第五章 2微积分基本公式
高数同济5.2微积分的基本公式
第五章
微积分的基本公式
一、引例 二、积分上限的函数及其导数 三、牛顿 – 莱布尼兹公式
一、引例
在变速直线运动中, 已知位置函数 之间有关系: 与速度函数
s(t ) v(t )
物体在时间间隔 内经过的路程为
T
T2
1
v(t ) d t s (T2 ) s (T1 )
这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .
刹车, 问从开始刹
)
刹车后汽车减速行驶 , 其速度为
当汽车停住时,
2 2
即
得
5 t2 2
故在这段时间内汽车所走的距离为
s v(t ) d t (10 5t ) d t 10 t
0 0
2 0 10 (m)
练习1 计算 2 1 sin 2 x dx .
0
例3.
证明
只要证
在 证:
内为单调递增函数 .
F ( x) 0
x 0
x f ( x) f (t ) d t f ( x) t f (t ) d t
0
x
0 f (t ) d t
x 2
2
f ( x) ( x t ) f (t ) d t
x
0 f (t ) d t
2
2 sin x cos x dx cos x sin x 02 0.
0
?
原式 2 sin x cos x dx
0 4 0
sin x cos x 0 cos x sin x 2
cos x sin x dx 2 sin x cos x dx
微积分基本公式
微积分公式D x sinh -1(ax)=221x a + cosh -1(ax)=221ax - tanh -1(a x)= 22a a x -coth -1(a x)=22a a x -- sech -1(a x )= 22x a x a -- csch -1(a x )=22xa x a+-⎰ sinh -1 x dx = x sinh -1 x-21x ++ C ⎰ cosh -1 x dx = x cosh -1 x-12-x + C⎰ tanh -1 x dx = x tanh -1 x+ ½ ln | 1-x 2|+ C ⎰ coth -1 x dx = x coth -1 x- ½ ln | 1-x 2|+ C⎰ sech -1 x dx = x sech -1 x- sin -1 x + C ⎰ csch -1 x dx = x csch -1 x+ sinh -1 x + Csin 3θ=3sin θ-4sin 3θ cos3θ=4cos 3θ-3cos θ →sin 3θ= ¼ (3sin θ-sin3θ) →cos 3θ=¼(3cos θ+cos3θ)sin x = j e e jx jx 2-- cos x = 2jxjx e e -+sinh x = 2x x e e -- cosh x = 2xx e e -+正弦定理:αsin a= βsin b =γsin c =2R余弦定理: a 2=b 2+c 2-2bc cos αb 2=a 2+c 2-2ac cos βc 2=a 2+b 2-2ab cos γsin (α±β)=sin α cos β ± cos α sin β cos (α±β)=cos α cos β μsin α sin β 2 sin α cos β = sin (α+β) + sin (α-β) 2 cos α sin β = sin (α+β) - sin (α-β) 2 cos α cos β = cos (α-β) + cos (α+β) 2 sin α sin β = cos (α-β) - cos (α+β)sin α + sin β = 2 sin ½(α+β) cos ½(α-β)sin α - sin β = 2 cos ½(α+β) sin ½(α-β) cos α + cos β = 2 cos ½(α+β) cos ½(α-β) cos α - cos β = -2 sin ½(α+β) sin ½(α-β) tan (α±β)=βαβαtan tan tan tan μ±, cot (α±β)=βαβαcot cot cot cot ±μe x=1+x+!22x +!33x +…+!n x n+ …sin x = x-!33x +!55x -!77x +…+)!12()1(12+-+n x n n + …cos x = 1-!22x +!44x -!66x +…+)!2()1(2n x n n -+ …ln (1+x) = x-22x +33x -44x +…+)!1()1(1+-+n x n n + …tan -1x = x-33x +55x -77x +…+)12()1(12+-+n x n n + …(1+x)r=1+r x+!2)1(-r r x 2+!3)2)(1(--r r r x 3+… -1<x<1 ∑=ni 11= n∑=ni i 1= ½n (n +1)∑=ni i 12=61n (n +1)(2n +1) ∑=ni i13= [½n (n +1)]2Γ(x) =⎰∞t x-1e -t d t = 2⎰∞t 2x-12t e -d t =⎰∞)1(ln tx-1 d t β(m , n ) =⎰10x m -1(1-x)n -1 d x =2⎰20sin π2m -1x cos 2n -1x d x=⎰∞+-+01)1(nm m x x d x 希腊字母 (Greek Alphabets)大写小写读音 大写 小写读音 大写 小写读音 Α α alpha Ι ι iota Ρ ρrhoΒ β beta Κ κ kappa Σ σ, ς sigmaΓ γ gamma Λ λ lambda Τ τtau Δ δ delta Μ μ mu Υ υ upsilonΕ ε epsilon Ν ν nu Φ φphi ΖζzetaΞξxiΧχkhi a bcαβγ R倒数关系: sin θcsc θ=1; tan θcot θ=1; cos θsec θ=1 商数关系: tan θ=θθcos sin ; cot θ= θθsin cos 平方关系: cos 2θ+ sin 2θ=1; tan 2θ+ 1= sec 2θ; 1+ cot 2θ= csc 2θ順位低順位高; ⎰ 顺位高d 顺位低 ;1 000 000 000 000 000 000 000 000 10 yotta Y 1 000 000 000 000 000 000 000 1021 zetta Z1 000 000 000 000 000 000 1018 exa E1 000 000 000 000 000 1015 peta P1 000 000 000 000 1012 tera T 兆1 000 000 000 109 giga G 十亿1 000 000 106 mega M 百万1 000 103 kilo K 千100 102 hecto H 百10 101 deca D 十0、1 10-1 deci d 分,十分之一0、01 10-2 centi c 厘(或写作「厘」),百分之一0、001 10-3 milli m 毫,千分之一0、000 001 10-6 micro ? 微,百万分之一0、000 000 001 10-9 nano n 奈,十亿分之一0、000 000 000 001 10-12 pico p 皮,兆分之一0、000 000 000 000 001 10-15 femto f 飞(或作「费」),千兆分之一0、000 000 000 000 000 001 10-18 atto a 阿0、000 000 000 000 000 000 001 10-21 zepto z0、000 000 000 000 000 000 000 001 10-24 yocto y。
微积分基本公式16个
微积分基本公式16个1. 微分：微分是数学中最重要的概念之一，它指的是在一定时间内几何形状的变化率。
可以理解为小步长地移动拟合函数，接近曲线本身。
可以表示为\frac{dy}{dx} 或f'(x) 。
2. 泰勒公式：泰勒公式是一个重要的微积分工具，它可以在某一特定点附近对任意连续函数进行展开，也就是说任意设定一个位置x0，可以根据它附近的数值向量求出函数在该位置的平均值。
可以用公式表示为：f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)(x-x_0)^2}{2!} + \frac{f^{n}(x_0)(x-x_0)^n}{n!} + ...3. 高斯积分公式：高斯积分是指将函数抽象为一次多项式曲线，采用指数型或线性型积分方法求解积分。
它可以用公式f(x)=\sum_{i=0}^n a_i x^i 表示，其中a_i为积分下限、上限和积分点x_i处函数值相乘所得到的系数。
4. 黎曼积分：黎曼积分是一种常用的积分方法，它通过对连续函数求和，来确定函数在给定区间上的定积分。
可以用公式表示为：\int_{a}^{b}f(x)dx=\sum_{i=1}^{n}f(x_i)\Delta x_i ,其中n为梯形的节点数。
5. Stokes公式：Stokes公式是一种将多变量函数投影到多方向进行积分的方法，可以用公式表示为：\int_{\Omega}\nabla\times{\bf F} dA =\int_{\partial\Omega}{\bf F}\cdot{\bf n}dS，其中\nabla\times{\bf F} 为梯度矢量场，\partial\Omega 为边界，{\bfn}dS 为单位向量与边界面积的乘积。
6. Γ函数：Γ函数是一种重要的数学函数，通常用来表示非负整数的排列组合，也可以表示实数的阶乘，可以用公式表示为：\Gamma(x)=\int_0^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dt7. 方阵的行列式：方阵的行列式是指一个n阶矩阵的行列式，可以用公式表示为：D= |a_{i,j}| = \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & ... & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & ... & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & a_{n,2} & ... & a_{n,n} \end{vmatrix} ，其中a_{i,j} 为矩阵中的元素。
微积分基本公式(打印)
一、引例
在变速直线运动中, 已知位置函数 与速度函数
则物体在时间间隔
内经过的位移为
T2 v(t) dt T1
s(T2 ) s(T1)
在这里s(t)是v(t)的原函数，即 s(t) v(t)
这种定积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .
二、积分上限的函数及其导数
定理1. 若
x
的面积 .
解:
A 0 sin x dx
cos x 2.
0
y y sin x
o
x
例5. 汽车以每小时 36 km 的速度行驶 ,到某处需要减
速停车, 设汽车以等加速度
刹车, 问从开始刹
车到停车走了多少距离?
解: 设开始刹车时刻为
m g(x) ≤f(x) g(x)≤M g(x)
在[a,b]上积分得,
m
b
g dx
b
f g dx M
b
g dx
b
a
a
a
m a f g dx M
b
a g dx
b
f (x)g(x)d x
m a b
M
a g(x)d x
b
f (x)g(x)d x
由介值定理得, [a,b], 使得 f ( ) a b
a
连续函数在区间上的平均值公式
b
f ( ) a f (x)dx ba
注: [a,b] 可进一步修改为 (a,b) (证明见§5.2)
1. P235 题4 2. P236 题13 (4)
题13(4) 解: 设 f (x) x ln(1 x)C[0,1],
f
微积分的基本公式
微积分的基本公式共有四大公式: 1.牛顿-莱布尼茨公式，又称为微积分基本公式 2.格林公式，把封闭的曲线积分化为区域内的二重积分，它是平面向量场散度的二重积分 3.高斯公式，把曲面积分化为区域内的三重积分，它是平面向量场散度的三重积分4.斯托克斯公式，与旋度有关这四大公式构成了经典微积分学教程的骨干，可以说起到提纲挈领的作用，其实如果你学习了外代数，又称为格拉斯曼grassmann代数,用外微分的形式来表达，四个公式就是一个公式，具有统一的形式，其余的导数公式，积分公式，罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理，泰勒级数、麦克劳林展开式，当然也是基石了。
微积分基本公式和基本定理
x
sec2
xdx
tan
x
C
(9)
d sin
x
2
x
csc 2
xdx
cot
x
C
(10) sec x tan xdx sec x C
(11) csc x cot xdx csc x C
(12) ex dx ex C (13) a xdx a x C
ln a
(14) sh xdx ch x C
2
xdx.
2
2
0
0
例9
证
明2 e
1 4
2 e x2 xdx 2e2 .
0
第二节
第三章
微积分基本公式与基本定理
一、微积分基本公式 二、微积分基本定理 三、不定积分
一、微积分基本公式
在变速直线运动中, s(t) v(t) 物体在时间间隔
内经过的路程为 vT2 (t)d t s(T2 ) s(T1 ) T1
例10
1 et2 dt
求
lim
x0
cos x
x2
.
解 d 1 et2dt d cos x et2dt,
dx cos x
dx 1
ecos2 x (cos x) sin x ecos2 x ,
1 et2 dt
lim
x0
cos x
x2
lim sin x ecos2 x
x0
2x
1. 2e
ln
x
C
x 0时 ( ln x ) [ ln(x) ] 1
(4)
1
dx x
2
arctan
x
C
x
或 arccot x C
§5、2 微积分基本公式
x
= ∫ f (t )dt ．
0
x
定理 1 指出了一个重要结论：连续函数 f ( x) 取变上限 x 的定积分然后求导，其结果还 原为 f ( x) 本身．联想到原函数的定义，就可以从定理 1 推知 Φ ( x) 就是连续函数 f ( x) 的一 个原函数．因此，可得不定积分概念那一节未证的原函数的存在定理．
s(T1) T1
∫T1 v ( t ) d t = s = s ( T 2 ) − s ( T1 ) 6 447 4 4 8
s(T2) T2
T2
s t
隔 [T1 , T2 ] 内经过的路程 s 可以用速度函数 v(t ) 在 [T1 , T2 ] 上的定积分来表达：
s = ∫ v(t )dt ；
T1
f ( x) 在部分区间 [a, x] 上的定积分
∫
x a
f ( x)dx
y
在几何上表示如图所示曲边梯形的面积 Ax ． 这里， 记号 x 既表示定积分的上限，又表示积分变量．因为定积分与积 分变量的记法无关，所以，为了明确起见，我们把积分变 量改用其他符号，例如用 t 表示，则上面的定积分可以写 成
a ∆
x
一的值与之对应．因此，
Φ ( x) = ∫ f (t )dt (a ≤ x ≤ b)
a
x
为上限 x 的函数． 为了几何直观表述积分上限的函数，上面我们对被积函数 f ( x) 作了非负、连续的假 设．实际上，此条件减弱为可积即可．一般地，我们有如下定义．
定义 设 f ( x) 在 [a, b] 上可积，则
注： （1）设 f ( x) 连续， g ( x) 、 h( x) 均可导， a 为常数，则 ① ②
d g ( x) f (t )dt = f [ g ( x)] ⋅ g ′( x) ； dx ∫ a d g ( x) f (t )dt = f [ g ( x)] ⋅ g ′( x) − f [h( x)] ⋅ h′( x) ． dx ∫ h ( x )
微积分基本公式ppt课件
温度与热量，熵与绝热过程，热力学第二定律
微积分在经济中的应用实例
01
总结词
边际分析，最优化问题，经济增长 模型
最优化问题
最大利润，最小成本，最优解
03
02
边际分析
边际成本，边际收益，边际利润
经济增长模型
索洛模型，哈罗德-多马模型，内生 增长模型
04
THANKS
感谢观看
微积分基本公式的应用实例
总结词
微积分基本公式在解决实际问题中有着广泛 的应用，例如求解变速直线运动的位移、求 解曲线的面积等。
详细描述
通过微积分基本公式，我们可以求解变速直 线运动的位移。例如，假设一个物体以速度 v(t)运动，那么物体在时间t到时间t+Δt之间 的位移就是∫(v(t)dt)，通过微积分基本公式 可以求得该物体的位移。此外，微积分基本 公式还可以用于求解曲线的面积，例如求解
要点二
高阶导数的几何意义
掌握高阶导数的计算方法，例如利用莱布尼茨公式计算二 阶、三阶等高阶导数。
理解高阶导数在几何上的意义，例如二阶导数表示曲线的 凹凸性，三阶导数表示曲线的拐点等。
05
定积分的计算
定积分的计算方法与技巧
积分公式
掌握积分公式是进行定积分计算的基础，包括 幂函数的积分公式、三角函数的积分公式等。
微积分基本公式
微积分基本公式的内容与证明
总结词
微积分基本公式是微积分学的基础，它描述 了函数在某一点处的导数与该函数在该点附 近的变化率之间的关系。
详细描述
微积分基本公式通常表示为∫(f'(x))dx = f(b) - f(a)，其中∫代表积分，f'(x)代表函数f 在点x处的导数，b和a分别代表积分的上限 和下限。这个公式在理解函数的积分和导数 之间关系上起着关键作用。
(5.2) 第二节 微积分基本公式(少学时简约版)
就是 f( x )在区间[ a ,b ]上的一个原函数。
(3) 积分上限函数的性质的应用
例：设 f( x )在[ 0 ,+ )上连续，且满足
x21xftdtx,求 : f2. 0
从一般性的角度考虑，为求 f( 2 )需知 f( x )的
表达式，为此需解给定的积分方程。 解积分方程通常就是设法消去方程中的积分记号。
lim x 1. x x0
有了变上限函数的概念及对原函数结构的认识，便 可方便地证明最初的猜测，即定积分这样复杂的和式极 限可归结为它的一个原函数在积分区间上增量的计算。
定理 3 牛顿－莱布尼兹公式 如果函数 F( x )是连续函数 f( x )在区间[ a ,b ]上的
一个原函数，则有
bfxdxFbFa. a
a
a
即有 S ta tv td t S a l i m 0 i n 1 v iti S a .
由归纳法可猜测，f( x )的原函数的结构应是一个 复杂的和式极限，其一般形式应为
F xa xfxdxli m 0 i n 1fi xi.
与熟悉的初等函数相比，这是一种相对复杂的函数
形式。为证明上述猜测，需验证对此函数形式有
x l x i m 0 x x l x i m 0 f l i m x f f x .
即证得当 x ( a,b )时有
xd d xa xftdtfx.
定理 2 连续函数的原函数的存在性
若 f( x )在区间[ a ,b ]上连续，则
x
x
f tdt
a
构造变上限辅助函数进行证明
构造辅助函数 xa xftdt,x a,b.
由于函数 f( x )在区间[a ,b]上连续，故其在区间
微积分的基本公式一定看精心整理
微积分的基本公式一定看精心整理微积分是数学的一个重要分支，研究变化的量与变化率，并通过极限、导数和积分等概念来描述和计算。
一、导数的求法公式1.基本导数公式：（1）常数函数的导数为0。
（2）幂函数的导数：设y=x^n，则y'=n*x^(n-1)。
（3）指数函数的导数：设y=a^x，则y' = ln(a) * a^x。
（4）对数函数的导数：设y=log_a(x)，则y' = 1 / (x * ln(a))。
2.基本求导法则：（1）和差法则：设f(x)和g(x)是可导函数，则(f+g)'=f'+g'，(f-g)'=f'-g'。
（2）常数倍法则：设f(x)是可导函数，c是常数，则(c*f)'=c*f'。
（3）乘积法则：设f(x)和g(x)是可导函数，则(f*g)'=f'*g+f*g'。
（4）商法则：设f(x)和g(x)是可导函数，且g(x)≠0，则(f/g)'=(f'*g-f*g')/g^2（5）复合函数法则：设f(x)和g(x)是可导函数，则(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)。
二、常见函数的积分公式1.基本积分公式：（1）幂函数的积分：设n≠-1，则∫x^n dx = (1/(n+1)) * x^(n+1) + C，其中C为常数。
（2）指数函数的积分：∫e^x dx = e^x + C，其中C为常数。
（3）对数函数的积分：∫(1/x) dx = ln，x， + C，其中C为常数。
2.基本初等函数的积分：（1）正弦函数与余弦函数的积分：∫sin(x) dx = -cos(x) + C，∫cos(x) dx = sin(x) + C，其中C为常数。
（2）正切函数的积分：∫tan(x) dx = ln，sec(x)， + C，其中C为常数。
5.2 微积分基本公式
例5 求
∫1 e−t2 dt
lim cos x
.
x→0
x2
作业 习题二十九: 二（1, 4），四，六
数
两者有何 关系呢？
如何研究？？
x
∫a f ( x)dx
x
∫a f (t)dt
积分上限函数
一、积分上限函数及其导数
设 f (x) 在区间 [ a , b ] 上连续，x 为区间 [ a , b ]
内的问任题意：一积点分，上则限f函(x数) 在Φ([xa)是, x否]可上导也？连若续能，，其
∫ ∫ 考察导积数分等于什么？x f ( x)d x =
2
32
2
= 2+π3 −π .
∫ 24 2 π 2 (2cos x + x2 − 1)dx 0
= [2sin x +
x3 3
−
π
x]02
= 2+π3 −π .
24 2
例3
求
3
∫−1 | 2 − x |d x
例3
求
3
∫−1 | 2 − x |d x
解：先去被积函数中的绝对值
|2−
x
|=
2− x−
F(b) − F(a)
二、牛顿 － 莱布尼兹公式
定理3 设函数 f (x) 在 区间 [ a , b ] 上连续， F(x) 是 f (x) 在 [ a , b ] 上的一个原函数，则
b
∫a
f (x)d x
= F(b) − F(a)
记为
=
[F
(
x
)]
b a
（1）
公式（1）称为牛顿—莱布尼茨公式(微积分基本公式)
高等数学 第五章 定积分 第二节 微积分基本公式
b
1 b ∴ m≤ ∫a f ( x )dx ≤ M ba
由闭区间上连续函数的介值定理知
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在区间[a , b]上至少存在一个点ξ ,
使 即
1 b f (ξ ) = ∫a f ( x )dx , ba
f (ξ )(b a ) . (a ≤ ξ ≤ b ) 积分中值公式的几何解释:
b
∫a g ( x )dx .
b
(a < b)
证
∵ f ( x ) ≤ g ( x ),
∴ g ( x ) f ( x ) ≥ 0,
∴
∫a [ g( x ) f ( x )]dx ≥ 0, b b ∫a g( x )dx ∫a f ( x )dx ≥ 0,
b
于是
∫a f ( x )dx ≤ ∫a g( x )dx .
b
(此性质可以推广到有限多个函数作和的情况)
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性质2 证
b
∫a kf ( x )dx = k ∫a f ( x )dx
∫a kf ( x )dx = lim ∑ kf (ξ i )xi λ → 0 i =1
n
b
b
( k 为常数).
= lim k ∑ f (ξ i )xi = k lim ∑ f (ξ i )xi
b
∑ f ( ξ i ) x i ≥ 0, i =1
n
∴ lim ∑ f (ξ i )xi = ∫ f ( x )dx ≥ 0. a λ →0
i =1
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结束
例 1 比较积分值 ∫0 e dx 和 ∫0 xdx 的大小.
x
2
第二节 微积分基本公式
d α( x) ∫a f (t ) dt = f [α ( x )] ⋅ α ′( x ) . dx
证 设 Φ( x) =
∫
x
a
则 f (t )dt ， ∫a
α ( x)
f (t) dt = Φ[α(x)]，
d α ( x) 所以 ∫a f (t ) dt = Φ′[α( x)]⋅α′( x) = f [α ( x )] ⋅ α ′( x ) . dx
例2 设 f ( x ) 为连续函数, F ( x ) = 为连续函数,
∫
ln x 1 x
f ( t ) dt , 则
1 1 1 F ′( x ) = f (ln x ) ⋅ ( ) − f ( ) ⋅ ( − 2 ) x x x
1 1 1 = f (ln x ) + 2 f ( ) . x x x
1 0
F (1) = 1 − ∫ f ( t ) dt = ∫ [1 − f ( t )] dt > 0, 0
由零点定理可知， 由零点定理可知，F (x) 在 (0,1) 内至少有一个零点； 内至少有一个零点； 另一方面，Q f ( x ) < 1, ∴ F ′( x ) = 2 − f ( x ) > 0 , 另一方面，
上连续， 且 例6 设 f ( x ) 在 [0,1] 上连续， f ( x ) < 1 .证明方程
2 x − ∫ f ( t ) dt = 1 在 [0,1] 上只有一个实根 .
0
x
证
令 F ( x) = 2 x −
1
∫
x 0
f ( t ) dt − 1 , F ( 0 ) = − 1 < 0 ,
微积分基本公式中的c
微积分基本公式中的c摘要：一、引言二、微积分基本公式简介1.微积分基本公式2.公式中的c 的含义三、c 在微积分中的应用1.导数计算2.积分计算四、c 在实际问题中的应用1.物体运动问题2.经济学问题五、结论正文：一、引言微积分是数学中一个重要的分支，其中的基本公式更是基石一般的存在。
在微积分基本公式中，有一个参数c，它的作用是什么？又能带来哪些应用呢？二、微积分基本公式简介1.微积分基本公式微积分基本公式是微积分中最基础的公式，它将导数和积分联系起来，是微积分理论的基石。
公式如下：$$int u dv = uv - int v du$$2.公式中的c 的含义在微积分基本公式中，c 是一个常数，代表积分的常数项。
三、c 在微积分中的应用1.导数计算在导数计算中，c 经常作为自然对数的底数，即c=e，用于计算各种函数的导数。
例如，对于函数f(x)=ln(x+c)，其导数就是1/(x+c)。
2.积分计算在积分计算中，c 常常作为积分常数项，用于抵消积分中的常数项。
例如，对于函数f(x)=x^2+c，其不定积分就是x^3/3+cx^2/2+x+c。
四、c 在实际问题中的应用1.物体运动问题在物体运动问题中，c 常常代表物体的初速度。
例如，对于匀加速直线运动的物体，其位移公式s=ut+1/2at^2 中的c 就是初速度。
2.经济学问题在经济学中，c 常常代表企业的资本成本。
例如，在计算企业的总成本时，c 就是资本成本，是企业生产成本的重要组成部分。
五、结论总的来说，c 在微积分中起着至关重要的作用。
它既是导数计算中的底数，也是积分计算中的常数项。
同时，c 在实际问题中的应用也说明了其在现实世界中的重要性。
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在上一节我们已经看到， 在上一节我们已经看到，直接用定义 计算定积分是十分繁难的， 计算定积分是十分繁难的，因此我们期 望寻求一种计算定积分的简便而又一般 的方法。 的方法。我们将会发现定积分与不定积 分之间有着十分密切的联系， 分之间有着十分密切的联系，从而可以 利用不定积分来计算定积分。 利用不定积分来计算定积分。
定理2（原函数存在定理） 定理2 原函数存在定理）
上连续， 如果 f ( x ) 在[a , b]上连续，则积分上限的函 数 Φ( x ) = ∫a f ( t )dt 就是 f ( x ) 在[a , b] 上的一个 原函数. 原函数.
定理的重要意义： 定理的重要意义： （1）肯定了连续函数的原函数是存在的 ）肯定了连续函数的原函数是存在的. （2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之 ） 间的联系. 间的联系
a b
例4
求
∫0 (2cos x + sin x − 1)dx.
π
2
π 2
解 原式 = [2 sin x − cos x − x ]0
π = 3− . 2
2 2x 0 ≤ x ≤ 1 , 求 ∫0 f ( x)dx. 例5 设 f ( x) = 5 1 < x ≤ 2
解
∫0 ( x )dx + ∫1 f ( x )dx
−1
例 8 计算曲线 y = sin x在[0, π]上与 x轴所围 成的平面图形的面积. 成的平面图形的面积
解 面积 A = ∫0 sin xdx
π 0
π
y
= [− cos x ] = 2.
o
π
x
四、小结
1.积分上限函数 Φ( x ) = ∫a f ( t )dt 积分上限函数 2.积分上限函数的导数 Φ′( x ) = f ( x ) 积分上限函数的导数 3.微积分基本公式 微积分基本公式
x
积分上限函数的性质
定理１ 上连续， 定理１ 如果 f ( x ) 在[a , b]上连续，则积分上限的函 上具有导数， 数 Φ( x ) = ∫a f ( t )dt 在[a , b]上具有导数 ， 且它的导
x
d x 数是 Φ ′( x ) = ∫a f ( t )dt = f ( x ) dx y
∫T
T2
1
v ( t )dt
另一方面这段路程可表示为 s(T2 ) − s(T1 )
∴ ∫ v ( t )dt = s(T2 ) − s(T1 ).
T1
T2
其中 s′( t ) = v ( t ).
二、积分上限函数及其导数
上连续， 设函数 f ( x ) 在区间[a , b ] 上连续 ， 并且设 x 上的一点， 为[a , b ]上的一点， 考察定积分
(1) 一个连续函数在区间[a , b]上的定积分等于 一个连续函数在区间 连续函数 它在该区间上的任意一个原函数 该区间上的任意一个原函数在区间 它在该区间上的任意一个原函数在区间[a , b]上的 增量. 增量 公式揭示了积分学两类基本问题—— （2） N-L公式揭示了积分学两类基本问题 ） 公式揭示了积分学两类基本问题 不定积分与定积分两者之间的内在联系
一、问题的提出
变速直线运动中位置函数与速度函数的联系
设某物体作直线运动， 设某物体作直线运动，已知速度 v = v (t )是时 的一个连续函数， 间间隔[T1 , T2 ]上 t 的一个连续函数，且 v ( t ) ≥ 0 ，求物体在这段时间内所经过的路程 求物体在这段时间内所经过的路程.
变速直线运动中路程为
x
三、Newton-Leibniz公式 公式
前述变速直线运动的路程问题表明： 前述变速直线运动的路程问题表明： 定积分的值等于被积函数的一个原函数 在时间区间上的增量， 在时间区间上的增量，这个事实启发我 们去考察一般的情况，得到肯定的回答。 们去考察一般的情况，得到肯定的回答。 这就是微积分基本公式。 这就是微积分基本公式。 微积分基本公式） 定理 3（微积分基本公式）
∫ f (t )dt] = f [a( x)]a′( x) a
f (t )dt 的导数F ′(x)为
一般情况 如果 f (t )连续，a(x)、b(x) 可导， 连续， 可导，
b( x ) a( x )
d b( x) F′( x) = ∫ f (t )dt = f [b( x)]b′( x) − f [a( x)]a′( x) dx a( x)
∫a
x
f ( x )dx
= ∫ f (t )dt
a
x
上任意变动， 如果上限 x 在区间[a , b ]上任意变动，则对于 定积分有一个对应值， 每一个取定的 x 值，定积分有一个对应值，所以 上定义了一个函数， 它在[a , b ]上定义了一个函数，
记
Φ( x ) = ∫a f ( t )dt . 积分上限函数
（3）求定积分问题转化为求原函数的问题 ）求定积分问题转化为求原函数的问题. （4） 为定积分的计算提供了一个普遍、有效而又 ） 为定积分的计算提供了一个普遍、 简便的方法，使得定积分的计算大为简化。 简便的方法，使得定积分的计算大为简化。 注意
仍成立. 当a > b 时， ∫ f ( x )dx = F ( b ) − F ( a ) 仍成立
如果 F ( x ) 是连续函数 f ( x ) 在区间[a , b]上 的一个原函数， 的一个原函数，则 ∫a f ( x )dx = F ( b ) − F ( a ) .
b
∫a f ( x)dx = F(b) − F(a) = [F( x)]
b
b a
注
微积分基本公式表明： 微积分基本公式表明：
x
∫a f ( x )dx = F (b) − F (a )
b
牛顿－ 牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学 之间的关系．称之为微积分基本公式。 之间的关系．称之为微积分基本公式。 使用公式的条件（ ） 注意 使用公式的条件（1）被积函数 f(x) 连续 （2）F（x）是 f(x) 在 该区间上的任一原函数 ） （
(a ≤ x ≤ b)
Φ(x)
o
a
x
x + ∆x b
x
注
此定理表明连续函数取变上限定积分再对 求导， 上限自变量 x 求导，其结果就等于被积 函数在上限自变量 x 处的函数值
若上限不是 x 而是 x 的函数 a(x)， ， 则求导时必须按复合函数的求导法则进行
d [ dx
则F ( x) = ∫
a( x )
1
2
y
在[1,2]上规定当 x = 1时， f ( x ) = 5 ,
原式 = ∫ 2 xdx + ∫ 5dx = 6 0 1
1
2
o
1
2
x
1 例7 求 ∫ dx. −2 x 1 解 当 x < 0 时， 的一个原函数是ln | x |, x −1 1 dx = [ln | x |]−1 ∫−2 x −2 = ln 1 − ln 2 = − ln 2.