高考数学总复习第二章函数概念与基本初等函数第1讲函数及其表示

第1讲函数及其表示最新考纲 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念；2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；3.了解简单的分段函数，并能简单地应用．知识梳理1．函数的基本概念(1)函数的定义一般地，设A，B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应；那么就称f：A→B为从集合A 到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．(3)函数的三要素是：定义域、值域和对应关系． (4)表示函数的常用方法有：解析法、列表法和图象法． (5)分段函数在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应法则，这种函数称为分段函数．分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． 2．函数定义域的求法2nf x ，n ∈N *1f x与[f (x )]01．判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT 展示(1)f (x )＝x 2x与g (x )＝x 是同一个函数．(×)(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．(×) (3)函数是特殊的映射．(√)(4)分段函数是由两个或几个函数组成的．(×) 2．下列函数中，不满足f (2x )＝2f (x )的是( )A ．f (x )＝|x |B ．f (x )＝x －|x |C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝－x解析 将f (2x )表示出来，看与2f (x )是否相等． 对于A ，f (2x )＝|2x |＝2|x |＝2f (x )；对于B ，f (2x )＝2x －|2x |＝2(x －|x |)＝2f (x )； 对于C ，f (2x )＝2x ＋1≠2f (x )； 对于D ，f (2x )＝－2x ＝2f (x )，故只有C 不满足f (2x )＝2f (x )，所以选C. 答案 C3．(2014·山东卷)函数f (x )＝1log 2x －1的定义域为( )A ．(0,2)B ．(0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧log 2x －1＞0，x ＞0，解得x ＞2，故选C.答案 C4．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，1，x ＜0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则f (g (π))的值为( )A ．1B ．0C ．－1D ．π解析 g (π)＝0，f (g (π))＝f (0)＝0. 答案 B5．已知f (2x ＋1)＝3x －4，f (a )＝4，则a ＝________. 解析 令2x ＋1＝a ，则x ＝a －12，则f (2x ＋1)＝3x －4可化为f (a )＝3a －12－4，因为f (a )＝4，所以3a －12－4＝4，解得a ＝193.答案193考点一求函数的定义域例1(1)(2015·杭州模拟)函数f(x)＝1－2x＋1x ＋3的定义域为( )A ．(－3,0]B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪(－3,0]D ．(－∞，－3)∪(－3,1](2)函数f (x )＝lgx ＋1x －1的定义域是( )A ．(－1，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．[－1,1)∪(1，＋∞)解析 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－2x≥0，x ＋3＞0，解得－3＜x ≤0，所以函数f (x )的定义域为(－3,0]，故选A.(2)要使函数f (x )＝lgx ＋1x －1有意义，需满足x ＋1＞0且x －1≠0，得x ＞－1且x ≠1，故选C.答案 (1)A (2)C规律方法 (1)给出解析式的函数的定义域是使解析式中各个部分都有意义的自变量的取值集合 ，在求解时，要把各个部分自变量的限制条件列成一个不等式(组)，这个不等式(组)的解集就是这个函数的定义域，函数的定义域要写成集合或者区间的形式．(2)对于实际问题中求得的函数解析式，在确定定义域时，除了要考虑函数解析式有意义外，还要使实际问题有意义．【训练1】 (1)函数f (x )＝1log 2x －2的定义域为( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(2,3)∪(3，＋∞)D ．(2,4)∪(4，＋∞)(2)函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________．解析 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧log 2x －2≠0，x －2＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠3，x ＞2，所以函数f (x )的定义域为(2,3)∪(3，＋∞)．(2)由条件知⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x＞0，x ≠0，1－x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－1或x ＞0，x ≠0，－1≤x ≤1⇒x ∈(0,1]．答案 (1)C (2)(0,1] 考点二 求函数的解析式例2(1)如果f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 1－x，则当x ≠0且x ≠1时，f (x )等于( )A.1xB ．1x －1C.11－xD ．1x－1(2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，则f (x )＝________.(3)已知f (x )满足2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，则f (x )＝________.解析 (1)令t ＝1x ，得x ＝1t ，∴f (t )＝1t 1－1t＝1t －1，∴f (x )＝1x －1. (2)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ，即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17不论x 为何值都成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＋5a ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7，∴f (x )＝2x ＋7.(3)∵2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝3x ，把①中的x 换成1x，得 2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝3x.①×2－②得3f (x )＝6x －3x，∴f (x )＝2x －1x(x ≠0)．答案 (1)B (2)2x ＋7 (3)2x －1x(x ≠0)规律方法 求函数解析式的常用方法：(1)待定系数法，若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；(2)换元法，已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3)配凑法，由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式；(4)方程法，已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．【训练2】 (1)已知f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x2，则f (x )＝________.(2)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x·x －1，则f (x )＝________. 解析 (1)∵f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－2，且x ＋1x ≥2或x ＋1x≤－2，∴f (x )＝x 2－2(x ≥2或x ≤－2)． (2)在f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1xx －1中，用1x代替x ，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝2f (x )1x－1，将f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝2f x x－1代入f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x －1中，可求得f (x )＝23x ＋13.答案 (1)x 2－2(x ≥2或x ≤－2) (2)23x ＋13考点三 分段函数例3 (1)(2014·山西四校联考)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 28－x ，x ≤0，f x －1－f x －2，x ＞0，则f (3)的值为( )A ．1B ．2C ．－2D ．－3(2)(2014·新课标全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x ＜1， x 13 ，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x的取值范围是________．解析 (1)f (3)＝f (2)－f (1)＝f (1)－f (0)－f (1)＝－f (0)＝－log 28＝－3. (2)当x ＜1时，e x －1≤2成立，解得x ≤1＋ln 2，∴x <1.当x ≥1时，x 13 ≤2，解得x ≤8，∴1≤x ≤8. 综上可知x ∈(－∞，8]． 答案 (1)D (2)(－∞，8]规律方法 (1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．【训练3】 (2014·浙江卷)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋2，x ≤0，－x 2，x ＞0.若f (f (a ))＝2，则a＝________.解析 当a ＞0时，f (a )＝－a 2＜0，f (f (a ))＝a 4－2a 2＋2＝2，解得a ＝ 2.当a ≤0时，f (a )＝a 2＋2a ＋2＝(a ＋1)2＋1＞0，f (f (a ))＝－(a 2＋2a ＋2)2＝2，此方程无解．答案2微型专题 抽象函数的定义域问题抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数，其有关问题对同学们来说具有一定难度，特别是求其定义域时，许多同学解答起来总感觉棘手，在高考中一般不会单独考查，但从提升能力方面考虑，还应有所涉及．例4】 若函数y ＝f (x )的定义域是[1,2015]，则函数g (x )＝f x ＋1x －1的定义域是( )A ．[0,2 014]B ．[0,1)∪(1,2014]C ．(1,2 015]D ．[－1,1)∪(1,2014]点拨 先利用换元法求出函数f (x ＋1)的定义域，则函数g (x )的定义域为f (x ＋1)的定义域与不等式x －1≠0的解集的交集．解析 要使函数f (x ＋1)有意义，则有1≤x ＋1≤2 015，解得0≤x ≤2 014，故函数f (x ＋1)的定义域为[0,2 014]．所以使函数g (x ) 有意义的条件是⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2 014，x －1≠0，解得0≤x ＜1或1＜x ≤2 014.故函数g (x )的定义域为[0,1)∪(1,2 014]，故选B. 答案 B点评 函数的定义域是函数解析式中自变量的取值范围，即f (x )与f (g (x ))的定义域都是自变量x 的取值范围，常见有如下两种类型：(1)已知函数f (x )的定义域为D ，则函数f(g(x))的定义域就是不等式g(x)∈D的解集；(2)已知函数f(g(x))的定义域为D，则函数f(x)的定义域就是函数y＝g(x)(x∈D)的值域．[思想方法]1．在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应关系是否相同．2．函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质和图象的基础．因此，我们一定要树立函数定义域优先意识．3．函数解析式的几种常用求法：待定系数法、换元法、配凑法、方程法．[易错防范]1．求函数的解析式时要充分根据题目的类型选取相应的方法，同时要注意函数的定义域，如已知f(x)＝x＋1，求函数f(x)的解析式时，通过换元的方法可得f(x)＝x2＋1，这个函数的定义域是[0，＋∞)，而不是(－∞，＋∞)．2．求分段函数应注意的问题：在求分段函数的值f(x0)时，首先要判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(2014·广州调研)若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( )解析 可以根据函数的概念进行排除，使用筛选法得到答案． 答案 B2．(2014·郑州模拟)函数f (x )＝3x21－x＋lg(3x ＋1)的定义域是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13 D ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13解析 由⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，3x ＋1＞0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1，x ＞－13，所以定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1.答案 A3．设函数f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )的表达式是( ) A ．2x ＋1 B ．2x －1 C ．2x －3D ．2x ＋7解析 ∵g (x ＋2)＝f (x )＝2x ＋3＝2(x ＋2)－1， ∴g (x )＝2x －1. 答案 B4．(2015·合肥检测)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ＜0，f x －1＋1，x ≥0，则f (2 014)＝( ) A ．2 014 B ．4 0292C ．2 015D ．4 0312解析 f (2 014)＝f (2 013)＋1＝…＝f (0)＋2 014＝f (－1)＋2 015＝2－1＋2 015＝4 0312. 答案 D5．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )A ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10B ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310C ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋410D ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋510解析 法一 取特殊值法，若x ＝56，则y ＝5，排除C ，D ； 若x ＝57，则y ＝6，排除A ，选B.法二 设x ＝10m ＋α(0≤α≤9，m ，α∈N )，当0≤α≤6时，⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m ＋α＋310＝m＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10， 当6<α≤9时，⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m ＋α＋310＝m ＋1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10＋1，所以选B.答案 B 二、填空题6．下列集合A 到集合B 的对应f 中：①A ＝{－1,0,1}，B ＝{－1,0,1}，f ：A 中的数平方； ②A ＝{0,1}，B ＝{－1,0,1}，f ：A 中的数开方； ③A ＝Z ，B ＝Q ，f ：A 中的数取倒数；④A ＝R ，B ＝{正实数}，f ：A 中的数取绝对值， 是从集合A 到集合B 的函数的为________．解析 其中②，由于1的开方数不唯一，因此f 不是A 到B 的函数；其中③，A 中的元素0在B 中没有对应元素；其中④，A 中的元素0在B 中没有对应元素．答案 ①7．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1－x 21＋x 2，则f (x )的解析式为________．解析 令t ＝1－x 1＋x ，由此得x ＝1－t1＋t(t ≠－1)，所以f (t )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 1＋t 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 1＋t 2＝2t 1＋t 2，从而f (x )的解析式为f (x )＝2x1＋x2(x ≠－1)． 答案 f (x )＝2x1＋x2(x ≠－1)8．(2015·武汉一模)若函数f (x )＝2x 2＋2ax －a－1的定义域为R ，则a 的取值范围是________．解析 由题意知2x 2＋2ax －a －1≥0恒成立．∴x 2＋2ax －a ≥0恒成立， ∴Δ＝4a 2＋4a ≤0，∴－1≤a ≤0. 答案 [－1,0] 三、解答题9．已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1.求函数f (x )的解析式． 解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，又f (0)＝0， ∴c ＝0，即f (x )＝ax 2＋bx .又f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1. ∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1. ∴(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝(b ＋1)x ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝12.∴f (x )＝12x 2＋12x .10.根据如图所示的函数y ＝f (x )的图象，写出函数的解析式．解 当－3≤x ＜－1时，函数y ＝f (x )的图象是一条线段(右端点除外)，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，将点(－3,1)，(－1，－2)代入，可得f (x )＝－32x －72；当－1≤x ＜1时，同理可设f (x )＝cx ＋d (c ≠0)， 将点(－1，－2)，(1,1)代入，可得f (x )＝32x －12；当1≤x ＜2时，f (x )＝1.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－32x －72，－3≤x ＜－1，32x －12，－1≤x ＜1，1，1≤x ＜2.能力提升题组 (建议用时：25分钟)11．设f (x )＝lg 2＋x 2－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 的定义域为( )A ．(－4,0)∪(0,4)B ．(－4，－1)∪(1,4)C ．(－2，－1)∪(1,2)D ．(－4，－2)∪(2,4)解析 ∵2＋x2－x＞0，∴－2＜x ＜2，∴－2＜x 2＜2且－2＜2x＜2，取x ＝1，则2x＝2不合题意(舍去)，故排除A ，取x ＝2，满足题意，排除C ，D ，故选B. 答案 B12．(2014·包头测试与评估)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧31－x，x ≤1，1－log 3x ，x ＞1，则满足f (x )≤3的x 的取值范围是( ) A ．[0，＋∞) B ．[－1,3] C ．[0,3]D ．[1，＋∞)解析 依题意，不等式f (x )≤3等价于①⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，31－x≤3或②⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，1－log 3x ≤3.解①得0≤x ≤1，解②得x ＞1.因此，满足f (x )≤3的x 的取值范围是[0,1]∪(1，＋∞)＝[0，＋∞)．答案 A13．(2015·杭州质检)函数f (x )＝ln 1|x |＋1的值域是________．解析 依题意，因为 |x |＋1≥1，则0＜1|x |＋1≤1，ln1|x |＋1≤ln 1＝0，即函数的值域是(－∞，0]． 答案 (－∞，0]14．某人开汽车沿一条直线以60 km/h 的速度从A 地到150 km 远处的B 地．在B 地停留1 h 后，再以50 km/h 的速度返回A 地，把汽车与A 地的距离x (km)表示为时间t (h)(从A 地出发开始)的函数，并画出函数的图象．解 x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t ，0≤t ≤52，150，52<t ≤72，150－50⎝ ⎛⎭⎪⎫t －72，72<t ≤132.其图象如图所示．。