圆内接正多边形的画法探索
第二十四章圆正多边形的画法
应用画图
问题3 除了正六边形，用圆规和直尺还可 以作哪些正多边形？
应用画图
问题3 除了正六边形，用圆规和直尺还可 以作哪些正多边形？
在用圆规和直尺作出正方形和正六边形的基 础上，你还能作出哪些正多边形？
设计图案
问题4 你能用等分圆周的方法画出下列课，你学会了什么？ （1）两种等分圆周的方法: 量角器和尺规； （2）用量角器等分圆周的方法可以画任意正多 边形，而用尺规等分圆周只能画一些特殊的正 多边形．
第二十四章
圆
正多边形的画法
北京市一零一中学 李爱民
复习引入
问题1 如何做出一个圆的内接正多边形？ • 怎么等分圆周？ • 通过等分圆心角等分圆周，进而做出正多边
形的方法，可以画出任意的正n边形吗？
应用画图
问题2 画一个边长为2cm的正六边形，你有 什么办法？ 你能用圆规和直尺作出边长为2cm的正六边 形吗？
巩固练习
教科书P108练习题第1题.
布置作业
教科书习题24.3第8，9题.
目标检测
分别用两种等分圆周的方法画正八边形.
圆内接正多边形洋葱数学
圆内接正多边形洋葱数学洋葱数学，也叫洋葱几何学，是一种研究圆内接正多边形的数学分支。
它通过对圆内接正多边形的特性和性质进行研究，探索其中蕴含的美丽和智慧。
本文将围绕洋葱数学展开讨论，条理清晰地介绍其基本概念、性质和应用。
首先，让我们明确洋葱数学与正多边形的关系。
正多边形是一种特殊的多边形，它的边数相等且每个内角相等。
圆内接正多边形是指正多边形的顶点都位于一个圆的圆周上，并且正多边形的每条边都是圆的切线。
洋葱数学即是研究这种特殊的多边形的数学分支。
在探索洋葱数学之前，我们需要了解一些基本概念。
首先是圆内接正多边形的边数n，即正多边形的边的个数。
其次是圆心角，指圆心所对应的圆周上的两条切线所夹的角度。
洋葱数学中的一个重要概念是圆心角的二分法，即将圆心角分成两个相等的小角度，从而将圆内接正多边形划分为n个等边小三角形。
接下来，让我们探讨洋葱数学的性质。
洋葱数学有两个基本性质：循环性和封闭性。
循环性指的是洋葱数学中正多边形的每个顶点都与相邻的两个顶点构成一个等边三角形，这种等边三角形的存在使得洋葱数学的形态具有循环性质。
封闭性指的是洋葱数学中正多边形的各个顶点均位于同一个圆上，因此它是一个封闭的图形。
除了这些基本性质外，洋葱数学还有一些其他的有趣性质。
首先是等边三角形。
由于洋葱数学中的每个顶点都与相邻的两个顶点构成一个等边三角形，因此洋葱数学中可以找到很多等边三角形。
其次是角度的关系。
洋葱数学中的每个小三角形的内角和为180度，因此可以通过计算这些角度来研究洋葱数学的性质。
此外，洋葱数学还有一些应用。
例如，在计算机图形学中，可以使用洋葱数学的概念来绘制圆内接正多边形，用于生成漂亮的图形效果。
此外，洋葱数学还与其他数学分支有着紧密的关联，例如计算几何、三角学等。
对洋葱数学的研究可以帮助我们更好地理解这些数学分支的概念和原理。
在结束之前，让我们简要总结一下洋葱数学的重点。
我们介绍了洋葱数学的基本概念，包括圆内接正多边形的边数和圆心角的二分法。
圆内正多边形的画法
单
Page 5
作图过程如下：
（1）找出圆周与水平中心线的交点2、5，如图2-5（a）所示。 （2）放好丁字尺，用60°三角板短边紧靠丁字尺，60°角放在右边，固定丁 字尺，移动三角板使其斜边通过圆心，与圆周交于点3和点6，如图2-5（b）所 示。 （3）固定丁字尺，用60°三角板短边紧靠丁字尺，60°角放在左边，同样移 动三角板使其斜边通过圆心，与圆周交于点1和点4，如图2-5（c）所示。 （4）如图2-5（d）所示，在圆周上总共得到1、2、3、4、5、6六个点， 用直尺顺次连接各点，即得所求的正六边形。
单击此处编几辑母何版标作题样图式
圆内正多边形的画法
1.1 圆内正五边 形的画法
圆内正五边形的 作图方法和步骤如图 2-4所示。
Page 2
单击此处编几辑母何版标作题样图式
圆内正多边形的画法
Page 3
作图过程如下：
（1）以圆的半径为半径，A点为圆心，画圆弧与圆周相交，得到 交点C、D,连接C点、D点，CD与OA相交于M点，即OA的中点。
（2)以M点为圆心，1M为半径画圆弧，与OE交于N点，以1N为弦 长，从1点开始，在圆周上截取等分点，得到2、3、4、5点，即圆周内 的五个等分点。
（3)用直尺依次连接圆周上的五个等分点，即得圆内接正五边形。
单击此处编几辑母何版标作题样图式
圆内正多边形的画法
1.2 圆内正六边形 的画法
圆内正六边形的作 图方法和步骤如图2-5 所示。
圆内接正多边形
圆内接正多边形什么是圆内接正多边形？圆内接正多边形，指的是一个正多边形可以恰好放在一个圆内，且正多边形的每个顶点都在圆周上。
圆内接正多边形也被称为圆内正多边形或圆多边形。
一个圆内接正多边形的特点是，它的每条边相等且每个角都是相等的。
这使得圆内接正多边形在数学、科学、工程和建筑等领域中有广泛的应用。
怎样构造圆内接正多边形？构造圆内接正多边形有多种方法。
以下介绍两种常见的方法：1. 中心构造法中心构造法是一种基于圆的方法。
它的步骤如下：1.以圆心为中心，画一个圆。
2.从圆心出发，以圆的半径为边长画出一个正四边形。
3.用圆上的点作为四边形的顶点，连接四个顶点和圆心，得到一个正八边形。
4.以同样的方式在正八边形的每个顶点上构造正四边形，得到一个正十六边形。
5.重复上述步骤，每一次都在前一个正多边形的顶点上构造正四边形，直到构造出一个足够接近圆内接正多边形的正多边形。
2. 分割法分割法是另一种构造圆内接正多边形的方法。
它的步骤如下：1.在圆上任取一点，作为第一个多边形的一个顶点。
2.以两个相邻点和圆心为中心，画出一个小扇形，将圆划分成若干个小扇形。
3.每个小扇形内部的角度等于圆心角（360度）的一部分，可以计算出每个小扇形的角度。
4.根据所要构造的正多边形的边数，将圆分割成相应的小扇形。
5.将每个小扇形的两个端点连线，得到一个近似圆内接正多边形。
可以根据实际需要逐渐增加分割的扇形数，使得构造出的正多边形更加接近于圆内接正多边形。
圆内接正多边形的性质除了每条边长度相等、每个角度相等外，圆内接正多边形还有其他几个重要的性质：1.圆内接正多边形的内角和等于360度。
2.圆内接正多边形的对角线相等，且交于圆心。
3.圆内接正多边形的外接圆的半径等于正多边形的边长的一半。
此外，圆内接正多边形的周长和面积可以很容易地计算出来，便于在实际问题中应用。
圆内接正多边形的应用圆内接正多边形在数学和其他领域中有广泛的应用，如：1.圆内接正多边形可以用来构建复杂的图形和形状，如著名的黄金分割比例、立体的正十二面体等。
北师大版九年级数学下册3.8圆内接正多边形教案
2.用尺规作一个已知圆的内接正四边形.
3.思考：作正多边形有哪些方法？
处理方式：由例题引导学生发现正六边形的边长等于其半径，从而找到六等分圆的方法．
让学生了解有关圆内接正多边形的概念，引导学生逐步深入的学习.
通过例题的学习，巩固有关圆内接正多边形的概念，能运用解直角三角形的知识解决正多边形的有关计算问题.
学生在以前的学习中，曾经探索并认识了正多边形的有关知识．强调正多边形必须满足的两个条件：一是各角都相等，二是各边都相等．两者缺一不可．通过复习鼓励学生回忆并梳理有关结论，然后再展开相应的证明活动.
(续表)
活动
二：
实践
探究
交流
新知
【探究1】圆内接正多边形的概念
定义：顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形．这个圆叫做该正多边形的外接圆．
情境
导入
新课
【课堂引入】
问题1：什么叫正多边形？
问题2：矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？
问题3：从你身边举出两三个正多边形的实例，正多边形是轴对称图形吗？是中心对称图形吗？其对称轴有几条？对称中心是哪一点？
问题4：圆与正多边形有什么关系呢？
处理方式：前3个问题请学生思考后口答，根据已有的学习经验，大部分学生能够顺利完成，个别学生可能感到有难度，对正多边形的知识点有所遗忘，教师给予及时地帮扶，并强调正多边形的定义，一是各角相等，二是各边都相等．两者缺一不可．对于第4个问题的设计，学生就产生了疑问，也就是本节课所要研究的问题．教师顺势板书课题：8圆内接正多边形
边心距为3 cm]
处理方式：学生口述思考过程，并说明理由．两位同学黑板板书做题过程.
圆内接正多边形课件
圆内接正多边形课件圆内接正多边形课件正多边形是我们初中数学课程中的重要内容之一。
在这个主题下，我们将讨论圆内接正多边形，并为大家准备了一份精美的课件，以帮助大家更好地理解和掌握这一概念。
一、什么是圆内接正多边形？圆内接正多边形是指一个正多边形的顶点都位于一个圆的圆周上，并且正多边形的每条边都是圆的切线。
这意味着正多边形的外接圆与内切圆是同一个圆。
二、圆内接正多边形的性质1. 内切圆的半径圆内接正多边形的内切圆半径等于正多边形的边长的一半。
这是因为内切圆的半径与切线垂直，而正多边形的边是切线，所以内切圆的半径与正多边形的边长垂直，且长度相等。
2. 外接圆的半径圆内接正多边形的外接圆半径等于正多边形的边长的一半除以正多边形的正弦值。
这是由正多边形的内角和正弦函数的关系得出的。
3. 内角和外角圆内接正多边形的内角和外角具有特殊的关系。
内角等于360度除以正多边形的边数，而外角则等于内角的补角。
三、圆内接正多边形的构造方法1. 三角形最简单的圆内接正多边形是三角形，也就是正三角形。
我们可以通过将一个等边三角形的顶点与圆的圆心相连，得到一个圆内接正三角形。
2. 四边形构造圆内接正四边形的方法有多种，其中一种方法是通过正三角形的对称性构造。
我们可以先构造一个正三角形，然后在正三角形的一条边上继续构造一个等边三角形，最后将两个等边三角形的底边相连，得到一个圆内接正四边形。
3. 五边形及更多边形通过类似的方法，我们可以继续构造圆内接正五边形、六边形等更多边形。
每次构造时，都需要利用前一个正多边形的一条边来构造下一个正多边形。
四、圆内接正多边形的应用圆内接正多边形在几何学和工程学中有广泛的应用。
例如，在建筑设计中，圆内接正多边形可以用来构造规则的地基或者建筑平面图。
在制造业中，圆内接正多边形可以用来设计规则的零件或者工件。
此外，圆内接正多边形还可以用来解决一些有关面积和周长的问题。
由于圆内接正多边形具有对称性，我们可以利用这一特点来简化计算，得到更精确的结果。
作圆的内接正方形和正六边形
-----精品文档------
你能尺规作出正四边形吗？
A
D
O ·
B
C
只要作出已知⊙O的互 相垂直的直径即得圆 内接正方形，再过圆 心作各边的垂线与⊙O 相交，或作各中心角 的角平分线与⊙O相交， 即得圆接正八边形， 照此方法依次可作正 十六边形、正三十二 边形、正六十四边
拓展：2、如图表示某广场中心花坛的平面图， 准备在圆形花坛内种植6种不同颜色的花卉， 为了美观，要使同色花卉集中在一起，并且各 色花卉的种植面积相等，请你帮助设计出一种 种植方案，画在图上。
-----精品文档------
方案一、用圆规把圆6等分即可 方案二、如图所示
方案一Leabharlann -----精品文档------
一个⊙ O；
B
2、用量角器画一个
OE
60°的圆心角；
C
D
3、在圆上顺次截取这个圆心角对的弧；
4、顺次连接分点。
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拓展：1、某单位搞绿化，要在一块圆形空地上种四 种颜色的花，为了便于管理和美观，相同颜色的花 集中种植，且每种颜色的花所占的面积相同。现征 集设计方案，要求设计的图案成轴对称图形或中心 对称图形，请在下面的圆中画出三种设计图案。
形……
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你能尺规作出正六边形吗？
F
E
O
A
·
D
B
C
以半径长在圆 周上截取六段相 等的弧，依次连 结各等分点，则 作出正六边形.
先作出正六边 形，则可作正三 角形，正十二边 形，正二十四边
形………
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练习
cad圆内接多边形
CAD圆内接多边形在计算机辅助设计（CAD）中，圆内接多边形是一种特殊的形状，它是一个正多边形，每个顶点位于一个圆的周围。
在本文档中，我们将介绍如何使用CAD软件创建和编辑圆内接多边形，并讨论其应用和优势。
创建圆内接多边形在CAD软件中创建圆内接多边形有多种方法，下面将介绍其中的两种常见方法。
方法1：使用圆心和半径创建1.打开CAD软件，并创建一个新的绘图文件。
2.使用“绘制”工具栏上的“圆”工具，在绘图区域中绘制一个圆。
3.使用“标注”工具栏上的“半径”工具，测量圆的半径。
4.使用“绘制”工具栏上的“直线”工具，在圆心和圆上选择一个点，然后绘制一条直线。
5.使用“修改”工具栏上的“复制”工具，将直线复制到圆上的其他点。
6.使用“修改”工具栏上的“旋转”工具，将复制的直线按照一定的角度旋转，使其与原始直线重合。
7.重复步骤 5 和步骤 6，直到所有的直线形成一个正多边形。
方法2：使用正多边形工具创建1.打开CAD软件，并创建一个新的绘图文件。
2.使用“绘制”工具栏上的“正多边形”工具，在绘图区域中绘制一个正多边形。
3.使用“标注”工具栏上的“边长”工具，测量正多边形的边长。
4.使用“修改”工具栏上的“旋转”工具，将正多边形按照一定的角度旋转，使其与原始位置重合。
5.重复步骤 4，直到正多边形形成一个圆内接多边形。
编辑圆内接多边形在CAD软件中，可以对已经创建的圆内接多边形进行编辑，以满足特定的需求。
下面将介绍一些常见的编辑操作。
移动顶点1.使用“选择”工具栏上的“顶点”工具，选择要移动的顶点。
2.使用“修改”工具栏上的“移动”工具，将选择的顶点拖动到新的位置。
添加顶点1.使用“绘制”工具栏上的“直线”工具，在两个现有的点之间绘制一条直线。
2.使用“修改”工具栏上的“分割”工具，将直线分割为两个部分。
3.使用“修改”工具栏上的“删除”工具，删除原始直线中的一部分。
删除顶点1.使用“选择”工具栏上的“顶点”工具，选择要删除的顶点。
圆的内接正多边形的画法
圆的内接正多边形的画法
本课件仅供大家学习学习 学习完毕请自觉删除
谢谢 本课件仅供大家学习学习
学习完毕请自觉删除 谢谢
当堂训练
正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通 过n边形的中心。
当堂训练
边数是偶数的正多边形还是中心对称图形， 它的中心就是对称中心。
D
F
E
·O
B
E
O·
A
O
·
D
90°
72°
60°
B
C
C
D
B
C
探索新知
你能尺规作出正六边形、正三角形、正 十二边形吗？
F
E
O
A
·
D
以半径长在圆周上截取六段相 等的弧，依次连结各等分点，则 作出正六边形.
先作出正六边形，则可作正三 角形，正十二边形，正二十四边
形………
B
C
探索新知
圆内接正五边形的画法：
① 以O为圆心，定长R为半径 画圆，并作互相垂直的直径 MN和AP。
探索新知
怎样画一个正多边形呢？ 问题1：已知⊙O的半径为2cm，求 作圆的内接正三角形.
A①用量角器度量，使源自∠AOB=∠BOC=∠COA=
120°，得A、B、C
120 ° O
② 顺次连接AB、BC、 CA。
得圆内接正三角形ABC
C
B
探索新知
你能用以上方法画出正四边形、正 五边形、正六边形吗？
A
A
② 平分半径ON，得OK=KN。 B
③ 以K为圆心，KA为半径画 弧与OM交于H，AH即为正五 边形的边长。
九年级数学下册知识讲义-3圆内接正多边形(附练习及答案)-北师大版
一、考点突破1. 了解圆内接正多边形的有关概念。
2. 理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系。
3. 会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形。
二、重难点提示重点：圆内接正多边形的定义及相关性质。
难点：正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系。
考点精讲 1. 圆内接正多边形的有关概念 ① 顶点都在同一个圆上的正多边形叫做圆内接正多边形。
这个圆叫做该正多边形的外接圆。
② 正多边形的中心、半径、边心距、中心角正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心；正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径；正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距；正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。
如图：五边形ABCDE 是⊙O 的内接正五边形， 圆心O 叫做这个正五边形的中心； OA 是这个正五边形的半径； OM 是这个正五边形的边心距。
AOB 叫做这个正五边形的中心角。
A E【要点诠释】① 只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。
② 求正n 边形中心角的常用方法：正n 边形有n 条边，每条边对应一个中心角，所以正n 边形的中心角为。
（正n 边形中心角度数与正n 边形的一个外角相等）2. 特殊的圆内接正多边形的半径、弦心距、边长之间的关系① 正三角形——在中进行：；② 正四边形——在中进行，；③ 正六边形——在中进行，。
D E OC OB O D B A CA A B【规律总结】正多边形的外接圆半径R 与边长a 、边心距r 之间的关系：R 2＝r 2＋（a ）2，连接正n 边形的半径，弦心距，把正n 边形的有关计算转化为直角三角形中的问题。
典例精讲例题1 （义乌市）一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如下图所示方式分别剪成一个正方形，边长都为1，则扇形和圆形纸板的面积比是（ ）A. 5：4B. 5：2C.：2D.：思路分析：先画出图形，分别求出扇形和圆的半径，再根据面积公式求出面积，最后求出比值即可。
8圆内接正多边形
小结： 圆内接正多边形的特点：
（1）由一个圆和一个人正多边形组成； （2）正多边形在圆的内部； （3）正多边形的顶点都在圆上。
二、与圆内接正多边形有关的概念
圆内接 正多边形
中心
E
D
半径 中心角
.半径R
F 中心角O
C
边心距d
边心距
AM B
三、应用
一角的硬币，正面图案上有一个正九边形，如果这个正九 边形的半径R=2cm，你能计算出它的边长吗？（先独立思考， 需要时可以小组讨论）
O
AMB
小结
1.常作的辅助线： 连半径，作垂直（作边心距）
2.正多边形的有关计算的“三个步骤”： （1）分解：把正n边形分成2n个全等的直角三角形 （2）转化：把正n边形的各元素放到一个直角三角形 （3）计算：利用直角三角形的性质解答
北师大版九年级数学下册
第三章 圆 3.8圆内接正多边形
兰州市第五十二中学
王永红
情景导入：
这里有一个一角的硬币，正面图案上有一个正九边形。 像类似这样的正多边形我们称为圆内接正多边形。
-------这节课我们一起研究 圆内接正多边形
一、圆内接正多边形的概念
1.观察下列图形，自主回答圆内接正多边形的概念
四、作圆内接正多边形 1.把一个圆 n（n ≥ 3）等分，依次连接各分点，就 可以作出一个圆内接正多边形.
2.如何作一个圆的内接正九边形 （用量角器度量 ）
3.如何作一个圆的内接正六边形
F
E
O
A
·
D
B
C
方法1： 由于正六边形的中心角为60度，因此它的边
圆的内接正五边形作图原理
圆的内接正五边形作图原理要作出一个圆的内接正五边形，首先需要了解一些数学原理和几何性质。
1. 圆的性质：- 圆是一个几何图形，由一条曲线组成，该曲线上的所有点到圆心的距离都相等。
- 圆的半径是从圆心到圆上任意一点的距离。
- 圆的直径是从圆上一点经过圆心到与之对称的圆上另一点的距离的两倍。
2. 五边形的性质：- 五边形是一个多边形，由五条边和五个顶点组成。
- 内角和为540度，即五个内角的和为540度。
- 正五边形的五条边长度相等，五个内角也相等。
基于上述性质，我们可以按照以下步骤进行圆的内接正五边形的作图。
步骤1：作圆心和半径- 在纸上选择一个点作为圆心，用圆规量取一个固定的距离作为圆的半径。
- 以圆心为中心，用定长尺寸绘制一个圆。
步骤2：作直径- 在圆上任意选取两个点作为直径的两个端点。
- 这两个端点之间的线段即为圆的直径。
步骤3：作正弦线- 在圆中任选一个点，将它与直径的一个端点用直线连接。
- 利用这条直线作为直线和圆的交点，将圆生产两个交点。
- 这两个交点即是正五边形的两个顶点。
步骤4：作正切线- 以圆心为中心，将两个顶点和圆心相连，得到两条半径线。
- 这两条半径线与圆交于两个点，分别连接这两个点与两个顶点。
- 得到的两条直线与圆相切，即为正五边形的两边。
步骤5：作正五边形- 分别延长正五边形的两条边，使其交于一点。
- 这个交点即为正五边形的第三个顶点。
- 以这个顶点为中心，重复步骤4，得到正五边形的另外两条边和另外两个顶点。
至此，我们完成了一个圆的内接正五边形的作图。
需要注意的是，通过上述方法制作的五边形只是一个近似的正五边形，因为我们无法使用尺子和直尺进行精确的绘制。
然而，根据数学原理，我们可以证明这个近似的五边形的内角和约等于540度，边长也是近似相等的。
所以在实际应用中，这个近似的五边形已经足够满足大部分要求。
总结起来，要制作一个圆的内接正五边形，我们需要进行以上步骤，应用圆的性质和五边形的性质来完成。
《圆内接正多边形》圆
圆内接正多边形的面积与周长的关系
面积与周长的关系
分析圆内接正多边形的面 积与周长的关系，如面积 与周长的比值、面积与周 长的变化规律等。
面积与半径的关系
分析圆内接正多边形的面 积与半径的关系，如面积 与半径的函数关系、面积 与半径的变化规律等。
周长与半径的关系
分析圆内接正多边形的周 长与半径的关系，如周长 与半径的函数关系、周长 与半径的变化规律等。
对称性在构造复杂图形中的应用
02
在构造复杂图形时，可以利用圆内接正多边形的对称性，快速
确定图形的形状和位置。
对称性在解决几何问题中的应用
03
在解决几何问题时，可以利用圆内接正多边形的对称性，寻找
解题思路和简化计算过程。
05
圆内接正多边形的作图方法
利用尺规作图法作圆内接正多边形
定义
尺规作图法是指使用直尺和圆规等基本作图工具进行作图 的方法。
所有顶点都在给定圆上。
外接圆的半径R与边心距r的关系为R = r + d/2 。
圆内接正多边形的分类
01
02
03
等边圆内接多边形
每个内角都相等的圆内接 正多边形。
等腰圆内接多边形
每条边的长度都相等的圆 内接正多边形。
正方形
特殊的等边等腰圆内接正 四边形，具有特殊的性质 和用途。
02
圆内接正多边形的面积与周长
步骤
首先使用直尺确定圆心和半径，然后使用圆规在圆上截取 等长的弧线，依次连接各弧线的端点即可得到圆内接正多 边形。
特点
尺规作图法是一种基本的作图方法，具有简单、直观的特 点，但只能作出有限的几种圆内接正多边形，如正三角形 、正方形、正六边形等。
利用几何变换法过平移、旋转、对称等几何变换手段进行作图的方法
3.8 圆内接正多边形
∠ AOB是这个正五边形的中心角；OM丄BC，垂足
为M，OM是这个正五边形圆心距.
（来自教材）
知1－讲
1．圆内接正多边形：顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆 内接正多边形，这个圆叫做正多边形的外接圆．
6
(2015· 随州)如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆， 这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则 下列关系式错误的是( )
A．R2－r2＝a2
B．a＝2Rsin 36° C．a＝2rtan 36° D．r＝Rcos 36°
（来自《典中点》）
知2－导
知识点
2 圆内接正多边形的画法
利用尺规作一个已知圆的内接正六边形.
（来自《典中点》）
知1－练
2
(2016· 南京)已知正六边形的边长为2，则它的内切圆
的半径为( A．1 ) B. 3 C．2 D．2 3
3
一个圆的内接正四边形和外切正四边形的面积的比是 ( )
A．1∶ 2
B．1∶2
C．2∶3
D．2∶π
（来自《典中点》）
知1－练
4
(2015· 青岛)如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，
⊙O于点C，F和D，E；(4)连接AD，DE，EA.
则△ADE为所求作的正三角形，如图所示．
（来自《点拨》）
知2－讲
总 结
解决这类问题通常有两种方法：
(1)用量角器等分圆周法；
(2)用尺规等分圆周法．
（来自《点拨》）
知2－讲
例4 如图①②③…，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正
内接正五边形画法原理
内接正五边形画法原理内接正五边形是指一个正五边形的每个顶点都与内切圆的圆心相连，从而形成的一种特殊图形。
它是一个具有很高美学价值和几何特性的图形，其画法原理是通过一系列几何构造来完成的。
本文将详细介绍内接正五边形的画法原理。
我们需要明确内接正五边形的定义。
内接正五边形是指一个正五边形的每个顶点都与内切圆的圆心相连，从而形成的一种特殊图形。
它具有以下特点：1. 五个顶点均位于内切圆上；2. 五个顶点与内切圆圆心相连的线段长度相等；3. 每条边均与相邻两条边成72度的夹角。
接下来，我们来介绍内接正五边形的画法原理。
画内接正五边形的关键是确定内切圆的半径。
假设内切圆的半径为r，我们可以通过一系列几何构造来找到r的值。
我们以正五边形的中心为圆心，画一个半径为r的圆。
然后，我们连接圆的圆心和任意一个顶点，得到一条半径为r的线段。
接着，我们以这条线段为边长，画一个正三角形，将其顶点与圆心相连。
这样，我们就得到了一个以内切圆为外接圆的正三角形。
接下来，我们再次以正三角形的一个顶点为圆心，画一个半径为r 的圆。
然后，我们连接圆的圆心和正三角形的另外两个顶点，得到两条半径为r的线段。
接着，我们以这两条线段为边长，分别画两个正三角形，将它们的顶点与圆心相连。
这样，我们就得到了两个以内切圆为外接圆的正三角形。
重复以上步骤，我们可以得到一个以内切圆为外接圆的正五边形。
在这个过程中，每次都会得到两个新的正三角形，并且内切圆的半径会不断逼近我们所期望的值。
需要注意的是，在实际操作中，我们可以使用各种工具来辅助完成这些几何构造。
例如，我们可以使用直尺来画线段，使用指南针来画圆等。
这样可以更加准确地完成内接正五边形的画法。
总结起来，内接正五边形的画法原理是通过一系列几何构造来确定内切圆的半径，并最终得到一个以内切圆为外接圆的正五边形。
这个过程需要使用几何知识和相关工具，以保证结果的准确性和美观性。
内接正五边形作为一种具有高度对称性和几何美感的图形，广泛应用于艺术、建筑和设计等领域。
《圆内接正多边形》的教学反思
《圆内接正多边形》的教学反思1、要创造性的使用教材教材只是为教师提供最基本的教学素材，教师完全可以根据学生的实际情况进行适当调整。
2、相信学生并为学生提供充分展示自己的机会通过课前小组合作社会调查、课堂展示正多边形的过程，为学生提供展示自己聪明才智的机会，并且在此过程中更利于教师发现学生分析问题解决问题的独到见解，以及思维的'误区，以便指导今后的教学。
课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位，通过运用各种启发、激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度。
3、在教学中注意的方面本节新概念较多，对概念的教学要注意从“形”的角度去认识和辨析，但对概念的严格定义不能要求过高。
在概念教学中，要重视运用启发式教学，让学生从“形”的特征获得对几何概念的直观认识，鼓励学生用自己的语言表述有关概念，再进一步准确理解有关概念的文字表述，促进学生主动学习。
通过形象生动的直观图形，给学生营造一个问题情景，通过问题的探索来调动学生的内在动力，提高学习积极性，提高探索知识的能力。
4、注意改进的方面在小组讨论之前，应该留给学生充分的独立思考的时间，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问。
教师应对小组讨论给予适当的指导，包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等，使小组合作学习更具实效性。
今天，教学内容是《圆内接四边形》，这是继《圆周角》教学内容之后的第二个课时。
教学内容是通过上一节所学的“圆周角定理”得出“圆内接四边形的对角互补”，其中还需要讲解“圆内接四边形”概念，及例题。
我初步设计的教学方案是：通过习题回顾------引出图形“圆和四边形”------介绍圆内接四边形的概念------提出讨论：是否每一个四边形均有外接圆？------引发探讨：圆内接平行四边形（菱形、梯形等）是什么特殊四边形？为什么？（合作交流）------例题讲解（学生探究）------自主练习------总结归纳------布置自行设计的作业（涉及到圆周角定理及圆内接四边形定理的题目，因课本后没有相应练习）。
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圆内接正多边形的画法探索
【摘要】本文利用目标教学法对机械识图进行教学改革，加强了教学效果，提高了学生的学习兴趣，改善了学生的动手能力。
【关键词】目标教学法；传统教学法；优势；弊端；圆内接多边形
一、传统教学法的弊端
圆内接多边形的画法包括圆内接正三角形、内接正四边形、内接正五边形、内接正六边形等的画法。
对于机械识图这一章节的教学，有很多传统的教学方法。
老师在黑板上利用三角板和圆规演示讲解如何作图，然后学生做作业。
先利用PPT演示动态作图过程，再在黑板上由老师讲解演示作图过程，然后学生做作业。
老师利用PPT和黑板演示完相关的作图过程后，让学生参与进来，上黑板画有关联的圆内接多边形。
在笔者多年的教学生涯中，上述传统的教学方法都用过，但是效果欠佳，学生很难全员参与，总是有或多或少的学生溜号无法参与整个教学过程。
即使参与进来的学生，也只是感到为了学习而学习，没有行动导向，没有具体形象的目标，没有新奇和成就感。
尤其笔者面对的学生群体是中等职业技能学校的学生，他们的学习能力和学习方法，大都不是通过眼睛和耳朵来接受信息的，用传统的教学方法，效果甚微。
在机械识图—圆内接正多边形的画法章节的学习中，大胆采用目标教学法，达到了比预期更好的教学效果。
二、目标教学法的的基本含义
目标教学法是一种以教学目标为核心和主线实施课堂教学的方法。
是以教师为主导、以学生为主体、教学目标为主线的教学方法。
教师以教学目标为导向，在整个教学过程中围绕教学目标展开一系列教学活动，并以此来激发学生的学习兴趣与积极性，激励学生为实现教学目标而努力学习。
运用目标教学法，学生不但有学习目标，还有一个广阔的想象空间，可以充分发挥他们的想象力和创新能力来完成教学目标规定的学习任务。
而且在较短的时间内使学生享受到自己学习成功的喜悦感和成就感，激发学生学习兴趣，促使学生更加努力地学习。
三、目标教学法的实施
目标教学法要求授课教师在授课前，应根据有关课程的教学目标，在吃透教
材的基础上理清该课程的知识体系，并明确各知识点及其所要达到的教学目标。
在进行各知识点或单元教学前，需预先告知同学们该知识点或单元所要达到的学习目标，使学生形成一种学习心理准备，从而做到有备而来。
而在实现教学目标的过程中，则要不断地设法引导学生向既定的教学目标接近，并在实现教学目标后与学生一起进行课堂总结，指出知识关键，以便学生巩固提高。
目标教学法在实施时，是将一次课的教学过程分解为课堂导入、展示教学目标、遵循教学目标讲解相关知识、目标测评等几个环节，并根据这些环节组织实施教学。
下面就以机械识图课程---圆内接正多边形的画法为例，介绍目标教学法的具体实施步骤。
1.课堂导入：时逢中秋前夕，灯笼是过节不可缺少的物品之一。
大家完全可以利用我们的所学，自制环保灯笼。
2.展示教学目标：制作灯笼。
3.遵循教学目标，讲解相关知识点。
圆内接正三角形、正四边形、正五边形及正六边形的画法。
围绕灯笼制作的目标，有的放矢的讲解知识点，学生学习更有积极性、目标性和能动性。
灯笼制作步骤：
每个学生将领到的红色卡纸平分成4张，老师讲解一张卡纸的制作方法，其余3张学生根据自己的创意，自行制作。
①先以半径为80mm画圆，作此圆的内接正三角形。
②再以半径为40mm画圆，作此圆的内接正五边形，连接成五角星。
③用剪刀沿着80mm的外圆，将圆外面的部分剪掉，沿着五角星的线条，剪掉五角星里面的部分，做成中空的五角星。
④沿着内接正三角形的三边，折纸。
其余3张卡纸，学生在完成上述步骤①后，可根据自己的创意自行制作。
⑤两个同学合作，完成灯笼。
将两名同学的8张已完成的卡纸，沿着正三角形的三边折痕，两两粘贴，灯笼成形。
4.目标测评
学生学习的效果直接由完成目标的情况来衡量，包括教师评价、学习小组评
价和自评三部分。
通过对下列图片中各个号牌灯笼，进行无记名投票选举，选出一、二、三等奖。
四、目标教学法的优势
通过上述教学方法的改革，不难发现，目标教学法是一种比较有效的教学方法，它突破了传统的教学模式，通过解决学生身边的一些现实际问题来实现学生对知识的掌握，大大提高了学生学习的积极性和主动性。
通过目标教学法学习的学生，他们的动手能力、解决实际问题的能力有很大的提高。
这种方法不但适合学校的各种课程课程教学，尤其适用于学生水平差、学生自控能力比较薄弱、课程的应用性比较强的教学。
教师在观察学生、帮助学生的过程中，开阔了视野，提高了专业水平。
在整个教学过程中既发挥了教师的主导作用又体现了学生的主体作用，充分地展示了现代教育“以能力为本”的价值取向，使课堂教学的质量和效益得到更大幅度的提高。
可以说，目标教学法是师生共同完成目标，共同取得进步的教学方法。