高中数学第二章随机变量及其分布2_4正态分布随堂达标验收新人教A版选修2_3
2020_2021学年高中数学第二章随机变量及其分布2.4正态分布跟踪训练含解析新人教A版选修2_3
正态分布[A组学业达标]1．正态分布N(0,1)在区间(－2，－1)和(1,2)上取值的概率为P1，P2，则二者大小关系为( )A．P1＝P2B．P1＜P2C．P1＞P2D．不确定解析：根据正态曲线的特点，图象关于x＝0对称，可得在区间(－2，－1)和(1,2)上取值的概率P1，P2相等．答案：A2．已知随机变量X服从正态分布N(a,4)，且P(X＞1)＝0.5，则实数a的值为( ) A．1 B．2C．3 D．4解析：随机变量X服从正态分布N(a,4)，所以曲线关于x＝a对称，且P(X＞a)＝0.5，由P(X＞1)＝0.5，可知μ＝a＝1.答案：A3．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)＝95.44%)A．4.56% B．13.59%C．27.18% D．31.74%解析：P(3＜ξ＜6)＝12[P(－6＜ξ＜6)－P(－3＜ξ＜3)]＝12(95.44%－68.26%)＝13.59%.故选B.答案：B4．随机变量ξ服从正态分布N (1,4)，若P (2＜ξ＜3)＝a ，则P (ξ＜－1)＋P (1＜ξ＜2)＝( ) A.1－a 2 B.12－a C ．a ＋0.003a D.12＋a 解析：因为随机变量ξ服从正态分布N (1,4)，所以正态曲线关于x ＝1对称，因为P (2＜ξ＜3)＝a ，所以P (－1＜ξ＜0)＝a ，P (1＜ξ＜2)＝P (0＜ξ＜1)，P (ξ＜－1)＋P (1＜ξ＜2)＝12－a .答案：B5．已知X ～N (0,1)，则X 在区间(－∞，－2)内取值的概率为( )A ．0.954B ．0.046C ．0.977D ．0.023解析：由题意知，正态曲线的对称轴为x ＝0，所以P (X ＜－2)＝0.5－12P (－2≤X ≤2)＝0.5－0.954 42＝0.022 8.故选D. 答案：D6．若随机变量ξ～N (10，σ2)，P (9≤ξ≤11)＝0.4，则P (ξ≥11)＝________.解析：由P (9≤ξ≤11)＝0.4且正态曲线以x ＝μ＝10为对称轴知，P (9≤ξ≤11)＝2P (10≤ξ≤11)＝0.4.P (10≤ξ≤11)＝0.2，∵P (ξ≥10)＝0.5，∴P (ξ≥11)＝0.5－0.2＝0.3.答案：0.37．如果ξ～N (μ，σ2)，且P (ξ＞3)＝P (ξ＜1)成立，则μ＝________.解析：因为ξ～N (μ，σ2)，故正态密度函数关于直线x ＝μ对称，又P (ξ＜1)＝P (ξ＞3)，从而μ＝1＋32＝2，即μ的值为2. 答案：28．抽样调查表明，某校高三学生成绩ξ(总分750分)近似服从正态分布，平均成绩为500分．已知P (400＜ξ＜450)＝0.3，则P (550＜ξ＜600)＝________.解析：由图可以看出P (550＜ξ＜600)＝P (400＜ξ＜450)＝0.3.答案：0.39．已知随机变量X ～N (μ，σ2)，且其正态曲线在(－∞，80)上是增函数，在(80，＋∞)上为减函数，且P (72＜X ≤88)＝0.682 6.(1)求参数μ，σ的值．(2)求P (64＜X ≤72)．解析：(1)由于正态曲线在(－∞，80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，所以正态曲线关于直线x ＝80对称，即参数μ＝80.又P (72＜x ≤88)＝0.682 6.结合P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝0.682 6，可知σ＝8.(2)因为P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)＝P (64＜X ≤96)＝0.954 4.又因为P (X ≤64)＝P (X ＞96)，所以P (X ≤64)＝12(1－0.954 4)＝12×0.045 5＝0.022 8. 所以P (X ＞64)＝0.977 2.又P (X ≤72)＝12[1－P (72＜X ≤88)]＝12×(1－0.682 6)＝0.158 7，所以P (X ＞72)＝0.841 3，P (64＜X ≤72)＝P (X ＞64)－P (X ＞72)＝0.135 9.10．在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从一个正态分布，即ξ～N (90,100)．(1)试求考试成绩ξ位于区间(70,110)上的概率是多少？(2)若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在(80,100)间的考生大约有多少人？ 解析：因为ξ～N (90,100)，所以μ＝90，σ＝10.(1)由于正态变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率是0.954 4，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩ξ位于区间(70,110)内的概率是0.954 4.(2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.由于正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ)内取值的概率是0.682 6，所以考试成绩ξ位于区间(80,100)内的概率就是0.682 6.一共有2 000名考生，所以考试成绩在(80,100)间的考生大约有2 000×0.682 6≈1 365(人)．[B 组 能力提升]11．设随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，且二次方程x 2＋4x ＋ξ＝0无实数根的概率为12，则μ等于( ) A ．1B ．2C ．4D ．不能确定解析：因为方程x 2＋4x ＋ξ＝0无实数根的概率为12，由Δ＝16－4ξ＜0，得ξ＞4，即P (ξ＞4)＝12＝1－P (ξ≤4)，故P (ξ≤4)＝12，所以μ＝4. 答案：C12．已知随机变量X 服从正态分布即X ～N (μ，σ2)，且P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)≈0.682 6，若随机变量X ～N (5,1)，则P (X ＞6)≈( )A ．0.341 3B ．0.317 4C ．0.158 7D ．0.158 6解析：由题设P (4＜X ≤6)≈0.682 6，所以由正态分布的对称性可得P (X ≥6)＝12[1－P (4＜X ≤6)]≈12(1－0.682 6)≈0.158 7. 答案：C13.在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N (0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为________．附：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)＝0.954 4. 解析：X ～N (0,1)知，P (－1＜X ≤1)＝0.682 6，所以P (0≤X ≤1)＝12×0.682 6＝0.341 3， 故S ≈0.341 3，所以落在阴影部分中点的个数x 的估计值为x 10 000＝S1，所以x ＝10 000×0.341 3≈3 413.答案：3 41314．某校在一次测试中约有600人参加考试，数学考试的成绩X ～N (100，a 2)(a ＞0，试卷满分150分)，统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的35，则此次测试中数学考试成绩不低于120分的学生约有________人．解析：因为成绩X ～N (100，a 2)，所以其正态曲线关于直线x ＝100对称，又成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的35，由对称性知：成绩在120分以上的人数约为总人数的12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＝15，所以此次数学考试成绩不低于120分的学生约有：15×600＝120(人)． 答案：12015．一投资者要在两个投资方案中选择一个，这两个方案的利润ξ(万元)分别服从正态分布N (8,32)和N (3,22)，投资者要求“利润超过5万元”的概率尽量大，那么他应选择哪个方案？解析：由题意知，只需求出两个方案中“利润超过5万元”的概率哪个大，大的即为最佳选择方案．对于第一套方案ξ～N (8,32)，则μ＝8，σ＝3.于是P (8－3＜ξ≤8＋3)＝P (5＜ξ≤11)≈0.682 6.所以P (ξ≤5)＝12[1－P (5＜ξ≤11)] ≈12(1－0.682 6)＝0.158 7. 所以P (ξ＞5)≈1－0.158 7＝0.841 3.对于第二套方案ξ～N (3,22)，则μ＝3，σ＝2.于是P (3－2＜ξ≤3＋2)＝P (1＜ξ≤5)≈0.682 6，所以P (ξ＞5)＝12[1－P (1＜ξ≤5)] ≈12(1－0.682 6)＝0.158 7. 所以应选择第一套方案．。
高中数学第二章随机变量及其分布2.4正态分布课件新人教a选修2_3 (2)
1 4. 正 态 分 布 的 概 率 密 度 函 数 P(x) ＝ e－ 2 2π （x－5）2 在(3，7]内取值的概率为________． 8 解析：由题意可知 X～N(5，4)，且 μ＝5，σ＝2， 所以 P(3＜X≤7)＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6. 答案：0.682 6
5．设随机变量 ξ 服从正态分布 N(2，9)，若 P(ξ＞c ＋1)＝P(ξ＜c－1)，则 c＝________． 解析：由正态分布的性质及条件 P(ξ＞c＋1)＝P(ξ＜c －1)得，(c＋1)＋(c－1)＝2×2，所以 c＝2. 答案：2
图①
图②
2．正态分布 一般地，如果对于任何实数 a，b(a<b)，随机变量 X 满足 P(a<X≤b)＝∫b aφμ ，σ (x)dx，则称随机变量 X 服从正 态分布(normal distribution)． 正态分布完全由参数 μ 和 σ 确定，因此正态分布常记作 N(μ，σ 2)．如果随机变量 X 服从正态分布，则记为 X～N(μ，σ 2)．
1 2πσ ； ③曲线在 x＝μ 处达到峰值_________
④曲线与 x 轴之间的面积为 1；
⑤当 σ 一定时，曲线随着 μ 的变化而沿 x 轴平移， 如图①所示； ⑥当 μ 一定时，曲线的形状由 σ 确定，σ 越小，曲线 越“瘦高”， 表示总体的分布越集中； σ 越大， 曲线越“矮 胖”，表示总体的分布越分散，如图②所示．
1 解析：由题意知的 X 均值为 2，因此 P(X＜2)＝ . 2 答案：D
3．设随机变量 X～N(3，1)，若 P(X＞4)＝p，则 P(2 ＜X＜4)＝( 1 A. ＋p 2 C．1－2p ) B．1－p 1 D. －p 2
1 解析：由 X～N(3，1)得 μ＝3，所以 P(3＜X＜4)＝ －p， 2 即 P(2＜X＜4)＝2P(3＜X＜4)＝1－2p. 答案：C
高中数学第2章随机变量及其分布2.4正态分布课件新人教A版选修2_3
4．3σ 原则 (1)若 X～N(μ，σ2)，则对于任何实数 a>0，P(μ－a<X≤μ＋a)＝μ＋a
μ－a
φμ，σ(x)dx.
(2)正态分布在三个特殊区间内取值的概率： P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈ 0.682 7 ， P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈ 0.954 5 ， P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈ 0.997 3 . (3)通常认为服从于正态分布 N(μ，σ2)的随机变量 X 只取(μ－3σ， μ＋3σ)之间的值，并简称之为 3σ 原则．
思考：如何估计参数 μ，σ 的值？
[提示] 参数 μ 是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以 用样本的均值去估计；σ 是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可 以用样本的标准差去估计．
3．正态曲线的特点 (1)曲线位于 x 轴 上方 ，与 x 轴不相交； (2)曲线是单峰的，它关于 直线 x＝μ 对称；
[跟进训练] 1.设两个正态分布 N(μ1，σ21)(σ1>0)和 N(μ2，σ22)(σ2>0)的密度函数 图象如图所示，则有( ) A．μ1<μ2，σ1<σ2 B．μ1<μ2，σ1>σ2 C．μ1>μ2，σ1<σ2 D．μ1>μ2，σ1>σ2
A [根据正态分布的性质：对称轴方程 x＝μ，σ 表示正态曲线的 形状．由题图可得，选 A.]
3．正态分布的概率密度函数 P(x)＝2 12πe－x－852在(3,7]内取值的 概率为________．
0.682 7 [由题意可知 X～N(5,4)，且 μ＝5，σ＝2， 所以 P(3<X≤7)＝P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 7.]
合作 探究 释疑 难
正态曲线及其性质 【例 1】 某次我市高三教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试 成绩的直方图如图所示(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正 态分布)，则由如图所示曲线可得下列说法中正确的一项是( ) A．甲科总体的标准差最小 B．丙科总体的平均数最小 C．乙科总体的标准差及平均数都居中 D．甲、乙、丙的总体的平均数不相同
最新版高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.4 正态分布学案 新人教A版选修2-3
§2.4 正态分布学习目标 1.利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.2.了解变量落在区间(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]的概率大小.3.会用正态分布去解决实际问题．知识点一 正态曲线 思考 函数f (x )＝12πσ22()2ex μσ--，x ∈R的图象如图所示．试确定函数f (x )的解析式．答案 由图可知，该曲线关于直线x ＝72对称，最大值为1102π，由函数表达式可知，函数图象的对称轴为x ＝μ， ∴μ＝72，且12πσ＝1102π，∴σ＝10.∴f (x )＝1102π2(72)200ex --(x ∈R )．梳理 (1)正态曲线 函数φμ，σ(x )＝12πσ22()2ex μσ--，x ∈(－∞，＋∞)，其中实数μ，σ(σ>0)为参数，我们称φμ，σ(x )的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．(2)正态曲线的性质①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称； ③曲线在x ＝μ处达到峰值1σ2π；④曲线与x 轴之间的面积为1；⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移，如图甲所示； ⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”，总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，总体的分布越集中，如图乙所示：知识点二 正态分布一般地，如果对于任何实数a ，b (a <b )，随机变量X 满足P (a <X ≤b )＝⎠⎛ab φμ，σ(x )d x ，则称随机变量X 服从正态分布．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N (μ，σ2)，如果随机变量X 服从正态分布，则记为X ～N (μ，σ2)． 知识点三 3σ原则1．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 (1)P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6； (2)P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 4； (3)P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.997 4.2．通常服从正态分布N (μ，σ2)的随机变量X 只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值．1．函数φμ，σ(x )中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差．( × )2．正态曲线是单峰的，其与x 轴围成的面积是随参数μ，σ的变化而变化的．( × ) 3．正态曲线可以关于y 轴对称．( √ )类型一 正态曲线的图象的应用例1 如图所示是一个正态分布的图象，试根据该图象写出正态分布密度函数的解析式，求出随机变量总体的均值和方差．考点 正态分布的概念及性质 题点 求正态分布的均值或方差解 从给出的正态曲线可知该正态曲线关于直线x ＝20对称，最大值是12π，所以μ＝20.由12πσ＝12π，解得σ＝ 2.于是该正态分布密度函数的解析式是f (x )＝12π2(20)4e x --，x ∈(－∞，＋∞)，随机变量总体的均值是μ＝20，方差是σ2＝(2)2＝2.反思与感悟 利用图象求正态分布密度函数的解析式，应抓住图象的两个实质性特点：一是对称轴为x ＝μ，二是最大值为12πσ.这两点确定以后，相应参数μ，σ便确定了，代入f (x )中便可求出相应的解析式．跟踪训练1 某次我市高三教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布)，则由如图曲线可得下列说法中正确的一项是( )A ．甲科总体的标准差最小B ．丙科总体的平均数最小C ．乙科总体的标准差及平均数都居中D ．甲、乙、丙的总体的平均数不相同 考点 正态分布密度函数的概念 题点 正态曲线 答案 A解析 由题中图象可知三科总体的平均数(均值)相等，由正态密度曲线的性质，可知σ越大，正态曲线越扁平；σ越小，正态曲线越尖陡，故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙．故选A.类型二 利用正态分布的对称性求概率 例2 设X ～N (1,22)，试求：(1)P (－1<X ≤3)；(2)P (3<X ≤5)；(3)P (X >5)． 考点 正态分布的概念及性质 题点 正态分布下的概率计算解 因为X ～N (1,22)，所以μ＝1，σ＝2.(1)P (－1<X ≤3)＝P (1－2<X ≤1＋2) ＝P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6. (2)因为P (3<X ≤5)＝P (－3≤X <－1)，所以P (3<X ≤5)＝12[P (－3<X ≤5)－P (－1<X ≤3)]＝12[P (1－4<X ≤1＋4)－P (1－2<X ≤1＋2)] ＝12[P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)－P (μ－σ<X ≤μ＋σ)] ＝12×(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9. (3)P (X >5)＝P (X ≤－3)＝12[1－P (－3<X ≤5)]＝12[1－P (1－4<X ≤1＋4)]＝0.022 8. 引申探究本例条件不变，若P (X >c ＋1)＝P (X <c －1)，求c 的值．解 因为X 服从正态分布N (1,22)，所以对应的正态曲线关于x ＝1对称．又P (X >c ＋1)＝P (X <c －1)，因此(c ＋1)＋(c －1)2＝1，即c ＝1.反思与感悟 利用正态分布求概率的两个方法(1)对称法：由于正态曲线是关于直线x ＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x ＝μ对称的区间上概率相等．如： ①P (X <a )＝1－P (X ≥a )． ②P (X <μ－a )＝P (X >μ＋a )．(2)“3σ”法：利用X 落在区间(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.682 6,0.954 4,0.997 4求解．跟踪训练2 已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，且P (ξ<4)＝0.8，则P (0<ξ<2)等于( )A ．0.6B ．0.4C ．0.3D ．0.2 考点 正态分布的概念及性质 题点 正态分布下的概率计算 答案 C解析 ∵随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)， ∴μ＝2，对称轴是x ＝2.∵P (ξ<4)＝0.8，∴P (ξ≥4)＝P (ξ≤0)＝0.2， ∴P (0<ξ<4)＝0.6，∴P (0<ξ<2)＝0.3.故选C. 类型三 正态分布的应用例3 有一种精密零件，其尺寸X (单位：mm)服从正态分布N (20,4)．若这批零件共有5 000个，试求：(1)这批零件中尺寸在18～22 mm 间的零件所占的百分比；(2)若规定尺寸在24～26 mm 间的零件不合格，则这批零件中不合格的零件大约有多少个？ 考点 正态分布的应用 题点 正态分布的实际应用解 (1)∵X ～N (20,4)，∴μ＝20，σ＝2，∴μ－σ＝18， μ＋σ＝22，于是尺寸在18～22 mm 间的零件所占的百分比大约是68.26%. (2)∵μ－3σ＝14，μ＋3σ＝26，μ－2σ＝16，μ＋2σ＝24，∴尺寸在24～26 mm 间的零件所占的百分比大约是99.74%－95.44%2＝2.15%.因此尺寸在24～26 mm 间的零件大约有5 000×2.15%≈108(个)．反思与感悟 解答正态分布的实际应用题，其关键是如何转化，同时应熟练掌握正态分布在(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]三个区间内的概率，在此过程中用到归纳思想和数形结合思想．跟踪训练3 在某次考试中，某班同学的成绩服从正态分布N (80,52)，现已知该班同学成绩在80～85分的有17人，该班同学成绩在90分以上的有多少人？ 考点 正态分布的应用 题点 正态分布的实际应用 解 ∵成绩服从正态分布N (80,52)，∴μ＝80，σ＝5，则μ－σ＝75，μ＋σ＝85，∴成绩在(75,85]内的同学占全班同学的68.26%，成绩在(80,85]内的同学占全班同学的34.13%，设该班有x 人，则x ·34.13%＝17，解得x ≈50. ∵μ－2σ＝80－10＝70，μ＋2σ＝80＋10＝90，∴成绩在(70,90]内的同学占全班同学的95.44%，成绩在90分以上的同学占全班同学的2.28%，即有50×2.28%≈1(人)，即成绩在90分以上的仅有1人．1．设两个正态分布N (μ1，σ21)(σ1>0)和N (μ2，σ22)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有( )A ．μ1<μ2，σ1<σ2B ．μ1<μ2，σ1>σ2C ．μ1>μ2，σ1<σ2D ．μ1>μ2，σ1>σ2考点 正态分布密度函数的概念 题点 正态曲线 答案 A解析 根据正态曲线的特点：正态分布曲线是一条关于直线x ＝μ对称，在x ＝μ处取得最大值的连续曲线：当μ一定时，σ越大，曲线的最高点越低且较平稳，反过来，σ越小，曲线的最高点越高且较陡峭．故选A.2．正态分布N (0,1)在区间(－2，－1)和(1,2)上取值的概率为P 1，P 2，则二者大小关系为( ) A ．P 1＝P 2 B ．P 1＜P 2 C ．P 1＞P 2D ．不确定考点 正态分布密度函数的概念 题点 正态曲线性质的应用 答案 A解析 根据正态曲线的特点，图象关于x ＝0对称，可得在区间(－2，－1)和(1,2)上取值的概率P 1，P 2相等．3．设随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，且二次方程x 2＋4x ＋ξ＝0无实数根的概率为12，则μ等于( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．不能确定考点 正态分布的概念及性质 题点 求正态分布的均值或方差 答案 C解析 因为方程x 2＋4x ＋ξ＝0无实数根的概率为12，由Δ＝16－4ξ<0，得ξ>4，即P (ξ>4)＝12＝1－P (ξ≤4)，故P (ξ≤4)＝12，所以μ＝4. 4．已知服从正态分布N (μ，σ2)的随机变量在区间(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]和(μ－3σ，μ＋3σ]内取值的概率分别为68.26%,95.44%和99.74%.若某校高一年级1 000名学生的某次考试成绩X 服从正态分布N (90,152)，则此次考试成绩在区间(60,120]内的学生大约有( )A ．997人B ．972人C ．954人D ．683人 考点 正态分布的应用 题点 正态分布的实际应用 答案 C解析 依题意可知μ＝90，σ＝15，故P (60<X ≤120)＝P (90－2×15<X ≤90＋2×15)＝0.954 4,1 000×0.954 4≈954，故大约有学生954人． 5．设随机变量X ～N (2,9)，若P (X >c ＋1)＝P (X <c －1)． (1)求c 的值；(2)求P (－4<X <8)． 考点 正态分布的概念及性质 题点 正态分布下的概率计算解 (1)由X ～N (2,9)可知，密度函数关于直线x ＝2对称(如图所示)，又P (X >c ＋1)＝P (X <c －1)， 故有2－(c －1)＝(c ＋1)－2， ∴c ＝2.(2)P (－4<X ≤8)＝P (2－2×3<X ≤2＋2×3)＝0.954 4.1．理解正态分布的概念和正态曲线的性质． 2．正态总体在某个区间内取值的概率求法(1)熟记P (μ－σ<X ≤μ＋σ)，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)的值． (2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x 轴之间的面积为1这两个特点． ①正态曲线关于直线x ＝μ对称，从而在关于x ＝μ对称的区间上概率相等． ②P (X <a )＝1－P (X ≥a )，P (X <μ－a )＝P (X >μ＋a )， 若b <μ，则P (X <μ－b )＝1－P (μ－b <X <μ＋b )2.一、选择题1．设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f (x )的图象，且f (x )＝φμ，σ(x )＝18π2(10)8ex --，则这个正态总体的均值与标准差分别是( )A ．10与8B ．10与2C ．8与10D ．2与10考点 正态分布的概念及性质 题点 求正态分布的均值或方差 答案 B解析 由正态密度函数的定义可知，总体的均值μ＝10，方差σ2＝4，即σ＝2.2．已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)(σ>0)，P (ξ≤4)＝0.84，则P (ξ≤0)等于( ) A ．0.16 B ．0.32 C ．0.68D ．0.84考点 正态分布的概念及性质 题点 正态分布下的概率计算 答案 A解析 ∵随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，∴μ＝2， ∵P (ξ≤4)＝0.84，∴P (ξ≥4)＝1－0.84＝0.16， ∴P (ξ≤0)＝P (ξ≥4)＝0.16.3．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N (0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6]内的概率为( )(附：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ<ξ≤μ＋σ)＝68.26%，P (μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)＝95.44%) A ．4.56% B ．13.59% C ．27.18%D ．31.74%考点 正态分布的概念及性质 题点 正态分布下的概率计算 答案 B解析 由正态分布的概率公式，知P (－3<ξ≤3)＝0.682 6，P (－6<ξ≤6)＝0.954 4， 故P (3<ξ≤6)＝P (－6<ξ≤6)－P (－3<ξ≤3)2＝0.954 4－0.682 62＝0.135 9＝13.59%，故选B.4.在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N (0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )(附：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)＝0.954 4)A ．2 386B ．2 718C ．4 772D ．3 413 考点 正态分布的应用 题点 正态分布的实际应用 答案 D解析 由X ～N (0,1)知，P (－1＜X ≤1)＝0.682 6， ∴P (0≤X ≤1)＝12×0.682 6＝0.341 3，故S ≈0.341 3.∴落在阴影部分的点的个数x 的估计值为x 10 000＝S1，∴x ＝10 000×0.341 3＝3 413，故选D.5．设X ～N (μ1，σ21)，Y ～N (μ2，σ22)，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是( )A ．P (Y ≥μ2)≥P (Y ≥μ1)B ．P (X ≤σ2)≤P (X ≤σ1)C ．对任意正数t ，P (X ≤t )>P (Y ≤t )D ．对任意正数t ，P (X ≥t )>P (Y ≥t ) 考点 正态分布密度函数的概念 题点 正态曲线 答案 C解析 由题图可知μ1<0<μ2，σ1<σ2， ∴P (Y ≥μ2)<P (Y ≥μ1)，故A 错；P (X ≤σ2)>P (X ≤σ1)，故B 错；当t 为任意正数时，由题图可知P (X ≤t )>P (Y ≤t )， 而P (X ≤t )＝1－P (X ≥t )，P (Y ≤t )＝1－P (Y ≥t )， ∴P (X ≥t )<P (Y ≥t )，故C 正确，D 错．6．如果正态总体的数据落在(－3，－1)内的概率和落在(3,5)内的概率相等，那么这个正态总体的均值是( )A．0 B．1 C．2 D．3考点正态分布的概念及性质题点求正态分布的均值或方差答案 B解析正态总体的数据落在这两个区间里的概率相等，说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等，区间(－3，－1)和(3,5)的长度相等，说明正态曲线在这两个区间上是对称的．因为正态曲线关于直线x＝μ对称，μ的概率意义就是均值，而区间(－3，－1)和(3,5)关于x＝1对称，所以正态总体的均值是1.7．已知一次考试共有60名学生参加，考生的成绩X ～N (110,52)，据此估计，大约应有57人的分数在区间( )A ．(90,110]B ．(95,125]C ．(100,120]D ．(105,115] 考点 正态分布的应用题点 正态分布的实际应用答案 C解析 ∵X ～N (110,52)，∴μ＝110，σ＝5.因此考试成绩在区间(105,115]，(100,120]，(95,125]上的概率分别是0.682 6,0.954 4,0.997 4.由于一共有60人参加考试，故可估计成绩位于上述三个区间的人数分别是60×0.682 6≈41,60×0.954 4≈57,60×0.997 4≈60.8．在某市2018年1月份的高三质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布N (98,100)．已知参加本次考试的全市理科学生约有9 450人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第( )A ．1 500名B ．1 700名C ．4 500名D ．8 000名考点 正态分布的应用题点 正态分布的实际应用答案 A解析 因为理科生的数学成绩X 服从正态分布N (98,100)，所以P (X ≥108)＝12[1－P (88<X ≤108)]＝12[1－P (μ－σ<X ≤μ＋σ)]＝12×(1－0.682 6)＝0.158 7，所以0.158 7×9 450≈1 500，故该学生的数学成绩大约排在全市第1 500名．二、填空题9．已知随机变量X 服从正态分布N (a,4)，且P (X ≤1)＝0.5，则实数a 的值为 ． 考点 正态分布的概念及性质题点 求正态分布的均值或方差答案 1解析 ∵X 服从正态分布N (a,4)，∴正态曲线关于直线x ＝a 对称，又P (X ≤1)＝0.5，故a ＝1.10．设随机变量X ～N (4，σ2)，且P (4<X <8)＝0.3，则P (X <0)＝ .考点 正态分布的概念及性质题点 正态分布下的概率计算答案 0.2解析 概率密度曲线关于直线x ＝4对称，在4右边的概率为0.5，在0左边的概率等于8右边的概率，即0.5－0.3＝0.2.11．某正态分布密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为12π，则总体落入区间(0,2]内的概率为 ．考点 正态分布的概念及性质题点 正态分布下的概率计算答案 0.477 2解析 正态分布密度函数是f (x )＝12πσ22()2e x μσ--，x ∈(－∞，＋∞)，若它是偶函数，则μ＝0，∵f (x )的最大值为f (μ)＝12πσ＝12π，∴σ＝1， ∴P (0<X ≤2)＝12P (－2<X ≤2)＝12P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝12×0.954 4＝0.477 2. 三、解答题12．已知随机变量X ～N (μ，σ2)，且其正态曲线在(－∞，80)上是增函数，在(80，＋∞)上为减函数，且P (72<X ≤88)＝0.682 6.(1)求参数μ，σ的值；(2)求P (64＜X ≤72)．考点 正态分布的概念及性质题点 求正态分布的均值或方差解 (1)由于正态曲线在(－∞，80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，所以正态曲线关于直线x ＝80对称，即参数μ＝80.又P (72<X ≤88)＝0.682 6.结合P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6，可知σ＝8.(2)因为P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝P (64<X ≤96)＝0.954 4.又因为P (X ≤64)＝P (X >96)， 所以P (X ≤64)＝12×(1－0.954 4) ＝12×0.045 6＝0.022 8.所以P (X >64)＝0.977 2.又P (X ≤72)＝12[1－P (72<X ≤88)] ＝12×(1－0.682 6)＝0.158 7， 所以P (X >72)＝0.841 3，P (64<X ≤72)＝P (X >64)－P (X >72)＝0.135 9.13．某人骑自行车上班，第一条路线较短但拥挤，到达时间X (分钟)服从正态分布N (5,1)；第二条路线较长不拥挤，X 服从正态分布N (6,0.16)．若有一天他出发时离点名时间还有7分钟，问他应选哪一条路线？若离点名时间还有6.5分钟，问他应选哪一条路线？ 考点 正态分布的应用题点 正态分布的实际应用解 还有7分钟时：若选第一条路线，即X ～N (5,1)，能及时到达的概率P 1＝P (X ≤7)＝P (X ≤5)＋P (5<X ≤7)＝12＋12P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)． 若选第二条路线，即X ～N (6,0.16)，能及时到达的概率P 2＝P (X ≤7)＝P (X ≤6)＋P (6<X ≤7)＝12＋12P (μ－2.5σ<X ≤μ＋2.5σ)． 因为P 1<P 2，所以应选第二条路线．同理，还有6.5分钟时，应选第一条路线．四、探究与拓展14．为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1 000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X (kg)服从正态分布N (μ，22)，且正态分布密度曲线如图所示，若体重大于58.5 kg 小于等于62.5 kg 属于正常情况，则这1 000名男生中属于正常情况的人数约为 ．考点 正态分布的应用题点正态分布的实际应用答案683解析依题意可知，μ＝60.5，σ＝2，故P(58.5<X≤62.5)＝P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 6，从而属于正常情况的人数为1 000×0.682 6≈683.15．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图．(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s2.①利用该正态分布，求P(187.8<Z≤212.2)；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2]的产品件数，利用①的结果，求E(X)．(附：150≈12.2)考点正态分布的应用题点正态分布的综合应用解(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x和样本方差s2分别为x＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.(2)①由(1)知，Z～N(200,150)，从而P(187.8<Z≤212.2)＝P(200－12.2<Z≤200＋12.2)＝0.682 6.②由①知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8，212.2]的概率为0.682 6，依题意知X～B(100,0.682 6)，所以E(X)＝100×0.682 6＝68.26.。
高中数学第二章随机变量及其分布2.4正态分布课件新人教A版选修2_3
数学
选修2-3 ·人教A版
第二章
随机变量及其分布 正态分布
1
自主预习·探新知
2
互动探究·攻重难
3
课堂达标·固基础
4
课时作业·练素能
自主预习·探新知
情景引入
高斯是一个伟大的数学家，一生中的重要贡献不胜枚 举．德国的10马克纸币上印有高斯的头像和正态分布的曲 线，这就传达了一个信息：在高斯的科学贡献中，对人类文 明影响最大的是“正态分布”．
率可估计为(成绩达到90分为及格)(参考数据：P(μ－σ≤X≤μ
＋σ)≈0.68)
(D )
A．60%
B．68%
C．76%
D．84%
[解析] ∵X服从正态分布N(100,100)， ∴P(90≤X＜100)＝12P(90≤X≤110)＝12×0.68＝0.34， P(X≥100)＝0.5， ∴P(X≥90)＝0.34＋0.5＝0.84． 故选D．
『规律总结』 求在某个区间内取值的概率的方法
(1)利用X落在区间(μ－σ，μ＋σ]、(μ－2σ，μ＋2σ]、(μ－3σ，μ＋3σ]内的 概率分别是0.682 6,0.954 4，0.997 4求解．
(2)充分利用正态曲线的对称性及面积为1的性质求解． ①熟记正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相 等． ②P(X<a)＝1－P(X≥a)； P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)．
1．(2020·遂宁模拟)已知随机变量ξ服从正态分布N(μ， σ2)，若P(ξ＜2)＝P(ξ＞6)＝，则P(2≤ξ＜4)等于
(B )
A．
B．
C．
[解析]
由题意可D得．P(2≤ξ<4)＝1－0.215×2＝0.35，
高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.4 正态分布教学设计 新人教A版选修2-3(2021年整理)
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正态分布一、教学目标一、知识与技能1、结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解;2、通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质．二、过程与方法讲授法与引导发现法．通过教师先讲，师生再共同探究的方式，让学生深刻理解相关概念，领会数形结合的数学思想方法，体会数学知识的形成．三、情感态度与价值观通过教学中一系列的探究过程使学生体验发现的快乐，形成积极的情感，培养学生的进取意识和科学精神．二、教学重点与难点重点：正态分布曲线的特点及其所表示的意义;难点：了解在实际中什么样的随机变量服从正态分布,并掌握正态分布曲线所表示的意义．三、教学方法讲授法与引导发现法四、教具准备黑板，多媒体，高尔顿试验板五、教学过程设计创设情境学生上台演示高尔顿板试验．创设情境，为导入新知做准备．学生感悟体验，对试验的结果进行定向思考．学生经过观察小球在槽中的堆积形状发现：下落的小球在槽中的分布是有规律的．让学生演示试验，能提高学生的学习积极性，提高学习数学的兴趣．让学生体验“正态分布曲线“的生成和发现历程．建构概念1．用频率分布直方图从频率角度研究小球的分布规律．⑴将球槽编号，算出各个球槽内的小球个数，作出频率分布表．⑵以球槽的编号为横坐标，以小球落入各个球槽内的频率与组距的比值为纵坐标，画出频引导学生思考回顾，教师通过课件演示作图过程．在这里引导学生回忆得到，此处的纵坐标为频率除以组距．教师提出问通过把与新内容有关的旧知识抽出来作为新知识的“生长点”，为引入新知搭桥铺路，形成正迁移．教学环节率分布直方图.连接各个长方形上端的中点得到频率分布折线图．教学内容题：这里每个长方形的面积的含义是什么？学生经过回忆，易得:长方形面积代表相应区间内数据的频率．师生互动通过这里的思考回忆，加深对频率分布直方图的理解．设计意图建构（3）随着试验次数增多，折线图就越来越接近于一条光滑的曲线．从描述曲线形状的角度自然分析表达式特点：解析式中前有一个系数σπ21，后面是一个以e为底数的指数形式，幂指数为222)(σμ--x,解析式中含两个常数与旧教材不同的是，该处在学生从形的角度直观认识了正态曲线之后才给出曲列举实例请学生结合高尔顿板试验讨论提出的问题,并尝试归纳服从或近似服从正态分布的随机变量所具有的特征：1．小球落下的位置是随机的吗?2．若没有上部的小木块，小球会落在哪里？是什么影响了小球落下的位置？3．前一个小球对下一个小球落下的位置有影响吗？哪个小球对结果的影响大？4．你能事先确定某个小球下落时会与哪些小木块发生碰撞吗?学生通过讨论，教师引导学生得出问题的结果:1．它是随机的．2．竖直落下．受众多次碰撞的影响．3．互不相干、不分主次．4．不能，具有偶然性．然后归纳出特征：一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用之和，它就服从或近似服从正态分布．教师列举实例分析,帮助学生更加透彻的理解．“什么样的随机变量服从（或近似服从）正态分布？"是本节课的难点，采用设置问题串的方式，将复杂的问题分解成几个容易解决的问题,能有效突破难点．同时采用小组讨论的形式，加强学生的合作意识，同时培养他们的辩证观．通过举例,让学生体会到生活中处处有正态分布，感受到数学的实际应用．深入探究教师通过计算机绘出两组图像（动画），让学生观察：第一组:固定σ的值,μ取三个不同的数；第二组：固定μ的值,σ取三个不同的数；学生通过观察并结合参数μ与σ的意义可得：当σ一定时，曲线随μ的变化而沿x平移；当μ一定时,σ影响了曲线的形状．即：σ越小,则曲线越瘦高，表示总体分布越集中；σ越大,则曲线越矮胖,表示总体分布越分散．针对解析式中含有两个参数，学生较难独立分析参数对曲线的影响，这里通过固定一个参数，讨论另一个参数对图象的影响，这样的处理大大降低了难度，并能很好地突出重点．自我例1、下列函数是正态密度函数的是（ B ))0(,,21)(.222)(>=--σσμπσσμxexfA都是实数2222)(.xexfB-=ππ4)1(2221)(.--=xexfCπ2221)(.xexfDπ=学生通过观察解析式的结构特征可知只有B选项符合正态密度函数解析式的特点．设计这一题主要为了加强学生对正态密度函数的理解．尝试教学环节例2、把一条正态曲线a沿横轴向右平移2个单位,得到一条新的曲线b．下列说法中不正确的是( D ）A. 曲线b仍然是正态曲线．B. 曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相同．C。
高中数学第2章随机变量及其分布2.4正态分布课件新人教A版选修2-3
2．3σ 原则
μ＋aφμ，σ(x)dx
(1)若 X～N(μ，σ2)，则对于任何实数 a>0，P(μ－a<X≤μ＋a)＝__μ_－_a __________.
(2)正态分布在三个特殊区间内取值的概率： P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝___0_.6_8_2__6____， P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝__0_._9_5_4_4___，
图 2-4-2
服从正态分布变量的概率问题
(1)已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(2，σ2)，且 P(ξ<4)＝0.8，则 P(0<ξ<2)＝( )
A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2 (2)在某项测量中，测量结果服从正态分布 N(1,4)，求正态总体 X 在(－1,1) 内取值的概率．
阶
阶
段
段
1
3
2.2.4 正态分布
学
阶 段分布的意义． 2．能借助正态曲线的图象理解正态曲线的性质．(重点) 3．了解正态曲线的意义和性质． 4．会利用 φ(x)，F(x)的意义求正态总体小于 X 的概率．(难点)
[ 基础·初探]
教材整理 1 正态曲线及正态分布
阅读教材 P70～P72，完成下列问题．
P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝__0_._9_9_7_4___.
(3)通常认为服从于正态分布 N(μ，σ2)的随机变量 X 只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的
值，并简称之为 3σ 原则．
[ 小组合作型]
正态分布的概念及正态曲线的性质
如图 2-4-2 所示是一个正态曲线， 试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数 的解析式，求出总体随机变量的期望和方差．
[探究共研型] 正态分布的实际应用 探究 1 若某工厂生产的圆柱形零件的外直径 ε～N(4,0.25)，那么该圆柱形 零件外直径的均值，标准差分别是什么？ 【提示】 零件外直径的均值为 μ＝4，标准差 σ＝0.5.
人教新课标A版选修2-3第二章随机变量及其分布2.4正态分布
, ()d.
M 目标导航
UBIAODAOHANG
1
2
3
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
4
2.正态散布
一般地,如果对于任何实数a,b(a<b),随机变量X满足
2.用待定系数法求正态散布密度曲线的函数表达式,关键是确定
参数μ与σ的值.
1
3.当x=μ时,正态散布密度曲线的函数取得最大值,即 f(μ)=
,
2π
注意该式在解题中的运用.
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题型一
题型二
题型三
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
答案:D
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1
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3
Z 知识梳理
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Z 重难聚焦
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D典例透析
IANLI TOUXI
4
4.正态总体在三个特殊区间内取值的概率
P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.682 7;
P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.954 5;
P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈0.997 3.
题型四
1
解:由图象可知,该正态曲线关于直线 x=20 对称,最大值为2 π,
则 μ=20,
1
2π
1
= 2 π,解得 σ= 2.于是正态分布密度曲线的函数解析
2020学年高中数学第2章随机变量及其分布2.4正态分布课件新人教A版选修2_3
性质结合图象求μ.
(2)正态曲线在
x＝μ
处达到峰值 σ
1 ，由此性质结合 2π
图象可求 σ.
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【例题 1】 (1)设 X～N(μ1，σ21)，Y～N(μ2，σ22)，这两 个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是 ()
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A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1) B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1) C．对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t) D．对任意正数t，P(X≥t)≥P(Y≥t)
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(2)某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学 成绩服从正态分布，其密度函数 f(x)＝ 2π1·10e－x－208002， x∈(－∞，＋∞)，则下列命题不正确的是( )
A．该市这次考试的数学平均成绩为 80 分 B．分数在 120 分以上的人数与分数在 60 分以下的 人数相同 C．分数在 110 分以上的人数与分数在 50 分以下的 人数相同 D．该市这次考试的数学成绩标准差为 10
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思考：利用“3σ 原则”求解正态分布应用题的注 意事项有哪些？
提示 解决正态分布应用题时，要注意将正态曲线 中的 μ 和 σ 与实际问题中的含义对应，μ 反映的是平均水 平，σ 反映的是稳定程度．
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课堂深度拓展
考点一 正态曲线及性质
利用正态曲线的性质求参数μ，σ的方法
(1)正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由此
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A．甲、乙、丙三科总体的标准差都相同 B．甲、乙、丙三科总体的平均数不相同 C．丙科总体的平均数最小 D．甲科总体的标准差最小 答案 D
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解析 参数μ即随机变量的均值，在图象上的特征 是对称轴x＝μ，参数σ即随机变量的标准差．σ越小，曲 线越“瘦高”，总体分布越集中；σ越大，曲线越“胖 矮”，总体分布越分散．由图象知，甲、乙、丙三科平 均分一样，标准差大小不同，σ甲<σ乙<σ丙，即甲科总体 的标准差最小．故选D项．
数学人教A版选修2-3备课参考：第二章 随机变量及其分布 2.4
- 1 - 2.4 正态分布
教学建议
正态分布中的随机变量是连续型随机变量,而二项分布中的随机变量是离散型随机变量,建议在教学中对这两种变量要加以适当的对比.
离散型随机变量取某个特定实数的概率可能大于0,人们感兴趣的是它取某些特定值的概率,即感兴趣的是分布列,连续型随机变量等于任何一个实数的概率都为0,从而考查的是它落在某个区间的概率.离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述,而连续型随机变量的概率分布规律用分布密度曲线描述. 资源拓展
关于二项分布的正态近似定理(棣莫佛——拉普拉斯定理)
设随机变量Y n 服从参数n ,p (0<p<1)的二项分布,则对任意x ,有
d t.
定理表明,当n 很大,0<p<1是一个定值时(或者说np ·(1-p )也不太小时),二项变量Y n 的分布近似正态分布N (np ,np (1-p )).
实用中, n ≥30,np ≥10时正态近似的效果较好.
【例】 将一枚硬币抛掷10 000次,出现正面5 800次,认为这枚硬币不均匀是否合理?试说明理由. 解:设X 为10 000次中出现正面的次数,若硬币是均匀的,X~B (10 000,0.5)采用正态近似,np=5 000,np (1-p )=2 500,
即
,近似正态分布N (0,1).则P (X ≥5 800)=1-P (X<5
800)≈1-Φ=1-Φ(16)≈0. 此概率接近于0,故认为这枚硬币不均匀是合理的.
~N (0,1),P (a<X<b )=P =Φ。
高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.4 正态分布教材梳理素材 新人教A版选修2-3
2.4 正态分布庖丁巧解牛知识·巧学一、正态曲线与正态分布曲线1.正态曲线如果随机变量X 的概率密度函数为φu ,σ(x)=222)(21σπσu x e --，x∈(-∞,+∞)其中实数u 和σ（σ＞0）为参数.我们称φu ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线.要点提示 高尔顿板试验中，当试验次数越多，也就是放入小球的个数越多，实验就越接近正态曲线.2.正态分布一般地，如果对于任何实数a<b ，随机变量X 满足P(a<X≤b)=⎰ba dx x )(,σμϕ，则称X 的分布为正态分布.正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N(μ,σ2).如果随机变量X 服从正态分布，则记为X —N(μ,σ2).参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去估计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计.把μ=0，σ=1的正态分布叫做标准正态分布.方法归纳 一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布.热点聚焦 正态分布是客观存在的规律，高尔顿板试验只不过是验证了这一规律而已.在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布.例如长度测量误差；某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦株高、穗长、单位面积产量等；正常生产条 件下各种产品的质量指标（如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子管的使用寿命等）；某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等，一般都服从正态分布.所以，正态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中.3.正态曲线的特点（1）曲线位于ｘ轴上方，与ｘ轴不相交；（2）曲线是单峰的.它关于直线x=μ对称；（3）曲线在x=μ处达到峰值πσ21；（4）曲线与ｘ轴之间的面积为1；（5）当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿ｘ轴平移；（6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定.σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散. 特点（1）：说明函数的值域为正实数集的子集，且以ｘ轴为渐近线； 特点（2）：是曲线的对称性，关于直线x=μ对称；特点（3）：说明函数x=μ时取得最大值;特点（4）：说明正态变量在（-∞，＋∞）内取值的概率为1;特点（5）：说明当均值一定时，σ变化时总体分布的集中、离散程度. 知识拓展 若标准正态分布N （0，1）总体取值小于x 0的概率用φ(x 0)表示，即φ(x 0)=P(x<x 0),则φ(x 0)+φ(-x 0)=1;对一般正态总体N （μ,σ2）来说，可通过线性代换y=σμ-x 转化为标准正态总体N （0，1）.二、3σ原则1.正态分布在区间(μ-a,μ+a］上的概率若X —N （μ,σ2），则对于任何实数ａ＞0，概率P(μ-a<X≤μ+a)=⎰+-αμαμσμϕdxx )(,为直线x=μ-a,x=μ+a 与正态曲线和ｘ轴所围成的图形的面积.对于固定的μ和a 而言，该面积随着σ的减少而变大.这说明σ越小，X 落在区间(μ-a,μ+a］的概率越大，即X 集中在μ周围的概率越大.上述规律是通过正态曲线的形象直观地得到的，也就是通过定性分析得到的，事实上我们也可以利用定量计算得到，即通过对定积分⎰+-αμαμσμϕdx x )(,计算得到.深化升华 几个特殊结论：P(μ-a<X≤μ+a)=0.682 6，P(μ-2a<X≤μ+2a)=0.954 4,P(μ-3a<X≤μ+3a)=0.997 4.2.3σ原则由于正态总体几乎总取值于区间(μ-3a,μ+3a)之内，而在此区间以外的取值的概率只有0.002 6，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生.在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取(μ-3a,μ+3a)之间的值，并简称之为3σ原则.深化升华从理论上可以证明，正态变量在(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ)内，取值的概率分别约是68.3%,95.4%,99.7%.由于正态变量在（-∞,+∞）内取值的概率是1，容易得出，它在（μ-3σ,μ+3σ）之外取值的概率是0.3%.于是正态变量的取值几乎都在距x=μ三倍的标准差之内，这就是正态分布的3σ原则.问题·探究问题1 在高尔顿板试验中，小球第一次与高尔顿板的底部接触时的坐标X服从正态分布吗？思路:一个随机变量如果是众多的，互不相干的，不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布.在高尔顿板试验中，小球到达底部的坐标X是众多随机碰撞的结果，所以它近似服从正态分布.探究:判断一个变量是不是服从正态分布，就是看是否为随机变量，并且是否符合正态分布的定义及条件.尽管我们是利用高尔顿板试验近似地得到正态曲线，进而得到正态分布.但正态分布是客观存在的规律，这一试验只是验证了这一问题.而且当试验的次数越多，也就是放入的小于的个数越多，试验就越接近正态曲线.问题2 某厂生产的圆柱形零件的外直径X服从正态分布N(4,0.52)，质检人员从该厂生产的1 000件零件中随机抽查一件，测得它的外直径为5.7 ｃｍ，试求该厂生产的这批零件是否合格？思路:由X服从正态分布N(4,0.52)，由正态分布性质可知，正态分布N(4,0.52),在(4-3×0.5,4+3×0.5)之外的取值概率只有0.03，而5.7(2.5,5.5).这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，据此认为这批零件不合格. 探究:解决此类问题可以用假设检验的思想方法来解决，其基本步骤可分为三步.一是提出统计假设，统计假设里的变量服从正态分布N（μ,σ2）;二是确定一次试验中的取值σ是否落入范围(μ-3σ,μ+3σ);三是作出判断，如果a∈(μ-3σ,μ+3σ)，则接受统计假设，如果a(μ-3σ,μ+3σ)则拒绝统计假设.要注意小概率事件原理是假设检验的基础.运用小概率事件原理时须注意：这里的“几乎不可能发生”是针对“一次试验”来说的；运用“小概率事件原理”进行推断时，我们也有5%的犯错误的可能.典题·热题例1设ξ服从标准正态分布，则（1）P(ξ<1.8)=___________;(2)P(-1<ξ<1.5)=___________;(3)P(ξ>-1.5)=___________;(4)P(|ξ|<2)=___________.思路分析： 由标准正态分布的性质直接代入求解：（1）P(ξ<1.8)=φ(1.8)=0.964 1;（2）P(-1<ξ<1.5)=φ(1.5)-φ(-1)=0.993 2-1+φ(1)=0.993 2-1+0.841 3=0.774 5;(3)P(ξ>-1.5)=1-P(ξ≤-1.5)=1-φ(-1.5)=φ(1.5)=0.993 2;(4)P(|ξ|<2)=φ(2)-φ(-2)=2φ(2)-1=2×0.977 2-1=0.954 4.答案：（1）0.964 1 （2）0.774 5 （3）0.993 2 （4）0.954 4.方法归纳 利用公式φ(x)=1-φ(-x)及标准正态分布的几何意义（即其概率为相应的曲边多边形的面积），是将求服从正态分布的随机变量的概率转化为求φ(x 0)的值的关键，进而通过查标准正态分布表即可求出相关的概率.同样，利用公式P （X<x ）=φ(σμ-x )可将非标准正态分布问题转化为标准正态分布问题，应熟练掌握.例2假设某省今年高考考生成绩ξ服从正态分布N(500,1002).现有考生25 000名，计划招生10 000名，试估计录取分数线.思路分析： 这是一个实际问题，通过数学建模可知，其本质就是一个“正态分布下求随机变量在某一范围内取值的概率”问题.解：设分数线为μ，那么分数超过μ的概率应为录取率，即P(ξ≥μ)=2500010000=0.4， 因为ξ—N(500,1002)，所以P(ξ≥μ)=P(100500100500-≥-μξ=1-p(100500100500-<-μξ) =1-φ(100500-μ). 于是有φ(100500-μ)=1-P(ξ≥μ)=1-0.4=0.6.从标准正态分布表中查得φ(0.25)=0.598 7≈0.6，故φ(100500-μ)≈0.6，即μ≈525.由此可以估计录取分数线为525分. 方法归纳 本题关键是由录取人数（计划招生人数）与考生总数之比求得录取率（即超过录取分数线的概率），从而成功地建立数学模型.例3正态总体N （0，1）的概率密度函数是f(x)=2221x e -π,x∈R.（1）求证：ｆ（ｘ）是偶函数；（2）求ｆ（ｘ）的最大值；（3）利用指数函数的性质说明ｆ（ｘ）的增减性.思路分析： 对给出的标准正态分布的概率密度函数，可以利用函数的相关知识来研究它的相关性质.解：（1）对于任意的x∈R,f(-x)= 2)(221x e --π=2221x e -πf(x).所以ｆ（ｘ）是偶函数；（2）令z=22x ,当ｘ=0时，z=0,e x =1, ∵e x 是关于ｚ的增函数，当ｘ≠0时，z>0,e x >1，∴当ｘ=0，即ｚ=0时，22x e =e x 取得最小值，当ｘ=0时，f(x)=2221x e -π取得最大值π21（3）任取x 1<0,x 2<0,且x 1<x 2,有x 12>x 22, ∴2222212221,2x x e e x x x --<-<- 所以2222212121x x e e --<ππ,即f(x 1)<f(x 2).这表明当ｘ＜0时，ｆ（ｘ）是递增的.同理可得，对于任取的x 1>0,x 2>0,且x 1<x 2，有f （x 1）>f(x 2)，即当ｘ＞0时，ｆ（ｘ）是递减的.拓展延伸已知正态总体的数据落在区间（-3，-1）里的概率和落在区间（3，5）里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为______________.思路分析：正态总体的数据落在这两个区间的概率相等，说明在这两个区间上位于正态曲线正方的面积相等，另外，因为区间（-3，-1）和区间（3，5）的长度相等，说明正态曲线在这两个区间上是对称的，我们需要找出对称轴.由于正态曲线关于直线x=μ对称，μ的概率意义是期望，我们也就找到了正态分布的数学期望了.因为区间（-3，-1）和区间（3，5）关于ｘ=1对称，所以正态分布的数学期望是1.答案：1深化升华通过例题的解决总结标准正态分步的概率密度函数的一些性质并注意应用.例4已知某车间正常生产某种零件的尺寸满足正态分布N(27.45,0.052),质量检验员随机抽查了10个零件，测量得到他们的尺寸如下：27.327.49 27.55 27.23 27.40 27.46 27.38 27.58 27.54 27.68,请你根据正态分布的3σ原则，帮助质量检验员确定哪些应该判定为非正常状态下生产的.思路分析：正态变量的取值几乎都在距x=μ三倍标准之内，所以对落在区间（27.45-3×0.05，27.45+3×0.05）之外的零件尺寸做出拒绝接受零件是正常状态下生产的假说.解：有两个零件不符合落在区间（27.45-3×0.05，27.453×0.05）内，尺寸为27.23和尺寸27.68的两个零件，它们就是在非正常状态下生产的.深化升华本例是统计中假设检验的一个实例，依据的准则是正态总体N(μ,σ2)在区间(μ-3σ,μ+3σ)之外取值的概率很小（大约只有0.3%），所以几乎不可能发生.此级HS5的大图若接排前加，若另面则不加。
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2-4 正态分布
1．正态曲线关于y轴对称，当且仅当它所对应的正态总体的均值为( )
A．1 B．－1 C．0 D．不确定
[解析] 均值即为其对称轴，∴μ＝0.
[答案] C
2．已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，P(X<4)＝0.84，则P(X≤0)＝( ) A．0.16 B．0.32 C．0.68 D．0.84
[解析] 由X～N(2，σ2)，可知其正态曲线如图所示，对称轴为直线x＝2，则P(X≤0)＝P(X≥4)＝1－P(X<4)＝1－0.84＝0.16.
[答案] A
3．如图所示的是当σ取三个不同值σ1，σ2，σ3的三种正态曲线N(0，σ2)的图象，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是( )
A．σ1>1>σ2>σ3>0 B．0<σ1<σ2<1<σ3
C．σ1>σ2>1>σ3>0 D．0<σ1<σ2＝1<σ3
[解析] 当μ＝0，σ＝1时，正态曲线f(x)＝1
2π
e在x＝0处取最大值
1
2π
，故
σ2＝1.由正态曲线的性质，当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，反之越“矮胖”．故选D.
[答案] D
4．若随机变量X的密度为f(x)＝1
2π
e，X在区间(－2，－1)和(1,2)内取值的概
率分别为p1，p2，则p1，p2的关系为( )
A．p1>p2B．p1<p2
C．p1＝p2D．不确定
[解析] 由正态曲线的对称性及题意知：μ＝0，σ＝1，所以曲线关于直线x＝0对称，所以p1＝p2.
[答案] C。