2021年新高考专用版数学：一轮复习测评试卷-06 等比数列(学生版)

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2020届高三(文理)数学一轮复习《等比数列及前n项和》专题测试(学生版)

《等比数列及其前n 项和》专题题型一等比数列基本量的运算 1、在等比数列{a n }中，如果a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，那么这个数列的公比为2、已知S n 是各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和，若a 2·a 4＝16，S 3＝7，则a 8＝3、在等比数列{a n }中，a 1＝2，公比q ＝2，若a m ＝a 1a 2a 3a 4(m ∈N ＋)，则m ＝4、在等比数列{a n }中，已知a 3＝6，a 3＋a 5＋a 7＝78，则a 5＝5、在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和．若S n ＝126，则n ＝________．6、等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝7、设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，则a 4＝8、在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为9、设{a n }是公比为正数的等比数列，S n 为{a n }的前n 项和，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }的前7项和为10、已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 5·a 7＝4a 24，a 2＝1，则a 1＝11、等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列，若a 1＝1，则S 4＝12、已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝13、在等比数列{a n }中，S n 表示前n 项和，若a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1，则公比q 等于________．14、在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________．15、已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2等于 16、等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n ，已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________． 17、若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝m ·5n ＋1，则实数m ＝________．18、已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝3S 2，a 3＝2，则a 7＝________.19、已知等比数列{a n }满足a 1＝1，a 3a 7＝16，则该数列的公比为20、已知递增的等比数列{a n }中，a 2＝6，a 1＋1，a 2＋2，a 3成等差数列，则该数列的前6项和S 6等于21、已知等比数列{a n }的公比为－2，且S n 为其前n 项和，则S 4S 2等于22、数列{a n }中，已知对任意n ∈N ＋，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n等于23、已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2 018，a 2＋a 4＝－2a 3，则S 2 019＝________.24、已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 1＝12，且a 2a 8＝2a 5＋3，则a 9＝________. 25、设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3a 11＝2a 25，且S 4＋S 12＝λS 8，则λ＝________.26、等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3.(1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和，若S m ＝63，求m .题型二等比数列的性质类型一等比数列项的性质1、已知各项不为0的等差数列{a n }满足a 6－a 27＋a 8＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 2b 8b 11＝2、在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n 等于3、等比数列{a n }各项均为正数，a 3a 8＋a 4a 7＝18，则1＋2＋…＋10＝ _____4、已知数列{a n }为等比数列，若a 4＋a 6＝10，则a 7(a 1＋2a 3)＋a 3a 9的值为5、等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________.6、等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＞0，q ＞1，a 3＋a 5＝20，a 2a 6＝64，则S 5＝________.7、在等比数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，则a 2a 16a 9的值为 8、已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.9、递增的等比数列{a n }中，已知a 1＋a n ＝34，a 3·a n －2＝64，前n 项和S n ＝42，则n 等于类型二等比数列前n 项和的性质1、设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝ 2、设各项都是正数的等比数列{a n }，S n 为前n 项和，且S 10＝10，S 30＝70，那么S 40等于3、设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 4S 2＝3，则S 6S 4＝________． 4、已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＋a 6＝8，则S 12等于5、设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 2＝－1，S 4＝－5，则S 6等于6、已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3S 6＝89，则a n ＋1a n －a n －1＝________(n ≥2，且n ∈N). 题型三等比数列的判定与证明1、已知数列{a n }满足对任意的正整数n ，均有a n ＋1＝5a n －2·3n ，且a 1＝8.(1)证明：数列{a n －3n }为等比数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝a n 3n ，求数列{b n }的前n 项和T n .2、设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2.设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列；3、已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n ＋a n ＋12，n ∈N ＋. (1)令b n ＝a n ＋1－a n ，证明：{b n }是等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式.题型四等差、等比数列的综合问题1、在等比数列{a n }中，a 2＝3，a 5＝81.(1)求a n ；(2)设b n ＝log 3a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .2、设数列{a n }(n ＝1,2,3，…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ，求使得|T n －1|＜11 000成立的n 的最小值．3、在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝n ＋12n a n(n ∈N ＋)． (1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝a n 4n －a n，若数列{b n }的前n 项和是T n ，求证：T n <2．。

2021年高考数学一轮复习数列备考试题

2021年高考数学一轮复习数列备考试题一、填空题1、（xx年江苏高考）在各项均为正数的等比数列中，若，，则的值是▲2、（xx年江苏高考）在正项等比数列中，，，则满足的最大正整数的值为。

3、（xx年江苏高考）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是▲ ．4、（xx届江苏南京高三9月调研）记数列{a n}的前n项和为S n．若a1＝1，S n＝2(a1＋a)(n≥2，n∈N*)，则S n＝▲n5、（xx届江苏南通市直中学高三9月调研）已知等比数列的前项和为，且，则数列的公比为▲6、（xx届江苏苏州高三9月调研）已知等比数列的各项均为正数则▲7、（南京市xx届高三第三次模拟）已知数列{a n}满足a n＝a n－1－a n－2(n≥3，n∈N*)，它的前n项和为S n．若S9＝6，S10＝5，则a1的值为▲8、（南通市xx届高三第三次调研）设数列{a n}为等差数列，数列{b n}为等比数列．若，，且，则数列{b n}的公比为▲．9、（苏锡常镇四市xx届高三5月调研（二））已知S n为等差数列{a n}的前n项和，a1 = 1，S3 = 6，则S6 = ▲10、（徐州市xx届高三第三次模拟）在等比数列中，已知，．设为该数列的前项和，为数列的前项和．若，则实数的值为▲11、（南京、盐城市xx 届高三第二次模拟（淮安三模））已知等差数列{a n }的公差d不为0，且a 1，a 3，a 7成等比数列，则a 1d的值为 ▲二、解答题 1、（xx 年江苏高考）设数列{}的前n 项和为.若对任意的正整数n,总存在正整数m,使得，则称{}是“H 数列。

”（1）若数列{}的前n 项和=（n ），证明：{}是“H 数列”；（2）设数列{}是等差数列，其首项=1.公差d0.若{}是“H 数列”，求d 的值；（3）证明：对任意的等差数列{}，总存在两个“H 数列” {} 和{}，使得=（n ）成立。

2021-2022年高三数学一轮复习专项训练等差、等比综合问题(含解析)

2021年高三数学一轮复习专项训练等差、等比综合问题（含解析）1、已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＝25，且a 1，a 11，a 13成等比数列．(1)求{a n }的通项公式；(2)求a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.解 (1)设{a n }的公差为d .由题意，得a 211＝a 1a 13，即(a 1＋10d )2＝a 1(a 1＋12d )．于是d (2a 1＋25d )＝0.又a 1＝25，所以d ＝－2或0(舍去)．故a n ＝－2n ＋27.(2)令S n ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.由(1)知a 3n －2＝－6n ＋31，故{a 3n －2}是首项为25，公差为－6的等差数列．从而S n ＝n 2(a 1＋a 3n －2)＝n 2(－6n ＋56)＝－3n 2＋28n . 2、已知数列{a n }是公差为2的等差数列，它的前n 项和为S n ，且a 1＋1，a 3＋1，a 7＋1成等比数列．(1)求{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1S n 的前n 项和T n .解 (1)由题意，得a 3＋1＝a 1＋5，a 7＋1＝a 1＋13，所以由(a 3＋1)2＝(a 1＋1)·(a 7＋1)得(a 1＋5)2＝(a 1＋1)·(a 1＋13)解得a 1＝3，所以a n ＝3＋2(n －1)，即a n ＝2n ＋1.(2)由(1)知a n ＝2n ＋1，则S n ＝n (n ＋2)， 1S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2， T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2 ＝34－2n ＋32n ＋1n ＋2. 考点二：数列与函数、不等式的综合应用1、设数列{a n }满足a 1＝2，a 2＋a 4＝8，且对任意n ∈N *，函数f (x )＝(a n －a n ＋1＋a n ＋2)x ＋a n ＋1cos x－a n ＋2sin x 满足f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝，求数列{b n }的前n 项和S n .解 (1)由题设可得，对任意n ∈N *，f ′(x )＝a n －a n ＋1＋a n ＋2－a n ＋1sin x －a n ＋2cos x .f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝a n －a n ＋1＋a n ＋2－a n ＋1＝0，即a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1，故{a n }为等差数列．由a 1＝2，a 2＋a 4＝8，解得数列{a n }的公差d ＝1，所以a n ＝2＋1·(n －1)＝n ＋1.(2)由b n ＝＝2⎝⎛⎭⎪⎫n ＋1＋12n ＋1＝2n ＋12n ＋2，知S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝2n ＋2·n n ＋12＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝n 2＋3n ＋1－12n . 2、已知正项数列{a n }的首项a 1＝1，前n 项和S n 满足a n ＝S n ＋S n －1(n ≥2)．(1)求证：{S n }为等差数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)记数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1的前n 项和为T n ，若对任意的n ∈N *，不等式4T n ＜a 2－a 恒成立，求实数a 的取值范围．解 (1)因为a n ＝S n ＋S n －1，所以S n －S n －1＝S n ＋S n －1，即S n －S n －1＝1，所以数列{S n }是首项为1，公差为1的等差数列，得S n ＝n ，所以a n ＝S n ＋S n －1＝n ＋(n －1)＝2n －1(n ≥2)，当n ＝1时，a 1＝1也适合，所以a n ＝2n －1.(2)因为1a n a n ＋1＝12n －12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，所以，T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15 ＋…＋12n －1－12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1.∴T n ＜12，要使不等式4T n ＜a 2－a 恒成立，只需2≤a 2－a 恒成立，解得a ≤－1或a ≥2，故实数a 的取值范围是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．考点：数列综合练习题1．公比不为1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且－3a 1，－a 2，a 3成等差数列，若a 1＝1，则S 4＝( )．A ．－20B ．0C ．7D ．40解析记等比数列{a n }的公比为q (q ≠1)，依题意有－2a 2＝－3a 1＋a 3，－2a 1q ＝－3a 1＋a 1q 2，即q 2＋2q －3＝0，(q ＋3)(q －1)＝0，又q ≠1，因此有q ＝－3，则S 4＝1×[1－－34]1＋3＝－20.答案 A2．若－9，a ，－1成等差数列，－9，m ，b ，n ，－1成等比数列，则ab ＝( )．A ．15B ．－15C ．±15D ．10解析由已知得a ＝－9－12＝－5，b 2＝(－9)×(－1)＝9且b <0，∴b ＝－3，∴ab ＝(－5)×(－3)＝15.答案 A3．数列{a n }满足a 1＝1，log 2a n ＋1＝log 2a n ＋1(n ∈N *)，它的前n 项和为S n ，则满足S n >1 025的最小n 值是( )．A ．9B ．10C ．11D ．12解析因为a 1＝1，log 2a n ＋1＝log 2a n ＋1(n ∈N *)，所以a n ＋1＝2a n ，a n ＝2n －1，S n ＝2n －1，则满足S n >1 025的最小n 值是11.答案 C4．已知{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝( )．A ．35B ．33C ．31D ．29解析设数列{a n }的公比为q ，则由等比数列的性质知，a 2·a 3＝a 1·a 4＝2a 1，即a 4＝2.由a 4与2a 7的等差中项为54知，a 4＋2a 7＝2×54，∴a 7＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2×54－a 4＝14.∴q 3＝a 7a 4＝18，即q ＝12. ∴a 4＝a 1q 3＝a 1×18＝2，∴a 1＝16，∴S 5＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1251－12＝31. 答案 C5．设y ＝f (x )是一次函数，若f (0)＝1，且f (1)，f (4)，f (13)成等比数列，则f (2)＋f (4)＋…＋f (2n )等于( )．A ．n (2n ＋3)B ．n (n ＋4)C ．2n (2n ＋3)D ．2n (n ＋4)解析由题意可设f (x )＝kx ＋1(k ≠0)，则(4k ＋1)2＝(k ＋1)×(13k ＋1)，解得k ＝2，f (2)＋f (4)＋…＋f (2n )＝(2×2＋1)＋(2×4＋1)＋…＋(2×2n ＋1)＝2n 2＋3n .答案 A6．已知实数a 1，a 2，a 3，a 4构成公差不为零的等差数列，且a 1，a 3，a 4构成等比数列，则此等比数列的公比等于________．解析设公差为d ，公比为q .则a 23＝a 1·a 4，即(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋3d )，解得a 1＝－4d ，所以q ＝a 3a 1＝a 1＋2d a 1＝12. 答案 127．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n (n ∈N *)等于________．解析每天植树棵数构成等比数列{a n }，其中a1＝2，q＝2.则S n＝a11－q n1－q＝2(2n－1)≥100，即2n＋1≥102.∴n≥6，∴最少天数n＝6.答案6。

2021年新高考专用版数学：一轮复习测评试卷-01 函数的图像和性质(学生版)

D．1
二、填空题（共 20 分，每题 5 分）
13．阅读材料：如果 ab＝N（a＞0，且 a≠1），那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 b＝logaN．例如
23＝8，则 log28＝3．根据材料填空：log39＝_____．
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4
高考复习·归纳训练
14．将二次函数 y= x2﹣1 的图像沿 x 轴向右平移 3 个单位再向上平移 2 个单位后，得到的图像对应的函数
yk 比例函数 x （x＜0）的图像上，连结 OA,OB,AB．
（1）求 k 的值；（2）若∠AOB＝90°，求∠OAB 的度数；
y 6
（3）将反比例函数 x （x＞0）的图像绕坐标原点 O 逆时针旋转 45°得到曲线 l，过点 E
4
2,4
2
2 2, 2 2
，F
的直线与曲线 l 相交于点 M,N，如图②所示，求△OMN 的面积.
在区间
上单调递增
④若
，则
A．个 B．个 C．个 D．个
2．若函数有性质的是()
图像上任意一点
满足条件
,则称函数
具有性质下列函数中具
A．
B．
C．
D．
3．著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”，在数
学的学习和研究中，常用函数的图像研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图像特征，则函数
）
A． x 3
B． 0 x 3
C． - 1 < x < 3
D． x 1或x 3
11．若点 A0,1在二次函数 y ax2 2ax b （ a 、 b 是常数）的图像上，则下列各点一定在该图像上的

2021年高考数学一轮复习数列备考试题理

2021年高考数学一轮复习数列备考试题理一、选择题:1、（xx茂名二模）已知数列{an }是等差数列，a2=2，a5=8，则公差d的值为（）A．B．C．2 D．-22、（xx揭阳二模）已知等差数列中,,前7项和,则等于A.18B. 20C.24D. 323、（xx广州海珠区综合测试一）设等比数列的前n项和为，若则A．31 B．32 C．63 D．644．（xx珠海9月摸底）等比数列中，，则前5项之积是（）sA．B．C．D．5．（珠海一中等六校xx高三第三次联考）若一个等差数列前3项和为3，最后3项和为30，且所有项的和为99，则这个数列有（）A.9项B.12项C.15项D.18项6．如图2所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第行有个数且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如，，，…，则第10行第4个数（从左往右数）为（）A．B．C．D．二、填空题:7、（xx广东高考）若等比数列的各项均为正数，且，则8. （xx广东高考）在等差数列中,已知,则_____.9. （xx广东高考）已知递增的等差数列满足，，则______________.10．（2011广东高考）等差数列前9项的和等于前4项的和．若，，则．三、解答题11、（xx广东高考）设数列的前和为,满足，且.(1)求的值;(2)求数列的通项公式.12、（xx广东高考）设数列的前项和为.已知,,.(Ⅰ) 求的值；(Ⅱ) 求数列的通项公式；(Ⅲ) 证明:对一切正整数,有.13、（xx广东高考）设数列的前项和为，满足，，且、、成等差数列.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）证明：对一切正整数，有.14、（xx广州六中第一次质检）已知数列中，，前项和．(Ⅰ)设数列满足，求与之间的递推关系式；(Ⅱ)求数列的通项公式.15. （xx广州海珠区综合测试一）已知公差不为0的等差数列的前项和为，若,且成等比数列. （1）求数列的通项公式；（2），证明:对一切正整数,有．16、（xx广东七校摸底考试）已知各项均为正数的数列的前项和为,且.（1）求(2) 求数列的通项；(3) 若,，求证：＜答案1、C2、A3、C4、B5、D6、B7、50 8、20 9、10、1011、解：（1）当时，①当时，②③由①②③解得(2)当时，①②①—②化简得(当时也成立)方法1：（凑配）令()()[]121B 21n n n a A n n a An B ++++=-++⎡⎤⎣⎦，求得即()()[]122112121n n n a n n a n +-+-=---⎡⎤⎣⎦令，则，即因为，故必有，即方法2：（数学归纳法）由（1），猜想，下面用数学归纳法证明对：当时，成立假设当时成立，即有，当时， ()()21221216146k ka k k k k k +=-+++=+ 所以，成立综上所述，对12、(Ⅰ) 依题意,,又,所以；(Ⅱ) 当时,,()()()()321122111133n n S n a n n n -=-------两式相减得()()()2112213312133n n n a na n a n n n +=----+--- 整理得,即,又故数列是首项为,公差为的等差数列,所以,所以.(Ⅲ) 当时,；当时,；当时,此时222121111111111111111434423341n a a a n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++++<++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭综上,对一切正整数,有.13、解析：（Ⅰ）由，解得.（Ⅱ）由可得（），两式相减，可得，即，即，所以数列（）是一个以为首项，3为公比的等比数列.由可得，，所以，即（），当时，，也满足该式子，所以数列的通项公式是. （Ⅲ）因为，所以，所以，于是112111111131331113323213n n n n a a a -⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭+++≤+++==-<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-. 下面给出其它证法.当时，；当时，；当时，. 当时，，所以31231132211111113311151951916212n n a a a -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+++<+++<+++<-.综上所述，命题获证.下面再给出的两个证法.法1：（数学归纳法）①当时，左边，右边，命题成立.②假设当（，）时成立，即成立.为了证明当时命题也成立，我们首先证明不等式：（，）. 要证，只需证，只需证，只需证，只需证，该式子明显成立，所以. 于是当时，111211111113311323232332322k k k i i i i i i i i i ++====+<+<+⨯=----∑∑∑，所以命题在时也成立. 综合①②，由数学归纳法可得，对一切正整数，有.备注：不少人认为当不等式的一边是常数的时候是不能用数学归纳法的，其实这是一个错误的认识. 法2：（裂项相消法）（南海中学钱耀周提供）当时，显然成立.当时，显然成立.当时，12211122222n n n n n n n C C C --=+⋅+⋅++⋅+- ()12211221222221n n n n n n C C C C n n --=+⋅+⋅++⋅>⋅=-，又因为，所以（），所以（），所以123111111111111311112234122n a a a a n n n ⎛⎫⎛⎫++++<+-+-++-=+-< ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭.综上所述，命题获证.14、解：（1） ∵ ∴∴ ----------4分整理得，等式两边同时除以得， ----7分即 -------8分由（1）知即所以112211112211n n n n n a a a a a a a a n n n n n ---=-+-++-+--- 111111113112232n n n n n n =-+-+-++-+-----得 ---------14分15、16．解：（1）令，得，………2分(2)又………①有………… ②……………………3分②-①得…………………4分∴ ……………………6分 ∴ …………………………8分(3)n=1时=1＜符合………………………9分时，因为,………………………………11分所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n knk ………….13分 ∴＜…………………………14分20734 50FE 僾8339040 9880 颀 30472 7708 眈31812 7C44 籄22966 59B6 妶38063 94AF 钯i30026 754A 畊27793 6C91 沑Wy6。

高考数学一轮复习《等比数列》综合练习题(含答案)

高考数学一轮复习《等比数列》综合练习题（含答案）一、单项选择题1．在等比数列{}n a 中，13524610,18a a a a a a -==，则{}n a 的公比q 为（）A ．2-B ．12-C ．12D ．22．等比数列{an }中，若a 5＝9，则log 3a 4+log 3a 6＝（） A ．2B ．3C ．4D ．93．数列{}n a 满足()*331log 1log N n n a a n ++=∈，且1359a a a ++=，则()13579log a a a ++=（）A ．4B ．14C ．2-D ．12-4．已知各项均为正数的等比数列{}n a 满足，24a =，3424a a +=，则12233445910a a a a a a a a a a -+-+⋅⋅⋅+=（）A ．188(21)5+B ．188(21)5-C ．208(21)5+D ．208(21)5-5．已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b是等差数列，若76103a b π=，则210311sin 1b b a a +=-（） AB． C ．12D ．12-6．已知数列满足212323n a a a na n ++++=，设n n b na =，则数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2022项和为（） A ．40424043B ．20214043C ．40444045D ．202240457．在适宜的环境中，一种细菌的一部分不断分裂产生新的细菌，另一部分则死亡.为研究这种细菌的分裂情况，在培养皿中放入m 个细菌，在1小时内，有34的细菌分裂为原来的2倍，14的细菌死亡，此时记为第一小时的记录数据.若每隔一小时记录一次细菌个数，则细菌数超过原来的10倍的记录时间为第（） A ．6小时末B ．7小时末C ．8小时末D ．9小时末8．已知数列{}n a 满足()22N n n n a a n *++=∈，则{}n a 的前20项和20S =（）A ．20215-B ．20225-C ．21215-D ．21225-9．若数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，则下列不等式一定成立的是（） A ．1423b b b b +≤+ B ．4132b b b b ≤-- C ．3124a a a a ≥D ．3124a a a a ≤10．已知等比数列{}n a 各项均为正数，且满足：101a <<，1718171812a a a a +<+<，记12n n T a a a =，则使得1n T >的最小正数n 为（）A ．36B ．35C ．34D ．3311．观察下面数阵，则该数阵中第9行，从左往右数的第20个数是（） A ．545B ．547C ．549D ．55112．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.用他的名字定义的函数称为高斯函数()[]f x x =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，已知数列{}n a 满足12a =，26a =，2156n n n a a a +++=，若[]51log n n b a +=，为数列11000n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，则[]2024S =（） A ．999B ．749C ．499D ．249二、填空题13．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3614,126S S ==，则1a =___．14．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若74a =，则678a a a ++的最小值为______．15．已知数列{}n a 的首项为－1，12,nn n a a +=-则数列{}n a 的前10项之和等于________.16．已知数列{}n a 满足：11a =，()*112+1n nn N a a +=∈若()1111n n b n a λ+⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，1b λ=-，且数列{}n b 是单调递增数列，则实数λ的取值范围为______.三、解答题17．在等比数列{}n a 中，已知320a =，6160a =，（1）求5a ；（2）求8S .18．设{}n a 是等差数列，2d =，且312,,4a a a +成等比数列. （1）求{}n a 的通项公式；（2）记{}n a 的前n 项和为n S ，求n S 的最小值.19．已知等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，且关于x 的不等式21120a x qx -->的解集为()(),26,-∞-⋃+∞.（1）求n a ；（2）设4log n n n b a a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .20．已知数列{}n a 是等差数列，首项12a =，且3a 是2a 与41a +的等比中项. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设14n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S .21．已知数列{}n a 的首项113a =，且满足1341n n n a a a +=+. (1)证明：数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列.(2)若12311112022na a a a ++++<，求正整数n 的最大值.22．已知正项等比数列{}n a 满足21372,32a a a ==，数列{}n b 的前n 项和2n S n n =-.（1）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设,,n n na n cb n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数求数列{}nc 的前2n 项和2n T .23．设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且满足___________.给出下列三个条件： ①48a =，()112lg lg lg 2n n n a a a n -+=+≥；②()1n n S pa p =-∈R ；③()()12323412nn a a a n a kn k +++⋅⋅⋅++=⋅∈R .请从其中任选一个将题目补充完整，并求解以下问题： (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设()22121log n nb n a =+⋅，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求证：1132n T ≤<参考答案1．D2．C3．C4．A5．A6．D7．A8．D9．D10．B11．C12．A 13．2 14．1215．31 16．4λ<17．（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则3638aq a ==，所以2q，所以25320480a a q ==⨯=；（2）由（1）可得3125a a q ==，所以818(1)5(1256)127511a q S q -⨯-===--. 18．（1）因为132+4a a a ，，成等比数列，所以2312(+4)a a a =，即1112()4(6)a a a ++=，解得18a =-，所以82(1)210n a n n =-+-=-（2）由（1）知210n a n =-，所以2282109819()224n n S n n n n -+-=⨯=-=--；因为N n +∈所以当4n =或者5n =时，n S 取到最小值20-19．（1）等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，且关于x 的不等式21120a x qx -->的解集为()(),26,-∞-⋃+∞.则-2和6为21120a x qx --=的两根，所以()126qa -+=，()11226a -⨯=-，解得11a =，4q =.所以1114n n n a a q --==.（2）由（1）得14log 41n n n n b a a n -=+=+-，所以()1144121n n T n -=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+-，()141412n n n --=+-， 24132n n n--=+. 20．()23241a a a =+,()()()2111231a d a d a d +=+++, ()()()222233d d d +=++,()()()241312d d d +=++,()()144360d d d ++--=, ()()120d d +-=,∴1d =-，此时3220a d =+=, 舍,2d =,∴2n a n =; （2）()()411122111n b n n n n n n ===-⋅+++,11111122311n n S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 21．（1）易知{}n a 各项均为正，对1341n n n a a a +=+两边同时取倒数得1111433n n a a +=⋅+，即1111223n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，因为1121a -=，所以数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以1为首项，13为公比的等比数列.（2）由（1）知11111233n n n a --⎛⎫-==⎪⎝⎭，即11123n n a -=+，所以()12311311113122112313n n n f n n n a a a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎝⎭=++++=+=+- ⎪⎝⎭-，显然()f n 单调递增，因为()10101011313110102021.52022,(1011)2023.520222323f f =-<=-⋅>，所以n 的最大值为1010.22．解：（1）由题意，设正项等比数列{}n a 的公比为()0q q >，则2237532a a a ==，故532a =.∴ 4451162a q a ===.解得2q .∴ 数列{}n a 的通项公式为1*222,n n n a n N -=⨯=∈ .当1n =时，110b S ==，当2n ≥时，()()()2211122n n n b S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦. ∴ 数列{}n b 的通项公式为*22,n b n n N =-∈（2）由（1）知，,2,,22,n n n n a n n c b n n n ⎧⎧==⎨⎨-⎩⎩为奇数为奇数为偶数为偶数.∴21234212n n n T c c c c c c -=++++++()132********n n -=++++++-()()132********n n -=+++++++-⎡⎤⎣⎦=2122222[2(42)]122n n n --⋅⋅+--212122233n n +=⋅+- 23．（1）若选①，因为()112lg lg lg 2n n n a a a n -+=+≥，所以()2112n n n a a a n -+=≥，所以数列{}n a 是等比数列设数列{}n a 的公比为q ，0q >由33418a a q q ===得2q所以12n n a -=若选②，因为()1n n S pa p =-∈R ，当1n =时，1111S pa a =-=，所以2p =，即21n n S a =- 当2n ≥时，1122n n n n n a S S a a --=-=-，所以()122n n a a n -=≥所以数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列所以12n n a -=若选③，因为()()12323412nn a a a n a kn k +++⋅⋅⋅++=⋅∈R ，当1n =时，11222a k =⋅=，所以1k =，即()12323412n n a a a n a n +++⋅⋅⋅++=⋅当2n ≥时，()1123123412n n a a a na n --+++⋅⋅⋅+=-⋅，所以()()()11122n n n a n n -+=+⋅≥，即()122n n a n -=≥，当1n =时，上式也成立，所以12n n a -=（2）由（1）得()()()221111121log 212122121n n b n a n n n n ⎛⎫===- ⎪+⋅+⋅--+⎝⎭所以()111111111233521212221n T n n n ⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪-++⎝⎭ ∵*N n ∈，∴()10221n >+，∴()11122212nT n =-<+ 易证*n ∈N 时，()112221n T n =-+是增函数，∴()113n T T ≥=.故1132n T ≤<。

广东省2021届高三理科数学一轮复习试题选编6：等比数列

广东省2021届高三理科数学一轮复习试题选编6：等比数列一、选择题1（广东省潮州市市2022所高中第一学期末数学（科学）试题”A1比例系列{a}512，普通比率1q??,记?n?a1?a2?2正数的个数是（）a．1b．2An（即？N表示序列{An}的前N项的乘积），？8.9,? 10,? 11中的值为c．3d、四,【答案】b等比数列{an}中a1?0,公比q?0,故奇数项为正数,偶数项为负数,b。

∴?11?0,?10?0,?9?0,?8?0,选二2．（广东省华附、省实、深中、广雅四校2021届高三上学期期末联考数学（理）试题）在正项等比数列{an}式中，A1和A19是等式x-10x+16=0中的两个，那么a8a10a12等于a.16b。

32c。

64d。

2562[答：]解决方案：已知A19=16，A19=a10。

在正项序列中，A10=43∴a8a10a12=a10=64。

选择C（）3（模拟）（2022）在广东省茂名实验中学2022年级第二学期的测验数学（理科）试题（详解），按比例系列{a}，已知a2?a3=1,a4?a5=2,则a8?a9等于a．22【答案】c4、广东省市汕头第4中学2022级三级联合考试的数学（理科）试题设置等差数列（）d、十六b．4c．8一容忍（）D≠0，a1？4d。

如果AK是A1和a2k相等比率的中值，那么K？a．3或-1【答案】cb、 3或1c．3d、一,5．（广东省汕头市东山中学2021届高三第二次模拟考试数学（理）试题（详解））等比数列{an}中,已知a2？2，a6？8，那么A4？a．?4[答：]d6．（广东省珠海一中等六校2021届高三第一次联考数学（理）试题）已知等比数列（）c．?4d、四,b．16一在中，所有项目都是正数，（）a1，1a呢？如果aa3和2A2形成一个等差序列，那么89等于2A6？a7b.1？二c．3?22d、 3号？22a．1?2[答：]C7．（广东省汕头一中2021年高三4月模拟考试数学理试题）正项等比数列{an}满意a3?1,s3?13,bn?log3an,则数列{bn}的前10项和是a、 65【答案】d（）d．?25b、 ?。

测试卷06等比数列备战2021年新高考数学一轮专题必刷卷(学生版)

2021年高考数学一轮复习等比数列专题必刷卷(新高考专用)一、单选题(共60分,每题5分) 1．等比数列中，，，函数.则( )A ．B ．C ．D ．2．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，12322,a a a S =+是1S 与3mS 的等比中项，则m 的值为（） A ．1B ．97C ．67D ．123．已知等比数列{}n a 的公比0q <,其前n 项和为n S ,则98a S 与89a S 的大小关系是 A ．9889a S a S < B ．9889a S a S > C ．9889a S a S = D ．98a S 与89a S 的大小不确定 4．已知曲线1:(0)C y x x=>及两点11(,0)A x 和22(,0)A x ，其中210x x >>．过1A ，2A 分别作x 轴的垂线，交曲线C 于1B ，2B 两点，直线12B B 与x 轴交于点33(,0)A x ，那么（） A ．312,,2x x x 成等差数列 B ．312,,2xx x 成等比数列 C ．132,,x x x 成等差数列 D ．132,,x x x 成等比数列5．已知函数()()221f x x R x=∈+，若等比数列{}n a 满足120191a a =，则()()()()1232019......f a f a f a f a ++++=（）A ．2019B ．20192C ．2D ．126．设()f x 为一次函数，若(0)1f =，且(1)f ，(4)f ，(13)f 成等比数列，则(2)(4)(6)(2)f f f f n +++⋯+的值为( ) A ．(23)n n + B ．(4)n n + C ．2(23)n n + D ．2(24)n n +7．给定公比为的等比数列，设，，则数列（）．A ．是等差数列B ．是公比为的等比数列C ．是公比为的等比数列D ．既非等差数列又非等比数列8．已知,,αβγ成公比为2的等比数列，[)0,2απ∈，且sin ,sin ,sin αβγ也成等比数列，则α的值为（）A ．23π或0 B ．43π C ．23π或43π D ．23π或43π或0 9．已知等比数列{}n a 中，23a ，22a ，4a 成等比数列，设n S 为数列{}n a 的前n 项和，则3nS a 等于（）． A ．139B ．3或139C ．3D ．7910．若正数a ，b ，c 成等比数列，则下列三数中成等比数列的是（） A ．10a ，10b ，10c B ．lg a ，lg b ，lg c C ．lg 3a ，lg 3b ，lg 3cD11．设{}n a 为等比数列，给出四个数列：①{}2n a ，②{}2n a ，③{}2na ，④{}2log||n a .其中一定为等比数列的是（） A ．①③ B ．②④C ．②③D ．①②12．定义在(,0)(0,)-∞+∞上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{}n a ，若(){}n f a 仍是等比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”，现有定义在(,0)(0,)-∞+∞上的如下函数：①()2f x x =；②()xf x e =；③()f x ()f x =ln x ，则其中是“保等比数列函数()f x 的序号为（）A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④二、填空题(共20分,每题5分)13．已知等比数列{}n a 中， 1346510,4a a a a +=+=，则等比数列{}n a 的公比q =__________． 14．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()213214n n S a a a -=+++()n N *∈，则该等比数列{}n a 的公比为______15．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若数列{}12n S a -也为等比数列，则43S S =________. 16．数列{}n a 为等比数列，n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，已知13524()2015a a a a a ++-+=，则22222123452016a a a a a ++++=，则5S = .三、解答题17．(10分)已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比0q >，2222S a =-，342S a =-．（1）求等比数列{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，求11{}n n b b +的前n 项和n T ． 18．(10分)已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和n S ，11S +，3S ，4S 成等差数列，且1a ，2a ，5a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若4S ，6S ，n S 成等比数列，求n 及此等比数列的公比. 19．(12分)已知数列{}n a 和{}n b 满足：11a =，22a =，0n a >，()*1n n n b a a n N +=∈，且{}n b 是以q 为公比的等比数列.(1)证明：22n n a a q +=；(2)若2122n n n c a a -=+，证明数列{}n c 是等比数列；(3)求和：1234212111111n na a a a a a -++++⋯++. 20．(12分)如果数列{}n a 同时满足：（1）各项均不为0，（2）存在常数k, 对任意*212,n n n n N a a a k++∈=+都成立，则称这样的数列{}n a 为“类等比数列” .由此等比数列必定是“类等比数列” .问：（1）各项均不为0的等差数列{}n b 是否为“类等比数列”？说明理由.（2）若数列{}n a 为“类等比数列”，且12,a a a b ==(a ，b 为常数)，是否存在常数λ，使得21n n n a a a λ+++=对任意*n N ∈都成立？若存在，求出λ；若不存在，请举出反例．（3）若数列{}n a 为“类等比数列”，且12,a a a b ==，22=+k a b (a ，b 为常数)，求数列的前n 项之和n S ；数列{}n S 的前n 项之和记为，求43()k T k N *-∈.21．(12分)若数列各项均非零，且存在常数k ，对任意*n N ∈，212n n n a a a k ++=+恒成立，则成这样的数列为“类等比数列”，例如等比数列一定为类等比数列，则：（1）各项均非零的等差数列是否可能为“类等比数列”？若可能，请举例；若不能，说明理由；（2）已知数列{}n a 为“类等比数列”，且12,a a a b ==，是否存在常数λ，使得21n n n a a a λ+++=恒成立？（3）已知数列{}n a 为“类等比数列”，且2212,,a a a b k a b ===+，求122019S S S +++.22．(14分)已知数列{}n a 满足16a =，212a =，372a =，12n n n b a a +=+()*n ∈N ，且{}n b 是等比数列．（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）①求证：14n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列； ②求证：对于任意*n ∈N ，都有12212111111 (43)n n a a a a -≤++++<成立．。

【精准解析】2021高三数学一轮联考质检卷精编(6)数列

中任选一个，补充到下面的问题中，并完成解答．在数列 an 中，a1 1，_______，其中 n N* ．（1）求 an 的通项公式；
（2）若 a1, an , am 成等比数列，其中 m, n N* ，且 m n 1，求 m 的最小值．
15.已知数列 an 满足 a2 2a1 4 ，且 an1 bn 2an ，数列 bn 是公差为-1 的等差数列. (1)探究：数列 an n 是等差数列还是等比数列，并说明理由；
(2)求使得 a1 a2 an 2200 成立的最小正整数 n 的值.
-2-
答案以及解析
1.答案：C
解析：当 q 1时， S3 a1 a2 a3 3a1 3a3 ,成立；
当
q
1 时，得到
S3
a1
1 q3 1 q
, a3
a1q 2 ，又 S3
3a3
，所以
1 q3 1 q
3q2 ，
S9
9(a1 2
a9 )
9a5
85.5 尺，所以
a5
9.5 尺，由题知 a1
a4
a7
3a4
31.5
，所以 a4
10.5 ，
所以公差 d a5 a4 1 ，所以 a12 a5 7d 2.5 尺，故选 B.
6.答案：C
解析：设公差为
d
，则
4a1
6d
5, 9a1
36d
20
，解得
a1
2,d 3
13.已知数列an 满足 a1
2, an1
3an
2
，令 bn
log2
an
1 ，则数列
1 bn bn 1
的前
2020
项的
和 S2020 ______．

2021年高考数学一轮复习数列试题理

2021年高考数学一轮复习数列试题理n n m－1m m＋1则m＝( )．A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【xx新课标I版（理）12】设△A n B n C n的三边长分别为a n，b n，c n，△A n B n C n的面积为S n，n ＝1,2,3，….若b1＞c1，b1＋c1＝2a1，a n＋1＝a n，b n＋1＝，c n＋1＝，则( )．A．{S n}为递减数列B．{S n}为递增数列C．{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列D．{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列【答案】：B【xx新课标I版（理）5】已知{a n}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝( ) A．7 B．5 C．－5 D．－7【答案】D【xx新课标I版（理）14】若数列{a n}的前n项和，则{a n}的通项公式是a n＝__________. 【答案】：【xx新课标I版（理）16】数列{a n}满足a n＋1＋(－1)n a n＝2n－1，则{a n}的前60项和为__________．【答案】1830【xx新课标I版（理）17】已知数列的前项和为，，，，其中为常数，（I）证明：；（II）是否存在，使得为等差数列？并说明理由.【答案】（I）由题设，两式相减得由于，所以……6分（II）由题设，，，可得由（I）知，令，解得故，由此可得是首项为1，公差为4的等差数列，；是首项为3，公差为4的等差数列，.所以，.因此存在，使得数列为等差数列. ……12分1 ．（河北省唐山市xx届高三摸底考试数学（理）试题）设等差数列{a n}的前n项和为S n,且S5=13,S15=63,则S20= （）A．100 B．90 C．120 D．110【答案】B2 ．（河北省邯郸市xx届高三上学期摸底考试数学（理）试题）在等比数列中,,则（）A．3 B．C．3或D．或【答案】C3 ．（河北省邯郸市武安三中xx届高三第一次摸底考试数学理试题）数列是首项为1,且公比的等比数列,是的前项和,若,则数列的前5项和为（）A．B．5 C．D．【答案】C4 ．（河北省保定市八校联合体xx届高三上学期第一次月考数学（理科）试题）在等差数列中,a1+ a5 = 16,则a3等于（）A．8 B．4 C．-4 D．-8【答案】A5 ．（河北省张家口市蔚县一中xx届高三一轮测试数学试题）已知为等差数列,其前项和为,若,,则公差等于（）A．B．C．D．【答案】C6．（河北省张家口市蔚县一中xx届高三一轮测试数学试题）等比数列中,已知对任意自然数,,则等于（）A．B．C．D．【答案】D7．（河北省邯郸市武安三中xx届高三第一次摸底考试数学理试题）设等差数列的前项和为,若,则等于（）A．45 B．60 C．D．【答案】B8．（河北省张家口市蔚县一中xx届高三一轮测试数学试题）若数列满足:存在正整数,对于任意正整数都有成立,则称数列为周期数列,周期为. 已知数列满足, 则下列结论中错．误．的是（） A ．若,则B ．若,则可以取3个不同的值C ．若,则数列是周期为的数列D ．且,数列是周期数列【答案】D 9．（河北省张家口市蔚县一中xx 届高三一轮测试数学试题）在首项为57,公差为的等差数列中,最接近零的是第( ) 项. （） A ．14 B ．13 C ．12 D ．11 【答案】C 10．（河北省唐山市xx 届高三摸底考试数学（理）试题）已知数列{a n }满足a 1=0,a 2=1,,则{a n }的前n 项和S n =_______________. 【答案】（河南省安阳市xx 届高三第一次调研）设等差数列{}的前n 项和为，若，是方程－3x ＋2＝0的两个实数根，则＝______________．答案：11．（河北省邯郸市xx 届高三上学期摸底考试数学（理）试题）在等差数列中,.(1)求数列的通项公式;(2)设**122(),()(12)n n n n b n N T b b b n N n a =∈=+++∈-,求.【答案】设的公差为,由题意得解得得: (2)∵ ∵1)111()3121()211(321+=+-+⋅⋅⋅⋅⋅+-+-=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++=n nn n b b b b T n n 12．（河北省容城中学xx 届高三上学期第一次月考数学（理）试题）已知数列{a n }的前n 项和(其中),且S n 的最大值为8. (1)确定常数k,求a n . (2)求数列的前n 项和T n . 【答案】(1)当时,取最大值,即,13．（河北省张家口市蔚县一中xx 届高三一轮测试数学试题）已知二次函数,其导函数为,数列的前项和为点均在函数的图像上. (1)求数列的通项公式;(2)若231231(2),22223n n n n n c a b b b b c =+++++=,求数列的通项公式.【答案】14．（河北省保定市八校联合体xx 届高三上学期第一次月考数学（理科）试题）设是公差不为零的等差数列,为其前项和,满足. (1)求数列的通项公式及前项和; (2)试求所有的正整数,使得为数列中的项.【答案】[解析] 本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识,考查运算和求解的能力.满分14分.(1)设公差为,则,由性质得,因为,所以,即,又由得,解得,,(2)(方法一)=,设,则=, 所以为8的约数(方法二)因为1222222(4)(2)86m m m mmm m ma a a aaa a a+++++++--==-+为数列中的项,故为整数,又由(1)知:为奇数,所以经检验,符合题意的正整数只有15．（河北省张家口市蔚县一中xx届高三一轮测试数学试题）已知为两个正数,且,设当,时,.(Ⅰ)求证:数列是递减数列,数列是递增数列;(Ⅱ)求证:;(Ⅲ)是否存在常数使得对任意,有,若存在,求出的取值范围;若不存在,试说明理由.【答案】(Ⅱ)证明:.(Ⅲ)解:由,可得.若存在常数使得对任意,有,则对任意,.即对任意成立.即对任意成立.设表示不超过的最大整数,则有.即当时,.与对任意成立矛盾.所以,不存在常数使得对任意,有（河南省安阳市xx 届高三第一次调研）已知等差数列{}的前n 项和为，公差d ≠0，且S 3＋S 5＝50，a 1，a 4，a 13成等比数列．（Ⅰ）求数列{}的通项公式；（Ⅱ）设{}是首项为1,公比为3的等比数列，求数列{}的前n 项和. （Ⅰ）依题意得解得， 1212)1(23)1(1+=+=-+=-+=∴n a n n d n a a n n 即，．……6分（Ⅱ），n n n n n T 3)12(3)12(3735333132⋅++⋅-++⋅+⋅+⋅=-2123232323(21)3n n n T n --=+⋅+⋅++⋅-+13(13)32(21)32313n n n n n --=+⋅-+=-⋅- ∴ . ………12分16．（河南省中原名校xx 届高三下学期第二次联考数学（理）试题）已知等差数列中,首项a 1=1,公差d 为整数,且满足数列满足前项和为. (1)求数列的通项公式a n ;(2)若S 2为S l ,的等比中项,求正整数m 的值. 【答案】解:(1)由题意,得解得< d <.又d ∈Z,∴d = 2∴a n =1+(n -1)2=2n -1. 4分(2)∵,∴111111[(1)()()]23352121n S n n =-+-+⋅⋅⋅+--+∵,,,S 2为S 1,S m (m ∈)的等比中项, ∴,即, 解得m =12.12分17．（河北省石家庄市xx 届高中毕业班第二次模拟考试数学理试题（word 版））已知公差不为0的等差数列{a n }的首项为2,且a 1,a 2,a 4成等比数列. (I )求数列{a n }的通项公式; (II)令,求数列{b n }的前n 项和.【答案】解:(I)设等差数列的公差为d,由, 又首项为,得, 因为,所以,所以(Ⅱ)设数列的前n 项和,由(Ⅰ)知,所以===, 所以==,即数列的前n项和=18．（山西省康杰中学xx届高三第二次模拟数学（理）试题）已知数列的前项和,满足.(Ⅰ)求数列的前三项;(Ⅱ)求证:数列为等比数列,并求出的通项公式.【答案】解:(Ⅰ)在中分别令得:解得:(Ⅱ)由得:两式相减得:故数列是以为首项,公比为2的等比数列.所以32069 7D45 絅 27073 69C1 槁23055 5A0F 娏 25203 6273 扳^28413 6EFD 滽35110 8926 褦38236 955C 镜a26180 6644 晄 28859 70BB 炻。

2021年高考数学一轮复习数列备考试题

2021年高考数学一轮复习数列备考试题一、选择题1、（xx年江西高考）等比数列x，3x+3，6x+6，…..的第四项等于A．-24 B.0 C.12 D.242、（南昌市新建二中xx届高三9月月考）对任意等比数列，下列说法一定正确的是( ).A.成等比数列B.成等比数列C．成等比数列 D.成等比数列3、（江西省九所重点中学xx届高三3月联考）已知数列{}，若点（n，a n)(n∈N*)均在直线y一2=k(x一5)上，则数列{a n)的前9项和S9等于A．18 B．20 C．22 D．244、（南昌二中xx届高三第二轮复习测试）已知数列的通项公式，若或为数列的最小项，则实数的取值范围A．(3 , 4) B． [ 2 , 5 ] C． [ 3 , 4 ] D． []5、（上饶市xx届高三第一次高考模拟）数列的前n项和的通项公式为（）A． B． C． D．6、（江西省稳派名校学术联盟xx届高三12月调研考试）已知等比数列中，，且，则的值为A. 4B. －4C. ±4D. ±7、在中，是以－4为第3项，4为第5项的等差数列的公差，是以为第3 项，9为第6项的等比数列的公比，则该三角形是（ A ）A. 锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形8、已知数列是等差数列,若它的前n项和有最大值,且,则使成立的最大自然数n的值为( B )A. 10B. 19C. 20D. 21二、填空题1、（xx年江西高考）设数列{a n},{b n}都是等差数列，若a1+b1=7，a3+b3=21，则a5+b5=___________2、（南昌市新建二中xx届高三9月月考）设等差数列的前项和为,若,,则当取最小值时,=____.3、（xx届江西省高三4月模拟）设等差数列的前n项和为，若，则公差为________4、（江西省师大附中、临川一中xx届高三上学期联考）在等差数列中,,,则该数列前20项的和为____.5、在等差数列中，当且仅当时，取得最大值，则使的的最大值是．6、设是公差不为0的等差数列,，且成等比数列,则的值为 .三、解答题1、（xx年江西高考）已知首项都是1的两个数列（），满足.(1)令，求数列的通项公式；(2)若，求数列的前n项和.2、（xx年江西高考）正项数列{a n}的前项和{a n}满足：（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）令，数列{b n}的前项和为。

测试卷06 等比数列-2021年高考数学一轮复习创优测评卷(新高考专用)(解析版)

2021年高考数学一轮复习等比数列创优测评卷(新高考专用)一、单选题(共60分,每题5分) 1．等比数列中，，，函数.则( )A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】因为128128()()()()+x[()()()]'f x x a x a x a x a x a x a =------',所以()()44121281238180()()()=...82f a a a a a a a a a =-='--==.2．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，12322,a a a S =+是1S 与3mS 的等比中项，则m 的值为（） A ．1B ．97C ．67D ．12【答案】B 【解析】【分析】设数列{}n a 的公比为q ，则由1232a a a =+，即可求出1q =-或12q =，再对q 分类讨论，由2S 是1S 与3mS 的等比中项计算可得；【详解】解：设数列{}n a 的公比为q ，则由1232a a a =+，得21112a a q a q =+，易知10a ≠，所以2210q q +-=解得1q =-或12q =，当1q =-时，20S =，这与2S 是1S 与3mS 的等比中项矛盾，当12q =时，11213137,,24S a S a mS a m ===由2S 是1S 与3mS 的等比中项，得2213S S mS =⋅，即22119744a m a =⋅，所以97m =，故选：B.3．已知等比数列{}n a 的公比0q <,其前n 项和为n S ,则98a S 与89a S 的大小关系是 A ．9889a S a S < B ．9889a S a S > C ．9889a S a S = D ．98a S 与89a S 的大小不确定【答案】B 【解析】2789872719889111(1)(1)(1)0111a q a q a q a S a S a q a q q a q q q q---=-=-=->---所以9889a S a S >，选B. 4．已知曲线1:(0)C y x x=>及两点11(,0)A x 和22(,0)A x ，其中210x x >>．过1A ，2A 分别作x 轴的垂线，交曲线C 于1B ，2B 两点，直线12B B 与x 轴交于点33(,0)A x ，那么（） A ．312,,2x x x 成等差数列 B ．312,,2xx x 成等比数列 C ．132,,x x x 成等差数列 D ．132,,x x x 成等比数列【答案】A 【解析】【分析】利用点1111,B x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭、2221,B x x ⎛⎫⎪⎝⎭、()33,0A x 三点共线，转化为直线31A B 和12B B 斜率相等，借助斜率公式化简得出答案．【详解】易知点1111,B x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭、2221,B x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且1111,B x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭、2221,B x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭、()33,0A x 三点共线，则3112A B B B k k =，即12131211110x x x x x x x --=--，312x x x ⇒=+，所以312,,2xx x 成等差数列，故选A ． 5．已知函数()()221f x x R x=∈+，若等比数列{}n a 满足120191a a =，则()()()()1232019......f a f a f a f a ++++=（）A ．2019B ．20192C ．2D ．12【答案】A 【解析】【分析】利用函数解析式，求出120192f a f a ，结合等比数列的性质得220181001011109102=2=1f a f a f a f a f a ，，，，从而得到所求表达式的值．【详解】120191a a1201922120192211f a f a a a 21222111212222=211111a a a a a {}n a 为等比数列，则21201920181009101021011=1====a a a a a a a220181001011101092=2=1f a f a f a f a f a ，，，即1232019=210091=2019f a f a f a f a6．设()f x 为一次函数，若(0)1f =，且(1)f ，(4)f ，(13)f 成等比数列，则(2)(4)(6)(2)f f f f n +++⋯+的值为( ) A ．(23)n n + B ．(4)n n + C ．2(23)n n + D ．2(24)n n +【答案】A 【解析】【分析】由已知可设()1f x kx =+，又(1)f ，(4)f ，(13)f 成等比数列，求出k ，再利用等差数列的求和公式求解即可. 【详解】由()f x 为一次函数且(0)1f =，可设()()10f x kx k =+≠，又(1)f ，(4)f ，(13)f 成等比数列，得()()()2411131k k k +=++，解得：2k =，所以()21f x x =+，()()()(2)(4)(6)(2)=221241221f f f f n n ++++⨯++⨯+++⨯+∴……()()22222422232n n n n n n n +=++++=⨯+=+….故选：A 7．给定公比为的等比数列，设，，则数列（）．A ．是等差数列B ．是公比为的等比数列C ．是公比为的等比数列D ．既非等差数列又非等比数列【答案】C 【解析】由题设，，则．因此，是公比为的等比数列.故答案为：C8．已知,,αβγ成公比为2的等比数列，[)0,2απ∈，且sin ,sin ,sin αβγ也成等比数列，则α的值为（）A ．23π或0 B ．43π C ．23π或43π D ．23π或43π或0 【答案】C【解析】,,αβγ成公比为2的等比数列，[)0,2απ∈，1,42βαγα∴==，因为等比数列中每一项都不为零，所以0α≠，,,sin sin sin αβγ也成等比数列，2sin sin sin βαγ∴=⋅，即2142sinsin sin ααα=⋅，把选项中α的值代入以上等式进行检验，得到24,33ππαα==合题意,故选C. 9．已知等比数列{}n a 中，23a ，22a ，4a 成等比数列，设n S 为数列{}n a 的前n 项和，则3nS a 等于（）．A ．139B ．3或139C ．3D ．79【答案】B【解析】因为23a ，32a ，4a 成等差数列，3224311134,34a a a a q a q a q +=∴+=，整理可得，2430,q q -+=，1q ∴=或3q =，当1q =时，则33333S a a a ==，当3q =时，则3131131399S a a a ==，故选B.10．若正数a ，b ，c 成等比数列，则下列三数中成等比数列的是（） A ．10a ，10b ，10c B ．lg a ，lg b ，lg c C ．lg 3a ，lg 3b ，lg 3c D a 3b 4c 【答案】C【解析】解：若正数a ，b ，c 成等比数列，则有2b ac =. A ：若10a ，10b ，10c 成等比，则有()()()2101010bac=⋅，即2=b a c +，不满足2bac =，A 不正确；B ：若lg a ，lg b ，lg c 成等比，则有()()()2lg lg lg b a c =，也不满足2b ac =，B 不正确； C ：若lg 3a ，lg 3b ，lg 3c 成等比，则有()()lg 2lg lg (3)33b ac=⋅，即有2lg lg lg b a c =+，即2bac =，故C 正确；D a 3b 4c (234()b a c =⋅，即211324b a c =⋅，不满足2b ac =，所以D 不正确.故选：C.11．设{}n a 为等比数列，给出四个数列：①{}2n a ，②{}2n a ，③{}2na ，④{}2log||n a .其中一定为等比数列的是（） A ．①③ B ．②④ C ．②③ D ．①②【答案】D【解析】设11n n a a q -=，①,112=2n n a a q-,所以数列{}2n a 是等比数列；②，222222111=()n n n a a qa q --=，所以数列{}2n a 是等比数列；③，11112111211222=2,222n n n n n n n n a a q a a qa q a q a a q -------==不是一个常数，所以数列{}2n a 不是等比数列； ④，122122121log ||log |q |log ||log |q |n n n n a a a a ---=不是一个常数，所以数列{}2log ||n a 不是等比数列. 故选D12．定义在(,0)(0,)-∞+∞上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{}n a ，若(){}n f a 仍是等比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”，现有定义在(,0)(0,)-∞+∞上的如下函数：①()2f x x =；②()xf x e =； ③()||f x x ()f x =ln x ，则其中是“保等比数列函数()f x 的序号为（）A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④【答案】C【解析】根据题意，设等比数列的公比为q ，由等比数列性质知221n n n a a a ++⋅=，对于①，()2f x x =，因为()()()()222222211n n n n n n f a f a a a a f a ++++⋅=⋅==，故①是“保等比数列函数”；对于②，()xf x e =，因为当1q ≠时，()()22n n a a n n f a f a e e ++⋅=⋅2n n a a e ++=121(1)n a qq e -+=()11122n n a a qqe e -+≠=()21nf a +=，故②不是“保等比数列函数”；对于③，()f x x =()()(()222211n n n n n n f a f a a a a f a ++++⋅=⋅==，故③是“保等比数列函数”对于④，()ln f x x =，因为当1q ≠时，()()22ln ln n n n n f a f a a a ++⋅=⋅22ln ||ln ||2n n a a ++⎛⎫< ⎪⎝⎭22ln ||2n n a a +⎛⎫= ⎪⎝⎭221ln ||2n a +⎛⎫= ⎪⎝⎭()21ln n a +=()21n f a +=，故④不是“保等比数列函数”；故选：C.二、填空题(共20分,每题5分)13．已知等比数列{}n a 中， 1346510,4a a a a +=+=，则等比数列{}n a 的公比q =__________．【答案】12【解析】试题分析：依题意可得()()2211211353231111101101101{ { { { 255118448a a q a a q q q a q a q a q q a q =+=+==+⇒⇒⇒+=+===. 14．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()213214n n S a a a -=+++()n N *∈，则该等比数列{}n a 的公比为______ 【答案】3【解析】设等比数列的公比q22221124231n n n n a a q q a a q----== ∴数列{}21n a -是首项为1a ，公比为2q 的等比数列当1q =时，13212112,n n a a S n a n a a -++=⋯+=，不满足()213214n n S a a a -=+++ 当1q =-时，1232110,n n a a a n a S -++=⋯+=，不满足()213214n n S a a a -=+++当1q ≠±时，则()()211321211nn a q a a aq--++⋯+=-()213214n n S a a a -=+++()()22112141413111n n a q a q q qq q--∴=⇒=⇒=--+ 故答案为：315．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若数列{}12n S a -也为等比数列，则43S S =________. 【答案】1514【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ， ∵数列{}12n S a -为等比数列，∴()()2211231a a a a a a -=-+-，解得：12q =，∴4211231241332315(1)1587(1)144Sa q q q S a q a a a a a a q a +++====+++++++. 故答案为：1514.16．数列{}n a 为等比数列，n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，已知13524()2015a a a a a ++-+=，则22222123452016a a a a a ++++=，则5S = .【答案】20162015【解析】若{}n a 的公比为1q =，则1234512015a a a a a a ++==--，因此22222212345520106215a a a a a =⨯≠++++，故1q ≠.若1q =-，则12345152015a a a a a a ++==--，所以1403a =，因此2222221234540526301a a a a a ++++≠=⨯，故1q ≠-又1255341120151a a a a a a q q+-=⨯=++-+， 102222221234512120161q a a a a a a q-++++==-⨯，所以511201612015q a q -=-⨯即520162015S =. 故答案为：20162015. 三、解答题17．(10分)已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比0q >，2222S a =-，342S a =-．（1）求等比数列{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，求11{}n n b b +的前n 项和n T ．【答案】（1）2nn a =（2）1n n T n =+ 【解析】（1）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比0q >，2222S a =-①，342S a =-②．②﹣①，得3422a a a =-，则220q q --=，又0q >，所以2q，因为2222S a =-，所以12222a a a +=-，所以12a =，所以2nn a =；（2）22log log 2nn n b a n ===，11111(1)1n n b b n n n n +==-++ 所以前n 项和11111111223111n n T n n n n =-+-++-=-=+++． 18．(10分)已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和n S ，11S +，3S ，4S 成等差数列，且1a ，2a ，5a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若4S ，6S ，n S 成等比数列，求n 及此等比数列的公比. 【答案】(1)21n a n =-；(2)9n =，公比94q =. 【解析】(1)由题意得到关于首项、公差的方程，解方程可得112a d =⎧⎨=⎩，则数列的通项公式为21n a n =-；(2)由（1）知2n S n =，则416S =，636S =，结合等比数列的性质可得9n =，公比6494S q S ==. 试题解析：(1)设数列{}n a 的公差为d由题意可知3142215210S S S a a a d =++⎧⎪=⎨⎪≠⎩，整理得1112a d a =⎧⎨=⎩，即112a d =⎧⎨=⎩，所以21n a n =-；（2）由（1）知21n a n =-，∴2n S n =，∴416S =，636S =，又246n S S S =，∴22368116n ==，∴9n =，公比6494S q S ==. 19．(12分)已知数列{}n a 和{}n b 满足：11a =，22a =，0n a >，)*1n n n b a a n N +=∈，且{}n b 是以q 为公比的等比数列.(1)证明：22n n a a q +=；(2)若2122n n n c a a -=+，证明数列{}n c 是等比数列；(3)求和：1234212111111n na a a a a a -++++⋯++. 【答案】(Ⅰ) 22n n a a q +=(Ⅱ3A π=(Ⅲ)2123222231211113112(1)n n n nq q a a a a q q q -⎧=⎪⎪+++++=⎨-⎪⨯≠⎪-⎩，，【解析】（I ）由1n n b q b +=1221n n n n n na a aq a a a ++++==，从而得到结论；（II ）根据n a 的递推关系求出21n a -与2n a ，然后代入2122n n n c a a -=+可得225n n c q -=，从而{c n }是首项为5，以2q 为公比的等比数列．、；（III ）讨论q 是否为1，然后利用等比数列求和公式进行求解即可，最后利用分段形式表示即可．试题解析：(Ⅰ)解：由{}n b 是以q 为公比的等比数列，∴1n nb q b += 1221n n n n n na a aq a a a ++++==，∴22n n a a q +=(Ⅱ)证：∵22n n a a q +=，∴数列135a a a ⋯，，，和数列246a a a ⋯，，，均是以2q 为公比的等比数列故()()21212222211222n n n n n n a a q q a a q q -----====， ∴2221225n n n n c a a q--=+=故{}n c 是首项为5，公比为2q 的等比数列．(Ⅲ)解：由(Ⅱ)得：222222222121111122n n n n n n q q a q a q -----====⨯，∴12342121321242111111111111n n n n S a a a a a a a a a a a a --⎛⎫⎛⎫=++++++=+++++++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭242224221111111112n n q q q q q q --⎛⎫⎛⎫=+++++++++⎪⎪⎝⎭⎝⎭2422311112n q q q -⎛⎫=++++⎪⎝⎭当1?q =时，32nS = 当1?q ≠时，()222422222211311133********n n n n q q S q qq q q q---⎛⎫-=++++=⨯=⨯ ⎪-⎝⎭-∴()21232222312111131121nn n n q q a a a a q q q ，，-⎧=⎪⎪+++++=⎨-⎪⨯≠-⎪⎩20．(12分)如果数列{}n a 同时满足：（1）各项均不为0，（2）存在常数k, 对任意*212,n n n n N a a a k++∈=+都成立，则称这样的数列{}n a 为“类等比数列” .由此等比数列必定是“类等比数列” .问：（1）各项均不为0的等差数列{}n b 是否为“类等比数列”？说明理由.（2）若数列{}n a 为“类等比数列”，且12,a a a b ==(a ，b 为常数)，是否存在常数λ，使得21n n n a a a λ+++=对任意*n N ∈都成立？若存在，求出λ；若不存在，请举出反例．（3）若数列{}n a 为“类等比数列”，且12,a a a b ==，22=+k a b (a ，b 为常数)，求数列的前n 项之和n S ；数列{}n S 的前n 项之和记为，求43()k T k N *-∈.【答案】（1）是，（2），（3）2()(1).a b k a +-+【解析】（1）解决新定义问题，关键根据“定义”列条件，根据“定义”判断. 因为{}n b 为各项均不为0的等差数列，故可设n b dn b =+（d 、b 为常数），由212n n n b b b k ++=+得[][]2(1)()(2)d n b dn b d n b k ++=++++得2k d =为常数，所以各项均不为0的等差数列{}n b 为“类等比数列”，（2）存在性问题，通常从假设存在出发，列等量关系，将是否存在转化为对应方程是否有解. 先从必要条件入手2212213113222a ka a a a ab k a a a a a abλλ-+++-+=⇒===，再从充分性上证明：因为所以211,n n n a a a k -+=+所以即得所以而（3）由（2）易得20n n a a ++=，均为公比为的等比数列，1212(1),{(1),n n na n ab n ---=-为奇数为偶数，，434441422()0()k k k k k T T S S S a b k b a b ---=---=+---+2()(1)a b k a =+-+[解] （1）因为{}n b 为各项均不为0的等差数列，故可设n b dn b =+（d 、b 为常数）由212n n n b b b k ++=+得[][]2(1)()(2)d n b dn b d n b k ++=++++得2k d =为常数，所以各项均不为0的等差数列{}n b 为“类等比数列” （2）存在常数使（或从必要条件入手2212213113222a k a a a a a b k a a a a a abλλ-+++-+=⇒===）证明如下：因为所以211,2,*n n n a a a k n n N -+=+≥∈所以即由于0,n a ≠此等式两边同除以得8分所以即当*n N ∈都有因为所以所以所以对任意*n N ∈都有此时（3）均为公比为的等比数列1212(1),{(1),n n na n ab n ---=-为奇数为偶数434441422()0()k k k k k T T S S S a b k b a b ---=---=+---+2()(1)a b k a =+-+21．(12分)若数列各项均非零，且存在常数k ，对任意*n N ∈，212n n n a a a k ++=+恒成立，则成这样的数列为“类等比数列”，例如等比数列一定为类等比数列，则：（1）各项均非零的等差数列是否可能为“类等比数列”？若可能，请举例；若不能，说明理由；（2）已知数列{}n a 为“类等比数列”，且12,a a a b ==，是否存在常数λ，使得21n n n a a a λ+++=恒成立？（3）已知数列{}n a 为“类等比数列”，且2212,,a a a b k a b ===+，求122019S S S +++.【答案】（1）可能,如21n b n =+；（2）存在,证明见解析；（3）()1010a b + 【解析】（1）可能；设{}n b 为各项均非0的等差数列,可设21n b n =+,由212n n n b b b k ++=+得()()()221121221n n n k ++=++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦,1k ∴=为常数,∴可得到各项均非零的等差数列为“类等比数列”（2）存在常数22a b k abλ+-=,使+21=n n n a a a λ++恒成立；证明：212n n n a a a k ++=+,211n n n a a a k -+∴=+()2n ≥221211n n n n n n a a a a a a ++-+∴-=- ∴221112nn n n n n a a a a a a +-+++=+,0n a ≠,对等式两边同时除以1n n a a +,得2111n n n n n n a a a a a a +-++++=211213112=n n n n n nn n n a a a a a a a a a a a a +-+-+-++++∴=== 132+12n n n a a a a a a ++∴+=12,a a a b ==,2213a a a k =+32231a k b k a a a--∴==,222132b k a a a a b k a a b ab-+++-∴== ∴存在常数22a b k abλ+-=,使+21=n n n a a a λ++恒成立（3）由题,2222131312a a a k a a a a =+=++,()1130a a a ∴+=,即130a a +=由（2）可知211213112=0n n n n n nn n n a a a a a a a a a a a a +-+-+-++++====20n n a a +∴+={}21n a -∴、{}2n a 均为公比为1-的等比数列,()()12121,1,n n na n ab n --⎧-⎪∴=⎨⎪-⎩为奇数为偶数, 11S a a ∴==,212S a a a b =+=+,()3123S a a a a b a b =++=++-=,()()412340S a a a a a b a a =+++=++-+-=,()()5123451S a a a a a a b a b a a S =++++=++-+-+=={}n S ∴是周期为4的数列, ()()123402S S S S a a b a b a b ∴+++=++++=+ ()()()()122019123412350450421010S S S S S S S a b a a b b S S a S b =++++++=⨯++++++++=+22．(14分)已知数列{}n a 满足16a =，212a =，372a =，12n n n b a a +=+()*n ∈N ，且{}n b 是等比数列．（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）①求证：14n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；②求证：对于任意*n ∈N ，都有12212111111 (43)n n a a a a -≤++++<成立．【答案】（1）64nn b =⋅；（2）见解析．【解析】（1）解：∵16a =，212a =，372a =， ∴121224b a a =+=，232296b a a =+=， ∵{}n b 是等比数列， ∴公比214q b b ==， ∴146424n n nb -⋅==⋅；（2）证：①∵1642n nn a a +=⋅+，∴11134242n n n n a a +++⋅=， ∴11111424n n n n a a ++⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，又11421a -=， ∴14n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为12，公比为12-的等比数列； ②由①可得，1142nn na ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，则4(2)n n n a =--，若k 为奇数，则11111114242k k k k k k a a ++++=++- 111111221212k k k k ++=-+-+- ()()1111221222121k k k k k +++-=+≤+-，∴122121111...n n a a a a -++++111114 (141643)14n ≤+++<=-，又∵111111104242k k k k k k a a ++++=+>+-， ∴122121111...n n a a a a -++++121114a a ≥+=．。

2021届高考数学一轮总复习专项练习：等比数列

2021届高考数学一轮总复习专项练习：等比数列1．在等比数列{a n }中，a 1＝12，q ＝12，a n ＝132，则项数n 为( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 C2．如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么( ) A ．b ＝3，ac ＝9 B ．b ＝－3，ac ＝9 C ．b ＝3，ac ＝－9 D ．b ＝－3，ac ＝－9答案 B3．在等比数列{a n }中，若公比q ＝2，S 4＝1，则S 8的值为( ) A ．15 B ．17 C ．19 D ．21答案 B4．(2018·安徽芜湖五联考)在等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项之和S 3＝21，则公比q 的值为( ) A ．1 B ．－12C ．1或－12D ．－1或12答案 C解析根据已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝7，①a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝21，②②÷①得1＋q ＋q 2q 2＝3.整理得2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12.5．(2018·江西新余一中调研卷)已知等比数列{a n }中，a 2＝2，a 6＝8，则a 3a 4a 5＝( ) A ．±64 B ．64 C ．32 D ．16答案 B解析因为a 2＝2，a 6＝8，所以由等比数列的性质可知a 2a 6＝a 42＝16，而a 2，a 4，a 6同号，所以a 4＝4，所以a 3a 4a 5＝a 43＝64，故选B.6．(2018·保定一中模拟)若项数为2m(m ∈N *)的等比数列的中间两项正好是方程x 2＋px ＋q ＝0的两个根，则此数列的各项积是( )A ．p mB ．p 2mC ．q mD ．q 2m答案 C解析由题意得a m a m ＋1＝q ，所以由等比数列的性质得此数列各项积为(a m a m ＋1)m ＝q m . 7．(2018·广西南宁联考)已知在等比数列{a n }中，a 3＝2，a 4a 6＝16，则a 9－a 11a 5－a 7＝( )A ．2B ．4C ．8D ．16答案 B解析因为数列{a n }是等比数列，a 3＝2，所以a 4a 6＝a 3q ·a 3q 3＝4q 4＝16，所以q 2＝2.所以a 9－a 11a 5－a 7＝a 3q 6－a 3q 8a 3q 2－a 3q 4＝（q 2）3－（q 2）4q 2－（q 2）2＝q 4＝4.故选B. 8．数列{a n }的前n 项和为S n ＝4n ＋b(b 是常数，n ∈N *)，若这个数列是等比数列，则b 等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．4答案 A解析等比数列{a n }中，q ≠1时，S n ＝a 1·（q n －1）q －1＝a 1q －1·q n －a 1q －1＝A·q n －A ，∴b ＝－1.9．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 1＝13a 2－13，S 2＝13a 3－13，则公比q ＝( )A ．1B ．4C ．4或0D ．8答案 B解析 ∵S 1＝13a 2－13，S 2＝13a 3－13，∴⎩⎨⎧a 1＝13a 1q －13，a 1＋a 1q ＝13a 1q 2－13，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－13，q ＝0，(舍去) 故所求的公比q ＝4.10．在14与78之间插入n 个数组成等比数列，若各项总和为778，则此数列的项数( )A ．4B ．5C ．6D ．7答案 B。

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