第12讲

又
1 1 α+β = , 得 β = . 3 9
3.
袋中装有1只白球, 只黑球 只黑球, 只红球 只红球, 袋中装有 只白球,2只黑球,3只红球, 只白球 从中随机地任取2只球 随机变量X与 分别 只球, 从中随机地任取 只球,随机变量 与Y分别 表示取到的红球数与白球数. 表示取到的红球数与白球数 的联合分布律; (1)求X与Y的联合分布律; ) 与 的联合分布律 (2)求(X,Y)的边缘分布律; ) )的边缘分布律; (3)求P( X ≤ 1,Y ≤ 1). )
m
nm
P(Y = m) = ∑P( X = n,Y = m)
=∑
n=m
n ∞
e
14
(7.14) (6.86) m!(n m)!
∞
m
nm
e (6.86) m (7.14) ∑ = m! n=m (n m)!
14
nm
k (令 = n m)
e (6.86) m P(Y = m) = (7.14) ∑ m! n=m (n m)! (令 = n m) k
1
y
y=x
o
x =1
x
24 3 y y( 2 y + ), 0 ≤ y ≤ 1 fY ( y) = 5 2 2 0, 其它
2
9. 设(X,Y)的概率密度是 的概率密度是
1, 0 ≤ x ≤ 1,0 < y < 2x f ( x, y) = 其它 0,
求 (1)X,Y的边缘概率密度 的边缘概率密度; 的边缘概率密度 (2)判断X,Y是否相互独立 (2)判断X,Y是否相互独立; 是否相互独立; 判断 (3)Z = X+Y的概率密度 的概率密度. 的概率密度
o
y
x =1
(1,2)
y = 2x
1
解(1)
y
x =1
(1,2)
y = 2x
o
1
fY ( y) = ∫ f ( x, y)dx
∞
∞
当y < 0或y ≥ 2时, fY ( y) = 0
0 当 ≤ y < 2时,
y
x =1
(1,2)
y = 2x
y 1 fY ( y) = ∫y 1dy = 1 2 2
1
(1 2)
2
(1 2)
(1 2)2
1 P (max( X , Y ) = 0) = P( X = 0,Y = 0) = 2 , 2
P (max( X , Y ) = 1)
= P( X = 1,Y = 0) + P( X = 0,Y = 1) + P( X = 1,Y = 1)
3 1 1 1 = 2+ 2+ 2 = 2 2 2 2 2
e (6.86) m = (7.14) ∑ m! k! k=0 14 e m 6.86 = (7.14) e m! 7.14 e m = (7.14) , m = 0,1,2,. m!
14 ∞ k
14
∞
nm
7.
设随机变量 X 和 Y 相互独立 , 并且
2
X 服从 N ( a , σ ), Y 在 ( b , b ) 上服从均匀 分布 , 求 ( X , Y )的联合概率密度 .
3
(2) 因为 X 与 Y 相互独立 所以有 相互独立,
特别地, 特别地,
P ( X = i , Y = j ) = P ( X = i ) P (Y = j ), i = 1,2; j = 1,2,3
P ( X = 1, Y = 2) = P ( X = 1) P (Y = 1) 1 1 1 2 = +α α = , 9 3 9 9
从表中不难求得: 从表中不难求得 P(X=0)=1/8, P(X=1)=3/8 P(X=2)=3/8, P(X=3)=1/8, P(Y=1) = P(X=1, Y=1) + P(X=2, Y=1) =3/8+3/8=6/8, P(Y=3) = P(X=0, Y=3) + P(X=3, Y=3) =1/8+1/8=2/8.
(3)P( X ≤ 1,Y ≤ 1)
= 1 P( X = 2,Y = 0) 2 C3 = 1 2 C6 4 = 5
1只白球,2只黑球,3只红球,任取 只球, 只白球, 只黑球 只黑球, 只红球 任取2只球 只红球, 只球, 只白球 X与Y分别表示取到的红球数与白球数 分别表示取到的红球数与白球数. 与 分别表示取到的红球数与白球数
解1
fZ (z) = ∫ f ( x, z x)dx
∞
∞
当z < 0或z ≥ 3时, fZ (z) = 0. 0 当 ≤ z <1 , 时
2z fZ (z) = ∫z 1dx = 3 3
z
z
3
z = 3x
(1,3)
1 当 ≤ z < 3时,
X 0
Y
0
1
2
1
12 2 12
12 2 12
2
故 Z = max( X , Y )的概率分布为
Z
0
1 4
1
3 4
P
把一枚均匀硬币抛掷三次, 为三次抛掷中 5. 把一枚均匀硬币抛掷三次,设X为三次抛掷中 正面出现的次数, 正面出现的次数,而Y为正面出现次数与反面出 为正面出现次数与反面出 现次数之差的绝对值, 现次数之差的绝对值,求(X,Y)的概率分布 . 的概率分布 可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3) 解 (X,Y)可取值 可取值 P(X=0, Y=3)=(1/2)3=1/8 P(X=1, Y=1)=3(1/2)3=3/8 P(X=2, Y=1)=3/8 P(X=3, Y=0)=1/8 列表如下0 xyFra biblioteky=x
o
x =1
x
= 2.4x (2 x)
2
注意积分定限
2.4x (2 x), 0 ≤ x ≤ 1 f X ( x) = 0, 其它
2
fY ( y) = ∫
+∞
∞
f ( x, y)dx
当y < 0或y > 1 , fY ( y) = 0. 时
0 当 ≤ y ≤1 , 时
24 fY ( y) = ∫ y(2 x)dx y 5
第三章 习题课
1.
已知X,Y的联合分布如下 的联合分布如下 已知 Y X 0 0 0.4 1 b 1 a 0.1
且事件{X=0}与{X+Y=1}相互独立 试确定常数 与 相互独立. 且事件 相互独立 a与b. 与 解 0.4 + a + b + 0.1=1 得 a + b = 0.5 (1)
事件{X=0}与{X+Y=1}相互独立 与 相互独立, 事件 相互独立 P{X=0}P{X+Y=1}= P{X=0, X+Y=1} = P{X=0, Y=1} 得 (0.4+b)(a + b) = b (2) 由(1) (2) 得 a = 0.1 b = 0.4 Y X 0 0 0.4 1 b 1 a 0.1
y
y=x
o
x =1
x
cy(2 x), 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x f ( x, y) = 0 , 其它
解 (1)
∫ ∫ f ( x, y)dxdy = ∫ [∫ cy(2 x)dy]dx
∞ ∞
x 1 0 0
∞
∞
y
y=x
dx = c∫ [ x (2 x) / 2]
2 0
1
= 5c/24=1 c =24/5
y
x =1
(1,2)
y = 2x
f ( x, y) = f X ( x) fY ( y)
o
1
在图中阴影区域内不成立, 与 不相互独立 不相互独立. 在图中阴影区域内不成立, X与Y不相互独立
(3) Z = X+Y, 求Z的概率密度 的概率密度. 的概率密度
1, 0 ≤ x ≤ 1,0 < y < 2x f ( x, y) = 其它 0,
fZ (z) = ∫ f ( x, z x)dx
∞ ∞
fZ (z) = ∫ f (z y, y)dy
∞
∞
解1
fZ (z) = ∫ f ( x, z x)dx
∞
∞
1, 0 ≤ x ≤ 1,0 < y < 2x f ( x, y) = 其它 0,
1, 0 ≤ x ≤ 1,0 < z x < 2x f ( x, z x) = 其它 0,
解 由于 与Y 相互独立 由于X 相互独立,
所以 f ( x, y) = fX ( x) fY ( y)
1 e 又 f X ( x) = 2 πσ
( x a )2 2σ 2
, ∞ < x < ∞;
1 , b ≤ y ≤ b, f Y ( y ) = 2b 0, 其他 .
得
1 1 f ( x, y ) = e 2b 2πσ
2.
已知 ( X , Y ) 的分布律为
( X ,Y ) (1,1) (1,2) (1,3) ( 2,1)
1 3
( 2,2)
( 2,3)
pij
1 6
1 9
1 18
α
β
(1 ) 求 α 与 β 应满足的条件 ; (2) 若 X 与 Y 相互独立 , 求 α 与 β 的值 .
解 将 ( X , Y ) 的分布律改写为
1
y 1 ,0 ≤ y < 2 fY ( y) = 2 0, 其它
o
1
(2)
1, 0 ≤ x ≤ 1,0 < y < 2x f ( x, y) = 其它 0,