高中数学课下能力提升二十圆的标准方程北师大版必修2

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高中数学 2.2.2圆的一般方程教案北师大必修2

2.2.2圆的一般方程一、三维目标1、知识与技能：(1)在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径．掌握方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0表示圆的条件．(2)能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程．能用待定系数法求圆的方程。

(3)培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。

2、过程与方法：通过对方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。

3、情感态度价值观：渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索。

二、教学重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D 、E 、F ．教学难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用三、教学方法：学导式四、教学过程（一）、课题引入问题：求过三点A （0，0），B （1，1），C （4，2）的圆的方程。

利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦，得用直线的知识解决又有其简单的局限性，那么这个问题有没有其它的解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式——圆的一般方程。

（二）、探索研究：请同学们写出圆的标准方程：(x －a)2＋(y －b)2=r 2，圆心(a ，b)，半径r ．把圆的标准方程展开，并整理：x 2＋y 2－2ax －2by ＋a 2＋b 2－r 2=0．取222,2,2r b a F b E a D -+=-=-=得022=++++F Ey Dx y x ① 这个方程是圆的方程．反过来给出一个形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？把x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0配方得44)2()2(2222F E D E y D x -+=+++ ② (配方过程由学生去完成)这个方程是不是表示圆？(1)当D 2＋E 2－4F ＞0时，方程②表示（1）当0422>-+F E D 时，表示以（-2D，-2E ）为圆心,F E D 42122-+为半径的圆；（2）当0422=-+F E D 时，方程只有实数解2D x -=，2E y -=，即只表示一个点（-2D ，-2E）；（3）当0422<-+F E D 时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形综上所述，方程022=++++F Ey Dx y x 表示的曲线不一定是圆只有当0422>-+F E D 时，它表示的曲线才是圆，我们把形如022=++++F Ey Dx y x 的表示圆的方程称为圆的一般方程()2214x y ++=我们来看圆的一般方程的特点：(启发学生归纳)(1)①x 2和y 2的系数相同，不等于0．②没有xy 这样的二次项．(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D 、E 、F ，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。

数学北师大版高中必修2圆的标准方程教案

圆的标准方程教案一、教材分析本章将在上章学习了直线与方程的基础上，学习在平面直角坐标系中建立圆的代数方程，运用代数方法研究直线与圆，圆与圆的位置关系，了解空间直角坐标系，在这个过程中进一步体会数形结合的思想，形成用代数方法解决几何问题的能力。

二、教学目标1、知识目标：使学生掌握圆的标准方程并依据不同条件求得圆的方程。

2、能力目标：(1)使学生初步熟悉圆的标准方程的用途和用法。

(2)体会数形结合思想，形成代数方法处理几何问题能力(3)培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力。

三、重点、难点、疑点及解决办法1、重点：圆的标准方程的推导过程和圆的标准方程特点的明确。

2、难点：圆的方程的应用。

3、解决办法充分利用课本提供的2个例题，通过例题的解决使学生初步熟悉圆的标准方程的用途和用法。

四、学法在课前必须先做好充分的预习，让学生带着疑问听课，以提高听课效率。

采取学生共同探究问题的学习方法，五、教法先让学生带着问题预习课文，对圆的方程有个初步的认识，在教学过程中，主要采用启发性原则，发挥学生的思维能力、空间想象能力。

在教学中，还不时补充练习题，以巩固学生对新知识的理解，并紧紧与考试相结合。

六、教学步骤一、导入新课首先让学生回顾上一章的直线的方程是怎么样求出的。

二、讲授新课1、新知识学习在学生回顾确定直线的要素——两点（或者一点和斜率）确定一条直线的基础上，回顾确定圆的几何要素——圆心位置与半径大小，即圆是这样的一个点的集合在平面直角坐标系中，圆心可以用坐标表示出来，半径长是圆上任意一点与圆心的距离，根据两点间的距离公式，得到圆上任意一点的坐标满足的关系式。

经过化简，得到圆的标准方程2、知识巩固学生口答下面问题1、求下列各圆的标准方程。

①圆心坐标为（-4，-3）半径长度为6；②圆心坐标为（2，5）半径长度为3；2、求下列各圆的圆心坐标和半径。

①②3、知识的延伸根据“曲线与方程”的意义可知，坐标满足方程的点在曲线上，坐标不满足方程的点不在曲线上，为了使学生体验曲线和方程的思想，加深对圆的标准方程的理解，教科书配置了例1。

高中数学第二章解析几何初步22圆与圆的方程222圆的一般方程课件北师大版必修2(2)

(2)运用圆的一般方程的判断方法求解.即通过判断 D2+E2-4F是否为正，确定它是否表示圆. 提醒：在利用D2+E2-4F>0来判断二元二次方程是否表示圆时，务必注意x2及y2的系数都为1.
【跟踪训练】若使圆x2+y2+2x+ay-a-12=0(a为实数)的面积最小，则a=_________.
【对点训练】
1.方程x2+y2-6y+1=0所表示的圆的圆心坐标和半径分
别为 ( )
A.(3，0)，8
B.(0，-3)，8
C.(0，3)，2 2
D.(3，0)，2 2
【解析】选C.因为x2+y2-6y+1=0，可化为x2+(y-3)2 =8，所以圆心为(0，3)，半径为2 2 .
2.方程x2+y2+4x-2y+5m=0表示圆，则m的取值范围是
【跟踪训练】
若方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以(2，-4)为圆心，4为
半径的圆，则D，E，F的值分别为 ( )
A.4，8，-4
B.-4，8，4
C.8，-4，16
D.4，-8，16
【解析】选B.由已知，圆的标准方程为(x-2)2 +(y+4)2=16，展开得一般方程x2+y2-4x+8y+4=0，比较系数知，D，E，F分别为-4，8，4，故选B.
(-2，-4)，半径为5；当a=2时，方程为
4x2+4y2+4x+8y+10=0(x ，即1)2y12不5表示圆.
2
4
答案：(-2，-4) 5
【方法总结】方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的两种判断方法 (1)配方法.对形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程可以通过配方变形成“标准”形式后，观察是否表示圆.

圆的标准方程(2)

小结：点和圆之间存在有三种位置关系：若已知圆的半径为r，点P(x0，y0)和圆心C 之间的距离为d，则
P在圆上 d=r (x0 a)2 +( y0 b)2 =r2 d>r (x0 a)2 +(y0 b)2 >r2 P在圆外 P在圆内 d<r (x0 a)2 +(y0 b)2 < r2
圆的标准方程
北师大版必修2
Hale Waihona Puke 问题： (1) 求到点C(1, 2)距离为2的点的轨迹方程. (x 1)2 + ( y 2)2 = 4 (2) 方程(x 1)2 + ( y 2)2 = 4表示的曲线是什么？以点C(1, 2)为圆心， 2为半径的圆.
1.圆的定义：平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)叫做圆. 2.圆的标准方程:
一般地，过圆(x +(y 上一点M(x0，y0)的切线方程为
2 a) 2 b)
=
2 r
(x0 a)(x a) + ( y0 b)( y b) = r2．
小结:
本课研究了圆的标准方程推导过程，对于这个方程必须熟记并能灵活应用. 从三道例题的解题过程，我们不仅仅要理解和掌握解题的思想方法，也要学会从中发现和总结出规律性的内在联系.
练习：点(2a, 1 a)在圆x2 + y2 = 4 的内部，求实数 a 的取值范围. 3 <a<1
5
例2 求满足下列条件的圆的方程： (1) 圆心在 x 轴上，半径为5，且过点A(2， 3).
(x 6)2 + y2 = 25或(x + 2)2 + y2 = 25
(2) 过点A(3，1)和B( 1，3)，且圆心在直线3x y 2 = 0上.

北师大版高中数学必修2教案备课圆的标准方程

§2圆与圆的方程2．1圆的标准方程学习目标核心素养1.掌握圆的标准方程，会根据不同条件求圆的标准方程．(重点)2.能根据圆的标准方程求它的圆心和半径．(重点)3.掌握圆的标准方程在求最值和实际问题中的应用．(难点)1.通过学习圆的标准方程，培养数学抽象素养.2.通过求圆的标准方程及标准方程的应用培养数学运算素养.1．圆的标准方程圆的图示圆的几何特征圆上任一点到圆心的距离等于定长圆的标准方程圆心为(a，b)，半径是r的圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.特别地，当圆心在坐标原点时，有a＝b＝0，那么圆的方程为x2＋y2＝r2提示：确定圆的关键点有两个，即位置(圆心)与大小(半径)．2．点与圆的位置关系(1)中点坐标公式：A(x1，y1)，B(x2，y2)的中点坐标为⎛⎪⎫x1＋x22，y1＋y22.(2)点与圆的位置关系：已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则点P在圆O外⇔d>r；点P在圆O上⇔d＝r；点P在圆O内⇔d<r.1．圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2的圆心和半径分别是()A．(－2,3)，1B．(2，－3)，3C．(－2,3), 2 D．(2，－3), 2D[由圆的标准方程可得圆心坐标为(2，－3)，半径为 2.]2．圆心为(1，－2)，半径为3的圆的方程是()A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9B．(x－1)2＋(y＋2)2＝3C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3D．(x－1)2＋(y＋2)2＝9D[由圆的标准方程可得，所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9.] 3．点(1,1)在圆(x－1)2＋(y＋1)2＝r2上，则圆的半径r＝______.2[由于点(1,1)在圆上，所以(1－1)2＋(1＋1)2＝r2，即r＝2.]4．圆心是点(3,4)且过点(0,0)的圆的方程是________．[答案](x－3)2＋(y－4)2＝25直接法求圆的标准方程(1)圆心为(2，－2)，且过点(6,3)；(2)过点A(－4，－5)，B(6，－1)且以线段AB为直径；(3)圆心在直线x＝2上且与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)．[解](1)由两点间距离公式得r＝(6－2)2＋(3＋2)2＝41，∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝41.(2)圆心即为线段AB的中点，为(1，－3)．又|AB|＝(－4－6)2＋(－5＋1)2＝229，∴半径r＝29，∴所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝29.(3)由圆的几何意义知圆心坐标(2，－3)，半径r＝(2－0)2＋(－3＋2)2＝5，∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.直接法求圆的标准方程，就是根据题设条件，直接求圆心坐标和圆的半径这两个几何要素，然后将其代入标准方程.[跟进训练]1．(1)若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为________．(2)以圆(x＋1)2＋(y－3)2＝9的圆心为圆心，且过原点的圆的标准方程为____________．(1)x2＋(y－1)2＝1(2)(x＋1)2＋(y－3)2＝10[(1)因为圆C的圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称，即圆心坐标为(0,1)，而圆的半径不变，故所求圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝1.(2)法一：由题意可知，圆(x＋1)2＋(y－3)2＝9的圆心坐标为(－1,3)，所以所求圆的半径r＝(－1)2＋32＝10，即所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝10.法二：由题意可设所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝r2.又该圆过点(0,0)．故(0＋1)2＋(0－3)2＝r2，即r2＝10，所以所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝10.]点与圆的位置关系[思路探究]解答本题可以利用点P(2,0)到圆心的距离与半径比较大小，也可直接代入(x－2)2＋(y＋1)2与3比较大小．[解]法一：∵P(2,0)与圆心(2，－1)的距离d＝(2－2)2＋[0－(－1)]2＝1，圆的半径r＝3，∴d＜r，∴点P在圆的内部．法二：∵点P(2,0)满足(2－2)2＋(0＋1)2＝1＜3，∴点P在圆的内部．判断点P (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系有几何法与代数法两种.对于几何法，主要是利用点与圆心的距离与半径比较大小；对于代数法，主要是把点的坐标直接代入圆的标准方程.,具体判断方法如下：①当(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2时，点在圆内； ②当(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2时，点在圆上； ③当(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2时，点在圆外. [跟进训练]2．(1)点M (a ，a ＋1)与圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的关系是( ) A ．M 在C 外 B ．M 在C 上C ．M 在C 内D ．不确定与a 的取值有关(2)若点P (－2,4)在圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝m 的外部，则实数m 的取值范围为________．(1)A (2)(0,5) [(1)因为圆心C (1,0)，|MC |＝(a －1)2＋(a ＋1)2＝2a 2＋2≥2＞1，故选A.(2)由于点P (－2,4)在圆的外部，所以有(－2＋1)2＋(4－2)2＞m ，解得m ＜5.又方程表示圆，所以有m ＞0.因此实数m 的取值范围是0＜m ＜5.]用待定系数法求圆的标准方程1．已知直线l 与圆C 相交于点P (1,0)和点Q (0,1)，你能求出圆心所在的直线方程吗？提示：PQ 的方程为x ＋y －1＝0， PQ 中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，k PQ ＝－1，所以圆心所在的直线方程为y ＝x .2．上述问题中，若圆C 的半径为1，请求出圆C 的方程．提示：由条件设圆的方程为： (x －a )2＋(y －b )2＝1.由圆过P ，Q 点得⎩⎨⎧(1－a )2＋b 2＝1，a 2＋(1－b )2＝1，解得⎩⎨⎧ a ＝0，b ＝0或⎩⎨⎧a ＝1，b ＝1，所以圆C 方程为：x 2＋y 2＝1或(x －1)2＋(y －1)2＝1.【例3】已知圆过两点A (3,1)，B (－1,3)，且它的圆心在直线3x －y －2＝0上，求此圆的方程．[思路探究] 解答本题可以由所给条件确定圆心和半径，再写出方程，也可以设出方程用待定系数法求解．[解] 法一：直线AB 的斜率为k ＝3－1－1－3＝－12，可知AB 垂直平分线m 的斜率为2. AB 中点的横坐标和纵坐标分别为 x ＝3－12＝1，y ＝1＋32＝2，因此m 的方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.又圆心在直线3x －y －2＝0上，所以圆心在这两条直线的交点上，联立方程组⎩⎨⎧ 2x －y ＝0，3x －y －2＝0，⎩⎨⎧x ＝2，y ＝4，所以圆心坐标为C (2,4)．又半径r ＝|CA |＝10，则所求圆的方程是(x －2)2＋(y －4)2＝10.法二：设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，依题意，⎩⎨⎧(3－a )2＋(1－b )2＝r 2，(－1－a )2＋(3－b )2＝r 2，3a －b －2＝0，即⎩⎨⎧a 2＋b 2－6a －2b ＝r 2－10，a 2＋b 2＋2a －6b ＝r 2－10，3a －b －2＝0，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝4，r ＝10，所以所求圆的方程是(x －2)2＋(y －4)2＝10.1．本例中若把直线方程改为x －y ＝0，其它条件不变，试求圆的标准方程． [解] 因为所求圆圆心在直线x －y ＝0上，故设圆心坐标为(a ，a )，则圆的方程为(x －a )2＋(y －a )2＝r 2. 又∵圆过点A (3,1)，B (－1,3)．∴⎩⎨⎧ (3－a )2＋(1－a )2＝r 2，(－1－a )2＋(3－a )2＝r 2，解得⎩⎨⎧a ＝0，r ＝10， ∴所求圆的方程为x 2＋y 2＝10.2．本例中，若将“圆心在3x －y －2＝0上”改为“圆心在y 轴上，”试求圆的标准方程．[解] 设AB 中点为M ，则M (1,2)，又k AB ＝3－1－1－3＝－12，∴线段AB 中垂线l 的斜率为k l ＝2，∴线段AB 中垂线l 的方程为y －2＝2(x －1)，即y ＝2x ，令x ＝0得y ＝0.∴圆心坐标为(0,0)，半径r ＝|OA |＝10. ∴所求圆的方程为x 2＋y 2＝10.1．用待定系数法求圆的标准方程的一般步骤： (1)设出圆的标准方程．(2)根据条件得关于a ，b ，r 的方程组，并解方程组得a ，b ，r 的值． (3)代入标准方程，得出结果．2．求圆的标准方程时，要注意平面几何知识的应用，如已知一个圆经过两个点时，其圆心一定在这两点的中垂线上．1．确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于a ，b ，r 的方程组求a ，b ，r 或直接求出圆心(a ，b )和半径r .另外依据题意适时运用圆的几何性质解题可以化繁为简，提高解题效率．2．讨论点与圆的位置关系可以从代数特征(点的坐标是否满足圆的方程)或几何特征(点到圆心的距离与半径的关系)去考虑，其中利用几何特征较为直观、快捷．1．思考辨析(1)方程(x －a )2＋(y －b )2＝m 2一定表示圆． ( ) (2)确定一个圆的几何要素是圆心和半径．( )(3)若(x 0－a )2＋(y －b )2>r 2，则说明点M (x 0，y 0)在圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的外部．( ) (4)圆心定圆的位置，半径定圆的大小．( )[解析] (1)×，不一定，当m ＝0时表示点(a ，b )，当m ≠0时，表示圆． [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√2．已知一圆的圆心为点(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x 轴和y 轴上，则此圆的方程是( )A ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝13B ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝13C ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝52D ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝52A [设直径两端点为A (x,0)，B (0，y )，则圆心(2，－3)为直径中点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝x ＋02，－3＝0＋y2，即⎩⎨⎧x ＝4，y ＝－6，∴A (4,0)，B (0，－6)， ∴r ＝12|AB |＝12×42＋62＝13， ∴圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13.]3．若点P (－1, 3)在圆x 2＋y 2＝m 2上，则实数m ＝______. ±2 [∵P 点在圆x 2＋y 2＝m 2上， ∴(－1)2＋(3)2＝4＝m 2， ∴m ＝±2.]4．△ABC 的三个顶点的坐标分别是A (5,1)，B (7，－3)，C (2，－8)，求它的外接圆的方程．[解] 设所求圆的方程是 (x －a )2＋(y －b )2＝r 2，①因为A (5,1)，B (7，－3)，C (2，－8)都在圆上，∴它们的坐标都满足方程①.于是⎩⎨⎧(5－a )2＋(1－b )2＝r 2，(7－a )2＋(－3－b )2＝r 2，(2－a )2＋(－8－b )2＝r 2，解此方程组得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－3，r ＝5，∴△ABC 的外接圆的方程是(x －2)2＋(y ＋3)2＝25.。

北师大版高中数学必修2 圆的标准方程ppt下载

和圆C：
,如何判断点
M在圆外、圆上、圆内？
(x0-a)2+(y0-b)2>r2时,点M在圆C外; (x0-a)2+(y0-b)2=r2时,点M在圆C上; (x0-a)2+(y0-b)2<r2时,点M在圆C内.
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在平面几何中，初中学过：点与圆有哪几种位置关系？
在初中平面几何中，如何确定点
与圆的位置关系？
A A A
O
O
O
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OA<r
OA=r
OA>r
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在直角坐标系中,已知点M(x0，y0)
①待定系数法；②几何法.
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圆的方程。
5
根据圆的方程写出圆心和半径
⑴（x 2)2 ( y 3)2 5
⑵（x 2)2 y Biblioteka (2）22021/3/11
5
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探究二：点与圆的位置关系北师大版高中数学必修2 圆的标准方程ppt下载【PPT教研课件】
所求圆的方程为
a2 b 3
r 5
待定系数法
2021/3/11
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课时小结

高中数学 2.2.1圆的标准方程教案北师大必修2

2.2.1圆的标准方程一、三维目标：知识与技能：1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。

2、会用待定系数法求圆的标准方程。

过程与方法：进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。

情感态度与价值观：通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣。

二、教学重点：圆的标准方程教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。

三、教学方法：学导式四、教学过程（一）、情境设置在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，原是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？探索研究：（二）、探索研究确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r 。

（其中a 、b 、r 都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M 满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M 适合的条件r= ①化简可得：222()()x a y b r -+-= ②引导学生自己证明222()()x a y b r -+-=为圆的方程，得出结论。

方程②就是圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。

（三）、知识应用与解题研究例（1）：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，并判断点12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。

分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手。

探究：点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：（1）2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外（2）2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上（3）2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内例（2）： ABC 的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接圆的方程师生共同分析：从圆的标准方程222()()x a y b r -+-= 可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a b r 、、三个参数.（学生自己运算解决）例(3):已知圆心为C 的圆:10l x y -+=经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在:10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程.师生共同分析: 如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为C 的圆经过点(1,1)A 和(2,2)B -,由于圆心C 与A,B 两点的距离相等，所以圆心C 在险段AB 的垂直平分线m 上，又圆心C 在直线l 上，因此圆心C 是直线l 与直线m 的交点，半径长等于CA 或CB 。

北师大版高中数学必修2：圆的标准方程

已知圆的圆心A及圆的半径r,在直角坐标系下，如何用坐标表示圆的方程？
P={M||MC|=r}
y
M(x,y)
r
OC(0,0)
x
P1P2 x2 x1 2 y2 y1 2 .
已知圆的圆心C（a，b）及圆的半径r,在直角坐标系下，如何表示圆的方程？
P={M||MC|=r}
y
MБайду номын сангаасx,y)
知识回顾
y形
数
M1(x1,y1)
l : Ax By C 0
M2(x2,y2)
o
x
什么是圆？
P={M||MC|=r}
确定圆的基本条件是什么？
圆心－－确定圆的位置(定位) 半径－－确定圆的大小(定形)
M
r
C
一石激起千层浪
福建土楼
M (x,y)
r
O (0,0)
P1P2 x2 x1 2 y2 y1 2 .
2. △ABC的三个顶点的坐标分别A(5, 1), B(7, -3), C(2, -8), 求它的外接圆的方程．
r
C(a,b)
O
x
根据两点间距离公式：P1P2 x2 x1 2 y2 y1 2 .
则点M、A间的距离为：MC (x a)2 ( y b)2 r
(x a)2 ( y b)2 r2
y M (x, y)
圆心A(a,b) 半径 r
r
特别的， x2+y2=r2
C (a,b) O
x
说明：1、特点：明确给出了圆心坐标和半径。 2、确定圆的方程必须具备三个独立条件。
(x a)2 ( y b)2 r2

圆的标准方程课件北师大版高中数学必修2

圆锥曲线简介
包括椭圆、双曲线和抛物线，是高中数学的重要内容之一。
学习建议和方法指导
01
02
03
04
深入理解圆的标准方程及其性质，掌握直线与圆的位置关系
判断方法。
通过练习不同类型的题目，提高解题能力和思维水平。
注重数形结合思想的应用，将几何图形与代数表达式相结合
，更好地理解问题本质。
多与同学交流讨论，分享学习心得和解题方法，共同进步。
拓展延伸内容介绍
圆的参数方程
$left{ begin{array}{l} x = a + rcostheta y = b + rsintheta end{array} right.$，其中$theta$为参数，表示圆上点相对于$x$轴的角度。
圆的极坐标方程
$rho = 2rcos(theta - alpha)$，其中$rho$为极径，$theta$为极角，$alpha$为圆心相对于极点的角度。
典型例题解析与思路拓展
• 例题1：已知圆C的方程为$x^2 + y^2 = r^2$，点P为圆C上一点，且点P到直线l的距离为d。求证：直线l与圆C相切当且仅当d等于r。
• 解析与思路拓展：要证明直线l与圆C相切当且仅当d等于r，我们可以利用切线的性质及点到直线的距离公式进行推导。首先，根据切线的性质，我们知道切线到圆心的距离等于半径。然后，利用点到直线的距离公式计算出点P到直线l 的距离d，并将其与半径r进行比较。最终得出结论：当且仅当d等于r时，直线l与圆C相切。
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感谢观看
设圆上任意一点为 $P(x, y)$，圆心为 $O(a, b)$，则 $PO$ 的距离 $|PO| = sqrt{(x a)^{2} + (y - b)^{2}}$。

2021_2022学年高中数学课时分层作业20圆的一般方程(含解析)北师大版必修2

课时分层作业(二十) 圆的一般方程(建议用时：60分钟)[合格根底练]一、选择题1．圆的方程为(x －1)(x ＋2)＋(y －2)(y ＋4)＝0，那么圆心坐标为( ) A ．(1，－1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1 C ．(－1,2)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1 D [将圆的方程化为标准方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y ＋1)2＝454，所以圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1.]2．圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋8＝0的周长等于( ) A.2π B ．2π C ．22πD ．4πC [圆的方程配方后可化为(x －1)2＋(y ＋3)2＝2， ∴圆的半径r ＝2，∴周长＝2πr ＝22π.]3．如果过A (2,1)的直线l 将圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0平分，那么l 的方程为( ) A ．x ＋y －3＝0 B ．x ＋2y －4＝0 C ．x －y －1＝0D ．x －2y ＝0A [由题意知直线l 过圆心(1,2)，由两点式可得l 的方程为y －12－1＝x －21－2，即x ＋y －3＝0.]4．圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2的距离的最小值是( ) A ．2 B.2－1 C ．2＋22D ．1＋2 2B [圆的方程变为(x －1)2＋(y －1)2＝1， ∴圆心为(1,1)，半径为1，圆心到直线的距离d ＝|1－1－2|12＋(－1)2＝2，∴所求的最小值为2－1.]5．假设Rt△ABC 的斜边的两端点A ，B 的坐标分别为(－3,0)和(7,0)，那么直角顶点C 的轨迹方程为( )A ．x 2＋y 2＝25(y ≠0) B ．x 2＋y 2＝25 C ．(x －2)2＋y 2＝25(y ≠0)D ．(x －2)2＋y 2＝25C [线段AB 的中点为(2,0)，因为△ABC 为直角三角形，C 为直角顶点，所以C 到点(2,0)的距离为12|AB |＝5，所以点C (x ，y )满足(x －2)2＋y 2＝5(y ≠0)，即(x －2)2＋y 2＝25(y ≠0)．]二、填空题6．以点A (2,0)为圆心，且经过点B (－1,1)的圆的一般方程为______．x 2＋y 2－4x －6＝0 [由题意知，圆的半径r ＝|AB |＝(－1－2)2＋(1－0)2＝10，∴圆的标准方程为(x －2)2＋y 2＝10，化为一般方程为x 2＋y 2－4x －6＝0.]7．圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称，那么a －b 的取值范围是________．(－∞，1) [由题意知，直线y ＝2x ＋b 过圆心，而圆心坐标为(－1,2)，代入直线方程，得b ＝4，圆的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－a ，所以a <5，由此，得a －b <1.] 8．点P (x 0，y 0)是圆x 2＋y 2＝16上的动点，点M 是OP (O 为原点)的中点，那么动点M 的轨迹方程是________．x 2＋y 2＝4 [设M (x ，y )，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 02，y ＝y2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ，y 0＝2y ，又P (x 0，y 0)在圆上，∴4x 2＋4y 2＝16，即x 2＋y 2＝4.] 三、解答题9．假设点A (1，－1)，B (1,4)，C (4，－2)，D (a,1)共圆，求a 的值．[解] 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将A ，B ，C 三点坐标代入，整理得方程组⎩⎪⎨⎪⎧D －E ＋F ＝－2，D ＋4E ＋F ＝－17，4D －2E ＋F ＝－20，解得D ＝－7，E ＝－3，F ＝2， ∴圆的方程为x 2＋y 2－7x －3y ＋2＝0.又∵点D 在圆上，∴a 2＋1－7a －3＋2＝0，∴a ＝0或a ＝7.10．等腰三角形的顶点A (4,2)，底边一个端点是B (3,5)，求另一端点C 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．[解] 设底边另一个端点C 的坐标是(x ，y )，依题意，得|AC |＝|AB |，由两点间距离公式得(x －4)2＋(y －2)2＝(4－3)2＋(2－5)2，整理得(x －4)2＋(y －2)2＝10，这是以点A (4,2)为圆心，以10为半径的圆．又因为A ，B ，C 为三角形的三个顶点，所以A ，B ，C 三点不共线．即点B ，C 不能重合且不能为圆A 的一条直径的两个端点，所以点C 不能为(3,5)且x ＋32≠4，y ＋52≠2，即点C 也不能为(5，－1)，故点C 的轨迹方程为(x－4)2＋(y －2)2＝10(除去点(3,5)和(5，－1))，它的轨迹是以A (4,2)为圆心，10为半径的圆，但除去(3,5)和(5，－1)两点．[等级过关练]1．如果圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)关于直线y ＝x 对称，那么有( ) A ．D ＋E ＝0 B ．D ＝E C ．D ＝FD ．E ＝FB [由圆的对称性知，圆心在直线y ＝x 上，故有－E 2＝－D2，即D ＝E .]2．假设圆x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有点都在第二象限，那么a 的取值范围为( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞)D [由x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0得(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，其圆心坐标为(－a,2a )，半径为2，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－a <0，2a >0，|－a |>2，解得a >2，应选D.]3．假设点(a ＋1，a －1)在圆x 2＋y 2－2ay －4＝0的内部(不包括边界)，那么a 的取值范围是________．(－∞，1) [∵点(a ＋1，a －1)在圆x 2＋y 2－2ay －4＝0内部，∴⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋1)2＋(a －1)2－2a (a －1)－4<0，(－2a )2－4×(－4)>0，即2a <2，a <1.]4．M (0,4)，N (－6,0)，假设动点P 满足PM ⊥PN ，那么动点P 的轨迹方程是________． (x ＋3)2＋(y －2)2＝13(x ≠0，且x ≠－6) [由于PM ⊥PN ，所以动点P 的轨迹是以线段MN 为直径的圆(不包括端点M ，N )，其圆心为线段MN 的中点(－3,2)，直径|MN |＝36＋16＝213，于是半径等于13，故轨迹方程为(x ＋3)2＋(y －2)2＝13(x ≠0，且x ≠－6)．]5．在平面直角坐标系xOy 中，设二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b (x ∈R)的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C .(1)求实数b 的取值范围；(2)求圆C的方程；(3)问圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)？请证明你的结论．[解] (1)令x＝0，得抛物线与y轴交点是(0，b)；令f(x)＝x2＋2x＋b＝0，由题意b≠0且Δ＞0，解得b＜1且b≠0.(2)设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，这与x2＋2x＋b＝0是同一个方程，故D＝2，F＝b.令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，此方程有一个根为b，代入得出E＝－b－1.所以圆C的方程为x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0.(3)圆C必过定点(0,1)和(－2,1)．证明如下：x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0可化为x2＋y2＋2x－y＋b(1－y)＝0，因为过定点，那么与b无关，即y＝1代入上式，可得x＝0或x＝－2，所以圆C必过定点(0,1)，(－2,1)．。

北师大版高中数学必修2圆的标准方程

圆与圆的方程
圆的标准方程
●三维目标 1．知识与技能 (1)掌握圆的标准方程． (2)会由圆的标准方程写出圆的半径和圆心坐标，能根据条件写出圆的标准方程．
2．过程与方法进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力． 3．情感、态度与价值观培养学生主动探究知识、合作交流的意识，在体验数学美的过程中激发学习的兴趣．
∴圆心 M 的坐标为(0,1)．
半径 r＝12|PQ|＝12× －5－52＋6＋42＝5 2. ∴圆的标准方程为 x2＋(y－1)2＝50， ∵|AM|＝ 2－02＋2－12＝ 5＜r， ∴点 A 在圆内， ∵|BM|＝ 1－02＋8－12＝ 50＝r， ∴点 B 在圆上． ∵|CM|＝ 6－02＋5－12＝ 52＞r， ∴点 C 在圆外．
点 P 在圆 O 内⇔ d<r .
用待定系数法求圆的标准方程
求圆心在直线 l：2x－y－3＝0 上，且过点 A(5,2)和点 B(3，－2)的圆的方程．
【思路探究】利用待定系数法，构造方程求解 a，b， r 或者利用几何法找出圆的圆心和半径．
【自主解答】法一设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝ r2，则
1．本题中已知直径的端点确定圆的方程是关键． 2．点和圆位置关系的判定步骤 (1)求出圆的半径 r 和点到圆心的距离 d； (2)比较 r 与 d 的大小； (3)由 r 与 d 的大小关系判断点和圆的位置关系．
若点(3， a)在圆 x2＋y2＝16 的外部，则 a 的取值范围是 ________．
1．圆的标准方程
圆的图示
圆的几何圆上任一点到圆心的距离等于定长特征圆心为(a，b)，半径为r的圆的标准方程
圆的标准为 (x－a)2＋(y－b)2＝r2 .特别地，当圆心在坐方程标原点时，有a＝b＝0，那么圆的方程为x2＋y2＝ r2

高中数学北师大版必修2 2.2 教学课件《圆的标准方程》(数学北师大必修二)

a2
北京师范大学出版社 | 必修二
二、知识应用：题型三已知两直线位置关系求直线方程
例 2. ABC 的三个顶点的坐标分别是 A5，1、B7， 3、C 2， 8 .
并求它的外接圆方程.
解：法一： AB 的垂直平分线： x 2 y 8 0 ； BC 的垂直平分线： x y 1 0
圆上点的坐标满足方程方程的解为坐标的点在圆上
北京师范大学出版社 | 必修二
一、新课讲授：
1.圆的标准方程： (x a)2 ( y b)2 r2 ，其中 a，b 为圆心， r 为半径.
注：(1) 如果圆心在坐标原点，这时 a 0，b 0 ，圆的方程就是 x2 y2 r2 .有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x轴上：b=0；圆与y轴相切时： | a | r ；圆与x轴相切时： | b | r ；与坐标轴相切时： | a || b | r ；过原点： a2 b2 r2 .
北京师范大学出版社 | 必修二
一、新课讲授：
2.点和圆的位置关系
如果圆的标准方程为 (x a)2 ( y b)2 r2 ，圆心为 C a，b ，半径为 r ，则有
(1) 若点 M x0，y0 在圆上 | CM | r x0 a2 y0 b2 r 2 (2) 若点 M x0，y0 在圆外 | CM | r x0 a2 y0 b2 r 2 (3) 若点 M x0，y0 在圆内 | CM | r x0 a2 y0 b2 r 2
⑵ 请同学给出圆心、半径请其他的同学说出圆的标准方程或反之.
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二、知识应用：题型二点和圆的位置关系
例 2.写出圆心为 A2,3,半径长为 5 的圆的方程，并判断

高中数学课下能力提升(二十)圆的标准方程北师大版必修2

课下能力提升(二十)圆的标准方程一、选择题1．已知圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝4，则P(3,2)( )A．是圆心B．在圆C外C．在圆C内 D．在圆C上2．圆(x－3)2＋(y＋4)2＝1关于直线x＋y＝0对称的圆的方程是( )A．(x＋3)2＋(y－4)2＝1B．(x－4)2＋(y＋3)2＝1C．(x＋4)2＋(y－3)2＝1D．(x－3)2＋(y－4)2＝13．在方程(x－1)2＋(y＋2)2＝m2＋9(m∈R)表示的所有圆中，面积最小的圆的圆心和半径分别是( )A．(－1,2)，3 B．(1，－2)，3C．(－1,2), m2＋9 D．(1，－2), m2＋94．方程y＝9－x2表示的曲线是( )A．一条射线 B．一个圆C．两条射线 D．半个圆5．设M是圆(x－5)2＋(y－3)2＝9上的点，则M到3x＋4y－2＝0的最小距离是( ) A．9 B．8C．5 D．2二、填空题6．圆心在x轴上，且过点A(5,2)和B(3，－2)的圆的标准方程为____________．7．已知圆C1的方程(x＋3)2＋(y－2)2＝5，圆C2与圆C1是同心圆且过点A(5,0)，则圆C2的标准方程为__________．8．设点P(x，y)是圆x2＋(y＋4)2＝4上任意一点，则x－2＋y－2的最大值为________．三、解答题9．已知直线l与圆C相交于点P(1，0)和点Q(0,1)．(1)求圆心所在的直线方程；(2)若圆C的半径为1，求圆C的方程．答案1．解析：选C 由圆C的方程知圆心C(2,3)，半径r＝2，故排除A.又∵|PC|＝－2＋－2＝2＜2＝r，∴P 在圆C 内部．2．解析：选B 对称后，圆的半径不变，只需将圆心关于x ＋y ＝0的对称点作为圆心即可．∵已知圆的圆心(3，－4)关于x ＋y ＝0的对称点(4，－3)为所求圆的圆心， ∴所求圆的方程为(x －4)2＋(y ＋3)2＝1.3．解析：选B 当m ＝0时，圆的半径最小且为3，这时圆的面积最小，圆心为(1，－2)．4．解析：选D 由y ＝9－x 2，知y ≥0，两边平方移项，得x 2＋y 2＝9.∴原方程等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝9，y ≥0，表示圆心在原点，半径为3的圆的上半部分．5．解析：选D 圆心(5,3)到直线3x ＋4y －2＝0的距离d ＝|3×5＋4×3－2|32＋42＝|15＋12－2|5＝5， ∴所求的最小距离是5－3＝2.6．解析：法一：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2. 则⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝0，－a 2＋－b 2＝r 2，－a 2＋－2－b2＝r 2，解得⎩⎨⎧ a ＝4，b ＝0，r ＝5， ∴所求圆的方程为(x －4)2＋y 2＝5.法二：∵圆过A (5,2)，B (3，－2)两点， ∴圆心一定在线段AB 的中垂线上．AB 中垂线的方程为y ＝－12(x －4)，令y ＝0，得x ＝4.即圆心坐标C (4,0)， ∴r ＝|CA |＝－2＋－2＝5， ∴所求圆的方程为(x －4)2＋y 2＝5.答案：(x －4)2＋y 2＝57．解析：由圆C 1的方程知圆心C 1(－3,2)，因为C 2与C 1是同心圆，所以C 2的圆心也为(－3,2)．可设C 2的方程为(x ＋3)2＋(y －2)2＝r 2.又由C 2过点A (5,0)，所以(5＋3)2＋(0－2)2＝r 2，r 2＝68.故圆C 2的方程为(x ＋3)2＋(y －2)2＝68.答案：(x ＋3)2＋(y －2)2＝688．解析：理解x －2＋y －2的几何意义，即为动点P (x ，y )到定点(1,1)的距离．因为点P (x ，y )是圆x 2＋(y ＋4)2＝4上的任意一点，因此x －2＋y －2表示点(1,1)与该圆上点的距离．易知点(1,1)在圆x 2＋(y ＋4)2＝4外，结合图易得x －2＋y －2的最大值为－2＋＋2＋2＝26＋2. 答案：26＋29．解：(1)PQ 的方程为x ＋y －1＝0.PQ 中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，k PQ ＝－1，所以圆心所在的直线方程为y ＝x . (2)由条件设圆的方程为：(x －a )2＋(y －b )2＝1.由圆过P ，Q 点得：⎩⎪⎨⎪⎧ －a 2＋b 2＝1，a 2＋b －2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝1，所以圆C 方程为：x 2＋y 2＝1或(x －1)2＋(y －1)2＝1.10．解：(1)由题意，得圆C 的方程为(x －x 0)2＋(y －x 0)2＝r 2(r ≠0)． ∵圆C 过定点P (4,2)，∴(4－x 0)2＋(2－x 0)2＝r 2(r ≠0)． ∴r 2＝2x 20－12x 0＋20.∴圆C 的方程为(x －x 0)2＋(y －x 0)2＝2x 20－12x 0＋20.(2)∵(x －x 0)2＋(y －x 0)2＝2x 20－12x 0＋20＝2(x 0－3)2＋2， ∴当x 0＝3时，圆C 的半径最小，即面积最小．此时圆C 的标准方程为(x －3)2＋(y －3)2＝2.。

2020年高中数学第二章解析几何初步22.1圆的标准方程课件北师大版必修2

【规律总结】待定系数法求圆的标准方程，先设出圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，根据已知条件，建立关于 a、b、r 的方程组，解方程组，求出 a、b、r 的值，代入所设方程即可．
△ABC 的三个顶点坐标分别是 A(5,1)，
B(7，－3)，C(2，－8)，求它的外接圆的方程．
解：设所求圆的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，① 因为 A(5,1)，B(7，－3)，C(2，－8)都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①.于是 57－－aa22＋＋－1－3b－2b＝2r＝2，r2， 2－a2＋－8－b2＝r2，
|AB|
＝
1 2
× －2－22＋－5＋32＝ 5，
∴圆的标准方程为 x2＋(y＋4)2＝5.
答案：x2＋(y＋4)2＝5
知识点三点与圆的位置关系 5．已知圆的圆心 M 是直线 2x＋y－1＝0 与 x－2y＋2＝0 的交点，且圆过点 P(－5,6)，求圆的标准方程，并判断点 A(2,2)，B(1,8)， C(0,5)是在圆上，在圆内，还是在圆外？
求圆心在直线 2x－y－3＝0 上，且过点(5,2)和点(3，－2)的圆的方程．
【解】设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则25a－－ab－2＋3＝2－0，b2＝r2， 3－a2＋－2－b2＝r2，
解得ab＝＝21，， r＝ 10.
∴圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.
练一练以原点为圆心，以 3 为半径的圆的标准方程为( )
A．x2＋y2＝3
B．x2＋y2＝9
C．(x－3)2＋(y－3)2＝9 D．(x－3)2＋y2＝9
答案：B
1．圆的标准方程与圆心坐标，半径有何关系？答：由圆的标准方程，可直接得到圆的圆心坐标和半径大小；另一方面，给出了圆的圆心和半径，即可直接写出圆的标准方程． 2．一般怎样求圆的标准方程？答：确定圆的标准方程需要三个独立的条件，一般运用待定系数法求 a，b，r.

北师大版高中数学必修二圆的标准方程张PPT课件(5)

答：支柱A2P2的长度约为3.86m.
2020/1/24
例3：如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨度 AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度（精确到0.01m)
y
思考
利用圆的几
何性质，你能否用直线方程求出圆心坐标？进而写出圆的方程？
x C1
例2、已知圆的方程是x2+y2=r2，求经过圆上一点M(x0,y0)的切线方程. y
思考
1.圆的切线有哪些性质？ 2.求切线方程的关键是什么？ O 3.切线的斜率一定存在吗？
M (x0 , y0 ) x
2020/1/24
4.除了课本解法，你还能想到哪些方法？
解:当M不在坐标上时，设切线的斜率为k,则k= - 1 .
圆的半径是r ,则圆的方程是x2+(y-b)2=r2 .
把P（0，4） B（10，0）代入圆的方程得方程组：
02+(4-b)2= r2 102+(0-b)2=r2
解得，b= -10.5 r2=14.52
所以圆的方程是： x2+(y+10.5)2=14.52
把点P2的横坐标x= -2 代入圆的方程，得 (-2)2+(y+10.5)2=14.52 因为y>0,所以y= 14.52-(-2)2 -10.5≈14.36-10.5=3.86(m
2020/1/24
例2 已知圆的方程是 x2 + y2 = r2 ，求经过圆上一点 M (x0, y0 ) 的切线的方程。 y
分析：利用平面几何知识，按求曲线方程的一般步骤求解. 如图，在Rt△OMP中
P(x,y)
M (x0, y0 )

北师大版必修二圆的标准方程

直径的圆的方程.
解：根据已知条件，圆心 C(a,b)是ＭＮ的中点，那么它的坐标为
46 93 a 5, b 6 2 2
根据两点间的距离公式，得圆的半径
y
9 6 3
M(4,9) ．
C(a,b) ．
． N(6,3)
4 5 6
r CM (4 5) (9 6) 10
2பைடு நூலகம்2
3. 圆心在直线y=x上,与两轴同时相切,半径为2.
( x 2) 2 ( y 2) 2 4 或 ( x 2) 2 ( y 2) 2 4
4.已知圆经过P(5、1),圆心在C(8、3),求圆方程.
( x 8) ( y 3) 13
2 2
例2 已知两点 M(4,9)和 N(6,3).求以 MN 为
2 2
(a,b) x O
如果圆心在原点，这时 a = 0 , b = 0 那么，圆的标准方程变成
y
r O
x
x y r
2 2
2
求以C(4,-6)为圆心，半径是 3的圆的方程. 例1：
解: 将圆心 C(4,-6) ﹑半径等于3代入圆的标准方程，可得所求圆 2 2 的方程为（x-4） ( y 6) 9
P(x,y)
r
C(a,b)
( x a)2 ( y b)2 r
把上式两边平方得： O
2
x 方程给出了圆心坐标和半径
( x a ) ( y b) r
2 2
这就是圆的标准方程
圆心是 ( a , b )，半径是 r 的圆的标准方程是：
y
r
2
( x a ) ( y b) r

北师大版高中数学必修二第二章2.1圆的标准方程.docx

高中数学学习材料唐玲出品§2圆与圆的方程2.1 圆的标准方程问题导学1．直接法求圆的标准方程活动与探究1求满足下列条件的圆的标准方程．(1)圆心为(2，－2)，且过点(6,3)；(2)过点A(－4，－5)，B(6，－1)且以线段AB为直径；(3)圆心在直线x＝2上且与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)．迁移与应用求满足下列条件的圆的标准方程．(1)圆心为(3,4)，半径是5；(2)过两点P1(4,7)，P2(2,9)，且以线段P1P2为直径；(3)圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A(1,0)，B(5,0)．1．直接法求圆的标准方程，关键是确定圆心坐标与半径，注意结合圆的几何性质以简化计算过程．2．求圆的标准方程时常用的几何性质：(1)弦的垂直平分线必过圆心；(2)圆的两条不平行的弦的垂直平分线的交点必为圆心；(3)圆心与切点的连线长为半径；(4)圆心与切点的连线垂直于圆的切线；(5)圆的半径r，半弦长d，弦心距h满足r2＝d2＋h2.2．待定系数法求圆的标准方程活动与探究2求圆心在直线5x－3y＝8上，且圆与两坐标轴都相切的圆的方程．迁移与应用求经过点A(2，－3)，B(－2，－5)，且圆心在直线x－2y－3＝0上的圆的方程．待定系数法求圆的标准方程的一般步骤为：(1)设所求的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2；(2)根据题意，建立关于a，b，r的方程组；(3)解方程组，求出a，b，r的值；(4)将a，b，r代入所设的圆的方程中，即得所求．3．点和圆的位置关系活动与探究3(1)圆的直径端点为(2,0)，(2，－2)，求此圆的方程，并判断A(5,4)，B(1,0)是在圆上、圆外，还是在圆内；(2)若点P (－2,4)在圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝m 的外部，求实数m 的取值范围．迁移与应用1．点P (m 2,5)与圆x 2＋y 2＝24的位置关系是( )．A ．在圆外B ．在圆内C ．在圆上D ．不确定2．求过点P 1(3,8)，P 2(5,4)且半径最小的圆的方程，并判断点M (5,3)，N (3,4)，P (3,5)是在此圆上，在圆内，还是在圆外．点与圆的位置关系的判断方法：(1)几何法：根据圆心到该点的距离d 与圆的半径r 的大小关系；(2)代数法：直接利用下面的不等式判定：①(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2，点在圆外；②(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2，点在圆上；③(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2，点在圆内．当堂检测1．圆心为C (－1，－1)，半径为2的圆的标准方程为( )．A ．(x －1)2＋(y －1)2＝2B ．(x －1)2＋(y －1)2＝4C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝42．若圆的方程为(2x －3)2＋(2y ＋4)2＝16，则其圆心C 的坐标和半径r 分别是( )．A ．C (－3,4)，r ＝4B ．C (3，－4)，r ＝16C ．C ⎝⎛⎭⎫32，－2，r ＝4D ．C ⎝⎛⎭⎫32，－2，r ＝2 3．已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的方程为__________．4．若点(3，a )在圆x 2＋y 2＝16的外部，则a 的取值范围是________．5．已知圆C 与y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上，且经过点A (6,1)，求圆C 的方程．提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.答案：课前预习导学预习导引1．圆心半径圆心位置半径2．(1)(x －a )2＋(y －b )2＝r 2 (2)x 2＋y 2＝r 2预习交流1 提示：方程(x －a )2＋(y －b )2＝m 2不一定表示圆，当m ＝0时，方程表示点(a ，b )．要使此方程表示圆，需保证m ≠0.圆的标准方程中，r 是半径，r ＞0.预习交流2 提示：方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2叫做圆的标准方程，其中等式左边是两项平方和的形式，且其中变量x ，y 的系数均为1.预习交流3 提示：条件方程形式过原点 (x －a )2＋(y －b )2＝a 2＋b 2(a 2＋b 2≠0)圆心在x 轴上 (x －a )2＋y 2＝r 2(r ＞0)圆心在y 轴上 x 2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)3．d ＞r d ＝r d ＜r课堂合作探究问题导学活动与探究1 思路分析：首先确定圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程．解：(1)由两点间距离公式，得圆的半径r ＝(6－2)2＋(3＋2)2＝41，∴所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝41.(2)圆心即为线段AB 的中点，为(1，－3)．又|AB |＝(－4－6)2＋(－5＋1)2＝229， ∴半径r ＝29.∴所求圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋3)2＝29.(3)由于圆与y 轴交于A (0，－4)，B (0，－2)，∴圆心在直线y ＝－3上．又圆心在直线x ＝2上，∴圆心坐标(2，－3)．半径r ＝(2－0)2＋(－3＋2)2＝5，∴圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝5. 迁移与应用解：(1)圆的标准方程是(x －3)2＋(y －4)2＝5.(2)圆心为(3,8)，半径r ＝12|P 1P 2|＝12(4－2)2＋(7－9)2＝2，∴圆的标准方程为(x －3)2＋(y －8)2＝2.(3)圆心为(3,0)，半径r ＝2，∴圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4.活动与探究2 思路分析：先设出圆的标准方程，由题设列出关于a ，b ，r 的关系式，组成方程组，解方程组求出a ，b ，r 的值代入即得圆的方程．解：设所求圆方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.∵圆与坐标轴相切，∴圆心满足a －b ＝0或a ＋b ＝0.又圆心在直线5x －3y ＝8上，∴5a －3b ＝8.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝0，5a －3b ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝0，5a －3b ＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝－1.∴圆心坐标为(4,4)或(1，－1)，∴可得半径r ＝|a |＝4或r ＝|a |＝1.∴所求圆的方程为(x －4)2＋(y －4)2＝16或(x －1)2＋(y ＋1)2＝1.迁移与应用解：设所求圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，依题意得222222(2)(3)(2)(5)230.a b r a b r a b ⎧-+--=⎪--+--=⎨⎪--=⎩，，解方程得1,2,10.a b r ⎧=-⎪=-⎨⎪=⎩所以圆的标准方程是(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.活动与探究3 思路分析：(1)求出圆心坐标和半径可得圆的标准方程．判断点在圆上、圆外、圆内的方法是：根据已知点到圆心的距离与半径的大小关系来判断．(2)利用点在圆的外部建立不等式求m 的取值范围．解：(1)由已知得圆心坐标为C (2，－1)，半径r ＝1.∴圆的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.∵|AC |＝(5－2)2＋(4＋1)2＝34＞1，|BC |＝(1－2)2＋(－1－0)2＝2＞1，∴A ，B 两点都在圆外．(2)由于点P (－2,4)在圆的外部，∴有(－2＋1)2＋(4－2)2＞m ，解得m ＜5.又方程表示圆，∴有m ＞0，因此实数m 的取值范围是0＜m ＜5.迁移与应用 1．A解析：∵(m 2)2＋52＝m 4＋25＞24，∴点P (m 2,5)在圆外．2．解：|P 1P 2|＝(5－3)2＋(4－8)2＝25，P 1P 2的中点坐标为(4,6)．依题意，所求圆的圆心为C (4,6)，半径为 5.∴所求圆的方程为(x －4)2＋(y －6)2＝5.∵|MC|＝(5－4)2＋(3－6)2＝10＞5，|NC|＝(3－4)2＋(4－6)2＝5，|PC|＝(3－4)2＋(5－6)2＝2＜5，∴点M在圆外，点N在圆上，点P在圆内．当堂检测1．D2．D3．(x－2)2＋y2＝104．(7，＋∞)5．解：∵圆心在直线x－3y＝0上，∴设圆心坐标为(3a，a)．又圆C与y轴相切，∴半径r＝|3a|，圆的标准方程为(x－3a)2＋(y－a)2＝|3a|2.又过点A(6,1)，∴(6－3a)2＋(1－a)2＝9a2，即a2－38a＋37＝0，a＝1或a＝37.∴圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x－111)2＋(y －37)2＝1112.。