高考数学第一轮基础复习课件10-6排列与组合(理)
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高考数学(理)一轮复习精选课件：第10章 第2节 排列与
4 张分别标有数字 1,2,3,4 的蓝色卡片，从这 8 张卡片中取出 4 张卡片 排成一行，如果取出的 4 张卡片所标的数字之和等于 10，则不同的 排法共有______种(用数字作答)．
【解析】取出的 4 张卡片所标数字之和等于 10，
共有三种情况：1144,2233,1234.所取卡片是 1144 的共有 A 44种排法． 所取卡片是 2233 的共有 A 44种排法．所取卡片是 1234，则其中卡片 颜色可为无红色，1 张红色，2 张红色，3 张红色，全是红色，共有 A44＋C14A44＋C24A44＋C34A44＋A44＝16A 44种排法， 所以共有 18A44＝18×4×3×2×1＝432 种排法．
3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数为( )
A．360
B．288
C．216中有且只有两位女生相邻， 则有 C23·A22·A33·A 24种排法，再从中排除甲站两端的排法，
所以所求排法种数为 C23·A22·A33·A24－2C23·A22·A22·A23＝ 6×(6×12－24)＝288.
(4)多元问题分类法． 将符合条件的排列分为几类，而每一类的排列数较易求出， 然后根据分类计数原理求出排列总数．
高频考点全通关——排列与组合的综合应用 闯关四：及时演练，强化提升解题技能
1. 8 名学生和 2 位老师站成一排合影，2 位老师不相邻的排法
种数为( )
A．A88A29
B．A88C29
C．A88A27
【命题角度】
高考对排列与组合综合应用题的考查主要有以下几个命题角度： (1)相邻问题； (2)相间问题； (3)特殊元素(位置)问题； (4)多元问题等．
高频考点全通关——排列与组合的综合应用
【解析】取出的 4 张卡片所标数字之和等于 10，
共有三种情况：1144,2233,1234.所取卡片是 1144 的共有 A 44种排法． 所取卡片是 2233 的共有 A 44种排法．所取卡片是 1234，则其中卡片 颜色可为无红色，1 张红色，2 张红色，3 张红色，全是红色，共有 A44＋C14A44＋C24A44＋C34A44＋A44＝16A 44种排法， 所以共有 18A44＝18×4×3×2×1＝432 种排法．
3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数为( )
A．360
B．288
C．216中有且只有两位女生相邻， 则有 C23·A22·A33·A 24种排法，再从中排除甲站两端的排法，
所以所求排法种数为 C23·A22·A33·A24－2C23·A22·A22·A23＝ 6×(6×12－24)＝288.
(4)多元问题分类法． 将符合条件的排列分为几类，而每一类的排列数较易求出， 然后根据分类计数原理求出排列总数．
高频考点全通关——排列与组合的综合应用 闯关四：及时演练，强化提升解题技能
1. 8 名学生和 2 位老师站成一排合影，2 位老师不相邻的排法
种数为( )
A．A88A29
B．A88C29
C．A88A27
【命题角度】
高考对排列与组合综合应用题的考查主要有以下几个命题角度： (1)相邻问题； (2)相间问题； (3)特殊元素(位置)问题； (4)多元问题等．
高频考点全通关——排列与组合的综合应用
高考数学一轮总复习 第十章 排列与组合
组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数
(1)从中任取4张，共有________种不同取法；
(3)甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？
• 拓直展接提法高 求把解符排合列条应件用的问排题列的数主直要接方列法式计算
优先法 优先安排特殊元素或特殊位置
故共有 C16C25C33＝60(种)．
(2)有序不均匀分组问题． 由于甲、乙、丙是不同的三人，在(1)题基础上，还应考虑 再分配，共有 C16C25C33A33＝360(种)． (3)无序均匀分组问题． 先分三步，则应是 C26C24C22种方法，但是这里出现了重复．不 妨记六本书为 A，B，C，D，E，F，若第一步取了 AB，第二步 取了 CD，第三步取了 EF，记该种分法为(AB，CD，EF)，则 C26C24C22种分法中还有(AB，EF，CD)，
拓展提高 组合问题常有以下两类题型：
法二 (特殊位置优先法)首尾位置可安排另 6 人中的两人， 拓展提高 均匀分组与不均匀分组、无序分组与有序分组是组合问题的常见题型．解决此类问题的关键是正确判断分组是均匀分组还
是不均匀分组，无序均匀分组要除以均匀组数的阶乘数，还要充分考虑到是否与顺序有关；
正难则有反、A等价26种转化排的方法法 ，其他有 A55种排法，共有 A26A55＝3 600(种)．
• 思路点拨 要注意分析特殊元素是“含”、“不含”、“至少”、 “至多”．
[解] (1)共有 C318＝816(种)． (2)共有 C518＝8 568(种)． (3)分两类：甲、乙中有一人参加，甲、乙都参加，共有 C12C418＋C318＝6 936(种)． (4)(间接法)：由总数中减去五名都是内科医生和五名都是 外科医生的选法种数，得 C520－(C512＋C58)＝14 656(种)．
高三数学(理)一轮复习课件：第10章 第2节排列与组合
[答案] B
第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布
创新大课堂
考点自主回扣
考向互动探究
考能感悟提升
课时活页作业
4．(2015·广东高考)某高三毕业班有 40 人，同学之间两两 彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕 业留言．(用数字作答)
[解析] 依题意两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从 40 人中任选两人的排列数，所以全班共写了 A240＝40×39＝1 560 条毕业留言，故应填入 1 560.
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[解] (1)从 7 人中选 5 人排列，有 A57＝7×6×5×4×3＝2 520(种)．
(2)分两步完成，先选 3 人站前排，有 A37种方法，余下 4 人站后排，有 A44种方法，共有 A37·A44＝5 040(种)．
(3)法一 (特殊元素优先法)先排甲，有 5 种方法，其余 6 人有 A66种排列方法，共有 5×A66＝3 600(种)．
第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布
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考点三 分组分配问题(高频型考点——全面发掘) [考情聚焦]
分组分配问题是排列、组合问题的综合运用，解决这类问 题的一个基本指导思想就是先分组后分配．关于分组问题，有 整体均分、部分均分和不等分三种，无论分成几组，应注意只 要有一些组中元素的个数相等，就存在均分现象．常见的命题 角度有：
(1)整体均分问题；(2)部分均分问题；(3)不等分问题．
第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布
[答案] 1 560
第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布
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4．(2015·广东高考)某高三毕业班有 40 人，同学之间两两 彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕 业留言．(用数字作答)
[解析] 依题意两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从 40 人中任选两人的排列数，所以全班共写了 A240＝40×39＝1 560 条毕业留言，故应填入 1 560.
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[解] (1)从 7 人中选 5 人排列，有 A57＝7×6×5×4×3＝2 520(种)．
(2)分两步完成，先选 3 人站前排，有 A37种方法，余下 4 人站后排，有 A44种方法，共有 A37·A44＝5 040(种)．
(3)法一 (特殊元素优先法)先排甲，有 5 种方法，其余 6 人有 A66种排列方法，共有 5×A66＝3 600(种)．
第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布
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考点三 分组分配问题(高频型考点——全面发掘) [考情聚焦]
分组分配问题是排列、组合问题的综合运用，解决这类问 题的一个基本指导思想就是先分组后分配．关于分组问题，有 整体均分、部分均分和不等分三种，无论分成几组，应注意只 要有一些组中元素的个数相等，就存在均分现象．常见的命题 角度有：
(1)整体均分问题；(2)部分均分问题；(3)不等分问题．
第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布
[答案] 1 560
第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布
2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版强基版)：排列与组合
跟踪训练1 (1)(2023·武汉模拟)源于探索外太空的渴望，航天事业在 21世纪获得了长足的发展.太空中的环境为某些科学实验提供了有利条件， 宇航员常常在太空旅行中进行科学实验.在某次太空旅行中，宇航员们负 责的科学实验要经过5道程序，其中A，B两道程序既不能放在最前，也 不能放在最后，则该实验不同程序的顺序安排共有
(1)0！＝ 1 ；Ann＝__n_！__. 性质 (2)Cmn ＝Cnn－m；Cmn＋1＝_C_mn_＋__C__mn _－_1
常用结论
1.排列数、组合数常用公式 (1)Amn ＝(n－m＋1)Amn －1. (2)Amn ＝nAmn－－11. (3)(n＋1)！－n！＝n·n！. (4)kCkn＝nCkn－－11. (5)Cmn ＋Cmn－1＋…＋Cmm＋1＋Cmm＝Cmn＋＋11.
教材改编题
3.将4名学生分别安排到甲、乙、丙三地参加社会实践活动，每个地方至 少安排一名学生参加，则不同的安排方案共有__3_6__种.
第一步，先从 4 名学生中任取两人组成一组，与剩下 2 人分成三组， 有 C24＝6(种)不同的方法；第二步，将分成的三组安排到甲、乙、丙三 地，则有 A33＝6(种)不同的方法.故共有 6×6＝36(种)不同的安排方案.
常用结论
2.解决排列、组合问题的十种技巧 (1)特殊元素优先安排. (2)合理分类与准确分步. (3)排列、组合混合问题要先选后排. (4)相邻问题捆绑处理. (5)不相邻问题插空处理. (6)定序问题倍缩法处理.
常用结论
(7)分排问题直排处理. (8)“小集团”排列问题先整体后局部. (9)构造模型. (10)正难则反，等价转化.
方法一 从特殊位置入手(直接法) 分三步完成，第一步先填个位，有 A13种填法，第二步再填十万位，有 A14种填法，第三步填其他位，有 A44种填法，故无重复数字的六位奇数 共有 A13A14A44＝288(个).
高考数学总复习精品课件10-6排列与组合(理) 100张(人教版)
[例 1]
(2012· 山西四校联考)有七名同学站成一排照相，
其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学要站在一起， 则不同的站法有________种． 分析：甲站正中间，左边、右边各 3 人，乙、丙相邻排 列后作为一个“整体元素”， 按这个整体元素的站位考虑有 4 种情况，其他位置可任意排列．
2 4 解析： 依题意得， 满足题意的不同站法共有 4· A2 · A4＝192
思想方法技巧
一、“分类”与“分步”，应该如何理解与区分 (1)分类：“做一件事，完成它可以有 n 类办法”．每一 类办法中的每 一种方法都能 将这件事完成．分类时，首先据 ． ．． 问题特点确定一个合理的分类标准，在这个“标准”下分类 能够做到： ①完成这件事的任何一种方法必须属于其中的某一 类．(不漏) ②分别在不同两类中的两种方法不能相同．(不重复)
解析：将两件书法作品排在一块看作“一件”作品与标
2 2 志性建筑设计一块排好，有 A2 · A2种排法，在上述“两件”作 2 品形成的三个空档中插入绘画作品，有 A3 种插法． 2 2 2 ∴共有不同展出方案 A2 A2· A3＝24 种．
答案：24
(3)定序问题属组合．排列时，如果限定某些元素或所有 元素保持一定顺序称为定序问题，定序的元素属组合问题． [例 3] 6 个人排一队参观某项目，其中甲、乙、丙三人
进入展厅的次序必须是先乙，再甲，最后丙，则不同的列队 方式有________种．
解析：解法 1：由于甲、乙、丙三人的次序已定，故只需
3 从 6 个位置中选取 3 个排上其余 3 人，有 A6 种排法，剩下的 3 三个位置排甲、乙、丙三人，只有一种排法，∴共有 A6 ＝120
种． 解法 2：先选取 3 个位置排甲、乙、丙三人有 C3 6种方法，
高考数学总复习 106排列与组合课件 理 新人教A版
疑难误区 点拨警示 1．正确区分“分类”与“分步”，恰当地进行分类，使 分类后不重、不漏． 2．正确区分是组合问题还是排列问题，要把“定序”和 “有序”区分开来． 3．正确区分分堆问题和分配问题．
思想方法技巧
一、“分类”与“分步”，应该如何理解与区分 (1)分类：“做一件事，完成它可以有 n 类办法”．每一 类办法中的每．一种方法都．能．将这件事完成．分类时，首先据 问题特点确定一个合理的分类标准，在这个“标准”下分类 能够做到： ①完成这件事的任何一种方法必须属于其中的某一 类．(不漏) ②分别在不同两类中的两种方法不能相同．(不重复)
答案：Cmm＋n
点评：(1)例如 f(3,4)＝C37，其中 0010111 表示从原点出发 后，沿右右上右上上上的路径爬行．
(2)抽象建模后就是一个含相同数字的纯粹排列组合问 题．
[ 例 10] 方 程 x ＋ y ＋ z ＝ 8 的 非 负 整 数 解 的 个 数 为 ________．
解析：把 x、y、z 分别看作是 x 个 1，y 个 1 和 z 个 1，则 共有 8 个 1，问题抽象为 8 个 1 和两个十号的一个排列问题．由 于 x、y、z 非负，故允许十号相邻，如 11＋＋111111 表示 x ＝2，y＝0，z＝6，＋11111111＋表示 x＝0，y＝8，z＝0 等等，
解析：报考学校甲的方法有 C35，报考学校乙的方法有 C35， 甲、乙都不报的方法有 C45，∴共有 2C35＋C45＝25 种．
答案：B
(2012·山东，11)现有 16 张不同的卡片，其中红色、黄色、 蓝色、绿色卡片各 4 张．从中任取 3 张，要求这 3 张卡片不 能是同一种颜色，且红色卡片至多 1 张，不同取法的种数为 ()
高考数学一轮总复习 10.2排列与组合课件
解析 先排甲、乙之外的 3 人，有 A33种排法，然后将甲、乙 两人插入形成的 4 个空中，有 A24种排法，故共有 A33·A24＝72(种)排 法．
答案 72
知识点二 组合 4.若 C220x－7＝Cx20，则 x＝________. 解析 由 2x－7＝x 或 2x－7＋x＝20，得 x＝7 或 x＝9.
第十章 计数原理、概率、随机变量 及其分布(理) 概率(文)
第二节 排列与组合(理)
基础回扣·自主学习
热点命题·深度剖析
特色专题·感悟提高
高考明方向
1.理解排列、组合的概念． 2.理解排列数公式、组合数公式． 3.能利用公式解决一些简单的实际问题.
备考知考情
多以选择题、填空题的形式出现，重点考查排列与组合的概 念及简单的实际应用，常与两个计数原理交汇命题．
知识点一 排列
1.不等式 Ax8<6×Ax8－2的解来自为( )A．[2,8]
B．[2,6]
C．(7,12)
D．{8}
解析 8－8！x！<6×108－！x！， ∴x2－19x＋84<0，解得 7<x<12. 又 x≤8，x－2≥0，∴7<x≤8，x∈N*，即 x＝8.
答案 D
2．从 1,3,5,7,9 这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为
答案 7 或 9
5．“2 012”含有数字 0,1,2，且有两个数字 2，则含有数字 0,1,2， 且有两个相同数字的四位数的个数为( )
A．18 B．24 C．27 D．36
解析 依题意，就所含的两个相同数字是否为 0 进行分类计 数：第一类，所含的两个相同数字是 0，则满足题意的四位数的个 数为 C32A22＝6；第二类，所含的两个相同数字不是 0，则满足题意 的四位数的个数为 C21·C13·C13＝18.由分类加法计数原理得，满足题 意的四位数的个数为 6＋18＝24，故选 B.
答案 72
知识点二 组合 4.若 C220x－7＝Cx20，则 x＝________. 解析 由 2x－7＝x 或 2x－7＋x＝20，得 x＝7 或 x＝9.
第十章 计数原理、概率、随机变量 及其分布(理) 概率(文)
第二节 排列与组合(理)
基础回扣·自主学习
热点命题·深度剖析
特色专题·感悟提高
高考明方向
1.理解排列、组合的概念． 2.理解排列数公式、组合数公式． 3.能利用公式解决一些简单的实际问题.
备考知考情
多以选择题、填空题的形式出现，重点考查排列与组合的概 念及简单的实际应用，常与两个计数原理交汇命题．
知识点一 排列
1.不等式 Ax8<6×Ax8－2的解来自为( )A．[2,8]
B．[2,6]
C．(7,12)
D．{8}
解析 8－8！x！<6×108－！x！， ∴x2－19x＋84<0，解得 7<x<12. 又 x≤8，x－2≥0，∴7<x≤8，x∈N*，即 x＝8.
答案 D
2．从 1,3,5,7,9 这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为
答案 7 或 9
5．“2 012”含有数字 0,1,2，且有两个数字 2，则含有数字 0,1,2， 且有两个相同数字的四位数的个数为( )
A．18 B．24 C．27 D．36
解析 依题意，就所含的两个相同数字是否为 0 进行分类计 数：第一类，所含的两个相同数字是 0，则满足题意的四位数的个 数为 C32A22＝6；第二类，所含的两个相同数字不是 0，则满足题意 的四位数的个数为 C21·C13·C13＝18.由分类加法计数原理得，满足题 意的四位数的个数为 6＋18＝24，故选 B.
高考数学(理)一轮课件：10.2排列与组合
������ 写出C������ .
������!(������-������)!
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3. 常用的几个恒等式
������ ������ ������ ������ ������+1 (1) C������ + C������ +1+ C������ +2+…+ C������ +������= C������ +������+1; ������-1
������! (������-������)!
, 这里规定 0!=1.
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2. 组合 (1) 组合的定义: 从 n个不同元素中取出 m (m ≤n ) 个元素并成一组, 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合. (2) 组合数的定义: 从 n 个不同元素中取出 m (m ≤n) 个元素的所有组合的
2 【解析】 分步考虑: 从 8 所高校中选 2所 , 有C8 种选法 ; 依题意必有 2位同学被
2 1 同一所学校录取, 则有C3 C2种录取方法; 另一位同学被剩余的一所学校录取. 2 2 1 所以共有C8 ·C3 ·C2 =168 种录取方法.
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(3) 排列数公式: A������ n-1 ) ( n-2)…(n-m +1 ), 其中 n , m ∈N , 并且 m ≤n. ������ =n (
*
(4) 全排列: n 个不同元素全部取出的一个排列, 叫做 n 个不同元素的一个 全排列, A������ n-1 ) ·( n-2)·…·2·1=n!. 排列数公式写成阶乘的形式为 ������ =n ·( A������ ������ =
2 重复数字的三位数中奇数的个数为C3 × 4=12;
������!(������-������)!
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3. 常用的几个恒等式
������ ������ ������ ������ ������+1 (1) C������ + C������ +1+ C������ +2+…+ C������ +������= C������ +������+1; ������-1
������! (������-������)!
, 这里规定 0!=1.
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2. 组合 (1) 组合的定义: 从 n个不同元素中取出 m (m ≤n ) 个元素并成一组, 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合. (2) 组合数的定义: 从 n 个不同元素中取出 m (m ≤n) 个元素的所有组合的
2 【解析】 分步考虑: 从 8 所高校中选 2所 , 有C8 种选法 ; 依题意必有 2位同学被
2 1 同一所学校录取, 则有C3 C2种录取方法; 另一位同学被剩余的一所学校录取. 2 2 1 所以共有C8 ·C3 ·C2 =168 种录取方法.
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(3) 排列数公式: A������ n-1 ) ( n-2)…(n-m +1 ), 其中 n , m ∈N , 并且 m ≤n. ������ =n (
*
(4) 全排列: n 个不同元素全部取出的一个排列, 叫做 n 个不同元素的一个 全排列, A������ n-1 ) ·( n-2)·…·2·1=n!. 排列数公式写成阶乘的形式为 ������ =n ·( A������ ������ =
2 重复数字的三位数中奇数的个数为C3 × 4=12;
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