线性代数复习

1 1 2 3 1 7 0 2 2 5 4 4
消元解法的一般步骤 2
第二步：运用行变换，将第一列除第一个外 的其它元素都化成零：
ai1 第一行乘以 加到第i行上(i>1)； a11
1 1 2 3 1 7 0 2 2 5 4 4
向量 1
定义： n 个实数组成的有序数组称为 n 维向 量，如：
(a1 , a2 ,,a n ),
称为 n 维行向量，其中 ai 称为向量 的第 i 个分量。
行向量可以看作 1 n 的行矩阵。
向量 2
向量有时也写成一列，称之为n维列向量， 如
a1 a2 , a n
足方程组中
0 d r 1
这个等式，故方程组无解。
注：条件 d r 1 0 等价于：增广矩阵的秩比系 数矩阵的秩要大，即
r ( A b) r ( A).
线性方程组的解 3
d r 1 0 时，如果有
r=n，则方程有唯一解。
注1：条件 d r 1 0等价于：增广矩阵的秩与系 数矩阵的秩相等； 注2：条件r=n等价于：系数矩阵可以化为上 三角矩阵，且对角线上元素都不为零，从而 有
第一章 行列式 2
行列式按行（列）展开
代数余子式的计算
利用行列式的性质计算行列式
第一章 行列式 3
a11 x1 a12 x 2 a1 n x n 0 a x a x a x 0 21 1 22 2 2n n a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n 0
列向量可以看作 n 1 的列矩阵。
自由未知量 1
回忆：对以下方程组
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 a m 1 x1 a m 2 x 2 a mn x n bm
即
x1 a12 x 2 a1 r xr d 1 a1 ( r 1) xr 1 a1 n xn a11 a 22 x 2 a 2 r x r d 2 a 2 ( r 1 ) x r 1 a 2 n x n a rr x r d r a r ( r 1 ) x r 1 a rn x n
性质：矩阵的秩与其转置矩阵的秩相等。
第三章 线性方程组
消元解法的一般步骤 1
首先写出方程组的增广矩阵 第一步：如果 a11 0 则进行下一步；否则将 增广矩阵的第一行与另一行互换，使第一行 第一列的元素不为零；
1 7 如： 0 2 1 1 2 3 2 5 4 4
a11 0 0 0 0 0 a12 a 22 0 0 0 0 r a1 a 2r a rr 0 0 0 ( r 1) a1 n a1 a a 2( r 1) 2n a a r ( r 1) rn 0 0 0 0 0 0 d r 1 0 0 d1 d2 dr
Ax 0
的一个基础解系，则该方程组的全部解可 以表示为
c1v1 c2v2 cs v s
的形式，其中 c1 , c2 ,, cs 为任意常数。
齐次线性方程组解的结构 5
求方程组 Ax 0 基础解系的一般方法： 1、 将增广矩阵化为阶梯状； 2、 确定自由未知量； 3、 每次取一个自由未知量赋值为 1，其 它自由未知量赋值 0，从而得到方程 的一个解；如此得到的解向量组就是 基础解系。
Ax b,
的增广矩阵 ( A, b) 化为阶梯状矩阵，然后在左 边的系数矩阵 A 中找线性无关的 r 个列，选 取方式为： 第一个元素非零，其他元素为零的列； 第二个元素非零，下面的元素都为零的列； ………………… 第 r 个元素非零，下面的元素都为零的列。
齐次线性方程组解的结构 1
性质：齐次线性方程组
非齐次线性方程组解的结构 1
定义：在非齐次线性方程组
Ax b 中，如果用 0 代替 b ，所得到的齐次线性方
程组
Ax 0
称为方程组 Ax b 的导出组。
非齐次线性方程组解的结构 2
性质：非齐次线性方程组
Ax b
的解有下列性质： v 1 是 Ax 0 的解， 1、 如果 u1 是 Ax b 的解， 则 u1 v1 也是 Ax b 的解； 2、 如 果 u1 , u2 是 Ax b 的 解 ， 则 u1 u2 是 Ax 0 的解。
2
定理：如果齐次线性方程组 2 的系数行 列式 D 0则齐次线性方程组 2 没有非 零解.
第一章 行列式 4
练习：k取何值时，下面的齐次方程组 仅有零解？
kx y z 0 x ky z 0 2 x y z 0
第二章 矩阵 1
1 1 2 3 1 7 0 2 0 7 8 10
消元解法的一般步骤 3
第三步：如果 a22 0 则进行下一步；否则将 增广矩阵的第二行与另一行（不能是第一行） 互换，使第二行第二列的元素不为零；
第四步：运用行变换，将第二列除第一、二 个外的其它元素都化成零：
线性方程组的解 1
通过消元法所得的阶梯形方程组与原方程组 的解完全相同。
分析阶梯形方程组的形式，共有以下情 形： 1、 d r 1 0 ； 2、 d r 1 0 ：包含两种情况：r=n 和 r<n。
线性方程组的解 2
d r 1 0 时，无论 x1 , x2 ,, xn 如何取值，都无法满
第二章 矩阵 4
定义：对矩阵进行以下三种变换，称为矩阵的 初等变换： 交换矩阵的两行（列）； 以一个非零的数k乘矩阵的某一行（列）； 把矩阵某一行的l倍加到另外一行（列）上。
定义：对单位矩阵施以初等变换所得到的矩阵， 称为初等矩阵。
第二章 矩阵 5
定理：方阵A可逆的充分必要条件是它可以表 示为若干初等矩阵的乘积。
ai 2 第二行乘以 加到第i行上（i>2）； a 22
消元解法的一般步骤 4
1 1 2 3 1 7 0 2 0 7 8 10
1 1 2 3 7 0 2 1 0 0 23 69 2 2
对第三行直到m行进行类似的操作，直到得 到如下阶梯形式的矩阵：
cij aik bkj ai 1b1 j ai 2b2 j ail blj ,
k 1 l
( i 1,2, m; j 1,2,, n)
并记为 C AB .
第二章 矩阵 3
定义：若方阵的行列式不等于零，则称该 方阵为非奇异的。
定理： n 阶方阵 A (aij ) 可逆的充要条件是： A 是非奇异的。且其逆矩阵为 1 * 1 A A. A
两个矩阵 A (aij ), B (bij ) 为同型矩 阵,并且对应元素相等,即
aij bij i 1,2,, m; j 1,2,, n,
则称矩阵A与B相等,记作
A B.
第二章 矩阵 2
定义：设矩阵 A (aik )ml 的列数与 B (bkj )ln 的行数相同，则定义其乘积矩阵 C (cij )mn 为以下元素组成的 m n 矩阵：
d r 1 0 时， 如果有
r<n， 则方程有无穷多个解，
且解的形式为：
x1 k1 k1( r 1) c1 k1n cn r x k k c k c 2 2 2 ( r 1 ) 1 2 n n r x r k r k r ( r 1) c1 k rn cn r x r 1 c1 xr 2 c2 x c n r n
最后的矩阵所对应的阶梯形方程组为：
x1 a12 x 2 a1 r xr a1 ( r 1) x r 1 a1 n xn d1 a11 a x a x a x a x d 22 2 2 r r 2 ( r 1 ) r 1 2 n n 2 a rr x r a r ( r 1 ) x r 1 a rn x n d r 0 d r 1 00 00
r ( A b) r ( A) n.
d r 1 0 时，如果有
r<n，则方程可以化为
x1 a12 x 2 a1 r x r a1 ( r 1) x r 1 a1 n xn d1 a11 a 22 x 2 a 2 r x r a 2 ( r 1 ) x r 1 a 2 n x n d 2 a rr x r a r ( r 1 ) x r 1 a rn x n d r
Ax 0
的解有下列性质： 1解； 2、 如果 v 是方程组的解，则对任意常数 c ， cv 也是方程组的解。
齐次线性方程组解的结构 2
定义：如果 v1 , v2 , , vs 是齐次线性方程组
Ax 0
的解向量组的一个极大无关组，则称
v1 , v2 , , v s
是方程组的一个基础解系。
齐次线性方程组解的结构 3
定理：如果是齐次线性方程组
Ax 0
的系数矩阵 Amn 的秩
r ( A) r n
则方程组的基础解系存在，且每个基础解 系中，恰含有 n r 个向量。
齐次线性方程组解的结构 4
如果 v1 , v2 , , vs 是齐次线性方程组
当系数矩阵的秩=增广矩阵的秩时，方程有解。