【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学(苏教版,必修一) 第二章函数 2.2.1(二) 课时作业]

2.2.1 函数的单调性（二）
课时目标 1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.2.体会函数的最大(小)值与单调性之间的关系.3.会求一些简单函数的最大(小)值．
1．函数的最值
设y ＝f (x )的定义域为A .
(1)最大值：如果存在x 0∈A ，使得对于任意的x ∈A ，都有__________，那么称f (x 0)为y ＝f (x )的最大值，记为______＝f (x 0)． (2)最小值：如果存在x 0∈A ，使得对于任意的x ∈A ，都有f (x )≥f (x 0)，那么称f (x 0)为y ＝f (x )的最小值，记为________＝f (x 0)． 2．函数最值与单调性的联系
(1)若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递增，则f (x )的最大值为______，最小值为______． (2)若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递减，则f (x )的最大值为______，最小值为______．
一、填空题
1．若函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4)上是减函数，则实数a 的取值范围是________．
2．已知函数y ＝x ＋2x －1，下列说法正确的是________．(填序号)
①有最小值1
2，无最大值；
②有最大值1
2，无最小值；
③有最小值1
2
，最大值2；
④无最大值，也无最小值．
3．已知函数y ＝x 2－2x ＋3在区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是________． 4．如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，那么f (－2)，f (0)， f (2)的大小关系为________．
5．函数y ＝|x －3|－|x ＋1|的________．(填序号) ①最小值是0，最大值是4； ②最小值是－4，最大值是0；
③最小值是－4，最大值是4； ④没有最大值也没有最小值．
6．函数f (x )＝1
1－x (1－x )的最大值是________．
7．函数y ＝2
|x |＋1
的值域是________．
8．函数y ＝－x 2＋6x ＋9在区间[a ，b ](a <b <3)有最大值9，最小值－7，则a ＝________，b ＝__________.
9．若y ＝－2
x
，x ∈[－4，－1]，则函数y 的最大值为________．
二、解答题
10．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋2.
(1)求f (x )在区间[1
2
，3]上的最大值和最小值；
(2)若g(x)＝f(x)－mx在[2,4]上是单调函数，求m的取值范围．
11．若二次函数满足f(x＋1)－f(x)＝2x且f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若在区间[－1,1]上不等式f(x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．
能力提升
12．已知函数f(x)＝3－2|x|，g(x)＝x2－2x，构造函数F(x)，定义如下：当f(x)≥g(x)时，F(x)＝g(x)；当f(x)<g(x)时，F(x)＝f(x)，那么F(x)________．(填序号)
①有最大值3，最小值－1；
②有最大值3，无最小值；
③有最大值7－27，无最小值；
④无最大值，也无最小值．
13．已知函数f(x)＝ax2－|x|＋2a－1，其中a≥0，a∈R.
(1)若a＝1，作函数f(x)的图象；
(2)设f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式．
1．函数的最大(小)值
第2课时 函数的最大(小)值
知识梳理
1．(1)f (x )≤f (x 0) y max (2)y min 2．(1)f (b ) f (a ) (2)f (a ) f (b ) 作业设计
1．(－∞，－3]
解析 由二次函数的性质，可知4≤－(a －1)， 解得a ≤－3. 2．①
解析 ∵y ＝x ＋2x －1在定义域[1
2
，＋∞)上是增函数，
∴y ≥f (12)＝12，即函数最小值为1
2
，无最大值．
3．[1,2]
解析 由y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2知， 当x ＝1时，y 的最小值为2，
当y ＝3时，x 2－2x ＋3＝3，解得x ＝0或x ＝2.
由y ＝x 2－2x ＋3的图象知，当m ∈[1,2]时，能保证y 的最大值为3，最小值为2. 4．f (0)<f (2)<f (－2)
解析 依题意，由f (1＋x )＝f (－x )知，
二次函数的对称轴为x ＝1
2
，
因为f (x )＝x 2＋bx ＋c 开口向上， 且f (0)＝f (1)，f (－2)＝f (3)，
由函数f (x )的图象可知，[1
2
，＋∞)为f (x )的增区间，
所以f (1)<f (2)<f (3)，即f (0)<f (2)<f (－2)． 5．③
解析 y ＝|x －3|－|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－4 (x ≥3)－2x ＋2 (－1≤x <3)4 (x <－1).
因为[－1,3)是函数y ＝－2x ＋2的减区间，
所以－4≤y ≤4，综上可知③正确．
6.43
解析 f (x )＝1(x －12)2＋
34
≤4
3.
7．(0,2]
解析 观察可知y >0，当|x |取最小值时，y 有最大值， 所以当x ＝0时，y 的最大值为2，即0<y ≤2， 故函数y 的值域为(0,2]． 8．－2 0
解析 y ＝－(x －3)2＋18，∵a <b <3，
∴函数y 在区间[a ，b ]上单调递增，即－b 2＋6b ＋9＝9， 得b ＝0(b ＝6不合题意，舍去)
－a 2＋6a ＋9＝－7，得a ＝－2(a ＝8不合题意，舍去)． 9．2
解析 函数y ＝－2
x 在[－4，－1]上是单调递增函数，
故y max ＝－2
－1
＝2.
10．解 (1)∵f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[1
2
，3]，
∴f (x )的最小值是f (1)＝1，
又f (12)＝5
4
，f (3)＝5，
所以，f (x )的最大值是f (3)＝5，
即f (x )在区间[1
2
，3]上的最大值是5，最小值是1.
(2)∵g (x )＝f (x )－mx ＝x 2－(m ＋2)x ＋2， ∴m ＋22≤2或m ＋22
≥4，即m ≤2或m ≥6.
故m 的取值范围是(－∞，2]∪[6，＋∞)．
11．解 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝1，∴c ＝1， ∴f (x )＝ax 2＋bx ＋1. ∵f (x ＋1)－f (x )＝2x ， ∴2ax ＋a ＋b ＝2x ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2a ＋b ＝0，∴⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝1
b ＝－1，∴f (x )＝x 2－x ＋1. (2)由题意：x 2－x ＋1>2x ＋m 在[－1,1]上恒成立， 即x 2－3x ＋1－m >0在[－1,1]上恒成立．
令g (x )＝x 2－3x ＋1－m ＝(x －32)2－5
4
－m ，
其对称轴为x ＝3
2
，
∴g (x )在区间[－1,1]上是减函数， ∴g (x )min ＝g (1)＝1－3＋1－m >0， ∴m <－1. 12．③
解析 画图得到F (x )的图象：
射线AC 、抛物线AB 及射线BD 三段，
联立方程组⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝2x ＋3，
y ＝x 2
－2x ， 得x A ＝2－7，
代入得F (x )的最大值为7－27， 由图可得F (x )无最小值． 13.
解 (1)当a ＝1时，f (x )＝x 2
－|x |＋1
＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2＋x ＋1， x <0x 2－x ＋1， x ≥0. 作图(如右所示)
(2)当x ∈[1,2]时，f (x )＝ax 2－x ＋2a －1.
若a ＝0，则f (x )＝－x －1在区间[1,2]上是减函数， g (a )＝f (2)＝－3.
若a >0，则f (x )＝a (x －12a )2＋2a －1
4a
－1，
f (x )图象的对称轴是直线x ＝1
2a
.
当0<12a <1，即a >1
2时，f (x )在区间[1,2]上是增函数，
g (a )＝f (1)＝3a －2.
当1≤12a ≤2，即14≤a ≤1
2时，
g (a )＝f (12a )＝2a －1
4a －1，
当12a >2，即0<a <1
4时，f (x )在区间[1,2]上是减函数， g (a )＝f (2)＝6a －3.
综上可得g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧
6a －3， 0≤a <
1
4
2a －1
4a －1， 14≤a ≤1
2
3a －2， a >12。