本科线性代数总复习
自考本线性代数知识点总结
自考本线性代数知识点总结一、向量和矩阵1. 向量的定义向量是有向线段的数学表示，通常用加粗的小写字母来表示，如a、b等。
向量有大小和方向，可以表示为一组有序的数值，例如a=(a1, a2, ..., an)。
2. 向量的运算向量可以进行加法、数乘和内积运算。
加法是指对应位置上的数值相加，数乘是指一个标量与向量的每个分量相乘，内积是指两个向量对应位置上的数值相乘后再相加得到一个标量。
3. 矩阵的定义矩阵是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合。
矩阵通常用大写字母来表示，如A、B 等，可以表示为一个矩形数表格。
4. 矩阵的运算矩阵可以进行加法、数乘和乘法等运算。
矩阵的加法是指对应位置上的元素相加，数乘是指一个标量与矩阵的每个元素相乘，矩阵的乘法则是一种复杂的运算，需要满足一定的规则。
5. 矩阵的转置和逆矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换得到的新矩阵，用A^T表示。
矩阵的逆是指对于一个n阶方阵A，存在一个n阶方阵B，使得A与B的乘积为单位矩阵。
二、行列式和特征值1. 行列式行列式是矩阵的一个重要性质，它可以用来描述矩阵线性变换前后的面积或体积的缩放比例。
行列式的计算是一个重要的线性代数知识点，非常重要。
2. 特征值和特征向量特征值是矩阵的一个重要性质，它是矩阵A的一个标量λ，使得矩阵A减去λ乘以单位矩阵的行列式为0。
特征向量是对应于特征值的非零向量，它可以用来描述矩阵线性变换的方向。
三、线性方程组和矩阵的应用1. 线性方程组线性方程组是由线性方程组成的方程组，它可以用矩阵的形式表示为AX=B，其中A为系数矩阵，X为未知数向量，B为常数向量。
2. 矩阵的应用矩阵在各个领域都有着广泛的应用，如在工程学中可以用来描述结构的受力分布，计算机科学中用来表示图像和二维图形的变换，物理学中用来描述物质的状态等。
四、线性变换和空间1. 线性变换线性变换是指一个向量空间到另一个向量空间的映射，它满足两个性质：对于所有的向量u和v以及标量c，有T(u+v) = T(u) + T(v)，T(cu) = cT(u)。
大学线性代数复习资料
线性代数是数学的一个分支，它研究的是向量空间和线性变换等概念。
在大学数学课程中，线性代数是一门重要的基础课程。
本文将为大家提供一份详细的线性代数复习资料，包括定义和常用公式，希望能够帮助大家复习线性代数知识。
1. 向量空间的定义向量空间是指一个非空集合V，其中定义了两个运算：向量的加法和数乘运算，满足以下条件：（1）对于任意两个向量u、v∈V，它们的和u+v∈V。
（2）对于任意一个向量u∈V和一个标量a，它们的积au∈V。
（3）加法满足交换律和结合律。
（4）存在一个零向量0∈V，使得对于任意一个向量u∈V，都有u+0=u。
（5）对于任意一个向量u∈V，存在一个负向量−u∈V，使得u+(−u)=0。
（6）数乘满足分配律和结合律。
2. 线性变换的定义线性变换是指一个向量空间到另一个向量空间的映射，它满足以下条件：（1）对于任意两个向量u、v∈V，有T(u+v)=T(u)+T(v)。
（2）对于任意一个向量u∈V和一个标量a，有T(au)=aT(u)。
（3）对于任意一个向量u∈V，有T(0)=0。
3. 矩阵的定义矩阵是一个由m行n列的数构成的矩形阵列，通常用大写字母A、B、C等表示，其中Aij 表示第i行第j列的元素。
4. 矩阵的加法和数乘矩阵加法和数乘的定义如下：（1）矩阵加法：设A和B是两个m×n的矩阵，则它们的和A+B是一个m×n的矩阵，其中每个元素为Aij+Bij。
（2）数乘：设A是一个m×n的矩阵，k是一个标量，则kA是一个m×n的矩阵，其中每个元素为kAij。
5. 矩阵乘法设A是一个m×n的矩阵，B是一个n×p的矩阵，则它们的乘积AB是一个m×p的矩阵，其中第i行第j列的元素为∑k=1nAikBkj。
6. 行列式的定义行列式是一个函数，它将一个n×n的矩阵映射到一个实数上。
行列式的定义如下：（1）n=1时，行列式为矩阵中唯一的元素。
《线性代数》期末复习提纲汇总
《线性代数》期末复习提纲第一部分：基本要求（计算方面）1． 四阶行列式的计算；2． N 阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）；3． 矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）；4． 求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程；5． 含参数的线性方程组解的情况的讨论；6． 齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）；7． 讨论一个向量能否用和向量组线性表示；8． 讨论或证明向量组的相关性；9． 求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示；10．将无关组正交化、单位化；11．求方阵的特征值和特征向量；12．讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵；13．通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化；14．写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵；15．判定二次型或对称矩阵的正定性。
第二部分：基本知识一、行列式1．行列式的定义用2n 个元素ij a 组成的记号nnn n n n a a a a a a a a a212222111211称为n 阶行列式。
（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n 个元素乘积的代数和；（2）展开式共有n!项，其中符号正负各半；2．行列式的计算1． 一阶行列式a a =，二、三阶行列式有对角线法则；2． N 阶（n ≥3）行列式的计算：降阶法定理：n 阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。
方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。
3． 特特情况（1） 上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；（2）行列式值为0的几种情况：Ⅰ 行列式某行（列）元素全为0；Ⅱ 行列式某行（列）的对应元素相同；Ⅲ 行列式某行（列）的元素对应成比例；Ⅳ 奇数阶的反对称行列式。
二．矩阵1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）；2．矩阵的运算（1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果；（2）关于乘法的几个结论：①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB ＝BA ，称A 、B 是可交换矩阵）；②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在；③若A 、B 为同阶方阵，则B A AB ⋅=； ④n kA k A =3．矩阵的秩（1）定义 非零子式的最大阶数称为矩阵的秩；（2）秩的求法 一般不用定义求，而用下面结论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。
线性代数--总复习
可见, 当λ=-4/5时, R(A)=2, R(A|b)=3, 方程组无解. 当λ≠-4/5, 且λ≠-1时 R(A)=R(A|b)=3, 方程组有唯一解.
当λ=-1时, 有
1 −1 −2 1 1 −1 0 3 ( A | b) → 0 0 1 1 → 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0
第三章 向量 线性关系 秩
1. 理解n维向量的概念以及向量的线性运算; 2. 理解向量组的线性组合与线性表示的概念; 3. 理解向量组线性相关, 线性无关的定义, 了解并会用 向量组线性相关, 线性无关的有关性质及判别法; 4. 理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念, 会求向量组的极大无关组和秩，理解向量组等价的概念; 5. 理解矩阵秩的概念及与向量组秩的关系及其计算．
0 2/3 0 B = 6 0 3/ 4 0 0 0 6/ 7
−1
0 3 0 0 1/ 3 0 = 0 2 0 0 1/ 4 0 0 0 1/ 7 0 0 1
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第六章 矩阵的特征值与特征向量
1. 了解矩阵的特征值和特征向量的概念及其求法; 2. 了解矩阵的特征值和特征向量的性质; 3. 了解相似矩阵的概念及性质; 4. 掌握将(实对称)矩阵(正交)相似对角化的方法.
第七章 二次型
1. 掌握二次型及其矩阵表示, 了解二次型秩的概念, 了解合同变换与合同矩阵的概念, 了解二次型的标准形和 规范形的概念以及惯性定理; 2. 掌握用正交变换化二次型为标准形的方法, 会用 配方法化二次型为标准形; 3. 理解正定二次型和正定矩阵的概念, 掌握其判别法.
线性代数期末复习题
线性代数期末复习题《线性代数》综合复习题⼀、单项选择题：1、若三阶⾏列式D 的第三⾏的元素依次为1、2、3，它们的余⼦式分别为4、2、1，则D =（）(A)－3 (B) 3 (C) －11 (D) 112、设123,,ααα是三阶⽅阵A 的列向量组，且齐次线性⽅程组AX =O 仅有零解，则（）(A) 1α可由23,αα线性表⽰ (B) 2α可由13,αα线性表⽰ (C) 3α可由12,αα线性表⽰ (D) 以上说法都不对3、设A 为n(n ≥2)阶⽅阵，且A 的⾏列式|A |=a ≠0，A *为A 的伴随矩阵，则| 3A * | 等于（）(A) 3n a (B) 3a n -1(C) 3n a n -1 (D) 3a n4、设A =333231232221131211a a aa a a a a a , B =????? ??+++133311311232232122131112a a a a a a a a a a a a ,????? ??=1000010101P ,????=1010100012P ，则有（）(A) B AP P =12 (B) B AP P =21 (C) B A P P =21 (D) B A P P =12 5、设A 是正交矩阵，则下列结论错误．．的是（） (A) |A |2必为1 (B) |A |必为1 (C) A -1=A T (D) A 的⾏向量组是正交单位向量组 6、设A 是n 阶⽅阵，且O E A A =+-232，则（）(A) 1和2必是A 的特征值 (B) 若,2E A ≠则E A =(C) 若,E A ≠则E A 2= (D) 若1不是A 的特征值，则E A 2=7、设矩阵210120001A ??=，矩阵B 满⾜2ABA BA E **=+，其中E 为三阶单位矩阵，A *为A 的伴随矩阵，则B = （A ）13；（B ）19；（C ）14；（D ）13。
线性代数甲(复习)(1)
1
2
3
例14 设Rn中有两组向量
( I ){1, 2 ,... k }, ( II ){1, 2 ,...nk 1}(1 k n)
证明：若(I)中的每一个向量与(II)中的每一组向量皆 正交，则(I)(II)两组向量必有一组为线性相关。
五、特征值与特征向量
.矩阵A与B合同 A与B的特征值中，正特征值个数相等，负特征值个数相等 r A r B A B 矩阵可对角化的性质与判定
A有n个线性无关的特征向量 对于A的每个特征值i , 其重数ki n r i E A .n阶矩阵A可对角化 A有n个不同的特征值 A为实对称矩阵
六、二次型
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤：
1. 将二次型表成矩阵形式 f xT Ax, 求出A;
2. 求出A的所有特征值 1 , 2 ,, n ; 3. 求出对应于特征值的特 征向量1 , 2 ,, n ;
4. 将特征向量 1 , 2 ,, n正交化, 单位化, 得
三、矩阵
关于方阵的可逆 & 不可逆
n阶方阵A可逆
（即A是非奇异方阵）
（即A是满秩方阵） A可以表达成若干个初等矩阵的乘积 齐次线性方程组 只有零解 非齐次线性方程组 只有唯一解 A的n个特征值全不为0
n阶方阵A不可逆
（即A是奇异方阵） （即A是降满秩方阵） A不可以表达成若干个初等矩阵的乘积 齐次线性方程组 有非零解 非齐次线性方程组 没有解或者有无穷多解 A的n个特征值中至少有一个为0
二、线性方程组
二、线性方程组
定理2.3.1（Page 57）线性方程组AX=b有解
线性代数期末复习知识点资料整理总结
行列式1.行列式的性质性质1行列式与它的转置行列式相等TD D =.性质2互换行列式的两行（列），行列式变号.推论1如果行列式有两行（列）的对应元素完全相同，则此行列式的值为零.性质3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k ，等于用数k 乘此行列式.如111213111213212223212223313233313233a a a a a a ka ka ka k a a a a a a a a a =推论2如果行列式中有两行（列）元素成比例，则此行列式的值为零．性质4若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则这个行列式等于两个行列式之和.如111213111213111213212122222323212223212223313233313233313233a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ''''''+++=+性质5把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式的值不变.如111213111213212223212223313233311132123313a a a a a a a a a a a a a a a a ka a ka a ka =+++例1已知，那么（）A.-24B.-12C.-6D.12答案B解析2.余子式与代数余子式在n 阶行列式中，把元素ij a 所在的第i 行和第j 列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素ij a 的余子式，记作ij M ，i jij ij A (1)M +=-叫做元素ij a 的代数余子式．3.行列式按行（列）展开法则定理1行列式的值等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即1122i i i i in in D a A a A a A =+++ 或 1122j j j j nj njD a A a A a A =+++ ()1,2,,;1,2i n j n ==定理2行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即12120,j j i i jn i n a A a A a A +++= 或,11220.j j j j nj nj a A a A a A i j +++=≠ ()1,2,,;1,2i n j n == 例.设3阶矩阵()ij A a =的行列式12A =,ij A 为ij a 的代数余子式.那么313132323333a A a A a A ++=___12____;213122322333a A a A a A ++=___0___.4.行列式的计算（1）二阶行列式1112112212212122a a a a a a a a =-（3）对角行列式1212n nλλλλλλ=，n(m 1)21212nn(1)λλλλλλ-=- （4）三角行列式1111121n 2122222n1122nnn1n2nnnna a a a a a a a a a a a a a a ==（5）消元法：利用行列式的性质，将行列式化成三角行列式，从而求出行列式的值.（6）降阶法：利用行列式的性质，化某行（列）(一般选择有0元素的行或列)只有一个非零元素，再按该行（列）展开，通过降低行列式的阶数求出行列式的值.（7）加边法：行列式每行（列）所有元素的和相等，将各行（列）元素加到第一列（行），再提出公因式，进而求出行列式的值.例：思路：将有0的第三行化为只有一个非0元素33=1，按该行展开,D=3333,不用忘记B 。
线性代数(本科)总复习题
《线性代数》（本科）总复习题一、单项选择题１．矩阵运算AB 有意义是T B A +有意义的 。
（Ａ）充分条件 （Ｂ）必要条件 （Ｃ）充要条件 （Ｄ）无关条件２．设同阶方阵C B A ,,满足AC AB =，则必有 。
（Ａ）0=A 或C B =（Ｂ）0=A 且C B = （Ｃ）0=A 或C B = （Ｄ）0=A 且C B = ３．设B A ,为同阶可逆矩阵，则下列等式中一定成立的是 。
（Ａ）()T T T B A AB = （Ｂ）()***B A AB = （Ｃ）()111−−−=B A AB （Ｄ）B A AB =４．设A 为n 阶可逆矩阵，且n 为奇数，则下列等式中未必成立的是 。
（Ａ）()T T A A −=− （Ｂ）()**A A −=− （Ｃ）()11−−−=−A A （Ｄ）A A −=−５．设方阵A 满足O A =2，则必有 。
（Ａ）O A = （Ｂ）O AA T = （Ｃ）O AA =＊ （Ｄ）O A A T =＊６．设矩阵B A ,满足I AB =，则 。
（Ａ）I B A T T = （Ｂ）I BA = （Ｃ）I A B T T = （Ｄ）都不对７．设方阵A 满足A A =2，则 。
（Ａ）O A = （Ｂ）I A = （Ｃ）O A =或I A = （Ｄ）都不对８．设方阵A 可逆，且BA AB =，则下列等式未必成立的是 。
（Ａ）22BA B A = （Ｂ）T T BA B A = （Ｃ）11−−=BA B A （Ｄ）**BA B A =９．设向量组s ααα,,,21L 可由向量组t βββ,,,21L 线性表示，且()121,,,r r s =αααL ，()221,,,r r t =βββL ，()32121,,,,,,,r r t s =βββαααL L ，则 。
（Ａ）321r r r =< （Ｂ）321r r r =≤ （Ｃ）321r r r <= （Ｄ）321r r r ≤=１０．设n m ×齐次线性方程组O AX =仅有零解，则 。
线性代数总复习大纲及复习题
04-05(2) 线性代数总复习大纲及复习题： 一、 概念1、 行列式的 定义2、 向量组相关与无关的定义3、 对称阵与反对称阵4、 可逆矩阵5、 矩阵的伴随矩阵6、 基与向量的坐标7、 矩阵的特征值与特征向量 8、 正定矩阵 9、 矩阵的迹 10、 矩阵的秩 11、 矩阵的合同 12、 二次型与矩阵13、 齐次线性方程组的基础解系 二、 性质与结论1、 与向量组相关与无关相关的等价结论2、 行列式的性质3、 克莱姆规则（齐次线性方程组有非零解的充要条件）4、 矩阵可逆的充要条件及逆矩阵的性质5、 初等变换与初等矩阵的关系6、A A A A A E **==7、 n 维向量空间坐标变换公式 8、 相似矩阵的性质 9、 合同变换10、 矩阵正定的充要条件11、 线性方程组解的性质与结构定理 三、复习题及参考答案1．若三阶行列式1231122331232226a a a b a b a b a c c c ---=，则 123123123a a ab b bc c c = 12 2．若方程组123123123000tx x x x tx x x x tx ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解，则t=⎽⎽⎽⎽1⎽⎽⎽。
3．已知齐次线性方程组32023020x y x y x y z λ+=⎧⎪-=⎨⎪-+=⎩仅有零解，则λ≠ 04．已知三阶行列式D=123312231，则元素12a =2的代数，余子式12A = -1 ；3.若n 阶矩阵A 、B 、C 满足ABC=E （其中E 为n 阶可逆阵），则BCA=E 。
（ 对 ）4.行列式002002316.02342345= （ 对 ） 5.对向量1234,,,αααα，如果其中任意两个向量都线性无关，则1234,,,αααα线性无关。
（ 错 ）6. 如果A 是n 阶矩阵且0A =，则A 的列向量中至少有一个向量是其余各列向量的线性组合。
（ 对 ）7. 向量组s ααα,,,21 线性无关的充分必要条件是其中任一部分向量组都线性无关。
线性代数期末复习要点
注：一般而言， 1o ( AB)k Ak Bk ， 正确： ( AB)k (AB)(A B)( AB) ；
k个
2o ( A B)(A B) A2 B2， 正确： ( A B)(A B) A2 AB BA B2 ；
3o ( A B)2 A2 2AB B2 ， 正确： ( A B)2 A2 AB BA B2 。
A22
An
2
A2n
Ann
称为
A
的伴随矩阵。
2、n 阶方阵可逆的充要条件：
A
0
A 可逆，且 A1
1 A
A 。
3、逆矩阵的性质： 1o ( A1 )1 A ； 3o ( AT )1 ( A1 )T ；
4、伴随矩阵的性质：
2o ( AB)1 B1 A1 ；
4o
(kA)1
1 k
A1
（k
1、 Ax 0的基础解系：解向量组的一个极大无关组。
2、 Ax 0解的定理：只有当 R( A) r n 时，才存在基础解 系，且 n r 个线性无关的解向量组成的向量组 v1、v2、、vnr 是 Ax 0的基础解系，其线性组合
v c1v1 c2v2 cnrvnr 是 Ax 0的全部解。 3、基础解系的求法：
组有且仅有唯一解，且
xj
Dj D
（ j 1,2,, n ）
注：齐次线性方程组有非零解 D 0。 （逆否命题：齐次线性方程组仅有零解 D 0。）
第二章 矩阵
一、矩阵的定义：矩形数表。
二、矩阵的运算
1、矩阵的加法、减法：只有同型矩阵才可以进行加减运算。
2、数与矩阵的乘法：数与矩阵的乘法是数与矩阵每一个元 素相乘；而数与行列式的乘积是数与行列式中某一行（列） 的每一个元素相乘。
线性代数复习题含答案
（C ）a +a ,a +a ,a +a （D ）a −a ,a −a ,a −a
1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1
分析：（A ）含有0 的向量组一定线性相关，0 +0a2 +0a3 0 ；
分析：∵A 的特征值是 1，2，−3 ．
∴ A −E 0 ， A −2E 0 ， A +3E 0 ．
∴ （A ）A −E ，（D ）A −2E ，（C ）A +3E 不可逆．
二． 填空题
1． 已知a31a21a13a5k a44 是 5 阶行列式中的一项且带正号，则i 5 ，k 2 ．
⎪ 21 1 22 2 2n n 2
⎨
⎪
n n−1 n−2 2 1 n n−1 n−2 2 1
共交换了n −2 次；……；r 与r 交换，共交换了 1 次．
2 1
( )
（A ）D D （B ）D =−D （C ）D =−1 2 D （D ）D =−1 D
（C ）一定无解 （D ）不能确定是否有解
分析：系数行列式D 0 =⇒R A <n ，方程组无解或无穷多解
( )
( ) ( )
) 1 ( ) 1
⎛a11 a12 a13 ⎞
2 1 2 1 2 ( ) 1 2 ( ) 1
分析：r 依次与r ,r ,,r ,r 交换，共交换了n −1次（r 移到第 1 行）；r 依次与r ,,r ,r 交换，
1 2 3
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（A ）0,a ,a （B ）a ,2a ,a
专升本线性代数复习提纲和复习题
线形代数复习提纲（专升本）第一章行列式1.掌握n阶行列式的定义、行列式一般项的表示方法，特别是掌握一般项行列式符号的求解。
2.掌握行列式的重要性质和推论：行列式与其转置行列式的值相等；互换行列式的两行（列），行列式的值变号；如果行列式中有两行（列）对应元素相同，则此行列式的值为零；用数K乘以行列式的每一行（列），等于以数乘此行列式；如果行列式中的某一行（列）的每一个元素都写成两个数的和，则此行列式可以写成两个行列式的和，这两个行列式分别以这两个数为所在行（列）对应位置的元素，其他位置的元素与原行列式相同；把行列式某一行（列）的所有元素同乘以数K后加到另一行（列）对应位置的元素上去，行列式的值不变。
3.掌握代数余子式的概念和性质，并能利用代数余子式将行列式按一行（列）展开。
两条重要性质：n阶行列式的D等于它任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和；n阶行列式D的某一行（列）的元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于零。
4.掌握范德蒙德行列式，能利用行列式的性质和行列式按一行（列）展开的定理简化行列式的运算（化三角形法、降阶法）。
第二章矩阵1.掌握矩阵的加减法、数乘、乘法运算的形式、满足的定律，特别注意矩阵的乘法运算（不满足交换律）。
2.掌握转置矩阵的概念和性质；掌握对称矩阵和反对称矩阵判定的充要条件。
3.掌握单位矩阵、零矩阵、数量矩阵、转置矩阵、上、下三角矩阵、可逆矩阵、正交矩阵、伴随矩阵等特殊方阵的定义。
掌握方阵的行列式运算和性质，特别注意│A+B│≠│A│+│B│。
4.掌握可逆矩阵的定义、重要性质、矩阵可逆的充分必要条件（│A│≠0），能熟练利用伴随矩阵求解可逆矩阵。
5.掌握矩阵的初等变换（对换变换、倍乘变换、倍加变换），能利用矩阵初等变化求行阶梯矩阵和矩阵的秩。
掌握初等矩阵、等价矩阵的定义、初等变换的性质（特别是初等变换不改变矩阵的秩这一性质的运用）。
懂得利用初等变换求逆矩阵。
线性代数期末总复习提纲
第三章重要知识点和题型
1 向量的坐标表示
利用性质和按行列展开法则计算
2 向量的数量积、向量积和混合积的定 义、性质及其几何意义 3 空间平面的点法式方程和一般方程及 其之间的转换 4 空间的对称式方程、参数方程和一般 方程及其之间的转换
第三章重要知识点和题型
3 会判断空间直线平面间的各种位置关 系 4 会计算点到直线与平面、直线及平面 之间的距离 5 了解平面束的概念
2 会计算A的特征值与特征向量 3 会把一组线性无关的向量组正交标 准化
第五章 特征值特征向量
4 方阵A能对角化的充要条件是有n个 线性无关的特征向量
5 会判断A能否对角化
第六章 二次型及其二次曲面
1 会写出二次型及其对应的矩阵
2 熟练掌握将二次型化为标准型
1 正交变换法 (2) 配方法
3 会判定二次型的正定性：
①若 R(A ~)R(A)方程组无解； ②若 R(A ~)R(A)方程组有解; 继续用行变换 把阶梯形化为行最简形;求出所有解
(2)齐次线性方程组 Ax0 A行 变 换 行阶梯形然，后判断：
①若 R(A)n方程组只有零解； ②若 R(A)n方程组有无穷多解; 继续用行 变换把行阶梯形化为行最简形;求出所有解
Ax
0的
基
础
解
系1，
2，，
；
nr
若r
n,
Ax b只有唯一解，这时，导出组Ax 0只有
零解. (4)求Ax b的一个特解r0 , 再根据定理11写出 Ax b的结构式通解
x r0 c11 c22 cnr nr
其中c1 , c2 ,, cnr是任意实数.
第五章 特征值特征向量
1 方阵A的特征值与特征向量的概念
线性代数综合复习资料
《线性代数》综合练习资料第一章 n 阶行列式一、判断题1．如果n （n>1）阶行列式的值等于零，则行列式中必有两行成比例。
（ × ） 2．如果n （n>1）阶行列式的值等于零，则行列式中必有一行全为零。
（ × ） 3．交换一个行列式的两行（或两列），则行列式值改变符号 ( √ ). 4. 已知n 阶矩阵A 各列元素之和为0，则A ＝0 ( √ ) 5．ij ijA a D ,33⨯=为ij a 的代数余子式,则0231322122111=++A a A a A a . ( √ )6、齐次线性方程组有非零解，则系数行列式的值一定为零。
（ √ ）7、1122121233443434a b a b a a b b a b a b a a b b ++=+++ （ × ）二.填空题：1．多项式=)(x P 333322221111x c b a x c b a xcb a （其中a,b,c 是互不相同的数）的根是 ,,x a x b x c === .2.. 三阶行列式 D ＝333222111435214352143521a a k a a a k a a a k a +++++++++ = 0 。
3、(),____1________.nn ij ij D a a D a a ===-=-若则4.设A 为m 阶方阵，B 为n 阶方阵，且|A |=3，|B|=2，C=00A B⎛⎫⎪⎝⎭，则|C |=______()16nm-⋅_____. 5、设四阶行列式3214214314324321，ij A 是其()j i ,元的代数余子式，则_______3331=+A A ，_______3432=+A A .根据定义求即可 6 ．已知4阶行列式D 的第一行元素分别是－1，1，0，2；第四行元素对应的余子式依次为5，x ，7，4，则x ＝ 3-7、已知n 阶行列式100110111 =D ，则D 的所有元素的代数余子式之和等于 n .三.选择题1、设）（则B a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a D =---===333231312322212113121111333231232221131211324324324,1 （A)0 ； （B)―12 ； （C ）12 ； （D ）12．已知四阶行列式D 中第三列元素依次为-1，2，0，1，它们的余子式依次分别为5，3，-7，4， 则D= ( A )（A ） -15 （B ） -5 （C ） 5 （D ） 1 3、已知四阶行列式A 的值为2，将A 的第三行元素乘以―1加到第四行的对应元素上去，则现行列式的值（ A ）（A ） 2 ； （B ） 0 ； （C ） ―1 ； （D ） ―24、n 阶行列式D 不为零的充分必要条件是（ D ）（A ）D 中至少有n n -2个元素不为零 （B ）D 中所以元素都不为零（C ）D 的任意两列元素之间不成比例 （D ）以D 为系数行列式的非齐次线性方程组有唯一解5．如果行列式02002000110011=kk k ，则（ A ）。
《线性代数》期末复习大纲及参考答案(最新)
07-08(1) 线性代数总期末考试复习大纲及复习题： 期末考试题型：判断(约占30%)与选择(约占70%) 期末考试形式：开卷 期末复习各章重点第一章 知道行列式的定义并会用定义计算简单的行列式；熟悉并会用行列式的性 质计算行列式，掌握行列式的依行依列展开定理。
第二章掌握向量线性相关与线性无关的定义并会用定义判断向量组相关与无关；会求向量组的极大无关组以及用极大无关组表示其余的向量；熟悉线性方程组解的一般理论，掌握矩阵的初等变换并会用初等变换求解线性方程组；会用初等变换求矩阵的秩.第三章熟悉矩阵的运算性质，特别是矩阵乘法的特殊性（不满足交换律），知道分块矩阵；掌握逆矩阵的定义、伴随矩阵的概念以及关系式E A A A AA ==**，会用伴随矩阵和初等变换求矩阵的逆矩阵；了解初等矩阵及其性质,会解简单的矩阵方程。
第四章 知道向量空间的定义，掌握基变换公式和向量坐标变换公式。
第五章 掌握矩阵的特征值与特征向量的概念以及矩阵能够对角化的条件，会判断一个矩阵能否对角化；掌握相似矩阵的概念及其性质。
第六章 掌握二次型的概念，掌握二次型与矩阵的对应关系，掌握合同矩阵的概念，会判断简单矩阵的合同，掌握二次型正定负定的条件并会判定二次型是否正定。
复习题1．若三阶行列式1231122331232226a a a b a b a b a c c c ---=，则 123123123a a ab b bc c c = 3 （对） 2．若方程组123123123000tx x x x tx x x x tx ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解，则t=1或-2 。
（对）3．已知齐次线性方程组32023020x y x y x y z λ+=⎧⎪-=⎨⎪-+=⎩仅有零解，则λ≠ 0（对）4．已知三阶行列式D=123312231，则元素12a =2的代数余子式12A = -1 ；（错）5.若n 阶矩阵A 、B 、C 满足ABC=E （其中E 为n 阶可逆阵），则BCA=E 。
线性代数总复习讲义PPT课件
在计算机科学中的应用
01
Байду номын сангаас
02
03
04
线性代数在计算机科学中也有 着广泛的应用，如图像处理、 机器学习和数据挖掘等领域。
线性代数在计算机科学中也有 着广泛的应用，如图像处理、 机器学习和数据挖掘等领域。
线性代数在计算机科学中也有 着广泛的应用，如图像处理、 机器学习和数据挖掘等领域。
100%
相似变换法
通过相似变换将矩阵对角化，从 而得到其特征值和特征向量。
80%
数值计算法
对于一些大型稀疏矩阵，可以使 用数值计算方法来计算其特征值 和特征向量。
特征值与特征向量的应用
01
在物理、工程等领域中，特征值和特征向量被广泛 应用于求解振动、波动等问题。
02
在图像处理中，特征值和特征向量被用于图像压缩 和图像识别。
二次型的应用与优化问题
总结词
了解二次型在解决优化问题中的应用
详细描述
二次型的一个重要应用是在解决优化问题中， 特别是在求解二次规划问题时。通过将问题 转化为二次型的形式，可以方便地应用各种 优化算法进行求解，如梯度下降法、牛顿法 等。此外，二次型在统计分析、机器学习等 领域也有着广泛的应用。
06
矩阵的逆与行列式的值
要点一
总结词
矩阵的逆和行列式的值是线性代数中的重要概念，它们在 解决线性方程组、向量空间和特征值等问题中有着广泛的 应用。
要点二
详细描述
矩阵的逆是矩阵运算的一个重要概念，它表示一个矩阵的 逆矩阵与其原矩阵相乘为单位矩阵。逆矩阵的存在条件是 矩阵的行列式值不为零。行列式的值是一个由n阶方阵构 成的代数式，表示n个未知数的n阶线性方程组的解的系数 。行列式的值可以用来判断线性方程组是否有解以及解的 个数。同时，行列式的值也与特征值和特征向量等问题密 切相关。
线性代数总复习
性质1
例5---相似矩阵 设3阶矩阵A、B相似，A-1的特征值分别为1,2,3, 求 (1)A的特征值; (2) 解 (1)因为A-1的特征值分别为1,2,3,所以A的特征值
分别为 (2) 因为A、B相似,所以A,B的特征值相同,所以B的 特征值分别为 所以6B-E的特征值为
3---特征向量的性质 1）方阵A的不同特征值所对应的特征向量必线性无关。
1、定义 由m×n个数
排成的m行n列数表
(i=1,2, …,m ; j=1,2, …,n)
称为一个m行n列矩阵， 简称为m×n矩阵，
矩阵的秩（续） 3、关于秩的重要结论：
例题2 ---(矩阵3)
解
例题3---(逆阵2)
解
2）
例题3---(逆阵3) 3、设方阵 A满足2A2-5A-8E = 0，证明 A-2E 可逆，
6---例8（1）---几个证明1 1、设A～B,证明: A2～B2; tA－E～tB-E, t是实数
2. 设1，2 是A的两个不同的特征值，1， 2 是相应的 特征向量, 证明：1， 2必线性无关；
3. 设1，2 是A的两个不同的特征值，1， 2 是相应的 特征向量, 证明：1 2 必不是 A的特征向量
3）正交向量组必是线性无关组。
4---n阶方阵A可对角化的条件、方法 1、一个充分必要条件： n阶方阵A可对角化 A有n个线性无关的特征向量 2、两个充分条件： 1）如果A有n个互不相同的特征值，则A必可对角化 2）如果A是实对称矩阵，则A必可用正交矩阵对角化。
3、对角化方法：
4、正交对角化
5---例6---对角化 分别求可逆矩阵P、正交矩阵Q， 将矩阵A对角化。 解 1）
向量4---例题4
线性代数复习总结(重点精心整理)
线性代数复习总结大全第一章 行列式二三阶行列式N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和n nn nj j j j j j j j j nij a a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ（奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。
（转置行列式T D D =） ②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。
推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。
③常数k 乘以行列式的某一行（列），等于k 乘以此行列式。
推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零； 推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。
④行列式具有分行（列）可加性⑤将行列式某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，值不变 行列式依行（列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij ji ij M A +-=)1(定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。
克莱姆法则：非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时，有唯一解：)21(n j DD x j j ⋯⋯==、齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解 逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零 特殊行列式：①转置行列式：332313322212312111333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a =③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零④三线性行列式:333122211312110a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零，。
化为三角形行列式 ⑤上（下）三角形行列式: 行列式运算常用方法（主要）行列式定义法（二三阶或零元素多的） 化零法（比例）化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、第二章 矩阵n *（零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵) ---------交换、结合律 数乘n m ij ka kA *)(=---------分配、结合律乘法nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑==注意什么时候有意义一般AB=BA ，不满足消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0 转置A A T T =)( TT T B A B A +=+)( T T kA kA =)( TT T A B AB =)((反序定理) 方幂：2121k k k kA AA +=2121)(k k k k A A +=矩阵：对角矩阵：若AB 都是N 阶对角阵，k 是数，则kA 、A+B 、 数量矩阵：相当于一个数（若……）单位矩阵、上（下）三角形矩阵（若……） 对称矩阵 反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方 注：把分出来的小块矩阵看成是元素阶方阵，若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的， B A=-1(非|A|=0、伴随矩阵)2.、非零k 乘某一行（列）3、将某行（列）的K 倍加到另 初等矩阵都可逆倍乘阵 倍加阵） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=O OO I D rr 矩阵的秩r(A)：满秩矩阵 降秩矩阵 若A 可逆，则满秩若A 是非奇异矩阵，则r （AB ）=r （B ） 初等变换不改变矩阵的秩求法：1定义2转化为标准式或阶梯形矩阵与行列式的联系与区别：都是数表；行列式行数列数一样，矩阵不一样；行列式最终是一个数，只要值相等，就相等，矩阵是一个数表，对应元素相等才相等；矩阵n ij n ij a k ka )()(=，行列式nij n nija k ka =逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆； ③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若A 可逆，则其逆矩阵是唯一的。
线性代数总复习及典型例题
线性代数总复习
第一章
行列式
第一节 n阶行列式的定义
当m = n 时，n元非齐次线性方程组 Ann x b 有惟一解的充分必要条件是系数矩阵A的行列式
A0
齐次线性方程组 Ax 0 一定有解： (1) R(A) = n (2) R(A) < n
Ax 0 只有零解
Ax 0 有非零解
并且通解中有n-r个自由未知量.
齐次线性方程组 Ax 0 的具体解法： (1)对系数矩阵施行初等行变换化为行阶梯形矩阵， 比较 R A与n之间的大小关系，从而判断方程组解 的情况：唯一解（零解），无穷解（非零解）。
第三章 线性方程组
其中 B A b
非齐次线性方程组 Ax b
(1) R A R B (2) R(A) = R(B ) R(A ) < n R(A ) = n
无解 有解:
Ax b有唯一解 ;
Ax = b 有无穷多解.
并且通解中有n-r个自由未知量.
非齐次线性方程组 Ax b 的具体解法： (1)对增广矩阵施行初等行变换化为行阶梯形矩阵， 比较 R A 、 R B 以及n之间的大小关系，从而判断 方程组解的情况：无解，唯一解，无穷解。 (2)在判断有解的情况下，继续对行阶梯形矩阵施 行初等行变换，将其化为行最简形，并写出最简形 对应的线性方程组进行求解。如果方程组有无穷多 个解，需写出通解形式。
Er O O O m n
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本科线性代数总复习第一章行列式一、单项选择题1．二阶行列式k?122k?1≠0的充分必要条件是A．k≠-1B．k≠3C．k≠-1且k≠3 D．k≠-1或≠3 答案：C a1b1ac2．设行列式11aba2b2=1，a2c2=2，则11?c1a2b2?c2=A．-3B．-1C．1 D．3 答案：D ?3.如果方程组?3x1?kx2?x3?0?4x?2?x3?0有非零解,则k= ?4x2?kx3?0A.-2 B.-1答案： B a11a12a13a115a11?2a12a134．设行列式D=a21a22a23=3，D1=a215a21?2a22a23，则D1的值为?110A．-2B．-1 C． 1 D． 2 答案： C a11a12a132a112a122a136.已知a21a22a23=3，那么a21a22a23= a31a32a33?2a31?2a32?2a33A.-24B.-12C.-6 答案：B 二、填空题 1 ）a112a124a226a323a136a239a33a11a12a1 3a23a337．已知3阶行列式2a213a31=6，则aa2221a31a32=_______________.答案：1/6 8．设3阶行列式D3的第2列元素分别为1，-2，3，对应的代数余子式分别为-3，2，1，则D3=__________________.答案：-4 9．已知行列式a1?b1a1?b1a2?b2a，则a1b1?______.答案：2 2?b??42a2b2三、计算题111410．求4阶行列式11311211的值. 111100030003解：原式=11310020 1211?1211111111110003?00200020100?? 3010??601111111111?6 120011.计算四阶行列式01200012的值. 2001120200解：原式=012?2120??15 0010121234512.设77733,求AA?3245231?A32?A33，A34?A35．3332246523答案：0,0. 第一章矩阵一、单项选择题1．设A为三阶矩阵，|A|=a≠0，则其伴随矩阵A*的行列式|A*|= 2 答案：B 2．设A、B为同阶可逆矩阵，则以下结论正确的是A．|AB|=|BA| C．-1=A-1B-1 B．|A+B|=|A|+|B| D．2=A2+2AB+B2 答案：A 3．设A可逆，则下列说法错误的是．．A．存在B使AB=E C．A 相似于对角阵答案：C 4．设A为3阶方阵，且|A|＝2，则|2A-1|= A．-4 B．-1C．1 答案：D D．4 B．|A|≠0 D．A的n个列向量线性无关?12??123???5．设矩阵A＝，B ＝??，C＝??456??，则下列矩阵运算中有意义34????的是A．ACB B．ABC C．BAC D．CBA 答案：B 6．设A为任意n阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是A．A＋AT B．A－AT C．AAT D．ATA 答案：B ?ab???7．设2阶矩阵A ＝?cd?，则A????d?d?b??A．???ca?? B．?b???答案：A ＊＝c???db??C．??c?a?? ?a?????d?c???D．??b a????33???8．矩阵??10?的逆矩阵是???0?1?0?3???0?1??1?????? C．?1? A．??B．?1333?????3?答案：C 9．设A为n阶方阵，λ为实数，则|λA|= 1??1??3D．???10?? ??3 A．λ|A|B．|λ||A|C．λn|A| D．|λ|n|A| 答案：C 10．设A为n 阶方阵，令方阵B=A+AT，则必有A．BT=B B．B=2A C．BT=-B D．B=0 答案：A 11.设A、B为同阶方阵，下列等式中恒正确的是=B B.?A?B??1?A?1?B?1 C. A?B?A?B D.?A?B?T?AT?BT 答案：D 12.设A为四阶矩阵，且A?2,则A*? 答案：C 13.设A，B为同阶可逆方阵，则下列等式中错误．．的是 A.|AB|=|A| |B| B. (AB)-1=B-1A-1 C. (A+B)-1=A-1+B-1 D. (AB)T=BTAT答案：C 14.设A为三阶矩阵，且|A|=2，则|-1|= A.14答案：A 15．设A为3阶方阵，且?113A?3，则|A|?A．-9B．-3C．-1 D．9 答案：B 16．设A、B为n阶方阵，满足A2=B2，则必有A．A=B B．A= -B C．|A|=|B| D．|A|2=|B|2 答案：D 17．设A为5×4矩阵，若秩=4，则秩为A．2B．3C．4 D．5 答案：C 18.设A,B,C为同阶方阵，下面矩阵的运算中不成立．．．的是=AT+BTB.|AB|=|A||B| =BA+CA =BTAT 答案：C19.若矩阵A可逆，则下列等式成立的是=1AA*?0 C.(A2)?1?(A?1)2 D.(3A)?1?3A?1 答案：C 20．设A为2阶矩阵，若3A=3，则2A? 4 A．14B．1 C．23D．2 答案：C 21.设A 为3阶方阵，B为4阶方阵,且行列式|A|=1，|B|=-2，则行列式||B|A|之值为A.-8 B.-2答案：A 二、填空题22．设A，B均为三阶可逆阵，|A|=2，则|2B-1A2B|=_________.答案：32 ?100???23．设三阶方阵A等价于?010?，??000??则R=_________.答案：2 ?0?24．设3阶矩阵A=?0?2??0??答案：?01??2?5201203??5?，则-1=_____________. 0??3???1? ?0???100??600?????220? ?，则A*A=_____________.答案：?060? 25．设3阶矩阵A=?333??006??????200?????2-1 01026.设A=??,则A=___________.答案：?0?022??0???101?1???0??0? 1?2???6?120??，则A*=___________答案：?027.设A=?030????0??002???20??20? 03???21?28．设A=，B=??40?，则AB=_________.答案：??35???29．设A为3阶方阵，若|AT|=2，则|-3A|=_________.答案：-54 ?12???30.设A为2阶矩阵，将A的第2列的倍加到第1列得到矩阵B.若B=??，则?34??? 5A=______________.答案：???52?? ??114?1,则|A-1|=___________________________.答案：?n 31.设A为n阶可逆矩阵，且|A|=?n32.设A为3阶方阵，且| A |=3，则| 3A-1 |=______________. 三、计算题??100?33．设A=??1?10? ??11?1???求-1 -1 ??300?解：-1=A-2E=??1?30? ??11?3????100?? 1?100?-1???110?????110? ???111?????0?1 1????100???300???3-1???110??1?30????? 0?11????11?3?????4???0?34．设A=?101??210???,求A-1 ??32?5??解??101100??1100??210010????01? 01?2?210?????1?0???32?5001????02?330 1????0?100?62?1????01012?32?? ??0017? 21????62?所以A?1??1??12?32?? ??7?21?? 00??30?4?3? ??0111?2?2017：00?10?? ?21??6 ?101??301???? ?35.已知矩阵A=?1?10?，B=?110?，?012??014?????求A的逆矩阵A-1；解矩阵方程AX=B. 解：1100?1100??101100??10?10??????1?1001 0?0?1?1?110?0?1?1?110???????012001?? 01?002001?1?111????????1002?1?1??100 2?1?1???????0?10?221???0102?2?1? ?001 ?11?001?111?1??????2?1?1????1所以A??2?2?1? ??111????2?1?1??301??5 ?2?2????????1?3?2?X?AB??2?2?1??110???4?????113?1????? 014???22??1136．设A=?0?1??00?解?0??12??1，B=?01?，又AX=B，求矩阵X. ?10?1????2?：??11?0?1??00 ?0112?12?01??10???11012?????0?1101?? 00120????11012?????0?10?21??00120??? ?100?13???13???????0102?1?所以X??2?1? ?0012?20?0?????第二章一、单项选择题1．设α1=[1，2，1]，α2=[0，5，3]，α3=[2，4，2]，则向量组α1，α2，α秩是A．0B．1 C．2 3的D．3 7 答案：C 2．若向量组α1=，α2=，α3=线性相关，则实数t= A．0B．1C．2 D．3 答案：B 3．设A是4×5矩阵，秩=3，则A．A中的4阶子式都不为0 B．A中存在不为0的4阶子式C．A中的3阶子式都不为0 D．A 中存在不为0的3阶子式答案：D 4．设向量组α1，α2，…，αs线性相关，则必可推出A．α1，α2，…，αs中至少有一个向量为零向量B．α1，α2，…，αs 中至少有两个向量成比例C．α1，α2，…，αs中至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合D．α1，α2，…，αs中每一个向量都可以表示为其余向量的线性组合答案：C 5.向量组α1 ，α2 ，…，αs 的秩不为s(s?2)的充分必要条件是A. α1 ，α2 ，…，αs 全是非零向量B. α1 ，α2，…，αs 全是零向量C. α1 ，α2，…，αs中至少有一个向量可其它向量线性表出 D. α1 ，α2，…，αs 中至少有一个零向量答案：C 6．向量组α1，α2，…αs，(s＞2)线性无关的充分必要条件是A．α1，α2，…，αs 均不为零向量B．α1，α2，…，αs中任意两个向量不成比例C．α1，α2，…，αs中任意s-1个向量线性无关D．α1，α2，…，αs中任意一个向量均不能其余s-1个向量线性表示答案：D 7.已知向量组A：?1,?2,?3,?4中?2,?3,?4线性相关，那么 A. ?1,?2,?3,?4线性无关C. ?1可?2,?3,?4线性表示答案：B8.向量组?1,?2,??s的秩为r，且rB. ?1,?2,??s中任意r个向量线性无关B. ?1,?2,?3,?4线性相关D. ?3,?4线性无关C. ?1,?2,??s中任意r+1个向量线性相关D. ?1,?2,??s中任意r-1个向量线性无关答案;C 9．设向量α1?(a1,b1,c1),α2?(a2,b2,c2),β1?(a1,b1,c1, d1),β2?(a2,b2,c2,d2)，下列命题中正确的是8 A．若α1,α2线性相关，则必有β1，β2线性相关B．若α1,α2线性无关，则必有β1，β2线性无关C．若β1，β2线性相关，则必有α1,α2线性无关D．若β1，β2线性无关，则必有α1,α2线性相关答案：B 10．设A，B分别为m×n和m×k矩阵，向量组是A的列向量构成的向量组，向量组是的列向量构成的向量组，则必有A．若线性无关，则线性无关B．若线性无关，则线性相关C．若线性无关，则线性无关D．若线性无关，则线性相关D答案：C 11．向量组?1,?2,?,?s(s?2)的秩不为零的充分必要条件是A．?1,?2,?,?s中没有线性相关的部分组C．?1,?2,?,?s全是非零向量B．?1,?2,?,?s中至少有一个非零向量D．?1,?2,?,?s全是零向量答案：B 12.设有向量组A：?1，?2，?3，?4，其中?1，?2，?3线性无关，则 A.?1，?3线性无关 B.?1，?2，?3，?4线性无关C.?1，?2，?3，?4线性相关D.?2，?3，?4线性相关答案：A 13．设向量组?1,?2,?3,?4线性相关，则向量组中A．必有一个向量可以表为其余向量的线性组合B．必有两个向量可以表为其余向量的线性组合C．必有三个向量可以表为其余向量的线性组合D．每一个向量都可以表为其余向量的线性组合答案：A 14.设α1，α2，α3，α4 是三维实向量，则 A. α1，α2，α3，α4一定线性无关 B. α1一定可α2，α3，α4线性表出C. α1，α2，α3，α4一定线性相关 D. α1，α2，α3一定线性无关答案：C 15.已知向量组α1,α2,α3线性无关，α1,α2,α3，β线性相关，则 A.α1必能α2,α3，β线性表出C.α3必能α1,α2，β线性表出答案：D 二、填空题 B.α2必能α1,α3，β线性表出 D.β必能α1,α2,α3线性表出16.向量组α1 =(1,0,0) α2 =(1,1,0), α3 =(-5,2,0)的秩是___________.答案：2 17．设α1=[1，2，x],α2=[-2，-4，1]线性相关，则x=_________.答案：? 1 29 18．已知向量α=，β=，如果α+ξ=β，则ξ=_________. 答案：19．已知向量组?1?(1,2,3)T,?2?(2,2,2)T,?3?(3,2,a)T线性相关，则数a?______.答案：1 123?203?a222??102?a??2?23?a?2(1?a)?32 a32a?12?a0,a?1 三、计算题20．设向量组α1=T，α2=T，α3=T，α4=T. 求向量组的一个极大线性无关组；将其余向量表为该极大线性无关组的线性组合. 解??1230???123?1,?2,?3,?4)?A???1? 203?????003?2460???1?2?1?4???000?0?4 ?4??1230??00?3??0100??1?0100???0011? ???011?? ?0000???0?0000??秩为 3 a1,a2,a3是向量组a1,a2,a3,a4的一个极大线性无关组且a4??3a1?a3. 21．设向量组?1?(1,4,1,0)T,?2?(2,1,?1,?3)T,?3?(1,0,?3 ,?1)T,?4?(0,2,?6,3)T，求该向量组的秩及一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示．解??1210???1210???4102????0? 7?42??121?1?1?3?6?????0?400?3?4?6??? ???0?3?13????0?3???0?3?4?13????0?3?1 ：0?3?0????4??：0?8???6??3???10 （10?0??12?121?12?????0?2??01?010?2??01???00?3?9??00?3?9??00??????0?3?13?? 00?1?3??00??????1??0?0??0?1??10?2?秩为 3 013??000??0010??0?2???13?00???1??0?0 ??0?4??10?2???013?000??01a1,a2,a3是向量组a1,a2,a3,a4的一个极大线性无关组且a4??1?2a2.?3?3 四、证明题22．设向量组α1，α2，α3线性无关，证明α1+α2，α1-α2，α3也无关. 证明：设k1(?1??2)?k2(?1??2)?k3?3?0，即(k1?k2)?1?(k1?k2)?2?k3?3?0，于α1，α2，α3线性无关，故有?k1?k2?0??k1?k2?0解之得，k1?k2?k3?0?k?0?3故α1+α2，α1-α2，α3也线性无关．23．设向量组α1，α2，α3线性无关，β1=α1+α2，β2=α2+α3，β3=α3+α1，证明：向量组β1，β2，β3线性无关. 证明：设k1(?1??2)?k2(?2??3)?k3(?3??1)?0，即(k1?k3)?1?(k1?k2)?2?(k2?k3)?3?0，于α1，α2，α3线性无关，故有?k1?k3?0??k1?k2?0解之得，k1?k2?k3?0?k?k?03?2故β1，β2，β3也线性无关．24.证明：若向量组?1,?2,??n线性无关,而?1??1??n,?2??1??2,?3??2??3,?, ?n ??n?1+?n，则向量组?1,?2,?,?n线性无关的充要条件是n为奇数。