江苏高考数学冲刺小练
2024数学高考前冲刺题《圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)》含答案
黄金冲刺大题06 圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）（精选30题）1．（2024·山东·二模）已知椭圆的焦点分别是)()12,F F ，点M 在椭圆上，且124MF MF +=．(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线y kx =,A B 两点，且OA OB ⊥，求实数k 的值．2．（2024·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，过2F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A ，B 两点，直线2l与C 交于D ，E 两点，且12AF F 的周长是4+(1)求椭圆C 的方程；(2)当32AB DE =时，求ODE 的面积.3．（2024·河北邯郸·二模）已知椭圆C 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()2,0,1,M N ⎛ ⎝两点．(1)求C 的方程．(2),A B 是C 上两个动点，D 为C 的上顶点，是否存在以D 为顶点，AB 为底边的等腰直角三角形？若存在，求出满足条件的三角形的个数；若不存在，请说明理由．4．（2024·广东广州·模拟预测）已知椭圆222:1(08x y C b b+=<<，右顶点为E ，上､下顶点分别为12,,B B G是1EB 的中点，且121EB GB ⋅=.(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点()4,0D -的直线l 交椭圆C 于点,M N ，点()2,1A --，直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q ，求证：线段PQ 的中点为定点.5．（2024·辽宁·二模）平面直角坐标系xOy 中，面积为9的正方形ABCD 的顶点,A B 分别在x 轴和y 轴上滑动，且23OP OA = ，记动点P 的轨迹为曲线Γ．(1)求Γ的方程；(2)过点()4,1E 的动直线l 与曲线Γ交于不同的两点,M N 时，在线段MN 上取点Q ，满足||||||||EM QN QM EN ⋅=⋅．试探究点Q 是否在某条定直线上？若是，求出定直线方程；若不是，说明理由．6．（2024·福建厦门·三模）在直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,M N 两点，且当l 的斜率为1时，8MN =．(1)求C 的方程；(2)设l 与C 的准线交于点P ，直线PO 与C 交于点Q （异于原点），线段MN 的中点为R ，若3QR ≤，求MNQ △面积的取值范围．7．（2024·浙江丽水·二模）已知抛物线2:4E y x =，点,,A B C 在抛物线E 上，且A 在x 轴上方，B 和C 在x 轴下方（B 在C 左侧），,A C 关于x 轴对称，直线AB 交x 轴于点M ，延长线段CB 交x 轴于点Q ，连接QA .(1)证明：OM OQ为定值（O 为坐标原点）；(2)若点Q 的横坐标为1-，且89MB MC ⋅= ，求AQB 的内切圆的方程.8．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知点(1,0)A ，(0,1)B ，(1,1)C 和动点(,)P x y 满足2y 是PA PB ⋅ ，PA PC ⋅的等差中项．(1)求P 点的轨迹方程；(2)设P 点的轨迹为曲线1C 按向量31,416a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移后得到曲线2C ，曲线2C 上不同的两点M ，N 的连线交y 轴于点(0,)Q b ，如果MON ∠（O 为坐标原点）为锐角，求实数b 的取值范围；(3)在（2）的条件下，如果2b =时，曲线2C 在点M 和N 处的切线的交点为R ，求证：R 在一条定直线上．9．（2024·江苏南通·二模）已知双曲线E的渐近线为y =，左顶点为()A .(1)求双曲线E 的方程；(2)直线:l x t =交x 轴于点D ，过D 点的直线交双曲线E 于B ，C ，直线AB ，AC 分别交l 于G ，H ，若O ，A ，G ，H 均在圆P 上，①求D 的横坐标；②求圆P 面积的取值范围.10．（2024·江苏南京·二模）已知抛物线2:2(0)C y px p =>与双曲线2222:1x y E a b-=（0a >，0b >）有公共的焦点F ，且4p b =．过F 的直线1与抛物线C 交于A ，B 两点，与E 的两条近线交于P ，Q 两点(均位于y 轴右侧).(1)求E 的渐近线方程；(2)若实数λ满足1111||||||||OP OQ AF BF λ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，求λ的取值范围．11．（2024·重庆·三模）已知()2,0F ，曲线C 上任意一点到点F 的距离是到直线12x =的距离的两倍.(1)求曲线C 的方程；(2)已知曲线C 的左顶点为A ，直线l 过点F 且与曲线C 在第一、四象限分别交于M ，N 两点，直线AM 、AN 分别与直线12x =交于P ，H 两点，Q 为PH 的中点.（i ）证明：QF MN ⊥；（ii ）记PMQ ，HNQ ，MNQ 的面积分别为1S ，2S ，3S ，则123S S S +是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.12．（2024·河北·二模）已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的离心率e =(1)若椭圆E过点(，求椭圆E 的标准方程．(2)若直线1l ，2l 均过点()()*,00,n n P p p a n <<∈N 且互相垂直，直线1l 交椭圆E 于,A B 两点，直线2l 交椭圆E于,C D 两点，,M N 分别为弦AB 和CD 的中点，直线MN 与x 轴交于点(),0n Q t ，设13n np =.（ⅰ）求n t ；（ⅱ）记n a PQ =，求数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．13．（2024·辽宁沈阳·二模）P 为大圆上一动点，大圆半径OP 与小圆相交于点,B PP x '⊥轴于,P BB PP ⊥'''于,B B ''点的轨迹为Ω．(1)求B '点轨迹Ω的方程；(2)点()2,1A ，若点M N 、在Ω上，且直线AM AN 、的斜率乘积为12，线段MN 的中点G ，当直线MN 与y 轴的截距为负数时，求AOG ∠的余弦值．14．（2024·广东佛山·二模）两条动直线1y k x =和2y k x =分别与抛物线()2:20C y px p =>相交于不同于原点的A ，B 两点，当OAB 的垂心恰是C 的焦点时，AB =(1)求p ；(2)若124k k =-，弦AB 中点为P ，点()2,0M -关于直线AB 的对称点N 在抛物线C 上，求PMN 的面积.15．（2024·广东深圳·二模）设抛物线C ：22x py =（0p >），直线l ：2y kx =+交C 于A ，B 两点．过原点O 作l 的垂线，交直线=2y -于点M ．对任意R k ∈，直线AM ，AB ，BM 的斜率成等差数列．(1)求C 的方程；(2)若直线//l l '，且l '与C 相切于点N ，证明：AMN 的面积不小于16．（2024·湖南·一模）已知双曲线2222:1(1)x y C b a a b-=>>的渐近线方程为y =，C 的半焦距为c ，且44244a b c ++=．(1)求C 的标准方程．(2)若P 为C 上的一点，且P 为圆224x y +=外一点，过P 作圆224x y +=的两条切线12,l l （斜率都存在），1l 与C 交于另一点2,M l 与C 交于另一点N ，证明：（ⅰ）12,l l 的斜率之积为定值；（ⅱ）存在定点A ，使得,M N 关于点A 对称．17．（2024·湖南岳阳·三模）已知动圆P 过定点(0,1)F 且与直线3y =相切，记圆心P 的轨迹为曲线E ．(1)已知A 、B 两点的坐标分别为(2,1)-、(2,1)，直线AP 、BP 的斜率分别为1k 、2k ，证明：121k k -=；(2)若点()11,M x y 、()22,N x y 是轨迹E 上的两个动点且124x x =-，设线段MN 的中点为Q ，圆P 与动点Q 的轨迹Γ交于不同于F 的三点C 、D 、G ，求证：CDG 的重心的横坐标为定值．18．（2024·湖北·二模）已知双曲线P 的方程为()()221,,0,,04x y B a C a -=-，其中()()00002,,,0a D x y x a y >≥>是双曲线上一点，直线DB 与双曲线P 的另一个交点为E ，直线DC 与双曲线P的另一个交点为F ，双曲线P 在点,E F 处的两条切线记为121,,l l l 与2l 交于点P ，线段DP 的中点为G ，设直线,DB DC 的斜率分别为12,k k ．(1)证明：12114k k <+≤(2)求GBGC的值．19．（2024·湖北·模拟预测）已知椭圆2212:1x C y a +=和()2222:10x C y a b b +=>>的离心率相同，设1C 的右顶点为1A ，2C 的左顶点为2A ，()0,1B ，(1)证明：12BA BA ⊥；(2)设直线1BA 与2C 的另一个交点为P ，直线2BA 与1C 的另一个交点为Q ，连PQ ，求PQ 的最大值．参考公式：()()3322m n m n m mn n +=+-+20．（2024·山东·二模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，设C 的右焦点为F ，左顶点为A ，过F 的直线与C 于,D E 两点，当直线DE 垂直于x 轴时，ADE V 的面积为92．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)连接AD 和AE 分别交圆22(1)1x y ++=于,M N 两点．（ⅰ）当直线DE 斜率存在时，设直线DE 的斜率为1k ，直线MN 的斜率为2k ，求12k k ；（ⅱ）设ADE V 的面积为1,S AMN △的面积为2S ，求12S S 的最大值．21．（2024·山东潍坊·二模）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的实轴长为2F 到一条渐近线的距离为1．(1)求C 的方程；(2)过C上一点(1P 作C 的切线1l ，1l 与C 的两条渐近线分别交于R ，S 两点，2P 为点1P 关于坐标原点的对称点，过2P 作C 的切线2l ，2l 与C 的两条渐近线分别交于M ，N 两点，求四边形RSMN 的面积．(3)过C 上一点Q 向C 的两条渐近线作垂线，垂足分别为1H ，2H ，是否存在点Q ，满足122QH QH +=，若存在，求出点Q 坐标；若不存在，请说明理由．22．（23-24高三下·湖北武汉·阶段练习）已知抛物线2:=E y x ，过点()1,2T 的直线与抛物线E 交于,A B 两点，设抛物线E 在点,A B 处的切线分别为1l 和2l ，已知1l 与x 轴交于点2,M l 与x 轴交于点N ，设1l 与2l 的交点为P .(1)证明：点P 在定直线上；(2)若PMN ，求点P 的坐标；(3)若,,,P M N T 四点共圆，求点P 的坐标.23．（2024·福建漳州·一模）已知过点()11,0F -的直线l 与圆2F ：()22116x y -+=相交于G ，H 两点，GH 的中点为E ，过1GF 的中点F 且平行于2EF 的直线交2G F 于点P ，记点P 的轨迹为C ．(1)求轨迹C 的方程．(2)若,A B 为轨迹C 上的两个动点且均不在y 轴上，点M 满足OM OA OB λμ=+（λ，μ∈R ），其中O 为坐标原点，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①点M 在轨迹C 上；②直线OA 与OB 的斜率之积为34-；③221λμ+=．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．24．（2024·福建福州·模拟预测）点P 是椭圆E ：22221x y a b +=（0a b >>）上（左、右端点除外）的一个动点，()1,0F c -，()2,0F c 分别是E 的左、右焦点.(1)设点P 到直线l ：2a x c =的距离为d ，证明2PF d 为定值，并求出这个定值；(2)12PF F △的重心与内心（内切圆的圆心）分别为G ，I ，已知直线IG 垂直于x 轴.（ⅰ）求椭圆E 的离心率；（ⅱ）若椭圆E 的长轴长为6，求12PF F △被直线IG 分成两个部分的图形面积之比的取值范围.25．（2024·福建三明·三模）已知平面直角坐标系xOy 中，有真命题：函数(0,0)ny mx m n x =+≥>的图象是双曲线，其渐近线分别为直线y mx =和y 轴．例如双曲线4y x=的渐近线分别为x 轴和y 轴，可将其图象绕原点O 顺时针旋转π4得到双曲线228x y -=的图象．(1)求双曲线1y x=的离心率；(2)已知曲线22:2E x y -=，过E 上一点P 作切线分别交两条渐近线于,A B 两点，试探究AOB 面积是否为定值，若是，则求出该定值；若不是，则说明理由；(3)已知函数y x =Γ，直线:30l x -=，过F 的直线与Γ在第一象限交于,M N 两点，过,M N 作l 的垂线，垂足分别为,C D ，直线,MD NC 交于点H ，求MNH △面积的最小值．26．（2024·浙江绍兴·二模）已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点到准线的距离为2，过点()2,2A 作直线交C 于M ，N 两点，点()1,1B -，记直线BM ，BN 的斜率分别为1k ，2k .(1)求C 的方程；(2)求()121232k k k k -+的值；(3)设直线BM 交C 于另一点Q ，求点B 到直线QN 距离的最大值.27．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知抛物线C :22y px =的焦点F ，直线l 过F 且交C 于两点M N 、，已知当3MF NF =时，MN (1)求C 的标准方程.(2)令,02p F ⎛⎫'- ⎪⎝⎭，P 为C 上的一点，直线F P '，FP 分别交C 于另两点A ，B .证明：·1AF PF PF BF '='.(3)过,,A B P 分别作C 的切线123,,l l l ， 3l 与1l 相交于D ，同时与2l 相交于E ，求四边形ABED 面积取值范围.28．（2024·河北保定·二模）平面几何中有一定理如下：三角形任意一个顶点到其垂心（三角形三条高所在直线的交点）的距离等于外心（外接圆圆心）到该顶点对边距离的2倍.已知ABC 的垂心为D ，外心为E ，D 和E 关于原点O 对称，()13,0A .(1)若()3,0E ，点B 在第二象限，直线BC x ⊥轴，求点B 的坐标；(2)若A ，D ，E 三点共线，椭圆T ：()222210x y a b a b+=>>与ABC 内切，证明：D ，E 为椭圆T 的两个焦点.29．（2024·浙江杭州·模拟预测）设双曲线22:12x C y -=，直线:l y x m =+与C 交于,A B 两点.(1)求m 的取值范围；(2)已知C 上存在异于,A B 的,P Q 两点，使得PA PB QA QB t ⋅=⋅=.（i ）当4t =时，求,P Q 到点()2,m m --的距离（用含m 的代数式表示）；（ii ）当2t =时，记原点到直线PQ 的距离为d ，若直线PQ 经过点(),m m -，求d 的取值范围.30．（2024·湖北·一模）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的离心率为12，A ，B 分别为椭圆的左顶点和上顶点，1F 为左焦点，且1ABF(1)求椭圆M 的标准方程：(2)设椭圆M 的右顶点为C 、P 是椭圆M 上不与顶点重合的动点．（i ）若点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，点D 在椭圆M 上且位于x 轴下方，直线PD 交x 轴于点F ，设APF 和CDF 的面积分别为1S ，2S 若1232S S -=，求点D 的坐标：（ii ）若直线AB 与直线CP 交于点Q ，直线BP 交x 轴于点N ，求证：2QN QC k k -为定值，并求出此定值（其中QN k 、QC k 分别为直线QN 和直线QC 的斜率）．黄金冲刺大题06 圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）（精选30题）1．（2024·山东·二模）已知椭圆的焦点分别是)()12,F F ，点M 在椭圆上，且124MF MF +=．(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线y kx =,A B 两点，且OA OB ⊥，求实数k 的值．【答案】(1)2214x y +=；【分析】（1）根据所给条件求出,a b ，即可得出椭圆标准方程；（2）联立直线与椭圆方程，根据根与系数的关系及OA OB ⊥，列出方程求k 即可.【详解】（1）设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>．由题意可知22224c a a b c ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩，解得2,1,a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆的标准方程为2214x y +=．（2）设()()1122,,,A x y B x y ，如图，联立方程2214y kx x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()221440k x +++=，则12122414x x x x k +==+，从而(1212y y kx kx =+()212122k x x x x =+++222414kk-=+，因为,0OA OB OA OB ⊥⋅=，即12120x x y y +=，所以22222424640141414k k k k k --+==+++，解得k =或，经验证知Δ0>，所以k．2．（2024·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，过2F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A ，B 两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点，且12AF F的周长是4+(1)求椭圆C 的方程；(2)当32AB DE =时，求ODE 的面积.【答案】(1)2214x y +=【分析】（1）由椭圆离心率和焦点三角形的周长，列方程组求出,a b ，得椭圆C 的方程；（2）设直线1l ，2l 的方程，与椭圆联立，利用韦达定理和32AB DE =求出DE 和2l 的方程，再求出O 到直线2l 的距离，可求ODE 的面积.【详解】（1）由题意知，222224a c ca b a c ⎧+=+⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，解得2,1,a b c ===所以椭圆C 的方程为2214x y +=；（2）若直线1l 的斜率不存在，则直线2l 的斜率为0，不满足32AB DE =，直线1l 的的斜率为0，则12,,A F F 三点共线，不合题意，所以直线1l 的斜率存在且不为0，设直线1l的方程为x my =由2214x my x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，消去x得2211044m y y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，设()()1122,,,A x y B x y，则12y y +=1221414y y m =-+，()2241.4m AB m +∴===+同理可得()222214141.1144m m DE m m ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==++，由32AB DE =，得()()2222414134214m m m m++=⋅++，解得22m =，则43DE =，∴直线2l的方程为y x =，∴坐标原点O 到直线2l的距离为d ==1423ODE S =⨯= 即ODE【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．3．（2024·河北邯郸·二模）已知椭圆C 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()2,0,1,M N ⎛⎝两点．(1)求C 的方程．(2),A B 是C 上两个动点，D 为C 的上顶点，是否存在以D 为顶点，AB 为底边的等腰直角三角形？若存在，求出满足条件的三角形的个数；若不存在，请说明理由．【答案】(1)2214x y +=(2)存在，3个【分析】（1）设椭圆C 的方程为221(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠，根据条件得到41314m m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩，即可求出结果；（2）设直线DA 为1y kx =+，直线DB 为11y x k=-+，当1k =时，由椭圆的对称性知满足题意；当21k ≠时，联立直线与椭圆方程，求出,A B 的坐标，进而求出AB 中垂线方程，根据条件中垂线直经过点(0,1)D ，从而将问题转化成方程42710k k -+=解的个数，即可解决问题.【详解】（1）由题设椭圆C 的方程为221(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠，因为椭圆过()2,0,1,M N ⎛ ⎝两点，所以41314m m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得到1,14m n ==，所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）由（1）知(0,1)D ，易知直线,DA DB 的斜率均存在且不为0，不妨设(0)DA k k k =>，1DB k k=-，直线DA 为1y kx =+，直线DB 为11y x k =-+，由椭圆的对称性知，当1k =时，显然有DA DB =，满足题意，当21k ≠时，由22114y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y 得到221()204k x kx ++=，所以2814A k x k =-+，222281411414A k k y k k -=-+=++，即222814(,)1414k k A k k--++，同理可得22284(,44k k B k k -++，所以()2222222222222414(4)14(4)(14)1414888(144)5414ABk k k k k k k k k k k k k k k k k k ----+-+--++===++++++，设AB 中点坐标为00(,)x y ，则2220228812(1)1442(4)(14)k kk k k k x k k -+-++==++，22222022144151442(4)(14)k k k k k y k k --+-++==++，所以AB 中垂线方程为222222215512(1)()(4)(14)1(4)(14)k k k k y x k k k k k -+=--++-++，要使ADB 为AB 为底边的等腰直角三角形，则直AB 中垂线方程过点(0,1)，所以222222215512(1)1(0)(4)(14)1(4)(14)k k k k k k k k k -+=--++-++，整理得到42710k k -+=，令2t k =，则2710t t -+=，4940∆=->，所以t 有两根12,t t ，且121270,10t t t t +=>=>，即2710t t -+=有两个正根，故有2个不同的2k 值，满足42710k k -+=，所以由椭圆的对称性知，当21k ≠时，还存在2个符合题意的三角形，综上所述，存在以D 为顶点，AB 为底边的等腰直角三角形，满足条件的三角形的个数有3个.【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第（2）问，通过设出直线DA 为1y kx =+，直线DB 为11y x k=-+，联立椭圆方程求出,A B 坐标，进而求出直线AB 的中垂线方程，将问题转化成直线AB 的中垂线经过点(0,1)D ，再转化成关于k 的方程的解的问题.4．（2024·广东广州·模拟预测）已知椭圆222:1(08x y C b b+=<<，右顶点为E ，上､下顶点分别为12,,B B G是1EB 的中点，且121EB GB ⋅=.(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点()4,0D -的直线l 交椭圆C 于点,M N ，点()2,1A --，直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q ，求证：线段PQ 的中点为定点.【答案】(1)22182x y +=(2)证明见解析【分析】（1）通过椭圆的性质和中点的坐标，然后根据向量的数量积得到等量关系即可求出椭圆的标准方程；（2）设出直线l 的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数的关系，求得点,P Q 的坐标，进而证得线段PQ 的中点为定点.【详解】（1）由题可得()28,,0a E a = ，()()120,,0,B b B b -，1EB ∴的中点为,22a b G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2221233(,),1,2,2222a b a bEB GB a b b ⎛⎫⋅=-⋅--=-=∴= ⎪⎝⎭ 故椭圆C 的方程为22182x y +=；（2）依题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()4y k x =+，由()224182y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y 并化简得()222214326480k x k x k +++-=，由()()422Δ10244146480k k k =-+->，得2111,422k k <-<<.设()(),,,M M N N M x y N x y ，则222232648,1414M N M N k k x x x x k k -+=-=++，依题意可知直线,MA NA 的斜率存在，直线MA 的方程为()1122M M y y x x ++=++，令4x =-，得()2442422M M M M P M M k x x y x y x x -+-----==++()()()2184212424221222M M M M M k x k k x k k k x x x ------+--+===---+++，同理可求得42212Q N k y k x +=---+，()N 4242114242422222P Q M N M k k y y k k k x x x x ⎛⎫++∴+=----=---++ ⎪++++⎝⎭()()4424224M N M N M N x x k k x x x x ++=---+⋅+++()22222232414424242(42)064832241414k k k k k k k k k k -++=---+⋅=--++=⎛⎫-+-+ ⎪++⎝⎭，∴线段PQ 的中点为定点()4,0-.【点睛】方法点睛：对于直线和圆锥曲线相交的问题，我们一般将直线和圆锥曲线联立，利用韦达定理带入计算求解.5．（2024·辽宁·二模）平面直角坐标系xOy 中，面积为9的正方形ABCD 的顶点,A B 分别在x 轴和y 轴上滑动，且23OP OA = ，记动点P 的轨迹为曲线Γ．(1)求Γ的方程；(2)过点()4,1E 的动直线l 与曲线Γ交于不同的两点,M N 时，在线段MN 上取点Q ，满足||||||||EM QN QM EN ⋅=⋅．试探究点Q 是否在某条定直线上？若是，求出定直线方程；若不是，说明理由．【答案】(1)22143x y +=(2)点Q 在定直线上，定直线方程为330x y +-=【分析】（1）设点,,P A B 的坐标，利用平面向量的坐标表示消参得0032x x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，结合正方形面积得Γ的方程；（2）设:14l y kx k =+-，,,Q M N 的坐标，与椭圆联立并根据韦达定理得,M N 横坐标关系，再根据线段乘积关系化为比值关系得01120244x x x x x x --=--，化简得0243kx k+=+，代入直线方程即可0y ，从而求出定直线方程.【详解】（1）设()()()00,,,0,0,P x y A x B y ，由0000222(,0))()333OP OA x y x y ==+=，得0023x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以032x x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，因为正方形ABCD 的面积为29AB =，即22009x y +=，所以223())92x +=，整理可得22143x y +=，因此C 的轨迹方程为22143x y +=．（2）依题意，直线l 存在斜率，设l ：1(4)y k x -=-，即14y kx k =+-，设点()00,Q x y ，()11,M x y ，()22,N x y ()102x x x <<，由22143412y kx kx y =+-⎧⎨+=⎩，消y 得2234(14)12x kx k ++-=，即222(34)8(14)4(14)120k x k k x k ++-+--=，由()()()2222Δ64141634143k k k k ⎡⎤=--+--⎣⎦()()()()()22222216144344834483414k k k k k k ⎡⎤⎡⎤=--+++=+--⎣⎦⎣⎦()()22481282966410k k k k =-++=-++>，k <<所以3k ≠-，可得1228(14)34k k x x k -+=-+，21224(14)1234k x x k --=+，由||||||||EM QN QM EN ⋅=⋅ ，得||||||||QM EM QN EN =，所以01120244x x x x x x --=--，可得222121201228(14)4(14)124234344()28(14)8()834k k k k k x x x x x k k x x k ⎡⎤---⎡⎤--⎢⎥⎢⎥+++-⎣⎦⎣⎦==--+⎡⎤--⎢⎥+⎣⎦()()2222232148142432128128648242432824248k k k k k k k k k k k----+-+-+-+==++-+1632242483k kk k++==++，所以()()200143243914333k k k k ky kx k k k k-++-=+-=+=+++，因为00612393333k kx y k k+-+=+=++，所以点Q 在定直线上，定直线方程为330x y +-=．6．（2024·福建厦门·三模）在直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,M N 两点，且当l 的斜率为1时，8MN =．(1)求C 的方程；(2)设l 与C 的准线交于点P ，直线PO 与C 交于点Q （异于原点），线段MN 的中点为R ，若3QR ≤，求MNQ △面积的取值范围．【答案】(1)24y x =；(2)(.【分析】（1）先设l 的方程为2px my =+，()11,M x y ，()22,N x y ，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理及抛物线定义即可求解；（2）先设出()221,2R m m +，进而可求,P Q 的坐标，可得直线//QR x 轴，求出QR 的范围，再由三角形面积公式即可求解.【详解】（1）不妨先设l 的方程为2px my =+，()11,M x y ，()22,N x y ，代入22y px =，可得2220y mpy p --=，所以122y y mp +=，212y y p =-，则()21212222MN x x p m y y p m p p =++=++=+，由题意可知当斜率为1时，1m =，又8MN =，即228p p +=，解得2p =，所以C 的方程为24y x =；（2）由（1）知2p =，直线l 的方程为1x my =+，抛物线方程24y x =，124y y m +=，124y y =-所以R 的纵坐标1222R y y y m +==，将R 的纵坐标2m 代入1x my =+，得221x m =+，所以R 的坐标()221,2m m +，易知抛物线的准线为=1x -,又因为l 与C 的准线交于点P ，所以P 的坐标21,m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则直线OP 的方程为2m x y =，把2mx y =代入24y x =，得22y my =，即2y m =或0y =，因为点Q 异于原点，从而Q 的纵坐标为2m ，把2y m =代入2m x y =，得22mx y m ==，所以()2,2Q m m ，因为R 的坐标()221,2m m +，所以R ，Q 的纵坐标相同，所以直线//QR x 轴，且222211QR m m m =+-=+，所以MNQ △面积1212MNQ MRQ NRQ S S S QR y y =+=- ，因为()22212121241616y y y y y y m -=+-=+，所以12y y -==，所以()332222112122MNQS m m QR =+⨯=+= ，因为点Q 异于原点，所以0m ≠，所以210m +>，因为3QR ≤，所以13QR <≤，所以3222QR <≤MNQ △面积的取值范围为(.7．（2024·浙江丽水·二模）已知抛物线2:4E y x =，点,,A B C 在抛物线E 上，且A 在x 轴上方，B 和C 在x 轴下方（B 在C 左侧），,A C 关于x 轴对称，直线AB 交x 轴于点M ，延长线段CB 交x 轴于点Q ，连接QA .(1)证明：OM OQ为定值（O 为坐标原点）；(2)若点Q 的横坐标为1-，且89MB MC ⋅= ，求AQB 的内切圆的方程.【答案】(1)1(2)221499x y ⎛⎫-+=⎪⎝⎭【分析】（1）根据已知条件作出图形，设出直线AB 的方程，与抛物线联立，利用韦达定理及直线的点斜式方程即可求解；（2）根据（1）的结论及向量的数量积的坐标表示，进而得出直线AB 的方程，利用直线的斜率公式及直线的点斜式方程，结合角平分线的性质及圆的标准方程即可求解.【详解】（1）设直线AB 的方程为()()()11220,,,,x my t m A x y B x y =+>，则()()11,,,0C x y M t -，由24x my ty x =+⎧⎨=⎩，消去x ，得2440y my t --=，()22Δ1600m t m t =+>⇒+>，所以12124,4y y m y y t +==-，直线BC 的方程为()211121y y y y x x x x ++=--，化简得1221214y y xy y y y y =---，令0y =，得124Q y y x t ==-，所以(),0Q t -因此1OM t OQt==-.（2）因为点Q 的横坐标为1-，由（1）可知，()()1,0,1,0Q M -，设QA 交抛物线于D ，()()()()11221144,,,,,,,A x y B x y C x y D x y -，如图所示又由（1）知，124y y =-，同理可得144y y =，得42y y =-，又()212121211242x x my my m y y m +=+++=++=+，()22212121214416y y y y x x =⋅==，又()()22111,,1,MB x y MC x y =-=-- ，则()()()221121212111444MB MC x x y y x x x x m ⋅=---=-+++=- ，故2844,9m -=结合0m >，得m =所以直线AB的方程为330,x -=又12163y y -===，则141414221214141412443444AD y y y y y y k y y x x x x y y y y ---======--+--，所以直线AD 的方程为3430x y -+=，设圆心(,0)(11)T s s -<<,因为QM 为AQB ∠的平分线，故点T 到直线AB 和直线AD 的距离相等，所以333354s s +-=，因为11s -<<，解得19s =，故圆T 的半径33253s r +==，因此圆T 的方程为221499x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭.8．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知点(1,0)A ，(0,1)B ，(1,1)C 和动点(,)P x y 满足2y 是PA PB ⋅ ，PA PC ⋅的等差中项．(1)求P 点的轨迹方程；(2)设P 点的轨迹为曲线1C 按向量31,416a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移后得到曲线2C ，曲线2C 上不同的两点M ，N 的连线交y 轴于点(0,)Q b ，如果MON ∠（O 为坐标原点）为锐角，求实数b 的取值范围；(3)在（2）的条件下，如果2b =时，曲线2C 在点M 和N 处的切线的交点为R ，求证：R 在一条定直线上．【答案】(1)23122y x x =-+；(2)0b <或1b >；(3)证明见解析.【分析】（1）根据题意，由平面向量的坐标运算，结合等差中项的定义代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，由平移公式可得曲线2C 的方程，然后与直线MN 的方程联立，由平面向量的夹角公式，代入计算，即可得到结果；（3）根据题意，求导可得在点,M N 处的切线方程，联立两条切线方程，代入计算，即可得到结果.【详解】（1）由题意可得(1,)PA x y =-- ，(,1)PB x y =-- ，(1,1)PC x y =--，则22(1)()()(1)PA PB x x y y x y x y ⋅=-⋅-+-⋅-=+--，22(1)(1)()(1)21PA PC x x y y x y x y ⋅=-⋅-+-⋅-=+--+，又2y 是PA PB ⋅ ，PA PC ⋅的等差中项，()()22222212x y x y x y x y y ∴+--++--+=，整理得点(,)P x y 的轨迹方程为23122y x x =-+．（2）由（1）知2131:22C y x x =-+，又31,416a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，∴平移公式为34116x x y y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+'⎩'⎪即34116x x y y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-'⎩'⎪，代入曲线1C 的方程得到曲线2C 的方程为：213331164242y x x ''⎛⎫⎛⎫-=+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'，即2y x ¢¢=．曲线2C 的方程为2y x =．如图由题意可设M ，N 所在的直线方程为y kx b =+，由2y x y kx b⎧=⎨=+⎩消去y 得20x kx b --=，令()11,M x y ，()()2212,N x y x x ≠，则1212x x kx x b +=⎧⎨=-⎩，()()21111,,OM x y x x ∴== ，()()22222,,ON x y x x == ，又MON ∠ 为锐角，cos 0||||OM ONMON OM ON ⋅∴∠=>⋅，即2212120||||x x x x OM ON +>⋅ ，2212120x x x x ∴+>，又12x x b =-，2()0b b ∴-+->，得0b <或1b >．（3）当2b =时，由（2）可得12122x x kx x b +=⎧⎨=-=-⎩，对2y x =求导可得2y x '=，∴抛物线2C 在点，()211,M x x ∴=，()222,N x x 处的切线的斜率分别为12M k x =，22N k x =，∴在点M ，N 处的切线方程分别为()2111:2M l y x x x x -=-，()2222:2N l y x x x x -=-，由()()()211112222222y x x x x x x y x x x x ⎧-=-⎪≠⎨-=-⎪⎩，解得交点R 的坐标(,)x y ．满足12122x x x y x x +⎧=⎪⎨⎪=⋅⎩即22k x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，R ∴点在定直线=2y -上．【点睛】关键点点睛：本题主要考查了曲线的轨迹方程问题以及切线问题，难度较大，解答本题的关键在于联立方程结合韦达定理计算以及转化为坐标运算.9．（2024·江苏南通·二模）已知双曲线E 的渐近线为y =，左顶点为()A .(1)求双曲线E 的方程；(2)直线:l x t =交x 轴于点D ，过D 点的直线交双曲线E 于B ，C ，直线AB ，AC 分别交l 于G ，H ，若O ，A ，G ，H 均在圆P 上，①求D 的横坐标；②求圆P 面积的取值范围.【答案】(1)2213x y -=(2)①⎫⎪⎪⎭；②27π16S >且7π4S ≠【分析】（1）根据渐近线方程及顶点求出,a b 得双曲线方程；（2）①设(),0D t ，由四点共圆可得1AG OH k k ⋅=，根据斜率公式转化为,B C 点坐标表示形式，由直线与双曲线联立得出根与系数的关系，据此化简即可求出t ；②求出G 点坐标得出OG ，利用正弦定理求出外接圆的半径，根据均值不等式求出半径的最值，即可得出圆面积的最值.【详解】（1）因为双曲线的渐近线关于坐标轴及原点对称，又顶点在x 轴上，可设双曲线的方程为22221x y a b-=（0a >，0b >），从而渐近线方程为：b y x a =±，由题条件知：b a =因为双曲线的左顶点为()A ，所以a =1b =，所以双曲线的方程为：2213x y -=.（2）如图，①(),0D t ，设直线BC 的方程为：my x t =-，将x my t =+代入方程：22330x y --=，得()2223230m y mty t -++-=，当230m -≠且()22Δ1230t m =+->时，设()11,B x y ，()22,C x y ，则12223mt y y m +=--，212233t y y m -=-.设直线AG 的倾斜角为α，不妨设π02α<<，则π2AGH α∠=-，由于O ，A ，G ，H 四点共圆知：HOD AGH ∠=∠，所以直线OH 的倾斜角为π2α-，πsin πsin 2tan tan 1π2cos cos 2AG OH k k αααααα⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭⋅=⋅-=⨯= ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭.直线AC的方程为：y x =，令x t =，则y =H t ⎛ ⎝，所以OH k=AGABk k==1=((1212t y y t x x ⇒=，又11x my t =+，22xmy t =+代入上式得：((1212t y yt my t my t =++，((()(22121212t y y t m y y m t y y t ⎡⎤⇒=+++⎢⎥⎣⎦，(((2222222332333t t mtt t m m t t m m m ⎛⎤---⇒⋅=⋅+⋅++ ⎥---⎝⎦，化简得：2430t +-=，解得：t =（舍）或t =故点D 的坐标为⎫⎪⎪⎭.②直线AG 的方程为(tan y x α=⋅，由①知：t =所以G α⎫⎪⎪⎭.直线OH 方程；1tan y x α=，所以H ，若G ，H 在x 轴上方时，G 在H 的上方，即tan 0α>α>若G ，H 在x 轴下方时，即t an 0α<α<所以tan α>tan α<又直线AG 与渐近线不平行，所以tan α≠所以0πα<<，tan α>tan α<tan α≠因为OG ==设圆P 的半径为R ，面积为S ，则2sin OG R α==所以()()()2222222125tan 125tan sin cos 3164sin 64sin R αααααα+⋅++=⨯=⨯()()22222125tan 1tan 33125tan 2664tan 64tan ααααα++⎛⎫=⨯=++ ⎪⎝⎭327266416⎛⎫≥= ⎪ ⎪⎝⎭，当且仅当22125tan tan αα=即tan α=tan α>tan α<tan α≠所以22716R >且274R ≠，从而27π16S >且7π4S ≠.【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于利用直线的倾斜角与圆的内接四边形的角的关系，得出πsin πsin 2tan tan 1π2cos cos 2AG OHk k αααααα⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭⋅=⋅-=⨯= ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭这一关键数量关系，再转化为直线与双曲线相交，利用根与系数的关系化简求参数的常规问题.10．（2024·江苏南京·二模）已知抛物线2:2(0)C y px p =>与双曲线2222:1x y E a b-=（0a >，0b >）有公共的焦点F ，且4p b =．过F 的直线1与抛物线C 交于A ，B 两点，与E 的两条近线交于P ，Q 两点(均位于y 轴右侧).(1)求E 的渐近线方程；(2)若实数λ满足1111||||||||OP OQ AF BF λ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，求λ的取值范围．【答案】(1)y x =(2)10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】（1）由两曲线有公共的焦点F ，且4p b =，得2c b =，a ，可求渐近线方程；（2）通过设直线方程，联立方程组，借助韦达定理，表示出11||||OP OQ +和11||||AF BF -，由1111OP OQ AF BF λ⎛⎫+=- ⎪⎪⎝⎭求λ的取值范围．【详解】（1）抛物线2:2(0)C y px p =>与双曲线2222:1x y E a b-=（0a >，0b >）有公共的焦点F ，设双曲线E 的焦距为2c ，则有2pc =，又4p b =，则2c b =.由222+=a b c，得a ，所以E的渐近线的方程为y =（2）设:l x my c =+，()()1122,,,P x y Q x y ，1与E 的两条近线交于P ，Q 两点均位于y 轴右侧，有23m <，由x my cy x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得1y =2y =，11112OP OQ y +=+设()()3344,,,A x y B x y ， 由22x my cy px=+⎧⎨=⎩，消去x 得2220y pmx p --=，则有234342,y y pm y y p +==-，1AF2p =由1111OP OQ AF BF λ⎛⎫+=- ⎪⎪⎝⎭，2pc =，有2p λ==由23m <⎡∈⎢⎣，所以10,2λ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．11．（2024·重庆·三模）已知()2,0F ，曲线C 上任意一点到点F 的距离是到直线12x =的距离的两倍.(1)求曲线C 的方程；(2)已知曲线C 的左顶点为A ，直线l 过点F 且与曲线C 在第一、四象限分别交于M ，N 两点，直线AM 、AN 分别与直线12x =交于P ，H 两点，Q 为PH 的中点.（i ）证明：QF MN ⊥；（ii ）记PMQ ，HNQ ，MNQ 的面积分别为1S ，2S ，3S ，则123S S S +是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.【答案】(1)2213y x -=(2)（i ）证明见解析；（ii ）是，12【分析】（1）设曲线C 上任意一点坐标为(),x y ，利用坐标可得曲线C 的方程；（2）(i)设直线MN ：2x my =+，()11,M x y ，()22,N x y ，联立方程组可得1221231my y m +=--，122931y y m =-，求得直线AM ：()1111y y x x =++，求得P ，H ，进而可得Q 的坐标，求得FQ 的坐标，直线MN 的方向向量的坐标，利用向量法可证结论.(ii) 法一：利用（i ）可求得()226113mMN m +=-；QF=()()322329112213m S MN QF m+=⋅=-，进而求得()1212114S S PH x x +=⋅+-，代入运算可求得()()32212291413m S S m++=-，可求结论.法二：（利用双曲线的第二定义）由（1）知，1122MF x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，同理2122NF x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，计算可得1218S S PH MN +=⋅，又312S MN QF =⋅，12314PH S S S QF +=，进而计算可得结论成立.【详解】（1）设曲线C 上任意一点坐标为(),x y ，则由题意可知：()2222222212444441123y x y x x x y x x x ⎛⎫-+=-⇒-++=-+⇒-= ⎪⎝⎭，故曲线C 的方程为2213y x -=.（2）(i)设直线MN ：2x my =+，()11,M x y ，()22,N x y ，其中m <<且11x >，21x >()22222311290330x my m y my x y =+⎧⇒-++=⎨--=⎩，故1221231my y m +=--，122931y y m =-；直线AM ：()1111y y x x =++，当12x =时，()11321y y x =+，故()1131,221y P x ⎛⎫⎪ ⎪+⎝⎭，同理()2231,221y H x ⎛⎫⎪ ⎪+⎝⎭，Q 为PH 中点，故()()()()1221121212111332211411Q y x y x y y y x x x x +++⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪++++⎝⎭；()()()()()()222212121212293693111333931m m m x x my my m y y m y y m -+-++=++=+++=-2931m =--；（*）()()()()()122112211212221836181133233131m m my x y x y my y my my y y y m m -+++=+++=++==---；故3183492Q m m y =⋅=，即13,22m Q ⎛⎫⎪⎝⎭，则33,22m FQ ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，直线MN 的方向向量(),1a m =，33022m m a FQ ⋅=-+= ，故QF MN ⊥.(ii)法一：12y y -===（**）故()2226113m MN y m +=-=-；QF==又QF MN ⊥，故()()322329112213mSMN QF m+=⋅=-.()12121211111122224S S PQ x HQ x PH x x ⎛⎫⎛⎫+=⋅-+⋅-=⋅+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()()222121222311293133113m m m x x m y y m m +-+-+-=++==--；()()()()()()1221121212113332121211y x y x y y PH x x x x +-+=-=++++，()()()()()()12211212123339211211y my y my y y x x x x +-+-==++++，由（*）知()()12291113x x m ++=-，由（**）知12y y -=，故291329m PH -==故()()()3222122231911413413m mS S m m+++=⋅=--，则12312S S S +=.法二：（利用双曲线的第二定义）由（1）知，1122MF x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，同理2122NF x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故()()12121111488S S PH x x PH MF NF PH MN +=+-=⋅+=⋅，又312S MN QF =⋅，故12314PH S S S QF +=，又()()12129411P H y y y y x x =++，且由（*）知229993194431P Hm y y m -==--，记直线PH 与x 轴相交于点K ，由94P Hy y =可得2PK HK FK ⋅=，即PK FK FK HK =，即PKF PFH ∽△△，故PF HF ⊥；又Q 为PH 的中点，故12QF PH =，即1231142PH S S S QF +==.【点睛】方法点睛：直线与双曲线联立问题第一步：设直线方程：有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，都可设出直线方程．。
江苏省扬州市2024高三冲刺(高考数学)苏教版考试(冲刺卷)完整试卷
江苏省扬州市2024高三冲刺（高考数学）苏教版考试(冲刺卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知集合，则（）A．B．C．D．第(2)题下列命题中，真命题的是（）A．若回归方程，则变量与正相关B．线性回归分析中相关指数用来刻画回归的效果，若值越小，则模型的拟合效果越好C．若样本数据的方差为2，则数据的标准差为4D．一个人连续射击三次，若事件“至少击中两次”的概率为0.7，则事件“至多击中一次”的概率为0.3第(3)题已知三条直线，三个平面，下列四个命题中，正确的是A．B．C．D．第(4)题已知，则（）A．B．C．D．第(5)题设正项数列的前项和满足，记表示不超过的最大整数，．数列的前项和为，则使得成立的的最小值为（）A．1179B．1178C．2019D．2018第(6)题下列命题正确的是A．函数内单调递增B．函数的最小正周期为2C．函数的图像是关于点成中心对称的图形D．函数的图像是关于直线成轴对称的图形第(7)题复数的虚部是（）A．B．1C．D．2第(8)题设球的直径为，球面上三个点，，确定的圆的圆心为，，，则面积的最大值为（）A．2B．4C．6D．8二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题在平面直角坐标系xOy中，已知点，，动点满足，记点的轨迹为C，则（）A．存在实数a，使得C上所有的点到点的距离大于2B．存在实数a，使得C上有两点到点与的距离之和为6C．存在实数a，使得C上有两点到点与的距离之差为2D．存在实数a，使得C上有两点到点的距离与到直线的距离相等第(2)题设有一组圆，，下列四个命题正确的是（）A ．存在，使得圆与轴相切B．存在，使得圆与圆有公共点C．存在一条直线与所有的圆均相交D．存在，使得圆经过原点第(3)题如果函数的最大值为，那么该三角函数的周期可能为（）A．B．C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题在中，角的对边分别为，，，若有最大值，则实数的取值范围是______.第(2)题已知椭圆的左、右焦点分别为，过且与轴垂直的直线交椭圆于两点，直线与椭圆的另一个交点为C，若，则椭圆的离心率为_____ .第(3)题若x，y满足约束条件，设的最大值为____________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题中国职业篮球联赛（CBA联赛）分为常规赛和季后赛．由于新冠疫情关系，今年联赛采用赛会制：所有球队集中在同一个地方比赛，分两个阶段进行，每个阶段采用循环赛，分主场比赛和客场比赛，积分排名前8的球队进入季后赛．季后赛的总决赛采用五场三胜制（“五场三胜制”是指在五场比赛中先胜三场者获得比赛胜利，胜者成为本赛季的总冠军）．下表是A队在常规赛60场比赛中的比赛结果记录表．阶段比赛场数主场场数获胜场数主场获胜场数第一阶段30152010第二阶段30152515(1)根据表中信息，是否有的把握认为比赛的“主客场”与“胜负”之间有关？(2)已知A队与队在季后赛的总决赛中相遇，假设每场比赛结果相互独立，A队除第五场比赛获胜的概率为外，其他场次比赛获胜的概率等于A队常规赛60场比赛获胜的频率．记为A队在总决赛中获胜的场数．求的分布列和期望．附：．0.1000.0500.0252.7063.8415.024第(2)题如图已知底面是边长为a的菱形，且∠ABC=120º，又PC平面ABCD，PC=a，点E为PA的中点.(1)求证:平面EBD平面ABCD(2)求点E到平面PBC的距离.第(3)题2023年12月19日至20日，中央农村工作会议在北京召开，习近平主席对“三农”工作作出指示．某地区为响应习近平主席的号召，积极发展特色农业，建设蔬菜大棚．如图所示的七面体是一个放置在地面上的蔬菜大棚钢架，四边形ABCD是矩形，m，m，m，且ED，CF都垂直于平面ABCD，m，，平面平面ABCD．(1)求点H到平面ABCD的距离；(2)求平面BFHG与平面AGHE所成锐二面角的余弦值．第(4)题某省会城市为了积极倡导市民优先乘坐公共交通工具绿色出行，切实改善城市空气质量，缓解城市交通压力，公共交通系统推出“2元换乘畅享公交”“定制公交”“限行日免费乘公交”“绿色出行日免费乘公交”等便民服务措施．为了更好地了解人们对出行工具的选择，交管部门随机抽取了1000人，做出如下统计表：出行方式步行骑行自驾公共交通比例5%25%30%40%同时交管部门对某线路公交车统计整理了某一天1200名乘客的年龄数据，得到的频率分布直方图如下图所示：(1)求m的值和这1200名乘客年龄的中位数；(2)用样本估计总体，将频率视为概率，从该市所有市民中抽取4人，记X为抽到选择公共交通出行方式的人数，求X的分布列和数学期望．第(5)题已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若对恒成立，求a的取值范围.。
江苏省宿迁市2024高三冲刺(高考数学)苏教版真题(冲刺卷)完整试卷
江苏省宿迁市2024高三冲刺（高考数学）苏教版真题(冲刺卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题在直三棱柱中，，点分别是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．第(2)题若x，y满足约束条件，则的最大值为（）A．B．C．2D．3第(3)题已知向量，，，则的值为（）A．B．C．D．第(4)题已知函数，点为平面内一点，则下列说法错误的是（）A．当，时，过点可作曲线的三条切线B．当，时，过点可作曲线的三条切线C．若过点不能作曲线的切线，则，D．若过点可作曲线的两条切线，则，第(5)题复数满足，则（）A．B．C．D．第(6)题已知实数，满足约束条件则的最大值是（）A．9B．6C．2D．-1第(7)题2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁4名干部派遣到，，三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲、乙2名干部不被分到同一个贫困县的概率为（）A．B．C．D．第(8)题若，则（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知函数，则下列说法正确的是（）A．函数值域为B．函数是增函数C．不等式的解集为D．第(2)题某电子展厅为了吸引流量，举办了一场电子竞技比赛，甲、乙两人入围决赛，决赛采用局胜的赛制，其中，即先赢局者获得最终冠军，比赛结束.已知甲每局比赛获胜的概率为，且各局比赛结果相互独立，则（）A．若，，则甲最终获胜的概率为B．若，，记决赛进行了局，则C．若，，记决赛进行了局，则D．若比时对甲更有利，则第(3)题下列函数在上是增函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知二项式的二项式系数的和为，则_____________.试估算时，的值为_____________.（精确到）第(2)题已知抛物线的焦点为，是上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，则的最小值为______．第(3)题已知直线：交双曲线：于，两点．（1）已知点是双曲线上不同于点，的任意一点，则______（结果用，表示）（2）过作直线的垂线交双曲线于点．若，则双曲线的离心率为______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数，．(1)若函数在上单调递减，求a 的取值范围：(2)若直线与的图象相切，求a 的值．第(2)题年龄在60岁（含60岁）以上的人称为老龄人，某小区的老龄人有350人，他们的健康状况如下表：健康指数210﹣160岁至79岁的人数120133[]341380岁及以上的人数918149其中健康指数的含义是：2代表“健康”，1代表“基本健康”，0代表“不健康，但生活能够自理”，﹣1代表“生活不能自理”．（1）随机访问该小区一位80岁以下的老龄人，该老人生活能够自理的概率是多少？（2）按健康指数大于0和不大于0进行分层抽样，从该小区的老龄人中抽取5位，并随机地访问其中的3位．求被访问的3位老龄人中恰有1位老龄人的健康指数不大于0的概率．第(3)题某校高三1000名学生的一模考试数学成绩频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是，，，，，.(1)求图中的值；(2)根据频率分布直方图，估计这1000名学生的一模考试数学成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；(3)从一模数学成绩位于，的学生中采用分层抽样抽取8人，再从这8人中随机抽取2人，该2人中一模数学成绩在区间的人数记为，求的分布列及数学期望.第(4)题的内角、、所对的边分别为、、.已知，.（1）若，求；（2）若，求的面积.第(5)题设，函数，函数(1)求函数g(x)的单调区间和最值；(2)若当时，对任意的，，都有成立，求实数t的取值范围.。
江苏省无锡市2024高三冲刺(高考数学)苏教版能力评测(冲刺卷)完整试卷
江苏省无锡市2024高三冲刺（高考数学）苏教版能力评测(冲刺卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知各项都为正数的等比数列，满足，若存在两项，，使得，则最小值为（）A．2B．C．D．1第(2)题已知双曲线：(，)的一条渐近线被圆截得的线段长不小于8，则双曲线的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．第(3)题我们知道，任何一个正实数都可以表示成.定义：，如，则下列说法错误的是（）A．当时，B．当时，C．当D．若，则第(4)题已知向量，满足的动点的轨迹为，经过点的直线与有且只有一个公共点，点在圆上，则的最小值为（）．A．B．C．D．1第(5)题设数列{a n}是等差数列，且a2=-6，a8=6，S n是数列{a n}的前n项和，则（）A．S4<S5B．S4=S5C．S6<S5D．S6=S5第(6)题截止到2020年1月1日，全球5G标准专利申请数量为21571件．在5G研发上，中国企业华为和中兴通讯表现十分突出，两家企业的5G标准专利申请数量约占全国的77.8%，约占全球的26.5%．若从全球5G标准专利申请中任选一件，则其来自中国的概率为（）A．0.19B．0.34C．0.38D．0.40第(7)题设，则a，b，c的大小关系为（）A．B．C．D．第(8)题已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围( )A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题下列不等式正确的是（）A．B．C．D．第(2)题定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数图象的对称中心为，则下列说法中正确的有（）A．，B．函数的极大值与极小值之和为2C．函数有三个零点D．在区间上单调递减第(3)题正方体的棱长为，中心为，以为球心的球与四面体的四个面相交所围成的曲线的总长度为，则球的半径为（）A．B．C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知函数，若对任意的恒成立，且在上单调递减，则___________.第(2)题不等式的解集为________.第(3)题的值为______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．(1)求椭圆的方程；(2)若过点的直线与椭圆相交于两点，设为椭圆上一点，且满足（为坐标原点），当时，求实数的取值范围第(2)题已知函数，.证明：（1）存在唯一，使；（2）存在唯一，使，且对（1）中的.第(3)题如图，在平面直角坐标系中，半径为1的圆沿着轴正向无滑动地滚动，点为圆上一个定点，其初始位置为原点为绕点转过的角度（单位：弧度，）.(1)用表示点的横坐标和纵坐标；(2)设点的轨迹在点处的切线存在，且倾斜角为，求证：为定值；(3)若平面内一条光滑曲线上每个点的坐标均可表示为，则该光滑曲线长度为，其中函数满足.当点自点滚动到点时，其轨迹为一条光滑曲线，求的长度.第(4)题已知为双曲线的左右焦点，且该双曲线离心率小于等于，点和是双曲线上关于轴对称非重合的两个动点，为双曲线左右顶点，恒成立．(1)求该双曲线的标准方程；(2)设直线和的交点为，求点的轨迹方程．第(5)题已知数列满足．(1)若数列满足，证明：是常数数列；(2)若数列满足，求的前项和．。
成才之路2025届高考冲刺数学模拟试题含解析
成才之路2025届高考冲刺数学模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()()2sin 1f x x ωϕ=+-（0>ω，0ϕπ<<）的一个零点是3π，函数()y f x =图象的一条对称轴是直线6x π=-，则当ω取得最小值时，函数()f x 的单调递增区间是（ ）A ．3,336k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） B ．53,336k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） C ．22,236k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） D ．2,236k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） 2．已知椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）与双曲线222212x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的焦点相同，则双曲线渐近线方程为（ ）A ．y x =B ．y =C ．2y x =±D ．y =3．将函数f (x )=sin 3x 3x +1的图象向左平移6π个单位长度，得到函数g (x )的图象，给出下列关于g (x )的结论： ①它的图象关于直线x =59π对称； ②它的最小正周期为23π； ③它的图象关于点(1118π，1)对称；④它在[51939ππ，]上单调递增. 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②B ．②③C ．①②④D ．②③④4．在ABC ∆中,,A B C ∠∠∠所对的边分别是,,a b c ，若3,4,120a b C ︒==∠=，则c =（ ）A ．37B ．13C D5．如果直线1ax by +=与圆22:1C x y +=相交，则点(),M a b 与圆C 的位置关系是（ ） A ．点M 在圆C 上 B ．点M 在圆C 外 C ．点M 在圆C 内D ．上述三种情况都有可能6．已知函数()f x 是R 上的偶函数，()g x 是R 的奇函数，且()()1g x f x =-，则()2019f 的值为（ ） A ．2 B ．0C ．2-D ．2±7．若点位于由曲线与围成的封闭区域内（包括边界），则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．8．秦九韶是我国南宁时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入n 、x 的值分别为3、1，则输出v 的值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．109．方程()()f x f x '=的实数根0x 叫作函数()f x 的“新驻点”，如果函数()ln g x x =的“新驻点”为a ，那么a 满足（ ）A ．1a =B ．01a <<C ．23a <<D ．12a <<10．已知直线l 320x y ++=与圆O ：224x y +=交于A ，B 两点，与l 平行的直线1l 与圆O 交于M ，N 两点，且OAB 与OMN 的面积相等，给出下列直线1l ：①3230x y +-=，②320x y +-=，③320x y -+=，④3230x y ++=.其中满足条件的所有直线1l 的编号有（ ） A ．①②B ．①④C ．②③D ．①②④11．函数22cos x xy x x--=-的图像大致为（ ）.A ．B ．C ．D ．12．某市政府决定派遣8名干部（5男3女）分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要求每组至少3人，且女干部不能单独成组，则不同的派遣方案共有（ ）种 A ．240B ．320C ．180D ．120二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省淮安市2024高三冲刺(高考数学)苏教版考试(冲刺卷)完整试卷
江苏省淮安市2024高三冲刺（高考数学）苏教版考试(冲刺卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题设复数（，为虚数单位），若为纯虚数，则复数的虚部为（）A．B．1C．2D．第(2)题水平桌面上放置了4个半径为2的小球，4个小球的球心构成正方形，且相邻的两个小球相切.若用一个半球形的容器罩住四个小球，则半球形容器内壁的半径的最小值为（）A．4B．C．D．6第(3)题已知曲线在点处的切线与抛物线也相切，则实数的值为（）A．0B．C．1D．0或1第(4)题已知等差数列的公差不为0，，给定正整数m，使得对任意的（且）都有成立，则m的值为（）A．4047B．4046C．2024D．4048第(5)题已知函数的一个零点为，且在上的值域为，则的取值范围是（）A．B．C．D．第(6)题在人工智能神经网络理论中，根据不同的需要，可以设置不同的激活神经单元的函数，其中函数是比较常用的一种，其解析式为.关于函数，下列结论正确的是（）A．是偶函数B．是单调递增函数C．方程有唯一解D．恒成立第(7)题已知椭圆的上顶点为B，斜率为的直线l交椭圆于M，N两点，若△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．第(8)题①对具有线性相关关系的变量，，其回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是；下列说法中正确的个数有（）②某校共有学生1003人，用简单随机抽样的方法先剔除3人，再按简单随机抽样的方法抽取为20人，则每个学生被抽到的概率③若随机事件A，B满足：，，，则事件A与B相互独立；为；④若随机变量，满足，则.A．1B．2C．3D．4二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题（多选题）下列命题中的真命题是（）A．B．C．D．第(2)题现有甲､乙两个箱子，甲中有2个红球，2个黑球，6个白球，乙中有5个红球和4个白球，现从甲箱中取出一球放入乙箱中，分别以表示由甲箱中取出的是红球，黑球和白球的事件，再从乙箱中随机取出一球，则下列说法正确的是（）A．两两互斥.B．根据上述抽法，从乙中取出的球是红球的概率为.C．以表示由乙箱中取出的是红球的事件，则.D ．在上述抽法中，若取出乙箱中一球的同时再从甲箱取出一球，则取出的两球都是红球的概率为.第(3)题衡阳市第八中学为了解学生数学史知识的积累情况，随机抽取150名同学参加数学史知识测试，测试题共5道，每答对一题得20分，答错得0分.得分不少于60分记为及格，不少于80分记为优秀，测试成绩百分比分布图如图所示，则（）A．该次数学史知识测试及格率超过90%B．该次数学史知识测试得满分的同学有15名C．该次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数D．若八中共有3000名学生，则数学史知识测试成绩能得优秀的同学大约有1800名三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题某市电视台对本市2019年春晚的节目进行评分，分数设置为分，分，分，分，分五个等级.已知名大众评委对其中一个舞蹈节目评分的结果如图，则这名大众评委的分数的方差为_________．第(2)题已知双曲线过点，则其渐近线方程为______．第(3)题已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围是_________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数.(1)当a=-1时，求曲线y=在点处的切线方程；(2)若>a，求实数a的取值范围.第(2)题在数列中，，(1)证明：数列是等比数列.(2)求数列的前项和.第(3)题已知．在中，．(1)求角的大小；(2)是边上的一点，且，平分，且，求的面积．第(4)题已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)设，若，，且，使得，求的最大值.第(5)题在数列中，，.(1)证明：数列是等比数列；(2)记数列的前项和为，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.。
江苏省南京市2024高三冲刺(高考数学)苏教版测试(冲刺卷)完整试卷
江苏省南京市2024高三冲刺（高考数学）苏教版测试(冲刺卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知函数，则（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7第(2)题已知复数，则（ ）A ．B ．C ．D ．第(3)题将函数的图象向右平移个单位长度，再把所得图象各点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变），所得图象的一条对称轴为（ ）A．B ．C ．D ．第(4)题已知为椭圆上一点，若的右焦点的坐标为，点满足，，若的最小值为，则椭圆的方程为（ ）A ．B ．C ．D ．第(5)题已知正三棱台的上､下底面的边长分别为2和4，且棱台的侧面与底面所成的二面角为，则此三棱台的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．第(6)题若椭圆的焦距为2，则该椭圆的离心率为（ ）A．B ．C ．或D ．或第(7)题已知函数，关于有下面四个说法：的图象可由函数的图象向右平行移动个单位长度得到；在区间上单调递增；当时，的取值范围为；在区间上有个零点．以上四个说法中，正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4第(8)题将名教师，名学生分成个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由名教师和名学生组成，不同的安排方案共有A ．种B ．种C ．种D ．种二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边a ，b ，c 求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即.现有满足，且的面积，请运用上述公式判断下列命题正确的是（ ）A．周长为B．三个内角A，C，B满足关系C．外接圆半径为D．中线CD的长为第(2)题已知角的终边过点，则（）A．B．C．D．第(3)题如图，在边长为4的正方形中，点，分别在边，上（不含端点）且，将，分别沿，折起，使，两点重合于点，则下列结论错误的有（）A．B．当时，点到平面的距离为C．当时，三棱锥的体积为D．当时，三棱锥的外接球体积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题______．第(2)题在直角坐标系xOy中，抛物线C：的焦点为F，双曲线E：的右顶点为线段OF的中点，E与C交于A，B两点．若F是△ABO的重心，则E的离心率为______．第(3)题已知△ABC和点M满足.若存在实数m使得成立，则m＝__________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数．（1）讨论的单调性并指出相应单调区间；（2）若，设是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数k的取值范围．第(2)题在直角坐标系xoy中，曲线的参数方程为（为参数）.在以原点为极点，正半轴为极轴的极坐标系中，直线和的极坐标方程分别为.(1)求曲线的极坐标方程；(2)设直线和与曲线分别交于不同于坐标原点的点和点，求.第(3)题北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为，故其总曲率为．（1）求四棱锥的总曲率；（2）若多面体满足：顶点数-棱数+面数，证明：这类多面体的总曲率是常数．第(4)题已知函数.(1)若函数为其定义域上的单调函数，求实数的取值范围；(2)若函数的极值点为，求证：.第(5)题在中，角，，所对的边分别是，，，且.（1）若，求角的大小；（2）若，，求的面积.。
江苏省扬州市2024高三冲刺(高考数学)苏教版能力评测(冲刺卷)完整试卷
江苏省扬州市2024高三冲刺（高考数学）苏教版能力评测(冲刺卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知集合，，若且，则的个数为（）A．1B．3C．4D．6第(2)题定义：若复数与满足，则称这两个复数互为倒数.已知复数，则该复数的倒数为（）A．B．C．D．第(3)题已知复数，则（）A．B．C．D．1第(4)题复数的虚部是（）A．B．C．D．第(5)题二项式的展开式中含项的系数为（）A．B．C．D．第(6)题等差数列中，，则的前9项和为（）A．B．C．90D．180第(7)题已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占80%，乙厂产品占20%，甲厂产品的合格率是75%，乙厂产品的合格率是80%，则从该地市场上买到一个合格产品的概率是（）A．0.75B．0.8C．0.76D．0.95第(8)题焦点为的抛物线上有一点，为坐标原点，则满足的点的坐标为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知直线与圆，点，则下列命题中是假命题的是（）.A．若点在圆外，则直线与圆相离B．若点在圆内，则直线与圆相交C．若点在圆上，则直线与圆相切D．若点在直线上，则直线与圆相切第(2)题若（为虚数单位），则下列说法正确的为（）A．B．C．D．第(3)题已知数列满足，，数列的前n项和为，且，则（）A．B．C．数列为单调递增的等差数列D．，正整数n的最小值为31三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题双曲线与直线无公共点，则双曲线C的离心率的取值范围为_______．第(2)题已知双曲线的渐近线方程为，写出双曲线的一个标准方程___________.第(3)题定义在上的函数满足，当时，，则__________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数.(1)讨论的单调性.(2)若，，问：是否存在唯一t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.第(2)题已知函数和.(1)若函数在点处的切线与直线垂直，求的单调区间和极值；(2)当时，证明：的图象恒在的图象的下方.第(3)题已知是的内角的对边，且（1）求角的大小：（2）若的面积，求边长的值..第(4)题为进一步培养高中生数学学科核心素养，提高创造性思维和解决实际问题的能力，某省举办高中生数学建模竞赛现某市从M，N两个学校选拔学生组队参赛，M，N两个学校学生总数分别为1989人、3012人．两校分别初选出4人、6人用于组队参赛，其中两校选拔的人中各有两人有比赛经验，按照分层抽样从M，N两个学校初选人中共选择5名学生组队参赛，设该队5人中有参赛经验的人数为X．(1)求随机变量X的分布列及数学期望；(2)各市确定5人组队参赛，此次比赛规则是：小组内自行指定一名同学起稿建立模型，之后每轮进行两人单独交流．假设某队决定由A起稿建立模型，A从其他四名成员中选择一人B进行交流，结束后把成果交由B，然后B再从其他包括A在内的四个成员中选择一人进行交流每一个环节只能是两名成员单独交流，每个小组有20次交流机会，最后再进入评委打分环节，现该市选定甲、乙、丙、丁、戊五人参赛，其中甲、乙两人有参赛经验．在每次交流中，甲、乙被同伴选为交流对象的概率均为，丙、丁、戊被同伴选为交流对象的概率相等，比赛由甲同学起稿建立模型．①求该组第三次交流中甲被选择的概率；②求第n次交流中甲被选择的概率（，）．第(5)题在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，M为曲线C上的动点，点P在线段OM上，且满足（1）求点P的轨迹的直角坐标方程；（2）直线的极坐标方程为，其中满足，若曲线与的公共点都在上，求。
江苏省苏州市2024高三冲刺(高考数学)苏教版能力评测(冲刺卷)完整试卷
江苏省苏州市2024高三冲刺（高考数学）苏教版能力评测(冲刺卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知双曲线的左焦点为，过点且斜率为的直线与的两条渐近线分别交于点，且分别位于第二、三象限，若，则的离心率为（）A．B．C．D．第(2)题已知，，，则（）A．B．C．D．第(3)题一圆锥的高为4，该圆锥体积与其内切球体积之比为，则其内切球的半径是（）A．B．1C．D．第(4)题已知函数有三个零点，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．第(5)题已知，则（）A．B．C．D．第(6)题已知，，设，，，则（）．A．B．C．D．第(7)题已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列正确的是（）A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则第(8)题设集合的真子集个数为（）A．16B．8C．7D．4二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题如图，在直三棱柱中，，，，为棱的中点；为棱上的动点（含端点），过点A､､作三棱柱的截面，且交于，则（）A．线段的最小值为B．棱上的不存在点，使得平面C．棱上的存在点，使得D．当为棱的中点时，第(2)题若随机变量，则下列结论正确的是（）A．该正态曲线关于直线对称B．若，则C．若，则D．当时，若，则第(3)题如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为的中点，如图所示建立空间直角坐标系，则下列说法正确的有（）A．B．向量与夹角的余弦值为C．平面的一个法向量是D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题经过抛物线的焦点的直线与交于，两点，且，在准线上的射影分别为，，则______；______.第(2)题已知是函数的导函数，且对任意的实数x的都有，且，则函数的解析式为________，若的图像与有3个交点，则m的取值范围为_________．第(3)题已知函数的图象在点处的切线过点，则________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题如图，在平行四边形中，，，为边上的点，，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且三棱柱的体积为.(1)证明：平面平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值.第(2)题如图，已知在中，内角所对的边分别为，且．(1)求的值；(2)若为边上一点，且，求的长．第(3)题已知函数在处取得极值为的导数．（1）若，讨论的单调性；（2）若，的取值集合是，求中的最大整数值与最小整数值．（参考数据：，，）第(4)题如图，，，点、在平面的同侧，，，，平面平面，.(1)求证：平面；(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长.第(5)题已知，（1）求在处的切线方程及极值（2）若不等式对任意成立，求的最大整数解．（3）的两个零点为，且为的唯一极值点，求证：。
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5、如 如图，在平面 面直角坐标系 系 xOy 中，点 点 A(0,3) ，直 直线 l : y 2 x 4 ．设圆 圆 C 的半径为 为 1， 圆心 心在 l 上．
C 也在直线 （1）若圆心 ） 也 圆 C 的切线，求切线的方 方程； y x 1 上，过点 A 作圆
C 上存 （2）若圆 ） 存在点 M ，使 MA 2MO ，求圆心 C 的横坐标 a 的取值 值范围．
， n ∈N ，
*
（1）设 ） bn+1=1+ +源自，n∈N*，求证：数列 列
差数列； 是等差
（2）设 ） bn+1=
•
，n∈N* N ，且{an}是等比数列， 是 求 a1 和 b1 的值． 的
4
四、应用题 1、如图，游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径。一种是从 A 沿直线步行 到 C ，另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B ，然后从 B 沿直线步行到 C ．现有甲、乙两 位游客从 A 处下山，甲沿 AC 匀速步行，速度为 50m / min ．在甲出发 2 min 后，乙从 A 乘缆车到 B ，在 B 处停留 1 min 后，再从匀速步行到 C ．假设缆车匀速直线运动的
③ 若函数 y=f（x）在 x=x0 处取得极大值或极小值，则称 x0 为函数 y=f（x）的极值点．已 3 2 知 a，b 是实数，1 和﹣1 是函数 f（x）=x +ax +bx 的两个极值点． （1）求 a 和 b 的值； （2）设函数 g（x）的导函数 g′（x）=f（x）+2，求 g（x）的极值点； （3）设 h（x）=f（f（x） ）﹣c，其中 c∈[﹣2，2 ，求函数 y=h（x）的零点个数．
（1）若 ） 与 （2）求 ） 垂直，求 求 tan（α+β）的值； 的最大值；
江苏省常州市2024高三冲刺(高考数学)苏教版模拟(冲刺卷)完整试卷
江苏省常州市2024高三冲刺（高考数学）苏教版模拟(冲刺卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题在锐角中，内角的对边分别为，，，且，，则（）A．B．C．D．第(2)题如果函数的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直，则称具有性质.下列函数中具有性质的是（）A．B．C．D．第(3)题巴塞尔问题是一个著名的级数问题，这个问题首先由皮耶特罗·门戈利在1644年提出，由莱昂哈德·欧拉在1735年解决．欧拉通过推导得出：．某同学为了验证欧拉的结论，设计了如图的算法，计算的值来估算，则判断框填入的是（）A．B．C．D．第(4)题已知复数，是方程的两个虚数根，则（）A．0B．C．2D．4第(5)题已知为函数的导函数，且，若，则方程有且仅有一个根时的取值范围是（）A．B．C．D．第(6)题已知函数，则函数的零点个数为A．2B．3C．4D．5第(7)题已知复数z满足，则（）A．B．C．D．第(8)题已知向量，满足，，则（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题若随机变量X的对数服从正态分布，则称X服从对数正态分布.已知一批零件共2000只，零件的使用小时数Y的对数，则（）（，，若，则，）A．B．C．使用小时数不少于1808的零件约91只D．使用小时数落在区间内的零件约1635只第(2)题已知抛物线为上位于焦点右侧的一个动点，为坐标原点，则（）A．若，则B．若满足，则C．若交于点，则D．直线交于两点，且，则第(3)题《算学启蒙》是元代著名数学家朱世杰的代表作之一．《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，可以利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题．现有143根相同的圆形小木棍，小军模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比它上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（）A．2B．9C．11D．13三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知正方体的棱长为2，空间中点P满足，则三棱锥的体积的最大值为______．第(2)题已知数列的奇数项和偶数项为公比为的等比数列，，且.则数列的前项和的最小值为__________．第(3)题已知，则f（f（―2））=________，函数f（x）的零点的个数为________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．(1)求椭圆的方程；(2)若过点的直线与椭圆相交于两点，设为椭圆上一点，且满足（为坐标原点），当时，求实数的取值范围第(2)题已知函数．(1)当时，求在区间上的最值；(2)若当时，不等式恒成立，求的取值范围．第(3)题已知抛物线的焦点F是椭圆的一个焦点，且椭圆C经过点．（1）求椭圆C的方程；（2）若M，N是曲线C上的动点（不含左、右顶点），且直线MN过点，问在y轴上是否存在定点Q，使得O为坐标原点，若存在，请求出定点Q的坐标；若不存在，请说明理由．第(4)题从2021年10月16日起，中央广播电视总台陆续播出了3期《党课开讲啦》节目，某校组织全校学生观看，并对党史进行了系统学习，为调查学习的效果，对全校学生进行了测试，并从中抽取了100名学生的测试成绩（满分：100分），绘制了频率分布直方图．(1)求m的值；(2)若学校要求“学生成绩的均值不低于85分”，若不低于要求，不需要开展“党史进课堂“活动，每班配发党史资料，学生自由学习；若低于要求，需要开展“党史进课堂”活动，据以往经验，活动开展一个月能使学生成绩平均分提高2分，达到要求后不再开展活动．请判断该校是否需要开展“党史进课堂”活动，若需要开展，需开展几个月才能达到要求？(3)以样本分布的频率作为总体分布的概率，从全校学生中随机抽取4人，记其中成绩不低于85分的学生数为X，求X的分布列和数学期望．第(5)题如图所示，在三棱柱中，点G、M分别是线段AD、BF的中点.(1)求证：平面BEG；(2)若三棱柱的侧面ABCD和ADEF都是边长为2的正方形，平面平面ADEF，求二面角的余弦值；。
江苏省常州市2024高三冲刺(高考数学)苏教版考试(冲刺卷)完整试卷
江苏省常州市2024高三冲刺（高考数学）苏教版考试(冲刺卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知等差数列的前项和为，且，，则（）A．81B．86C．88D．192第(2)题复数的虚部为（）A．B．3C．D．3i第(3)题设集合，，则（）A．B．C．D．第(4)题已知，则在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限第(5)题如图所示，九连环是中国传统民间智力玩具，以金属丝制成9个圆环，解开九连环共需要256步，解下或套上一个环算一步，且九连环的解下和套上是一对逆过程.九连环把玩时按照一定得程序反复操作，可以将九个环全部从框架上解下或者全部套上.将第个圆环解下最少需要移动的次数记为，已知，按规则有，则解下第5个圆环最少需要移动的次数为（）A．4B．7C．16D．31第(6)题已知锐角三角形中，角所对的边分别为的面积为，且，若，则的取值范围是（）A．B．C．D．第(7)题如图，函数的部分图象与轴相交于两点，与轴相交于点，且的面积为，则的值为（）A．1B．2C．3D．4第(8)题命题“，”的否定是（）A．“，”B．“，”C．“，”D．“，”二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题在正四棱柱中，，，，其中，，则（）A．存在实数，，使得在平面内B．不存在实数，，使得直线与该正四棱柱的12条棱所在直线所成的角都相等C．存在实数，，使得平面截该正四棱柱所得到的截面是五边形D．不存在实数，，使得平面截该正四棱柱所得到的截面是六边形第(2)题已知函数（，），若为的一个极值点，且的最小正周期为，则（）A．B．（）C ．的图象关于点（，0）对称D．为偶函数第(3)题已知数列的前项和为，且对于恒成立，若定义，，则以下说法正确的是（）A．是等差数列B．C．D．存在使得三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知，则__________.第(2)题任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤第一次变成1（简称为8步“雹程”）．当时，需要______步“雹程”；若经过8步“雹程”次变成1，则所有可能的取值集合______．第(3)题已知数列的通项公式为: ，其前项和为，若成等比数列，则 k=___________四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题如图，直线垂直于梯形所在的平面，，为线段上一点，，四边形为矩形.(1)若是的中点，求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值：(3)若点到平面的距离为，求的长.第(2)题设函数，.(1)讨论函数的单调性；(2)当时，函数恰有两个零点，证明：第(3)题已知函数．(1)求的最值；(2)当时，函数的图像与的图像有两个不同的交点，求实数的取值范围．第(4)题甲学校某次学科竞赛后，将参赛考生的竞赛成绩整理得到如下频率分布直方图(1)求这些参赛考生的竞赛平均成绩（同一组中数据用该组区间中点值作代表）；(2)若竞赛成绩排在前16%的考生能进入复赛，试估计进入复赛的分数线.第(5)题遵守交通规则，人人有责．“礼让行人”是我国《道路交通安全法》的明文规定，也是全国文明城市测评中的重要内容．《道路交通安全法》第47条明确规定：“机动车行经人行横道时，应当减速行驶，遇行人正在通过人行横道，应当停车让行．机动车行经没有交通信号的道路时，遇行人横过道路，应当避让．否则扣3分罚200元”．下表是2021年1至4月份我市某主干路口监控设备抓拍到的驾驶员不“礼让行人”行为统计数据：月份1234违章驾驶员人数12510510090（1）请利用所给数据求违章人数与月份之间的回归直线方程，并预测该路口2021年5月不“礼让行人”驾驶员的大约人数（四舍五入）；（2）交警从这4个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查50人，调查驾驶员不“礼让行人”行为与驾龄的关系，得到下表：不礼让行人礼让行人驾龄不超过2年1020驾龄2年以上812能否据此判断有的把握认为“礼让行人”行为与驾龄有关？参考公式：0.100.050.0250.0100.0052.7063.8415.0246.6357.879，其中．。
江苏省常州市2024高三冲刺(高考数学)苏教版测试(冲刺卷)完整试卷
江苏省常州市2024高三冲刺（高考数学）苏教版测试(冲刺卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题一般地，家庭用电量（千瓦时）与气温（）有一定的关系．图（1）表示某年12个月中每月的平均气温，图（2）表示某家庭在这年12个月中每月的用电量，根据这些信息，以下关于该家庭用电量与气温间关系的叙述中，正确的是（）A．气温最高时，用电量最多B．气温最低时，用电量最少C．当气温大于某一值时，用电量随气温增高而增加D．当气温小于某一值时，用电量随气温降低而增加第(2)题已知椭圆的左、右焦点分别为、，经过的直线交椭圆于，，的内切圆的圆心为，若，则该椭圆的离心率是（）A．B．C．D．第(3)题直线过函数图象的对称中心，则的最小值为（）A．9B．8C．6D．5第(4)题已知，则（）A．B．C．D．第(5)题已知，则（）A．20B．C．80D．第(6)题苗族四月八日“姑娘节”是流传于湖南省绥宁县的民俗活动，国家级非物质文化遗产之一.假设在即将举办的“姑娘节”活动中，组委会原排定有8个“歌舞”节目，现计划增加2个“对唱”节目.若保持原来8个节目的相对顺序不变，则不同的排法种数为（）A．56B．90C．110D．132第(7)题已知，且，，，则（）A．B．C．D．第(8)题棣莫弗公式（为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题下列关于双曲线说法正确的是（）A．实轴长为6B．与双曲线有相同的渐近线C ．焦点到渐近线距离为4D ．与椭圆有同样的焦点第(2)题下列说法正确的是（ ）A ．经验回归方程对应的经验回归直线至少经过其样本数据点中的一个点B ．在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好C．设随机变量服从正态分布，若，则D ．若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数，则样本的方差不变第(3)题函数（）的大致图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知数列满足，且，，___________.(结果用含a 的式子表示)第(2)题如图，曲线C 1：y 2＝4x （y 0）和曲线C 2：x 2＝4y （x 0）在第一象限的交点为C ，已知A （1,0），B （0,1），直线x +y ＝m ，m ∈（0,8）分别与C 1和C 2交于M ，N 两点，且M ，N ，A ，B 不共线．以下关于四边形ABMN 描述中：①∀m ∈（0,8），四边形ABMN 的对角线AM ＝BN ；②∃m ∈（0,8），四边形ABMN 为正方形；③∃m ∈（0,8），使得|MN |＝．其中所有正确结论的序号是：_____．第(3)题设二次函数，若函数的值域为，且，则的取值范围为___________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题【选修4-1】几何证明选讲在中，的平分线交于点，的平分线交于点.求证：.第(2)题已知椭圆C：的离心率为，的面积为2.(I)求椭圆C的方程；(II)设M是椭圆C上一点，且不与顶点重合，若直线与直线交于点P，直线与直线交于点Q.求证:△BPQ为等腰三角形.第(3)题选修4-5：不等式选讲设函数，（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）若，恒成立，求实数的取值范围．第(4)题如图，四边形中，的面积为.(1)求；(2)求.第(5)题已知函数（）．（Ⅰ）当时，求函数的图象在点处的切线方程；（Ⅱ）当时，记函数，试求的单调递减区间；（Ⅲ）设函数（其中为常数），若函数在区间上不存在极值，求的最大值．。
江苏省连云港市2024高三冲刺(高考数学)苏教版能力评测(冲刺卷)完整试卷
江苏省连云港市2024高三冲刺（高考数学）苏教版能力评测(冲刺卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知复数，则z的虚部为（）A．B．C．2D．第(2)题已知平面，则“”是“且”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件第(3)题命题，命题：函数在上单调，则是的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件第(4)题已知,,若存在,使得,则称函数与互为“度零点函数”.若与互为“1度零点函数”，则实数的取值范围为A．B．C．D．第(5)题设复数，则复数在复平面内对应的点的坐标为（）A．B．C．D．第(6)题已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与椭圆交于，两点（其中点在点的左侧），记面积为，则下列结论错误的是（）A．B．时，C ．的最大值为D．当时，点的横坐标为第(7)题关于函数有下述四个结论：①不是偶函数；②在区间上单调递增；③的最小正周期为；④的值域为．其中，所有正确结论的序号是（）A．①②④B．②④C．①④D．①③第(8)题某教育机构为调查中小学生每日完成作业的时间，收集了某位学生100天每天完成作业的时间，并绘制了如图所示的频率分布直方图（每个区间均为左闭右开），根据此直方图得出了下列结论，其中正确的是（）A．估计该学生每日完成作业的时间在2小时至2.5小时的有50天B．估计该学生每日完成作业时间超过3小时的概率为0.3C．估计该学生每日完成作业时间的平均数为2.75小时D．估计该学生每日完成作业时间的中位数与平均数相等二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题固定电话用户指在电信企业营业网点办理开户登记手续并已接入固定电话网上的全部电话用户．固定电话在许多场合依然起到重要的作用，而且固定电话在许多方面有着手机没有的优势，这也使得固定电话至今仍在中国市场上有一定的保有量．某电信部门统计了所辖区域2021年和2022年固定电话用户数的同比增长率（），并绘制如图所示的折线图．则下列说法中正确的有（）A．2022年固定电话用户数的同比增长率比2021年固定电话用户数的同比增长率稳定B．2021年和2022年固定电话用户数的同比增长率数据的中位数分别为，C．这两年中，固定电话用户数的同比增长率数据同期相差最大的是4月份D．2021年固定电话用户数的同比增长率数据的第80百分位数为第(2)题已知双曲线的左右焦点分别为，点与位于双曲线右支上的关于y轴对称，点与关于x轴对称，，M为双曲线上一动点（不与重合），且直线与的斜率均存在，则（）A．B．C．四边形的面积为D．直线与的斜率之积为3第(3)题下列命题为真命题的是（）A．若，则B．若，则C．若，且，则D．若，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则的最小值为______．第(2)题如图所示，在棱长为的正四面体中，点，分别为，的中点，现用一个与垂直，且与正四面体的四个面都相交的平面去截该正四面体，当所得截面多边形面积的最大值为4时，该四面体的外接球的体积为________．第(3)题已知双曲线，斜率为的直线与的左右两支分别交于两点，点的坐标为，直线交于另一点，直线交于另一点.若直线的斜率为，则的离心率为__________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题在中，，，.(1)求AB的长；(2)求；(3)求的值.第(2)题在中，内角，，所对的边分别为，，，且．(1)求；(2)若，求．第(3)题设函数.（1）求证：有极值点；（2）设的极值点为，若对任意正整数a都有，其中，求的最小值.第(4)题在①，②③这三个条件中任选，补充在下面的问题中.问题：已知为等差数列，设其前n项和为，___________，是否存在正整数m，k(其中)，使得.成立？若存在，写出m，k满足的关系式；若不存在，请说明理由.第(5)题已知直线与圆相切，动点到与两点距离之和等于，两点到直线的距离之和.（1）设动点的轨迹为，求轨迹的方程；（2）对于椭圆，上一点，以为切点的切线方程为.设为上任意一点，过点作轨迹的两条切线，，，为切点.①求证直线过定点；②求面积的最大值.。
江苏省常州市2024高三冲刺(高考数学)苏教版摸底(押题卷)完整试卷
江苏省常州市2024高三冲刺（高考数学）苏教版摸底(押题卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题三年前，为了让学生了解社会，拓宽视野，丰富知识，提高社会实践能力和综合素质，哈三中团委组织学生参加了抽测一批棉花的纤维长度(单位：)的社会实践活动.利用所学习的数学知识，同学们作出了样本的频率分布直方图.现在，由于原始数据不全，只能通过直方图来估计这一批棉花的纤维长度的中位数.则估计的中位数为（）A．B．C．D．第(2)题现有几何体Ω，当它内部被挖去另一个几何体时的三视图如下，则Ω的体积等于（）A．B．C．D．第(3)题已知复数，则（）A．B．C．D．第(4)题若复数满足，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第一象限C．第二象限D．第四象限第(5)题甲、乙两人玩一个传纸牌的游戏，每个回合，两人同时随机从自己的纸牌中选一张给对方．游戏开始时，甲手中的两张纸牌数字分别为1，3，乙手中的两张纸牌数字分别为2，4．则一个回合之后，甲手中的纸牌数字之和大于乙手中的纸牌数字之和的概率为（）A．B．C．D．第(6)题设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，，，则三棱锥体积的最大值为（）A．B．C．D．第(7)题一只会飞行的昆虫被长为12cm的细绳子绑在一个封闭的正方体空盒子内一角（忽略捆绑长度），若盒子的棱长为12cm，则飞虫活动范围的体积为（）A．B．C．D．第(8)题已知双曲线的左，右焦点分别为、，点在双曲线上，且，的平分线交轴于点，则（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题在棱长为2的正方体中，为棱的中点，则（）A．B．四面体外接球的表面积为C．平面D．直线与平面所成的角为第(2)题已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则下列判断正确的是（）A．是奇函数B．是奇函数C．D．第(3)题已知点P为直四棱柱ABCD－A 1B1C1D1表面上一动点，四边形ABCD为正方形，，E为AB的中点，F为DD1的中点，则下列说法正确的是（）A．过A1，C1，E三点的平面截该四棱柱所得截面的面积为B．过C1，E，F三点的平面截该四棱柱所得的截面为五边形C．若平面A1C1E，则点P的轨迹长度为D．若动点P到棱BB1的距离为，则点P的轨迹长度为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题设奇函数定义在上，其导函数为，且，当时，，则关于的不等式的解集为______．第(2)题在三棱锥P-ABC中，，点M，N分别是PB，BC的中点，且，则平面AMN截三棱锥P-ABC的外接球所得截面的面积是___________．第(3)题已知抛物线的焦点为F，点A(-4，0)，点P是抛物线C上的动点，则的最小值为___________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题如图，三棱台，H在边上，平面平面，，，，，．(1)证明：；(2)若，面积为，求与平面所成角的正弦值．第(2)题某商场营销人员进行某商品的市场营销调查时发现，每回馈消费者一定的点数，该商品每天的销量就会发生一定的变化，经过试点统计得到以下表：反馈点数t12345销量（百件）/天0.50.61 1.4 1.7（Ⅰ）经分析发现，可用线性回归模型拟合当地该商品销量（千件）与返还点数之间的相关关系.试预测若返回6个点时该商品每天的销量；（Ⅱ）若节日期间营销部对商品进行新一轮调整.已知某地拟购买该商品的消费群体十分庞大，经营销调研机构对其中的200名消费者的返点数额的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：返还点数预期值区间[1,3)[3,5)[5,7)[7,9)[9,11)[11,13)（百分比）频数206060302010（1）求这200位拟购买该商品的消费者对返点点数的心理预期值的样本平均数及中位数的估计值（同一区间的预期值可用该区间的中点值代替；估计值精确到0.1）；（2）将对返点点数的心理预期值在和的消费者分别定义为“欲望紧缩型”消费者和“欲望膨胀型”消费者，现采用分层抽样的方法从位于这两个区间的30名消费者中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取3名进行跟踪调查，设抽出的3人中 “欲望紧缩型”消费者的人数为随机变量，求的分布列及数学期望.第(3)题如图，两射线、均与直线l垂直，垂足分别为D、E且.点A在直线l上，点B、C在射线上.(1)若F为线段BC的中点（未画出），求的最小值；(2)若为等边三角形，求面积的范围.第(4)题抢“微信红包”已经成为中国百姓欢度春节时非常喜爱的一项活动．小明收集班内20名同学今年春节期间抢到红包金额（元）如下（四舍五入取整数）：102 52 41 121 72162 50 22 158 4643 136 95 192 5999 22 68 98 79对这20个数据进行分组，各组的频数如下：（Ⅰ）写出m，n的值，并回答这20名同学抢到的红包金额的中位数落在哪个组别；（Ⅱ）记C组红包金额的平均数与方差分别为、，E组红包金额的平均数与方差分别为、，试分别比较与、与的大小；（只需写出结论）（Ⅲ）从A，E两组所有数据中任取2个，求这2个数据差的绝对值大于100的概率．第(5)题若关于的不等式在实数范围内有解.（1）求实数的取值范围；（2）若实数的最大值为，且正实数满足，求证：.。
江苏省常州市2024高三冲刺(高考数学)苏教版考试(提分卷)完整试卷
江苏省常州市2024高三冲刺（高考数学）苏教版考试(提分卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率.黄金分割率的值也可以用表示，即，设为正五边形的一个内角，则（）A．B．C．D．第(2)题若集合，，则（）A．B．C．D．第(3)题已知是函数的零点，是函数的零点，且满足，则实数的最小值是A．B．C．-2D．-1第(4)题已知函数，对任意不等实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为A．B．C．D．第(5)题已知复数满足（i是虚数单位），则（）A．B．3C．D．2第(6)题设双曲线 (，)的虚半轴长为1，半焦距为，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．第(7)题已知函数在上单调递增，则a的最大值是（）A．0B．C．e D．3第(8)题零售业是指通过买卖形式将工农业生产者生产的产品直接售给居民作为生活消费用或售给社会集团供公共消费用的商品销售行业．2024年2月6日，中国商业联合会发布2月份中国零售业景气指数（CRPI），近12个月的中国零售业景气指数统计图如下：统计图中每月零售业景气指数的中位数与第80百分位数分别是（）A．50.65% 50.4%B．50.65% 51.1%C．50.8% 50.4%D．50.8% 51.1%二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题某教练组为了比较甲、乙两名篮球运动员的竞技状态，选取了他们最近10场常规赛得分制成如图的茎叶图，则从最近10场比赛的得分看（）A．甲的中位数大于乙的中位数B．甲的平均数大于乙的平均数C．甲的竞技状态比乙的更稳定D．乙的竞技状态比甲的更稳定第(2)题已知复数满足(为虚数单位)，则（）A．复数的实部为B．复数的虚部为C．复数的模为D．在复平面内对应的点位于第二象限第(3)题产能利用率是指实际产出与生产能力的比率，工业产能利用率是衡量工业生产经营状况的重要指标.下图为国家统计局发布的2015年至2018年第2季度我国工业产能利用率的折线图.在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如2016年第二季度与2015年第二季度相比较；环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如2015年第二季度与2015年第一季度相比较.据上述信息，下列结论中正确的是（）A．2015年第三季度环比有所降低B．2016年第一季度同比有所降低C．2017年第三季度同比有所提高D．2018年第一季度环比有所提高三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知复数满足，则__________．第(2)题若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则_______．第(3)题已知集合，则满足条件的事件的概率为__________；集合的元素中含奇数个数的期望为_________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题在中，内角所对的边分别为，已知，且.（1）求；（2）若，求的值.第(2)题已知点是椭圆的左焦点，过且垂直轴的直线交于，，且.(1)求椭圆的方程(2)四边形(A，D在轴上方的四个顶点都在椭圆上，对角线，恰好交于点，若直线，分别与直线交于，，且为坐标原点，求证：．第(3)题共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务，由于其依托“互联网+”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人们的关注.某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了50人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这50人根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：频率分布表组别分组频数频率第1组80.16第2组▆第3组200.40第4组▆0.08第5组2合计▆▆（1）求的值；（2）若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求所抽取的2人中至少一人来自第5组的概率.第(4)题已知函数，其导函数为.(1)若函数在时取得极大值，求曲线在点处的切线方程；(2)证明：当时，函数有零点.第(5)题设.(1)令，求的单调区间；(2)当时，直线与的图像有两个交点，且，求证：.。
江苏省泰州市2024高三冲刺(高考数学)苏教版能力评测(培优卷)完整试卷
江苏省泰州市2024高三冲刺（高考数学）苏教版能力评测(培优卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题若函数的最小值为，则( )A．B．C．D．第(2)题用随机试验的方式估算圆周率，可以向图中的正方形中随机撒100粒沙粒，统计得到正方形内切圆中有81粒沙粒，则可据此试验结果估算圆周率约为（）A．2.03B．3.05C．3.14D．3.24第(3)题已知函数，，，，则（）A．B．C．D．第(4)题陀螺又称陀罗，是中国民间最早的娱乐健身玩具之一，在山西夏县新石器时代的遗址中就发现了石制的陀螺．如图所示的陀螺近似看作由一个圆锥与一个圆柱的组合体，其中圆柱的底面半径为2，圆锥与圆柱的高均为2，若该陀螺是由一个球形材料削去多余部分制成，则该球形材料的体积的最小值为（）A．B．C．D．第(5)题已知等差数列，，，则数列的前100项和（）A．B．C．D．第(6)题已知数列的通项公式为，从该数列中抽取出一个以原次序组成的首项为4，公比为2的等比数列，，，，其中，则数列的通项公式为（）A．B．C．D．第(7)题设集合，则中元素的个数为（）A．0B．2C．3D．4第(8)题甲、乙、丙、丁、戊五只猴子在一棵枯树上玩耍，假设它们均不慎失足下落，已知：（1）甲在下落的过程中依次撞击到树枝；（2）乙在下落的过程中依次撞击到树枝，，；（3）丙在下落的过程中依次撞击到树枝，，；（4）丁在下落的过程中依次撞击到树枝，，；（5）戊在下落的过程中依次撞击到树枝，，，，则下列结论正确的是（）A．最高处的树枝一定是B．这九根树枝从高到低不同的顺序共有24种C．最低处的树枝一定是D．这九根树枝从高到低不同的顺序共有21种二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知椭圆的离心率分别为它的左、右焦点，分别为它的左、右顶点，是椭圆上的一个动点，且的最大值为，则下列选项正确的是（）A．当不与左、右端点重合时，的周长为定值B．当时，C．有且仅有4个点，使得为直角三角形D．当直线的斜率为1时，直线的斜率为第(2)题在某次数学测试中，甲、乙两个班的成绩情况如下表：班级人数平均分方差甲45881乙45902记这两个班的数学成绩的总平均分为，总方差为，则（）A．B．C．D．第(3)题已知函数（，，）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A．B ．函数为偶函数C ．函数的图象关于直线对称D ．函数在上的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知，，当取得最小值时，实数______，此时与夹角的正切值为______．第(2)题已知平面向量，满足，则与夹角的大小为___________.第(3)题某路段属于限速路段，规定通过该路段的汽车时速不得超过70km/h，否则视为违规扣分，某天有1000辆汽车经过了该路段，经过雷达测速得到这些汽车运行时速的频率分布直方图，如下图所示，则违规扣分的汽车大约为_____________辆.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知椭圆，过原点的两条直线和分别与椭圆交于和，记得到的平行四边形的面积为．(1)设，用的坐标表示点到直线的距离，并证明；(2)请从①②两个问题中任选一个作答①设与的斜率之积，求面积的值．②设与的斜率之积为．求的值，使得无论与如何变动，面积保持不变．第(2)题已知椭圆过点，且离心率为.直线与轴正半轴和轴分别交于点、，与椭圆分别交于点、，各点均不重合且满足，.（1）求椭圆的标准方程；（2）若，试证明:直线过定点并求此定点.第(3)题如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，侧面是以为底的等腰三角形，，E在上，．(1)证明：平面平面；(2)求二面角的余弦值．第(4)题如图，直三棱柱中，是的中点，是的中点．（1）证明：平面；（2）若，，求四棱锥的体积．第(5)题如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，，，为的中点，点在上，且．(1)证明：平面；(2)若，点为上的动点，为的中点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值．。
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2010江苏高考数学冲刺小练（27）
班级 姓名 学号
1．若复数z ＝1＋ai （i 是虚数单位）的模不大于2，则实数a 的取值范围是
[] ．
2．过（1，0）且倾斜角是直线x －2y －1＝0的倾斜角的两倍的直线方程是4x －3y －4=0．
3．若椭圆221x my +=
，则它的长轴长为 4或2 ． 4．将函数()y f x =的图象上的每一点的纵坐标变为原来的4倍，横坐标变为原来的2 倍，然后把所得的图象上的所有点沿x 轴向左平移π2
个单位，所得的曲线为函数 2sin y x =的图象，则函数()y f x =的解析式为 1c o s 22
y x =- ． 5．在等差数列{}n a 中，n a ≠0，当n ≥2时，1n a +－2n a ＋1n a -＝0，若21k S -＝46，则k
的值为 12 ．
6．已知三棱锥S －ABC 的三视图如图所示：
在原三棱锥中给出下列命题： ①BC ⊥平面SAC ；
②平面SBC ⊥平面SAB ；
③SB ⊥AC ．
其中所有正确命题的代号是 ① ．
7．已知A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，向量(sin
,sin ),(cos ,sin )22A B C A B +==a b ． 若12⋅=a b ，则tan tan A B ⋅＝ 13
． 8．若圆锥的高是底面半径和母线的等比中项，则称此圆锥为“黄金圆锥”．已知某黄金圆锥的侧面积为S
． 9．在△ABC 中，AB=4，AC=3，P 是边BC 的垂直平分线上的一点，则BC AP ⋅＝－72． 10．已知命题p ：21[1,2],ln 02
x x x a ∀∈--≥与命题q ：2,2860x x ax a ∃∈+--=R A
B S S
C C S （A ） 俯视图 A （B ） B 主视图 左视图 C
都是真命题，则实数a 的取值范围是 1(,4][2,]2
-∞-- ．
11．如图，在四边形ABCO 中，2OA CB =，其中O 为坐标原点，A （4，0），C （0，2）．若
M 是线段OA 上的一个动点（不含端点），设点M 的坐标为（a ，0），记△ABM 的
外接圆为⊙P ． （1）求⊙P 的方程；
（2）过点C 作⊙P 的切线CT （T 为切点），
求CT 的取值范围．
解 （1）方法一（用圆的标准方程） 由已知B （2，2），所以AB 中点坐标为（3，1），1AB k =-，
所以，AB 中垂线方程为132y x y x -=-⇒=-．
而AM 的中垂线方程为42a x +=
，由此得 ⊙P 的圆心坐标为4(,)2
2a a P +，半径r = 所以△ABM 的外接圆⊙P 的方程为
22224()()(2)()2222
a a a a x y +-+-=-+，即22(4)40x y a x ay a +-+-+=． 方法二（用圆的一般方程）
设所求圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，因为点A ，B ，M 在所求圆
上，故有24160,4,2280,,4.0.
D F D a D
E
F E a F a a aD F ⎧++==--⎧⎪⎪+++=⇒=-⎨⎨⎪⎪=++=⎩⎩
故所求圆的方程是22(4)40x y a x ay a +-+-+=．
【说明】若令y ＝0，得20x D x F ++=．根据韦达定理，得4,4D a F a =-
-=
也应给相应分数．
（2
）切线长CT 因为M 在线段OA 上（不含端点），所以0＜
a ＜4．
故CT 的取值范围是(2．
12．已知0≤a ≤2，1≤b ≤3，集合A ＝{ x |－1≤x ≤0}，集合B ＝{|210x x ax b +⋅-<}．
（1）若,a b ∈N ，求A
B ≠∅的概率； （2）若,a b ∈R ，求A B =∅的概率． 解 （1）若要使A B ≠∅，则关于x 的不等式210x ax b +⋅-<在[－1，0]上有解．
令函数()21,[1,0]x f x ax b x =+⋅-∈-，则()2ln2x f x a b '=+⋅． 因为[0,2],[1,3],()0a b f x '∈∈>所以，即()f x 在[1,0]-上是单调增函数，
所以()f x 在[1,0]-上的最小值为(1)12
b f a -=-+-． 故关于x 的不等式210x ax b +⋅-<在[－1，0]上有解，只须102
b a -+-<，即220a b -+>．
因为,a b ∈N ，故（a ，b ）可取（0，1），（0，2），（0，3），（1，1）， （1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3）共9组，
由220a b -+>得（a ，b ）只能取（0，1），（1，1），（1，2），（1，3）， （2，1），（2，2），（2，3）7组．
所以A B ≠∅的概率为79． （2）因为[0,2],[1,3]a b ∈∈，所以（a ，b ）对应的 区域边长为2的正方形（如图），面积为4．
由（1）可知，要使A B =∅，只须
min ()102
b f x a =-+-≥，即220a b -+≤， 所以满足A B =∅的(,)a b 对应的区域是如图阴影部分． 所以S 阴影1111224
=⨯⨯=， 所以A B =∅的概率为114416
P ==．。