第二章 质点运动学
大学物理第一章-质点运动学和第二章-质点动力学基础
i
k
j
这样：A B ( Ax i Ay j Az k ) ( Bx i B y j Bz k )
矢量的数积（数乘）： mA mAx i mAy j mAz k
z
Δr r ( A)
o
A
B
r ( B) y
x rA x Ai y A j rB xB i yB j 位移 r rB rA ( x x )i ( y y ) j B A B A 三维空间
r ( xB x A )i ( yB y A ) j ( zB z A )k 2 2 2 r x y z 位移的大小为
瞬时加速度 与瞬时速度的定义相类似，瞬时加速速度是一个 极限值 2 v
a lim
t 0
d r d v dt dt2 t
瞬时加速度简称加速度，它是矢量，在直角坐 标系中用分量表示:
2 d vx d x ax 2 dt dt d vy d2 y ay dt dt2 d vz d 2 z az dt dt2
§1-1
参考系与坐标系
时间
要定量描述物体的位臵与运动情况，就要运用 数学手段，采用固定在参考系上的坐标系。
常用的坐标系有直角坐标系 (x,y,z) ，极坐标系 (,)，球坐标系(R,, )，柱坐标系(R, ,z )。 z z
z y x o x
o
R y R
参考方向
2. 空间和时间
切向单位矢量
法向单位矢量 n
et
显然，轨迹上各点处，自然坐标轴的方位不断变化。
第二章 质点运动学总结
下页 返回 结束 Δr
t 0
dr ds
r2
· B
y
元位移的大小
元路程
上页
第二章 质点运动学
§2.2
速度与加速度
§2.2.1 平均速度与瞬时速度 §2.2.2 平均加速度与瞬时加速度
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结束
第二章 质点运动学
§2.2.1 平均速度与瞬时速度
1.平均速度 r (t t ) r (t ) r 定义 v t t __ r 相 同 v 是矢量 , 方向与 __ r 大小为 v t 平均速率 P Q r r ( t t )
地面系
o
日心系
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Y
结束
X
下页
地心系
返回
第二章 质点运动学
选取不同的参考系，描写物 体运动的规律是不同的。
选择合适的参考系， 建立恰当的坐标系，
月亮 地球 以地球为参照系
以太阳为参考系
以方便确定物体的运动性质； 以定量描述物体的运动；
提出准确的物理模型， 以突出问题中最基本的运动规律。 讨论：刻舟求剑的启示？
x a( sin ) a(t sint ) y a(1 cos ) a(1 cost )
思考：圆内的一点和圆外的一点？
x a b sin y a b cos
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结束
第二章 质点运动学
§2.1.2 位移
1. 位移——位置矢量的增量 位移——是由初位置引向末位置的矢量，
r (t )
O
s v 0 s为路程 t
v 不能反映位移变化相对 于时间的不均匀性 .
第二章质点运动学
例1、自由落体运动的运动方程为 、
1 y = gt 2
2
例2、平抛运动的运动方程 、
x = v0t 1 y = 2 gt
2
g 2 y= 2 x 2v 0
为轨迹方程
v •定义 定义 ∆r v r1 把由始点到终点的有向线段定义为质点 P2 v 的位移矢量，简称位移。 的位移矢量，简称位移。它是描述质点 r2 位置变化的物理量。 位置变化的物理量 v v v O y •计算 计算 r1 + ∆r = r2 v v v ∆r = r2 − r1 v v v x ∆r = r2 − r1 v v v v v v = ( x 2 i ＋y 2 j + z 2 k ) − ( x1 i ＋y1 j + z1 k ) v v v 说明 = ( x 2 − x1 )i + ( y2 − y1 ) j + ( z 2 − z1 )k •说明 •位移是矢量； 位移是矢量； 位移是矢量 • 具有瞬时性； 具有瞬时性； •位移与路程的区别 位移与路程的区别 • 具有相对性； 具有相对性； 位移是矢量： 位移是矢量：是指位置矢量的变化 • 单位： 单位：米（m） ） 路程是标量： 路程是标量：是指运动轨迹的长度
二、位置矢量、运动方程、位移 位置矢量、运动方程、
1、位置矢量 、
基本概念 从原点O到质点所在的位 从原点 到质点所在的位 置P点的有向线段，叫做 点的有向线段， 点的有向线段 位置矢量或位矢。 位置矢量或位矢。
z v
k
γ α
v r
β
P(x,y,z)
v v v v r ＝xi ＋yj + zk
大学物理电子教案之第2章质点运动学
第2章 质点运动学本章要点：本章要点：1．质点运动状态的描述，掌握基本概念如质点、位置矢量、速度、加速度； 2．质点运动的矢量性与瞬时性、相对性； 3．三种常用坐标下各运动学量的表达式； 4．解决运动学基本问题的方法； 5．相对运动及伽利略变换。
．相对运动及伽利略变换。
物理学是研究物质最普遍、最基本的运动形式的基本规律的一门学科物理学是研究物质最普遍、最基本的运动形式的基本规律的一门学科,,这些运动形式包括机械运动、分子热运动、电磁运动、原子和原子核运动以及其它微观粒子运动等。
机械运动是这些运动中最简单、最常见的运动形式动是这些运动中最简单、最常见的运动形式 , , ,其基本形式有平动和转动。
在平动过程中其基本形式有平动和转动。
在平动过程中其基本形式有平动和转动。
在平动过程中,,若物体内各点的位置没有相对变化物体内各点的位置没有相对变化,,那么各点所移动的路径完全相同那么各点所移动的路径完全相同,,可用物体上任一点的运动来代表整个物体的运动动来代表整个物体的运动,,从而可研究物体的位置随时间而改变的情况。
在力学中在力学中,,这部分内容称为质点运动学。
容称为质点运动学。
2.1 质点运动的描述 2.1.1 参考系 质点1．参考系．参考系在自然界中所有的物体都在不停地运动在自然界中所有的物体都在不停地运动,,绝对静止不动的物体是没有的。
在观察一个物体的位置及位置的变化时的位置及位置的变化时,,总要选取其他物体作为标准总要选取其他物体作为标准,,选取的标准物不同选取的标准物不同,,对物体运动情况的描述也就不同，这就是运动描述的相对性。
描述也就不同，这就是运动描述的相对性。
为描述物体的运动而选的标准物叫做参考系。
不同的参考系对同一物体运动情况的描述是不同的。
因此因此,,在讲述物体的运动情况时在讲述物体的运动情况时,,必须指明是对什么参考系而言的。
参考系的选择是任意的。
在讨论地面上物体的运动时是任意的。
在讨论地面上物体的运动时,,通常选地球作为参考系通常选地球作为参考系 。
第二章 质点运动学
第二章 质点运动学运动学的任务是描述随时间的推移物体位置变化(运动)的规律,不涉及物体间相互作用与运动的关系。
§2.1 质点的运动学方程一、质点的位置矢量和运动学方程 要描述某质点在空间的位置，可以在参考系上先建立一个空间直角坐标系xyz o -，从坐标原点向该质点引一条有向线段，用r表示。
1、 位置矢量定义：自参考点（原点o ）引向质点P 所在位置的矢量。
质点位矢在直角坐标系中的表示：k z j y i x r++=ˆˆk j i,ˆ,ˆ分别为沿x 轴，y 轴，z 轴正方向的单位矢量，z y x ,,称为质点的位置坐标，质点的一组位置坐标就对应于一个位置矢量，也就对应质点一空间位置。
位矢的大小： 222z y x r r ++==位矢的方向（用方向余弦表示）：rzr y r x ===γβαcos ,cos ,cos 1cos cos cos 222=++γβα γβα,,分别为位矢与x 轴，y 轴，z 轴正方向的夹角。
2、质点的运动学方程由于质点的运动的不同时刻，位矢不同，则有：)(t r r= 即为质点的运动学方程，它给出了任意时刻质点的位置。
方程在直角坐标系中的正交分解式：k t z j t y i t x t r)()()()(++=质点运动学方程的标量形式为： )(),(),(t z z t y y t x x === 3、质点的运动轨迹质点运动时位矢端点描出的曲线，称质点运动轨迹。
由运动学方程消去t 得： 0),,(=z y x f[例] 一质点的运动学方程为：j t r i t R rsin cos +=，求其轨迹。
解：由已知，tR y t R x sin cos == ，则轨迹方程：222R y x =+，圆心在原点。
二、质点的位移和路程1、位移：描述质点在一定时间间隔内位置变动的物理量，用r∆表示。
)()(t r t t r r-∆+=∆位移在直角坐标中的正交分解式： k t z j t y i t x t r t t r r)()()()()(∆+∆+∆=-∆+=∆注意：质点的位移是矢量，其大小 12r r r r -=∆≠∆2、路程：描述质点在一定时间间隔内在其轨迹上经过路径的长度，用l ∆表示。
第二章质点运动学(2)
F
F
t1
t2 t
例 质量M=3t的重锤，从高度h=1.5m处自由落 到受锻压的工件上，工件发生形变。如果作用 的时间 (1) =0.1s， (2) =0.01s 。试求锤对工件 的平均冲力。 解法一利用动量定理，取竖 直向上为正。
( N Mg ) Mv Mv0
初状态动量为 M 2 gh ， 末状态动量为 0。
第二章 质点动力学
（2） 动量守恒定律 火箭运动 质心运动定律
2-3 冲量‧动量定理
1、冲量
dp 把牛顿第二定律的微分形式 F dt 改写为 F d t d p
考虑一过程，力对质点的作用时间从t1 — t2， t2 p2 两端积分 Fdt dp p 2 p1 mv2 mv1
mi ri
d vi mi d vc dt ac dt mi
由牛顿第二定律得
mi ai
m
i
m1a1 m2 a2 mn an
d v1 m1 F1 f12 f13 f1n dt d v2 m2 F2 f 21 f 23 f 2 n dt d vn mn Fn f n 2 f n 3 f n ( n 1) dt
x g v x g 2 gx 3x g 所以桌面受的压力 N N 3x g
2
例 2 一柔软链条长为 l ，单位长度的质量为。 链条放在桌上，桌上有一小孔，链条一端由小孔稍 伸下，其余部分堆在小孔周围。由于某种扰动，链 条因自身重量开始落下。求链条下落速度与落下距 离之间的关系。设链与各处的摩擦均略去不计，且 认为链条软得可以自由伸开。 解 以竖直悬挂的链条 m2 和桌面上的链条为一系统, O 建立如图坐标。 则 F m1 g yg 动量定理 m1
第二章 质点运动学
五. 直线运动 1.直线运动的描述 直线运动：质点运动轨迹为一直线； 位矢： r xi 直线运动中，用坐标x(代数量)可表 示质点的位置； 运动方程：x x(t )
P2
x2
P1
0
x1
x
§ 1-2圆周运动
本节先讨论圆周运动，之后再推广 到一般曲线运动。 一、自然坐标系 图1-6中，BAC为质点轨迹，t时刻 质点P位于A 点，et、en分别为A点切向及法向 的单位矢量，以A为原点， et切向 和en法向为坐标轴，由此构成的 参照系为自然坐标系（可推广到 三维）
xi yj zk
讨论： a. 路程：质点沿轨迹运动所经历的路径长 度； b. 路程是标量，大小与位移的大小一般不 r s 相等，即； dr ds c. 在极限情况下 ； d. 单方向直线运动时； r s
三. 速度 描述质点运动快慢和运动方向的物量； 1.平均速度
det d v ds v 2 式（2-2）中第二项为： v v en en en dt dt r dt r
该项为矢量，其方向沿半径指向圆心。 称此项为法向加速度，记为
v a n en （2-5） r
2
det
et
et d
大小为 （2-6） 是加速度的法向分量。 结论：法向加速度分量等于速率平方除 以曲率半径 。
⑷
三、圆周运动的角量描述 1、角坐标 如图1-11，t时刻质点在A处，t+Δt时刻质点在 B处，θ是OA与x轴正向夹角， θ+ Δ θ是OB与 x轴正向夹角，称θ为t时刻质点角坐标， Δ θ 为Δt时间间隔内角坐标增量，称为在时间间 隔内的角位移。
质点运动学
质点运动学简介质点运动学是研究物体运动的一门学科，它研究的对象是不考虑物体内部结构和力的作用下，描述物体运动状态的一系列物理量。
质点运动学主要研究质点的位置、速度和加速度等与运动有关的基本概念和关系，为进一步研究物体的力学性质和运动规律提供了基础。
质点质点是运动学中研究的基本对象之一。
它是一个理想化的模型，将物体的体积和形状等因素抽象化，仅考虑物体的质量和位置。
质点可以被描述为一个在空间中具有一定质量的点，在研究物体的运动时，可以用质点来近似地代替物体。
质点的位置通常用坐标来表示，如在二维空间中，可以用水平方向的x坐标和竖直方向的y坐标来描述质点的位置。
在三维空间中，需要使用x、y和z三个坐标来表示质点的位置。
位置、速度和加速度质点运动学关注物体的位置、速度和加速度等运动状态。
下面分别介绍这些概念：位置位置是物体在空间中相对于参考点的位置。
我们通常使用坐标系来描述质点的位置，如直角坐标系、极坐标系等。
在直角坐标系中，质点的位置可以用一组坐标来表示。
例如，一个位于原点的质点，其位置可以表示为(0, 0)。
速度速度是物体在单位时间内位移的大小与方向的矢量量。
它描述了质点在单位时间内改变位置的快慢和方向。
速度可以分为瞬时速度和平均速度。
瞬时速度是在某一时刻的瞬时位置与前一时刻的瞬时位置之间的位移与时间间隔的比值。
平均速度是在一段时间内的位移与时间间隔的比值。
加速度加速度是物体在单位时间内速度变化的大小与方向的矢量量。
它描述了质点在单位时间内改变速度的快慢和方向。
加速度可以分为瞬时加速度和平均加速度。
瞬时加速度是在某一时刻的瞬时速度与前一时刻的瞬时速度之间的速度变化与时间间隔的比值。
平均加速度是在一段时间内的速度变化与时间间隔的比值。
运动方程运动方程是质点运动学中描述质点运动规律的方程。
在一维运动中，质点只在一个方向上运动，可以用以下方程描述：•位移公式：s = vt•速度公式：v = v0 + at•加速度公式：a = (v - v0) / t在二维运动中，质点在平面上运动，可以用两个方向的运动方程来描述。
漆安慎_杜禅英_力学习题及答案02章
第二章 质点运动学一、基本知识小结⒈基本概念 22)(dt r d dt v d a dt rd v t r r====)()()(t a t v t r⇔⇔（向右箭头表示求导运算，向左箭头表示积分运算，积分运算需初始条件：000,,v v r r t t===）⒉直角坐标系 ,,ˆˆˆ222z y x r kz j y i x r ++=++= r 与x,y,z 轴夹角的余弦分别为 r z r y r x /,/,/.v v v v v k v j v i v v zy x z y x ,,ˆˆˆ222++=++=与x,y,z 轴夹角的余弦分别为 v v v v v v z y x /,/,/.a a a a a k a j a i a a zy x z y x ,,ˆˆˆ222++=++=与x,y,z 轴夹角的余弦分别为 ./,/,/a a a a a a z y x222222,,,,dtz d dt dv a dt y d dt dv a dt x d dt dv a dtdzv dt dy v dt dx v z z yy x x z y x =========),,(),,(),,(z y x z y x a a a v v v z y x ⇔⇔⒊自然坐标系 ||,,ˆ);(ττττv v dtdsv v v s r r ====ρτττττ22222,,,ˆˆv a dts d dt dv a a a a n a a a n n n ===+=+= )()()(t a t v t s ττ⇔⇔⒋极坐标系 22,ˆˆ,ˆθθθv v v v r v v rr r r r +=+==dtd rv dt dr v r θθ==, ⒌相对运动 对于两个相对平动的参考系',0't t r r r =+=（时空变换）0'v v v+= （速度变换） 0'a a a+= （加速度变换）若两个参考系相对做匀速直线运动，则为伽利略变换，在图示情况下，则有：zz y y x x z z y y x x a a a a a a v v v v V v v tt z z y y Vt x x =====-====-=',','',','',',','y y'Vo x o' x' z z'二、思考题解答2.1质点位置矢量方向不变，质点是否作直线运动？质点沿直线运动，其位置矢量是否一定方向不变？解答：质点位置矢量方向不变，质点沿直线运动。
质点运动学
质点运动学1.描述质点的运动的物理量：位矢、位移、速度和加速度。
（1）位矢：从坐标原点引向质点所在位置的有向线段，记为r。
在直角坐标系中r=x i+y j+z k。
（2）运动方程：质点的位置随时间变化的关系：r=r(t)称为运动方程。
在直角坐标系中的矢量表示式：r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k。
在自然坐标中：s=s(t)（3）位移：由质点初始位置指向末位置的矢量，△r=r(t+△t)-r(t).在直角坐标系中：△r=△x i+△y j+△z k。
（4）路程：物体运动时沿轨迹实际通过的路径长度称为路程，用s 表示。
一般情况下，|△r|≠△s。
（5）速度：质点位置对时间的一阶倒数称为速度v=d r/d t.在直角坐标系中：v=v x i+v y j+v z k=(dx/dt)i+(dy/dt)j+(dz/dt)k在自然坐标系中：v=(ds/dt)e t速度大小称为速率，速率是标量。
v=|v|=|d r/dt|=ds/dt（6）加速度：质点速度对时间的一阶求导a=d v/dt=d2r/dt2 在直角坐标系中：a=a x i+a y j+a z k=(dv x/dt)i+(dv y/dt)j+(dv z/dt)k=(d2x/dt2)i+(d2y/dt2)j+(d2z/dt2)k 在自然坐标系中：a=a t e t+a n e n=(dv/dt)e t+(v2/ρ)e n2.常见的几种运动形式（1）匀速直线运动：v=v0+atx=x0v0t+1/2*at2v2-v20=2a(x-x0)（2）抛体运动：a x=0,a y=-gv x=v0cosθ,v0=v0sinθ-1/2*gt2x=(v0cosθ)t,y=(v0sinθ)t-1/2*gt2 （3）圆周运动：角位置：θ=θ(t)角位移：△θ=θ(t+△t)-θ(t)角速度：ω=dθ/dt=v/R角加速度：β=dω/dt=d2θ/dt2法向加速度：a n=v2/R=Rω2切向加速度：aτ=dv/dt=Rβ3.伽利略变换伽利略速度变换式：v=v0+u。
第2讲 质点运动学之质点运动描述
x x( t ) y y( t ) z z(t )
z
轨道方程：运动方程中 的时间去除后得到质点 运动的轨迹
r
o x y
F ( x, y, z) 0
位移与路程
设质点作曲线运动 t 时刻位于P1点， 位矢
z P 1
r (t )
r(t) x
0
Δr
P 2
r(t+Δt )
轨迹
z
o
r
P(x,y,z) y
r xi yj zk
r
2
x
位矢的大小为： 位矢的方向：
x y z
2
2
x cos r
y cos r
z cos r
运动方程：
矢量形式 参数形式
r r (t )
r x ( t )i y ( t ) j z ( t )k
dv dv dy dv a v dt dt dy dy
v
v0
vdv
y
y0
ky d y
v - v k( y y )
2 2 0 2 0 2
7. 某物体的运动规律为: dv / dt kv t 式中的k 为大于0的常数，当t =0时，初速度为v0，则速度v与 时间t的函数关系是：
y
t+t时刻位于P2点，
位矢 r ( t t )
r r ( t t ) r ( t )
大小： r P1 P2
位移矢量：在 位移矢量： t 时间内， 位矢的变化量（即P1到P2的 有向线段），简称位移。
方向： P1 P2
第二章质点运动学Kinematicsofaparticle
冲量－动量方法 静力学
2010年10月12日 8:00-9:50 第二章 质点运动学 2
第二章 质点运动学(Kinematics of a particle) 运动学(Kinematics): 定量地描述物体的运动而不涉及引起运动的原因
绝对运动 运动学
相对运动
•绝对运动(Absolute motion): 物体相对于固定参考系的运动 •相对运动(Relative motion): 物体相对于运动参考系的运动
x 2 y 2 R 2 z 0
第二章 质点运动学 18
x
2010年10月12日 8:00-9:50
力学(Mechanics) 第二章 质点运动学
Kinematics of a particle
2.1质点的运动学方程
Kinematic equation of a particle
2.1.1 位置矢量 2.1.2 运动学方程轨迹方程 2.1.3 位移矢量
2010年10月12日 8:00-9:50
第二章 质点运动学
12
2.1.3 运动学方程轨迹方程
1. 运动学方程(Kinematical equation of motion)
方向随时间变化
v 运动的质点的位置随时间变化，因而其位置矢量 r 的大小和 v是时间t 的矢量函数 r v v r r (t )
假定极限存在. 导数的符号表述：
f ( x)
2010年10月12日 8:00-9:50
dy df y dx dx
第二章 质点运动学
x
x+x
25
2.2.1 数学知识：矢量函数的导数 2. 二阶导数(Second Derivative):
力学 第二章 质点运动学
v
arccos vz 5618'
v
二、平均加速度与瞬时加速度
1、平均加速度：速度矢量对时间的平均变化率。
a v v(t t) v(t)
t
t
v(t )
v
速度矢端曲线
v( t t )
§2.3 质点的直线运动(x vx ax )
一、运动学方程
x xt
二、速度和加速度
1、速度（瞬时速度）
vx
dx dt
大小表示质点在t时刻运动的快慢；
正负分别对应于质点沿Ox正向和负向运动。
2、加速度
ax
dvx dt
d2x dt 2
ax与vx同号，则加速；ax与vx反号，则减速。
4、质点的运动学轨迹方程
质点运动时描出的轨迹称为质点的轨迹。 也就是位置矢量的矢端曲线。
质点在平面Oxy上运动，
轨迹方程： y y(x) 或者：f (x, y, z) 0
例题：r R cos tiˆ R sin tˆj, 求:轨迹方程。
y R
解： x2 y2 R2.
x
二、位移
v
v
v
4、注意：
（1）平均速度的大小不等于平均速率。 （2）瞬时速度的大小等于瞬时速率。 （3）即使位置矢量的大小不变，也可以有速度。
ΔS
r(t )
r
S
r(
t
t
)
o
dr / dt
r(t )
ΔS
S
r
r( t t )
力学第二章质点运动学思考题答案
第二章质点运动学思考题2.1质点位置矢量方向不变，质点是否作直线运动？质点沿直线运动，其位置矢量是否一定方向不变？答：质点位置矢量方向不变，质点沿直线运动。
质点沿直线运动，质点位置矢量方向不一定不变。
如图所示。
2.2若质点的速度矢量的方向不变仅大小改变，质点作何种运动？速度矢量的大小不变而方向改变作何种运动？答：质点的速度矢量的方向不变仅大小改变，质点作变速率直线运动；速度矢量的大小不变而方向改变作匀速率曲线运动。
2.3“瞬时速度就是很短时间内的平均速度”这一说法是否正确？如何正确表述瞬时速度的定义？我们是否能按照瞬时速度的定义通过实验测量瞬时速度？答：“瞬时速度就是很短时间内的平均速度”这一说法不正确。
因为瞬时速度与一定的时刻相对应。
瞬时速度的定义是质点在t时刻的瞬时速度等于t至t+△t时间内平均速度t/r∆∆，当△t→0时的极限，即dtr dtrlimvt=∆∆=→∆。
很难直接测量，在技术上常常用很短时间内的平均速度近似地表示瞬时速度，随着技术的进步，测量可以达到很高的精确度。
2.4试就质点直线运动论证：加速度与速度同号时，质点作加速运动；加速度与速度反号时，作减速运动。
是否可能存在这样的直线运动，质点速度逐渐增加但加速度却在减小？答：,dtdvtvlima xxtx=∆∆=→∆加速度与速度同号时，就是说,0a,0va,0vxxxx<<>>或以a,0vxx>>为例，速度为正表示速度的方向与x轴正向相同，加速度为正表示速度的增量为正，t t ∆+时刻的速度大于t 时刻的速度，质点作加速运动。
同理可说明,0a ,0v x x <<质点作加速运动。
质点在作直线运动中速度逐渐增加但加速度却在减小是可能存在的。
例如初速度为x 0v ，加速度为t 6a x -=，速度为20t0x 0x t21t 6v dt )t 6(v v -+=-+=⎰，,0v ,0a 6t x x >><时，速度逐渐增加。
质点运动学第二章
相对速度—物体相对运动参考系的运动速度 用 表示
牵连速度—运动参考系相对静止参考系的运动速度 用 表示
则 = +
3．绝对时空观 在伽利略变换下，时间的测量和空间的测量均与参考系的运动状态无关，时间和空间亦不相联系。即： ， ，
x
y
o
雨车
雨地
车地
6下雨时，若雨点相对地匀速直线下落，汽车在平直公路上匀速行驶，求坐在汽车中的人在下列两种情况下观察的雨点运动轨迹（1）汽车做匀速直线运动，（2）汽车做匀加速速直线运动
解：研究对象：雨点，视为质点。
基本参考系：地面；运动参考系：汽车；
则： 绝= 雨地， 相对= 雨车， 牵连= 车地
在ＯＡ上截取 ，则：
当 时， ， （等腰直角三角形的两个底角相等，各为 ），
所以， ，所求船的速率； ，收绳速率。
又因为，在 中， ，
所以船速
可见： ，且 ，所以不是常量。
第二种方法：由运动学方程求解，先求小船的运动学方程，在求小船的速度。
O
A
B
O‘
自然坐标系：s=s(t)
直线运动的运动学方程：x=x(t)
3．运动轨迹：质点运动时描出的轨迹，也即位置矢量的矢端画出的曲线（矢端曲线）
轨迹方程：如在O-xy平面上 y=y(x)
4．位移：位置矢量的增量，即自质点初位置引向末位置的矢量。
在直角坐标系：
（三）．速度和加速度
5．圆周运动 速度 角速度 角加速度
加速度
法向加速度 指向圆心； 切向加速度 沿切线方向
（四）．由加速度求速度和位移
1． 一般情况
2．匀加速运动： 常矢量
力学第二章质点运动学（ＰＤＦ）
2.1一、质点把所研究的物体视为无形状大小但有一定质量的点。
•能否看成质点依研究问题而定。
例：地球绕太阳公转:地球→质点地球半径＜＜日地距离6.4×103 km 1.5×108 km地球自转:地球≠质点•复杂物体可看成质点的组合。
二、位置矢量与运动方程1、位置矢量k z j y i x r v v v v ++=定义：从坐标原点O 指向质点位置P 的有向线段位置矢量的直角坐标分量：===++=r z r y r x z y x r γβαcos ,cos ,cos 222方向：大小：γβαP (x,y,z )r v z y xo2、运动方程k t z j t y i t x r vv v v )()()(++=矢量形式参数形式===)()()(t z z t y y t x x 3、轨道方程(轨迹)== → ===0),,(0),,()()()(z y x G z y x F t z z t y y t x x t 消去•要尽可能选择适当的参照物和坐标系，以使运动方程形式最简，从而减少计算量。
三、位移和路程O P P ’r ∆v )(t r v )(t t r ∆+v s ∆•••1、位移'()()r PP r t t r t ∆==+∆−v v v 2、路程'()()s PP s t t s t ∆==+∆−注意(1) 位移是矢量（有大小，有方向）位移不同于路程(2) 位移与参照系位置的变化无关r s ∆≠∆v 与Δr 的区别r v ∆分清O r v ∆r v∆O r∆••O PP ’r ∆v )(t r v )(t t r ∆+v s∆•••思考：什么情况下位移的大小等于路程？[例题]一质点在xOy平面内依照x= t 2 的规律沿曲线y = x3/ 320运动，求质点从第2 秒末到第4秒末的位移(式中t的单位为s；x，y的单位为cm)。
[解] ()()r r t t r t ∆=+∆−v v v 1212.6i j=+v v(cm)2121()()x x i y yj=−+−v v [()()][()()]x t t i y t t j x t i y t j =+∆++∆−+v v v v[()()][()()]x t t x t i y t t y t j=+∆−++∆−v v 66222121()()320320t t t t i j=−+−v v 662242(42)()320320i j =−+−vv 17.4 cm r ∆==v 与水平轴夹角Δarctan 46.4Δyx ϕ=o＝2.2一、速度O P P ’r∆v )(t r v )(t t r ∆+vs∆•••反映质点运动的快慢和方向的物理量1、速度的概念平均速度：平均速率:v v v v v r t r t t r t t==+−∆∆∆∆()()tt s t t s t s v ∆∆∆∆)()(−+==瞬时速度:瞬时速率:O P P ’r∆v)(t r v)(t t r ∆+vs∆•••vv v v =≠vv ,瞬时速度沿轨道切线方向2、速度的直角坐标分量()()()()::cos ,cos ,cos x y z y x z r r t x t i y t j z t kdr dx dy dz v i j k v i v j v k dt dt dt dt v v v v v v v αβγ==++==++=++ = ===v v v v vv v v v v v v v 大小方向101552r i tj t k=−++v v v v [例题]某质点的运动学方程为求：t = 0和1s 时质点的速度矢量。
大学物理 - 1-6章练习附答案
第一章 质点运动学1、已知一质点作直线运动，其加速度为 a ＝4+3t 2s m -⋅，开始运动时，x ＝5 m ，v =0，求该质点在t ＝10s 时的速度和位置。
解：∵ t tva 34d d +==分离变量，得 t t v d )34(d += 积分，得 12234c t t v ++= 由题知，0=t ,00=v ,∴01=c故 2234t t v += 又因为 2234d d t t t x v +==分离变量， t t t x d )234(d 2+=积分得 232212c t t x ++=由题知 0=t ,50=x ,∴52=c 故 521232++=t t x 所以s 10=t 时m70551021102s m 190102310432101210=+⨯+⨯=⋅=⨯+⨯=-x v2、质点沿x 轴运动，其加速度和位置的关系为 a ＝2+62x ，a 的单位为2s m -⋅，x 的单位为 m 。
质点在x ＝0处，速度为101s m -⋅,试求质点在任何坐标处的速度值。
解： ∵ xv v t x x v t v a d d d d d d d d ===分离变量： 2d (26)d v v adx x x ==+ 两边积分得c x x v ++=322221 由题知，0=x 时，100=v ,∴50=c∴ 13s m 252-⋅++=x x v第二章 质点动力学1、质量为M 的大木块具有半径为R 的四分之一弧形槽，如图所示。
质量为m 的小立方体从曲面的顶端滑下，大木块放在光滑水平面上，二者都作无摩擦的运动，而且都从静止开始，求小木块脱离大木块时的速度。
解: m 从M 上下滑的过程中，机械能守恒，以m ，M ，地球为系统，以最低点为重力势能零点，则有222121MV mv mgR +=又下滑过程，动量守恒，以m 、M 为系统，则在m 脱离M 瞬间，水平方向有0=-MV mv联立以上两式，得2MgR v m M =+2、 哈雷彗星绕太阳运动的轨道是一个椭圆。
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第二章质点运动学习题解答2.1.1质点的运动学方程为(1)；(2)求质点的运动轨迹并用图表示。
解:（1）则轨迹为 y =5 的直线（2）则轨迹为2.1.2质点运动学方程为(1).求质点轨迹。
（2）求自t= -1至t= 1质点的位移。
解：（1）z=2则xy=1 z=2即为轨迹 z=2 平面上的双曲线（2）t=-1时， z=2t=1时，，，则位移2.1.3质点的运动学方程为。
(1)求质点的轨迹。
（2）求自t=0至t=1质点的位移。
解：（1）轨迹为（2）时时则大小方向与x轴夹角为26o36′2.2.1雷达站于某瞬时测得飞机位置为，度。
0.75S 后测得,度,、均在铅直平面内。
求飞机瞬时速率的近似值和飞行方向(α角)。
解：瞬时速率飞行方向：由,2.2.2一小圆柱体沿岸抛物线轨道运动,抛物线轨道为(长度:mm)。
第一次观察到圆柱体在x=249米处,经过时间2ms后圆柱体移到x=234米处。
求圆柱体瞬时速度的近似值。
解：由轨迹方程，，,，瞬时速度的方向：2.2.3一人在北京音乐厅内听音乐,离演奏者17米，另一人在广州听同一演秦的转播,广州离北京2320km,收听者离收音机2米,问谁先听到声音?声速为340m/s。
电磁波的传播速率为30万km/s。
解：在广州的听众先听到。
2.2.5火车进入弯道时减速,最初列车向北以90km/h.速率行驶,3min后以70km/h速率向北偏西30度方向行驶.求列车的平均加求速度。
解：方向：（正南偏西）2.2.6 (1) ,R为正常数.求（1）t=0,π/2时的速度和加速度。
(2).求t=0,1时的速度和加速度.(写出正交分解式)。
解：由（1）t = 0时，t = 时，t = 0 时，t = 时，（2）t = 0 时，t = 1时，t = 0 时，t = 1 时，2.3.1图中a、b、c表示质点沿直线运动三种不同情况下的x—t图。
是说明三种运动的特点（即速度，计时起点时质点的位置坐标，位于坐标原点的时刻）。
解：a：运动方程，b：运动方程，c：运动方程，2.3.2质点直线运动的运动学方程为,a为正常数.求质点速度和加速度并讨论运动特点(有无周期性,运动范围,速度变化情况等)。
解：由，即运动学方程具有周期性，周期为2π，运动范围：速度变化情况：[-a,a]范围按正弦规律变化。
2.3.3跳伞运动员的速度为，v铅直向下,β、q为正常量,求其加速度,讨论当时间足够长时(即t→∞),速度和加速度的变化趋势。
解：2.3.4直线运动的高速列车在电子计算机控制下减速进站.列车原运动速率为 v0=180km/h ，其速率变化规律如图所示。
求列车行至x=1.5km 时加速度的大小。
解：由x = 1.5km 时，，则 ax = -0.747 m/s2。
2.3.5在水平桌面上放置的A,B 两物体,用一根不可伸长的绳索按图示的装置把它们联结起来.C 点与桌面固定.已知物体A 的加速度的求物体B 的加速度。
解：建坐标系o-x , A 、B 、C坐标分别为,,,滑轮半径为r ，绳长为L绳不伸长：∴2.3.6质点沿直线的运动学方程为x=10t+3t2.(1).坐标原点沿Ox 轴方向移动2米,运动学方程如何?初速度有无变化?(2).将计时起点前移1s，运动方程如何？初始坐标和初速度都发生什么样的变化？加速度变不变？解：（1）即，初速度无变化。
（2）即初始坐标：初速度：原来初始坐标：初速度：加速度：改变计时起点后：没有变。
2.4.1质点由坐标原点出发时开始计时,沿x轴运动,其加速度.在下列两种情况下质点的运动学方程,出发后6s时质点的位置,在此期间所走过的位移及路程;(1) 初速度;(2) 初速度的大小为9cm/s, 方向与加速度的方向相反.解：（1）则：（2）则：出发6s时的位置：位移：由路程：2.4.2质点直线运动瞬时速度的变化规律为。
求至时间内的位移。
解：由=3(0.28+0.99)=3.812.4.3质点作直线运动,其瞬时加速度的变化规律为在t=0时,x=A,其中A, ω均为正常数,求此质点的运动学方程。
解：由由初始条件，t=0,vx = 0 求得 C = 0则由初始条件，t=0,x = A 求得则x = Acosωt2.4.4飞机着陆时为尽快停止采用降落伞制动.刚着陆时,t=0时速度为且坐标为x=0.假设其加速度为，b=常量.求飞机速度和坐标随时间的变化。
解：t=0时2.4.5在195m长的坡道上,一人骑自行车以18km/h的速度和的加速度上坡,另一自行车同时以5.4 km/h的初速度和的加速度下坡。
问：（1）经过多长时间两人相遇；(2)两相相遇时,各走多少路程。
解：以斜面底端为坐标原点，沿斜面建o-x坐标系单位换算：18km/h=5m./s5.4km/s=1.5m/s上坡人：减速运动下坡人：加速运动此时二人还未相遇，而此后上坡人开始向反方向运动上坡人：下坡人：相遇时，可得：t=30s求路程：时上坡人停止此时路程为s1ˊ,停止后返回得路程为s1″则：2.4.6站台上送行的人,在火车开动时站台在第一节车厢的最前面,火车开动后经过Δt=24s,第一节车厢的末尾从此人的面前通过,问第七节车厢驶过他面前需要多长时间?火车作匀加速运动。
解：以人站的位置为原点，建立坐标o-x,t时刻第一节车厢前沿的运动方程：设车厢长，第一节通过时间第七节通过时间：2.4.7在同一铅直线上相隔h的两点以同样速率上抛二石子, 但在高处的石子早t0s被抛出.求二石子何时何处相遇.解：建坐标系：O-y以从高处抛出石子秒后开始计时，低处石子抛出点坐标：高处石子抛出点坐标：则：相遇时：可得：2.4.8电梯以1.0m/s的匀速率下降,小孩在电梯中跳离坡板0.50m高,问当小孩再次落到地板上时,电梯下降了多少距离?解：设小孩初始坐标为,电梯的速度为,小孩再次落到地板上时地板的坐标.解：（1）以电梯为参考系：落到地板上时： y = 0则：t= 0.64s(2)再以地面为参考，电梯下降：2.5.1质点在O-xy平面内运动,其加速度为,位置和速度的初始条件为t=0时. . 求质点的运动学方程并画出轨迹(本题用积分)解：由2.5.2在同一竖直面内的同一水平线上A,B两点分别以30度,60度为发射角同时抛出两小球,欲使两小球相遇时都在自己的轨道的最高点,求A,B两点间的距离,已知小球在A点的发射速率。
解：建坐标如图：A、B的运动学方程：A、B相遇时，所用时间相同。
A: 则B: 则相遇时：, 则, t = 0.5 s2.5.3迫击炮弹的发射角为60度,发射速率为150m/s,炮弹击中倾角30度的山坡上的目标,发射点正在山脚,求弹癯点到发射点的距离OA.解：建坐标系 o-xyA 点坐标（x,y）则则= 1297.5 m= 750 m OA = 1500 m2.5.4轰炸机沿与铅直方向成53度俯冲时,在763m的高度投放炸弹,炸弹在离开飞机5.0s 时击中目标,不计空气阻力.(1)轰炸机的速率是多少?(2)炸弹在飞行中经过的水平距离是多少?(3)炸弹击中目标前一瞬间的速度沿水平和铅直方向的分量是多少?解：t=5.0s,y=763m,则：1)2)3) ,2.5.5雷达观测员正在监视一越来越近的物体。
在某时刻，他得到这样的消息：（1）抛射休达到最大高度且正以速率v沿水平方向运动;(2)观察者到抛射体的直线距离为l;(3)观测员观察抛体的视线与水平方向成θ角.问:（1）抛射体命中点到观察者的距离D等于多少?(2)何种情况下抛体飞越观察员的头顶以后才击中目标?何种情况下抛体在未到达观测员以前就命中目标?设地球表面为平面且观测员位于抛体轨迹所在的竖起平面以内.解：建坐标o-xy(如图)抛体在顶点时t=0,抛体运动方程：（）AB 之间距离：D<0时，抛体过头顶命中目标；D>0时，抛体落点在观察者前方；2.6.1列车在圆弧形轨道上自东转向北行驶,在我们所讨论的时间范围内,其运动学方程为(长度:m,时间:s).t=0时,列车在图中O点.此圆弧形轨道的半径r=1500米,求列车驶过O点以后前进至1200米处的速率及加速度.解:建坐标系如图，自然坐标系。
由s=1200m时（略）40m/s则（a与v的夹角）2.6.2 火车以200km/h的速度驶入圆弧轨道，其半径300m，司机一进入圆弧轨道立即减速，减速度为2g，求火车在何处加速度最大？为多少？解：由火车在进入圆弧轨道时加速度最大，2.6.3斗车在位于铅直平面内上下起伏的轨道运动,当斗车到达图中所示位置时,轨道曲率半径为150米,斗车速率为50km/h,切向加速度,求斗车的加速度.解：方向：与切向夹角与水平夹角2.8.1飞机在某高度的水平面上飞行,机身的方向是自东北向西南,与正西夹15度的角,风以100km/h的速率自西南向东北方向吹来,与正南夹45度角,结果飞机向正西方向运动,求飞机相对于风的速度及相对于地面的速度.解：269.2km/h方向正南偏西750193.2km/h方向正西2.8.2飞机在静止空气中的飞行速率是235km/h它朝正北的方向飞行,使整个飞行时间内都保持一条南北向公路的上空.地面观察者利用通讯设备告诉驾驶员正在刮着速率等于70km/h的风,但飞机仍能以235km/h的速率沿公路方向飞行.(1).风的方向是怎样的?(2).飞机的头部指向哪个方向?也就是说,飞机的轴线和公路成怎样的角度?解：235km/h ，235km/h ，70km/h，风指向西北，北偏西81.4度，飞机的轴线和公路成17.2度角指向东北；如果风向东北,会是北偏东81.4度，飞机的轴线和公路成17.2度角指向西北。
2.8.3一辆卡车在平直路面上以恒速度30m/s行驶,在此车上射出一个抛体,要求在车前进60m时,抛体仍落回到车上原抛出点,问抛体射出时相对于卡车的初速度的大小和方向。
空气阻力不计.解：以地面为静系，卡车为动系，抛出体在t时间后仍能落到车上。
卡车对地运动：抛体对卡车为竖直上抛运动：则车前进60m的时间：t = 60/30 =2s经2s抛体落回车上原抛点，竖直向上。
2.8.4河的两岸互相平行,一船由A点朝与岸垂直的方向匀速驶去,经10min到达对岸C点,若船从A点出发仍按第一次渡河速率不变但垂直地到达彼岸的B点,需要12.5min,已知BC=120m,求：（1）河宽l； (2)第二次渡河时船的速度u；(3)水流的速度v。
解：选船为运动质点，地面为基本参考系，水为运动参考系由伽利略速度变换：两次渡河船的矢量关系如图1），2） 由1），则=120/600 m/s = 0.2 m/s由2）则 L = 200 m, || = 1/3 m/s.由2.8.5圆弧公路与沿半径方向的东西向公路相交如图.某瞬时汽车甲向东以20km/h 的速率行驶;汽车乙在θ=30度的位置向东北方向以速率20km/h 行驶．求此瞬时甲车相对乙车的速度．解：由 其矢量关系为下图，夹角：α=60o为等边三角形20km/h方向南偏东600。