矢量分析

本章内容1.1 矢量代数1.2 三种常用的正交曲线坐标系1.3标量场的梯度1.4矢量场的通量与散度1.5矢量场的环流与旋度1.6无旋场与无散场1.7拉普拉斯运算与格林定理1.8亥姆霍兹定理AA r =矢量的单位矢量：标量：一个只用大小描述的物理量。

A Ae A r r =矢量的代数表示：A e A e A A A r r r r ==1.1 矢量代数矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字母或带箭头的字母表示。

矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示注意：单位矢量不一定是常矢量。

Av 矢量的几何表示常矢量：大小和方向均不变的矢量。

rrrr++=A A A A A A x y z ===co s co s co s αβγ)cos cos cos (γβαz y x e e e A A rr r r ++=矢量用坐标分量表示γβαcos cos cos z y x A e e e e rr r r ++=zA x r AA yA zxyαβγOr r r r r 两矢量的加减在几何上是以这两矢量为邻边的平行四边形的对角线,如图所示。

矢量的加减符合交换律和结合律2. 矢量的代数运算矢量的加法BA r r +Ar Br 矢量的减法BA r r −Ar B r Br −在直角坐标系中两矢量的加法和减法：结合律()()A B C A B C++=++r rr r r r A B B A+=+r rr r 交换律rrrr++=zz y y x x B A B A B A AB B A ++==⋅θcos rr r r r rA B B A ⋅=⋅——矢量的标积符合交换律1=⋅=⋅=⋅z z y y x x e e e e e e r r r r r r 0=⋅=⋅=⋅x z z y y x e e e e e e r r r r r r Ar B rθ矢量与的夹角A rB r r rA B⊥r r A B ⋅=0B A r r //r r A B AB ⋅=rrr=×)()()(x y y x z z x x z y y z z y x B A B A e B A B A e B A B A e B A −+−+−=×rr r r r zyx z yx z yx B B B A A A e e e B A s r r rr =×AB B A r r r r ×−=×θsin AB θBA r r ×Br A r 矢量与的叉积A rB r用坐标分量表示为写成行列式形式为B A rr ⊥ABB A =×r r 若，则B A r r //0=×B A r r 若，则rr r r rrr ⋅+⋅=⋅+)(CB C A C B A r r r r r r r ×+×=×+)()()()(B A C A C B C B A r r r rr r r r r ×⋅=×⋅=×⋅C B A B C A C B A r r r r r r r r r )()()(⋅−⋅=××——分配律——分配律——标量三重积——矢量三重积r r r r ++=位置矢量面元矢量线元矢量ze y e x e l z y x d d d d rr r r ++=zy e l l e S x z y x x d d d d d rr r ==yx e l l e S z y x z z d d d d d rr r ==体积元zy x V d d d d =zx e l l e S y z x y y d d d d d rr r ==坐标变量zy x ,,坐标单位矢量zy x e e e rr r ,,点P (x 0,y 0,z 0)0y y =（平面）oxyz0x x =（平面）0z z =（平面）P直角坐标系xe r ze r ye r xyz直角坐标系的长度元、面积元、体积元o d zd y d xzy e S x x d d d rr =yx e S z z d d d rr =zx e S y y d d d rr =rrr======z ,,φρ坐标变量ze e e rr r ,,φρ坐标单位矢量ze e r z r r r +=ρρ位置矢量ze e e l z d d d d r r r r ++=φρρφρ线元矢量zV d d d d φρρ=体积元面元矢量圆柱坐标系中的线元、面元和体积元圆柱坐标系0φφ=（半平面）ρρ=（圆柱面）0z z =（平面）),,(000z P φρrrr ==φθφθθd d sin d d d r r e l l e S z r rr r ==θφθφφd d d d d r r e l l e S r rr r ==3. 球坐标系φθ,,r 坐标变量φθe e e r rr r ,,坐标单位矢量r e r r r r =位置矢量φθθφθd sin d d d r e r e r e l r rr r r ++=线元矢量φθθd d d sin d 2r r V =体积元面元矢量球坐标系中的线元、面元和体积元球坐标系0φφ=（半平面）0θθ=（圆锥面）r r =（球面）),,(000φθr Px e r ye r z e r ρe r φe r ze r φcos φsin 0φcos φsin −001直角坐标与圆柱坐标系ρe r φe r z e r re r θe r φe r θsin 0θcos θsin −θcos 001圆柱坐标与球坐标系直角坐标与球坐标系ze r re r θe r φe r φθcos sin θcos θsin −φθsin cos −0xe r ye r φθsin sin φθsin cos φcos φsin −oφxy单位圆直角坐标系与柱坐标系之间坐标单位矢量的关系φxe r ye r ρe r φe r oθρz单位圆柱坐标系与求坐标系之间坐标单位矢量的关系θθze r ρe r re r θe rr确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区域上定义了一个场。

从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：标量场和矢量场、),,(z y x u ),,(z y x F r静态标量场和矢量场可分别表示为：z y x u =),,(等值面方程：•常数C 取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；•标量场的等值面充满场所在的整个空间；•标量场的等值面互不相交。

等值面的特点：等值面族u=c 2 u=c 3u=c 1 意义:形象直观地描述了物理量在空间的分布状态。

标量场的等值线(面)00cos cos cos |lim M l u u u u ul l x y zαβγΔ→∂Δ∂∂∂==++∂Δ∂∂∂概念：l r 0u l∂>∂•——u (M )沿方向增加；l r 0ul∂<∂•——u (M )沿方向减小；l r 0ul ∂=∂•——u (M )沿方向无变化。

M 0lr MΔl方向导数的概念lr 特点：方向导数既与点M 0有关，也与方向有关。

问题：在什么方向上变化率最大、其最大的变化率为多少？——的方向余弦。

l rΔ式中：γβαcos cos cos 、、zue u e u e u z∂∂+∂∂+∂∂=∇r r r φρρφρ1圆柱坐标系φθθφθ∂∂+∂∂+∂∂=∇u r e u r e r u e u r sin 11rr r 球坐标系z u e yu e x u e u zy x ∂∂+∂∂+∂∂=∇r r r 直角坐标系3. 标量场的梯度（或）grad u u ∇意义：描述标量场在某点的最大变化率及其变化最大的方向概念：，其中取得最大值的方向max|l uu e l ∂∇=∂r lue l∂∂r梯度的性质：梯度运算的基本公式：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∇′=∇∇+∇=∇∇±∇=±∇∇=∇=∇uu f u f u v v u uv v u v u u C Cu C )()()()()(0•标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面）Pz y x Pz y x z e y e x e )])([(22−+∂∂+∂∂+∂∂=∇r r r ϕzy x z y x e e e e y e x e r r r r r r −+=−+=22)22()1,1,1(例1.2.1设一标量函数ϕ( x, y, z ) = x 2＋y 2－z 描述了空间标量场。

试求：(1) 该函数ϕ在点P (1,1,1) 处的梯度，以及表示该梯度方向的单位矢量。

(2) 求该函数ϕ沿单位矢量方向的方向导数，并以点P (1,1,1) 处的方向导数值与该点的梯度值作以比较，得出相应结论。

oo o 60cos 45cos 60cos z y x l e e e e r r r r ++=222(1,1,1)22221333(2)(2)(1)x y z lx y zPPe x e y e e e e e x y ϕϕ∇∇+−===+−++−r r r r r r r (2) 由方向导数与梯度之间的关系式可知，沿e l 方向的方向导数为对于给定的P 点，上述方向导数在该点取值为(1,1,1)1221222Px y lϕ∂+=+−=∂)212221()22(z y x z y x l e e e e y e x e e l r r r r r r r ++⋅−+=⋅∇=∂∂ϕϕ212−+=y x222(1,1,1)(2)(2)(1)3P x y ϕ∇=++−=显然，梯度描述了P 点处标量函数ϕ的最大变化率，即最大的方向导数，故恒成立。

P ϕ∇P Pl ϕϕ∂<∇∂),,(d ),,(d ),,(d z y x F zz y x F y z y x F x z y x ==矢量线方程：概念：矢量线是这样的曲线，其上每一点的切线方向代表了该点矢量场的方向。

矢量线OMFr d r r+r r r r d r rF S F e Sψψ==⋅=⋅∫∫∫r r r r通量的概念n d d S e S =r r其中：——面积元矢量；n e r——面积元的法向单位矢量；d S rn d d F e S ψ=⋅r r ——穿过面积元的通量。

如果曲面S 是闭合的，则规定曲面的法向矢量由闭合曲面内指向外，矢量场对闭合曲面的通量是),,(z y x F rSr d ne r 面积元矢量∫∫⋅=⋅=SSSe F S F d d n rr r r ψ>ψ通过闭合曲面有净的矢量线穿出<ψ有净的矢量线进入=ψ进入与穿出闭合曲面的矢量线相等矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系。