数学：5.2圆的对称性(第2课时)讲学稿(苏科版九年级上)

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苏科9上教案 5.2圆的对称性(2)

5.2圆的对称性（2）--[ 教案]备课时间: 主备人:一、学习目标:1、经历探索圆的轴对称性及有关性质的过程2、掌握垂径定理3、会运用垂径定理解决有关问题重点：垂径定理及应用难点：垂径定理的应用二、知识准备：1、如果一个图形沿着一条直线折叠，直线的两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做__________________，这条直线叫做_______________。

2、圆是中心对称图形，_________是它的对称中心；圆具有_________性。

三、学习内容：提出问题：“圆”是不是轴对称图形？它的对称轴是什么？操作：①在圆形纸片上任画一条直径；②沿直径将圆形纸片折叠，你发现了什么？结论：圆是轴对称图形，经过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。

练习： 1、判断下列图形是否具有对称性？如果是中心对称图形，指出它的对称中心；如果是轴对称图形，指出它的对称轴。

2、将第二个图中的直径AB 改为怎样的一条弦，它将变成轴对称图形？探索活动：1、如图，CD 是⊙O 的弦，画直径AB ⊥CD ，垂足为P ，将圆形纸片沿AB 对折，你发现了什么？2、你能给出几何证明吗？（写出已知、求证并证明）3、得出垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

4、注意：①条件中的“弦”可以是直径；②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧。

5、给出几何语言例 1 如图，以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB相等吗？为什么？例 2如图，已知：在⊙O 中，弦AB 的长为8，圆心O 到AB B⑴求的半径； ⑵若点P 是AB 上的一动点，试求OP 的范围。

四、知识梳理：1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

2、垂径定理的推论，如：平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，且平分弦所对的弧等。

五、达标检测：1、如图，∠C=90°，⊙C 与AB 相交于点D ，AC=5，CB=12，则AD=_____2、已知，如图，⊙O 的直径AB 与弦CD 相交于点E,AE=1,BE=5, AEC =45°,求CD 的长。

5.2 圆的对称性第二课时课件(苏科版九年级上)

A
O
D B
E
C
练习2:在⊙O中，直径CE⊥AB于
D，OD=4 ㎝，弦AC= 求圆O的半径。
10 ㎝
，
O
D A B
C
小结：

1：圆是轴对称图形
2：垂径定理及其运用

1、如图，⊙O的直径是10，弦 AB的长为8，P是AB上的一个动点， ①则OP的求值范围是 3≤OP≤5 。 ②使线段OP的长度为整数值的P点
例2：如图，已知在圆O中，弦AB的长为8㎝，
圆心O到AB的距离为3 ㎝，求圆O的半径。
A
E
O
B
变式1:在半径为5 ㎝的圆O中，有长8 ㎝的弦AB，求点O与AB的距离。变式2：在半径为5 ㎝的圆O中，圆心O到弦AB的距离为3 ㎝，求AB的长。
E
练习1 ：如图，⊙O的弦AB＝8 ㎝， DC＝2㎝，直径CE⊥AB于D，求半径OC的长。
O
求证：PC＝PD， ∵∠ＢＯＣ＝∠ＢＯＤ， ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴∠ＡＯＣ＝∠ＡＯＤ． BC=BD ,AC=AD ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴ BC=BD ; AC=AD C
P B
D
总结归纳
定理垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
C
A
M└
●
如图∵ CD是直径, CD⊥AB, B
O
∴AM=BM,
位置有 5 个。
O
1 C p2 B A pP
注意圆的轴对称性
思考题:
2、如图，CD为圆O的直径，弦 AB交CD于E， ∠ CEB=30°， DE=9㎝，CE=3㎝，求弦AB的、某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道．如图所示，污水水面宽度为60cm，水面至管道顶部距离为10cm，问修理人员应准备半径多大的管道？

苏科版-数学-九年级上册-圆的对称性(2) 导学案

四、当堂检测：补充习题》第页的第题.
五、小结反思
1.收获
2.困惑
六作业
必做;课本第49页第5题，选做：;课本第49页第.。
反思：
1、亮点：
2、不足：
1、改进
你可以发现：___________________________。
2、你能给出几何证明吗？（写出已知、求证并证明）
三、拓展提升
例1、如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D，AC与BD相等吗？为什么？
例2、如图，已知：在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离为3。⑴求的半径；⑵若点P是AB上的一动点，试求OP的范围。
2、你能给出几何证明吗？（写出已知、求证并证明）
3、得出垂径定理:
____________________________________________________.
4、注意：①条件中的“弦”可以是直径；
②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧。
5、几何语言:
练习：
（1）判断下列图形是否具有对称性？如果是中心对称图形，指出它的对称中心，如果是轴对称图形，指出它的对称轴。
课题：
主备：
主核：
执教教师：
课型：新授课
使用日期：
学习
目标
1、使学生通过观察实验理解圆的轴对称性；
2、掌握垂径定理，理解垂径定理的推证过程；
3、能初步应用垂径定理进行计算和证明．
4、进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力．
重点难
点
重点
垂径定理及应用
难点
灵活运用垂径定理
学生活动过程
教师导学过程
一、自主学习
任务1：①在圆形纸片上任画一条直径；

苏科版2022年九年级数学上册《圆的对称性》教材预习辅导讲义(附解析)

2.2 圆的对称性圆的对称性圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴；圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心．【点拨】圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．弧、弦、圆心角的关系在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．【点拨】（1）一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；（2）注意关系中不能忽视“同圆或等圆”这一前提. （3）圆心角的度数与它所对的弧的度数相等. 垂径定理1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 【点拨】(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段. 垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.【例题1】已知：如图，⊙O 中弦AB CD ．求证：AD=BC ．看例题，涨知识教材知识总结【例题2】如图，在⊙O 中，弧AB ＝弧AC ，∠A ＝120°，求∠ABC 的度数．【例题3】如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，若BE ＝5，CD ＝6，求AE 的长．【例题4】如图，在O 中，AB 是直径，弦EF ∥AB ．(1)请仅用无刻度．．．．．的直尺画出劣弧EF 的中点P ；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接OP 交EF 于点Q ，10AB =，6EF =，求PQ 的长度．一、单选题1．下列说法正确的是（）①平分弧的直径垂直平分弧所对的弦②平分弦的直径平分弦所对的弧③垂直于弦的直线必过圆心④垂直于弦的直径平分弦所对的弧A．②③B．①③C．②④D．①④2．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，M是AB上任意一点，且OM的最小值为3，则⊙O的半径为（）A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm3．下列命题是真命题的是（）A．在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧也相等B．平分弦的直径垂直于弦C．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等4．如图，CD为⊙O的直径，弦AB CD⊥，垂足为E，1CE=，10AB=，则CD的长为（）A．20 B．24 C．25 D．265．如图，在O中，⊥OD AB于点D，AD的长为3cm，则弦AB的长为（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm课后习题巩固一下6．如图，AB是O的直径，弦CD AB⊥于点E，如果20CD=，那么线段OE的长为（）AB=，16A．4 B．6 C．8 D．97．如图，AB为圆O的一弦，且C点在AB上．若6BC=，AB的弦心距为3，则OC的长度为何？AC=，2（）A．3 B．4 C11D138．如图，AB是O的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO的延长线交O于点E．若42DE=，AC=4则BC的长是（）A．1 B2C．2 D．49．如图，⊙O在△ABC三边上截得的弦长相等，即DE＝FG=MN，∠A＝50°，则∠BOC＝（）A．100°B．110°C．115°D．120°10．如图，在半径为5的A 中，弦BC ，DE 所对的圆心角分别是BAC ∠，DAE ∠．若6DE =，180BAC DAE ∠+∠=︒，则弦BC 的弦心距为（）.A 41B 34C ．4D ．3二、填空题11．在⊙O 中，弦AB ＝16cm ，弦心距OC ＝6cm ，那么该圆的半径为__cm ．12．如图，AB 为⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于E ，AB ＝8，CE ＝2，则⊙O 的半径为_____．13．已知⊙O 的半径为6cm ，弦AB ＝6cm ，则弦AB 所对的圆心角是________度．14．如图，在O 中，AB BC CD ==，连接AC ，CD ，则AC __2CD （填“>”，“ <”或“=” )．15．如图，AB ，CD 是O 的直径，弦CE AB ，CE 所对的圆心角为40°，则AOC ∠的度数为______．16．如图，A 、B 、C 、D 为⊙O 上的点，且 AB BC CD ==．若∠COD =40°，则∠ADO =______度．三、解答题17．如图，O的弦AB、CD相交于点E，且AB CD=．求证：BE DE=．18．如图，在⊙O中，直径AB=10，弦AC=8，连接BC．(1)尺规作图：作半径OD交AC于E，使得点E为AC中点；(2)连接AD，求三角形OAD的面积．∠，求19．如图，已知AB是O的直径，P是AO上一点，点C、D在直径两侧的圆周上，若PB平分CPD 证：劣弧BC与劣弧BD相等．20．如图，已知弓形的弦长AB＝8，弓高CD＝2（CD⊥AB并经过圆心O）．求弓形所在⊙O的半径r的长．21．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ， AM DM =，求证：BM ＝CM ．22．如图，AB 为圆O 的直径，点C 在圆O 上．(1)尺规作图：在BC 上求作一点E ，使OE AC ∥（不写作法，只保留作图痕迹）； (2)探究OE 与AC 的数量关系．23．如图，在⊙O 中，AB 、AC 是互相垂直且相等的两条弦，OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ． (1)求证：四边形ADOE 是正方形； (2)若AC=2cm ，求⊙O 的半径．24．如图，在扇形AOB 中，90AOB ∠=︒，C 、D 是AB 上两点，过点D 作DE OC ∥交OB 于E 点，在OD 上取点F ，使OF DE =，连接CF 并延长交OB 于G 点． (1)求证：OCF DOE ≌△△； (2)若C 、D 是AB 的三等分点，23=OA ①求OGC ∠；②请比较GE 和BE 的大小．2.2 圆的对称性解析教材知识总结圆的对称性圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴；圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心．【点拨】圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．弧、弦、圆心角的关系在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．【点拨】（1）一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；（2）注意关系中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.（3）圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.垂径定理1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.【点拨】(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（4）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（5）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（6）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.【例题1】已知：如图，⊙O中弦AB CD=．求证：AD=BC．【答案】见解析【分析】先根据等弦所对的劣弧相等得到AB CD=，从而得到AD AB BD CD BD BC=-=-=，再由等弧所对的弦相等即可得到AD BC=．【解析】证明：∵AB=CD，∴AB CD=，∴AD AB BD CD BD BC=-=-=，∴AD BC=．【例题2】如图，在⊙O中，弧AB＝弧AC，∠A＝120°，求∠ABC的度数．【答案】30°【分析】根据同圆中，相等的弧所对的弦相等，再根据等腰三角形的性质即可求解．【解析】解：∵在⊙O中，弧AB＝弧AC，∴AB=AC，∵∠A＝120°，∴∠ABC=()1801203012⨯︒-︒=︒．【例题3】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若BE＝5，CD＝6，求AE的长．看例题，涨知识【答案】95【分析】如图，连接OC ，设OE x =，由垂径定理知132CE CD ==，5OC BE OE x =-=-，在Rt OCE 中，由勾股定理知222CE OC OE =-，解出x 的值，由2AE BE OE =-，计算求解即可．【解析】解：如图，连接OC ，设OE x =由垂径定理知132CE CD ==5OC BE OE x =-=-在Rt OCE 中，由勾股定理知222CE OC OE =- ∴()22235x x =-- 解得85x =92525AE BE OE x =-=-=∴AE 的长为95．【例题4】如图，在O 中，AB 是直径，弦EF ∥AB ．(1)请仅用无刻度．．．．．的直尺画出劣弧EF的中点P；（保留作图痕迹，不写作法）(2)在（1）的条件下，连接OP交EF于点Q，10AB=，6EF=，求PQ的长度．【答案】(1)见解析；(2)1【分析】（1）如图，连接BE，AF，BE交AF于C，作直线OC交EF于点P，点P即为所求．（2）利用垂径定理结合勾股定理求得OQ=4，进一步计算即可求解．【解析】(1)解：如图中，点P即为所求．(2)解：连接OF，由作图知OP⊥EF，EQ=QF=12EF=3，∵AB=10，∴OF=OP=12AB=5，∴OQ222254OF QF-=-，∴PQ= OP-OQ=1，∴PQ的长度为1．一、单选题1．下列说法正确的是（）①平分弧的直径垂直平分弧所对的弦课后习题巩固一下②平分弦的直径平分弦所对的弧③垂直于弦的直线必过圆心④垂直于弦的直径平分弦所对的弧A．②③B．①③C．②④D．①④【答案】D【分析】根据垂径定理及其推论进行判断．【解析】解：根据垂径定理，①正确；②错误．平分弦（不是直径）的直径平分弦所对的弧；③错误．垂直于弦且平分弦的直线必过圆心；④正确．故选：D．2．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，M是AB上任意一点，且OM的最小值为3，则⊙O的半径为（）A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm【答案】B【分析】根据垂线段最短知，当OM⊥AB时，OM有最小值．根据垂径定理和勾股定理求解．【解析】解：根据垂线段最短知，当OM⊥AB时，OM有最小值，此时，由垂径定理知，点M是AB的中点，AB＝4，连接OA，AM＝12由勾股定理知，OA2＝OM2+AM2．即OA2＝42+32，解得：OA＝5．所以⊙O的半径是5cm．故选：B．3．下列命题是真命题的是（）A．在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧也相等B．平分弦的直径垂直于弦C．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等【答案】C【分析】利用圆的有关性质、垂径定理、平行四边形的判定方法及平行线的性质分别判断后即可确定正确的选项．【解析】A 、在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧不一定相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；B 、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原命题错误，是假命题，不符合题意；C 、如图，四边形ABCD ，AB ∥CD ，∠A=∠C ，∵AB ∥CD ，∴∠A +∠D =180°，又∵∠A =∠C ，∴∠C +∠D =180°，∴AD ∥BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形，故一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，正确，是真命题，符合题意；D 、两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意．故选：C ．4．如图，CD 为⊙O 的直径，弦AB CD ⊥，垂足为E ，1CE =，10AB =，则CD 的长为（）A ．20B ．24C ．25D ．26【答案】D 【分析】连接OA ，设圆的半径为x ，则OE =x -1，由垂径定理可得AB ⊥CD ，AE =5，Rt △OAE 中由勾股定理建立方程求解即可；【解析】如图，连接OA ，设圆的半径为x ，则OE =x -1，由垂径定理可得AB ⊥CD ，AE =BE =12AB =5，Rt △OAE 中，OA 2=AE 2+OE 2，x 2=25+（x -1）2，解得：x =13，，∴CD =26，故选： D ．5．如图，在O 中，⊥OD AB 于点D ，AD 的长为3cm ，则弦AB 的长为（）A ．4cmB ．6cmC ．8cmD ．10cm【答案】B 【分析】根据垂径定理求出AD =BD =3cm 即可．【解析】解：∵AB 为非直径的弦，⊥OD AB ，∴AD =BD =3cm ，∴AB =AD +BD =6cm ．故选B ．6．如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，如果20AB =，16CD =，那么线段OE 的长为（）A ．4B ．6C ．8D ．9【答案】B 【分析】连接OD ，那么OD =OA =12AB ，根据垂径定理得出DE =12CD ，然后在Rt △ODE 中，根据勾股定理求出OE ．【解析】解：如图，∵弦CD ⊥AB ，垂足为E∴CE =DE =1116822CD =⨯=， ∵OA 是半径∴OA =11201022AB =⨯=，在Rt △ODE 中，OD =OA =10，DE =8，22221086OE OD DE =--=，故选：B ．7．如图，AB 为圆O 的一弦，且C 点在AB 上．若6AC =，2BC =，AB 的弦心距为3，则OC 的长度为何？（）A ．3B ．4C 11D 13【答案】D 【分析】作⊥OD AB 于点D ，由垂径定理得4AD BD ==，Rt OCD △中勾股定理即可求解．【解析】解：作⊥OD AB 于点D ，如图所示，由题意可知：6AC =，2BC =，3OD =， 8AB ∴=，4AD BD∴==，2CD∴=，在Rt OCD△中22223213OC OD CD∴+=+故选：D．8．如图，AB是O的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO的延长线交O于点E．若42AC=4DE=，则BC的长是（）A．1 B2C．2 D．4【答案】C【分析】根据垂径定理求出OD的长，再根据中位线求出BC=2OD即可．【解析】设OD=x，则OE=OA=DE-OD=4-x．∵AB是O的直径，OD垂直于弦AC于点，42AC=∴1222AD DC AC===∴OD是△ABC的中位线∴BC=2OD∵222OA OD AD=+∴222(4)(22)x x-=+，解得1x=∴BC=2OD=2x=2故选：C9．如图，⊙O在△ABC三边上截得的弦长相等，即DE＝FG=MN，∠A＝50°，则∠BOC＝（）A．100°B．110°C．115°D．120°【答案】C【分析】过点O 作OP ⊥AB 于点P ，OQ ⊥AC 于点Q ，OK ⊥BC 于点K ，由于DE ＝FG ＝MN ，所以弦的弦心距也相等，所以OB 、OC 是角平分线，根据∠A ＝50°，先求出180130ABC ACB A ∠+∠=︒-∠=︒，再求出，进而可求出∠BOC ．【解析】解：过点O 作OP ⊥AB 于点P ，OQ ⊥AC 于点Q ，OK ⊥BC 于点K ，∵DE ＝FG ＝MN ，∴OP ＝OK ＝OQ ，∴OB 、OC 平分∠ABC 和∠ACB ， 12OBC ABC ∴∠=∠，12OCB ACB ∠=∠， ∵∠A ＝50°，∴180130ABC ACB A ∠+∠=︒-∠=︒，∴1122OBC OCB ABC ACB ∠+∠=∠+∠ ()12ABC ACB =∠+∠ 65=︒，∴∠BOC ＝()180OBC OCB ︒-∠+∠18065=-︒115=︒故选：C ．10．如图，在半径为5的A 中，弦BC ，DE 所对的圆心角分别是BAC ∠，DAE ∠．若6DE =，180BAC DAE ∠+∠=︒，则弦BC 的弦心距为（）.A41B 34C．4 D．3【答案】D【分析】作AH⊥BC于H，作直径CF，连接BF，先利用等角的补角相等得到∠DAE=∠BAF，再利用圆心角、弧、弦的关系得到DE=BF=6，由AH⊥BC，根据垂径定理得CH=BH，则AH为△CBF的中位线，然后根据三角形中位线性质得到AH=12BF=3．【解析】作AH⊥BC于H，作直径CF，连接BF，如图，∵∠BAC+∠EAD=180°，而∠BAC+∠BAF=180°，∴∠DAE=∠BAF，∴DE BF=，∴DE=BF=6，∵AH⊥BC，∴CH=BH，而CA=AF，∴AH为△CBF的中位线，∴AH=12BF=3,故选：D.二、填空题11．在⊙O中，弦AB＝16cm，弦心距OC＝6cm，那么该圆的半径为__cm．【答案】10【分析】根据题意画出相应的图形，由OC垂直于AB，利用垂径定理得到C为AB别的中点，由AB的长求出BC的长，再由弦心距OC的长，利用勾股定理求出OB的长，即为圆的半径．【解析】解：如图所示：过点O作OC AB⊥于点C，∵AB＝16cm，OC⊥AB，∴BC＝AC12=AB＝8cm，6OC cm＝，在Rt△BOC中，2210.OB OC BC cm∴=+故答案为：10．12．如图，AB为⊙O的弦，半径OC⊥AB于E，AB＝8，CE＝2，则⊙O的半径为_____．【答案】5【分析】如图，连接OA，设OA＝r．在Rt△AOE中，根据OA2＝OE2+AE2，构建方程即可解决问题；【解析】解：如图，连接OA，设OA＝r．∵OC⊥AB，∴AE＝EB＝4，∠AEO＝90°，在Rt△AOE中，∵OA2＝OE2+AE2，∴r2＝42+（r﹣2）2，∴r＝5，故答案为：5．13．已知⊙O的半径为6cm，弦AB＝6cm，则弦AB所对的圆心角是________度．【答案】60【分析】连接OA、OB，可证得△OAB是等边三角形，由此得解．【解析】如图，连接OA、OB，∵OA=OB=AB=6，∴△OAB是等边三角形∴∠AOB=60°故弦AB所对的圆心角的度数为60°．故答案为：60．14．如图，在O中，AB BC CD==，连接AC，CD，则AC__2CD（填“>”，“ <”或“=” )．【答案】<【分析】根据AB BC CD==推出AB=BC=CD，利用三角形三边关系得到答案【解析】解：∵AB BC CD==，AB BC CD∴==，<+，AC AB BCAC CD∴<，2故答案为：<．∠的度数为______．15．如图，AB，CD是O的直径，弦CE AB，CE所对的圆心角为40°，则AOC【答案】70°【分析】连接OE，由弧CE的所对的圆心角度数为40°，得到∠COE=40°，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求出∠OCE ，根据平行线的性质即可得到∠AOC 的度数．【解析】解：连接OE ，如图，∵弧CE 所对的圆心角度数为40°，∴∠COE =40°，∵OC =OE ，∴∠OCE =∠OEC ，∴∠OCE =(180°-40°)÷2=70°，∵CE //AB ，∴∠AOC =∠OCE =70°，故答案为：70°．16．如图，A 、B 、C 、D 为⊙O 上的点，且 AB BC CD ==．若∠COD =40°，则∠ADO =______度．【答案】30【分析】先根据圆心角定理可得40AOB BOC COD ∠=∠=∠=︒，从而可得120AOD ∠=︒，再根据等腰三角形的性质即可得．【解析】解：∵AB BC CD ==，40COD ∠=︒，∴40AOB BOC COD ∠=∠=∠=︒，∴120AOD ∠=︒，又OA OD =，∴1(180)302ADO OAD AOD ∠=∠=︒-∠=︒，故答案为：30．三、解答题17．如图，O 的弦AB 、CD 相交于点E ，且AB CD =．求证：BE DE =．【答案】详见解析【分析】由弧、弦、圆心角的关系进行证明，结合等角对等边，即可得到结论成立．【解析】证明：AB CD=，CAB D∴=，AB AC CD AC∴-=-，即AD BC=，B D∴∠=∠，BE DE∴=；18．如图，在⊙O中，直径AB=10，弦AC=8，连接BC．(1)尺规作图：作半径OD交AC于E，使得点E为AC中点；(2)连接AD，求三角形OAD的面积．【答案】(1)见解析；(2)10【分析】（1）过点O作OD⊥AC，交AC于点E，交⊙O于点D；（2）由题意可得OD=5，由（1）得：OE⊥AC，点E为AC中点，继而可得118422AE AC==⨯=，然后根据三角形的面积公式即可求得答案．【解析】(1)解：如图，点E即为所求；(2)解：如图，连接AD，∵⊙O的直径是10，∴OD=5，由（1）得：OE⊥AC，点E为AC中点，∴118422AE AC==⨯=，∴11541022OADS OD AE=⋅=⨯⨯=．19．如图，已知AB是O的直径，P是AO上一点，点C、D在直径两侧的圆周上，若PB平分CPD∠，求证：劣弧BC与劣弧BD相等．【答案】见详解【分析】过点O分别作OE⊥PC，OF⊥PD，垂足分别为E、F，连接OC、OD，由题意易得OE=OF，然后可得BOC BOD∠=∠，进而问题可求证．【解析】证明：过点O分别作OE⊥PC，OF⊥PD，垂足分别为E、F，连接OC、OD，如图所示：∵PB 平分CPD ∠，∴OE =OF ，∵OC =OD ，∴EOC FOD △≌△（HL ），∴C D ∠=∠，∴BOC BOD ∠=∠，∴BC BD =．20．如图，已知弓形的弦长AB ＝8，弓高CD ＝2（CD ⊥AB 并经过圆心O ）．求弓形所在⊙O 的半径r 的长．【答案】r ＝5．【分析】先由垂径定理得AD =4，由于OD =r －2，则利用勾股定理得到62+（r －2）2=r 2，然后解方程即可．【解析】CD AB ⊥并经过圆心O ，∴118422AD BD AB ===⨯=，2OD OC CD r =-=-，在Rt △OAD 中，2224(2)r r +-=，解得r ＝5．21．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ， AM DM =，求证：BM ＝CM ．【答案】见解析【分析】根据圆心距、弦、弧之间的关系定理解答即可．【解析】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD，∴AB CD=，∵AM DM=，∴AB AM CD DM+=+，即BM CM=，∴BM＝CM．22．如图，AB为圆O的直径，点C在圆O上．∥（不写作法，只保留作图痕迹）；(1)尺规作图：在BC上求作一点E，使OE AC(2)探究OE与AC的数量关系．【答案】(1)见解析；(2)AC＝2OE【分析】（1）过点O作OE⊥BC即可．（2）利用三角形中位线定理证明即可．【解析】(1)如图所示，点E即为所求的点．(2)结论：AC＝2OE．理由：由作图得：OE⊥BC∴BE=CE，即点E为BC的中点，∴OE为△ABC的中位线，∴AC＝2OC．23．如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E．(1)求证：四边形ADOE是正方形；(2)若AC=2cm，求⊙O的半径．【答案】(1)见解析；2cm【分析】（1）根据AC ⊥AB ，OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，可得四边形ADOE 是矩形，由垂径定理可得AD=AE ，根据邻边相等的矩形是正方形可证；（2）连接OA ，由勾股定理可得．【解析】(1)证明：∵AC ⊥AB ，OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，∴四边形ADOE 是矩形，12AD AB =，12AE AC =，又∵AB=AC ，∴AD=AE ，∴四边形ADOE 是正方形．(2)解：如图，连接OA ，∵四边形ADOE 是正方形，∴112OE AE AC ===cm ，在Rt △OAE 中，由勾股定理可得：22+2OA OE AE ，即⊙O 2cm ．24．如图，在扇形AOB 中，90AOB ∠=︒，C 、D 是AB 上两点，过点D 作DE OC ∥交OB 于E 点，在OD 上取点F ，使OF DE =，连接CF 并延长交OB 于G 点．(1)求证：OCF DOE ≌△△； (2)若C 、D 是AB 的三等分点，23=OA①求OGC ∠； ②请比较GE 和BE 的大小．【答案】(1)证明见解析(2)①∠OGC=90°；②BE＞GE【分析】（1）先由平行线得出∠COD=∠ODE，再用SAS证△OCF≌△DOE即可；（2）①先由C、D是AB的三等分点，∠AOB=90°，求得∠AOC=∠COD=∠BOD=30°，由（1）知△OCF≌△DOE，所以∠OCF=∠DOE=30°，即可由三角形内角和求解；②由①∠OGC=90°，∠OCF=∠DOE=30°，利用直角三角形的性质和勾股定理即可求得3OG OF=2，又∠OCF=∠COF=30°，所以CF=OF，又由△OCF≌△DOE，所以OE=CF=OF=2，即可求得23GE= 232BE=，再比较即可得出结论；=OC，【解析】(1)解：∵DE AB2AC∴∠COD=∠ODE，∵OC=OD，OF=DE，∴△OCF≌△DOE(SAS)；(2)解：①∵C、D是AB的三等分点，∠AOB=90°，∴∠AOC=∠COD=∠BOD=30°，∵△OCF≌△DOE，∴∠OCF=∠DOE=30°，∵∠COG=∠COD+∠DOB=60°，∴∠OGC=90°．②∵23===，OA OC OB∴3OG又∵∠DOE=30°，∴OF=2，∵∠OCF=∠COF=30°，∴CF=OF，∵△OCF≌△DOE，∴OE=CF=OF=2，∴23GE OE OG=-=232=-=，BE OB OE∵3340－，BE GE=>∴BE＞GE．。

苏科版数学九年级上册2.2 圆的对称性(第2课时)教学设计

苏科版数学九年级上册2.2 圆的对称性（第2课时）教学设计一. 教材分析苏科版数学九年级上册第2.2节“圆的对称性（第2课时）”的内容主要包括圆的轴对称性质、圆的对称轴和圆的对称点的概念。

本节内容是在学生已经掌握了圆的基本概念和性质的基础上进行讲授的，旨在让学生进一步理解圆的对称性，并能够运用圆的对称性解决实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于圆的基本概念和性质已经有了一定的了解。

但是，对于圆的对称性的理解和运用还需要进一步的引导和培养。

因此，在教学过程中，需要注重学生的参与和实践，引导学生通过观察、操作、思考、归纳等方法，自主探索圆的对称性，提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。

三. 教学目标1.理解圆的轴对称性质，掌握圆的对称轴和圆的对称点的概念。

2.能够运用圆的对称性解决实际问题。

3.培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.圆的对称轴和圆的对称点的概念的理解。

2.圆的对称性的运用。

五. 教学方法1.引导发现法：引导学生通过观察、操作、思考、归纳等方法，自主探索圆的对称性。

2.实例讲解法：通过具体的实例，讲解圆的对称性的运用。

六. 教学准备1.教学课件：制作相关的教学课件，以便进行直观的教学。

2.教学实例：准备一些具体的实例，以便进行讲解。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实例，引导学生思考圆的对称性，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）利用教学课件，呈现圆的对称性的相关概念和性质，引导学生理解圆的对称性。

3.操练（10分钟）通过一些具体的实例，让学生操作和实践，加深对圆的对称性的理解。

4.巩固（10分钟）利用一些练习题，让学生巩固所学的内容，提高解决问题的能力。

5.拓展（10分钟）通过一些综合性的问题，引导学生运用圆的对称性解决实际问题，提高学生的数学思维能力。

6.小结（5分钟）对本节课的内容进行小结，帮助学生形成知识体系。

7.家庭作业（5分钟）布置一些相关的作业，让学生巩固所学的内容。

苏教版数学九年级上册教学设计《2-2圆的对称性(2)》

苏教版数学九年级上册教学设计《2-2圆的对称性（2）》一. 教材分析苏教版数学九年级上册《2-2圆的对称性（2）》一课，是在学生已经掌握了圆的基本概念、圆的周长和面积等知识的基础上，进一步探究圆的对称性。

教材通过丰富的实例，引导学生认识圆是轴对称图形，理解圆的对称轴的性质，掌握圆的对称性的应用。

本节课的内容在数学知识体系中具有重要的地位，对培养学生的空间想象能力和抽象思维能力具有重要意义。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对圆的概念和性质有一定的了解。

但是，对于圆的对称性的认识和理解还有待提高。

此外，学生对于轴对称图形的概念可能还比较模糊，需要通过具体的实例和操作来加深理解。

在学生的学习过程中，可能存在对圆的对称性应用不够熟练的情况，需要在教学中加强练习和巩固。

三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握圆的对称性，理解圆的对称轴的性质，能运用圆的对称性解决一些实际问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等过程，培养学生的空间想象能力和抽象思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探究、积极思考的良好学习习惯。

四. 教学重难点1.重点：圆的对称性，圆的对称轴的性质。

2.难点：圆的对称性的应用。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究圆的对称性。

2.利用多媒体辅助教学，直观展示圆的对称性实例。

3.采用合作学习法，让学生在小组内交流讨论，共同解决问题。

4.运用练习法，加强学生的实践操作和巩固提高。

六. 教学准备1.多媒体教学设备。

2.圆的相关教具和学具。

3.圆的对称性实例素材。

4.练习题和测试题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些生活中的圆对称现象，如圆形的公章、硬币等，引导学生关注圆的对称性，激发学生的学习兴趣。

同时，提问学生：“你们认为圆有哪些性质？”从而自然过渡到本节课的内容。

2.呈现（10分钟）教师通过多媒体展示圆的对称性实例，如圆形的桌面、圆形的窗户等，引导学生观察和思考。

苏科版九上数学课件2-2圆的对称性(2)

O
求半径OC的长。
A
D
B
练习2:在圆O中，直径CE⊥AB于 D，OD=4㎝，弦AC=㎝， 10 求圆O的半径。
C E O
A
D
B
C
挑战自我画一画
如图,M为⊙O内的一点,利用尺规作一条弦AB, 使AB过点M.并且AM=BM.
A
●M B
●O
小结：
1：圆是轴对称图形
2：垂径定理及其运用
思考题:如图，CD为圆O的直径，弦 AB交CD于E，∠CEB=30°， DE=9㎝，CE=3㎝，求弦AB的长。
初中数学课件
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九年级数学(上)第五章圆
•5.2.圆的对称性(2)
学习目标：
1：理解圆是轴对称图形。
2：掌握垂径定理，并能灵活运用。
复习

如图，如AB=CD则（）如
⌒⌒
AB=CD
则（）
如∠AOB=∠COD则（）
D
O
C
A
B
基本图形：
C
A
B
M└
●O
D
例1已知：如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C， D两点，AC与BD相等吗？为什么？
A
D
E C
O
B
O.
A C 弦AB的长为8㎝，圆心O到AB的距离为3㎝，求圆O的半径。
AE
B
O
变式1:在半径为5㎝的圆O中，有长8㎝的弦AB，求点O与AB的距离。
2：在半径为5㎝的圆O中，圆心O到弦AB的距离为3㎝，求AB的长。
E
练1：如图，
圆O的弦AB＝8㎝，
DC＝2㎝，直径CE⊥AB于D，

圆的对称性课件苏科版九年级数学上册(完整版)2

·O
即△AOB是等腰三角形.
∵P是AB的中点，即AP=BP， ∴AB⊥CD.
A
P C
B
∵ CD是直径，CD⊥AB，
∴ A⌒C
=B⌒C,
⌒ AD
=B⌒D（. 垂径定理）
2.已知：在☉O中，CD是直径，AB是弦，A⌒C =B⌒C,
求证：CD垂直平分AB.
证明：连接OA、OB、CA、CB，则OA=OB.
系是否依然成立？为什么？
A
B
C
D
O·
O ·′
通过平移和旋转将两个等圆变成同一个圆，我们发现：如果∠AOB=∠COD，那么，AB⌒=C⌒D，弦AB=弦CD.
弧、弦与圆心角的关系定理
1.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所
对的弦也相等.
①∠AOB=∠COD CB
②A⌒B=C⌒D ③AB=CD
由此易得 A⌒D =B⌒D.
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧.
C
推导格式：
∵ CD是直径，CD⊥AB，
∴ AP=BP,
A⌒C =B⌒C,
⌒⌒ AD =BD.
·O
AP B D
下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？
C
A O
A
EB
D
C B
O A
是
不是，因为
没有垂直
O
E
BA
C O
EB D
是
不是，因为CD
没有过圆心
➢垂径定理的几个基本图形：
C A
O
O
A
EB
D
A
DB
E
B D O
A C
O CB

苏科版数学九年级上册2.2圆的对称性(第2课时)说课稿

苏科版数学九年级上册2.2 圆的对称性（第2课时）说课稿一. 教材分析《苏科版数学九年级上册》第2.2节“圆的对称性（第2课时）”的内容，是在学生已经掌握了圆的基本概念、圆的性质等知识的基础上进行的一节内容。

本节课主要让学生了解圆的对称性，理解圆是轴对称图形，理解圆的对称轴的概念，以及掌握圆的对称性质。

通过本节课的学习，让学生能够运用圆的对称性质解决一些实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和空间想象力，对于轴对称图形的概念已经有了一定的了解。

但是，对于圆的对称性的理解和运用还比较薄弱，需要通过本节课的学习，加强学生对圆的对称性的理解和运用。

三. 说教学目标1.知识与技能：让学生理解圆的对称性，理解圆是轴对称图形，理解圆的对称轴的概念，以及掌握圆的对称性质。

2.过程与方法：通过观察、思考、讨论等方法，让学生自主探索圆的对称性，培养学生的探究能力和合作能力。

3.情感态度与价值观：让学生体验数学学习的乐趣，培养学生的自信心和自尊心，让学生认识到数学在生活中的重要性。

四. 说教学重难点1.教学重点：让学生理解圆的对称性，理解圆是轴对称图形，理解圆的对称轴的概念，以及掌握圆的对称性质。

2.教学难点：让学生理解圆的对称轴的概念，以及如何运用圆的对称性质解决实际问题。

五. 说教学方法与手段本节课采用自主探究、合作交流、教师讲解等教学方法。

利用多媒体课件、圆规、直尺等教学手段，帮助学生更好地理解和掌握圆的对称性。

六. 说教学过程1.导入：通过复习轴对称图形的概念，引出圆的对称性。

2.自主探究：让学生利用圆规和直尺，画出一个圆，并尝试找出圆的对称轴。

3.合作交流：让学生分组讨论，总结出圆的对称性质，并展示成果。

4.教师讲解：根据学生的探究结果，讲解圆的对称性质，以及如何运用圆的对称性质解决实际问题。

5.巩固练习：让学生做一些有关圆的对称性的练习题，巩固所学知识。

6.总结：对本节课的内容进行总结，强调圆的对称性的重要性和运用。

25.2 圆的对称性讲学稿

25.2 圆的对称性讲学稿执笔：李新丰审核：焦道胜金峰教学目标：1．知识与技能：圆的旋转不变性，圆心角、弧、弦之间相等关系定理．2．过程与方法：通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动发展空间观念、推理能力以及概括问题的能力，利用圆的旋转不变性，研究圆心角、弧、弦之间相等关系定理．3．情感态度与价值观：培养学生积极探索数学问题的态度及方法．教学重点：圆心角、弧、弦之间关系定理．教学难点：“圆心角、弧、弦之间关系定理”中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明．教学设计：一、预习检测1._____________________________________________________________是中心对称图形,对称中心是_______________________．2. 圆是________________，它的对称中心是________________．3. 已知：如图，AB 、CD 是⊙O 的两条弦，OE 、OF 为AB 、CD 的弦心距，根据本节定理及推论填空：．（1）如果AB ＝CD ，那么______，______，______；（2）如果OE ＝OG ，那么______，______，______；（3）如果= ，那么______，______，______；（4）如果∠AOB ＝∠COD ，那么______，______，______．（目的：巩固基础知识）4. 90°的圆心角所对的弧的度数为_____________．度数为60°的弧所对的圆心角的度数为_____________.二、讲授新课同学们请观察老师手中的两个圆有什么特点?（大小一样．）现在老师把这两个圆叠在一起，使它俩重合，将圆心固定．将上面这个圆旋转任意一个角度，两个圆还重合吗?通过旋转的方法我们知道：圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．圆的中心对称性是其旋转不变性的特例．即圆是中心对称图形。

圆的对称性课件苏科版数学九年级上册

求证：BC＝AE
解题秘方：构造圆心角，利用
“在同圆中，相等的圆心角所
对的弧相等”证明.
感悟新知
证明：如图2.2-4，连接OE.
∵ OE＝OC，∴∠OCE＝∠OEC.
∵ CE∥AB，
∴∠OCE＝∠BOC，∠OEC＝∠AOE.
∴∠BOC＝∠AOE.
⌒
⌒
∴ BC＝AE(在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等).
∴∠AOD＝150°(圆心角的度数与它所对的弧的度数相
等).∴∠2＝∠AOD－(∠1＋∠3)＝60° .
⌒
∴BC的度数为60°(圆心角的度数与它所对的弧的度数
相等)．
答案：D
感悟新知
思路导引
连接OB、OC
OA＝OB，OC＝OD
∠OAB＝75°，
∠ODC＝60°
∠1与∠3的度数
∠2的度数
⌒
BC的度数
感悟新知
技能提醒
由例2的结论可知，在同圆中，圆的两条平
行弦所夹的弧相等，以后若遇到圆的两条平行
弦，可考虑运用它们所夹的弧相等证明两条弧
所对的弦、圆心角分别相等.
感悟新知
例 3 [模拟·武汉] 如图2.2-5，A、B、C、D是⊙O上四点，
且AB＝CD. 求证：AD＝BC.
解题秘方：由圆心角、弧、弦之间的
感悟新知
知识点 1 圆的对称性
1. 圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心．
2. 圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对
称轴．
(1)圆的对称轴有无数条.
(2)圆的对称轴是过圆心的任意一条直线，或说成圆的对
称轴是直径所在直线．
感悟新知
3. 把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图

江苏省昆山市锦溪中学九年级数学上册 5.2 圆的对称性(2)垂径定理课件苏科版

解：AC=BD 过O作OE⊥AB于E， ∴AE＝BE，CE＝DE ∴ AE－CE＝BE－DE 即AC＝BD
└
O.
A CE D B
注意：解决和弦有关的问题时，常过圆心作弦的垂线（段）．
1、在⊙O中,弦CD=8cm，圆的 •o
直径是10cm，则圆心O到弦CD的距 C E D
离是__3__cm
2、在⊙O中弦CD＝24，圆心O到
A
. 求证：CP＝DP⌒,BC＝⌒BD⌒,AC＝⌒ AD
证明：连结OC、OD，则OC＝OD 3 O4
在⊿OCD中，
∵OC=OD,OP⊥CD
∴ CP=DP, ∠1=∠2 ∴∠3=∠4 ∴ B⌒C=B⌒D, AC⌒=A⌒D
12
└
C
P
D
B
作半径是解决问题圆中问题常用的辅助线之一。
记一记
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对
的两条弧.
A
条件
结论
∟└
c′
.●O D′
直径
直径垂直于弦
C
P
D
平分弦
平分弦所对的优弧平分弦所对的弧
B
∵AB是直径, AB⊥CD
符号语言： ∴PC=PD ⌒BC=⌒BDA⌒C=⌒A
辨一辨
B
●O
D
C
A M└
C
A M└
B
●O
A M└
B
●O
记一记
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对
的两条弧.
记住这个基本图形哦！
∴ AB=2AE=8cm
大刀阔斧
变式3：在半径为5㎝的⊙O中，弦AB=8cm，
OE⊥AB于E交⊙O于F，求EF的长.

江苏省南京市苏科版九年级数学上册教案第五章5.2圆的对称性(2)

主备人：时良喜备课时间：2013.11.10 复备时间：总第 4 课时
【教学目标】
1．掌握圆的对称性，垂径定理，运用垂径定理进行有关的计算和证明；
2．经历探索圆的对称性及其相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法；【教学重点】
圆的对称性、垂径定理．
【教学难点】
垂径定理的应用．
【教学过程】：
【问题情境】
如何确定圆形纸片的圆心?说说你的想法.
【建构活动一】
圆是轴对称图形？为什么？
【数学化认识一】
圆是轴对称图形,过圆心的任意一条直线都是它的对称轴．
【建构活动二】
1.前面我们采用旋转研究了圆的相关性质，我们还可以用怎样的方法来研究圆的性质？
2.（1）如图,CD是⊙O的弦,画直径AB⊥CD,垂足为P;
(2)将圆形纸片沿AB对折;
(3)通过折叠活动,你有何发现?
3你证明你的发现吗？
【数学化认识二】
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
【基础性训练】
例题讲解：例．如图，以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于点C 、D ． AC 与BD 相等吗？为什么？
巩固练习：P114—115，练习2,3
【拓展延伸】
(1)如图, ⊙O 的弦AB ＝8㎝,OD ＝3㎝,直径CE ⊥AB 于D.
则半径OC ＝__________ ㎝．
(2)如图, ⊙O 的弦AB ＝8㎝,DC ＝2㎝,直径CE ⊥AB 于D.
求半径OC 的长．
【课堂小结】
【课后作业】课本P 116 的 6、9、10．
【板书设计】
O
C B
D A P
【教学反思】
授课时间：。

苏教版九年级数学上册《圆的对称性2》课件

3.将两张透明纸片叠在一起，使O与 O重合。
B
B'
A
O
A'
O'
动画演示
A
O
B
A’
O’
B’
AOB= A’O’B’
AB = A’B’
AB=A’ B’
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。
思考与探索：
在同圆或等圆中，如果圆心角所对的弧相等，
那么它们所对的弦相等吗？这两个圆心角相等吗？
AB=A’B’
1. AOB=A’O’B’
AB =A’B’
2. AB =A’B’
AB=A’B’ AOB=A’O’B’
3. AB=A’B ’
AB =A’B’ AOB = A’O’B’
在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组都分别相等。
反思结论:
(1)运用此性质的前提是:在同圆或等圆中.
求AD，DE的度数。
B
D
E
A
C
3.如图,AB、AC、BC都是⊙O的弦，若∠AOC=∠BOC ,则∠ABC与∠BAC 相等吗？为什么？
解：ABC=BAC
∵ AOC=BOC
O
AC=BC
ABC=BAC
A
B
C
︵
2.已知：如图，AB是⊙O的直径，点
CD、F⊥DA在B⊙于OF上，，且CAEE⊥=BAFB，于A⌒EC，与B⌒D
（A）AB＞2CD (B)AB ＜2CD (C) AB＝2CD (D) 不能确定
A C
D
B
O
课后小结： 1.圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。
2.在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组都分别相等。

九年级数学上册圆的对称性学案苏科

2.2圆的对称性(2)学习目标：1.通过观察实验理解圆的轴对称性；2.掌握垂径定理，理解垂径定理的推证过程；能初步应用垂径定理进行计算和证明。

学习重点：垂径定理的证明及应用.学习难点：进一步体会和理解研究几何图形的方法.学习过程一.【情境创设】圆是什么对称图形？你是如何验证的？二.【问题探究】问题1：圆的轴对称性．1．圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？你是如何验证的？2．如何确定圆形纸片的圆心？动手试一试！问题2：垂径定理．1．操作、探索：学生拿出事先准备好的透明的纸片，在上面画一个圆O，再任意画一条非直径的弦CD，作一直径AB与CD垂直，交点为P．沿着直径将圆对折，你有什么发现？2．请你用文字语言概括你对垂直于弦的直径的研究过程中发现的结论，其中条件和结论分别是什么？请用几何语言表示．问题3：如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径．OBA C问题4：如图，以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于点C 、D ． AC 与BD 相等吗？为什么？三.【拓展提升】问题5：如图，AB 、CD 是⊙O 的两条弦，AB∥CD，⌒AC 与⌒BD 相等吗？为什么？问题6：如图，AB 和CD 分别是⊙O 上的两条弦，过点O 分别作ON⊥CD 于点N ，OM⊥AB 于点M ，若ON=AB ，证明： OM=CD ．四.【课堂小结】五.【反馈练习】课题：圆的对称性(2) 班级____________ 姓名_______________中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．一次函数y kx b =+满足0kb <，且y 随x 的增大而减小，则此函数的图像一定不经过( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】y 随x 的增大而减小，可得一次函数y=kx+b 单调递减，k ＜0，又满足kb<0，可得b>0，由此即可得出答案．【详解】∵y 随x 的增大而减小，∴一次函数y=kx+b 单调递减， ∴k ＜0， ∵kb<0， ∴b>0，∴直线经过第二、一、四象限，不经过第三象限，故选C ．【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数y=kx+b(k≠0，k 、b 是常数)的图象和性质是解题的关键.2．如图，在△ABC 中，AC ⊥BC ，∠ABC=30°，点D 是CB 延长线上的一点，且BD=BA ，则tan ∠DAC 的值为（）A ．2+3B ．3C ．3+3D ．3【答案】A【解析】设AC=a ，由特殊角的三角函数值分别表示出BC 、AB 的长度，进而得出BD 、CD 的长度，由公式求出tan ∠DAC 的值即可.【详解】设AC=a ，则BC=30AC tan ︒=3a ，AB=30ACsin ︒=2a ，∴BD=BA=2a ， ∴CD=（2+3）a ， ∴tan ∠DAC=2+3. 故选A. 【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值.3．如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，点C 落在点E 处，BE 交AD 于点F ，已知∠BDC=62°，则∠DFE 的度数为（）A ．31°B ．28°C ．62°D ．56°【答案】D【解析】先利用互余计算出∠FDB=28°，再根据平行线的性质得∠CBD=∠FDB=28°，接着根据折叠的性质得∠FBD=∠CBD=28°，然后利用三角形外角性质计算∠DFE 的度数．【详解】解：∵四边形ABCD 为矩形， ∴AD ∥BC ，∠ADC=90°，∵∠FDB=90°-∠BDC=90°-62°=28°， ∵AD ∥BC ，∴∠CBD=∠FDB=28°，∵矩形ABCD 沿对角线BD 折叠， ∴∠FBD=∠CBD=28°，∴∠DFE=∠FBD+∠FDB=28°+28°=56°．故选D．【点睛】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．4．下列调查中，最适合采用全面调查（普查）的是（）A．对我市中学生每周课外阅读时间情况的调查B．对我市市民知晓“礼让行人”交通新规情况的调查C．对我市中学生观看电影《厉害了，我的国》情况的调查D．对我国首艘国产航母002型各零部件质量情况的调查【答案】D【解析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．由此，对各选项进行辨析即可.【详解】A、对我市中学生每周课外阅读时间情况的调查，人数众多，意义不大，应采用抽样调查，故此选项错误；B、对我市市民知晓“礼让行人”交通新规情况的调查，人数众多，意义不大，应采用抽样调查，故此选项错误；C、对我市中学生观看电影《厉害了，我的国》情况的调查，人数众多，意义不大，应采用抽样调查，故此选项错误；D、对我国首艘国产航母002型各零部件质量情况的调查，意义重大，应采用普查，故此选项正确；故选D．【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．5．将分别标有“孔”“孟”“之”“乡”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀.随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球.两次摸出的球上的汉字能组成“孔孟”的概率是（）A．18B．16C．14D．12【答案】B【解析】根据简单概率的计算公式即可得解.【详解】一共四个小球，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球一共有12中可能，其中能组成孔孟的有2种，所以两次摸出的球上的汉字能组成“孔孟”的概率是1 6 .故选B.考点：简单概率计算.6．若一个正比例函数的图象经过A（3，﹣6），B（m，﹣4）两点，则m的值为（）A．2 B．8 C．﹣2 D．﹣8【答案】A【解析】试题分析：设正比例函数解析式为：y=kx，将点A（3，﹣6）代入可得：3k=﹣6，解得：k=﹣2，∴函数解析式为：y=﹣2x，将B（m，﹣4）代入可得：﹣2m=﹣4，解得m=2，故选A．考点：一次函数图象上点的坐标特征．7．如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处，若∠2=40°，则图中∠1的度数为（）A．115°B．120°C．130°D．140°【答案】A【解析】解：∵把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处，∴∠BFE=∠EFB'，∠B'=∠B=90°．∵∠2=40°，∴∠CFB'=50°，∴∠1+∠EFB'﹣∠CFB'=180°，即∠1+∠1﹣50°=180°，解得：∠1=115°，故选A．8．某商场试销一种新款衬衫，一周内售出型号记录情况如表所示：商场经理要了解哪种型号最畅销，则上述数据的统计量中，对商场经理来说最有意义的是（）A．平均数B．中位数C．众数D．方差【答案】B【解析】分析：商场经理要了解哪些型号最畅销，所关心的即为众数．详解：根据题意知：对商场经理来说，最有意义的是各种型号的衬衫的销售数量，即众数．故选：C．点睛：此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．9．“射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是（）A．确定事件B．必然事件C．不可能事件D．不确定事件【答案】D【解析】试题分析：“射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是随机事件，属于不确定事件，故选D．考点：随机事件．10．如图所示，点E是正方形ABCD内一点，把△BEC绕点C旋转至△DFC位置，则∠EFC的度数是( )A．90°B．30°C．45°D．60°【答案】C【解析】根据正方形的每一个角都是直角可得∠BCD=90°，再根据旋转的性质求出∠ECF=∠BCD=90°，CE=CF，然后求出△CEF是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质解答．【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°，∵△BEC绕点C旋转至△DFC的位置，∴∠ECF=∠BCD=90°，CE=CF，∴△CEF是等腰直角三角形，∴∠EFC=45°.故选：C.【点睛】本题目是一道考查旋转的性质问题——每对对应点到旋转中心的连线的夹角都等于旋转为等腰直角三角形.角度，每对对应边相等，故CEF二、填空题（本题包括8个小题）11．如图，△ABC中，AB＝BD，点D，E分别是AC，BD上的点，且∠ABD＝∠DCE，若∠BEC＝105°，则∠A的度数是_____．【答案】85°【解析】设∠A=∠BDA=x ，∠ABD=∠ECD=y ，构建方程组即可解决问题．【详解】解：∵BA ＝BD ，∴∠A ＝∠BDA ，设∠A ＝∠BDA ＝x ，∠ABD ＝∠ECD ＝y ，则有21802105x y y x ︒︒⎧+=⎨+=⎩，解得x ＝85°，故答案为85°．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．12．已知关于x 的不等式组0521x a x -≥⎧⎨-⎩只有四个整数解，则实数a 的取值范是______．【答案】-3＜a≤-2【解析】分析：求出不等式组中两不等式的解集，根据不等式取解集的方法：同大取大；同小取小；大大小小无解；大小小大取中间的法则表示出不等式组的解集，由不等式组只有四个整数解，根据解集取出四个整数解，即可得出a 的范围．详解：0521x a x ①②，-≥⎧⎨->⎩由不等式①解得：x a ≥；由不等式②移项合并得：−2x>−4，解得：x<2，∴原不等式组的解集为2a x ，≤<由不等式组只有四个整数解，即为1，0，−1，−2，可得出实数a 的范围为3 2.a -<≤- 故答案为3 2.a -<≤-点睛：考查一元一次不等式组的整数解，求不等式的解集，根据不等式组有4个整数解觉得实数a 的取值范围.13．已知扇形的弧长为2π，圆心角为60°，则它的半径为________．【答案】6.【解析】分析: 设扇形的半径为r ，根据扇形的面积公式及扇形的面积列出方程，求解即可.详解: 设扇形的半径为r ，根据题意得：60r=2180ππ，解得：r=6 故答案为6.点睛: 此题考查弧长公式，关键是根据弧长公式解答.14．如图，已知O 的半径为2，ABC ∆内接于O ，135ACB ∠=，则AB =__________．【答案】22【解析】分析：根据圆内接四边形对边互补和同弧所对的圆心角是圆周角的二倍，可以求得∠AOB 的度数，然后根据勾股定理即可求得AB 的长．详解：连接AD 、AE 、OA 、OB ，∵⊙O 的半径为2，△ABC 内接于⊙O ，∠ACB=135°， ∴∠ADB=45°， ∴∠AOB=90°，∵OA=OB=2， ∴AB=22，故答案为：22．点睛：本题考查三角形的外接圆和外心，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 15．比较大小：512-_____1(填“＜”或“＞”或“＝”)．【答案】＜【解析】∵512-≈0.62，0.62＜1， ∴512-＜1；故答案为＜．16．若正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为__________．【答案】433【解析】根据题意画出草图，可得OG=2，60OAB ∠=︒，因此利用三角函数便可计算的外接圆半径OA.【详解】解：如图，连接OA 、OB ，作OG AB ⊥于G ；则2OG =，∵六边形ABCDEF 正六边形， ∴OAB 是等边三角形，∴60OAB ∠=︒，∴sin 603OG OA ===︒， ∴正六边形的内切圆半径为2【点睛】本题主要考查多边形的内接圆和外接圆，关键在于根据题意画出草图，再根据三角函数求解，这是多边形问题的解题思路.17．一元二次方程()21210k x x ---=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是________．【答案】2k <且1k ≠【解析】根据一元二次方程的根与判别式△的关系，结合一元二次方程的定义解答即可. 【详解】由题意可得，1−k≠0，△＝4+4(1−k)＞0， ∴k ＜2且k≠1. 故答案为k ＜2且k≠1. 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式的应用，解题中要注意不要漏掉对二次项系数1-k≠0的考虑．18．如图，某海监船以20km/h 的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A 处时，测得岛屿P 恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B 处，测得岛屿P 在其北偏西30°方向，保持航向不变又航行2小时到达C 处，此时海监船与岛屿P 之间的距离（即PC 的长）为_____km ．【答案】3【解析】首先证明PB＝BC，推出∠C＝30°，可得PC＝2PA，求出PA即可解决问题．【详解】解：在Rt△PAB中，∵∠APB＝30°，∴PB＝2AB，由题意BC＝2AB，∴PB＝BC，∴∠C＝∠CPB，∵∠ABP＝∠C+∠CPB＝60°，∴∠C＝30°，∴PC＝2PA，∵PA＝AB•tan60°，∴PC＝2×20×33km），故答案为3【点睛】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角问题，解题的关键是证明PB＝BC，推出∠C＝30°．三、解答题（本题包括8个小题）19．元旦放假期间，小明和小华准备到西安的大雁塔（记为A）、白鹿原（记为B）、兴庆公园（记为C）、秦岭国家植物园（记为D）中的一个景点去游玩，他们各自在这四个景点中任选一个，每个景点被选中的可能性相同．求小明选择去白鹿原游玩的概率；用树状图或列表的方法求小明和小华都选择去秦岭国家植物园游玩的概率．【答案】（1）14；（2）116【解析】（1）利用概率公式直接计算即可；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小明和小华都选择去同一个地方游玩的情况，再利用概率公式即可求得答案．【详解】（1）∵小明准备到西安的大雁塔（记为A）、白鹿原（记为B）、兴庆公园（记为C）、秦岭国家植物园（记为D）中的一个景点去游玩，∴小明选择去白鹿原游玩的概率＝14；（2）画树状图分析如下：两人选择的方案共有16种等可能的结果，其中选择同种方案有1种，所以小明和小华都选择去秦岭国家植物园游玩的概率＝1 16．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．20．某校开展“我最喜爱的一项体育活动”调查，要求每名学生必选且只能选一项，现随机抽查了m名学生，并将其结果绘制成如下不完整的条形图和扇形图．请结合以上信息解答下列问题：m=；请补全上面的条形统计图；在图2中，“乒乓球”所对应扇形的圆心角的度数为；已知该校共有1200名学生，请你估计该校约有名学生最喜爱足球活动．【答案】（1）150，（2）36°，（3）1．【解析】（1）根据图中信息列式计算即可；（2）求得“足球“的人数=150×20%=30人，补全上面的条形统计图即可；（3）360°×乒乓球”所占的百分比即可得到结论；（4）根据题意计算即可．【详解】（1）m=21÷14%=150，（2）“足球“的人数=150×20%=30人，补全上面的条形统计图如图所示；（3）在图2中，“乒乓球”所对应扇形的圆心角的度数为360°×15150=36°；（4）1200×20%=1人，答：估计该校约有1名学生最喜爱足球活动．故答案为150，36°，1．【点睛】本题考查了条形统计图，观察条形统计图、扇形统计图获得有效信息是解题关键．21．如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B．抛物线y＝﹣12x2+bx+c经过A，B两点，与x轴的另外一个交点为C填空：b＝，c＝，点C的坐标为．如图1，若点P是第一象限抛物线上的点，连接OP交直线AB于点Q，设点P的横坐标为m．PQ与OQ的比值为y，求y与m的数学关系式，并求出PQ与OQ的比值的最大值．如图2，若点P是第四象限的抛物线上的一点．连接PB与AP，当∠PBA+∠CBO＝45°时．求△PBA的面积．【答案】（3）3，2，C（﹣2，4）；（2）y＝﹣18m2+12m ，PQ与OQ的比值的最大值为12；（3）S△PBA＝3．【解析】（3）通过一次函数解析式确定A、B两点坐标，直接利用待定系数法求解即可得到b，c的值，令y=4便可得C点坐标．（2）分别过P、Q两点向x轴作垂线，通过PQ与OQ的比值为y以及平行线分线段成比例，找到PQ EDOQ OD=，设点P坐标为（m，-12m2+m+2），Q点坐标（n，-n+2），表示出ED、OD等长度即可得y与m、n之间的关系，再次利用PE QDOE OD=即可求解．（3）求得P点坐标，利用图形割补法求解即可．【详解】（3）∵直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B．∴A（2，4），B（4，2）．又∵抛物线过B（4，2）∴c＝2．把A（2，4）代入y＝﹣x2+bx+2得，4＝﹣12×22+2b+2，解得，b＝3．∴抛物线解析式为，y＝﹣12x2+x+2．令﹣12x 2+x+2＝4，解得，x ＝﹣2或x ＝2． ∴C （﹣2，4）．（2）如图3，分别过P 、Q 作PE 、QD 垂直于x 轴交x 轴于点E 、D ．设P （m ，﹣12m 2+m+2），Q （n ，﹣n+2），则PE ＝﹣12m 2+m+2，QD ＝﹣n+2．又∵PQ m nOQ n-=＝y ． ∴n ＝1my +．又∵PE OE QD OD=，即24124m m nm n =-+++ 把n ＝1my +代入上式得，2412411m m m y m m y ++=++-+整理得，2y ＝﹣12m 2+2m ．∴y＝﹣12m2+12m．y max＝210()1212 48-=⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭．即PQ与OQ的比值的最大值为12．（3）如图2，∵∠OBA＝∠OBP+∠PBA＝25°∠PBA+∠CBO＝25°∴∠OBP＝∠CBO此时PB过点（2，4）．设直线PB解析式为，y＝kx+2．把点（2，4）代入上式得，4＝2k+2．解得，k＝﹣2∴直线PB解析式为，y＝﹣2x+2．令﹣2x+2＝﹣12x2+x+2整理得，12x2﹣3x＝4．解得，x＝4（舍去）或x＝5．当x＝5时，﹣2x+2＝﹣2×5+2＝﹣7 ∴P（5，﹣7）．过P作PH⊥cy轴于点H．则S四边形OHPA＝12（OA+PH）•OH＝12（2+5）×7＝24．S△OAB＝12OA•OB＝12×2×2＝7．S△BHP＝12PH•BH＝12×5×3＝35．∴S△PBA＝S四边形OHPA+S△OAB﹣S△BHP＝24+7﹣35＝3．【点睛】本题考查了函数图象与坐标轴交点坐标的确定，以及利用待定系数法求解抛物线解析式常数的方法，再者考查了利用数形结合的思想将图形线段长度的比化为坐标轴上点之间的线段长度比的思维能力．还考查了运用图形割补法求解坐标系内图形的面积的方法．22．根据图中给出的信息，解答下列问题：放入一个小球水面升高，cm，放入一个大球水面升高cm；如果要使水面上升到50cm，应放入大球、小球各多少个？【答案】详见解析【解析】（1）设一个小球使水面升高x厘米，一个大球使水面升高y厘米，根据图象提供的数据建立方程求解即可．（1）设应放入大球m个，小球n个，根据题意列二元一次方程组求解即可．【详解】解：（1）设一个小球使水面升高x厘米，由图意，得2x=21﹣16，解得x=1．设一个大球使水面升高y厘米，由图意，得1y=21﹣16，解得：y=2．所以，放入一个小球水面升高1cm，放入一个大球水面升高2cm．（1）设应放入大球m个，小球n个，由题意，得m n 103m 2n 5026+=⎧⎨+=-⎩，解得：m 4n 6=⎧⎨=⎩．答：如果要使水面上升到50cm ，应放入大球4个，小球6个．23．《杨辉算法》中有这么一道题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多几何？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多了多少步？【答案】12【解析】设矩形的长为x 步，则宽为（60﹣x ）步，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．【详解】解：设矩形的长为x 步，则宽为（60﹣x ）步，依题意得：x （60﹣x ）＝864，整理得：x 2﹣60x+864＝0，解得：x ＝36或x ＝24（不合题意，舍去）， ∴60﹣x ＝60﹣36＝24（步）， ∴36﹣24＝12（步），则该矩形的长比宽多12步．【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．24．近几年购物的支付方式日益增多，某数学兴趣小组就此进行了抽样调查．调查结果显示，支付方式有：A 微信、B 支付宝、C 现金、D 其他，该小组对某超市一天内购买者的支付方式进行调查统计，得到如下两幅不完整的统计图．请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：本次一共调查了多少名购买者？请补全条形统计图；在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角为度．若该超市这一周内有1600名购买者，请你估计使用A和B两种支付方式的购买者共有多少名？【答案】（1）本次一共调查了200名购买者；（2）补全的条形统计图见解析，A种支付方式所对应的圆心角为108；（3）使用A和B两种支付方式的购买者共有928名．【解析】分析：（1）根据B的数量和所占的百分比可以求得本次调查的购买者的人数；（2）根据统计图中的数据可以求得选择A和D的人数，从而可以将条形统计图补充完整，求得在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角的度数；（3）根据统计图中的数据可以计算出使用A和B两种支付方式的购买者共有多少名．详解：（1）56÷28%=200，即本次一共调查了200名购买者；（2）D方式支付的有：200×20%=40（人），A方式支付的有：200-56-44-40=60（人），补全的条形统计图如图所示，在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角为：360°×60200=108°，（3）1600×60+56200=928（名），答：使用A和B两种支付方式的购买者共有928名．点睛：本题考查扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．25．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF，求证：AF=DC；若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）根据AAS证△AFE≌△DBE，推出AF=BD，即可得出答案．（2）得出四边形ADCF是平行四边形，根据直角三角形斜边上中线性质得出CD=AD，根据菱形的判定推出即可．【详解】解：（1）证明：∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DBE．∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，∴AE=DE，BD=CD．在△AFE和△DBE中，∵∠AFE=∠DBE，∠FEA=∠BED，AE=DE，∴△AFE≌△DBE（AAS）∴AF=BD．∴AF=DC．（2）四边形ADCF是菱形，证明如下：∵AF∥BC，AF=DC，∴四边形ADCF是平行四边形．∵AC⊥AB，AD是斜边BC的中线，∴AD=DC．∴平行四边形ADCF是菱形26．某报社为了解市民对“社会主义核心价值观”的知晓程度，采取随机抽样的方式进行问卷调查，调查结果分为“A.非常了解”、“B.了解”、“C.基本了解”三个等级，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．这次调查的市民人数为________人，m＝________，n＝________；补全条形统计图；若该市约有市民100000人，请你根据抽样调查的结果，估计该市大约有多少人对“社会主义核心价值观”达到“A.非常了解”的程度．【答案】(1)500，12，32；(2)补图见解析；(3)该市大约有32000人对“社会主义核心价值观”达到“A.非常了解”的程度．【解析】（1）根据项目B的人数以及百分比，即可得到这次调查的市民人数，据此可得项目A，C的百分比；（2）根据对“社会主义核心价值观”达到“A．非常了解”的人数为：32%×500=160，补全条形统计图；（3）根据全市总人数乘以A项目所占百分比，即可得到该市对“社会主义核心价值观”达到“A非常了解”的程度的人数．【详解】试题分析：试题解析：（1）280÷56%=500人，60÷500=12%，1﹣56%﹣12%=32%，（2）对“社会主义核心价值观”达到“A．非常了解”的人数为：32%×500=160，补全条形统计图如下：（3）100000×32%=32000（人），答：该市大约有32000人对“社会主义核心价值观”达到“A．非常了解”的程度．中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．将抛物线y=x2先向左平移2个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为（）A．y=（x﹣2）2+3 B．y=（x﹣2）2﹣3 C．y=（x+2）2+3 D．y=（x+2）2﹣3 【答案】D【解析】先得到抛物线y=x2的顶点坐标（0，0），再根据点平移的规律得到点（0，0）平移后的对应点的坐标为（-2，-1），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．【详解】解：抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）先向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到对应点的坐标为（-2，-1），所以平移后的抛物线解析式为y=（x+2）2-1．故选：D．【点睛】本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．2．“凤鸣”文学社在学校举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，某组共互赠了210本图书，如果设该组共有x名同学，那么依题意，可列出的方程是（）A．x（x+1）＝210 B．x（x﹣1）＝210C．2x（x﹣1）＝210 D．12x（x﹣1）＝210【答案】B【解析】设全组共有x名同学，那么每名同学送出的图书是(x−1)本；则总共送出的图书为x(x−1)；又知实际互赠了210本图书，则x(x−1)=210.故选：B.3．若关于x 的不等式组324x a x a <+⎧⎨>-⎩无解，则a 的取值范围是（）A ．a≤﹣3B ．a ＜﹣3C ．a ＞3D ．a≥3【答案】A【解析】利用不等式组取解集的方法，根据不等式组无解求出a 的取值范围即可．【详解】∵不等式组324x a x a <+⎧⎨>-⎩无解，∴a ﹣4≥3a+2，解得：a≤﹣3，故选A ．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解集，熟知一元一次不等式组的解集的确定方法“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无处找”是解题的关键.4．如图，正比例函数11y k x =的图像与反比例函数22k y x=的图象相交于A 、B 两点，其中点A 的横坐标为2，当12y y >时，x 的取值范围是（）A ．x ＜-2或x ＞2B ．x ＜-2或0＜x ＜2C ．-2＜x ＜0或0＜x ＜2D ．-2＜x ＜0或x ＞2【答案】D【解析】先根据反比例函数与正比例函数的性质求出B 点坐标，再由函数图象即可得出结论．【详解】解：∵反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称， ∴A 、B 两点关于原点对称，∵点A 的横坐标为1，∴点B 的横坐标为-1，∵由函数图象可知，当-1＜x ＜0或x ＞1时函数y 1=k 1x 的图象在22k y x=的上方， ∴当y 1＞y 1时，x 的取值范围是-1＜x ＜0或x ＞1．故选：D ．【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，能根据数形结合求出y 1＞y 1时x 的取值范围是解答此题的关键．5．方程5x ＋2y ＝－9与下列方程构成的方程组的解为212x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩的是( )A ．x ＋2y ＝1B ．3x ＋2y ＝－8C ．5x ＋4y ＝－3D ．3x －4y ＝－8【答案】D【解析】试题分析：将x 与y 的值代入各项检验即可得到结果．解：方程5x+2y=﹣9与下列方程构成的方程组的解为的是3x ﹣4y=﹣1．故选D ．点评：此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．6．施工队要铺设1000米的管道，因在中考期间需停工2天，每天要比原计划多施工30米才能按时完成任务．设原计划每天施工x 米，所列方程正确的是（）A ．1000100030x x -+=2 B ．1000100030x x -+=2 C ．1000100030xx --=2 D ．1000100030x x--=2 【答案】A【解析】分析：设原计划每天施工x米，则实际每天施工（x+30）米，根据：原计划所用时间﹣实际所用时间=2，列出方程即可．详解：设原计划每天施工x米，则实际每天施工（x+30）米，根据题意，可列方程：1000100030x x-+=2，故选A．点睛：本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列出方程．7．估计7+1的值在（）A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间【答案】B【解析】分析：直接利用2＜7＜3，进而得出答案．详解：∵2＜7＜3，∴3＜7+1＜4，故选B．点睛：此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出7的取值范围是解题关键．8．一元二次方程x2-2x=0的解是（）A．x1=0，x2=2 B．x1=1，x2=2 C．x1=0，x2=-2 D．x1=1，x2=-2【答案】A【解析】试题分析：原方程变形为：x（x-1）=0x1=0，x1=1．故选A．考点：解一元二次方程-因式分解法．9．要使分式有意义，则x的取值应满足（）A．x=﹣2 B．x≠2C．x＞﹣2 D．x≠﹣2【答案】D【解析】试题分析：∵分式有意义，∴x+1≠0，∴x≠﹣1，即x 的取值应满足：x≠﹣1．故选D ．考点：分式有意义的条件． 10．点M(a ，2a)在反比例函数y ＝8x的图象上，那么a 的值是( ) A ．4 B ．﹣4C ．2D ．±2【答案】D【解析】根据点M(a ，2a)在反比例函数y ＝8x的图象上,可得:228a =,然后解方程即可求解.【详解】因为点M(a ，2a)在反比例函数y ＝8x的图象上,可得: 228a =, 24a =,解得:2a =±, 故选D. 【点睛】本题主要考查反比例函数图象的上点的特征,解决本题的关键是要熟练掌握反比例函数图象上点的特征.二、填空题（本题包括8个小题）11．将一次函数2y x =-的图象平移，使其经过点（2，3），则所得直线的函数解析式是______．【答案】1y x =+【解析】试题分析：解：设y=x+b ， ∴3=2+b ，解得：b=1．∴函数解析式为：y=x+1．故答案为y=x+1．。

苏科版数学九年级上册52圆的对称性(两课时,含答案)-.docx

的对称性⑴第3课目标与方法1. 理解圆的轴对称性和屮心对称性.2. 利用圆的旋转不变性，研究圆心角、弧、弦Z 间相互关系定理及其简单应用.3. 通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，发展空间观念、推理能力及概括问题的能力.基础与巩固1. 下列说法中，不正确的是()・A.圆是轴对称图形；B.圆的任意一条直径所在直线都是圆的对称轴C.圆的任一直径都是圆的对称轴；D.经过圆心的任意直线都是圆的对称轴2. 如图 1, AB 、CD 是00 的直径，AB 〃DE,贝9 ().A. AC=AEB. AC>AEC. AC<AED. AC 与 AE 的大小无法确定3. (1)如图2,弦AB 把分成2： 7两部分，ZA0B= ____________________ ° ；(2) 在中，弦AB 的长恰好等于半径，弦AB 所对的圆心角为 __________(3) 圆的--条眩分圆为3： 6两部分，其中劣弧所对圆心角为 ________ °4. 如图 3,在<90 屮，AB = AC f ZB 二70° , ZA= ° .5. 如图，在(DO 屮，0A 是半径，AB 、AC 是弦，且AB = AC . 求证：点0在ZBAC 的平分线上.5.26.如图，在00中，AB是直径，BC = CD = DE, ZB0C=50°,求ZA0E的度数.拓展与延伸7.如图，在＜30屮，AC = BD, Zl=30°,求上2的度数.8.已知：如图，AB是00的直径，M、N分别为AO、B0的中点，CM丄AB, DN丄AB,垂足分別为M、N,求证：AC = BD・智力操如图，AB二2CD, AB与2CD相等吗？动手量一量，试说明其中的道理.B D答案：1. C2. A3. (1) 80；(2) 60；(3) 1204. 405.证明：在(DO中，由AB=AC,得AB = AC・在ZiAOB 和AAOC 中,AB=AC, A0二AO, B0二CO,AAAOB^AAOC.・・・ZOAC二ZOAB,即点0在ZB AC的平分线上. 60. 30°7.V AC = BD, :. AC-BC二BD-BC,即AB = DC. AZ1=Z2.又VZl=30° ,・・・Z2二30°8.连接CO、DO. ・・・M、N分别为AO、B0的中点，1 1・・・M0二一AO, N0=-BO. TAO二B0, .\MO=NO.2 2又TCH丄AB, D7丄AB, A ZCM0=ZCN0=90o . 在RtACOM Rt ADON 中，CO=DO, M0二NO, ARtACOM^RtADON ・・・・ZC0A二ZD0B. /. AC = BD智力操ABH2CD或AB〈2CD.取AB的屮点，连接AE、BE. 由于AB = 2CD,所UAE = EB = CD, 所以AE二BE二CD.ABE 中,AE+BE>AB,所以2CD>AB.5.2的对称性⑵第4课目标与方法1.利用圆的轴对称性探究垂径定理、证明垂径定理.2.利用垂径定理进行有关的计算与证明.3.在经历探索与证明垂径定理的过程屮，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法. 基础与巩固1.如图1, 00的直径CD与眩AB相交于点M,只要再添加一个条件：___________ ,就可得到M是AB的中点.2.在圆2中有一条长为16cm的弦，圆心到弦的距离为6cm,该圆的直径的长为________ cm.3.如图3,在00中，AB为弦，0C丄AB,垂足为C,若0A=5, 003,则弦AB等于（）.A. 10B. 8C. 6D. 44.一种花边是由如图的弓形组成的，ACB的半径为5,弦AB=8,则弓形的高CD为（）.5 16A. 2B. —C. 3D.—2 35.如图,00的直径AB=10cm, ZBAC=30°,求弦BC的长.cB拓展与延伸6.如图，OO|与002相交于A、B两点，过点A作0Q?的平行线与两圆相交于点C、D, 已知OiC）2=20cm,求CD的长.7.如图，在以0为圆心的两个同心圆屮，大圆的弦AB与小圆相交于C、D两点, 求证：AC=BD.8.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中的CD,点0是CD的圆心），其中CD二600m,点E在CD上，且0E丄CD,垂足为F, EF=90m.求这段弯路的半径.智力操小红、小明在一起做作业，老师布置的一道思考题引起了他们的兴趣：“已知半径为10cm的00内有两条平行弦AB、CD,且AB=12cm, CD二16cm,求AB、CD间的距离.”小红得到的结果是“两平行弦之间的距离为14cm”，小明得到的结果是“两平行弦之间的距离为2cm. ”你认为他俩谁正确？为什么？说明你的理由.答案：1. CD丄AB2. 203. B4. A5.过点0作0D丄AC,垂足为D,则AD二DC,又VA0=0B, ・・・0D是AABC的中位线.连接BC,・・・0D〃BC, .-.ZBCA=Z0DA=90° .在Rt AABC 中，ZBAC=30° ,・・・BC二丄AB二丄X10=5 (cm)2 26.分别过Ch、O2两点作CD的垂线段OiE、O2F,垂足分别为E、F, nl 1 1则AE二一AC, AF=-AD.2 2VOiE丄CD, O2F丄CD, A Z0I EC=Z02FC=90°,.•.O1E//O2F.又・.・0Q2〃CD,・・・四边形O|O2FE为平行四边形..-.EF=O|O2=20 (cm),・•・CD二CA+AD二2AE+2AF二2EF二40 (cm)7.过点0作0E丄AB,垂足为E,则AE二EB, CE二ED.・・・AE-CE二EB-ED,即AC二BD8.由径垂定理，得CF二丄CD二300 (m),设半径0C二R (m),则OF二(R-90) (m),在RtAOCF 中，(R-90 ) 2+3002=R2, R=545 (m).智力操都不正确，他们均只说了一种情况.本题应分为两种情况讨论:(1)AB、CD在圆心0的两侧,两弦间距离为hi+h2=8+6=14 (cm)；(2)AB、CD在圆心0的同侧,两弦间距离为hi-h2=8-6=2 (cm).。

数学初三上苏科版5.2.2圆的对称性学案

数学初三上苏科版5.2.2圆的对称性学案1.会利用圆的轴对称性探究垂径定理、证明垂径定理、2.能利用垂径定理进行相关的计算和证明、3.掌握垂径定理的推论：圆的两条平行弦所夹的弧相等、1.在⊙O中，两弦AB⊥AC，AB＝8cm，AC＝6cm，那么⊙O的半径为________cm.2.如图，有一圆弧形门拱的拱高AB为1m，跨度CD为4m，那么那个门拱所在圆的半径为________m.(第2题)3.在半径为2的⊙O中，弦AB的长为22，那么弦AB所对的圆心角∠AOB的度数是___________________、4.如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，AB＝10cm，CD＝6cm，那么AC的长为________、(第4题)5.如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，点M在线段AB(包括端点A、B)上移动，那么OM的取值范围是()、A.3≤OM≤5B.3≤OM＜5C.4≤OM≤5D.4≤OM＜5(第5题)6.(2017·安徽)如图，⊙O过点B、C.圆心O在等腰直角△ABC的内部，∠BAC＝90°，OA＝1，BC＝6，那么⊙O的半径为()、(第6题)A.10B.2 3C.13D.3 27.〔2017·山东临沂〕如图，⊙O的直径CD＝5cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OD＝3：5，那么AB的长是〔〕、A、2cmB、3cmC、4cmD、221cm〔第7题〕8.如图，⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离为3，那么⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有()、(第8题)A.1个B.2个C.3个D.4个9.如图，AB、AC、BC基本上⊙O的弦，且∠CAB＝∠CBA，那么∠BOC与∠AOC相等吗？什么原因？(第9题)BC于点D.10.如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC，交BC于点E，交⌒(1)请写出五个不同类型的正确结论；(2)假设BC＝8，ED＝2，求⊙O的半径、11.如图，⊙O表示一圆形工件，AB＝15cm，OM＝8cm，同时MB∶MA＝1∶4，求工件半径的长、(第11题)12.某市新建的镜湖是圆形人工湖，为测量该湖的半径，小明和小丽沿湖边选取A、B、C三根木柱，使得AB之间的距离与A、C之间的距离相等，并测得BC长为240m，A到BC的距离为5m(如下图)，请你帮他们求出镜湖的半径、(第12题)13.(2017·广西钦州)如图，⊙O1与坐标轴交于A(1,0)、B(5,0)两点，点O1的纵坐标为5.求⊙O1的半径、(第13题)14.如图，AB 为⊙O 直径，CD 为弦，且CD ⊥AB ，垂足为点H .(1)∠OCD 的平分线CE 交⊙O 于点E ，连结OE .求证：点E 为ADB 的中点； (2)假如⊙O 的半径为1，CD ＝3， ①求点O 到弦AC 的距离；②填空：如今圆周上存在________个点到直线AC 的距离为12.(第14题)15.在半径为5cm 的⊙O 中，弦AB 的长等于6cm ，假设弦AB 的两个端点A 、B 在⊙O 上滑动(滑动过程中AB 的长度不变)，请说明弦AB 的中点C 在滑运过程中所通过的路线是什么图形、16.(2017·山东济宁)如图，AD 为△ABC 外接圆的直径，AD ⊥BC ，垂足为点F ，∠ABC 的平分线交AD 于点E ，连结BD 、CD .(1)求证：BD ＝CD ；(2)请判断B 、E 、C 三点是否在以D 为圆心，以DB 为半径的圆上？并说明理由、(第16题)第2课时1.52.523.90°4.2cm5.A6.C 7.C8.C9.∠BOC ＝∠AOC ， ∵∠CAB ＝∠CBA ， ∴AC ＝BC .∴∠AOC ＝∠BOC .10.(1)不同类型的正确结论有： ①BE ＝CE ；②⌒BD ＝⌒CD ；③∠BED ＝90°；④AC ∥OD ；⑤AC ⊥BC ；⑥OE 2＋BE 2＝OB 2；⑦S △ABC ＝BC ·OE ；⑧△BOD 是等腰三角形；⑨△BOE ∽△BAC 等、 (2)∵OD ⊥BC ，∴BE ＝CE ＝12BC ＝4.设⊙O 的半径为R ，那么OE ＝OD －DE ＝R －2.在Rt △OEB 中，由勾股定理，得OE 2＋BE 2＝OB 2，即(R －2)2＋42＝R 2，解得R ＝5. 可知，⊙O 的半径为511.过点O 作OC ⊥AB 于点C ，那么BC ＝152cm.由BM ∶AM ＝1∶4，得BM ＝15×5＝3.故CM＝152－3＝4.5.在Rt △OCM 中，OC 2＝82－⎝ ⎛⎭⎪⎫922＝1754.连结OA ，那么OA ＝OC 2＋AC 2＝1754＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1522＝10，即工件的半径长为10cm.12.设圆心为点O ，连结OB 、OA ，OA 交线段BC 于点D . ∵AB ＝AC ，∴A B ＝A C .∴OA ⊥BC .且BD ＝DC ＝12BC ＝120m. 由题意DA ＝5m ，设OB ＝x m ， x 2＝(x －5)2＋1202，x ＝1442.5.13.过点O 1作O 1C ⊥AB ，垂足为C ，那么有AC ＝BC . 由A (1,0)、B (5,0)，得AB ＝4. ∴AC ＝2.在Rt △AO 1C 中，∵点O 1的纵坐标为5， ∴O 1C ＝ 5.∴⊙O 1的半径O 1A ＝O 1C 2＋AC 2＝52＋22＝3.14.(1)∵OC ＝OE ， ∴∠OEC ＝∠OCE . 又∠OCE ＝∠DCE ， ∴∠E ＝∠DCE . ∴OE ∥CD . 又CD ⊥AB ，∴∠AOE ＝∠BOE ＝90°. ∴点E 为ADB 的中点、(2)①∵CD ⊥AB ，AB 为⊙O 的直径，CD ＝3，∴CH ＝12CD ＝32. 又OC ＝1，∴sin ∠COB ＝CH OC ＝321＝32. ∴∠COB ＝60°. ∴∠BAC ＝30°.作OP ⊥AC 垂直于点P ，那么OP ＝12OA ＝12. ②315.作点B 关于直线MN 的对称点B ′，那么点B ′必在⊙O 上，且B ′N ＝NB . 由得∠AON ＝60°，故∠B ′ON ＝∠BON ＝12∠AON ＝30°，∠AOB ′＝90°. 连结AB ′交MN 于点P ′，那么点P ′即为所求的点、如今AP ′＋BP ′＝AP ′＋P ′B ′＝2，即AP ＋BP 的最小值为 2. 16.(1)∵AD 为直径，AD ⊥BC ， ∴⌒BD ＝⌒CD . ∴BD ＝CD .(2)B 、E 、C 三点是在以D 为圆心，DB 为半径的圆上、理由：由(1)知：⌒BD ＝⌒CD .∴∠BAD ＝∠CBD .∵∠DBE ＝∠CBD ＋∠CBE ，∠DEB ＝∠BAD ＋∠ABE ，∠CBE ＝∠ABE ， ∴∠DBE ＝∠DEB . ∴DB ＝DE .由(1)知：BD ＝CD . ∴DB ＝DE ＝DC .∴B 、E 、C 三点是否在以D 为圆心，以DB 为半径的圆上、。