本科线性代数总复习

第一章行列式一、单项选择题1．二阶行列式k?122k?1≠0的充分必要条件是A．k≠-1B．k≠3C．k≠-1且k≠3 D．k≠-1或≠3 答案：C a1b1ac2．设行列式11aba2b2=1，a2c2=2，则11?c1a2b2?c2=A．-3B．-1C．1 D．3 答案：D ?3.如果方程组?3x1?kx2?x3?0?4x?2?x3?0有非零解,则k= ?4x2?kx3?0A.-2 B.-1答案： B a11a12a13a115a11?2a12a134．设行列式D=a21a22a23=3，D1=a215a21?2a22a23，则D1的值为?110A．-2B．-1 C． 1 D． 2 答案： C a11a12a132a112a122a136.已知a21a22a23=3，那么a21a22a23= a31a32a33?2a31?2a32?2a33A.-24

B.-12

C.-6 答案：B 二、填空

题 1 ）a112a124a226a323a136a239a33a11a12a1 3a23a337．已知3阶行列式2a213a31=6，则aa2221a31a32=_______________.答案：1/6 8．设3阶行列式D3的第2列元素分别为1，-2，3，对应的代数余子式分别为-3，2，1，则D3=__________________.答案：-4 9．已知行列式a1?b1a1?b1a2?b2a，则a1b1?______.答案：2 2?b??42a2b2三、计算题111410．求4阶行列式11311211的值. 111100030003解：原式=11310020 1211?1211111111110003?00200020100?? 3010??601111111111?6 120011.计算四阶行列式01200012的值. 2001120200解：原式=012?2120??15 0010121234512.设77733,求AA?3245231?A32?A33，A34?A35．3332246523答案：0,0. 第一章矩阵一、单项选择题

1．设A为三阶矩阵，|A|=a≠0，则其伴随矩阵A*的行列式|A*|= 2 答案：B 2．设A、B为同阶可逆矩阵，则以下结论正确的是A．|AB|=|BA| C．-1=A-1B-1 B．|A+B|=|A|+|B| D．2=A2+2AB+B2 答案：A 3．设A可逆，则下列说法错误的是．．A．存在B使AB=E C．A 相似于对角阵答案：C 4．设A为3阶方阵，且|A|＝2，则|2A-1|= A．-4 B．-1C．1 答案：D D．4 B．|A|≠0 D．A的n个列向量线性无关?12??123???5．设矩阵A＝，B ＝??，C＝??456??，则下列矩阵运算中有意义34????的是A．ACB B．ABC C．BAC D．CBA 答案：B 6．设A为任意n阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是A．A＋AT B．A－AT C．AAT D．ATA 答案：B ?ab???7．设2阶矩阵A ＝?cd?，则A????d?d?b??A．???ca?? B．?b???答案：A ＊＝c???db??C．??c?a?? ?a?????d?c???

D．??b a????33???8．矩阵??10?的逆矩阵是???0?1?0?3???0?1??1?????? C．?1? A．??B．?1333?????3?答案：C 9．设A为n阶方阵，λ为实数，则|λA|= 1??1??3D．???10?? ??3 A．λ|A|B．|λ||A|C．λn|A| D．|λ|n|A| 答案：C 10．设A为n 阶方阵，令方阵B=A+AT，则必有A．BT=B B．B=2A C．BT=-B D．B=0 答案：A 11.设A、B为同阶方阵，下列等式中恒正确的是=B B.?A?B??1?A?1?B?1 C. A?B?A?B D.?A?B?T?AT?BT 答案：D 12.设A为四阶矩阵，且A?2,则A*? 答案：C 13.设A，B为同阶可逆方阵，则下列等式中错误．．的是 A.|AB|=|A| |B| B. (AB)-1=B-1A-1 C. (A+B)-1=A-1+B-1 D. (AB)T=BTAT答案：C 14.设A为三阶矩阵，且|A|=2，则|-1|= A.14答案：A 15．设A为3阶方阵，且?113A?3，则|A|?

A．-9B．-3C．-1 D．9 答案：B 16．设A、B为n阶方阵，满足A2=B2，则必有A．A=B B．A= -B C．|A|=|B| D．|A|2=|B|2 答案：D 17．设A为5×4矩阵，若秩=4，则秩为A．2B．3C．4 D．5 答案：C 18.设A,B,C为同阶方阵，下面矩阵的运算中不成立．．．的是=AT+BT

B.|AB|=|A||B| =BA+CA =BTAT 答案：C

19.若矩阵A可逆，则下列等式成立的是=1AA*?0 C.(A2)?1?(A?1)2 D.(3A)?1?3A?1 答案：C 20．设A为2阶矩阵，若3A=3，则2A? 4 A．14B．1 C．23D．2 答案：C 21.设A 为3阶方阵，B为4阶方阵,且行列式|A|=1，|B|=-2，则行列式||B|A|之值为A.-8 B.-2答案：A 二、填空题22．设A，B均为三阶可逆阵，|A|=2，则|2B-1A2B|=_________.答案：32 ?100???23．设三阶方阵A等价于?010?，??000??则R=_________.

答案：2 ?0?24．设3阶矩阵A=?0?2??0??答案：?01??2?5201203??5?，则-1=_____________. 0??3???1? ?0???100??600?????220? ?，则A*A=_____________.答案：?060? 25．设3阶矩阵A=?333??006??????200?????2-1 01026.设A=??,则A=___________.答案：?0?022??0???101?1???0??0? 1?2???6?120??，则A*=___________答案：?027.设A=?030????0??002???20??20? 03???21?28．设A=，B=??40?，则AB=_________.答案：??35???29．设A为3阶方阵，若|AT|=2，则|-3A|=_________.答案：-54 ?12???30.设A为2阶矩阵，将A的第2列的倍加到第1列得到矩阵B.若B=??，则?34??? 5

A=______________.答案：???52?? ??114?1,则|A-1|=___________________________.答

案：?n 31.设A为n阶可逆矩阵，且|A|=?n32.设A为3阶方阵，且| A |=3，则| 3A-1 |=______________. 三、计算题??100?33．设A=??1?10? ??11?1???求-1 -1 ??300?解：-1=A-2E=??1?30? ??11?3????100?? 1?100?-1???110?????110? ???111?????0?1 1????100???300???3-1???110??1?30????? 0?11????11?3?????4???0?34．设A=?101??210???,求A-1 ??32?5??解??101100??1100??210010????01? 01?2?210?????1?0???32?5001????02?330 1????0?100?62?1????01012?32?? ??0017? 21????62?所以A?1??1??12?32?? ??7?21?? 00??30?4?3? ??0111?2?2017：00?10?? ?21??6 ?101??301???? ?35.已知矩阵A=?1?10?，B=?110?，?012??014?????求A的逆矩阵A-1；解矩阵方程AX=B. 解：

1100?1100??101100??10?10??????1?1001 0?0?1?1?110?0?1?1?110???????012001?? 01?002001?1?111????????1002?1?1??100 2?1?1???????0?10?221???0102?2?1? ?001 ?11?001?111?1??????2?1?1????1所以A??2?2?1? ??111????2?1?1??301??5 ?2?2????????1?3?2?

X?AB??2?2?1??110???4?????113?1????? 014???22??1136．设A=?0?1??00?解?0??12??1，B=?01?，又AX=B，求矩阵X. ?10?1????2?：??11?0?1??00 ?0112?12?01??10???11012?????0?1101?? 00120????11012?????0?10?21??00120??? ?100?13???13???????0102?1?所以X??2?1? ?0012?20?0?????第二章

一、单项选择题1．设α1=[1，2，

1]，α2=[0，5，3]，α3=[2，4，2]，则向量组α1，α2，α秩是A．0B．1 C．2 3的D．3 7 答案：C 2．若向量组α1=，α2=，α3=线性相关，则实数t= A．0

B．1C．2 D．3 答案：B 3．设A是4×5矩阵，秩=3，则A．A中的4阶子式都不为0 B．A中存在不为0的4阶子式C．A中的3阶子式都不为0 D．A 中存在不为0的3阶子式答案：D 4．设向量组α1，α2，…，αs线性相关，则必可推出A．α1，α2，…，αs中至少有一个向量为零向量B．α1，α2，…，αs 中至少有两个向量成比例C．α1，α2，…，αs中至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合D．α1，α2，…，αs中每一个向量都可以表示为其余向量的线性组合答案：C 5.向量组α1 ，α2 ，…，αs 的秩不为s(s?2)的充分必要条件是A. α1 ，α2 ，…，αs 全是非零向量B. α1 ，α2，…，αs 全是零向量C. α1 ，α2，…，αs中至少有一个向量可其它向量线性表出 D. α1 ，α2，…，αs 中至少有一个零向量答案：C 6．向量组α1，α2，…αs，(s＞2)线性无关的充分必要条件是A．α1，α2，…，αs 均不为零向量B．α1，α2，…，αs

中任意两个向量不成比例C．α1，α2，…，αs中任意s-1个向量线性无关D．α1，α2，…，αs中任意一个向量均不能其余s-1个向量线性表示答案：D 7.已知向量组A：?1,?2,?3,?4中?2,?3,?4线性相关，那么 A. ?1,?2,?3,?4线性无关

C. ?1可?2,?3,?4线性表示答案：B

8.向量组?1,?2,??s的秩为r，且r

B. ?1,?2,??s中任意r个向量线性无关B. ?1,?2,?3,?4线性相关D. ?3,?4线性无关

C. ?1,?2,??s中任意r+1个向量线性相关

D. ?1,?2,??s中任意r-1个向量线性无关答案;C 9．设向量α1?(a1,b1,c1),α2?(a2,b2,c2),β1?(a1,b1,c1, d1),β2?(a2,b2,c2,d2)，下列命题中正确的是8 A．若α1,α2线性相关，则必有β1，β2线性相关B．若α1,α2线性无关，则必有β1，β2线性无关C．若β1，β2线性相关，则必有α1,α2线性无关D．若β1，β2线性无关，则必有α1,α2线性相关答案：B 10．设A，B分别为m×n和m×k矩阵，

向量组是A的列向量构成的向量组，向量组是的列向量构成的向量组，则必有A．若线性无关，则线性无关B．若线性无关，则线性相关C．若线性无关，则线性无关D．若线性无关，则线性相关D答案：C 11．向量组?1,?2,?,?s(s?2)的秩不为零的充分必要条件是A．?1,?2,?,?s中没有线性相关的部分组C．?1,?2,?,?s全是非零向量B．?1,?2,?,?s中至少有一个非零向量D．?1,?2,?,?s全是零向量答案：B 12.设有向量组A：?1，?2，?3，?4，其中?1，?2，?3线性无关，则 A.?1，?3线性无关 B.?1，?2，?3，?4线性无关C.?1，?2，?3，?4线性相关D.?2，?3，?4线性相关答案：A 13．设向量组?1,?2,?3,?4线性相关，则向量组中A．必有一个向量可以表为其余向量的线性组合B．必有两个向量可以表为其余向量的线性组合C．必有三个向量可以表为其余向量的线性组合D．每一个向量都可以表为其余向量的线性组合答

案：A 14.设α1，α2，α3，α4 是三维实向量，则 A. α1，α2，α3，α4一定线性无关 B. α1一定可α2，α3，α4线性表出C. α1，α2，α3，α4一定线性相关 D. α1，α2，α3一定线性无关答案：C 15.已知向量组α1,α2,α3线性无关，α1,α2,α3，β线性相关，则 A.α1必能α2,α3，β线性表出C.α3必能α1,α2，β线性表出答案：D 二、填空题 B.α2必能α1,α3，β线性表出 D.β必能α1,α2,α3线性表出16.向量组α1 =(1,0,0) α2 =(1,1,0), α3 =(-5,2,0)的秩是___________.答案：2 17．设α1=[1，2，x],α2=[-2，-4，1]线性相关，则x=_________.答案：? 1 29 18．已知向量α=，β=，如果α+ξ=β，则ξ=_________. 答案：19．已知向量组?1?(1,2,3)T,?2?(2,2,2)T,?3?(3,2,a)T线性相关，则数a?______.答案：1 123?203?a222??102?a??2?23?a?2(1?a)?32 a32a?12?a0,a?1 三、计算题20．设向量组α1=T，α2=T，α3=T，

α4=T. 求向量组的一个极大线性无关组；将其余向量表为该极大线性无关组的线性组合. 解??1230???123?1,?2,?3,?4)?A???1? 203?????003?2460???1?2?1?4???000?0?4 ?4??1230??00?3??0100??1?0100???0011? ???011?? ?0000???0?0000??秩为 3 a1,a2,a3是向量组a1,a2,a3,a4的一个极大线性无关组且a4??3a1?a3. 21．设向量组?1?(1,4,1,0)T,?2?(2,1,?1,?3)T,?3?(1,0,?3 ,?1)T,?4?(0,2,?6,3)T，求该向量组的秩及一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示．解??1210???1210???4102????0? 7?42??121?1?1?3?6?????0?400?3?4?6??? ???0?3?13????0?3???0?3?4?13????0?3?1 ：0?3?0????4??：0?8???6??3???10 （

10?0??12?121?12?????0?2??01?010?2??0

1???00?3?9??00?3?9??00??????0?3?13?? 00?1?3??00??????1??0?0??0?1??10?2?秩为 3 013??000??0010??0?2???13?00???1??0?0 ??0?4??10?2???013?000??01a1,a2,a3是向量组a1,a2,a3,a4的一个极大线性无关组且a4??1?2a2.?3?3 四、证明题22．设向量组α1，α2，α3线性无关，证明α1+α2，α1-α2，α3也无关. 证明：设k1(?1??2)?k2(?1??2)?k3?3?0，即(k1?k2)?1?(k1?k2)?2?k3?3?0，于α1，α2，α3线性无关，故有?k1?k2?0??k1?k2?0解之得，k1?k2?k3?0?k?0?3故α1+α2，α1-α2，α3也线性无关．23．设向量组α1，α2，α3线性无关，β1=α1+α2，β2=α2+α3，β3=α3+α1，证明：向量组β1，β2，β3线性无关. 证明：设k1(?1??2)?k2(?2??3)?k3(?3??1)?0，即(k1?k3)?1?(k1?k2)?2?(k2?k3)?3?0，于α1，α2，α3线性无关，故

有?k1?k3?0??k1?k2?0解之得，k1?k2?k3?0?k?k?03?2故β1，β2，β3也线性无关．24.证明：若向量组?1,?2,??n线性无关,而?1??1??n,?2??1??2,?3??2??3,?, ?n ??n?1+?n，则向量组?1,?2,?,?n线性无关的充要条件是n为奇数。

11 1 证明1101??00 0A???????1???1?000?1n?1n为奇数时，A?0??1,?2,?,?n线性无关即向量组?1,?2,?,?n线性无关的充要条件是n为奇数第三章一、单项选择题1．设α1，α2是非齐次方程组Ax=b的解，β是对应的齐次方程组Ax=0的解，则Ax=b必有一个解是A．α1+α答案：D 2．设3元非齐次线性方程组Ax=b的两个解为α=T，β=T，且系数矩阵A的秩r(A)=2，则对于任意常数k, k1, k2, 方程组的通解可表为A．k1(1,0,2)T+k2(1,-1,3)T B．(1,0,2)T+k (1,-1,3)T C．(1,0,2)T+k (0,1,-1)T D．(1,0,2)T+k

(2,-1,5)T 答案：C 3．已知β1，β2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，α1，α2是其导出组Ax=0的一个基础解系，C1，C2为任意常数，则方程组Ax=b的通解可以表为1A．(β1?β2)?C1α1?C2(α1?α2) 21C．(β1?β2)?C1α1?C2(β1?β2) 21B．(β1?β2)?C1α1?C2(α1?α2) 21D．(β1?β2)?C1α1?C2(β1?β2) 22 B．α1-α2C．β+α1+α 2 11D．β+?1??2 22答案：A 4.设3元线性方程组Ax=b,A的秩为2，?1，?2，?3为方程组的解，?1+?2=T，?1+?3=T，则对任意常数k，方程组Ax=b的通解为A．(1,0,2)T+k(1,-2,1)T C．(2,0,4)T+k(1,-2,1)T 答案：D B．(1,-2,1)T+k(2,0,4)T D．(1,0,2)T+k(1,2,3)T 5.设?1，?2是Ax=b的解，η是对应齐次方程Ax=0的解，则A. η+?1是Ax=0的解 C. ?1+?2是Ax=b的解答案：B 12

B. η+是Ax=0的解D. ?1-?2是Ax=b的解6．设A为5阶方阵，若秩=3，则齐次线性方程组Ax=0的基础解系中包含的解向量的个数是A．2 B．3C．4 D．5 答案：A 7．设m×n矩阵A的秩为n-1，且ξ1，ξ2是齐次线性方程组Ax=0的两个不同的解，则Ax=0的通解为A．kξ1，k∈R B．kξ2，k∈R C．kξ1+ξ2，k∈R D．k(ξ1-ξ2),k∈R 答案：D 8．对非齐次线性方程组Am×nx=b，设秩=r，则A．r=m时，方程组Ax=b有解B．r=n 时，方程组Ax=b有唯一解C．m=n时，方程组Ax=b有唯一解D．r9..设A 是4×6矩阵，r=2，则齐次线性方程组Ax=0的基础解系中所含向量的个数是答案：D 10.若A为6阶方阵，齐次线性方程组Ax=0的基础解系中解向量的个数为2，则r(A)=()二、填空题11．设非齐次线性方程组Ax=b的增广矩阵为?????1???2??1002?1??010?1?2?，

则该方程组的通解为_____.答案：?2??k?1?,k为任意常数. ?????0024?6????3???2??0??1??? ??12．已知某个3元非齐次线性方程组Ax=b的增广矩阵A经初等行变换化为：3?1??1?2??A??02?12?，若方程组无解，则a的取值为____________.答案：0 ?00a(a?1)a?1???13.设A为3?3矩阵,且方程组A x=0的基础解系含有两个解向量,则秩(A)= ____.答案：1 ?122???14.设矩阵A=?2t3?，若齐次线性方程组Ax=0有非零解，则数t=______.答案：2 ?345???15.设α1，α2是非齐次线性方程组Ax=b的解.则A=_________.答案：b 16.设A是m×n实矩阵，若r=5，则r=_________.答案：5 ?a11??x1??1???x???1?有无穷多个解，则a=_________.答案：-2 1a117.设线性方程组????2?????11a????x3?????2??三、计算题13 ?x1?2x3?x4?2?18．设有非齐次线性方程

组?x1?x2?x3?4x4?a ?x?x?3x?2x?12 34?1问a为何值时方程组无解？有无穷解？并在有解时求其通解. 212??10212??10????4a???01?13a?2?? 解：?111??1?13?21????0?11?3?1????102 12??01?13a?2?? ??0000a?3??a?3时无解，a?3时有无穷解，通解为??2???2?????1?????1???1???0??k???3 ?1?1??k2??,k1k2为任意常数. ??0??????0???0????1???x1?2x19．求线性方程组?2?4x3?3?2x?2?2x3?3的通解. ?2x1?2x2?6x3?3?1243??0解：??0223??1020??1023??????0223???? ???2263???2040???011?2??0000? ???0??通解为????3????k??2???1??，k?2为任意常

数. ?0?????1????x1?x2?x3?x4?x5?7 20.求非齐次方程组??3x1?2x2?x3?x4?3x5??2?x2?2x3?2x 的通解. 4?6x5?23??5x1?4x2?3x3?3x4?x5?12??111 117?211?3?2????11111

解：?3??0?1?2?2??0122623??6?01??54?3 3?112?226?????0?1?8?2?6

7??23??23???23???14 ?1??0?0??0?0 ?1?1?5?16??1??122623??0???010000???0 0000???000?1?5?16??102623? ?01000?00 000????16??1??5???????23?2??????6?通解为???0??k1?0??k2?0?，k1k2为任意常数. ?0??1??0?????0???0???1??????? ?x3?1?x1?x2??x2?x3?121．当a, b为何值时，方程组? 有无穷多解？并求出其通解. ?2x?3x?(a?2)x?b?323?111??11?? ?11??

解：?01?23a?2b?3???1??111???01?11??? 01ab?1???11??11???01?11? ?00a?1b???a? ?1且b?0时，方程组有无穷多组解?1111??1020?????(A,b)??01?11?? ?01?11? ?0000??0000???????2??0?? ???通解为??k?1???1?,k为任意常数. ?1??0?????四、证明题22．设?为Ax=0的非零解，?为Ax=b(b?0)的解，证明?与?线性无关. 证明：设存在数k1,k2使得k1??k2??0

线性代数期末考试试卷答案合集

线性代数期末考试试卷答案合集文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]

三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2 分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （）。 ① n 2 ② 12-n ③ 12+n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 s n ）线性无关的充要条件是（）。 ① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ s ααα，，， 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。 ① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关 4. 设A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。 ① 若A ，B 均可逆，则B A +可逆 ② 若A ，B 均可逆，则 A B 可逆 ③ 若B A +可逆，则 B A -可逆 ④ 若B A +可逆，则 A ，B 均可逆 5. 若4321νννν，，，是线性方程组0=X A 的基础解系，则4321νννν+++是0=X A 的（） ① 解向量 ② 基础解系 ③ 通解 ④ A 的行向量四、计算题 ( 每小题9分，共63分) 1. 计算行列式 x a b c d a x b c d a b x c d a b c x d ++++。

线性代数知识点总结

线性代数知识点总结第一章行列式 1. n 阶行列式()() 12 1212 11121212221212 1= = -∑ n n n n t p p p n p p np p p p n n nn a a a a a a D a a a a a a 2.特殊行列式 () () 1112 11222211221122010 n t n n nn nn nn a a a a a D a a a a a a a = =-= 1 2 12 n n λλλλλλ=， () ()1 12 2 121n n n n λλλλλλ-=- 3.行列式的性质定义记 11121212221 2 n n n n nn a a a a a a D a a a =，11211 1222212n n T n n nn a a a a a a D a a a = ，行列式T D 称为行列式D 的转置行列式。性质1 行列式与它的转置行列式相等。性质2 互换行列式的两行() ?i j r r 或列() ?i j c c ，行列式变号。推论如果行列式有两行（列）完全相同（成比例），则此行列式为零。性质3 行列式某一行（列）中所有的元素都乘以同一数()?j k r k ，等于用数k 乘此行列式；推论1 D 的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到D 的外面; 推论2 D 中某一行（列）所有元素为零，则=0D 。性质4 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则 1112111212222212 () ()()i i n i i n n n ni ni nn a a a a a a a a a a D a a a a a '+'+='+11121111121121222221222212 12 i n i n i n i n n n ni nn n n ni nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ''=+ ' 性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，

线性代数习题集(带答案)

第一部分专项同步练习第一章行列式一、单项选择题 1．下列排列是 5 阶偶排列的是( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列j1 j2 j n 的逆序数是k , 则排列j n j2 j1的逆序数是( ). n! (A) k (B) n k (C) k 2 n(n 1) (D) k 2 3. n 阶行列式的展开式中含a11a12 的项共有( )项. (A) 0 (B) n 2 (C) (n 2)! (D) (n 1)! 0 0 0 1 4． 1 1 ( ). 1 0 0 0 (A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 2 0 0 1 0 5.0 1 1 ( ). 1 0 0 0 (A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 2 2x x 1 1 6．在函数 1 x 1 2 f (x) 中 3 2 x 3 3 x 项的系数是( ). 0 0 0 1 (A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 2 1

7. 若 a a a 11 12 13 1 D a a a ，则 21 22 23 2 a a a 31 32 33 2a a 13 a 33 a 11 a 31 2a 12 2a 32 11 D 2a a a 2a ( ). 1 21 23 21 22 2a 31 (A) 4 (B) 4 (C) 2 (D) 2 a a 11 ，则 12 8．若 a a a 21 22 a 12 a 11 ka 22 ka 21 ( ). 2 (D) k2a (A) ka (B) ka (C) k a 9．已知 4 阶行列式中第 1 行元依次是4, 0, 1, 3, 第 3 行元的余子式依次为2, 5,1, x, 则x ( ). (A) 0 (B) 3 (C) 3 (D) 2 8 7 4 3 10. 若 6 2 3 1 D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). 1 1 1 1

线性代数期末考试试卷+答案合集

×××大学线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性。 5．n 阶方阵A 满足032 =--E A A ，则=-1A 。二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（） 3. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （）。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（）。 ① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示

线性代数试题及答案。。

第一部分选择题(共28分) 一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m， a a a a 1311 2321 =n，则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于（） A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ，则A-1等于（） A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ? ? ? ? ? ? ? ，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（） A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（） A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（） A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0 D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+ λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵A的秩为r，则A中（） A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0 8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（） A.η1+η2是Ax=0的一个解 B.1 2η1+1 2 η2是Ax=b的一个解 C.η1-η2是Ax=0的一个解 D.2η1-η2是Ax=b的一个解 9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）

大一线性代数期末考试试卷

线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性。 5．n 阶方阵A 满足032 =--E A A ，则=-1 A 。二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（） 3. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （）。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（）。 ① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示

线性代数知识点总结汇总

线性代数知识点总结 1 行列式（一）行列式概念和性质 1、逆序数：所有的逆序的总数 2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和 3、行列式性质：（用于化简行列式）（1）行列互换（转置），行列式的值不变（2）两行（列）互换，行列式变号（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k 乘此行列式（4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。（5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。（6）两行成比例，行列式的值为0。（二）重要行列式 4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积 5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘 6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则 7、n阶（n≥2）范德蒙德行列式

数学归纳法证明 ★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值：（三）按行（列）展开 9、按行展开定理：（1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0 （四）行列式公式 10、行列式七大公式：（1）|kA|=k n|A| （2）|AB|=|A|·|B| （3）|A T|=|A| （4）|A-1|=|A|-1 （5）|A*|=|A|n-1 （6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，则（7）若A与B相似，则|A|=|B| （五）克莱姆法则 11、克莱姆法则：（1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解

（2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0 （3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。 2 矩阵（一）矩阵的运算 1、矩阵乘法注意事项：（1）矩阵乘法要求前列后行一致；（2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律）（3）AB=O不能推出A=O或B=O。 2、转置的性质（5条）（1）（A+B）T=A T+B T （2）（kA）T=kA T （3）（AB）T=B T A T （4）|A|T=|A| （5）（A T）T=A （二）矩阵的逆 3、逆的定义： AB=E或BA=E成立，称A可逆，B是A的逆矩阵，记为B=A-1 注：A可逆的充要条件是|A|≠0 4、逆的性质：（5条）（1）（kA）-1=1/k·A-1 (k≠0) （2）（AB）-1=B-1·A-1 （3）|A-1|=|A|-1 （4）（A T）-1=（A-1）T （5）（A-1）-1=A

线性代数期末复习题

线性代数一. 单项选择题 1。设A 、B 均为n 阶方阵，则下列结论正确的是 . （a)若A 和B 都是对称矩阵，则AB 也是对称矩阵（b ）若A ≠0且B ≠0,则AB ≠0 (c)若AB 是奇异矩阵，则A 和B 都是奇异矩阵 (d ）若AB 是可逆矩阵,则A 和B 都是可逆矩阵 2. 设A 、B 是两个n 阶可逆方阵，则()1-?? ????'AB 等于（）（a ）()1-'A ()1-'B (b ） ()1-'B ()1-'A （c ）() '-1B )(1'-A （d ）() ' -1B ()1-'A 3.n m ?型线性方程组AX=b,当r(A ）=m 时，则方程组。（a ）可能无解 (b)有唯一解 (c)有无穷多解（d ）有解 4.矩阵A 与对角阵相似的充要条件是。 (a ）A 可逆 (b)A 有n 个特征值 (c) A 的特征多项式无重根（d) A 有n 个线性无关特征向量 5。A 为n 阶方阵,若02 =A ，则以下说法正确的是。 (a ） A 可逆 (b ） A 合同于单位矩阵 (c ） A =0 (d ） 0=AX 有无穷多解 6．设A ,B ，C 都是n 阶矩阵，且满足关系式ABC E =,其中E 是n 阶单位矩阵，则必有（）（A ）ACB E = (B)CBA E = (C ）BAC E = (D ） BCA E = 7．若233 32 31 232221 131211 ==a a a a a a a a a D ，则=------=33 32 3131 2322 212113 1211111434343a a a a a a a a a a a a D ( ）（A ）6- （B ）6 （C ）24 （D ）24- 二、填空题 1.A 为n 阶矩阵，|A ｜=3,则|AA '｜= ，｜ 1 2A A -* -|= . 2．设???? ??????=300120211A ,则A 的伴随矩阵=*A ； 3．设A ＝? ? ?? ??--1112，则1 -A ＝。

线性代数知识点总结

线性代数知识点总结第一章行列式（一）要点 1、二阶、三阶行列式 2、全排列和逆序数，奇偶排列（可以不介绍对换及有关定理），n 阶行列式的定义 3、行列式的性质 4、 n 阶行列式 ^a i j ，元素a j 的余子式和代数余子式，行列式按行（列）展开定理 5、克莱姆法则（二）基本要求 1 、理解n 阶行列式的定义 2、掌握n 阶行列式的性质 3 、会用定义判定行列式中项的符号 4、理解和掌握行列式按行（列）展开的计算方法，即 a 1i A Ij ' a 2i A 2 j ' a ni A nj ^ 5、会用行列式的性质简化行列式的计算，并掌握几个基本方法：归化为上三角或下三角行列式，各行（列）元素之和等于同一个常数的行列式，利用展开式计算 6、掌握应用克莱姆法则的条件及结论会用克莱姆法则解低阶的线性方程组 7、了解n 个方程n 个未知量的齐次线性方程组有非零解的充要条件第二章矩阵（一）要点 1、矩阵的概念 m n 矩阵A =（a j ）mn 是一个矩阵表。当 m =n 时，称A 为n 阶矩阵，此时由 A 的元素按原来排列的形式构成的 n 阶行列式，称为矩阵 A 的行列式，记为 A . 注：矩阵和行列式是两个完全不同的两个概念。 2、几种特殊的矩阵：对角阵；数量阵；单位阵；三角形矩阵；对称矩阵 a i 1A j 1 ■ a i2A j 2 ? a in A jn = 〔 D '

3、矩阵的运算；矩阵的加减法；数与矩阵的乘法；矩阵的转置；矩阵的乘法 (1矩阵的乘法不满足交换律和消去律，两个非零矩阵相乘可能是零矩阵。如果两矩阵A与B相乘，有AB = BA ,则称矩阵A与B可换。注：矩阵乘积不一定符合交换 (2)方阵的幕：对于n阶矩阵A及自然数k， A k=A A A , 1 k个规定A° = I ,其中I为单位阵. (3) 设多项式函数(J^a^ k?a1?k^l Z-心律??a k，A为方阵，矩阵A的多项式(A) = a0A k?a1A k' …-?-a k jA ■ a k I ,其中I 为单位阵。 (4)n阶矩阵A和B ,贝U AB=IAB . (5)n 阶矩阵A ,则∣∕Λ =λn A 4、分块矩阵及其运算 5、逆矩阵：可逆矩阵(若矩阵A可逆，则其逆矩阵是唯一的)；矩阵A的伴随矩阵记 * 为A , AA* = A*A = AE 矩阵可逆的充要条件；逆矩阵的性质。 6、矩阵的初等变换：初等变换与初等矩阵；初等变换和初等矩阵的关系；矩阵在等价意义下的标准形；矩阵A可逆的又一充分必要条件：A可以表示成一些初等矩阵的乘积；用初等变换求逆矩阵。 7、矩阵的秩：矩阵的k阶子式；矩阵秩的概念；用初等变换求矩阵的秩 8、矩阵的等价 (二)要求 1、理解矩阵的概念；矩阵的元素；矩阵的相等；矩阵的记号等 2、了解几种特殊的矩阵及其性质 3、掌握矩阵的乘法；数与矩阵的乘法；矩阵的加减法；矩阵的转置等运算及性质 4、理解和掌握逆矩阵的概念；矩阵可逆的充分条件；伴随矩阵和逆矩阵的关系；当A 可逆时，会用伴随矩阵求逆矩阵 5、了解分块矩阵及其运算的方法 (1)在对矩阵的分法符合分块矩阵运算规则的条件下，其分块矩阵的运算在形式上与不分块矩阵的运算是一致的。 (2)特殊分法的分块矩阵的乘法，例如A m n, B nl,将矩

线性代数期末总复习

线性代数期末总复习第一章 P3：定义1.3 在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小次序相反，即前面的数大于后面的数，则称这对数为一个逆序；一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数．排列 12n j j j 的逆序数记为12()n j j j τ. 例1 排列 31542 的逆序数. 解 3排在首位，逆序数为0; 1的前面比1大的数有一个数3，故逆序数为1; 5是最大数，逆序数为0; 2的前面比2大的数有三个数3，5，4，故逆序数为3; 4的前面比4大的数有一个数5，故逆序数为1，故这个排列的逆序数(31542)τ=0+1+0+3+1=5. P11：定义1.7 在n 级行列式det()ij a 中将元素ij a 所在的第 i 行与第 j 列划去，剩下2(1)n -个元素按原位置次序构成一个1n -级的行列式， 111,1 1,1 1 1,1 1,11,11,1,11, 11, 1 1, 1 ,1, 1 j j n i i j i j i n ij i i j i j i n n n j n j nn a a a a a a a a M a a a a a a a a -+----+ - ++ -+++- += 称之为元素ij a 的余子式．令(1)i j ij ij A M +=-, 称ij A 为元素ij a 的代数余子式． P15：例1.11 计算行列式 .n a b b b b a b b d b b a b b b b b a = 解把n d 第二列加到第一列，行列式不变，再把第三列加到第一列,行列式也不变 ……直到第n 列也加到第一列，即得 12(1)(1)(1)n n a n b b b a n b a b d c c c a n b b a +-+-++ ++-

线性代数期末考试试题(含答案)

江西理工大学《线性代数》考题一、填空题（每空3分，共15分） 1. 设矩阵??????????=333222 111 c b a c b a c b a A ,??????????=333 222111d b a d b a d b a B 且4=A ,1=B 则=+B A ______ 2. 二次型233222213214),,(x x tx x x x x x f +-+=是正定的，则t 的取值范围__________ 3. A 为3阶方阵，且2 1=A ，则=--*12)3(A A ___________ 4. 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是___________ 5. 设A 为n 阶方阵，n βββ ,,21为A 的n 个列向量，若方程组0=AX 只有零解，则向量组(n βββ ,,21)的秩为 _____ 二、选择题（每题3分，共15分） 6. 设线性方程组?????=+=+--=-032231 3221ax cx bc bx cx ab ax bx ，则下列结论正确的是（） (A)当c b a ,,取任意实数时，方程组均有解 (B)当a ＝0时，方程组无解 (C) 当b ＝0时，方程组无解 (D)当c ＝0时，方程组无解 7. A.B 同为n 阶方阵，则（）成立 (A) B A B A +=+ (B) BA AB = (C) BA AB = (D) 111)(---+=+B A B A 8. 设??????????=333231232221 131211 a a a a a a a a a A ，??????????+++=331332123111131211232221a a a a a a a a a a a a B ,??????????=1000010101P , ???? ??????=1010100012P 则（）成立 (A)21P AP (B) 12P AP (C) A P P 21 (D) A P P 12 9. A ,B 均为n 阶可逆方阵，则AB 的伴随矩阵=*)(AB （） (A) **B A (B) 11--B A AB (C) 11--A B (D)**A B 10. 设A 为n n ?矩阵，r A r =)(＜n ，那么A 的n 个列向量中（）（A ）任意r 个列向量线性无关

线性代数期末考试试题含答案

线性代数期末考试试题含答案 The final edition was revised on December 14th, 2020.

江西理工大学《线性代数》考题一、填空题（每空3分，共15分） 1. 设矩阵??????????=333222 111 c b a c b a c b a A ,??????????=333 222111d b a d b a d b a B 且4=A ,1=B 则=+B A ______ 2. 二次型233222213214),,(x x tx x x x x x f +-+=是正定的，则t 的取值范围__________ 3. A 为3阶方阵，且2 1=A ，则=--*12)3(A A ___________ 4. 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是___________ 5. 设A 为n 阶方阵，n βββ ,,21为A 的n 个列向量，若方程组0=AX 只有零解，则向量组(n βββ ,,21)的秩为 _____ 二、选择题（每题3分，共15分） 6. 设线性方程组?????=+=+--=-032231 3221ax cx bc bx cx ab ax bx ，则下列结论正确的是（） (A)当c b a ,,取任意实数时，方程组均有解 (B)当a ＝0时，方程组无解 (C) 当b ＝0时，方程组无解 (D)当c ＝0时，方程组无解 7. 同为n 阶方阵，则（）成立 (A) B A B A +=+ (B) BA AB = (C) BA AB = (D) 111)(---+=+B A B A 8. 设??????????=333231232221 131211 a a a a a a a a a A ，??????????+++=331332123111131211232221a a a a a a a a a a a a B ,??????????=1000010101P , ???? ??????=1010100012P 则（）成立 (A)21P AP (B) 12P AP (C) A P P 21 (D) A P P 12 9. A ,B 均为n 阶可逆方阵，则AB 的伴随矩阵=*)(AB （） (A) **B A (B) 11--B A AB (C) 11--A B (D)**A B 10. 设A 为n n ?矩阵，r A r =)(＜n ，那么A 的n 个列向量中（）

大学线性代数期末考试试题

大学线性代数期末考试试题 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020

a 0 0 一、选择题线性代数测试 a 1 b 1 c 1 c 1 b 1 + 2c 1 a 1 + 2b 1 + 3c 1 1. 设行列式 D = a 2 b 2 c 2 ，则 D 1 = c 2 b 2 + 2c 2 a 2 + 2b 2 + 3c 2 = （） A. - D a 3 b 3 c 3 B. D c 3 C. 2D b 3 + 2c 3 a 3 + 2b 3 + 3c 3 D. - 2D 2. 下列排列是偶排列的是．（A ）13524876；（B ）51324867；（C ）38124657；（D ）76154283． 3. 设 A m ?s ， B t ?n ， C s ?t ，则下列矩阵运算有意义的是（） A. ACB ; B. ABC ; C. BAC ; D. CBA . 4. 设 A 是n 阶方阵， A 经过有限次矩阵的初等变换后得到矩阵 B ，则有（） A. A = B ； B. A ≠ B ； C. R ( A ) = R (B ) ； D. R ( A ) ≠ R (B ) . 5. 设 A 是 4×5 矩阵， A 的秩等于 3，则齐次线性方程组 Ax = 0 的基础解系中所含解向量的个数为（） A. 4 B.5 C.2 D.3 6. 向量组a 1 , a 2 , , a m （ m ≥ 2 ）线性相关，则（）． A. a 1 , a 2 , , a m 中每一个向量均可由其余向量线性表示； B. a 1 , a 2 , , a m 中每一个向量均不可由其余向量线性表示； C. a 1 , a 2 , , a m 中至少有一个向量可由其余向量线性表示； D. a 1 , a 2 , , a m 中仅有一个向量可由其余向量线性表示． ? a b + 3 0 ? ? 7. 矩阵 A = a - 1 a 0 ? 为正定矩阵，则 a 满足． ? ? ? 1 1 （1） a > 2 ；（B ） a > ；（C ） 2 a < ；（D ）与b 有关不能确定． 2 8. 设 A , B 均为 n 阶方阵，并且 A 与 B 相似，下述说法正确的是．（A ） A T 与 B T 相似；（B ） A 与 B 有相同的特征值和相同的特征向量；（C ） A -1 = B -1 ；（D ）存在对角矩阵 D ，使 A 、 B 都与 D 相似．二、判断题 1、如果n (n > 1) 阶行列式的值等于零，则行列式中必有两行元素对应成比例。 2、设向量组的秩为 r ，则向量组中任意 r 个线性无关的向量都是其极大无关组。 3、对 A 作一次初等行变换相当于在 A 的右边乘以相应的初等矩阵。 4、两个向量α1 ,α2 线性无关的充要条件是α1 ,α2 对应成比例. 5、若 A 是实对称矩阵，则 A 一定可以相似对角化. 三、填空题

线性代数必考知识点

2008年线性代数必考的知识点 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、 (1)m n C A O A A B B O B C ==- ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 5. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组0Ax =有非零解； ?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解； ?A 与E 等价； ?A 可表示成若干个初等矩阵的乘积； ?A 的特征值全不为0； ?T A A 是正定矩阵； ?A 的行（列）向量组是n R 的一组基； ?A 是n R 中某两组基的过渡矩阵； 2. 对于n 阶矩阵A ：**AA A A A E == 无条件恒成立； 3. 1**111**()()()()()()T T T T A A A A A A ----=== *** 111()()()T T T AB B A AB B A AB B A ---=== 4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和； 5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A 、B 可逆：

(完整版)线性代数试卷及答案详解

《线性代数A 》试题（A 卷）试卷类别：闭卷考试时间：120分钟考试科目：线性代数考试时间：学号：姓名：

《线性代数A》参考答案（A卷）一、单项选择题（每小题3分，共30分）二、填空题（每小题3分，共18分）

1、 256； 2、 132465798?? ? --- ? ???； 3、112 2 112 21122 000?? ?- ? ?-?? ； 4、； 5、 4； 6、 2 。三．解：因为矩阵A 的行列式不为零,则A 可逆,因此1X A B -=.为了求1A B -,可利用下列初等行变换的方法： 2312112 01012 010******* 12101 141103311033102321102721 002781 002780 11410 101440 10144001103001103001103---?????? ? ? ? -??→-??→-- ? ? ? ? ? ?--? ?? ?? ?-?????? ? ? ? ??→--??→-??→-- ? ? ? ? ? ??????? ―――――（6分）所以1 278144103X A B -?? ?==-- ? ??? .―――――（8分）四．解：对向量组12345,,,,ααααα作如下的初等行变换可得： 12345111 4 3111431132102262(,,,,)21355011313156702262ααααα--???? ? ? ----- ? ? = → ? ? --- ? ? ? ?---???? 11 1 431 2 12011310 1131000000 0000000000 0000--???? ? ? ---- ? ? →→ ? ? ? ? ? ?? ???――――（5分）从而12345,,,,ααααα的一个极大线性无关组为12,αα，故秩 12345{,,,,}ααααα＝2（8分）

线性代数知识点归纳

线性代数复习要点第一部分行列式 1. 排列的逆序数 2. 行列式按行（列）展开法则 3. 行列式的性质及行列式的计算行列式的定义 1. 行列式的计算： ① (定义法)1212121112121222() 1212()n n n n n j j j n j j nj j j j n n nn a a a a a a D a a a a a a τ= = -∑ L L L L L M M M L 1 ②（降阶法）行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. 1122,, 0,.i j i j in jn A i j a A a A a A i j ?=?++=?≠?? L

③ (化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. 11221122***0**0*00 nn nn b b A b b b b = =L M O L ④ 若A B 与都是方阵（不必同阶）,则 ==()mn A O A A O A B O B O B B O A A A B B O B O *= =* *=-1 ⑤ 关于副对角线： (1)2 1121 21 1211 1 () n n n n n n n n n n n a O a a a a a a a O a O ---* ==-K N N 1 ⑥ 范德蒙德行列式：()1 22 22 12111112 n i j n j i n n n n n x x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏L L L M M M L 111 ⑦ a b -型公式：1 [(1)]()n a b b b b a b b a n b a b b b a b b b b a -=+--L L L M M M O M L ⑧ (升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法. ⑨ (递推公式法) 对n 阶行列式n D 找出n D 与1n D -或1n D -,2n D -之间的一种关系——称为递推公式，其中 n D ,1n D -,2n D -等结构相同，再由递推公式求出n D 的方法称为递推公式法. (拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以例计算. ⑩ (数学归纳法) 2. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 3. 证明0A =的方法：

线性代数知识点归纳

线性代数复习要点第一部分行列式 1. 排列的逆序数 2. 行列式按行（列）展开法则 3. 行列式的性质及行列式的计算 1.行列式的计算： ① (定义法)1212121112121222() 1212()n n n n n j j j n j j nj j j j n n nn a a a a a a D a a a a a a τ= = -∑ L L L L L M M M L 1 ②（降阶法）行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. ③ (化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. ④ 若A B 与都是方阵（不必同阶）,则 ==()mn A O A A O A B O B O B B O A A A B B O B O *==* *=-1 ⑤ 关于副对角线： (1)2 1121 21 1211 1 () n n n n n n n n n n n a O a a a a a a a O a O ---* ==-K N N 1 ⑥ 范德蒙德行列式：()1 22 22 12111112 n i j n j i n n n n n x x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏L L L M M M L 111

⑦ a b -型公式：1 [(1)]()n a b b b b a b b a n b a b b b a b b b b a -=+--L L L M M M O M L ⑧ (升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法. ⑨ (递推公式法) 对n 阶行列式n D 找出n D 与1n D -或1n D -,2n D -之间的一种关系——称为递推公式，其中 n D ,1n D -,2n D -等结构相同，再由递推公式求出n D 的方法称为递推公式法. (拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以例计算. ⑩ (数学归纳法) 2. 对于n 阶行列式A ，恒有：1 (1)n n k n k k k E A S λλ λ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 3. 证明 0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值. 4. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 第二部分矩阵 1.矩阵的运算性质 2.矩阵求逆 3.矩阵的秩的性质 4.矩阵方程的求解 1. 矩阵的定义由m n ?个数排成的m 行n 列的表1112121 22212n n m m mn a a a a a a A a a a ?? ? ? = ? ??? L L M M M L 称为m n ?矩阵.

=线性代数期末复习总结.docx

第一章行列式一、行列式的性质性质1行列式与它的转置行列式相等，即|A | = |A T |.（行列互换，行列式不变）性质2互换行列式的两行（列），行列式变号. 推论1如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零. 性质3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个倍数k,等于用数k 乘以此行列式. a u a i2 a i3 a n a i2 ^13 ka n a i2 a i3 a 2X a 22 a 23 — ka 2x ka’2 転23 = ka 2} a 22 a 23 角1 a 32 ?33 a 3i 角2 。33 脳31 ?33 若行列式中有一行（列）为0,则行列式为0. 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零. 坷 1 坷］a n 纠3 41 a n 坷 3 a 21+b l a 22+b 2 如+4 — a 21 a 22 "23 + b l b 2 S 。31 “32 。33 。31 “32 “33 。31 “32 “33 性质6把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变. a \\ a i2 a i3 a u a n + ka !3 a i3 a CL CL a CL + ka a W 21 u 22 w 23 ^21 "22 ' e"23 "23 “31 °32 "33 °31 “32 + 氐 °33 。33 性质7 （Laplace 定理）行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，BP ： | A| = a ix A i} + a i2A i2 + ? ? ? + a in A in （1 = 1,2,? ? ?, n ）推论2 性质4 。21 ^22 a 31 “32 ka [{ ka {2 。 13 。 23 a 33 。 21 °3a n "12 "13 a 22 ^23 a 32 = 40 = 0 性质5 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零.