沪教版数学高一下册-4.5 反函数的概念 课件 (共12张PPT)
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4.5 反函数的概念
创设情境，引入概念
创设情境，引入概念
已知x，得到y
y关于x的函数
信息 数字
x
加密 y 2x 3
任意x，唯一y与之对应
任意y，唯一x与之对应
解密 x y 3
2
密码
数字
y
已知y，得到x
x关于y的函数wk.baidu.com
给出定义，剖析概念
定义：
4.5 反函数的概念
一般地，对于函数y=f(x)，设它的定义域为D，值域为A. 如果对A中任意一个值y，在D中都总有唯一确定的x值与它 对应，且满足y=f(x)，则这样得到的x关于y的函数叫做函数 y=f(x)的反函数，记作x=f -1(y) .
立足定义，探究概念
探究一：
根据定义，反函数是函数吗？ 反函数是基于哪个函数的基础上说的“反”？ 反函数的自变量、定义域、值域和对应法则和原函数之间什么关系？
一般地，对于函数y=f(x)，设它的定义域为D，值域为A. 如果对A中任意一 个值y，在D中都总有唯一确定的x值与它对应，且满足y=f(x)，则这样得到 的x关于y的函数叫做函数y=f(x)的反函数，记作x=f -1(y) .
（A）
（B）
（C）
（D）
2.填空：“函数y f (x)具有单调性”是“函数y f (x)存在反函数”的 _______ 条件.
课后练习，巩固概念
３.求函数y x2 2x(x 0)的反函数的定义域.
4.求下列函数的反函数.
(1) y 3x 2
(3) y x2 (x 0)
(2) y 3 x
立足定义，探究概念
探究三： y=f(x), x=f -1(y), y=f -1(x)三者间的联系，三者中x，y的关系？
一般地，对于函数y=f(x)，设它的定义域为D，值域为A. 如果对A中任意一 个值y，在D中都总有唯一确定的x值与它对应，且满足y=f(x)，则这样得到 的x关于y的函数叫做函数y=f(x)的反函数，记作x=f -1(y) . 习惯上，自变量常用x表示，函数用y表示，所以可将x=f -1(y)改写为
y=f -1(x) (x A)
DAy f (1x()x)
立足定义，探究概念
探究三：
y=f(x), x=f -1(y), y=f -1(x)三者间的联系，三者中x，y的关系？
定义域 值域
函数 y=f(x) D A
反函数y=f -1(x) A D
解决实例，应用问题
例1：求下列函数的反函数：
(1) y x2 1 (x 1)
立足定义，探究概念
探究二：
结合所学过的函数（一次函数、二次函数、幂函数、指数函数等）研
究是不是所有的函数都存在反函数？
x与y一一对
如果不是，根据定义，怎么样的函数才存在反函数？
应的函数存 在反函数
一般地，对于函数y=f(x)，设它的定义域为D，值域为A. 如果对A中任意一 个值y，在D中都总有唯一确定的x值与它对应，且满足y=f(x)，则这样得到 的x关于y的函数叫做函数y=f(x)的反函数，记作x=f -1(y) .
(4) y x 1(x 0)
5.(1)已知函数f (x) 3x 1 (x 5),求y f 1(x)的解析式. x2
(2)已知函数f (x) x2 2x(x 1), 求y f 1(x)的解析式.
心中没有过分的贪求，自然苦就少。口里不说多余的话，自然祸就少。腹内的食物能减少，自然病就少。思绪中没有过分欲，自然忧就少。大悲是无泪的，同样大悟无言。缘来尽 量要惜，缘尽就放。人生本来就空，对人家笑笑，对自己笑笑，笑着看天下，看日出日落，花谢花开，岂不自在，哪里来的尘埃!心情就像衣服，脏了就拿去洗洗，晒晒，阳光自然 就会蔓延开来。阳光那么好，何必自寻烦恼，过好每一个当下，一万个美丽的未来抵不过一个温暖的现在。无论你正遭遇着什么，你都要从落魄中站起来重振旗鼓，要继续保持热 忱，要继续保持微笑，就像从未受伤过一样。生命的美丽，永远展现在她的进取之中;就像大树的美丽，是展现在它负势向上高耸入云的蓬勃生机中;像雄鹰的美丽，是展现在它搏风 击雨如苍天之魂的翱翔中;像江河的美丽，是展现在它波涛汹涌一泻千里的奔流中。有些事，不可避免地发生，阴晴圆缺皆有规律，我们只能坦然地接受;有些事，只要你愿意努力， 矢志不渝地付出，就能慢慢改变它的轨迹。与其埋怨世界，不如改变自己。管好自己的心，做好自己的事，比什么都强。人生无完美，曲折亦风景。别把失去看得过重，放弃是另 一种拥有;不要经常艳羡他人，人做到了，心悟到了，相信属于你的风景就在下一个拐弯处有些事想开了，你就会明白，在世上，你就是你，你痛痛你自己，你累累你自己，就算有 人同情你，那又怎样，最后收拾残局的还是要靠你自己。人生的某些障碍，你是逃不掉的。与其费尽周折绕过去，不如勇敢地攀登，或许这会铸就你人生的高点。、有些压力总是 得自己扛过去，说出来就成了充满负能量的抱怨。寻求安慰也无济于事，还徒增了别人的烦恼。认识到我们的所见所闻都是假象，认识到此生都是虚幻，我们才能真正认识到佛法 的真相。钱多了会压死你，你承受得了吗?带，带不走，放，放不下。时时刻刻发悲心，饶益众生为他人。梦想总是跑在我的前面。努力追寻它们，为了那一瞬间的同步，这就是动 人的生命奇迹。懒惰不会让你一下子跌倒，但会在不知不觉中减少你的收获;勤奋也不会让你一夜成功，但会在不知不觉中积累你的成果。人生需要挑战，更需要坚持和勤奋!人生在 世：可以缺钱，但不能缺德;可以失言，但不能失信;可以倒下，但不能跪下;可以求名，但不能盗名;可以低落，但不能堕落;可以放松，但不能放纵;可以虚荣，但不能虚伪;可以平凡， 但不能平庸;可以浪漫，但不能浪荡;可以生气，但不能生事。人生没有笔直路，当你感到迷茫、失落时，找几部这种充满正能量的电影，坐下来静静欣赏，去发现生命中真正重要的 东西。在人生的舞台上，当有人愿意在台下陪你度过无数个没有未来的夜时，你就更想展现精彩绝伦的自己。但愿每个被努力支撑的灵魂能吸引更多的人同行。把现在的工作做好， 才能幻想将来的事情，专注于眼前的事情，对于尚未发生的事情而陷入无休止的忧虑之中，对事情毫无帮助，反而为自己凭添了烦恼。在成功的历程中，总会遇到困难而需要别人 的帮助，要善于接受这些帮助，因为这也是你人生中的重要机会。但不要因为有人帮助就自己不去努力，别人只会帮助那些自己努力之后还做不到的人!惯性思维是导致你失败的罪 魁祸首，一定要学会创新，创新为你开辟一片新天地，有时换个角度思考，会让你找到新的机会。学会根据事态和环境的发展变化，随时调整你的目标，目标坚定是好事，但也不 能为了遥不可及的目标丧失其他的机会，正所谓识时务者为俊杰。别整天想着那些你用不着的机会，对你来说，能用到的机会才有价值，不能用到的机会就是别人的，别人赚的盆 满钵满也不要羡慕，如果整天想着不属于你的机会，你的生活将会很痛苦。有想法就要行动，哪怕失败告终，拖拉会让你丧失机会。想法只有化作行动，才有达成愿望的可能，否 则想法永远是想法。没有想法的人，不会成功，但只有想法没有行动的人，也不会有任何成就!在做任何事之前，必须有正确的方向，盲目地行动只会导致失败。正确的方向是成功 的前提，没有或迷失了方向，做事情就很难成功。做任何事，最重要的是让自己满意，一味地听取别人的意见，迎合别人，按别人的想法做事，最后吃亏的是自己。请记住，不管 做什么事，只要让自己满意，就是最大的成功!做人一定要诚信，靠欺诈能让你富一阵子，但绝对不会让你富一辈子，成功需要一些勇气和冒险精神，坦然面对人生，敢于冒险，面 对危险或困难时，越是害怕越是陷入危险中，无所畏惧才会有解决之道。世界上所有的奖励都是奖给功劳的，而不是苦劳，没有功劳，再多的苦劳没用，做一件事只有有了最后想 要的结果，过程才有意义，人们从来都是以成败论英雄的。无知并不可怕，可怕的是不懂装懂，对自己不懂或不擅长的事情，在行动之前一定要问清楚，不能盲目瞎干。懒惰是你 一生最大的敌人，靠勤劳比靠侥幸的得来的收益更能致富。付出什么你就得到什么，如果你付出的是最大的努力，你就可以获得最好的报酬。守信是你的资本：信任犹如一根钢丝， 一旦建立起来了，可以抵抗变故的拉扯，一旦折断了它，就很难再把它接上了。与人相处时，别人首先要信任你，才会真心地对待你，当别人觉得你不可靠时，快乐总和宽厚的人 相伴，财富总与诚信的人相伴，聪明总与高尚的人相伴，魅力总与幽默的人相伴，健康总与阔达的人相伴影响我们人生的绝不仅仅是环境，其实是心态在控制个人的行动和思想。 同时，心态也决定了一个人的视野和成就，甚至一生。无论你觉得自己多么了不起，也永远有人比更强;无论你觉得自己多么不幸，永远有人比你更不幸。也许有些路好走是条捷径， 也许有些路可以让你风光无限，也许有些路安稳又有后路，可是那些路的主角，都不是我。至少我会觉得，那些路不是自己想要的。在别人肆意说你的时候，问问自己，到底怕不 怕，输不输的起。不必害怕，不要后退，不须犹豫，难过的时候就一个人去看看这世界。多问问自己，你是不是已经为了梦想而竭尽全力了?人往往有时候为了争夺名利，有时驱车 去争，有时驱马去夺，想方设法，不遗余力。压力挑战，这一切消极的东西都是我进取成功的催化剂。真想干总会有办法，不想干总会有理由;面对困难，智者想尽千方百计，愚者 说尽千言万语;老实人不一定可靠，但可靠的必定是老实人;时间，抓起来是，抓不起来是流水。成功的道路上，肯定会有失败;对于失败，我们要正确地看待和对待，不怕失败者，则 必成功;怕失败者，一句简单的问候，是不简单的牵挂;一声平常的祝福，是不平常的感动;条消息送去的是无声的支持与鼓励，愿你永远坚强应对未来，胜利属于你!行为胜于言论， 对人微笑就是向人表明：我喜欢你，你使我快乐，我喜欢见到你。最值得欣赏的风景，就是自己奋斗的足迹。人生从来没有真正的绝境。无论遭受多少艰辛，无论经历多少苦难， 只要一个人的心中还怀着一粒信念的种子，那么总有一天，他就能走出困境，让生命重新开花结果。、出发，永远是最有意义的事，去做就是了。当一个人真正觉悟的一刻，就是 他放弃追寻外在世界的财富，开始追寻他内心世界的真正财富。幻想一步成功者突遭失败，会觉得浪费了时间，付出了精力，却认为没有任何收获;在失败面前，懦弱者痛苦迷茫， 彷徨畏缩;而强者却坚持不懈，紧追不舍。进步和成长的过程总是有许多的困难与坎坷的。有时我们是由于志向不明，没有明确的目的而碌碌无为。但是还有另外一种情况，是由于 我们自己的退缩，与自己“亲密”的妥协没有坚持到底的意志，才使得机会逝去，颗粒无收。任何人都不可以随随便便的成功，它来自完全的自我约束和坚韧不拔的毅力。永远别放弃 自己，哪怕所有人都放弃了你。每个人身上都有惰性和消极情绪，成功的人都是懂得管理自己的情绪和克服自己的惰性，并像太阳一样照亮身边的人，激励身边的人。你心里最崇 拜谁，不必变成那个人，而是用那个人的精神和方法，去变成你自己。
(2) y x3 1
例2：已知函数f (x) 3x 1 的反函数为y f 1(x)， 4x 2
求f 1(1 )的值. 2
课堂小结，升华概念
逆运算
加法
减法
乘法
除法
乘方
开方
指数
对数
D
A
y f (x)
x 逆对应 y x f 1( y)
课后练习，巩固概念
1.下列各图中，能成为某个具有反函数的函数y f (x)的图像为( )
创设情境，引入概念
创设情境，引入概念
已知x，得到y
y关于x的函数
信息 数字
x
加密 y 2x 3
任意x，唯一y与之对应
任意y，唯一x与之对应
解密 x y 3
2
密码
数字
y
已知y，得到x
x关于y的函数wk.baidu.com
给出定义，剖析概念
定义：
4.5 反函数的概念
一般地，对于函数y=f(x)，设它的定义域为D，值域为A. 如果对A中任意一个值y，在D中都总有唯一确定的x值与它 对应，且满足y=f(x)，则这样得到的x关于y的函数叫做函数 y=f(x)的反函数，记作x=f -1(y) .
立足定义，探究概念
探究一：
根据定义，反函数是函数吗？ 反函数是基于哪个函数的基础上说的“反”？ 反函数的自变量、定义域、值域和对应法则和原函数之间什么关系？
一般地，对于函数y=f(x)，设它的定义域为D，值域为A. 如果对A中任意一 个值y，在D中都总有唯一确定的x值与它对应，且满足y=f(x)，则这样得到 的x关于y的函数叫做函数y=f(x)的反函数，记作x=f -1(y) .
（A）
（B）
（C）
（D）
2.填空：“函数y f (x)具有单调性”是“函数y f (x)存在反函数”的 _______ 条件.
课后练习，巩固概念
３.求函数y x2 2x(x 0)的反函数的定义域.
4.求下列函数的反函数.
(1) y 3x 2
(3) y x2 (x 0)
(2) y 3 x
立足定义，探究概念
探究三： y=f(x), x=f -1(y), y=f -1(x)三者间的联系，三者中x，y的关系？
一般地，对于函数y=f(x)，设它的定义域为D，值域为A. 如果对A中任意一 个值y，在D中都总有唯一确定的x值与它对应，且满足y=f(x)，则这样得到 的x关于y的函数叫做函数y=f(x)的反函数，记作x=f -1(y) . 习惯上，自变量常用x表示，函数用y表示，所以可将x=f -1(y)改写为
y=f -1(x) (x A)
DAy f (1x()x)
立足定义，探究概念
探究三：
y=f(x), x=f -1(y), y=f -1(x)三者间的联系，三者中x，y的关系？
定义域 值域
函数 y=f(x) D A
反函数y=f -1(x) A D
解决实例，应用问题
例1：求下列函数的反函数：
(1) y x2 1 (x 1)
立足定义，探究概念
探究二：
结合所学过的函数（一次函数、二次函数、幂函数、指数函数等）研
究是不是所有的函数都存在反函数？
x与y一一对
如果不是，根据定义，怎么样的函数才存在反函数？
应的函数存 在反函数
一般地，对于函数y=f(x)，设它的定义域为D，值域为A. 如果对A中任意一 个值y，在D中都总有唯一确定的x值与它对应，且满足y=f(x)，则这样得到 的x关于y的函数叫做函数y=f(x)的反函数，记作x=f -1(y) .
(4) y x 1(x 0)
5.(1)已知函数f (x) 3x 1 (x 5),求y f 1(x)的解析式. x2
(2)已知函数f (x) x2 2x(x 1), 求y f 1(x)的解析式.
心中没有过分的贪求，自然苦就少。口里不说多余的话，自然祸就少。腹内的食物能减少，自然病就少。思绪中没有过分欲，自然忧就少。大悲是无泪的，同样大悟无言。缘来尽 量要惜，缘尽就放。人生本来就空，对人家笑笑，对自己笑笑，笑着看天下，看日出日落，花谢花开，岂不自在，哪里来的尘埃!心情就像衣服，脏了就拿去洗洗，晒晒，阳光自然 就会蔓延开来。阳光那么好，何必自寻烦恼，过好每一个当下，一万个美丽的未来抵不过一个温暖的现在。无论你正遭遇着什么，你都要从落魄中站起来重振旗鼓，要继续保持热 忱，要继续保持微笑，就像从未受伤过一样。生命的美丽，永远展现在她的进取之中;就像大树的美丽，是展现在它负势向上高耸入云的蓬勃生机中;像雄鹰的美丽，是展现在它搏风 击雨如苍天之魂的翱翔中;像江河的美丽，是展现在它波涛汹涌一泻千里的奔流中。有些事，不可避免地发生，阴晴圆缺皆有规律，我们只能坦然地接受;有些事，只要你愿意努力， 矢志不渝地付出，就能慢慢改变它的轨迹。与其埋怨世界，不如改变自己。管好自己的心，做好自己的事，比什么都强。人生无完美，曲折亦风景。别把失去看得过重，放弃是另 一种拥有;不要经常艳羡他人，人做到了，心悟到了，相信属于你的风景就在下一个拐弯处有些事想开了，你就会明白，在世上，你就是你，你痛痛你自己，你累累你自己，就算有 人同情你，那又怎样，最后收拾残局的还是要靠你自己。人生的某些障碍，你是逃不掉的。与其费尽周折绕过去，不如勇敢地攀登，或许这会铸就你人生的高点。、有些压力总是 得自己扛过去，说出来就成了充满负能量的抱怨。寻求安慰也无济于事，还徒增了别人的烦恼。认识到我们的所见所闻都是假象，认识到此生都是虚幻，我们才能真正认识到佛法 的真相。钱多了会压死你，你承受得了吗?带，带不走，放，放不下。时时刻刻发悲心，饶益众生为他人。梦想总是跑在我的前面。努力追寻它们，为了那一瞬间的同步，这就是动 人的生命奇迹。懒惰不会让你一下子跌倒，但会在不知不觉中减少你的收获;勤奋也不会让你一夜成功，但会在不知不觉中积累你的成果。人生需要挑战，更需要坚持和勤奋!人生在 世：可以缺钱，但不能缺德;可以失言，但不能失信;可以倒下，但不能跪下;可以求名，但不能盗名;可以低落，但不能堕落;可以放松，但不能放纵;可以虚荣，但不能虚伪;可以平凡， 但不能平庸;可以浪漫，但不能浪荡;可以生气，但不能生事。人生没有笔直路，当你感到迷茫、失落时，找几部这种充满正能量的电影，坐下来静静欣赏，去发现生命中真正重要的 东西。在人生的舞台上，当有人愿意在台下陪你度过无数个没有未来的夜时，你就更想展现精彩绝伦的自己。但愿每个被努力支撑的灵魂能吸引更多的人同行。把现在的工作做好， 才能幻想将来的事情，专注于眼前的事情，对于尚未发生的事情而陷入无休止的忧虑之中，对事情毫无帮助，反而为自己凭添了烦恼。在成功的历程中，总会遇到困难而需要别人 的帮助，要善于接受这些帮助，因为这也是你人生中的重要机会。但不要因为有人帮助就自己不去努力，别人只会帮助那些自己努力之后还做不到的人!惯性思维是导致你失败的罪 魁祸首，一定要学会创新，创新为你开辟一片新天地，有时换个角度思考，会让你找到新的机会。学会根据事态和环境的发展变化，随时调整你的目标，目标坚定是好事，但也不 能为了遥不可及的目标丧失其他的机会，正所谓识时务者为俊杰。别整天想着那些你用不着的机会，对你来说，能用到的机会才有价值，不能用到的机会就是别人的，别人赚的盆 满钵满也不要羡慕，如果整天想着不属于你的机会，你的生活将会很痛苦。有想法就要行动，哪怕失败告终，拖拉会让你丧失机会。想法只有化作行动，才有达成愿望的可能，否 则想法永远是想法。没有想法的人，不会成功，但只有想法没有行动的人，也不会有任何成就!在做任何事之前，必须有正确的方向，盲目地行动只会导致失败。正确的方向是成功 的前提，没有或迷失了方向，做事情就很难成功。做任何事，最重要的是让自己满意，一味地听取别人的意见，迎合别人，按别人的想法做事，最后吃亏的是自己。请记住，不管 做什么事，只要让自己满意，就是最大的成功!做人一定要诚信，靠欺诈能让你富一阵子，但绝对不会让你富一辈子，成功需要一些勇气和冒险精神，坦然面对人生，敢于冒险，面 对危险或困难时，越是害怕越是陷入危险中，无所畏惧才会有解决之道。世界上所有的奖励都是奖给功劳的，而不是苦劳，没有功劳，再多的苦劳没用，做一件事只有有了最后想 要的结果，过程才有意义，人们从来都是以成败论英雄的。无知并不可怕，可怕的是不懂装懂，对自己不懂或不擅长的事情，在行动之前一定要问清楚，不能盲目瞎干。懒惰是你 一生最大的敌人，靠勤劳比靠侥幸的得来的收益更能致富。付出什么你就得到什么，如果你付出的是最大的努力，你就可以获得最好的报酬。守信是你的资本：信任犹如一根钢丝， 一旦建立起来了，可以抵抗变故的拉扯，一旦折断了它，就很难再把它接上了。与人相处时，别人首先要信任你，才会真心地对待你，当别人觉得你不可靠时，快乐总和宽厚的人 相伴，财富总与诚信的人相伴，聪明总与高尚的人相伴，魅力总与幽默的人相伴，健康总与阔达的人相伴影响我们人生的绝不仅仅是环境，其实是心态在控制个人的行动和思想。 同时，心态也决定了一个人的视野和成就，甚至一生。无论你觉得自己多么了不起，也永远有人比更强;无论你觉得自己多么不幸，永远有人比你更不幸。也许有些路好走是条捷径， 也许有些路可以让你风光无限，也许有些路安稳又有后路，可是那些路的主角，都不是我。至少我会觉得，那些路不是自己想要的。在别人肆意说你的时候，问问自己，到底怕不 怕，输不输的起。不必害怕，不要后退，不须犹豫，难过的时候就一个人去看看这世界。多问问自己，你是不是已经为了梦想而竭尽全力了?人往往有时候为了争夺名利，有时驱车 去争，有时驱马去夺，想方设法，不遗余力。压力挑战，这一切消极的东西都是我进取成功的催化剂。真想干总会有办法，不想干总会有理由;面对困难，智者想尽千方百计，愚者 说尽千言万语;老实人不一定可靠，但可靠的必定是老实人;时间，抓起来是，抓不起来是流水。成功的道路上，肯定会有失败;对于失败，我们要正确地看待和对待，不怕失败者，则 必成功;怕失败者，一句简单的问候，是不简单的牵挂;一声平常的祝福，是不平常的感动;条消息送去的是无声的支持与鼓励，愿你永远坚强应对未来，胜利属于你!行为胜于言论， 对人微笑就是向人表明：我喜欢你，你使我快乐，我喜欢见到你。最值得欣赏的风景，就是自己奋斗的足迹。人生从来没有真正的绝境。无论遭受多少艰辛，无论经历多少苦难， 只要一个人的心中还怀着一粒信念的种子，那么总有一天，他就能走出困境，让生命重新开花结果。、出发，永远是最有意义的事，去做就是了。当一个人真正觉悟的一刻，就是 他放弃追寻外在世界的财富，开始追寻他内心世界的真正财富。幻想一步成功者突遭失败，会觉得浪费了时间，付出了精力，却认为没有任何收获;在失败面前，懦弱者痛苦迷茫， 彷徨畏缩;而强者却坚持不懈，紧追不舍。进步和成长的过程总是有许多的困难与坎坷的。有时我们是由于志向不明，没有明确的目的而碌碌无为。但是还有另外一种情况，是由于 我们自己的退缩，与自己“亲密”的妥协没有坚持到底的意志，才使得机会逝去，颗粒无收。任何人都不可以随随便便的成功，它来自完全的自我约束和坚韧不拔的毅力。永远别放弃 自己，哪怕所有人都放弃了你。每个人身上都有惰性和消极情绪，成功的人都是懂得管理自己的情绪和克服自己的惰性，并像太阳一样照亮身边的人，激励身边的人。你心里最崇 拜谁，不必变成那个人，而是用那个人的精神和方法，去变成你自己。
(2) y x3 1
例2：已知函数f (x) 3x 1 的反函数为y f 1(x)， 4x 2
求f 1(1 )的值. 2
课堂小结，升华概念
逆运算
加法
减法
乘法
除法
乘方
开方
指数
对数
D
A
y f (x)
x 逆对应 y x f 1( y)
课后练习，巩固概念
1.下列各图中，能成为某个具有反函数的函数y f (x)的图像为( )