。
难点：用配方法解一元二次方程的步骤。
新知探究
尝试写出解方程x2+6x+4=0的过程？
第二十一章一元二次方程
课程结束
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
C.大于等于1
的值（ C ）
D.不大于1
【思路点拨】将二次三项式配方，然后根据平方大于等于0，求出最值。
【解题过程】解：∵ 2 x 2 4 x 3
2 x 2 2 x 1 2 1 3
2 x 1 1。
2
2 x 1 0，
2
原式 1。
方”)
新知探究
通过配方法解一元二次方程的步骤
用配方法解一元二次方程
ax 2 bx c 0 a 0 的一般步骤：
（1）移项：将含有x的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；
（2）二次项系数化为1：两边同除以二次项的系数；
（3）配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方；

人教版初中数学九年级第二十一章一元二次方程21.2 解一元二次方程学案(1)

一元二次方程应用利用一元二次方程可以：一、一元二次方程主要是解决实际问题：主要解决：1、传播、分支问题；握手、写信，循环比赛问题；2、平均变化率问题；3、数字问题；4、利润问题；5、图形的面积问题；5、利润问题；6、方案设计问题等。

二、解分式方程（成平方关系、成倒数关系）三、对二次三项式ax2+bx+c(a≠0)进行因式分解：一、相互问题（传播、循环）例：（传染问题）有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感．（1）求每一轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少人患上流感？练习：1.有两人患了红眼病，经过两轮传染后共有162人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了个人。

列得方程：解得：x=2.某人患了流感,经过两轮传染后共64人患了流感.（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人?（2）如果不及时控制,第三轮将又有多少人被传染?3.某电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮传播后就会有144台电脑被感染，设每轮传染中平均一台电脑传染x台电脑，则依题意可列方程为______________-4.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，按照这样的速度，第三轮传染后，患流感的人数是( ) A．1331 B．1210 C．1100 D．1000问题2：（分蘖问题）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？练习：为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定利用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，依此类推，已知经过两轮传播后，共有111人参与了传播活动，则n=______．解：类型二：“握手”、“比赛”、“赠礼物”1.参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有个队参加比赛。

人教版九年级数学上册(RJ)第21章一元二次方程一元二次方程的根与系数的关系

第二十一章一元二次方程21.2 解一元二次方程*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系学习目标：1.探索一元二次方程的根与系数的关系.2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题. 重点：探索一元二次方程的根与系数的关系.难点：不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.一、知识链接1.一元二次方程的求根公式是什么？2.如何用判别式b2－4ac来判断一元二次方程根的情况？算一算解下列方程并完成填空：(1)x2+3x－4=0； (2)x2－5x+6=0； (3)2x2+3x+1=0.想一想方程的两根x1，x2与系数a，b，c有什么关系？二、要点探究探究点1：探索一元二次方程的根与系数的关系猜一猜（1）一元二次方程 (x－x1)(x－x2) = 0 (x1，x2为已知数) 的两根是什么？若将此方程化为x2 + px + q = 0 的形式，你能看出 x1，x2与 p，q 之间的关系吗？（2）通过上表猜想，如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么，你可以发现什么结论？证一证：x1 + x2= x1·x2=归纳总结：一元二次方程的根与系数的关系如果ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x 1、x2，那么12bx xa ，12cx xa.(前提条件是b2－4ac≥0).(1) x2–6x–15 = 0； (2) 3x2+7x－9 = 0； (3) 5x–1 = 4x2.归纳：在求两根之和、两根之积时，先把方程化为一般式，判别Δ≥0，如是则代入 a、b、c的值即可.例2 已知关于x的方程5x2+kx－6=0的一个根是2，求它的另一个根及k 的值.变式题已知关于的值.例3 不解方程，求方程2x2+3x－1=0的两根的平方和、倒数和.练一练设x1，x2为方程x2－4x+1=0的两个根，则：(1) 12x x ， (2)12xx ，(3) 2212x x ， (4)212()x x .归纳：求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和，两根之积的形式，再整体代入.常见的求值式子如下： 12111.x x +=22122.x x += 12213.=x x x x + 124.(1)(1)x x ++= 125.||=x x -例4 设x 1，x 2是方程 x 2－2(k －1)x + k 2 =0的两个实数根，且2212x x 4，求k 的值.方法总结：根据一元二次方程两实数根满足的条件，求待定字母的值时，务必要注意方程有两实数根的条件，即所求的字母代入方程中，方程应该满足Δ≥0 .2b x a，1c x a.2221212()2x x x x x 2221212)()4x x x x x122121x x x x x......1.如果－1是方程2x 2－ = .2.已知一元二次方程x 2+px+q=0的两根分别为－2和1，则p = ， q = .3.已知关于的值.4.已知x 1，x 2是方程2x 2+2kx+k －1=0的两个根，且(x 1+1)(x 2+1)=4.(1)求k的值； (2)求(x1－x2)2的值.5.设x1，x2是方程3x2+4x－3 = 0的两个根.利用根系数之间的关系，求下列各式的值：(1) (x 1 + 1)(x2 + 1)； (2)2112.x xx x拓展提升6. 当k为何值时，方程2x2－kx+1=0的两根之差为1.7.已知关于-2=0(1)若方程有实数根,求实数m的取值范围；(2)若方程两根x1，x2满足|x1-的值.242bb ac xa.时，方程有两个相12-132课堂探究二、要点探究探究点1：探索一元二次方程的根与系数的关系猜一猜=b a，x 1x 2证一证：（注：b221242b b ac x x a +-+=2b b a -+--= 22b a -=.ba=- 1222b b x x a a•-+--⋅=()()22244b b ac a ---=244ac a=.ca =例1 解：（1） a=1 , b= – 6 , c= – 15. Δ = b 2– 4ac =( – 6 )2 – 4 × 1 ×(– 15) = 96 > 0. ∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x 1，x 2，那么x 1 + x 2 = –( – 6 ) =6，x 1 x 2 = – 15 .（2）a = 3 , b =7, c = –9. Δ= b 2 - 4ac = 72 –4×3×(-9) =157 > 0，∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x 1，x 2，那么x 1 + x 2 =73， x 1 x 2 =933.（3）方程可化为4x 2–5x +1 =0，a =4，b = – 5，c = 1.Δ = b 2- 4ac =(– 5)2 – 4×4×1=9>0.∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x 1， x 2，那么x 1 + x 2 =5544，x 1 x 2 =1.4=6.5=3.5+ x 2=2+ 35=.5k 得k=答：方程的另一个根是3,5k=－解：设方程的两个根分别是+ x 2=1+ x =5 .121231,.22x x x 222121122)2,x xx x x ∴22221212123113()22.224xxx x x x 121212131 3.22x x x x x练一练（1）4 （2）1 （3）14 （4）12例4 解：由方程有两个实数根，得22221212()2x x x x x = 4(k 222x 4，得 2k +4 =4，解得k 1=0，k 2=4 . 当堂检测1.；-3. 2. 1 ； -2.1161.3c x a116.3x 12121,.2k x k x x 1()1 4.2kk 解得k = -7；4.-则222121212)()474(4)65.x x x x x12124, 1.3b c x x x aa)+1=441()1.33122221121221212()234.9x x x x x x x x x x x x 12121,.22kx x x 22121212()()4 1.x x x x x x 22141,3,2 3.222k k k7.解：（1）方程有实数根，所以Δ=b 2-4ac=(-2m)2-4·m·（m-2=4m 2-4m 2+8m=8m ≥0.∵m≠0，∴m 的取值范围为m ＞0. 121222,.m x x x m22121212()()4 1.x x x x x x 22241.m m解得m=8.经检验，解.。

九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程21.2.1配方法(第一课时直接开平方法)课件人教版

∴ x3 5 或 x3- 5 .
∴ x1= 5-3 ，x2 = - 5-3 .
解一元二次方程的基本思路是：
把一个一元二次方程“ 降次 ”，转化为两个一元一次方程．
由应用直接开平方法解形如：
x2=p（p≥0），那么x=± p
由应用直接开平方法解形如：
（mx+n）2=p（p≥0），则mx+n=____p_ .
问题：一桶油漆可刷的面积为1500 dm2 ，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
提示
可以根据正方体表面积 S=6a2求解. 同时要注意所得的结果要符合实际
意义.
解：设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为__6_x_2_dm2 .根据一桶油漆可刷面积列出方程 1_0_×_6_x_2_=_1_5_0_0____.
解下列方程：
（1）9x2 5 3；
解：移项，得 9x2 8.
系数化为1，得 x2 8 .
9
直接开平方，得
x
8. 9
x1

22 3
，x2

22 3
.
注意：二次根式必须化为最简二次根式。
（2）9x2 5 1.
解：先移项，得 9x2 4. 系数化为1，得 x2 4 0 9
1

x1

, 3
x2

1.
整理，得_x_2_=_2_5 ，根据平方根的意义得x=___±_5__. 即x1=___5___，x2=__-_5___. 因为_棱__长__不_能__为__负__值__，所以正方体的棱长是_5_d_m__.

九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程21.2.2公式法教案新人教版(2021

2018-2019学年九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2 解一元二次方程21.2.2 公式法教案（新版）新人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2 解一元二次方程21.2.2 公式法教案（新版）新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018-2019学年九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2 解一元二次方程21.2.2 公式法教案（新版）新人教版的全部内容。

21.2.2 公式法※教学目标※【知识与技能】1.理解并掌握求根公式的推导过程．2。

能利用公式法求一元二次方程的解．【过程与方法】经历探索求根公式的过程，加强推理技能，进一步发展逻辑思维能力．【情感态度】用公式法求解一元二次方程的过程中，锻炼学生的运算能力，养成良好的运算习惯，培养严禁认真的科学态度．【教学重点】求根公式的推导和公式法的应用．【教学难点】一元二次方程求根公式的推导．※教学过程※一、复习导入1.前面我们学习过直接开平方法解一元二次方程，比如，方程24x，227x：提问1 这种解法的（理论）依据是什么？提问2 这种解法的局限性是什么?（只对那种“平方式等于非负数"的特殊的一元二次方程有效，不能实施于一般形式的一元二次方程）2.面对这种局限性，我们该怎么办？（使用配方法,把一般形式的一元二次方程化为能够直接开平方的形式）（学生活动) 用配方法解方程:2x x．237总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结,老师点评）（1）先将已知方程化为一般形式；（2）二次项系数化为1；（3）常数项移到右边；（4）方程两边都加上一次项系数的一般的平方，使左边配成一个完全平方式; （5）变形为2x np 的形式，如果0p ，就可以直接开平方求出方程的解，如果0p ，则一元二次方程无解．二、探索新知能否用上面配方法的步骤求出一元二次方程200ax bx c a 的两根？移项，得2ax bxc ．二次项系数化为1,得2b cx xa a．配方，得22222b b c b xx a aaa，即222424b b ac x aa ．此时，教师应作适当停顿，提出如下问题，引导学生分析、探究：（1）两边能直接开平方吗？为什么？（2）你认为下一步该怎么办？师生共同完善认知：(1）当b 2—4ac ＞0时，两边可直接开平方，得242b b ac x a，∴2142bb ac x a，2242bb ac x a;（2)当b 2—4ac =0时，有202b x a 。

人教版初中数学九年级上册教学课件第二十一章一元二次方程解一元二次方程教学课件公式法

解：a=2，b=-（4m+1），c=2m2-1,
b2-4ac=〔-（4m+1）〕2-4×2（2m2-1）=8m+9.
（1）若方程有两个不相等的实数根，则b2-4ac ＞0，即8m+9＞0 ∴m＞ 9 .
（2）若方程有两个相等的实数根，则b2-4ac=0即8m+9=0
∴m=
9 8
.
8
（3）若方程没有实数根，则b2-4ac＜0即8m+9＜0, ∴m＜ 9 .
（1）当b2-4ac＞0 时，有两个不等的实数根：
x1 b
b2 2a
4ac
,
x2
b
b2 4ac ; 2a
（2）当b2-4ac=0时，有两个相等的实数根： x1
x2
b ; 2a
（3）当b2-4ac<0时，没有实数根.
一般的，式子 b2-4ac 叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“∆”来表示，即∆＝b2-4ac.
x 6 60 . 23
x1
3 3
15
,
x2
3-
15 3
.
探究新知
知识点 2 一元二次方程的根的情况
用公式法解下列方程：（1） x2＋x－1 = 0
（2）x2－2 3 x＋3 = 0
（3） 2x2－2x＋1 = 0 观察上面解一元二次方程的过程，一元二次方程的根的情况与一元二次方程中二次项系数、一次项系数及常数项有关吗？能否根据这个关系不解方程得出方程的解的情况呢？
探究新知
【思考】不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？ ⑴ x2＋2x－8 = 0 ⑵ x2 = 4x－4 ⑶ x2－3x = －3
答案：（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根.

人教版九年级初中数学上册第二十一章一元二次方程-解一元二次方程(公式法)PPT课件

第二十一章一元二次方程
21.2.2 解一元二次方程
——公式法
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
前言
学习目标
1.使学生理解一元二次方程的求根公式的推导过程。
2.引导学生熟记求根公式，并理解公式中的条件。
3.使学生能熟练地运用求根公式解一元二次方程
重点难点
重点：掌握一元二次方程的求根公式，并熟练地运用求根公式求解一元二次方程。
解:(3)移项得， 5x2-4x-1=0
a=5,b=- 4,c=-1
Δ=b2-4ac=(-4)2-4×5×(-1)=36>0
方程有两个不相等的实数根
=
−± 2 −4 4±6
=
2
2×5
1
即x1=1,x2=5
课堂练习
公式法的应用
例：用公式法解下列方程:
(1)x2-4x-7=0;
解:(4)移项得， x2-8x+17=0
(4) 程 2 − 2 + = 0 有两个实根，则m的取值范围是
_________ .
解： 2 − 4 = (−2)2 − 4 × 1 × = 4 − 4 ≥ 0
则 ≤ 1
注意：一元二次方程有实根，说明方程可能有两个不等实根或两个相等
2 −4
42
将①直接开平方，得
>0
=±
方程有两个不相等的实数根
b b 2 4ac
b b 2 4ac
x1
, x2
;
2a
2a
新知探究
因为a≠0,4a2>0,式子b2－4ac的值不确定，需分情况讨论：
（2）若b2﹣4ac=0
将①直接开平方，得

新人教版九年级数学知识点归纳

新人教版九年级数学知识点归纳第二十一章一元二次方程21.1 一元二次方程一元二次方程是指一个等式中只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2次的整式方程。

它有四个特点：(1)只含有一个未知数；(2)未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程；(4)将方程化为一般形式：ax^2+bx+c=0时，应满足(a≠0)。

21.2 降次——解一元二次方程解一元二次方程的基本思想是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。

一元二次方程有四种解法：1.直接开平方法：用直接开平方法解形如(x-m)^2=n (n≥0)的方程，其解为x=± m。

直接开平方法就是平方的逆运算，通常用根号表示其运算结果。

2.配方法：通过配成完全平方式的方法，得到一元二次方程的根的方法。

这种解一元二次方程的方法称为配方法，配方的依据是完全平方公式。

具体步骤如下：1) 转化：将此一元二次方程化为ax^2+bx+c=0的形式(即一元二次方程的一般形式）；2) 系数化1：将二次项系数化为1；3) 移项：将常数项移到等号右侧；4) 配方：等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方；5) 变形：将等号左边的代数式写成完全平方形式；6) 开方：左右同时开平方；7) 求解：整理即可得到原方程的根。

3.公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b^2-4ac的值，当b^2-4ac≥0时，把各项系数a,b,c的值代入求根公式x=(b±√(b^2-4ac))/2a，就可得到方程的根。

4.因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。

这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

21.3 实际问题与一元二次方程列一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的继续和发展。

From the perspective of solving ns。

人教版九年级上册数学全册教案

第二十一章一元二次方程3.建立一元二次方程实际问题的数学模型;方程解与实际问题解的区别.课题21.1 一元二次方程课时1课时上课时间教学目标1.知识与技能(1)理解一元二次方程概念是以未知数的个数和次数为标准的.(2)掌握一元二次方程的一般形式以及三种特殊形式,能将一个一元二次方程化为一般形式. (3)理解一元二次方程的根的概念,会判断一个数是否是一个一元二次方程的根.2.过程与方法(1)通过根据实际问题列方程,向学生渗透知识来源于生活.(2)通过观察,思考,交流,获得一元二次方程的概念及其一般形式和其他三种特殊形式. (3)经历观察,归纳一元二次方程的概念,一元二次方程的根的概念. 3.情感、态度与价值观通过生活学习数学,并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情.教学重难点重点:一元二次方程的概念,一般形式和一元二次方程的根的概念.难点:通过提出问题,建立一元二次方程的数学模型,再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念.教学活动设计二次设计课堂导入参加一次集会,如果有x 个人,每两人之间都握一次手,共握了21次手,请你列出符合上述条件的方程,并判断方程是什么类型?探索新知合作探究探究课本问题2 分析:1.参赛的每两个队之间都要比赛一场是什么意思?2.全部比赛场数是多少?若设应邀请x 个队参赛,如何用含x 的代数式表示全部比赛场数?整理所列方程后观察:(1)方程中未知数的个数和次数各是多少?(2)下列方程中和上题的方程有共同特点的方程有哪些?4x+3=0;x 2+2x-4=0;x 2+y-4=0;x 2-75x+350=0;+2x-6=0 概念归纳:1.一元二次方程定义:分析:首先它是整式方程,然后未知数的个数是1,最高次数是2. 2.一元二次方程的一般形式: 分析:(1)为什么规定a ≠0?(2)方程左边各项之间的运算关系是什么?关于x 的一元二次方程ax 2-bx-c=0(a ≠0)的各项分别是什么?各项系数是什么?3.特殊形式:ax 2+bx=0(a ≠0);ax 2+c=0(a ≠0);ax 2=0(a ≠0).探索新知合作探究课本例题分析:类比一元一次方程的去括号,移项,合并同类项,进行同解变形,化为一般形式后再写出各项系数,注意方程化为一般形式后,其中的“-”是性质符号负号,不是运算符号减号.一元二次方程的根的概念1.类比一元一次方程的根的概念获得一元二次方程的根的概念.2.下面哪些数是方程x2+5x+6=0的根?-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.3.你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗?(1)x2-64=0;(2)x2+1=0;(3)x2-3x=0;(4)x2+2x+1=0.4.思考:一元一次方程一定有一个根,一元二次方程呢?5.排球邀请赛问题中,所列方程x2-x=56的根是8和-7,但是答案只能有一个,应该是哪个?归纳:1.一元二次方程根的情况.2.一元二次方程的解要满足实际问题.当堂训练1.课本练习2.补充:(1)在下列方程中,一元二次方程的个数是( )①3x2+7=0;②ax2+bx+c=0;③(x-2)(x+5)=x2-1;④3x2-=0(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个(2)关于x的方程(a-1)x2+3x=0是一元二次方程,则a范围为.(3)已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3,则m的值为.归纳小结1.一元二次方程的概念及其一般形式,能将一个一元二次方程化为一般形式,并正确指出其各项系数.2.一元二次方程的根的概念,能判断一个数是否是一个一元二次方程的根.板书设计21.1一元二次方程教学反思课题21.2.1 配方法课时 1课时上课时间教学目标1.知识与技能(1)使学生知道形如x 2=a (a ≥0)的一元二次方程可以用直接开平方法求解. (2)使学生知道直接开平方法求一元二次方程的解的依据是数的开平方. (3)使学生能够熟练而准确的运用直接开平方法求一元二次方程的解. 2.过程与方法在学习与探究中使学生体会“化归”“换元”与“分类讨论”的数学思想及运用类比进行学习的方法.3.情感、态度与价值观使学生在学习中体会愉悦与成功感,感受数学学习的价值.教学重难点重点:使学生能够熟练而准确的运用直接开平方法求一元二次方程的解.难点:探究(x-m )2=a 的解的情况,培养分类讨论的意识.教学活动设计二次设计课堂导入一个正方形花坛的面积为8,若设其边长为x ,根据正方形的面积可列出怎样的方程?用怎样的方法可以求出所列方程的解呢?探索新知合作探究上面我们已经讲了x 2=8,根据平方根的意义,直接开平方得x=±2,如果x 换元为2t+1,即(2t+1)2=8,能否也用直接开平方的方法求解呢?(学生分组讨论)老师点评:回答是肯定的,把2t+1变为上面的x ,那么2t+1=±2,即2t+1=2,2t+1=-2,方程的两根为t 1=-,t 2=--.【例1】解方程x 2+4x+4=1.【例2】市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10 m 2提高到14.4 m 2,求每年人均住房面积增长率.当堂训练1.方程3x 2+9=0的根为( )(A )3 (B )-3 (C )±3 (D )无实数根2.若8x 2-16=0,则x 的值是 .3.如果a ,b 满足+b 2-12b+36=0,那么ab 的值是 .归纳小结本节课应掌握:应用直接开平方法解形如x 2=p (p ≥0),那么x=±,应用直接开平方法解形如(mx+n )2=p (p ≥0),那么mx+n=±,达到降次转化之目的.板书设计第1课时直接开平方法将一元二次方程降次转化为两个一元一次方程:(1)一元二次方程x 2=p (p ≥0)(2)(mx+n )2=p (p ≥0)教学反思课题21.2.1 配方法课时第2课时上课时间教学目标1.知识与技能理解配方法,会对一元二次方程进行配方. 2.过程与方法(1)通过自主学习,会用配方法解简单数字系数的一元二次方程. (2)发现不同方程的转化方式,用已有的知识来解决问题. 3.情感、态度与价值观通过配方法的探究活动,培养学生勇于探索的学习习惯,感受数学的严谨性和数学结论的确定性.教学重难点重点:用配方法解数字系数的一般一元二次方程. 难点:配方的过程.教学活动设计二次设计课堂导入 1.比一比,谁做的快?用直接开平方法解下列一元二次方程.(1)2x 2=8;(2)(x+3)2-25=0;(3)9x 2+6x+1=4.2.你能解这个方程吗? x 2+6x+4=0探索新知合作探究自学指导1.完全平方公式你还记得吗?2.试一试,将下列各式进行配方.3.试比较上面式子,二次项的系数有什么共同点?等号左边,一次项的系数和常数导入(老师点评)总结用配方法解一元二次方程的步骤(学生总结,老师点评).(1)移项;(2)化二次项系数为1;(3)方程两边都加上一次项系数的一半的平方;(4)原方程变形为(x+m)2=n的形式;(5)如果右边是非负数,就可以直接开平方求出方程的解,如果右边是负数,则一元二次方程无解.探索新知合作探究对于一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根,请同学们独立完成下面这个问题.问题:已知ax2+bx+c=0(a≠0)且b2-4ac≥0,试推导它的两个根x1=,x2=.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系数a,b,c而定,因此:(1)解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0,当b2-4ac≥0时,将a,b,c代入式子x=就得到方程的根,这个式子叫做一元二次方程的求根公式.利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.(2)由求根公式可知,一元二次方程最多有两个实数根.续表探索新知合作探究(3)当b2-4ac>0时,方程有两个不相等实数根即x1=, x2=;当b2-4ac=0时,方程有两个相等实数根即x1=x2=;当b2-4ac<0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根.当堂训练用公式法解下列方程.(1)2x2-4x-1=0;(2)5x+2=3x2;(3)(x-2)(3x-5)=0;(4)4x2-3x+1=0.教学活动设计二次设计课堂导入(学生活动)解下列方程.(1)2x2+x=0(用配方法);(2)3x2+6x=0(用公式法).老师点评:(1)配方法将方程两边同除以2后,x前面的系数应为,的一半应为,因此,应加上2,同时减去2.(2)直接用公式求解.探索新知合作探究(老师提问)(1)上面两个方程中有没有常数项?(2)等式左边的各项有没有共同因式?(学生先答,老师解答)上面两个方程中都没有常数项;左边都可以因式分解:2x2+x=x(2x+1),3x2+6x=3x(x+2).因此,上面两个方程可以写成:(1)x(2x+1)=0;(2)3x(x+2)=0.因为两个因式乘积要等于0,至少其中一个因式要等于0,也就是(1)x=0或2x+1=0,所以x1=0,x2=-.(2)3x=0或x+2=0,所以x1=0,x2=-2.因此,我们可以发现,上述两个方程中,其解法都不是用开平方降次,而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次,这种解法叫做因式分解法.【例1】解方程:(1)4x2=11x;(2)(x-2)2=2x-4.【例2】已知9a2-4b2=0,求代数式--的值.当堂训练用因式分解法解下列方程(1)(x-3)2-2x+6=0;(2)4(x-3)2-25x2=0;(3)(x+1)2-8(x+1)+16=0.归纳小结本节课要掌握:板书设计21.2.3因式分解法教学反思x 1+x 2= ;x 1x 2= ;(3)-4x 2+x+2=0,x 1+x 2= ;x 1x 2= ;(4)5x 2+kx-6=0,x 1+x 2=;x 1x 2= .2.已知方程6x 2+kx-5=0的一个根为1,求它的另一个根及k 的值. 3.利用根与系数的关系,求一元二次方程3x 2-3x-1=0的两个根的 (1)平方和;(2)倒数和. 归纳小结1.易错点(1)代入公式前,先确定a ,b ,c 的符号; (2)代入公式时,注意系数前的符号;(3)应用根与系数的关系前,确保一元二次方程有实根. 2.常见的与两根有关的代数式变形(1)+=(x 1+x 2)2-2x 1x 2;(2)(x 1-x 2)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2;(3)+=.板书设计*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系教学反思课题 21.3 实际问题与一元二次方程课时第1课时上课时间教学1.知识与技能续表探索新知合作探究④“应如何设计四周边衬的宽度?”是要求四周边衬的宽度,除了根据上下边衬与左右边衬的宽度比,设上下边衬宽与左右边衬宽.还可以根据正中央的长方形长与宽的比为9∶7,设正中央的长方形的长为9x cm,宽为7x cm.尝试列出方程.⑤方程的两个根都是正数,但是它们不都是问题的解,需要根据它们的值的大小来确定哪个更合乎实际,这种取舍选择更多的要考虑问题的实际意义.当堂训练1.从正方形铁片,截去2 cm宽的一条长方形,余下的面积是48 cm2,则原来的正方形铁片的面积是( )(A)8 cm (B)64 cm(C)8 cm2(D)64 cm22.如图,是长方形鸡场平面示意图,一边靠墙,另外三面用竹篱笆围成,若竹篱笆总长为35 m,所围的面积为150 m2,则此长方形鸡场的长、宽分别为.3.有一张长方形的桌子,长6尺,宽3尺,有一块台布的面积是桌面面积的2倍,并且铺在桌面上时,各边垂下的长度相同,求台布的长和宽各是多少?(精确到0.1尺)4.在一块长12 m,宽8 m的长方形平地中央,划出地方砌一个面积为8 m2的长方形花台,要使花坛四周的宽地宽度一样,则这个宽度为多少?归纳小结1.在实际生活中有许多类似几何图形的问题,可以用一元二次方程作为数学模型来分析和解决.2.对于比较复杂的问题,可以通过设间接未知数的方法来列方程.板书设计第1课时传播类、面积类问题1.传播问题2.面积类问题教学反思课题21.3实际问题与一元二次方程课时第2课时上课时间教学目标1.知识与技能(1)能根据具体问题中的数量关系,列出一元二次方程,体会方程是刻画现实世界某些问题的一个有效的数学模型.(2)能根据具体问题的实际意义,检验结果是否合理.2.过程与方法(1)经历将实际问题抽象为数学问题的过程,探索问题中的数量关系,并能用一元二次方程对之进行描述.(2)体验解决问题的多样性,发展实践应用意识.3.情感、态度与价值观通过用一元二次方程解决身边的问题,体会数学知识的应用价值,提高学生学习数学的兴趣.教学重难点重点:列一元二次方程解实际问题.难点:发现问题中的等量关系.教学活动设计二次设计课堂导入月季花每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系.每盆植3株时,平均每株盈利4元;若每盆增加1株,平均每株盈利减少0.5元.要使每盆的盈利达到15元,每盆应多植多少株?探索新知合作探究(学生活动)请同学们独立完成下面的题目.问题:某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡,一种贺年卡平均每天可售出500张,每张盈利0.3元,为了尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施,调查发现,如果这种贺年卡的售价每降低0.1元,那么商场平均每天可多售出100张,商场要想平均每天盈利120元,每张贺年卡应降价多少元?老师点评:总利润=每件平均利润×总件数.设每张贺年卡应降价x元,则每件平均利润应是(0.3-x)元,总件数应是500+×100经分析一种贺年卡原来平均每天可售出500张,每张盈利0.3元,为了减少库存降价销售,并知每降价0.1元,便可多售出100张,为了达到某个目的,每张贺年卡应降价多少元?如果本题中有两种贺年卡或者两种其他东西,量与量之间又有怎样的关系呢?即绝对量与相对量之间的关系.【例1】某商场礼品柜台春节期间购进甲、乙两种贺年卡,甲种贺年卡平均每天可售出500张,每张盈利0.3元,乙种贺年卡平均每天可售出200张,每张盈利0.75元,为了尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施,调查发现,如果甲种贺年卡的售价每降价0.1元,那么商场平均每天可多售出100张;如果乙种贺年卡的售价每降价0.25元,那么商场平均每天可多售出34张.如果商场要想每种贺年卡平均每天盈利120元,那么哪种贺年卡每张降价的绝对量大.探索新知合作探究(学生活动)【例2】两年前生产1 t甲种药品的成本是5 000元,生产1 t乙种药品的成本是6 000元,随着生产技术的进步,现在生产1 t甲种药品的成本是3 000元,生产1 t乙种药品的成本是3 600元,哪种药品成本的年平均下降率较大?老师点评:绝对量:甲种药品成本的年平均下降额为(5 000-3 000)÷2=1 000元,乙种药品成本的年平均下降额为(6 000-3 600)÷2=1 200元,显然,乙种药品成本的年平均下降额较大.相对量:从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢?也就是能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢?下面我们通过计算来说明这个问题.当堂训练新华商场销售甲、乙两种冰箱,甲种冰箱每台进货价为2 500元,市场调研表明:当销售价为2 900元时,平均每天能售出8台;而当销售价每降低50元时,平均每天就能多售出4台.乙种冰箱每台进货价为2 000元,市场调研表明:当销售价为2 500元时,平均每天能售出8台;而当销售价每降低45元时,平均每天就能多售出4台,商场要想使这两种冰箱的销售利润平均每天达到5 000元,那么两种冰箱的定价应各是多少?归纳小结1.平均变化率:若增长(或降低)前的数量为a,以后每次的平均增长(或降低)率为x,则第二次增长(或降低)后的数量为a(1+x)2(或a(1-x)2).2.销售问题:总利润=每个利润×销售量.板书设计第2课时平均增长率、销售类问题教学反思第二十二章二次函数应用.产量增加x 倍,那么两年后这种产品的产量y 将随计划所定的x 的值而确定,y 与x 之间的关系应怎样表示?思考:函数y=6x 2,m=n 2-n ,y=20x 2+40x+40有什么共同特点?在上面的问题中,函数都是用自变量的二次式表示的.一般地,形如y=ax 2+bx+c (a ,b ,c 是常数,a ≠0)的函数,叫做二次函数.其中,x 是自变量,a ,b ,c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.当堂训练1.(口答)下列函数中,哪些是二次函数? (1)y=5x+1 (2)y=4x 2-1 (3)y=2x 3-3x 2 (4)y=5x 4-3x+1 2.课本P29练习第1,2题. 归纳小结 1.叙述二次函数的定义.2.联系生活实际,编一道二次函数应用题,并写出函数关系式.板书设计22.1.1 二次函数教学反思课题 22.1.2 二次函数y=ax 2的图象和性质课时 1课时上课时间教学目标 1.知识与技能能够用描点法作出函数y=ax 2的图象,并根据图象认识和理解其性质. 2.过程与方法使学生经历、探索二次函数y=ax 2图象性质的过程,培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯. 3.情感、态度与价值观在初步建立二次函数表达式与图象之间的联系中,体会数形结合与转化,体会数学内在的美感. 教学重难重点:使学生理解抛物线的有关概念,会用描点法画出二次函数y=ax 2的图象.难点:用描点法画出二次函数y=ax 2的图象以及探索二次函数性质.点教学活动设计二次设计课堂导入1.同学们可以回想一下,一次函数的性质是如何研究的?(先画出一次函数的图象,然后观察、分析、归纳得到一次函数的性质)2.我们能否类比研究一次函数性质方法来研究二次函数的性质呢?如果可以,应先研究什么? (可以用研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质,应先研究二次函数的图象)3.一次函数的图象是什么?二次函数的图象是什么?探索新知合作探究一、举例【例题】画二次函数y=ax2的图象.提问:观察这个函数的图象,它有什么特点?让学生观察、思考、讨论、交流,归结为它有一条对称轴,且对称轴和图象有一个交点.抛物线概念:像这样的曲线通常叫做抛物线.顶点概念:抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点.二、探究规律1.在同一直角坐标系中,画出函数y=x2与y=-x2的图象,观察并比较两个图象,你发现有什么共同点?又有什么区别?2.在同一直角坐标系中,画出函数y=2x2与y=-2x2的图象,观察并比较这两个函数的图象,你能发现什么?3.将所画的四个函数的图象作比较,你又能发现什么?对于1,在学生画函数图象的同时,教师要指导中下水平的学生,讲评时,要引导学生讨论选几个点比较合适以及如何选点.两个函数图象的共同点以及它们的区别,可分组讨论、交流,让学生发表不同的意见,达成共识,两个函数的图象都是抛物线,都关于y轴对称,顶点坐标都是(0,0),区别在于函数y=x2的图象开口向上,函数y=-x2的图象开口向下.对于2,教师要继续巡视,指导学生画函数图象,两个函数的图象的特点;教师可引导学生类比1得出.对于3,教师可引导学生从1的共同点和2的发现中得到结论:四个函数的图象都是抛物线,都关于y轴对称,顶点坐标都是(0,0).探索新知合作探究三、归纳、概括函数y=x2,y=-x2,y=2x2,y=-2x2是函数y=ax2的特例,由它们图象的共同特点,可猜想:函数y=ax2的图象是一条,它关于对称,它的顶点坐标是.如果要更细致地研究函数y=ax2图象的特点和性质,应如何分类?为什么?先让学生观察图,回答以下问题;(1)x A,x B大小关系如何?是否都小于0?(2)y A,y B大小关系如何?板书设计22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质教学反思同,函数y=2x 2的图象的顶点坐标是(0,0),而函数y=2x 2+1的图象的顶点坐标是(0,1).问题6:你能由函数y=2x 2的性质,得到函数y=2x 2+1的一些性质吗?当堂训练1.先在同一直角坐标系中画出函数y=2x 2-2与函数y=2x 2的图象,再作比较,说说它们有什么联系和区别? 2.在同一直角坐标系中,函数y=-x 2+2图象与函数y=-x 2的图象有什么关系?3.你能说出函数y=-x 2+2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?这个函数图象有哪些性质? 归纳小结 1.在同一直角坐标系中,函数y=ax 2+k 的图象与函数y=ax 2的图象的关系.2.函数y=ax 2+k 的性质.板书设计第1课时二次函数y=ax 2+k 的图象和性质教学反思课题22.1.3 二次函数y=a (x-h )2+k 的图象和性质课时第2课时上课时间教学目标 1.知识与技能(1)会用描点法画出y=a (x-h )2的图象.(2)掌握形如y=a (x-h )2的二次函数图象的性质,并会应用.(3)理解二次函数y=a (x-h )2与y=ax 2之间的联系. 2.过程与方法让学生经历作图、观察、比较、归纳、应用的学习过程,让学生掌握类比、转化等学习数学的方法,养成既能自主探索,又能合作探究的良好学习习惯.3.情感、态度与价值观在教学中渗透美的教育(对称美),渗透数形结合的思想,让学生在数学活动中体验成功的喜悦.教学重难点重点:会用描点法画出二次函数y=a (x-h )2的图象,理解二次函数y=a (x-h )2的性质,理解二次函数y=a (x-h )2的图象与二次函数y=ax 2的图象的关系.难点:理解二次函数y=a (x-h )2的图象与二次函数y=ax 2的图象的相互关系.教学活动设计二次设计课堂导入1.在同一直角坐标系内,画出二次函数y=-x 2,y=-x 2-1的图象,并回答:(1)两条抛物线的位置关系、对称轴、开口方向和顶点坐标. (2)说出它们所具有的公共性质.2.你能说出二次函数y=2(x-1)2的图象与二次函数y=2x 2的图象的开口方向、对称轴以及顶点坐标吗?这两个函数的图象之间有什么关系? 3.引出课题:二次函数y=a (x-h )2的图象和性质.探索新知合作探究画出二次函数y=-(x+1)2,y=-(x-1)2的图象,并考虑它们的开口方向、对称轴、顶点以及最值、增减性. 先列表:x … -4-3-2-11234… y=-(x+1)2 … … y=-(x-1)2……描点并画图.续表探索新知合作探究1.观察图象,填表:函数开口方向顶点对称轴最值增减性y=-(x+1)2y=-(x-1)22.请在图上把抛物线y=-x 2也画上去(草图).①抛物线y=-(x+1)2,y=-x 2,y=-(x-1)2的形状大小 .②把抛物线y=-x 2向左平移个单位,就得到抛物线y=;把抛物线y=-x 2向右平移个单位,就得到抛物线y=-(x-1)2.当堂训练 1.抛物线y=2(x+3)2的开口 ;顶点坐标为 ;对称轴是 ;当x>-3时,y ;当x=-3时,y 有值是 .2.抛物线y=m (x+n )2向左平移2个单位后,得到的函数关系式是y=-4(x-4)2,则m= ,n= .3.若将抛物线y=2x 2+1向下平移2个单位后,得到的抛物线解析式为 .归纳小结1.在同一直角坐标系中,函数y=a (x-h )2的图象与函数y=ax 2的图象有什么联系和区别?2.你能说出函数y=a (x-h )2图象的性质吗?板书设计第2课时二次函数y=a (x-h )2的图象和性质教学反思探索新知合作探究二、做一做问题3:在坐标系中,你能再画出函数y=2(x-1)2-2的图象,并将它与函数y=2(x-1)2的图象作比较吗?教学要点1.在学生画函数图象时,教师巡视指导;2.对“比较”两字做出解释,然后让学生进行比较.问题4:你能说出函数y=-(x-1)2+2的图象与函数y=-x2的图象的关系,由此进一步说出这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?(函数y=-(x-1)2+2的图象可以看成是将函数y=-x2的图象向右平移1个单位再向上平移2个单位得到的,其开口向下,对称轴为直线x=1,顶点坐标是(1,2))当堂训练1.已知函数y=6x2,y=6(x-3)2+3和y=6(x+3)2-3.(1)在同一直角坐标系中画出三个函数的图象;(2)分别说出这三个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标;(3)试说明,分别通过怎样的平移,可以由抛物线y=6x2得到抛物线y=6(x-3)2+3和抛物线y=6(x+3)2-3;(4)试讨论函数y=6(x+3)2-3的性质.2.不画图象,直接说出函数y=-2x2-5x+7的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.3.函数y=2(x-h)2+k的图象与函数y=2x2的图象有什么关系?归纳小结1.通过本节课的学习,你学到了哪些知识?还存在什么困惑?2.谈谈你的学习体会.板书设计第3课时二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质教学反思课题22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质课时第1课时上课时间教学目标1.知识与技能(1)会画二次函数y=ax2+bx+c的图象.(2)熟记二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标与对称轴公式.(3)用配方法求二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标与对称轴.2.过程与方法对二次函数的研究,是从简单到复杂的过程,发展学生的推理能力,会用二次函数的对称轴,顶点坐标,解决一些简单的问题.3.情感、态度与价值观学习过程中,既训练了学生的抽象能力,语言表达能力,又培养了学生的合作意识,运用数学知识解决问题的能力.教学重难点重点:用描点法画出二次函数y=ax2+bx+c的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标.难点:理解二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质以及它的对称轴.教学活动设计二次设计课堂导入1.你能说出函数y=-4(x-2)2+1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?2.函数y=-4(x-2)2+1的图象与函数y=-4x2的图象有什么关系?3.函数y=-4(x-2)2+1具有哪些性质?4.不画出图象,你能直接说出函数y=x2-6x+21的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?5.你能画出函数y=x2-6x+21的图象,并说明这个函数具有哪些性质吗?探索新知合作探究一、由以上第4个问题的解决,我们已经知道函数y=x2-6x+21的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.根据这些特点,可以采用描点作图的方法作出函数y=x2-6x+21的图象,进而观察得到这个函数的性质.。

人教版九年级上册数学精品教学课件第21章一元二次方程降次 —— 一元二次方程的解法公式法

A. k > −1
B. k > −1 且 k≠0
C. k < 1
D. k < 1 且 k≠0
分析：方程有两个不等的实数根 (-2)2 + 4k > 0 k > −1
二次项系数不为 0 k≠0
且 k≠0
归纳当一元二次方程二次项系数是字母时，一定要注意二次项系数不为 0，再根据“Δ”求字母的取值范围.
化为一般式，得 3x2 - 7x + 8 = 0， a = 3，b = -7，c = 8，
∴ Δ = b2 - 4ac = (-7 )2 – 4×3×8 = 49–96 = - 47 < 0，
∴ 原方程没有实数根.
4. 解方程：2x2 - 3 3 x + 3 = 0. 解： a = 2，b = − 3 3，c = 3 . ∴ Δ = b2 - 4ac = 27 - 4×2×3 = 3 > 0 ，
典例精析
b b2 4ac
x
例4 用公式法解下列方程：
2a
(1) x2 − 4x − 7 = 0；解：a = 1，b = −4，c = −7.
Δ = b2－4ac = (−4)2－4×1×(−7) = 44＞0.
方程有两个不等的实数根
x b
b2 4ac (4)
44 2
11 ，
2a
21
用配方法解一般形式一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0).
解：移项，得 ax2 bx c.
பைடு நூலகம்
方程两边都除以 a，得 x2 b x c .
a
a
配方，得
x2
b a

2022秋九年级数学上册第21章一元二次方程21.2解一元二次方程5因式分解法解方程课件新版新人教版

解答问题：
(1)上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用 ___换__元___法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想；
13．解下列方程： (1)【2019·无锡】x2－2x－5＝0；
解：x2－2x－5＝0， (x－1)2＝6，
∴x1＝1＋ 6，x2＝1－ 6.
(2)x2－( 2＋ 3)x＋ 6＝0；解：x2－( 2＋ 3)x＋ 6＝0，
(x－ 2)(x－ 3)＝0， ∴x1＝ 2，x ＝ 3.
(3)x2－8x＋4＝0. 解：x2－8x＋4＝0，x2－8x＋16＝12， (x－4)2＝12，x－4＝±2 3， ∴x1＝4＋2 3，x2＝4－2 3.
A．1 B．－3 C．－3或1 D．－1或3
错解：C 诊断设x2＋x＋1＝y，则已知等式可化为y2＋2y－3＝0，分解因式得(y＋3)(y－1)＝0，解得y1＝－3，y2＝1. 当y＝－3时，x2＋x＋1＝－3无实数根；当y＝1时，x2＋ x＋1＝1有实数根．本题易因未讨论满足x2＋x＋1＝y的实数x是否存在而错选C. 正解：A
14．【中考·湘潭】由多项式乘法得(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋ b)x＋ab，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法” 进行因式分解的公式：x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)．
示例：分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3)x＋2×3＝(x＋2)(x ＋3)．
(1)尝试：分解因式：x2＋6x＋8＝(x＋___2_)(x＋___4_)；
5．【2019·怀化】一元二次方程x2＋2x＋1＝0的解是( C )
A．x1＝1，x2＝－1 C．x1＝x2＝－1
B．x1＝x2＝1 D．x1＝－1，x2＝2
6．【中考·凉山州】若关于 x 的方程 x2＋2x－3＝0 与x＋2 3＝ x－1 a有一个解相同，则 a 的值为( C ) A．1 B．1 或－3 C．－1 D．－1 或 3

九年级数学人教版第二十一章一元二次方程21.2.4因式分解法解方程(同步课本图文结合详解)

即ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
九年级数学上册第21章一元二次方程
4.（惠安·中考）解方程:x2-25=0 【解析】(x+5)(x-5)=0 ∴x+5=0或x-5=0 ∴x1= -5,x2=5.
九年级数学上册第21章一元二次方程
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.因式分解法解一元二次方程的步骤是: (1)化方程为一般形式; (2)将方程左边因式分解; (3)根据“至少有一个因式为零”,得到两个一元一次方程; (4)两个一元一次方程的根就是原方程的根. 2.因式分解的方法,突出了转化的思想方法——“降次”，鲜明地显示了“二次”转化为“一次”的过程.
九年级数学上册第21章一元二次方程
跟踪训练
1.你能用分解因式法解下列方程吗？
(1)x2-4=0;
(2)(x+1)2-25=0.
【解析】(x+2)(x-2)=0, 【解析】[(x+1)+5][(x+1)-5]=0,
∴x+2=0或x-2=0.
∴x+6=0或x-4=0.
∴x1=-2, x2=2.
∴x1=-6, x2=4.
4. (4x 2)2 x(2x 1)
5. 3x(x 2) 5(x 2)
3.x1 3; x2 2.
4.x11 2;x2
4. 7
5
5.x1

2; x2

. 3
九年级数学上册第21章一元二次方程
3.观察下列各式,也许你能发现些什么?
解方程 : x2 7x 6 0得x1 1, x2 6; 而x2 7x 6 (x 1)(x 6);
那么a 0或b 0