2019-2020年高考数学总复习专题02函数分项练习含解析理(II)

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2020高考数学总复习专题02函数分项练习含解析文

【2019最新】精选高考数学总复习专题02函数分项练习含解析文一．基础题组1.【2005天津，文9】若函数在区间，内恒有，则的单调递增区间为（）2()log (2)(0,1)a f x x x a a =+>≠1(0,)2()0f x >()f x（A ）（B ）（C ）（D ）1(,)4-∞-1(,)4-+∞(0,)+∞1(,)2-∞- 【答案】D【解析】函数的定义域为，在区间上，，又，则，因此是减函数，函数的单调递增区间为函数的递减区间，考虑对数函数的定义域，得所求的单调递增区间为1{|0}2x x x ><-或1(0,)22021x x <+<()0f x >01a <<log a y t =()f x 22y x x =+1(,)2-∞-选D2.【2005天津，文10】设式定义在上以6为周期的函数，在内单调递减，且的图像关于直线对称，则下面正确的结论是（）()f x R ()f x (0,3)()y f x =3x =（A ）（B ）(1.5)(3.5)(6.5)f f f <<(3.5)(1.5)(6.5)f f f << （C ）（D ）(6.5)(3.5)(1.5)f f f <<(3.5)(6.5)(1.5)f f f << 【答案】B 3.【2005天津，文15】设函数，则函数的定义域为．1()ln 1x f x x +=-1()()()2x g x f f x=+ 【答案】(2,1)(1,2)-- 【解析】由题意得120122221121111011x x x x x x x x x⎧+⎪>⎪⎪--<<⎧⎪⇒⇒-<<-<<⎨⎨><-⎩⎪+⎪>⎪-⎪⎩或或则所求定义域为.(2,1)(1,2)-- 4.【2006天津，文6】函数的反函数是( )1(0)y x =< （A ）（B）0)y x =<0)y x =< （C ）（D）2)y x =>2)y x => 【答案】D5.【2006天津，文10】如果函数且在区间上是增函数，那么实数的取值范围是( )2(31)(0x x a a a a =-->1)a ≠[0,)+∞（A ）（B ）（C ）（D ）2(0,]33[,)2+∞ 【答案】B【解析】函数y 且可以看作是关于的二次函数，若a>1，则是增函数，原函数在区间上是增函数，则要求对称轴≤0，矛盾；若0<a<1，则是减函数，原函数在区间上是增函数，则要求当(0<t<1)时，在t∈(0，1)上为减函数，即对称轴≥1，∴，∴实数的取值范围是，选B.2(31)(0x x a a a a =-->1)a ≠x a x y a =[0,)+∞2312a +x y a =[0,)+∞x t a =22(31)y t a t =-+2312a +213a≥36.【2007天津，文5】函数的反函数是（）2log (4)(0)y x x =+> A ． B ．24(2)x y x =+>24(0)x y x =+> C ． D ．24(2)x y x =->24(0)x y x =->【答案】C【解析】解：由y=log2（x+1）+1，解得x=2y-1-1 即：y=2x-1-1 函数y=log2（x+1）+1（x ＞0）的值域为{y|y ＞1}，∴函数y=log2（x+1）+1（x ＞0）的反函数为y=2x-1-1（x ＞1）．7.【2007天津，文10】设是定义在上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）()f x R 0x ≥2()f x x =[]2x t t ∈+，()2()f x t f x +≥A ．B ．C ．D ．)+∞[)2+，∞(]02，120⎡⎤⎡⎤-⎣⎦⎣⎦，【答案】A8.【2008天津，文3】函数（）的反函数是1y =+04x ≤≤（A ）（）（B ）（）2(1)y x =-13x ≤≤2(1)y x =-04x ≤≤（C ）（）（D ）（）21y x =-13x ≤≤21y x =-04x ≤≤【答案】A【解析】当时，，解得，选A ．04x ≤≤[,3]11+1y =12()(1)f x x -=- 9.【2008天津，文8】已知函数，则不等式的解集是2,0()2,x x f x x x +⎧=⎨-+>≤⎩2()f x x ≥（A ）（B ）（C ）（D ）[1,1]-[2,2]-[2,1]-[1,2]- 【答案】A【解析】依题意得，选A ．221100001122x x x x x x x x x ⎧⎧≤>≤≤<≤⇒≤≤+≥-+≥⇒--⎨⎨⎩⎩或或10.【2008天津，文10】设，若对于任意的，都有满足方程，这时的取值集合为1a >[,2]x a a ∈2[,]y a a ∈log log 3a a x y +=（A ）（B ）（C ）（D ）2{|1}a a <≤{|}2a a ≥3|}2{a a ≤≤{2,3} 【答案】B【解析】易得，在上单调递减，所以，故，选B ．3a y x =[,2]a a 22[,]2y aa ∈2122a a a a ⎧⎪⇒⎨⎪⎩≥≥> 11.【2009天津，文8】设函数,则不等式f(x)＞f(1)的解集是( )⎩⎨⎧<+≥+-=.0,6,0,64)(2x x x x x x fA.(－3,1)∪(3,+∞)B.(－3,1)∪(2,+∞)C.(－1,1)∪(3,+∞)D.(－∞,－3)∪(1,3) 【答案】A12.【2010天津，文4】函数f(x)＝ex ＋x －2的零点所在的一个区间是( )A ．(－2，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2) 【答案】C【解析】因为f(0)＝e0＋0－2＝－1＜0，f(1)＝e －1＞0，f(0)·f(1)＜0，所以函数f(x)在(0,1)内有一个零点．13.【2010天津，文10】设函数g(x)＝x2－2(x∈R)，f(x)＝则f(x)的值域是( )()4,(),(),().g x x x g x g x x x g x ++<⎧⎨-≥⎩A ．，0]∪(1，＋∞) B．0，＋∞)94-C ．，＋∞) D．，0]∪(2，＋∞)94-94- 【答案】D【解析】由条件知，f(x)＝222,12,2,1 2.x x x x x x x ⎧++<->⎪⎨---≤≤⎪⎩或当x ＜－1或x ＞2时，f(x)＝x2＋x ＋2＝(x ＋)2＋＞2；1274当－1≤x≤2时，f(x)＝x2－x －2＝(x －)2－，1294∴－≤f(x)≤0.94综上，－≤f(x)≤0或f(x)＞2. 9414.【2011天津，文8】已知是等差数列,为其前n 项和,.若,,则的值为 .{}n a n S n N *∈316a =2020S =10S 【答案】11015.【2012天津，文6】下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为( ) A ．y ＝cos2x ，x∈RB ．y ＝log2|x|，x∈R 且x≠0C ．，x∈R e e 2x x y --=D ．y ＝x3＋1，x∈R 【答案】B【解析】对于A 项，y ＝cos2x 是偶函数，但在区间(1，)内是减函数，在区间(，2)内是增函数，不满足题意．π2π2对于B 项，log2|－x|＝log2|x|，是偶函数，当x∈(1,2)时，y ＝log2x 是增函数，满足题意．对于C 项，，()e e e e ()()22x x x xf x f x -------===- ∴是奇函数，不满足题意．e e 2x xy --=对于D 项，y ＝x3＋1是非奇非偶函数，不满足题意．16.【2013天津，文7】已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且在区间0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f(log2a)＋≤2f(1)，则a 的取值范围是( )．12(log )f aA ．1,2]B ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦C ．D ．(0,2]1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C解得≤a≤2，故选C.1217.【2014天津，文4】设则（）,,log ,log 2212-===πππc b aA.c b a >>B.C.D.c a b >>b c a >>a b c >>【答案】C. 【解析】试题分析：因为所以，选C.2221122log log 21,log log 10,(0,1),a b c πππ-=>==<==∈b c a >>考点：比较大小18.【2014天津，文12】函数的单调递减区间是________.2()lg f x x = 【答案】(,0).-∞ 【解析】试题分析：因为函数定义域为所以当，单调减，函数单调减，当，单调增，函数单调增，故函数的单调递减区间是(,0)(0,),-∞+∞(,0)x ∈-∞2u x =2()lg f x x =(0,)x ∈+∞2u x =2()lg f x x =2()lg f x x =(,0).-∞考点：复合函数单调区间二．能力题组1.【2010天津，文16】设函数f(x)＝x －.对任意x∈1，＋∞)，f(mx)＋mf(x)＜0恒成立，则实数m 的取值范围是__________．1x【答案】(－∞，－1) 【解析】解析：因为f(mx)＋mf(x)＜0，所以mx －＋m(x －)＜0，1mx 1x即2mx －－＜0对任意x∈1，＋∞)恒成立．1mx mx由条件知m≠0，又当m ＞0时，y ＝2mx －－在1，＋∞)上为增函数，不符合题意；1mx mx当m ＜0时，y ＝2mx －－在1，＋∞)上为减函数，1mx mx 所以2m －－m ＜0，解得m ＜－1. 1m2.【2013天津，文8】设函数f(x)＝ex ＋x －2，g(x)＝ln x ＋x2－3.若实数a ，b 满足f(a)＝0，g(b)＝0，则( )．A ．g(a)＜0＜f(b)B ．f(b)＜0＜g(a)C ．0＜g(a)＜f(b)D ．f(b)＜g(a)＜0 【答案】A3. .【2015高考天津，文8】已知函数,函数,则函数的零点的个数为（）22||,2()(2),2x x f x x x ì-?ï=í->ïî()3(2)g x f x =--y ()()f x g x =- (A) 2 (B) 3 (C)4 (D)5 【答案】A【解析】当时,所以,,此时函数的小于零的零点为 ;当时, ,函数无零点;当时, ,,函数大于2的零点为,综上可得函数的零点的个数为 2.故选A.0x <22x ->()22f x x x =-=+()22f x x -=()()()()2231f xg x f x f x x x -=+--=+-12x +=-02x ≤≤()22f x x x =-=-()222f x x x -=--=()()231f x g x x x -=-+-=-2x >()()22f x x =-()2224f x x x -=--=-()()()2224355f x g x x x x x -=-+--=-+x =y ()()f x g x =-【考点定位】本题主要考查分段函数、函数零点及学生分析问题解决问题的能力. 4. 【2015高考天津，文7】已知定义在R 上的函数为偶函数,记,则,的大小关系为（）||()21()x m f x m -=-为实数0.5(log 3),a f =2b (log 5),c (2)f f m ==,,a b c(A) (B) (C) (D) b c a <<b c a <<b a c <<b c a << 【答案】B【考点定位】本题主要考查函数奇偶性及对数运算.5.【2017天津，文6】已知奇函数在上是增函数．若，则，，的大小关系为()f x R 0.8221(log ),(log 4.1),(2)5a fb fc f =-==（A ）（B ）（C ）（D ）a b c <<b a c <<c b a <<c a b << 【答案】C【解析】由题意可得，且，，所以，结合函数的单调性可得，即，即．故选C ．221(log )(log 5)5a f f =-=22log 5log 4.12>>0.8122<<0.822log 5log 4.12>>0.822(log 5)(log 4.1)(2)f f f >>a b c >>c b a <<【考点】指数、对数、函数的单调性与奇偶性【名师点睛】比较大小是高考的常见题型，指数式、对数式的大小比较要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性、奇偶性等进行大小比较，要特别关注灵活利用函数的奇偶性和单调性，数形结合进行大小比较或解不等式．6.【2017天津，文8】已知函数设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是||2,1,()2, 1.x x f x x x x +<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩a ∈R ()||2x f x a ≥+R（A ）（B ）（C ）（D ）[2,2]-[2]-[2,-[-【答案】A【解析】当，且时，即，即，显然上式不成立，由此可排除选项B 、C 、D ，故选A．a =±0x =()||2x f x a ≥+2|≥±2≥【考点】分段函数、不等式恒成立问题【名师点睛】涉及分段函数问题要遵循分段处理的原则，分别对的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据的范围，利用极端原理，求出对应的的取值范围．本题具有较好的区分度，所给解析采用了排除法，解题步骤比较简捷，口算即可得出答案，解题时能够节省不少时间．当然，本题也可画出函数图象，采用数形结合的方法进行求解．三．拔高题组1.【2012天津，文14】已知函数的图象与函数y ＝kx 的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是__________．2|1|1x y x -=-【答案】(0,1)∪(1,2)2.【2014天津，文14】已知函数若函数恰有4个零点，则实数的取值范围为_______()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤++=0,220,452x x x x x x f x a x f y -=)(【答案】(1,2) 【解析】试题分析：考点：函数图像3. 【2016高考天津文数】已知函数在R 上单调递减，且关于x 的方程恰有两个不相等的实数解，则的取值范围是_________.2(43)3,0()(01)log (1)1,0a x a x a x f x a a x x ⎧+-+<⎪=>≠⎨++≥⎪⎩且|()|23x f x =-【答案】12[,)33【解析】试题分析：由函数在R 上单调递减得，又方程恰有两个不相等的实数解，所以，因此的取值范围是.()f x 43130,01,31234a a a a --≥<<≥⇒≤≤|()|23xf x =-232,3a a <<解得12[,)33【考点】函数综合【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化为求函数值域的问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．4.【2016高考天津文数】已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数满足，则的取值范围是)(x f R )0,(-∞)2()2(|1|->-f f a（A ）（B ）（C ）（D ）)21,(-∞),23()21,(+∞-∞ )23,21(),23(+∞【答案】C 【解析】【考点】利用函数性质解不等式【名师点睛】不等式中的数形结合问题，在解题时既要想形又要以形助数，常见的“以形助数”的方法有：(1)借助数轴，运用数轴的有关概念，解决与绝对值有关的问题，解决数集的交、并、补运算非常有效．...(2)借助函数图象性质，利用函数图象分析问题和解决问题是数形结合的基本方法，需注意的问题是准确把握代数式的几何意义实现“数”向“形”的转化．精品。

专题02 函数与导数(新定义)(解析版)-新高考数学创新题型微专题

2 时，等号成立，
所以 m 2 2 2 ，即 m , 2 2 2 ．
故选：C.
【点睛】关键点睛：本题突破口是理解“隐对称点”的定义，将问题转化为 g(x) 与 f (x) 在 0, 上有交点的
问题，从而得解.
5．（2023·高二单元测试）能够把椭圆 x2 y2 1的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为椭圆的“可 4
f
3 1
2
，
当t
1 时， 2
f
t
max
f
1 2
21 8.
所以
f
x
的值域为
1 2
,
21 8
.
当 1 f x 0 时， y INT f x 1，
2
当 0 f x 1时， y INT f x 0 ，
当1 f x 2 时， y INT f x 1，当 2 f x 21 时， y INT f x 2 ，
对选项
B：
f
x
ln
5 5
x x
，函数定义域满足
5 5
x x
0 ，解得
5
x
5 ，且
f
x
ln
5 5
x x
f
x ，函数为
奇函数，满足；
对选项 C： f x sin x 为奇函数，满足；
对选项 D： f x ex ex ， f x ex ex f x ，函数为偶函数，且 f 0 2 0 ，不满足.
f
x
ex ex
1 1
，得
ex
f
1
x 1 f x
.
因为 ex
f x1 0 ，所以 1 f x
0 ，解得 1
f

高考数学专题02 分段函数及其应用(第二季)压轴题必刷题理-人教版高三全册数学试题

专题02分段函数及其应用第二季1．已知函数，若函数在定义域内有且只有三个零点，则实数的取值X围是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】函数在定义域内有且只有三个零点，等价于有且有三个根，当时，，不是方程的根，当时，，令，当时，在单调递增，当时，在单调递增，在单调递减，图象如图所示：其中可得时与图象有三个交点，方程有且有三个根，函数在定义域内有且只有三个零点，所以实数的取值X围是，故选A..2．设f(x)＝．若存在x1，x2∈R，x1≠x2，使得f(x1)＝f(x2)成立，则实数a的取值X围是A．(0，) B．(，) C．(0，) D．(，)【答案】B3．已知定义域为R的奇函数，当时，满足，则A． B． C． D．0【答案】B【解析】定义域为的奇函数，可得，当时，满足，可得时，，则，，，，，，，，，故选B.4．已知函数，则函数的零点个数为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由可得：或，当时，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，函数在处有极小值，绘制函数的图象如图所示，观察可得，函数的零点个数为3.本题选择B选项.5．已知，若恰有两个根，，则的取值X围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】作出f（x）的函数图象如图所示：由[f（x）]2=a可得f（x）=，∴＞1，即a＞1．不妨设x1＜x2，则x12=e=，令=t（t＞1），则x1=﹣，x2=lnt，∴x1+x2=lnt﹣，令g（t）=lnt﹣，则g′（t）=﹣ =，∴当1＜t＜4时，g′（t）＞0，当t＞4时，g′（t）＜0，∴当t=4时，g（t）取得最大值g（4）=ln4﹣2=2ln2﹣2．∴x1+x2≤2ln2﹣2．故选：C．6．对实数a和b，定义运算“⊗”：a⊗b＝设函数f(x)＝(x2－2)⊗(x－x2)，x∈R.若函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值X围是( )．A．(－∞，－2]∪B．(－∞，－2]∪C．∪D．∪【答案】B表示为区间形式即.本题选择B选项.7．已知函数，若方程有且只有两个不相等的实数根,则实数a的取值X围为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为当时，有，所以在的图像与上的图像一致，故的图像如下图所示：因为直线与有两个不同的交点，故，选A．8．已知函数f(x)＝x2－2(a＋2)x＋a2，g(x)＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8.设H1(x)＝max，H2(x)＝min (max表示p，q中的较大值，min表示p，q中的较小值)．记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则A－B ＝( )A．16 B．－16C．a2－2a－16 D．a2＋2a－16【答案】B【解析】令h（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣2（a+2）x+a2﹣[﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8]=2x2﹣4ax+2a2﹣8=2（x﹣a）2﹣8．①由2（x﹣a）2﹣8=0，解得x=a±2，此时f（x）=g（x）；②由h（x）＞0，解得x＞a+2，或x＜a﹣2，此时f（x）＞g（x）；③由h（x）＜0，解得a﹣2＜x＜a+2，此时f（x）＜g（x）．综上可知：（1）当x≤a﹣2时，则H1（x）=max{f（x），g（x）}=f（x）=[x﹣（a+2）]2﹣4a﹣4，H2（x）=min{f（x），g（x）}=g（x）=﹣[x﹣（a﹣2）]2﹣4a+12，（2）当a﹣2≤x≤a+2时，H1（x）=max{f（x），g（x）}=g（x），H2（x）=min{f（x），g（x）}=f（x）；（3）当x≥a+2时，则H1（x）=max{f（x），g（x）}=f（x），H2（x）=min{f（x），g（x）}=g（x），故A=g（a+2）=﹣[（a+2）﹣（a﹣2）]2﹣4a+12=﹣4a﹣4，B=g（a﹣2）=﹣4a+12，∴A﹣B=﹣4a﹣4﹣（﹣4a+12）=﹣16．故选：B．9．若函数满足且时，，函数，则函数在区间内的零点的个数为（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【解析】因为，所以函数是周期为2的函数，作出时，的图象，并根据周期扩展到上，再作出函数的图象，如图所示：从图中易看出有8个交点，故选B.10．已知函数，其中表示不超过的最大整数．设，定义函数：，，，，则下列说法正确的有（）个①的定义域为；②设，，则；③；④若集合，则中至少含有个元素．A．个 B．个 C．个 D．个【答案】C【解析】①，当时，，所以；当时，成立，所以；当时，成立，所以；因此定义域为；②；；，因此；③因为，即，因此④由上可知为中元素，又，所以中至少含有个元素．综上共有3个正确说法，选C．11．已知函数，若，则的取值X围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】当时，即；当时0，即；当时，由图可知；综上的取值X围是，选D．12．设函数，若互不相等的实数，，满足，则的取值X围是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】不妨设，则，得，结合图象可知，则，故选C．13．已知定义在上的函数满足，且，则方程在区间上的所有实根之和为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】14．已知函数，若的图像与轴有个不同的交点，则实数的取值X围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由于函数的图像与轴有个不同的交点，则方程有三个根，故函数与的图象有三个交点．由于函数，则其图象如图所示，从图象可知，当直线位于图中两虚线之间时两函数有三个交点，因为点能取到，则4个选项中区间的右端点能取到，排除BC，∴只能从中选，故只要看看选项区间的右端点是选还是选，设图中切点的坐标为，则斜率，又满足：，解得，∴斜率，故选B．15．已知定义域为R的奇函数，当时，满足，则A． B． C． D．0【答案】B【解析】定义域为的奇函数，可得，当时，满足，可得时，，则，，，，，，，，，故选B.16．定义函数，若存在实数使得方程无实数根，则实数的取值X围是（）A． B． C．D．【答案】C【解析】存在实数使得方程无实数根，等价于值域不为，当时，时，，时，，值域为，不合题意，排除；当时，时，，时，，值域为，不合题意，排除；当时，时，，时，，值域不为，合题意，排除，故选C. 17．已知函数，函数有四个不同的零点，且满足：，则的取值X围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】作出的解析式如图所示：根据二次函数的对称性知，且，，，因为所以当时，函数等号成立，又因为在递减，在递增，所以，所以的取值X围是，故选D.18．著名的狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集.现有如下四个命题：①；②函数为奇函数；③，恒有；④，恒有. 其中真命题的个数是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】对于①，时，，，故①错误；对于②，时，，时，，不是奇函数，故②错误；对③，时，，，时，，，故③正确.对④，时，，，④错误，故真命题个数为，故选A.19．设是定义在R上的偶函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数m的最大值是（）A． B． C． D．【答案】B20．设，，若对任意的，存在，使得，则实数的取值X围为（）A． B．C． D．【答案】D【解析】函数在上单调递增，所以的值域为，当时，为增函数，在]上的值域为，由题意可得当时，为减函数，在]上的值域为，由题意可得当时，为常数函数，值域为，不符合题意；综上，实数的取值X围为. 故选D.。

浙江省2019届高考数学总复习专题02函数优质考卷分项解析

浙江省2019届高考数学总复习专题02 函数优质考卷分项解析一、选择题1. 设函数f(x) = (x^2 3x + 2)/(x 1)，则f(x)的定义域为（）A. x ≠ 1B. x ∈ RC. x > 1D. x < 12. 下列函数中，既是奇函数又是减函数的是（）A. y = x^3B. y = x^3C. y = x^2D. y = x^23. 已知函数f(x) = |x 2|，则f(3)的值等于（）A. 1B. 1C. 2D. 24. 设函数f(x) = (1/2)^x，则f(x)的反函数为（）A. y = 2^xB. y = (1/2)^xC. y = log2(x)D. y = log(1/2)(x)5. 若函数f(x) = 2x + 3在区间[1, 1]上的值域为[1, 5]，则函数g(x) = f(x) 2的值域为（）A. [3, 1]B. [1, 3]C. [1, 3]D. [1, 1]二、填空题6. 已知函数f(x) = x^2 2x，则f(x)的零点为______。

7. 设函数f(x) = (1/2)^x，若f(a) = 4，则a的值为______。

8. 若函数f(x) = |x 1| + |x + 1|的最小值为2，则x的取值范围为______。

9. 已知函数f(x) = x^3 3x，则f(x)的极小值点为______。

10. 设函数f(x) = e^x，若f(a) = 1，则a的值为______。

三、解答题11. 设函数f(x) = (x 1)/(x + 2)，求f(x)的定义域、值域和单调性。

12. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c（a ≠ 0），讨论f(x)的图像与x轴交点的个数。

13. 设函数f(x) = x^3 3x，求f(x)的极值。

14. 已知函数f(x) = (1/2)^x，求f(x)的反函数，并讨论其单调性。

15. 设函数f(x) = |x 1|，求f(x)在区间[0, 2]上的最大值和最小值。

2020年高考数学(理)函数与导数专题02 函数的基本性质(解析版)

函数与导数02函数函数的基本性质【考点讲解】一、具体目标：1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.会用函数的图象理解和研究函数的奇偶性.2.理解函数的单调性及其几何意义.会用基本函数的图象分析函数的性质.3. 了解函数的周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．二、知识概述：1．偶函数、奇函数的概念一般地，如果对函数f(x)的定义域内任意一个x，都有__f(－x)＝f(x)__，那么函数f(x)就叫做偶函数．一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有__f(－x)＝－f(x)__，那么函数f(x)就叫做奇函数．2．奇、偶函数的图象特征偶函数的图象关于__y轴__对称，奇函数的图象关于__原点__对称．3．函数奇偶性的常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．4.判断函数的奇偶性的常用方法：(1)定义法一般地，对于较简单的函数解析式，可通过定义直接作出判断；对于较复杂的解析式，可先对其进行化简，再利用定义进行判断．利用定义判断函数奇偶性的步骤：(2)图象法：奇函数的图象关于原点成中心对称，偶函数的图象关于y 轴成轴对称．因此要证函数的图象关于原点对称，只需证明此函数是奇函数即可；要证函数的图象关于y 轴对称，只需证明此函数是偶函数即可．反之，也可利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性． (3)组合函数奇偶性的判定方法①两个奇(偶)函数的和、差还是奇(偶)函数，一奇一偶之和为非奇非偶函数．②奇偶性相同的两函数之积(商)为偶函数，奇偶性不同的两函数之积(商)(分母不为0)为奇函数． ③复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶”． (4)分段函数的奇偶性判定分段函数应分段讨论，注意奇偶函数的整体性质，要避免分段下结1．已知函数的奇偶性求函数的解析式．抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性产生关于()f x 的方程，从而可得()f x 的解析式．5．已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数．常常采用待定系数法：利用()()0f x f x ±－＝产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值．6．奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． 7．增函数与减函数一般地，设函数f (x )的定义域为I ，(1)如果对于定义域I 内某个区间D 上的__任意两个__自变量的值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是__增函数__.(2)如果对于定义域I 内某个区间D 上的__任意两个__自变量的值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是__减函数__.8．单调性与单调区间如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)__单调性__，区间D 叫做y ＝f (x )的__单调区间__. 9．函数的最大值与最小值：一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：(1)对于任意的x ∈I ，都有__f (x )≤M __；存在x 0∈I ，使得__f (x 0)＝M __，那么，我们称M 是函数y ＝f (x )的最大值．(2)对于任意的x ∈I ，都有__f (x )≥M __；存在x 0∈I ，使得__f (x 0)＝M __，那么我们称M 是函数y ＝f (x )的最小值．10．函数单调性的常用结论11．对勾函数的单调性对勾函数y ＝x ＋ax (a >0)的递增区间为(－∞，－a ]和[a ，＋∞)；递减区间为[－a ，0)和(0，a ]，且对勾函数为奇函数． 12.函数的周期性(1)对于函数f (x )，如果存在一个__非零常数__T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有__f (x ＋T )＝f (x )__，那么函数f (x )就叫做周期函数，T 叫做这个函数的周期．(2)如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的__最小__正周期． 13.函数周期性的常用结论：对f (x )定义域内任一自变量x 的值： (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a (a >0)； (2)若f (x ＋a )＝1f (x )，则T ＝2a (a >0)； (3)若f (x ＋a )＝－1f (x )，则T ＝2a (a >0)．14.函数的对称性与周期性的关系(1)如果函数f (x )(x ∈D )在定义域内有两条对称轴x ＝a ，x ＝b (a <b )，则函数f (x )是周期函数，且周期T ＝2(b －a )(不一定是最小正周期，下同)．(2)如果函数f (x )(x ∈D )在定义域内有两个对称中心A (a,0)，B (b,0)(a <b )，那么函数f (x )是周期函数，且周期 T ＝2(b －a )．(3)如果函数f (x )，x ∈D 在定义域内有一条对称轴x ＝a 和一个对称中心B (b,0)(a ≠b )，那么函数f (x )是周期函数，且周期T ＝4|b －a |.注：对于(1)(2)(3)中的周期公式可仿照正、余弦函数的图象加强记忆．判断函数的周期只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．15．根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期．1．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e ax f x =-.若(ln 2)8f =，则a =__________．【解析】本题主要考查函数的奇偶性，对数的计算．由题意知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e axf x =-，又因为ln 2(0,1)∈，(ln 2)8f =，所以ln 2e 8a --=-，两边取以e 为底数的对数，得ln 23ln 2a -=，所以3a -=，即3a =-．【答案】3-2.【2019优选题】已知()f x 是R 上的偶函数，且在[0，)+∞单调递增，若(3)f a f -<（4），则a 的取值范围为．【解析】：()f x Q 是R 上的偶函数，且在[0，)+∞单调递增，∴不等式(3)f a f -<（4）等价为 (|3|)f a f -<（4），即|3|4a -<，即434a -<-<，得17a -<<，即实数a 的取值范围是17a -<<，【真题分析】故答案为：17a -<< 【答案】17a -<<．3.【2017课标II 】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(,0)x ∈-∞时，32()2f x x x =+, 则(2)f = ________．【解析】本题考点奇函数的性质解决求函数值的问题. 法一：(2)(2)[2(8)4]12=--=-⨯-+=f f .法二：由题意可知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以有()()()232x x x f x f +-=-=-，而因为()0,∞-∈x ，()∞+∈-，0x ，()232x x x f --=-所以有()⎪⎩⎪⎨⎧>-<+=0,20,22323x x x x x x x f ，()12222223=-⨯=f【答案】124. 【2017山东】已知f (x )是定义在R 上的偶函数,且f (x +4)=f (x -2).若当[3,0]x ∈- 时,()6xf x -=,则f (919)= 【解析】由f (x +4)=f (x -2)可知,()()6=+f x f x 是周期函数,且6T =,所以(919)(66531)(1)f f f =⨯+=(1)6f =-=.【答案】65. 【2019年高考江苏】设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时，()f x =(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中k >0.若在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是 . 【解析】作出函数()f x ，()g x 的图象，如图：由图可知，函数2()1(1)f x x =--1()(12,34,56,78)2g x x x x x =-<≤<≤<≤<≤的图象仅有2个交点，即在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有2个不同的实数根，要使关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则2()1(1),(0,2]f x x x =--∈与()(2),(0,1]g x k x x =+∈的图象有2个不同的交点，由(1,0)到直线20kx y k -+=的距离为1211k =+，解得2(0)4k k =>， ∵两点(2,0),(1,1)-连线的斜率13k =，∴1234k ≤<，综上可知，满足()()f x g x =在(0,9]上有8个不同的实数根的k 的取值范围为123⎡⎢⎣⎭，. 【答案】123⎡⎢⎣⎭6.【2017山东理15】若函数()e x f x （e 2.71828=L 是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质.下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为 .①()2x f x -=②()3x f x -=③()3f x x = ④()22f x x =+【解析】①()e =e e 22xx x xy f x -⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭在R 上单调递增，故()2x f x -=具有M 性质； ②()e =e e 33xx x x y f x -⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，故()3xf x -=不具有M 性质；③()3=e e xxy f x x =⋅，令()3e xg x x =⋅，则()()322e e 3e3xxxg x x x x x '=⋅+⋅=+，所以当3x >-时，()0g x '>；当3x <-时，()0g x '<，所以()3=e e xxy f x x =⋅在(),3-∞-上单调递减，在()3,-+∞上单调递增，故()3f x x =不具有M 性质；④()()2=e e 2x x y f x x =+.令()()2e 2x g x x =+，则()()()22e 2e 2e 110xx x g x xx x ⎡⎤'=++⋅=++>⎣⎦，所以()()2=e e 2x x y f x x =+在R 上单调递增，故()22f x x =+具有M 性质．综上所述，具有M 性质的函数的序号为①④.【答案】①④7.【2017天津理6】已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（）. A.a b c << B.c b a <<C.b a c <<D.b c a <<【解析】因为奇函数()f x 在R 上增函数，所以当0x >时，()0f x >，从而()()g x xf x =是R 上的偶函数，且在(0,)+∞上是增函数.()()22log 5.1log 5.1a g g =-=，0.822<，又4 5.18<<，则22log 5.13<<，所以0.8202log 5.13<<<，于是()()()0.822log 5.13g g g <<，即b a c <<.故选C.【答案】C8.【2018新课标II 卷11】已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=…（）A ．50-B ．0C ．2D ．50【解析】本题考点是函数的性质的具体应用，根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果. 由题意可知原函数的定义域为()∞+∞-，的奇函数，并且有()()x f x f +=-11，所以有()()()111--=-=+x f x f x f ，所以有()()()113-=+-=+x f x f x f ，即有()()4+=x f x f ，所以函数是以周期为4的周期函数.因此有()()()()()()()()[]()()2143211250321f f f f f f f f f f +++++=++++Λ.因为()()()()2413f f f f -=-=，，()()()()04321=+++f f f f ，由()()()113-=+-=+x f x f x f 可得()()()00112==+--=f f f从而()()()()()2150321==++++f f f f f Λ，选C .【答案】C9. .已知定义在错误!未找到引用源。

2019年高考数学理真题分项解析：专题02 函数

专题二函数1.【2019高考新课标Ⅰ，理3】已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D. b c a <<【答案】B 【解析】【分析】运用中间量0比较,a c ，运用中间量1比较,b c 【详解】22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,<<=则01,c a c b <<<<．故选B ．【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．2.【2015高考新课标Ⅰ，理5】函数f (x )=2sin cos x xx x ++在[—π，π]的图像大致为A.B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，得()f x 是奇函数，排除A ，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．【详解】由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x -+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称．又221422()1,2()2f πππππ++==>2()01f πππ=>-+．故选D ．【点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．3.【2019高考新课标Ⅱ，理4】2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日2L 点的轨道运行．2L 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M １，月球质量为M ２，地月距离为R ，2L 点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：121223()()M M M R r R r r R +=++.设rRα=，由于α的值很小，因此在近似计算中34532333(1)ααααα++≈+，则r 的近似值为 A.21M R M B.212M R M C.2313M R M D.2313M R M 【答案】D 【解析】【分析】本题在正确理解题意的基础上，将有关式子代入给定公式，建立α的方程，解方程、近似计算．题目所处位置应是“解答题”，但由于题干较长，易使考生“望而生畏”，注重了阅读理解、数学式子的变形及运算求解能力的考查．【详解】由rRα=，得r R α= 因为121223()()M M M R r R r r R +=++，所以12122222(1)(1)M M M R R R ααα+=++，即543232221133[(1)]3(1)(1)M M αααααααα++=+-=≈++，解得3213M M α=，所以321.3M r R R M α==【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是复杂式子的变形出错．4.【2019高考新课标Ⅱ，理6】若a >b ，则 A. ln(a −b )>0 B. 3a <3b C. a 3−b 3>0 D. │a │>│b │【答案】C 【解析】【分析】本题也可用直接法，因为a b >，所以0a b ->，当1a b -=时，ln()0a b -=，知A 错，因为3xy =是增函数，所以33a b >，故B 错；因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，知C 正确；取1,2a b ==-，满足a b >，12a b =<=，知D 错．【详解】取2,1a b ==，满足a b >，ln()0a b -=，知A 错，排除A ；因为9333a b =>=，知B 错，排除B ；取1,2a b ==-，满足a b >，12a b =<=，知D 错，排除D ，因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，故选C ．【点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．5.【2019高考新课标Ⅱ，理12】设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是A. 9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B. 7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C. 5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D. 8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B 【解析】【分析】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决．【详解】(0,1]x ∈Q 时，()=(1)f x x x -，(+1)= ()f x 2f x ，()2(1)f x f x ∴=-，即()f x 右移1个单位，图像变为原来的2倍．如图所示：当23x <≤时，()=4(2)=4(2)(3)f x f x x x ---，令84(2)(3)9x x --=-，整理得：2945560x x -+=，1278(37)(38)0,,33x x x x ∴--=∴==（舍），(,]x m ∴∈-∞时，8()9f x ≥-成立，即73m ≤，7,3m ⎛⎤∴∈-∞ ⎥⎝⎦，故选B ．【点睛】易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力．6.【2019高考新课标Ⅲ，理7】函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图像大致为 A. B. C.D.【答案】B 【解析】【分析】由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由(4)f 的近似值即可得出结果．【详解】设32()22x x x y f x -==+，则332()2()()2222x x x xx x f x f x ----==-=-++，所以()f x 是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C ．又34424(4)0,22f -⨯=>+排除选项D ；36626(6)722f -⨯=≈+，排除选项A ，故选B ．【点睛】本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．7.【2019高考新课标Ⅲ，理11】设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,∞+单调递减，则（）A. 233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B. 233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C. 23332122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D. 23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】由已知函数为偶函数，把233231log ,2,24f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，转化为同一个单调区间上，再比较大小．【详解】()f x Q 是R 的偶函数，()331log log 44f f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭． 223303322333log 4log 31,1222,log 422---->==>>∴>>Q ，又()f x 在(0，+∞)单调递减，∴()23323log 422f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选C ．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值．8.【2019高考北京卷，理6】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足212152–lg E m m E =，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 A. 1010.1 B. 10.1C. lg10.1D. 10–10.1【答案】A 【解析】【分析】由题意得到关于12,E E 的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值. 【详解】两颗星的星等与亮度满足12125lg 2E m m E -=,令211.45,26.7m m =-=-, ()10.111212222lg( 1.4526.7)10.1,1055E E m m E E =⋅-=-+==. 故选：A.【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算.9.【2019高考天津卷，理6】已知5log 2a =，0.5log 0.2b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为（） A. a c b << B. a b c << C. b c a << D. c a b <<【答案】A 【解析】【分析】利用10,,12等中间值区分各个数值的大小。

专题02 函数周期性问题-高中数学经典二级结论解读与应用训练(解析版)

f x-【详解】(2由条件可知函数在区间)(252f=函数在区间[0,4C ．(sin)(cos )33f f ππ> D ．33(sin )(cos )22f f >【答案】B 【解析】因为()()2f x f x =+，所以()f x 周期为2，因为当[]3,4x ∈时, ()2f x x =-单调递增，所以[]()1,0?,x f x 时∈- 单调递增，因为()f x 偶函数，所以[]()0,1,x f x ∈时单调递减，因为110sin cos 122<<<，1sin1cos10,>>> 1> sin cos 033ππ>>,331sin cos 022>>> 所以11sin cos 22f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ()()sin1cos1f f <, sin cos 33f f ππ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,33sin cos 22f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.6．已知()f x 是在R 上的奇函数，满足()()2f x f x =-，且[]0,1x ∈时，函数()21x f x =-，函数()()log (1)a g x f x x a =->恰有3个零点，则a 的取值范围是（）A ．10,9⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,95⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()1,5D ．()5,9【答案】D【解析】由题得，令()log ah x x =，定义域为0x >，()()log (1)a g x f x x a =->恰有3个零点，即()f x 和()h x 的图像在定义域内有3个交点，()(2)(2)[2(2)](4)(4)f x f x f x f x f x f x =-=--=---=--=-，故函数()f x 的一个周期是4，又[]0,1x ∈时，函数()21x f x =-，且图像关于轴x=1对称，由此可做出函数(),()f x h x 图像如图，若两个函数有3个交点，则有log 51log 91a a <⎧⎨>⎩，解得59a <<，则a 的取值范围是(5,9).7．已知函数()y f x =的定义域为R ，且满足下列三个条件：∵任意[]12,4,8x x ∈，当12x x <时，都有。

2019年(四川版)高考数学分项汇编专题2 函数(含解析)理

第二章函数一．基础题组1.【2007四川，理2】函数f (x )=1+log 2x 与g (x )=2-x +1在同一直角坐标系下的图象大致是( )2.【2007四川，理13】若函数f (x )=e-(x -u ) 2( e 是自然对数的底数)的最大值是m ,且f (x )是偶函数，则m +u = .3.【2010四川，理3】552log 10log 0.25+=（）（A ）0 （B ）1 （C ） 2 （D ）44.【2010四川，理4】函数2()1f x x mx =++的图像关于直线1x =对称的充要条件是（）（A ）2m =- （B ）2m = （C ）1m =- （D ）1m =5.【2011四川，理7】已知()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，1()()12xf x =+，则()f x 的反函数的图像大致是（）6.【2011四川，理13】计算121(lg lg 25)100=4--÷ .7.【2012四川，理5】函数1(0,1)xy a a a a=->≠的图象可能是（）8.【2013四川，理14】已知()f x 是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，2()4f x x x =-，那么，不等式(2)5f x +<的解集是____________．【答案】(7,3)-【考点定位】本题考查综合应用函数的图象与性质解不等式，该题很陈旧但很经典，属于易错题.9.【2014四川，理12】设()f x 是定义在R 上的周期为2的函数，当[1,1)x ∈-时，242,10,(),01,x x f x x x ⎧-+-≤<=⎨≤<⎩，则3()2f = . 【答案】1【考点定位】周期函数及分段函数. 二．能力题组1.【2008四川，理11】设定义在R 上的函数()f x 满足()()213fx f x ⋅+=，若()12f =，则()99f =( )（Ａ）13 （Ｂ）2 （Ｃ）132 （Ｄ）213【答案】：C【点评】：此题重点考察递推关系下的函数求值；【突破】：此类题的解决方法一般是求出函数解析式后代值，或者得到函数的周期性求解；2. 【2009四川，理12】已知函数()f x 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有x (1)f x +=(1)x +()f x ，则5(())2f f 的值是（）（A ）0 （B ）12 （C ）1 （D ）523. 【2011四川，理16】函数()f x 的定义域为A ，若1212()()x x A f x f x ∈=，且时总有12()x x f x =，则称为单函数.例如，函数()21()f x x x R =+∈是单函数.下列命题： ①函数2()()f x x x R =∈是单函数；②若()f x 为单函数，121222,A ()()x x x x f x f x ∈≠≠且，则； ③若:f A B →为单函数，则对于任意b ∈B ，它至多有一个原象； ④函数()f x 在某区间上具有单调性，则()f x 一定是单函数.其中的真命题是 .（写出所有真命题的编号）【答案】②③4.【2012四川，理12】设函数()2cos f x x x =-，{}n a 是公差为8π的等差数列，125()()()5f a f a f a π++⋅⋅⋅+=，则2315[()]f a a a -=（）A 、0B 、2116π C 、218π D 、21316π5.【2013四川，理7】函数331x x y =-的图象大致是（）【答案】C【考点定位】本题考查函数的解析式与函数图象之间的对应关系，以及利用函数的性质研究函数的图象特征，本题计算量小，但思维量大，体现了“多想少算”的命题理念.6.【2013四川，理10】设函数()f x =a R ∈，e 为自然对数的底数）．若曲线sin y x =上存在00(,)x y 使得00(())f f y y =，则a 的取值范围是（）（A ）[1,]e （B ）1[,1]e - （C ）[1,1]e + （D ）1[,1]e e -+【答案】A【考点定位】本题考查函数图象与性质的应用，函数零点、方程的根和函数图象与x 轴交点三者间的关系，本题与函数不动点理论有关，具有高等数学背景，较难.7.【2014四川，理9】已知()ln(1)ln(1)f x x x =+--，(1,1)x ∈-.现有下列命题： ①()()f x f x -=-；②22()2()1xf f x x =+；③|()|2||f x x ≥.其中的所有正确命题的序号是（） A ．①②③ B ．②③ C ．①③ D ．①② 【答案】A【考点定位】1、函数的奇偶性；2、对数运算；3、函数与不等式.8. 【2015高考四川，理8】设a ，b 都是不等于1的正数，则“333a b >>”是“log 3log 3a b <”的（）（A ）充要条件（B ）充分不必要条件（C ）必要不充分条件（D ）既不充分也不必要条件【考点定位】命题与逻辑. 三．拔高题组1.【2013四川，理21】 (本小题满分14分)已知函数22,0()ln ,0x x a x f x x x ⎧++<=⎨>⎩，其中a 是实数．设11(,())A x f x ，22(,())B x f x 为该函数图象上的两点，且12x x <．（Ⅰ）指出函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 的图象在点A ，B 处的切线互相垂直，且20x <，求21x x -的最小值；（Ⅲ）若函数()f x 的图象在点A ，B 处的切线重合，求a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）减区间为(−∞,−1)，增区间为[−1,0)、(0, +∞)；（Ⅱ）略；（Ⅲ）(ln 21,)--+∞.12212122,(1)l ,(2)n 1x x x a x =+-+=-⎧⎪⎨⎪⎩由①及120x x <<知，110x -<< 由①②得1221111ln1ln(22)122x x a x x -=-+++-=.设2111()ln(22)1h x x x +-=-（110x -<<），【考点定位】本小题主要考查基本函数的性质、导数的应用、基本不等式、直线的位置关系等基础知识，考查揄论证能力、运算求解能力、创新意识、考查函数与方程、分类与整合、转化与化归等数学思想．第（Ⅰ）问两个增区间之间错加并集符号；第（Ⅱ）问没有注明均值不等式中等号成立的条件；第（Ⅲ）问不会分离变量，把所求问题转化为函数值域问题。

2019-2020年高考数学总复习专题02函数分项练习含解析理(II)

2019-2020年高考数学总复习专题02函数分项练习含解析理(II)一．基础题组1. 【xx新课标，理2】下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是( )A．y＝x3B．y＝|x|＋1C．y＝－x2＋1 D．y＝2－|x|【答案】B【解析】A中y＝x3是奇函数不满足题意：由y＝|x|＋1的图象观察可知，B满足题意；C中y ＝－x2＋1在(0，＋∞)上为减函数，故不满足题意；D中y＝2－|x|在(0，＋∞)上为减函数，故不满足题意，故选B.2. 【xx全国2，理2】函数y＝ (x＞1)的反函数是( )A．y＝e2x＋1－1(x＞0) B．y＝e2x－1＋1(x＞0)C．y＝e2x＋1－1(x∈R) D．y＝e2x－1＋1(x∈R)【答案】：D3. 【xx全国2，理】函数y=ln x+1(x>0)的反函数为（）A.y=e x+1(x∈R)B.y=e x-1(x∈R)C.y=e x+1(x>1)D.y=e x-1(x>1)【答案】B【解析】y=ln x+1(x>0),y∈R.∴y-1=ln x.∴E y-1=x.∴y=E x-1,x∈R.∴选B.4. 【xx全国3，理6】若，则（）A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．b<a<c【答案】C【解析】，，，∵，∴c<a<b.5.【xx全国2，理3】函数的反函数是（）(A) (B)(C) (D)【答案】B【解析】6. 【xx 高考新课标2，理5】设函数211log (2),1,()2,1,x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩,( ) A ．3 B ．6 C ． 9 D ．12【答案】C【考点定位】分段函数．二．能力题组1. 【xx 课标全国Ⅱ，理8】设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( )．A ．c ＞b ＞aB ．b ＞c ＞aC ．a ＞c ＞bD ．a ＞b ＞c【答案】：D【解析】：根据公式变形，，，，因为lg 7＞lg 5＞lg 3，所以，即c ＜b ＜a .故选D.2. 【xx 全国，理9】已知x ＝ln π，y ＝log 52，，则( )A ．x ＜y ＜zB ．z ＜x ＜yC ．z ＜y ＜xD ．y ＜z ＜x【答案】D【解析】∵x ＝ln π＞1，y ＝log 52＞，，且＜e 0＝1，∴y ＜z ＜x .3. 【xx 全国2，理8】函数y =f (x )的图象与函数g (x )=log 2x (x >0)的图象关于原点对称,则f (x )的表达式为（）A.f (x )= (x >0)B.f (x )= (x <0)C.f (x )=-log 2x (x >0)D.f (x )=-log 2(-x )(x <0) 【答案】:D4. 【xx 新课标，理15】已知偶函数在单调递减，.若，则的取值范围是__________.【答案】【解析】因为是偶函数，所以不等式(1)0(|1|)(2)f x f x f ->⇔->，又因为在上单调递减，所以，解得.三．拔高题组1. 【xx 新课标，理12】函数的图像与函数y ＝2sin πx (－2≤x ≤4)的图像所有交点的横坐标之和等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】D【解析】2. 【xx全国2，理10】若f(sin x)=3-cos2x,则f(cos x)等于（）A.3-cos2xB.3-sin2xC.3+cos2xD.3+sin2x 【答案】:C3. 【xx全国2，理12】函数f(x)=的最小值为（）A.190B.171C.90D.45【答案】:C4. 【xx 全国2，理10】点在平面上作匀速直线运动，速度向量(即点的运动方向与相同，且每秒移动的距离为个单位)．设开始时点的坐标为，则5秒后点的坐标为（）(A)(B) (C) (D)【答案】C【解析】5秒v 在x 的正方向移动了20，在y 的负方向移动了15，所以x 方向：-10+20=10， y 方向：10-15=-5，∴5秒后点的坐标为（10，-5）.5. 【xx 全国3，理16】已知在△ABC 中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，P 是AB 上的点，则点P 到AC 、BC 的距离乘积的最大值是【答案】3 【解析】如图，x,y 是有关系的，即，即最上方小三角形和最大的那个三角形相似，它们对应的边有此比例关系，所以，，要求xy 最大，也就是那个矩形面积最大，21244(3)33x xy x x x -=⨯=--，当x=1.5时，xy 有最大值＝3.6. 【xx 高考新课标2，理10】如图，长方形的边，，是的中点，点沿着边，与运动，记．将动到、两点距离之和表示为的函数，则的图像大致为（）【答案】B【考点定位】函数的图象和性质．7.【xx 高考新课标2理数】已知函数满足，若函数与图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y则（A ）0（B ）m （C ）2m （D ）4m【答案】B 【考点】函数的图像与性质 D P Cx【名师点睛】如果函数，，满足，恒有，那么函数的图像有对称轴；如果函数，，满足，恒有，那么函数的图像有对称中心.。

(新课标Ⅰ)2019年高考数学总复习专题02 函数分项练习(含解析)文.doc

（新课标Ⅰ）2019年高考数学总复习专题02 函数分项练习（含解析）文一．基础题组1.【2011课标，文3】下列函数中,既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是( ) A.3y x = B.||1y x =+ C.21y x =-+ D.||2x y -= 【答案】B【解析】由偶函数,排除A 、C 选项;在(0,)+∞上单调递增,排除D,故选B.2. 【2008全国1，文1】函数y = ） A ．{|1}x x ≤B ．{|0}x x ≥C ．{|10}x x x ≥或≤D ．{|01}x x ≤≤【答案】D【解析】由根式有意义可知10,0 1.0x x x -≥⎧∴≤≤⎨≥⎩3. 【2007全国1，文8】设1a >，函数()log a f x x =在区间[,2]a a 上的最大值与最小值之差为12，则a =（）【答案】：D【解析】：∵1a >，∴函数()log a f x x =在区间[,2]a a 上为增函数，∴1log 2log 2a a a a -=，解得4a =.4. 【2005全国1，文13】若正整数m 满足151210210m m -<<，则m = 。

)3010.02(lg ≈【答案】155 【解析】二．能力题组1. 【2014全国1，文5】设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是( )A.)()(x g x f 是偶函数B. )(|)(|x g x f 是奇函数C. |)(|)(x g x f 是奇函数D. |)()(|x g x f 是奇函数【答案】C【解析】由函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，可得：|()|f x 和|()|g x 均为偶函数，根据一奇一偶函数相乘为奇函数和两偶函数相乘为偶函数的规律可知选C ．2. 【2011全国1，文10】3. 【2010全国1，文7】已知函数f (x )＝|lg x |.若a ≠b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋b 的取值范围是( )A ．(1，＋∞) B．1，＋∞) C．(2，＋∞) D．2，＋∞) 【答案】：C【解析】函数f (x )＝|lg x |的图象如图所示，由图象知a ，b 一个大于1，一个小于1，不妨设a ＞1,0＜b ＜1. ∵f (a )＝f (b )，∴f (a )＝|lg a |＝lg a ＝f (b )＝|lg b |＝－lg b ＝lg1b.∴a ＝1b .∴a ＋b ＝b ＋1b ＞ 2. 4. 【2010全国1，文10】设a ＝log 32，b ＝ln2，c ＝5－12，则( ) A ．a ＜b ＜c B ．b ＜c ＜a C ．c ＜a ＜b D ．c ＜b ＜a 【答案】： C【解析】∵log 32＝ln 2ln 3＜ln2，要比较log 32＝21log 3与5－12只需比较log 23log 23与22＝4＞3，∴log 32＞5－12.∴c ＜a ＜b . 5. 【2005全国1，文8】设10<<a ，函数)22(log )(2--=x x a a a x f ，则使0)(<x f 的的取值范围是,（A ）)0,(-∞ （B ）),0(+∞（C ）)3log ,(a -∞（D ）),3(log +∞a【答案】C 【解析】6. 【2015高考新课标1，文10】已知函数1222,1()log (1),1x x f x x x -⎧-≤=⎨-+>⎩ ，且()3f a =-，则(6)f a -=（）（A ）74- （B ）54- （C ）34- （D ）14- 【答案】A7.【2016新课标1文数】若a >b >0，0<c <1，则（A ）log a c <log b c （B ）log c a <log c b （C ）a c<b c（D ）c a >c b【答案】B 【解析】试题分析：对于选项A ，1g 1g log ,log lg lg a b c cc c a b==，01c <<，1g 0c ∴<，而0a b >>，所以lg lg a b >，但不能确定lg lg a b 、的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B ，c lg lg log ,log lg lg c a b a b c c ==,lg lg a b >，两边同乘以一个负数1lg c改变不等号方向，所以选项B 正确;对于选项C ，利用c y x =在第一象限内是增函数即可得到c c a b >，所以C 错误;对于选项D ，利用x y c =在R 上为减函数易得a b c c <，所以D 错误.所以本题选B.8.【2016新课标1文数】函数y =2x 2–e |x |在–2,2]的图像大致为,【答案】D 【解析】试题分析：函数f (x )=2x 2–e |x |在–2,2]上是偶函数，其图像关于y 轴对称，因为22(2)8e ,08e 1f =-<-<，所以排除A,B 选项；当[]0,2x ∈时，()=4e x f x x '-有一零点，设为0x ，当0(0,)x x ∈时，()f x 为减函数，当0(2)x x ,∈时，()f x 为增函数．故选D.【考点】函数的图像与性质【名师点睛】函数中的识图题多次出现在高考试题中,也可以说是高考的热点问题,这类题目一般比较灵活,对解题能力要求较高,故也是高考中的难点,解决这类问题的方法一般是利用间接法,即由函数性质排除不符合条件的选项.9. 【2017新课标1，文8】函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】试题分析：由题意知，函数sin 21cos xy x=-为奇函数，故排除B ；当πx =时，0y =，故排除D ；当1x =时，sin 201cos 2y =>-，故排除A ．故选C ．【考点】函数图像10．【2017新课标1，文9】已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则 A ．()f x 在（0，2）单调递增B ．()f x 在（0，2）单调递减,C ．y =()f x 的图像关于直线x =1对称D ．y =()f x 的图像关于点（1，0）对称【答案】C 【解析】试题分析：由题意知，(2)ln(2)ln ()f x x x f x -=-+=，所以()f x 的图像关于直线1x =对称，故C 正确，D 错误；又()ln[(2)]f x x x =-（02x <<），由复合函数的单调性可知()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，所以A ，B 错误，故选C ．【考点】函数性质三．拔高题组1. 【2013课标全国Ⅰ，文12】已知函数f (x )＝22,0,ln(1),0.x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )．A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．－2,1]D ．－2,0] , 【答案】D【解析】可画出|f (x )|的图象如图所示．当a ＞0时，y ＝ax 与y ＝|f (x )|恒有公共点，所以排除B ，C ；当a ≤0时，若x ＞0，则|f (x )|≥ax 恒成立．若x ≤0，则以y ＝ax 与y ＝|－x 2＋2x |相切为界限，由2,2,y ax y x x =⎧⎨=-⎩得x 2－(a ＋2)x ＝0. ∵Δ＝(a ＋2)2＝0，∴a ＝－2. ∴a ∈－2,0]．故选D.2. 【2011课标，文10】在下列区间中,函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为( ) A.1(,0)4 B.1(0,)4 C. 11(,)42 D.13(,)24【答案】C【解析】因为(0)20f =-<,141()204f e =-<,121()102f e =->,所以选C.3. 【2011课标，文12】已知函数()y f x =的周期为2,当[1,1]x ∈-时2()f x x =,那么函数()y f x =的图象与函数|lg |y x =的图象的交点共有( )A.10个B.9个C.8个D.1个【答案】A【解析】画出图象,不难得出选项A 正确.4. 【2007全国1，文9】()f x ，()g x 是定义在R 上的函数，()()()h x f x g x =+，则“()f x ，()g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的（）,A.充要条件B.充分而不必要的条件C.必要而不充分的条件D.既不充分也不必要的条件【答案】：B5. 【2007全国1，文14】函数()y f x =的图像与函数3log (0)y x x =>的图像关于直线y x=对称，则()f x =____________。

2019-2020年高三第二次统练理科数学含解析

2019-2020年高三第二次统练理科数学含解析一、选择题.共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.已知集合{}{}034,232≥+-∈=<<-∈=x x x B x x A R R ,则 A.B.C.D.【答案】A因为，所以,选A. 2.复数 A.B. C. D.【答案】B ,选B.3.在极坐标系中,直线的方程为,则点到直线的距离为 A. B. C. D. 【答案】B由得，即直线方程为。

中，对应的直角坐标为，即直角坐标为。

所以点到直线的距离为，选B.4.执行如图所示的程序框图,A. B. C.4 D.5【答案】A第一次运行，满足条件循环。

第二次运行，满足条件循环。

第三次运行，满足条件循环。

第四次运行，满足条件循环。

此时不满足条件，输出，选A.5.已知数列中,,等比数列的公比满足,且,则 A. B. C. D. 【答案】B 因为，，所以，所以，即是公比为4的等比数列，所以，选B.6.设变量满足约束条件则的取值范围是 A. B. C.D.【答案】C设，则。

做出可行域如图，平移直线，由图象可知当直线经过点B 时，直线截距最大，此时z 最小。

当经过点C 时，直线的截距最小，此时z 最大。

直线2x+y-4=0与x+2y-2=0交于点C （2，0），代入直线得。

直线4x-y+1=0与2x+y-4=0交于点B.代入直线得。

所以，即，即，所以的取值范围是，选C.7.已知正三角形的边长为1,点是边上的动点,点是边上的动点,且,则的最大值为 A. B. C. D. 【答案】D()()[(1)]()BQ CP BA AQ CA AP BA AC CA AB λλ⋅=+⋅+=+-⋅+u u u r u u r u u r u u u r u u r u u u r u u r u u u r u u r u u u r 22(1)(1)AB AC AB AC AB AC λλλλ=⋅-+-+-⋅uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r,，所以当时，的最大值为，选D.8.设,若直线与轴相交于点,与轴相交于点,且坐标原点到直线的距离为,则的面积的最小值为 A. B.2 C.3 D.4 【答案】C由题意知。

2019-2020年高考数学信息卷(二)解析版

2019-2020年高考数学信息卷（二）解析版一、填空题1. 已知，且，则的值为.2. 函数的定义域为R . ，对任意的R ，，则的解集为.提示：设，,故在R 上为增函数.又，由，即，得.3. 设点是内一点（不包括边界），且，则的取值范围是.提示：, 点在直线系上，点到直线系上点的距离取值范围是.4. 已知数列{1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5，…}的首项是1，随后两项都是2，接下来3项都是3，再接下来4项都是4以此类推，若，则= 211 .提示：∵20(120)1123202102n ⨯+-=++++==，. 5. 已知点是双曲线右支上一点，、分别是双曲线的左、右焦点. 为内心，若，则双曲线的离心率为 2 .提示：, .6. 如图，在中，在斜边上，,则的值为 24 .7. 各项都为正数的数列，其前项的和为，且，若，且数列的前项的和为，则=. 提示：，, ，,222222(2)(2)(2)13352121n T n n =+-++-+++--+ .二、解答题1. 如图，以为始边作角，它们的终边分别与单位圆相交于点P 、Q,已知点P 的坐标为(1)求的值；(2)若求的值.解：(1)由三角函数的定义得B则原式=αααααααααααcos cos sin )cos (sin cos 2cos sin 1cos 2cos sin 22++=++(2)，2,0πβα=-∴⊥∴=⋅OQ OP ，，2.如图①三棱柱中，侧棱与底面垂直，，，M ,N 分别是的中点.(1) 求证：;(2) 求证：.①②证明：(1)如图②,连接,显然AC 1过点N.M ,N 分别是的中点，又,,.(2) 三棱柱中，侧棱与底面垂直，,是正方形..,90.,,,11111BMC AMA MAA MBC AA BB BC MB AM CM M A ∆≅∆∴=∠=∠=== 由连接,又的中点,.，.3．烟囱向其周围地区散落烟尘而污染环境。

2020年高考数学(理)二轮专项复习专题02 函数(含答案)

2020年高考数学（理）二轮专项复习专题02 函数函数是中学数学中的重点内容，是描述变量之间依赖关系的重要数学模型．本章内容有两条主线：一是对函数性质作一般性的研究，二是研究几种具体的基本初等函数——一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数．研究函数的问题主要围绕以下几个方面：函数的概念，函数的图象与性质，函数的有关应用等．§2－1 函数【知识要点】要了解映射的概念，映射是学习、研究函数的基础，对函数概念、函数性质的深刻理解在很多情况下要借助映射这一概念．1、设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射．记作f：A→B，其中x叫原象，y叫象．2、设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种映射叫做集合A上的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A．其中x叫做自变量，自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域．所有函数值构成的集合{y｜y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域．函数的值域由定义域与对应法则完全确定．3、函数是一种特殊的映射．其定义域和值域都是非空的数集，值域中的每一个元素都有原象．构成函数的三要素：定义域，值域和对应法则．其中定义域和对应法则是核心．【复习要求】1．了解映射的意义，对于给出对应关系的映射会求映射中指定元素的象与原象．2．能根据函数三要素判断两个函数是否为同一函数．3．掌握函数的三种表示法(列表法、图象法和解析法)，理解函数符号f(x)(对应法则)，能依据一定的条件求出函数的对应法则．4．理解定义域在三要素的地位，并会求定义域．【例题分析】例1 设集合A和B都是自然数集合N．映射f：A→B把集合A中的元素x映射到集合B中的元素2x＋x，则在映射f作用下，2的象是______；20的原象是______．【分析】由已知，在映射f作用下x的象为2x＋x．所以，2的象是22＋2＝6；设象20的原象为x ，则x 的象为20，即2x ＋x ＝20．由于x ∈N ，2x ＋x 随着x 的增大而增大，又可以发现24＋4＝20，所以20的原象是4．例2 设函数⎩⎨⎧>++-≤-=,0,22,0,1)(2x x x x x x f 则f (1)＝______；若f (0)＋f (a )＝－2，则a 的所有可能值为______．【分析】从映射的角度看，函数就是映射，函数解析式就是映射的法则．所以f (1)＝3．又f (0)＝－1，所以f (a )＝－1，当a ≤0时，由a －1＝－1得a ＝0；当a ＞0时，由－a 2＋2a ＋2＝－1，即a 2－2a －3＝0得a ＝3或a ＝－1(舍)．综上，a ＝0或a ＝3．例3 下列四组函数中，表示同一函数的是( ) (A)22)(,t y x y ==(B)2|,|t y x y ==(C)1,112+=--=x y x x y (D)x x y x y 2,==【分析】(A)(C)(D)中两个函数的定义域均不同，所以不是同一函数．(B)中两个函数的定义域相同，化简后为y ＝｜x ｜及y ＝｜t ｜，法则也相同，所以选(B)．【评析】判断两个函数是否为同一函数，就是要看两个函数的定义域与法则是否完全相同．一般有两个步骤：(1)在不对解析式进行变形的情况下求定义域，看定义域是否一致．(2)对解析式进行合理变形的情况下，看法则是否一致．例4 求下列函数的定义域 (1);11--=x y(2);3212-+=x x y(3);)1()3lg(0-+-=x xx y(4);2|2|12---=x x y解：(1)由｜x －1｜－1≥0，得｜x －1｜≥1，所以x －1≥1或x －1≤－1，所以x ≥2或x ≤0．所以，所求函数的定义域为{x ｜x ≥2或x ≤0}． (2)由x 2＋2x －3＞0得，x ＞1或x ＜－3．所以，所求函数的定义域为{x ｜x ＞1或x ＜－3}．(3)由⎪⎩⎪⎨⎧=/-=/>-,01,0,03x x x 得x ＜3，且x ≠0，x ≠1，所以，所求函数的定义域为{x |x ＜3，且x ≠0，x ≠1}(4)由⎩⎨⎧=/=/≤≤-⎩⎨⎧=/-≥-⎩⎨⎧≠--≥-,4,0,112|2|01,02|2|0122x x x x x x x 且即，，得，所以－1≤x ≤1，且x ≠0．所以，所求函数定义域为{x ｜－1≤x ≤1，且x ≠0}．例5 已知函数f (x )的定义域为(0，1)，求函数f (x ＋1)及f (x 2)的定义域．【分析】此题的题设条件中未给出函数f (x )的解析式，这就要求我们根据函数三要素之间的相互制约关系明确两件事情：①定义域是指x 的取值范围；②受对应法则f 制约的量的取值范围在“已知”和“求”当中是一致的．那么由f (x )的定义域是(0，1)可知法则f 制约的量的取值范围是(0，1)，而在函数f (x ＋1)中，受f 直接制约的是x ＋1，而定义域是指x 的范围，因此通过解不等式0＜x ＋1＜1得－1＜x ＜0，即f (x ＋1)的定义域是(－1，0)．同理可得f (x 2)的定义域为{x ｜－1＜x ＜1，且x ≠0}．例6 如图，用长为l 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形的底边长为2x ，求此框架围成的面积y 与x 的函数关系式，并指出定义域．解：根据题意，AB ＝2x ．⋅--==2π2,πxx l AD x 所以，.)2π2(π212π2222lx x x x x l x y ++-=+--=⋅⋅根据问题的实际意义．AD ＞0，x ＞0．解.π20,02π2,0+<<⎪⎩⎪⎨⎧>-->l x xx l x 得所以，所求函数定义域为⋅+<<}π20|{lx x 【评析】求函数定义域问题一般有以下三种类型问题．(1)给出函数解析式求定义域(如例4)，这类问题就是求使解析式有意义的自变量的取值范围．正确的解不等式或不等式组在解决这类问题中是重要的．中学数学中常见的对变量有限制的运算法则有：①分式中分母不为零；②偶次方根下被开方数非负；③零次幂的底数要求不为零；④对数中的真数大于零，底数大于零且不等于1；⑤y ＝tan x ，则2ππ+≠k x ，k ∈Z ．(2)不给出f (x )的解析式而求定义域(如例5)．其解决办法见例5的分析．(3)在实际问题中求函数的定义域(如例6)．在这类问题中除了考虑解析式对自变量的限制，还应考虑实际问题对自变量的限制．另外，在处理函数问题时要有一种随时关注定义域的意识，这是极其重要的．比如在研究函数单调性、奇偶性、最值等问题时，首先要考虑的就是函数的定义域．例7 (1)已知21)1(x xxf -=，求f (x )的解析式； (2)已知221)1(xx x x f +=+，求f (3)的值；(3)如果f (x )为二次函数，f (0)＝2，并且当x ＝1时，f (x )取得最小值－1，求f (x )的解析式； (4)*已知函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )＝2x 的图象关于直线x ＝1对称，求f (x )的解析式．【分析】(1)求函数f (x )的解析式，从映射的角度看就是求对应法则，于是，我们一般有下面两种方法解决(1)这样的问题．方法一．⋅-=-=1)1(111)1(2xxx xxf 通过这样“凑型”的方法，我们可以明确看到法则f 是“原象对应于原象除以原象的平方减1”．所以，⋅-=1)(2x xx f 方法二．设t x =1，则t x 1=．则1111)(22-=-=t t tt t f ，所以⋅-=1)(2x xx f这样，通过“换元”的方法也可以明确看到法则是什么． (2)用“凑型”的方法，.7)3(,2)(.2)1(1)1(2222=-=-+=+=+f x x f xx x x x x f 所以 (3)因为f (x )为二次函数，并且当x ＝1时，f (x )取得最小值－1，所以，可设f (x )＝a (x －1)2－1，又f (0)＝2，所以a (0－1)2－1＝2，所以a ＝3． f (x )＝3(x －1)2－1＝3x 2－6x ＋2．(4)这个问题相当于已知f (x )的图象满足一定的条件，进而求函数f (x )的解析式．所以，可以类比解析几何中求轨迹方程的方法求f (x )的解析式．设f (x )的图象上任意一点坐标为P (x ，y )，则P 关于x ＝1对称点的坐标为Q (2－x ，y )，由已知，点Q 在函数y ＝g (x )的图象上，所以，点Q的坐标(2－x，y)满足y＝g(x)的解析式，即y＝g(2－x)＝22－x，所以，f(x)＝22－x．【评析】由于已知条件的不同，求函数的解析式的常见方法有象(1)(2)所用到的“凑形”及“换元”的方法；有象(3)所用到的待定系数法；也有象(4)所用到的解析法．值得注意的是(4)中所用的解析法．在求函数解析式或者求轨迹方程时都可以用这种方法，是一种通法．同时也表明函数和它的图象与曲线和它的方程之间有必然的联系．例8 已知二次函数f(x)的对称轴为x＝1，且图象在y轴上的截距为－3，被x轴截得的线段长为4，求f(x)的解析式．解：解法一设f(x)＝ax2＋bx＋c，由f(x)的对称轴为x＝1，可得b＝－2a；由图象在y轴上的截距为－3，可得c＝－3；由图象被x轴截得的线段长为4，可得x＝－1，x＝3均为方程ax2＋bx＋c＝0的根．所以f(－1)＝0，即a－b＋c＝0，所以a＝1．f(x)＝x2－2x－3．解法二因为图象被x轴截得的线段长为4，可得x＝－1，x＝3均为方程f(x)＝0的根．所以，设f(x)＝a(x＋1)(x－3)，又f(x)图象在y轴上的截距为－3，即函数图象过(0，－3)点．即－3a＝－3，a＝1．所以f(x)＝x2－2x－3．【评析】二次函数是非常常见的一种函数模型，在高中数学中地位很重．二次函数的解析式有三种形式：一般式y＝ax2＋bx＋c；顶点式y＝a(x－h)2＋k，其中(h，k)为顶点坐标；双根式y＝a(x－x1)(x－x2)，其中x1，x2为函数图象与x轴交点的横坐标，即二次函数所对应的一元二次方程的两个根．例9 某地区上年度电价为0.8元／kW·h，年用电量为a kW·h．本年度计划将电价降到0.55元／kW·h 至0.75元／kW·h之间，而用户期望电价为0.40元／kW·h．经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k)．该地区电力的成本价为0.30元／kW·h．(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；(2)设k＝0.2a，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20％?解：(1)依题意，当实际电价为x 元／kW·h 时，用电量将增加至,4.0a x k+-故电力部门的收益为)75.055.0)(3.0)(4.0(≤≤-+-=x x a x ky ．(2)易知，上年度的收益为(0.8－0.3)a ，依题意，%),201)(3.08.0()3.0)(4.02.0(+-≥-+-a x a x a且0.55≤x ≤0.75，解得0.60≤x ≤0.75．所以，当电价最低定为0.60元／kW·h 时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20％．练习2－1一、选择题 1．已知函数xx f -=11)(的定义域为M ，g (x )＝ln(1＋x )的定义域为N ，则M ∩N ＝( ) (A){x ｜x ＞1}(B){x ｜x ＜1}(C){x ｜－1＜x ＜1} (D)∅2．图中的图象所表示的函数的解析式为( )(A))20(|1|23≤≤-=x x y (B))20(|1|2323≤≤--=x x y (C))20(|1|23≤≤--=x x y(D)y ＝1－｜x －1｜(0≤x ≤2)3．已知f (x －1)＝x 2＋2x ，则=)1(xf ( )(A)x x 212+(B)112-x(C)22143xx x ++ (D)212xx + 4．已知⎪⎩⎪⎨⎧≥<<--≤+=2,3,21,,1,3)(2x x x x x x x f 若f (x )＝3，则x 的值是( )(A)0 (B)0或23 (C)3± (D)3二、填空题5．给定映射f ：(x ，y )→(x ＋2y ，x －2y )，在映射f 下(0，1)的象是______；(3，1)的原象是______． 6．函数2||3)(--=x xx f 的定义域是______．7．已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出则f [g (1)]的值为______；满足f [g (x )]＞g [f (x )]的x 的值是______．8．已知函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )＝2x 的图象关于点(0，1)对称，则f (x )的解析式为______．三、解答题9．已知f (x )＝2x＋x －1，⎩⎨⎧<-≥=),0(1),0()(2x x x x x g 求g (－1)，g [f (1)]的值．10．在如图所示的直角坐标系中，一运动物体经过点A (0，9)，其轨迹方程为y ＝ax 2＋c (a ＜0)，D ＝(6，7)为x 轴上的给定区间．为使物体落在区间D 内，求a 的取值范围．11．如图，直角边长为2cm的等腰Rt△ABC，以2cm／s的速度沿直线l向右运动，求该三角形与矩形CDEF 重合部分面积y(cm2)与时间t的函数关系(设0≤t≤3)，并求出y的最大值．§2－2 函数的性质【知识要点】函数的性质包括函数的定义域、值域及值的某些特征、单调性、奇偶性、周期性与对称性等等．本章着重研究后四个方面的性质．本节的重点在于理解与函数性质有关的概念，掌握有关判断、证明的基本方法以及简单的应用．数形结合是本节常用的思想方法．1．设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对于D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则这个函数叫做奇函数．设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对于D内任意一个x，都有－x∈D，且g(－x)＝g(x)，则这个函数叫做偶函数．由奇函数定义可知，对于奇函数y＝f(x)，点P(x，f(x))与点P'(－x，－f(x))都在其图象上．又点P与点P'关于原点对称，我们可以得到：奇函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；通过同样的分析可以得到，偶函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形．2．一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M⊆A．如果取区间M中的任意两个值x1，x2，改变量∆x＝x2－x1＞0，则当∆y ＝f (x 2)－f (x 1)＞0时，就称函数y ＝f (x )在区间M 上是增函数；当∆y ＝f (x 2)－f (x 1)＜0时，就称函数y ＝f (x )在区间M 上是减函数．如果一个函数在某个区间M 上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M 上具有单调性，区间M 称为单调区间．在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的．3．一般的，对于函数f (x )，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域中的每一个值时，f (x ＋T )＝f (x )都成立，那么就把函数y ＝f (x )叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期．4．一般的，对于函数f (x )，如果存在一个不为零的常数a ，使得当x 取定义域中的每一个值时，f (a ＋x )＝f (a －x )都成立，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．【复习要求】1．理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；会用定义证明函数的单调性，会利用函数的单调性处理有关的不等式问题；2．了解函数奇偶性的含义．能判断简单函数的奇偶性． 3．了解函数周期性的含义．4．了解函数单调性、奇偶性和周期性之间的联系，并能解决相关的简单问题．【例题分析】例1 判断下列函数的奇偶性． (1);1)(-=x xx f (2);11)(+=xx f (3)f (x )＝x 3－3x ；(4);11lgxxy -+= (5)⋅+-=1212xx y 解：(1)解01≥-x x，得到函数的定义域为{x ｜x ＞1或x ≤0}，定义域区间关于原点不对称，所以此函数为非奇非偶函数．(2)函数的定义域为{x ｜x ≠0}，但是，由于f (1)＝2，f (－1)＝0，即f (1)≠f (－1)，且f (1)≠－f (－1)，所以此函数为非奇非偶函数．(3)函数的定义域为R ，又f (－x )＝(－x )3－3(－x )＝－x 3＋3x ＝－f (x )，所以此函数为奇函数． (4)解011>-+xx，得－1＜x ＜1，又),(11lg 11lg )(1)(1lg)(x f xxx x x x x f -=-+-=+-=---+=-所以此函数为奇函数．(5)函数的定义域为R ，又)(21211212)(x f x f x xxx -=+-=+-=---，所以此函数为奇函数．【评析】由函数奇偶性的定义，可以得到下面几个结论：①一个函数是奇(或偶)函数的必要不充分条件是定义域关于原点对称； ②f (x )是奇函数，并且f (x )在x ＝0时有定义，则必有f (0)＝0； ③既是奇函数又是偶函数的函数，其解析式一定为f (x )＝0．判定函数奇偶性按照其定义可以分为两个步骤： ①判断函数的定义域是否关于原点对称； ②考察f (－x )与f (x )的关系．由此，若以奇偶性为标准可以把函数分为奇函数，偶函数，既奇又偶函数和非奇非偶函数四类．例2 设函数f (x )在R 上有定义，给出下列函数：①y ＝－｜f (x )｜；②y ＝xf (x 2)；③y ＝－f (－x )；④y ＝f (x )－f (－x )．其中必为奇函数的有______．(填写所有正确答案的序号)【分析】①令F (x )＝－｜f (x )｜，则F (－x )＝－｜f (－x )｜，由于f (x )与f (－x )关系不明确，所以此函数的奇偶性无法确定．②令F (x )＝xf (x 2)，则F (－x )＝－xf [(－x )2]＝－xf (x 2)＝－F (x )，所以F (x )为奇函数．③令F (x )＝－f (－x )，则F (－x )＝－f [－(－x )]＝－f (x )，由于f (x )与f (－x )关系不明确，所以此函数的奇偶性无法确定．④令F (x )＝f (x )－f (－x )，则F (－x )＝f (－x )－f [－(－x )]＝f (－x )－f (x )＝－F (x )，所以F (x )为奇函数．所以，②④为奇函数．例3 设函数f (x )在R 上有定义，f (x )的值不恒为零，对于任意的x ，y ∈R ，恒有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，则函数f (x )的奇偶性为______．解：令x ＝y ＝0，则f (0)＝f (0)＋f (0)，所以f (0)＝0，再令y ＝－x ，则f (0)＝f (x )＋f (－x )，所以f (－x )＝－f (x )，又f (x )的值不恒为零，故f (x )是奇函数而非偶函数．【评析】关于函数方程“f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )”的使用一般有以下两个思路：令x ，y 为某些特殊的值，如本题解法中，令x ＝y ＝0得到了f (0)＝0．当然，如果令x ＝y ＝1则可以得到f (2)＝2f (1)，等等．令x ，y 具有某种特殊的关系，如本题解法中，令y ＝－x ．得到f (2x )＝2f (x )，在某些情况下也可令y ＝x1，y ＝x ，等等．总之，函数方程的使用比较灵活，要根据具体情况作适当处理．在不是很熟悉的时候，要有试一试的勇气．例4 已知二次函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 满足f (1＋x )＝f (1－x )，求b 的值，并比较f (－1)与f (4)的大小．解：因为f (1＋x )＝f (1－x )，所以x ＝1为二次函数图象的对称轴，所以12=-b，b ＝－2．根据对称性，f (－1)＝f (3)，又函数在[1，＋∞)上单调递增，所以f (3)＜f (4)，即f (－1)＜f (4)．例5 已知f (x )为奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ， (1)求f (－1)的值；(2)当x ＜0时，求f (x )的解析式．解：(1)因为f (x )为奇函数，所以f (－1)＝－f (1)＝－(12－2×1)＝1．(2)方法一：当x ＜0时，－x ＞0．所以，f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－2(－x )]＝－x 2－2x ．方法二：设(x ，y )是f (x )在x ＜0时图象上一点，则(－x ，－y )一定在f (x )在x ＞0时的图象上．所以，－y ＝(－x )2－2(－x )，所以y ＝－x 2－2x ．例6 用函数单调性定义证明，函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)在区间),2(+∞-ab上为增函数．证明：设),2(21+∞-∈abx x 、，且x 1＜x 2 f (x 2)－f (x 1)＝(ax 22＋bx 2＋c )－(ax 12＋bx 1＋c )＝a (x 22－x 12)＋b (x 2－x 1) ＝a (x 2＋x 1)(x 2－x 1)＋b (x 2－x 1)＝(x 2－x 1)[a (x 1＋x 2)＋b ] 因为x 1＜x 2，所以x 2－x 1＞0，又因为),2(21+∞-∈abx x 、，所以0)(,2121>++->+b x x a ab x x ，所以f (x 2)－f (x 1)＞0，函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)在区间),2(+∞-ab上为增函数．例7 已知函数f (x )是定义域为R 的单调增函数． (1)比较f (a 2＋2)与f (2a )的大小；(2)若f (a 2)＞f (a ＋6)，求实数a 的取值范围．解：(1)因为a 2＋2－2a ＝(a －1)2＋1＞0，所以a 2＋2＞2a ，由已知，f (x )是单调增函数，所以f (a 2＋2)＞f (2a )．(2)因为f (x )是单调增函数，且f (a 2)＞f (a ＋6)，所以a 2＞a ＋6，解得a ＞3或a ＜－2．【评析】回顾单调增函数的定义，在x 1，x 2为区间任意两个值的前提下，有三个重要的问题：∆x ＝x 2－x 1的符号；∆y ＝f (x 2)－f (x 1)的符号；函数y ＝f (x )在区间上是增还是减．由定义可知：对于任取的x 1，x 2，若x 2＞x 1，且f (x 2)＞f (x 1)，则函数y ＝f (x )在区间上是增函数；不仅如此，若x 2＞x 1，且函数y ＝f (x )在区间上是增函数，则f (x 2)＞f (x 1)；若f (x 2)＞f (x 1)，且函数y ＝f (x )在区间上是增函数，则x 2＞x 1；于是，我们可以清晰地看到，函数的单调性与不等式有着天然的联系．请结合例5例6体会这一点．函数的单调性是极为重要的函数性质，其与其他问题的联系、自身的应用都很广泛，在复习中要予以充分注意．例8 设f (x )是定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)的奇函数，且它在区间(－∞，0)上是减函数． (1)试比较f (－2)与－f (3)的大小；(2)若mn ＜0，且m ＋n ＜0，求证：f (m )＋f (n )＞0．解：(1)因为f (x )是奇函数，所以－f (3)＝f (－3)，又f (x )在区间(－∞，0)上是减函数，所以f (－3)＞f (－2)，即－f (3)＞f (－2)． (2)因为mn ＜0，所以m ，n 异号，不妨设m ＞0，n ＜0，因为m ＋n ＜0，所以n ＜－m ，因为n ，－m ∈(－∞，0)，n ＜－m ，f (x )在区间(－∞，0)上是减函数，所以f (n )＞f (－m )，因为f (x )是奇函数，所以f (－m )＝－f (m )，所以f (n )＞－f (m )，即f (m )＋f (n )＞0．例9 函数f (x )是周期为2的周期函数，且f (x )＝x 2，x ∈[－1，1]． (1)求f (7.5)的值；(2)求f (x )在区间[2n －1，2n ＋1]上的解析式．解：(1)因为函数f (x )是周期为2的周期函数，所以f (x ＋2k )＝f (x )，k ∈Z ．所以f (7.5)＝f (－0.5＋8)＝f (－0.5)＝41． (2)设x ∈[2n －1，2n ＋1]，则x －2n ∈[－1，1]．所以f (x )＝f (x －2n )＝(x －2n )2，x ∈[2n －1，2n ＋1]．练习2－2一、选择题1．下列函数中，在(1，＋∞)上为增函数的是( )(A)y ＝x 2－4x(B)y ＝｜x ｜(C)xy 1=(D)y ＝x 2＋2x2．下列判断正确的是( )(A)定义在R 上的函数f (x )，若f (－1)＝f (1)，且f (－2)＝f (2)，则f (x )是偶函数 (B)定义在R 上的函数f (x )满足f (2)＞f (1)，则f (x )在R 上不是减函数(C)定义在R 上的函数f (x )在区间(－∞，0]上是减函数，在区间(0，＋∞)上也是减函数，则f (x )在R 上是减函数(D)不存在既是奇函数又是偶函数的函数3．已知函数f (x )是R 上的奇函数，并且是周期为3的周期函数，又知f (1)＝2．则f (2)＝( ) (A)－2(B)2(C)1(D)－14．设f (x )是R 上的任意函数，则下列叙述正确的是( ) (A)f (x )f (－x )是奇函数(B)f (x )｜f (－x )｜是奇函数 (C)f (x )－f (－x )是偶函数 (D)f (x )＋f (－x )是偶函数二、填空题5．若函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在区间[－2，＋∞)是增函数，则m 的取值范围是______；f (1)的取值范围是______． 6．已知函数f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数．当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝x －x 4，则当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝______．7．设函数xa x x x f ))(1()(++=为奇函数，则实数a ＝______．8．已知函数f (x )＝x 2－cos x ，对于]2π,2π[-上的任意x 1，x 2，有如下条件：①x 1＞x 2； ②;2221x x > ③｜x 1｜＞x 2．其中能使f (x 1)＞f (x 2)恒成立的条件序号是______ 三、解答题9．已知函数f (x )是单调减函数． (1)若a ＞0，比较)3(aa f +与f (3)的大小； (2)若f (｜a －1｜)＞f (3)，求实数a 的取值范围．10．已知函数).,0()(2R ∈=/+=a x xa x x f (1)判断函数f (x )的奇偶性；(2)当a＝1时，证明函数f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数．11．定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足①f(2)＝1；②f(xy)＝f(x)＋f(y)，其中x，y为任意正实数，③任意正实数x，y满足x≠y时，(x－y)[f(x)－f(y)]＞0恒成立．(1)求f(1)，f(4)的值；(2)试判断函数f(x)的单调性；(3)如果f(x)＋f(x－3)≤2，试求x的取值范围．§2－3 基本初等函数(Ⅰ)本节复习的基本初等函数包括：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数和幂函数，三角函数在三角部分复习．函数的图象上直观地反映着函数的性质，学习函数的“捷径”是熟知函数的图象．熟知函数图象包括三个方面：作图，读图，用图．掌握初等函数一般包括以下一些内容：首先是函数的定义，之后是函数的图象和性质．函数的性质一般包括定义域，值域，图象特征，单调性，奇偶性，周期性，零点、最值以及值的变化特点等，研究和记忆函数性质的时候应全面考虑．函数的定义(通常情况下是解析式)决定着函数的性质，我们可以通过解析式研究函数的性质，也可以通过解析式画出函数的图象，进而直观的发现函数的性质．【知识要点】1．一次函数：y ＝kx ＋b (k ≠0) (1)定义域为R ，值域为R ； (2)图象如图所示，为一条直线；(3)k ＞0时，函数为增函数，k ＜0时，函数为减函数；(4)当且仅当b ＝0时一次函数是奇函数．一次函数不可能是偶函数． (5)函数y ＝kx ＋b 的零点为⋅-kb2．二次函数：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)通过配方，函数的解析式可以变形为⋅-++=a b ac ab x a y 44)2(22 (1)定义域为R ：当a ＞0时，值域为),44[2+∞-ab ac ；当a ＜0时，值域为]44,(2ab ac --∞；(2)图象为抛物线，抛物线的对称轴为abx 2-=，顶点坐标为)44,2(2a b ac a b --．当a ＞0时，抛物线开口向上；当a ＜0时，抛物线开口向下．(3)当a ＞0时，]2,(a b --∞是减区间，),2[+∞-a b是增区间；当a ＜0时，]2,(a b --∞是增区间，),2[+∞-ab是减区间．(4)当且仅当b ＝0时，二次函数是偶函数；二次函数不可能是奇函数．(5)当判别式∆＝b 2－4ac ＞0时，函数有两个变号零点aacb b 242-±-；当判别式∆＝b 2－4ac ＝0时，函数有一个不变号零点ab 2-；当判别式∆＝b 2－4ac ＜0时，函数没有零点． 3．指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1) (1)定义域为R ；值域为(0，＋∞)．(2)a ＞1时，指数函数为增函数；0＜a ＜1时，指数函数为减函数； (3)函数图象如图所示．不具有奇偶性、周期性，也没有零点．4．对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)，对数函数y ＝log a x 与指数函数y ＝a x 互为反函数． (1)定义域为(0，＋∞)；值域为R ．(2)a ＞1时，对数函数为增函数；0＜a ＜1时，对数函数为减函数； (3)函数图象如图所示．不具有奇偶性、周期性，(4)函数的零点为1． 5．幂函数y ＝x α(α∈R )幂函数随着α的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质： (1)所有的幂函数在(0，＋∞)都有定义，并且图象都通过点(1，1)；(2)如果α＞0，则幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数；(3)如果α＜0，则幂函数在区间(0，＋∞)上是减函数，在第一象限内，当x 从右边趋向于原点时，图象在y 轴右方无限地接近y 轴，当x 趋于＋∞时，图象在x 轴上方无限地接近x 轴．要注意：因为所有的幂函数在(0，＋∞)都有定义，并且当x ∈(0，＋∞)时，x α＞0，所以所有的幂函数y ＝x α(α∈R )在第一象限都有图象．根据幂函数的共同性质，可以比较容易的画出一个幂函数在第一象限的图象，再根据幂函数的定义域和奇偶性，我们可以得到这个幂函数在其他象限的图象，这样就能够得到这个幂函数的大致图象．6．指数与对数(1)如果存在实数x ，使得x n ＝(a ∈R ，n ＞1，n ∈N ＋)，则x 叫做a 的n 次方根．负数没有偶次方根．),1()(+∈>=N n n a a n n ；⎩⎨⎧=为偶数时当为奇数时当n a n a a n n |,|,)( (2)分数指数幂，)0(1>=a a a n n；,0()(>==a a a a n m m n nm n ，m ∈N *，且nm为既约分数)． *N ,,0(1∈>=-m n a aa nm nm ，且nm为既约分数)． (3)幂的运算性质a m a n ＝a m ＋n ，(a m )n ＝a mn ，(ab )n ＝a n b n ，a 0＝1(a ≠0)．(4)一般地，对于指数式a b ＝N ，我们把“b 叫做以a 为底N 的对数”记为log a N ，即b ＝log a N (a ＞0，且a ≠1)． (5)对数恒等式：Na alog ＝N ．(6)对数的性质：零和负数没有对数(对数的真数必须大于零!)；底的对数是1，1的对数是0． (7)对数的运算法则及换底公式：N M NMN M MN a a a a a a log log log ;log log )(log -=+=； M M a a log log αα=；bNN a a b log log log =.(其中a ＞0且a ≠1，b ＞0且b ≠1，M ＞0，N ＞0).【复习要求】1．掌握基本初等函数的概念，图象和性质，能运用这些知识解决有关的问题；其中幂函数主要掌握y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，21,1x y xy ==这五个具体的幂函数的图象与性质．2．准确、熟练的掌握指数、对数运算；3．整体把握函数的图象和性质，解决与函数有关的综合问题．【例题分析】例1 化简下列各式： (1)31522732-⨯；(2)031π2)27102(412-+-；(3)21)972()71()027.0(231+----；(4)log 2[log 3(log 464)]；(5)4015018lg 5lg 2lg g g --+．解：(1)⋅=⨯=⨯=⨯---3432)3()2(2732123135253152 (2)⋅=-+=-+=-+--41243232)2764()49(π2)27102()412(3121315.0(3)443549310)925(49)103()972()71()027.0(21313321231-=+-=+-=+-----(4)log 2[log 3(log 464)]＝log 2[log 3(log 443)]＝log 2[log 33]＝log 21＝0．(5) .145lg 45lg4050lg 852lg40150lg 8lg 5lg 2lg ==⨯=--+g 【评析】指数、对数运算是两种重要的运算，在运算过程中公式、法则的准确、灵活使用是关键．例2 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值为8，试确定f (x )的解析式．解：解法一设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，依题意⎪⎩⎪⎨⎧==-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=+--=++,7,4,4,,8441,1242c b a ab ac c b a c b a 解之得解之得所以所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7．解法二f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0)，为f (2)＝－1，f (－1)＝－1，所以抛物线的对称轴为212)1(2=-+=x ，又f (x )的最大值为8，所以8)21()(2+-=x a x f .因为(－1，－1)点在抛物线上，所以8)211(12+--=-a ，解得a ＝－4．所以所求二次函数为7448)21(4)(22++-=+--=x x x x f .例3 (1)如果二次函数f (x )＝x 2＋(a ＋2)x ＋5在区间(2，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是______． (2)二次函数y ＝ax 2－4x ＋a －3的最大值恒为负，则a 的取值范围是______．(3)函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对于任意t ∈R 均有f (2＋t )＝f (2－t )，则f (1)，f (2)，f (4)的大小关系是_______．解：(1)由于此抛物线开口向上，且在(2，＋∞)上是增函数，画简图可知此抛物线对称轴22+-=a x 或与直线x ＝2重合，或位于直线x ＝2的左侧，于是有222≤+-a ，解之得6-≥a . (2)分析二次函数图象可知，二次函数最大值恒为负的充要条件是“二次项系数a ＜0，且判别式∆＜0”，即⎩⎨⎧<--<0)3(416,0a a a ，解得a ∈(－∞，－1)．(3)因为对于任意t ∈R 均有f (2＋t )＝f (2－t )，所以抛物线对称轴为x ＝2，又抛物线开口向上，做出函数图象简图可得f (2)＜f (1)＜f (4)．例4 已知函数f (x )＝mx 2＋(m －3)x ＋1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m 的范围．解：当m ＝0时，f (x )＝－3x ＋1，其图象与x 轴的交点为)0,31(，符合题意；当m ＜0时，注意到f (0)＝1，又抛物线开口向下，所以抛物线与x 轴的两个交点必在原点两侧．所以m ＜0符合题意；当m ＞0时，注意到f (0)＝1，又抛物线开口向上，所以抛物线与x 轴的两个交点必在原点同侧(如果存在)，所以若满足题意，则⎩⎨⎧>-=-≥--=∆,0232,04)3(2mm a b m m 解得0＜m ≤1．综上，m ∈(－∞，1]．【评析】在高中阶段，凡“二次”皆重点，二次函数，一元二次方程，一元二次不等式，二次曲线都应着重去理解、掌握．例2、3、4 三个题目充分体现了数形结合思想及运动变化思想的运用．这两种数学思想在函数问题的解决中被普遍使用．例5 (1)当a ≠0时，函数y ＝ax ＋b 与y ＝b ax 的图象只可能是( )(2)函数y ＝log a x ，y ＝log b x ，y ＝log c x ，y ＝log d x 的图象分别是图中的①、②、③、④，则a ，b ，c ，d 的大小关系是______．【分析】(1)在选项(A)中，由y ＝ax ＋b 图象可知a ＜0，b ＞1，所以b a ＜b 0＝1(根据以为底的指数函数的性质)，所以y ＝b ax ＝(b a )x 应为减函数．在选项(B)中，由y ＝ax ＋b 图象可知a ＞0，b ＞1，所以b a ＞b 0＝1，所以y ＝b ax ＝(b a )x 应为增函数．在选项(C)中，由y ＝ax ＋b 图象可知a ＞0，0＜b ＜1，所以b a ＜b 0＝1，所以y ＝b ax ＝(b a )x 应为减函数．与图形提供的信息相符．在选项(D)中，由y ＝ax ＋b 图象可知a ＜0，0＜b ＜1，所以b a ＞b 0＝1，所以y ＝b ax ＝(b a )x 应为增函数．综上，选C ．(2)如图，作直线y ＝1与函数y ＝log a x ，y ＝log b x ，y ＝log c x ，y ＝log d x 的图象依次交于A ，B ，C ，D 四点，则A ，B ，C ，D 四点的横坐标分别为a ，b ，c ，d ，显然，c ＜d ＜a ＜b ．【评析】在本题的解决过程中，对函数图象的深入分析起到了至关重要的作用．这里，对基本初等函数图象的熟悉是前提，对图象的形态的进一步研究与关注是解决深层问题要重点学习的，例4中“注意到f (0)＝1”，例5中“作直线y ＝1”就是具体的表现，没有“熟悉”和“深入的研究”是不可能“注意到”的，也作不出“直线y ＝1”．例6 已知幂函数)()(22123Z ∈=-+k xx f k k ．(1)若f (x )为偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，求f (x )的解析式； (2)若f (x )在(0，＋∞)上是减函数，求k 的取值范围．解：(1)因为f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以021232>-+k k ，解得－1＜k ＜3，因为k ∈Z ，所以k ＝0，1，2，又因为f (x )为偶函数，所以k ＝1，f (x )＝x 2．(2)因为f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以021232<-+k k ，解得k ＜－1，或k ＞3(k ∈Z )．例7 比较下列各小题中各数的大小 (1)21log ,0,6.0log 6.02；(2)lg2与lg(x 2－x ＋3)；(3)0.50.2与0.20.5； (4)332与；(5)21log ,32,)21(3131；(6)a m ＋a －m 与a n ＋a －n (a ＞0，a ≠1，m ＞n ＞0)【分析】(1)函数y ＝log 2x 在区间(0，＋∞)上是增函数，所以log 20.6＜log 21＝0，函数y ＝log 0.6x 在区间(0，＋∞)上是减函数，所以01log 21log 6.06.0=> 所以216.0log 06.0log 2<<. (2)由于2411)21(322>+-=+-x x x ，所以lg2＜lg(x 2－x ＋3)． (3)利用幂函数和指数函数单调性．0.50.2＞0.20.2＞0.20.5．(4)因为9)3(,8)2(636==.根据不等式的性质有.323<(5)因为;32)21(,)728()21(,27821313131>>>即所以比较32与log 32，只需比较3233log 与log 32，因为y ＝log 3x 是增函数，所以只需比较323与2的大小，因为3332289)3(=>=，所以2332>，所以2log 323>，综上，.2log 32)21(331>>(6))1)((1)(--=+-+++--nm n m nm n n m m a a a aa a a a ，当a ＞1时，因为m ＞n ＞0，a m ＞a n ，a m ＋n ＞1，所以a m ＋a－m＞a n ＋a －n ；当0＜a ＜1时，因为m ＞n ＞0，a m ＜a n ，a m ＋n ＜1，所以a m ＋a －m ＞a n ＋a －n ．综上，a m ＋a －m ＞a n ＋a －n ．例8 已知a ＞2，b ＞2，比较a ＋b ，ab 的大小．【分析】方法一(作商比较法)b a ab b a 11+=+，又a ＞2，b ＞2，所以211,211<<b a ，所以1<+abba ，所以a ＋b ＜ab ．方法二(作差比较法))]2()2([21)]2()2[(21)222(21a b b a ab b ab a ab b a ab b a -+-=-+-=-+=-+，因为a ＞2，b ＞2，所以2－a ＜0，2－b ＜0，所以a ＋b －ab ＜0，即a ＋b ＜ab ．方法三(构造函数)令y ＝f (a )＝a ＋b －ab ＝(1－b )a ＋b ，将y 看作是关于a 的一次函数，因为1－b ＜0，所以此函数为减函数，又a ∈(2，＋∞)，y 最大＜f (2)＝(1－b )×2＋b ＝2－b ＜0，所以a ＋b －ab ＜0，即a ＋b ＜ab ．【评析】两个数比较大小的基本思路：如果直接比较，可以考虑用比较法(包括“作差比较法”与“作商比较法”，如例8的方法一与方法二)，或者利用函数的单调性来比较(如例7(1)(2)(3)，例8的方法三)．如果用间接的方法可以尝试对要比较的两数进行适当的变形，转化成对另两个数的比较，也可以考虑借助中间量来比较(如例7(4)(5)(6))．例9 若log 2(x －1)＜2，则x 的取值范围是______．解：log 2(x －1)＜2，即log 2(x －1)＜log 24，根据函数y ＝log 2x 的单调性，可得x －1＜4，所以x ＜5，结合x －1＞0，所以x 的取值范围是1＜x ＜5．例10 已知A ，B 为函数y ＝log 8x 的图象上两点，分别过A ，B 作y 轴的平行线与函数y ＝log 2x 的图象交于C ，D 两点．(1)如果A ，B 两点的连线经过原点O ，请问C ，D ，O 三点也共线么?证明你的结论． (2)当A ，B ，O 三点共线并且BC 与x 轴平行时，求A 点的坐标．略解：(1)设A (x 1，log 8x 1)，B (x 2，log 8x 2)，由于A ，B ，O 在同一条直线上，所以.log log 228118① x x x x =又设C (x 1，log 2x 1)，D (x 2，log 2x 2)，于是有,2log log log 8118112x x x xk OC ==同样可得,2log log log 8228112x x x xk OD ==结合①式，有k OC ＝k OD ，即C ，D ，O 三点共线．(2)当BC ∥x 轴时，即.,log log log 3123181228x x x x x ===于是代入①式中可得31=x ，于是).3log ,3(8A练习2－3一、选择题。

2019-2020学年度最新人教版高三数学专题复习(函数与方程练习题)

2019-2020学年度最新人教版高三数学专题复习(函数与方程练习题)(附参考答案)一、选择题1、定义域为R 的函数y ＝f (x)的值域为［a ，b ］，则函数y ＝f (x ＋a ）的值域为（） A 、［2a ，a ＋b ］ B 、［a ，b ］ C 、［0，b －a ］ D 、［－a ，a ＋b ］2、若y ＝f (x)的定义域为D ，且为单调函数，［a ，b ］D ，（a －b ）·f (a)·f (b)＞0，则下列命题正确为（） A 、若f (x)＝0，则x ∈(a ，b ） B 、若f (x)＞0，则x ∉ （a ，b) C 、若x ∈（a ，b ），则f (x)＝0 D 、若f (x)＜0，则x ∉ （a ，b ）3、设点P 为曲线y ＝x 3－3 x ＋32上的任意一点，P 点处切线倾斜角为α，则α的取值范围为（） A 、［32π，π］ B 、（2π，π） C 、［0，2π］∪（65π，π）D 、［0，2π］∪［32π，π）4、设函数f (x)是定义R 上的奇函数，若f (x)的最小正周期为3，且f (1)＞1，f (2)＝132+-m m ，则m 的取值范围为（）A 、m ＜32B 、m ＜32且m ≠－1C 、－1＜m ＜32D 、m ＞32或m ＜－15、定义在R 上的函数f (x)在（－∞，2）上是增函数，且f (x ＋2)的图象关于x ＝0对称，则（）A 、f (－1)＜f (3)B 、f (0)＞f (3)C 、f (－1)＝f (3)D 、f (0)＝f (3)6、已知对一切x ∈R ，都有f (x)＝f (2－x ）且方程f (x)＝0有5个不同的根，则这5个不同根的和为（） A 、10 B 、15 C 、5 D 、无法确定7、函数y ＝log 21 (x 2＋kx ＋2）的值域为R ，则k 的范围为（）A 、［22 ，＋∞］B 、（－∞，－22）∪［22，＋∞］C 、（－22，22）D 、（－∞，－22］8、设α、β依次是方程log 2x ＋x －3＝0及2x ＋x －3＝0的根，则α＋β＝（） A 、3 B 、6 C 、log 23 D 、229、已知函数y ＝f (2x ＋1)是定义在R 上的偶函数，则函数y ＝f (2x)的图象的对称轴为（） A 、x ＝1 B 、x ＝21 C 、x ＝－21D 、x ＝－1 10、已知y ＝f (x ）是定义在R 上的奇函数，若g (x)为偶函数，且g (x)＝f (x －1）g (2)＝2008，则 f (2007)值等于（）A 、－2007B 、2008C 、2007D 、－2008 11、（理）对于R 上可导的任意函数f (x)，若满足(x －1）·f '(x)≥0，则必有（） A 、f (0) ＋f (2)＜2f (1) B 、f (0)＋f (2)≤2 f(1) C 、f (0)＋f (2)≥2f (1) D 、f (0)＋f (2)＞2 f (1) 12、函数f (x ）＝⎩⎨⎧=≠-)2(1)2(|2|lg x x x 若关于x 的方程［f (x)］2＋b ·f (x)＋C ＝0，恰有3个不同的实数解x 1、x 2、x 3，则f (x 1＋x 2＋x 3）等于（）A 、0B 、lg2C 、lg4D 、1 13、已知f (x)＝2＋log 3 x ，x ∈［1,9］，则函数y ＝［f (x)］2＋f (x 2 )的最大值为（） A 、3 B 、6 C 、13 D 、2214、已知f (x)＝lgx ，则函数g (x)＝｜f (1－x)｜的图象大致是（）15、下列函数的图象中，经过平移或翻折后不能与函数y ＝log 2x 的图象重合的是（）A 、y ＝2xB 、y ＝log 21xC 、y ＝24xD 、y ＝log 2x1＋116、已知x 、y ∈［－4π，4π］，a ∈R ，且x 3＋sinx －2a ＝0，4y 3＋sinxcosy ＋a ＝0，则cos(x ＋2y ）的值为中（） A 、0 B 、2 C 、3 D 、1 二、填空题 17、已知函数f (x)＝22x＋lg (x ＋12+x )，且f (－1)≈1.62，则f (1)近似值为。

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